macromatlab crecimiento economico

7/28/2019 macromatlab crecimiento economico

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NOTAS DE CLASE DE MACROECONOMA

AVANZADA CON METODOSCOMPUTACIONALES1

IDES2

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Elias Sanzhez Cristian [email protected] [email protected]

Verano, 2009

1 Cuando hablamos de mtodos computacionales, nos referimos al uso del MatLab2 Grupo de estudios: "Investigacin para el Desarrollo Econmico y Social"


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ndice general

Introduccin VI I

I Modelos de crecimiento exgeno 11. Hechos estilizados 3

2. Modelo de Solow 112.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Desarrollo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Supuestos Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Supuestos Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3. Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Ecuacin Fundamental de Solow . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5. Determinantes del Crecimiento y el Equilibrio de Largo

plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.6. Regla de Oro de la Acumulacin . . . . . . . . . . . . . . 212.2.7. Precios de Factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.8. Residuo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.9. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Aplicacin en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Codigo: Solow.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Resultados de Solow.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.3. Aplicativo GUIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Modelo de Ramsey Cass y Koopmans 373.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Desarrollo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1. Supuestos del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2. Modelo Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3. Las Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4. Las Empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.5. El Equilibrio General Competitivo . . . . . . . . . . . . . 443.2.6. El Planicador Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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iv NDICE GENERAL

3.2.7. Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.8. Dinmica de transicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.9. Regla de oro modicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.10. Aplicacin simplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Aplicacin en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.1. Solucin numrica del EGC . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2. Codigo Ramsey.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.3. Resultados de Ramsey.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.4. Aplicatico GUIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A. Funcin de Produccin Neoclsica 67A.1. Las productividades marginales de los insumos son decrecientes. 67A.2. Rendimientos Constante a Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.3. Condiciones de Inada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

B. Progreso Tecnolgico 73B.1. Progreso Tecnolgico neutral a lo Hicks . . . . . . . . . . . . . . 74B.2. Progreso Tecnolgico neutral a lo Harrod . . . . . . . . . . . . . 75B.3. Progreso Tecnolgico neutral a lo Solow . . . . . . . . . . . . . . 75

C. Inversin 77C.1. Inversin sin Costos de Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77C.2. Inversin con costos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

D. Equilibrio de Largo Plazo 79D.1. Estado Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80D.2. Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

E. Log- Linealizacin 81F. Programacin Dinmica 85

F.1. Formulacin bsica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86F.2. Principio de optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86F.3. Ecuacin de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86F.4. Ecuacin de Benveniste Sheinkman . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

F.4.1. Teorema de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87F.5. La Ecuacin de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

G. Diagrama de Flujo 89G.1. Solow.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90G.2. Ramsey.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


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Motivacin

La teora del crecimiento Econmico, ha sido un tema muy discutido, peroprincipalmente desarrollado por muchos tericos economistas, principalmente elcaso de Harrod Domard, Robert(Bob) Solow, Ramsey, Cass y Koopmas, PaulRomer, Usawa, Lucas, Alesina y muchos mas, durante el siglo XX, es por esoque este documento, motivado por las grandes teoras de crecimiento, muestraun resumen breve de lo que en teora se desarroll a lo largo de la primera partedel curso de Macroeconoma Avanzada, con el n de contribuir al manejo de lateora macroeconmica mediante la enseanza de este curso a los alumnos, parael cual se ha tomado una serie de herraminetas computacionales, tal es el casode MatLab, para su mejor aprendizaje, y as los alumnos puedan capturar lalgica de los principales modelos de crecimiento econmico.

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vi MOTIVACION


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Introduccin

En estas notas de clase se presentar, temas relacionados con creciemien-to econmico, en donde se presentar los principales modelos que existe en laliteratura econmica sobre crecimiento econmico.

Durante el transcurso del curso, nos preocuparemos, principalmente en re-sponder a preguntas basadas sobre los determinantes del ingreso percpita y laconvergencia entre paises. Propiamente dicho, nos preocuparemos en responderlas sigientes preguntas:

Que factores son los que determinan la diferencia de tasa de crecimientopromedio entre paises?

Que factores explican la distribucin del ingreso percpita enre paises?

Estas preguntas sern resueltas en el transcurso de la duracin de este curso,en donde se desarrollaran los modelos de creciemiento, entre los cuales se ahon-darn principalmente en el modelo de Solow, pues este modelo tuvo un grnaporte a las demas teoras del creciemiento. Entonces el nlisis que se har en

este modelo se basar en la estructura bsica explorada en el primer captu-lode este documento, cual es la introduccin a la macroeconoma moderna1 y almodelo de crecimiento neoclsico.

Estas notas de clase, ser motivado primero, introduciendo primero una ver-sin del modelo de Solow con progreso tecnolgico neutral a lo Harrod2 , en elcual veremos principalmente que las decisiones de ahorro son exgenas. Para estemodelo aplicaremos MatLab para explicar la lgica del modelo, seguidamenteser usado para explicar el modelo de Ramsey Cass y Koopmas, en respeustaal modelo de solow, pues asumiremos que la tasa de ahorro de la economaprovenga de un proceso de optimizacin.

Este curso se enfocar no solo a aplicar el MatLab para capturar la lgicade los modelos de crecieminto econmico, sino tambien para explicarles las bon-dades, en terminos de eciencia para el calculo de algunas expreciones analticas

y cuantitativas, que mas all de sernos tedioso y fastidioso, calcularlas, podremoshacerlo en solo unos cuantos segundos. Ya habiendo desarrollado ambos modelos

1 Para explorar mas sobre estas armaciones en la macroeconoma moderna, ver el libro dePeter Sorensen y Whita Jacobson, en Introduccin a la macroeconoma moderna.

2 El mo delo de Solow con progreso tecnolgico neeutral a lo Harrod, tiene la siguiente formade funcin de produccin Cobb- Douglas Y= K(AL)1

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viii INTRODUCCIN

de creciemiento en el que nos hemos enfocado principalmenet en el desarrollode modelos de crecimiento exgeno, enseguidamente en el cpitulo 2, desarrol-

laremos modelos de crecimiento endgeno para discutir los determinantes delcrecimiento en el tiempo, utilizando el modelo ms simple posible, como porejemplo el modelo AK, en el que presentaremos y demostraremos que la tasa decreciemiento a largo plazo de la economa es positiva. Por ltimo veremos susimplicancias en trminos de convergencia entre paises.

Para un mejor entendimiento, el desarrollo del curso se presenta en el sigu-iente esquema.

Grco N1;1 Mapa de desarrollo del curso

En la primera parte se desarrollaran dos modelos de creciemiento exgeno,uno es el modelo de Solow(1956) y Swan3 (1956); y el modelo de Ramsey Cassy Koopmas. El desarrollo y la estructura de como estan desarrollados, son sim-ilares, pero la gran diferencia radica en la decisin consumo ahorro, pues enel primero de estos se asume, que el nivel de consumo y ahorro esta determi-nado exgenamente(propensin marginal al consumir, y propensin marginal a

3 Swan desarroll una versin menos matemtica del modelo de crecimiento, Solow Swan.


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ahorrar), en cambio en el segundo, las decisiones de consumo ahorro provienende procesos de optimizacin, en otras palabras, mientras que en el modelo de

Ramsey, Cass y Koopmas, las decisiones son procesos racionales microfundamen-tados, en el modelo de Solow, Swan los consumidores siguen una regla ad-hoc4

Para la segunda parte se desarrollarn dos modelos de creciemiento endgeno,el primero basado en el de desarrollo de ideas, y conocimiento, oea el modelo dePaul Romer, y el segundo, el modelo de Lucas, basado en el modelo de Romer,pero corrigiendo el efecto escala, al trabajar con variables percpita.

4 Ad-hoc: Es cuando esta basado solo en un hecho especco.


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x INTRODUCCIN


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Parte IModelos de crecimiento

exgeno

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Captulo 1

Hechos estilizados

Es casi una ley de la naturaleza que las economas crescan a lo largo deltiempo. A pesar de las guerras, desastres naturales o crisis coyunturales.

Durante los ltimos 100 aos, la evidencia emprica demuestra que haygrandes variaciones en el comportamiento econmico entre paises, tanto en elnivel absoluto de ingresos (A lo que llamamos productos geogrcos bruto, PGBen niveles1 ) como el ingreso percpita2 , pero en s Como se dene el crecimiento

econmico?

El crecimiento econmico es el incremento secular3 de los ingresos agrega-dos de un pas. Este es de vital importancia, pues este crecimiento nos va adeterminar la correlacin positiva entre ingresos agregados y el nivel estandarde bienestar4 .

1 Producto geogrco bruto PGB= Y2 PGB percpita= Y

L= y

3 crecimiento secular se entiende al crecimiento que se da con respecto a la regin, o ungrupo de paises.

4 Principalmente este va a ser medido por la relacin PBI consumo (Ver grco 1.2) yesperanza de vida (Ver grco 1.3).

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4 CAPITULO 1- HECHOS ESTILIZADOS

Grco N1;2: Relacion PBI- Consumo

Fuente: Penn World Tables

Grco N1;3: Relacin PBI- Esperanza de vida (Medicion del binestar)

Fuente: Penn World Tables

En pleno desarrollo de la teora del crecimiento, y sus hechos estilizados, se


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PRIMERA PARTE- TEORIA DEL CRECIMIENTO EXOGENO 5

trat sobre la idea de que el proceso del crecimiento econmico crea conicto,esta idea fue defendido por Joseph Schumpeter (1934) quien introdujo la teora

de la destruccin creativa5 . Estas consecuencia que ha traido el crecimientoeconmico, es la cracin del trabajo para nuevos negocios, tecnologa, procesosproductivos, tales el caso de los celulares, laptops, internet, fotocopiadora deltima generacin6 , para el caso peruano se habla principalmente de la entradamasiva de celulares de ltima teconologa, academias culinarias, centros comer-ciales, cabinas de internet, etc. Pero en contraparte, por el lado desfavorable esque tambien destruyen procesos que son desplazados por nuevos descubrimien-tos y conocimientos, tal es el caso de las mquinas de escribir, centros indgenas,camara con rollo, etc. Esto es en escencia lo que Joseph Schumpeter llam de-struccin creativa. El desarrollo de la innovacin de ideas, se ver mejor en elsegunda parte (crecimiento endgeno), en el cual se explican los factores queson base del crecimiento, tales, como inversin en educacin promedio, cantidadde investigacin tecnolgica y la tasa de crecimiento poblacional.

La evidencia muestra que en general todos los paises no tienden a convergera los mismos niveles de ingreso, tampoco hay evidencia que convergan a lamisma tasa de crecimiento, pero lo que si hay evidencia es sobre la convergenciacondicional7 , que ser desarrollado con mayor amplitud en el modelo de solow.

