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BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

29

Matemáticas I

26 Considera las circunferencias C1: (x – 1)2 + ( y + 1) 2 = 2 y C2: (x – 3)2 + ( y + 3) 2 = 10.

a) Comprueba que ambas circunferencias son secantes y calcula sus puntos de corte, A y B.

b) Halla las potencias de los puntos A y B a las circunferencias C1 y C2.

c) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿qué podrías decir del eje radical de ambas circunferencias?

d) ¿Puedes generalizar este resultado para un par cualquiera de circunferencias secantes?

a)Calculamoslospuntosdecorteresolviendoelsistema:

( ) ( )( ) ( )

8x yx y y

x x y yx x

1 1 23 3 10 18 10

2 2 2 26

––

––

2 2

2 2 2

2 2

2+ + =+ + = + + =

+ + + =* * 8x1=0,y1=–2;x2=2,y2=0

Puntosdecorte:A=(0,–2),B=(2,0),luegosonsecantes.b)AéC1»C28AverificalasecuacionesdeC1yC28P(A,C1)=P(A,C2)=0 BéC1»C28BverificalasecuacionesdeC1yC28P(B,C1)=P(B,C2)=0c)ElejeradicaleslarectaquepasaporAyporB.d)Sí,pueselrazonamientodelapartadob)muestraquelospuntosdecortesiempretienenpotencia

igualacerorespectoalasdoscircunferencias.Luegoelejeradicalsiemprepasaporellos.

Elipses

27 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P(– 4, 0) y Q(4, 0) es 10.

EsunaelipsedefocosP(–4,0)yQ(4,0),yconstantek=10,esdecir,2a=10yc=4.

Así:a=5;b2=a2–c2=25–16=9

Laecuaciónserá: x y25 9

12 2+ =

28 De una elipse conocemos sus focos F(0, 1) y F' (0, –1) y su constante k = 4. Determina su ecuación.

SiP(x,y)esunpuntodelaelipse,entonces: dist(P,F)+dist(P,F')=2a,esdecir:

( ) ( ) 8x y x y1 1 4–2 2 2 2+ + + + =

8x2+(y–1)2=16+x2+(y+1)2–8 ( )x y 12 2+ + 8

8x2+y2–2y+1=16+x2+y2+2y+1–8 ( )x y 12 2+ + 8

8–4y–16=–8 ( )x y 12 2+ + 8(4y+16)2=64[x2+(y+1)2]8

816y2+256+128y=64x2+64y2+64+128y8

8192=64x2+48y28 x y3 4

12 2+ =

•Deotraforma: ElcentrodelaelipseeselpuntomediodelsegmentoqueuneFconF',esdecir:(0,0). Porotraparte: 2c=dist(F,F')=| |'F F =|(0,2)|=28c=1 2a=48a=28a2=4 b2=a2–c2=4–1=3

Portanto,laecuaciónes: x y3 4

12 2+ =


30

Matemáticas I

29 Halla la ecuación de la elipse de focos (–2, 0) y (2, 0) sabiendo que la longitud de su eje mayor es 10.

c=2;2a=108a=5;b= a c 25 4 21– –2 2 = =

Ecuación: x y25 21

12 2+ =

30 Escribe la ecuación de la elipse cuyos focos son F(–3, 0) y F' (3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5.

c=3;exc= ,, ,

8ac a c0 5

0 5 0 53 6= = = =

b2=a2–c2=36–9=27

Ecuación: x y36 27

12 2+ =

31 Da la ecuación de la elipse que pasa por (3, 1) y tiene por focos (4, 0) y (– 4, 0).

Laecuaciónes:ax

by

122

2

2+ =

•Comopasapor(3,1)8a b9 1 12 2+ =

•Comoa2=b2+c2ysabemosquec=48a2=b2+16

Teniendoencuentalasdoscondicionesanteriores:

b b16

9 1 12 2++ = 89b2+b2+16=b4+16b28b4+6b2–16=0

b2= ± ± ±2

6 36 642

6 1002

6 10– – –+ = = ( )

bb

28– No vale

2

2==

Así:a2=2+16=18

Portanto,laecuacióndelaelipseserá: x y18 2

12 2+ =

32 De una elipse, centrada en (0, 0), se sabe que su eje mayor, que es igual a 10, está sobre el eje X. Además, pasa por el punto (3, 3). Obtén su ecuación.

