los matemáticos de · los matemáticos de 6.º es una obra colectiva, creada, diseñada y...

Losmatemáticos de

Claudia Broitman Horacio ItzcovichAndrea NovembreMónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha

Los matemáticos de 6.º es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Mónica Pavicich, por el siguiente equipo:

Coordinación general: Claudia BroitmanCoordinación pedagógica: Claudia Broitman y Horacio ItzcovichAutores: Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Héctor Ponce e Inés SanchaLectura crítica: Andrea Novembre

Editora: Paula SmulevichJefa de edición: María Laura LatorreGerencia de gestión editorial: Patricia S. Granieri

Losmatemáticos de

SANTILLANA y los autores ceden los derechos de reproducción parcial

de la obra en el marco de la cuarentena por el Coronavirus.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2020, en Triñanes Gráfica S.A., Charlone 971, Avellaneda, Buenos Aires, República Argentina.

Los matemáticos de 6 / Mónica Escobar ... [et al.]. - 1a ed . 12a reimp. - CiudadAutónoma de Buenos Aires : Santillana, 2020. 160 p. ; 28 x 22 cm.

ISBN 978-950-46-4432-3

1. Matemática. 2. Educación Primaria. 3. Libro de Texto. I. Escobar, Mónica. CDD 372.7

Jefa de arte: Silvina Gretel Espil.

Diseño de maqueta: Adrián Shirao y Silvina Gretel Espil.

Diseño de tapa: Adrián Shirao.

Diagramación: Alejandro Pescatore.

Corrección: Juan Sosa.

Ilustración: Héctor Borlasca.

Documentación fotográfica: Leticia Gómez Castro, Cynthia Romina Maldonado y Nicolas Verdura.

Fotografía: Archivo Santillana.

Preimpresión: Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Gregorio Branca.

La presente publicación se ajusta a la cartografía oficial establecida por el Poder Ejecutivo Nacional de la República Argentina a través del IGN -Ley22.963- y fue aprobada por el expediente GG15 2105/5 del 12 de noviembre de 2015.

© 2015, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. Leandro N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN: 978-950-46-4432-3 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: septiembre de 2015.Duodécima reimpresión: enero de 2020.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el siguiente equipo:

Leer, escribir y ordenar números I...............6Leer, escribir y ordenar números II .............7Problemas y cálculos I .....................................9Problemas y cálculos II ................................. 11Problemas para estudiar ................... 13

1capítulo

RepasaR quinto .............................. 5

Cálculos de multiplicaciones y divisiones ......54Problemas para combinar ................................55El funcionamiento de la división ......................57Factores que se repiten .....................................59Estimación ..............................................................61Orden de los cálculos ..........................................63Problemas para estudiar ....................65

5capítulo opeRaciones ii ............................. 53

Leer, escribir y ordenar números de diferentes tamaños I ............................... 16Leer, escribir y ordenar números de diferentes tamaños II .............................. 17El funcionamiento del sistema de numeración I ............................................. 19El funcionamiento del sistema de numeración II ............................................ 21Problemas para estudiar ................... 23

2capítulo

numeRación ................................. 15

Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones ...................................................... 26Problemas y cálculos I .................................. 27Relaciones entre la multiplicación y la división ..................................................... 29La multiplicación y sus propiedades ......... 31La división y sus propiedades ..................... 33Problemas y cálculos II ................................. 35Problemas para estudiar ....................37

3capítulo

opeRaciones i .............................. 25

Reproducir figuras ......................................... 40Relaciones entre circunferencias y triángulos ..................................................... 41Alturas de los triángulos .............................. 43Construir cuadriláteros I .............................. 45Construir cuadriláteros II ............................. 47Propiedades de los paralelogramos .......... 49Problemas para estudiar ....................51

4capítulo

FiguRas geométRicas ..................... 39

Fracciones y divisiones ................................. 68Fracciones y medida ..................................... 69Comparación y recta numérica .................. 71Operaciones con fracciones I ...................... 73Multiplicaciones entre fracciones ............... 75Cálculos con fracciones ................................ 77Operaciones con fracciones II ..................... 79Problemas para estudiar ....................81

6capítulo

FRacciones .................................. 67

7capítulo

DivisibiliDaD ................................ 83

¿Cuántas veces un número entra en otro? ................................................ 84Múltiplos y divisores I ................................... 85Múltiplos, divisores y cálculos ..................... 87Múltiplos y divisores II .................................. 89Saber si un número es divisible por otro ............................................................ 91Problemas para estudiar ....................93

Usar expresiones decimales ........................ 96Comparar y ordenar decimales .................. 97Fracciones y decimales en la recta numérica .......................................... 99Componer y descomponer decimales .....101Relacionar fracciones y decimales ...........103Expresar proporciones ...............................105Problemas para estudiar ..................107

8capítulo

FRacciones y Decimales i ................ 95

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Índice

Uso de íconos

En varios capítulos encontrarán este dibujo , que indica que se sugiere usar la calculadora para resolver o para verificar.

En los capítulos de geometría encontrarán dibujos que indican qué instrumentos geométricos están habilitados para resolver cada problema.

Regla

Transportador

Compás

Escuadra

Regla no graduada

Además, en algunos problemas geométricos se incluye este dibujo , que indica que esa actividad puede resolverse también con la computadora usando el programa GeoGebra.