Par un analisis mas entendible de la convergencia observese el grco 1.4,en el cual vemos paises de similar caracterstica convergen a tasas iguales enlargo plazo.

5 Joseph Schumpeter defendi la tesis de la destruccin creativa, alegando que cuando sedaba el procesao de crecimiento, y consigo la innovacin tecnolgica, esta nueva tecnologua

destrua toda tecnologa que puede ser suplantada por esta nueva, as por ejemplo tenemosel caso de la aparicin de la computadora, que destruyo toda la industria de maquinas deescribir electrnicas.

6 Estas nuevas fotocopiadoras, no necesitan p ersnal, mano de obra en forma intensiva, puesahorra mano de obra.

7 Convergencia condicional: Cuando dos paises de similares caractersticas tenderan a crecera tasas iguales en el largo plazo, de aqui que se explica la existencia de clubes de paises.


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Grco N1;4: Covergencia de paises en PBI (se utiliza el logPBI).

Fuente: Historical estatistics for the world economy 1-2003 AD, AngusMaddison.

Tal y como pudemos apreciar, en este grco, se da la convergencia entrepaises que tienen similares carastersticas, tal es el caso de estos paises, consid-erados desarrollados.

El grco 1.5 nos muestra que cuando los paises tienen reformas estrcturales,como en el caso de Japon, Taiwan, Corea, en la segunda guerra mundial, adoptandistintas caractersticas que hace que su creciminto a largo plazo, sea diferente,osea que paises que se caracterizan por tener similitudes estructurales en su

economa tienden a crecer a una tasa de crecimiento homogenea en el largoplazo.


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Grco N1;5: PGB percpita relativo a los EEUU.

Fuente: Angus Maddison (1995).

Para el caso especco de Per, es considerado dentro del club de paisesemergentes en america latina, su evolucin del PBI se muestra en el grco 1.6,en el cual vemos claramente dos tendencias, la recta de mayor pendiente nosmuestra que hasta 1971 el performance del creciemiento del PBI peruano eramuy bueno, apartir de sucesos, que cambiaron la estructura econmica durante

los 80 principalmente, cambiaron la pendiente, tal como muestra el grco 6 (larecta de menor pendiente), pues hasta el 2001, el performance se ha debilitadoa diferencia del antiguo performance. En contraste con otros paises, el casoperuano, es un proceso de retroceso, a diferencia de paises, como Japon, Taiwany el resto de paises que se muestran en el grco 1.5, cambiaron su tendenciahacia la alsa, mejorando su permormance.


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Grco N1;6: Analisis del performance del cecimiento del PBI peruano

Fuente: Historical estatistics for the world economy 1-2003 AD, AngusMaddison.

Una vez analizado los hechos de crecimiento, tanto para el Mundo, comopara el caso especco de Per, en el que se ha tratado a groso modo los temasde convergencia, cabe preguntarse Podemos determinar las regularidades em-pricas que caracterizen el comportamiento de largo plazo de las economas?

Kaldor(1961) y Kuznets establecieron un conjunto de regularidades que en1970, Robert(Bob) Solow Caracterizo 5 (o 6) entre los mas reelevantes, pero eneste curso se presentarn 11, que Romer en 1989, formulo como nuevos hechosestilizados que todo modelo de crecimiento debera ser capaz de explicar en ellargo plazo.

Estos hechos son:

1. YN = y, crece a una tasa constante (crecimiento estacionario en el ingresopercpita).

2. KN = k, crece a una tasa constante (crecimiento estacionario en el capitalpercpita).

3. KY , es constante (la razn capital- producto es constante, no tiene tenden-cia).


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4. Las proporciones en el producto del capital y del trabajo son aproximada-mente constantes.

5. La tasa de rendimiento del capital (tasa de interes) es aproximadamenteconstante.

Investigaciones empricas mas recientes8 han adicionado los siguientes he-chos estilizados a los propiamente reportados por Kaldor.

6. Existen amplias diferencias en las tasas de creciemiento del producto yla productividad entre paises, especialmente el crecimiento del productopor habitante, para una muestra amplia a paises de tasas de crecimientopromedio entre 1960 y 2000 no esta correlacionada con el nivel de productopor habitante en 19609 .

7. Tasas de fertilidad tienden a declinar con el incrementodel PBI percpi-

ta10

.8. El crecimiento econmico esta correlacionado con el del volumen de com-

ercio (Las economas abiertas crecen mas deprisa-ceteris paribus)11 .

9. En estudios cross seccin la tasa media de crecimiento no vara con el nivelde renta percpita12 .

10. El crecimiento de los factores de produccin no es suciente para explicarel crecimiento del producto (existe un residuo13 ).

11. Los trabajadores cualicados o no tienden a emigrar de de los paises derenta baja a los paises que tienen renta alta14 .

8 Romer(1989).9 Para el caso de la economa peruana, Paul Castillo desarrollo este tema, en el curso de

extension universitaria, verano del 2005, tal y como muestra en sus notas de clase, y en supaper, Hechos estilizados para la economa peruana. Para el caso de la economa chilena, RafaelBergoeing, realizo el mismo estudio, tal como muestra en sus notas de clase, macroeconoma

dinmica, Universidad de Chile, septiembre de 2001.10 I-BI11 Ver Argandoa Macoeconoma Avanzada II.12 Esta informacin fue sacada de las notas de clase de Marco Vega, del curso de Macro-

economa II, UNI, 200913 Este residuo es llamado, el residuo de solow, que ser estudiado en la seccin 2.914 Kutznets, 1973,1981.


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Captulo 2

Modelo de Solow

2.1. Introduccin

El modelo de Robert (Bob) Solow(1956) y Swan (1956), suele ser el puntode partida para la mayora de analisis de creciemiento econmico1 , en el cual setrata de explicar cuales son las fuentes de crecimiento econmico.

Uno de los primeros trabajos en incorporar sustitucin intertemporal en elconsumo en el anlisis dinmico de la economa es Solow2 (1956). De esta manerala relacin entre ahorro e ingreso percpita, en el largo plazo es formalizada.

El principal resultado de este modelo es que al aumentar el ahorro comoproporcin del producto, la acumulacin del capital por trabajador, aumenta,generando mayores niveles de ingreso percpita3 , ademas los agentes no eligen lasecuencia del consumo y ahorro optimamente, pues el consumo es una fraccinconstante del nivel de ingreso corriente4 .

Este modelo en contraste con los hechos estlizados de Kaldor y Kutznets,solo cumple con los 5 primeros hechos5 . Su principal debilidad emprica resideen su incapacidad para replicar las diferencias obserbadas en la diferencia deingresos percpita entre paises.

1 Esto se da en grn parte de modelos de crecimiento econmico, pues sus hiptesis eimplicancias de dicho modelo se usa como referencia. Gracias a ello el modelo de Ramsey,toma varios supuestos de este modelo. La teora de las uctuaciones (ciclos) econmicas,tambien toman varios supuestos. Rebelo, tambien toma varios supuestos para llegar a sufamosa funcin de produccin AK, y tambien los modelos de creciemitno endgeno, tomansupuestos de este modelo para formular sus hiptesis.

2 Solow plante un modelo de claro sabor neoclsico, en el que los planes de ahorro einversin se cumplen de forma simultanea, y los mercados se vacan siempre, de modo que el

desempleo keynesiano no resulta signicativo. ademas planteo que hay sustituibilidad entrecapital y trabajo. Es esto que que caracteriz al modleo de Solow, como un vestigio Keynesianoen el contexto de un modelo Neoclsico.

3 La solidez emprica de este resultado ha sido demostrada por M ankiw, Romer y Neil(1992).4 Este supuesto discutido ya anteriormente, ser criticado y modicado por el modelo de

Ramsey Cass y Koopmas.5 Ademas de los 5 primeros hechos, cumple tambien conel 7, solo con ese nada mas.

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2.2. DESARROLLO TERICO 13

III) Funcin de Produccin Neoclsica(FPN)

Lo mas importante de este modelo es la forma de la funcin de produccin7

,que es de tipo Cobb- Douglas, que cumple, principalmente con las condicionesde Inada8 .

Por lo tanto la forma de la funcin de produccin se expresa en la ecuacin2.3

Y = F(K;AL) (2.3)

Aunque en este caso estamos asumiendo un funcin de produccin con pro-greso tecnolgico a lo harrod9 , que cumple con todos los supuestos de la Funcinde Produccin Neoclsica(FPN).

IV) Ecuacin de devolucin del capital sin costos de Ajuste

En este supuesto, asumiremos la no existencia de costos de a juste10 .

Kt+1 = (1 )Kt + Ib (2.4)

Esta ecuacin muestra que el stock de kapital acumulado para el siguienteperiodo(Kt+1), ser igual al stock de kapital del periodo presente, pero deducidosu depreciacin((1 )Kt), pues ; es la tasa de depreciacin, mas la inversinbruta(Ib)

Por lo tanto, de la ecuacin 2.4, obtenemos la famosa identidad contable, lainversin bruta(Ib) es igual a la inversin neta(Kt+1Kt), mas la depresiacin(Kt).

Ib = (Kt+1 Kt) + Kt (2.5)

Esta iguldad de la ecuacin 2.5 es tambien conocida como la ley fundamentalde la acumulacin de capital. Recordar que la veriable Kt, es una variable stock(Acervo de capital), La inversin bruta Ib; que de ahora en adelante solo se ledenotara por I, y la depresiacin Kt son ujos por periodos, en la prctica, testa denotando aos, pero podra ser quinquenios, u decenios, etc.

V) Mercados en equilibrio

Esta condicin de equilibrio, es conocida tambien como restriccin de agre-gacin11 , especcamente en este modelo solo lo veremos como una condicin deequilibrio, pues se le ver como restriccin en el modelo de 3.

7 Para ver un concepto mas claro de la Funcin de Produccin Neoclsica, ver A.8 Ver A en la pgina 67, Inada(1963-Japones).9 Para ver mas sobre la denicin y clases de progreso tecnolgico, ver B en la pgina B.10 Para ver mejor este tema de la inversin con y sin costos de a juste, ver Romer, macro-

economia avanzada, en el captulo de microfundamentos. Pero en el C, presentamos una versindetallada, que fue sacada de (6) :Notas de clase de Paul Castillo en el 56, curso de extensinuniversitaria del BCRP.

11 Se le conoce como restriccin de agregacin, pues segun la ecuacin, todo lo que lasempresas producen, debe ser igual a lo que las familias, consumen e invierten.


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14 CAPITULO 2- MODELO DE SOLOW

Y = C + I (2.6)

2.2.2. Supuestos Auxiliares

VI) Existencia de un nico bien

En este modelo se supone la existencia de un nico bien, producido concapital y trabajo, mediante una tecnologa con retornos constantes a escala ydecrecientes al factor(esto se ilustra mejor en el A), este tipo de tecnpologa esconocida como neoclsica.

