ljudska univerza nova gorica - lung.si · pdf fileljudska univerza nova gorica matematika 1...

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA

MATEMATIKA 1 – 1. del EKONOMSKI TEHNIK – PTI

gradivo za interno uporabo

Pripravila: Mateja Strnad

Šolsko leto 2011/12

MATEMATIKA 1

i

KAZALO

1 ŠTEVILA ............................................................................................................................... 1

1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA .......................................................................................... 1

1.1.1 Naravna števila ..................................................................................................... 1

1.1.2 Naravna števila – VAJE .......................................................................................... 2

1.1.3 Cela števila ............................................................................................................ 2

1.1.4 Cela števila – VAJE ................................................................................................ 3

1.1.5 Urejenost celih števil ............................................................................................ 3

1.1.6 Urejenost celih števil – VAJE ................................................................................. 4

1.1.7 Večkratniki ............................................................................................................ 4

1.1.8 Potence z naravnimi eksponenti .......................................................................... 4

1.1.9 Potence z naravnimi eksponenti – VAJE ............................................................... 4

1.1.10 Algebrski izrazi ...................................................................................................... 5

1.1.11 Algebrski izrazi – VAJE........................................................................................... 6

1.2 DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL ...................................................................................... 7

1.2.1 Kriteriji deljivosti ................................................................................................... 8

1.2.2 Praštevila in sestavljena števila ............................................................................ 8

1.2.3 Osnovni izrek o deljenju ....................................................................................... 9

1.2.4 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik ........................................ 9

1.2.5 Deljivost naravnih števil – VAJE .......................................................................... 11

1.3 RACIONALNA ŠTEVILA ................................................................................................ 11

1.3.1 Razširjanje in krajšanje ulomkov ........................................................................ 12

1.3.2 Urejenost racionalnih števil ................................................................................ 12

1.3.3 Računske operacije z ulomki .............................................................................. 13

1.3.4 Ulomki – vaje ...................................................................................................... 13

1.3.5 Potence s celimi eksponenti ............................................................................... 16

1.3.6 Potence s celimi eksponenti – VAJE ................................................................... 16

1.3.7 Decimalni zapis racionalnih števil ....................................................................... 16

1.3.8 Periodična decimalna števila .............................................................................. 17

1.3.9 Decimalna števila – VAJE .................................................................................... 18

1.3.10 Sklepni račun ...................................................................................................... 18

MATEMATIKA 1

ii

1.3.11 Sklepni račun – VAJE ........................................................................................... 19

1.3.12 Procentni račun .................................................................................................. 19

1.3.13 Procentni račun – VAJE ....................................................................................... 20

1.4 REALNA ŠTEVILA ......................................................................................................... 20

1.4.1 Kvadratni in kubični koren .................................................................................. 20

1.4.2 Kvadratni in kubični koren – VAJE ...................................................................... 22

1.4.3 Interval ................................................................................................................ 22

1.4.4 Interval – VAJE .................................................................................................... 23

1.4.5 Absolutna vrednost ............................................................................................ 23

1.4.6 Absolutna vrednost – VAJE ................................................................................. 24

1.4.7 Približki in napake ............................................................................................... 24

1.4.8 Zaokroževanje – VAJE ......................................................................................... 25

1.4.9 Koreni višjih stopenj ........................................................................................... 25

1.4.10 Koreni višjih stopenj – VAJE ................................................................................ 26

1.4.11 Potence z racionalnimi eksponenti..................................................................... 26

1.4.12 Potence z racionalnimi eksponenti - VAJE .......................................................... 27

2 GEOMETRIJA V RAVNINI ................................................................................................... 27

2.1 OSNOVNI POJMI ......................................................................................................... 27

2.1.1 Osnovni pojmi – VAJE ......................................................................................... 30

2.2 SKLADNOST IN MERJENJE KOTOV .............................................................................. 31

2.2.1 Merjenje kotov – VAJE ........................................................................................ 32

2.3 VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST........................................................................... 32

2.3.1 Toge preslikave ................................................................................................... 33

2.3.2 Vaje ..................................................................................................................... 34

2.4 GEOMETRIJSKI LIKI ..................................................................................................... 34

2.4.1 Trikotnik .............................................................................................................. 34

2.4.2 Trikotnik – VAJE .................................................................................................. 35

2.4.3 Krog in krožnica .................................................................................................. 36

2.4.4 Krog in krožnica – VAJE ....................................................................................... 37

2.4.5 Štirikotnik in pravilni n-kotnik............................................................................. 37

2.4.6 Štirikotnik in pravilni n-kotnik – VAJE ................................................................. 39

2.5 Podobnost .................................................................................................................. 40

MATEMATIKA 1

iii

2.5.1 Podobnost – VAJE ............................................................................................... 41

2.6 Kotne funkcije ostrih kotov ........................................................................................ 41

2.6.1 Kotne funkcije ostrih kotov – VAJE ..................................................................... 43

2.7 METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI .......................................................................... 44

2.7.1 Ploščina in obseg ................................................................................................ 44

2.7.2 Ploščina in obseg – VAJE ..................................................................................... 46

2.7.3 Razreševanje trikotnika ...................................................................................... 48

2.7.4 Razreševanje trikotnika – VAJE ........................................................................... 48

2.7.5 Krog ..................................................................................................................... 49

2.7.6 Krog – VAJE ......................................................................................................... 49

3 FUNKCIJE IN ENAČBE ........................................................................................................ 50

3.1 Pravokotni koordinatni sistem ................................................................................... 50

3.1.1 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini ............................................................. 50

3.1.2 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini – VAJE ................................................. 51

3.1.3 Razdalja med dvema točkama v ravnini ............................................................. 51

3.1.4 Razdalja med točkama – VAJE ............................................................................ 52

3.1.5 Obseg in ploščina trikotnika v koordinatnem sistemu ....................................... 52

3.1.6 Obseg in ploščina trikotnika – VAJE .................................................................... 52

3.2 Realna funkcija ........................................................................................................... 53

3.2.1 Graf funkcije ....................................................................................................... 54

3.2.2 Lastnosti funkcij .................................................................................................. 54

3.2.3 Lastnosti funkcij – VAJE ...................................................................................... 56

3.3 LINEARNA FUNKCIJA IN LINEARNA ENAČBA .............................................................. 58

3.3.1 Linearna funkcija ................................................................................................. 58

3.3.2 Enačba premice v ravnini .................................................................................... 59

3.3.3 Linearna funkcija – VAJE ..................................................................................... 59

3.3.4 Linearna enačba .................................................................................................. 60

3.3.5 Linearna enačba – VAJE ...................................................................................... 61

3.3.6 Linearna neenačba.............................................................................................. 61

3.3.7 Linearna neenačba – VAJE .................................................................................. 61

3.3.8 Sistem linearnih enačb ....................................................................................... 62

3.3.9 Sistem linearnih enačb - VAJE ............................................................................. 63

MATEMATIKA 1

iv

3.4 Potenčna funkcija ....................................................................................................... 63

3.4.1 Premiki in raztegi funkcij .................................................................................... 65

3.4.2 Potenčna funkcija – VAJE .................................................................................... 66

3.5 Kvadratna funkcija ..................................................................................................... 66

3.5.1 Ničle kvadratne funkcije ..................................................................................... 67

3.5.2 Graf kvadratne funkcije ...................................................................................... 67

3.5.3 Kvadratna funkcija – VAJE .................................................................................. 68

3.5.4 Kvadratna enačba ............................................................................................... 69

3.5.5 Kvadratna enačba – VAJE ................................................................................... 69

3.5.6 Kvadratna neenačba ........................................................................................... 69

3.5.7 Kvadratna neenačba – VAJE ............................................................................... 69

MATEMATIKA 1 ŠTEVILA

1

1 ŠTEVILA

1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA

1.1.1 Naravna števila

1. Naravna števila so števila, s katerimi štejemo

⊆ = {1, 2, 3, 4,…} 2. Najmanjše naravno število je 1. 3. Vsako naravno število n ima natanko enega naslednika n+1, zato največjega naravnega

števila ni. 4. Številska premica

Naravna števila ponazorimo geometrijsko s premico p na kateri izberemo točko O, ki jo imenujemo izhodišče. Desno od točke O izberemo točko E, ki predstavlja število 1. Razdalja med točkama O in E predstavlja enoto. Z nanašanjem daljice OE v desno dobimo slike naravnih števil.

5. V množici naravnih števil sta definirani operaciji seštevanje in množenje. 6. Računski zakoni

Zakon o zamenjavi členov (komutativnost seštevanje)

abba +=+

Zakon o zamenjavi faktorjev (komutativnost množenja)

abba ⋅=⋅

Zakon o poljubnem združevanju členov (asociativnost seštevanja)

)()( cbacba ++=++

Zakon o poljubnem združevanju faktorjev (asociativnost množenja)

)()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅

Zakon o razčlenjevanju (distributivnost)

cabacba ⋅+⋅=+⋅ )(

Obstaja nevtralni element za množenje

� ∙ 1 = 1 ∙ � = �

7. Reševanje številskih izrazov:

a. Izraze rešujemo od leve proti desni, pri čemer najprej množimo, potem seštevamo,

razen če oklepaji ne narekujejo drugače.

b. Če imamo izraz z oklepaji, najprej razrešimo notranje oklepaje.


2

1.1.2 Naravna števila – VAJE

1. Izračunaj

a. 2 + 3 ∙ 4 + 5 =

b. 2 ∙ 3 + 4 ∙ 5 =

c. (2 + 3) ∙ 4 + 5 =

d. 2(3 + 4 ∙ 5) =

e. (5 + 1)(2 + 3) =

2. Izračunaj

a. (3 + 4) ∙ 7 + 2 ∙ (5 + 1) =

b. (8 + (2∙3+1) ∙ 4) ∙ 10 =

c. (3 ∙ 5 + 1) + �(4 + 2 ∙ 3) + 5� ∙ 6 + 7 ∙ 8 =

d. �(5 ∙ 3 + 4 + 1) ∙ 6 + 10� ∙ 10 =

e. 2 + ��(3 + 7 ∙ 2) ∙ 5 + 1� ∙ 6� ∙ 4 =

1.1.3 Cela števila

1. Množico celih števil dobimo tako, da naravnim številom dodamo število 0 in nasprotne

vrednosti naravnih števil.

∧ = {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}

∧ = ∧- ∪ 0 ∪�∧+

∧+ = ⊆

2. Računske operacije v množici celih števil: seštevanje, množenje in odštevanje.

3. Računski zakoni

• Veljajo vsi računski zakoni, ki veljajo za računanje z naravnimi števili.

• Obstaja nevtralni element za seštevanje

� + 0 = 0 + � = �

• Vsakemu celemu številu a pripada celo število –a, tako da velja

� + (−�) = 0

Število –a imenujemo nasprotno število števila a.

4. Absolutna vrednost celega števila

Absolutna vrednost števila a pomeni oddaljenost števila a od izhodišča. Absolutna

vrednost števila je pozitivno število ali pa število 0.

Absolutno vrednost števila a označimo z ��. �−4� = 4

�4� = 4

5. Računanje s celimi števili:

• Seštevanje

če imata seštevanca različna predznaka, odštejemo manjšo absolutno vrednost od

večje absolutne vrednosti in rezultat opremimo s predznakom seštevanca, ki ima

večjo absolutno vrednost

3 + (−7) = −4


3

(−3) + 7 = 4

če imata seštevanca enaka predznaka, predznak prepišemo, absolutni vrednosti

števil pa seštejemo

(−3) + (−7) = −10

3 + 7 = 10

• Odštevanje:

Odšteti neko število je enako kot prišteto njegovo nasprotno vrednost.

� − � = � + (−�) 3 − 7 = 3 + (−7)

• Množenje:

če je število negativnih faktorjev sodo, je produkt pozitivno število

če je število negativnih faktorjev liho, je produkt negativno število

(+�) ∙ (−�) = −��

(−�) ∙ (+�) = −��

(−�) ∙ (−�) = +��

(+�) ∙ (+�) = +��

1.1.4 Cela števila – VAJE

1. Izračunaj

a. (−5) + (−2) − (−4) − (+7) =

b. (+5) + �(−8) + �(−6) + (+4)�� =

c. 2(−5) − 4(−3) + (−3)(+7) =

d. �(−3) + (+7)��(−5) + (−2)� =

e. 3 + �5 − (4 + 3 ∙ 2)�(1 − 3) =

f. (−7) − �(−5)(+6) − (+3)(−4)�(4 − 6) =

g. 4(−5) + ��−6 − (−3)(−1)� − 9(−5)� (9 − 10) =

1.1.5 Urejenost celih števil

Številska množica je urejena, če lahko po velikosti primerjamo poljubna dva elementa.

Za poljubni celi števili a in b velja natanko ena od možnosti:

a > b (a je večji od b)

a < b (a je manjši od b)

a = b


4

1.1.6 Urejenost celih števil – VAJE

1. Števila 3, -2, 5, -1, 0, -7, 6, -6 uredi po velikosti.

2. Nariši števila na številsko premico in jih uredi po velikosti.

a. 5, -2, 1, 0, -4, 3

b. 4, -4, 3, -3, 2, -2

1.1.7 Večkratniki

Naj bo a celo število. Če seštejemo k takih števil, dobimo spet celo število, ki ga imenujemo

večkratnik števila a.

� + � + � +⋯+ � = � ∙ �� ! "#

1.1.8 Potence z naravnimi eksponenti

Krajši zapis produkta n enakih faktorjev

� ∙ � ∙ � ∙ … ∙ � = �%� ! "%

imenujemo potenca in preberemo a na n.

Številu a pravimo osnova, številu n pa eksponent.

Pravila za računanje s potencami

1. Množenje potenc z enako osnovo Dve potenci z enakima osnovama zmnožimo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa seštejemo

�% ∙ �& = �%'& 2. Potenciranje produkta

Produkt dveh ali več števil potenciramo tako, da potenciramo posamezne faktorje (� ∙ �)% = �% ∙ �%

3. Potenciranje potenc Potenco potenciramo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa zmnožimo

(�&)% = �&∙% 4. Negativna osnova

(−�)(% = �(% (−�)(%') = −�(%')

1.1.9 Potence z naravnimi eksponenti – VAJE

1. Izračunaj

a. (−3)( + (9 ∙ (−2) + 4) − 3( − 6 ∙ (−2) + 2 ∙ 13 =

b. 2* ∙ 3( − 5 ∙ 2+ + 10( =


5

2. Poenostavi

a. �+ ∙ � =

b. 4,( ∙ 3,- =

c. (−2�) ∙ (+7�*) =

d. 3�( ∙ 5�* =

e. 5��* ∙ 6�*�- =

f. 4,*. ∙ (−7,./) =

g. (�+)* ∙ (�()( ∙ (�*)- =

h. (−�)-(−�)* =

i. (−3�(�*)- =

j. 0(3,*0)((−2.(0)* =

1.1.10 Algebrski izrazi

Številski izraz je smiselni računski zapis števil, računskih operacij in oklepajev.

Algebrski izraz je oznaka za računski izraz, v katerem nastopajo tudi spremenljivke.