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Proporcionalidad directa I..........................110Proporcionalidad directa II ........................111Proporcionalidad y porcentaje ..................113Representaciones gráficas .........................115¿Relaciones de proporcionalidad directa? ..........................................................117Proporcionalidad inversa ...........................119Problemas para estudiar ..................121

9capítulo

pRopoRcionaliDaD ....................... 109

Proporciones ......................................................138Sumas y restas con fracciones y decimales .........................................................139Cálculos con 10, 100 y 1.000 .......................141Cálculos con fracciones y decimales I .........143Cálculos con fracciones y decimales II ........145Problemas para estudiar ..................147

11capítulo

FRacciones y Decimales ii ............. 137

Múltiplos y submúltiplos del metro I .......124Múltiplos y submúltiplos del metro II ......125Múltiplos y submúltiplos del gramo ........127Múltiplos y submúltiplos del litro .............129Estimar medidas ..........................................131Más sobre medidas .....................................133Problemas para estudiar ..................135

10capítulo

longituD, capaciDaD y peso .......... 123Medir áreas .....................................................150Transformaciones de perímetros y áreas ..............................................................151Medir y estimar áreas ..................................153Áreas, fracciones y decimales .....................155Áreas de diversas figuras ............................157Problemas para estudiar....................159

12capítulo

ÁRea y peRímetRo ....................... 149

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Para hacer todos juntos

RePasaR quinto


A un estudiante de periodismo deportivo de una universidad de Japón, que participa de un programa de intercambio en la Argentina, le pidieron que grabe un audio, como columnista de radio, en el que informe sobre los 5 estadios argentinos con mayor capacidad. Para completar su presentación, publicó a través de una red social los datos que consiguió y pide ayuda para no equivocarse al leer los números.

S.O.S. ¿Cómo se leen estos números en castellano?

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1. Tomás y Franco están haciendo un trabajo en equipo. Completá este diálogo que mantienen por chat. Tené en cuenta que no les andan los teclados numéricos y solo pueden usar letras.

2. En esta tabla los países están ordenados comenzando por el que tiene mayor población. ¿A cuál de estos países corresponde cada una de las siguientes cantidades?

121.005.815 31.151.643 204.511.000 48.221.000 43.131.966

Países Habitantes

Brasil

México

Colombia

Argentina

Perú

Leer, escribir y ordenar números


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3

1. Magui y Belén terminaron la partida de un juego de mesa en el que se usan billetes como estos y resulta ganador quien logra acumular la mayor cantidad de dinero.

a) ¿Quién ganó esta partida?

Belén6 billetes de $1́0.0001́2 billetes de $1́.0004 billetes de $1́001́4 billetes de $1́Total $

Magui11 billetes de $10.0004 billetes de $1.00015 billetes de $1005 billetes de $103 billetes de $1Total $

b) En una segunda partida, Belén obtuvo $105.230 y Magui, $510.052. ¿Qué billetes pudo haber tenido cada una?

2. Completá los datos que faltan en este resumen de cuenta.

Leer, escribir y ordenar números


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Cant

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es 3. En la siguiente recta se representan algunos números.

0 10.000 20.000 40.000 50.000 80.000

a) ¿Qué número ubicarías en los recuadros?

b) ¿En qué lugar de la recta se ubican, aproximadamente, los siguientes números?

25.000 39.000 78.900 90.010

4. Esta tabla muestra datos de la población de algunas provincias argentinas según el Censo Nacional realizado en 2010. En el gráfico de barras se representa, aproximadamente, la cantidad de habitantes de cada provincia. ¿Qué barra corresponde a cada una?

Provincias de

ArgentinaHabitantes

(según Censo 2010)

San Juan 681.055

Formosa 530.162

Santiago del Estero 874.006

San Luis 432.310

La Rioja 333.642


Laura y Gabriel están averiguando precios de casas y consultan páginas de inmobiliarias. Pueden gastar entre $500.000 y $650.000. ¿Cuáles de estos departamentos podrían aparecer en pantalla?


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3Problemas y cálculos

1. Stéfano debe entregar 12 cajas de sorrentinos por día durante 5 días. Si en cada caja pone 24 unidades, ¿cuántos sorrentinos tiene que preparar?

2. Cuando Tomás va al mayorista, compra 3 paquetes C. Pero esta vez solo hay paquetes A y B.

a) ¿Cuántos saquitos compra Tomás al llevar la opción C?

b) Si quiere llevar la misma cantidad de siempre, ¿cuántos paquetes tiene que comprar si elige la opción A? ¿Y si se decide por la opción B?

3. Resolvé los siguientes cálculos mentalmente y luego verificá los resultados con la calculadora.

a) 8.000 : 10 = 8.000 : 20 = 8.000 : 40 =

8.000 × 100 = 8.000 × 50 = 8.000 × 25 =

b) 160 × 5 = 160 × 10 = 160 × 15 =

150 × 3 = 150 × 20 = 150 × 23 =

AR0000000000864 005-014_MateBroitman6_C01_7596.indd 9 9/29/16 11:05 AM

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4. La profesora de plástica de la escuela quiere exponer las 288 obras de sus alumnos en un mismo tipo de paneles. ¿Cuántos paneles necesitaría en cada caso?

Para hacer de a dos

5. Alma presentó este diseño en una imprenta. Pidió que los lunares sean solo de 3 colores y que haya la misma cantidad de cada color, pero le dijeron que no se puede. Expliquen si creen que los de la imprenta tienen razón y por qué.


Escriban cálculos que permitan determinar la cantidad de lunares sin contarlos todos uno por uno.