VII) Variables Percpita

Toda la poblacin trabaja y es igual a L, en donde su tasa de crecimiento esigual a Lt+1Lt

Lt= n, este factor sera de vital importancia, pues al dividir a todas

las variables entre este factor, se obtendr las varables en terminos percpita(opor persona), las cuales estarn denotadas por sus respectivas letras, pero enminusculas12 .

YL

= y; KL

= k, CL

= c; IL

= i; SL

= s

VIII) Variables Percpita Ecaz

Como ya se mension en VI), la tecnologa neoclsica, tiene una tasa de crec-imiento exgena y constante, el que est dado por: At+1AtAt = g; en cual tambienes de vital importancia, pues al dividir a todas las variables en niveles(denotadopor letras mayusculas) entre la multiplicacion del factor trabajo(L), y el fac-tor tecnologa(A), nos dar variables enterminos percpita ecaz, o eciente, elcual se denotar por sus respectivas letras pero en minusculas y con una lineacurveada en su sombrero.

YAL = ~y;

KAL =

~k, CAL = ~c;IAL = ~{;

SAL = ~s

2.2.3. Estado Estacionario

Del la ecuacin 2.3, sabemos que:

Yt = F(Kt; AtLt)

Pasando a su forma intensiva(Dividiendole entre AtLt):

YtAtLt

= F( KtAtLt ; 1)

~yt = f(~kt) (2.7)

Yt = Kt = n + g

12 De ahora en adelante, variables en letras mayusculas, denota las variables en niveles, ylas var.iables en letras minusculas, denota las variables en terminos percpita


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Asi, en el estado estacionario

yt = kt = At = g

~yt = ~kt = 0

Que pasara si n = g = 0?Entonces L y A seram constantes. Por lo tanto

Y = F(K; A L)

En el estado estacionario

Yt = Kt = 0

Donde denota tasa de crecimiento

Que pasara si n 6= 0 y g = 0?Kt; Lt pero At ! permanece constante

Y = F(K; AL)

Dividiendo a la expresin entre L

YtLt

= F(KtLt ;A)

Normalizando:

yt = f(kt)

En el estado estacionario

yt = kt = 0

Entonces

Yt = Kt = Lt = n

2.2.4. Ecuacin Fundamental de Solow

De 2.2 y 2.6, obtenemos:

Yt = Ct + StYt Ct = StsYt = St = It

De 2.4, obtenemos

Kt+1 = (1 )Kt + sYt

Ahora reemplazamos 2.3


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Kt+1 = (1 )Kt + sF(Kt; AtLt)

Ahora dividimos entre AtLt

Kt+1AtLt

= (1 ) KtAtLt + sF(Kt;AtLt)

AtLt

Ahora premultiplicando al lado izquierdo por At+1Lt+1At+1Lt+1

At+1Lt+1AtLt

xKt+1

At+1Lt+1= (1 ) KtAtLt + s

F(Kt;AtLt)AtLt

Reduciendo a terminos percpita ecaz

(1 + g)(1 + n)~kt+1 = (1 )~kt + sf(~kt)

Ahora, como sabemos, g y n son numeros bien pequeos, por lo tanto n:g = 0;ademas a cada lado de la ecuacin anterior, le restamos (1 + n + g)~kt; entoncesla expresin queda reducida, as:

(1 + g + n)~kt+1 (1 + n + g)~kt = sf(~kt) (n + g + )~kt

Por lo tanto obtenemos, la famosa .Ecuacin Fundamental de Solow"

(1 + g + n)(~kt+1 ~kt) = sf(~kt) (n + g + )~kt (2.8)

Ahora, nuevamente, de 2.6

Yt = Ct + It

Dividiendo a ambos lados entre AtLt

YtAtLt

= CtAtLt +It

AtLt

~yt = ~ct + ~{t (2.9)

Ahora para ver si para cualquier ~k0 > 0 inicial, el modelo converge a un nico~kt (Stock de capital percpita ecas en el estado estacionario); analizaremos el~kt+1 = ~kt+1 ~kt; por lo tanto de 2.8

(1 + g + n)(~kt+1) = sf(~kt) (n + g + )~kt

~kt+1 =sf(~kt) (n + g + )~kt

(1 + g + n)(2.10)


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Donde ~kt+1; crecimiento del stock de capital percpita ecaz.

y ~kt+1

~kt; Tasa de crecimiento del stock de capital, por lo que la ecuacin

2.10, muestra el comportamineto del stock de capital percpita ecaz, durantela transicin hacia el equilibrio de largo plazo13 , que se vee mejor en el grco2.1

Grco N2;1: Grco de la transicin dinmica del modelo de Solow

Fuente: Elaboracion propia

Ahora de la ecuacin 2.10 podemos calcular la tasa de crecimiento del stockde capital percpita ecaz.

~kt =~kt+1

~kt=

s

(1 + g + n):

f(~kt)~kt

(n + g + )

(1 + g + n)(2.11)

De donde obtenemos el Grco N2;2, de la dinmica de la tasa de crec-imiento del stock de captal percpita ecaz, a lo Barro, que nos explica, comola tasa de crecimiento del stck de capitl percpita ecaz, va evolucionando, parte

13 Para ver deniciones de Estado estable y Estado estacionario dentro dl Equilibrio de largoplazo, que de por s son diferentes, ver un resumen en el apndice D


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desde el principio, de ser grnde, hasta hacerse cero en el estado estacionario, yse vuelve negarivo al lado derecho del estock de capital en el estado estacionario.

Grco N2;2 Dinmica de transicicin de la tasa de creimiento del stock de capital percpita ecaz

Fuente: Elaboracin propia

El grco, nos muestra la comparacin de la economa peruana, con laeconoma China, el cual nos da una idea de lo rica que puede ser la economaChina, as Ellos llegan a un estado estacionario con un stick de capital percpitaecaz mas grande que nosotros, pues parten tambien con stcks de capital masgrande que nosotros tambien.

Ahora, despues de analizar la transicin dinmica del stock de capital, conuna funcin de produccin general, partamos del hecho de una Funcin de pro-duccin explcita, especcamente una Funcin de produccin tipo Cobb Dou-glas, como sige en la siguiente ecuacin.

Y = Kt (AtLt)1 (2.12)

Quedando as las siguientes expresiones.

~yt = f(~kt) = ~kt (2.13)


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Y as reemplazando ??, en 2.10 y 2.11, obtenemos:

~kt+1 =s~kt (n + g + )~kt

(1 + g + n)(2.14)

~kt =~kt+1

~kt=

s

(1 + g + n):~k1t

(n + g + )

(1 + g + n)(2.15)

por lo tanto en el Estado Estacionario, ~kt+1 = 0; y por lo tanto ~kt

= 0 y; ~y

t

= 0 entonces de 2.14 o 2.15, tenemos:

~kt = (s

n + g + )

11 (2.16)

~y

t = (

s

n + g + )

1

(2.17)

2.2.5. Determinantes del Crecimiento y el Equilibrio deLargo plazo

En esta seccin, vamos a ver que factores determinan la tasa de crecimientodel PBI, en niveles, precpita y percpita ecaz, tanto, durante la transicin, yen el Estado Estacionario.

Como sabemos por teora de tasas de crecimineto y de 2.13, se puede concluir:

1 + ~yt =~yt+1

~yt= (

~kt+1~kt

) = (1 + ~kt) (2.18)

Ahora aproximando la ltima parte del lado derecho de la ecuacin 2.18, poruna expansin de taylor de primer grado, se obtiene:

(1 + ~kt) = 1 + ~kt (2.19)

Entonces, de aqu se obtiene:

1 + ~yt= 1 + ~kt (2.20)

por lo que en Estado Estacionario, la economa presenta varibles percpitaecaz, constantes,es decir, no crecen(~yt = ~kt = 0)

Pero el PBI percpita, crecer a una tasa como la siguiente:

1 + yt =yt+1

yt= At+1

At: ~yt+1

~yt= (1 + g)(1 + ~kt) (2.21)

Aproximando(puesto que consideramos que g~kt ' 0; no la consideramos):

yt= g + ~kt (2.22)


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Es por eso que en el Estado estacionario, el nivel de PBI percpita, y el nivelde stock de capital percpita14 , ambos crecen a una tasa constante g, es por

eso que a ese equilibrio se le llama estado de crecimiento balanceado, o Estadode crecimiento proporcionado, o por ltimo estado estable, que una vez masdecimos no es igual a estado estacionario15 .

Ahora analizemos como evoluciona(Cual es el comportamineto durante latransicin dinmica) el PBI en niveles, cuando las variables en trminos per-cpitas ecaz, estn en transicin al Estado estacionario, y como ser su com-portamineto, una vez que estas ltimas hayan alcanzado estacionario, Volvamosa preguntarnos Alcanzarn tambien el estado estacionario, o es un estado es-table?, como en el caso anterior.

Como sabemos:

1 + Yt =Yt+1

Yt

=At+1

At

:Lt+1

Lt

:~yt+1

~yt

= (1 + g)(1 + n)(1 + ~kt) (2.23)

Una vez mas aproximando

Yt= n + g + ~kt (2.24)

Por lo tanto el stock de Capital en niveles, tendr el siguiente comportamien-to.

Kt= n + g + ~kt (2.25)

Es de ah que Cuando las variables en trminos percpita ecaz, alcanzanEstado Estacionario, las variables en niveles alcanzan el estado estable, o estadode crecimiento balanceado o estado de crecimiento proporcionado, pero esta vezmayor en n, que el de las variables en trminos percpita(n + g); por lo que:

si: ~yt = ~kt = 0 ) yt = kt = g y Yt = Kt = n + g (2.26)

Por lo tanto, el problema del modelo de Solow, es la exogenidad de g, que estanetamente relacionado, al modelo en si de crecimiento exgeno, y la exogenidadade s, que esta enteramente relacionado, con la caracterstica del modelo propiode Solow, pues como veremos en el siguiente Captulo, en el modelo de Ram-sey Cass y Koopmas, esa tasa de ahorro, parte de un proceso de opmizacinmicrofundada. Es ah en donde queremos enfatizar, el hecho que en el modelode Solow, no se haya tomado procesos de optimizacin en la tasa de ahorro,no signica que los agentes no optimizen16 , por lo tanto esto es el tema de lasiguiente seccin, La Regla de Oro de la Acumulacin.

Una vez analizado, el comportamiento de las variables, vamos a denir el

equilibrio de largo plazo.14 Pues la tasa de crecimiento del stock de capital percpita esta determinada por: kt =

g + ~kt15 Para una mejor ilustracin ver apndice D16 Al menos as lo planteo Phelps, en su famosa propuesta al modeo de Solow, llamado

Golden Rule.


