94634917 solucionario calculo con geometria analitica earl w swokowski
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UNDÉCIMA EDICIÓN
ÁLGEBRA YTRIGONOMETRÍA
CON GEOMETRÍA ANALÍTICA
PRELSSwokowski_ATWAG_FM 10/30/2006 10:40 Page i
Un Manual de soluciones para el estudiante, que acompaña aeste libro de texto, está a tu disposición en la librería de tuescuela. La guía contiene soluciones detalladas para la mitadde los ejercicios, aproximadamente, y también estrategias pararesolver otros ejercicios del texto.
Capítulo 1
EJERCICIOS 1.1
1 (a) Negativo (b) Positivo (c) Negativo(d) Positivo
3 (a) (b) (c)
5 (a) (b) (c)
7 (a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
(i) 9 (a) 5 (b) 3 (c) 1111 (a) (b) (c) 1113 (a) (b) (c)
15 (a) 4 (b) 12 (c) 12 (d) 817 (a) 10 (b) 9 (c) 9 (d) 19 19
21 23 25
27 29 31 33 35
37 39 41 (a) 8.4652 (b) 14.142843 (a) (b)
45 Construye un triángulo rectángulo con lados de longitudy 1. La hipotenusa tendrá longitud . En seguida,
construye un triángulo rectángulo con lados de longitudesy . La hipotenusa tendrá longitud .
47 El rectángulo grande tiene área a(b � c). La suma de lasáreas de los dos rectángulos pequeños es ab � ac.
49 (a) (b) (c)
51 (a) 830,000 (b) 0.000 000 000 002 9
(c) 563 000 000
53 55 57 g
59 cuadros
61 (a) 201.6 lb (b) 32.256 tons
EJERCICIOS 1.2
1 3 5 7 9 11
13 15 17 19 21
23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 4x2y48
x1/2
1
9a424x3/28a2
9x10y1420y
x3
s6
4r 8
81
64y6
9y6
x8
4
xy
12u11
v2
9
2�2a14
6
x
8x91
25
1
8
�47
3
9
8
16
81
4.1472 � 106
1.678 � 10�245.87 � 10121.7 � 10�24
8.1 � 1089.8 � 10�84.27 � 105
252223
2322
6.708 � 1016.557 � 10�1
����x2 � 4b � a2 � x
�x � 3� x � 4 � � 3� �3 � x � � 8� 7 � x � � 5
1.5 � 224 � �4 � �
�3�15� x � 7
1
w� 9
p
q� 7�z � 3t � 5
2 � d � 4q � �y � 0x � 0
��
43 45 1 47 49
51 53 (a) (b)
55 (a) (b) 57 9 59
61 63 65 67
69 71 73
75 77 79 81
83 85 ; 87 ;
89 ;
91 (a) 1.5518 (b) 8.5499
93 (a) 2.0351 (b) 3.9670 95 $232 825.78
97 2.82 m 99 El levantador de 120 kg
EJERCICIOS 1.3
1 3
5 7
9 11
13
15
17 19 21
23 25
27 29
31 33 35
37
39
41
43 4x2 � y2 � 9z2 � 4xy � 12xz � 6yz
a2 � b2 � c2 � 2ab � 2ac � 2bc
8x3 � 36x2y � 54xy2 � 27y3
x3 � 6x2y � 12xy2 � 8y3
x � yx � yx4 � 8x2 � 16
x4 � 6x2y2 � 9y49x2 � 12xy � 4y2
x4 � 5x2 � 36x4 � 4y2
4x2 � 9y23v2 � 2u2 � uv24y2 � 5x
2x6 � 2x5 � 2x4 � 8x3 � 10x2 � 10x � 10
3t 4 � 5t 3 � 15t 2 � 9t � 10
6x3 � 37x2 � 30x � 256u2 � 13u � 12
15x2 � 31xy � 14y26x2 � x � 35
x3 � 2x2 � 412x3 � 13x � 1
�n 1
c � 1
c�1/n
11/n
c1/n
12n c�
�ab�xy axybxy � axby��ar�2 a2r � a�r 2��x2� y � 1 �3
� x3 � y2�3tv22x
y225 x2y4
3x5
y2
1
225 20x4y2
x
324 15x2y3
xy
323 6y
1
2y226xy
2a2
b
3y3
x2
1
223 4
�225 223 8 � y8 � 23 y
8x2x4x2x�x 2 � y2�1/2
�a � b�2/3x 3/43
x3y2
R1
Respuestas a los ejercicios seleccionados
101 Estatura Peso Estatura Peso
64 137 72 168
65 141 73 172
66 145 74 176
67 148 75 180
68 152 76 184
69 156 77 188
70 160 78 192
71 164 79 196
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A1
45 47 49
51 53
55 Irreducible 57
59 61 63
65 67
69 71
73 Irreducible 75
77
79
81
83
85 87
89 91
93
95
97
99
El área de I es , el área de II es , y
(a) 1525.7; 1454.7
(b) A medida que las personas envejecen requierenmenos calorías. Los coeficientes de w y h sonpositivos porque los individuos corpulentos precisanmás calorías.
EJERCICIOS 1.4
1 3 5 7
9 11 13
15 17 19
21 23 25
27 29 31
33 35 37
39 41
43 45
47 49
51 5323 a2 � 23 ab � 23 b2
a � b�9x � 4y��32x � 22y �
t � 102t � 25
t � 25
�12
�3x � 3h � 1��3x � 1�
�3x2 � 3xh � h2
x3�x � h�32x � h � 3
�3
�x � 1��a � 1�2x2 � 7x � 15
x2 � 10x � 7
x � yx2 � xy � y2
x � ya � b
�x � 5
�x � 2�2
11u2 � 18u � 5
u�3u � 1�p2 � 2p � 4
p � 3
2x � 1
x
2�2x � 3�3x � 4
4�2t � 5�t � 2
5x2 � 2
x3
6s � 7
�3s � 1�2
�3
x � 2
a
�a2 � 4��5a � 2�x
x � 1
4 � r
r 2
y � 5
y2 � 5y � 25
x � 3
x � 4
7
120
22
75
� �x � y��x � y�.A x2 � y2 �x � y�x � �x � y�y
�x � y�y�x � y�x�x8 � 1��x4 � 1��x2 � 1��x � 1��x � 1�� y � 2�� y2 � 2y � 4�� y � 1�� y2 � y � 1�� y � 4 � x�� y � 4 � x��x � 2 � 3y��x � 2 � 3y��a � b��a � b��a2 � ab � b2��a2 � ab � b2�
�a2 � b2��a � b��x � 1��x � 2��x2 � x � 1�3�x � 3��x � 3��x � 1��2x � y��a � 3b�
�5 � 3x��25 � 15x � 9x2��7x � y3��49x2 � 7xy3 � y6��4x � y2��16x2 � 4xy2 � y4��4x � 3��16x2 � 12x � 9�
3�5x � 4y��5x � 4y�x2�x � 2��x � 2��z2 � 8w��z2 � 8w��6r � 5t��6r � 5t��5x � 2y��9x � 4y�
�5z � 3�2�2x � 5�2�3x � 5��4x � 3��3x � 4��2x � 5�
�8x � 3��x � 7�5x3y2�3y3 � 5x � 2x3y2�3x2y2� y � 3x�3a2b�b � 2�s�r � 4t�
55 57
59 61
63 65 67
69
71 73
75 77 79
81
83
Pueden ser iguales
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1
1 (a) (b) (c) (d)
2 (a) (b) (c)
3 (a) (b) (c)
4 (a) 7 (b) (c) 5 (a) 5 (b) 5 (c) 7
6 (a) No (b) No (c) Sí
7 (a) (b)
8 (a) 68 000 000 (b) 0.000 73 9
10 11 12 13
14 15 16 17 18
19 20 21 22 23
24 25 s 26 27
28 29 30
31 32 33 34 c2d 41 � 2t
t2ab2ac2x2y23 x
ab
c2bc
1
223 22xyz23 x2z
x8
y2
y � x2
x2yu � v
s � r27u2v27
16w20
b6
a2
16x2
z4y6
x3z
y10
c1/3�p8
2q
b3
a8
xy5
9
3y
r 2
18a5b51
8
�71
9��x � 2��x � 3�
�x � 3
4.02 � 10�69.37 � 1010
1
6�1
� x � � 41
3� a �
1
2x � 0
�
5
8�
13
56
39
20�
5
12
6�3 � 2x��4x2 � 9�3/2
x2 � 12
�x2 � 4�4/3
4x�1 � x2��x2 � 2�4
27x2 � 24x � 2
�6x � 1�4
�3x � 1�5�39x � 89��2x � 5�1/2
�2x � 1�2�8x2 � x � 24��x2 � 4�1/2
�3x � 2�3�36x2 � 37x � 6�
1 � x2
x1/2
1 � x5
x3x�1 � 4x�3 � 4x�5
4x4/3 � x1/3 � 5x�2/3�121 � x � h � 21 � x
222�x � h� � 1 � 22x � 1
1
�a � b��2a � 2b �
R2 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
x
1 �0.6923 �0.6923
2 �26.12 �26.12
3 8.0392 8.0392
4 5.8794 5.8794
5 5.3268 5.3268
Y2Y1
103
101
105
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A2
35 36 37 38
39 40
41 42
43
44 45
46
47
48 49
50 51
52 53
54 55
56 57
58
59 60
61 62
63 64
65
66
67 68
69 70
71 Irreducible 72
73 74
75 76 77
78 79 80
81 82 83
84 85
86 87 células
88 Entre y latidos
89 0.54 90 0.13 dinas-cm
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 1
1 ; 586.85 2 Ya sea o 3 Sumar y restar 10x; son los factores.4 La primera expresión se puede evaluar en .5 Se acercan a la relación de coeficientes iniciales conforme
x se agranda.
