Martina Serafini Martina Prandi

Teoria della probabilità

Sia x un insieme di misure (su scala ad intervalli)su 160 studenti riguardo il livello di ansia prima di un esame.

X= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Frequenze

f

Proporzioni

P

Freq. Perc.

f %

Freq. Cum.

f c

F. C. Perc.

f c %

1 0 0 0% 0 0%

2 7 0.04 4% 7 4%

3 8 0.05 5% 15 9%

4 13 0.08 8% 28 17%

5 17 0.11 11% 45 28%

6 23 0.14 14% 68 42%

7 37 0.23 23% 105 65%

8 33 0.21 21% 138 86%

9 13 0.08 8% 151 94%

10 9 0.06 6% 160 100%

Totale 160 1 100%

Esercizio1:completare la tabella delle frequenze

MODA: All’interno di un insieme di misurazioni di un dato sistema relazionale empirico è quel valore che compare con la massima frequenza

Md = 7 … è UNIMODALEMEDIANA: All’interno di un insieme di misurazioni disposte in ordine crescente è quel valore che occupa la posizione centrale ovvero il dato al di sopra e al di sotto del quale si trovano il 50% dei dati. Se il numero n delle osservazioni è pari: i = n/2 e la successiva all’interno dei dati

i = 160/2 = 80 e la posizione successiva, ossia 81 Mdn (X) = Mdn(0;2x7;3x8;4x13;5x17;6x23;7x37;8x33;9x13;10x9) = 6

Calcolare le statistiche significanti su tale scala

Indici della tendenza centrale

MEDIA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sommando tutti gli n dati e dividendo il valore ottenuto per n.

Media = 6.5

QUARTILI: - primo quartile (Q1),è quel valore che ha il 25% dei dati a lui uguali o inferiori: i = ¼ (n+1) i = ¼ (160+1) = 40.25 Q1 =4

- secondo quartile (Q2), coincide con la mediana: i = ½ (n +1)

i = ½ (160+1) =80.5 Q2 = 6

- terzo quartile (Q3),è quel valore che ha il 75% dei dati a lui inferiori: i = ¾ (n+1)

i = ¾ (160+1) = 120.75 Q3 =7

- quarto quartile (Q4) è il valore più alto della serie ordinata: i = n

i = 160 Q4 = 10

PERCENTILI (Pm): quel valore al di sotto del quale cade una percentuale di dati pari ad m: i = (n∙m)/100

i = (160∙22)/100 = 35.2 posizione 35 → 4 i = (160∙57)/100 = 91.2 posizione 91 → 6

:

Indici di posizione

DIFFERENZA INTERQUARTILICA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore del primo quartile al terzo quartile.

DI = 7-4 = 3

SEMIDIFFERENZA INTERQUARTILICA: si ottiene dividendo a metà la differenza interquartilica. SI = 3/2 = 1.5VARIANZA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sommando il quadrato di tutte le differenze di ogni dato dalla media di X e dividendo il risultato per n. s² = ∑ⁿ

¡=1 (xi –media)² n

GAMMA: è statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore minimo al valore massimo degli elementi di X.

G = 10-1 = 9

Indici di dispersione o di variabilità

s² = 640/160=4

CLASSI DI EQUIVALENZA: :Valore che indica il numero di classi di equivalenza

riscontrate a livello del sistema relazionale empirico. NdE = 10

Esercizio 2: Trasformare i valori di x in punti z

PUNTI z: è la funzione che associa ad ogni elemento dell’insieme X un numero che si ottiene calcolando la sua differenza dalla media di X e dividendo tale differenza per la deviazione standard.

z = xi – media s

DEVIAZIONE STANDARD: equivale alla radice quadrata della varianza

s = √s² = √4 =2

Xi media ( xi – media) f·(Xi-media)²z= ( xi – media)

s

1 0 0 0 0

2 6.5 - 4.5 141.75 -2.25

3 6.5 -3.5 98 -1.75

4 6.5 - 2.5 81.25 -1.25

5 6.5 -1.5 38.25 -0.75

6 6.5 -0.5 5.75 -0.25

7 6.5 0.5 9.25 0.25

8 6.5 1.5 74.25 0.75

9 6.5 2.5 81.25 1.25

10 6.5 15.9 110.25 1.75

totale 640

Esercizio 3: Descrivere lo spazio di probabilità derivante dall’estrazione a caso di uno studente rispetto ad un punteggio del test, considerando che ciascuno di essi ha la stessa probabilità di essere estratto degli altri.

