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MAT349 - Introdução à Lógicahttp://www.ime.usp.br/mat/349
Glaucio Terra
Departamento de Matematica
IME - USP
MAT349 - Introducao a Logicahttp://www.ime.usp.br/mat/349 – p. 1/14
Convenções para EvitarParênteses
1. Se na fórmula figuram conectivos binários deum único tipo, omitem-se os parênteses porassociação à esquerda.
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Convenções para EvitarParênteses
1. Se na fórmula figuram conectivos binários deum único tipo, omitem-se os parênteses porassociação à esquerda.
2. Ordenam-se os conectivos, em ordemdecrescente de prioridade, como segue:↔,→,∨,∧,¬
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Propriedades da Conjunção
1. p · q ⇔ q · p
2. p · (q · r) ⇔ (p · q) · r
3. p · p ⇔ p
4. p · V ⇔ p
5. p · F ⇔ F
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Propriedades da Disjunção
1. p + q ⇔ q + p
2. p + (q + r) ⇔ (p + q) + r
3. p + p ⇔ p
4. p + V ⇔ V
5. p + F ⇔ p
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Propriedades Distributivas
1. p · (q + r) ⇔ p · q + q · r
2. p + (q · r) ⇔ (p + q) · (q + r)
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Absorção
1. p · (p + r) ⇔ p
2. p + (p · r) ⇔ p
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Negação e Regras de De Morgan
1. ¯p ⇔ p
2. p · q ⇔ p + q
3. p + q ⇔ p · q
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Redução do Número deConectivos
Note que:
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)
2. p → q ⇔ ¬p ∨ q
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)
2. p → q ⇔ ¬p ∨ q
3. p ↔ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q) ∨ ¬(p ∨ q)
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∧ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)
2. p → q ⇔ ¬p ∨ q
3. p ↔ q ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q) ∨ ¬(p ∨ q)
Conclusão: Pelo princípio da substituição, todafórmula proposicional é logicamente a umafórmula na qual figuram os conectivos ¬ e ∨,apenas.
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Redução do Número deConectivos
Note que:
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
2. p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
2. p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)
3. p ↔ q ⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(q ∧ ¬p)
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
2. p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)
3. p ↔ q ⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(q ∧ ¬p)
Conclusão: Pelo princípio da substituição, todafórmula proposicional é logicamente a umafórmula na qual figuram os conectivos ¬ e ∧,apenas.
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Redução do Número deConectivos
Note que:
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬p → q
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬p → q
2. p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬p → q
2. p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)
3. p ↔ q ⇔ ¬[(p → q) → ¬(q → p)]
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Redução do Número deConectivos
Note que:
1. p ∨ q ⇔ ¬p → q
2. p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)
3. p ↔ q ⇔ ¬[(p → q) → ¬(q → p)]
Conclusão: Pelo princípio da substituição, todafórmula proposicional é logicamente a umafórmula na qual figuram os conectivos ¬ e →,apenas.
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Formas Normais Conjuntiva eDisjuntiva
DEFINIÇÃO Diz-se que uma fórmula é normalconjuntiva se for uma conjunção de disjunçõesde átomos ou negações de átomos.
DEFINIÇÃO Diz-se que uma fórmula é normaldisjuntiva se for uma disjunção de conjunções deátomos ou negações de átomos.
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Exercícios
Encontre uma forma normal disjuntivaequivalente a:
1. (p → q) ↔ (¬q → ¬p)
2. ¬(¬p ∧ q) → ¬s ∧ q
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Exercícios
Encontre uma forma normal conjuntivaequivalente a:
1. (p → q) ↔ (¬p → q)
2. ¬(¬p ∧ q) → ¬r ∨ q
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