x 1x � 5 � 210x
b 0a 0pies21 galón � 0.13368 pies3
m2
3.78 � 1092.94 � 109
2.75 � 10132�5x2 � x � 4�
�6x � 1�2/3�4 � x2�2
�x2 � 1�1/2�x � 5�3�7x2 � 15x � 4�1
x � 3
x � 5ab
a � b
�2x2 � x � 3
x�x � 1��x � 3�
x3 � 1
x2 � 1
5x2 � 6x � 20
x�x � 2�2
27
�4x � 5��10x � 1�
3x � 2
x�x � 2�r 2 � rt � t2
r � t
3x � 5
2x � 1
4x2�x2 � 3x � 5��x � 2��x � 2�2�x2 � 2x � 4��x � 7 � 7y��x � 7 � 7y�
3�x � 2��w2 � 1��w4 � w2 � 1�
x2�x � 4�2� p4 � q4�� p2 � q2�� p � q�� p � q�
u3v�v � u��v2 � uv � u2�
8�x � 2y��x2 � 2xy � 4y2�
�2c2 � 3��c � 6�� y � 4z��2w � 3x�
�4a2 � 3b2�2�14x � 9��2x � 1�
2r 2s3�r � 2s��r � 2s�10w�6x � 7�
a2 � b2 � c2 � d 2 � 2�ab � ac � ad � bc � bd � cd�
81x4 � 72x2y2 � 16y4c6 � 3c4d 2 � 3c2d 4 � d 6
8a3 � 12a2b � 6ab2 � b3a6 � 2a5 � a4
169a4 � 16b216r 4 � 24r 2s � 9s2
6a2 � 11ab � 35b23p2q � 2q2 �5
3p
a4 � b415x3 � 53x2 � 102x � 40
3y5 � 2y4 � 8y3 � 10y2 � 3y � 12
8x3 � 2x2 � 43x � 35
�x2 � 18x � 73z4 � 4z3 � 3z2 � 4z � 1
x4 � x3 � x2 � x � 2
x � 62x � 9
9 � x�9x � y��32x � 2y �
2a � 2a � 2
2
1 � 22x � x
1 � x
1
3y23 3x2y2
1
2�23 4�a � 2b
2x
y2
7 Si x es la edad y y es la estatura, demuestra que el valorfinal es .
8
Capítulo 2
EJERCICIOS 2.1
1 3 1 5 7 9 11
13 15 17 19 21
23 25 27 No hay solución.
29 Todos los números reales excepto 31 33
35 No hay solución. 37 0 39 Todos los númerosreales excepto .
41 No hay solución. 43 No hay solución.45
47
49 51
53 (a) Sí (b) No; 5 no es la solución de la primera ecuación.
55 Escoge cualquier a y b tales que .
57 59 61
63 65 67
69 71
73 75 77
EJERCICIOS 2.2
1 88 3 $820 5 (a) 125 (b) 21
7 180 meses (o 15 años). 9 No es posible. 11 200 niños.
13 de onza (oz) de una solución de glucosa al 30% y oz
de agua.
15 194.6 g de plata británica Sterling y 5.4 g de cobre.17 (a) después de 64 s. (b) 96 m y 128 m, respectivamente.
19 6 21 (a) (b) millas
23 1237.5 pies25 (a) 4050 (b) 2592 (c) 3600
27 pies 29 55 pies 31 36 min19
2�
3�
8� 8.32
pies2pies2pies2
22
9
5
9mphmph
7
3
14
3
�1�q fp
p � fq
p�1 � S�S�1 � p�
b1 2A � hb2
hw
P � 2l
2
m Fd 2
gMh
2A
bP
I
rt
Q 1
M � 1K
D � L
E � Tx � 1 x � 2
b �5
3a
�19
3
3x2 � 8
x
3x2
x�
8
x
8
x� 3x
x2 � 9
x � 3
�x � 3��x � 3�x � 3
x � 3
�4x � 3�2 � 16x2 �16x2 � 24x � 9� � 16x2 9 � 24x
�2
�2
3
5
9
1
2
31
18
29
4
�3
61
7
31�
24
29
4
3
49
4
�1
40
23
18
35
17
26
7
5
3
Vsalida 13 Ventrada
100x � y
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R3
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A3
33 36 min 35 27
37 (a) 40.96�F (b) 6909 pies 39 37�F
EJERCICIOS 2.3
1 3 5 7
9 11 13
15 (a) No, �4 no es una solución de . (b) Sí
17 19 21 23
25 (a) (b) 16 (c) (d)
27 29 31
33 35 37
39 41 43 No hay soluciones reales.
45 47
49 (a) (b)
51 53
55 57 cm
59 (a) Después de 1 s y luego de 3 s. (b) Después de 4 s.
61 (a) 4320 m (b) 96.86�C 63 2 pies
65 12 pies por 12 pies
67 millas o milla
69 (a) (b) 3:30 P.M.
71 14 pulg por 27 pulg 73 7 mph 75 300 pares
77 2 pies 79 15.89 s
81 (a) 0; �4 500 000 (b)
83 (a) (b) 47.65�F
EJERCICIOS 2.4
1 3 5 7
9 11 13 25 15
17 i 19 21 23
25 27 29
31 33 35 ,
37 , 39 41 �2 � 3i3 � 2iy �4x 3
y �1x 421
2i�
44
113�
95
113i
�2 � 14i�142 � 65i2
5�
4
5i
34
53�
40
53i
1
2� i
3
10�
3
5i
�i�24 � 7i21 � 20i
17 � i41 � 11i18 � 3i2 � 4i
�2�
2.13 � 10�7
d 100220t 2 � 4t � 1
3 �1
2214 � 1.13 �
1
2214 � 4.9
2150� � 6.9r r021 � �VVmáx�
r ��h � 2� 2h2 � 2�A
2�v �2K
m
y �2x � 28x2 � 1x y � 22y2 � 1
2
(2x � 3)(6x � 1)(x � 6)(x � 5)
9
2
5
2�
1
2215
4
3�
1
3222
3
4�
1
4241�2 � 22
�1
2,
2
3
3
2� 25�3 � 22
�7�1281
4
�2 �1
22113 � 217�
3
5�13
x 4
�34
5�
1
2�
5
2
�2
3,
1
5�
9
2,
3
4�
6
5,
2
3�
3
2,
4
3
43 45
47 �5, 49 51
53 0,
55
57
59 Si , entonces y por tanto ,
o bien . En consecuencia b 0 y z a es real.