A=(3,3)

Ejemayor=108a=5

Ejemayor=OX8ElcentroesO=(0,0)

Laecuacióndelaelipseserá: xby

251

22

2+ =

(3,3)éelipse8 ,8 8b b

b b253 3 1

259 9 1

415

415–

2

2

2

2+ = + = = =

Comobespositivo8b=415

Laecuaciónqueda:

8x y x y25

16225

125 225

161

2 2 2 2+ = + =


31

Matemáticas I

33 Determina, en cada caso, la ecuación de la elipse, centrada en (0, 0), que tiene estas caracterís-ticas:

a) Su excentricidad es 1/2 y su eje mayor está sobre el eje Y y es igual a 2.

b) Sus vértices son: (–2, 0), (2, 0), (0, – 4) y (0, 4).

a)Ejemayor=28b=1

; 8 8ax y

ebc c c

11

21

1 21

21

22 2+ = = = = =

a2=b2–c2=1–41

43=

Laecuaciónqueda:

8x y x y

43 1

134 1

2 2 2 2+ = + =

b)Ejemayor=OY Ejemayor=88b=4 a=2

Laecuaciónqueda: x y4 16

12 2+ =

34 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses dadas por sus ecuaciones. Represéntalas:

a) x y100 36

12 2

+ = b) x y64 100

12 2

+ = c) 9x 2 + 25y 2 = 25 d) 9x 2 + 4y 2 = 3

a)Vértices:(10,0);(–10,0);(0,6)y(0,–6)

Focos: c= 100 36 8– =

F(8,0)yF' (–8,0)

Excentricidad:exc= ,108 0 8=

6

–6

–10 10FF'X

Y

b)Vértices:(8,0);(–8,0);(0,10)y(0,–10)

Focos: c= 100 64 36 6– = = F(0,6)yF'(0,–6)

Excentricidad:exc= ,106 0 6=

10

–10

–8 8

Y

X

F

F'

c)9x2+25y2=258/

x y25 9 1

12 2

+ =

Vértices: , ; , ; ( , ) ( , )35 0

35 0 0 1 0 1– y –c cm m

Focos: c=925 1

916

34– = =

F= ,34 0c myF' ,

34 0–c m

Excentricidad:exc=// ,5 34 3

54 0 8= =

1

–1

5—3–5—3

FF' X

Y


32

Matemáticas I

d)9x2+4y2=38/ /

x y9 4

13 32 2+ =

Laelipsetieneejemayor=OYycentroO=(0,0).

a= , b33

23=

c2= 8 c43

93

125

125– = =

Vértices: , ; ,3

03

03 3–e eo o; , ,02

02

3 3y –e eo o

Focos: F= ,0125e oyF' ,0

125–e o

Excentricidad:exc=3125

1 5

23

=

–

–

F

X

Y

F'

√—3—

2

√—3—

2

√—3—

3√

—3—

3

35 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses no centradas en el origen de coordenadas. Represéntalas:

a) ( )x y

25 93

12 2

++

= b) ( ) ( )x y91

162

1– 2 2+

+=

a)Centro:O=(0,–3)

c= 25 9 4– =

e=54

Vértices:(5,–3);(–5,–3);(0,0),(0,–6)

Focos:F=(4,–3),F'=(–4,–3)

–5 5

–6

0

FF'

Y

X

b)Centro:O=(1,–2)

c= 16 9 7– =

e=47

Vértices:(–2,–2);(4,–2);(1,2);(1,–6)

Focos:F=(1,–2+ 7 ),F'=(1,–2– 7)

–2 4

–6

2

F

F'

X

Y

Hipérbolas

36 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a F'(– 4, 0) y F (4, 0) es 6.

EsunahipérboladefocosFyF'yconstante2a=6.

