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MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

G U Í A D E E S T U D I O

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADAS A LA INVESTIGACIÓN

Fernando Guzmán González

ÍNDICE. 1. Introducción................................................................................. 2 2. Objetivo........................................................................................ 3 3. Justificación................................................................................. 3 4. Metas........................................................................................... 3 5. Contenidos desglosados............................................................. 4 6. Metodología de trabajo................................................................ 5 7. Cronograma de actividades......................................................... 6 8. Actividades de estudio................................................................. 7 9. Bibliografía................................................................................... 29

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1. INTRODUCCIÓN.

La Maestría en Enseñanza de las Matemáticas se propone, entre sus objetivos, aumentar los conocimientos matemáticos de los profesores, formar al personal docente en los métodos de investigación educativa, desarrollar en ellos una alta capacidad de experimentación e innovación y con ello, contribuir a elevar la calidad de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el medio. Una de las áreas que directamente influyen en los objetivos antes mencionados es la de Probabilidad y Estadística, dado que, por un lado, engloba una serie de conocimientos matemáticos de suma importancia por su aplicación en los campos técnicos, y por el otro, encuentra aplicaciones en la experimentación cuantitativa del proceso de enseñanza-aprendizaje, que el egresado de la maestría debe desarrollar de manera cotidiana en su trabajo.

El curso de Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Investigación está conceptualizado con el fin de que, todo egresado de la Maestría, cuente con las herramientas mínimas indispensables para el desarrollo de sus investigaciones, independientemente del área de la matemática que en su trabajo desarrolle normalmente; de esta manera, se presentan los métodos y las técnicas estadísticas desde el punto de vista de su aplicación a los proyectos de investigación, dejando en segundo plano las implicaciones matemáticas y los problemas inherentes a la enseñanza de los diferentes temas.

Se busca primordialmente la aprehensión de los conceptos, las condiciones necesarias para su aplicación y la interpretación de los resultados obtenidos, dejando prácticamente todo el trabajo de cálculo para realizarlo a través del software estadístico "STATGRAPHICS", liberando así al curso de un enorme gasto de tiempo consumible en los procesos aritméticos para la obtención de resultados.

En el curso se contemplan situaciones que van, desde la simple descripción de datos cuantitativos de una muestra, hasta la inferencia de los valores correspondientes en toda la población, pasando por la prueba de hipótesis y utilizando, en el momento adecuado, algunas distribuciones teóricas de probabilidad; todo ello en función del nivel de medición logrado para las variables inherentes al problema que se intente solucionar. Esto se refleja en los contenidos, que a manera de grandes temas se presentan a continuación.

CONTENIDOS SINTÉTICOS.

I. Introducción II. Muestreo y distribuciones empíricas III. Probabilidad y sus distribuciones teóricas IV. Estimación y prueba de hipótesis V. Análisis de varianza VI. Regresión y correlación VII. Estadística no paramétrica

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Para la revisión de cada uno de estos temas se presentan preguntas generales y

problemas típicos, a los que es posible responder y solucionar luego de la aprehensión de los conceptos correspondientes, para lo cual se recomiendan lecturas pertinentes, seguidas de ejercicios a fin de reafirmar los contenidos implicados.

2. OBJETIVO.

Proporcionar al profesor-alumno las herramientas mínimas indispensables para facilitar la planeación y ejecución de sus proyectos de investigación, cuando éstos tengan que ver con acercamientos cuantitativos a los problemas de interés.

3. JUSTIFICACIÓN.

Dada la importancia que tienen los procesos de investigación en prácticamente cualquier campo del desarrollo social, es indispensable que cualquier egresado de una maestría cuente con los conocimientos del área de Probabilidad y Estadística, sin los cuales, en muchos casos sería imposible el avance en el conocimiento y por ende, el desarrollo de la humanidad. De esta manera, el egresado de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas, deberá poseer una serie de conocimientos de esta área del saber, para que esté en posibilidades, tanto de analizar los problemas que su enseñanza-aprendizaje implican, como de aplicarlos correctamente a sus investigaciones, es decir, de escoger la técnica estadística más adecuada al problema que se le presente.

4. METAS.

1. Ordenar, analizar y presentar los datos cuantitativos provenientes de las investigaciones en torno al proceso enseñanza-aprendizaje.

2. Inferir el comportamiento de la población a partir de los datos de una muestra.

3. Determinar si dos o más muestras son iguales en relación con una característica de interés.

4. Determinar qué tan fuerte es la asociación, y cómo es ésta, entre dos o más variables.

5. Obtener conclusiones a partir de datos que no cumplen con los requerimientos necesarios para las pruebas paramétricas.

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5. CONTENIDOS DESGLOSADOS.

1. INTRODUCCIÓN

Descripción general del curso y de cómo éste se inserta en el Área de Probabilidad y Estadística, y ésta a su vez, cómo se concibe dentro del plan de estudios de la Maestría.

2. MUESTREO Y DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS

2.1. Niveles de medición 2.2. Técnicas de muestreo 2.3. Distribuciones de frecuencia y sus gráficos (histograma, polígono de frecuencias, ojiva, etc.) 2.4. Medidas de tendencia central 2.5. Medidas de dispersión

3. PROBABILIDAD Y SUS DISTRIBUCIONES TEÓRICAS

3.1. Conceptos fundamentales de probabilidad 3.2. Variable aleatoria 3.3. Distribuciones discretas de probabilidad (Uniforme, Binomial) 3.4. Distribuciones continuas de probabilidad (Z, t, F, X2)

4. ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPÓTESIS 4.1. Intervalos de confianza para la media y la proporción 4.2. Hipótesis estadísticas con relación a medias, proporciones y diferencias de medias y de proporciones 4.3. Errores tipo I y II al probar hipótesis

5. ANÁLISIS DE VARIANZA 5.1. Fundamento conceptual del análisis de varianza 5.2. Análisis de varianza para un criterio de clasificación 5.3. Análisis de varianza para varios criterios de clasificación

6. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 6.1. Coeficiente de correlación lineal simple y coeficiente de determinación 6.2. Regresión lineal simple 6.3. Correlación múltiple y correlación parcial 6.4. Regresión lineal múltiple

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7. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 7.1. Introducción 7.2. Caso de una muestra 7.3. Caso de dos muestras relacionadas 7.4. Caso de dos muestras independientes 7.5. Caso de K muestras relacionadas 7.6. Caso de K muestras independientes 7.7. Medidas de correlación

6. METODOLOGÍA DE TRABAJO

Dada la modalidad, en este caso a distancia, de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas, se considera la siguiente forma de trabajo:

• Primera sesión (introductoria): encuadre del curso y conocimiento y uso del paquete estadístico "Statgraphics".