Por el contrario, si z es real, entonces b 0 y de ahí
.
EJERCICIOS 2.5
1 �15, 7 3 5 No hay solución. 7
9 11 0, 25 13 15
17 19 6 21 6 23 5, 7 25 �3
27 �1 29 31 3 33 0, 4 35
37 39 41
43 45 47 49 0, 4,096
51 (a) 8 (b) (c) No hay soluciones reales. (d) 625(e) No hay soluciones reales.
53 55 57
59 9.16 61 $4.00 63 cm
65 53.4%
67 Hay dos rutas posibles, correspondientes a
millas y millas.
69 (a) (b) 860 min 71
EJERCICIOS 2.6
1 (a) (b) (c)
(d) 1 �7
3
�7
3� �1�11 � �7�2 � 2
3.7 � 3.7 � 1.8�2�x � 2.2887
x � 0.6743
2�3 432
�� 10.3piess
h � 97% de Lh 1
�r2S2 � � 2r 4l
gT 2
4� 2
�8
5
2�
4
3, �
2
3
25
4,
16
9
8
27, �8�2, �3�
1
1070 � 10229
�3, �4�5
4
�1
2262
9
5�
57
5�
1
226, �
5
2, 0
�2
3, 2�
2
3, 2
z a � 0i a � 0i a � 0i z
2bi 0
�bi bia � bi a � biz z
� �a � bi� �c � di� z w
� a�c � di� � bi�c � di� � ac � adi � bd � bci
� �ac � bd� � �ad � bc�i � �ac � bd� � �ad � bc�i
z w �a � bi� �c � di�
� �a � bi� � �c � di� z � w
� �a � c� � �b � d�i �a � c� � �b � d�i z � w �a � bi� � �c � di�
�3
2�
1
227 i
�2i, �3
2i�4, �4i
5
2�
5
223 i
�1
8�
1
8247 i
5
2�
1
2255 i
R4 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A4
3 5
7 9
11
13 15 17
19 21 23
25 27 29 31
33 35 37
39 41 43
45 Todos los números reales excepto 1. 47
49 51
53 55
57 59 61
63 65
67 69
71 (a) �8, �2 (b)
(c)
73 75
77 79 81
83 años 85 (a) 5 pies 8 pulg (b)
EJERCICIOS 2.7
1 3 5
7 9
11 13 15
17 19
21 23
25 27
29 31 �3
2,
7
3����, �3� � �0, 3�
��2, 2� � �5, ����2, 0� � �0, 1�
���, �2� � ��2, �1� � �0 ��2 � �2, ��
���, �2� � �2, �����, 0� � � 9
16, ��
�� 3
5,
3
5���4, 4��2, 4�
���, �5
2 � � �1, �����, �2� � �4, ��
��2, 3���2, 1� � �4, ����1
3,
1
2�
65.52 � h � 66.4862
3
4 � p � 6R � 1186 � F � 104
5 � � T1 � T2 � � 10� w � 148 � � 2
���, �8� � ��2, ��
�8 � x � �2
��2, 1� � �3, 6���4, 4�
���,7
4� � �13
4, �����, �
8
3 � � �4, ��
���, 3� � �3, �����, ��� 3
5,
9
5���
9
2, �
1
2 ����, �2.1� � ��1.9, ��
��3.01, �2.99����, �5� � �5, ����3, 3�
� 4
3, ����
2
3, �����,
4
5����,
8
53��6, 12���26
3,
16
3 ��9, 19��1, 6���6, ���12, ��
���, �4
3 ��16
3, ��x � �5
x � 4�4 � x � �1�5 � x � 8
�2 0 5] )��2, 5�
0 3 7] ]
�2 0 4) ]
�3, 7���2, 4�
]400�2
(
�4, �����, �2�33 35
37 39
41 43 s 45
47 49 km
51 53
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2
1 2 5 3 �32 4 No hay solución.
5 Toda 6 7
8 9 10
11 �27, 125 12 13
14 15
16 17 18 �5, 4
19 20 21 2 22 �3, 1 23 5
24 25 26 27 3
28 29 30
31 32
33 34
35 36
37 38
39 40
41 42
43 44 45
46 47
48 49
50 51 15 � 2ir ��hR � 212�hV � 3�2h2R2
2�h
h R �1
224R2 � c2R �4 8FVL
�P
r �3 3V
4�D
CB3
(A � E)3
C 2
P � N � 1�0, 1� � �2, 3��1, ��
���, �5� � ��1, 5����, �3
2 � � �2, 9�
��3, �1� � ��1, 2����, �2� � �0 � �3, ��
��2, 5����, �3
2 � � � 2
5, ��
�2, 4� � �8, 10����,11
3 � � �7, ��
�0, 6����, 1� � �5, ��
��7,7
2����, �3
10��13
23, ����11
4,
9
4�� 2
3, ��
�5 � 213 i2 � 23�8
13
4
1
4,
1
9
�3
2, 2�
1
26 � 225
�1
2214 i, �
2
323 i�
1
6�
1
6271 i
1
5�
1
5214 i�
1
227, �
2
5
�5
2, �22
1
2�
1
2221
5
2�
1
2229
�2
3�
1
3219�4,
3
2x 0
�5
6
��3, �2� � �2, 4�70.5 � V � 81.4
Altura 25 6000 � S � 4000
0 � v � 301
2�0, 2� � �3, 5�
��1, 0� � �1, ���1,5
3� � �2, 5�
��1,2
3� � �4, �����, �1� � �2,7
2�R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R5
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A5
52 53 54
55 56 57 56
58 ohms 59 11.055% 60 60.3 g
61 6 oz de verduras y 4 oz de carne.
62 315.8 g de alcohol etílico y 84.2 g de agua.
63 80 gal de solución al 20% y 40 gal de solución al 50%.
64 75 mi 65 2 66 64
67 68 1 hr 40 min 69 165 mi
70 mi 71 micras
72 (a)
(b) , o sea aproximadamente
11:58 A.M.
73 Hay dos arreglos: 40 pies � 25 pies y 50 pies � 20 pies.
74 (a) pies (b) 2 pies 75 12 pies por 48 pies
76 10 pies por 4 pies 77 Después de años 78
79 Más de $100 000 80 K
81
82 83
84 36 a 38 85 $320 a $340 86
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 2
1 No 2
3 (a) (b) Sí
(c) a y b no pueden ser ambas 0.
5 , : ;
, : ;
, : ;
, : ;
, :
6 (a) 11 006 pies (b)
8 1101 000; cx � 2c debe ser no negativo.
h 1
6�2497D � 497G � 64 000�
�x1, x2�D 0a � 0
x �b
2aD 0a � 0
�D � 0a � 0
���, x1� � �x2, ��D 0a 0
x � �D � 0a 0
ac � bd
a2 � b2�
ad � bc
a2 � b2i
�b
2a
�3�árbolesacres
20 � w � 25v �626.426472
� 7.786 kms
�
5210 � T �
2�
725
T 279.57
4 � p � 8
72
3
222
t 5 � 2219 603
145� 1.97
d 22900t 2 � 200t � 4
325 � 6 � 0.7110 � 523 � 1.34
640
11� 58.2 mph
mph
R2 10
3
�2 � 5i�9
53�
48
53i
9
85�
2
85i�55 � 48i�28 � 6i Capítulo 3
EJERCICIOS 3.1
1
3 La recta que biseca los cuadrantes I y III.
5 , , , , ,
7 (a) La recta paralela al eje y que corta el eje x en .
(b) La recta paralela al eje x que corta el eje y en (0, 3).
(c) Todos los puntos sobre el eje y y a la derecha de éste.
(d) Todos los puntos de los cuadrantes I y III.
(e) Todos los puntos abajo del eje x.
(f) Todos los puntos sobre el eje y.
9 (a) (b)
11 (a) (b)
13 (a) 4 (b)
15 ;
17 y
19 21
23
25 ; un círculo de radio 5 con centro en el
origen.
