MAK 207: MEKANİKÖğr.Gör.Dr. Ahmet Taşkesen

Ağırlık Merkezi

AĞIRLIK MERKEZİ

Ağırlık Merkezi

AB

G x

AĞIRLIK MERKEZİW1

W2W3

W4 W5 W6 W7W8

R = ΣWi

xm

x2

x1 Xm.R – W1X1 – W2X2 – W3X3 – W4X4 –……..WnXn = 0

ΣMA = 0

ΣWiXi = 0

Xm.R – ΣWiXi = 0 (1) ΣF = 0 R – (W1 + W2 +W3 + …….Wn) = 0

R – ΣWi = 0 (2)

1 ve 2 den

RXWX ii

mΣ

=

i

iim W

XWXΣ

Σ=

gmXgmX

i

iim .

..Σ

Σ=

dm

dmX

mmXX

i

iim

∫=ΣΣ

=.

İki boyutlu bir cisimde m = A

i

iim A

AXXΣ

Σ=

i

iim A

AYYΣΣ

=

WW = W1 + W2 + W3 +.....Wn = ΣWi

dA

dAX∫=.

dA

dAY∫=.

İKİ BOYUTLU ŞEKİLERİN AĞIRLIK MERKEZİ

=

WxWx ΔΣ=WyWy ΔΣ=

∑My: ∑Mx:

W = m.g

AxAx ΔΣ=

AyAy ΔΣ=

r

x

y

i

iim A

AXXΣ

Σ=

i

iim A

AYYΣΣ

=

xm=a/2

ym=b/2

3.2 h

3h

x

π3.4 r

π3.4 r

y

x

π3.4 r

x

y

TEMEL ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZİ

x

y

xm=r

SİMETRİK ŞEKİLLER

SİMETRİK ŞEKİLLER

KABLOLARIN, ÇİZGİLERİN AĞIRLIK MERKEZİ

LxLx ΔΣ=∑My:

LyLy ΔΣ=∑Mx:

=

i

iim L

LXXΣ

Σ=

i

iim L

LYYΣΣ

=

TEMEL YAYLARIN AĞIRLIK MERKEZİ

Xm Ym L

i

iim A

AXXΣ

Σ=

i

iim A

AYYΣΣ

=

i

iim L

LXXΣ

Σ=

i

iim L

LYYΣΣ

=

i

iim W

WYYΣΣ

=i

iim W

WXXΣΣ

=

Xm Ym

Kablo, Tel vs

Alan2

6

37

5

x

y

Hacim

BİLEŞİK ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZİ

∑My: ⋅∑Wi =Xm W1 ⋅X1+W2⋅X2+W3⋅X3 +....Wi ⋅Xi

i

iim W

WYYΣΣ

=

i

iim W

WXXΣΣ

=

∑Mx: ⋅∑Wi =Ym W1 ⋅Y1+W2⋅Y2+W3⋅Y3 +....Wi ⋅Yi

i

iim A

AYYΣΣ

=

i

iim A

AXXΣ

Σ=

ÖRNEK1

21

2211

AAAXAXX m +

+=

21

2211

AAAyAyy m +

+=

4

3

21 1

x

yŞeklin Ağırlık merkezi Xm =? Ym = ?

22x

3,51,5y

3,5.22.22Dikdörtgen21,5.122.1212Dikdörtgen1

y.Ax.AAŞekil

4

3

I II

21+

= 2 ⋅12 + 2 ⋅212 + 2

= 1,5⋅(12) + 3,5⋅(2)12 + 2 = 1,8

= 2

ÖRNEK222

6

0,5

2

1

x

y

21

2211

AAAXAXX m −

−=

21

2211

AAAyAyy m −

−=

6

3,5

I

– 2

3

II

Şeklin Ağırlık merkeziXm =? Ym = ?

33x

2,51,75

y

7,593Üçgen1,75.(21)3.(21)21Dikdörtgen

y.Ax.AAŞekil

= 3⋅(3,5⋅6)−3 ⋅(2⋅3/2)(3,5⋅6) −3 = 3

= 1,75 ⋅(3,5⋅6)−2,5 ⋅(2⋅3/2)(3,5⋅6) −3 = 1,63

ÖRNEK3

21

2211

AAAyAyy m −

−=

I

–

II

Şeklin Ağırlık merkeziXm =? Ym = ?