• En cada uno de los siguientes días de trabajo, el alumno deberá enviar las respuestas a las "Preguntas guía para la lectura" y el "Glosario", de acuerdo con lo programado en el "Cronograma de Actividades". Tanto las respuestas a las preguntas guía para la lectura, como las definiciones de los conceptos del glosario, deberán redactarse por el propio alumno (no ser copia de los textos) de la manera más sintética posible, manteniendo claridad en las mismas. Generalmente, las respuestas requeridas no implican más allá de 5 renglones de escritura.

• Las respuestas a los problemas de aplicación de los temas de la semana en curso, se enviarán a más tardar el último día de la semana y podrán elaborarse por equipos de entre 3 y 4 personas. Cuando exista reconocimiento parcial programado para esa semana, éste se llevará a cabo el último día de dicha semana y las respuestas a los problemas deberán enviarse un día antes.

• Todos los trabajos a enviarse deberán ser elaborados en formato Microsoft Word 97, esto con el fin de no tener ninguna dificultad en la comunicación.

• Todas las dudas podrán estarse discutiendo día con día; por parte del responsable del curso, esto se hará por la noche, por lo que los posibles comentarios podrán consultarse al día siguiente.

• La calificación final del curso resultará de considerar lo siguiente:

1. Respuestas a las "Preguntas guía para la lectura" ................... 20% 2. Definiciones a los conceptos de los "Glosarios" ...................... 20% 3. Solución a los "Problemas de aplicación".................................. 20% 4. Reconocimientos o exámenes parciales .................................... 40%

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7. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES Se considera una duración de cinco semanas para el curso, por lo cual la

distribución de contenidos es, aproximadamente, de la siguiente manera:

PRIMERA SEMANA (lunes 19 - sábado 24 de nov.): Unidades 1 y 2

DÍA TEMAS GLOSARIO PROBLEMAS ACTIVIDAD

Lun 2.0, 2.1 1 - 3 1 Responder preguntas y glosario

Mar 2.2, 2.3 4 - 10 2 - 4 " " "

Mié 2.4 11 - 14 2 - 4 " " "

Jue 2.5 15 - 25 2 - 4 " " "

Vie Responder problemas

Sáb Primer examen parcial

SEGUNDA SEMANA (lunes 26 nov. - sábado 1 de dic.): Unidades 3 y 4


Lun 3.1, 3.2 1 - 8 1 - 3 Responder preguntas y glosario

Mar 3.3, 3.4 9 - 10 1 - 3 " " "

Mié 4.1 1 - 4 1 - 13 " " "

Jue 4.2, 4.3 5 - 11 1 - 13 " " "


Sáb Segundo examen parcial

TERCERA SEMANA (lunes 3 - sábado 8 de dic.): Unidad 5


Lun 5.1 1 - 4 Responder preguntas y glosario

Mar 5.2 5 - 7 1 - 5 " " "

Mié 5.2 5 - 7 1 - 5 " " "

Jue 5.3 5 - 7 6 - 8 " " "

Vie

Sáb Responder problemas

CUARTA SEMANA (lunes 10 - sábado 15 de dic.): Unidad 6


Lun 6.1, 6.2 1 - 4 1 - 3 Responder preguntas y glosario

Mar 6.2 1 - 4 1 - 3 " " "

Mié 6.3, 6.4 5 - 8 5 - 9 " " "

Jue 6.4 5 - 8 5 - 9 " " "


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Sáb Tercer examen parcial

QUINTA SEMANA (lunes 17 - sábado 22): Unidad 7


Lun 7.1, 7.2 1 - 5 1 Responder preguntas y glosario

Mar 7.3, 7.4 6 2 - 6 " " "

Mié 7.5, 7.6 2 - 6 " " "

Jue 7.7 2 - 6 " " "


Sáb Cuarto examen parcial

8. ACTIVIDADES DE ESTUDIO.

A continuación se presentan las sugerencias bibliográficas para cada uno de los temas a tratar, en algunos de los casos se anotan recomendaciones para cada subtema, en tanto en otros, las sugerencias se hacen para el tema en general dada la dificultad de separación nítida de los subtemas en la bibliografía existente.

El orden de aparición de las sugerencias indica la prioridad recomendada. Por otro lado, cualquiera de los textos propuestos podría cubrir en gran medida las expectativas para los temas, incluso algunos libros que no han sido considerados aquí podrían servir también para los propósitos de los cursos; sin embargo, dado que el fin principal de la asignatura es proporcionar herramientas para la investigación social de corte cuantitativo, se consideran más apropiados aquellos textos con enfoque hacia las ciencias sociales.

UNIDAD 2. MUESTREO Y DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS

2.1. Niveles de medición (14) pp 1-13 (2) pp 22-39 (6) pp 7-17 2.2. Técnicas de muestreo (9) pp 5-37 (2) pp 531-554 2.3. Distribuciones de frecuencia y sus gráficos (histograma, polígono de frecuencias, ojiva, etc.) (2) pp 43-64 (14) pp 1-13 (10) pp 15-38

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(6) pp 27-54 2.4. Medidas de tendencia central (14) pp 15-37 (2) pp 67-87 (6) pp 57-71 (10) pp 39-51 2.5. Medidas de dispersión (14) pp 46-76 (2) pp 90-102 (6) pp 75-92 (10) pp 56-69

PREGUNTAS GUÍA PARA LA LECTURA: 2.1.1. ¿Qué significa medir? 2.1.2. ¿Cuántos niveles de medición hay?, ¿cuáles son?, ¿en qué se distinguen? 2.2.1. ¿Qué es una muestra? 2.2.2. ¿Cuántos tipos de muestreo existen? 2.2.3. ¿En qué consiste cada una de las técnicas básicas de muestreo aleatorio? 2.3.1. ¿Qué se entiende por distribución de frecuencias? 2.3.2. ¿Cómo se construye una distribución de frecuencias con datos agrupados? 2.3.3. ¿Qué diferencia existe entre una gráfica de barras y un histograma? 2.4.1. ¿Qué se entiende por tendencia central en un grupo de datos? 2.4.2. ¿Cuántas y cuáles son las principales medidas de tendencia central comúnmente usadas? 2.4.3. ¿En qué circunstancias debe preferirse cada una de ellas? 2.5.1. ¿Qué se entiende por dispersión en un grupo de datos? 2.5.2. ¿Cuántas y cuáles son las principales medidas de dispersión comúnmente usadas? 2.5.3. ¿En qué circunstancias debe preferirse cada una de ellas? 2.5.4. En general, ¿cuáles son los 16 criterios más importantes para seleccionar una medida de tendencia central o de dispersión, en un problema en particular?