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Denition 1 (Denicin). : Un eqilibrio de largo plazo, es un equilibrio enel que las variables percpitas, crecen a una tasa constante(Crecimiento Pro-

porcionado, o crecimiento balanceado), es decir g 6= 0; o cuando las variablesprecpita se mantienen constantes(estado estacionario), osea g = 0. En el primer caso el precio del factor trabajo, crece a una tasa constante y el pre-cio del factor capital se mantiene constante. En el segundo caso, ambos preciosse mantienen constantes.

Esto ltimo, ser demostrdo en la subseccin 2.8, donde hablamos sobre losprecios de los factores, y su comportamineto de largo plazo.

2.2.6. Regla de Oro de la Acumulacin

Como en el modelo de Solow, no se desarrolla un criterio de optimizacin,Phelps17 (1961), propone, que los agentes en su proceso de consumo, buscarn

maximizar, su nivel de consumo, para lo cual tienen que elegir una tasa deahorro, que les permita pues maximizar su consumo, por lo tanto, calculemos elnivel de consumo, y maximizemos el consumo con respecto a la tasa de ahorro,que nos permita alcanzar The Golden Rule, y lo que obtendremos ser:

C = Y S (2.27)

Pasando atrminos percpita ecaz

~ct = ~yt s~yt (2.28)

en Estado estacionario:

~c

t

= ~y

t

s~y

t

(2.29)

Y como sabemos de 2.8, del lado derecho

s~yt = (n + g + )~kt (2.30)

Por lo tanto:

~c(s)t = f(~k(s)t ) (n + g + )

~k(s)t (2.31)

Ahora s, optimizando el consumo respecto a la tasa de ahoro, obtenemos.

@~c(s)t

@s = (f0(~k(s)t ) (n + g + )):

@~k(s)

t

@s

Debido a que

@~k(s)

t

@s > 0 y como

@~c(s)t

@s = 0; entonces:

f0(~korot (s)) = t(~korot (s))

1 = n + g + (2.32)

Por lo tanto, de 2.16

17 Recibio el premio novel por su aporte a la teora del crecimineto.


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~korot (s) = [n + g +

]

1

1 = [n + g +

s]

1

1 (2.33)

Es entonces que el agente maximizar su consumo cuando la tasa de ahor-ro(propensin marginal al ahorrar), sea igual que la participacin del capital enla produccin, o lo mismo que es la elasticidad producto capital(), dandonosun stock de capital percpita ecaz oro en el estado estacionario( ~korot (s)).

s = (2.34)

Obteniendo el siguiente grco de referencia:

Grco N2;3 Nivel de tasa de ahorro de la regla de oro, que maximiza el consumo en el estado estacionario.

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por Daron Acemoglu. MIT.Octubre 2008

As, la regla de oro de Phelps, nos da la idea de maximizacin del consumo,como una previa al modelo de Ramsey Cass y Koopmas, claro solo una idea,

pues en este ltimo modelo mensionado, se toman criterios de optimizacin masfuertes(Microfundados). As pues el consumidor, podr elegir muchas tasas deahoro, que lo llevarn a distintos estados estacionarios, pero el que maximizarsu consumo solo es el de The Golden Rule, tal como se aprecia en el grco 2.4,vemos tres tipos d estado estacionario, osea tres tipos de ahorro pero solo el dela regla de oro maximiza su consumo, los otros dos son menores a el.


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~corot > ~c1t > ~c

2t

Grco N2;4: Consumo de la regla de ahorro.

Fuente: Elaboracin Propia

2.2.7. Precios de Factores

Como sabemos, el pago al factor, es igual a su productividad, es decir:De la ecuacin de Euler:

Yt =@Yt

@Lt:Lt +

@Yt

@Kt:Kt (2.35)

Tenemos el precio del factor trabajo.

rt =@F(Kt; AtLt)

@Kt(2.36)

Expresado en trminos de variables percpita, nos da:

rt =@Ltf(kt)

@Kt(2.37)

rt = Lt:@f(kt)

@kt:

@kt

@Kt(2.38)


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Donde ahora podemos obtener que la tasa de rendimiento del capital percpita,va a ser igual a la productividad marginal del capital percpita

rt = f0(kt) (2.39)

rt =@ALtf(~kt)

@Kt(2.40)

rt = AtLt:@f(~kt)

@~kt:

@~kt@Kt

(2.41)

Aqu, nuevamente volvemos a las mismas conclusiones, por lo tanto podemosarmar, que la tasa de rendimiento del capital, en niveles, en terminos percpitay en terminos percpita ecaz, va a ser igual a la productividad marginal delstock de capital en niveles, precpita y percpita ecaz, respectivamente.

rt = f0(~kt) (2.42)

wt =@F(Kt; AtLt)

@Lt(2.43)

wt =@Ltf(kt)

@Lt(2.44)

wt = f(kt) + Lt:@f(kt)

@Lt(2.45)

wt = f(kt) + Lt:@f(kt)

@kt:

@kt

@Lt(2.46)

wt = f(kt) + Lt: @f(kt)

@kt:(kt

Lt) (2.47)

Aqu podemos ver que el salario, o precio del factor trabajo, va a ser igual a laproduccin percpita, menos el los benecios percpita, es decir, el precio delcapital, medido como la tasa de rendimiento del midmo, por el capital percpita.

wt = f(kt) f0(kt):kt (2.48)

wt =@AtLtf(~kt)

@Lt(2.49)

wt = Atf(~kt) + AtLt:@f(~kt)

@Lt(2.50)


@~kt:

@~kt@Lt

(2.51)


@~kt:(~ktLt

) (2.52)


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Por ltimo aqu tenemos el salario en terminos de ecacia, que es igual nueva-mente al nivel de produccin en trminos percpita ecaz, menos los benecios

en trminos percpita ecaz.

wt = At(f(~kt) f0(~kt):~kt) (2.53)

~wt = f(~kt) f0(~kt):~kt

Por el teorema de Taylor:(m < 1)

m:f(~kt) = f0(~kt):~kt (2.54)

wt = (1 m)f(~kt)At (2.55)

Por lo que podemos decir que el salario es creciente en ~ktDespues de haber analizado las ecuaciones, podemos analizar la denicin

de equlibrio de largo plazo, que se enuncio en la subseccin, 2.2.5, pues cuandolas variables percpitas crecen a una tasa constante, el precio del factor trabajo,crece a una tasa constante, tal y cmo podemos observar en 2.53, ah pues elsalario va estar creciendo a la misma tasa que la tecnologa, osea a una tasaconstante, tal y como lo dice el enunciado, y para el precio del factor capital, dela ecuacin [2.42] vemos que es igual a un valor constante del stock de capitalpercpita ecaz en el estado estacionario, osea estado estable o creciminetobalanceado del stock de capital percpita, tal y como mensiona la denicin.Para en segundo caso, en donde las variables en trmino percpita, alcanzan elestado estacionario, es decir g = 0; podemos ver la ecuacin 2.48, para el casodel factor trabajo, ah podemos ver que el salario es una porcin constante delstock de capital percpita en estado estacionario, que es constante, por lo queentonces el salario se mantiene constante lo mismo sucede para el caso del factor

Capital, tal y como podemos apreciar de la ecuacin 2.39 . As entonces quedademostrado lo que se anunci en la denicin de la subseccin 2.2.5.

2.2.8. Residuo de Solow

El residuo de solow nos ermitir analizar en primer lugar, los factores queexplican el crecimiento del PBI , tanto en niveles, como en trminos percpita,a este parte del modelo de Solow, se le suele denominar la contabilidad delcrecimiento. Robert (Bob Solow) en 1957, propone que la funcin de producciny el progreso tecnolgico formalizan las fuentes del crecimiento y plantea lacontabilidad del crecimiento.

Para este caso, vamos a suponer una funcin de produccin tipo Cobb- Dou-glas, con progreso tecnolgico neutral a lo Hicks, osea:

Yt = AtKt L

1t (2.56)

Tomando logaritmos a las variables.

LnYt = LnAt + LnKt + (1 )LnLt (2.57)


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Derivando en ambos lados.

@LnYt = @LnAt + @LnKt + (1 )@LnLt (2.58)As obtenemos la expresin en funcin de tasas de crecimiento

Yt = At + Kt + (1 )Lt (2.59)

De la ecuacin 2.59 podemos darnos una idea del residuo de Solow, si despe-jaramos At , pero para una mejor interpretacin, analizemos, mejor en trminospercpita:

Yt Lt = At + Kt Lt (2.60)

yt = At + kt (2.61)Despejando At , obtenemos el residuo de Solow:

Residuo de Solow ! At = yt kt (2.62)

Entonces el residuo de solow representa a los otros factores que pueden in-cidir en el crecimiento, por ejemplo educacin o progreso tcnico. Pero sobreeste contexto, para explicar el porcentaje que no es explicado por factores pro-ductivos, representamos en la ecuacin 2.63

Atyt

= 1 ktyt

(2.63)

Eso fue la primer versin del residuo de solow que se planteo en la explicacin

de la contabilidad del crecimiento, pero Hsleg, en 1992, planteo una versin delresiduo de Solow mas moderna, dentro del contexto que lo llamo .El enfoquedual de la contabilidad del crecimiento", para el cual se parte de los mismossupuestos que del que plante Solow, pero ahora se partira de la condicin:

Yt = Wt + Bt (2.64)

Yt = wtLt + rtKt (2.65)

Aplicando una diferencial total

dYt

dt= wt

dLt

dt+ rt

dKt

dt+ Lt

dwt

dt+ Kt

drt

dt(2.66)

Los dividimos ahora entre Yt

_YtYt

= _Ltwt

Yt+ _Kt

rt

Yt+ _wt

Lt

Yt+ _rt

Kt

Yt(2.67)

Y en el lado derecho acomodamos la ecuacin de la siguiente manera:


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_YtYt

=_Lt

Lt

wtLt

Yt+

_KtKt

rtKt

Yt+

_wtwt

wtLt

Yt+

_rtrt

rtKt

Yt(2.68)

quedandonos de la siguiente manera:

Yt = (1 )Lt + (1 )wt + Kt + rt (2.69)

Ordenando de la misma manera que se orden en la ecuacin 2.60, obtenemos

nalmente el nuevo residuo de solow:

Residuo de Solow ! At = yt kt = (1 )wt rt (2.70)

2.2.9. Convergencia

El tema de la convergencia, ha sido punto de partida para el anlisis y dis-cucin del comportamiento de las principales variables de actividad econmica

entre los paises, pues especialmente en estas ltimas dos dcadas, muchos deellos, han crecido desigualmente, y cireta parte de paises, a los que ahora lla-mamos desarrollados, han crecido, de cierta manera parecida, tal y como semostr en el captulo de Hechos estilizados.