4,54,5x

74,5y

7(π22/4)4,5(π22/4)π22/4Daire24,5.(π92/4)4,5.(π92/4)π92/4Daire1

y.Ax.AAŞekil

φ 2

φ 9

x

y

2,5

= 4,5 −7

= 4,37⋅ π⋅(9)2

4⋅ π⋅(2)2

4π⋅⋅(9)2

4π⋅⋅(2)2

4−

ÖRNEK4 Şeklin Ağırlık merkeziXm =? Ym = ?

I6

18 +

II

9

6

3⋅278⋅273827Üçgen3

3x

9

9y

9⋅π42/43⋅π42/4π⋅42/4Daire

9⋅(108)3⋅(108)108Dikdörtgeny.Ax.AAŞekil

3 m 3 m 6 m

9 m

9 m

x

yφ 4

mπ

πym 46,84/427108

4/4.9)27(3)108(92

2=

−+−+

=

Xm= 3⋅(108)+8⋅(27)108 +27 = 3,9 m−3 ⋅(π⋅42/4)

− (π⋅42/4)

–

III

φ 4

ÖRNEK5 Şeklin Ağırlık merkeziXm =? Ym = ?

9

15

I

–φ 3

II

–6

9III

4321

44332211

AAAAAXAXAXAXX m −−−

−−−=

–9

IV

72

3

3

9

−2= 2,73

⋅ π⋅(3)2

4⋅(135)4,5 ⋅(27)−6 −(9− 4⋅9

3π )⋅ π⋅(9)2

4(135) − π⋅(3)2

4− (27) π⋅(9)2

4−

Xm=

−4,5= 5,77

⋅ π⋅(3)2

4⋅(135)7,5 ⋅(27)−2 −(15− 4⋅9

3π ) ⋅ π⋅(9)2

4(135) − π⋅(3)2

4− (27) π⋅(9)2

4−

Ym=

x

y

SORU1

+ ––

= Xm = X1⋅A1+X2⋅A2 – X3 ⋅A3A1 + A2 – A3

– X4⋅A4– A4

60⋅16800+ 60⋅5655 − 60⋅502716800+ 5655− 5027

− 80⋅3600−3600

A1 = 120⋅140 = 16800A2 = π⋅1202 / 8 = 5655A3 = π⋅802 /4 = 5027A4 = 60⋅60 = 3600

Xm = 54,8

Ym = 36,6

SORULAR

6 m 4 m

3 m

6 m

x

y

φ 2

Her bir şekil için Xm =? Ym = ?

x

y

20

203 m 3 m

6 m

9 m

9 m

x

y

φ 4

2

6

37

5

x

y y

20

12

2

18

x

3

3 3

3 43x

y

SORULAR Her bir şekil için Xm =? Ym = ?

1) Xm: 4.3703 Ym: 4.1622

2) Xm= 4.1026 Ym= 10.3232

3) Xm= 6.9765 Ym= 12.7324

4) Xm: 3.7016 Ym: 5.6210

5) Xm: 6.2790 Ym: 13.1641

6) Xm: 4.9794 Ym: 2.2548

SORUŞekildeki profilin ağırlık merkezinin üst kenara olan uzaklığını bulunuz? A ve B deki köşe kaynak ölçülerini ihmal ediniz.

SORULAR

Xm: 0.7207 Ym: 3.3977

9 m

15 m

XM: 49.3546 YM: 93.8350

4 m6 m

5⋅2612⋅2651226BC0

12x

5

0y

5⋅100⋅1010CA

0⋅(24)12⋅2424ABy.Lx.LLÇizgi

ÖRNEK 6

2610

24AB

C Şeklin ağırlık merkezi Xm =? Ym = ?

Xm= 12⋅(24)+12⋅(26)24+26

= 10 m+0 ⋅(10)+10

Ym= 0 ⋅(24)+5⋅(26)

24+26= 3 m+5 ⋅(10)

+10

x

y

ÖRNEK 7 W = 100 N ağırlığındaki ve r = 2 m yarıçapındaki bir rod A noktasında bir pim yardımıyla bağlanmış ve sürtünmesiz B noktasına yaslanmaktadır. A ve B deki tepki kuvvetlerini bulunuz?

⇒ B = 31,8 N∑Fx = 0 Ax+B = O ⇒ Ax = – 31,8 N

∑Fy = 0 Ay – W = O ⇒ Ay – 100 = 0 ⇒ Ay = 100 N

222 1008,31 +=R

NR 9,104=

100

31,8

R

α

14,38,31

100tan ==α

α = 72,3o

ÖRNEK 8

2 kg kütleli ve 2 m yarıçaplı AB kablosu şekilde görülmektedir.BC ipindeki kuvveti ve A daki tepki kuvvetini bulunuz?