GLOSARIO:

Escriba una definición apropiada para cada concepto de los que se listan a

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continuación: 1.Medir, 2.Nivel nominal de medición, 3.Nivel ordinal de medición, 4.Límites de clase, 5.Marca de clase, 6.Frecuencia relativa, 7.Cuartil, 8.Histograma, 9.Polígono de frecuencias, 10.Ojiva, 11.Media, 12.Mediana, 13.Moda, 14.Rango medio, 15.Desviación, 16.Rango, 17.Rango intercuartílico, 18.Desviación media, 19.Varianza, 20.Desviación estándar, 21.Coeficiente de variación, 22.Asimetría, 23.Curtosis, 24. Entropía, 25. Índice de diversidad. Agregue todos aquellos términos que aparezcan a lo largo del curso con una connotación especial.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN: 1.- Supóngase que se obtiene la siguiente información a partir de una solicitud de ingreso a la Universidad de Guadalajara: a). Monto de los ingresos familiares mensuales: $ 9,500.00 b). Número de miembros en la familia: 5 c). Casa: propia d). Edad: 18 años e). Lugar de residencia: Zapopan, Jal. f). Nivel de estudios al que pretende ingresar: Superior

Clasifica cada una de estas variables de acuerdo a su nivel de medición. 2.- Los siguientes 75 datos corresponde a las puntuaciones de la prueba de inteligencia aplicada a los grupos de alumnos de la coordinación de sociología.

141 104 101 130 148 92 87 115 91 96 100 133 124 92 123 132 118 98 101 107 97 124 118 146 107 110 111 138 121 129 106 135 97 108 108 107 110 101 129 105 105 110 116 113 123 83 127 112 114 105 127 114 113 106 139 95 105 95 105 106 109 102 102 102 89 108 92 131 86 134 104 94 121 107 103

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Haga una descripción completa de estos datos, obteniendo las medidas de tendencia central, de dispersión, los gráficos, y con todo ello elabore las conclusiones pertinentes. 3.- A partir de las pasadas elecciones federales se obtuvieron los siguientes porcentajes de participación electoral en algunas de las casillas instaladas en el estado de Jalisco: 39.2 28.1 22.8 44.3 36.3 18.2 27.1 33.6 39.5 21.6 46.1 11.6 26.3 33.4 58.1 20.7 37.1 28.8 19.3 32.3 37.9 21.5 36.3 27.1 25.6 33.1 9.3 21.6 27.8 43.7 22.4 37.1 13.3 26.3 35.1 21.6 13.4 26.3 17.5 33.6 28.2 15.1 24.9 37.1 23.0 46.8 27.8 29.9 12.3 26.5 19.9 26.3 10.0 15.3 26.1 7.1 33.4 39.4 23.6 28.3 83.6 26.1 20.7 27.3 31.0 16.8 22.1 5.3 37.2 26.9 47.1 29.2 11.8 23.5 36.3 26.9 42.7 24.3 37.1 24.8 4.8 14.3 22.9 13.3 27.3 46.6 33.0 17.8 25.1 41.0 9.7

a). Haga una descripción completa de estos datos, obteniendo las medidas de tendencia central, de dispersión, los gráficos, y con todo ello elabore las conclusiones pertinentes.

b). Elimine de la muestra los dos datos más grandes y repita el análisis solicitado en el inciso a), ¿en qué se diferencian las conclusiones anteriores a las obtenidas para estos datos modificados? 4.- Se formaron dos grupos de seis alumnos cada uno con el fin de ensayar dos métodos de enseñanza para un concepto de matemáticas y se obtuvieron las siguientes calificaciones luego del proceso:

Grupo A Grupo B 3 3 5 5 3 1 6 8 4 9 6 8

Como profesor interesado en la enseñanza de dicho concepto matemático, ¿cuál de los dos métodos de enseñanza preferiría utilizar en lo sucesivo?, ¿por qué?

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UNIDAD 3. PROBABILIDAD Y SUS DISTRIBUCIONES TEÓRICAS 3.1. Conceptos fundamentales de probabilidad 3.2. Variable aleatoria 3.3. Distribuciones discretas de probabilidad (Uniforme, Binomial, Poisson) 3.4. Distribuciones continuas de probabilidad (Z, t, F, X2) (2) pp 128-156 (6) pp 197-239 (1) pp 184-211

PREGUNTAS GUÍA PARA LA LECTURA: 3.1.1. ¿Qué es probabilidad? 3.1.2. ¿Cuáles son las reglas principales de la probabilidad? 3.1.3. ¿Qué se entiende por probabilidad condicional? 3.1.4. ¿Cuándo se dice que dos eventos son estadísticamente independientes? 3.2.1. ¿Cuándo se considera que una variable es aleatoria? 3.2.2. ¿Cuáles son los tipos de variables aleatorias que existen? 3.3.1. ¿Qué es una distribución de probabilidades? 3.3.2. ¿Entre quienes se distribuyen las probabilidades? 3.3.3. ¿Qué relación existe entre los tipos de distribuciones de probabilidad y los tipos de variables aleatorias? 3.4.1. ¿Cuáles son las principales distribuciones continuas de probabilidad? 3.4.2. ¿Por qué se les llama distribuciones continuas?