27 , 29
31 o a 4a �2
5
��2, �1��0, 3 � 211 ��0, 3 � 211 �
2x2 � y2 5
5x � 2y 3
d�A, C� d�B, C� 2145�13, �28�
d�A, C�2 d�A, B�2 � d�B, C�2
d�A, B� d�B, C� d�C, D� d�D, A�área 28d�A, C�2 d�A, B�2 � d�B, C�2
�5, �3�
��7
2, �1�213
�5, �1
2 �229
��2, 0�
F�0, 3�E�3, 0�D�3, �3�C��3, �3�B��3, 3�A�3, 3�
y
xD
C
BA
E
y
x
D C
B A
E
F
R6 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A6
33 Sea M el punto medio de la hipotenusa. Demuestra que
.
35 37 (a)
por por
(b) El número es creciente.
EJERCICIOS 3.2
Ejercicios 1 al 20: se indica dónde corta(n) el eje x y a conti-nuación dónde corta(n) el eje y.
1 3 1; 1
5 0; 0 7
9 0; 0 11
13 0; 0 15 2; �8
y
x
y
x
3; �23
y
x
y
x
�1222; �1
y
x
y
x
1.5; �3
�54 � 106, 61 � 106, 106��1988, 1996���10, 10���10, 10�
d�A, M� d�B, M� d�O, M� 1
22a2 � b2
17 0; 0 19
21 (a) 5, 7 (b) 9, 11 (c) 13
23 25
27 29
31 33 y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
16; �4
y
x
y
x
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5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A7
35 37
39
41
43
45 47 ;
49 ; 51 ;
53 ; (un punto)
55 No es una circunferencia, porque r2 no puede ser igual a –2.
57 ; ; ;
59 ;
;
61 63
65 (a) Dentro (b) Sobre (c) Fuera
67 (a) 2 (b)
69 71
73 75 77
79 �1.2, 0.5, 1.6
por 81 ,
por 83
por 85
por �0, 4��0, 4�
��2, 2���3, 3�
�0.251, 0.032��0.999, 0.968�,
��2, 2���3, 3�
��0.6, �0.8��0.6, 0.8���4, 4���6, 6�
�2���1, 0� � �0, 1����, �3� � �2, ��25�x � 2�2 � � y � 3�2 25
3 � 25
y �242 � x2(x � 3)2 � (y � 2)2 42
x 2 � 249 � � y � 1�2; x 2 � 249 � � y � 1�2
y �1 � 249 � �x � 2�2
y �1 � 249 � �x � 2�2
x �236 � y2
x 236 � y2y �236 � x2y 236 � x 2
r 0C��2, 1�
r 1
2270C�3, �1�r 11C�0, �2�
r 7C�2, �3��x � 1�2 � � y � 2�2 34
�x � 4�2 � � y � 4�2 16
�x � 3�2 � � y � 6�2 9
�x � 4�2 � � y � 6�2 41�x �
1
4�2
� y2 5�x � 2�2 � � y � 3�2 2587 (a) 1126 pies/s (b) �42�C
por
EJERCICIOS 3.3
1 3
5 m no está definida.
7 Las pendientes de lados opuestos son iguales.
9 Las pendientes de lados opuestos son iguales y laspendientes de dos lados adyacentes son recíprocas designo contrario.
11
13 15 y
x
P
m �1
m �Q m q
y
x
y 3x
y sx
y �2x
y �~x
��12, 0�
y
x
B
A
y
x
B A
y
x
B
A
m 0m �3
4
�900, 1200, 100���50, 50, 10�
R8 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
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17
19
21 (a) (b) 23
25 27
29 31
33 35
37 39
41 , 43 ,
45 (a) (b) (c)
(d)
47 49
51 Aproximadamente 23 semanas.
53 (a) 25.2 tons (b) Hasta de 3.4 tons.
55 (a) (b) 58
57 (a) (b) 50 lb (c) 9 años
(d) W
t
90
1 12
10
W 20
3t � 10
y 5
14x
�x � 3�2 � � y � 2�2 49x
32�
y
�3 1
y � 2 ��x � 3�
y �3
2x � 1y �
1
2xy 3
y
x
y
x
b �3m 4
3b 5m �
2
3
y �x5x � 7y �15
y �1
3x �
11
3y
3
4x � 3
5x � 2y 295x � 2y 18
11x � 7y 93x � y 12
4x � y 17y �2x 5
y
x
y � 3 �5
4(x � 2) 59
61 (a) (b) 16.22�C
63 (a) (b)
(c) $8000
65 (a) Sí: la criatura en . (b) No
67 34.95 mph 69 ;
71
por
73 , , ; triángulo rectánguloisósceles.
por
75
por
77 (b)
por (c) $435 000; $1 040 000
EJERCICIOS 3.4
1 �6, �4, �24 3 �12, �22, �365 (a) (b) (c)
(d) (e) (f) 55a � 5h � 45a � 5h � 2�5a � 2�5a � 25a � 2
�300, 625, 100��1980, 1988�
y 55x � 108 685
��27, 15, 5���8, 5�
y 3.2x � 2.6
��10, 10���15, 15�
�2, 5��4.8, �3.4���0.8, �0.6�
��2, 20, 2���30, 3, 2�
��19, 13�
b �0.9425a 0.321
x 3
P 0.45R � 3600E 0.55R � 3600
T 0.032t � 13.5
H �8
3T �
7520
3
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R9
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7 (a) (b) (c)
(d) (e)
(f)
9 (a) (b) (c)
(d)
(e) (f)
11 (a) (b) (c) 4a (d) 2a
13 (a) (b) (c)
(d)
15 La gráfica corresponde a una función porque pasa laprueba de la recta vertical.
17
19 (a) (b) (c) 0 (d) �1, , 2.
(e)
21 23
25 Todos los números reales excepto –2, 0, y 2
27 29 31
33 (a) ;
(b) Creciente en decreciente en es constante en
35
37 (a) (b) ,
(c) Creciente en���, ��
R ���, ��D ���, ��y
x
y
x�3
2
��1, 1���5, �4� � �2, 3�;
��4, �3� � �3, 4�;R ��3 � ��1, 4�D ��5, �3� � ��1, 1� � �2, 4�
��2, 2��2, ��� 3
2, 4� � �4, ��
��3, 3���7
2, ��
��1,1
2� � �2, 4�
1
2��2, 2���3, 4�
D ��4, 1� � �2, 4�; R ��3, 3�
22a3 � 2a
a2 � 1
22a
a � 1
a2 � 1
2a
2a
a2 � 1
1
4a2
4
a2
2a � h � 1a2 � h2 � a � h � 6
a2 � 2ah � h2 � a � h � 3
�a2 � a � 3a2 � a � 3a2 � a � 3
�2a � h
�a2 � h2 � 8�a2 � 2ah � h2 � 4
a2 � 4�a2 � 4�a2 � 4 39 (a) (b) ,
(c) Creciente en,
decreciente en
41 (a) (b) ,
(c) Creciente en
43 (a) (b) ,
(c) Constante en
45 (a) (b) ,
(c) Decreciente en,
creciente en
47
49 51
53 55 Sí 57 No 59 Sí
61 No 63 No 65
67 (a) (b)
69 S�h� 6h � 50
C�x� 300x �100 000
x� 600y�x�
500
x
V�x� 4x�15 � x��10 � x�
f �x� 1
6x �
3
2
12x � 3 � 2a � 32x � h
h � 1
�0, 6�
��6, 0�
R ��6, 0�D ��6, 6�y
x
���, ��
R ��2 D ���, ��y
x
��4, ��
R �0, ��D ��4, ��y
x
�0, ��
���, 0�
R ���, 4�D ���, ��y
x
R10 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A10
71 (a)
(b) El aumento anualen estatura
(c) 58 pulg
73
75 (a) (b) 1280.6 mi
77
79 (a) (b)
(c) Decreciente eny
en ,creciente en
por 81 (a) (b)
(c) Creciente en[�0.7, 0] y en[1.06, 1.4],decrecienteen [0, 1.06]
por
83 (a) 8 (b) (c) No hay soluciones reales. (d) 625
(e) No hay soluciones reales.
