MAA9 – Koe 21.5.2013 Jussi Tyni

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!

1. a) Ratkaise yhtälö 1

sin3

x . Ilmoita vastaus radiaaneina!

b) Määritä paljonko on 3

cos4

. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi!

c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

2. a) Ratkaise yhtälö sin(5 ) 0,34556

x

. Ilmoita vastaus radiaaneina!

b) Määritä lukujonon 1

4,

1

2, 1, 2, 4 kolmaskymmenes jäsen 6p

3. a) Geometrisessa jonossa a 4 = 25 ja a 7 = 3125. Määritä jonon kaksi

ensimmäistä jäsentä.

b) Ratkaise yhtälö sin( ) sin(3 )2

x x

6p

4. Määritä funktion f (x) = 2

x + cos x suurin ja pienin arvo suljetulla välillä

,2 2

. Ilmoita tarkka vastaus ja likiarvovastaus kolmen desimaalin

tarkkuudella. 6p

5. a) Jussi päättää juosta vuoden jokaisena päivänä . Jos hän juoksee

ensimmäisenä päivänä 2 km, ja joka päivä matkaa pidennetään 50 metrillä, niin kuinka paljon Jussi juoksee vuoden aikana? b) Geometrisen jonon 1, 2, 4, … summa on 4095, montako jäsentä jonossa on? 6p

6. Tutki funktion ( ) 2 cos2f x x x kulkua. Ilmoita, onko sillä ääriarvokohtia ja

jos on, mitkä ne ovat. Ilmoita lisäksi miten funktio kulkee (kasvava ja vähenevä) koordinaatistossa erilaisilla x-akselin väleillä 6p

7. Atlantin rannikolla veden korkeus muuttui erään vuorokauden aikana

seuraavan funktion mukaisesti: 9 3 ( 2)

( ) cos( )2 2 6

th t

.

Funktiossa t on aika tunteina vuorokauden alusta lukien ja h on veden korkeus metreinä. Ilmoita mihin vuorokauden aikaan vesi oli korkeimmillaan. Ilmoita myös paljonko korkeus silloin oli! 6p

8. Puistossa on kaksi toisiaan vasten kohtisuorassa olevaa käytävää, käytävät A

ja B. Lisäksi puistossa on koirien suosima puu, jonka etäisyys käytävästä A on 60 m ja käytävästä B 100 m. Käytävien väliin on muodostunut lyhin mahdollinen, luotisuora oikopolku, joka kulkee puun kautta. Minkä kulman tämä polku muodostaa käytävän A kanssa? Vastaus asteina! 6p

MALLIKUVA teht. 8:

TRIGONOMETRISIIN TEHTÄVIIN YKSIKKÖYMPYRÄT JA MUISTIKOLMIOT VASTAUKSEN PERUSTELUIKSI, MIKÄLI TARPEELLISTA!

Vastaukset:

1. a) 1

sin3

x . Sini on negatiivinen, joten vastauskulmat III ja IV sektoreissa

(yksikköympyrä perusteluksi). Kyseessä ei ole muistikolmion kulma, joten käänteissini puolittain:

1

1

2

1sin sin 0,6155 2

3

0,6155 2 2,5261 2

x x n

tai x n n

b)

Yksikköympyrän mukaan negatiivinen kosini, luetaan 45 asteen muistikolmiosta:

3 1cos

4 2

c) 180 180 2,5

180 : 1 2,5 2,5 143,24rad rad

2. a) Sini neg. => vastaukset III ja IV sektoreissa. Käänteissini puolittain, niin saadaan:

1 2

5 0,3528 2 5 0,3528 26 6

5 0,3528 2 5 0,3528 26 6

5 0,8764 2 5 3,3124 2 : 5

2 20,1753 0,6625

5 5

x n tai x n

x n tai x n

x n tai x n

x n tai x n

b) Lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku q = 2

an = a1 q n – 1

⟹ a30 = 1

4· 2

29 =134217728

3. a) Ratkaisu

a n = a 1 q n – 1

a 1 q 3

= 25

a 1 q 6

= 3125

Jaetaan edellinen yhtälö jälkimmäisellä

q 3

= 125 || 3 ⟺ q = 5

Sijoitetaan q:n arvo ensimmäiseen yhtälöön

125 a 1 = 25 || : 125 ⟺ a 1 = 25

125 =

1

5⟺ a 2 = 5 ·

1

5 = 1

Vastaus: a 1 = 1

5, a 2 = 1

b)

1 2

sin( ) sin(3 )2

3 2 3 22 2

3 2 3 22 2

2 2 4 22 2

4 8 2

x x

x x n tai x x n

x x n tai x x n

x n tai x n

x n tai x n

4. Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä derivaatan nollakohdissa tai tarkasteluvälin päätepisteissä.

