DEFINICION DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES (LGR)Existe una estrecha relacin entre la respuesta transitoria de un sistema y la ubicacin de las races de su ecuacin caracterstica en el Plano s. Conocer la ubicacin de las races en el Plano s ante variaciones de un parmetro, puede representar una herramienta muy til de anlisis y diseo, ya que la variacin de los parmetros fsicos de un sistema que logran una modificacin de su ecuacin caracterstica, modifica las races o polos de dicho sistema, de forma tal que se puede obtener una respuesta particular o deseada. Supongamos tener el sistema de la siguiente figura, donde KA es la ganancia de nuestro controlador, el cual puede ser elegido por el diseador.

Figura 1. Esquema de un sistema controlado con retroalimentacin.La funcin de transferencia de este sistema es:Ec. [1]Los polos de esta funcin de transferencia estarn dados por las races de la ecuacin caracterstica: .Dependiendo de la ganancia KA que elija el diseador, ser la respuesta dinmica que tendr el sistema retroalimentado (la ubicacin de los polos depende de esta ganancia).Evans propuso que el diseador del sistema de control construya el lugar geomtrico de todas las races posibles de la ecuacin a medida que KA vara desde 0 a infinito. De esta manera podemos elegir adecuadamente la ganancia KA y ver los efectos de polos y ceros adicionales.Tenemos que la funcin de transferencia de la planta es:Ec. [2]Donde a(s) y b(s) son polinomios de grado n y m respectivamente, y n m.Estos polinomios los podemos escribir de las siguientes maneras:Ec. [3]Ec. [4]Llamemos K a: K = KA . Kp.Entonces la ecuacin caracterstica la podemos escribir de las siguientes maneras:Ec. [5]Ec. [6]Ec. [7]Ec. [8]Consideraremos primeramente el caso en que K es positivo.El grado de la ecuacin caracterstica es el grado mayor de los dos polinomios a(s) y b(s) (observando la ecuacin 7), y por lo tanto es de grado n. Esto significa que el nmero de ramas del lugar geomtrico de las races estar dado por n el grado del polinomio denominador de la funcin de transferencia a lazo abierto.De la ecuacin 7 tambin podemos decir que para K = 0, las races de la ecuacin caracterstica estar dada por los polos de la funcin de transferencia a lazo abierto (las races de a(s)); y que para K infinito, las races de la ecuacin caracterstica estar dada por los ceros de la funcin de transferencia a lazo abierto (las races de b(s)).Conclusin: existir n ramas en el lugar geomtrico de las races que partirn de los polos a lazo abierto y terminarn en los ceros a lazo abierto.

APLICACIONES DE (LGR)El lugar de las races, adems de ser til para el anlisis de la estabilidad de un sistema lineal y continuo SISO, se puede emplear para el diseo de un controlador de una variable dentro de un sistema, es decir, se aplica para determinar la funcin de transferencia del controlador que adems de la regulacin haga que la respuesta del sistema, ante cambios en su variable de proceso, muestre un perfil de acuerdo a ciertos requerimientos. A continuacin se desarrolla un ejemplo de lo anterior valindose de la herramienta Control System Toolbox disponible en Matlab.

CARACTERISTICAS DEL (LGR) La caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicacin de los polos en lazo cerrado.

Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicacin de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida.

Es importante que el diseador conozca cmo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme vara la ganancia de lazo.

Desde el punto de vista del diseo, un simple ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas.

Los polos en lazo cerrado son las races de la ecuacin caracterstica.

W. R. Evans dise un mtodo sencillo para encontrar las races de la ecuacin caracterstica, que se usa ampliamente en la ingeniera de control. Se denomina mtodo del lugar geomtrico de las races, y en l se grafican las races de la ecuacin caracterstica para todos los valores de un parmetro del sistema.

La idea bsica detrs del mtodo del LGR es que los valores que hacen que la funcin de transferencia alrededor del lazo sea igual a - 1 deben satisfacer la ecuacin caracterstica del sistema.

El mtodo debe su nombre al lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia vara de cero a infinito.

El mtodo del LGR resulta muy til, dado que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las Especificaciones de desempeo del sistema.

