les sections coniques les sections coniques les translations les translations compléter le carré...
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Les sections coniquesLes sections coniques
Les translationsLes translations
Compléter le carréCompléter le carré
Classification des sections coniquesClassification des sections coniques
Menu Menu
Les coniquesLes coniquesParabolParabolee
CercleCercle
EllipseEllipse
HyperbolHyperbolee
Cliquer sur Cliquer sur une Photoune Photo
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La ParaboleLa Parabole
Une parabole est Une parabole est formée par formée par
l’intersection l’intersection d’un plan et d’un plan et
d’une cône de d’une cône de manière manière
oblique (par oblique (par rapport à la rapport à la
base) base)
Les ParabolesLes Paraboles
On peut décrire une parabole comme étant On peut décrire une parabole comme étant tous les points qui se trouvent à égale tous les points qui se trouvent à égale distance d’une droite et d’un point fixedistance d’une droite et d’un point fixe
Le point fixe est appelé Le point fixe est appelé foyerfoyer..
La droite est appelée La droite est appelée directricedirectrice..– Fais une construction: (carte d’index)Fais une construction: (carte d’index)
Quelques parabolesQuelques paraboles
ParabolesParaboles
FOYERFOYER
DirectriceDirectrice
ParaboleParabole
Forme standard de Forme standard de l’équation d’une parabola l’équation d’une parabola
avec le sommet (0,0)avec le sommet (0,0)
équatioéquationn
foyerfoyer directricdirectricee
Axe de Axe de symmétsymmét
rierie
xx22=4p=4pyy
(0,p)(0,p) y = -py = -p
yy22=4p=4pxx
(p,0)(p,0) x = px = p
Pour trouver pPour trouver p4p = le terme devant la variable 4p = le terme devant la variable (x ou y). Résous.(x ou y). Résous.
Exemple:Exemple:
xx22=24y=24y
4p=244p=24
p=6p=6
Exemples: les parabolesExemples: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice
Exemple 1Exemple 1
y = 4xy = 4x22
xx22= (= (11//44)y)y
4p = 4p = 11//44
p = p = 11//1616
FOYERFOYER
(0, (0, 11//1616))
DirectriceDirectrice
Y = - Y = - 11//1616
Exemple 2: les parabolesExemple 2: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice
x = -3yx = -3y22
yy22= (= (-1-1//33)x)x
4p = 4p = -1-1//33
p = p = -1-1//1212
FOYERFOYER
((-1-1//1212, 0), 0)
DirectriceDirectrice
x = -x = -11//1212
Exemple 3: les parabolesExemple 3: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice
À toi À toi maintenanmaintenant…t…
y = -6xy = -6x22
FOYERFOYER
????????
DirectriceDirectrice
????????
FOYERFOYER
(0, -(0, -11//2424))
DirectriceDirectrice
y = y = 11//2424
Exemple 4: les parabolesExemple 4: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice
x = 8yx = 8y22 FOYERFOYER
????????
DirectriceDirectrice
????????
(1/32, 0)(1/32, 0)
x = 1/32x = 1/32
Écrire des équations de Écrire des équations de paraboles:paraboles:
Forme standard Forme standard sommet à (0,0)sommet à (0,0)
Exemple 1Exemple 1Foyer à (-4,0)Foyer à (-4,0)
Pour écrire l’équationPour écrire l’équationyy2 2 =4px p = -4=4px p = -4yy2 2 = 4(-4)x= 4(-4)xyy2 2 = -16x= -16x
Forme standard (2)Forme standard (2)
la directrice est y = 6la directrice est y = 6Pour écrire l’équation:Pour écrire l’équation:xx2 2 =4py p = -6=4py p = -6xx2 2 = 4(-6)y= 4(-6)yxx2 2 = -24y= -24y
Forme standard (3)Forme standard (3)
Avec une directrice de x = -1Avec une directrice de x = -1
yy2 2 = 4px= 4px
Forme standard (4)Forme standard (4)
Foyer à (0,3)Foyer à (0,3)
xx2 2 = 4py= 4py
Retour au menu Retour au menu
CerclesCerclesUn Cercle est formé par Un Cercle est formé par
l’intersection d’un plan et l’intersection d’un plan et d’une cône (parallèle à la d’une cône (parallèle à la
base)base)
Équation en forme Équation en forme standard d’un cercle ayant standard d’un cercle ayant son centre à l’origine (0,0)son centre à l’origine (0,0)
x2 +y2 =r2
Les cercles et les points Les cercles et les points d’intersectiond’intersection
On peut utiliser la On peut utiliser la formule de la distance formule de la distance
pour déterminer le pour déterminer le rayonrayon
€
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)
2 =r
CerclesCerclesExemple 1Exemple 1
Écris l’équation d’un cercle qui contient Écris l’équation d’un cercle qui contient le point (4,5) et qui a son centre à le point (4,5) et qui a son centre à l’origine.l’origine.