Portanto,a=3,c=4,b2=c2–a2=16–9=7

Laecuaciónes: x y9 7

1–2 2

=


33

Matemáticas I

37 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (– 4, 0) y (4, 0) y distancia entre vértices, 4.

c=4;2a=48a=2;b= c a 16 4 12– –2 2 = =


1–2 2

=

38 Obtén la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ±51 x y uno de sus vértices es (2, 0).

a=2; 8 8ab b b

51

2 51

52= = =

Ecuación:/

x y4 4 25

1–2 2

= ,obien, x y4 4

251–

2 2=

39 Determina la hipérbola que pasa por el punto (2, 1) y tiene por asíntotas y = ±3x.

ab 3= 8b=3a8

ax

ay9

1–22

2

2=

Comopasapor(2,1)8 8a a

a491 1 36 1 9– –2 2

2= =

35=9a28a2=935 8b2=9a2=35

Ecuación:/

x y35 9 35

1–2 2

= ,obien, x y359

351–

2 2=

40 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (–3, 0) y (3, 0) que tiene excentricidad igual a 3.

c=3, 8ac

aa3 3 1= = =

b2=c2–a2=9–1=8

Ecuación: x y1 8

1–2 2

=

41 De una hipérbola sabemos que pasa por el punto ,8 5 3` j y sus focos son (–3, 0) y (3, 0). Calcula su ecuación.

•Hallamoslaconstantedelahiperbola:|dist(P,F)–dist(P,F')|=2a

| | | | | ( , ) | | ( , ) |' 8a aFP F P 2 11 5 3 5 5 3 2– –= =

a121 75 25 75 2–+ + = 814–10=2a84=2a8a=2

•Comoa=2yc=3,entoncesb2=c2–a2=9–4=5

• Laecuaciónes: x y4 5

1–2 2

=

42 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (–3, 0) y (3, 0) y asíntotas y = ± x5

2 5 .

c=3

8ab b a

52 5

52 5= =

c2=a2+b2=a2+ 8 8 8a a a a b5

2 559 9

59 5

52 5 5 2

22 2= = = = =e o

Laecuaciónpedidaes: x y5 4

1–2 2

=


34

Matemáticas I

43 Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas de las hipérbolas dadas por las siguientes ecuaciones. Dibújalas:

a) x y100 36

1–2 2

= b) x y169 1–

2 2 = c) x 2 – 4y 2 = 1 d) x 2 – 4y 2 = 4

e) y x4 36

1–2 2

= f ) y 2 – 16x 2 = 16 g) 9x 2 – 4y 2 = 36 h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0

a) x y100 36

1–2 2

=

a=10,b=6,c= 100 36 136+ =

Vértices:(10,0);(–10,0)

Focos:F=( 136 ,0),F'=(– 136 ,0)

e=10136

Asíntotas:y=± x53

F

Y

XF'

4–4–8–12–16–20–24 8 12 16 20 24

4

–4

–8

–12

8

12

b) x y169 1–

2 2 =

a=34 ,b=1,c=

916 1

35+ =

Vértices: , ; ,34 0

34 0–c cm m

Focos:F= ,35 0c m,F'= ,

35 0–c m

e=

3435

45=

Asíntotas:y=± x43

Y

X2–2–4 4

2

–2

FF'


35

Matemáticas I

c)x2–4y2=1

a=1,b=21 ,c= 1

41

21 5+ =

Vértices:(1,0);(–1,0)

Focos:F= , ; ,'F21 5 0

21 5 0–=c cm m

e=21 5

Asíntotas:y=± x21

Y

X2–2–4 4

2

–2

FF'

d)x2–4y2=48 x y4

1–2 2 =

a=2,b=1,c= 4 1 5+ =

Vértices:(2,0);(–2,0)

Focos: F=( 5 ,0)

F'=(– 5 ,0)

e=21 5

Asíntotas:y=± x21

Y

X2–2–4 4

2

–2

FF'

e)y x4 36

1–2 2

=

a=2,b=6,c= 4 36 40+ =

Vértices:(0,2);(0,–2)