Številski izraz Algebrski izraz Ime

3 + 4 � + � + 1 vsota

5 − 1 � − � razlika

3 ∙ 4 �� produkt

2* �( potenca

Izraze poimenujemo tudi po številu členov, ki jih sestavljajo

Ime Algebrski izraz

enočlenik � �� *

dvočlenik � − � 2� + �

tričlenik � + � − 1

Računanje z izrazi je v glavnem dveh vrst:

1. Razširjanje izrazov: računanje potenc dvočlenikov ali veččlenikov, računanje vrednosti

izraza,…

2. Poenostavljanje izrazov: faktorizacija (zapis izraza kot produkt več faktorjev), Vietovo

pravilo, izpostavljanje skupnega faktorja,…

Kvadrat dvočlenika

Kvadrat dvočlenika je tričlenik, ki ga sestavljajo: kvadrat prvega člena, dvakratni produkt

prvega in drugega člena in kvadrat drugega člena.

(� ± �)( = �( ± 2�� + �(


6

Kub dvočlenika

Kub dvočlenika je štiričlenik, ki ga sestavljajo: kub prvega člena, trikratni produkt kvadrata

prvega člena in drugega člena, trikatni produkt prvega člena in kvadrata drugega člena in kub

drugega člena.

(� + �)* = �* + 3�(� + 3��( + �*

(� − �)* = �* − 3�(� + 3��( − �*

Produkt vsote in razlike istih dveh členov

(� + �)(� − �) = �( − �(

Razcep razlike dveh kvadratov

�( − �( = (� + �)(� − �)

Razcep vsote in razlike dveh kubov

�* + �* = (� + �)(�( − �� + �() �* − �* = (� − �)(�( + �� + �()

Izpostavljanje skupnega faktorja

Po distributivnostnem zakonu lahko v veččleniku izpostavimo skupni faktor, ki je lahko tudi

algebrski izraz.

2�( + 4�� = 2�(� + 2�)

Viètovo pravilo

Pravilo za razcep kvadratnega tričlenika z vodilnim koeficientom 1.

,( + 3, + 4 = (, + �)(, + �); č7�87�� + � = 3�9:�� ∙ � = 4

1.1.11 Algebrski izrazi – VAJE

1. Kvadriraj

a. (� + 3)( =

b. (� − 3)( =

c. (2� + 5)( =

d. (3� − 2�)( =

2. Kubiraj

a. (� + 1)* =

b. (� − 2)* =

c. (2, + 1)* =

d. (2: − 5)* =

3. Zmnoži izraze

a. (, + 2)(, − 2) =

b. (� + 3)(� − 3) =

c. (2� − 7)(2� + 7) =

d. (5, + 1)(5, − 1) =

e. (� + 1)(�( − � + 1) =

f. (� + 3)(� + 5) =

g. (, − 7)(, + 4) =

h. (� − 10)(� − 3) =

i. (, + 7�)(, + 4�) =

j. (�� + 1)(�� − 31) =


7

4. Izpostavi skupni faktor

a. 5, − 10 =

b. 2�( − 4�� =

c. ,(. + ,.( =

d. 4�(� + 6�� =

e. 4�� − ��( =

f. 10�*� − 5�(�( + 10�� =

g. �+ − �- + �* =

5. Razstavi izraze

a. 2�* − 18� =

b. 3�- − 108�( =

c. �( + 8� + 12 =

d. �( − 3� − 10 =

e. ,* + 27 =

f. �* − 8 =

g. :( + 2: − 15 =

h. ,( − 9, + 20 =

6. Razstavi

a. ,* + ,( + 3, + 3 =

b. ,* + 2,( − 2, − 4 =

c. ,* − 4,( − 3, + 12 =

d. ;- − 6;* − ; + 6 =

e. 2:- − 16:* + 30:( =

f. ,- − 3,* + 2,( =

g. �+ + 14�- + 13�* =

h. ,+. − 8,(.- =

i. �-� − 27��- =

j. −4�+�* − 32�(�< =

7. Skrči izraze in rezultate razstavi a. (� + 3)(� − 1) + 2(� − 4)(� + 4) − 2�( = b. (2, − 5)( − (3, − 4)(3, + 4) + 6,(, + 3) − 44 = c. (3� − 5)(3� + 5) − (2� − 3)( − �(12 − �) + 10 =

1.2 DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL

Naravno število a je delitelj naravnega števila b, če obstaja naravno število k, da velja:

� = � ∙ �

Trditve:

• Število a je delitelj samega sebe in vseh svojih večkratnikov.

• 1 je delitelj vsakega naravnega števila.

• Če d deli naravni števili n in m, n>m, potem d deli tudi vsoto in razliko števil n in m.

Če število a deli število b, potem sta števili a in b v relaciji deljivosti. Zapišemo �� (a deli b)

�� =� = � ∙ �

Lastnosti relacije deljivosti:

1. Je refleksivna

��, ker je � = 1 ∙ �

2. Je antisimetrična

če �� in ��, potem je � = �

3. Je tranzitivna

če �� in ��1, potem ��1


8

1.2.1 Kriteriji deljivosti

Kriteriji deljivosti so pravila, s katerimi si pomagamo pri ugotavljanju, ali je dano število

deljivo z izbranimi števili.

1. Deljivost z 2, 5 in 10

Število je deljivo z 2, če je zadnja števka soda ali 0.

Število je deljivo s 5, če je zadnja števka 5 ali 0.

Število je deljivo z 10, če je zadnja števka 0.

2. Deljivost s 3 in 9

Število je deljivo s 3 oz. z 9, če je vsota njegovih števk deljiva s 3 oz. 9.

3. Deljivost s 6

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3.

4. Deljivost z 10%

Število je deljivo z 10%, če je zadnjih n mest enakih 0.

1.2.2 Praštevila in sestavljena števila

Vsa naravna števila lahko, glede na število deliteljev, razdelimo na 3 skupine:

1. V prvi skupini je samo število 1, ki ima samo enega delitelja – samega sebe.

2. V drugi skupini so števila, ki imajo natanko dva delitelja: 1 in samega sebe. To so

praštevila.

3. V tretji skupini so števila, ki imajo več kot dva delitelja. To so sestavljena števila.

Osnovni izrek aritmetike:

Vsako naravno število lahko na en sam način zapišemo kot produkt potenc s praštevilskimi

osnovami.

Primer:

Razstavimo število 2520 na prafaktorje

2520 2 1260 2

630 2 315 3 105 3

35 5 7 7 1

2520 = 2* ∙ 3( ∙ 5 ∙ 7


9

1.2.3 Osnovni izrek o deljenju

Za poljubni naravni števili a in b (a večji ali enak b) obstajata natanko določeni števili k in r iz

⊆0, da velja

� = � ∙ � + > 0 ≤ > < �

Število a je deljenec, število b je delitelj, število k je količnik in število r je ostanek, ki je

manjši od delitelja b ali je enak 0.

Če je ostanek enak 0, potem je število a večkratnik števila b.

Primer:

Delimo število 23 s 7.

23 = 3 ∙ 7 + 2

Količnik je 3 in ostanek je 2.

1.2.4 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik

Skupni delitelj dveh števil a in b je število d, ki deli obe števili.

Dve števili imata vsaj en skupni delitelj 1.

Največji skupni delitelj števil a in b je največje število od tistih, ki delijo števili a in b.

Označimo ga z D(a,b).

Primer:

Delitelji števila 8: {1, 2, 4, 8}

Delitelji števila 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Skupni delitelji obeh števil: {1, 2, 4}

Največji skupni delitelj D(8, 12) = 4

Najmanjši skupni večkratnik števil a in b je najmanjše število od tistih, ki so deljiva s

številoma a in b. Označimo ga z v(a,b).

Primer:

Večkratniki števila 8: {8, 16, 24, 31, 40, 48, 56,…}

Večkratniki števila 6: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…}

Skupni večkratniki obeh števil: {24, 48,…}

Najmanjši skupni večkratnik v(6, 8) = 24

Iskanje D(a, b):

1. Števili a in b zapišemo kot produkt praštevil

2. Poiščemo tista praštevila, ki so v obeh številih, za eksponent vzamemo najmanjšega od

eksponentov tega praštevila

3. Produkt teh praštevil je največji skupni delitelj


10

Iskanje v(a, b):

1. Števili a in b zapišemo kot produkt praštevil

2. Za vsako praštevilo, ki se pojavi v številu a ali b, poiščemo največji eksponent

3. Produkt teh praštevil je najmanjši skupni večkratnik

Primer

Poiščimo največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 240 in 186.

240 2 186 2 120 2 93 3

60 2 31 31 30 2 1 15 3

5 5 1

240 = 2- ∙ 3 ∙ 5

186 = 2 ∙ 3 ∙ 31

A(240, 186) = 2 ∙ 3 = 6

C(240, 186) = 2- ∙ 3 ∙ 5 ∙ 31 = 7440

Evklidov algoritem

Je računski postopek, s katerim določimo največji skupni delitelj dveh števil. Uporabimo ga

tedaj, ko sta števili a in b veliki ali pa ju ne znamo razcepiti na prafaktorje. Temelji na

osnovnem izreku o deljenju.

Poiščimo največji skupni delitelj števil 6300 in 1815 z Evklidovim algoritmom.

Večje število delimo z manjšim. Uporabimo osnovni izrek o deljenju.

6300 = 3 ∙ 1815 + 855

Prejšnji delitelj delimo z ostankom 1815 = 2 ∙ 855 + 105

Ponovimo postopek iz prejšnje vrstice 855 = 8 ∙ 105 + 15

Ponovimo postopek iz prejšnje vrstice 105 = 7 ∙ 15 + 0

Evklidov algoritem se zaključi, ko dobimo ostanek 0.

Največji skupni delitelj števil 6300 in 1815 je zadnji od 0 različni ostanek.

A(6300, 1815) = 15

Pravilo

Produkt najmanjšega skupnega večkratnika in največjega skupnega delitelja dveh števil je

enak produktu obeh števil.

C(�, �) ∙ A(�, �) = � ∙ �


11

1.2.5 Deljivost naravnih števil – VAJE

1. Za števila 24, 45, 65, 84, 120, 158, 252, 360, 765, 928, 4781 ugotovi ali so deljiva s

katerim od števil 2, 3, 5, 6, 9 ali 10.

2. Zapiši števko a tako, da bo število 124a79 deljivo z 9.

3. Ugotovi za kateri števki a je število 3676a deljivo s 6.

4. Razstavi števila na prafaktorje

a. 72

b. 96

c. 116

d. 147

e. 180

f. 765

g. 828

h. 1485

5. Števila 15, 21, 37, 64, 95 deli s številom 5. Zapiši račune v obliki osnovnega izreka o

deljenju naravnih števil.

6. Poišči prvih osem skupnih deliteljev števil 180 in 450.

7. Poišči največji skupni delitelj parov števil

a. 15, 24

b. 36, 56

c. 136, 204

d. 1242, 1224

8. Poišči najmanjši skupni večkratnik parov števil

a. 6, 16

b. 20, 33

c. 48, 84

d. 124, 174

9. Z Evklidovim algoritmom poišči največji skupni delitelj naslednjih parov števil

a. 96, 78

b. 237, 431

c. 357, 453

10. Za dane pare števil poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik

a. 76, 44

b. 153, 68

c. 369, 551

d. 4350, 9450

11. Zapiši največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik izrazov

a. 4�(�*, 6�*�

b. �( − 9, �( − 6� + 9

c. 0* − 80(, 0- + 60*

d. 2�* − 4�(, �< − 8�*

1.3 RACIONALNA ŠTEVILA

Pri deljenju dveh celih števil rezultat ni vedno celo število. Cela števila bomo dopolnili z

ulomki.

DE a…števec, b…imenovalec

Deljenje z 0 nima pomena zato imenovalec ne sme biti enak 0.

Racionalna števila so števila, ki jih lahko zapišemo v obliki ulomka DE, pri čemer sta a in b

poljubni celi števili (� ≠ 0). Množico racionalnih števil označimo s črko ∠.


12

∠ = G�� ; �, �� ∈ ∧, � ≠ 0I

Nasprotna vrednost ulomka DE je ulomek − D

E. Vsota danega in njemu nasprotnega ulomka je

enaka 0. �� + �−

�� = 0

Obratna vrednost ulomka DE je ulomek, katerega števec in imenovalec sta med seboj

zamenjana ED.

��J) = �� ; � ∙ � ≠ 0

Vrednost ulomka je enaka nič, če je števec enak nič:

0� = 0

1.3.1 Razširjanje in krajšanje ulomkov

Ulomek razširimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim neničelnim številom. Pri

tem se vrednost ulomka ne spremeni.

13 =

1 ∙ 23 ∙ 2 =

26

Ulomek krajšamo tako, da števec in imenovalec delimo z istim neničelnim številom. Pri tem

se vrednost ulomka ne spremeni.

812 =

8: 412: 4 =

23

Če je negativen samo števec ali samo imenovalec, je celoten ulomek negativen. Če sta

negativna števec in imenovalec, je celoten ulomek pozitiven.

1.3.2 Urejenost racionalnih števil

Racionalna števila lahko ponazorimo na številski premici. Vsakemu racionalnemu številu

pripada natanko ena točka na številski premici. Slike pozitivnih ulomkov ležijo desno, slike

negativnih ulomkov pa levo od koordinatnega izhodišča.

Pri dveh ulomkih DE in

LM imamo tri možnosti:

1. prvi ulomek je večji od drugega DE > L

M


13

2. drugi ulomek je večji od prvega DE < L

M

3. ulomka sta enaka DE = L

M

Ulomka DE in

LM sta enaka, če velja � ∙ O = � ∙ 1

Kako uredimo ulomke po velikosti?

1. razširimo ulomke na skupni imenovalec

2. primerjamo števce razširjenih ulomkov

1.3.3 Računske operacije z ulomki

Seštevanje in odštevanje ulomkov

Vsoto oziroma razliko ulomkov dobimo tako, da ulomke razširimo na skupni imenovalec (to

je najmanjši skupni večkratnik) in seštejemo oziroma odštejemo števce.

�� ±

1O =

�O�O ±

�1�O =

�O ± �1�O

Množenje ulomkov

Ulomka množimo tako, da števec pomnožimo s števcem, imenovalec pa z imenovalcem. �� ∙1O =

�1�O

Deljenje ulomkov

Ulomek DE delimo z neničelnim ulomkom

LM tako, da ulomek

DE množimo z obratno vrednostjo

ulomka LM.

�� :1O =

�� ∙ �

1O�

J) = �� ∙O1 =

�O�1

Dvojni ulomek: ��1O= �� :

1O =

�� ∙O1 =

�O�1

1.3.4 Ulomki – vaje

1. Številom )* , − (

P , 3 )/ , − </ , −2 poišči nasprotna števila.

2. Ulomka P/ in − ))

< predstavi s točkama na številski premici.


14

3. Ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec:

a. *+ , (*

b. /)( , *- , − )

< c.

)Q , − /

)( , -* , 3

4. Ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec

a. )R , )S

b. )RTS , RS

c. *R-ST , (*RS

d. -RS , *RTS , RSU

5. Spodnje ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec

a. (D , )DJ(

b. )RJ( , )

R'( c.

