1

Devoirs de vacances

Le corrigé

Nous vous présentons un corrigé qui vous permettra de vous

auto-corrigé.

Malgré le soin et l’intérêt apportés à la construction et à la

rédaction de tous les textes, vous allez peut-être trouver des

fautes d’orthographe ou de grammaire, des anomalies, des

données erronées ou autres.

Soyez indulgents.

Les corrections ne sont en aucun cas des modèles, il s’agit

d’alimenter l’argumentation et de fournir des pistes de travail

ou de réflexion.

2

NOTION 1 : CALCUL NUMERIQUE ET LITTERAL

Exercice 1 :

Exercice 2 :

3

Exercice 3 :

Exercice 4 :

4

Exercice 5 :

Exercice 6 :

E = (x − 2)2

− (x − 2)(2x − 3) 1) E = (x² − 4x + 4) – (2x² − 3x − 4x + 6)

E = x² – 4x + 4 – 2x2

+ 3x + 4x – 6 E = − x² + 3x – 2

2) E = (x – 2)(x – 2) – (x – 2)(2x – 3) E = (x – 2) [(x – 2) – (2x – 3)]

E = (x – 2) (x – 2 – 2x + 3)

E = (x – 2)(−x + 1)

5

3) E = − 122

+ 3 × 12 − 2

Ε = − 144 + 36 – 2 E = – 110

4) E = 0 ⇔ (x – 2)(−x + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 ou – x + 1 = 0 donc soit x = 2 ou bien x = 1 Les solutions de l’équations sont 2 et 1

Exercice 7 :

Partie I

aire (ABCD) = x2 aire (BEFC) = 6x

L’aire totale de la figure en cm2

s’écrit : A (x) = x2

+ 6x.

Partie II

1) (x + 3)² − 25 = (x2 + 6x + 9) – 25 = x

2 + 6x + 9 – 25 = x

2 + 6x.

L’égalité x2

+ 6x – 16 = (x + 3)² − 25 est vraie pour tout nombre x.

2) (x + 3)² − 25 = (x + 3 + 5)(x + 3 − 5) = (x + 8)(x – 2). a2 – b2 = ( a – b)(a + b)

3) x2

+ 6x – 16 = 0

⇔ (x + 3)² − 25 = 0

⇔ (x + 8)(x – 2) = 0

⇔ x + 8 = 0 ou bien x − 2 = 0

⇔ x = −8 ou bien x = 2. Les solutions de l’équations sont : – 8 et 2.

Partie III

A (x) = 16 ⇔ x2 + 6x = 16 ⇔ x

2 + 6x – 16 = 0 ⇔ x = −8 ou bien x = 2.

Or x désigne une longueur, on a donc x = 2.

L'aire totale de la figure est égale à 16 cm2

pour x = 2 cm.

Exercice 8 : 1) A = 9x² – 25 – (3x – 5)(2x + 15)

Α = 9x² – 25 – (6x2

+ 45x – 10x – 75)

A = 9x² – 25 – 6x2

− 45x + 10x + 75

A = 3x2

– 35 x + 50

2) B = 9x2

– 25

Β = (3x + 5)(3x – 5)

3) A = 9x² – 25 – (3x – 5)(2x + 15)

Α = x + 5)(3x – 5) − (3x – 5)(2x + 15)

Α = (3x – 5)[(3x + 5) − (2x + 15)]

Α = (3x – 5)(3x + 5 − 2x – 15)

A = (3x – 5)(x – 10)

4) A = 0

⇔ (3x – 5)(x – 10) = 0 équation produit nul

⇔ 3x − 5 = 0 ou bien x − 10 = 0

⇔ x = 5

3 ou bien x = 10

Les solutions de l’équation sont 10 et 5

3

6

Exercice 9 :

Exercice 10 :

E (x) = (-3x + 2)² − (2 - 3x)(x + 7)

1) E (−7) = (− 3 × −7 + 2)2

– 0 = 529

2) E ( 2

3 ) = 0 – 0 = 0

3) E = (9x² − 12x + 4) − (2x + 14 − 3x² − 21x)

E = 9x² − 12x + 4 – 2x – 14 + 3x2

+ 21x

E = 12x2

+ 7x − 10

4) E = (2 – 3x)2

− (2 − 3x)(x + 7)

Ε = (2 − 3x)(2 − 3x) − (2 − 3x)(x + 7)

Ε = (2 − 3x)[(2 – 3x) – (x + 7)]

E = (2 – 3x) (2 – 3x – x – 7)

E = (2 – 3x) (− 4x – 5)

7

5) E = 0

⇔ (2 – 3x) (− 4x – 5) = 0 équation produit nul

⇔ 2 − 3x = 0 ou bien − 4x – 5 = 0

⇔ x = 2

3 ou bien x = −

5

4

Les solutions de l’équation sont 2

3 et −

5

4

Exercice 11 : Les réponses exactes sont :

1) Les bonnes réponses sont les réponses 73

33 et

21

733.

2) La bonne réponse est la réponse 1,5 × 10−18

.

3) Les bonnes réponses sont les réponses 18 x² − 18 et 18(x² − 1).

4) Les bonnes réponses sont les réponses « parallélogramme » et « rectangle ».

5) Les bonnes réponses sont les réponses 7

350 et 50√7.

Exercice 12 :

1) Développons A :

A = (6x + 4) (6x − 4) – (x² + 2x) (6x + 4)

A = 36x² – 16 – (6x³ + 4x² + 12x² + 8x)

A = 36x² – 16 – (6x³ + 16x² + 8x) A = 36x² – 16 – 6x³ – 16x² – 8x

A = − 6x³ + 20x² – 8x – 16

2) Factorisons A :

A = (6x + 4) [6x – 4 – x² – 2x]

A = (6x + 4) (−x² + 4x – 4)

A = − 2(3x + 2)(x2

– 4x + 4)

A = − 2 (3x + 2)(x −2)2

3) a) Pour x = 0 : A(0) = −16 à l’aide de la forme développée

b) Pour x = 1 : A (1) = − 6 + 20 – 8 – 16 = - 10 à l’aide de la forme développée c) Pour x = 2 : A (2) = 0 à l’aide de la forme factorisée

d)

x 0 1 2

résultat -16 -10 0

Les valeurs de x ne sont pas proportionnelles aux résultats obtenus.

