ANT- 2 - 1

Antenas LinealesDipolos– Dipolos Eléctricamente Cortos– Dipolos Rectos.

Antenas de Cuadro.HélicesMétodo de los Momentos.– Ecuación de Hallen– Ecuación Integral de Pocklington.– Ecuación de Shelkunoff– Point-Matching.– Método de los Residuos Promediados.– Método de Galerkin.– Modelado de la Fuente.

Yagis

ANT- 2 - 2

Antenas Lineales

Bajo esta denominación se estudian las antenas construidas con hilos conductores eléctricamente delgados (de diámetro muy pequeño en comparación con λ). En estas condiciones las corrientes fluyen longitudinalmente sobre la superficie del hilo.Para calcular los campos radiados se modelan como una lineade corriente infinitamente delgada coincidente con el eje del conductor real, que soporta en cada punto un valor de corriente idéntico al que transporta la corriente superficial real en el contorno de la sección correspondiente a ese punto.

( )r r rr

A er

I r e dljkr

jkr r

L= ′ ′

−⋅ ′

′∫µπ4

$Potencial Vector Lejano:

ANT- 2 - 3

Dipolos Eléctricamente PequeñosDipolos Ideales

rlA e

rI z

jkr

=−µ

π4 0 $r

lE j kI er

jkr

=−

η θπ

θ0 4sen $

I0

2a

z

x y

( )I z Ia

=<<<<

0

λλl

( )EEMAX

θθ= sen

( )P U d Z Irad = =

∫ θ φ

πλπ

, Ω4 0 0

22

3l D0 3 2=

R PIrad

R= =

2 800

22

2

πλl

Resistencia de Pérdidas

( )( )

RE aH as

z===

=ρρ

ωµσφ 2

z

dR dVI

E dzaH

Ra

dzperdz

a

s= = ==

2 2π πφ ρ

a >> δ

Resistencia de Radiación

=0,1λ Rrad=8Ω

Látigo de 1 m (1 MHz) formado por una varilla de cobre 8 mmRrad=0,0088ΩRperd=0,0103ΩRend ≈ 46%

( )RPI I

Ra

I z dza

Rperdperd S

l S= = =∫2 2 1

2 2 202

02

2

π πl

Rendimiento =+

RR R

rad

perds rad

ANT- 2 - 4

Dipolos Cortos RealesSin Carga Capacitiva (corriente triangular) <0,3λ ⇒ r r

A A∆ Π=12

r rE E∆ Π=

12

( )EE MAX

∆

∆

θθ= sen

P Prad rad∆ Π=14 D D0 0 3 2∆ Π= =

R Rrad rad∆ Π= =

14

20 22

πλl

R Ra

Rperd perd S∆ Π= =13 6

l

π

• Eficiencia menor que en el caso ideal (corriente uniforme).• Rin= Rrad+ Rperd casi 4 veces menor.• Zin= Rin + j Xc , Xc=-1/ ωC >> Rin• Difícil de adaptar. Bandas estrechas.

I0

z

I(z)

e jkr r− ⋅ ′ ≈$r

1

I0

2a

z

x yResistencia de Radiación

Resistencia de Pérdidas

ANT- 2 - 5

Monopolos Cortos RealesCon Carga Capacitiva (corriente uniformizada)

I(z)

L

Antena en L

Imagen

2≈

Modelo de Radiación

Aisladores

Sombrilla Capacitiva

Monopolo con riostras

•La capacidad terminal permite corrientes más uniformes en la zona activa•Se obtinenen valores de Rrad más próximas al dipolo ideal.•Se reduce la reactancia de entrada, facilitando la adaptación.

ANT- 2 - 6

Dipolos RectosPara dipolos como los de la figura de longitud L y alimen-tados en el centro la distribución aproximada de corriente es: I z I sin k L z z L

m( ) = −

<

2 2

L/2• La distribución de corriente se supone como la de la linea de transmisión en circuito abierto aún después de haberla rectificado.

z

I(z)Im

z

I(z)Im

z

I(z)Im

L=λ

z

I(z)

Lθ

I(z)

IIN

I I sin k LIN m=

2 L<λ/2 L=λ/2

ANT- 2 - 7

Dipolos Rectos

2 2

Comparación del modelo de corriente sinusoidal con la del Método de los Momentos

El modelo sinusoidal permite obtener expresiones cerradas para el diagrama de radiación suficientemente exactas y de fácil interpretación. Deja, sin embargo, bastante que desear a la hora de calcular la impedancia de entrada, sobre todo para dipolos antiresonantes (L=2del orden de λ)

ANT- 2 - 8

Dipolos RectosDiagrama de Radiación:

( )r r r

1 244 344

r

A er

I r e dl

er

I k L z e zdz

er

Ik

kL kL

rz

jkrjkr r

C

jkr

mjkz

L

L

jkrm

= ′ ′ =

= −

′ =

=

−

−

−⋅ ′

′

−′

−

−

∫

∫

µπ

µπ

µπ

θ

θθ θθ

θ

4

4 2

42 2 2

2

2

2

$

cos

/

/sen $

cos cos cos

sencos $ sen $

$

r

Potencial:

z

z’

Lθ

rI(z’)

( )rE j A A j e

rI

kL kLjkr

m= − + =

−

−

ω θ φ ηπ

θ

θθθ φ

$ $cos cos cos

sen$

22 2

( ) ( )$ sen cos $ sen sen $ cos $ $ cosr r x y z z z z⋅ ′ = + + ⋅ ′ = ′r

θ φ θ φ θ θ

Eφ = 0 Polarización Lineal

Campo:

ANT- 2 - 9

Dipolos Rectos

E j er

I

kL kLjkr

mθ ηπ

θ

θ=

−

−

22 2

cos cos cos

sen

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eimax( )E

θi

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eimax( )E

θi

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eimax( )E

θi

z z z

BW-3dB=78º BW-3dB=47º

Diagrama de Radiación:

L=λ L=1.5λL=0.5λ

cos cos

cos

πθ

θ2

DiagramaNormalizadode campo:

( )12

+ cos cossen

π θθ

Diagrama Multilobuladocarente de interés

ANT- 2 - 10

Dipolos Rectos

Potencia Radiada ( )P U d E r d

rI

kL kL

r d d

I

kL kL

d

rad

m

m

= = =

=

−

=

=

−

−

∫ ∫

∫∫

∫

==

θ φη

ηπ

θ

θθ θ φ

ηπ

τ

ττ

π π

θ

π

φ

π

,

cos cos cos

sensen

cos cos

Ω Ω4

2 2

4

2 22

2

2

00

2

2

2

20

1

12

82 2

22 2

1

r

τ θ= cos

P I Rrad in rad=12

2 I I k Lin m2 2 2

2=

sen R P

I k Lradrad

m

=

2

22 2sen

Resistencia de Radiación

ANT- 2 - 11

Dipolos RectosResistencia de Entrada ≈ Rrad:

0 0.5 1 1.5 20

500

1000

1500

2000

2500

3000

R in( )L

R rad( )L

L /λ0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

50

100

150

200

250

R in( )L

Ra in( )L

L

Valor Aproximado Rain:

Ra

L L

L L

L L

in ≈

< <

< <

< <

20 04

24 74 2

11142

0 637

2

2 4

4 17

πλ

λ

πλ

λ λ

πλ

λλ

.

. .

.

.

/λ

Rk L

kL kL

din =

−

−∫1

2

2 212

2

20

1

sen

cos cosηπ

τ

ττ

a →0L=λ/2Rrad=73 Ω

ANT- 2 - 12

Dipolos Rectos

Directividad:

( )D

UP

r E

I

kL kL

d

max

rad

max

m

0

22

2

2

20

1

4

4 2

22 2

1

= =

=

−

−∫

πθ φ

π η

ηπ

τ

τ

θ

,

cos cos

0.5 1 1.5 21

2

3

4

5

6

D( )L

L

dB

/λD0(L=λ/2)=1.64 ⇒ 2.16 dB

ANT- 2 - 13

Dipolos Rectos

L/2a

L/λ

L/2a

L/λ

Resonancia

L/2a

L = −

λ2

1100%

Autoimpedancia (ZIN=Re+jXe)

ZIN(λ/2)=73+j42,5 Ω cuando a → 0

( )( )( )

−+−

−

⋅−

−+−=

2

2IN

kL10kL705,1622

kLcot1aLln120j

kL5,27kL10265,122Z

Fórmula de Tai (Validez 2,6<kL<3,4)

a=radio del dipolo

Condición de Resonancia

ANT- 2 - 14

Dipolos RectosCuando es necesario trabajar en bandas muy anchas se utilizan dipolos gruesos construidos con varillas cortocircuitadas. En las fotos se pueden ver monopolos de onda corta utilizados sobre buques.

ANT- 2 - 15

Rotaciones de AntenasLa Rotación conlleva un giro de los vectores de Campo radiado.Las etapas necesarias son:• Se parte de la expresión del potencial en componentes cartesianas.• Los ángulos se definen en el nuevo sistema de coordenadas. Como ejemplo:

rA r

Ik

erd

mjkr

=

−

$cos cos

senµπ

πα

α42 2

2

rA r A xA yA zAd rd x y z= = + +$ $ $ $

( )cos $ $ sen sen cos cos cos

sen cos

α θ θ φ φ θ θ

α α

= ⋅ = − +

= −

r rd d d d

2 21

A AA A

A A

A AA A

x rd d d

y rd d d

z rd d

=

=

=

⇒= ⋅= ⋅

sen cossen sen

cos

$

$

θ φ

θ φ

θ

θφ

θ

φ

r

r

E j AE j A

θ θ

φ φ

ωω

= −= −

Dipolo sobre(θd,φd)

z

r

y

θd

φd

x

α

$rdz

λ/2θ

r

rA z I

ke

rm

jkr

=

−

$cos cos

senµπ

πθ

θ42 2

2

rE j e

rI

jkr

m=

−

ηπ

πθ

θθ

22

cos cos

sen$

ANT- 2 - 16

Rotaciones de Dipolos λ/2Dipolo según x (θd=π/2 ,φd=0) Dipolo según y (θd=π/2 ,φd=π/2)

cos sen cos

sen sen cos

α θ φ

α θ φ

=

= −2 2 21

( )( )

rA xA

A A x A

A A x Axx x

x x

== ⋅ =

= ⋅ = −

$

$ $ cos cos

$ $ senθ

φ

θ θ φ

φ φ

cos sen sen

sen sen sen

α θ φ

α θ φ

=

= −2 2 21

( )( )