GLOSARIO:

Escriba una definición apropiada para cada concepto de los que se listan a continuación: 1.Evento, 2.Espacio muestral, 3.Cardinalidad, 4.Proporción, 5.Diagrama de árbol, 6.Combinación, 7.Permutación, 8.Variable aleatoria, 9.Distribución de probabilidad, 10.Esperanza matemática

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

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1.- Un examen de opción múltiple tiene cinco preguntas donde cada una de ellas contiene cuatro alternativas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga: a). Todas las respuestas equivocadas? b). Todas las respuestas correctas? 2.- En cierta asignatura, la escala de calificaciones utilizada es de cero a veinte. Un grupo que curso dicha asignatura obtuvo una calificación media de 12.8, con una varianza de 6.25. Determinar la probabilidad de encontrar calificaciones: a). Mayores que 17. b). Menores que 11.3 c). Entre 10.1 y 14.9 d). Menores que 9.2 o mayores que 15.7 3.- Si se sabe que el porcentaje de alumnos de clase social alta que acuden a las escuelas de la Universidad de Guadalajara es del 20%, ¿cuál es la probabilidad de que de los 30 nuevos alumnos de un grupo, 8 pertenezcan a la clase social alta?

UNIDAD 4. ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPÓTESIS 4.1. Intervalos de confianza para la media y la proporción (1) pp 328-352 (2) pp 211-226 (6) pp 241-263 (12) pp 28-49 4.2. Hipótesis estadísticas con relación a medias, proporciones y diferencias de medias y de proporciones 4.3. Errores tipo I y II al probar hipótesis (1) pp 401-423 (2) pp 231-253 (6) pp 291-334 (12) pp 49-74

PREGUNTAS GUÍA PARA LA LECTURA: 4.1.1. ¿Qué diferencia existe entre estadístico y parámetro? 4.1.2. ¿Cuántos y cuáles son los tipos de estimación de parámetros que hay? 4.1.3. ¿Qué se entiende por nivel de confiabilidad de una estimación? 4.2.1. ¿Qué se entiende por hipótesis estadística? 4.2.2. ¿Cuántos y cuáles son los tipos de hipótesis estadísticas que existen? 4.2.3. ¿A qué se le llama nivel de significancia al probar hipótesis estadísticas?

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4.2.4. ¿Qué es la región de rechazo en la prueba de hipótesis? 4.2.5. Al trabajar con hipótesis estadísticas en relación con la media aritmética, ¿qué nivel de medición debe haberse alcanzado para la variable en estudio? 4.3.1. ¿En qué consisten los errores tipo I y tipo II al probar hipótesis? 4.3.2. ¿Cuál de estos dos tipos de errores es el más importante? 4.3.3. ¿Cómo se puede disminuir el error tipo II?

GLOSARIO:

Escriba una definición apropiada para cada concepto de los que se listan a continuación: 1.Estimador, 2.Parámetro, 3.Nivel de confiabilidad, 4.Intervalo de confianza, 5.Nivel de significancia, 6.Región de rechazo, 7.Error tipo I, 8.Error tipo II, 9.Grados de libertad, 10.Hipótesis nula, 11.Hipótesis alternativa


1.- Varios investigadores desean saber si pueden concluir que dos poblaciones de niños difieren en cuanto a la edad media a la cual pudieron caminar por sí solos. Se reunieron los datos siguientes (las edades están en meses):

Muestra de la población A: 9.5, 10.5, 9.0, 9.75, 10.0, 13.0, 10.0, 13.5, 10.0, 9.5, 10.0, 9.75

Muestra de la población B: 12.5, 9.5, 13.5, 13.75, 12.0, 13.75, 12.5, 9.5, 12.0, 13.5, 12.0, 12.0

Con un nivel de significancia de 0.05, ¿qué concluirían los investigadores? 2.- Veinte personas voluntarias se dividieron al azar en dos grupos. Las personas

del grupo A se sometieron a un período de privación sensorial de 10 días, mientras que las del grupo B sirvieron de control. Al término del período experimental, se registró la frecuencia de la onda alfa componente de los electroencefalogramas de las personas. Los resultados fueron los siguientes: Grupo A: 10.2, 9.5, 10.1, 10.0, 9.8, 10.9, 11.4, 10.8, 9.7, 10.4 Grupo B: 11.0, 11.2, 10.1, 11.4, 11.7, 11.2, 10.8, 11.6, 10.9, 10.9

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique que la privación sensorial tiene algún efecto sobre la frecuencia de la onda alfa de las personas?. Sea el nivel de significancia de 0.05.

3.- Los siguientes valores son las presiones sistólicas sanguíneas (en mm de Hg) de 12 pacientes que experimentan terapia con drogas debido a que padecen de

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hipertensión: 183, 152, 178, 157, 194, 163, 144, 114, 178, 152, 118, 158

¿Puede concluirse con base en estos datos que la media de la población es menor que 165?. Sea 0.05 el nivel de significancia.

4.- A una muestra aleatoria de 15 estudiantes de sociología se les aplicó un test para medir su nivel de autoritarismo. Los resultados fueron los siguientes: 75, 90, 85, 110, 115, 95, 132, 74, 82, 104, 88, 124, 110, 76, 98

Pruebe la hipótesis de que la media para la población muestreada es de 100, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

5.- Un miembro de cada una de 10 parejas de semillas de maíz se trata con una pequeña corriente eléctrica, mientras que el otro miembro se deja sin tratar. Después de un período de crecimiento se miden las diferencias de alargamiento en centímetros (tratada menos no tratada) y fueron: 6.0, 1.3, 10.3, 23.4, 3.1, 6.8, -1.5, -14.7, -3.3, 11.1

Utilizando un nivel de significancia de 0.01, pruebe la hipótesis de que el tratamiento con corriente eléctrica no afecta el alargamiento.

6.- En un programa ecológico sobre la contaminación de un río se tomaron muestras de agua en 8 diferentes lugares del río antes y después de dos años, obteniéndose los siguientes resultados. Los números representan la medida de la contaminación, medidas altas indican alta contaminación. Lugar: 1 2 3 4 5 6 7 8 Inicial: 88.4 68.9 100.5 81.4 96.3 73.7 65.1 72.1 Final: 87.1 69.1 91.1 75.6 96.9 69.2 66.3 68.3

Estamos interesados en saber si el programa de rehabilitación ecológica ha tenido

efecto en la reducción de la contaminación, con = 0.05.

7.- Para comparar los efectos de dos drogas que inducen al sueño, se condujo el siguiente experimento: en noches diferentes, a cada uno de 10 sujetos que padecen insomnio se les administró una de las dos drogas A o B. La tabla siguiente proporciona, para las dos drogas, el número de horas adicionales de sueño con respecto al promedio de horas que cada sujeto acostumbraba dormir.