85 (a) 5985 (b) A lo sumo 95.
87 (a)
por
(b) Aumento promedio en el precio pagado por un autonuevo.
(c) 1999
�10 000, 30 000, 10 000��1984, 2005, 5�
f �x� 2857
3x �
5 636 795
3
�8
��1.1, 1���0.7, 1.4, 0.5�
��1.03, 1���2, 2���2, 2�
��0.55, 0.55�
�0.55, 2���2, �0.55�
��0.75, 0.75�
d�x� 290 400 � x2
y�h� 2h2 � 2hr
d�t� 22t 2 � 2500
y
t1
10
(7, 50.5)
(6, 48)
(10, 58)
y�t� 2.5t � 33 EJERCICIOS 3.5
1
3 Impar 5 Par 7 Ninguno 9 Par 11 Impar
13 15
17 19
21 23
25
27 29 31
33 La gráfica de f está desplazada 2 unidades a la derecha y3 unidades hacia arriba.
35 La gráfica de f está reflejada con respecto al eje y y des-plazada 2 unidades hacia abajo.
�6, 2��7, �3���2, 4�
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
g(�2) 6f (�2) 7,
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R11
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A11
37 La gráfica de f está comprimida verticalmente por un fac-tor de 2 y reflejada con respecto al eje x.
39 La gráfica de f está alargada horizontalmente por un fac-tor de 3, comprimida verticalmente por un factor de 2 yreflejada con respecto al eje x.
41 (a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
(1) (j)
(k) (l)
43 (a) (b)
(c)
45 (a) (b) (c)
47 49
51y
x
y
x
y
x
y f ��x�y f �x� � 1y f �x � 4�
y �f �x � 7� � 1
y �f �x�y f �x � 9� � 1
y
x
y
x
y
x
y
x
R12 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A12
53 (a) (b)
(c) (d)
(e)
55 Si , dos puntos diferentes de la gráfica tienen lamisma coordenada x.
57 59
y
x
y
x
x 0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
61
63 (a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) ,
(e) ,
(f) ,
(g) ,
(h) ,
65
67
69
71
73
por
75
por ��8, 8���12, 12�
��8, 8���12, 12�
���, �3� � ��3, 1.87� � �4.13, ��
��3.12, 22�
R�x� �1.20x
1.50x � 3000
1.80x � 7500
si 0 � x � 10 000
si 10 000 � x � 15 000
si x 15 000
T�x� �0.15x
0.20x � 1000
si 0 � x � 20 000
si x 20 000
R �0, 8�D ��2, 6�
R ��4, 8�D ��6, 6�
R ��8, 4�D ��2, 6�
R ��4, 8�D ��6, 2�
R ��7, 5�D ��4, 4�
R ��3, 9�D �1, 9�
R ��4, 8�D ��4, 12�
R ��16, 8�D ��2, 6�
y
x
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R13
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A13
77
por
79 (a) 194.80, 234.80
(b)
para
(c)
(d) I si , II si
EJERCICIOS 3.6
1 3
5 7
9
11
13 (a) 0, 4 (c)
(b) Mín: f �2� �4
y
x
(2, �4)
f �x� �3
4�x � 6�2 � 7
f �x� �3�x � 1�2 � 2
f �x� 2�x � 3�2 � 4f �x� ��x � 2�2 � 4
y ax2 � 3y a�x � 3�2 � 1
x 900x � �0, 900�
x � 0C2�x� 159.8 � 0.15x
C1�x� �119.80
119.80 � 0.25�x � 200�si 0 � x � 200
si x 200
��8, 8���12, 12�
15 (a) (c)
(b) Máx:
17 (a)
(b) Mín:
(c)
21 (a) (b) Máx:
(c)
23 25
27
29 31
33 35 6.125 37 24.72 km
39 10.5 lb 41 (a) 424 pies (b) 100 pies 43 20 y 20
y �1
4�x � 1�2 � 4
y �5
9�x � 3�2 � 5y 3�x � 0�2 � 2
y �1
2(x � 2)(x � 4)
y �4
9�x � 2�2 � 4y
1
8�x � 4�2 � 1
y
x
(5, 7)
f �5� 75 �1
2214 � 6.87, 3.13
x
y
��d, 0�2
2
f��4
3 � 0
�4
3
f�11
24� 841
48
x
y1124
84148� �,
�3
4,
5
3
R14 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
x
100 119.8 174.8
200 119.8 189.8
300 144.8 204.8
400 169.8 219.8
500 194.8 234.8
600 219.8 249.8
700 244.8 264.8
800 269.8 279.8
900 294.8 294.8
1000 319.8 309.8
1100 344.8 324.8
1200 369.8 339.8
Y2Y1
19 (a) Ninguno(b) Mín:(c) y
x
(�2, 5)
f ��2� 5
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45 (a) (b)
(c) pies por 125 pies
47
49 (a) (b) 282 pies 51 2 pies
53 500 pares
55 (a)
(b) $15
57 ,,
por
59 Valores más pequeños dea producen una parábolamás ancha; valores másgrandes de a dan lugar auna parábola más angosta.
por
61 (b)
por �0, 8��0.5, 12�
f �x� 0.17�x � 7�2 � 0.8
��1, 7���8, 4�
��2, 2���3, 3�
�0.81, �0.41��0.02, �0.27���0.57, 0.64�
R
x
20 000
10
(15, 112 500)
R�x� 500x�30 � x�
y 1
500x2 � 10
y �4
27�x �9
2�2
� 3
1662
3
A�x� x�250 �3
4x�y�x� 250 �
3
4x
(c) 2.33 pulg
63 (a)
(b)
por
65 (a)
(b)
por
(c)
por El valor de k afecta tanto la altura como la distancia
recorrida en un factor de .
EJERCICIOS 3.7
1 (a) 15 (b) �3 (c) 54 (d)
3 (a) ; ; ;
(b) (c) Todos los números reales excepto .
5 (a) ; 0; ; 1 (b) (c)
7 (a) ; ; ;
2�x � 5�x � 4
2x 2
�x � 4��x � 5�x2 � 14x
�x � 4��x � 5�3x2 � 6x
�x � 4��x � 5�
��5, ����5, ��x � 522x � 5
�1
222�
x2 � 2
2x2 � 12x4 � 3x2 � 23 � x23x2 � 1
2
3
1
k
�0, 400, 50��0, 600, 50�
�0, 120, 50��0, 180, 50�
f �x� �4
225x 2 �
8
3x
��100, 200, 100���800, 800, 100�
�4
25x � 80 si 500 � x � 800
�1
6250x 2 � 40 si �500 � x � 500f �x�
4
25x � 80 si �800 � x � �500
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R15
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A15
(b) Todos los números reales excepto �5 y 4.
(c) Todos los números reales excepto �5, 0 y 4.
9 (a) (b) (c)
(d)
11 (a) (b) (c) �3 (d) 10
13 (a) (b) (c) 304 (d) 155
15 (a) (b) (c) 31
(d) 45
17 (a) (b) (c) �24
(d) 3396
19 (a) 7 (b) �7 (c) 7 (d) �7
21 (a) ;
(b) ;
23 (a) ;
(b) ;
25 (a) ;
(b) ;
27 (a) ;
(b) ;
29 (a) x; (b) x;
31 (a) ; todos los números reales diferentes de cero.
(b) ; todos los números reales diferentes de cero.
33 (a) ; todos los números reales excepto 4 y 5.
(b) ; todos los números reales excepto 2 y .
35
37 (a) 5 (b) 6 (c) 6 (d) 5 (e) No es posible.
39 41 Impar 43 31.26
45 47
49
51
Ejercicios 53 al 60: las respuestas no son únicas.
