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L.S.Marsa Elriadh

Coniques M : Zribi

4 ème

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Activité :

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j� �

. P la

courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=x² . D la

droite d’équation 1

4y

−= et 1

0,4

F

.

Soit le point M(x,y) et H son projeté orthogonale sur D.

1) Calculer les distances MF et MH.

2) Montrer que MF=MH si et seulement si M appartient à P.

Définition :

Soit D une droite et F un point n’appartenant pas à D. pour

tout point M du plan on note H son projeté orthogonale sur

la droite D.

On appelle parabole de foyer F et de directrice D l’ensemble

des points M du plan tels que MF=MH.

• La perpendiculaire à D passant par F est appelée axe focal de la parabole.

• La distance du foyer à la directrice est appelé paramètre de la parabole.

Application:

Soit D une droite du plan et F un point n’appartenant pas à D.

1) Soit H un point de D ; construire le centre M du cercle passant par F et tangent à D en

H. que vaut M F

M H ?

2) On désigne par P l’ensemble des centres des cercles passant par F et tangents à D.M

un point du plan et H son projeté orthogonal sur D.

a) Montrer que 1M F

P M tels queM H

= =

.

b) Construire P.

3) Soit K le projeté orthogonal de F sur D et O le milieu de [KF]. Montrer que O

appartient à P.

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:2

pD x = −

Activité :

P une parabole de foyer F et de directrice D ; K le projeté orthogonal de F dur D.

1) Montrer que la parabole P coupe l’axe focale en un unique point S milieu de [FK].

2) Montrer que M appartient à P si et seulement si son symétrique par rapport à (FK)

appartient à P.

Théorème :

• Toute parabole admet comme axe de symétrie son axe focal.

• Le sommet d’une parabole de foyer F et de directrice D est le milieu du segment [FK]

ou K est le projeté orthogonal de F sur D.

Activité :

Soit P une parabole de foyer F, de directrice D et de sommet S. K le projeté orthogonal de F

sur D ; FK=p ; SF

iSF

=��

�

; le plan est munie du repère orthonormé ( ), ,S i j� �

.

1) Donner une équation de la droite D.

2) Soit M un point de coordonnées (x,y). Montrer que M appartient à P si et seulement

si y²=2px.

Théorème :

• Si P est la parabole de foyer F , de directrice D ,

de sommet S et de paramètre p alors la

parabole P a pour équation y²=2px, la directrice

D a pour équation 2

px = − et le foyer F a pour

coordonnées , 02

p

dans le repère

orthonormé ( ), ,S i j� �

ou SF

iSF

=��

�

• Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O i j� �

, l’ensemble des points M(x,y)

tels que y²=2px ; p>0 est la parabole de foyer F , 02

p

, de directrice D : 2

px = − ;

de sommet O et de paramètre p.

,02

pF

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Remarques :

• P :y²=-2px ; p>0 dans un repère

orthonormé ( ), ,O i j� �

si et seulement si

P est la parabole de foyer F , 02

p −

;

de directrice D : 2

px = ; de sommet O

et de paramètre p.

• P : x²=2py ; p>0 dans un repère orthonormé

( ), ,O i j� �

si et seulement si P est la parabole de

foyer 0,2

pF

, de directrice :2

pD y = − de

sommet O et de paramètre p.

• P :x²=-2py , p>0 dans un repère orthonormé

( ), ,O i j� �

si et seulement si P est la parabole de

foyer 0,2

pF −

, de directrice :2

pD y = ,

de sommet O et de paramètre p.

Application :

Le plan est munie d’un repère orthonormé ( ), ,O i j� �

.

Représenter les paraboles d’équation : y²=4x ; y²=-4x

,02

pF −

D : 2

px =

0,2

pF

:2

pD y = −

0,2

pF −

:2

pD y =

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Activité :

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O i j� �

. on considère la parabole P :

x²=2py et la parabole P : y²=2px.

1) Montrer que l’équation de la tangente T en un point M0(x0 ;y0) de P a pour équation :

x0x=p(y+y0).

2) En déduire une équation de la tangente T’ à P’ en un point M0(x0 ;y0) de P’.

Théorème :

Le plan est muni d’un repère orthonormé

( ), ,O i j� �

.

• Si P est la parabole d’équation y²=2px alors

la tangente à P en un point M0(x0 ;y0) est la

droite d’équation y0y=p(x+x0).