€
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)
2 =r
€
(4−0)2 +(5−0)2 =r
€
16+25=r
€
41=r
€
x2 +y2 =41
Exemple 2: CerclesExemple 2: CerclesTrouve tous les points d’intersection entre Trouve tous les points d’intersection entre ses deux fonctions (un cercle et une droite)ses deux fonctions (un cercle et une droite)
€
x2 +y2 =25
€
y=2x+2
€
x2 +(2x+2)2 =25
€
x2 +4x2 +8x+4=25
€
5x2 +8x+4=25
€
5x2 +8x−21=0
€
(5x−7)(x+3)=0
€
(5x−7)=0
€
(x+3)=0
€
x=−3
€
x=75
Quoi Quoi maintenant??!!??!!??maintenant??!!??!!??
€
x2 +y2 =25
€
y=2x+2
€
x=−3
€
x=75
Substitue Substitue pour xpour x.
Exemple 2 (suite)Exemple 2 (suite)
€
x2 +y2 =25
€
y=2x+2
€
y=2(75)+2
€
y=245
€
75,245
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
x=75
€
x=−3
€
y=2(−3)+2
€
y=−4
€
−3,−4( )
Retour au menuRetour au menu
Les ÉllipsesLes Éllipses
Exemples d’ÉllipsesExemples d’Éllipses
Fais une constructionFais une construction
EllipsesEllipses
Grand axe horizontalGrand axe horizontal
FOYERSFOYERS(-c,0) & (c,0)(-c,0) & (c,0)
Points sur le petit axe Points sur le petit axe (0,b)& (0,-b)(0,b)& (0,-b)
CENTRE (0,0)CENTRE (0,0) Points sur le grand axePoints sur le grand axe(-a,0) & (a,0)(-a,0) & (a,0)x2
a2+
y2
b2 = 1
EllipsesEllipses
Grand axe vertical Grand axe vertical (parallèle à l’axe des y)(parallèle à l’axe des y)
FOYERSFOYERS(0,-c) & (0,c)(0,-c) & (0,c) Points sur le petit axePoints sur le petit axe
(b, 0)& (-b,0)(b, 0)& (-b,0)
Points sur le grand axePoints sur le grand axe(0,-a) & (0, a)(0,-a) & (0, a)
CENTRE (0,0)CENTRE (0,0)
€
x2
b2 +y2
a2 =1
L’ellipse: NotesL’ellipse: Notes
Longueur du grand axe = 2a Longueur du grand axe = 2a Longueur du petit axe= 2b Longueur du petit axe= 2b Pour trouver les foyers (c) utilise: Pour trouver les foyers (c) utilise:
cc22 = a = a2 -2 - b b2 2
€
x 2
a2 +y 2
b2 =1
€
x 2
b2 +y 2
a2 =1
L’ellipse: Exemple 1L’ellipse: Exemple 1Trouve les foyers et les Trouve les foyers et les
sommetssommets
€
x 2
144+y 2
169=1
€
a=±13
€
sommets = (0,13),(0,−13)
€
c2 =a2 −b2
€
c2 =169−144
€
c2 =25
€
c=±5
€
foyers = (0,5),(0,−5)
a = distance aux a = distance aux sommetssommets
c = distance du centre aux c = distance du centre aux foyersfoyers
L’ellipse: exemple 2L’ellipse: exemple 2Trouve les foyers et les Trouve les foyers et les
sommetssommets
€
x 2
81+y 2
9=1
€
a=±9
€
sommets = (9,0),(−9,0)
€
c2 =a2 −b2
€
c2 =81−9
€
c2 =72
€
c=± 72
€
foyers = ( 72,0),(− 72,0)
a = distance aux a = distance aux sommetssommets
c = distance du centre aux c = distance du centre aux foyersfoyers
Écris l’équation d’une ellipse qui Écris l’équation d’une ellipse qui a des sommets du grand axe à (-a des sommets du grand axe à (-5,0) et (5,0) et des sommets du 5,0) et (5,0) et des sommets du petit axe à (0,-3) à (0,3). Trouve petit axe à (0,-3) à (0,3). Trouve
les foyers. les foyers.