rA yA

A A y A

A A y Ayy y

y y

== ⋅ =

= ⋅ =

$

$ $ cos sen

$ $ cosθ

φ

θ θ φ

φ φ

( )rE E E j A A= + = − +θ φ θ φθ φ ω θ φ$ $ $ $ ( )r

E E E j A A= + = − +θ φ θ φθ φ ω θ φ$ $ $ $

E j er

Ijkr

mθ ηπ

πθ φ

θ φθ φ= −

−

−

22

1 2 2

cos sen cos

sen coscos cos E j e

rI

jkr

mθ ηπ

πθ φ

θ φθ φ= −

−

−

22

1 2 2

cos sen sen

sen sencos sen

E j er

Ijkr

mφ ηπ

πθ φ

θ φφ= −

−

−

22

1 2 2

cos sen sen

sen sencosE j e

rI

jkr

mφ ηπ

πθ φ

θ φφ=

−

−

22

1 2 2

cos sen cos

sen cossen

ANT- 2 - 17

Traslaciones de AntenasLa expresión de los campos de una antena trasladada se relacionan con los que crea la misma antena centrada en el origen de coordenadas a través del fasor que tiene en cuenta el adelanto o retraso de fase de la onda radiada según la dirección considerada.

( ) ( )r r r

E E ejkr r1 0

1θ φ θ φ, , $= ⋅ ⋅

Traslación r1

θ r(θ,φ)^ z

y

x

r(θ,φ)^

θr1

_

$r r⋅r

1

z

θr(θ,φ)^

( )rE0 θ φ,

ANT- 2 - 18

dV

rJ

ρ

$z

( )rE zt = =0 0

Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido

dV

rJ

ρ

( )rE zt = =0 0

Teorema de Imágenes en Electrodinámica

dV

rJi

ρ ρi = −

h

><h

ρρ ρi

x y z

i x y z

J J x J y J zJ J x J y J z= −

= + += − − +

r

r$ $ $

$ $ $

Cargas y Corrientes Imágenes

Resultadosválidos sólo para z ≥0

ANT- 2 - 19

Monopolo Vertical sobre Plano de Conductor

><V

I

z

h

2V

I

z

2h

I

D Dmonopolo dipolo= 2Z ZINmonopolo INdipolo=

12

( )( )

D UP

D UP

U U

P U d d P

mm

m

dd

d

m d

m m d

=

=

= ≤ ≤

= =

== ∫∫

4

4

0 2120

2

0

2

π

π

θ π

θ φ θ θ φθ

π

φ

π, sen

Z VI

ZINdipolo INMonopolo= =2 2

ANT- 2 - 20

Ejemplos de Monopolos VerticalesMonopolos de radiodifusión de

Onda Media sobre tierraMonopolo sobre plano conductor

simulado con varillas

Carga Capacitiva

Varillas radiales para reducir pérdidas

ohmicas

Diagrama Típico

ANT- 2 - 21

Dipolos paralelos a un plano conductor

I

z

hz

Ih

Ih><

Si h<<λ el campo radiado es pequeño (Rin muy pequeña).Si h=λ/4 el campo se refuerza en dirección del eje z.Con planos conductores finitos la aproximación no es mala si las dimensiones del plano son superiores a λ (dipolos λ/2). Afecta poco al diagrama frontal, pero aparece algo de radiación posterior a causa de la difracción en el borde del plano. Afecta algo más a Zin.

ANT- 2 - 22

Dipolo Doblado

Construido con dos dipolos paralelos conectados por sus extremos formando una espira alargada y alimentado en el centro de uno de los dipolos.Se analiza superponiendo dos modos de corriente:– Modo de Línea de Transmisión (no produce campo radiado d<<λ)– Modo de Antena.s

L V/2V/2

Ia/2+ +

Ia/2Modo de Línea de Transmisión

Modo de Antena

Z VI

jZ tan k Lt

tC= =

22

V

+

=IIN

V/2V/2

ItIt+

+Zc Z s

asi s aC =

>>120ln

ANT- 2 - 23

Dipolo DobladoImpedancia de Entrada

Para el modo antena la configuración se comporta como un dipolo normal de radio equivalente ae

V/2V/2

Ia/2+ +

Ia/2

V/2+Ia

=

2ae

a s ae = ⋅ a= radio de la varilla del dipolo plegado

I VZ

I VZ

I I Itt

aa

IN ta

=

=

= +

2

2 2Z V

IZ Z

Z Zint a

t a

= =+

42

Z Zin a= ≈ ⋅ =4 4 73 292Ω

Z Z VIa dipolo L a

ae

= =( , )2

s

Cuando el dipolo es resonante,L ≈ λ/2

Ventajas: Aumenta la impedancia de entrada y la anchura de banda, puesto que cuando Zt se hace inductiva (L/2<λ/4) Za es capacitiva y viceversa.

ANT- 2 - 24

Antenas de CuadroDistribuciones de Corriente Aproximadas Espira electricamente pequeña: Espira electricamente grande:

=λ/2

Nulo

Nulo

Máximo

Máximo

Linea Larga en c.c.

<<λAproximación delinea corta en c.c.

