livro calculo 1 - swokowski 10º parte
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Capitulo 9TECNICAS DE INTEGRAQAo
Em capitulos anleriores obtivemos formulaspara 0 calculo de varios tipos de integra is.Muitas constam da conlracapa deste livro.Discutimos tambCm 0 metodo de substitui-fao, usado para transformar uma integralcomplicada em outra que possa ser facilmentecalculada. Neste capitulo consideraremos ou-tras maneiras de simplificar integrais, entreelas a integrar;iio por partes. Este poderosodispositivo permite-nos obter integrais inde-finidas de In x, arctg x e outras expressoestranscendentes importanles. Em se<;5es pos-leriores desenvolveremos tecnicas para sim-plificar integrais que contem potencias defunc<oes trigonometricas, radicais e expres-soes racionais.
Na Sec<3o9.7 explica-se a utilizlic<ao deuma tabua de integrais. Tais tabu as sao sem-pre incomplelas, sendo, por vezes, necessariousar da babilidade obtida em sec<oes anterio-res. 0 mesmo se diz de program as de com-putadores para calcular varias (mas nao todas)integrais indefinidas.
Para aplicac<oes que envolvem integraisdefinidas, pode ser desnecessario achar umaantiderivada e aplicar 0 leorema fundamentaldo calculo, porque a regra do trapezio ou aregra de Simpson perrnite-nos obter aproxi-mac<oes numericas. Em tais casos e inesti-mavel urn eomputador ou uma calculadoraprogramavel, os quais podem chegar a urnaaproximac<ao em questao de segundos.
, c~,/lwl0 de Integrayao por111111 (9.1) j'
.•.. !. > ", 'f'''' \~;'\~):;~a.J,':
Ate esteporit6:nao)emos condi~es de calcular integrais 'Como~ .' ..' .,. <'~;, -:.
0"', ,'"' '1·"r.' ,;''1~' ·1 ,:-,:-:;..,-~j~';: to,,, '."~.. , '~:"~'~;:::'
, "Jlnx'dx',fx<:dx,Jx2"serixdx,f arctgxdx".~
A proxima formula possibilita-nos calcular nao somente" estescomo muitos outros tipos de integniis, '
DEMONSTRAC;;AbI
Pelo Teorema (5.5)(i), a primeira integral a direita e igual af(x)g(x) + C. Como se obtem outra constante de integrallao nasegunda integral, podemos omitir C ria formula, isto e,
Como dv = ii'(x) dx e du = rex) dx, podemos escrever a formulaprecedente como em (9.1).
Ao aplicar a Formula (9.1) a uma integral, 0 primeiro passoe fazer uma parte do integrando corresponder a dv. A expressaoque escolhermos para dv deve incluir a diferencial dx. Apos aescolha de dv, denotamos a parte restante do integrando por u,e calculamos duo Como este processo implica em separar o'integrando em duas parte~, referimo-nos ao uso de (9.1) comointegra"iio por partes. E importante a escolha adequada dedv. Em geral, fazemos dv representar a parte mais complicadado integrando que possa ser prontamente integrada. 0 exemploa seguir ilustra este metoda de integrallao.
A lista seguinte con tern lodas as escolhas possiveis de (Iv:~.~":P'<.~",,,\.,,,;. "
dX, x dx, e 2r dx, xe 2r dx.", ,,[ ",J " ~•••..: • -, ::< ...(_;....-~,..';:".
A mais 'complexa destas expressiies que pode ser integrada'rapidainente e e 2r th. Assim, fazemos
'--'dv = e2r dx
A parte restante do integrando e u - isto e, u = x, Para achar II,
integramoSdv, obtendo v = ~e2r• Note que, nesleeslagio da
resolul$iio, nao se acrescenla nenhUIPa conslanle arbitraria. (NoExercicio 51 voce podera provar que, acrescenlando-se uma
;'constante ay; chega-se ao mesmo resultado final.) Se u eX, enmo, du = dx. Para facilidade de referencia, disponhamos estas expres-
s6es como seghe:
, Levando esias'expre~siies na Formula (9.1) - is to e, integrandopor partes, -'obtemos
fxe2rdx=x(~e2r)- f~e2rdx
Podemos calcular a integral it direita como na SellaO 7.4, obtendo
fxe 2r dx = !xe 2r - !e 2., + C2 •... 4
E necessario consideravel pralica para fazer uma escolhaadequilda de dv. Para ilustrar, se livessemos escolhido dv = x dx noExemplo 1, teriasido necessario fazer u = e2', donde
Como 0 expoente associ ado a.x aumentou, a integral a direilatomou·se mais complexa que a integral original. Isto indica uma'escolha incorrela de dv.
nJ3
(b) I xsec2xdxo
SOLUl;Ao(a) As· escolhas possiveis de dv saD
dx, x dx, secx dx, x secx dx, sec2 x dx. x sec 2x dx
A mais complexa destas express6es que pode ser prontamenteintegrada e sec 2x dx. Fazemos, pois,
Integrando por partes, obtemos
f x sec 2x dx ~ x tg x - f tg x dx
~ x tg x + In Icos x I+ C
(b). A integral indefinida obtida na parte (a) e uma 'antiderivadade x sec 2x. Aplicando 0 teorema fundamental do caIculo(e omitindo a conslante de iniegra«;ao C), obtemos
nJ3 nJ3fo x sec 2x dx ~ [x 19 x + In 1cos x I] 0
~ ( ~ 19 ~ + In I cos ~ I ) - (0 + In 1)
~ ( ~ V3 + In ~ ) - (0 + 0)
~ 7!:.. V3 - In 2 ~ 1 123' ,
Se, no Exemplo 2, tivessemos escolhido dv = x dx e::-::::::-::-:::-==-"7'"-:- ...!:u~sec2x, a integra«;ao por partes pela Formula (9.1) teria3IBLIOTECA :Gn DIVIE/UFre uzido a uma integral mais complexa. (Verifique!)
Z E L r::. 0 S L.(VH 0 S No proximo ~xe~plo aplicamos a integra«ao por partes
E\ .~u.:"',... !'.'. r.· '., •.... ,..• '" par achar uma anl1denvada da fun«;ao logaritmica natural.,:,Jggt: ~~i~l:i~_f;J~~
=NTREGANDf>OS EM DIT-« MPLO 3
Calcular Jlnxdx
IiAs vezespode ser necessario aplicar a integral;lio por partes
mais de uma vez no mesmo problema, confonne se ilustra a seguir.
~
e integramos por partes:
f x2e2zipx ~ X2(~ e2x) f (~i") 2x dx
Para calcular a integral no membro direito da ultima equat;fio,devemos novamente integrar par partes. Procedendo exatamcn·
, te como no Exemplo 1, temos:
o exemplo que segue iIustra outra maneira dccalcular 1111111
integral aplicando duas vezes a f~rmula de integra«;ao par pari's.: . ",~f, j '; ;...-..