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Paciente: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Droga A: 0.7 -1.6 -0.2 -1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0 Droga B: 1.9 0.8 1.1 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.6

¿Existe diferencia estadísticamente significativa en el número de horas adicionales de sueño para las dos drogas?

8.- El diámetro de un cilindro fue medido por 16 personas. Cada persona hizo tres mediciones usando un calibrador micrométrico y tres usando un calibrador vernier. Los promedios (media aritmética) de las tres lecturas (en centímetros), para cada instrumento de medida y para las 16 personas, se presenta la tabla siguiente: Micrómetro Vernier Micrómetro Vernier

3.213 3.213 3.213 3.218 3.218 3.218 3.216 3.216 3.221 3.218 3.213 3.218 3.226 3.223 3.218 3.233 3.221 3.226 3.218 3.226 3.218 3.218 3.211 3.218 3.216 3.231 3.216 3.233 3.221 3.218 3.213 3.221

Probar la hipótesis de no diferencia entre las dos muestras, con = 0.05.

9.- Una compañía dedicada al colado de hierro, está interesada en el porcentaje de sílice en el hierro. Los datos indicados a continuación constituyen una muestra al azar de los registros de producción, en donde se consigna el número de gramos de sílice por cada 100 gramos de hierro:

1.13 0.80 0.85 0.60 0.97 0.92 0.94 0.72 1.17 0.89 0.79 0.87 0.92 0.81 0.97 0.48 1.00 0.92 0.61 0.81 0.68 1.00 0.36 0.68 0.83 0.82 0.71 0.97 0.87 1.16

Usando = 0.01, pruebe la hipótesis de que la media del proceso es 0.85 gramos de sílice por cada 100 gramos de hierro.

10.- Diez animales de laboratorio se sometieron a condiciones que simulaban enfermedad. Se registró el número de latidos del corazón por minuto antes y después del experimento, de la manera siguiente: Animal: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes: 70 84 88 110 105 100 110 67 79 86 Después: 115 148 176 191 158 178 179 140 161 157

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¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique que la condición

experimental aumenta el número de latidos del corazón por minuto?. Sea = 0.05.

11.- Se llevó acabo un estudio para poner a prueba la eficacia de un nuevo procedimiento terapéutico para mejorar la destreza digital de ciertas personas impedidas. Se utilizaron 24 parejas de individuos en el estudio y cada pareja se formó con base en el grado del impedimento, inteligencia y edad. A uno de los miembros de cada pareja se le asignó al azar el nuevo tratamiento, mientras que el orto miembro de la pareja recibió la terapia habitual. Al término del período experimental, se sometió a cada individuo a prueba de destreza en los dedos, obteniéndose las calificaciones siguientes: Pareja: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nuevo: 49 56 70 83 83 68 84 63 67 79 88 48 Habitual: 54 42 63 77 83 51 82 54 62 71 82 50 Pareja: 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Nuevo: 52 72 52 73 78 64 71 42 51 56 40 81 Habitual: 41 67 57 70 72 62 64 44 44 42 35 73

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para concluir, con un nivel de significancia de 0.05, que la nueva terapia es más efectiva que la habitual?

12.- Un grupo de 15 muchachos de doce años de edad fue sometido a un tratamiento aplicado por dos distintas enfermeras. Los resultados fueron los siguientes: Individuo: 1 2 3 4 5 6 7 Enfermera A: 142.9 150.9 151.9 158.1 151.2 160.2 157.8 Enfermera B: 143.0 151.5 152.1 158.0 151.5 160.5 158.0 8 9 10 11 12 13 14 15 150.1 142.1 159.9 141.9 140.8 147.1 143.6 139.9 150.0 142.5 160.0 142.0 141.0 148.0 144.0 141.0

¿Justifican estos datos la conclusión de que existe cierta diferencia en la exactitud

de las dos enfermeras?. Sea = 0.05. Determine el intervalo de confianza del 95% para

d.

13.- A diez jóvenes de 16 años de edad se les midió su estatura (en centímetros) al momento de levantarse por la mañana y al acostarse por la noche, obteniéndose los resultados siguientes: Joven: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mañana:169.7 168.5 165.9 177.7 179.6 168.8 169.2 167.9 181.8 163.3

17

Noche: 168.2 165.5 164.4 175.7 176.6 166.5 167.4 166.3 179.7 161.5

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique que los jóvenes de 16

años tienen menos estatura en la noche que en la mañana?. Sea = 0.05. Determine el

intervalo de confianza del 95% para d. UNIDAD 5. ANÁLISIS DE VARIANZA

5.1. Fundamento conceptual del análisis de varianza 5.2. Análisis de varianza para un criterio de clasificación 5.3. Análisis de varianza para varios criterios de clasificación (8) pp 6-69 (2) pp 332-363 (6) pp 339-442 (1) pp 483-522

PREGUNTAS GUÍA PARA LA LECTURA: 5.1.1. ¿Para qué sirve el análisis de varianza? 5.1.2. ¿En qué consiste este análisis? 5.1.3. ¿Qué condiciones se suponen cumplidas para aplicar el análisis de varianza? 5.2.1. ¿Cuántas variables intervienen en el análisis de varianza para un criterio de clasificación? 5.2.2. ¿En qué nivel de medición se encuentran estas variables? 5.3.1. ¿Cuántas variables intervienen en el análisis de varianza para varios criterios de clasificación? 5.2.2. ¿En qué nivel de medición se encuentran estas variables?