•Corriente no uniforme•Diagrama multilobulado poco útil•Rendimiento alto

•Corriente uniforme•Diagrama útil•Rendimiento bajo

ANT- 2 - 25

Antenas de cuadro con corriente uniforme

φ

φ’

r

r’

θ

x y

z

b

( )

( ) ( )

r r r

1 2444 3444

r

A er

I r e dl

er

I x y e bd

jkrjkr r

C

jkrjkb

= ′ ′ =

= − ′ + ′

′

′

−⋅ ′

′

−− ′

−

∫

∫

µπ

µπ

φ φ

φ

φθ φ φπ

4

4 00

2

$

sen cos$ sen $ cos$

( ) ( )( )

$ sen cos $ sen sen $ cos $ cos $ sen $

cos cos

r r x y z b x b y

b

⋅ ′ = + + ⋅ ′ + ′ =

= − ′

rθ φ θ φ θ φ φ

θ φ φ( ) ( )A e

rI b e d

I

e d

I

jkrjkb

x

jkb

y

θθ φ φπ θ φ φπµ

πθ φ φ φ φ φ φ= − ′ ′ + ′ ′

−− ′

−

− ′

−∫ ∫4 0 0

2

0

2cos [cos sen sen cos ]sen cos sen cos

1 24444 34444 1 24444 34444

( ) ( )A er

I b e d

I

e d

I

jkrjkb

x

jkb

y

φθ φ φπ θ φ φπµ

πφ φ φ φ φ φ= − − ′ ′ + ′ ′

−− ′

−

− ′

−∫ ∫4 0 0

2

0

2[ sen sen cos cos ]sen cos sen cos

1 24444 34444 1 24444 34444

( ) ( )A er

I b e djkr

jkbθ

θ φ φπµπ

θ φ φ φ= − ′ ′−

− ′

−∫4 0 0

2cos sen sen cos

( ) ( )A er

I b e djkr

jkbφ

θ φ φπµπ

φ φ φ= − ′ ′−

− ′

−∫4 0 0

2cos sen cos

( )I I′ =φ 0

Potencial:

ANT- 2 - 26

Análisis de las Antenas de Cuadro

( )sen

cos

cos

cos

x e

x e j J B

jB x

m

m

jB x

m

m−

−

∫∫

=

=2

2 1

0

2π

ππ

A θ = 0

( )A j er

I b J kbjkr

φµ

θ=−

2 0 1 sen

Función de Bessel

0 5 10 15 200.5

0

0.5

1

x

J1(x)

xmax 1.841 5.333 8.536 11.702J1(xmax) 0.582 -0.346 0.273 -0.233Ceros 3.833 7.016 10.175 13.324

Pendiente en el origen: 0,5

ANT- 2 - 27

Análisis de Antenas de Cuadro( ) ( )

rE j A A e

rI b J kb

jkr

= − + =−

ω θ φ πηλ

θ φθ φ$ $ sen $

0 1

Polarización LinealEθ = 0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eimax( )E

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eimax( )E

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eimax( )Ez z z

2πb=4λ

Diagrama Multilobuladocarente de interés

2πb=λ2πb=0,1λ

Campo:

( )kb J kb kb<< ≈1 121 sen senθ θ

!Expresión válida para cualquier forma de espira de area A!

rE e

rI A

jkr

=−ηπ

λθ φ2 0 sen $

A b= π 2

Aproximación de cuadro pequeño

ANT- 2 - 28

Cuadro Electricamente PequeñoCuadros Simples

( )EEMAX

θθ= sen

rE e

rI A

jkr

=−ηπ

λθ φ2 0 sen $

( )I z Iab

=<<<<

0

λλ

z

x y

z

bI0

a

A b= π 2

( ) ( )P U d Z I k Arad = =∫ θ φππ

, Ω4

00

2 2 2

12D0 3 2=

Mucho menor que la deldipolo de longitud 2πb

( )R PI

k A Arad

R= = =

2 20 312000

22 2

2

2

λResistencia de Radiación

( )RP

I IR

aI l dl b

aR b

aRperd

perd Sl S S= = = =∫

2 2 12 2

22

02

02

2

πππ

( )( )

RE aH as

z

z

===

=ρρ

ωµσ2

Rendimiento =+

RR R

rad

perds rad

Resistencia de Pérdidas

Valores típicos del orden de 10-4

restringen su uso a aplicaciones de recepción en baja frecuencia

ANT- 2 - 29

Cuadros Pequeños RealesSe obtiene una mayor Rin arrollando n espiras juntas. Para corriente uniforme (n2πb<<λ) vale:

E nI P n I R n Arad rad∝ ∝ =

0

202 2

2

2

31200λ

Se aumenta también la Rin arrollando las espiras sobre un nucleos de ferrita ya que el valor de k aumenta ( ). Utilizando la Ley de Faraday, la tensión en bornas de la antena vale:

R n Arad eff=

31200 2

2

µλ

La permeabilidad efectiva del material depende de la permeabilidad intrínseca y de su geometría. En la figura se relaciona el factor D de demagnetizacióncon la forma del nucleo.

( )µ

µµeff D

=+ −

int

int1 1

La impedancia de entrada de estos cuadros es siempre inductiva: Zin=Rin+jωL

L nb baeff=

−

µ µ0162

175ln .

V ddt

nB dS j nHAS eff= − ⋅ = −∫∫r r

ωµ µ0

k eff= ω µ ε µ0 0

µeff a≈ 10 102 3

ANT- 2 - 30

Cuadro de AlfordEs un cuadro especial de longitud de circunferencia del orden de λ recorrido por una corriente prácticamente constante. Su génesis y distribución de corriente son los de la figura. El rendimiento es próximo a 1, lo que permite utilizarla en transmisión (Rin ≈ 50 Ω).

2∆

I(x)

x

+-

I

L > λ/2

IIin=2I +-

I

l≈ λ/4

∆

ANT- 2 - 31

HélicesLa geometría de la hélice se caracteriza por:– D= Diámetro de la hélice (diámetro del cilindro sobre el que se arrolla)– C= Perímetro del cilindro= πD– S= Paso (Espaciado entre vueltas)= πD tanα– α= Angulo de Inclinación= atan(S/C)– L= Longitud de una vuelta– N= Número de vueltas– A= Longitud Axial= NS– d= Diámetro del conductor de la hélice

Opera en dos modos de radiación:– Modo Normal– Modo Axial

d

D

S

A

C=πD

S

α

L

ANT- 2 - 32

HélicesModo Normal de Radiación

En este modo la hélice es eléctricamente pequeña (NL<<λ) y se caracteriza por:

– La corriente se puede considerar aproximadamente constante en toda la hélice.