EXEMPLO 5:~-'.;~•.'i -;r~(i ";< ,'':.' i;:,
Podemos fazer tanto dv = cos x dx, como dv = eX dx, pois qualquerUIDadessas duas express6es e facilmente integravel. Escolhamos
dv=cosxdx u..!ex
e integre:uos por partes como segue:
J eX cosx dx = eX sen x - J (sen x)ex dx
Aplicamos em seguida a integra<;ao por partes a integral nomembro direito de (1). Como escolhemos uma forma trigono-metrica para dv na primeira integra<;ao po~ partes, escolheremostambem uma forma trigonometrica na segunda. Fazendo
e integrando por partes, temos
J e' sen x dx = eX(-cos x) - J (-cos x)eX dx
J eX senxdx = -eX cosx + J eX cosx dx
Utilizando a equa<;ao (2) para fazer a substitui<;ao no membrodireito da equa<;ao (1), obtemos
J eX cosxdx = e'senx- [ -ex cosx+ J eX cosx dx ]
ou, Jexcosxdx=exsenx+excosx- Jexcosxdx
Somando J eX cos x dx a ambos os ryembros da ultima equa<;ao,obtemos:
Finalmente, dividindo ambos os membros por 2 e adicionandoa constante de integra<;ao, obtemos
Poderiamos tambem ter calculado a integral utilizandodv = eX dx para a primeira e para a segunda aplica<;ao da fun<;aointegra<;ao por partes.
Dev'emos esclilher cuidadosamente as substitui<;iies aoc~lcular uma integral do tipo dado no Exemplo 5. Suponhamosque, no calculo da integral a direita da equa<;ao (1) da solu<;ao,tivessemos escolhido
·t
A inieira.<;.a.opor partes entao conduziria a
,"'JeXsenxdx=(senx)eX- Jexcosxdx i
Se substituimos em (1), obtemos
Je~eOsxdx~exsenx- [exsenx- Jexcosxc4]que, se reduz a
Embora se trate de umll afirma<;ilP verdadeira, nao e evidente-mente urn eel/culo da integral dad~.
As escolhas posslveis de dv saG
dt, sec x dt, sec 2 x dt, sec) x dx
A expressao mais complexa que pode ser integrada facilrnente'e se2 x dx. Fazemos entao
e inlegramos por partes:
J sec) x dx = sec x tg x - J sec x tg 2 X dx
Em lugar de aplicar outra integra<;ao por partes,' mudemos aforma da integral a direita valendo-nos da identidade1 + tg 2 X = see 2 x, 0 que nos d<i
J see) xdx = seex tgx - J secx (see 2 x -1) dx,
ou I see3 xdx = seex tgx - I see3 xdx + I see'xdx
Adicionando J see 3 x dx a ambos os membros da ultima equattiio,obtemos
2 I see 3 x dx = see x tg x + I see x dx
Calculando agora J seex dx e dividindo ambos os membros da
equattiio resultante por 2 (e aerescentando entiio a eonstante deintegrattiio), obteinos
I see 3 x dx = ~see x tg x + pn I see x + tg x I+ C
A integrattiio por partes pode as vezes ser usada para obterformulas de redu~iio para integrais. Utilizamos tais formulaspara escrever uilia integral que eDvolve poteneias de urnaexpressiio, em termos de integrais que envolvem poteneiasinferiores da mesma expressiio.
I seDx x dx ,= -cos x sen n -1 X + (/l - 1) I seD n'- 2X eos 2x dx
Como cas 2x = 1 - sen 2x, podemos eserever
o membro esquerdo da equa~iio se reduz a /lIsen x dx. Divi-
diDdo ambos os membros por /l, obtemos
I 1. n -IIsenn xdx = - - cas x senn-1 x + -- senn~2 xdx. n n
Aplique a formula de redu<siio do Exemplo 7 para ealcular
I sen4 xdx.
Aplicando a formula de redu~iio, com /l = 2, para a integral adireita, temos
Isen2xdx=-~cosxsenx~I dx
E evidente que, mediante apliea~oes reiteradas da formulado Exemplo 7, podemos calcular J sen n X dx para qualquer inteiro
positivo /l, porque essas redu~oes sueessivas teiminam emJ sen x dx ou J dx, ambas imediatamente integraveis.
i·Ji"f arctg x dx '
~
(;~f Vi In X,dx
15 f x csc2X dx
17 f~-xsen~dx
f9 fsenxlnrosxdx
i3\Jx2 e3x dx\J
@:{x cos 5x dxDfI I\'L x secx tgx dx
I In\r 2\ \~ x rosxdx
14 f i Inxdx
16J x arctg x d:r
18 f e3x ros 2x dx
20 i x3 e-x' dxo
1/, •• ',,, .•. 22 I seeS xdx
J 1
24 I sen III x dx1\ / V _,/x" \ J ., 1
nIl
26 Ix secZ 5x dxI 'Nell 2t dx
"1./ \(111''3)9') dx
28I ..•/S
3dx
I-x
'I J H~\ R'II 5xdx 30 I x3 cos (xZ) dx
II .r (III )Z ,/x 32 Ix 2' dx
, I f \ I "cnh X dx 34 I(x+ 4) cosh 4x dx
, .r CIl. x ,/x 36 I arctg 3x dx
II II" '"\JS x ,/x 38 I (x + 1)IO(x ~ 2) dx
11:~11l'·S. 39-42: Use a integra~ao por partes para"Illhol 'cer n f6rmula de redu¢o.
\II II·"t!,/x-Xmi'-mIxn·1i'dx
f m secm-2xtgx m-2I m-Z.Il seC X ,/x ~ ----+ -- sec x dx
m-l m-l
II,' Use 0 Exerdcio 41 para ealeular I (In x)4 dx.
'I~ Se f(x) - sen Vi, ache a area da regiao sob 0
p,rnfico de f de x ~ 0 a x = Itz.
11(, A regiao delimitada pelo gnifico de y = x >lsen x e" eixo-x de x - 0 a x = 1t/2 gira em tomo do eum-x.Detemune 0 volume do sOlido resultante.
1\7 A regiao delimitada pelos graficos de y = In x,y = 0 e x = e gira em lomo do eixo-y. Ache 0,
volume do s6lido resultante.
,'48 Suponba que a for~a f(x) atuando sobr: 0 pontode coordenada-x em uma reta coordeDada I sejadada' por f(x) = x5 VX3+1. Determine 0 trabalhorealiza~1I ao mover urn objeto de x ~ 0 a x = 1.
49 Determine II centr6ide da regiao delimitada pelos'graficos das equa~6es y = e, y ~ 0, x - 0 ex = In 3.
50 A velocidade (no instante t) de urn poDto que semove ao longo de uma reta coordenada et le1J m/s. Se 0 ponto esta na origem quandot - 0, ache sua posi~ao no instante t.
51 Ao aplicar a f6rmula de integra¢o por partes(9.1), mostre que se, ap6s a escolha de dv,escrevermos v + C em lugar de v, chegaremos aomesmo resultado.
52 Na Se~ao 6.3, a discussao da determina~ao devolumes por ~eio de cascas cillndricas ficouincompleta, porque nao mostramos que 0 metododos discos conduz ao mesmo result ado. Utilize aintegra~ao por partes para mostrar que, se f ediferenci<ivel e I'(x) > 0 em [a, b] ouI'(x) < 0 em [a, b], e se Ve 0 volume do s6lidoobtido pela rota~ao em tomo do eixo-x da regiaodelimitada pelos graficos de f,x = aex = b, entaoobtemos 0 inesmo volume V, quer usemos 0
metodo dos discos, quer 0 metodo das ciscas.(SlIgestiio: Sejag a fuo~iio inversa de f, e use a
•inlegra~ao por partes em f. 1t[f(x)j2 dt.)