(DDTJP , *

DTJ*D

d. *

DT'D , -DD'* , 2�

6. Dane ulomke zapiši z okrajšanimi ulomki

a. )(()

b. )+(+

c. <Q)-

d. +-Q)

7. Okrajšaj ulomke

a. -R<R

b. *DU<DT

c. RVRW

d. )(DVET)QDTE

e. *<XUY)ZQXVY

f. JQQDTEUL)()DEULT

8. Okrajšaj ulomke

a. (D'--

b. +DJ++

c. RTJR(R

d. DTEJDUET

DVE

e. (DT')(D')Q

(D'<

f. RUJ-R(RT'-R

9. Ali so dani ulomki enaki?

a. (* , -<

b. *))( , +((Z

c. )-P , − -(

(/ d. − /

+ , − +<-Z

10. Uredi po velikosti števila

a. (+ , )( , *)Z b. −5, *)< , − ()

- , *Q , ))( , 6, − *PQ

11. Izračunaj

a. *Q + )

Q =

b. )( + (

* =

c. -+ − (

* =

d. 5 *-+ 2 )< =

e. 3 -+− 1 *- =

f. *- + P

+− )(Z =

g. )( − )

*− *)Z =

h. 2 *-+ 4 )*− 2 +< =

i. )( − )

*− �(*+ )<� =

j. +< + �*-− )

Q� =

k. +< + [*-− �)Q− )

<�\ =


15

12. Izračunaj

a. D+ + D

( =

b. *D + +

D =

c. (E* + +E

< =

d. /+D + *

-D =

e. *R- + +R

* − R< =

f. )D + -

*+ <+D =

g. *X- − ; − X

+ =

h. +(R − *

- + RJ)R =

i. D'E( + (DJE

* =

j. DJ*- − DJ)

* =

k. D'ED + (DJ*E

E =

l. *RRJ)+ R')

RJ) =

m. X'*X'(+ XJ)

X'( =

n. *D'((D'-+ D'-

D'( =

o. R'*

RT'QR')<− RJ*R'- =

p. *DT

DTJDJ(+ )D')− *D

D'( =

q. (R

RT'(RJ*− (RTJR + <

RU'(RTJ*R =

13. Izračunaj

a. )* ∙ )- =

b. -/ ∙ <+ =

c. -+ ∙ )+Q =

d. (−8) ∙ ))- =

e. DP ∙ D- =

f. *D ∙ +D =

g. <R ∙ Q* =

h. *DT- ∙ QD =

i. <DET+ ∙ )ZD()ET =

j. 7,( ∙ -*+RU =

14. Izračunaj

a. R')R ∙ R'(R') = b.

RTJ*R'(RTJ) =

15. Izračunaj

a. (* : +- =

b. 8: *Q =

c. �−4 (*� : 7 /Q =

d. *R( : -R+ =

e. +RT* : PR

U(Z =

f. RJ)R : RJ)( =

g. D'*(D : DJ)-D =

h. DTJ-*D : DTJ(D<D =

16. Dan je izraz -

DT'*D − ()JDPDJDU + D'*

DTJ*D.

a. Poenostavi izraz.

b. Za � = 4 izračunaj vrednost izraza.

c. Ali ima izraz za � = 3 in za � = −3 smisel?

17. Izračunaj

a. RTJ)<+ ∙ �2 − (RJ(

R'- � =

b. RU'-RT'*R

(R'- : RT'*R'(( =

c. � )DTJ*D'(� : � *

DJ)− *DJ(+ +

DTJ-D'-� =


16

1.3.5 Potence s celimi eksponenti

Potenca z eksponentom 0

�Z = 1; � ≠ 0

Potenca z negativnim eksponentom

�J% = 1�% ; � ≠ 0

Za računanje s potencami veljajo naslednja pravila:

enaki osnovi enaka eksponenta

množenje �& ∙ �% = �&'% �% ∙ �% = (��)%

deljenje �&�% = �&J%

�%�% = �

��

%

potenciranje (�&)% = �&∙%

1.3.6 Potence s celimi eksponenti – VAJE

1. Zapiši kot celo število ali z okrajšanim ulomkom

a. 5(, 5J), 2*, 2J*, 4J(, 17Z

b. 10*, 10J), 10J(, 10J*, (−10)J(, (−10)J+

2. Izračunaj

a. 2* ∙ 2J< =

b. 3J*: 3- =

c. 5J-: 5J+ =

d. (2J*)( ∙ )- =

3. Izračunaj

a. �( ∙ �J- =

b. ,J-: ,+ =

c. (�+)J( ∙ (�J*)- =

d. (�J*)J-: (�()J) =

e. (��()J*: (�*�)J( =

f. (2,)J+ ∙ (3,)( =

g. (4,()J*: (2J(,)- =

4. Poenostavi izraze

a. (2�J*�() ∙ (2J(�-�)) =

b. (�(�J() ∙ (�J)�() ∙ (�(�*) =

c. (5��J(): (5(�J*�() =

d. (��J)) ∙ (�(�*): (�(�J)) =

1.3.7 Decimalni zapis racionalnih števil

Desetiški ulomki so tisti številski ulomki, katerih imenovalec lahko razširimo do potence

števila 10. Vsak desetiški ulomek se da zapisati v obliki končnega decimalnega števila.

35 =

610 = 0,6


17

Racionalno število, ki je zapisano v decimalni obliki, zapišemo v obliki ulomka tako, da število

najprej zapišemo kot desetiški ulomek, nato pa dobljeni ulomek še krajšamo.

17,45 = 17 45100 = 17920

Računanje z decimalnimi števili

1. seštevanje in odštevanje:

decimalna števila napišemo drugo pod drugo, tako da je decimalna vejica pod decimalno

vejico, in nato računamo kot običajno.

4 , 7 6 + 3 , 7 8 5

4 , 5 4 5

2. množenje:

decimalno število z m decimalkami in decimalno število z n decimalkami pomnožimo tako

kot cela števila, v rezultat pa postavimo decimalno vejico tako, da je za njo n+m decimalk.

3,785 ∙ 4,76 =? 3785 ∙ 476 = 1801660

3,785 ∙ 4,76 = 18,01660 = 18,0166

3. deljenje:

pri deljenju decimalnih števil pomnožimo deljenec in delitelj s tako potenco števila 10, da

postane delitelj celo število.

1,55: 0,625 =�= 1550: 625 = 2,48

1.3.8 Periodična decimalna števila

Racionalno število DE �(� ≠ 0) spremenimo v decimalno število tako, da izračunamo vrednost

a : b.

Vsi ulomki niso desetiški. Tak ulomek je )*. Če bi ga hoteli zapisati kot decimalno število, bi

morali zapisati neskončno decimalk:

13 = 0,3333…

Decimalne številke, pri katerih se decimalke ponavljajo, imenujemo periodična decimalna

števila. V našem primeru se ponavlja 3, zato je perioda 3. Označimo jo z vodoravno črto nad

števko.


18

13 = 1, 3̂

Vsako racionalno število lahko zapišemo kot končno decimalno število ali kot neskončno

periodično decimalno število.

1.3.9 Decimalna števila – VAJE

1. Zapiši z decimalnim številom

a. ))Z , *P)Z , )*)ZZ

b. )( , )- , *-

c. *Q , /(Z , (*+Z

2. Zapiši z okrajšanim ulomkom

a. 2,5

b. 0,3

c. 1,75

d. 0,09

e. 1,375

f. 1,68

3. Uredi po velikosti

−18 ; �0,025;�−522 ;�

150 ;�

76 ;�−0,227; 1,16;�−

320

4. Izračunaj

a. 4,5 ∙ 12,3 − 7,33 =

b. 1,152: 7,2 + 12,97 =

c. 3,8 ∙ 13,05 − 0,05 ∙ 18,12 =

5. Zapiši v decimalnem zapisu

a. (*

b. *))

c. */

d. /((

6. Zapiši z okrajšanim ulomkom

a. 2, 3̂

b. 0, 48^̂^̂

c. 1, 18^̂^̂

d. 0,07̂

e. 0,013^̂^̂

f. 2,023̂

7. Izračunaj

a. (* ∙ 0, 3̂ − 0,4 = b. 0,2 ∙ 0,83̂ − 1,75: *- =

1.3.10 Sklepni račun

Razmerje je primerjanje dveh istovrstnih količin med sabo.

Razmerje med številoma a in b zapišemo �: � (a proti b). Števili a in b sta člena razmerja.

Sorazmerje je enakost dveh razmerij.

�: � = 1: O �=� ∙ O = � ∙ 1


19

Produkt zunanjih členov sorazmerja je enak produktu njegovih notranjih členov.

Premo sorazmerje

Dve količini sta premo sorazmerni, če se zaradi povečanja ene količine 2-krat, 3-krat …, tudi

druga količina poveča natančno 2-krat, 3-krat …

Obratno sorazmerje

Dve količini sta obratno sorazmerni, če se zaradi povečanja ene količine 2-krat, 3-krat …,

druga količina natančno 2-krat, 3-krat … zmanjša.

Naloge, v katerih nastopajo premo in obratno sorazmerne količine, rešujemo s sklepanjem (s

sklepnim računom).

1.3.11 Sklepni račun – VAJE

1. Izračunaj neznani člen sorazmerja

a. ,: 7 = 3: 5 b. 3: , = 6: 5

2. En liter bencina tehta 0,7 kg. Koliko tehta 54 litrov bencina?

3. 20 metrov visoko drevo ima 8 metrov dolgo senco. Kako dolgo senco ima ob istem času

mali Žan, ki meri točno 1 m?

4. Pet delavcev naredi v eni uri 1200 izdelkov. Koliko izdelkov naredi v eni uri 20 delavcev?

5. Šest pleskarjev je prebarvalo tovarniško dvorano v 21 urah. V kolikšnem času bi isto delo

opravil en sam pleskar?

6. Z zalogo hrane bi 15 ljudi shajalo 32 dni. Koliko časa bi shajalo z isto zalogo hrane 12

ljudi?

1.3.12 Procentni račun

Večkrat želimo povedati, kako velik del celote, rečemo ji tudi osnove, pomeni določen delež.

To naredimo tako, da izračunamo količnik med deležem in osnovo. Rezultat imenujemo

relativni delež. Osnovo označimo z o, delež z d in relativni delež z r.

> = O_

Relativni delež lahko zapišemo v obliki ulomka, decimalnega zapisa ali odstotka.

1% = 1100

1‰ = 11000


20

Splošen obrazec za procentni račun (s p označimo število procentov):

3 = O ∙ 100_

1.3.13 Procentni račun – VAJE

1. Zapiši z ulomkom:

a. 5%

b. 7,5%

c. 40%

d. 5‰

e. 8‰

2. Zapiši v procentih:

a. *+

b. /)Z

c. P(Z

d. +)(

3. Od 520 prijavljenih tekmovalcev se jih je 494 udeležilo tekme. Koliko procentov

prijavljenih se je udeležilo tekmovanja? Kolikšen procent prijavljenih se tekme ni

udeležil?

4. V podjetju je 1 200 zaposlenih. Od tega je 47% moških in 53% žensk. Koliko je zaposlenih

žensk in koliko moških?

5. Avtomobil, ki je stal 19 700€ se je pocenil za 8,5%. Kolikšna je nova nižja cena

avtomobila?

1.4 REALNA ŠTEVILA

Množica realnih števil ∇ je množica vseh takih števil, ki se dajo zapisati z neskončnim

decimalnim zapisom. Sestavljajo jo racionalna in iracionalna števila. Racionalna števila imajo

končen ali neskončen ponavljajoč (periodičen) decimalni zapis, iracionalna števila pa imajo

neskončen neponavljajoč (neperiodičen) decimalni zapis in jih ne moremo zapisati v obliki

ulomka.

Številske množice so povezane tako:

⊆�∧�∠�∇

1.4.1 Kvadratni in kubični koren

b�c

Poiskati kvadratni koren danega števila a (� ≥ 0) pomeni poiskati tako nenegativno število

x, da je ,( = �.

Poiskati kubični koren danega števila a pomeni poiskati tako število x, da je ,* = �.

korenjenec

korenski eksponent korenski znak


21

Računanje s koreni

1. Seštevanje korenov

Seštevamo in odštevamo lahko le korene z istim korenskim eksponentom in istim

korenjenencem.

b� + b� = 2b�

b�U + b�U = 2b�U

2. Množenje korenov

Množimo lahko korene z istim korenskim eksponentom.

b� ∙ b� = b��

b�U ∙ b�U = b��U

3. Deljenje korenov

Delimo lahko korene z istim korenskim eksponentom.

b�: b� = b�b� = e��

b�U : b�U = b�Ub�U = e��

U

Pri računanju s koreni veljajo tudi naslednja pravila

�b��( = �

�b��% = b�%

b�� = b� ∙ b�

e�� =b�b�

(b�U )* = �

(b�U )% = b�%U

b��U = b�U ∙ b�U

e��U = b�U

b�U

Delno korenjenje kvadratnega korena

Pri delnem korenjenju število razcepimo na produkt dveh faktorjev, od katerih je en faktor

popoln kvadrat. Ker lahko ta faktor korenimo, drugega pa ne, pravimo temu delno

korenjenje

b12 = b3 ∙ 4 = b3 ∙ b4 = 2b3

Racionalizacija imenovalca

Racionalizacija imenovalca je postopek s katerim odpravimo koren iz imenovalca ulomka.

�b� =

� ∙ b�b� ∙ b� =

�b�� ; � ≠ 0


22

40b7 =

40 ∙ b7b7 ∙ b7 =

40b77

1.4.2 Kvadratni in kubični koren – VAJE

1. Izračunaj spodnje korene

a. b81

b. b225

c. b10000

d. e)-

e. e P(+

f. b27U

g. b−64U

h. e Q)(+

U

2. Poenostavi

a. b36�(

b. b,- c. eDTET

3. Delno koreni

a. b8

b. b50

c. b80

4. Natančno izračunaj

a. b20 + b45 b. b32 − b72 + 3b98

5. Racionaliziraj

a. )(b*

b. )<b)(

c. (DEb(E

d. )

b(J) e.

</'b/

f. +'b*+Jb*

1.4.3 Interval

Dani sta dve realni števili a in b tako, da je � < �. Množico vseh realnih števil med a in b

imenujemo interval. Števili a in b sta krajišči intervala. Zaprti interval vključuje poleg vseh

števil med a in b tudi obe krajišči, odprti interval je brez krajišč, polodprti oziroma polzaprti

interval pa vključuje levo ali desno krajišče.

zaprti interval

f�, �g = h, ∈ ∇; � ≤ , ≤ �i

odprti interval

f�, �g = h, ∈ ∇; � < , < �i

b a 0

b a 0


23

na levo odprti in na desno zaprti interval

f�, �g = h, ∈ ∇; � < , ≤ �i

na desno odprti in na levo zaprti interval

f�, �g = h, ∈ ∇; � ≤ , < �i

Zapis podmnožic realnih števil s simbolom intervala:

∇' = (0,∞)

∇Z' = f0,∞) ∇J = (−∞, 0)

∇ZJ = (−∞, 0g ∇ = (−∞,∞)

1.4.4 Interval – VAJE

1. Na številski premici predstavi interval

a. f2, 5g b. f0,4)

c. (−3,1g d. (−2, 2)

2. Množice zapiši z intervali in jih predstavi na številski premici

a. h, ∈ ∇; 2 < , < 5i b. h, ∈ ∇; �−2 ≤ , ≤ 2i

c. h, ∈ ∇; �−3 < , ≤ 4i d. h, ∈ ∇; −5 ≤ , < 0i

1.4.5 Absolutna vrednost

Geometrijsko pomeni absolutna vrednost števila a njegovo oddaljenost na številski premici

od števila 0.