Focos:F=(0, 40 );F'=(0,– 40)

e=240 10=

Asíntotas:y=± x31

FY

X

F'

2–2–4–6–8–10 4 6 8 10

2

–2

–4

–6

4

6


36

Matemáticas I

f )y2–16x2=168y

x16

1–2

2 =

a=4,b=1,c= 16 1 17+ =

Vértices:(0,4);(0,–4)

Focos: F=(0, 17)

F'=(0,– 17)

e=417

Asíntotas:y=±4x

Y

X2–2–4–6 4 6

2

–2

–4

–6

–8

–10

4

6

8

10

F'

F

g)9x2–4y2=368 x y4 9

1–2 2

=

a=2,b=3,c= 4 9 13+ =

Vértices:(2,0);(–2,0)

Focos:F=( 13 ,0);F'=(– 13 ,0)

e=213

Asíntotas:y=± x23

Y

X2–2–4–6 4 6

2

–2

–4

–6

–8

4

6

F' F

8

h)4x2–y2+16=08y2–4x2=168y x16 4

1–2 2

=

a=4,b=2,c= 16 4 20+ =

Vértices:(0,4);(0,–4)

Focos: F=(0, 20)

F'=(0,– 20)

e=420

25=

Asíntotas:y=±2x

Y

X2–2–4–6 4 6

2

–2

–4

–6

–8

–10

4

6

F'

F

8

10


38

Matemáticas I

Página 239

Parábolas

45 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de la recta y = –3.

EsunaparábolacuyofocoesF(3,0)ycuyadirectrizesd:y+3=0.SiP(x,y)esunpuntodelaprábola,entonces:

dist(P,F)=dist(P,d)8 ( ) | |x y y3 3– 2 2+ = + 8

8x2–6x+9+y2=y2+6y+98y= x x6

–2

Obien:(x–3)2=6 y23+c m

46 Halla, en cada caso, la ecuación de la parábola de foco F y directriz d.

a) F (5, 0); d: x = –5

b) F (–3, 0); d: x = 3

c) F (0; 2,5); d: y = –2,5

d) F (0, – 4); d: y = 4

a)p2=58p=1082p=20.Ecuación:y2=20x

b)dist(F,d)=6=p

FéOX

y2=–12x

c)dist(F,d)=5=p

FéOY

y2=10x

d)dist(F,d)=8=p

FéOY

y2=–16x

47 Determina la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen de coordenadas y cuya directriz es y = 3.

ElfocoseráF(0,–3).SiP(x,y)esunpuntodelaparábolayd:y–3=0esladirectriz,entonces:

dist(P,F)=dist(P,d)8 ( ) | |x y y3 3–2 2+ + = 8

8x2+y2+6y+9=y2–6y+98x2=–12y

48 Halla las ecuaciones de las parábolas que pasando por el punto (2, 3) tienen su vértice en el origen de coordenadas.

Haydosposibilidades:

•Eje horizontal:y2=2px.Comopasapor(2,3),entonces:

9=4p8p=49 8y2= x

29

•Eje vertical:x2=2py.Comopasapor(2,3),entonces:

4=6p8p= 8 x y64

32

342= =


39

Matemáticas I

49 Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas. Represéntalas:

a) y 2 = 6x b) y 2 = – 6x c) y = x 2 d) y = x42

a) 8 8

y pxy x

p pp2

62 6 3

2 23

2

2==

= = =4

Vértice:(0,0)

Foco: ,23 0c m

Directriz:x=–23

1

1

F

b)Vértice:(0,0)

Foco: ,23 0–c m

Directriz:x=23

1

1

F

c)Vértice:(0,0)

Foco: ,041c m

Directriz:y=–41

1

1

F

d)Vértice:(0,0)

Foco:(0,1)

Directriz:y=–1

1

1F

Para resolver

50 Identificalassiguientescónicas,calculasuselementoscaracterísticosydibújalas:

a) 4x 2 + 9y 2 = 36 b) 16x 2 – 9y 2 = 144 c) 9x 2 + 9y 2 = 25

d) x 2 – 4y 2 = 16 e) y 2 = 14x f ) 25x 2 + 144y 2 = 900

a)4x2+9y2=368 x y9 4

12 2+ =

Esunaelipse8a=3,b=2,c= 5

exc= ≈ ,35 0 75

2

–2

–3 3FF'