GLOSARIO:

Escriba una definición apropiada para cada concepto de los que se listan a continuación: 1.Fuente de variación, 2.Cuadrado medio, 3.Variabilidad dentro de grupos, 4.Variabilidad entre grupos, 5.Normalidad, 6.Independencia, 7.Homoscedasticidad


1.- Cuatro grupos de pacientes de fisioterapia se sometieron a diferentes regímenes de tratamiento. Al término de un período especificado, cada uno se sometió a una prueba con el fin de estimar la efectividad del tratamiento. Se obtuvieron los

18

siguientes tiempos en minutos necesarios para concluir dicha prueba:

Trat. A: 64, 88, 72, 80, 79, 71 Trat. B: 76, 70, 90, 80, 75, 82 Trat. C: 95, 90, 80, 87, 88, 85 ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique diferencia entre los

tratamientos?. Sea = 0.05. 2.- Se llevó acabo un experimento para comparar tres métodos de empaque se

cierto alimento congelado. El criterio fue el contenido de ácido ascórbico (mg/100 mg) después de cierto período especificado. Se obtuvieron los siguientes datos: Método A: 14.29, 19.10, 19.09, 16.25, 15.09, 16.61, 19.63 Método B: 20.06, 20.64, 18.00, 19.56, 19.47, 19.07, 18.38 Método C: 20.04, 26.23, 22.74, 24.04, 23.37, 25.02, 23.27

De acuerdo con los datos anteriores, y con una confiabilidad del 95%, ¿se puede concluir que los métodos de empaque son diferentes en cuanto al contenido de ácido ascórbico?

3.- Se deseó comparar tres médicos respecto al período de hospitalización de sus pacientes que se sometieron a cierto procedimiento quirúrgico menor sin complicaciones. Se seleccionó una muestra de ocho expedientes de los correspondientes a cada médico y se anotaron los siguientes datos en días:

Médico A: 4, 5, 5, 4, 6, 6, 4, 5 Médico B: 4, 5, 4, 3, 4, 5, 3, 3 Médico C: 5, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5

Con nivel de significancia de 0.01, ¿sugieren estos datos una diferencia en la

duración promedio de hospitalización entre los tres médicos?.

4.- Las siguientes son medidas de albúmina (en grs/100ml) de 17 personas normales y 13 hospitalizadas: Normal: 2.4, 3.5, 3.1, 4.0, 4.2, 3.4, 4.5, 5.0, 2.9, 3.0, 3.2, 3.5, 3.8, 3.9, 4.0, 3.5, 3.6 Hospitalizado: 1.5, 2.0, 3.4, 1.7, 2.0, 3.8, 3.5, 3.1, 1.3, 1.5, 1.8, 2.0, 1.5

Con una confiabilidad del 95%, ¿concluiría usted que las dos poblaciones muestreadas son diferentes en cuanto a la cantidad de albúmina?.

5.- Las siguientes son calificaciones de los estudiantes de tres grupos de un curso de estadística elemental. Analícelos y obtenga las conclusiones pertinentes. Grupo A: 121, 117, 145, 108, 142, 154, 115, 81, 122, 127, 122, 141, 126, 145, 114, 136, 151, 105,

19

103, 108 Grupo B: 97, 145, 119, 139, 143, 133, 149, 107, 154, 102, 108, 131, 131, 143, 107, 86, 94, 164, 139, 151, 141, 131, 65 Grupo C: 134, 98, 108, 88, 146, 153, 130, 144, 125, 111, 87, 162, 128, 133, 93, 118, 126, 127, 150, 138, 119, 142

6.- Se estudiaron tres sistemas para el servicio de alimentación en cinco

hospitales. La variable de interés fue el tiempo en minutos utilizado por comida servida. En cada hospital se sirvió la comida al mediodía por cada método, obteniéndose los siguientes resultados: Hospital 1 2 3 4 5

Método A: 7.56 9.98 7.23 8.22 7.59 Método B: 9.68 9.69 10.49 8.55 8.30 Método C: 11.65 10.69 11.77 10.72 12.36

Después de eliminar los efectos propios del hospital, ¿sugieren estos datos una

diferencia entre los tres métodos, en relación con el tiempo medio utilizado por comida

servida?. Sea =0.05.

7.- Dieciséis personas excedidas de peso participaron en un estudio para comparar cuatro regímenes de dieta. Las personas se agruparon de acuerdo con el peso inicial y cada una de las cuatro personas de cada grupo fue asignada al azar a cada uno de los cuatro regímenes reductores. Al término del período experimental, se registraron las siguientes pérdidas de peso, en libras: Régimen alimenticio Peso inicial (libras) A B C D

150 a 174 12 26 24 23 175 a 199 15 29 23 25 200 a 225 15 27 25 24 más de 225 18 38 33 31

Después de eliminar las diferencias debidas al peso inicial, ¿proporcionan estos

datos evidencia suficiente que indique una diferencia en los efectos de los regímenes

alimenticios?. Tómese =0.01.

8.- Un grupo de remotivación de un hospital psiquiátrico llevó a cabo un experimento con el fin de comparar cinco métodos para remotivar a los pacientes. Estos últimos se agruparon de acuerdo con el nivel de motivación inicial. Los pacientes de cada grupo se asignaron al azar a los cinco métodos. Al término del período experimental, se

20

evaluaron los pacientes a través de un equipo compuesto por un psiquiatra, un psicólogo, una enfermera y una trabajadora social, ninguno de los cuales tenía conocimiento del método al que habían sido asignados los pacientes. El equipo asignó a cada paciente una calificación compuesta como una medida de su nivel de motivación. Los resultados fueron los siguientes. Nivel de motivación Método de motivación inicial A B C D E -------------------------------------------------------------------------- Ninguno 58 68 60 68 64 Muy bajo 62 70 65 80 69 Bajo 67 78 68 81 70 Promedio 70 81 70 89 74

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique una diferencia en las

calificaciones medias entre los métodos?. Sea = .05.

UNIDAD 6. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 6.1. Coeficiente de correlación lineal simple y coeficiente de determinación 6.2. Regresión lineal simple 6.3. Correlación múltiple y correlación parcial 6.4. Regresión lineal múltiple (10) pp 200-217 (11) pp 9-73 (2) pp 377-489 (7) pp 24-108 (6) pp 109-196 (1) pp 592-706

PREGUNTAS GUÍA PARA LA LECTURA: 6.1.1. ¿Qué se entiende por asociación entre dos variables? 6.1.2. ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar el coeficiente de correlación de Pearson? 6.1.3. ¿Qué se entiende por coeficiente de determinación? 6.1.4. ¿A qué pregunta se contesta con un análisis de correlación? 6.2.1. ¿A qué pregunta se contesta con un análisis de regresión? 6.2.2. ¿Qué significa un coeficiente de regresión lineal simple? 6.2.3. ¿Qué nivel de medición en las variables es necesario para un análisis de regresión lineal simple?

