many body approach
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8/17/2019 Many Body Approach
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Springer Series in Solid-State Sciences 181
Friedhelm Bechstedt
Many-Body
Approachto Electronic
ExcitationsConcepts and Applications
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Springer Series in Solid-State Sciences
Volume 181
Series editors
Manuel Cardona, Stuttgart, Germany
Klaus von Klitzing, Stuttgart, Germany
Roberto Merlin, Ann Arbor, Michigan, USA
Hans-Joachim Queisser, Stuttgart, Germany
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The Springer Series in Solid-State Sciences consists of fundamental scientific
books prepared by leading researchers in the field. They strive to communicate, in
a systematic and comprehensive way, the basic principles as well as new
developments in theoretical and experimental solid-state physics.
More information about this series at http://www.springer.com/series/682
http://www.springer.com/series/682http://www.springer.com/series/682
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Friedhelm Bechstedt
Many-Body Approachto Electronic Excitations
Concepts and Applications
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Friedhelm BechstedtDepartment of Physics and AstronomyFriedrich-Schiller UniversityJenaGermany
ISSN 0171-1873 ISSN 2197-4179 (electronic)
ISBN 978-3-662-44592-1 ISBN 978-3-662-44593-8 (eBook)DOI 10.1007/978-3-662-44593-8
Library of Congress Control Number: 2014947656
Springer Heidelberg New York Dordrecht London
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations,recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission orinformation storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar
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To Andreas, Susanne and Uta
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Preface
In recent decades, the modern rst-principles theory of real materials and its
practical implementation in computer codes has made enormous progress. It is
illustrated by rapid advances in basic theory, computational methods, and appli-
cations. The electronic structure theory has advanced to the point where not only an
accurate description of properties of condensed matter such as solids, nanosystems,
and molecules is possible but bold predictions of yet unmade materials and of
unsuspected physical properties are being made.
A subdiscipline of the electronic structure eld is the investigation of excited
states of matter to learn more about materials properties or to nd novel physicaleffects, sometimes called ‘theoretical spectroscopy’. It combines quantum-
mechanics-based many-body theories and computer simulations to understand the
interaction of radiation and matter. The understanding of both the interaction of
matter and radiation – visible or ultraviolet light, X-rays, and electron beams – and
our capability to analyze and predict the materials reaction enhances our ability to
design new materials, improve devices, and understand our environment. Beyond
the interpretation of results of experimental spectroscopies from an atomistic
quantum-mechanical point of view, the theoretical spectroscopy has reached pre-
dictive power for properties of complex materials critical to the development of newtechnologies. It includes to predict atomic arrangements to design materials with a
desired spectroscopic property.
The literature, including the number of good books, on the modern electronic
structure theory can hardly be overlooked today. By contrast, the rapidly devel-
oping eld of electronic excitations of matter has been documented only in very few
books, mainly as an appendix to the conventional electronic structure theory with a
stronger focus to ground state properties and a reduced relationship to the theory
and calculation of spectral properties, which can be directly compared with mea-
surements. The theoretical spectroscopy is based on the many-body perturbation
theory (MBPT) developed by Kadanoff, Baym, Hedin, Lundqvist, and many other
colleagues already in the 1960s of the last century. However, the rst numerical
simulation of single-particle excitations by Hybertsen and Louie became possible in
the mid-1980s after the implementation of the density functional theory, developed
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originally for the ground states. Based on these ‘ab initio’ (called in physics but not
in chemistry) methods the rst simulation of electron-hole pair excitations and the
computation of optical spectra from rst principles have been demonstrated 1998
by Reining, Del Sole and others. Meanwhile, the solution of Dyson and Bethe-
Salpeter equations has been developed to standard methods which supplement many available electronic structure codes. However, there is an increasing opening
of a gap between the knowledge of the theoretical basics and the frequent use of
such codes to study real problems.
The purpose of this book is therefore to provide a unied exposition of the many-
body theory and methods of electronic structure calculations, together with
instructive examples for computational methods and actual applications or com-
parisons with measured data. The theoretical and numerical methods are developed
toward the calculation of charged and neutral electronic excitations as well as
complete electron or optical spectra. The presentation is focused on the many-bodyperturbation theory based on Green functions. Other approaches to electronic
excitations as the time-dependent density functional theory, the dynamical mean-
eld theory or the quantum Monte Carlo method are only mentioned for the benet
to follow a clear ‘red line’ from the basic theory to numerical calculation of spectra.