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1. Escribí un cálculo que permita averiguar cuántos son los emoticones amarillos sin contarlos todos uno por uno.

2. Si el catálogo incluye 264 modelos de mates, ¿es verdad que tiene más de 10 páginas dobles como las del dibujo?

3. A partir del 6, obtené los números siguientes en la calculadora utilizando en cada caso una sola multiplicación o una división, pero sin borrar. Anotá el cálculo que realizaste en cada espacio intermedio.

4. Cada caja trae 24 bombones. Valentina compró 5 cajas, las abrió y armó bolsitas con 3 bombones cada una para regalar a sus amigas. ¿Cuántas bolsitas pudo armar?

Problemas y cálculos


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Para hacer de a dos

5. Diego y Mónica compraron un televisor, un colchón y una filmadora en 12 cuotas iguales sin interés. Para averiguar cuánto pagarán por mes por esos tres productos, hicieron estos cálculos. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

Diego7.224 : 12 + 4.464 : 12 + 3.720 : 12 =

Mónica(7.224 + 4.464 + 3.720) : 12 =


Alma anotó varios cálculos para saber cuántos emoticones hay. ¿Cuáles de los cálculos permiten hallar la cantidad de emoticones en cada imagen?

15 × 21 5 × 7 63 × 5 7 × 5 45 × 7 3 × 5 + 7 × 3 35 × 1 21 × 15 9 × 35


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oProblemas para estudiar

13Nombre: .................................................................................. Curso: ...................... Fecha: .........................................

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1. En la siguiente recta se representan algunos números.

0 20.000 30.000 60.000 80.000 100.000

a) ¿Qué números ubicarías en los recuadros?b) ¿En qué lugar de la recta se ubican, aproximadamente, los siguientes números?

15.000 49.000 58.900 70.001

2. A partir del 8, obtené los números siguientes en el visor de la calculadora utilizando en cada caso solo una multiplicación o una división, pero sin borrar. En cada espacio intermedio anotá el cálculo que realizaste.

3. En esta tabla los países están ordenados comenzando por el que tiene mayor población. ¿A cuál de ellos corresponde cada una de las siguientes cantidades?

30.620.404 18.006.407

16.289.000 16.176.133

11.210.064


a) 2.500 : 100 = 2.500 : 50 = 2.500 : 25 =

9.000 × 10 = 9.000 × 20 = 9.000 × 40 =

b) 120 × 4 = 120 × 10 = 120 × 14 =

110 × 6 = 110 × 20 = 110 × 26 =

Países Habitantes

Venezuela

Chile

Ecuador

Guatemala

Cuba


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5. A Nora le encargaron que prepare una presentación y un video para la fiesta de egresados. En la computadora de la Dirección encontró estos archivos y quiere cargarlos en su pendrive.

a) ¿Cuál es el archivo más pesado?

b) ¿Cuál es el archivo más liviano?

c) Ordená los archivos del más liviano al más pesado.

d) Si su pendrive tiene lugar para 300.000 KB, ¿qué archivos puede guardar? Escribí dos posibilidades.

6. Cada caja trae 24 alfajores. Charo compró 6 cajas, las abrió y armó bolsitas con 4 alfajores cada una para regalar a sus amigas. ¿Cuántas bolsitas pudo armar?


NumeracióN 2capítulo

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Para hacer todos juntosPara hacer todos juntos

Reglas del juegoSe juega de a 4. Un jugador por vuelta hace de director, anota un número mayor que 100.000 a la vista de todos y tira un poroto en la rueda de sumas y restas. Los tres jugadores restantes tienen que decir, rápido, el resultado de sumar o restar el número indicado por el poroto en la rueda al número que anotó el director. El jugador que dice primero el resultado se anota 10 puntos, si este es correcto. Si no lo es, se anotan 5 puntos los jugadores que lo hayan dicho correctamente en segundo o tercer término. Gana el que haya obtenido mayor puntaje al cabo de 3 vueltas.

a) La directora anotó el 219.079 y el poroto cayó en -100. Antonio fue el primero que dijo un resultado, ¿se anota los 10 puntos?

b) Decidan cuáles serán los resultados para 219.079 con el poroto en cada uno de los sectores de la rueda.

– 100+

1.000

– 10

.000

+ 100.000

+ 1

– 10

+ 100

– 1.00

0

+ 10

.000

– 100.000

– 1

+ 10

Da doscientos diecinueve mil novecientos

setenta y nueve.


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En esta tabla se presenta la cantidad de habitantes de algunas provincias de nuestro país que, según el Censo Nacional de 2010, usan computadora.

1. Los habitantes que usan computadora en Entre Ríos son quinientos ochenta mil doscientos setenta y nueve. Escribí esa cantidad en la tabla.

2. ¿Qué provincias tienen menos de quinientos cincuenta mil habitantes que usan computadora?

3. Ordená las provincias de la tabla desde la que tiene menos habitantes que usan computadora hasta la que tiene más.

4. En el siguiente gráfico de barras se representan, aproximadamente, los datos de la tabla. Escribí debajo de cada barra la provincia que corresponde.