Algunos sistemas de control pueden tener ms de un parmetro que deba ajustarse. El diagrama del LGR, para un sistema que tiene parmetros mltiples, se construye variando un parmetro a la vez.

En la mayor parte de los casos, el parmetro del sistema es la ganancia de lazo K, aunque el parmetro puede ser cualquier otra variable del sistema Si el diseador sigue las reglas generales para construir los lugares geomtricos, le resultar sencillo trazar los LGR de un sistema especfico.

Debido a que generar los lugares geomtricos de las races usando MATLAB es muy simple, se podra pensar que trazar los lugares geomtricos de las races en forma manual es una prdida de tiempo y esfuerzo.

PASOS PARA DETERMINAR EL LGRCuando se trata de sistemas de control es sumamente importante conocer la ubicacin de las races de la ecuacin caracterstica del lazo cerrado, lo cual puede conocerse utilizando un mtodo sistemtico y sencillo que muestra el movimiento de dichas races cuando se modifica un parmetro de la ecuacin. Dicho mtodo permite elaborar lo que se cono ce como el lugar geomtrico de las races (LGR), que nos es otra cosa que las soluciones de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado cuando se vara un parmetroEl mtodo de construccin para el lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado cuando se vara un parmetro se fundamenta en un esquema de control de retroalimentacin simple como el que se muestra en la FIGURA. 1.1, para el cual la ecuacin caracterstica a lazo cerrado es la que indica la ECUACION 1.1, cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado

ECUACION 1.1Para un esquema de realimentacin simple como el de l figura 1.1

FIGURA 1.1El lugar geomtrico de las races se realiza para variaciones de K desde cero hasta infinito, para las cuales dichas races deben satisfacer la ECUACION 1.1. Como S es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuacin en forma polar como sigue:

ECUACION 1.2

A partir de all se pueden identificar dos condiciones que deben cumplirse para satisfacer la ecuacin anterior, las cuales son conocidas como la Condicin de Mdulo y la Condicin de ngulo y se muestran en las ECUACIONES. 1.3 y 1.4, respectivamente

ECUACION 1.3 ECUACION 1.4Donde k = 0, 1, 2,...Si la funcin de transferencia a lazo abierto se factorza en polos y ceros, tal como se muestra en la ECUACIN 1.5, las condiciones de mdulo y de ngulo pueden reescribirse como se muestra en las ECUACIONES. 1.6 y 1.7, respectivamente.

ECUACIN 1.5 ECUACIN 1.6

ECUACIN 1.7Las dos condiciones anteriores deben cumplirse para cada una de las races que forme parte del lugar geomtrico, de forma tal que se garantice que cada una de ellas sea solucin de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado. Gracias a la condicin de ngulo se determina la ubicacin geomtrica de las races, es decir, la forma del lugar geomtrico, en tanto que la condicin de mdulo permite determinar el valor de la ganancia K a lo largo de dicho lugar geomtrico.Para la construccin metdica del lugar geomtrico se puede seguir un procedimiento que hace posible realizar una rpida representacin de la ubicacin de cada una de las races de la ecuacin caracterstica cuando se vara K desde cero a infinito. En principio se debe reescribir la ecuacin caracterstica tal como se muestra a continuacin:

ECUACIN 1.8

Como se puede observar en la ECUACION 1.8, cuando K es igual a cero, la solucin de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado coincide con los polos de la funcin de transferencia a lazo abierto, en tanto que, cuando K tiende a infinito, la solucin de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado coincide con los ceros de la funcin de transferencia a lazo abierto. Es por ello que se concluye que el lugar geomtrico de las races comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto a medida que K aumenta desde cero hasta infinito. Tambin se puede concluir que el nmero de tramos o ramas del lugar geomtrico ser igual al nmero de polos de la funcin de transferencia de lazo abierto y que siempre ser simtrico respecto al eje real Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto. Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geomtrico. A partir de la condicin de ngulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros. Paso 3 Determinar el nmero de asntotas, NA, la ubicacin de su punto de partida, A y del ngulo de las mismas, A, utilizando las ECUACIONES 1.14, 1.15 y 1.16, respectivamente. Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Paso 5 Dibujar un esbozo completo del lugar geomtrico de las races. Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario.Utilizando el procedimiento anterior se puede obtener, de forma rpida y eficaz, un esbozo del lugar geomtrico de la races de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado cuando se vara K desde cero a infinito. ECUACION 1.14 ECUACION 1.16