Exercice 13 :

a) Résolvons l’équation :

2x + 5 –]7x + (√7 )2]= 13

⇔ 2x + 5 – 7x – 7 = 13

⇔ − 5x = 13 – 5 + 7

⇔ − 5x = 15

⇔ x = 5 La solution de l’équation est 5

8

b) Calculons la valeur exacte de A :

Exercice 14 :

1) 4 x + 3 y = 26 d’où 3 y = 26 – 4 x d’où y = 1

3 (26 – 4 x) donc pour x = 5 on a y =

1

3(26 − 20) = 2

2) Pour x = 7 et y = 3 on a : E = 14 x + 8 y = 14 ×7 + 8 × 3 = 122

Exercice 15 :

1. Développons les expressions suivantes :

K = ( 2√2 + 3)2 = 8 + 12√2 + 9 = 17 + 12√2

2. Factorisons les expressions suivantes :

L = – 25x2 + 7 = (√7 )2 – 25x2 = (√7 – 5x)(√7 + 5x)

Exercice 16 :

Le mot cherché est donc THALES.

9

Exercice 17 :

Exercice 18 :

1) Développons les expressions suivantes :

A = 5x − 2 ( x + 2 ) B = 3(5x + 7) – (x – 1) (2x + 2) C = (x – 1) (x + 1)

= 5x – 2x – 4 = 15x + 21 – (2x² + 2x – 2x − 2) = x² – 1

= 3x – 4 = − 2x² + 15x + 23

D = (3x − 4)² = (3x)² – 24x + 16

= 9x² – 24x + 16

2) Complétons les expressions suivantes :

A = (x + 5)² = x² + 10x + 25 B = (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4 C = (2x + 3) (2x – 3) = 4x² – 9

3) Résolvons les équations suivantes :

(3 – 2x)² = 4x² + 7 (2x + 1)² – (3 – 2x)² = 5

⇔ 9 – 12x + 4x² = 4x² + 7 ⇔ (4x² + 4x + 1) – (9 – 12x + 4x²) = 5

⇔ – 12x = 4x² + 7 − 4x² − 9 ⇔ 4x² + 4x + 1 – 9 + 12x – 4x² = 5

⇔ − 12x = − 2 ⇔ 16x = 5 – 1 + 9

⇔ x = 1

6 ⇔ 16x = 13 ⇔ x =

13

16

La solution de l’équation est 1

6 La solution de l’équation est

13

16

Exercice 19 : a) Développons et réduisons les expressions suivantes.

A = 2(2 − x) − 5(x − 3) B = (x − 1)(−2x + 2) − 3(5x − 7) C = (1 − x)(1 + x)

A = 4 − 2x − 5x + 15 B = − 2x2

+ 2x + 2x – 2 – 15x + 21 C = 1 – x2

A = − 7x + 19 B = − 2x2

– 11x + 19

D = (4 − 3x)2

D = 42

– 2 × 4 × 3x + (3x)2

D = 16 – 24 x + 9x2

10

b) Résoudre les équations.

4x2

− 7 = (3 − 2x)2 (3 − 2x)

2

= (2x + 1)2

+ 8

⇔ 4x2

– 7 = 9 – 12x + 4x2 ⇔ 9 – 12x + 4x

2

= 4x2

+ 4x + 1 + 8

⇔ 4x2

+ 12x − 4x2

= 9 + 7 ⇔ − 12x + 4x2

− 4x2

− 4x = 1 + 8 – 9

⇔ 12x = 16 ⇔ − 16x = 0

⇔ x = 4

3 ⇔ x = 0

La solution de l’équation est 4

3 La solution de l’équation est 0

Exercice 20 :

a) Factoriser les expressions suivantes.

E = (4 − x)(2x + 1) + (x + 4)(2x + 1) F = 2(x − 1) − (x − 1)(x – 1) G = 16x² − 40x + 25

E = (2x + 1)[(4 − x) + (x + 4)] F = (x − 1)[2 − (x − 1)] G = (4x)² − 2(4x)(5) + 5²

E = (2x+1)(4 – x + x + 4) F = (x − 1)(2 – x + 1) G = (4x − 5)² E = 8(2x + 1) F = (x − 1)(3 − x)

b) Ecrire l'expression H sous la forme d'un produit de trois facteurs.

H = (x4

− 1)

H = ( (x2)2 – 1) a2 – b2 = (a – b) (a + b)

H = (x² − 1)(x² + 1) a2 – b2 = (a – b) (a + b) H = (x + 1)(x − 1)(x² + 1)

Exercice 21 :

Question 1 : On note E l’expression donnée, on reconnaît l’identité remarquable de forme (a − b)(a + b) = a² − b².

E = (5x +√3)² − (4x + 11)²

E = [(5x +√3) − (4x + 11)] [(5x + √3) + (4x + 11)]

E = [5x + √3 − 4x − 11] [5x + √3 + 4x + 11]

E = (x + √3 – 11)(9x + √3 + 11) La solution est donc la réponse 1.

Question 2

On note v la vitesse de la voiture, on sait par ailleurs que v = 𝑑

𝑡 où d la distance en km et t est le temps

en heure donc v la vitesse en km/h

On donne d = 180 km, t = 1 h 45 min = 1 + 45

60 = 1 + 0,75 = 1.75 h

On obtient v = 180

1,75 ≈ 102.9 ≈ 100 km/h.

La solution est donc la réponse 2.

Question 3 On note E l’expression donnée, on a :

E = 10198

× 102 001

× 10−198

× 10−2 000

E = 10198−198

× 102 001−2 000

E = 1 × 10

E = 10

La solution est donc la réponse 1.