53 , 55 ,
57 ,
59 , 61 5 � 10�13y u � 2
u � 2u 2x � 4
y u5u x4 � 2x2 � 5
y u�4u x � 3y u1/3u x2 � 3x
d�t� 290 400 � �500 � 150t�2
h�t� 52t 2 � 8t
r�t� 923 tA�t� 36� t 2
202x2 � 1
�3 � 22
7
3
�2x � 5
�3x � 7
1
5 � x
1
x6
1
x6
��
���, �13�2�x � 13
��5, �4� � �4, 5�3 � 2x2 � 16
�2, ��2x � 2 � 5
��1, ��2x � 5 � 2
���, �2� � �2, ��23x2 � 12
�0, ��3x � 4
���, 1� � �2, ��2x2 � 3x � 2
��2, ��x � 2 � 32x � 2
128x3 � 20x8x3 � 20x
4x2 � 6x � 98x 2 � 2x � 5
15x2 � 2075x 2 � 4
6x � 86x � 9
�x 4
4x � 3�4x2 � 4x � 1�2x2 � 1
63 (a) , grafica
por
(b) , grafica
por
(c) , grafica
por
(d) , grafica
por
(e) , grafica
por ��8, 8, 2���12, 12, 2�
Y2Y1 �x
��6, 10, 2���12, 12, 2�
Y3 Y2 � 3Y1 x � 2
��6, 10, 2���12, 12, 2�
Y3 Y2 � 1Y1 x � 3
��16, 8, 2���12, 12, 2�
Y2Y1 0.5x
��16, 8, 2���12, 12, 2�
Y3 �2Y2Y1 x
R16 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:53 Page A16
(f) , grafica
por
(g) , grafica
por
(h) , grafica
por
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3
1 Los puntos de los cuadrantes II y IV
2 ; área 10
3 (a) (b) (c)
4 5
6
7
8 9
10 La pendiente de AD y BC es .
11 (a) (b)
12 13
14 15
16 17 ;
18 ; r 1
2213C��3, 2�
r 25C�0, 6�2x � 3y 5
5x � y 23x � y �3
�x � 5�2 � � y � 1�2 81y �8
3x � 8
2x � 6y 318x � 6y 7
2
3
�11
19x �2 � 29 � y2
�x � 3�2 � � y � 2�2 169
�x � 7�2 � � y � 4�2 149
�2 � a � 1�0, 1�, �0, 11�
��11, �23���13
2, 1�2265
d�A, B�2 � d�A, C�2 d�B, C�2
�0, 8���2, 6�
Y3 abs Y2Y1 x
��8, 8, 2���12, 12, 2�
Y2Y1 abs x
��8, 8, 2���12, 12, 2�
Y3 �Y2Y1 x19 (a) (b) (c) 0 (d)
(e) (f) (g)
20 Positivo 21 Positivo
22 (a) ;
(b) Todos los números reales excepto �3; .
23 24
25
26 (a) Impar (b) Ninguno (c) Par
Ejercicios 27 al 40: se muestra(n) los puntos donde corta x,seguidos de los puntos donde corta y.
27 �5; ninguno. 28 Ninguno; 3.5.
29 1.6; 4 30
31 0; 0 32 0; 0y
x
y
x
y
x
y
x
4; �43
y
x
y
x
f �x� 5
2x �
1
2
�1
�a � h � 2��a � 2��2a � h � 1
�0, ��
�0, ��� 4
3, ��
x2
x � 3
x22x2 � 3�
x2x � 3
�x23 � x
�122
1
2
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R17
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33 1; 1 34
35 36 Ninguno; 8.
37 0, 8; 0 38
39 40
41
42 La gráfica de y �f (x � 2) es la gráfica de y f (x)desplazada 2 unidades a la derecha y reflejada con res-pecto al eje x.
�28, 28 �
y
x
y
x
�3, 1; 33 � 22; 7
y
x
y
x
�3; �3
y
x
y
x
�4; �4
y
x
y
x
1; �1 43 (a) (b) ; (c) Decreciente en
44 (a) (b) ;
(c) Constante en
45 (a) (b) ;
(c) Decreciente en,
creciente en
46 (a) (b)
(c) Decreciente en,
creciente en
47 (a) (b) ;
(c) Decrecienteen ��1, ��
R ���, 1�D ��1, ��y
x
�0, 210�
��210, 0�
R ��210, 0�D ��210, 210 �;y
x
��3, ��
���, �3�
R �0, ��D �y
x
���, ��
R �1000 D �y
x
500
500
���, ��
R �D �y
x
R18 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A18
48 (a) (b) ;
(c) Decreciente en
49 (a) (b) ;
(c) Crecienteen ,decrecienteen
50 (a) (b) ;
(c) Decreciente en,
creciente en
51 (a) (b) ;
(c) Decrecienteen ,creciente en
, constante en
52 (a)
(b) ; (c) Constante en [n, n � 1), donde n es cualquier entero.
R �. . . , �3, �1, 1, 3, . . . D �
y
x
�2, ���0, 2�
���, 0�
R �0, ��D �y
x
��3, ��
���, �3�
R �7, ��D �y
x
�0, ��
���, 0�
R ���, 9�D �y
x
���, 2�
R �0, ��D ���, 2�y
x
53 (a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
54 (a) (b)
(c) (d) y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R19
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A19
(e) (f)
(g)
55 56
57 58
59 Mín: 60 Máx:
61 Máx: 62 Mín:
63 64
65 (a) (b) 66 (a) �1 (b)
67 (a) (b)
68 (a) (b)
69 (a) ;
(b) ;
70 (a) ; todos los números reales excepto �3 y 0.
(b) ; todos los números reales excepto y 0.
71 , 72 Entre 36.1 pies y 60.1 pies.
73 (a) 245 pies (b) 2028
74 (a) (b)
75 (a) (b) 1.8�F
76 (a) (b) (c) 8800
77 (a) (b) V�x� 4x��4
5x � 20�y�x� �
4
5x � 20
C2�x� 5
88x � 50C1�x�
1
16x
F 9
5C � 32
21
3V 6000t � 89 000
y 23 uu x2 � 5x
�2
3
6x � 4
x
1
x � 3
��4, 4�225 � x2 � 3
�3, 28�228 � x
1
3x � 2�3 � 2x2
x2
6x2 � 15x � 518x2 � 9x � 1
213�0, 2��0, 2�
y 3
2�x � 3�2 � 2f �x� �2�x � 3�2 � 4
f �4� �108f ��1� �37
f �5� �7f ��3� 4
y �� x � 2 � � 1y 1
2�x � 2�2 � 4
�x � 2�2 � � y � 1�2 252x � 5y 10
y
x
y
x
y
x
78
79 (a)
(b) para ;
para
(c) para ; para
80 (a) (b)
81 (a) (b)
(c) pies
82 h después de la 1:00 P.M., o sea 2:23 P.M.
83 El radio del semicírculo es mi; la longitud del rectán-
gulo es de mi.
84 (a) 1 s (b) 4 pies
(c) En la Luna 6 s y 24 pies.
85 (a) (b) 30.625 unidades.
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 3
2 (a) (b)
(c) (d)
4 5 ; la pendiente de la recta tangenteen P.