• Si P est la parabole d’équation x²=2py alors

la tangente à P en un point M0(x0 ;y0) est la

droite d’équation x0x=p(y+y0).

Application :

P une parabole de foyer F et de directrice D , M0 un point de P et H son projeté orthogonal

sur D. T la tangente à P en M0 . Montrer que T est la médiatrice de [FH].

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Activité :


. ℋ la

courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=

1

x .

on considère le point ( 2 , 2 )F et la droite d’équation

2 0x y+ − = . soit M(x,y) un point du plan et H son

projeté orthogonal sur D.

1) Calculer les distances MF et MH.

2) En déduire que 2MF MH= ; si et seulement si ; M appartient à ℋ.

Définition :

Soit D une droite , F un point n’appartenant pas à D et e un

réel e>1.

On appelle hyperbole de foyer F, de directrice D et

d’excentricité e l’ensemble des points M du plan tels que

MFe

MH= ou H est le projeté orthogonal de M sur D.

La perpendiculaire à D passant par F est appelée axe focal de l’hyperbole.

Application :

Soit D une droite du plan, F un point n’appartenant

pas à D et K le projeté orthogonal de F sur D.

1) Construire le point S barycentre de (F,1) et

(K,-2).Déterminer le rapport SF

SK .

2) Construire le point S’ barycentre de (F,1) et

(K,2) ; déterminer le rapport '

'

S F

S K .

3) soit ℋ= 2M F

M tels queMH

=

ou H est

le projeté orthogonale de M sur D.

soit (C) le cercle de centre S et passant par F ; B un point de (C)distinct de F ; I le

point d’intersection de D et (FB) . on désigne par h l’homothétie de centre I qui

envoie B en F ; M l’image de S par h et H le projeté orthogonal de M sur D.

MFe

MH=

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a) Montrer que h envoie K en H.

b) Déterminer le rapport M F

M H et en déduire que M∈ℋ.

c) Construire quelques points deℋ.

Activité :

Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D et d’excentricité e. K le projeté orthogonal

de F sur D.

1) Montrer que l’intersection de ℋ avec l’axe focal est deux points.

2) Montrer que M appartient à ℋ si et seulement si son symétrique par rapport à l’axe

focal appartient à ℋ.

Théorème :

Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D et

d’excentricité e. K le projeté orthogonal de F sur D.

• L’axe focal de ℋ est un axe de symétrie de ℋ.

• ℋ coupe l’axe focal en deux points appelés

sommets de l’hyperbole et ils sont les

barycentres de (F,1), (K,e) et (F,1), (K,-e) .

ActivitéActivitéActivitéActivité ::::

Soit ℋ une hyperbole de foyer F de directrice D et d’excentricité e.

On désigne par K le projeté orthogonal de F sur D et on noté S et S’ les sommets de ℋ et

O le milieu de [SS’].

1) Montrer que 1

OF eOS et OK OSe

= =��

; ou S est le barycentre de (F,1) et

(K,e).

2) On pose OF

iOF

=��

�

et ( ), ,O i j� �

un repère orthonormé direct ; on désigne par (c,0)

les coordonnées de F et (a,0) les coordonnées de S dans ( ), ,O i j� �

.

a) Montrer que ²c a

e et OKa c

= = .

b) Soit M(x,y). montrer que M appartient à ℋ , si et seulement si,

² ²1

² ² ²

x y

a c a− =

− .

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ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème ::::

• Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de

directrice D , d’excentricité e et de sommets

S et S’, on pose OF

iOF

=��

�

et ( ), ,O i j� �

un

repère orthonormé direct. Si S a pour

coordonnées (a,0), F a pour coordonnées

(c,0) dans ( ), ,O i j� �

alors ℋ a pour

équation ² ²

1² ²

x y

a b− = avec b²=c²-a².

• Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( ), ,O i j� �

, l’ensemble des points

M(x,y) tels que ² ²

1² ²

x y

a b− = (a>0,b>0) est une hyperbole de centre O, de foyer

F( ² ²a b+ ,0), de directrice D : ²a

xc

= , d’excentricité c

ea

= avec c= ² ²a b+

et de sommets S(a,0) et S’(-a,0).

RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::

ℋ : ² ²

1² ²

x y

a b− + = (a>0,b>0) dans un repère

orthonormé ( ), ,O i j� �

si et seulement si ℋ est

l’hyperbole de centre O, de foyer F(0, ² ²a b+ ),

de directrice D : ²b

yc

= , d’excentricité c

eb

=

avec c= ² ²a b+ et de sommets S(0,b) et S’(0,-b).


• Toute hyperbole admet un centre de symétrie, qui est le milieu des sommets ;

appelé centre de l’hyperbole.

• Toute hyperbole admets deux axes de symétrie qui sont l’axe focal et l’axe

perpendiculaire à l’axe focale et passante par le centre de l’hyperbole.

ConséquencesConséquencesConséquencesConséquences ::::

Soit ℋ une hyperbole de directrice D et de foyer F.

² ²: 1

² ²

x y

a b− =H

( )² ² , 0F a b+

S(a,0) S’(-a,0)

²:

aD x

c=

ce

a=

²:

bD y

c=

² ² : 1

² ²

x y

a b− + =H

( )0, ² ²F a b+

S(0,b)

S’(0,-b) ce

b=

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Le fait que l’hyperbole admet un centre de symétrie implique qu’elle admet une

deuxième directrice D et un deuxième foyer F’ symétriques respectives de D et F.

On dit que F est le foyer associé à D et que F le foyer associé à D’.

AAAApplicationpplicationpplicationpplication ::::


; on considère l’ensemble ℋ des

points M(x,y) tel que ² ²

19 25

x y− = .

1) Montrer que ℋ est une hyperbole de foyer F(5,0), de directrice D :

9

5x = et

d’excentricité 5

3e = .

2) a) étudier la fonction f définie par ²

( ) 4 1 ; 39

xf x x= − ≥ .

c) représenter Cf la courbe représentative de f et en déduire une représentation

graphique de ℋ .



; on considère l’hyperbole

ℋ : ² ²

1² ²

x y

a b− = .

1) soit ℋ1 l’ensemble des points M(x,y) appartenant à ℋ tels que x≥ 0 et y≥0.

a) Montrer que M∈ℋ1 si et seulement si ² ²b

y x aa

= − .

b) Montrer que la droite d’équation b

y xa

= est une asymptote de ℋ1.

c) En déduire les asymptotes à ℋ.

2) Soit M(x0,y0) un point de ℋ. Montrer que la tangente àℋ en M0 a pour équation :

0 0 1² ²

xx yy

a b− =

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Le plan est muni d’un repère orthonormé

( ), ,O i j� �

; on considère l’hyperbole

ℋ : ² ²

1² ²

x y

a b− = .

• ℋ admet deux asymptotes d’équations

b by x et y x

a a= = − .

• La tangente à ℋ au point M0 (x0,y0) a

pour équation : 0 0 1² ²

xx yy

a b− =

RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::

La tangente à une hyperbole en son sommet S a pour équation x=a.

ApplicationApplicationApplicationApplication ::::


.

1) Déterminer l’équation réduite de l’hyperbole ℋ de

centre O, de sommet S(5,0) et dont l’une de ses

asymptotes est la droite d’équation 5xy+3x=0.

Représenter ℋ.

2) On dans la figure ci-contre le foyer F et les

sommets s et S’ d’une hyperbole ℋ. Construire les

asymptotes de ℋ et ℋ



. on considère l’hyperbole ℋ

d’équation ² ²

1² ²

x y

a b− = ; les vecteurs

a au et u

b b

−

� �

.

M un point du plan de coordonnées (x,y) dans ( ), ,O i j� �

et (X,Y) dans ( ), ,O u v� �

.

Montrer que ( )

( )

x a X Y

y b Y X

= + = −

.

by x

a= −

by x

a=

0 0: 1² ²

xx yyT

a b− =

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Montrer que M(x,y)∈ℋ si et seulement si XY=1

4 .


Toute hyperbole rapportée à ses asymptotes a une équation de la forme XY=k ou k un

réel non nul

AAAApplicationpplicationpplicationpplication ::::


. on considère l’hyperbole ℋ de

centre O, de foyer F(2,0) et de directrice associée la droite D : 1

2x = .

1) a) donner la forme réduite de ℋ.

b)Construire ℋ.

2) Soit les vecteurs 1 1

3 3u et u −

� �

. écrire une équation de ℋ dans le repère

( ), ,O u v� �

.

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