€
a=±5
€
a2 =25
€
b=±3
€
b2 =9
€
x2
25+y2
9=1
€
c2 =a2 −b2
€
c2 =25−9
€
c2 =16
€
c=4
€
foyers = (4,0),(−4,0)
Réécris l’équation en forme Réécris l’équation en forme standard, puis trouve les standard, puis trouve les
sommets du grand axe et les sommets du grand axe et les foyers foyers
€
49x2 +64y2 =3136
€
c2 =a2 −b2
€
c2 =64−49
€
c2 =15
€
c=± 15
€
foyers = ( 15,0),(− 15,0)
€
49x2
3136+
64y2
3136=
31363136
€
x2
64+y2
49=1
€
sommets = (8,0),(−8,0)
RetourRetour
L’hyperboleL’hyperbole
Hyperboles: ExemplesHyperboles: Exemples
L’hyperbole: NotesL’hyperbole: NotesAxe transversal horizontalAxe transversal horizontal
Centre Centre (0,0)(0,0)
Sommets (a,0) Sommets (a,0) && (-a,0)(-a,0)
Foyers (c,0) &Foyers (c,0) & (-c, 0)(-c, 0)
AsymptotAsymptoteses
L’hyperbole: Notes (2)L’hyperbole: Notes (2)Axe transversal horizontalAxe transversal horizontal
ÉquationÉquation::
€
x2
a2 −y2
b2 =1
€
Foyers : c 2 = a2 +b2
L’hyperbole: Notes (3)L’hyperbole: Notes (3)
Pour trouver les Pour trouver les asymptotesasymptotes
€
y=bax
€
y=−bax
L’hyperbole: Notes (4)L’hyperbole: Notes (4)Axe transversal verticalAxe transversal vertical
Centre Centre (0,0)(0,0)Sommets (a,0) Sommets (a,0) && (-a,0)(-a,0)
Foyers (c,0) &Foyers (c,0) & (-c, 0)(-c, 0)
AsymptotAsymptoteses
L’hyperbole: Notes (5)L’hyperbole: Notes (5)Axe transversal verticalAxe transversal vertical
équationéquation
€
y2
a2 −x2
b2 =1
€
Foyers : c 2 = a2 +b2
L’hyperbole (6)L’hyperbole (6)Axe transversal verticalAxe transversal vertical
Pour trouver les Pour trouver les asymptotesasymptotes
€
y=abx
€
y=−abx
Écris l’équation d’une hyperbole Écris l’équation d’une hyperbole ayant ses foyers à (-5,0) et (5,0) ayant ses foyers à (-5,0) et (5,0) et les sommets à (-3,0) et (3,0)et les sommets à (-3,0) et (3,0)
€
c2 =a2 +b2
€
52 =32 +b2
€
25=9+b2
€
b2 =16
€
x2
9−y2
16=1
a = 3 c = 5a = 3 c = 5
Écris l’équation d’une hyperbole Écris l’équation d’une hyperbole ayant ses foyers à (0,-5) et (0,5) ayant ses foyers à (0,-5) et (0,5) et ses sommets à (0,-4) et (0,4)et ses sommets à (0,-4) et (0,4)
€
c2 =a2 +b2
€
52 = 42 +b2
€
25 =16 +b2 €
b2 = 9
€
y 2
16−x 2
9=1
a = 4 c = 5a = 4 c = 5
À partir de l’équation d’une À partir de l’équation d’une hyperbole, trouve les hyperbole, trouve les
asymptotes et puis trace le asymptotes et puis trace le graphique. graphique.
€
y = ±a
bx
€
y =4
3x
y = −4
3x
€
y 2
16−x 2
9=1
a = 4 b = 3a = 4 b = 3
Au menuAu menu
Les translationsLes translations
Qu’est-ce qui se passe si Qu’est-ce qui se passe si la section conique n’a la section conique n’a pas son centre à pas son centre à l’origine (0,0)?l’origine (0,0)?
Les translationsLes translationsle cerclele cercle
€
(x−h)2 +(y−k)2 =r2
Les translationsLes translationsla parabolela parabole
ouou
axe de symmétrie horizontalaxe de symmétrie horizontal
Axe de symmétrie verticalAxe de symmétrie vertical
€
(y−k)2 =4p(x−h)
€
(x−h)2 =4p(y−k)
Les translationsLes translationsl’l’ellipseellipse
ouou
€
(x−h)2
a2 +(y−k)2
b2 =1
€
(x−h)2
b2 +(y−k)2
a2 =1
Les translationsLes translationsl’l’hyperbolehyperbole
ouou
(x−h)2
a2 −(y−k)2
b2 =1
€
(y − k)2
a2 −(x − h)2
b2 =1
Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et
trace son graphique.trace son graphique.
(x−1)2 +(y+2)2 =32
r=r= 33 centrecentre::
(1,-2)(1,-2)
Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et
trace son graphique.trace son graphique.
(x−2)2
32 +(y−1)2
22 =1
Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et
trace son graphique.trace son graphique.
(x−3)2
12 −(y−2)2
32 =1
centrcentreeasymptotasymptoteses
sommetssommets
Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et
trace son graphiquetrace son graphique
(x−2)2 =4(−1)(y−3)
centrcentree
ConiqConiqueue
Retour au menuRetour au menu
Compléter le carré (1)Compléter le carré (1)Voici les étapes pour compléter le Voici les étapes pour compléter le carrécarré1) Regroupe les termes pour 1) Regroupe les termes pour
rassembler les variables xrassembler les variables x22 + x, + x, yy22+y,et isoler le terme constant.+y,et isoler le terme constant.