11

Question 4

On note E3 la première équation donnée, E4 la suivante et E5 la dernière ; on a : E3 : 2x − (8 + 3x) = 2 E4 : 4x + 9(5x + 4) = 32 E5 : 15 – (6x − 4) = 10

On remplace x par 10 est on vérifie si on tombe sur le résultat

E3 =2×(−10) – (8 + 3×(−10)) E4 = 4×(−10) + 9(5×(−10) + 4) E5 = 15 – (6×(−10) – 4) = − 20 – (8 – 30) = −40 + 9(−50 + 4) = 15 – (−60 – 4)

= −20 + 22 = −40 − 414 = 15 + 64

= 2 = 2 = − 454 ≠ 32 = 79 ≠ 10 Egalité vraie Egalité inexacte Egalité inexacte

Seule l’équation E3 a pour solution −10. C’est donc la réponse 1

Question 5 On note E l’expression donnée, on a :

E = 2 √180 + 5 √80 − 3 √125

E = 2 √62 × 5 + 5 √42 × 5 - 3 √52 × 5

E = 12 √5 + 20 √5 - 15 √5

E = 17 √5 La solution est donc la réponse 2.

Question 6 J’appelle x le nombre de filles dans la Classe C1, y le nombre de filles de la classe C2, on a :

x = 30 × 40% et y = 20 × 60%

x = 12 et y = 12

Il y a 12 filles dans chaque classe.

Lorsque les deux classes sont réunies il y a donc 24 filles parmi les 50 élèves. On note p le

pourcentage de filles dans ce grand groupe.

p = 24

50 = 0,48 Il y a donc 48% de filles dans le groupe.

La solution est donc la réponse 2.

Exercice 23 :

12

Exercice 24 :

Exercice 25 :

5x − 6 = 2x + 9 ⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5 La solution de l’équation est 5

A =

74

7

3

743

7

73

43

23

4

1

B = (4 – 6)2

– (7 – 9 )3

= 4 – (−8) = 12

C = − x2

+ 4x – 3 = − 9 + 12 – 3 = 0

D = √4 × √9 = 2 × 3 = 6

E = √9 + 16 − (−5)2

= √25 − 25 = 5 – 25 = − 20

cos 65° = 𝑥

12 d’où x = 12 × cos 65° ≈ 5.071

Exercice 26 :

13

Exercice 27 :

Marine

8x + 5 = 3(4x − 1) 8x + 5 = 3(4x − 1)

8x + 5 = 12x − 3 ⇔ 8x + 5 = 12x − 3

3 + 5 = 12x + 8x erreur de signe ⇔ 3 + 5 = 12x − 8x

8 = 20 x ⇔ 8 = 4 x

x = 0.4 ⇔ x = 2 La solution est 2

Martin 8x + 5 = 3(4x −1) 8x + 5 = 3(4x −1)

8x + 5 = 12x − 1 oubli du développement ⇔ 8x + 5 = 12x − 3

8x − 12x = 5 − 1 erreur de signe ⇔ 8 x – 12 x = − 5 − 3

− 4x = 4 ⇔ − 4 x = − 8

x = −1 ⇔ x = 2 La solution est 2

Exercice 28 :

2) A = (3x + 2)² − 3²

⇔ A = (3x + 2 − 3)(3x + 2 + 3)

⇔ A = (3x − 1)(3x + 5)

L'expression A cherchée est (3x + 2)² − 3² et l'expression A factorisée est (3x − 1)(3x + 5).

3) (3x − 1)(3x + 5) = 0 équation produit nul

⇔ 3x – 1 = 0 ou 3x + 5 = 0

⇔ x = 1

3 ou x = −

5

3

L'ensemble des solutions est :

3

5;

3

1

Pour obtenir un résultat final égal à 0, il faut choisir le nombre 1

3 ou le nombre -

5

3.

Exercice 29 :

14

Exercice 30 :

Exercice 31 :

Exercice 32 :

A = (4x + 5)² = (4x)² + 40x + 5² = 16x² + 40x + 25

B = (2x – 7)² = (2x)² – 28x + 7² = 4x² – 28x + 49

C = (5x + 3)(5x + 3) = (5x + 3)2

= (5x)2

+ 30x + 32

= 25x2

+ 30 x + 9

D = (x – 3)(x + 2) = x² + 2x – 3x – 6 = x2

– x – 6

E = 5(x − 3) + 2(5 – x) = 5x − 15 + 10 − 2x = 3x − 5

F = x(2 + 3x) + 3(7 – x2

) − 1 = 2x + 3x² + 21 – 3x² – 1 = 2x + 20

L = 3x + 9(5x + 34) – x = 3x + 45x + 306 – x = 47x + 306

M = 27 – 2(42x – 6) + 3 – 30x = 27 – 84x + 12 + 3 – 30x = −114x + 42

N = (6x – 4x)(19x – 1) – 6(x + 44) = 114x² – 6x – 76x² + 4x – 6x – 264 = 38x² – 8x – 264

15

O = – (3 – 2x) = 2x – 3

P = 3 (4 – 6x) = – 18x + 12

Q = – 2x (5x + 7) = – 10x – 14

R = 8x(x – 3) – (4 – 3x) = 8x2 – 24x – 4 + 3x = 8x2 – 21x – 4

S = (x + 3)(y + 2) = xy + 2x + 3y + 6

T = (3 – 2x)(4 – x ) = 12 – 3x – 8x + 2x2 = 2x2 – 11x + 12

U = 2(3 + x)(3 – x) = 2 (9 – x2) = 18 – 2x2

V = 2x(1 – x) – (x – 3)(3x + 2) = 2x – 2x2 – (3x2 + 2x – 9x – 6) = 2x – 2x2 – 3x2 + 7x + 6 = – 5x2 + 9x + 6

A = (2x – 3)2 + (x + 5)(3 – x) = 4x2 - 12x + 9 + 3x – x2 + 15 – 5x = 3x2 – 9x + 24

B = (x – 3)(x +3) – (4 - 3x)2 = x2 – 9 – (16 – 24x + 9x2) = x2 – 9 – 16 + 24x – 9x2 = – 8x2 + 24x – 25

Exercice 33 :

On donne l’expression f(x) = 9x2

– 6x.

a) Factoriser l’expression f(x). f(x) = 9x2

– 6x = 3x (3x – 2)

b) Résoudre l'équation f(x) = 0 : f(x) = 0 ⇔ 3x (3x – 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2

3 Les solutions de

l’équations sont 0 et 2

3

c)

Exercice 34 :

Les formes factorisées sont : A ; D ; E ; H ; I ; M ; N et O

16

Exercice 35 :

Exercice 36 :

A = (4x + 6)² – (2x − 3)²

1) Développement.