Solow al proponer esta teora, propona que los paises que tengan similartecnologa y especicacin paramtrica18 , convergern al mismo nivel de ingresopercpita, sin importar el stock de capital inicial que posan, pues aqu va atallar la velocidad de convergencia, y el tiempo que se demora en llegar a laconvergencia. Pero esta armacin no fue del todo cierta, pues haba hechosempricos que demostraban lo contrario, tal y como se muestra en grco N 2;5

18 Especicacin paramtrica hace referencia a la tasa de ahorro, tasa de crecimineto de lapoblacin, y tasa de crecimiento del conocimiento.


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Grco N2;5: Evolucin del ingreso percpita 1960-2000

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por Daron Acemoglu. MIT.Octubre 2008

Es apartir de ah que nace la hipotesis de la convergencia Absoluta, y laconvergencia relativa.

Convergencia Absoluta

Se da cuando en un mundo con iguales equilibrios de largo plazo los paisespobres crecen mas rpido que los paises ricos, pues todos los paises convergena un mismo nivel de ingreso percpita. Actualmente no se d una convergenciaabsoluta, entre paises pues ahora se da la existencia de clubes de paises, el cualencaja en la convergencia relativa.

Convergencia Relativa

Este tipo de convergencia se d cuando la tasa de crecimiento de un pais estinversamente relacionado con la distancia que se ubica de su propio equilibriode largo plazo, es decir cuando un grupo de paises convergen a un mismo nivelde ingreso percpita, pero solo un grupo de paises, y no todos, pues su equilibriode largo plazo dependen de los parametros del modelo que son especcos para


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cada pas. Para ver un claro ejemplo de la convergencia condicional, ver grcoN2;6

Grco N2;6: Evolucin del P BI percpita por grupos de paises 1820-2000

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por Daron Acemoglu.

MIT. Octubre 2008

Otro tema de vital importancia para el estudio de la convergencia, es uno,la velocidad de convergencia, y otro el tiempo que demora un pas en llegar asu equilibrio de largo. Es all donde vamos a enfatizar con la formulacin de lassiguientes ecuaciones.

De la ecuacin 2.14, llegamos a:

~kt+1 =s~kt

(1 + g + n)+

(1 )~kt(1 + g + n)

(2.71)

Es ah que nos preguntamos Como calculamos el tiempo en que se demorallegar a su equlibrio de largo plazo?. Para responder esta pregunta utilizaremosla log-linealizacin19 .

19 La log- linealizacin es una tecnica para linealizar sistemas no lineales, en el que se utilizalogaritmos naturales y la aproximacion a un estado estacionario, mediante la expansin deTaylor, para ver mejor esto, ver un resumen en el apndice E


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De la ecuacin 2.71, pasando a trminos Log- Lineales.

~kt ekt+1 = s

(1 + g + n)(~kt )

ekt + (1 )(1 + g + n)

~kt ekt (2.72)

Donde:~kt : Stock de capital percpita ecaz en el estado estacionario.

kt =~kt~k

t

~kt

: Log- desviacin del stock de capital percpita ecaz.

ekt+1 =s

(1 + g + n)(~kt )

(1)ekt +(1 )

(1 + g + n)ekt (2.73)

Expandiendo por taylor y reepmplazando la ecuacin 2.16 en la 2.73:

1 +^kt+1 =

(n + g + )

(1 + g + n) (1 + ^kt) +

(1 )

(1 + g + n) (1 +^kt) (2.74)

Despejando, el valor de kt+1 :

kt+1 = kt((1 ) + (n + g + )

(1 + g + n)) (2.75)

kt+1 kt = ((1 )(n + g + )

(1 + g + n))kt (2.76)

Es de esta ecuacin que vamos a determinar la tasa de convergencia, es poreso que para simplicar escribiremos la ecuacin 2.76, como;

kt+1 kt = kt (2.77)Donde -; es la tasa de convergencia, o tasa de aceleracin, o la velocidad

con la que llega a su valor de equilibrio a largo plazo.Ahora solo nos falta determinar el tiempo con el que llegar a su equilibrio

de largo plazo, por lo tanto para determinar ese tiempo, de la ecuacin 2.77,podemos escribir como:

kt+1 = (1 )kt (2.78)

Resolviendo la ecuacin en diferencia:

kt = (1 )tk0 (2.79)

De donde despejando el tiempo:

t =Lnkt Lnk0

Ln(1 )(2.80)

Es as entonces que se calcula el tiempo en que se demora el stock de capitalpercpita ecaz en llegar a su valor de equilibrio de largo plazo.


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2.3. APLICACIN EN MATLAB 31

2.3. Aplicacin en MatLab

Para la aplicacin en MatLab, trabajaremos con estos codigos, creados porlos autores de esta Nota de Clase20 , en el cual presentaremos Tres partes,la primera, el cdigo y su explicacin21 , La segunda parte, explicaremos ymostraremos los resultados arrojados por el MatLab, y tercero, mostraremosun aplicativo, en GUIDE22 , de este modelo, para su mejor explicacin23 , Conreferente al cdigo, este se realizo, solo tomando en consideracin el trabajoen variables percpitas, para un simple entendimiento, en caso que se quieracomplicar un poco mas el cdigo, el estudiante estar en la facultad de podermodicarlo, pues su capacidad le permite, por haber llevado el curso introduc-torio de MatLab en el verano 2009, con rerencia a la segunda parte, son elresultado qu el MatLab nos arrojar y que son consistentes con la teora pues asimple vista el primer grco es el mismo que se trabaj en clase. Y con respectoal aplicativo GUIDE en MatLab, el cual ser explicado en un nivel avanzado delTaller de MatLab, tambien nos muestra los resultados, pero con la diferenciaque ahora nosotros insertamos los valores desde una nueva ventana, en el cualcomo ya se diseo, no es necesario saber programar en MatLab.

2.3.1. Codigo: Solow.m

En esta parte vamos a presentar la lgica del modelo, as como por ejemploel desarrollo del cdigo mediante diagramas de ujo que son presentados en elapndice G. Para la elaboracin de este cdigo, se tom en consideracin traba-

jar solo con variables percpita, para el cual se calcul su estado estacionario, taly como muestra el grco que exponemos en la segunda parte de la aplicacinMatLab, en el que presentamos y explicamos los resultados. A continuacin, pro-

cedamos a describir, en que consiste el cdigo. Primero, se introdujo, los valorescalibrados para el caso peruano, depues se coloc las semillas de las principalesvariables que servirn para construir las sendas, tanto de tecnologa, de Capital,de Produccin y por ltimo de consumo. atravez de dos bucles for, que lo quehace es partir de una semilla que previamente establecimos; el primero de losbucles, construye las cuatros sendas antes mensionadas, a travez de un procesorepetitivo, construyendo uno a uno las veces que se le establece en la condicin,hasta alcanzar el mximo establecido, as pasa a elaborar los grcos que se lepide a continuacin, el cual ser consistente con lo mostrado en la parte teri-ca de este modelo; las grcas sern grcadas mediante los comandos Plot ySub Plot. El segundo bucle, nos calcula la trayectoria de comportamiento delResiduo de Solow, atraves de la crecin de la senda, una vez mas a travez deun proceso repetitivo, para luego una vez ms pedirle que nos graque la senda

20 Agradecemos a Miguel Ataurima por la revicin y sus concejos para la creacin del cdigo.21 Aqu se explicar la lgica del modelo, atraves de diagramas de ujo, y la bondad del

MatLab en su uso para simplicar pasos y tiempo, en su clculo22 GUIDE: Grac User Interface Development Eviromental.23 Este GUIDE ser explicado en clase conjunto con estas notas de clase, para poder entender

mejor el aplicativo.


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del residuo de Solow y la senda de Consumo, mediante los comandos Plot y Subplot, que en este caso se le establecer el orden de la casilla que ir cada grco

dentro de la gura. En el caso del resultado mostrado, que se expone en la sigu-iente subseccin, solo se presenta los principales grcos, pero si quisieramos verlas trayectorias de todas las variables trabajadas para la elaboracin del mode-lo, solo basta con que despues de correr el programa solow.m, diguitemos en laventana de comando, whos(>>whos), y nos arrojar todas las caractersticas delas variables que se han elaborado, y que han sido guardados en el Workspace,pudiendo as visualizar toda la secuencia de valores de las trayectorias corre-spondientes, con solo darle doble click sobre el nombre de la variables en elWorkspace.

A continucin se presenta el cdigo elaborado, para este curso.

%Aplicacin del modelo de Solow- IDES24 -UNMSM

%Creado por Elias Sanchez, Cristian Marav y Victor Cardenas

%==================================================================%Calibracin

delta=0.1;

alpha=0.2;

n=0.08;

z=(1+n)-1;

s=0.6;

T=150;

kt(1)=0.003;

At(1)=1;

y(1)=At(1)*kt(1)âlpha;

%Creacin de las sendas

for a=2:TAt(a)=At(a-1);

kt=((1-delta)*kt(a-1)+s*y(a-1))/(1+z);

y(a)=At(a)*kt(a)âlpha;

consumo(a)=(1-s)*y(a);

end

subplot(3,1,1), plot(kt,y,g,kt,s*y,r,kt,(delta+z)*kt,b)

title(Modelo de solow);

% RESIDUO DE SOLOW

% De yt=At*ktâlpha

g_residuo_solow(1)=0;

for i=2:T

residuo_solow(i)=log(y(i))-log(y(i-1))-...

alpha*(log(kt(i))-log(kt(i-1)));

g_residuo_solow(i)=residuo_solow(i)+...

g_residuo_solow(i-1);

end

24 Grupo de estudios: Investigacin para el Desarrollo Econmico Social.


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subplot(3,1,2), plot(1:T,g_residuo_solow(1:T),b)

title(Residuo de solow)

subplot(3,1,3), plot(1:T,consumo(1:T),magenta)

title(Senda de consumo)

2.3.2. Resultados de Solow.m

Despues de guardar el cdigo elaborado en la subseccin anterior comoSolow.m en un M-le, el siguiente paso es ejecutarlo desde la ventana de co-mandos(Comand Window), escribiendo el nombre del cdigo fuente, para asejecutarlo, as el MatLab, me mostrar el siguiente resultado.

.

Pasos:

1. Abrir, un archivo M-le, donde se digitar el cdigo fuente(solow.m) quepodemos obtenerlo con solo digitar en la ventana de comandos: edit

>>edit

2. Digitar el cdigo en un archivo M-le, y guardarlo, con el nombre solow.m25 .

3. Para hacer correr el programa, llamando al cdigo solow.m, solo hay quedigitar el nombre del cdigo solow, en el Comand Window.