Absolutna vrednost �� števila a je enaka a, če je število a nenegativno, če pa je število a

negativno, je enaka – �:

�� = G �; � ≥ 0−�; � < 0

Lastnosti absolutne vrednosti:

1. �� ≥ 0

2. �� = 0 �=� = 0

3. �� = �−�� 4. �� ∙ �� = �� ∙ �� 5. �� + �� ≤ �� + ��

Razdalja med številoma a in b na številski premici je enaka �� − ��.

b a 0

b a 0


24

1.4.6 Absolutna vrednost – VAJE

1. Izračunaj absolutno vrednost števila

a. 4

b. −3

c. −5

d. 0

e. − )(

2. Izračunaj

a. �3� + �−2� b. �−11� − �4� c. 3 ∙ �−4� + �−2� d. �−8� − 4 ∙ �3� e. 3 ∙ �−2� − 4 ∙ �3 − 2 ∙ 5� f. �−3 + 1� − 2 ∙ �4 ∙ 1 − 17� − �8 − 4 ∙ 9�

3. Izračunaj razdaljo med danima številoma na številski premici

a. 3, 7

b. −2, 4

c. −5,−2

d. 3, −7

1.4.7 Približki in napake

Označimo z a točno vrednost izmerjene količine, z A pa njen približek. Pri merjenju smo

storili napako, ki je enaka �� − l�. Imenujemo jo absolutna napaka.

Če z m označimo največjo možno vrednost za absolutno napako, potem je točna vrednost

omejena z l − m < � < l + m

Pogosto nas pri ocenjevanju napak bolj kot velikost napake zanima njeno razmerje s točno

vrednostjo. Dobljeno razmerje imenujemo relativna napaka in je enaka �DJn�D . Relativno

napako običajno izrazimo v odstotkih.

Zaokroževanje

Rezultat lahko zaokrožimo na dva načina:

• na n mest natančno (rezultat je zapisan z n števkami)

• na n decimalnih mest natančno (za decimalno vejico je n števk)

Kako zaokrožujemo?

• Če je prva odvržena števka 0, 1, 2, 3 ali 4, obdržane števke ostanejo nespremenjene.

• Če je prva odvržena števka 5, 6, 7, 8 ali 9, zadnjo obdržano števko povečamo za 1. Če

je zadnja obdržana števka 9, povečamo za 1 tudi prejšnjo števko.


25

1.4.8 Zaokroževanje – VAJE

1. Izračunaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na 3 decimalna mesta natančno

a. 2 + b5

b. b6U + b2U

c. 3,5( ∙ o

d. b*JTU<

2. Izračunaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na 4 mesta natančno

a. 2 ∙ b13

b. �-/ ∙ 3,2 − 3� ∙ 2,2 − 4

1.4.9 Koreni višjih stopenj

Število b je n-ti koren iz a natanko takrat, ko je �% = �.

� = b�c �=�% = �

Za sodi korenski eksponent je korenjenec a lahko le pozitivno realno število. Za lihi korenski

eksponent je število a lahko pozitivno ali negativno realno število.

Velja:

b1c = 1

b0c = 0

b�%c = �

�b�c �% = �

Računanje s koreni

1. Seštevanje korenov

b�c + b�c = 2b�c

2. Potenca korena

�b�c �& = b�&c

3. Krajšanje in razširjanje korenskega in potenčnega eksponenta:

b�&c = b�&∙pc∙q 3 ≠ 0

b�&c = b�&:rc:s > ≠ 0

4. Množenje korenov

b�c ∙ b�c = b� ∙ �c


26

6. Deljenje korenov

b�c

b�c = e��c

7. Koren korena

e b�tc = b�c∙t

1.4.10 Koreni višjih stopenj – VAJE

1. Izračunaj

a. b121

b. b81V

c. b32u

d. b64U

2. Poenostavi

a. b�-Tv

b. b�*wx

c. y,)(.)QW

d. y,)Z.(+u

3. Poenostavi

a. y,.(U ∙ y,+.U

b. y,(.V ∙ y,(./V

c. y,J*.<u ∙ y,J(.-u

d. b�U ∙ b�V

e. b�u ∙ b�wu

f. b� ∙ b�U

4. Poenostavi

a. eyb8�<Z�)(1<uUV

b. y,b,UU

c. y,b,U

d. y,(b,UV

1.4.11 Potence z racionalnimi eksponenti

Za poljubno naravno število n, celo število m in nenegativno realno število a je definirana

potenca z racionalnim eksponentom

�&% = b�&c

Za računanje s tako definiranimi potencami veljajo enaka pravila kot za računanje s

potencami s celimi eksponenti.

MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI

27

1.4.12 Potence z racionalnimi eksponenti - VAJE

1. Zapiši kot koren

a. 17wU

b. 15wT

c. 22TU

d. �+<�wu

e. 7JwT

2. Zapiši kot potenco

a. b31U

b. b68u

c. b142+U

d. b73/u

3. Izračunaj

a. 169wT

b. 81wV

c. 8wU

d. 27VU

4. Poenostavi

a. �wU ∙ �TU

b. �Tu ∙ � wwv

c. �Vu ∙ �JTU

d. �VU: �wU

e. �Uu: � wwv

f. ��wU�UT

g. ��UV�wU

5. Natančno izračunaj

a. �*(�J( − 3Z ∙ 3J)

b. 27JwU − 3( + 10 ∙ 2Z

c. �−2�wT�J)�( ∙ (�(�J()J)

2 GEOMETRIJA V RAVNINI

2.1 OSNOVNI POJMI

Aksiom je temeljna in nazorna resnica, s katero se vsi strinjamo. Aksiom je resnica, ki je ne

dokazujemo, ampak verjamemo, da je pravilna.

Izreki so bolj ali manj razumljive trditve, katerih resničnost pa ni očitna. O resničnosti

posameznih izrekov se matematik prepriča z natančnim sklepanjem.

Definicije so opisi novih pojmov in določenih lastnosti. Definicija je natančen dogovor, o čem

govorimo, ko omenimo nek pojem.

Osnovni geometrijski pojmi so točka, premica in ravnina.

Točko narišemo s krožcem ali križcem in označimo z veliko črko A, B, C,…


28

Premico narišemo z ravno črto, označimo pa z malo črko p, q, s, t,…

Ravnino narišemo kot paralelogram, ki predstavlja samo del ravnine, označimo pa z velikimi

grškimi črkami Φ, Π, Ω,…

Aksiom: Dve različni točki določata natanko eno premico.

Točke l), l(, l*…, ki ležijo na isti premici, so kolinearne, če ne ležijo na isti premico, pa so

nekolinearne.

Aksiom: Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino.

Točke l), l(, l*, l-…,ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne, če ne ležijo na isti ravnini, pa

so nekomplanarne.

Aksiom: Če imata premica in ravnina dve skupni točki, leži vsa premica na tej ravnini.

Dve različni premici imata lahko največ eno skupno točko.

Premici, ki imata natanko eno skupno točko, se sekata. Skupno točko imenujemo presečišče

premic.

Premici, ki ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali ki sovpadata, sta

vzporedni. Premici, ki ne ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke, sta

mimobežni.

Ravnina je enolično določena

• s premico in točko, ki ne leži na tej premici

• s premicama, ki se sekata

• z dvema vzporednicama, ki ne sovpadata

Ravnini, ki nimata nobene skupne točke ali pa imata vse točke skupne, sta vzporedni.

Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada. Skupno točko

imenujemo prebodišče P.

Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, ena vedno leži med drugima dvema.


29

Aksiom: Če sta A in B dve različni točki premice p, potem na premici p ležita vsaj še dve točki

C in D, in sicer C leži med A in B, D pa tako, da C leži med A in D.

Med dvema različnima točkama premice je neskončno mnogo točk.

Za poljubni dve točki A in B je definirana razdalja O(l, z) med točkama A in B, za katero

velja:

1. O(l, z) ≥ 0

2. O(l, z) = 0 natanko takrat, ko je l = z

3. O(l, z) ≤ O(l, {) + O({, z) za poljubno točko C (trikotniška neenakost)

Če za dve različni točki A, B in točko C velja O(l, z) = O(l, {) + O({, z), potem točka C leži

na premici, ki poteka skozi točki A in B, in sicer med točkama A in B.

Množica točk premice, ki ležijo med različnima točkama A in B, vključno z A in B, je daljica

AB. Točki A in B sta njeni krajišči. Dolžina �|}� daljice lz je razdalja med točkama A in B.

Poljubna točka O razdeli premico na dva poltraka, ki imata točko O za izhodišče.

Premica na kateri leži daljica oz. poltrak je nosilka daljice oz. poltraka.

Množica vseh točk, ki so od točke S oddaljene za pozitivno število r, je krožnica s središčem S

in polmerom (radiem) r. Množica vseh točk, ki so od točke S oddaljene manj ali enako r, je

krog s središčem S in polmerom r.

Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. Točki A in B

ležita na isti polravnini, če daljica AB ne seka roba polravnine.

Enostavni lik je množica točk v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne

seka.

Množica točk v ravnini je konveksna, če za poljubni točki A in B iz te množice velja, da je

daljica AB njena podmnožica.

Dva poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je

eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen.


30

Če poltraka ležita na isti premici, vendar na različnih straneh izhodišča, določata dva enaka

konveksna – iztegnjena kota. Če se poltraka na isti premici pokrivata, določata polni kot ali

ničelni kot.

Kota, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota.

Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, ležita na isti premici, sta sokota.

Označevanje kotov

• ∢(ℎ, �); s poltrakoma h in k, ki določata kot

• ∢l�z; s točko A na enem poltraku, vrhom V in točko B na drugem poltraku

• �, �, �, �…; z grškimi črkami

Tri nekolinearne točke A, B in C določajo trikotnik ABC. Točke A, B in C so oglišča trikotnika,

daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti ∢zl{, ∢l{z, ∢{zl so notranji koti trikotnika

ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika.

Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri vrtenja

urinega kazalca, če si sledijo v smeri vrtenja urinega kazalca, je negativno orientiran.

Točke l), l(… ,l% v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne ležijo na isti premici,

določajo n-kotnik. Točke l), l(… ,l% so oglišča n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni

oglišči, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo dve nesosedni oglišči, pa diagonale n-

kotnika.

Število diagonal n-kotnika je enako

:(: − 3)2

Če za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala oglišča ležijo na isti polravnini te

nosilke, je n-kotnik konveksen.

2.1.1 Osnovni pojmi – VAJE

1. V ravnini nariši tri različne premice p, q in r. Koliko presečišč lahko določajo? Nariši vse

različne primere.

b a

c

C

B A

α β

γ


31

2. Nariši tri nekolinearne točke A, B in C.

a. Nariši vse različne daljice, ki jih določajo te točke. Kaj lahko poveš o presekih teh

daljic?

b. Nariši poltrake, ki imajo eno od danih točk za izhodišče ter potekajo skozi eno od

drugih dveh točk.

3. Izračunaj število diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika.

4. Točka A leži med točkama B in C. Kolikšna je razdalja med točkama B in C, če je:

a. O(l, z) = 4�cm, O(l, {) = 8 cm

b. O(l, z) = 3�m, O(l, {) = 7 m

5. Dana je točka A. Nariši množico vseh točk, ki so od točke A oddaljene

a. 3 cm

b. 2 cm

6. Dana je točka T. Nariši množico vseh točk, ki so od točke T oddaljene za največ

c. 3 cm

d. 2,7 cm

2.2 SKLADNOST IN MERJENJE KOTOV

Dva lika � in �) sta skladna, če lahko lik � prenesemo na lik �) tako, da se popolnoma

prekrijeta. Znak za skladnost je ≅.

Daljici sta skladni natanko takrat, ko sta enako dolgi.

Trikotnika sta skladna, če se ujemata:

• v vseh treh stranicah

• v dveh stranicah in kotu med njima

• v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti daljše os obeh stranic ali

• v eni stranici in njej priležnih kotih.

Orientacija kota je pozitivna, če si kraka sledita v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, če

si sledita v smeri vrtenja urinega kazalca, pa je orientacija negativna.

Osnovna enota za merjenje kotov je kotna stopinja. Kot velikosti 1° je 360. del polnega kota.

Poznamo še kotno minuto (1°=60') in kotno sekundo (1'=60'').

Kota sta skladna natanko takrat, ko sta enako velika.

Kot � je oster, če je 0° < � < 90°, in top, če je 90° < � < 180°. Če je � = 90°, je � pravi

kot.


32

Kota � in � sta suplementarna, če je njuna vsota 180°: � + � = 180° . Kota � in � sta

komplementarna, če je njuna vsota 90°: � + � = 90°. Sokota sta suplementarna.

Kota sta sovršna, če se njuna kraka dopolnjujeta v premico. Sovršna kota sta skladna.

Kot med (sekajočima) premicama je manjši izmed kotov, ki jih določata.

Naj premica r seka premico p pod kotom �, premico q pa pod kotom �. Premici p in q sta

vzporedni natanko takrat, ko je � = �.

2.2.1 Merjenje kotov – VAJE

1. Dane kote zapiši na minuto natančno

a. � = 15°13′10′′ b. � = 47°35�54��

c. � = 81°3′31′′ 2. Kota � in � sta suplementarna. Koliko meri �, če je � =

a. 80°

b. 115°

c. 35°25'

d. 14°23'37''

3. Kota � in � sta komplementarna. Koliko meri �, če je � =

a. 27°

b. 28,7°

c. 19°16'

d. 89°18''

2.3 VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST

Aksiom o vzporednici: Skozi izbrano točko, ki ne leži na premici, lahko tej premici narišemo

natanko eno vzporednico.

Če vzporednici sekamo s premico, dobimo dve presečišči, ob njiju pa pare kotov z

vzporednimi kraki:

1. pari kotov (�, �), (�, �), (��, �′), (��, �′) imajo oba kraka vzporedna v isto smer

2. pari kotov (�, �), (�, �), (��, �′), (��, �′) imajo oba kraka vzporedna v nasprotno smer,

imenujemo jih tudi sovršni koti

3. pari kotov (�, �′), (�, �′), (�, �′), (�, �′) imajo en krak vzporeden v isto smer, drug krak

pa vzporeden v nasprotno smer.


33

Para kotov z vzporednimi kraki sta ali skladna ali suplementarna.

Pravokotnica je premica, ki dano premico seka pod pravim kotom.