Considerando che lo spazio di probabilità è costituito da:

1. Uno Spazio Campionario Ω (insieme degli esiti di un dato fenomeno casuale)

2. Una Famiglia di Eventi ε (insieme di sottoinsiemi di Ω, chiuso a tutte le operazioni) la quale coincide con l’insieme potenza P(Ω*) = ε

3. Una Distribuzione di probabilità Pr (definita su ε a valori reali, nn, norm., add.)

Abbiamo che:

1. Ω = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

2. ε = P(Ω*) = Ø,1, 2,…,1,2,2,3,…, 1,2,3,… Gli esiti dello spazio campionario sono equiprobabili, ovvero l’esito di un dato esperimento ha la stessa probabilità di verificarsi degli altri. La probabilità di accadere di un certo evento è uguale alla cardinalità dell’insieme che esprime tale evento diviso la cardinalità dello spazio campionario:

per ogni e Є ε Pr(e) = |e| / | Ω|

Pr( 1 ) = 0/160=0 Pr( 2 ) = 7/160=0.04 Pr( 1,2 ) = 0/160+7/160 = 0.04 Pr( 1,2,3 ) =0/160+7/160+8/160=0.09 Pr( 2,3,4,5 )=7/160+8/160+13/160+17/160=0.28

ε

1

2

3

4

5

6

7

…

Ø

0

0.05

0.23

Pr R

3. Distribuzione di probabilità Pr( 1 ) = 0/160=0 Pr( 2 ) = 7/160=0.04

0.04

0.1

0.14

0.08

Pr( 1,2 ) = 0/160+7/160 = 0.04Pr( 1,2,3 ) =0/160+7/160+8/160=0.09 Pr( 2,3,4,5 )=7/160+8/160+13/160+17/160=0.28

εPr R

1,2

1,2,3

2,3,4,50.04

0,09

…

0.28

Esercizio 4: Si considerino i tre eventi

A= ω : in ω ha il punteggio del test inferiore a 4 B= ω : in ω ha il punteggio del test inferiore a 3 o superiore a 7 C= ω : in ω ha il punteggio del test dispari

Calcolare le singole probabilità degli eventi

Pr (A) = 15/160

Pr (B) = 7/160 + 33/160 + 13/160+ 9/160=62/160

Pr (C) = 8/160 + 17/160 + 37/160 +13/160=75/160

Verifichiamo se sono a due a due indipendenti:

Due eventi A e B sono INDIPENDENTI se: Pr (A∩B) = Pr (A) Pr (B)

Pr( A ∩ B) = Pr(2)= 7/160 Pr(A)Pr(B)=15/160 ∙ 62/160=93/2560 93/2560 ≠ 7/160 Pr( A ∩ C) = Pr(3)= 8/160 Pr(A)Pr(C)=15/160 ∙ 75/160=45/1024 8/160 ≠ 45/1024

Pr( B ∩ C) = Pr(9)= 13/160 Pr(B)Pr(C)=62/160 ∙ 75/160=465/2560 13/160 ≠ 465/2560

SONO TRA LORO DIPENDENTI

Ω

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

R

esercizio 5: rappresentare una variabile casuale

VARIABILE CASUALE: dati uno spazio di probabilità ( Ω,ε,Pr ) e uno spazio di probabilità euclideo ( R,B,Pr), si chiama Variabile Casuale una qualsiasi funzione V con dominio Ω e codominio R tale per cui:

esercizio 6: ideare una variabile casuale

V2 associa a 5 i numeri primi e a 9 i multipli

R

9

5

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

V

esercizio 7: descrivere la distribuzione di probabilità delle variabili casuali

Pr([1]) = 0/160+7/160=0.04

Pr ([2]) = 8/160+13/160=0.13

Pr ([3]) =0.24

Pr ([4]) = 0.43

Pr ([5]) = 0.13

Pr ([1,5]) = 1

Pr ([6]) = 0

N.B. : le parentesi quadre indicano gli intervalli

1

0.43

0.24

0.13

0.04

0 R

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[1,5]

Prv

V2

Pr([9]) =0.57

Pr([5]) = 0.43

0.57

0.43

[9]

[5]

RB

Prv

1

0.84

0.41

0.17

0.04

0

1 2 3 4 5

esercizio 8: rappresentare: DISTRIBUZIONE CUMULATIVA:è quella funzione che soddisfa le seguenti condizioni:1.MONOTONA NON DECRESCENTE2.CONTINUA DA DESTRA

3.CONVERGENTE A 0 VERSO -∞ E A 1 VERSO +∞

esercizio 8: rappresentare: FUNZIONE DI MASSA: è quella funzione che è positiva solo su un numero finito di punti (punti di Massa) e la somma delle sue probabilità vale 1.

0.43

0.24

0.13

0.04

0

1 2 3 4 5

DISTRIBUZIONE CUMULATIVA FUNZIONE DI MASSA di V2

1

0.43

0

5 9

0.57

0.43

0

5 9