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250.000

500.000

750.000

1.000.000

1.250.000

1.500.000

1.750.000

2.000.000

2.250.000

2.500.000

Cant

idad

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habi

tant

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ue u

san

com

puta

dora

Provincia Habitantes que usan computadora

Mendoza 849.645

Catamarca 152.433

Córdoba 1.737.948

Tierra del Fuego 91.916

Ciudad Autónoma de Buenos Aires (CABA) 2.016.683

Entre Ríos

Leer, escribir y ordenar números de diferentes tamaños


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1. Esta recta numérica tiene representados algunos números entre 0 y 2.500.000 que van de 250.000 en 250.000. ¿Cuáles irían en los espacios vacíos?

0 250.000 750.000 1.250.000 2.000.000 2.500.000

2. Completá la tabla.

Uno menos Número Uno más

Cien mil

Quinientos dos mil

Cuatrocientos noventa y nueve mil

Novecientos noventa mil

Doscientos mil noventa y nueve

3. En 2015 el club Boca Juniors compró a Tévez por 6,5 millones de euros.

a) ¿Cómo se escribe esa cifra usando solo números?

b) ¿Y usando solo letras?

Leer, escribir y ordenar números de diferentes tamaños

10.000 Diez mil 100.000 Cien mil 1.000.000 Un millón 10.000.000 Diez millones 100.000.000 Cien millones 1.000.000.000 Mil millones 10.000.000.000 Diez mil millones 100.000.000.000 Cien mil millones 1.000.000.000.000 Un billón10.000.000.000.000 Diez billones

Cuando se trabaja con números grandes, para acortar la escritura se pueden usar expresiones con coma.

Por ejemplo: 2,1 millones representa 2 millones y el 1 después de la coma representa la décima parte del millón, es decir, 0,1 × 1.000.000 = 100.000. Entonces, 2,1 millones = 2.100.000.

Para leer juntos


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4. La siguiente tabla representa la distancia de algunos planetas al Sol.

a) ¿Cuál de estos planetas está más lejos del Sol?

b) ¿Cuál está más cerca?

c) ¿Cuál de estas escrituras también expresa la distancia en kilómetros entre Júpiter y el Sol?

778.000.033 778.330.000 778.033.000

d) ¿Cuál de estas escrituras también expresa la distancia en kilómetros entre Mercurio y el Sol?

5.791 millones 5,791 millones 57,91 millones

e) Escribí la distancia en kilómetros de la Tierra al Sol usando números con coma y la palabra millones.

f) La distancia en kilómetros de Urano al Sol es de 2.870.990.000 km. Escribila usando solo letras.

5. Marcá cuál de estas escrituras corresponde a 0,75 millones.

7.500.000.000 750.000 7.500.0000


• ¿Será cierto que 3 millones y medio es lo mismo que 3,5 × 1.000.000? ¿Y lo mismo que 35 × 100.000?

• ¿Cómo se escribirá un trillón?

Planeta Distancia al Sol(en km)

Venus 108,2 millonesMercurio 57.910.000Júpiter 778,33 millonesTierra 146.600.000

Saturno 1.429.400.000Marte 228 millones


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1. En una fábrica de resmas de papel registran en una planilla la cantidad de hojas cada vez que llegan a producir 100.000.

100.000 200.000 300.000 400.000 500.000 600.000 700.000 800.000 900.000

1.000.000 1.100.000 1.200.000 1.300.000 1.400.000 1.500.000 1.600.000

a) Debajo del 300.000 anotaron 1.300.000. ¿Cuántas hojas se produjeron entre ambos valores?

b) Completá en la tabla los números que irían en la columna del 700.000.

c) Una semana después de llegar a 1.600.000 produjeron 1.500.000 hojas más. Completá todos los casilleros de la tabla que habrán usado para registrar esas nuevas hojas.

2. ¿Cuánto le sumarías a 205.974 para transformarlo en estos números? Completá la tabla y luego comprobá con la calculadora.

¿Cuánto le sumarías? Para transformarlo en

205.974

235.974

3.205.974

206.074

3. ¿Cuánto le restarías a 5.479.362 para transformarlo en estos números? Completá la tabla y luego comprobá con la calculadora.

¿Cuánto le restarías? Para transformarlo en

5.479.362

5.409.362

5.000.362

5.479.000

4. ¿Cuál o cuáles de estas sumas permiten obtener 534.715? Comprobá con la calculadora.

53.000 + 4.000 + 700 + 10 + 5

530.000 + 4.000 + 700 + 15

500.000 + 34.000 + 710 + 5

500.000 + 3.400 + 715

El funcionamiento del sistema de numeración


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5. ¿En 765.123, el 6 representa 6, 6.000, 60.000 o 600.000?

6. En un juego hay fichas con diferentes puntajes: 100.000, 10.000, 1.000, 100 y 10.

a) La tabla representa la cantidad de fichas que reunió cada jugador y el puntaje total que obtuvo. Completala.

Fichas Puntaje total100.000 10.000 1.000 100 10

Juga

dor

Dante 0 5 4 2 8

Antonio 0 12 0 11 3

Charo 12 4 11 0 0

Justina 1.130.240

Renata 13 24 1.130.240

b) ¿Qué puntaje se obtiene reuniendo 10 fichas de cada valor?

c) Belén obtuvo 20.000 puntos solo con fichas de 100. ¿Cuántas fichas reunió?

d) Joaquín obtuvo 2.034.150 puntos. ¿Cuáles de estos cálculos permiten confirmar su puntaje?