V ravnini je na dano premico mogoče skozi izbrano točko narisati natanko eno pravokotnico.

Pravokotna projekcija točke T na premico p je točka, ki leži na presečišču premice p in

pravokotnice skozi točko T na premico p. To je točki T najbližja točka premice p, označimo jo

s T'.

Razdalja točke T od premice p:

O(�, 3) = O(�, �′) = ��′�, kjer je T' projekcija točke T na premico p.

Pravokotna projekcija daljice AB na premico je daljica A'B' – njeni krajišči sta pravokotni

projekciji točk A in B.

2.3.1 Toge preslikave

Preslikave v ravnini, ki ohranjajo razdalje, so toge preslikave. Toga preslikava preslika lik v

skladen lik.

• Vzporedni premik za dano usmerjeno daljico preslika trikotnik ABC v skladen trikotnik

A'B'C'. Orientacija se pri tem ohranja.

• Vrtenje trikotnika ABC okoli točke O za dani kot �. Orientacija trikotnika se ohranja.

• Zrcaljenje trikotnika ABC čez premico p (orientacija se obrne) in čez točko Z (orientacija

se ohrani).

Množica je simetrična glede na dano premico, če se pri zrcaljenju čez to premico preslika

vase. Tej premici rečemo simetrijska os, somernica ali simetrala.

Množica je središčno simetrična, če obstaja točka, čez katero se množica preslika vase.

V

U

p1

��'

�'

�

�'

�'

� �


34

2.3.2 Vaje

1. Dana je premica p in na njej točka T. Nariši premico q, ki je pravokotna na premico p in

poteka skozi točko T.

2. Dana je premica p in točka T, ki ne leži na premici. Nariši premico q, ki je pravokotna na

premico p in poteka skozi točko T.

3. Dana je premica p in točka T, ki ne leži na premici. Nariši premico q, ki je vzporedna

premici p in poteka skozi točko T.

4. Dana je premica p. Nariši množico točk, ki so od premice p oddaljene

a. 2 cm

b. 2,5 cm

5. Dan je kot � = 60° s krakoma k in h. V kotu določi točko T, ki je od kraka k oddaljena 3

cm, od kraka h pa 2 cm.

6. Izberi dve različni točki A in B. Zavrti točko B okrog dane točke A za kot:

a. 180°

b. 60°

c. −45°

7. Nariši premico p in točko A izven premice. Prezrcali točko A čez premico p.

8. Nariši trikotnik s podatki � = 5 cm, 1 = 6 cm, � = 45°. Prezrcali ga čez nosilko stranice c.

9. Nariši simetralo daljice AB z dolžino 6 cm.

10. Konstruiraj kote 60°, 90°, 45° in 30°.

2.4 GEOMETRIJSKI LIKI

2.4.1 Trikotnik

�, �, � so notranji koti trikotnika ABC, sokoti notranjih kotov trikotnika pa so zunanji koti

tega trikotnika.

Vsota notranjih kotov trikotnika je 180°. Vsota zunanjih kotov trikotnika je 360°.

Zunanji kot v trikotniku je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov.

V trikotniku leži nasproti daljše stranice večji kot in obratno, nasproti večjega kota leži daljša

stranica. Vsota dolžin poljubnih dveh stranic trikotnika je večja od dolžine tretje stranice.

Višina na stranico trikotnika je daljica, ki povezuje oglišče z nosilko nasprotne stranice in je

pravokotna nanjo. Njena dolžina je razdalja oglišča od nasprotne stranice.

A B

C

� �

�


35

Nosilke vseh treh višin na stranice trikotnika se sekajo v eni točki, ki jo imenujemo višinska

točka in je ena od znamenitih točk trikotnika.

Težiščnica na stranico v trikotniku je daljica, ki povezuje oglišče z razpoloviščem nasproti

ležeče stranice. Težiščnice na vse tri stranice poljubnega trikotnika se sekajo v isti točki, ki se

imenuje težišče trikotnika in je ena od znamenitih točk trikotnika. Težišče deli težiščnico v

razmerju 2:1.

Trikotnik v katerem sta dve stranici enako dolgi, imenujemo enakokrak trikotnik. Enako

dolgi stranici sta kraka, tretja stranica pa je osnovnica. Simetrala kota nasproti osnovnice je

hkrati simetrala osnovnice, torej jo razpolavlja pod pravim kotom.

2.4.2 Trikotnik – VAJE

1. Izračunaj tretji notranji kot trikotnika

a. � = 40°, � = 80° b. � = 23°25�, � = 71°11′ 2. Izračunaj preostale notranje in zunanje kote trikotnika

a. � = 50°, �� = 100° b. �� = 95°20�, � = 14°15′ 3. Koliko merijo notranji koti, če so v razmerju 2:7:9?

4. Katera stranica trikotnika ABC je najdaljša, če merita dva izmed njegovih kotov:

a. � = 42°, � = 71° b. � = 76°45�, � = 26°31′ 5. Nariši trikotnik z danimi podatki in določi njegovo višinsko točko

a. 1 = 5 cm, CL = 4 cm, � = 45° b. � = 3 cm, CE = 5 cm, � = 120° 6. Nariši trikotnik z danimi podatki in določi njegovo težišče

a. � = 5,5 cm, 1 = 6 cm, �L = 5 cm b. � = 4 cm, � = 7 cm, �E = 4 cm

7. Nariši trikotnik s podatki

a. CL = 4,8 cm, � = 60°, � = 45° b. � = 5 cm, CD = 4 cm, � = 30°

c. 1 = 6 cm, �L = 5 cm, � = 75° d. CL = 5 cm, �E = 4 cm, � = 60°

A B

C

c

a

bV

A B

C

T

c

ab


36

2.4.3 Krog in krožnica

Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke. Izbrana točka je

središče krožnice, razdalja od središča do poljubne točke na krožnici pa polmer ali radij

krožnice.

t: tangenta

s: sekanta

�lz�: tetiva

lz� : lok

točki A in B določata lok in tetivo

r: polmer

> = 2O: premer ali diameter

E in F: diametralni točki

Naj bosta A in B točki na krožnici. Obodni kot nad lokom lz� je kot, ki ima vrh na krožnici,

kraka pa gresta skozi točki A in B. Središčni kot nad lokom lz� je kot, katerega vrh je središče

krožnice, kraka pa gresta skozi točki A in B.

Nad istim lokom meri obodni kot polovico središčnega kota:

� = 2�

Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki.

S

S

A B

T

A B

S

A B

T

�

�

SEF

D

AB

t

s

r

d


37

Talesov izrek o kotu v polkrogu: Če je osnovnica trikotnika premer kroga in tretje oglišče leži

na krožnici, je trikotnik pravokoten.

Trikotniku lahko vedno očrtamo in včrtamo krožnico. Središče trikotniku očrtane krožnice je

presečišče simetral stranic, središče trikotniku včrtane krožnice pa je presečišče simetral

kotov. Obe točki sta znameniti točki trikotnika.

2.4.4 Krog in krožnica – VAJE

1. Koliko meri obodni kot nad lokom, nad katerim meri središčni kot:

a. 82°

b. 123°32'

c. 126°

d. 95°17'

2. Obodni kot je za 65° manjši od središčnega kota nad istim lokom. Koliko merita oba kota?

3. Nariši trikotnik z danimi podatki in mu očrtaj krog

a. � = 5,5 cm, � = 5 cm, 1 = 6 cm b. � = 3 cm, � = 30°, � = 120° 4. Nariši trikotnik z danimi podatki in mu včrtaj krog

a. � = 4 cm, CE = 5 cm, � = 45° b. � = � = 6 cm, � = 75°

2.4.5 Štirikotnik in pravilni n-kotnik

Štirikotnike delimo glede na število parov vzporednih stranic v tri skupine:

• paralelograme, ki imajo dva para vzporednih stranic

• trapeze, ki imajo en par vzporednih stranic

• trapezoide, ki nimajo nobenega para vzporednih stranic.

Vsak štirikotnik ima dve diagonali. Diagonala e povezuje oglišči A in C, diagonala f pa oglišči B

in D.

Vsota notranjih kotov štirikotnika je 360°.

A B

C

So

A B

C

Sv


38

Paralelogram

a, b: stranici

A, B, C, D: oglišča

l{ = 7, zA = �: diagonali

�, �: notranja kota

S: presečišče diagonal

Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic.

Prav tako velja, da je štirikotnik paralelogram, če izpolnjuje enega od naslednjih pogojev:

• poljubni nasprotni stranici sta skladni

• poljubna nasprotna kota sta skladna

• poljubna sosedna kota sta suplementarna

• diagonali se razpolavljata

Romb je paralelogram, ki ima vse stranice enako dolge. Diagonali se sekata pod pravim

kotom in razpolavljata notranje kote.

Pravokotnik je paralelogram, ki ima vse notranje kote prave. Diagonali sta enako dolgi.

Kvadrat je pravokotnik, ki ima vse stranice enako dolge. Je hkrati tudi romb.

A

D

a

Ba

Ca

a

A Ba

D

b

Ca

b

dd

BA

D C

a

a

a

a

A

D

B

C

b

a

ef

S

� �


39

Trapez

lz, {A: osnovnici

lA, zA: kraka

7 = l{, � = zA: diagonali

��: srednica trapeza povezuje razpolovišči krakov in

je vzporedna osnovnicama

Dolžina srednice je aritmetična sredina obeh osnovnic

� = � + 12

Enakokraki trapez ima enako dolga kraka in enako dolgi diagonali. Kota ob osnovnici sta

skladna. Lahko mu očrtamo krog.

Deltoid

Deltoid ima dva para enako dolgih stranic. Diagonali sta pravokotni, ena diagonala

razpolavlja drugo. Kota pri A in C sta skladna. Deltoid ima eno simetrijsko os.

�, �: stranici

7, �: diagonali

�, �, �, �: notranji koti

Pravilni n-kotnik

Pravilni n-kotnik ima vse stranice enake in enake notranje kote. Vsota njegovih notranjih

kotov je (: − 2) ∙ 180°, velikost notranjega kota pa je n-ti del vsote.

2.4.6 Štirikotnik in pravilni n-kotnik – VAJE

1. Nariši paralelogram s podatki

a. � = 5 cm, � = 4,5 cm, � = 60° b. � = 5 cm, � = 3 cm, 7 = 7 cm

c. � = 5,5 cm, � = 4,5 cm, CD = 4 cm

A B

D

d

a

C

b

c

E F

e f

A Ce

D

B

f

b

aa

b

�

�

�

�


40

2. Nariši pravokotnik s podatki

a. � = 5,5 cm, O = 7 cm b. � = 6 cm, ∢(O, �) = 30° 3. Nariši kvadrat katerega

a. stranica meri 6 cm b. diagonala meri 8 cm

4. Nariši romb s podatki

a. � = 5 cm, � = 75° b. � = 5 cm, 7 = 8 cm

c. 7 = 8 cm, � = 5 cm

5. Nariši trapez s podatki

a. � = 6 cm, � = 5 cm, 1 = 3 cm, 7 = 7 cm

b. � = 7 cm, O = 5 cm, 1 = 4 cm, � = 75° c. � = 10 cm, � = 5 cm, � = 60°, � = 75° d. � = 7 cm, � = 5 cm, 1 = 2 cm, O = 3 cm

6. Nariši enakokraki trapez s podatki � = 6 cm, � = 5 cm, 7 = 7 cm.

2.5 PODOBNOST

Podobnostna preslikava P s faktorjem � > 0 je preslikava točk v ravnini, ki dve točki preslika

tako, da je razdalja njunih slik s številom k pomnožena razdalja točk A in B.

�(l) = l)

�(z) = z)

�l)z)� = � ∙ �lz�

Talesov izrek o sorazmerjih:

Če množico premic, ki se sekajo v eni točki sekamo z množico vzporednic, je razmerje

odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov na katerikoli premici

istega šopa.

��l)�: �l)z)� = ��l(�: �l(z(� ali

��l)�: ��l(� = ��z)�: ��z(�

Trikotnika lz{ in l)z){) sta podobna, če imata enaka razmerja vseh stranic in enake vse

notranje kote.

�: �: 1 = �): �): 1), � = �), � = �), � = �) ⇒ ∆lz{~∆l)z){)

Dva trikotnika sta si podobna, če se ujemata

1. v razmerju dveh enakoležnih stranic: �: �) = �: �) = 1: 1) = �

V

A2

A1

B2

B1


41

2. v dveh kotih, npr. � = �), � = �)

3. v razmerju dveh stranic in v vmesnem kotu, npr. �: 1 = �): 1), � = �)

Izreki v pravokotnem trikotniku

Višinski izrek

Kvadrat višine v pravokotnem trikotniku je enak produktu pravokotnih projekcij katet na

hipotenuzo.

C( = �) ∙ �)

Evklidov izrek

Kvadrat katete v pravokotnem trikotniku je enak produktu hipotenuze in pravokotne

projekcije te katete na hipotenuzo.

�( = �) ∙ 1 �( = �) ∙ 1

Pitagorov izrek

Kvadrat hipotenuzo v pravokotnem trikotniku je enak vsoti kvadratov obeh katet.

1( = �( + �(

2.5.1 Podobnost – VAJE

1. Razdeli daljico AB dolžine 5,8 cm na:

a. 4 enake dele b. 7 enakih delov

2. Stranice trikotnika ABC merijo: � = 4 cm, � = 5 cm, 1 = 9 cm. Določi preostali stranici

trikotniku ABC podobnega trikotnika A'B'C', če je

a. �� = 12 cm b. �� = 2,5 cm

3. Natančno izračunaj neznane količine v pravokotnem trikotniku

a. � = 15 cm, � = 20 cm, 1 =? , �) =? , �) =? , C =? b. � = 45 cm, �) = 27 cm, � =?, 1 =? , �) =? , C =?

2.6 KOTNE FUNKCIJE OSTRIH KOTOV

Naj bo � ostri kot v pravokotnem trikotniku. Sinus kota � je količnik med kotu � nasprotno

kateto in hipotenuzo. Kosinus kota � je količnik med kotu � priležno kateto in hipotenuzo.

AB

c

C

b

a

N

v

a1b1

� �


42

Tangens kota � je količnik med kotu � nasprotno kateto in priležno kateto. Kotangens kota

� je količnik med kotu � priležno kateto in nasprotno kateto.

sin � = LD cos � = E

L tan � = DE cot � = E

D

Zveze med kotnimi funkcijami

tan � = sin �cos �

cot � = cos �sin �

tan � ∙ cot � = 1

�9:(� + 1_�(� = 1

Velikost kotnih funkcij lahko ponazorimo v enotskem krogu, katerega polmer je enak 1.

Ker smo se omejili le na ostre kote, potrebujemo le del krožnice v I. kvadrantu. V njem si

izberimo poljuben poltrak z začetkom v koordinatnem izhodišču, ki s pozitivnim delom

abscisne osi določa kot �. Iz presečišča poltraka s krožnico narišemo pravokotnico na

abscisno os in tako dobimo pravokotni trikotnik. Njegovi kateti sta koordinati točke �(,, .), hipotenuza pa je polmer enotske krožnice.