21

6.2.4. ¿Qué supuestos se deben cumplir para un análisis de regresión lineal simple? 6.3.1. ¿Qué se entiende por correlación múltiple? 6.3.2. ¿Qué es la correlación parcial? 6.4.1. ¿Cuántas variables intervienen en un análisis de regresión lineal múltiple? 6.4.2. ¿Qué nivel de medición debe lograrse para estas variables? 6.4.3. ¿Qué supuestos se deben cumplir para un análisis de regresión lineal múltiple?

GLOSARIO:

Escriba una definición apropiada para cada concepto de los que se listan a continuación: 1.Coeficiente de correlación, 2.Mínimos cuadrados, 3.Coeficiente de determinación, 4.Coeficiente de regresión, 4.Predicción, 6.Correlación parcial, 7.Autocorrelación, 8.Modelo de regresión.


1.- Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardíaca en adultos. La variable independiente es la dosis en miligramos del medicamento, y la variable dependiente es la diferencia entre la frecuencia cardíaca más baja después de la administración del medicamento y un control antes de administrarlo. Se reunieron los siguientes datos. Dosis (mg) X Disminución de la frecuencia cardiaca Y (latidos/min) 0.5 10 0.75 8 1.00 12 1.25 12 1.50 14 1.75 12 2.00 16 2.25 18 2.50 17 2.75 20 3.00 18 3.25 20 3.50 21

¿Hay asociación lineal entre estas dos variables?, ¿cómo es dicha asociación?

2.- Los datos siguientes muestran la densidad óptica de cierta sustancia a

22

diferentes niveles de concentración: Nivel de concentración (x) Densidad óptica (y) 80 .08 120 .12 160 .18 200 .21 240 .28 280 .28 320 .38 360 .40 400 .42 440 .50 480 .52 520 .60

¿Hay asociación lineal entre estas dos variables?, ¿cómo es dicha asociación?

3.- El administrador de un hospital reunió los siguientes datos sobre el costo por comida de una comida estándar a diferentes volúmenes de preparación. Número de comidas servidas (x) Costo por comida (y) 30 $ 1.15 35 1.10 40 .98 45 1.01 50 .97 55 .90 60 .89 70 .85 75 .78 80 .70 65 .80

¿Qué se puede decir con respecto a la asociación entre estos dos variables?

4.- La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función pulmonar observados en 10 pacientes hospitalizados. X1 X2 X3 Capacidad vital Capacidad pulmonar total Volumen expiratorio (litros) (litros) forzado por segundo (litros) 2.2 2.5 1.6 1.5 3.2 1.0 1.6 5.0 1.4

23

3.4 4.4 2.6 2.0 4.4 1.2 1.9 3.3 1.5 2.2 3.2 1.6 3.3 3.3 2.3 2.4 3.7 2.1 .9 3.6 .7

Calcule el coeficiente de correlación múltiple y pruebe su significación al nivel de 0.5.

5.- La siguiente tabla muestra el peso y los niveles totales de colesterol y triglicéridos en 15 pacientes con hiperlipoproteinemia primaria de tipo II justo antes de iniciarse el tratamiento. Y X1 X2

Peso (Kg) Colesterol total Triglicéridos (mg/100ml) (mg/100ml) 76 302 139 97 336 101 83 220 57 52 300 56 70 382 113 67 379 42 75 331 84 78 332 186 70 426 164 99 399 205 75 279 230 78 332 186 70 410 160 77 389 153 76 302 139

Calcule el coeficiente de correlación múltiple, determine el modelo para explicar la relación entre las variables y pruebe su significación al nivel de 0.05.

6.- En un estudio de la relación entre la excreción de creatinina, la estatura y el peso, se recopilaron los datos de la siguiente tabla a partir de 20 recién nacidos. Infante Excreciones de creatinina Y Peso X1 Estatura X2 (mg/día) (kg) (cm) 1 100 9 72 2 115 10 76 3 52 6 59

24

4 85 8 68 5 135 10 60 6 58 5 58 7 90 8 70 8 60 7 65 9 45 4 54 10 125 11 83 11 86 7 64 12 80 7 66 13 65 6 61 14 95 8 66 15 25 5 57 16 125 11 81 17 40 5 59 18 95 9 71 19 70 6 62 20 120 10 75

a) Encuentre la ecuación de regresión múltiple que describa la relación entre estas variables.

b) Calcule R2 y efectúe un análisis de varianza. c) Sea X1 = 10 y X2 = 60 y encuentre el valor pronosticado de Y.

7.- Se llevó a cabo un estudio para examinar aquellas variables que se pensaba estaban relacionadas con la satisfacción por el trabajo de los empleados no profesionistas de un hospital. Una muestra aleatoria de 15 empleados dio los siguientes resultados. Calificación obtenida Calificación obtenida Índice de ajuste en la prueba de aptitud por inteligencia personal en el trabajo (Y) (X1) (X2) 54 15 8 37 13 1 30 15 1 48 15 7 37 10 4 37 14 2 31 8 3 49 12 7 43 1 9 12 3 1 30 15 1 37 14 2 61 14 10

25

31 9 1 31 4 5

a) Encuentre la ecuación de regresión múltiple que describa la relación que existe entre estas variables.

b) Calcule el coeficiente de determinación múltiple y efectúe un análisis de varianza.

c) Sea X1 = 10 y X2 = 5 y encuentre el valor pronosticado de Y. 8.- Un grupo de médicos investigadores obtuvo el índice de adiposidad, la insulina

basal y los valores de glucosa basal en 21 personas normales. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Los investigadores deseaban estudiar la intensidad de la asociación entre variables. Índice de adiposidad Insulina basal Glucosa basal

(U/ml) (mg/100ml) Y X1 X2 90 12 98 112 10 103 127 14 101 137 11 102 103 10 90 140 38 108 105 9 100 92 6 101 92 8 92 96 6 91 114 9 95 108 9 95 160 41 117 91 7 101 115 9 66 167 40 106 108 9 84 156 43 117 167 17 99 165 40 104 168 22 85

Calcule el coeficiente de determinación para el modelo de mejor ajuste.

9.- Como parte de un estudio para investigar la relación que existe entre el stress y varias otras variables, se recopilaron los siguientes datos de una muestra aleatoria simple de quince ejecutivos asociados.