– El campo radiado por la hélice es la suma del de:» N cuadros pequeños situados en el plano XY.» N dipolos cortos según z.

– El diagrama (senθ) es así independiente del número de vueltas (N).

– Directividad=1,5– La polarización es elíptica de relación axial:

φθη+θθ

πωµ=

−−ˆsen

r4e

4DIkˆsen

r4eISjNE

jkr22

jkrr

z

x y

D/2

SI

I

Modelo de Radiación de 1 vuelta

AREE

SD

= =θ

φ

λπ2

2 2 Si 2Sλ=π2D2 ⇒ Polarización Circular

ANT- 2 - 33

HélicesModo Axial de Radiación

Este modo de radiación se da para hélices eléctricamente grandes, de dimensiones 3/4<C/λ<4/3 y α ≈ 12º-15º, y se caracteriza por:

– La corriente es una onda progresiva sobre la hélice: I( )=I0exp(-jk )

– Funciona en banda ancha: fsup/finf=1,78– La impedancia de entrada es aproximadamente

real, de valor:

– La polarización nominal es circular del mismo sentido de giro que el arrollamiento.

– Diagrama directivo tipo array endfire de Hansen-Woodyard, con un nivel de lóbulo secundario de -9 dB.

– Directividad:

– Anchura de Haz:

Ω≈λ

≈ 140C140Rin

λ≈

λ

λ≈

A15NSC15D2

I( )grados

A52

AC52BW dB3 λ

≈λλ

≈−

ANT- 2 - 34

Ejemplos de Hélices Reales

ANT- 2 - 35

Alimentación de Dipolos

Transmisoro Receptor

RedAdaptadoraZC

Zin Zant

z

I(z)

z

I(z)

I1 I2I1=I2 I1 I2

I1 ≠ I2

El objetivo es conseguir que la potencia disponible en el transmisor se entregue integra a la antena de forma equilibrada sobre sus dos brazos.Hay dos consideraciones:– La adaptación a la línea de transmisión (Zin=ZC)

– La distribución de la corriente de excitación sobre la antena

Equilibrada No Equilibrada

ANT- 2 - 36

Técnicas de Adaptación

Stubs.– Hasta 3 stubs

Transformadores de λ/4– Simples:– Multiples :Binómial,Chebychef

lineainstub ZZZ =

( )lk

ZZZZ

n2jexp n1n

n1nnN

0nnin

∆=θ

+−

=ρθ−ρ=Γ +

+

=∑

1 2 N ZLZ0

( ) ( )∑=

− θ−−+

−=

N

0n0L

0LNin n2jexp

!n!nN!N

ZZZZ

2

( ) ( )( )mN

mN

0L

0Lin secT

cossecTZZZZ

jNexpθ

θθ+−

θ−=

l

ds

ZLZ0

ΓBinomial:

ΓChebichef:

ANT- 2 - 37

Técnicas de Adaptación

Adaptador en T (T-Match) Adaptador en Γ (Gamma Match)

2a 2a’ s

CCl’/2 l’/2

2a s

C l’/2

2a’

Za2Zt

(1+α):1C

C

Rin Za2Zt

(1+α):1C

Rin

ANT- 2 - 38

Alimentación de DipolosBalunes (Simetrizadores)

– Son dispositivos que transforman una línea balanceada a no balanceada como su nombre indica: “balun” = balanced to unbalanced.

– Permiten alimentar de forma equilibrada estructuras simétricas, como el dipolo, con líneas de transmisión asimétricas, como los cables coaxiales utilizados para transportar la energía desde el transmisor hasta la antena.

– En la figura el dipolo conectado directamente al coaxial no se excita de forma equilibrada a causa de la corriente I3 que circula por el exterior del coaxial hacia tierra.

LíneaCoaxialI1=I2

I3

I1I2

I2-I3 I1

Alimentación no equilibrada

ANT- 2 - 39

BalunesBalun “Sleeve”

o “Bazooka”

λ/4

L

SecciónCoaxial

Cortocircuito

I3=0

I2 I1

I1

I2

h≈λ/4

L

Secciónbifilar

Cortocircuito

Balun Partido

I3=0

I2 I1

Por el exterior del conductor, si existen, las corrientes son iguales y se cancelan

ANT- 2 - 40

Balun utilizado en paneles de dipolos

h=λ/4

a

b

Zc ZIN

Circuito Equivalente

Z jZ khBALUN b= tg

Para h=λ/4 => ZBALUM= ∞

L

LíneaCoaxial

Plano Reflector

Zb

Zc

I3=0a b

Soporte

Aproximación de ZIN aplicando imágenes:I1

I2=-I1

V Z I Z I Z I Z I

Z VI

Z ZIN

1 11 1 12 2 11 1 12 1

1

111 12

= + = −

= = −

Para frecuencias h ≠λ/4, este balum continua simetrizando las corrientes, aunque I3 ≠0

ANT- 2 - 41

Otros tipos de BalunesBalunes de alta impedancia

Balun de elementos concentrados

Balunes tipo transformador

ANT- 2 - 42

Método de los MomentosEn su aplicación a antenas permite obtener la distribución de corrientes sobre la misma y los objetos metálicos que la rodean.Calcula numéricamente la distribución de corriente de una antena mediante la aplicación de la condición de contorno del campo eléctrico sobre la superficie de sus conductores:

– El campo impreso (excitación) es conocido: Ei=-1v/ δ» δ= hueco entre bornes de alimentación

– El campo dispersado se calcula en función de las corrientes utilizando las expresiones exactas de los potenciales, dando lugar a una ecuación integro diferencial del tipo:

iEr

I(s)

1voltio

O

∆s1

∆sN

rr

r′r

+-

s

r r rE E Etangencial erficie conductor tangencial

impresotangencialdispersado

sup= + = 0

( ) ( ) ( )I s K r r ds E stang

itang

′ ′ ′ = −∫r r,

ANT- 2 - 43

Método de los MomentosEvaluación Numérica

Las incógnitas son las corrientes que descritas como una suma de funciones base fi(s) transforma la e.i. en un sistema lineal de ecuaciones donde las incógnitas son las corrientes Ii.

El campo dispersado se conoce en función de las corrientes.

( ) ( )I s I f si ii

′ = ′∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )mimpreso

z mn

n

mimpreso

C mn

nn

zEzdz,zKI

zEzdz,zKzfI

n

−=′′

−=′′′

∫∑∫ ∑

′∆

∆s1

I1I2

∆sN

ANT- 2 - 44

Modelado por HilosCualquier estructura se puede modelar como un volumen delimitado por hilos, donde prioritariamente deban circular las corrientes.La separación entre los hilos es tal que con el grosor de los hilos dado se “recubra” toda la superficie del cuerpo.Ejemplo: “modelado por hilos” de un F4.

ANT- 2 - 45

Método de los MomentosPlanteamiento de la Ecuación

Se plantea la ecuación que cumple las condiciones de contorno sobre los hilos:

( ) 0EEn dentrofuera =−×rr

n

l

dispersadoEr

impresoEr

Zω

dispersadoimpresofuera EEE

rrr+=

sss AjE Φ∇−ω−=rr

( ) ( )∫∫ ′

′−′π

µ=

S ss sd

RjkRexpJ

4A l

rr

( ) ( )∫∫ ′

′−′πε

=ΦS

s sdR

jkRexpsq4IZEdentro ω=

r

r r rE E Etangencial erficie conductor tangencial

impresotangencialdispersado

sup= + = 0

Conductor Perfecto:

ANT- 2 - 46

Simplificación 1: Ecuación de HallenEcuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ) y muy largas (2a<< ).

( )rJ J z zs sz= ′ $

z

ρ

Js Js

σ= ∞

(µ0,ε0)

r’r

izz EE −=

+

∂∂

εωµ= z

22

z2

00z Ak

zA

j1E 0Ak

zA0E z

22

z2

z =+∂

∂⇒=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zksinCzkcosBzAzAzAzJzJ 11zzzzz ′+′=′⇒′−′⇒′−=′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ′′−′ωε−+=′

π−′

−

z

0

iz11

2

2 z zdzzksenzEk

jkzsinCkzcosBzdR4jkRexpzI

l

l

( ) ( )( )∫ ′′−′ωε−=⇒−=

z

0

izz

izz zdzzksenzE

kjEEE

Por simetría respecto z=0 ⇒ C1=0Condiciones de frontera I| z=± 2 =0 ⇒ B1

( ) 22 azzR +′−=

ANT- 2 - 47

Discretización de la Ecuación de HallenModelo de Excitación

( ) ( ) ( )zksin2V

jkkzcosBzd

R4jkRexpzI 1

2

2

N

0m

mm

ωεπ

=−′−′∫ ∑−=

l

l

N2nz l

=

=

′+∑

= N2nksin

j2kV

N2kncosBLI 1

N

0mnmm

ll

ωµ

( )∫−

′−′=2

2

mnm zd

R4jkRexpzL

l

l π

( ) 02IN

0m

mm =∑

=

l

N+1 puntos

ANT- 2 - 48

Discretización de la Ecuación de HallenSistema de Ecuaciones

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )zksin

2V

0zzdzzksenz2V

0zzdzzksenz2V

zdzzksenzE

0

0z

0

iz =

<′′−′

<′′−′=′′−′

∫

∫∫

−

ε

ε

δ

δ

( ) ( ) εεδ ≤′≤−′=′ zz2VzEi

Distribución de Corrientes

( ) ∑=

=N

0m

mm zIzI

ANT- 2 - 49

Simplificación 2: Ecuación Integral de Pocklington

Ecuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ). Situando el hilo sobre el eje z:

z

ρ

Js Js

σ= ∞

(µ0,ε0)

2a

E j Azz z= − −ω

∂Φ∂

Condición de Lorentz:

Expresión del Campo

∂∂

ωµ εAz

jz = − 0 0Φ Ej

Az

k Azz

z= +

1

0 0

2

22

ωµ ε∂∂

Solución para elelemento de corriente superficial:

dA er r

J dSz

jk r r

sz=− ′

− − ′µπ0

4

r r

r rr’r

( ) ( )dEj

r rz

k r r J dSz sz=′

+ ′

1

0

2

22

ωε∂ ψ

∂ψ

r rr r,,

( ) ( )Ej

r rz

k r r J dSzs

szS=

′+ ′

∫∫

1

0

2

22

ωε∂ ψ

∂ψ

r rr r,, '

( )ψπ

r rr r

r r

r r er r

jk r r

, ′ =− ′

− − ′

4

Campo dispersadopor todo el hilo:

( )rJ J z zs sz= ′ $

ANT- 2 - 50

Ecuación Integral de PocklingtonMás explícitamente:

Si a<<λ: 1) Campo nulo sobre el eje z2) Corriente uniforme en φ’

La condición de contorno:– Campo impreso:– Campo dispersado:

( ) ( ) ( )Ej

r rz

k r r J z adz dzs

szL

L

C=

′+ ′

′ ′ ′ ′

−∫∫1

0

2

22

2

2

ωε∂ ψ

∂ψ φ φ

r rr r,, ,

PR

-L/2

L/2

z

a

Js

c

PR

-L/2

L/2

z

a

Js

c

( )R r r z z a= − ′ = − ′ +r r 2 2

( ) ( ) ( )Ej

z zz

k z z I z dzzs

L

L=

′+ ′

′ ′

−∫1

0

2

22

2

2

ωε∂ ψ

∂ψ

,,

E Ezs

zi+ = 0

Ezi

Ezs ( ) ( ) ( ) ( )1

0

2

22

2

2

jz zz

k z z I z dz E zL

L

zi

ωε∂ ψ

∂ψ

,,′

+ ′

′ ′ = −

−∫

P

R

z

a

I

z’

ANT- 2 - 51

Ecuación Integral de 2 Potenciales (EFIE)

( ) 0EEn dentrofuera =−×rr ( ) 0EEˆ

dentrofuera =−⋅rr

l

dispersadoimpresofuera EEE

rrr+=

sss AjE Φ∇−ω−=rr ( ) ( )∫ ′′′

πµ

=C

s dGI4

A lllr

( ) ( )∫ ′′′πε

=ΦC

s dGq4

lll

IZEdentro ω=r

( ) ( )ll

l Iddjq

ω=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′−

′′

ωε+′⋅ωµ−=⋅−ω C

a

ai dR

jkRexpdd

ddI1IˆjEˆIZ l

ll

llllll

a22

ee RararR =−≈−=rr

( ) ( ) ( )a

a

C RjkRexp

dCR

jkRexpa2

1G−

≈−

π= ∫l

nl

dispersadoEr

impresoEr

Zω

2a

rrr ′r

err

ar

rrR ′−=rr

rrR ′−=rr

Aproximaciónde Hilo Fino

ANT- 2 - 52

Ajuste por Puntos (Point Matching)( ) ( ) ( )I z K z z dz E zimpreso′ ′ ′ = −∫ ,

( ) ( )I z I f zn nn

′ ≈ ′∑

( )f zz z

fuerann′ =

′ ∈ ′

10

∆

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

I f z K z z dz E z

I K z z dz E z

I Z VZ K z z dz

V E zsalvoz

n nn

mC

impresom

nn

mz

impresom

nn

mn m

mn mz

mimpreso

malimentacion

n

n

′ ′ ′ = −

′ ′ = −

== ′ ′

= − =

∑∫∑ ∫

∑∫

′

′

,

,

,

∆

∆

∆01

∆z1

I1I2

zm

Punto mediodel segmento m

Función Integral:

Corrientes:

Función Base Tipo Pulso:∆zN

Sistema de Ecuaciones:

a

∆zn’

zm

Solución del Sistema m=n: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Z I V I Z Vmn n m n mn m⋅ = ⇒ = −1

Zmn = Campo Ez producido en zm por un dipolo corto ∆zn’ recorrido por 1 A

ANT- 2 - 53

Método de los Residuos PromediadosR E Etangencial

impresotangencialdispersado= +

r rFunción Residuo:

Función Integral:Se promedia el Residuo mediante las funciones de peso Wm ( ) ( )W z R z dzm =∫ 0Corrientes:Se desarrollan en serie de funciones base ortogonales ( ) ( )I z I f zn n

n

′ ≈ ′∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )W z I f z K z z dz dz W z E z dzm n nCn

C mimpreso

C′ ′ ′

+ =

′∫∑∫ ∫, 0

( )W zz z

fueramm=

∈

10

∆

( )f zz z

fuerann′ =

′ ∈ ′

10

∆

( ) ( )( )

( )I Z V

Z z z K z z dz

Z Z z z dz

V E z dzn

nmn m

n z

mn nz

mimpreso

z

n

m

m

∑∫

∫∫

=

′ = ′ ′

= ′

= −

′, ,

,∆

∆

∆(Vm=0 excepto Vm alimentación=1 V)

Sistema de Ecuaciones:

Con pulsos:Función Base:

Función de Peso:

Zmn = Tensión inducida en el dipolo ∆zm en c.a. cuando se alimenta el dipolo ∆zn’ con 1 A

ANT- 2 - 54

Método de GalerkinEl Método de los Momentos se denomina de Galerkincuando utiliza la misma función como base y peso.Otras funciones utilizadas: Armónicos cosenoidales y polinomios extendidos sobre todo el hilo, triángulos, etc.– Una buena implementación se consigue empleando funciones

triangulares sinusoidales:

Se suele tomar zn+1-zn=zn-zn-1=∆zn para todo n (segmentación regular).

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

F z zk z zk z z

z z z

F z zk z zk z z

z z z

nn

n nn n

nn

n nn n

=−

−≤ <

=−

−≤ <

−

−−

+

++

$sensen

$sensen

1

11

1

11

zn zn+1 zn+2 zn+3zn-1zn-2zn-3

In In+1 In+2In-2 In-1

ANT- 2 - 55

Modelado de la Fuente ImpresaModelo de generador “delta gap”– Una tensión V entre los extremos de las varillas del

dipolo crea un campo impreso confinado en ese hueco:

Modelo del Generador tipo “frill”.– Supone unas corrientes magnéticas equivalentes a

una excitación de un monoplo mediante un coaxial.