Razmerje med kotu � nasprotno kateto in hipotenuzo je y, zato nam velikost ordinate

predstavlja velikost kotne funkcije sin �.

Podobno nam velikost abscise točke �(,, .) na enotskem krogu grafično predstavlja velikost

kotne funkcije cos �.

�(,, .) = �(cos � , sin �)

C Ab

B

a c

�

0 1-1

1

-1

T(x,y)

�

x

y


43

Če se kot � veča od 0° do 90°, se ordinata točke na enotski krožnici veča od 0 do 1. Funkcija

sin � torej za ostre kote od 0° do 90° raste.

Pri enaki rasti kota � pa se abscisa točke �(,, .) manjša od 1 do 0. Zato funkcija cos � za

ostre kote pada.

Natančne vrednosti kotnih funkcij za nekatere kote:

0° 30° 45° 60° 90°

sin � 0 12

b22

b32 1

cos � 1 b32

b22

12 0

tan � 0 b33 1 b3 ∞

cot � ∞ b3 1 b33 0

Za izračun kotnih funkcij preostalih kotov uporabimo kalkulator.

Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota in obratno, pa tudi tangens kota je enak

kotangensu komplementarnega kota in obratno.

sin � = cos(90° − �) cos � = sin(90° − �) tan � = cot(90° − �)

2.6.1 Kotne funkcije ostrih kotov – VAJE

1. Določi vrednost vseh kotnih funkcij za oba ostra kota v pravokotnem trikotniku s

katetama:

a. � = 6 cm, � = 8�cm b. � = 36 cm, � = 15�cm

2. Brez uporabe kalkulatorja izračunaj

a. sin 30° + cos 60° b. 4 sin 45° + 2 cos 45°

c. tan 30° − cot 30° d. sin 30° tan 45° cos 60°

0 1

1

1

y

x�

sin �

cos�


44

3. Natančno izračunaj dolžini preostalih stranic v pravokotnem trikotniku s podatki:

a. � = 20 cm, � = 30° b. � = 24 cm, � = 60°

4. Na štiri mesta natančno izračunaj

a. sin 69° b. cos 32°

c. tan 43,2° d. cos 84°15�

5. Na mm natančno izračunaj dolžini preostalih stranic pravokotnega trikotnika s podatki:

a. � = 7 cm, � = 37° b. 1 = 6,5 cm, � = 41,5° 6. Nariši tak kot �, da je

a. sin � = (* b. cos � = 0,8

7. Na stotinko stopinje natančno izračunaj kot �, če je:

a. sin � = )*

b. sin � = 0,1234

c. cos � = b**

d. tan � = b2

8. Na minuti natančno izračunaj kota � in � v pravokotnem trikotniku s stranicama:

a. � = 4 cm, � = 5 cm b. � = 9,9 cm, 1 = 10,1 cm

2.7 METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

2.7.1 Ploščina in obseg

Obseg je dolžina krivulje, ki določa lik. Označimo ga s črko o.

Ploščina je del ravnine, ki jo pokriva lik. Označimo jo s črko S.

Pravokotnik

_ = 2(� + �) � = ��

O = b�( + �( (diagonala)

Kvadrat

_ = 4�

� = �(

O = �b2

Paralelogram

� = �� = ��

sin � = C�

C = � sin �

� = �� ¡¢£

o: osnovnica

v: višina

_ = 2(� + �)

A B

D C

A1

v

B1

�


45

Romb

� = 7�2

_ = 4�

Trikotnik

� = D∙Y¤( = E∙Y¥

( = L∙Y¦(

� = 12�� sin � =12�1 sin � =

12 �1 sin �

_ = � + � + 1

Če sta trikotnika ABC in A'B'C'podobna, je razmerje stranic:

�: �� = �: �� = 1: 1� = �

Za ploščini podobnih trikotnikov velja

�: �� = �(

Pravokotni trikotnik

� = ��2

Enakostranični trikotnik

C = �b32

� = �(b34

Trapez

� = � + 12

� = �C

_ = � + � + 1 + O

A B

C

v_a

c

ab

� �

�

A Ba

D C

d

c

bs


46

Deltoid

� = 12 7�

_ = 2(� + �)

Pravilni n-kotnik

Pravilni n-kotnik je sestavljen iz n skladnih enakokrakih trikotnikov. Če znamo izračunati

ploščino tega trikotnika, poznamo tudi ploščino pravilnega n-kotnika.

R: polmer pravilnemu n-kotniku očrtanega kroga

�%: stranica pravilnega n-kotnika

�∆ = 12§( sin360°:

�% = : ∙ �∆

�% = 12: ∙ §( sin360°:

2.7.2 Ploščina in obseg – VAJE

1. Zapiši v cm2

a. 20 dm2

b. 0,1 dm2

c. 5 m2

d. 820 mm2

2. Zapiši v m2

a. 1 km2 b. 630 dm2

3. Izračunaj obseg in ploščino pravokotnika s stranicama

a. � = 6 cm, � = 18 cm b. � = 0,3 cm, � = 10 mm

4. Izračunaj drugo stranico pravokotnika z dano ploščino in stranico

a. � = 510�m2, � = 34 m b. � = 64�cm2, � = 8 cm

5. Izračunaj ploščino kvadrata z obsegom

a. 12 m b. 13,6 km

6. Izračunaj dolžino diagonale v pravokotniku s stranicama

a. � = 3 cm, � = 5�cm b. � = � = 12 m

A Ce

D

B

f


47

7. Obseg pravokotnika meri 860 m. Kolikšna je njegova ploščina, če:

a. se stranici razlikujeta za 90 m

b. je ena stranica za 70 m daljša od druge

c. sta stranici enako dolgi

d. je ena stranica štirikrat daljša od druge

8. Izračunaj ploščino paralelograma s podatki

a. � = 4 cm, � = 6 cm, � = 30° b. � = 20 dm, CD = 10 dm

9. Razmerje dveh stranic paralelograma je �: � = 2: 1. Višina na stranico a meri 10 cm,

ploščina pa 400 cm2. Koliko merita stranici in koliko višina na stranico b?

10. Izračunaj dolžino diagonale in obseg romba z dano ploščino in drugo diagonalo:

a. � = 24 m2, 7 = 8 m b. � = 252 cm2, � = 7 dm

11. Izračunaj ploščino trikotnika s podatki

a. � = 4 cm, CD = 2 cm b. � = 12 cm, � = 8 cm, � = 140° 12. Izračunaj stranico a v enakostraničnem trikotniku s ploščino

a. 60 cm2 b. 80 mm2

13. Izračunaj obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico c in ploščino S

a. � = 60 cm2, 1 = 10 cm b. � = 64 cm2, 1 = 8 cm

14. V pravokotnem trikotniku s ploščino � = 900 cm2 izračunaj hipotenuzo c, če:

a. je ena kateta dvakrat daljša od druge

b. sta obe kateti enako dolgi

c. se kateti razlikujeta za 51 cm

d. dolžina ene katete predstavlja 12,5% dolžine druge

15. Natančno izračunaj ploščino trapeza z osnovnicama � = 6 m in 1 = 4 m ter višino �C = 3 m.

16. Izračunaj višino in nato še ploščino trapeza ABCD

a. � = 6 cm, � = 4 cm, 1 = 3 cm, � = 30° b. � = 32 cm, 1 = 20 cm, O = 10 cm, � = 45°

17. Določi ploščino enakokrakega trapeza z osnovnicama � = 5 dm in 1 = 3 dm ter krakom

� = 4 dm.

18. Izračunaj ploščino deltoida z danimi podatki

a. 7 = 20 cm, � = 10 cm b. � = 8 cm, � = 6 cm, � = 150° 19. Kolikšna je ploščina pravilnega n-kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom 16 cm, če je

a. : = 5 b. : = 10


48

2.7.3 Razreševanje trikotnika

Naslednje zakonitosti veljajo v poljubnem trikotniku

Polmer trikotniku očrtanega kroga

§ = DEL-¨ � = DEL

-©

Sinusni izrek

2§ = Dª«¬ = E

ª«¬® = Lª«¬¯

Sinusni izrek uporabljamo pri razreševanju trikotnika, kadar poznamo dve stranici trikotnika

ter kot nasproti ene od njih ali dva kota in eno od stranic.

Kosinusni izrek

�( = �( + 1( − 2�1 cos �

�( = �( + 1( − 2�1 cos �

1( = �( + �( − 2�� cos �

Kosinusni izrek nam pomaga pri računanju neznanih stranic oz. kotov trikotnika, pri katerem

poznamo dolžine vseh treh stranic ali dolžini dveh stranic in kot med njima.

Polmer trikotniku včrtanega kroga

> = ¨°

pri čemer je S ploščina trikotnika ABC in s polovica njegovega obsega

� = D'E'L(

Heronov obrazec

� = D'E'L(

� = y�(� − �)(� − �)(� − 1) S Heronovim obrazcem izračunamo ploščino trikotnika s pomočjo dolžine njegovih stranic.

2.7.4 Razreševanje trikotnika – VAJE

1. Izračunaj neznane stranice in kote trikotnika

a. � = 7 cm, � = 5 cm, � = 75° b. � = 2 cm, � = 3 cm, 1 = 4 cm

c. � = 4 cm, 1 = 5 cm, � = 35°

2. Izračunaj ploščino trikotnika s stranicami � = 8 cm, � = 29�cm, 1 = 35 cm.

3. Izračunaj dolžini diagonal paralelograma s podatki:

� = 10�m, � = 8 m, � = 55° 4. Izračunaj kota � in � v trapezu s stranicami � = 16 m, b= 14 m, 1 = 6 m in O = 12 m.

5. Natančno izračunaj polmer kroga včrtanega trikotniku s ploščino � = 16 cm2 in obsegom

_ = 16 cm.


49

2.7.5 Krog

Obseg kroga

_ = 2o>

Dolžina krožnega loka

± = ²r°)QZ°

Ploščina kroga

� = o>(

Ploščina krožnega izseka

Krožni izsek je del kroga, ki ga določa izbrani središčni kot.

�³ = ²rT°*<Z°

2.7.6 Krog – VAJE

1. Izračunaj obseg kora s polmerom

a. 12 cm

b. 0,4 m

c. 11 mm

d. 82,5 m

2. Izračunaj premer kroga z danim obsegom

a. 13 cm b. 24 dm

3. Kolo na gorskem kolesu s polmerom 34 cm se na poti zavrto 820-krat. Kako dolgo pot

naredi kolesar?

4. Izračunaj dolžino krožnega loka, ki pripada središčnemu kotu � v krogu s polmerom 12cm

a. � = 95° b. � = 107° 5. Izračunaj ploščino kroga s polmerom

a. 16 cm b. 25,2 mm

6. Kolikšen je obseg kroga s ploščino

a. 80 cm2 b. 104 mm2

7. Kolikšna je natančna ploščina kroga, ki je očrtan pravokotniku s stranicama � = 4 cm in

� = 6 cm?

8. Izračunaj ploščino krožnega izseka, ki pripada v krogu s polmerom 1,2 dm središčnemu

kotu

a. 45° b. 70°

MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE

50

3 FUNKCIJE IN ENAČBE

3.1 PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM

3.1.1 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini

Pravokotni koordinatni sistem v ravnini sestavljajo ravnina in dve številski premici na njej, ki

se sekata pod pravim kotom. Presečišče imenujemo koordinatno izhodišče, tam je

postavljeno število 0 oziroma točka s koordinatama (0,0). Ena premica se imenuje abscisna

os (os x), druga pa ordinatna os (os y). Koordinatni sistem uporabljamo za opis položaja točk

na ravnini.

Položaj točke T v ravnini opišemo z dvema realnima številoma, ki skupaj tvorita urejeni par.

Prvo število imenujemo abscisa točke T in je enaka pravokotni projekciji točke T na abscisno

os. Drugo število je ordinata točke T in je enaka pravokotni projekciji točke T na ordinatno

os. Lego točke potem označimo tako: �(�, �).

Vsaka premica v ravnini razdeli ravnino na dve polravnini.

Premici, ki tvorita koordinatni sistem, ravnino razdelita na štiri dele. Imenovali jih bomo

kvadrante in jih oštevilčili is I do IV.

V prvem kvadrantu ležijo točke, ki imajo obe koordinati pozitivni


51

�(,, .), za katere je , > 0 in . > 0

V drugem kvadrantu ležijo točke, ki imajo absciso negativno, ordinato pa pozitivno

�(,, .), za katere je , < 0 in . > 0

V tretjem kvadrantu ležijo točke, ki imajo obe koordinati negativni

�(,, .), za katere je , < 0 in . < 0

V četrtem kvadrantu ležijo točke, ki imajo absciso pozitivno, ordinato pa negativno

�(,, .), za katere je , > 0 in . < 0

Točke, ki ležijo na abscisni osi, imajo ordinato enako nič (. = 0).

Točke, ki ležijo na ordinatni osi, imajo absciso enako nič (, = 0).

3.1.2 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini – VAJE

1. V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši točke

l(−2,−4), z �)( , 3� , { �−3, +(� , A �0, /-�

2. Točke l(4, 3), z(−1, 5), {(0, −3), A(−2,−1)�prezrcali čez abscisno os. Zapiši koordinate

dobljenih točk l�, z�, {�, A′. 3. Točke l(2, 5), z(3, 4), {(−3,−2), A(2, 0), �(0, −1)�prezrcali čez ordinatno os. Zapiši

koordinate dobljenih točk l�, z�, {�, A�, �′. 4. Nariši premice, ki gredo skozi pare točk

a. (4, 3), (−2, 1) b. (−3,−2), (0, 1) 5. Nariši množico vseh točk (,, .) v ravnini, za katere je:

a. , = 3

b. . = 1

c. . = ,

6. Nariši množico vseh točk (,, .) v ravnini, za katere je:

a. , > 0

b. . ≥ 0

c. , ≤ 0

d. . < 3

7. Nariši množico vseh točk (,, .) v ravnini, za katere je:

a. 1 < , ≤ 4 b. −2 ≤ . < 1

3.1.3 Razdalja med dvema točkama v ravnini

Razdaljo med točkama l(,), .)) in z(,(, .() izračunamo po formuli

´(|,}) = y(,( − ,))( + (.( − .))(

Koordinate točke S, ki je razpolovišče daljice AB

� [,) + ,(2 , .) + .(2 \


52

3.1.4 Razdalja med točkama – VAJE

1. Natančno izračunaj razdaljo med točkama

a. l(4, 9), z(1, 5) b. µ(−3, 2), ¶(−5,−7) 2. Zapiši koordinate razpolovišča daljice AB

l(4,−1), z(6, 3) 3. Dan je trikotnik ABC z oglišči l(−6, 1), z(4, −9), {(11, 8)

a. Ali je trikotnik ABC enakokrak? Izračunaj njegov obseg.

b. Poišči koordinate nožišča višine na stranico AB.

c. Izračunaj dolžino višine na stranico AB.

3.1.5 Obseg in ploščina trikotnika v koordinatnem sistemu

Tri točke A, B in C, ki ne ležijo na isti premici, določajo trikotnik ABC.