53 Discuta a seguinte aplica~ao da F6rmula (9.1):
Dada I (llx) dx, seja dv = dt e u = Ilx, de modo
que v =X e dll = (-11 xZ)dt. EDtaO./
I~dt = U )x - Ix( - ~ ) dt
54 Se u = f(x) e v = g(x), prove que a analoga daF6rmula (9.1) para integrais definidas e
b []b bfa U dv = uv a - fa V du
No Exemplo 7 da Se<;ao 9.1 obtivemos uma f6rmula de redu<;iiopara f ~en " x dx. In tegrais desse tipo pod~m tambCm ser ealeu-
!ad~s sem reeorrer a integra<;ao por partes. Se II e UID inteiropositivo impar, eome<;amos por eserever
Jsen " x dx =f sen ~- 1 X sen x dx
Como 0 inteiro n - 1 e par, podemos utilizar a iclentidadetrigonomeirica sen 2 x'; 1 - eos 2 x para ehegar a Uljl~ f6rmulafiicil de integrar, eonforme exemp!o seguinte. '
EXEMPLO 1~<. ,
Caleu!ar f sen 5 x dx
=f (1- 2 CDS 2 X + CDS 4 x) sen x dx
Se 0 integrando e sen n X ou cos" x e n e par, entaopodemos aplicar a formula de angulo-tnetade
2 1- cos 2xsen x= 2
2 l+cos2xou cos x = 2
Integrais que envolvem apenas produtos de sen x e cos xpodem ser calculadas mediante as seguintes diretrizes.
Diretrizes para calcularf sen m x CDS n x dx (9.2)
Para integrandos da forma. tgm x sec" x, valem dirclrlz·
anaJogas as (9.2).
1'1" 11//,08 para calcular1111 /II, OC n x dx (9.3)
Sao calculadas de maneira analoga integra is da forma
f catm x csc" x dx.
Finalmente, se urn integrando tern uma das formascos mx cas nx, sen mx sen nx ou sen m~ COS llX, utiliza-se umaforma produto-soma para facilitar 0 calculo da integral, conformeexemplo a seguir.
1 J eos3 x dx 2 J sen2 2xdx
3 J sen2x eos2x dx 4J cos? xdx
5 J sen 3 x eos2x dx 6 J sens x cos3 x dx
7 J sen6x dx 8 J sen4 x cos2x dx
9 Jtg,3xsee4xdx 10 J see6 xdx
11 JIg3 x see2 x dx 12 JIgS xseexdx
13 Jtg6xdx 14 J cot4 xdx
315 J vsen x eos3 x dx 16J~dx
Vsenx
17 J(tgx+eolx)2dx 18 J cot3 x ese3 x dx
. n/419 f. sen3x dx 20 i tg2 (1m) x dx
0 o 4
21 J sen 5x sen 3x dx. "'4
22 J eosx eos 5x dx0
nf223 f. sen 3x cos 2x dx
0
24 J sen 4x eos 3x dx
25 J ese4 x COl4x dx 26 J(l + veosx)2seDxdx
27J~dt2
28J~dx2 - senx sec2 x
230 J seex 'dx29J~dx
(1 + tgx)2 . cotS x
31 A regiao delimitada pelo eixo-x e pelo griifieo dey = eos2 x de x = 0 a x = 2n gira em torno doeixo-x. Determine 0 volume do s6lido resultante.
32 A regiao entre os graficos de y = tg2 X e y = 0 dex = 0 a x = rr/4 gira em torno do eixo-x. Determi-ne 0 volume do solido resultante.
33 A velocidade (no instante I) de um ponlo emmovimento sobre uma reta eoordenada eco ~nl m/s. Qual a distaneia pereorrida peloponto em 5 segundos?
34 A acelera~ao (no instante I) de urn ponto emmovimento sobre uma rela eoordenada esen2t cos 1IIIIS'. Em 1= 0, 0 ponto esta na origeme sua velocidade e 10 mls. Determine sua posi~iiono instanle I.
(b) Obtenha f6rmulas amilogas as da parte (a)para provar que
36 (a) Use a parte (a) do Exercicio 35 para provarque
f sen Int seD/IX dx = {O-n 1t
(i) r sen = eos /IX dx-n
(ii)r cos =eos IIX dx-n
Substituir;6estrigonometricas (9.4)
9.3 SUBSTITUI<;OES TRIGONOMETRICAS
No Exemplo 1 da Se<;ao 1.3 mostramos como transformar aexpressao var:::xr, com a > 0, em lima expressao lrigonome-triea sem radieais, utiliz<J,ndo a substi/lli~iio lrigollomerricax = a sen B. Podemos adotar proeesso analogo para ~ e~. Esta teeniea e uti! para eliminar radieais de certos tiposde integrando. Veja as sllbstitui<;6es:
Ao fazer lima substitui<;iio trigonometriea, admitimos queB esteja no eontradom!nio da fun<;ao trigonometriea inversaeorresponilente. Assim, para a substituic;ao x = a sen e, temos-n/2 s B s n/2. Neste easo, eos B ;" 0 e
~ =Va2_azsenzB
Se y;;r::xr apareee em urn denominador, acreseentalUos arestri<;iio Ix I,.a ou, equivalentemente -n/2 < B < n/2.
I 1 dxX2~
o integrando con tern v'I6'=?, que e da forma Va 2 - X r COlli
a = 4. Logo, por (9.4), fazernos
x = 4 sen e para -rt/2" 0 < rtI2.
Segue-se que
V16-x' =V16-16sen'e =4V1-sen'e =4Veos'e =4eosO
Como x = 4 sen e,temosID: •• 4 cos ede. Substituindo na inte-~gral dad~, obiemo;··::·,.:~~·.::.:'.,.:,;;::,· " .' .. , ,,,
." ; 1'>'"'''' 00'" 1' I x2.ff6=7d.x,=I (~6 sen 2 e)4 cos 8 4 cos 8 d8
': 1 '=iJ scn28 d8
'= XI' cse2 8 d8.. 16
= -.Lcot 8 +C" 16, . '
Devemos agora voltar 11 varia vel de integra~o original, x.Como 8 = arcsen (xI4), poderiamos escrever - 10 cot 8 como
- 10 cot arcsen (xI4), mas esta expressao e de manus~io dificil.
Como' 0 lntegrando contem V16=?, e preferivel que a formacalculada tambem contenha este radical. Ha urn metodo geometricoque garante a ocorrencia Wsso. Se 0 < e < nl2 e sen'8 = x14,podemos interpretar e como um lingulo agudo de urn trilinguloretlingulo ,com comprimentos x e 4, os quais correspondem,~espectivamente, ao lado oPosto do lingulo e 11 pr6pria hipotcnusa(veja a Figura 9.1). Pelo teorema de Pitagoras, 0 comprimento dolado adjaccnte e v'16 _x2• Considerando 0 triangulo, obtemos
6-..fI6=XT
cot ---x
Pode-se mostrar que a ultima forma tambem e verdadeira se-n12 < e < O. Assirn, a Figura 9.1 pode ser us ada, quer 6 sejapositivo quer ncgativo. •
Substituindo cot 8 por v16 _x2 Ix em 00550 c3.Iculo, obtemos
Se um integrando eontem ..r;;r:;xr para a > 0, entao,'por(9.4), aplicamos a substitui~ox = a tg e para e1iminar 0 radical.Ao usar esta substitui~ao, admilimos que 6 esteja no conlrado-minio da fun~ao inversa da tangentc, isto e, -n12 < 6 < n12.Neste caso, sec 6 > 0 e
~ =v'a2+a2tg26=v'a2(I+tg28)= v'a2 see2 8
= a see 8
Ap6s substituir e ealcular a integral trigonometrica resultante, enecessario voltar 11 variavel x. Pode-se fazer isto aplicando a formulatg 8 = xla e considerando 0 trilingulo retlingulo da Figura 9.2 .
