lugar geométrico das raízes exemplo: traçar o lgr para o seguinte sistema sistema realimentado
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Lugar Geométrico das Raízes
• Exemplo: Traçar o LGR para o seguinte sistema sistema realimentado
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Lugar Geométrico das Raízes• Exemplo:
Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta
• não há zeros de malha aberta;• pólos de malha aberta:
Passo 2: Determinar o LGR no eixo real
Passo 3: Zeros no infinito 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas
1)( ,22
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Lugar Geométrico das Raízes• Assíntotas:
• ponto de partida:
• ângulos:
Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito.• Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real
negativo ( );
32
3)1()1(0 jj
3
12180 ko
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Lugar Geométrico das Raízes• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo
conjugados e “caminham” na direção dos zeros no infinito Mas de que modo?
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Lugar Geométrico das Raízes• Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos
conjugados): determinam a direção em que os ramos partem dos pólos de malha aberta.
Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma
distância > 0) do pólo em s = – 1 + j.
• Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça um ângulo em relação ao eixo real positivo. Neste caso, como fica a condição de ângulo?
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Lugar Geométrico das Raízes
Estes ângulos serão constantes, independentes de , somente se a distância entre so e o pólo em s = – 1 + j for muito pequena.
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Lugar Geométrico das Raízes
• Condição angular:
= 45
• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de 45
• Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é + 45.
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Lugar Geométrico das Raízes• Uma questão permanece: como os pólos de malha
fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K ) ?
• Considere a reta a 45 a partir do pólo em s = – 1 + j.
• Se nos movermos ao longo desta linha:
As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar.
No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j irá diminuir.
Portanto, a fase será menos negativa do que – 180 ao longo desta linha.
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Lugar Geométrico das Raízes• Assim, como deve variar para que a condição de
ângulo continue sendo satisfeita?
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Lugar Geométrico das Raízes• Próximas considerações:
• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?
• Para isto, considere o sistema dado por:
• LGR?
• Pólos e zeros de malha aberta;
• Porção do eixo real pertencente ao LGR;
• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.
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Lugar Geométrico das Raízes• Próximas considerações:
• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?
• Para isto, considere o sistema dado por:
• LGR?
• Pólos e zeros de malha aberta;
• Porção do eixo real pertencente ao LGR;
• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.
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Lugar Geométrico das Raízes
• Solução
• Pólos e zeros de malha aberta;• Porção do eixo real pertencente ao LGR;• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das
assíntotas.
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• Exemplo: Traçar o LGR para o seguinte sistema sistema realimentado
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Lugar Geométrico das Raízes
• Nenhum zero de malha aberta;• Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; • Zeros no infinito: n – m = 3
•
• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ;
• E nos pólos em s = 0 e s = – 1?
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3)12(180 k
103
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Lugar Geométrico das Raízes• Pólos em s = 0 e s = – 1 Um ramo parte de 0 e outro
de – 1 em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos.
Como determinar este ponto em que os ramos se separam?
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Lugar Geométrico das Raízes• Determinação do ponto de quebra:
• Até agora: ao variar K de 0 a , como o LGR (ou seja, os pólos de malha fechada) variam?
• Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K varia? Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não
há LR à direita de s = 0) o valor de K aumenta.
Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, também sabemo que o valor de K aumenta.
Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.
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Lugar Geométrico das Raízes• Determinação do ponto de quebra (continuação):
• Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo para K.
• Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode ser encontrado por:
• Como K somente é definido ao longo do LGR, para pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a partir da condição de magnitude.
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Lugar Geométrico das Raízes• IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de
separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real.
• Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos um ponto de separação de partida entre os dois pólos.
• Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ) sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de separação de chegada entre os dois zeros.
• Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero (finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então não podem existir pontos de separação de partida ou chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de partida como de chegada.
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Lugar Geométrico das Raízes• Voltando ao exemplo:
• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-se ter:
• Pode-se definir K(s) como:
2 1 1
)()(
sss
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1
2 1
sssK equação característica
do sistema
2 1 )( ssssK
0)263()(
23 )( 223
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33
16
234660263
22 sss
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Lugar Geométrico das Raízes
• Como podemos saber qual é o valor de s correspon-dente ao ponto de quebra?
Somente s1 pertence ao LGR!!!
• Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o respectivo valor de K:
1.5774 0.4226; 33
1 21 sss
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Lugar Geométrico das Raízes• Portanto, o LGR para o sistema é da forma:
• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?
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Lugar Geométrico das Raízes• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada
degrau unitário?
• Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.
• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido?
• Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema para o K dado possui 3 raízes reais 2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo j: são portanto pólos dominantes. Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido.
• Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário?
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Lugar Geométrico das Raízes• Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo
imaginário:
Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.
Ksss
KsHsG
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23)()(1)(
)()(
23
0 K6 K
60 K para o sistema ser estável K = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias.
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Lugar Geométrico das Raízes• Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem
amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação? Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada
para este valor de K:
O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é imaginária. Assim, s = j e:
Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:
0623 23 sss
0623 23 jj
3 e 23
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Lugar Geométrico das Raízes
• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de 2 rd/s.
• Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo imaginário em = 2 .
3
23
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)1( 2
)(
sss
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Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema com realimentação unitária, com:
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1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo s. zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1.
2) Eixo real LGR: s – 2 e – 1 s 0.
3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero 1 zero no infinito e, portanto, 1 assíntota. = 180(2k+1)/1 = 180.
4) Pontos de quebra:
)1( 2
)(
sss
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2)(1
)(2
sss
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Solução
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Lugar Geométrico das Raízes4) Pontos de quebra (continuação):
Observe que estes dois pontos estão no lugar das raízes Um é o ponto de separação de partida e o outro de chegada em relação ao eixo real.
02
1 2 12)(2
2
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0240252 222 ssssss
222
2444 2
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Lugar Geométrico das Raízes