The author apologizes for this and other subjective decisions, for instance the
selection of examples. The aim of the book is to serve graduate students as well as
researchers in the eld. Consequently, it not only provides a text for courses on
electronic structure or to serve as supplementary material for courses on condensed
matter physics, quantum chemistry and materials science but an advanced text for Ph.D. students and scientists working in the eld of theoretical spectroscopy. Even
the second half of each part of the book, in particular the nal results and the
application of the theory to real problems, should be interesting for experimentalists.
The book is also intended to improve communication between the two communities
in physics and chemistry, despite the fact that the theoretical methods mainly
originate from the physics of the inhomogeneous electron gas. All readers are
encouraged to provide feedback to the author suggesting updates, corrections,
additions, etc.
The text is divided into four parts. Part I describes condensed matter in terms of themany-body quantum mechanics and quantum eld theory. Special care is taken to
characterize not only the motion of the electrons in the eld of nuclei but also the
electron-electron interaction. Besides the (longitudinal) Coulomb interaction of the
electrons also their (transverse) interaction via the entire electromagnetic eld gen-
erated by the moving electrons and their spins are described. The terms exchange and
correlation are introduced. Electron exchange is described within the Hartree-Fock
theory. The description of electronic excitations asks for starting electronic structures.
Therefore, Part II is devoted to the density functional theory, in particular to the use
of the Kohn-Sham ansatz and to widely used exchange-correlation functionals.
Generalizations to spatially non-local functionals and the inclusion of dispersion
forces are also presented. This part does not compete with specialized books about
density functional theory. Rather, it only serves to illustrate how starting atomic
geometries and electronic structures can be made available on a rst-principles basis
viii Preface
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for the subsequent studies of electronic excitations. The concept of thermodynamic
Green functions within the framework of the grand canonical statistics is applied in
Part III. It addresses the derivation of the set of fundamental equations of the many-
body theory based on Matsubara Green functions. The quasiparticle concept is
introduced. The understanding and the explicit use of the developed scheme aremainly illustrated in the framework of the Hedin GW approximation. The success
of the approach is demonstrated for all kinds of condensed matter including a com-
parison with experimental data as, e.g., obtained by means of photoemission spec-
troscopy. The not fully understood problem of satellite structures to single-particle
excitations is discussed in the last chapter. Part IV describes electron-hole-pair and
collective excitations. The Bethe-Salpeter equations for the polarization and density
correlation functions based on the two-particle Green function are derived. For the
description of optical spectra the influence of the spin structure and the inclusion of
local-eld effects are discussed. The Bethe-Salpeter equation for the macroscopicpolarization function is solved within the GW approximation. The relationship to
excitons of different kinds and consequences for optical spectroscopies are illustrated.
As a culmination of the present-day treatment, it is clearly demonstrated that an
optical or energy-loss spectrum can be only computed in agreement with experiment
if excitonic and quasiparticle effects are included. Finally, the inclusion of dynamical
effects and free carriers and their consequences are described.
Jena, July 2014 Friedhelm Bechstedt
Preface ix
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Acknowledgments
Many people and several institutions have played an important role in shaping the
author and his work related to electronic excitations and their many-body treatment.
For the rst time, in the beginning of the 1970s of the last century at the Humboldt
University in Berlin H. Stolz made the many-body theory of electron gases acces-
sible to me. Later in 1976–1982, during my postdoc time, R. Enderlein (Humboldt
University Berlin) and V.L. Bonch-Bruevich (Moscow State University) stimulated
my interest in this eld and the preparation of my habilitation thesis ‘On the theory of
core electron excitations in semiconductors’. Already in 1986 R. Del Sole
(University II Rome) suggested to start joint work directed to the application of theGW approximation to calculate the electronic structure of solids. This was the begin
of a fruitful collaboration for decades. It converged in a rst institutional network
EPSI (Electronic Properties of Semiconductors and Insulators) of eight European
groups. In addition, to R. Del Sole also the groups of C.-O. Almbladh/U. von Barth
(University Lund), R. Godby (University of Cambridge and York), L. Hedin/
O. Gunnarson (MPI Solid-State Physics Stuttgart), and L. Reining (Ecole
Polytechnique Palaiseau) took part. Three years later the network blew up to
EXCAM (Electronic Exchange and Correlation in Advanced Materials) with a
further group, that of A. Rubio (University Valladolid and San Sebastian).In the year 2000 there was a continuation with another network NANOPHASE
(Nanoscale Photon Absorption and Spectroscopy with Electrons) and a new
member M. Schef er (FHI MPG Berlin). Five years later a further extension
resulted in the Network of Excellence NANOQUANTA (Nanoscale Quantum
Simulation for Nanostructures and Advanced Materials) with the additional groups
of E.K.U. Gross (Free University Berlin and MPG Halle), X. Gonze (University
Louvain), and G. Onida (University of Milan). All these activities culminated 2009
in the foundation of ETSF (European Theoretical Spectroscopy Facility) consisting
currently of 17 European and US groups, among them G. Kresse (University of
Vienna), C. Draxl (Humboldt University Berlin) and J. Rehr (University of
Washington). The scientic discussions and collaborations within these networks
were not only a great pleasure and benet but also sharpened our scientic topics at
the University of Jena toward the ab initio many-body description of electronic
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excitations in electron and optical spectra of condensed matter including surfaces,
nanostructures and molecules. Moreover, former students and postdocs O. Pulci
(Rome), A. Schleife (Urbana-Champaign) and W.G. Schmidt (Paderborn) grew up
in the network communities and now run their own research groups. My personal
scientic background concerning the electronic structure methods, the many-bodyGreen function theory and their applications has been deepened during longer
research stays at the Stanford University (W.A. Harrison), Fritz-Haber Institute
Berlin (M. Schef er), University II Rome (R. Del Sole), University of California
San Diego (L.J. Sham), Ecole Polytechnique Palaiseau (L. Reining), and University