40

Matemáticas I

b)16x2–9y2=1448 x y9 16

1–2 2

=

Esunahipérbola8, , ; ≈ ,

;

a b c exc

y x y x

3 4 535 1 67

34

34Asíntotas: –

= = = =

= =

Z

[

\

]]

]]

3–3

–4

4

FF'

c)9x2+9y2=258x2+y2=925

Esunacircunferenciadecentro(0,0)yradio35 .

5/3

–5/3

–5/3 5/3

d)x2–4y2=168 x y16 4

1–2 2

=

Esunahipérbola8, ,

;

; ≈ ,a b c

y x y x

exc4 2 2 5

21

214

2 525 1 12

Asíntotas: –

= = =

= =

= =Z

[

\

]]

]]

4

2

–2

–4 FF'

e)Esunaparábola.

Vértice:(0,0)

Foco: ,27 0c m

Directriz:x=–27

1

1

F


41

Matemáticas I

f )25x2+144y2=9008/

x y36 25 4

12 2

=+

Esunaelipse8a=6,b=25 ,c=

2119

exc= ≈ ,12119 0 91

5/2

6–6

–5/2

FF'

51 Describe las siguientes cónicas no centradas en el origen. Obtén sus elementos y dibújalas.

a) ( ) ( )x y91

254

1– –2 2+ =

b) ( ) ( )x y16

191

1– –2 2+

=

c) (x + 2)2 = 4( y + 5)

d) x 2 + y 2 – 2x + 4y = – 4

a)EsunaelipsedecentroO=(1,4)

Ejemayor:OY

a=3,b=5,c= 25 9 4– =

Vértices:(4,4);(–2,4);(1,9);(1,–1)

Focos:F=(1,8);F'=(1,0)

exc= 45

9

4–2–1

F

F'

b)EsunahipérboladecentroO=(1,–1) a=4,b=3,c= 16 9 5+ = Vértices:(5,–1);(–3,–1) Focos:F=(6,–1);F'=(–4,–1)

exc=45

Asíntotas:y+1=± ( )x43 1–

1

5–3

–3

FF'


46

Matemáticas I

62 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición rela-tiva:

a) x y x

x y

6 16 04

– –2 2

2 2

+ =+ =

* b) x y x y

x y x y

6 4 9 06 2 9 0

– ––

2 2

2 2

+ + =+ + + =

*

a)

8 88 8

x y xx y

x x xy y y

6 16 04

4 6 16 0 6 12 24 4 0 0

– – – – – –2 2

2 2 2 2+ =+ =

= = =+ = = =4

Lascircunferenciassecortanenelpunto(–2,0).

Laprimeracircunferenciatienecentroen(3,0)yradio5;lasegundatienecentroen(0,0)yradio2.Ladistanciaentresuscentrosesd=3.Comoladiferenciaentresusradioses5–2=3=d,lascircunferenciassontangentesinteriores.

b)

:8

x y x yx y x y y y

6 4 9 06 2 9 0 6 0 0

– ––

Restando a la 2.ª ecuación la1.ª2 2

2 2+ + =+ + + = = =4

x2–6x+9=08(x–3)2=08x=3

Lascircunferenciassecortanenelpunto(3,0).

Laprimeracircunferenciatienesucentroen(3,2)yradio2;lasegundatienesucentroen(3,–1)yradio1.Ladistanciaentresuscentrosesd=3,igualquelasumadesusradios.Portanto,lascircunferenciassontangentesexteriores.

63 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abs-cisas, sabiendo que pasa por el punto P(8, –3) y que su eje mayor es igual al doble del menor.