I 1 dx"';4 +x2
o denominador do integrando tern a forma ...;ar+Xi coma = 2. Logo, por (9.4), fazemos a substitui<;ao
x = 2 tg 8, ·dx= 2 sec 2 e d8
;I.~dx=I-2 1 82see2ed8, y4+x' sec
= In I sec 8 + tg 81 + C
Como tg e =xI2, esbo<;amos 0 triangulo da Figura 9.3, dondeobtemos .
v'4+x~see 8=--2-
I-1-dx I \V4+X1 ~IC-f4+XT =n 2 +2+
\y;;:;xr +x I I'~ IIn 2 +C=ln y4+x- +x -ln2+C
Como y;;:;xr + x > 0 para todo x, toma-se desneeessario 0
sirnbolo de valor absoluto. Fazendo tambem D = -In 2 + C,obtemos
r~ dx= In ("4 +x2 +x) +Dv4+x-
:2jece=~x
..Jx2 - a2
B
a
:2jece=J,"x ,
..J x2-9
e3 '
Se urn integrando contem ~, entao, de acordo com(9.4), fazemos a substituic;ao x = a sec 0, on de 0 e escolhido nocontradomfnio da funC;ao secante inversa; isto e, ouo s 0 s nl2 ou 1t S 0 < 31t/2. Neste casq, tg 0 « 0 e
= Va 2(sec2 0 - 1)
=~
=a tgO
xsec 0 =-a
podemos recorrer ao triangulo da Figura 9.4 ao passar da variavelo para a variavel x.
Calcular fv'x ~- 9 dx
o integrand6 con tern v'x2_ 9, que e da forma ~ coina = 3. De acordo com (9.4), fazemos a substituiC;aQ
x = 3 sec 0, dx = 3 see 0 tg 0 dO
f~ f~'---dx= 3 03secOtgOdOx ' see "-.= 3 f (sec 20 - I)dO = 3 f see 20 dO - 3 f dO
= 3 tg 0 -30 + C
Como sec 0 = x13, podemos reeorrer aotriangulo retangulo daFigura 9.5. Considerando que tg 0 = ~/3 e 0 = arcsee (i),obtemos
n'-./1 - x'
Figura 9.6
fVX~-9 dx=3"';x23-9 -3arCSeC(~)+C
= "';x2 - 9 - 3 aresec ( ~ ) + C
Como veremos no proximo exemplo, podemos usar subs-titui<;6es trigonometricas para ealcular cerlas integrais que en-volvem (a 2 - x2)n ,(a 2 +x2) n, ou (X2 - a 2)n, nos easos em quen =~.
EXEMPLO 4
(I_X2)312Calcular f x6 dx
SOLu<;Aoo integrando contem a expressao 1- x2, que e da formaa 2 - X 2 com a = 1. Aplicando (9.4), substituimos
x = sen 0, dx = cos 0 dO
Assim, 1- x 2 = 1- sen 2 0 = cos 2 0, e
( 2)312 ( 20)312f 1- x dx =f cos cos OdOx6 sell 6 0
=ICOS40 do=Icos40 ._I_dOsen 6, 0 sen 4 0 sen 2 0
=Icot40csC20pO
= _~cot5 0 + C
Para voltar 11 variavel x, observamos que sen 0 = x = xII <;
recorremos ao triangulo retangulo da Figura 9.6, oblendocot 0 = ~/x. Logo,
5
f(I-X2~dx=_.!.("';1-X2) +Cx6 5 X
(1-x2~=- 5 +C
5x
Apesar de dispormos agora de tecnicas adieionais d.e intcgl'1l-C;ao, e conveniente relembrar' sempre os metodos antenores. PQrexemplo, a integral f (x~) dx poderia ser calculada I ·In
, ,
substituis:ao trigQnometrica oX = 3 tg 6. Todavia, e mais simplesutilizar asubstitUis:ao algebrica u = 9 + X 2 e du = 2x dx, pois,neste caso, ~ integraltoma a forma Hu -lfl, que e imediatamente
integravel pel a regra da pcilencia. Os exercicios a seguir induemintegrais que podem ser calculadas por meio de tecnicas maissimples do que as substituis:oes trigonometricas.
I I r -tI(( 2\ 4-x
r I-dx
()+)1
J' I--dxl-ry---, Vx'-25
dx2
.l
I) I '--dx.• (, _ 1)312.
/' I-
II 2"2dx, (1/".')
J' ,It ./~tlx
V'i -4x
31"1' ~dx. Vy 2+49
/" III) --dx, ," 1;2_3
fV4-~2 --dxx2
)4f 1 dx
\ ..~V~+9'--------
6f 1 dxx3V~_25
8Jxth•.~
IOfd=xdx4x -25
12f 1 dx(16 _ x2)512
14f-l_zd(49+x
18 f 1 dxxV25)1 + 16
f~dxVl-x2
1'1\ r"g,ao delirnitada pelos gr3ficos dey - x (x 2 + 25) -lfl, Y = 0 e x = 5 gira em tomoII•• "ixo-y. Ache 0 volume do solido resultante.
24 Ache a area da regiiio delimitada pelo grmco dey = x3(10 - x2)-II2, pelo eixo-x e pela reta x = 1.
Exercs. 25·26: Resolva a equa<;iiodifererlcial sujeita'. 11 condi<;iioinicial dada.
2Sxdy =Vx2 -16 dx;
26 Vl_x2 dy =x3 dx;
Exercs, 27-32: Use urna substitui<;iiotrigonometricapara estabelecer a formula. (Veja as Formulas 21,27,31,36,41 e 44 no Apendice IV.)
27 fVa2 + 112 dll=
28 f 1 dll= -lln IV;;Z;;; + a I+ CII Va2+112 a II
II 2 Z _~ a4 II8" (211 - a ) V a~ - II' + 8 arcsen -;;+ C
f 1 1 -~ .~30 ----dll=--Va~-II'+c
112 VaZ_ IIZ aZIi
vi_az -~ a31f--- dll= VII~ - a' - a arccos - + C
II II
Recorde que, se q e 'uma funs:ao racional, entao q(x) == f(x)/g(x), onde f(x)" e g(x) sao polinomios. Nesta ses:aoestabeleceremos regras para 0 calculo de Iq(x) dx.