1)1) Divise le coefficient de x par 2, Divise le coefficient de x par 2, prend le carré, ajoute cette valeur prend le carré, ajoute cette valeur aux deux côtés de l’équation.aux deux côtés de l’équation.
2)2) Répéte étape 2 s’il y a un Répéte étape 2 s’il y a un coefficient pour y (au besoin).coefficient pour y (au besoin).
3)3) Récris comme le carré parfait d’un Récris comme le carré parfait d’un binôme. binôme.
Compléter le carré (2)Compléter le carré (2)
Réécris en forme standard et Réécris en forme standard et identifie le centre et le rayon identifie le centre et le rayon d’un cercle.d’un cercle.
Équation: xÉquation: x22+y+y22+10x-6y+18=0+10x-6y+18=0
xx22+10x+____ + y+10x+____ + y22-6y + ____=-18-6y + ____=-18
(x(x22+10x+25) + (y+10x+25) + (y22-6y+9)=--6y+9)=-18+25+918+25+9
(x+5)(x+5)22 + (y-3) + (y-3)22=16 (forme =16 (forme standard)standard)
Centre (-5,3)Centre (-5,3) Rayon = 4Rayon = 4
Compléter le carré (3)Compléter le carré (3)Réécris l’équation en forme Réécris l’équation en forme
standard, identifie la section standard, identifie la section conique, le centre et la conique, le centre et la longueur des axes longueur des axes
Équation: xÉquation: x22+4y+4y22+6x-8y+9=0+6x-8y+9=0
xx22+6x+____ + 4y+6x+____ + 4y22-8y+____=-9-8y+____=-9
(x(x22+6x+9) + 4(y+6x+9) + 4(y22-2y+1)=-9+9+4-2y+1)=-9+9+4
(x+3)(x+3)22 + (y-1) + (y-1)22=4=4
€
(x+3)2
4+
(y−1)2
1=1
centre: (-centre: (-3,1)3,1)
a=2, b=1a=2, b=1
Grand Grand axe=4axe=4
Petit axe=2Petit axe=2Retour au menuRetour au menu
Classification des Classification des sections coniquessections coniques
Classification des Classification des sections coniquessections coniques
La forme générale La forme générale de toute section de toute section conique:conique:
€
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F =0
€
B2 −4AC<0
€
B2 −4AC=0
€
B2 −4AC>0
Hmm… ça Hmm… ça ressemble à ressemble à quelque chose…quelque chose…
Classification des Classification des sections coniques sections coniques
(Exemple #1)(Exemple #1)Classifie la section Classifie la section conique, donnée en conique, donnée en
forme généraleforme générale
€
5x2 +2y2 −20x+4y+24=0
€
A=5
€
B=0
€
C=2€
B2 − 4AC =?
0
€
02 − 4(5)(2) =?
0
€
−40 < 0
ellipsellipsee
Classification des Classification des sections coniques sections coniques
(ex2) (ex2)
€
y2 −8x+12y=0
€
A=0
€
B=0
€
C=1€
B2 − 4AC =?
0
€
02 − 4(0)(1) =?
0
€
0 = 0ParaboParabolele
Classification des Classification des sections coniques (ex3)sections coniques (ex3)
€
−24x2 +18y2 +18=0
€
A=−24
€
B = 0
€
C =18€
B2 − 4AC =?
0
€
02 − 4(−24)(18) =?
0
€
1728 > 0hyperbolhyperbolee
Classification des Classification des sections coniques sections coniques
(ex4)(ex4)
€
4x 2 − y 2 −16x −14y − 34 = 0
€
A = 4
€
B = 0
€
C = −1€
B2 − 4AC =?
0
€
(0)2 − 4(4)(−1) =?
0
€
16 > 0hyperbohyperbolele
Retour au menuRetour au menu
Classification des Classification des sections conique sections conique
Si l’équation est Si l’équation est donnée en forme donnée en forme générale:générale:
A C mais A C mais ils ont le ils ont le même même signe, B=0signe, B=0
EllipsEllipsee
CercleCercle€
≠
A = C, B=0A = C, B=0
Classification des Classification des sections coniquessections coniques
Retour au menuRetour au menu
A ou C = 0 A ou C = 0
€
y = −x 2 − 2x + 3
Classification des Classification des sections coniques en sections coniques en
forme généraleforme générale
hyperbolehyperbole
Retour au menuRetour au menu€
x 2 − 4y 2 − 6x − 8y −11 = 0
A et C ont des A et C ont des signes signes opposésopposés