A = 16x² + 48x + 36 − (4x² – 12x + 9) A = 16x² + 48x + 36 − 4x² + 12x − 9

A = 12x² + 60x – 27

) Factorisation.

A = [(4x + 6) − (2x − 3)][ (4x + 6) + (2x − 3)] A = (4x + 6 – 2x + 3) (4x + 6 + 2x − 3)

A = (2x + 9) (6x + 3)

A = 3 (2x + 9)(2x + 1)

3) A = 0 ⇔ 3 (2x + 9)(2x + 1) = 0

On a ici une équation « produit nul ». Or « Un produit est nul si est seulement si l'un au moins des facteurs est nul ».

A = 0 ⇔ 2x + 9 = 0 ou 2x + 1 = 0 ⇔ x = − 4,5 ou x = − 0,5

Les solutions de l’équation sont – 4,5 et – 0,5

Exercice 37 :

90

1261540

90

126

90

15

90

40

5

7

6

1

9

4

90

151

)2

1(

10

1)

2

2

2

3()

10

14

10

15()1

2

3()

5

7

2

3(

20

1

17

18

5

5

2

2

1

18

5

2

5

2

1

18

5)

2

2

2

3()

2

2

2

3(

18

5)1

2

3()1

2

3(

18

1

18

5

16

3

3

2

18

5

3

163

2

18

5

3

15

3

13

3

3

1

18

5

53

1

13

1

162

5

A =

21

20

21

24

21

20

7

8

3

5

7

4

7

8

21

44

B =

32

14

9

2)

14

3

2

5()

9

4

9

6()

7

3

2

1

2

5()

9

4

3

2(

72

7

D = 7,5 x 105 x 4 x 8,2 x (10-5)2 = 246 × 105-10 = 2,46 × 102 × 10-5 = 2,46 × 10 -3 = 0, 00 246

E = 22 1085108 = (8 + 85) × 10-2 = 93 × 10-2 = 9,3 × 10-1 = 0, 93

C =

9

23

2

9

3

2

52

3

3

2

F =

)3(6

3

6

4

33

105

21

105

1021

1050

107103 4,2 × 109 = 4 200 000 000

Exercice 38 :

x + 3 ≤ 1 – 5x ≥ 3 2x + 7 > 5x + 2 – 3x + 2 < 2 xx 2

15

4

3

x ≤ 1 – 3 x ≤ −3

5 2x – 5x >2 – 7 – 3x < 2 – 2

3

4 x – x > −

1

2 + 5

x ≤ – 2 – 3x > – 5 – 3x < 0 −1

4 x >

9

2

x < 5

3 x > 0 x <

9

2× (−

4

1)

x < – 18

Exercice 39 :

1) On considère le système :

36

133

xy

yx. Pour voir si le couple ( – 5 ; 2) est solution, on

remplace x par – 5 dans les deux équations puis on calcule y pour voir si les deux y sont

égaux à 2 :

1ère équation : 3 × ( – 5) = – 13 + y donc y = – 10 + 13 = 3 ≠ 2 donc le couple ( – 5 ; 2) n’est pas

solution du système.

18

2) Résolvons les systèmes :

Par substitution :

1

2

55

3

4239

3

42)3(3

3

3

423

y

x

y

yx

yy

yx

yy

yx

yx

yx

La solution du système est le couple (2 ; – 1)

Par combinaison :

2,1

3

154,172

3

4,1752

3311

2,1946

2,52156

6,923

4,1752

x

y

x

y

yx

y

yx

yx

yx

yx

La solution du système est le couple (1,2 ; 3)

NOTION N° 2 : PROBLEMES

Exercice 1 :

1) Le nombre maximal recherché est un diviseur commun de 432 et de 648.

Il s’agit du PGCD de ces deux nombres. On peut le trouver en utilisant l’algorithme d’Euclide.

Dividendes Diviseurs Restes

648 432 216 PGCD (648 ; 432 )

432 216 0 = PGCD ( 432 ; 216 )

Le PGCD est le dernier reste non nul. = 216 Le pâtissier peut fabriquer 216 sachets en utilisant toutes les viennoiseries.

2) 216

432 = 2 et

216

648 = 3

3) 2 × 0.60 + 3 × 0.50 = 2.70

Le prix de vente d’un sachet de viennoiseries est égal à 2.70 euros.

Exercice 2 :

70

100

filles ont réussi ce test.

2. 80

100

garçons ont réussi ce test.

3. 35 + 60 = 95

sportifs ont réussi ce test.

4. 50 + 75 = 125

Le club réunit 125 sportifs .

5. 𝟗𝟓

𝟏𝟐𝟓 = 076 Donc 76% des sportifs ont réussi le test.

19

Exercice 3 :

1) Lucas veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Si N est le nombre de bouquets, comme il veut utiliser toutes les fleurs et faire des bouquets de

compositions identiques, N doit être diviseur de 182 et de 78. Comme de plus il veut faire le plus

grand nombre possible de bouquets, N doit être le plus grand possible. Alors N est le PGCD de 182 et 78.

Déterminons le PGCD à l’aide de l’Algorithme d'Euclide.

182 = (2 × 78) + 26 Diviseur : 78 Dividende : 182 Reste : 26 PGCD ( 182 ; 78 )

78 = (26 × 3) + 0 Diviseur : 26 Dividende : 78 Reste : 0 = PGCD (78 ; 26 ) = 26 Le dernier reste non nul est 26, c'est donc le PGCD de 128 et 78.

Lucas peut faire 26 bouquets en utilisant toutes les fleurs.

2) 26

182 . 3

26

78

Donc chaque bouquet contient 7 brins de muguet. Donc chaque bouquet contient 3 roses

Exercice 4 : Actuellement :

1) Soit x l’âge actuel du fils.

2) L’âge actuel du père est 4x.

3) L’âge actuel du grand-père est 4x + 25.

Dans 11 ans : 1) le fils aura (x + 11) ans,

2) le père aura (4x + 11) ans

3) le grand-père aura (4x + 25 + 11) ans.