Consideremos 0 caso especifico q(x) = 2/(x 2 - 1). E filcilverificar que
1 -1 2--+--=-2-x-I x+l x-I
A expressao 11 esquerda da equas:ao e chamada decomposiriioem fraroes parciais de 2/(x2 - 1). Para achar Iq(x) dx, integra-
mos cada uma das fra<;oes que constituem a decomposi<;ao,oblendo
J 2 J 1 J -1--dx= --dx+ --dxx2_1 x-I x + 1
IX-l/=.In -- +C. x+l
Teoricamenle e possivel escrever qualquer expressaof(x)/g(x) como uma soma de expressoes racionais cujos deno-minadores envolvem polencias de polinomios de grau naosuperior a 2. Especificamente, se f(x) e g(x) sao polinomios ese 0 grau de f(x) e inferior ao grau de g(x), entao pode-se provarque
Ax+Bou (ax2+bx+c)"
para reais A e Ben inteiro nao-negativo, onde ax 2 + bx + c eirredutivel no senti do de que este polinornio quadriitico nao ternzeros (is to e, b 2 - 4ac < 0). Neste caso, ax 2 + bx + c nao podeexpressar-se como 0 produto de dais polinomios do primeirograu com coeficientes reais.
A soma F + F +, .. F, e a decomposi<;iio em fra~oesI 2 r
parciais de f(x)/g(x) , e cada Fk e uma fra<;iio parcial. Nao
provaremos este resullado algebrico, mas estabelecerep10s dire-trizes para obter a decomposi<;ao.
Diretrizes para a decompo-sigiio de f(x)/g(x) em frag6esparciais (9.5)
As diretrizes para achar a decomposic;ao em frac;6es parciaisde f(x)/g(x) devem ser ap!icadas somenle s~Of(x) liver grau inferiorao de g(x). Se isto nao ocorrer, teremos de recorrer a divisao parachegar a forma adequada. Por exemplo, dada
Xl - 6x2 + 5x - 3x2 -1
Xl + 2x2 - 3x =x(x2 + 2x - 3) =x(x + 3)(x - 1)
Cada fator lem a forma indicada na Regra a de (9.5), comIn = 1.Assim, ao falor x corresponde uma frac;ao parcial da formaA/x. Analogamente, aos fatores x +3 e x,-1 correspond emfrac;6esparciais B/(x + 3) e C/(x - 1), respectivamente. Porlanto,a decomposic;iio em frac;oes parciais lem a forma
4x2+13x-9 ABCx(x + 3)(x -1) - ~ + x + 3 + 'x - 1
Passamos entao a decomposic;ao de (6x - 9)/(x2- 1) em frac;oes
parciais.--------
Multiplicando pelo minimo denominador com urn, oblemos
(*) 4x2+ 13x-9=A(x+3)(x-l) +Bx(x-1) +Cx(x+ 3)
Em casos como esle, em que os falores sac todos !ineares e naorepetidos, os valores de A, B e C pod em ser oblidos pelaSubslilUic;aode x por val ores que anulem os varios fatores.
Fazendo x = 0 em (*), lemos
Fazendo x = 1 em (*), obtemos
8 =4C, ou C= 2
4x2+13x-93 -1 2-----=- - +-- +--X(X + 3)(x - 1) x x + 3 x-I
Integrando e denolando por K a soma das conslantes de inlegra-c;ao,lemos
I4x2+13x-9 dx I3 dx J -1 dx J 2 dxx(x+3)(x-l) = ~ + x+3 + x-I
=31n lxi-in Ix+31 + 2inlx-11+K
= in Ix31-ln Ix + 31 + In Ix _112 +K
I X3(X _1)21=In x+3 +K
"'=."" ' ..
Dutra tecruca para deterrninar A, B e C e desenvolver 0
..'membra direilo de (*) e agrupar os lerrnos de mesma polencia..de x, como segue>, ,:"".
4x2 + 13x";';~9;;;':(A+B + C)x2+ (2A- B + 3C)x- 3A -
Valemo-nos agorad~ de fato que, se dois polino~i~s sap iguais:-enlao os coeficientes de iguaispotencias de x sap os mesmos. Econveniente disp6r nosso trabalbo da seguinte mane ira, a qualcbamamos~ompara~iio de coeficientes de x.
.c~eficientesdex2: A +B+C=4
; coefic!enies de x: 2A - B + 3C~ 13,; ,." " 1"-
Pode-se verificar que a solm;ao deste sistema de equal10es eA = 3, B = -1 e C = 2. .
f3X3_18x2+29X-4Ca1cular . (x+ 1)(x-2)3 dx
Pela Regra a de (9.5), ha uma fral1ao parcial da formaA/(x + 1) que corresponde ao fator x + 1 no denominador deintegrando. Para 0 fator (x - 2) l aplicamos a Regra a (comm = 3), obtendo uma soma de tres frac;oes parciais B/(x - 2),C/(x - 2)2 e D/(x - 2)3. Conseqiientemente, a decomposic;ao emfral10es parciais tern a forma
3xl-18x2 + 29x - 4(x + 1)(x - 2) 3
ABC D--+--+---+---x+ 1 x-2 (X_2)2 (X-2)3
(*) 3x3 -18x2 + 29x- 4 =A(x - 2)3 + B(x + 1)(x - 2)2
+ C(x + 1)(x - 2) +D(x + 1)
Duas das constantes incognitas podern ser determinadas facil-mente. Fazendo x = 2 em (*), obtemos -- ...-
Da mesma forma, fazendo x = -1 em (*), temos
-54=-27A ou A =2
As demais constantes podem ser obtidas por comparac;ao doscoeficientes. Atenlando para 0 membro direito de (*), vemos queo coeficiente de x3 e A + B. Este coeficiente deve ser igual aocoeficiente de x3 a esquerda. Assim, por comparac;ao,
coeficientfs de Xl: 3 =A +B
Como A = 2, segue-se que B = l.
Finalmente, compimimos os termos constante& de (*)fazendo x = 0, 0 que nos dii:
termoscollstanles: -4 = -SA + 4B - 2C + D
Levando os valores jii achados para A, BeD na equac;aoprecedente, temos
que tern a soluc;ao C = -3. A decomposic;ao em fra¢es parciaise, portanto,
3x3-18x2+29x-4 I 2 1 -3 2--+--+---+---(x+1)(x-2)3 x+1 x-2 (X-2)2 (X-2)3
Para obter a integral dada, integramos cada urni! das frac;oesparciais do membro direito da ultima equac;ao, obtendo
·3121nIx + 11+ In Ix - 21 + x _ 2 - (x _ 2) 2 + K
com K igual a soma das quatro constantes de integral1ao. Esleresultado pode ser escrito na forma
3 1In[(x+1)2Ix-2Il+ x-2 - (X_2)2+K
f X2 -x- 21Ca1cular 2x3 _ x2 + 8x _ 4 dx
Aplicando a Regra b de (9.5) ao fator quadriitico irredutivelx 2 + 4, vemos que uma das frac;oes parciais tern a forma(Ax + B)/(x 2 + 4). Pela Regra a, hii tambem uma frac;ao parcialq(2x - 1) correspondente ao falor 2x - 1. Conseqiientemente,
x2-x-21 Ax+B C2x3-x2+8x-4== x2+4 +2x-l
Pode-se achar facilmente uma constante. Fazendo x = ~em (*),obtemos
AS demais constantes podem ser achadas por compara"ao decoeficientes de x em (*); .