of California Santa Barbara (C.G. Van de Walle). In addition to the European
Community, for all these activities funding from the Deutsche Forschungsgeme-
inschaft, the Volkswagen Foundation, the German Academic Exchange Service
(DAAD), the Carl-Zeiss Foundation, and the Austrian Fonds zur Förderung der
wissenschaftlichen Forschung (FFW) has to be acknowledged.The book is based on lectures on ‘Density Functional Theory’, ‘Elementary
Excitations in Solids’, ‘Green Function Theory’, ‘Exchange and Correlation’,
‘Many-Body Theory’, etc., given in the last twenty years at the Friedrich-Schiller-
Universit ä t Jena for Diploma and Ph.D. students as well as postdocs. The actual
writing of the book has been inuenced by many discussions with colleagues
around the world. Several of them who provided gures are specically acknowl-
edged in the text. I would also like to thank colleagues for a critical reading of parts of
the manuscript: G. Cappellini, J. Furthmüller, D. Ködderitsch, L. Kühl-Teles,
M. Marsili, J. Paier, C. Rödl, M. Rohlng, A. Schleife, and W.G. Schmidt. Thetyping of the LaTeX manuscript was achieved with competence and innite patience
by my secretary Sylvia Hennig. This also holds for the preparation or modication of
many of the gures.
xii Acknowledgments
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Contents
Part I Electron-Electron Interaction
1 Born-Oppenheimer Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Solids and Molecules as Many-Body Systems . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Decoupling of Electron and Nucleus Motion . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Atomic Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Core and Valence Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Hamiltonian of Interacting Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Quasi-relativistic Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Electromagnetic Field Due to Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Relativistic and Non-relativistic Contributions. . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Explicit Treatment of Relativistic Corrections . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Scalar-Relativistic Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Spin-Orbit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Breit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Transverse Interaction in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Exchange and Correlation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Field-Theoretical Description of Electrons . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Field Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Second Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Many-Electron States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Hilbert and Fock Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Many-Body Schr ödinger Equation. . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Other Operators in Second Quantization . . . . . . . . . . 36
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3.3 Density Matrices and Pair Correlation Function . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Sum Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Pair Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4 Exchange-Correlation Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Relation Between Correlation and Screening . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 Van Hove Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 Dynamic Structure Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Spin Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Spin Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 Spin-Resolved Pair Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Hartree-Fock Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1 Exchange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Beyond Hartree Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Exchange Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Hartree-Fock Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Representation of Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Total Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.3 Ground State: Hartree-Fock Equations . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Koopmans Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.1 HF Total Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.2 Single-Particle and Neutral Pair Excitations . . . . . . . . 58
4.3.3 Physical Meaning of Lagrange Multipliers ekms . . . . . . 59
4.4 Homogeneous Electron Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.1 Jellium Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.2 Exchange Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.3 Total Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.4 Exchange for Spin-Polarized Systems . . . . . . . . . . . . 68
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Part II Electronic Ground State
5 Density Functional Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1 Ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Grassroots: Thomas-Fermi-Dirac Theory . . . . . . . . . . 74
5.2 Hohenberg-Kohn Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.2 Hohenberg-Kohn Theorem I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.3 Hohenberg-Kohn Theorem II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.4 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
xiv Contents
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dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec18http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec18http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec17http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec17http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec16http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec16http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec15http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec15http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec14http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec14http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec13http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec13http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec12http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec12http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec11http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec11http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec10http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec10http://-/?-http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec9http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44593-8_3#Sec9
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8/17/2019 Many Body Approach
14/595
5.3 Spin Density Functional Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.1 Electron Spin Density and Magnetization
Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.2 Generalized Hohenberg-Kohn Theorems . . . . . . . . . . 84