7 8
9
10 (b)
(c)
por �0, 5��0.5, 12.5, 0.5�
f �x� �0.132�x � 1�2 � 0.7
�0.517x � 7.102
si 1 � x � 6
si 6 � x � 12
x 0.4996 � 2��0.4996�2 � 4�0.0833��3.5491 � D�
2�0.0833�
f �x� 40 � 20 ��x15�h �ad 2
mPQ2ax � ah � b
g�x� �1
2xg�x� �
1
2x � 7
g�x� �1
2x � 3g�x� �
1
2x � 3
�87.5, 17.5�
1
8
1
8�
18
13
200
7�� 9.1
V�h� 1
3�h�a2 � ab � b2�y�h�
bh
a � b
y 5
4��
1
48x3r
1
2x
720 � t � 1680
h 6 �t � 720
3200 � t � 720h � t
20
6 � h � 9V 7200 � 3200�h � 6�0 � h � 6V 200h2
V 10t
C�r� 3��r3 � 16�
10r
R20 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
6 R�x3, y3� ��1 �m
n �x1 �m
nx2, �1 �
m
n �y1 �m
ny2�
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A20
Capítulo 4
EJERCICIOS 4.1
1 (a) (b)
3 (a) (b)
5
7
9
11 (a) C (b) D (c) B (d) A
13 15
y
x
y
x
f �x� � 0 si � x � 2f �x� � 0 si x � 2f �x� 0 si � x � � 2,f �x� 0 si x 2,
f��1
2 � 19
32 0, f ��1� �1 � 0
f �2� 5 0, f �3� �5 � 0
f �3� �2 � 0, f �4� 10 0
y
x
y
x
y
x
y
x
17 19
21 23
25 27
y
x
3
1
1
�1
y
x
x � 0, x � 122 � � x � � 2
f �x� � 0 si � x � � 2,� x � � 22, f �x� � 0 si
f �x� 0 si � x � 2,f �x� 0 si � x � 2 o
y
x
y
x
o � x � � 2x � �2 o 3 � x � 4
f �x� � 0 si x � �2o x 4, f �x� � 0 si
f �x� 0 si x 2,f �x� 0 si �2 � x � 3
y
x�10
2
�2 � x � 0 o x 5y
x
0 � x � 5, f �x� � 0 sif �x� � 0 si 0 � � x � � 2
f �x� 0 si x � �2 of �x� 0 si � x � 2,
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R21
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A21
29
31 (a)
(b) (c) (d)
33 Si n es par, entonces (�x)n xn y de aquí que f (�x) f (x),por tanto f es una función par.
35 37
39
P
x
P�x� � 0 en ���, � 15 215 � y �0, 15 215 �
P�x� 0 en ��15 215, 0� y �1
5 215, ��;
�4�4
3
�a, b� � �c, �����, a� � �b, c��abc
a
b c
y
x
y
x
41 (b) 43 (a)
y los valores permisibles para x están en .
45 (a) (b) La población seextingue despuésde cinco años.
47 (a)
(b) Se hacen semejantes. (c)
49 (a) (1) (2)
��9, 9� por ��6, 6���9, 9� por ��6, 6�
2x4
N
t
100
1
N�t� 0 para 0 � t � 5
V
x
200
2
12 � t � 24�0, 10�T � 0 para0 � t � 12;�15, ��;T 0 paraV�x� 0 en �0, 10�
R22 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
(b)
(c)
T �7� 29.75 � 32T �6� 32.4 32,
T
t
10
6
x
�60 25 920 000 25 902 001 25 937 999 26 135 880
�40 5 120 000 5 112 001 5 127 999 5 183 920
�20 320 000 318 001 321 999 327 960
20 320 000 318 001 321 999 312 040
40 5 120 000 5 112 001 5 127 999 5 056 080
60 25 920 000 25 902 001 25 937 999 25 704 120
k�x�h�x�g�x�f �x�
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A22
(3) (4)
(b) (1) A medida que x se aproxima al , se acerca al ;conforme x se aproxima a , lo hace a .
(2) A medida que x se aproxima al , se aproxima a; a medida que x se acerca a , se aproxi-
ma al ,(3) A medida que x se aproxima al , lo hace al ; a
medida que x se acerca a , se aproxima a .(4) A medida que x se aproxima al , se aproxima
a ; a medida que x se aproxima a , seacerca al .
(c) Para la función cúbica con, se aproxima al a medida que x se acerca a
y se aproxima a a medida que x se acerca a. Con , se acerca al conforme x lo
hace a y se aproxima a a medida que x seacerca a .
51
53
55
57
��4.5, 4.5� por ��3, 3�
��1.10, ����4.5, 4.5� por ��3, 3�
�0.56, ����4.5, 4.5� por ��3, 3�
�1.88, 0.35, 1.53��4.5, 4.5� por ��3, 3�
�1.89, 0.49, 1.20
���f �x��
��f �x�a � 0����f �x��
�f �x�a 0f �x� ax3 � bx2 � cx � d
�f �x�����
f �x����f �x����f �x��
�f �x�����
f �x����f �x���
�f �x��
��9, 9� por ��6, 6���9, 9� por ��6, 6�
59
61 (a) Ha aumentado.
(b) 1992
EJERCICIOS 4.2
1 3
5 7 9 26 11 7
13 15 17
19
21
23
25
27
29 73 31
33
35 37
39 3, 5 41 43
45 Si y n es par, entonces .
47 (a)
(b)
49 (a) (b)
51
53
EJERCICIOS 4.3
1 3
5 �2x3 � 6x2 � 8x � 24
3x3 � 3x2 � 36x�4x3 � 16x2 � 4x � 24
�0.75, 1.96
�9.55
213 � 1 � 2.61A 8x � 2x3
� 1
2�5 � 245 �, 1
2�7 � 245 ��
V �x2�6 � x�f ��y� 0f �x� xn � yn
�14f �c� 0
f� 1
2� 0f ��2� 0
8 � 723
�0.0444
4x3 � 2x2 � 4x � 2; 0
3x4 � 6x3 � 12x2 � 18x � 36; �65
x2 � 3x � 1; �8
2x2 � x � 6; 7
x4 � 2x3 � 9x2 � 2x � 8
x3 � 3x2 � 10xf ��2� 0f ��3� 0
9
2;
53
20; 7x � 2
3
2x;
1
2x � 42x2 � x � 3; 4x � 3
�1975, 1995� por �20, 40�
��4.5, 4.5� por ��2, 4�
�1.36, �0.42��0.085, 2.66�,��1.29, �0.77�,
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R23
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7
9
11
13
15 (multiplicidad 1); 0 (multiplicidad 2);
(multiplicidad 3).
17 (multiplicidad 2); 0 (multiplicidad 3).
19 (multiplicity 3); (multiplicidad 2);
3 (multiplicidad 5).
21 (cada uno de multiplicidad 1).
23
25
Ejercicios 27 al 34: los tipos de posibles soluciones aparecenen el orden positivo, negativo, no real complejo.
27 3, 0, 0 o 1, 0, 2 29 0, 1, 2
31 2, 2, 0; 2, 0, 2; 0, 2, 2; 0, 0, 4
33 2, 3, 0; 2, 1, 2; 0, 3, 2; 0, 1, 4
35 Superior, 5; inferior, . 37 Superior, 2; inferior, .
39 Superior, 3; inferior, �3.
41 f �x� �1
4�x � 1�2�x � 1��x � 2�3
�2�2
f �x� �x � 1�5�x � 1�
f �x� �x � 3�2�x � 2��x � 1�
�4i, �3
�3�4
�3
2
5
2
�2
3
f �x� �1�x � 1�2�x � 3�
f �x� 7
9�x � 1��x �
3
2��x � 3�
y
x
�10
1
3x6 � 27x5 � 81x4 � 81x3
y
x
20
1
x4 � 2x3 � 23x2 � 24x � 144 43 (a) (b) 108
45
47 No 49 Sí:
51
53 Conforme aumenta lamultiplicidad, la gráficase hace más horizontalen (0.5, 0).
55 �1.2 (multiplicidad 2);1.1 (multiplicidad 1).
57 2007
59 (a) (3)
(b) (c) 4.02, 10.53
61 7.64 cm 63 12 cm
EJERCICIOS 4.4
1 3
5
7
9
Ejercicios del 11 al 14: demuestra que ninguna de las posi-bles raíces racionales indicada satisface la ecuación.
11 13 15
17 19
21 (multiplicidad 2),1
2�3, �
2
3, 0
�7, �22, 4�3, 2, 5
2
�2, �1, 4�1, �2�1, �2, �3, �6
x�x2 � 4��x2 � 2x � 2��x2 � 8x � 25��x2 � 4x � 5�x�x � 1��x2 � 6x � 10�
�x � 2��x2 � 4x � 29�x2 � 6x � 13
4 � x � 5 y 10 � x � 11
�0.5, 12.5� por ��30, 50, 5�
�cuando t � 27.1�
��3, 3� por ��3, 1�
��3, 3� por ��2, 2�
f �t� 5
3528t�t � 5��t � 19��t � 24�
1.5�x � 2��x � 5.2��x � 10.1�
f �x� �x � 4��x � 2��x � 1.5�2�x � 3�
f �x� a�x � 3�3�x � 1��x � 2�2
R24 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
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23
25
27
29 No. Si i es una raíz, entonces �i también es una raíz; portanto, el polinomio tendría factores x � 1, x � 1, x � i,x � i por consiguiente sería de grado mayor que 3.