coeficiell1es de x 2: 1 = 2A + C
coeficientes de x: -1 = -A + 2B
termos constantes: -21 = -B + 4C
Como C = -5, segue-se de 1 = 2A + C que A = 3. Da mesmaforma, utilizando os coeficientes de x com A = 3, temos-1 = -3 + 2B ou B = 1. Assim, a decomposi~o do integrandoem fra"oes parciais e
x2-x-212x3-x2+8x_4
3x + 1 -5--+--x2+4 2x-1
3x 1 5=--+-----x2+4 x2+4 2x-1
Pode-se agora calcular a integral dada integrando 0 membrodireito da Ultima equa"ao, 0 quc nos d<l
Aplicando a Regra b de (9.5), com Il = 2, tcmos
5x3-3x2+7x-3 Ax+B Cx+D(x2+1)2 =x2+1 +(x2+1)2
Multiplic~do pelo m~nor divisor comum (x2 ~ 1) 2 temos
5x3 - 3x2 + 7x - 3= (Ax +B)(x2 + 1) + Cx+D
5x3 - 3x2 + 7x- 3 =Ax3 +Bx2+ (A + C)x+ (B +D)
---~~-~----I_-------_3•.•....... ---............. _.- _ .... -----_.
coeficientes de x 3: 5 = A
coeficienles de x 2; -3 = B
coeficientes de x: 7 = A + C
lermos cOllslanles: .-3 = B + D
Temos assim A=5, B=-3, C=7-A=2 e D=-3-B=O.Port an to,
5x3-3x2+7x-3 = 5x-3 +~(x 2 + 1) 2 X 2 + 1 (x 2 + 1) 2
5x 3 2x= X 2 + 1 - X 2 + 1 + (x 2 + I) 2
Integrand.o, vem
I5x3 _3X2 + 7x- 3 dx= lln (x2+ 1) _ 3 arctgx--/- +K(x2+1)2 2 x +1
Exercs. 1-32: Calcular a integral.
1 f5x-12 dxx(x - 4)
2 f x+34 dx(x- 6)(x+ 2)
3 37-1lx dxf(X+1)(x-2)(x-3)
4 .f 4x2 + 54x + 134 dx(x-l)(x+ 5)(x+ 3)
5 f6x-lldx(x _ 1)2
26 f-19x2 + 50x - 25 dx
x (3x- 5)
7 f x+ 16 dx 8 f llx+2 11:{~+2x-8 2x2_ 5x-3-·
f 2x2 - 25x - 3311 -----dx(x + 1)2(x - 5)
12 f 2x2
- 12x+ 4 dxx3_42
14 f5x2 + 30x + 43 dx. (x + 3)3
lsfx3+62+3X+16dxx3+4x
16f 12+7; dx~+6x+9
f 5~+llx+17 dx17 ~+52+4x+20
20J~dx -.,'"(~+1)3 '
22JX4
+ U+ 4x + 1 dx(x2 + 1)3 ",
4 224 JX + 2x + 3 dx
x3 :"4x '
J I Jh I - 5i + 4& + 98 dx '(i+x _12)2
" 3 2J/I r 1\ -Jx -3x +3x+1 dx· i(x+ 1)3
/,'111 +9x+l
III I -2--dx· ~< ,·3x +x
II r\\'13i+3X+63dx• (i_9)2
\
!AI' x" - 2\3 + 4x2 - 15x + 5 dx(.l + 1)2(x2 + 4)
I"~"I .'~. 33-36: Use fra,Des parciais para calcular a'""WIlI (vcja as F6rmulas 19, 49, 50 e 52 da tabuaII. "'l'grni~no Apendice TV).
/' I
". I '2duII - U
34J_l_duu(a +bu)
J. I.\ ? - du
U (II +/JII)36 J 1 2 du
u(a +bu)
1'1.'.~ J( d - x/(x2 - 2x - 3). ache a area da regiao'oil u griifico de f de x ~ a a x - 2.
III A Icgiao delimitada pelos ,graficos dey - I/(x - 1)(4 - x), Y ~ O. x ~ 2 e x - 3 gira em"" "" do cixo-y. Determine 0 volume do solido1t~~\Iltantc.
39 Se a regiiiodescrita no Exercicio 38 gira em tomodo eL'to-x,ache 0 volume do solido gerado.
40 Na lei logfstica de crescimento admite-se que, noinstante I, a taxa de crcscirnento f(l) de umaquantidade f(l) seja dada porf(1) ~Af(t)[B - f(I)], com A e B constantes. Sef(O) ~ C, mostre que
f(I)- BCC + (B - C)e-AB/
41 Como altemativa ao metodo das fra,Des parciais,mostre que uma integral da forma
f 1 dxax2 + bx
f-..illiL dx0+ (blx)
f_l_dxaxn + bx
43 Suponha que g(x) - (x - c.)(x - c2) ••• (x - cn)
para urn inteiro posilivo n e reais distintoscl' c2 •••• , cn' Se f(x) e urn polin6mio de grauinferior a II, mostre que
f(x) =~+~+ ... ;~g(x) x - C1 x - C2 x - Cn
com At c f(ct)/g'(c.) para k = 1,2, ... , II. (Trata-se, na realidade, de urn metodo para obter adecomposi,ao em fra,oes parciais quando 0 de-nominador pode ser favorito em fatores line,aresdistintos.)
44 Use 0 Exercicio 43 para achar a decomposi,aoem fra,Des parciais de
2\4 _ x3 - 3'; + 5x + 7
x5_5x3+4x
A'decomposi,ao em fra,6es parciais pode conduzir a integran-dos que. con tern uma expressao quadnitica irredutiyel comoax2 + bx+ c. Se' b ¢ 0, e necessario as vezes complctllr 0 qua-drado como s~g'ue:
A substitui,ao u = x + b/(2a) pode eolao conduzir a uma formainlegravel.
EXEMPL01
I 2x-1Calcularx 2 _ 6x + 13 dx
SOLu<;AoNot~ que a expressao quadratica x 2 - 6x + 13 e irredutivcl, po isb2 - 4ac = -16 < O. Complctamos 0 quadrado como segue:
x2_ 6x + 13= (x2-6x)+ 13
- (x2 - 6x + 9) + 13 - 9 = (x - 3)2 + 4
5 x-3= In (x2 - fix + 13) +:2 arctg -2- + C
Podemos lambem empregar a teenica de eompletar 0
quadrado quando uma expressao quadnitica apareee sob 0 sinaldo radical. '
Calcular f../ 1 2 dx8+2x-x
SOLUl;Ao
Completamos 0 quadrado da expressao 8 + 2x _x2 eom~ segue:
8+2x-x2= 8 -(x2_2x) =8+ 1- (x2-2x+ 1)
=9-(x-l)2
f 1 dx -f 1 dx../8+2x-x2 - ";9-(x-l)2
f 1 dx-f 1 dx../8+2x-x2 - ../9-(x-1)2
=f_l_du~
= arcsen !!+ C3
x-I= arcsen -3- + C
No pr6ximo exemplo faremos uma substituic;ao trigonome-triea ap6s eompletar 0 quadrado.
f 1 dx";x2+8x+25
x+4tane =_._-3
SOLuGAoCompletamos 0 quadrado da expressao quadratica como segue:
x 2 + 8x + 25 = (x 2 + 8x) + 25
=(x2+ 8x+ 16)+25 -16
=(X+4)2+9
f 1 dxf 1 dx";x'+8x+25 = ../(X+4)2+9
Fazendo a substituic;ao trigonometrica
x + 4 = 3 tg G, dx = 3 sec 2 G dG.