Medida de Medida de Número de años Salario anual Edad

26

stress la en la presente importancia posición de la (Y) empresa(X1) (X2) (X3) (x4) 101 812 15 $ 30 38 60 334 8 20 52 10 377 5 20 27 27 303 10 54 36 89 505 13 52 34 60 401 4 27 45 16 177 6 26 50 184 598 9 52 60 34 412 16 34 44 17 127 2 28 39 78 601 8 42 41 141 297 11 84 58 11 205 4 31 51 104 603 5 38 63 76 484 8 41 30

a) Encuentre la ecuación de regresión de mínimos cuadrados para estos datos. b) Construya la tabla de análisis de varianza y pruebe la hipótesis nula de no relación entre las cinco variables.

c). Pruebe la hipótesis nula de que cada pendiente del modelo de regresión es igual a cero.

UNIDAD 7. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

7.1. Introducción (13) pp 40-41, 52-55 (5) pp 1-4 7.2. Caso de una muestra (13) pp 56-74 7.3. Caso de dos muestras relacionadas (13) pp 84-108 (5) pp 4-30 7.4. Caso de dos muestras independientes (13) pp 130-165 (5) pp 30-42

27

7.5. Caso de K muestras relacionadas (13) pp 195-202 (5) pp 54-63 7.6. Caso de K muestras independientes (13) pp 215-224 (5) pp 42-54 7.7. Medidas de correlación (13) pp 226-272 (4) pp 1-81 (3) pp 27-62, 105-148

PREGUNTAS GUÍA PARA LA LECTURA: 7.1.1. ¿En qué circunstancias son aplicables las pruebas estadísticas no paramétricas? 7.1.2. ¿Qué se entiende por potencia-eficiencia de una prueba estadística? 7.1.3. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre las pruebas paramétricas y las no paramétricas?

NOTA: Para todas y cada una de las pruebas a estudiar en lo sucesivo, se requiere contestar las preguntas: a). ¿Cuál es su potencia-eficiencia? y b).¿Qué nivel de medición es requerido para la variable bajo estudio? 7.2.1. ¿En qué consiste la prueba X2 para una muestra? 7.2.2. ¿En qué consiste la prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra? 7.2.3. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas dos pruebas? 7.3.1. ¿En qué situaciones son aplicables las pruebas para dos muestras relacionadas? 7.3.2. ¿Qué se entiende por rango de un dato? 7.4.1. ¿En qué situaciones son aplicables las pruebas para dos muestras independientes? 7.5.1. ¿Cuándo es aplicable un análisis de "k" muestras relacionadas? 7.6.1. ¿Cuándo es aplicable un análisis de "k" muestras independientes? 7.7.1. ¿Qué características tiene el coeficiente de contingencia? 7.7.2. ¿Qué características tiene el coeficiente de correlación de Spearman?, ¿y el de Kendall? 7.7.3. ¿En qué se diferencian estos dos últimos coeficientes de correlación?

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GLOSARIO:

Escriba una definición apropiada para cada concepto de los que se listan a

continuación: 1.Estadística no paramétrica, 2.Potencia-eficiencia, 3.Tabla de contingencia, 4.Bondad de ajuste, 5.Rango de un valor, 6.Distribución libre de probabilidad


1.- Un investigador interesado en los resultados de los procesos electorales pasados desea corroborar si en su distrito, como lo dio a conocer el IFE, el partido A obtuvo el 43.5% de los votos y el resto los demás partidos; para ello, el investigador pregunta a 200 electores de su distrito si votaron por el partido A o no, obteniendo 67 respuestas afirmativas. Estadísticamente hablando, ¿los resultados de las pesquisas del investigador apoyan los resultados oficiales?.

2.- Se obtiene una muestra de 60 militantes de un cierto partido político a quienes se les pregunta sobre su preferencia respecto a cuatro precandidatos a un puesto de elección popular, para el cual cada uno de ellos cumple con el perfil requerido. Los resultados de la encuesta son los siguientes: Candidato: Militantes: A 10 B 5 C 25 D 20 En todo el padrón del partido en estudio, ¿los militantes tienen diferente preferencia por los distintos candidatos?

3.- Se realiza una investigación entre 54 personas de clase social baja, 75 de clase media y 16 de clase alta, para determinar si existe relación entre la pertenencia a una clase social y el tipo de emisora de radio que escuchan las personas. Se obtuvieron los siguientes resultados: Tipo de emisora Clase social A B C Baja 31 11 12 Media 18 26 31 Alta 2 8 6 ¿Se confirma la existencia de dicha relación?

4.- A los empleados de un departamento se les aplican sendos cuestionarios

29

sobre su actitud ante el jefe inmediato superior, antes y después de asistir a un curso transaccional para la mejora de las relaciones personales laborales. De acuerdo con las siguientes mediciones de actitud de los empleados, ¿han mejorado las relaciones personales entre éstos y su jefe inmediato superior luego de asistir al curso? Antes Después

15 13 10 14 11 13 9 10 7 9

12 8 16 9

9 12 10 13

7 14 Mayores puntuaciones indican mejores actitudes hacia el jefe inmediato.

5.- Se realizó una investigación respecto al grado en que dos barrios de una ciudad aceptan la gestión del Ayuntamiento, tomando para ello una muestra de cada barrio y midiendo el grado de aceptación a través de una escala en la cual, valores mayores indican mejor aceptación. Los datos son los siguientes: Barrio A: 9, 12, 13, 15, 8, 14, 19, 22, 28, 24, 20, 21. Barrio B: 29, 10, 27, 7, 26, 11, 25, 6, 5. Según los datos obtenidos, ¿se diferencian los dos barrios respecto a su aceptación de la gestión del Ayuntamiento?

6.- Se quiere comprobar si el nivel de ruido influye en el rendimiento de los alumnos de una escuela. Para ello se forman tres grupos compuestos por 5, 3 y 4 alumnos, respectivamente. Cada uno de los grupos trabaja bajo diferentes niveles de ruido (alto, medio y bajo). Los índices de rendimiento, obtenidos por medio de una escala construida para tal efecto, son los siguientes: Nivel de ruido: Alto Medio Bajo 20 22 32 23 25 29

16 24 25 18 30 21

¿El nivel de ruido influye en el rendimiento de los alumnos?

30

9. BIBLIOGRAFÍA.

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maestrÍa en ciencias en enseÑanza de las ......curso, se enviarán a más tardar el último día...

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