20 × 100.000 + 34 × 1.000 + 150

2 × 1.000.000 + 3 × 10.000 + 4 × 1.000 + 1 × 100 + 5 × 10

2 × 1.000.000 + 3 × 100.000 + 4 × 10.000 + 1 × 1.000 + 5 × 100

7. ¿Qué número se forma en cada caso?

a) 23 × 100.000 =

b) 23 × 1.000.000 =

c) 23 × 1.000 + 5 × 100 + 41 =

d) 23 × 1.000.000 + 5 × 100.000 + 4 × 10.000 + 1 × 1.000 =

• ¿Cómo saben, “mirando” un número, cómo descomponerlo en multiplicaciones por 1, 10, 100, 1.000, 10.000, etcétera?

• ¿Cómo se “transforma” un número al sumarle 1, 10, 100, 1.000, 10.000, etcétera? ¿Y al multiplicarlo por esas cantidades?


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1. a) Resolvé mentalmente los siguientes cálculos.

150.000 : 10.000 = 10.500 × 10 = 15 × 10.000 =

10.500 : 10 = 10.500 : 100 = 105 × 100 =

b) Elegí los cálculos del problema a) que permiten resolver estos problemas.

• Cada fin de semana asisten 10.000 personas a un centro cultural. ¿Cuántas personas asisten al cabo de 15 fines de semana?

•Para una rifa se vendieron todos los números de 105 talonarios. Si en cada uno había 100 números, ¿cuántas rifas se vendieron?

•La municipalidad compró 10.500 metros de cable para colocar faroles de luz en la ciudad. En la instalación de cada farol se usan 10 metros, ¿para cuántos faroles alcanza el cable?

2. ¿Cuál o cuáles de estos cálculos darán 1.000.000?

a) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

b) 1.000 × 1.000

c) 100.000.000 : 10

d) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

e) 100 × 100 × 100

f) 100.000.000 : 100

3. En una fábrica envasan los botones en bolsitas de 10, de 100 y de 1.000 unidades. Ya tienen 42.835 botones.

a) ¿Cuántas bolsitas de 10 pueden armar con esa cantidad de botones? ¿Sobran botones?

b) ¿Cuántas bolsitas de 100 pueden armar? ¿Cuántos botones sobran?

c) ¿Y bolsitas de 1.000? ¿Cuántos botones sobran?

El funcionamiento del sistema de numeración


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4. Sin hacer la cuenta, calculá el resto de las siguientes divisiones.

5. Completá la tabla de divisiones por 10, por 100 y por 1.000.

Para hacer de a dos

6. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y expliquen por qué.

a) Como 45 × 10.000 + 736 = 450.736, entonces, 450.736 : 10.000 tiene resto 736.

b) Como 123.500 tiene 123 miles, entonces 123.500 : 1.000 tiene resto 5.

c) 15 resmas de 1.000 hojas alcanzan para darle 100 hojas a cada alumno de una escuela de 150 alumnos.


• Inventen cuentas de dividir por 1.000, cuyo resto sea 999, y otras, cuyo resto sea 1.• ¿Cuántas veces se puede restar 100 a 125.000, hasta llegar a 0? ¿Cuántas veces se puede

restar 10? ¿Y 1.000?

Dividendo Divisor

44 54 8

Resto Cociente

Para leer juntos

a) 20.300 : 10 resto:

b) 20.300 : 100 resto:

c) 20.300 : 1.000 resto:

d) 20.304 : 100 resto:

e) 20.304 : 1.000 resto:

f) 250.315 : 100 resto:

Dividendo Divisor Cociente Resto

564.873 10

45.906 100

3.200.078 1.000

1.000 15 999

13.123 131 23


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1. ¿Cuál de los siguientes números es el cuarenta y cinco millones trescientos siete mil ochenta?

a) 45.370.080

b) 45.307.080

c) 453.780

2. Decidí si los siguientes cálculos corresponden a los resultados que se proponen. Para los que sean incorrectos, encontrá el resultado correcto.

a) 5 × 1.000.000 + 4 × 100.000 + 3 × 10.000 + 8 × 100 = 5.403.800

b) 30 × 100.000 + 15 × 1.000 + 240 = 3.015.240

c) 25 × 100.000 + 9 × 1.000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1 = 259.428

3. Ordená de menor a mayor: 4,6 millones; 6.400.000; 750.000; 4.000.600; 6,5 millones.

4. Completá la tabla usando números.

Cien mil menos Diez mil menos Uno menos Número Uno más Mil más Diez mil más

Un millón cien mil trescientos

Trescientos veinte mil cuatrocientos

quince

Quinientos mil noventa y nueve


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5. Santa Fe tiene, aproximadamente, 1.600.000 habitantes que, según el Censo Nacional de 2010, usan computadora. Este año quieren llegar a 2,5 millones. ¿Cuántos habitantes más deberán usar computadora para llegar a esa cantidad?

6. Escribí una suma o una resta para que cambie solo la cifra indicada.

a) 4.035.786 b) 2.498.321 c) 3.005.400

7. Sin hacer la cuenta, marcá qué cálculos representan 5.046.003.

a) 5.046.000 + 3

b) 5.000.000 + 460.000 + 3

c) 5.046 + 3

d) 5.000.000 + 46.003

8. ¿Son verdaderas o falsas estas afirmaciones? Justificá tu respuesta.

a) 3,5 millones × 10 es lo mismo que 35 millones.

b) 430.000 es la décima parte de 43.000.000.

c) Como 1.000 × 1.000 = 1.000.000, entonces, 1.000.000 : 1.000 = 1.000.

d) 67,89 millones : 100 = 6.789 millones.