>>solow

Y el resultado que nos arrojar inmediatamente el MatLab es:

25 Hay que tener mucho cuidado con digitar letras mayusculas y minusculas, que para elMatLab son diferentes.


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Grco N2;7 Resultados de Solow.m

En donde en el primer grco, podemos apreciar, el mismo que se trabajopara el modelo en la parte del desarrollo terico, el segundo grco, nos muestrael famoso residuo de solow, que se explic tambien en la parte terica, el cualexplica algunos argumentos del ingreso que no son explicados por factores pro-ductivos, y que en esta grca es estacionario, es decir se desarrolla al rededorde una media con una varianza constante. El tercer grco nos muestra la sen-da de consumo, el cual como podemos apreciar es cncava, y nos muestra que

despues de un proceso, llega a su valor de estado estacionario.

2.3.3. Aplicativo GUIDE

Para este Caso, vamos a presentar un Caso comparativo, entre la Economaperuana, y la economa China, simulando para ambos, el cual es mostrado en


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en seguida:

GrcoN2;8: GUIDE para el modelo de Solow

Como se puede apreciar en la aplicacin de este GUIDE, se ha elaboradoun cdigo mucho mas complicado, en el que se ha elaborado especcamentepara comparar la economa china, y la economa Peruana, y tal como podemosobservar, solo se le h cambiado un parmetro, el cual como se explico en desar-rollo terico del modelo, no habr convergencia entre dos paises que no tenganla misma especiacin paramtrica, as en esta aplicacin solo se ha presentado,haciendo una sola modicacin, el alumno de este curso, ya con el programa enmanos podr hacer muchos cambios, y se le pedira que reporte un informe sobrelos resultados, contrastando con la teora explicada en esta nota de clase y enclases propiamente dicho.


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Captulo 3

Modelo de Ramsey Cass yKoopmans

3.1. Introduccin

En el modelo de solow se supuso que las familias, ahorran una fraccin con-stante y exgena, de su renta, s al cual tambien llamamos propensin marginala ahorrar. Sin embargo al asumir a esta tasa como constante y exgena dadaest sujeto al igual que los modelos macroeconmicos tradicionales, a la crti-ca de Lucas(1976), este problema no es mas que uno de los muchos problemasque se encontraron en este modelo, pues acontinuacin los vamos enumerar,pero separandolos en dos grupos, a los que vamos a llamar como errores a nivelmetodolgico, y errores a nivel de resultados.

Errores a nivel metodolgico:

1. Para el modelo de Solow, no se modela a las familias, como agentes quetoman decisiones racionales, basadas en condiciones de otimizacin.

2. Pero para modelar el consumo, lo hace de claro estilo Keynesiano, es decirque el consumo forma una parte constante de la renta, c al que llamamospropension marginal al consumir, que es lo mismo que uno menos la tasade ahorro. Dicilmente la tasa de ahorro es un parmetro estructural,independiente de las expectativas de los agentes y las polticas guberna-mentales. Los nicos parametros estructurales que se considerarn parael modelo de Ramsey Cass y Koopmans, son aquellos que describen las

preferencias de los agentes y las tecnologas a la que tienen acceso.

Es por eso que se propone el modelo Neoclsico de Ramsey Cass y Koopmans,el cual corrige estos errores endogenizando la tasa de ahorro, es decir considerarque la decisin de ahorro est determinada como parte del equilibrio, y de unproceso de optimizacin. En otras palabras el primer paso para construir la

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38 CAPTULO 3. MODELO DE RAMSEY CASS Y KOOPMANS

teora macroeconmica es partir de fundamentos microeconmicos, o lo queconocemos como microfundamentos.

Errores a nivel de resultados:

1. El crecimiento del PBI est determinado por factores exgenos.

2. El crecimiento tecnolgico es exgeno, es decir no hay nada que lo deter-mine dentro del modelo.

Es por eso, que se proponen modelos de crecimineto endgeno, que se desar-rollarn en la segunda parte de este curso.

Es as que partiendo de esos errores ya mensionados, el modelo de RamseyCass y Koopmans, que ser estudiado por esta seccin, propondr un desarrollobastante fundamental, pues este modelo es base para el desarrollo de la teora delas uctuaciones econmicas y demas teoras macroeconmicas que contenganequilibrio general.

Este modelo fue planteado primeramente por Ramsey, quien lo desarrolloinicialmente en 19281 , el cual luego fue modicado y reeplanteado en tempo dis-creto, por las bondades econmicas que este tiene, tal y como explicamos anteri-ormente, por Cass(1965) y Koopmans(1965), para despues ser reeplanteado peroesta vez agregandole incertidumbre(estocasidad) por Brock y Mirman(1972), ypor ltimo haberle agregado, dinero, por Brock(1974).

3.2. Desarrollo Terico

3.2.1. Supuestos del Modelo

Economa cerrada

Se debe cumplir en todo momento, que:

St = It (3.1)

Consumidores Optimizadores

Para el caso de los consumidores, tal y como desarrollaremos mas adelante,en las familias, se cumplir:

V = max1X

p=t

ptU(Ct) (3.2)

1 Ramsey fue un famoso lsofo y matemtico de Cambridge, que muri en 1930, cuando

tena apenas 26 aos, El mo delo que en la actualidad lleva su nombre se desarrollo inicialmenteen tiempo discreto, y para la solucin centralizada, el propuso la famosa teora conocida hoycomo el del maximo de pontriagin, o como la teora del contro ptimo, pero lo sorprendentesobre la genialidad de Ramsey, es que el desarrollo esta teora cuando Pontriagin, an no lohaba planteado, es decir se adelanto a una teora que revoluciono la optimizacin. Es poreso que muchos nos preguntamos Que hubiera sido de la teora econmica si hubiese vividomuchos aos?.


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Funcin de Produccin Neoclsica

Yt = F(Kt; AtLt) (3.3)

Yt = Kt (AtLt)

1 (3.4)

Funcin de Evolucin del Capital

Se va a suponer el mismo que se propuso para el modelo de Solow

Kt+1 = (1 )Kt + I (3.5)

Restriccin de Agregacin

En todo momento de cumple que lo que las empresas producen, una partelas familias lo consumen y otra parte lo invierten, o ahorran, que es lo mismosegun el primer supuesto; que va a ser el mismo que se supuso para el modelode Solow.

Yt = Ct + It (3.6)

Variables percpita ecaz

Para el desarrollo de este modelo volveremos a trabajar, con variables precpi-ta ecaz, es decir, a todas las variables se les dividir entre la multiplicacin,del factor trabajo, con la tecnologa. En la que presentarn tasas de crecimientoiguales a:

Lt+1

Lt= 1 + n; A

t+1

At= 1 + g (3.7)

Perfect Foresight

En este modelo no incluiremos incertidumbre, por lo que trabajaremos conagentes que tinen clarividencia, o prediccin perfecta sobre el futuro.

3.2.2. Modelo Base

Este modelo de crecimiento ptimo parte por un camino distinto al an-terior(Modelo de Solow), pues antes habamos supuesto que las familias, sonproductoras, y consumidoras, a la vez, ahora, los supuestos son ms estrictos, y

ms acordes con los criterio neoclsicos, pues vamos a suponer que las familiasson propietarias de los factores productivos y de la riqueza, incluyendo el capitalde la empresa, alquilandolos a las empresas, para que estas producen un unicobien, que ser utilizado, o para consumo, o como bien de capital, que vendena las familias, para que estas consumen o ahorren, para luego este ahorro sematerialize instantaneamente en la adquisicin de capital, que se presta a las


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empresas. Esta es la lgica que seguiremos para el desarrollo de este modelo, yapartir de estas, sacer concluciones de los resultados.

Para el desarrollo de este modelo, tal y como ya se mension, vamos a supon-er la existencia de dos grupos, primero, a las familias, optimizadoras de bien-estar; segundo a la empresa, maximizadora de benecios. La interelacin entreellas(Empresas y Familias), puede llevarse a cabo, bajo equlibrio general com-petitivo, o bajo el esquema de un planicador social, o dictador benevolente,como otros conocen; quien tomar a cargo la maximizacin de la utilidad de lasfamilias y el benecio de las empresas; llevandonos a los mismos resultados quesi se considerasen, a las familias y las empresas tomando decisiones por sepa-rado, intercambiando, bienes y factores en un mercado competitivo2 . En estasnotas de clase expondremos la diferencia que existe entre ambos mtodos desolucin del modelo para el cual presentamos el suigiente analisis comparativo.

Equilibrio General Competitivo(EGC)

La asignacin de recursos en la economa se realiza va mercado.Los precios se determinan va interaccin entre la oferta y la demanda.Dados los precios, los agentes deciden, cuanto ahorrar, cuanto consumir,

cuanto producir, etc.Si los mercados son completamente competitivos (competencia perfec-

ta), entonces resulta que el equilibrio es pareto eciente. Es decir se cumple elprimer teorema del bienestar.

Planicador Social

Los mercados competitivos, presentdos en el EGC, son una intelequia,pues la realidad econmica, los mercados son inperfectos, y estan sujetos a dis-

torciones, que no hace que no se cumpla el primer teorema del bienestar.Pero para el largo plazo, si se d una existencia de un EGC3 , en el cual

se cumplir el primer teorema del bienestar, y el equilibrio ser pareto eciente.El clculo se har asumiendo que el planicador social, optimiza las

preferencias de la sociedad, sujeto a la existencia de recursos existentes.

Entonces en efecto, el hecho de teorizar una realidad sabiendo que es total-mente irreal, no necesariamente es por que querramos describir la realidad, sinoutilizar este modelo como un marco de referencia, para comparar, condicionesideales, con condiciones ms reales y as poder abstraer situciones de la realidadrespecto al ideal, proponiendo a este como el ptimo, as cualquier desvo delideal, se dira que estamos fuera del ptimo, osea en una situacin ineciente,tal es el caso de los monopolios, y las distintas fallas de mercado que existe enla realidad econmica.

2 Esto podr encontrar en Blanchard y Fisher, 1989, captulo 2). Se reere al primer teoremadel bienestar: una economa con mercados competitivos y perfectos sin externalidades y conun nmero nito de agentes, el equilibrio descentralizado(Equilibrio Walrasiano) es un ptimoParetiano.

3 Esta propuesta es muy similar a la que plantean los NeoKeynesianos


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3.2.3. Las Familias

Las familias determinan la senda ptima de consumo, pues su objetivo esla maximizacin, de su utilidad a lo largo de su ciclo de vida, es decir maxi-mizando el valor presente de su funcin de utilidad, sujeto a una restriccinpresupuestaria.

Maximizar:

U =1X

p=t

ptU(Ct) (3.8)

Donde: : Factor de descuento intertemporal, donde asumiremos como constante,

ademas, = 11+ : Tasa de impaciencia.

