KuantorUniversal "Semua"

Ekstensial "Ada"

RANGKUMAN MATERI LOGIKA 1Pernyataan dan kalimat terbukaContoh pernyataan : 1+2 = 3 pernyataan benar 3 – 5 > 0 pernyataan salah

35≤ 0 pernyataan benar

Contoh kalimat terbuka : x – 3 = 8 3x – 9 < 0

3a≤ 4

Ingkaran pernyataanPernyataan Ingkaran 1+2 = 3 1+2 ≠ 3 3 – 5 > 0 3 – 5 ≤ 0

35≤ 0

35>¿ 0

Pernyataan berkuantor ∀ ∃

Contoh pernyataan berkuantor :p : ∀ x∈R ,x2≥0q : ∃ x∈R , x2−x=0r : ∀ x∈R ,x2−x=0s : ∃ x∈R , x2<0p dan q adalah pernyataan berkuantor yang bernilai benar, sedangkan r dan s adalah pernyataan berkuantor yang salah.

Ingkaran pernyataan berkuantorContoh ingkaran pernyataan berkuantor : p : ∀ x∈R ,x2≥0~p : ∃ x∈R , x2<0 q : ∃ x∈R , x2−x=0~q : ∀ x∈R ,x2−x ≠0

Kalimat majemuk :Konjungsi (p∧q) Contoh :Jakarta ibukota Indonesia dan Medan ibukota Sumatra Utara.Disjungsi (p∨q) Contoh :Jakarta ibukota Indonesia atau Medan ibukota Sumatra Utara.Implikasi (p⟹q)Contoh :Jika saya berulang tahun maka saya mentraktir sahabat saya.Biimplikasi (p⟺q)Contoh :Ayah akan membelikan hadiah jika dan hanya jika saya naik kelas.Tabel Kebenaran Dasar

p q p∧q p∨q p⟹q p⟺qB B B B B BB S S B S SS B S B B S

S S S S B B

Membuat Tabel Kebenaran Pernyataan MajemukContoh :1. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan:

( p⇒q )∧(q⇒ p)p q p⇒q q⇒ p ( p⇒q )∧(q⇒ p)B B B B BB S S B SS B B S SS S B B B

KONTINGENSI2. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan:

( p∧q )⇒ pp q p∧q ( p∧q )⇒ pB B B BB S S BS B S BS S S B

TAUTOLOGI3. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan:

( p∧q )⇒( p∨ q)p q p∧q p∨ q ( p∧q )∧( p∨ q)B B B S SB S S B SS B S B SS S S B S

KONTRADIKSIEkuivalensiContoh :Buktikanlah p⇒q≡ p∨q

p q p⇒q p p∨qB B B S BB S S S SS B B B BS S B B B

Ingkaran pernyataan majemuk( p∧q )≡ p∨ q( p∨q )≡ p∧ q Hukum( p⟹q )≡ p∧ q De( p⟺q )≡ ( p∧ q )∨(q∧ p) Morgan

Konvers, Invers dan KontraposisiJika terdapat suatu pernyataan :p⟹qmaka : Konvers : q⟹ p Invers : p⟹ q Kontraposisi : q⟹ p p⟹q≡ q⟹ p

q⟹ p≡ p⟹ qContoh :Jika harga sepatu itu murah maka saya akan membeli dua pasang sepatu.Konvers : Jika saya akan membeli dua pasang

sepatu maka harga sepatu itu murah.

≡ekuivalen

Invers : Jika harga sepatu itu tidak murah maka saya tidak akan membeli dua pasang sepatu.

Kontraposisi : Jika saya tidak akan membeli dua pasang sepatu maka harga sepatu itu tidak murah.