9. Completá la siguiente tabla de divisiones por 10, por 100 y por 1.000.

Dividendo Divisor Cociente Resto

33.333 1.000

100 25 4

4.444.004 1.000

66.006 660 6

10 500 5


OperaciOnes 3capítulo

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para hacer todos juntos

A El resultado de 240 × 34 es el mismo que el resultado de 34 × 240.

¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones? ¿Cómo pueden darse cuenta sin hacer los cálculos?


B Si se suma el resultado de 7 × 8 más el resultado de 7 × 9, se obtiene el resultado de 7 × 17.

E Si se multiplican por 5 los resultados de la tabla del 4, se obtienen los correspondientes resultados de la tabla del 20.

G Si se multiplica 57 × 41 × 39 × 18 × 27 × 0, el resultado será menor que 1.

C Si se quiere averiguar el resultado de 9 × 5, se puede hacer 9 por 2 y sumarle 3.

H Si se multiplica 52 × 26 × 0, dará el mismo resultado que si se multiplica 98 × 36 × 0.

F Si se dividen por 2 los resultados de la tabla del 10, se obtienen los resultados correspondientes de la tabla del 5.

D Si se suman los resultados de la tabla del 7 con los resultados correspondientes de la tabla del 8, se obtienen los resultados de la tabla del 15.


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1. A partir del 8, obtené los números siguientes en la calculadora usando, en cada caso, una sola multiplicación o una división, pero sin borrar. Anotá el cálculo que realizaste en los espacios intermedios.


5.000 × 10 = 5.000 × 20 = 5.000 × 50 =

500 × 100 = 5.000 × 200 = 5.000 × 500 =

600 : 10 = 600 : 20 = 600 : 30 =

6.000 : 100 = 6.000 : 200 = 6.000 : 300 =

3. Usando que 7 × 100 = 700, resolvé estos cálculos.

7 × 101 = 7 × 99 =

4. Usando que 700 : 10 = 70, resolvé mentalmente.

700 : 5 = 700 : 50 =

Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones


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1. Leonardo trabaja en una constructora y se encarga de controlar la cantidad de materiales que piden al corralón. Completá las tablas que permiten organizar la información.

Bolsas de cal 10 20 30 40 50 60 75 90 100 110 230 300

Kilos 500

Bolsas de cemento 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 20 22

Kilos 175

2. Diego quiere construir una galería en su casa y consultó páginas de Internet para tener idea de los materiales que iba a necesitar. A medida que investigaba, fue tomando nota de la información que le interesaba. ¿Entre cuántas posibilidades diferentes puede elegir con los datos que tomó, si tiene que construir una columna, un techo y un piso?

Columnas: Techo: Piso:Postes de luzHierroCemento

PolicarbonatoChapa VidrioMadera

LadrilloCemento alisadoCerámico

3. Sandra es secretaria de una escuela en la que trabajan 18 docentes y tiene que repartir las 500 lapiceras que trae la caja que compró la Cooperadora. ¿Es cierto que si le da la misma cantidad a cada docente le quedan 7 lapiceras para Dirección y 7 lapiceras para la secretaría?



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4. Para hacer una torta, se usan 250 cm3 de leche. ¿Cuántos litros de leche serán necesarios para preparar 16 tortas usando esa receta? Recordá que 1 litro es 1.000 cm3.

5. Para hacer una torta se usan 150 cm3 de leche. ¿Cuántas tortas se pueden preparar con 3 litros de leche usando esa receta?


En el Centro Cultural ExpresArte, Pedro y Julia dan clases de pintura. Sus alumnos pagan $180 por mes, de los cuales un tercio es para el Centro Cultural y el resto para el profesor que da la clase. Pedro tiene un grupo de 25 alumnos y Julia tiene dos grupos, uno de 5 alumnos y otro de 20 alumnos. Al finalizar el mes hicieron estos cálculos para saber cuánto les corresponde cobrar.

a) ¿Cuáles de estas anotaciones creen que habrá realizado Pedro y cuáles habrá hecho Julia?

b) ¿Qué estarían intentando averiguar en cada caso?

(180 : 3) × 5 + (180 : 3) × 20 = (180 : 3) × 5 =(180 : 3) × 20 = (180 : 3) × (5 + 20) =

(180 : 3) × 25 = 5 × 180 : 3 =20 × 180 : 3 = (5 × 180 + 20 × 180) : 3 =

25 × 180 : 3 =


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1. a) Buscá un número que multiplicado…

• …por 9 dé 405. • …por 12 dé 6.732.

b) Buscá un número que dividido…

• …por 14 dé 42. • …por 72 dé 210.

2. Usando el cálculo resuelto, determiná mentalmente el resultado de los otros.

230 × 8 = 1.840

1.840 : 230 =

1.840 : 8 =

514 × 15 = 7.710

7.710 : 15 =

7.710 : 514 =

340 : 68 = 5

340 : 5 =

68 × 5 =

384 : 24 = 16

384 : 16 =

24 × 16 =

8.041 : 43 = 187

8.041 : 187 =

187 × 43 =

3. Completá estas cuentas.

8 26 64

0/

59 0/

124 0/

15

4. Se dividió un número por 9 y se obtuvo como cociente 84 y resto 0.

a) ¿Qué número se habrá dividido?

b) Y si se obtuvo resto 4 con el mismo cociente y el mismo divisor, ¿qué número se dividió?

Relaciones entre la multiplicación y la división


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5. Usando que 26 × 16 = 416, calculá.