U : Funcin de utilidad intertemporal.Las familias en el modelo de Ramsey, son propietarias de las empresas,

atravez de acciones, ademas proveen de trabajo a cambio de salarios, y recibenintereses, por el capital que poseen y que emprestan a las empresas, pero esatasa de rentabilidad, no va aser igual a la productividad marginal del capitalque usan las empresas, sin va a ser igual a esa productividad marginal, menosla depreciacin del capital, esto ser demostrado mas adelante. El ujo de re-striccin presupuestaria est dado por:

Ct + St+1 = wLt + RtSt + t (3.9)

Como podemos apreciar el siguiente ujo de restriccin presupuestaria, im-plica que todas las entradas de ingreso, tienen que ser igual a las salidas de

ingreso, por ejemplo por el lado de la entrada de ingreso, est determinada, porel salario que recibe a cambio de su trabajo, mas la rentabilidad de su capi-tal que recibe de las empresas, por haberles prestado y mas el benecio puesson propietarias de la empresa, pero como vamos a mostrar mas adelante, estosbenecios sern cero. Por el lado de la salida de ingreso, tenemos que es igual ala suma entre el consumo que gasta, y el ahorro, para el siguiente periodo.

Pero como ya adelantamos en nuestros supuestos, se trabajar con variablespercpita ecaz4 , para el cual a todo dividiremos entre AtLt

Por lo que la restriccin quedar expresado de la siguiente manera:

~ct +St+1

At+1Lt+1

At+1

At

Lt+1

Lt=

w

At

Lt

Lt+ Rt

St

AtLt(3.10)

~ct + ~st+1(1 + g + n) = wAt

+ Rt~st (3.11)

Y el problema de la familia queda expresada de la siguiente manera:

4 En el caso del consumo, que es ~ct =Ct

AtLt; se hace con el fn de quitarle el componente

tendencial al consumo.


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Vt = max1X

p=t

ptU(~ct) (3.12)

sujeto a : (3.13)

~ct + ~st+1(1 + g + n) =w

At+ Rt~st (3.14)

Que ser resuelta mediante Programacin dinmica5 , para el cual usaremosla ecuacin de Bellman

Vt = maxfU(~ct) + Vt+1g (3.15)

Ahora reconoscamos nuestras variables de estado y nuestras variables decontrol.

Variables de estado: fwt; Rt; ~stgVariables de control: f~st+1; ~ctgAplicamos las Condiciones de Primer Orden(CPO)

@Vt

@~st+1= U~c(~ct):(1 + n + g) +

@Vt+1

@~st+1= 0 (3.16)

Aplicando el teorema de la envolvente6 :

Efecto T otal = Ef ecto directo + Efecto indirecto

Para el caso del teorema de la envolvente, solo considera efectos directos yno los indirectos, por la tanto:

@Vt

@~st= U~c(~ct):Rt + 0 (3.17)

Por lo tanto la ecuacin 3.16, quedar de la siguiente manera:

(1 + n + g)U~c(~ct) = U~c(~ct+1)Rt+1 (3.18)

Esta famosa ecuacin es conocida como la ecuacin de Euler.Ahora vamos a asumir una funcin de Utilidad explcita con aversin al

riesgo, o de elasticidad constante.

U(~ct) =(~ct)

1

1 (3.19)

Donde:5 Para tener un concepto mas claro sobre programacin dinmica, puede revisar varios

libros sobre optimizacin dinmica, por ejemplo para un analisis sencillo, revisar el libro deOptimizacin Dinmica y teora econmica, de Jose luis Bonifaz y Ruy Lama.

Esta teora se presenta como Resumen en el apndice G.6 Para una explicacin mas detallada del teorema de la envolvente, ver apndice G, dentro

de Programacin dinmica.


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: Grado de aversin al riesgo.Por lo tanto la nueva ecuacin de Euler, quedar expresado de la siguiente

manera:

(1 + n + g)(~ct) = (~ct+1)

Rt+1 (3.20)

Ahora la ecuacin que desribe la evolucin del capital se recoge de la combi-nacin de las ecuaciones 3.5 y 3.6, que parten de los supuestos de este modelo.

Kt+1 = (1 )Kt + Yt Ct (3.21)

Reeplazando la funcin de produccin de la ecuacin 3.3, que tambien partede los supuestos de este modelo.

Kt+1 = (1 )Kt + Kt (AtLt)

1 Ct (3.22)

Y como estamos trabajando con variables percpita ecaz, ahora a todo ledividimos entre AtLt

At+1

At

Lt+1

Lt

Kt+1

At+1Lt+1= (1 )

Kt

AtLt+

Kt(AtLt)

(AtLt)1

(AtLt)1

Ct

AtLt(3.23)

Quedando nalmente expresada de la siguiente manera:

(1 + n + g)~kt+1 = (1 )~kt + ~kt ~ct (3.24)

Por lo tanto un primer resultado se obtiene de resolver el sistema de ecua-ciones en diferencia formado por las ecuaciones ?? y 3.24, pero para poderresolver este sistema de ecuaciones en diferencia, vemos que en la ecuacin 3.20,

nos estorba la variable Rt+1; el cual es la rentabilidad del capital, que recibenlas familias por prestarles a las empresas, una primera pregunta es como yase mensiono en el inicio de este captulo. Ser la tasa Rt+1; la misma que laproductividad marginal del kapital en las empresas?, la respuesta es no, puesesta tasa Rt+1; es igual a la productividad marginal del capital, representadapor R0t+1; mas uno, menos la depresiacin. para poder demostrar esto, primeroexploremos y analisemos a las empresas, o rmas.

3.2.4. Las Empresas

Las empresas en el modelo de Ramsey, tienen las mismas carctersticas quelas empresas del modelo de Solow y Swan, pues como vimos, su comportamientoes bastante simple, en cada momento de tiempo, las empresas emplean determi-

nadas cantidades de capital y trabajo, ademas pagan a sus factores de acuerdo asu productividad marginal, en el caso del factor trabajo, la productidad mar-ginal y por ende su pago est determinada por el salario( wt), y para el casodel capital, su productividad marginal y por ende su pago estar dado por surentabilidaden la empresa libre de dpresiacin(R0t) para luego vender la pro-duccin obtenida, ahora tal y como se estudio en el modelo de Solow y Swan,


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dado que la Funcin de Produccin Neoclsica, presenta rendimientos a escalaconstante y que la economa es competitiva, los benecios que van a obtener

van a ser nulos.El problema de la rma es:

max t = Kt (AtLt)

1 R0tKt wtLt (3.25)

Una vez mas pasamos a trminos percpita ecaz, dividiendolo entre AtLt;quedandonos expresado:

max ~t = ~kt R

0

t~kt ~wt (3.26)

El problema de la maximizacin de la empresa, es un problema de maxi-mizacin esttica, pues, las empresas no almacenan nada, todo lo que gastan,es igual a lo que utilizan en el proceso de produccin, de esta manera no habrrelacin entre la produccin de este periodo con otros.

@~t

@~kt= ~k1t R

0

t = 0 (3.27)

Por lo tanto obtenemos:

R0t = ~k1t (3.28)

Por lo tanto la renta que se paga por el factor capital, es igual a su produc-tividad.

Entonces, una vez sabido que R0t = FK(Kt; AtLt) o sea:

R0t = f~k(~kt) (3.29)

Entonces:

wt = At(f(~kt) ~ktf~k(~kt)) (3.30)

Por lo que simplicando obtenemos, el salario percpita ecaz, o salario porunidad de trabajo efectivo.

~wt = f(~kt) ~ktf~k(~kt) (3.31)

3.2.5. El Equilibrio General Competitivo

El equilibrio general competitivo para esta economa es un conjunto de se-cuencias para las cantidades ~ct; ~st; ~yt; ~kt+1; y los precios wt y rt

entonces de las condiciones halladas en las familias y las empresas, sacamoslas condiciones de equilibrio. Pero hasta ahora, solo hemos encontrado el valor deR0t; nos falta demostrar que la tasa de rentabilidad que se le paga a las familiases uno mas la tasa de rendimiento del capital, o la productividad marginal delcapital(R0t), menos la depreciacin. A continuacin pasaremos a demostrar loarmado:


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Al preguntarnos Rt = R0t?Para hallar una relacin entre Rt y R0t; tenemos que partir de las siguientes

ecuaciones:

Ct + St+1 = wtLt + RtSt (3.32)

Kt+1 = (1 )Kt + St (3.33)

Yt = Ct + St (3.34)

Como el = 0; entonces

Yt = wtLt + R0

tKt (3.35)

Aqu vamos a suponer que los mercados nancieros son perfectos, es decirtodo lo que las familias ahorran, se van a formar en capital para la empresa,mediante la compra de acciones, no se va a aceptar la existencia de mermas.

Por lo tanto de la ecuacin 3.33 y 3.34, tenemos:

Kt+1 = (1 )Kt + Yt Ct (3.36)

Reemplazando la ecuacin 3.35 en la ecuacin 3.36, tenemos:

Kt+1 = (1 )Kt + wtLt + R0

tKt Ct (3.37)

Kt+1 + Ct = (1 )Kt + wtLt + R0

tKt

Por lo tanto bajo el supuesto de mercados nancieros perfectos, se llegar a:

St+1 + Ct = wtLt + (R0

t + 1 )St (3.38)

Entonces si igualamos la ecuacin 3.38 y 3.32, entonces obtenemos:

Rt+1 = R0

t+1 + 1 (3.39)

Donde Rt; es una tasa bruta, e igual a 1 + rt; por lo tanto:

rt+1 = R0

t+1 (3.40)

Este problema de tener diferentes tasas, obtenemos por trabajar con ahorro,y no con capital, para poder apreciar esto mejor, veremos en el caso de tra-bajar con un planicador social o dictador benevolente que se trabajar en lasiguiente subseccin. Por ahora denamos las condiciones de equilibrio generalcompetitivo, en las siguientes ecuaciones.

Ecuacin de Euler:

(1 + n + g)(~ct) = (~ct+1)

(~k1t+1 + 1 ) (3.41)

Ecuacin fundamental de evolucin del capital:


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(1 + n + g)~kt+1 = (1 )~kt + ~kt ~ct (3.42)

Estas dos ecuaciones, juntos conforman un sistema de ecuaciones en difer-encia, que puede solucionarse, pues se tiene como incgnitas, al capital(~kt) y alconsumo(~ct)

3.2.6. El Planicador Social

El planicador Social, o como muchos conoces, dictador benevolente, odspota benvolo7 . Este planicador, busca maximizar, la utilidad de las familiasdado por 3.43, sujetos a las restricciones tecnolgicas dadas por 3.44, as losresultados que obtendremos son considerados Pareto ptimas, en el sentido queno podemos aumentar el bienestar de las familias, sin reducir el de las empresas.

