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LUGARES GEOMÉTRICOS

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen cierta propiedad.

Las cónicas (circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas) y otras curvas (mediatriz, bisectriz…) se pueden definir de esta manera.

LUGARES GEOMÉTRICOS

MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

dist (X, A) = dist (X, B)

MEDIATRIZ

Para escribir la ecuación de la mediatriz sólo debemos poner la condición dist (X, A) = dist (X, B) y escribir la ecuación.

BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los dos lados (rectas) del ángulo.

dist (P, a) = dist (P, b)

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio.

dist (P, C) = r

CIRCUNFERENCIA

Una de las formas más difundidas por la naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse mas o menos redondeadas, ya que esta forma es la más sencilla de adoptar con el paso del tiempo.

CIRCUNFERENCIA

Muchos frutos adoptan formas redondas porque tienden a minimizar la superficie expuesta a los elementos (frío, calor, lluvia, etc). La esfera es el objeto geométrico que tiene menor superficie en relación con el volumen contenido.

CIRCUNFERENCIA

Los planetas son esféricos (o casi) porque la fuerza de la gravedad es radial y fuerza a las partículas a acercarse a su centro.

CIRCUNFERENCIA

Los globos son redondos porque la energía está dispersa equitativamente en todas sus paredes y en caso de aumentar más la presión esta será igual en cualquier punto del mismo.

CIRCUNFERENCIA

Vamos a proceder al estudio de la ecuación de la circunferencia de centro C(a,b) y radio r.

Como d(C,P)=r, tenemos

y desarrollando

CIRCUNFERENCIA

Observamos que la ecuación de la circunferencia es una ecuación de segundo grado en x e y de la forma:

CIRCUNFERENCIA

Y viceversa: dada una ecuación de la forma

podemos calcular el centro y el radio de la circunferencia despejando a, b y r.

CIRCUNFERENCIA

Como

despejamos y el centro C(a,b) queda

y el radio

CIRCUNFERENCIA

Ejemplo 1: escribe la ecuación de la circunferencia de centro (3,4) y radio 2.

CIRCUNFERENCIA

Ejemplo 2: dada la ecuaciónx2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0

hallar el centro y el radio.