Elejemayoresigualaldobledelmenor,esdecir:a=2b. Además,pasaporelpuntoP(8,–3).Luego:

8 8 8 8ax

by

b b b b b1

464 9 1 16 9 1 25 12

22

2

2 2 2 2 2+ = + = + = = 25=b2;a2=4b2=100


12 2

+ =

64 Laparábolay 2 – 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su directriz.

y2–4y–6x–5=08y2–4y+4–6x–5–4=08

8(y–2)2–6x–9=08(y–2)2–6 x23+c m=0

Vértice:V= ,23 2–c m

Foco:F=(0,2)

Ejedelaparábola:y=2

dist(V,d)=dist(V,F)=23

Directriz:x=k8x–k=0

dist(V,d)= 88

8k

k k

k k23

23 2

32

3

23

20

3

3– –

– – –

– – –=

= =

= =

Z

[

\

]]

]]

Comoelfocoestáaladerechadelvértice,ladirectrizesx=–3.


48

Matemáticas I

b)(y–2)2=8x

Parábolahacialaderecha.

Vértice:V=(0,2)

p=4

dist(F,V)=28F=(2,2)

DirectrizparalelaalejeOY:x=–2

c)(x–1)2=–8(y+1)

Parábolahaciaabajo.

Vértice:V=(1,–1)

p=4

dist(F,V )=28F=(1,–3)

DirectrizparalelaalejeOX:y=2

d)(y+2)2=–4(x–1)

Parábolahacialaizquierda.

Vértice:V=(1,–2)

p=2

dist(F,V)=18F=(0,–2)

DirecrizparalelaalejeOY:x=2

Y

X2–2 4 6 8

2

–2

–4

4

6

8

Y

X–2–4 2 4 6

–4

–6

–2

2

Y

X–4–8 –2 2

–6

–4

–2–6

2

68 Halla la ecuación de la hipérbola centrada en (4, 5), cuyos focos son F (2, 5) y F'(6, 5) y cuyo semieje menor es b = 1.

Centro=(4,5)EjeparaleloaOXc=dist(C,F)=2a2=4–1=3

Ecuacióndelahipérbola: ( ) ( )x y34

15

1– ––2 2

=

Página 240

69 Halla la ecuación de la siguiente hipérbola:

•Tieneelcentroenelorigendecoordenadas.

•Tienelosfocosenelejedeabscisas.

•PasaporelpuntoP / ,5 2 1` j. •Unadesusasíntotaseslarectay = 2x.

Ecuacióndelahipérbola:ax

by

1–22

2

2=

8ab b a2 2= =

ax

ay4

1–22

2

2=

PasaporP= ,25 1e o


49

Matemáticas I

/ 8 8 8a a a

a a5 241 1

410 1 1 4 9 9

4– –

2 2 22 2= = = =

Laecuaciónpedidaes:/

x y9 4 9

1–2 2

=

70 Se llama hipérbola equilátera a aquella en la que a = b. Halla la ecuación de la hipérbola equi-látera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0).

Centro=(0,0)

c=5= a2 2 8a= 8 a25 2

25 2

2252

2= =c m

Laecuaciónpedidaes:

x y

225

225

12 2= =

71 Halla la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que su distancia al punto (4, 0) es el doble de su distancia a la recta x = 1.

Comprueba que es una cónica y halla sus focos.

X=(x,y)puntocualquieradellugargeométrico.

P=(4,0)

r:x=1

dist(X,P)=2dist(X,r)

( ) | | ( ) ( )8x y x x y x4 2 1 4 4 1– – – –2 2 2 2 2+ = + =

x2–8x+y2+16=4x2–8x+48–3x2+y2+12=0

EsunahipérboladeejeOX:

x y4 12

1–2 2

= 8c2=168c=4

Centro:C=(0,0)

Focos:F=(–4,0),F'=(4,0)

72 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta r : x – 16 = 0. Representa la curva que obtienes.

SeaP(x,y)unodelospuntosdellugargeométrico.LadistanciadePa(4,0)hadeserigualalamitaddeladistanciadePalarectax–16=0;esdecir:

( ) | |x y x421 16– –2 2+ =

(x–4)2+y2=41 (x–16)2

x2–8x+16+y2=41 (x2–32x+256)

4x2–32x+64+4y2=x2–32x+256

3x2+4y2=1928 x y64 48

12 2+ =

Esunaelipseenlaquea=8yb= ≈ ,48 6 93.