5.3.3 Collinear Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Kohn-Sham Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1 Kohn-Sham Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Toward New Ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Kohn-Sham Assumptions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3 Kinetic Energy of Auxiliary System . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.4 Functional with Interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Kohn-Sham Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2.1 Variational Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.2 Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Beyond the Ground-State Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.1 Highest-Occupied Kohn-Sham Eigenvalue . . . . . . . . . 98
6.3.2 ¢SCF Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7 Exchange-Correlation Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1 Properties of the Exact XC Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.2 XC Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Local (Spin) Density Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.1 Relation to Homogeneous Electron Gas . . . . . . . . . . . 109
7.2.2 Correlation in a Homogeneous Electron Gas . . . . . . . 111
7.2.3 Interpretation: Advantages and Limits . . . . . . . . . . . . 114
7.3 Gradient Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3.1 Density Gradient Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3.2 Generalized Gradient Approximation. . . . . . . . . . . . . 117
7.3.3 Influence of Gradient Corrections
on Ground-state Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.4 Improved GGA Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8 Energies and Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1 ‘ Ab Initio’ Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.1 Thermodynamic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.2 Equation of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.1.3 Energy Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Contents xv
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8/17/2019 Many Body Approach
15/595
8.2 Hellmann-Feynman Forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.1 Total Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.2 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.3 k-space Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 Restriction to Valence Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.3.1 Frozen Core Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3.2 Atomic Pseudopotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3.3 Construction of Pseudopotentials . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3.4 Refinements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.4 Non-linear Core Corrections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9 Non-local Exchange and Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.1 Hubbard U Correction to Density Functional Theory. . . . . . . . 1639.1.1 Problem and Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.1.2 Around Mean Field Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.1.3 Rotationally Invariant Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.2 Hybrid Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.2.1 Non-locality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.2.2 Inclusion of Screening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2.3 Generalized Kohn-Sham Problems . . . . . . . . . . . . . . 176
9.2.4 Examples/Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.3 Van der Waals Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3.1 The Missing Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3.2 Adiabatic-Connection Fluctuation-Dissipation
Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.3.3 Exact-Exchange Plus Correlation in RPA. . . . . . . . . . 187
9.3.4 Further Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Part III Single-Particle Excitations: Quasielectrons
and Quasiholes
10 Description of Electron Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.1 Dynamical Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.1.1 Time Evolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.1.2 Interaction with Nuclei and Between Electrons . . . . . . 200
10.1.3 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.2 Statistical Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.2.1 Grand Canonical Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
xvi Contents
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8/17/2019 Many Body Approach
16/595
10.2.2 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.2.3 Relation to Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11 Thermodynamic Green Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.1.1 Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.1.2 Time Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.1.3 Spectral-(Weight) Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.1.4 Spectral Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.1.5 Advantages of Thermodynamic Green
Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.2 Relation to Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.2.1 Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.2.2 Magnetization, Electron, and Current Densities . . . . . . 221
11.2.3 Galitskii-Migdal Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.3 Dyson Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.3.1 Equation of Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.3.2 Self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.3.3 Integral Equation Versus Differential Equation . . . . . . 228
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12 Set of Fundamental Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.1 Schwinger Functional Derivative Technique . . . . . . . . . . . . . . 231
12.1.1 External Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.1.2 Method of Variational Derivative . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.1.3 Exchange and Correlation Contributions
to Self-energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.1.4 Modified Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.2 Response Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.2.1 Density Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.2.2 Polarization and Vertex Functions. . . . . . . . . . . . . . . 24012.2.3 XC Self-energy and Screened Potential . . . . . . . . . . . 243
12.3 Hedin Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.3.1 Summary of Important Relations. . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.3.2 GW Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.3.3 Consequences for Dielectric Properties
and Screening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13 Density Correlation and Electronic Polarization . . . . . . . . . . . . . . 255
13.1 Inverse Dielectric Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.1.1 Spectral Function of Density Correlation
Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Contents xvii
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8/17/2019 Many Body Approach
17/595