Equation du problème :

(x + 11) + (4x + 11) + (4x + 25 + 11) = 130

x + 11 + 4x + 11 + 4x + 25 + 11 = 130 x + 4x + 4x = 130 – 11 – 11 – 25 − 11

9x = 72

x = 72

9

x = 8 Le fils a 8 ans.

4x = 4 × 8 = 32 Le père a 32 ans.

4x + 25 = (4 × 8) + 25 = 32 + 25 = 57

Le grand-père a 57 ans.

Exercice 5 :

1)

Le montant de la remise : 120,40 × 20

100 = 24,08 euros.

Le montant de la facture après remise : 120,40 – 24,08 = 96,32 euros.

2) a) Le nombre de sachets réalisés est un diviseur commun aux nombres 301et 172. Il s’agit du plus

grand diviseur. On recherche le PGCD des nombres 301 et 172.

dividendes diviseurs restes

301 172 129

172 129 43

129 43 0

20

Le PGCD est le dernier reste non nul.

PGCD (301 ;172) = PGCD (172 ; 129) = PGCD (129 ; 43) = 43 Le confiseur peut réaliser 43 sachets identiques.

b) 43

301 = 7 et

43

172 = 4 Un sachet contient sept caramels et quatre chocolats.

Exercice 6 :

On appelle x la longueur du rectangle initial et y sa largeur.

1) La surface du grand rectangle s’écrit : (x + 2)(y +3) = xy + 3x + 2y + 6.

2) Le périmètre du rectangle initial s’écrit : 2 x + 2 y = 24 ⇔ x + y = 12.

La surface du grand rectangle s’écrit : xy + 3x + 2y + 6 = xy + 37

. ⇔ 3x + 2y = 37 – 6

. ⇔ 3x + 2y = 31.

Calculer les dimensions x et y revient à résoudre le système

12

3123

yx

yx On le résout par substitution

312)12(3

12

yy

yx

363123

12

yy

yx

5

12

y

yx

7

5

x

y

La solution du système est le couple (7 ; 5)

Les nombres trouvés sont positifs. La longueur du rectangle initial est égale à 7 cm et sa largeur

est égale à 5 cm.

Exercice 7 :

1) Le nombre recherché doit diviser 84 et 147. Devant être maximal, ce nombre est le PGCD de

84 et 147. On utilise l'algorithme d'Euclide :

Dividendes Diviseurs Restes

147 84 63

84 63 21

63 21 0

Donc

PGCD(147 ;84) = PGCD (84 ; 63) = PGCD (63 ; 21) = 21

Le PGCD de 147 et 84 est égal à 21. Vingt personnes et Antoine peuvent bénéficier des pâtisseries

2)

21

84et

21

147 = 7

Chaque personne recevra quatre croissants et sept pains au chocolat. Antoine recevra également

quatre croissants et sept pains au chocolat.

21

Exercice 8 :

n est l’entier inconnu.

Mise en équation du problème puis résolution:

(n + 1)2

= n2

+ 25 ⇔ n2

+ 2n + 1 = n2

+ 25

⇔ n2

+ 2n – n2

= 25 – 1

⇔ 2n = 24

⇔ n = 12

L’entier n recherché est 12.

Exercice 9 :

1) 15 000 × 30

100 = 4 500

Or 15 000 – 4 500 = 10 500

Ou

Une baisse de 30 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 - 30

100 = 0,7

Vfinale = Vinitiale × coefficient multiplicateur = 15 000 × 0,7 = 10 500

Le prix de revente au bout d’un an est égal à 10 500 euros.

2) La seconde année le véhicule perd 25% de sa valeur.

10 500 × 25

100 = 2 625

Or 10 500 – 2 625 = 7 875

Le prix de revente au bout de deux ans est égal à 7 875 euros.

La troisième année le véhicule perd 25% de sa valeur.

7 875 × 25

100 = 1 968,75

Or 7 875 – 1 968,75 = 5 906,25

Le prix de revente au bout de trois ans est égal à 5 906.25 euros.

La quatrième année le véhicule perd 25% de sa valeur.

5 906,25 × 25

100 ≈ 1 476,56

Or 5 906.25 – 1 476.56 = 4 429,69 ≈ 4 430 Le prix de revente au bout de quatre ans est environ égal à 4 430 euros.

Ou

Une baisse de 25 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 - 25

100 = 0,75

Trois baisses successives de 25% se traduisent alors par un coefficient multiplicateur : 0,753

Vfinale = Vinitiale × coefficient multiplicateur = 10 500 × 0,753 ≈ 4 430 Le prix de revente au bout de quatre ans est environ égal à 4 430 euros.

22

Exercice 10 :

1) La Reine souhaite constituer des équipes identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de fourmis noires et le même nombre de fourmis rouges.

Le nombre cherché est un diviseur commun de 6 510 et de 4 650.

De plus la reine veut réaliser le maximum d'équipes. Donc le nombre cherché est le PGCD des nombres 6 510 et 4 650.

Calcul du PGCD de 6 510 et 4 650 à l’aide de l’algorithme des différences :

6 510 – 4 650 = 1 860 PGCD (6510 ; 4650)

4 650 – 1 860 = 2 790 = PGCD ( 4650 ; 1860 ) 2 790 – 1 860 = 930 = PGCD (2790 ; 1860 )

1 860 − 930 = 930 = PGCD (1860 ; 930 )

930 − 930 = 0 = 930 La dernière différence non nulle est 930. Donc 930 est le PGCD des nombres 6 510 et 4

650.

La reine peut donc réaliser 930 équipes au maximum.

930

6510 = 7 et

930

4650 = 5

Chaque équipe sera composée de sept fourmis noires et de cinq fourmis rouges.

Exercice 11 :

Première partie a) x désigne le prix d'un croissant.

y désigne le prix d'un petit pain.

La mise en équations du problème nous conduit à un système de deux équations à deux inconnues que l’on résout avec la Méthode par substitution :

Le prix d'un croissant est de 1.20 €.

Le prix d'un petit pain est de 1.50 €.

b)

Une baisse de 40 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 - 40

100 = 0,6

.

6,0

5,1

. teurmultiplicatCoefficien

VV

finale

initiale 2,5

Le prix du petit pain avant que le boulanger baisse ses prix était de 2.50 €.

c)

80,08,2

25,2.

initiale

finale

V

Vteurmultiplicatcoefficien ce qui correspond à une baisse de 20%

Deuxième partie a) Développons l’expression A.