Soal latihan logika I

1. Pernyataan “tan30o=12√3 “ mempunyai nilai kebenaran ...

2. Pernyataan “grafik fungsi y=x2+6 x+9 menyentuh sumbu x pada titik (−¿3,0)” mempunyai nilai kebenaran ...

3. Agar pernyataan untuk−360o≤ x≤360o , sin(x−35o)=0,5 bernilai benar makax=¿ ...

4. Agar kalimat terbuka “ 2y +1= 1

64 “ bernilai benar maka nilai y sama

dengan ...

5. Agar kalimat terbuka “ √ x−95

=2” bernilai benar maka nilai x sama

dengan ...6. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan :

a. ( p∧q )→ p

b. ( p→q )∨( q→ p)c. ( p∧q )→ q

d. ( p⟷q )∧ (q→r )7. Ingkaran dari pernyataan ❑2} log {8=3 adalah ...8. Ingkaran dari pernyataan “ Untuk semua x∈ R, x2≥0 ” adalah ...9. Ingkaran dari pernyataan “ Ada x∈ R ,2x2−x<0” adalah ...10. Ingkaran dari pernyataan “x=2adalah salah satu akar persamaan

x2−x−2=0 dan sin 30o=12

“ adalah ...

11. Ingkaran dari pernyataan “ Akar dari 2 x2+3 x−2=0adalah x=−2atau x=12

adalah ...12. Ingkaran dari pernyataan “Jika x2 – 4x + 4 = 0, maka x = 2” adalah ... 13. Ingkaran dari pernyataan “ x=±2 jikadanhanya jikax2=4” adalah ...14. Agar pernyataan “Jika ada x∈ R ,2x2−x=0maka x+1=3“ bernilai salah

maka nilai x harus ...15. Pernyataan “Jika untuk semua x∈ R , x2−2x−3=0maka x+1=0“ bernilai

benar untuk x=¿...16. Buktikan menggunakan tabel kebenaran bahwa dua pernyataan di

bawah ini ekuivalen :a. ∼( p→q)≡ p∧∼qb. p∧q≡∼( p→∼ q)

17. Buktikan menggunakan tabel kebenaran bahwa pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi :a. p∧(q∧ ( p∨q ))b. ( p∧∼q )→∼( p→q)

18. Konvers dari pernyataan “jika −5<−3, maka(−5)2>(−3)2” adalah ...

19. Invers dari pernyataan “jika (−1 )n=1, makanbilangan ganjil” adalah ...

20. Kontraposisi dari pernyataan “nbilanganasli ,maka (−1 )n=1” adalah ...

* selamat berlatih *

Rangkuman Materi Logika 2Penarikan kesimpulan yang sahAda tiga macam cara penarikan kesimpulan yang sah :1. Modus Ponens

Premis 1 (P1) : p ⟹ qPremis 2 (P2) : pKonklusi (K) : qContoh :P1 : jika x bilangan ganjil maka x2 adalah bilangan

ganjil.P2 : x bilangan ganjil.K : x2 adalah bilangan ganjil.

2. Modus TolllensPremis 1 (P1) : p ⟹ qPremis 2 (P2) : qKonklusi (K) : pContoh :P1 : jika x bilangan ganjil maka x2 adalah bilangan

ganjil.P2 : x2 bukan bilangan ganjil.K : x2 bukan bilangan ganjil.

3. SilogismePremis 1 (P1) : p ⟹ qPremis 2 (P2) : q ⟹ rKonklusi (K) : p ⟹ rContoh :P1 : jika x2 bilangan genap maka x adalah bilangan

genap.P2 : jika x bilangan genap maka x kelipatan 2.K : jika x2 bilangan genap maka x kelipatan 2.

Contoh soal1. Diketahui premis – premis sebagai berikut :

P1 : Jika x2-3x+2 = 0 maka x = 2 atau x = 1.P2 : x2-3x+2 = 0Tentukan kesimpulan yang sah premis – premis tersebut !Jawab : Konklusinya adalah x = 2 atau x = 1.