Entonces el problema del planicador social es:Maximizar:

U =1X

p=t

ptU(~cp) (3.43)

Sujeto a:

(1 + n + g)~kt+1 = (1 )~kt + ~kt ~ct (3.44)

Este problema de optmizacin, nuevamente ser resuelto mediante progra-macin dinmica, para el cual, planteamos la ecuacin de Bellman en la ecuacin3.45. Donde:

Variables de estado:n~

kt; ~yto

Variables de control:n

~ct; ~kt+1

oVt(~kt) = max

~ct;~kt+1

nU(~ct) + Vt+1(~kt+1)

o(3.45)

Ahora aplicando las condiciones de primer orden:

@Vt(~kt)

@~kt+1=

@U(~ct)

@~ct

@~ct

@~kt+1+

@Vt+1(~kt+1)

@~kt+1= 0 (3.46)

(1 + n + g)U~ct(~ct) = @Vt+1(~kt+1)

@~kt+1

(3.47)

Aplicando el teorema de la envolvente:

Efecto T otal = Ef ecto directo + Efecto indirecto

7 En el libro de macroeconoma avanzada, tomo II de Agandoa, lo consideran as.


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Para el caso del teorema de la envolvente, solo considera efectos directos yno los indirectos, por la tanto:

@Vt

@~kt= U~c(~ct):(1 + ~k

1t ) + 0 (3.48)

Por lo tanto la ecuacin 3.47, quedar de la siguiente manera:

(1 + n + g)U~c(~ct) = U~c(~ct+1)(1 + ~k1t+1 ) (3.49)

Esta famosa ecuacin es conocida como la ecuacin de Euler.Ahora, tambien vamos a asumir una funcin de Utilidad explcita con aver-

sin al riesgo, o de elasticidad constante, al igual que la ecuacin 3.19As la nueva ecuacin de Euler, quedar expresado de la siguiente manera:

(1 + n + g)(~ct) = (~ct+1)

(1 + ~k1t+1 ) (3.50)

Por lo tanto tal y como podemos ver lo que se ha resuelto, podemos decir quese ha demostrado lo mensionado, anteriormente, sobre que bajo equilibrio com-petitivo, se llega al mismo resultado, que bajo la existencia de un planicadorsocial. As podemos obtener las mismas expresiones, tal y como se muestran enlas ecuaciones 3.51 y 3.52.

Ecuacin de Euler:

(1 + n + g)(~ct) = (~ct+1)

(~k1t+1 + 1 ) (3.51)

Ecuacin fundamental de evolucin del capital:

(1 + n + g)~kt+1 = (1 )~kt + ~kt ~ct (3.52)

Por lo que nuevamente tenemos un sistema de ecuaciones en diferencia, alque tenemos que resolver, y para eso, primero tenemos que encontrar su valorde estado estacionario, que se presentar en la siguiente subseccin.

3.2.7. Estado Estacionario

El estado estacionario, que se presenta en el apndice E, se alcanza, cuandolas varibles en trminos percpita ecaz, no crecen, sino se mantienen con-stantes, as para este modelo se alcanzar el estado estacionario, cuando se dlas siguientes dos condiciones.

~ct+1~ct

= 1 (3.53)

kt+1 = 0 (3.54)

Por lo tanto reemplazando estas ecuaciones en la ecuacin 3.51 y 3.52 obten-emos:

(1 + n + g) = (~k1t+1 + 1 ) (3.55)


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De ah que:

~kt = ( 1 + n + g (1 ))1=1 (3.56)

Donde ~kt ; es el stock de capital percpita ecaz en el estado estacionario,

que hace posible, que se dea:~ct+1

~ct

= 1

Entonces durante el antes y despues de la transicin al equilibrio de largoplazo8 , se cumple una serie de condiciones, que son presentadas a continuacin.

Si

8 ~k

t ! ~c

t < 0

kt+1 = ~kt ! ~c

t = 0

kt+1 < ~k

t ! ~c

t > 0

9=;

Y lo mismo sucede para el consumo de estado estacionario, si se cumple 3.54en 3.52

Arreglando la ecuacin 3.52:

(1 + n + g)~kt+1 = ~kt (n + g + )

~kt ~ct (3.57)

y reemplazando la condicin 3.54, se cumple que:

~ct = (~kt )

(n + g + )~kt (3.58)

Donde ~ct ; es el nivel de consumo percpita ecaz en el estadoestacionario, que hace posible, que se dea: kt+1 = 0

Ademas se cumple al igual que para el stock de capital percpita ecaz, losiguiente:

Si

8 0

~ct = ~c

t ! ~kt = 0

~ct

> ~ct! ~k

t< 0

9=;

Por lo que de estas relaciones, se puede concluir lo siguiente:

Si

8>:

~ct

= 0 ! ~ct = g ! Ct = n + g

~kt

= 0 ! ~kt

= g ! Kt

= n + g

~yt

= 0 ! ~yt = g ! Yt = n + g

9>=>;

Este resultado nos muestra que en estado estacionario de variables percpitaecaz, las variables solo en trminos percpitas, y en niveles, crecen a una tasaconstante9 , es decir, estan en un estado balanceado, de crecimineto proporciona-do.

Por lo tanto a manera de resumen se obtienen las dos condiciones de estadoestacionario:

~kt = (

1 + n + g (1 )

)1=1 (3.59)

~ct = (~kt )

(n + g + )~kt (3.60)

8 Para recordar sobre el equilibrio de largo plazo, ver apendice E.9 Constantes, pero diferentes, tanto para el grupo de variables percpita y las variables en

niveles.


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Por lo tanto de la ecuacin 3.59, obtenemos:

(~kt )1 = f0(~kt ) = 1 + n + g

(1 ) (3.61)

Puesto que f0(~kt ); es decreciente, podemos dedducir que existe un nicovalor de estock de capital percpita ecaz en el estado estacionario ~kt : Por loque la tasa de ahorro, que es igual a la inversin, estar dada por:

~st =f(~kt ) ~ct

f(~kt )= (n + g + )(~kt )

1 (3.62)

Que como podemos notar es la misma tasa de ahorro que del modelo desolow, pero en este caso es una tasa de ahorro endgena, y no una tasa deahorro exgena, conocida como la tasa de ahorro de la regla de oro modicadaque ser tratada mas adelante.

3.2.8. Dinmica de transicin

La dinmica de transicin, nos va a permitir aproximar la solucin del sis-tema10 , a un sistema lineal al rededor de (~kt ; ~c

t ), es decir como se comporta laeconoma, cuando est esta cerca de su valor de estado estacionario.

Aproximando 3.52, mediante la log- linalizacin, obtenemos:

(1 + n + g)~kt ekt+1 = (1 )~kt e

kt + (~kt )ekt ~ct e

ct (3.63)

Aproximando ahora por taylor, y dividiendo a todo entre ~k:

(1 + n + g)(1 +^kt+1) = (1 )(1 +

^kt) + (

~k

t )1

(1 + ^kt)

~ct~k (1 + ct) (3.64)

Ahora calculamos el estado estacionario y sus relaciones:De la ecuacin 3.60:

(~kt )1 =

~ct~kt

+ (n + g + ) (3.65)

Reemplazamos en la ecuacin 3.61 y obtenemos:

(~ct~kt

+ (n + g + )) =1 + n + g

(1 ) (3.66)

Por lo tanto reemplazando las ecuaciones 3.65 y 3.66 en la ecuacin 3.64,

obtenemos:

(1 + n + g)kt+1 =(1 + n + g)

kt

~ct~kt

ct (3.67)

10 Mediante el mtodo de aproximacin de la log- linealizacin. Para eso puede ver apndiceF


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Luego log- linealizando, la ecuacin 3.51, al rededor de su estado estacionarioy reemplazando la ecuacin 3.61 en esta ltima, obtenemos:

(1 + n + g)(ct+1 ct) = (1 )(~k

t )1kt+1 (3.68)

Por lo tanto, teniendo las ecuaciones 3.67 y 3.68, tenemos un sistema dedos ecuaciones con dos incgnitas, y una variable establecida, es decir un sis-tema con dos variables endgenas, y una variable predeterminada, por lo queesto nos induce a usar el mtodo de los coecientes indeterminados, por lo queprimeramente, tenemos que denir a las variables:

Variables endgenas:n

ct; kt+1

oVariable predeterminada:

nkt

oPor lo tanto:

ct = f(kt) = n1kt (3.69)

kt+1 = f(kt) = n2kt

entonces:

ct+1 = n1n2kt (3.70)

As si reemplazamos 3.69 y 3.70 en 3.67 y 3.68, obtenemos:

(1 + n + g)n2kt =(1 + n + g)

kt

~ct~kt

n1kt (3.71)

(1 + n + g)n1(n2 1)kt = (1 )(~k

t )1n2kt (3.72)

Por lo que si intentamos resolve ese sistema, nos saldr un resultado, bastanteoperativo, tal y como mostramos en las siguientes ecuaciones:

Para el clculo de n1; encontramos:

n1 =

1 + n + g

(1 + n + g)n2

~kt~ct

(3.73)

Y para n2; obtenemos la siguiente ecuacin de segundo grado sin resolver:

~kt~ct

(1 + n + g)21(1

n2)(n2 1) + (1 )n2 (1 )(1 )n2 = 0 (3.74)

Tal y como podemos apreciar, este sistema de ecuaciones se torna dicil de

resolver, pero aqu solo nos importa saber, que los parmetros de preferenciasy tecnologas mapean a estos parmetros que resumen la dinmica del sistema:(; ; ;n;g;) ! n1; n2: Asi pues esos sistemas de ecuaciones, pueden ser re-suletos por algoritmos recusivos, o mtodos numricos, que mediante la ayudade un programa(MatLab), la solucin se calcular facil y rpidamente. Esteprocedimiento se muestra en la aplicacin de MatLab.


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3.2.9. Regla de oro modicada

Como pudimos ver anteriormente en el captulo 1, el modelo de solow, noracionaliza dinmicamente, por lo que lo convierte en un modelo ineciente,pues como pudimos ver reduciendo el stock de capital percpita ecaz, durantela transicin, el bienestar de la economa poda ser aumentado atravez de mayorconsumo en el largo plazo, en cambio en este modelo de crecimiento neoclsico,el stock de capital percpita ecaz, con el que se llega al estado estacionario,siempre es menor, al de la regla de oro propuesto en el modelo de Solow, pueslos agentes valoran mas el consumo presente, que consumo futuro, por la tasade inpaciencia que se incluye en este modelo, y no en el modelo de Solow.

Para poder comparar, veamos la tasa de rendimientos del capital, en ambosmode

macromatlab crecimiento economico

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