Naj bodo točke l(,), .)), z(,(, .() in {(,*, .*) oglišča trikotnika ABC. Če si oglišča

trikotnika A, B in C sledijo v nasprotni smeri gibanja urinega kazalca, je trikotnik ABC

pozitivno orientiran. Če pa si oglišča trikotnika A, B in C sledijo v smeri gibanja urinega

kazalca, je trikotnik ABC negativno orientiran.

Obseg trikotnika ABC

_ = O(l, z) + O(z, {) + O({, l)

Ploščina trikotnika ABC

� = 12 _>97:�. ¸,( − ,) .( − .),* − ,) .* − .)¸

� = 12 _>97:�. �(,( − ,))(.* − .)) − (.( − .))(,* − ,))�

orient. Pomeni orientacijo trikotnika in velja:

_>97:�. = 1, če je trikotnik pozitivno orientiran

_>97:�. = −1, če je trikotnik negativno orientiran

3.1.6 Obseg in ploščina trikotnika – VAJE

1. Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika

l(3, 5), z(7, 1), {(−3, 6) 2. Dan je trikotnik z oglišči l(−8, 0), z(−6,−3), {(2, −4)

a. Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika.

b. Izračunaj obseg trikotnika in rezultat zaokroži na tri mesta.


53

3.2 REALNA FUNKCIJA

Vse, kar štejemo ali merimo, je količina (npr. dolžina, čas,…). Vsaki količini pripada množica

vrednosti, ki jih izrazimo z realnimi števili. Zato pravimo, da so količine spremenljivke.

Količine so med seboj lahko povezane tako, da se s spremembo ene količine spremeni tudi

vrednost druge. V teh primerih govorimo o odvisnih količinah, torej odvisnih

spremenljivkah.

Količino, katere sprememba vpliva na spremembo druge količine, imenujemo neodvisna

spremenljivka, drugo pa odvisna spremenljivka. Prvo označimo z x, drugo pa z y. Ker je

spremenljivka y odvisna od spremenljivke x, pravimo, da je y funkcija x, kar zapišemo

. = �(,).

Funkcija je predpis, ki vsaki možni vrednosti neodvisne spremenljivke priredi natanko eno

vrednost odvisne spremenljivke.

Množico vseh vrednosti, ki jih lahko zavzame neodvisna spremenljivka, imenujemo

definicijsko območje funkcije (A¹), množico vseh vrednosti, ki jih pri tem zavzame odvisna

spremenljivka, pa zaloga vrednosti funkcije (º¹).

Odvisnosti lahko pokažemo na različne načine (npr. znesek na bencinski črpalki v odvisnosti

od natočenega goriva):

1. s tabelo

gorivo f±g , 1 2 3,5 20

znesek f»g �(,) 1,2 2,4 4,2 24

2. z zapisom vrednosti funkcije pri posameznih vrednostih neodvisne spremenljivke ,

�(1) = 1,2 ∙ 1 = 1,2

�(2) = 1,2 ∙ 2 = 2,4

�(3,5) = 1,2 ∙ 3,5 = 4,2

3. s splošnim predpisom

�(,) = 1,2 ∙ ,

4. z grafom


54

3.2.1 Graf funkcije

Graf funkcije je množica vseh urejenih parov (,, .), kjer prvi element , preteče celotno

definicijsko območje funkcije, drugi element . pa je slika pripadajočega ,, torej . = �(,).

µ¹ = ¼(,, .); , ∈ A¹�9:�. = �(,)½

3.2.2 Lastnosti funkcij

Ničla funkcije

Ničla funkcije je tako število ,, pri katerem je vrednost funkcije enaka 0.

Funkcija ima lahko več ničel. Poiščemo jih tako, da rešimo enačbo:

�(,) = 0

Graf funkcije v ničli ¾(,Z, 0) seka abscisno os ali pa se je samo dotakne.

Začetna vrednost funkcije

Začetna vrednost funkcije je točka v kateri graf funkcije seka ordinatno os. V tisti točki je

, = 0 in . = �(0). Graf funkcije seka ordinatno os le v točki ¿(0, �(0)).

Naraščanje, padanje, omejenost

Funkcija je na intervalu f�, �g naraščajoča, če za poljubna ,) in ,( s tega intervala velja:

če je ,) < ,(, je �(,)) ≤ �(,() Če velja �(,)) < �(,(), je funkcija strogo naraščajoča.

Funkcija je na intervalu f�, 1g padajoča, če za poljubna ,* in ,- s tega intervala velja:

če je ,* < ,-, je �(,*) ≥ �(,-) Če velja �(,*) > �(,-), je funkcija strogo padajoča.

Funkcija je navzdol omejena, če obstaja tako realno število À, da je �(,) ≥ À za vsak

, ∈ A¹.

Funkcija je navzgor omejena, če obstaja tako realno število ¿, da je �(,) ≤ ¿ za vsak

, ∈ A¹.

Funkcije je omejena, če je omejena navzgor in navzdol.


55

Sodost in lihost funkcij

Funkcija � je soda, če za vsak , z

definicijskega območja velja:

�(−,) = �(,)

Graf sode funkcije je simetričen glede

na ordinatno os.

Funkcija � je liha, če za vsak , z definicijskega

območja velja:

�(−,) = −�(,)

Graf lihe funkcije je simetričen glede na

koordinatno izhodišče.

Predznak funkcije

Funkcija � je pozitivna na intervalu (�, �), če je �(,) > 0 za vsak , iz tega intervala. Za

takšne , torej graf leži nad osjo ,.

Funkcija � je negativna na intervalu (�, �), če je �(,) < 0 za vsak , iz tega intervala. Za

takšne , torej graf leži pod osjo ,.

Asimptota

Asimptote so tiste premice, ki se jim grafi ali njihove veje čedalje bolj približujejo. Asimptota

je lahko vodoravna, navpična ali poševna. Graf ima lahko več različnih asimptot.

Funkcija ima pol pri , = � , če se njen graf približuje k navpičnici skozi � , ko se s

spremenljivko , bližamo k � iz leve ali desne smeri.

Asimptoto in pole rišemo črtkano, saj so to le pomožni (vendar pomembni) objekti pri grafu

funkcije.


56

Injektivne in surjektivne funkcije

Funkcija, ki preslikuje iz množice Α v množico Β, je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti,

to je množica vseh slik funkcije, enaka množici Β (º¹ = Β) oz. če je vsak element iz Β slika

vsaj enega elementa iz Α.

Funkcija, ki preslikuje iz množice Α v množico Β, je injektivna, če se dva poljubna različna

originala iz množice Α preslikata v različni sliki v množici Β oz. je vsak element iz množice Β

slika kvečjemu enega elementa iz množice Α.

Funkcija je bijektivna, če je surjektivna in injektivna hkrati, to pomeni, da je vsak element iz

Β slika natanko enega elementa iz Α.

Inverzna funkcija

Če je � bijektivna funkcija iz množice Α v množico Β, ki vsakemu elementu , iz množice Α

priredi določen element . iz množice Β, je njena inverzna funkcija �J) taka funkcija, ki vsaki

sliki iz Β priredi »njen« original v Α.

Če je na grafu funkcije � točka �(�, �), je na grafu inverzne funkcije �J) točka �(�, �). Zamenjata se abscisa in ordinata točke.

Grafa funkcije � in njene inverzne funkcije �J) sta simetrična glede na simetralo lihih

kvadrantov.

Če poznamo predpis za funkcijo �, poiščemo predpis za inverzno funkcijo �J) tako, da v

predpisu za �

. = �(,) Zamenjamo , in .

, = �(.) Nato izrazimo . v odvisnosti od , in dobljena funkcija je inverzna funkcija

. = �J)(,)

3.2.3 Lastnosti funkcij – VAJE

1. Dani sta množici Α, Β in funkcija �:Α → Β. Predstavi funkcijo � s puščičnim diagramom

a. Α = h1, 2, 3, 4i,Β = h4, 5, 6, 7, 8i, �(,) = , + 3

b. Α = h0, 1, 2i,Β = h0, 1i, �(,) = (, − 1)(

2. Dane je množica Α = h−1, 0, 1i. Zapiši zalogo vrednosti º¹ funkcije �:Α → ∇

a. �(,) = 2, − 1

b. �(,) = 2R

c. �(,) = ,* − ,


57


58

3. Ali leži točka �(1,−1) na grafu funkcije

a. �(,) = 3, − 4 b. �(,) = 1 − ,(

4. Nariši graf funkcije �:�∧ → ∧

a. �(,) = , − 2 b. �(,) = −2, + 1

5. Nariši graf dane funkcije in ugotovi, ali je naraščajoča oziroma padajoča:

a. �(,) = ,

b. �(,) = −3, + 3 c. �(,) = R')

(

6. Ali je dana funkcija soda oziroma liha

a. �(,) = 2,-

b. �(,) = 2,* − 13,

c. �(,) = 5,

d. �(,) = ,( − 5

7. Zapiši inverzno funkcijo �J) k funkciji

a. �(,) = , + 1

b. �(,) = 2, − 3

c. �(,) = 3 − ,

3.3 LINEARNA FUNKCIJA IN LINEARNA ENAČBA

3.3.1 Linearna funkcija

Linearna funkcija je funkcija, ki slika realna števila v realna, njen predpis je enak ��(,) = � ∙ , + :

Števili � in : sta realni, � imenujemo smerni koeficient, : pa začetna vrednost.

Graf linearne funkcije je premica. Število � določa njeno strmino, : pa nam pove pri kateri

vrednosti premica seka ordinatno os (v točki (0, :)).

k je smerni koeficient premice in določa smer grafa. Imenujemo ga tudi diferenčni količnik,

ker k pomeni razmerje med prirastkom odvisne spremenljivke in prirastkom neodvisne

spremenljivke.

� = .( − .),( − ,)

Linearna funkcija narašča, če je smerni koeficient � pozitiven, in pada, če je � negativen. Če

je � = 0, je linearna funkcija konstantna.

Ničla funkcije je število ,Z, pri katerem funkcija �(,) = � ∙ , + : zavzame vrednost 0. Graf

funkcije v ničli seka abscisno os.

Ko iščemo ničlo funkcije moramo rešiti enačbo:

�(,Z) = 0


59

3.3.2 Enačba premice v ravnini

Eksplicitna enačba premice

Enačba premice je eksplicitna, če je . neposredno izražen

. = � ∙ , + :; ��, : ∈ ∇

Zapis linearne funkcije:

• linearna funkcija z znanim smernim koeficientom �, katere graf gre skozi točko �)(,), .)) je določena z enačbo

. − .) = � ∙ (, − ,))

• linearno funkcijo skozi dve točki �)(,), .)) in �((,(, .() zapišemo tako, da najprej

izračunamo smerni koeficient

� = .( − .),( − ,)

in nato uporabimo enačbo

. − .) = � ∙ (, − ,))

Vzporedni premici imata enak smerni koeficient �.

Za pravokotni premici velja: �( = − )#w

Implicitna enačba premice

Implicitna enačba premice:

�, + �. + 1 = 0; ��, �, 1 ∈ ∇

Vsako eksplicitno enačbo premice lahko prevedemo v implicitno.

Odsekovna enačba premice

Za premice, ki niso vzporedne nobeni koordinatni osi niti ne gredo skozi koordinatno

izhodišče, obstaja tudi odsekovna enačba premice ,À +

.: = 1; ��À, : ∈ ∇�9:�À ≠ 0, : ≠ 0

Število À nam pove, kje premica seka abscisno os, število :, kje premica seka ordinatno os.

3.3.3 Linearna funkcija – VAJE

1. Izračunaj vrednost linearne funkcije �(,) = 3, + 2 pri

a. , = 4 b. , = −2

2. Nariši grafe funkcij

a. �(,) = 4,

b. �(,) = , + 4

c. �(,) = 2, − 3

d. �(,) = − )( , − 2

3. Nariši graf funkcije �(,) = −3, + 2. Ali točke l(1,−1), z(−1, 5) in {(3, 4) ležijo na

grafu funkcije �.


60

4. Zapiši ničle funkcij

a. �(,) = 3, − 9 b. �(,) = −3, + 4

5. Zapiši eksplicitno obliko enačbe premice, ki ima smerni koeficient � in gre skozi točko �

a. � = 3, �(−1,−2) b. � = )* , �(3, −1)

6. Zapiši eksplicitno obliko enačbe premice, ki gre skozi točki

a. (−1, 1), (2, 7) b. (−2, 1), (-4, 0)

7. Zapiši eksplicitno obliko enačbe premice, ki gre skozi točko �(−6, 7) in je vzporedna

premici z enačbo . = − (* , − -

P. 8. Zapiši vse tri oblike enačbe premice, ki gre skozi točki l(1, 5) in z(−3,−2). 9. Zapiši vse tri oblike enačbe premice, ki gre skozi točko l(−3,−4) in je vzporedna premici

z enačbo 10, − 18. − 21 = 0.

3.3.4 Linearna enačba

Enačba z eno neznanko je zapis oblike �(,) = 0 . Enačbi sta ekvivalentni, če lahko eno

enačbo preoblikujemo v drugo s pomočjo pravil za tvorbo ekvivalentnih enačb. Pri tem

smemo:

• na obeh straneh prišteti (odšteti) isto število ali izraz,

• obe strani enačbe množiti (deliti) s številom ali izrazom, različnim od 0.

Linearna enačba z eno neznanko je enačba, ki jo lahko preoblikujemo v obliko �, + : = 0.

Rešitve linearne enačbe so odvisne od � in ::

• če je � ≠ 0 ima enačba natanko eno rešitev

, = − %#

• če je � = 0 in : ≠ 0, enačba nima rešitve

• če je � = : = 0, je rešitev enačbe katerokoli realno število.

Geometrijski pomen:

Rešitev linearne enačbe nam pove presečišče grafa linearne funkcije z abscisno osjo (ničla

funkcije).

Uporaba enačb

Reševanje problemov iz vsakdanjega življenja pogosto pripelje do reševanja enačb. Problem

moramo najprej prevesti v matematični jezik. Pri tem sledimo naslednjim korakom:

1. najprej moramo problem razumeti (kaj je neznanka, kateri podatki so na voljo)

2. poiščemo zvezo med podatki in neznanko – zapišemo enačbo

3. rešimo enačbo

4. preverimo dobljeno rešitev.


61

3.3.5 Linearna enačba – VAJE

1. Reši enačbe

a. 4(, − 1) = 8

b. (−2)(5 − ,) = 3(4 + ,) c. 4(2 − �) = 5(2� − 3) − 5

d. 11 − 2(� − 5) = (−3)(3 − �)

e. R* + (RJ)

( = )<

f. R- + RJ+

( + )Q = 1

g. R'-RJ( = 2

2. Iz danih enakosti izrazite količino, ki je ob njej zapisana

a. À = Â ∙ �; �

b. � = Ã° ; �

c. Ãw¨w =

ÃT¨T ; ��(

d. C = CZ + (� − �Z)�;��Z

3. Če neko število pomnožimo z 12 in produktu prištejemo 44, dobimo 200. Poišči to število.