LosfocosestánenF(4,0)yF'(–4,0).

Laexcentricidades:exc=ac

84

21= = =0,5

–8 8FF'

√—48

–√—48


50

Matemáticas I

73 Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos A(–2, 1) y B(2, –1) sea igual a 1.

¿Qué figura obtienes? Represéntala.

• LapendientedelarectaqueunePconAes:xy

21–

+

• LapendientedelarectaqueunePconBes:xy

21

–+

•Elproductodelaspendienteshadeseriguala1,esdecir:

8 8xy

xy

xy

y x21

21

14

1 1 41–

·– –

–– –2

22 2

++

= = =e eo o

x2–y2=38 x y3 3

–2 2

=1

Esunahipérbolaenlaquea=b= 3 yc= 6 .

LosfocossonF( 6 ,0)yF'(– 6 ,0).

Lasasíntotasson:y=xey=–x

Laexcentricidades:exc= ≈ ,ac

36 2 1 41= =

FF'

√—3

√—3

–√—3

–√—3

74 Halla las rectas tangentes a la elipse x y9 4

12 2

+ = que pasan por A(5, 0).

HazderectasquepasanporAmáslarectax=5.

Larectaquebuscamostienesolounpuntoencomúnconlaelipse,portanto:

( )

x y

y m x9 4

1

5–

2 2+ =

=

Z

[

\

]]

]]

_

`

a

bb

bb→ ( ( ))x m x

9 45 1–2 2

+ = 84x2+9(m(x–5))2–36=0

9m2x2–90m2x+225m2+4x2–36=08(9m2+4)x2–90m2x–36+225m2=0

Debetenersoluciónúnica;esdecir,eldiscriminantedebeserigualacero.

D=(90m2)2–4·(9m2+4)·(–36+225m2)=576–2304m2=08m=–21 ,m=

21

Lasrectaspedidasson:

r:y=–21 (x–5),r':

21 (x–5)


51

Matemáticas I

75 Halla la ecuación de la tangente a la elipse 3x 2 + 4y 2 = 48 en el punto P(2, 3). Usa que la tan-gente es la bisectriz exterior de los segmentos PF y PF', donde F y F' son los focos.

3x2+4y2=488 x y16 12

12 2+ =

p=(2,3)

c= 4 =2

F=(2,0),F'=(–2,0)

( , ); ( , )'PF PF0 3 4 3– – –= =

RectaPF :x=2

RectaPF' : x y42

3– –+ = →–3x+4y–6=0

Bisectrices:

| | 8 8xx y x

x y

xx y

25

3 4 6 25

3 4 6

25

3 4 6–

– – –– –

– –– –

=+ =

+

=+

Z

[

\

]]

]]

8x x yx x y

x yx y

5 10 3 4 65 10 3 4 6

8 4 4 02 4 16 0

– – –– –

– ––

= += +

=+ =

* *

Larectapedidaes:8x–4y–4=0

2 4

–4

–2

2

4

–2–4

Y

X

76 Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola x y16 9

1–2 2

= en el punto P, de abscisa x = 5.

Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los segmentos PF y PF', donde F y F' son los focos de la hipérbola (elige la bisectriz adecuada).

x y16 9

1–2 2

=

,8y

y y1625

91

49

49– –

2= = =

Haydospuntosenlahipérbolaconabscisa5.

HallamoslatangenteenP= ,549c m,latangenteenP= ,5

49–c meslasimétricarespectodelejeOX.