ECUACION 1.15DEFINICIN DE MATLAB

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de software matemtico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programacin propio (lenguaje M). Est disponible para las plataformas Unix, Windows y Mac OS X.Entre sus prestaciones bsicas se hallan: la manipulacin de matrices, la representacin de datos y funciones, la implementacin de algoritmos, la creacin de interfaces de usuario (GUI) y la comunicacin con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulacin multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Adems, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).Es un software muy usado en universidades y centros de investigacin y desarrollo. En los ltimos aos ha aumentado el nmero de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de seal o crear cdigo VHDL.

APLICACIONES DE MATLAB EN CONTROLEl control es quizs una de las reas con ms desarrollo dentro de la industria y manufactura moderna. Especialistas del rea han encontrado en MatLab una herramienta muy poderosa para simular sistemas de control de muy diversos tipos. Es por eso, que el Toolbox de control contenido en MatLab es uno de los ms completos actualmente. Mediante las aplicaciones de esta rea que hemos incluido se busca que todo aquel usuario que pretenda utilizar esta herramienta, sepa que tipo de funciones pueden ayudarlo para realizar la mayor cantidad de tareas que pudimos abarcar.

1. Comenzamos en el primer ejemplo, por mencionar los diversos tipos de respuestas que se pueden esperar de un sistema. En este caso comentamos tres tipos, dependiendo de la seal de entrada, la primera respuesta corresponde a un escaln, la segunda corresponde a un impulso y la ltima a una rampa. Las primeras dos tienen funciones propias dentro del Toolbox de control y son step e impulse respectivamente, sin embargo el tercer tipo de seal de entrada no, por lo que tendremos nuevamente que remitirnos a su definicin matemtica para generar una expresin que la represente. Una vez logrado esto, se analiza la respuesta de un sistema dado, determinado mediante su funcin de transferencia y listo. El usuario podr observar las salidas grficamente. Es importante para estas alturas que el usuario maneje a la perfeccin la representacin de ecuaciones en MatLab, por lo que constantemente se le recuerda del procedimiento requerido

Diferentes tipos de impulso generados mediante funciones de Matlab

2. El segundo ejemplo contempla el desarrollo de uno de los puntos de partida primarios para un diseador que pretenda implementar un sistema estable. Nos referimos al concepto del Lugar Geomtrico de las Races. Este procedimiento consiste en colocar los polos y ceros de la funcin de transferencia en los lugares apropiados dentro del plano imaginario, de manera que se asegure la estabilidad y la ganancia deseada del sistema. Para lograr esto se explican y se recurre a las funciones roots y rlocus que desplegarn los puntos de inters en dicho plano. Es importante mencionar tambin que dentro de este ejemplo se le muestra al usuario como convulsionar una funcin de manera que la localizacin de ciertos puntos (en este caso los polos) sea ms sencilla. Funcin conv.

3. El tercer ejemplo muestra nuevamente una funcin muy propia del Toolbox de control, conocida como margin, que representa la grfica de Bode sealando el margen de ganancia y de fase de la funcin de transferencia. As mismo se presenta la funcin Nyquist que genera el grfico del mismo nombre de la funcin de transferencia.

FUNCIN PARA CALCULAR EL LGR EN MATLABLos comandos ms utilizados en matlab para el LGR y RF son:Los comandos ms utilizados en matlab para el LGR son:rltool Sirve para manipular los polos y ceros en un LGR, se pueden obtener tambin las grficas de la respuesta a distintas entradas y los diagramas de Bode, Nyquist y Nichols.RLTOOL rlocus Se utiliza para graficar el LGRRLOCUS(SYS) rlocfind Determina la ganancia del LGR, para un polo determinado.RLOCFIND(SYS)

REFERENCIAS ELECTRONICAS

http://es.wikipedia.org/wiki/MATLABciecfie.epn.edu.ec/CControlC/laboratorios/www.slideshare.net/capillajo/teoria-del-lugar-geomtrico-de-las-raicescatarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lep/...n.../capitulo3http://www.ib.cnea.gov.ar/~dsc/capitulo8/rootlocus.htm