A = (2x – 4 )² – 49

A = 4x² − 16x + 16 – 49

A = 4x² – 16x − 33

23

b) Factorisons l’expression A avec le modèle a2 – b2 = (a + b)(a − b).

A = (2x + 4)² – 49 A = (2x – 4 – 7 )(2x – 4 + 7)

A = (2x – 11)(2x + 3)

c) Si x = 2, alors l’expression A est égale à :

A = (2x – 11)(2x + 3)

A = (−7) ( 7)

A = − 49

d) A = 0 ⇔ (2x − 11)(2x + 3) = 0

Or : on a ici une équation « produit nul » Donc on a :

2x – 11 = 0 ou bien 2x + 3 = 0

x = 11

2 ou bien x = − −

3

2.

Les solutions sont 11

2 et −

3

2

Exercice 12 :

1) Soit x est le prix de vente d'un timbre «grand modèle».

Soit y est le prix de vente d'un timbre «petit modèle». Mise en équation du problème :

Première vente : 11x + 20y = 52

Seconde vente : 9x + 40y = 78

On obtient donc un système que l’on résout à l’aide de la méthode par combinaison :

5,1

2

78409

2613

78409

1044022

78409

522011

y

x

yx

x

yx

yx

yx

yx

La solution du système est donc le couple ( 2 ; 1,5)

Un timbre «grand modèle» coûte 2 € tandis qu'un timbre «petit modèle» coûte 1.50 €.

2) Soit X le nombre de timbres «grand modèle»

Soit Y le nombre de timbres «petit modèle» possédés par Sylvain au début de la braderie. Mise en équation du problème :

On a donc l’égalité X = 3 Y

Lors de la seconde vente Sylvain a vendu un trente cinquième de sa collection «grand

modèle». On en déduit l’égalité 1

35 X = 9, d'où X = 9 × 35 = 315.

Or X = 3 Y ⇔ Y = 1

3 X ⇔ Y = 105

(315 + 105 = 420)

Finalement avant la braderie Sylvain possédait 420 timbres.

Exercice 13 :

Soit x le prix d'un sandwich.

Soit y le prix d'un jus de fruit. Mise en équations du problème :

Echange n°1 : 4x + 5y = 22

Echange n°2 : 3x + 7y = 23

On obtient donc le système de deux équations à deux inconnues que l’on résout avec la méthode par

combinaison :

24

3

2

2373

2613

922812

661512

2373

2254

x

y

yx

y

yx

yx

yx

yx

Le prix d'un sandwich est de 3 euros. Le prix d'un jus de fruit est de 2 euros.

Exercice 14 :

x désigne le nombre de voyageurs au départ du train. x = 12( −8 + 2) + 2(−1 + 8) + 119

x = 61

Donc il y avait 61 passagers au départ du train.

Exercice 15 :

On appelle x le nombre de fourmis qui participent à l’achat du trophée. Si chaque fourmi donne dans le premier cas 8.50 € alors la somme récoltée est égale à 8.50 x.

Avec cette solution il manquera 10 €. Le prix du trophée est (8.50 x + 10) €.

Dans le second cas si chaque fourmi donne 11 € alors la somme récoltée est égale à 11 x. Avec cette formule il y a 10 € en trop. Le prix du trophée est (11 x − 10) €.

Mise en équation du problème :

L'équation du problème est : 8.50 x + 10 = 11 x − 10

⇔ 8.50 x − 11 x = − 10 – 10

⇔ − 2.5 x = − 20

⇔ x = 8

La solution de l’équation est donc 8. Donc huit fourmis ont participé à l’achat du trophée de la grande feuille.

Exercice 16 :

Le choix de l'inconnue : appelons x le nombre d'amies participant au cadeau.

-D'une part, si chacune donne 5.50 € alors la somme récoltée est 5.5 x ; mais puisqu'il manque 6 € le cadeau coûte donc 5.5x + 6.

D'autre part, si chacune donne 7 €, alors la somme récoltée est 7x ; mais puisqu'il y a 6 € en

trop, le cadeau coûte donc 7x − 6.

Mise en équation du problème :

L’équation du problème est : 5.5x + 6 = 7x − 6 5.5x − 7x = − 6 − 6

−1.5x = −12

1.5x = 12

x = 8. La solution du système est 8.

Huit amies participent au cadeau d'anniversaire d'Elodie.

25

NOTION N°3 : STATISTIQUES ET POURCENTAGES

Exercice 1 : 1)

2)

72,1050

3153146138129115106958371615

La moyenne obtenue à ce concours en mathématiques est de 10.72.

3)

9 + 8 + 6 + 3 + 3 = 29 29 candidats ont une note supérieure à la moyenne.

58,050

29 donc 58% des candidats ont reçu une note supérieure à la moyenne.

Exercice 2 :

1)

2) On ajoute tout les effectifs strictement inférieurs à 36, ce qui nous donne :

12 + 30 + 45 + 36 = 123 Donc 123 des employés ont moins de 36 ans.

26

82,0150

123 Le pourcentage des employés ayant strictement moins de 36 ans est égal à 82%.

4) Pour trouver l'âge moyen des employés de l'entreprise, on multiplie chaque centre de classe

par son effectif et on ajoute ensuite les produits obtenus. On divise ensuite le résultat obtenu

par l'effectif total :

31150

4626

150

64221383634453030261222

Donc l'âge moyen des employés de cette entreprise est environ égal à 31 ans.

Exercice 3 :

1) 15 – 6 = 9. L’étendue de la série est égale à 9 points.

2) (6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 13 + 14 + 15) ÷ 13 ≈ 10.1.

La note moyenne est environ 10.1.

4) Les treize notes sont rangées dans l’ordre croissant ; on cherche la septième note qui

correspond à la note médiane (valeur qui partage le groupe en deux groupes de même

effectif) 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 La note médiane est 9.

Exercice 4 :

1) N = 2 + 3 + 7 + 5 + 4 + 4 = 25. Le club compte 25 adhérents.