2 m

RAyRAx

2–2Cos60

TBC

60o

rSin60

2030o

30o

ΣMA=0

(–TBC.Cos60) –TBC.Sin60 +20TBC = 4 N

ΣFx =0 TBC.Cos60 +RAx = 0 ⇒ RAx = –2 N

TBC.Sin60 –20ΣFy =0 +RAy = 0 4.Sin60 –20 +RAy = 0⇒ RAy = 16,5 N

6⋅Cos30/π

30o

r = 2mr

⋅2Sin60 ⋅(2–2Cos60) ⋅(2–6Cos30/π) =0

ÖRNEK 9Homojen olan çelik ABCD telinde θ = 30o

olduğuna göre, L boyunun yatay konumda durabilmesi için L boyu ne olmalıdır?(Ölçüler metredir)

y

xo

0321

332211 =++++

=LLL

LxLxLxX m

30o

L/2

2r/π030186

26.2

22 =−++− CosLL

01443036122 =−−+ CosLL L1 =8,53m L2 = –20,5m

L–3Cos30

+ +6 m

6 m

L

Xm = (−2r/π)⋅π· r +(L/2) ⋅L + (L−3Cos30) ⋅6

π⋅r + L + 6

ÖRNEK 10

Homojen çelik ABC teli şekildeki konumda dengede olduğuna göre L boyu ne olmalıdır?

6 m

8 m L

x

Xm =

+ +

0321

332211 =++++

=LLL

LxLxLxX m

−4 ⋅10 −4 ⋅8 + L ⋅L/2L1 + L2 + L3

= −4 ⋅10 −4 ⋅8 + L ⋅L/2

10 + 8 + L= 0 =

2

2L72 L = 12 m

y

0,0

ÖRNEK

140420

=d = 3 m

x

y

Xm = ⋅L1X1 ⋅L2+X2

L1 +L2 +L3 +L4 +L5

Xm = d

d = ⋅(4 ⋅7)(1) +4⋅ +2⋅ +3⋅ +5⋅(4⋅7) +(4⋅7) +(4⋅7) +(4⋅7) +(4⋅7)

⋅L3+X3 ⋅L4+X4 ⋅L5+X5= d

(4 ⋅7) (4 ⋅7) (4 ⋅7) (4 ⋅7)

ÖRNEK Şekildeki kafes kirş boyları 4 m ve birim kütleleri 7 kg/m olan beş elemandan oluşmaktadır. Bağlantıyerlerindeki levha kütleleri ihmal edilerek, kafes kirişi dengede taşıyacak d mesafesini bulunuz?

∑Xi⋅m = ⋅(1)(4⋅7) ⋅(4)+(4⋅7) ⋅(2)+(4⋅7) ⋅(3)+(4⋅7) ⋅(5)+(4⋅7) = 420 kg⋅m∑m = ⋅(5)(4⋅7) = 140 kg ∑Xi⋅m = ∑m ⋅Xm

mmXX i

m ∑⋅∑

=140420

=mX = 3 m

SORU2a mm

2a mm

2a mm 2a mm

2a mm

2a mm

Şeklin Ağırlık merkezini, xm =? ym = ?Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenine göre atalet momentlerini:

Ixdikdörtgen = ?Ixüçgen = ?Ixdaire = ?Ixtoplam = ?

Iydikdörtgen = ?Iyüçgen = ?Iydaire = ?Iytoplam = ?

Bulunuz (mm4 olarak).

MAK 207: MEKANİK

Öğr.Gör.Dr. Ahmet Taşkesen

5. HAFTAAtalet Momenti

EĞİLME y

x

KİRİŞLER EĞİLME

KİRİŞLER EĞİLME

Kısalma

Uzama

Basma

ÇekmeR1

VGERİLME = F /A ⇒F= A ⋅k ⋅y

y

z

ATALET MOMENTİ (I)

Fakat, moment ≠ 0

∑Fz = 0

∑M = I

∑Fz = 0 ∫ k ⇒k ∫ y⋅dA = 0⋅y⋅dA = 0Mx = k ∫ y⋅dA ⋅y ∫Mx = k⋅y2⋅dA

∫My = k⋅x2⋅dA Mz = k⋅r2⋅dA

Basma

ÇekmeR1

V

ATALET MOMENTİ (I)1 tek noktanın atalet momenti:

Ix = ∫ dAy 2

Iy = ∫ dAx 2

Iz = ∫ dAr 2

x

y

a

b

Ix ≠ Iy

x

y

Ix

y

x

Iy

y

x

Izz

x

y

x

y

r

F=y·dA

DEĞİŞİK PROFİL KESİTLERİ (I)

En büyük atalet momenti??

a

b x

y

x

x

y

Dikdörtgenin kendi ağırlık merkezinden geçen, x eksenine göre atalet momenti nedir? Iox = ?