../(X+4)2+9 =Y9tg2G+9 =3~ =3secG
-f 1 dx=f-l- 3 see2 G de";x' + 8x + 25 3 see e
=f see G dG
= In Isee e + tg G I+ C
Para vol tar a variavel original x, utilizamos 0 triangulo daFigura 9.7, obtendo
I' \ ../x2+8x+25 x+4 \ Cf dx In -----+-- +";x"+8x+25 = 3 3
=1n1";x2+8x+25 +x+41-lnI31+C
= In '../x2 + 8x+ 25 +x + 41 +K
Excrcs. 1-18: Calcule a integral.
5--1-dx 2 5 1 dx
(x+l)2+4 "';16 - (x - 3)2
3 5 1 dx 4 5 1 dxJ-4x+8 x2-h+2
5 5-1-dx 6 5 1 dx
Y4x-J .. Y7+6x-x2
7 5 h+3 dx 8 5 x+5 dxY9-8x_x2 . 9x2+6x+17
<) 5 1 dx 105 1 dx(J+4x+ 5)2 (x2 _ 6x + 34)312
9.6 SUBSTITUlc;OES DIVERSAS
Nesta sec;ao estudaremos substituic;oes uteis para 0 calculo decertos tipos de integrais. 0 primeiro exemplo mostra que, se uma
integral contem uma expressao da forma ~, entao uma das
substituic;oes u = ':,fJ(x) ou u = f{x) pode simplificar 0 calculo.
14 5--h-- dxJt.+ h+5)2
155 eX dxe2x+3e"+2
17/J-4X+6 dx2 J-4x+5
18fl~dxo J+x+ 1
19 Ache a area da regiiio delimitada pelos graficosde y = 1/(x2 + 4x + 29), y - 0, x = -2 ex = 3.
20 A regiiin delimitada pelo graficn. dey = 1/(x2 + h + 10), ns eixos coordenados e arela x = 2 gira em lomo do eixo-x. Ache 0 volumedo solido resultanle.
EXEMPLO 1
fX3
Calcular -3-- dx\1?+4
3A substituic;ao II= "x2 + 4 conduz as seguintes equac;6es equi-valentes:
Usando a diferencial de cad a membro da ultima equac;ao,obtemos
......" .; _Sup~tl1Unos .~gora ,como segue: __
. ~.... \: :,.>. ~'-'~':J::'\:;'~:" .~>:~t .::' 2 - ." '.. -.
f ~dx= f-3-X-.xdx
V?+4 ,;/, 1vxr.t4 .
'. 1,-,
'Substitiindo por II a expressao sob a radical, entao
lI=x2+4 au x2=u-4
'T.~e~t~ c~;s~! ~~qemo~ esqreverI J'n; .' " 3. J •• , •• ,." 2 . ',.'.oJ~dx';' f -?--.Xdx
V?+4 \1?+4
fU-4 1 If- -113' - du = - (11113- 4u -113)duII 2 2
= ~(tu SI3- 6u 213) + C = foU 213{U- 10) + C
= ~(X2 + 4)2I3{x2 - 6) + C
Calcular _.f __l- dx" 'VX +?x
Para obter uma substituic;ao que elimine as dais radicais
vx =X1fl e ?x = x1l3, fazemos II = xll., onde n e a minimadenominador comum de ie }. Fazemos assim
LOgo,
dt=6I1sdu, X1fl={U6)lfl=1I3, XI13_(1I6)II3=U2
1 1 u3
J_e )e dx =J-3--26u 5 du = 6J--1 duvx+vx u +u u+
Se 0 integrando e uma expressao racional em sen x ecas x, entao a substitui<;ao
xu = tg 2: para -Jt < x < Jt
transfonnanlo integrando em uma expressao raeional (algebrica)em 11_Para prova-Io, notemos primeiro que
x 1 1 1cas-=---= =---2 see (x/2) VI + tg 2 (x/2) ~
x x x 1sen-=tg-eos- = u---2 2 2 v'I+U"T
sen x = 2 sen :: cas :: = ~2 2 1+112
2X 2u21_112eos X = 1 - 2 sen -2 = 1 - --2 = --2l+u 1+11
dx=_2_du1+ u2
1 dx4 sen - 3 cas x
1 J 1 2J4senx-3eosxdx= 4( 2u -)_3(I_U2)01+1I2dll
1+112 1+112
=J 2 du8u-3(1-1I2)
= 2f 1 du3112+ 8u - 3
f 1 dx-! J(_3- _1_)dll4 sen x - 3 cas x - 5 3u: 1 - 11+ 3
1= 5" (In 1311- 1 1- In III + 3 I ) ~
=! I 1311
+ 1 I c'. 5n 11+3 +,
= 1. In Ill& (x/2) - 1_\ +5 tg(xl2)+3
o Teorema (906) p'ode ser usado para qualqucr inlcnrlllltioque seja uma expressao racional em sen x e cos x; lollllVIIi,
importante tambem cansiderar substitui<;6cs mais simploN. (;1\/1
forme exemplo a seguiro.o:
Jx x+9dt 2 J x2,f2x+ 1 dt
J _x-dt 4 J 5x dtV:1x + 2 (x+ 3)213
.'1 1 f25 IJ -dt 6 --dt'1 IX +4 o~
7 JIX dt 8 h--1-}dt
I+~ vx+vx
'I J 1 dt 10 l 2<+ 3 dt(x+ 1),fx-2 0..11+ 2x
III '~dt xll3+112J-1I3--dt(x+ 4)113 x -1
I.lJI::\'~d>: e2x
14J--dth+ex
7-<16J sen 2x d>:l. f C_dt
" + 4 ..II +senx
.;. ~'" - ~I cosx 'dx'
1 + sen2 x
I-~dx=I-l_du1 + sen 2 X 1 + U 2
220J_x--dt
(3x + 4)10
21J senx dt22f cosx dtcosx(cosx -1) sen2 x - sen x - 2
23J! dte -1
24J_l_dti' + e-x
25 J 2 seD 2x dtsen x-2senx-8
26J senx dt5 cosx + cos2 x
Exercs. 27-32: Usar 0 Teorema (9.6) para calculara integral.
1 '27J--d>:
2 + senx28 f 1 dx
3+2cosx
29 J 1 dtl+senx+cosx
30 f 1 dttgx+ sen x
31J~dt4 -- 3tgx ~3Js~c'~dx=1n 111+tg~X \ +C
-tg;:x
J 1 (I-COSX\'34 cscxdt=Zln 1+cosx )+C
32 J 1 dt, sen x v'3 cos x
Exercs.33-34: Use 0 Teorema (9.6) para estabelecera formula.