26 × 32 = 13 × 16 =

52 × 32 = 26 × 160 =

260 × 16 = 26 × 80 =

6. El Cine Alma tiene 2 salas. La sala A está funcionando y la sala B está en reparación.

a) La sala A tiene 1.440 butacas distribuidas en 24 filas con la misma cantidad de butacas cada una. ¿Cuántas butacas tiene cada fila?

b) En la sala B quieren poner la misma cantidad de butacas, pero como esta sala es más angosta solo entran 20 butacas en cada fila. ¿Cuántas filas tendrá la sala?


Intenten resolver este problema sin averiguar el total de dinero cobrado.

Una banda de rock dio dos recitales por los que cobró el mismo dinero. Los organizadores del primer recital pagaron 3 cheques de $4.200. Los cheques que recibieron de los organizadores del segundo recital son de $2.100. ¿Cuántos cheques recibieron por el segundo recital?


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para hacer de a dos

1. Andrea resolvió estos cálculos.

1.600 × 28 = 230 × 90 = 600 × 360 =

Mientras resolvió, ¿cómo pudo haber usado estos cálculos?

1.600 × 8 =

1.600 × 20 =

230 × 60 =

230 × 30 =

600 × 110 =

600 × 250 =

para hacer de a dos

2. a) ¿Cómo pueden resolverse los siguientes cálculos con una calculadora en la que no funcionan las teclas 4 , 2 , + ni - ?

48 × 5 = 53 × 24 = 42 × 77 = 55 × 12 =

b) ¿Y si se usa una calculadora en la que no funcionan las teclas 5 y 7 pero sí todas las otras teclas?

La multiplicación y sus propiedades


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La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa: si se cambia el orden de los

factores, el resultado no cambia. Por ejemplo: 27 × 23 = 23 × 27.

Propiedad asociativa: si se descomponen en factores uno o todos los números que intervienen en una multiplicación, o se agrupan de diferentes maneras, el resultado no cambia. Por ejemplo: 15 × 9 = 5 × 3 × 9 = 5 × 3 × 3 × 3 = 5 × 9 × 3 = 135, y se pueden seguir obteniendo otras multiplicaciones.

Propiedad distributiva: una multiplicación entre dos números se puede resolver descomponiendo uno de ellos en una suma y multiplicando cada uno de los sumandos por el otro número. Finalmente, se suman ambos productos. Por ejemplo: 4 × 23 = 4 × (20 + 3) = 4 × 20 + 4 × 3 = 80 + 12 = 92. O bien, es posible descomponer uno de los factores como una resta. Por ejemplo, 5 × 27 = 5 × (30 – 3) = 5 × 30 – 5 × 3.

Si se multiplica cualquier número por 0, el resultado es 0. Al cero se lo llama elemento nulo de la multiplicación.

para leer juntos

3. Para multiplicar 7 × 999, Ramiro hace 7 × 1.000 y al resultado le resta 1, porque 999 es 1 menos que 1.000. ¿Es correcto su razonamiento? ¿Por qué?

4. ¿Qué propiedad se usa en esta cuenta de multiplicar?

643 × 22 1.286 (643 × 2) 12.860 (643 × 20) 14.146

5. Usando estos resultados, completá la tabla.

35 × 2 = 70 35 × 3 = 105 35 × 4 = 140

35 ×5 6 10 11 12 20 26 31 38


Sin hacer las cuentas, decidan cuál o cuáles de los siguientes cálculos dan el mismo resultado que 236 × 28.

200 × 28 + 30 × 28 + 6 × 28 236 × 30 – 236 × 2 236 × 27 + 236


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1. ¿Cómo se puede realizar 888 : 24 con calculadora sin usar la tecla 4 ?

2. Magui, Valentino y Enrique debían resolver 1.944 : 18. ¿Quién o quiénes obtuvieron el resultado correcto?

a) Magui hizo 1.944 : 10, después, 1.944 : 8 y sumó ambos cocientes.

b) Valentino resolvió 1.944 : 2 y al cociente lo dividió por 9.

c) Enrique hizo 1.944 : 36 y al cociente lo dividió por 2.

En la división no se cumplen las mismas propiedades que en la multiplicación. La propiedad distributiva es válida para la división respecto

de la suma y la resta cuando se descompone el dividendo; por ejemplo, 250 : 50 = 200 : 50 + 50 : 50. Sin embargo, no es válida cuando se descompone el divisor; por ejemplo, 250 : 50 ≠ 250 : 25 + 250 : 25.

La propiedad asociativa no se cumple en la división. Por ejemplo, si se quiere resolver 600 : 15, es posible pensarlo como 600 : 15 = (600 : 5) : 3. En cambio, el resultado sería diferente si se hace 600 : (5 : 3). El modo en que se agrupan

los números puede hacer cambiar el resultado del cociente y del resto.

Cuando se presenta un cálculo como 250 : 10 : 2 y no se indica el orden usando los paréntesis, se realiza primero 250 : 10 y al cociente se lo divide por 2, porque hay una convención matemática de operar de izquierda a derecha.

Tampoco se cumple la propiedad conmutativa: si se cambia el orden de los números que se dividen, cambia el resultado. Por ejemplo: 129 : 3 ≠ 3 : 129.

para leer juntos

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3. Escriban diferentes descomposiciones de 828 que resulten convenientes para resolver mentalmente 828 : 6.