P= ,549c m

c=5

PF=(5,0);F'=(–5,0)

, ; ,'PF PF049 10

49– – –= =c cm m=(40,9)

RectaPF:x=5

RectaPF': x y405

9–+ = 8–9x+40y–45=0


52

Matemáticas I

Bisectrices:

|x–5|=

8 8x y x

x y

xx y81 1600

9 40 45 541

9 40 45

541

9 40 45– – –

– –

– –– –+

+ =+

=+

Z

[

\

]]

]]

8 8x x y

x x yx yx y

41 205 9 40 4541 205 9 40 45

5 4 16 032 40 250 0

– – –– – –

– –– –

= ++ = +

==

* *

Larectapedidaes:5x–4y–16=0

LatangenteenP= ,549–c mesy+

49 =–

45 (x–5)

2

–2

2

4

–4

–2–4–6 4 6 8 X

Y

77 Halla la tangente a la parábola y 2 = 12x en el punto P(3, 6). Usa el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por PF, donde F es el foco, y la recta perpendicular por P a la directriz.

y2=12xV=(0,0)p=6Parábolahacialaderecha.F=(3,0)d:x=–3P = (3,6)PF =(0,–6)=–6(0,1)RectaPF:x=3RectaperpendicularadquepasaporP:y=6Bisectrices:

|x–3|=|y–6|8 8x yx y

x yx y

3 63 6

3 09 0

– –– –

––

== +

+ =+ =

* *

Larectapedidaesx–y+3=0

–2 2 4 6

–2

2

4

6

8

X

Y


53

Matemáticas I

78 El cometa Halley describe una órbita elíptica, estando el Sol en uno de sus focos, de excentrici-dad 0,96657. Si su distancia mínima al Sol (perihelio) es de 0,6 UA, calcula cuál es la máxima (afelio).Recuerdaque1UA(unidadastronómica)esladistanciamediaentrelaTierrayelSol.

Focos:Sol,F

dist(Halley,Sol)+dist(Halley,F)=2a

e=ac =0,966578c=0,96657a

LuegoladistanciamínimasealcanzacuandoelcometaestáenelvérticecorrespondientealfocodelSolyes: a–c=0,6

,

,a cc a

0 60 96657

– ==* 8a=17,946,c=17,348

LadistanciamáximasealcanzacuandolaTierraestáenelvérticeopuestoalfocodelSolyes:

2a–0,6=2·17,948–0,6=35,296UA

79 LaTierradescribeunaórbitaelíptica,estandoelSolenunodesusfocos.Enestatrayectoria,ladistanciamínimaTierra-Solesde147095248km,ylamáximaesde152100492 km.Calculala excentricidad de la órbita e interpreta el resultado obtenido.

Focos:Sol,F

dist mínima+dist máxima=2a

dist(Tierra,Sol)+dist(Tierra,F)=2a

147095248+152100492=2a8a=1,4960·108

LadistanciamínimasealcanzacuandolaTierraestáenelvérticecorrespondientealfocodelSolyes:

a–c=147095248

1,4960·108–c=1470952488c=2,5048·106

e=, ·, ·

ac

1 4960 102 5048 10

8

6= =1,6743·10–2=0,0167

Comolaexcentricidadesmuypequeña,laórbitaescasiunacircunferencia.


54

Matemáticas I

80 Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que están a continuación:

a) x 2 + 4y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 9

c) y 2 – 9x 2 = 9 d) 2xy = 1

e) x y9 16

12 2

+ = f ) x y9

0–2

=

g) x y4

1–2 2 = h) y 2 = 2(x – 1)

i) x y25 9

02 2

+ = j) ( ) ( )x y41 1 1– –

22+ =

a)VII

b)III

c)V

d)X

e)IV

f )VI

g)II

h)VIII

i)IX

j)I

IVIII

VIII

VI

II

V

IX X

I

VII

Página 241

Cuestiones teóricas

81 ¿Qué tienen en común todas estas circunferencias?:

(x – 1)2 + ( y – 1)2 = 1

(x + 3)2 + ( y – 3)2 = 9

(x – 2)2 + ( y + 2)2 = 4

(x + 5)2 + ( y + 5)2 = 25

TodassontangentesalosejesdecoordenadasporquelascoordenadasdeOsonigualesenvalorab-solutoysuvalorabsolutocoincideconelvalordelradio:

dist(O,OX)=dist(O,OY)=r

intef - elipses 8 psauce.pntic.mec.es/~agarci28/primero/geometria/sol_conic... · 2016-04-04 ·...

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