13.1.2 f -Sum Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.1.3 Screening Sum Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.2 Kramers-Kronig Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.2.1 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.2.2 Fourier Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.2.3 Consequences of Analytic Properties . . . . . . . . . . . . . 264
13.3 Approximate Screening Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13.3.1 Inhomogeneous and Homogeneous Electron
Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13.3.2 Electron Gas in Non-metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
13.3.3 Spatial Inhomogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.3.4 Image Potential Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
14 Self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.1 Quasiparticle Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.1.1 Reference System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.1.2 Approximate Spectral Function in Insulators. . . . . . . . 291
14.1.3 Bloch-Landau Quasiparticles in Metals . . . . . . . . . . . 299
14.2 Self-consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.2.1 Quasiparticle Shifts and Strengths . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.2.2 Quasiparticle Wave Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.3 Standard Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30914.3.1 Bloch-Fourier Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.3.2 First Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
14.4 Quasiparticle Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.4.1 Physical and Numerical Approaches . . . . . . . . . . . . . 316
14.4.2 Influence of State Symmetry and Occupation . . . . . . . 317
14.4.3 Influence of Reference Electronic Structure . . . . . . . . 320
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
15 Model GW Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.1 Coulomb Hole and Screened Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.1.1 Decomposition in Real Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.1.2 Matrix Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
15.1.3 Validity of COHSEX Approximation . . . . . . . . . . . . 333
15.1.4 Gap Shrinkage Due to Free Carriers . . . . . . . . . . . . . 336
15.2 Direct Modeling of QP Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
15.2.1 Approximate Matrix Elements of XC Potential . . . . . . 338
15.2.2 Consequences of Model Screening . . . . . . . . . . . . . . 339
15.2.3 QP Shifts for Semiconductors. . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
15.3 Approximate Treatment of XC in Reference System . . . . . . . . 343
15.3.1 Self-energy Difference. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
xviii Contents
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8/17/2019 Many Body Approach
18/595
15.3.2 Average Static Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
15.3.3 Scissors Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
16 Quasiparticle Electronic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35116.1 Semiconductors and Insulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
16.1.1 Fundamental Energy Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
16.1.2 Challenges and Achievements . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
16.1.3 Bands, Dispersion, and Effective Masses . . . . . . . . . . 357
16.1.4 Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
16.2 Metallic and Magnetic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
16.2.1 Simple Metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
16.2.2 d -Electron Metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
16.2.3 Antiferromagnetic and Ferromagnetic Insulators . . . . . 36916.3 Low-dimensional Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
16.3.1 Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
16.3.2 Clusters and Nanocrystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
16.3.3 Surfaces and Two-dimensional Crystals . . . . . . . . . . . 379
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
17 Satellites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
17.1 Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
17.1.1 Measurement of Spectral Functions . . . . . . . . . . . . . . 39517.1.2 Core-Electron Spectra in Sudden Limit . . . . . . . . . . . 399
17.1.3 Losses and Dynamical Screening . . . . . . . . . . . . . . . 401
17.2 Reasonable Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
17.2.1 Blomberg-Bergersen-Kus Method . . . . . . . . . . . . . . . 404
17.2.2 Excitation of Dispersionless Fermions . . . . . . . . . . . . 406
17.2.3 Consequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
17.3 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
17.3.1 Core-Hole Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
17.3.2 Valence-Electron Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41117.3.3 Conduction Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Part IV Pair and Collective Excitations
18 Bethe-Salpeter Equations for Response Functions. . . . . . . . . . . . . 419
18.1 Characteristic Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
18.1.1 General Four-Point Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
18.1.2 Random Phase Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
18.1.3 GW Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Contents xix
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8/17/2019 Many Body Approach
19/595
18.2 Spin Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
18.2.1 Singlet and Triplet States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
18.2.2 Transformation in Spin Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
18.2.3 Response Functions in Singlet
and Triplet Basis States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42718.3 Macroscopic Dielectric Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
18.3.1 Relation to Microscopic Dielectric Function . . . . . . . . 428
18.3.2 Elementary Excitations and Their Measurement . . . . . 431
18.3.3 Macroscopic Polarization Function . . . . . . . . . . . . . . 434
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
19 Electron-Hole Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
19.1 Pair Hamiltonian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
19.1.1 Static Screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43919.1.2 Spin-Space Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
19.2 Two-Particle Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
19.2.1 Effective Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
19.2.2 Generalized Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.2.3 Macroscopic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
19.3 Electron-Hole-Pair Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
19.3.1 Resonant and Antiresonant Pairs. . . . . . . . . . . . . . . . 448
19.3.2 Spin Structure of Pair Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . 452
19.3.3 Numerical Methods and Results . . . . . . . . . . . . . . . . 454References. . . . . . . . . . . . . . . . . .