IV PREDAVANJE

ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE

Vektorska funkcija jedne realne promenljive

Definicija. Neka je D R. Preslikavanje ~r : D 7 R3, koje svakom elementuskupa D dodeljuje samo jedan element skupa R3 zove se vektorska funkcija jednerealne promenljive.

Svakoj tacki M(x, y, z) R3 odgovara jedinstveni vektor polozajaOM :

~r =OM = x~ + y~ + z~k

gde su ~,~,~k jedinicni vektori na x, y i z-osi. Odavde sledi da vektorsku funkcijumozemo predstaviti u obliku

~r(t) = x(t)~ + y(t)~ + z(t)~k, t D,

gde su x, y, z realne funkcije promenljive t definisane na skupu D.Skup L = {(x(t), y(t), z(t))|t D} zove se hodograf vektorske funkcije ~r.

PRIMER: Vektorska funkcija

~r(t) = 2t3~ + t2~ + (t + 1)~k

za t = 1 odredjuje vektor ~r(1) = 2~ + ~ + 2~k, koji odgovara tacki M(2, 1, 2), a za

t = 0 odredjuje vektor ~r(0) = ~k, tj. tacku N(0, 0, 1).

Granicna vrednost i neprekidnost vektorske funkcije

Ako realne funkcije x(t), y(t) i z(t) imaju granicne vrednosti u tacki t0 D, tadase granicna vrednost vektorske funkcije definise kao

limtt0

~r(t) = limtt0

x(t)~ + limtt0

y(t)~ + limtt0

z(t)~k.

Vektorska funkcija ~r je neprekidna u tacki t0 D ako vazi

limtt0

~r(t) = ~r(t0)

Izvod vektorske funkcije

Prvi izvod vektorske funkcije ~r u tacki t0 D definise se kao granicna vrednost(ukoliko postoji)

~r(t0) = limt0

~r(t0 + t) ~r(t0)

t1

2Ako su funkcije x, y, z diferencijabilne u tacki t0 D, tada je i funkcija ~r(t) =

x(t)~ + y(t)~ + z(t)~k diferencijabilna u t0 i vazi

~r(t0) = x(t0)~ + y

(t0)~ + z(t0)~k.

Ako su ~u i ~v diferencijabilne vektorske funkcije i = const., tada vaze osobine:

1) (~u + ~v) = (~u) + (~v),2) (~u) = (~u),3) (~u ~v) = (~u)~v + ~u(~v) (izvod skalarnog proizvoda),4) (~u ~v) = (~u) ~v + ~u (~v) (izvod vektorskog proizvoda).

Neka je L hodograf vektorske funkcije ~r. Tada izvod ~r(t0) geometrijski pred-stavlja tangentni vektor krive L u tacki t0 (videti sliku).

Integral vektorske funkcije

Neka je vektorska funkcija ~r definisana na intervalu [a, b] i neka su funkcije x, y, zintegrabilne na [a, b]. Tada se odredjeni integral vektorske funkcije definise kao

b

a

~r(t)dt =

(b

a

x(t)dt

)~ +

(b

a

y(t)dt

)~ +

(b

a

z(t)dt

)~k

Vektorska funkcija ~R(t) zove se primitivna funkcija funkcije ~r na intervalu(a, b) ako vazi

~R(t) = ~r(t), t (a, b).

Tada za odredjeni vektorski integral vazi Njutn-Lajbnicova formula:

b

a

~r(t)dt = ~R(t)|ba

= ~R(b) ~R(a)

PRIMER. Izracunati

pi

0

~r1(t) ~r2(t)dt, ako je ~r1(t) = sin t~ cos t~ + t~k i

~r2(t) = cos t~ + sin t~ + ~k.

3KRIVE U PROSTORU

Kriva u prostoru moze biti zadata na vise nacina: parametarskim jednacinama,prirodnim jednacinama (po luku) i kao presek dveju povrsi u prostoru.

Neka su funkcijex = x(t), y = y(t), z = z(t) (1)

definisane i neprekidne na intervalu [a, b]. Tada vektorska funkcija ~r(t) = x(t)~ +

y(t)~ + z(t)~k definise skup tacaka

L = {(x(t), y(t), z(t))|t [a, b]}

u prostoru R3, koji se zove kriva ili luk u prostoru R3. U tom slucaju kazemo daje kriva L zadata u parametarskom obliku jednacinama (1).

Kriva L zove se glatka ako su prvi izvodi funkcija x, y, z neprekidni na [a, b] ivazi ~r(t) 6= 0, t [a, b].