2)

Âge 12 13 14 15 16 17

Effectif 2 3 7 5 4 4

Fréquence 8% 12% 28% 20% 16% 16%

3) (2 × 12 + 3 × 13 + 7 × 14 + 5 × 15 + 4 × 16 + 4 × 17) ÷ 25 = 14.72 ≈ 15.

L'âge moyen est environ 15 ans.

Exercice 5 :

1) Une baisse de 40 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 - 40

100 = 0,6

Vfinale = Vinitiale × coefficient multiplicateur = 49,9 × 0,6 = 29,94

Le prix de l’article après la réduction est égal à 29,94 euros.

2) Une hausse de 30 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 + 30

100 = 1,3

Une hausse de 10 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 + 10

100 = 1,1

Vfinale = Vinitiale × coefficient multiplicateur = 1,5 × 1,3 ×1,1 = 2,145

Le prix du litre d’essence après ces deux augmentations est de 2,145 euros

27

3) On additionne pas les pourcentages concernant les augmentations ou diminution. On calcule

les coefficient multiplicateur : 1,3 × 1,1 = 1, 43 qui correspond à une augmentation de 43% et

non de 40%.

4) Une hausse de 35 % se traduit par un coefficient multiplicateur de : 1 + 35

100 = 1,35

Vfinale = Vinitiale × coefficient multiplicateur

35,1

25,74

. teurmultiplicatCoefficien

VV

finale

initiale 55

Cet article coûtait 55 euros avant l’augmentation.

Exercice 6 :

1) N = 4 + 7 + 10 + 3 = 24 Le club compte 24 élèves.

2) (4 × 11 + 7 × 12 + 10 × 13 + 3 × 14) ÷ 24 = 12.5

L’âge moyen des élèves de ce club est 12.5 ans.

3) P = (4 + 7 + 10) ÷ 24 = 21 ÷ 24 = 7 ÷ 8 = 0.875

Le pourcentage d’élèves ayant moins de 14 ans est 87.5%.

Exercice 7 :

1) 140 + 120 + 290 + 250 = 800 800 saladiers sont vendus.

2) 800 × 5.50 = 4 400 Le montant de la recette s'élève à 4 400 euros.

3) p = 120

800 =

3

20 = 0.15 Le pourcentage de saladiers vendus par Natacha est de 15%.

4) 80

100 × n = 800 d’où n = 800 ×

100

80 = 1 000. Il reste 1000 saladiers invendus.

5) x × 5,50 = 6 600 d’où x = 6600

5,5 = 1 200. Pour espérer une recette de 6 600 euros il faut

vendre 1 200 saladiers.

Exercice 8 :

a) On peut organiser la série de notes en construisant un tableau résumé :

Notes xi 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Effectifs ni 1 0 3 5 0 5 0 0 2 0 0 9

b) Voici un diagramme constitué de rubans verticaux pour visualiser cette série.

28

c) La note la plus fréquente est la note 18.

d) La note moyenne est (7 × 1 + 9 × 3 + 10 × 5 + 12 × 5 + 15 × 2 + 18 × 9) ÷ 25 = 13,44. La note moyenne est donc 13,44

e) Il y a (1 + 3 + 5 + 5) = 14 notes inférieures à la note moyenne. Ce qui correspond à un

pourcentage p = 14

25 = 0,56 donc 56% des notes sont en dessous de la moyenne.

Il y a (2 + 9) = 11 notes supérieures à la note moyenne. Ce qui correspond à un pourcentage

p’ = 11

25 = 0,44 donc 44% des notes sont au dessus de la moyenne.

f) On écrit la liste ordonnée des 25 notes de la plus petite à la plus grande et on recherche la note médiane située au rang 13 car 25 = 13 + 1 +13 :

7 9 9 9 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 15 15 18 18 18 18 18 18 18 18 18

La treizième note est la note 12. La note médiane est 12. Il y a autant de notes inférieures à 12 que de notes supérieures à 12.

NOTION 4 : LES FONCTIONS

Exercice 1 :

Partie 1

f (x) = 5x − 2

1) f (− 4) = 5 × (− 4) – 2 = − 20 – 2 = − 22

L'image de − 4 par la fonction f est − 22.

2) f (x) = 9 ⇔ 5x – 2 = 9 ⇔ 5x = 9 + 2 ⇔ x = 115

Le nombre 9 admet pour antécédent 115 par la fonction f.

Partie 2

g (x) = (2x − 3)(4x + 2)

1) g (− 1) = (2 × (− 1) − 3)(4 × (− 1) + 2) = (− 2 − 3) (− 4 + 2) = −5 × (− 2) = 10

L'image de - 1 par la fonction g est 10.

2) Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des deux facteurs au moins est nul.

g (x) = 0 ⇔ (2x − 3)(4x + 2) = 0 ⇔ 2x – 3 = 0 ou bien 4x + 2 = 0

⇔ x = 32 ou bien x = − 12

Les antécédents du nombre 0 par la fonction g sont 32 et − 12.

Partie 3 :

a) f est une fonction telle que :

f(2) = 4 donc le point A(2 ; 4 ) appartient à la courbe représentative de f

f(5) = 1 donc le point B( 5 ; 1) appartient à la courbe représentative de f

b) f est une fonction affine donc f est définie par f(x) = ax + b.

calcul de a :

a = AB

AB

xx

yy

= 1

3

3

25

41

donc f(x) = – 1x + b

Calcul de b :

f(2) = 4 donc – 1× 2 + b = 4 donc b = 6

La fonction affine f est donc définie par f(x) = – x + 6

29

Exercice 2 : Question 1 :

Montant de la réduction : 20 × 30

100 = 6

La réduction est donc de 6 euros pour chaque journée de ski.

La journée de ski pour Yann coûte 14 euros en effet 20 − 6 = 14. Question 2 :

Question 3 :

1) Tarif A : CA

= 20 x. 2) Tarif B : CB

= 14 x + 60.

Question 4 :

Tarif B : 14 x + 60 = 242 ⇔ 14 x = 242 – 60 ⇔ 14 x = 182 ⇔ x = 13.

Yann a skié 13 jours.

Exercice 3 :

Question 2

a) Le prix à payer en magasin s’écrit en fonction de x tel que : f(x) = 15x. b) Le prix à payer par Internet s’écrit en fonction de x tel que : g(x) = 10x + 40.