12. 3baIox =

12. 3abIoy =

64

4dIoyIox π==

h

a

36. 3haIox =

dy

dA

dA = a.dy

∫= dAyIox 2y∫= ).(2 dyayIox ∫∫ ==

2/

2/

32

3

b

b

yadyya

y

x

π3.4 r x

y

TEMEL ŞEKİLLERİN ATALET MOMENTİ

64

4dIoyIox π==

12. 3baIox =

12. 3abIoy =

36. 3haIox =

x

a

h

16.055,0 4dIox =

16.055,0 4dIoy =

16.11,0 4dIox =

128. 4dIoy π

=

a

b

y

x

φ d

y

x

BAŞKA BİR EKSENE GÖRE ATALET MOMENTİ

12. 3baIox =

12. 3abIoy =

a

b

y

xm

a

b

y

x

Iax = ?

64

4dIoyIox π==

φ d

y

A

IAx = ?φ d

y

xm

BAŞKA BİR EKSENE GÖRE ATALET MOMENTİ

Paralel eksenler teoremi

I = Io + A.d2

IAx = Iox + A.d2

IAx : Iox:

A:

d:

0

I =∫ =∫ (y’+d)2⋅dAy2⋅dA

I = ∫ y’2⋅dA +2⋅d∫y’⋅dA +d2∫dAIo

ÖRNEK

6 m

10 m x

a5

Dikdörtgenin tabanından geçen ve yatay eksene göreatalet momenti nedir?

Iax = Iox +A· d2

Iax = 12106 3⋅ 2560 ⋅+ = 2000 m4

Iax = 12

3ba ⋅ 2dA ⋅+

BİLEŞİK ŞEKİLLERİN ATALET MOMENTİKURAL 1: Aynı eksene göre olan atalet momentleri toplanabilir.

64

4DπφD

φd –φd

φD

=Ix ?=Iy

a

b

A

B x –a

b

A

B

64

4dπ−=Ix

12. 3BA

12. 3ba

−

KURAL 2: Farklı eksene göre atalet momenti aşağıdaki denklemle hesaplanır:

Ix’ = Iox + A.d2

Ix’ : Iox:

A:

d:

x

x ’d

A

m

ÖRNEK

4

3

I

21+

II

Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x ve eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx = ? Imy = ?

Xm =2 ym =1,8

4

3

21 2

x

y

ym

m

Imx1= Iox1+A1.d12 =

1234 3⋅ 2)3,0(12 ⋅+ = 10,1 m4

Imx2= Iox2+A2.d22 =

1212 3⋅ 2)8,15,3(2 −⋅+ = 5,95 m4

Imxtoplam=Imx1+ Imx2

x eksenine göre:

y eksenine göre:

Imy = I0x1+ I0x2 = 12

43 3⋅1221 3⋅

+

= 10,1 + 5,95 = 16,05 m4

= 16,67 m4

Imx = 16,05 m4

Imy = 16,67 m4 ?

ym

mx

ÖRNEK22

6

0,5

2

1

x

y

6

3,5

I

–2

3

II

Xm =3 ym =1,63

ym

Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx = ?

m

I1= Io1+A1.d12 = 2)63,175,1(21 −⋅+

I2 = Io2+A2.d22 = 2)63,15,2(3 −⋅+

12)5,3(6 3⋅

3632 3⋅

2)12,0(21⋅+12

)5,3(6 3⋅I1= = 21,7 m4

2)87,0(3 ⋅+ = 3,7 m436

32 3⋅I2 =

Ixtoplam= I1− I2 = 21,7 – 3,7 = 17,93 m4

x eksenine göre:

mx

ÖRNEKφ 2

φ 9

I

–

II

Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x ve eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx = ? Imy = ?

m

x

y

ym

ym =4,37

I1= Io1+A1.d12 = 2

2

)37,45,4(49

−⋅⋅

+π

64)9( 4⋅π

x eksenine göre:

I1= 323,1

I2= Io2+A2.d22 = 2

2

)37,47(42

−⋅⋅

+π

64)2( 4⋅π

I2= 22,5

2,5

Imx= I1 − I2

y eksenine göre:

Imy= 64

)9( 4⋅π64

)2( 4⋅−π

Imy= 321,3 = 323,1 – 22,5

Imx= 300,1

mx

72

3

3

9

x

yÖRNEK Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x

ve eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx = ? Imy = ?