4. Imenovalec ulomka je štirikrat večji od števca. Če ulomku imenovalec zmanjšamo za 2,

števec pa za 2 povečamo, dobimo dvakratnik prvotnega ulomka. Zapiši iskani ulomek.

3.3.6 Linearna neenačba

Linearno neenačbo dobimo, če dva linearna izraza povežemo z enim od enačajev: <,>,≤,≥.

V splošnem je linearna neenačba oblike:

�, + � > 1, + O

Dve neenačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če določata isto množico rešitev.

Neenačbo spremenimo v enakovredno, če na obeh straneh neenačbe:

• prištejemo ali odštejemo isto število ali izraz;

• pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom ali izrazom;

• pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom ali izrazom (v tem primeru se znak

neenakosti spremeni: iz > nastane < in obratno).

Množice rešitev linearne neenačbe je interval, ki na eno stran ni omejen.

3.3.7 Linearna neenačba – VAJE

1. Reši neenačbe in rešitev predstavi s točkami na številski premici

a. , − 3 < 4

b. 2, + 5 > −1

c. 2, + 5 ≥ 6 + 5,

d. R- + *RJ(

+ > 1 + R(

e. 1 − R')( − R'(

* ≥ 5,


62

3.3.8 Sistem linearnih enačb

Rešiti sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama pomeni poiskati tisto točko v

ravnini, v kateri se sekata premici z danima enačbama.

�), + �). − 1) = 0

�(, + �(. − 1( = 0

Možne rešitve:

• če se premici z danima enačbama sekata, ima sistem natanko eno rešitev,

• če sta premici vzporedni, sistem nima nobene rešitve,

• če sta premici identični, ima sistem neskončno mnogo rešitev.

Metode reševanja sistemov dveh linearnih enačb

1. Način nasprotnih koeficientov

Eno enačbo ali obe enačbi pomnožimo s takim številom, da dobimo pred isto neznanko v

obeh enačbah nasprotna koeficienta. Potem enačbi seštejemo in izločimo eno neznanko.

Tako sistem enačb z dvema neznankama prevedemo v eno enačbo z eno neznanko.

Rešitev te enačbe določa vrednost prve neznanke. Vstavimo jo v eno izmed obeh enačb

sistema in dobimo spet enačbo z eno neznanko. Njena rešitev določa vrednost druge

neznanke.

Primer:

2, + 3. = 4� 2, + 3 ∙ 2 = 4

, − 2. = −5�/∙ (−2) 2, = −2

2, + 3. = 4� , = −1

−2, + 4. = 10

�7. = 14�� → ��. = 2

2. Zamenjalni način

Izrazimo eno neznanko iz ene enačbe in jo v drugi enačbi zamenjamo s tem izrazom.

Primer:

2, − . = 10�� → ��. = 2, − 10

5, + 2. = 16

5, + 2(2, − 10) = 16 . = 2 ∙ 4 − 10 = −2

9, = 36� , = 4

3. Grafični način

Narišemo obe premici v isti koordinatni sistem in odčitamo koordinati presečišča. To je

rešitev danega sistema enačb.


63

Če imamo sistem treh enačb s tremi neznankami, se najprej znebimo ene enačbe in ene

neznanke. Tako dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama. Nato se spet znebimo ene

enačbe in ene neznanke. Tako nam ostane le še ena enačba z eno neznanko, ki pa je ni težko

rešiti.

Primer:

, + . + 0 = 20�� → ��0 = 20 − , − .

3, + . + 20 = 43

, + 4. + 20 = 42

3, + . + 2(20 − , − .) = 43 , − 5 = 3

, + 4. + 2(20 − , − .) = 42 , = 8

, − . = 3

−, + 2. = 2 0 = 20 − 8 − 5 = 7

. = 5

3.3.9 Sistem linearnih enačb - VAJE

1. Reši sisteme enačb

a. , + . + 1 = 0,−2, + . + 4 = 0

b. , − . + 2 = 0, 2, + . + 1 = 0

c. 2, + 3. = 8, 3, + 4. = 10

d. −2, − 3. + 10 = 0,−3, − 5. + 17 = 0

2. Reši sisteme enačb

a. , + . + 0 = 5, , − . + 0 = 9, , + . − 0 = 1

b. 3, + 2. − 40 = 2, , + 5. + 30 = 18, 5, − 7. − 50 = −2

3.4 POTENČNA FUNKCIJA

Potenčna funkcija z naravnim eksponentom : je realna funkcija realne spremenljivke

(�:∇ → ∇), s predpisom

�(,) = ,%; : ∈ ⊆

Potenčna funkcija z naravnim sodim eksponentom

�(,) = ,(%

Lastnosti:

• Funkcija � je definirana na vsej realni osi

(A¹ = ∇).

• Zaloga vrednosti je množica nenegativnih

realnih števil (º¹ = ∇Z').


64

• Graf poteka skozi točke ¿(1,1), ¾(−1, 1) in Å(0, 0). • Za , < 0 je padajoča funkcija; za , > 0 je naraščajoča funkcija.

• Je soda funkcija, graf je simetričen glede na ordinatno os.

• Navzgor je neomejena, navzdol je omejena z vrednostjo À = 0.

• Funkcija ima eno samo ničlo pri , = 0.

Potenčna funkcija z naravnim lihim eksponentom

�(,) = ,(%J)

Lastnosti:

• Funkcija � je definirana na vsej realni osi

(A¹ = ∇).

• Zaloga vrednosti je množica ∇ (º¹ = ∇).

• Graf poteka skozi točke

¿(1,1), ¾(−1,−1) in Å(0, 0). • Je naraščajoča na vsem definicijskem

območju.

• Je liha funkcija, graf je simetričen glede na koordinatno izhodišče.

• Je neomejena.

• Funkcija ima eno samo ničlo pri , = 0.

Pri potenčnih funkcijah je eksponent lahko tudi negativno celo število

�(,) = ,J%; : ∈ ⊆�(−: ∈ ∧)

Potenčna funkcija z negativnim sodim eksponentom

�(,) = ,J(%

Lastnosti:

• A¹ = ∇ − h0i • º¹ = ∇

'

• Graf poteka skozi točki ¿(1,1) in

¾(−1, 1). • Za , < 0 je naraščajoča funkcija; za

, > 0 je padajoča funkcija.

• Je soda funkcija, graf je simetričen

glede na ordinatno os.

• Navzgor je neomejena, navzdol je

omejena z vrednostjo À = 0.

• Funkcija nima ničel.

• Graf ima vodoravno asimptoto (os ,) in navpično asimptoto (os .).


65

Potenčna funkcija z negativnim lihim eksponentom

�(,) = ,J((%'))

Lastnosti:

• A¹ = ∇ − h0i • º¹ = ∇ − h0i • Graf poteka skozi točki ¿(1,1) in

¾(−1, 1). • Za , < 0 je padajoča funkcija; za , > 0 je

tudi padajoča funkcija.

• Je liha funkcija, graf je simetričen glede na

koordinatno izhodišče.

• Je neomejena.

• Funkcija nima ničel.

• Graf ima vodoravno asimptoto (os ,) in navpično asimptoto (os .).

3.4.1 Premiki in raztegi funkcij

Vzporedni premik v smeri osi Æ grafa funkcije �(,) nam preslika graf v . = �(, − 3): • če je 3 > 0, je to premik v desno

• če je 3 < 0, je to premik v levo.

Vzporedni premik v smeri osi Ç grafa funkcije �(,) nam preslika graf v . = �(,) + 4:

• če je 4 > 0, je to premik navzgor

• če je 4 < 0, je to premik navzdol.

Razteg funkcije �(,) v smeri ordinatne osi za poljubno konstanto � nam vsako funkcijsko

vrednost pomnoži s faktorjem raztega; torej je predpis raztegnjene funkcije È(,) = � ∙ �(,): • za �� > 1, se graf raztegne v smeri osi ., strmina se poveča

• za 0 < �� < 1 se strmina grafa zmanjša, graf se skrči vzdolž osi .

• za � = −1 se graf prezrcali preko abscisne osi

Če ima funkcija � ničle, ima iste ničle tudi funkcija È.

Razteg funkcije �(,) v smeri abscisne osi za poljubni faktor � nam vsako absciso točke na

grafu pomnoži s � (ordinata ostane nespremenjena); predpis raztegnjene funkcije È(,) = R#:

• za �� > 1, se graf raztegne v smeri osi ,

• za 0 < �� < 1 se graf skrči v smeri osi , (strmina grafa se poveča)

• za � = −1 se graf prezrcali preko ordinatne osi


66

Grafi z absolutno vrednostjo

Graf funkcije ��(,)� dobimo tako, da ohranimo nespremenjene vse tiste dele grafa, za katere

je �(,) ≥ 0, in prezrcalimo preko abscisne osi tiste dele, kjer je �(,) < 0.

3.4.2 Potenčna funkcija – VAJE

1. Dana je funkcija �(,) = ,(

a. Nariši njen graf

b. Nariši graf funkcije È(,) = ,( − 4. Katere od točk (3, 5), (−4, 12) in (−1,−5) ležijo

na njenem grafu?

2. Dana je funkcija �(,) = ,*


b. Nariši graf funkcije È(,) = ,* − 1. Katere od točk (2, 7), (−4,−65) in (−1, 0) ležijo

na njenem grafu?

3. Dana je funkcija �(,) = ,J)


b. Nariši graf funkcije È(,) = ,J) + 1.

c. Zapiši presečišče grafa funkcije È in premice . = )( , + *

(. 4. Nariši grafe funkcij

a. �(,) = −,J) b. �(,) = ,J( + 2

3.5 KVADRATNA FUNKCIJA

Kvadratna funkcija je realna funkcija s predpisom �(,) = �,( + �, + 1, pri čemer so

konstante �, �, 1 ∈ ∇ in � ≠ 0.

Število � imenujemo vodilni koeficient kvadratne funkcije, 1 pa prosti člen.

Krivuljo, ki je graf kvadratne funkcije, imenujemo parabola.

Število c je začetna vrednost kvadratne funkcije. V točki (0, 1) seka graf kvadratne funkcije

os ..

Vsako kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v temenski obliki:

�(,) = �(, − 3)( + 4

Števili 3 in 4 sta koordinati temena kvadratne funkcije. Teme je točka �(3, 4), v kateri

kvadratna funkcija doseže ekstrem (najmanjšo oz. največjo vrednost):

• � > 0: v temenski točki ima kvadratna funkcija minimum

• � < 0: v temenski točki ima kvadratna funkcija maksimum


67

Koordinati temena lahko izračunamo po naslednjih formulah:

3 = − �2�

4 = − A4�

A je diskriminanta kvadratne funkcije, izračuna se jo po formuli:

A = �( − 4�1

3.5.1 Ničle kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima največ dve realni ničli. To sta vrednosti, pri katerih graf kvadratne

funkcije seka abscisno os.

Ničla funkcije je tisti ,, kjer je �(,) = 0.

�,( + �, + 1 = 0; � ≠ 0

Enačbo �,( + �, + 1 = 0 imenujemo kvadratna enačba.

Kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v ničelni obliki:

�(,) = �(, − ,))(, − ,() Ničelno obliko lahko dobimo iz splošne oblike z razstavljanjem, lahko pa ,) in ,( izračunamo

po naslednji formuli:

,),( = −� ± bA2�

Diskriminanta nam pove, koliko realnih ničel ima kvadratna funkcija:

• če je A > 0, ima kvadratna funkcija dve različni ničli;

• če je A = 0, ima kvadratna funkcija samo eno dvojno ničlo (ki je tudi teme te

funkcije);

• če je A < 0, kvadratna funkcija nima nobene realne ničle.

3.5.2 Graf kvadratne funkcije

Vpliv diskriminante in vodilnega koeficienta na graf kvadratne funkcije:

D > 0 in a > 0

D > 0 in a < 0


68

D = 0 in a > 0

D = 0 in a < 0

D < 0 in a > 0

D < 0 in a < 0

Postopek risanja grafa kvadratne funkcije:

1. Izračunamo koordinati temena, ničel in začetne vrednosti.

2. Narišemo graf.

3.5.3 Kvadratna funkcija – VAJE

1. Nariši graf funkcije

a. �(,) = 4,(

b. �(,) = ,( − 1

c. �(,) = 2,( − 2

d. �(,) = − )- ,( + 1

2. Določi ničli kvadratne funkcije

a. �(,) = ,( − 4

b. �(,) = 2,( + 2, − 4

c. �(,) = 2,( − , − 1

d. �(,) = 3,( − 5, + 2

3. Zapiši dano funkcijo v temenski obliki, določi ničli in teme ter nariši njen graf

a. �(,) = ,( + 2, − 3 b. �(,) = −,( + 6, − 5

4. Zapiši kvadratno funkcijo, katere graf ima teme v točki � in poteka skozi točko l.

a. �(3, 4), l(2, 3) b. �(3, 0), l(−1,−8) 5. Zapiši kvadratno funkcijo, ki ima ničli 2 in 4, njen graf pa poteka skozi točko l(6, 4). 6. Zapiši kvadratno funkcijo katere graf poteka skozi točke

a. l(0, 0), z(1, 3), {(−1, 1) b. l(0, 1), z(1, 4), {(−2, 13)


69

3.5.4 Kvadratna enačba

Rešiti kvadratno enačbo �,( + �, + 1 = 0 pomeni poiskati ničle kvadratne funkcije

. = �,( + �, + 1.

3.5.5 Kvadratna enačba – VAJE

1. Reši enačbo:

a. ,( − 5, = 0

b. ,( + 4, = 0

c. ,( + 5, + 6 = 0

d. ,( − , − 2 = 0

e. 2,( − 5, + 3 = 0

f. 4,( + 9, + 2 = 0

2. Reši enačbo:

a. (4, − 11)(, − 2) = (, − 2)(, − 4) + 4

b. (8, + 1)(2, + 1) = 4(, − 1)(, + 1) + 7

3. Računsko in grafično določi presečišča parabole in premice

a. . = −,(, . = −, b. . = ,( − 3, + 5, . = , + 1

4. Računsko in grafično določi presečišča parabol

a. . = ,( + 2, . = − )( ,( + 2

b. . = ,( + 2, − 3, . = −2,( + 8, − 6

3.5.6 Kvadratna neenačba

Rešiti kvadratno neenačbo �,( + �, + 1 > 0 pomeni poiskati tista intervala ali tisti

interval na x osi na katerem je graf funkcije . = �,( + �, + 1 nad osjo ,.

Rešiti kvadratno neenačbo �,( + �, + 1 < 0 pomeni poiskati tista intervala ali tisti

interval na x osi na katerem je graf funkcije . = �,( + �, + 1 pod osjo ,.

3.5.7 Kvadratna neenačba – VAJE

1. Določi območje, na katerem je dana funkcija pozitivna oz. negativna

a. �(,) = ,( − 16 b. �(,) = 4,( − 20, + 25

2. Reši neenačbo in rešitev prikaži na številski premici

a. −,( + 5, ≤ 0

b. −,( + 2, − 2 > 0

c. ,( + 4 > 3,

d. , > ,( + 2

ljudska univerza nova gorica - lung.si · pdf fileljudska univerza nova gorica matematika 1...

Documents