Question 3 : f(4) = 15 × 4 = 60

g(4) = 10 × 4 + 40 = 100

Le client doit acheter les 4 CD en magasin pour réaliser une économie de 40 euros.

Question 4

Avec une somme de 110 euros on a :

g(x) = 110 ⇔ 10 x + 40 = 110 ⇔ 10 x = 70 ⇔ x = 7. On peut acheter 7 CD.

Question 5 Les deux tarifs sont identiques.

f(x) = g(x) ⇔ 15 x = 10 x + 40 ⇔ 15 x − 10 x = 40 ⇔ 5 x = 40 ⇔ x = 8.

Les tarifs proposés sont identiques pour l’achat de 8 CD.

30

Question 6

Question 7

Le tarif proposé par internet est plus avantageux pour le client quand le tracé de la fonction g est situé sous le tracé de la fonction f.

D’après le graphique le tarif proposé par internet est avantageux pour un achat de 8 CD ou plus

de 8 CD.

Exercice 4 :

1) Nicole s’est arrêtée de la 30iéme

à la 50iéme

minute.

2) Entre la 50iéme

et la 110iéme

minute, il s’est écoulé 60 minutes donc une heure. 30 − 15 = 15. Nicole a parcouru 15 kilomètres. Elle a roulé à la vitesse de 15 km/h.

3) Graphique.

31

4) René part 40 minutes après Nicole. René rattrape Nicole au temps t = 90 minutes.

René et Nicole sont alors à 25 kilomètres du départ.

Exercice 5 : 1) Graphique.

2)

32

3) Lecture : I (2.2 ; 1.6).

4) f(x) = g(x)

. ⇔ 4

3 x = − 0.2x +2

. ⇔ 0.75 x + 0.2x = 2

. ⇔ 0.95 x = 2

. ⇔ x = 2

0,95 donc x =

40

19 La solution de l’équation est

40

19

5) f(x) = 4

3 x donc f(

19

40) =

19

40

4

3 =

19

30

Les Coordonnées exactes du point I : xI =

19

40 et y

I =

19

30.

Exercice 6 :

1. L’image de – 3 par la fonction g est 3 : g( – 3 ) = 3. 2. Un antécédent de – 4 par la fonction g est 1 : g(1) = – 4 .

3. – 2 a pour image 2 par la fonction g : g( – 2 ) = 2.

4. – 3 a pour antécédent 0 par la fonction g g(0) = – 3 . 5. 1 et 3 ont la même image par g : g(1) = g(3) = – 4

Exercice 7 :

1. La fonction f est définie par f(x) = 2x – 3 2. f(0) = – 3. L’image de 0 par f est – 3.

f(3) = 3. L’image de 3 par f est 3

f( – 1) = – 5. L’image – 1 par f est – 5. f(2) = 1. L’image de 2 par f est 1.

Exercice 8 : 1. f( – 3) = – 2 ;

f( 4 ) = 1 ;

f(x) = 1 pour x = 4 pour x ≈ – 1, 9 et pour x ≈ – 5,1

f(x) = 2 pour x = – 1 et pour x ≈ – 5,5

2. f( – 3 ) = – 2 ; f(0) = 0 et f( – 3)= – 2

3.

x – 4 – 3 – 1 0 1,5 4 6

f(x) – 1,5 – 2 2 0 – 3 1 – 4

Exercice 9 :

1) Schéma.

2) Schéma.

33

3. Lecture : x

I = 7.5 et y

I ≈ 49. Le point I a pour coordonnées (7,5 ; 49).

4.

5. La fonction g modélise les dépenses de Paul. La droite D2 est tracée sous la droite D1 à partir de

x = 7.5. Donc à partir de 8 séances Paul sera le plus avantagé car sa dépense sera inférieure à celle de

Pierre.

NOTION 5 : triangles rectangles

Exercice 1 :

Partie 1 :

Dans le triangle ABC rectangle en A, on utilise :

tangente d'un angle aigu = adjacentcôtélongueur

opposécôtélongueur

..

..

donc tan 𝐴𝐵�̂� = 7

9

AB

AC d’où 𝐴𝐵�̂�= tan

-1 (7

9) ≈ 52°

La mesure de l’angle 𝐴𝐵�̂� est environ 52°.

34

Partie 2 :

Dans le triangle DEF rectangle en D, on utilise :

cosinus d'un angle aigu = hypoténuselongueur

adjacentcôtélongueur

.

..

cos 𝐷𝐸�̂� = EF

ED d’où EF =

63coscos

ED

DEF

ED ≈ 8.8

La longueur EF est environ égale à 88 mm.

Exercice 2 :

1) On calcule d’une part :AC² = (6√3)² = 36 × 3 = 108

On calcule d’autre part AB² + BC² = (3√5 – 2√3)² + (6 + √15)²

= 45 – 12√15 + 12 + 36 + 12√15 + 15

= 108

On constate AC² = AB² + BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.

2) Le point O est le milieu du segment [AC]. D est le symétrique de B par rapport à O donc le point O est le milieu du segment [BD].

Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.

DONC Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

De plus le triangle ABC est rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.

Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.

DONC Le parallélogramme ABCD est un rectangle.

3) AB × BC = (3√5 – 2√3)(6 + √15) = 18√5 + 15√3 − 12√3 − 6√5 = 12√5 + 3√3

L’aire du rectangle ABCD est égale à 12√5 + 3√3 m2

.

Exercice 3 :

2) AB 2 = 22 )()( ABAB yyxx = (10 – 3 )2 + (5 – ( - 2) )2 = 49 + 49 = 98

AC 2 = 22 )()( ACAC yyxx = ( 8 – 3) 2 + ( – 7 – ( -2) ) 2 = 25 + 25 = 50

CB 2 = 22 )()( CBCB yyxx = (10 – 8)2 + (5 – ( -7) ) 2 = 4 + 144 = 148

On constate que AB2 + AC2 = CB2

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, l’égalité est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en A

3) Aire de ABC =

2

235

2

2527

2

5098

2

ACAB 35 cm2

4) cos 𝐴𝐵�̂� = 372

27

148

98

BC

BA donc 𝐴𝐵�̂� ≈ 36°