La división y sus propiedades


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4. ¿Cómo conviene descomponer los dividendos para hacer estos cálculos mentalmente?

975 : 5 =

872 : 4 =

1.248 : 6 =

5. Al hacer 544 : 8 : 2, Adriana obtuvo 34 y Susana, 136.

a) ¿Qué cálculos creés que habrá realizado cada una para alcanzar resultados tan distintos?

b) ¿Quién obtuvo el resultado correcto?

6. Buscá tres maneras diferentes de resolver 1.656 : 8 usando las propiedades de la división. Luego comprobá con la calculadora.

Sin hacer los cálculos, determinen si las siguientes igualdades son verdaderas.

1.232 : 28 = (1.232 : 20) : 8 1.232 : 28 = (1.232 : 4) : 7

1.232 : 28 = 1.232 : 30 - 1.232 : 2



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1. Sin hacer los cálculos, colocá V (verdadero) o F (falso).

a) 46 × 72 = 72 × 46

b) 6 × 27 = 3 × 27 + 2 × 27

c) 5 × 48 = 5 × 4 × 2 × 6

d) 5 × 48 = 5 × 40 + 8

para hacer de a dos

2. Decidan si estos cálculos tienen el mismo resultado que 327 × 24. Justifiquen sus respuestas usando las propiedades de la multiplicación y sin hacer las cuentas. Luego, comprueben con la calculadora.

300 × 24 + 20 × 24 + 7 × 24

327 × 30 – 327 × 6

327 × 23 + 327

para hacer de a dos

3. Busquen cálculos que den el mismo resultado que cada uno de estos. Intenten encontrarlos sin hacer las cuentas.

99 × 6

25 × 101

38 × 5

28 × 16



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4. El municipio organizó la campaña “1 minuto por mis derechos”, que busca promover el compromiso en la defensa de los derechos del niño. La comisión organizadora recibió 714 cortos de 1 minuto.

a) Si en cada DVD pueden incluir 2 horas de filmación, ¿cuántos DVD pueden armar como mínimo?

b) El tiempo que no se usa para los cortos se empleará para la introducción y el cierre del DVD. ¿Cuánto tiempo queda disponible para la introducción y el cierre de cada DVD?


Tomás se va de viaje y busca trabajo para juntar dinero. Puede trabajar durante los 9 meses que faltan hasta su partida. Recibió dos ofertas laborales y tiene que tomar una decisión. En una pizzería le ofrecen $1.000 el primer mes, $2.000 el segundo mes e ir aumentando de a $1.000 todos los meses durante el primer año. En una farmacia le ofrecen una suma fija de $5.000 durante el primer año.

a) ¿En cuál de los dos trabajos ganaría más dinero al cabo de 5 meses? ¿Y si trabajara 10 meses?

b) ¿Cuál de los ofrecimientos resulta más conveniente y por qué?

c) Como Tomás ya sabe que solo podrá trabajar durante 9 meses, ¿será cierto que da lo mismo que elija cualquiera de los dos trabajos?


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1. Resolvé mentalmente estos cálculos.

3.000 × 10 = 3.000 × 20 = 3.000 × 40 =

300 × 100 = 300 × 200 = 300 × 400 =

1.200 : 10 = 1.200 : 20 = 1.200 : 30 =

1.200 : 100 = 1.200 : 200 = 1.200 : 300 =

2. Completá estas tablas, que relacionan la cantidad de golosinas y la cantidad de bolsas en las que se las envasa, sabiendo que todas las bolsas tienen la misma cantidad.

Bolsas 2 4 8 10 15 30 35 48

Chupetines 600 750

Bolsas 2 3 8 15 19 30 37 40

Caramelos 360 840

3. Calculá mentalmente.

14 × 5 = 7 × 101 = 4 × 99 =

26 × 50 = 32 × 11 = 11 × 999 =

13 × 500 = 26 × 110 = 6 × 19 =

4. En una agencia de turismo que entrega un pendrive con fotos y videos de recuerdo a cada uno de sus pasajeros, necesitan comprar 623 pendrives. Si vienen en paquetes de 25, ¿cuántos paquetes tendrán que llevar?


38

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5. Diego entrena por día, aproximadamente, una hora y media, alternando series de ejercicios aeróbicos y de musculación. Cada serie abarca 12 minutos de aeróbico y 10 de musculación.

a) ¿Cuántas series realiza en cada entrenamiento?

b) ¿Cuánto tiempo de ejercicios aeróbicos realiza cada día? ¿Y de ejercicios de musculación?

6. Los alumnos de 6.º año van a participar de un campeonato deportivo y quieren tener un cartel que los identifique. Para hacer el cartel, pueden elegir un color, un tipo de letra y un tamaño. ¿Cuántas posibilidades tienen si pueden elegir entre las opciones siguientes?

7. Usá las propiedades para determinar, sin hacer las cuentas, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado.

12 × 28 6 × 28 × 6 × 28 12 × 20 + 12 × 8

12 × 14 + 12 × 14 2 × 28 + 2 × 28 + 2 × 28 + 6 × 28 12 × 30 – 12 × 2

8. Determiná si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F). Justificá tus respuestas usando las propiedades de las operaciones.

a) 1.600 : 32 = 1.600 : 8 : 4

b) 1.600 : 32 = 800 : 32 + 800 : 32

c) 1.600 : 32 = 1.600 : 30 + 1.600 : 2


los matemáticos de · los matemáticos de 6.º es una obra colectiva, creada, diseñada y...

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