Xm= 2,73 Ym= 5,77

ym9

15

I

–φ 3

II

–6

9III

–9

IV

I1= Io1+A1.d12 = 2)77,55,7(135 −⋅+

12159 3⋅

x eksenine göre:

I1=2935

I2= Io2+A2.d22 = 2

2)77,55,4(

43

−⋅⋅

+π

64)3( 4⋅π I2=15,38

Imx= I1 − I2− I3 − I4

Imx= 259 I3= Io3+A3.d32 =

I4= Io4+A4.d42 =

36)6(9 3⋅ 2)77,52(

296

−⋅⋅

+

16)18(055,0 4⋅ 2

2)77,5

39415(

49

−⋅

−⋅⋅

+π

π

I3= 437,7

I4=2223Imy= 174,2

mx

Imx= 2935 − 15,38−437,7−2223

Imx= I1 − I2− I3 − I4

+ ––A1 = 120⋅140 = 16800 A2 = π⋅1202 / 8 = 5655A3 = π⋅802 /4 = 5027 A4 = 60⋅60 = 3600Xm = 54,8 Ym = 36,6

I1= Io1+A1.d12 = 2)106,36(16800 −⋅+

12140120 3⋅

x eksenine göre:I1=39327008

I2= Io2+A2.d22 = 2)6,36

360480(5655 −⋅

+⋅+π128

)120(11,0 4⋅ I2=26996243

I3= Io3+A3.d32 = 2)6,3680(5027 −⋅+

64)80( 4⋅π I3=11479275

I4= Io4+A4.d42 =

36)60(120 3⋅ 2)6,3640(3600 −−⋅+ I4= 21843216

Imx= I1 + I2− I3 − I4 Imx= 33000760⇒ Imy= 18543877Benzer şeilde y eksenine göre:

mx

my

Imx= I1 + I2− I3 − I4

20

12

2

18

O

Şeklin Ağırlık merkezini, xm =? ym = ?Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenine göre atalet momentleri?

ÖRNEKy

x

Xm: 6.2790 Ym: 13.1641

ImX: 33775.4052 ImY: 6639.8141

mx

my

3

3 3

3 43x

y ÖRNEK

Xm: 4.9794 Ym: 2.2548 ImX: 60.2477 ImY: 246.3676

mx

my Şeklin Ağırlık merkezini, xm =? ym = ?Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenine göre atalet momentleri?

9 m

15 m

ÖRNEK

Xm: 0.7207 Ym: 3.3977

ImX: 685.8141 ImY: 3751.3905

ÖRNEKXM: 49.3546 YM: 93.8350 ImX: 71951430.6496 ImY: 18554130.2571

6cm

1cm4cm

1cm

A B

ÖRNEK

6cm

1cm4cm

1cm

A B

ÖRNEK Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x ve eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx = ? Imy = ?

30 cm

5 cm

40 cm5 cm

ÖRNEK Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x ve eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx = ? Imy = ?

30 cm

5 cm

40 cm

5 cm

MAK 207 ÖDEV

2a mm

4a mm

20 mm

2a mma +10mm

φ 2a mm

Şeklin Ağırlık merkezini, xm =? ym = ?Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenine göre atalet momentlerini:

Ixdikdörtgen = ?Ixüçgen = ?Ixdaire = ?Ixtoplam = ?

Iydikdörtgen = ?Iyüçgen = ?Iydaire = ?Iytoplam = ?

Bulunuz (mm4 olarak).

y

x

3 m 3 m

6 m

9 m

9 m

x

yÖRNEK Şeklin Ağırlık merkezinden geçen x

ve eksenine göre atalet momentini bulunuz.. Imx =?

MAK 207 ÖDEV2a mm

2a mm

2a mm 2a mm

2a mm

2a mm

Şeklin Ağırlık merkezini, xm =? ym = ?Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenine göre atalet momentlerini:

Ixdikdörtgen = ?Ixüçgen = ?Ixdaire = ?Ixtoplam = ?

Iydikdörtgen = ?Iyüçgen = ?Iydaire = ?Iytoplam = ?

Bulunuz (mm4 olarak).

y

x