Neka je tacka A pocetna tacka luka L koja se dobija za t = a, a tacka Bkrajnja tacka luka L koja se dobija za t = b. Ako je A = B, kazemo da je krivazatvorena.

Uvodjenjem pojma pocetne i krajnje tacke, definise se orijentacija krive, odnosnosmer kretanja tacke po krivoj.

U mnogim problemima znacajno je odrediti orijentaciju krive. Kaze se da jekriva pozitivno orijentisana ako je kretanje po krivoj suprotno kretanju kazaljkena satu.

Duzina luka krive

Neka je kriva L, zadata parametarskim jednacinama (1), glatka (ili po delovimaglatka). Deo duzine luka krive izmedju tacaka A i B oznacimo sa s. Tada je

s |~r| = |~r(t + t) ~r(t)|

=

(x(t + t) x(t))2 + (y(t + t) y(t))2 + (z(t + t) z(t))2

=

(x(t + t) x(t)

t

)2+

(y(t + t) y(t)

t

)2+

(z(t + t) z(t)

t

)2t.

Odavde u granicnom procesu kad t 0, dobijamo diferencijal duzine luka krive,tj. element luka krive:

ds = |~r|dt =

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 dt

4Na osnovu ovoga sledi da se duzina s luka krive L izracunava formulom

s =

b

a

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2dt

PRIMER: Izracunati duzinu luka krive

a) ~r = {t, t2, 2t3/3} od tacke t = 0 do t = t;b) L = {(a cos t, a sin t, a

2t2)|t 0} izmedju ravni z = 0 i z = a/2 (a > 0);

c) x2 = 3y, 2xy = 9z od tacke (0,0,0) do tacke (3,3,2).

PRIRODNI TRIJEDAR

Kriva u prostoru moze biti zadata vektorskom jednacinom

~r = ~r(s),

gde je s luk krive. Ova jednacina zove se prirodna jednacina krive u prostoru.Uvedimo oznake za izvode po luku i po parametru:

d~r

ds= ~r,

d2~r

ds2= ~r,

d3~r

ds3=

...~r

d~r

dt= ~r,

d2~r

dt2= ~r,

d3~r

dt3= ~r,

Tada je njihova medjusobna veza

~r = ~r dt

ds,

~r = ~r(

dt

ds

)2+ ~r

d2t

ds2

...~r = ~r

(dt

ds

)3+ 3~r

d2t

ds2dt

ds+ ~r

d3t

ds3.

Vektori

~T =d~r

dt, ~B =

d~r

dt

d2~r

dt2, ~N =

(d~r

dt

d2~r

dt2

)

d~r

dt

zovu se redom ~T tangentni vektor, ~B vektor binormale i ~N vektorglavne normale.

Kako je |~r| |s| (videti sliku), sledi da je

~dr

ds= ~r = ~t

|~t| = 1, tj. ~t predstavlja jedinicni vektor tangentnog vektora ~T .

Neka je ~n jedinicni vektor vektora ~N . Tada se moze pokazati da jedinicni vektor

~b = ~t ~n

5predstavlja jedinicni vektor binormale ~B. Vektori ~b,~t i ~n obrazuju pravougli tri-jedar desne orijentacije.

Trijedar vektora ~t, ~n,~b sa pocetkom u tacki M krive ~r zove se prirodni trijedar.Osnovne ravni prirodnog trijedra su

Oskulatorna ravan, definisana vektorima (~t, ~n); Normalna ravan, normalna na vektor ~t; Rektifikaciona ravan, normalna na prethodne dve ravni.

Vektor

~K = ~t = ~r =d2~r

ds2

u nekoj tacki M zove se vektor krivine krive u tacki M . Geometrijski, vektor~K = ~r predstavlja vektor normale na krivu u tacki M .

Skalarna velicina

K = | ~K| = |~r| ili K =| ~B|

|~T |3,

zove se fleksija ili prva krivina krive u M a njena reciprocna vrednost

R =1

K

je poluprecnik fleksije ili poluprecnik prve krivine krive u tacki M .Velicina

=~B ~r

| ~B|2

zove se torzija ili druga krivina.Velicina

=1

| |,

zove se poluprecnik torzije ili poluprecnik druge krivine.

Ako kriva lezi cela u ravni tada je vektor ~b = const, sto znaci da je torzija = 0pa se ravan u kojoj kriva lezi poklapa sa oskulatornom ravni. Ako je kriva prostornatada vektor torzije menja vrednost u razlicitim tackama krive.

PRIMER. Naci krivinu i torziju krive ~r = {3t, 3t2, 2t3} u proizvoljnoj tacki.