9.7 TAsUAS DE INTEGRAlS
Matematicos e cientistas que utilizam integrais em seu trabalhocostumam recorrer a tabuas de integrais. Muitas formulas con-tidas nessas tabu as podem ser obtidas mediante aplica~oes demetodos ja estudados. Em geral, as tabuas de integrais devemser usadas somente apos adquirir experiencia com os metod ospadroes de integrac;ao. Para integrais cOOlplexas e freqUentemen-te ,necessario fazer substituic;oes ou utilizar frac;oes parciais,integrac;ao por partes, ou outras tecnicas para obter integrandosaos quais se possa aplicar a tabua.
as exeOlplos a seguir ilustram a utilizac;ao de vanasf6rmulas constantes da pequena tabua de integrais do ApendiceIV. Como precauc;ao contra passive is erros no manuseio dastabu as, convem verificar sempre as resultados par diferenciac;ao.
Em primeiro lugar utilizamos a F6rmula de reduc;ao 85 da tabuade integrais, com n = 3 e u = x, obtendo
Em seguida aplicamos a Formula 84 com n = 2, e a Formula 83,obtendo '
Calcular f 2 _~ dx para x > 0x v3+Sr
o integrando sugere utilizarmos a parte da tabua referente 11forma ~. Especificamente, a Formula 28 afirma que
f tlu ~ CU2~= a2u +
(Nas tiibuas, a diferencial e colocada no numerador, e nao 11 direitado integrando.) Para utilizM esta formula, devemos ajustar a integraldada de modo a faze-Ia coincidir exatamente com a formula. Fazendo
entao a expressao sob 0 radical esta sendo tratada; entretanto,tambem necessitamos de
(ii) du no numerador
Podemos obter (i) escrevendo a integral como
sf 1 dxSx2v'3+5X2
S If 1 JF. V5 Sx 2 ..f3+5X'X v S dx
A ultima integral coincide exatamente com a da Formula 28 e,portanto, .
f 1 dx = V5 [_ Y3 + S~: ] + Cx2Y3+Sx2 3(fu)
=_ Y3+Sx2 +C3x
Conforme 0 exemplo seguinte, pode ser preciso fazer umasubstitui~ao de algum tipo antes de utilizar a tabua para 0 calculode uma integral.
f sen 2xCalcular v3 S dx- cosx
fsen 2x dx _f2 sen x cos x dx
v3 - S cos x - v3 - S cos x
Como nenhuma formula da tabua tem esta forma, tentarernos asubstitui~ao u = cos x. Entao till = -sen x dx e a integral pode screscrita
?f senxcosx dx 2f cosx ( )- -Y:::3=-=S=co=s=x== - -Y:::3=-=S=c=0=s=x-sen x dx
fu du 2
va+bu =3b2(bu-2a)Va+bu
-2f V3~SU dU=-2( ~S )(-SU-6)V3-S11 +C
f sen 2x 4 .V3 _ S cos x dx = 75 (S cos x + 6)V3 - S cos x + C
Estudamos varios metodos de ciilculo de integrais illd·Jlnidas; todavia, os tipos de integrais considerados constlill '111
apenas uma pcquena parcela dos que ocorrem nas aplicll~ 'II,
Seguem-se cxemplos de inlegrais indefinidas para as C[UUlll ()
inlegrando nao pode ser expresso em term os de urn numero fill 10
de fun<;6esalgebricas ou transcendentes:
. f~x2+4X-I dx, f Y3cos2 x+ 1 dx, f e~x' (L~
, I 1 . . .jNo Capllu 0 1estudaremos melodos que envolVCll1SOIIlIlIinfinitas uleis no calculo de tais integra is.
I •• 0' _ I 1111 Use a tabua de integrais do ApendiceIV 1""" ,"it'"I"r a integral.
IV.I, 'hI.2 f 1 dxlix, x";2 + 3xl
, I(If, ,J.) \/2ax 4 fx1V42-16 dx
I \ v ~\ lix 6 fxlV5 + 2x dx
I_11th h tlx 8 f x cos5 (xl) dx
I ·1 10 f sen 5.1cos 3.1dx\", \ tlr
I I I, ail's n X dx 12 f 2 arctgx dx
I\ I ,f II rica 2x fix 14 fx51nxdx
V~, 7J.,16 f 1 dxI \ fix
xV3x-2x2
I \ 'lie nxdx 2 f sec3 (3.1)dx
J!/xdxI In (I ~x) ,h 4
'II 0
r 1 2 6 fcos4xd~", III 7.r sen 2x dx
r s 8 ftgx sec6 x dxIII \ /I'" xdx
'I r t dx 10 f 1 dx, (,1..,25)3/2 x2V16_x2
r VII_x212f_x-dxII -,L~
x (.12+ 1)2
II r .1"~dt 14f~dt• 1(' _ 1)3 .1+.1
17f+dx 18 f cosxVsen2x-~ dx5.1 - 3
19 fell: arccos ,f dx 20 f sen2 x cos3 x dx
321Jx3V2+xdx 22f~dx
V2-x
23 f sen 2x dx 24f~-dx4+9senx V4+3secx
25 fV9
:2x
dt 26 fVS; - 32 dx
27 f-I-3-dx 128f 3/2 2dx
x{4+ vx) 2x +5.1
30 f cot x dxV4-csc2x
15r3- 21h: - 63.1-198 dx
x - 81
319 f'lx;8 d~
21 fell: sen 3.1dt
23 J sen3x cos3 x dx
25r~d~Y4-2
22 f cos (In x) dx
24 f cot2 3.1 dx
26 f 1 dxxV92+4
129 f 312112 dxx +.1
31 J,f sec,f dx\
33 f .12sen 5.1dx
35 J sen3 x cos1/2x dx
239 f x dx, Y4i+25
43 J x cot x csc x dt
45 f .12(8 - .13)113 dx
47 f..;x sen ..;x dx
3x49 J-e-d~
1+,f
f2-4X+3 d51 ..;x ~
'.13
53fV 2dx
16 -x
55 f 1- 2x dt.12+ 12x+35
61 f V 1 2 dx7+5.<
f2x+1
30 ------wo dx(x + 5)
32 f x tgx2 dx
34 f sen 2x cosx dx
36 f sen 3.1cot 3.1dx
40 J 3.1+2 , dx.12+ 8x +25
42 J sen2 x cos5 x dx
44 J (1+ CSC 2x)2 dx
46 f x (In .1)2 dx
48 Jx V5 - 3.1 dx
352 J cos x dx
vI + senx
54 J--x-2dx25 - 9.1
56 f 7 dx.12_ 6<+ 18
62 f~+ 3 dxx +4
Cap, 9 Tecnicas de integra~iio 617
63 f cot6 x dx 64 f co~ x cscx dx
65 J} Vxl - 25 dx 66 f (sen x)lOcoSX d~
67 f (2 - sech2 4.1)dx 68 f x cosh x dx
71J 3 dxVll-1Ox _.12
f 4.1-12~-10 dx75(x - 2)(.12- 4.1+ 3)
76 f 1 dxx4V16-2
JV9-4? dx79 ---2
f4t3 -IS? - 6<+ 81 dx80 -.---,-------.14 - 18.12 + 81
81 J (5 - cot3x)2 d~//
f_4x_2_-_fu-_'_+_4_dx86 (x2 + 4)(.1 _ 2)
2
87f~dt(25 +x-t
70 J; Vx3 + 1 dx
fl~+7X dx72 ---.14
84f_x-dxcol4x
90J--X -dxV4+9i
92 J senx dx(1+cosx)3
2
97J~dx'!2x+ 3
98 J 1 - se"2 dxcalx