f (x) = 2

x + cos x ⟹ f ’(x) =

1

2 – sin x

1

2 – sin x = 0 ⟺ sin x =

1

2 ⟺ x =

4

+ n · 2 ∨ x =

3

4

+ n · 2

Tarkasteluvälillä oleva derivaatan nollakohta: x = 4

f 2

= 2 2

= –1,11072… ≈ –1,111, pienin

f 4

= 4 2

+

1

2 = 1,26246… ≈ 1,262, suurin

f 2

= 2 2

= 1,11072… ≈ 1,111

Vastaus: Suurin arvo on 1,262 ja pienin arvo –1,111

5. a) Aritmeettinen jono ja aritmeettinen summa:

1

365

2000

50

365 2000 (365 1) 50 20200

2000 20200365 4051500 4051,5

2n

a m

d m

n a

S m km

puuttuu

b)Jono on geometrinen ja peräkkäisten jäsenten osamäärä q = 2/1 = 4/2 = 2. Ensimmäinen

jäsen a1 =1 ja summa s = 4095. Geometrisen jonon summa s = )1(

)1(1

q

qa n

=

)21(

)21(1

n

=

4095, josta saadaan yhtälö 1-2n =-4095, joka sievenee muotoon 2n = 4096. Ottamalla

puolittain logaritmit saadaan n = 2lg

4096lg = 12.

Vastaus: Jonossa on 12 jäsentä.

6. '( ) 2 2sin 2f x x . Ääriarvot derivaatan nollakohdista, joten muodostetaan yhtälö:

2 2sin 2 0 2sin 2 2 sin 2 1 2 22

4

x x x x n

x n

Tutkitaan derivaatan arvoja nollakohdan molemmin puolin: (́0) 2 2sin 0 2 .

(́ ) 2 2sin(2 ) 2 2sin 2 .!!2 2

f posit

f posit

Eli derivaatalla on yksi nollakohta, mutta derivaatta saa sen molemmin puolin positiivisia

arvoja. Alkuperäinen funktio f(x) on siis kasvava kaikkialla ja 4

x n

ei ole

ääriarvokohta, vaan terassikohta, joka toistuu x-akselilla piin välein.

7. 9 3 ( 2) 9 3 2

( ) cos( ) cos( )2 2 6 2 2 6 6

th t t

3 ( 2) ( 2)(́ ) sin( ) sin( )

2 6 6 4 6

t th t

Ääriarvot derivaatan nollakohdista:

( 2)sin( ) 0 :( )

4 6 4

( 2)sin( ) 0

6

( 2) ( 2)0 2 2 6

6 6

( 2) 0 12 ( 2) 6 12 :

2 0 12 2 6 12

2 12 8 12

t

t

t tn tai n

t n tai t n

t n tai t n

t n tai t n

t oli aika tunteina, joten tässä n täytyy ajatella tavallaan kellotaulun 12:sta tuntina, eli t=2+12n voidaan ajatella, että se on klo 2:00 tai klo 14:00, eli 2 aamulla tai 2 iltapäivällä. Sama tietenkin toiselle vastaukselle. Sijoitetaan nyt alkuperäiseen funktioon ja kokeillaan t=2 tai t=8 kumpi on min ja kumpi max. f(2)=6m, joka on suurempi arvo, eli vesi on korkeimmillaan klo 02:00 tai 14:00 ja korkeus on silloin 6m.

8.

Nyt pikkukolmioista voidaan muodostaa, että polun pituus S=a+b

Ratkaistaan a ja b kulman alfa avulla:

1 1

60 60sin

sin

100 100cos

cos

60 100( )

sin cos

60(sin ) 100(cos )

aa

bb

S

Ääriarvot, eli tässä tapauksessa polun pituuden min. ja max. löytyvät derivaatan nollakohdista, joten ei muuta kuin derivoimaan:

2 2

2 2

(́ ) 60(sin ) cos 100(cos ) ( sin )

60cos 100sin

sin cos

S x

Tästä nollakohdat:

2 2 2 2

3 3 3 3 3

13 3 3

60cos 100sin 100sin 60cos0

sin cos cos sin

360cos 100sin :100 cos sin

5

3 3 sin 3cos sin : cos tan tan

5 5 cos 5

40,1

Heitellään derivaatalle kokeiluarvoja nollakohdan molemmin puolin, jotta nähdään merkkikaaviotarkastelun avulla onko kyseessä polun pituuden S:n minimi vai maksimikohta:

2 2

2 2

60cos30 100sin 30(́30 ) 120 66,666 53,33

sin 30 cos 30

60cos60 100sin 60(́60 ) 40 346,41 306,41

sin 60 cos 60

S

S

Merkkikaavio on siis mallia:

40,1

S´(x) - +

S(x)

Ollaan siis löydetty polun pituuden minimikohta, kun polku leikkaa polun A 40,1 asteen kulmassa.