2. Diketahui premis – premis sebagai berikut :P1 : Jika x−2>5 maka x>7P2 : x≤7Tentukan negasi kesimpulan dari premis – premis tersebut !Jawab : Konklusinya adalah x−2≤5.Negasi konklusinya adalah x−2>5.

3. Diketahui premis – premis sebagai berikut :

P1 : Jika 1x>1 maka 0<x<1

P2 : Jika 0<x<1 maka log x<1Tentukan invers kesimpulan dari premis – premis tersebut !Jawab :

Konklusinya adalah jika 1x>1 maka log x<1.

Invers konklusinya adalah jika 1x≤1 maka

log x≥1.

Dalil – dalil logika1. Hukum idempoten

a) p∧ p≡ p

b) p∨ p≡ p2. Hukum asosiatif

a) ( p∧q )∧ r≡ p∧ (q∧ r )b) ( p∨q )∨ r≡ p∨ (q∨ r )

3. Hukum komutatifa) p∧q≡q∧ pb) p∨q≡q∨ p

4. Hukum distributifa) p∧ (q∨ r )≡ ( p∧q )∨ (p∧ r )b) p∨ (q∧ r )≡ ( p∨q )∧ (p∨ r )

5. Hukum identitasa) p∧B≡ pb) p∧S≡Sc) p∨B≡Bd) p∨S≡ p

6. Hukum komplemen a) p∧ p≡Sb) p∨ p≡B

7. Hukum involusia) ( p )≡ p

8. Hukum de Morgana) ( p∧q )≡ p∨ qb) ( p∨q )≡ p∧ q c) ( p⟹q )≡ p∧ q d) ( p⟺q )≡ ( p∧ q )∨(q∧ p)

9. Rumus ekuivalensia) p⇒q≡ p∨qb) p⟺q≡ ( p⇒q )∧ (q⇒ p )c) p⟺q≡ ( p∨q )∧ ( q∨ p )

Contoh soalBuktikan ekuivalesi berikut dengan dalil – dalil logika :a. ( p⇒q )≡ p∧ q

Jawab : ( p⇒q )≡ ( ( p )∨q ) (9a)

≡ ( p∨q ) (7a) ≡ p∧ q (8b)

b. ( p∧q )⇒ r≡ p⇒(q⇒r )Jawab :( p∧q )⇒ r≡ (p∧q )∨r (9a) ≡ ( p∨ q )∨r (8a) ≡ p∨ ( q∨r ) (2b) ≡ p∨ (q⇒r ) (9a) ≡ p⇒ (q⇒r ) (9a)

LATIHAN1. Diketahui premis – premis sebagai berikut :

P1 : Jika x+10≥13 maka x≥3.P2 : Jika x≥3 maka x2−1≥8.Kontraposisi kesimpulan dari premis – premis di atas adalah ...

2. Diketahui premis – premis berikut :P1 : Jika 4 x≥16 maka x≥ 4.

P2 : x<4 Negasi kesimpulan dari premis – premis di atas adalah ...

3. Diketahui premis – premis dan kesimpulan sebagai berikut :P1 : Jika x2+10x+25=0 maka r .P2 : D≠0 --------------------------------------------------- K : x2+10x+25≠0Pernyataan r yang dimaksud adalah ...

4. Diketahui premis – premis dan kesimpulan sebagai berikut :

P1 : Jika sin θ=12

√3 maka cosec θ=23

√3.

P2 : m ---------------------------------------------------

K : cosec θ=23

√3

Negasi dari m adalah ...5. Diketahui premis – premis dan kesimpulan sebagai

berikut :P1 : k

P2 : Jika cosθ=−12

√3 maka secθ=−23

√3.

---------------------------------------------------

K : Jika sin θ=12

√3 maka secθ=−23

√3

Konvers dari k adalah ...6. Buktikan ekuivalensi berikut tanpa tabel

kebenaran :a. ( p⇒q )∨ q≡ pb. p⇒ (q∨ r )≡ r⇒ ( p⇒ q )c. p∨ (q⇒ p )≡ p∨ q