Los resultados finales obtenidos son prácticamente iguales

zVEi δ−=r

φδ−=×−= ˆVEnM ir

( )( ) ( )

222

221

2

2

1

1

eje

i

bzRazRz

RjkRexp

RjkRexp

abln2VE

+=+=

−−

−−≈

r

δ

z z

M

a

b

ANT- 2 - 56

Uniones entre hilos

1ª Ley de Kirchov– Método de Chao y Strait

Redistribución de carga– Método de Sayre y Curtis– Imponen condiciones de

continuidad a la derivada de la corriente (la carga)

» Sayre: La densidad de carga lineal sobre los segmentos del nodo es constante.

» Curtis: La densidad superficial de la carga es constante.

– Se imponen nuevas condiciones en la matriz de impedancias.Hilo 2

Hilo 3

Hilo 1I10

I11

I12

I30

I31 I32I33 I34

I20

I21

I22

I23 I2

I3

I1

I1=-I20I2=I20-I30I3=I30I1+ I2 + I3 =0

ANT- 2 - 57

Método de la F.E.M. inducidaPermite obtener las expresiones de Zmn con corrientes triangulares sinusoidales.– Se pueden utilizar las expresiones clásicas de impedancias mutuas

entre dipolos paralelos recorridos por corrientes sinusoidales (vease Elliot pp 325 y ss.)

Campo de un dipolo recorrido por corriente sinusoidal.( ) ( )I z I k l zM= −sen 1

I(z)Para cualquier punto P:

( )

E j I eR

eR

kl er

E j I z l eR

z l eR

kl z er

z m

jkR jkR jkr

m

jkR jkR jkr

= − + −

=−

++

−

− − −

− − −

30 2

30 2

1 2

1 2

1 21

1

1

1

21

cos

cosρ ρ ρ ρ

ANT- 2 - 58

Impedancias Mutuasentre Dipolos Paralelos

2l1 2l2

Ez1

ξ2

ξ1

Posicióndel centro

r

R2

R1

( )( )( )

r y z

R y z l

R y z l

= + +

= + + −

= + + +

22

2

12

2 12

22

2 12

ξ

ξ

ξ

( ) ( ) ( )VI

I E dc a zl

l

22

2 2 1 2 210 2

2

. . =−

−∫ ξ ξ ξ

( )Z V

Ic a

212

1 0= . .

( )Z jkl kl

eR

eR

kl er

k l djkR jkR jkr

l

l

211 2 1 2

1 2 2 230 2

1 2

2

2= + −

−

− − −

−∫sen sencos sen ξ ξ

Tensión en c.a. en 2 (Método fem):

y sustituyendo:

En el programa MOMENTOS se utiliza esta formulación para calcular las autoimpedancias y las impedancias mutuas entre los diversos segmentos de los dipolos.

ANT- 2 - 59

Gráficas de Impedancias Mutuas

z=y

ANT- 2 - 60

Antenas YagiSon antenas construidas con dipolos paralelos , en las que sólo se alimenta uno (“excitador”, activo) de forma directa, haciéndolo los demás (“parásitos”, cortocircuitados) a través del acoplamiento mutuo con el primero.Yagi de 2 elementos.

D. Parásito: - l2>l1 “Reflector”- l2<l1 “Director”

D. Activo “Excitador”

2l2

2l1

( )r r r rE E E I

Ie ET

jkdd= + ≈ +

⋅1 2

2

1

1 cos ,θ θ φ

z

xd cosθ

θ

d

I1

I2

ANT- 2 - 61

Yagi de 2 elementosV Z I Z I

Z I Z I1 11 1 12 2

21 1 22 20= += +

II

ZZ

2

1

12

22

= −Variación rápida con l2/λ

Z VI

Z ZZIN = = −1

111

122

22

d=0,12λd=0,16λ

“Director”Cancela

el CampoPosterioral activo

Cancelael CampoPosterior

al reflector

Variación lenta con l2/λ “Reflector”

ANT- 2 - 62

Yagi de 2 elementosDiagramas Plano H

Plano XZ: Ed(θ,φ=0)=cte; F(θ,φ=0)=|1+I2/I1 exp(jkdcosθ)|

z

Director

Directividad=7,4 dB

Reflector -z

Directividad=7 dB

zPlano E (Plano YZ): Estos diagramas deben multiplicarse por el diagrama propio del dipolo λ/2

ANT- 2 - 63

Otras configuraciones de Yagis Yagi de doble reflector

R

R

A D D D

Como elemento activo es frecuente utilizar un dipolo doblado para aumentar la impedancia de entrada y el ancho de banda

ANT- 2 - 64

Otras configuraciones de Yagis

Yagi con reflector diédrico

A D D D

3λ/4 a λ

Varillas de l ≈ λ

ANT- 2 - 65

Otras configuraciones de Yagis

Yagi de cuernos

Estos elementos de cuernos aumentan el ancho de banda

ANT- 2 - 66

Ejemplos de Diseño2a/λ=

D= D0=2,16+D dBi

ANT- 2 - 67

Ejemplos de Diseño

ANT- 2 - 68

Ejemplo de Diseño- Yagi de 27 Elementos

La corriente se mantiene constante sobre los directores porque los excita la propia onda “endfire” radiada.

D0 ≈ 22 dB