31 Puesto que n es impar y se presentan ceros complejos noreales en pares conjugados para polinomios con coefi-cientes reales, debe haber por lo menos un cero real.
33 (a) Las dos cajas corresponden a x 5 y
.
(b) La caja corresponde a x 5.
35 (c) En pies: 5, 12 y 13 37 (b) 4 pies
39 Ninguno 41 43 10 200 m
EJERCICIOS 4.5
1 (a)
3 AV:
AH:
hueco:
5
f (x) 2(x � 3)(x � 2)
(x � 1)(x � 2)
y
x
��2, �s�
y 2
x 1
�3
�6
�6, �223 �
y �2;
x 3;
y
x
�1.2, 0.8, �1
2�23
2i
x 5�2 � 22 �
f �x� 2�x � 0.9��x � 1.1��x � 12.5�
f �x� �3x � 2��2x � 1��x � 1�2�x � 2�
�3
4,�
3
4�
3
4 27 i
7 9
11 13
15 17
19 21
23 25y
x
5
5
x �2x 1
y 3
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y 2
x �w
(2, 1)
y
x
y 2
x �w
y
x
y
x
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R25
(b) todos los núme-ros reales diferentes decero; R D
(c) Decreciente en y en �0, ��
���, 0�
D
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27 29
31 33
35 37
39 41
y
x(�2, �3)
y
x�1, �q�
para x � �2f(x) x � 1f �x� �1
x � 1 para x � 1
y
x
(�2, 7)
y
x
y ��q�x
f �x� 2x � 3
x � 1 para x � �2y �
1
2x
y
x
y x � 2
y
x
y x � 2
y
x
�1
y
x
110
060
2
2
43
45 47
49 (a) (b)
(c) Excluye y .
51 (a) (b)
(c) Conforme del sal por galón.
53 (a) (b) 4500 (c) 2000(d) Un aumento de 125% en S produce sólo un 12.5% de
incremento en R.
55 Ninguno 57
59 (a) La gráfica de g es la recta horizontal y 1 con hue-
cos en .
(b) La gráfica de h es la gráfica de p con huecos en
, .
61 (a) (b)y 132 � 48x
x � 4
�1, �2, �3x 0
x 0, �1, �2, �3
�0.7, 1.3, 0.1� por �0.8, 1.2, 0.1���9, 3� por ��9, 3�
x 0.999
0 � S � 4000
t l �, c�t� l 0.1 lb
t
10t � 100V�t� 50 � 5t, A�t� 0.5t
r � 3.5r � 0
V�r� �r 2hh 16
�r � 0.5�2� 1
f �x� 6x2 � 6x � 12
x3 � 7x � 6f �x�
3 � x
x � 4
y
x(�2, 0)
f �x� x � 2
x � 1 para x � �2
R26 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A26
(c)
(d)
(e) Sin importar el número de horas crédito adicionalesobtenidas en 4.0, no es posible alcanzar una calificaciónpunto promedio (CPP) acumulativa de 4.0.
EJERCICIOS 4.6
1 ; 3 ;
5 ; 7 ;
9 ; 11 ;
13 (a) (b) 59 (c) 295 (d)
15 (a) (b)
(c)
(d) ohms
17 (a) (b) (c) sec
19 (a) (b) (c) 223.2 días365
�93�3/2T kd 3/2
3
223
3
422P k2l
50
9
R (ohms)
d (pulgadas)
6.25
25
0.01 0.02
R 1
400d2
1
40 000R k
l
d 2
P (lb/pies2)
P 59d
d (pies)
118
295
2 5
lbpies2P kd
k 40
3y k
2x
z3k 36y k
x
z2
k �2
49z kx2y3k 27y k
x2
z3
k �14r ks
tk
2
5u kv
x 4
�2, 4� por �0, 1000, 100�
21 (a) (b) (c) 60.6
23 (a) (b) (c) 154 lb
25 (a) (b) Más o menos 2.05 veces másfuerte.
27 Se incrementa 250%. 29 d se multiplica por 9.
31 33
35 (a) (b)
por
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4
1 2
3 4
y
x
o x 2y
x
f �x� � 0 si x � �1si x � �2 o x 3o 0 � x � 2,o 1 � x � 3, f �x� � 0
f �x� 0 si �1 � x � 0f �x� 0 si �2 � x � 1
y
x10
10
si �26 32 � x � 26 32y
x
o x 26 32, f �x� � 0f �x� � 0 si x � �2f �x� 0 si x � �26 32f �x� 0 si x �2,
�0, 600, 100��0, 75, 10�
k � 0.034
y �10.1
x 2y 1.2x
F kPr 4
25
27W kh3
mihr7
222V k2L
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R27
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5 6
7 y . Por el teoremadel valor intermedio para funciones polinómicas, f tomatodo valor entre �9 y 561; por tanto, hay por lo menosun número real a en [0, 10] tal que f (a) 100.
8 Sea . y. Por el teorema del valor intermedio para
funciones polinómicas, f toma todo valor entre �4 y 1;en consecuencia, hay por lo menos un número real a en[0, 1] tal que f(a) 0.
9 10
11 12
13
14
15
16
17
18
19 1 (multiplicidad 5); �3 (multiplicidad 1).
20 0, (todos tienen multiplicidad 2).
21 (a) Ya sea 3 positivos y 1 negativo o 1 positivo, 1 negativo,y 2 complejos no reales.
(b) Cota superior, 3; cota inferior, �1.
� i
�x � 2�3�x � 3��x � 1�
1
10
y
x
x7 � 6x6 � 9x5
1
4x�x2 � 2x � 2��x � 3�
2
41�x2 � 6x � 34��x � 1�
2x2 � �5 � 222 �x � �2 � 522 �; 11 � 222
6x4 � 12x3 � 24x2 � 52x � 104; �200
f �3� 0�132
4x � 1; 2x � 13x2 � 2; �21x2 � 5x � 9
f �1� �4 � 0f �0� 1 0f �x� x5 � 3x4 � 2x3 � x � 1
f �10� 561 100f �0� �9 � 100
y
x
�2 � x � 0, o 2 � x � 4
5
5
y
x
f �x� � 0 si x � �4,x � �4 o 0 � x � 20 � x � 2, o x 4,o x 2, f �x� � 0 sif�x� 0 si �4 � x � �2,f �x� 0 si �4 � x � 0 22 (a) Ya sea 2 positivos y 3 negativos; 2 positivos, 1 negativo
y 2 complejos no reales; 3 negativos y 2 complejosno reales o 1 negativo y 4 complejos no reales.
(b) Cota superior, 2; cota inferior, �3.
23 Como sólo hay potencias pares,para todo número real x.
24 25 26
27
28
29 AV: AH: intersección x: 1
intersección y: hueco:
30 31
32 33
34 35y
x
(1, 0)
y
x
y �x
(0, �4)
x
yy
x
y
x
y
x
��2, 4
7�4
15;
y 4
3;x 5;
f(x) 1
16(x � 3)2x 2(x � 3)2
f(x) �1
6(x � 2)3(x � 1)2(x � 3)
�26, �1�1
2,
1
4,
3
2�3, �2, �2 � i
7x6 � 2x4 � 3x2 � 10 � 10
R28 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
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36 37
38 39
40 o
41 27 42
43 (a)
(b) , y si
44 (a)
(b) Si .
45 (10:00 A.M.) y (12:12 P.M.)
46
47 (a)
(b) k es la rapidez máxima a la que el hígado puede eli-minar alcohol del torrente sanguíneo.
48 (a) y C�90� � $163 636.36C�100� $2 000 000.00
R k
25 � t � 4
t 16 � 426 � 6.2020t 4
x 0, V 0 cuando 0 � x � l
V 1
4�x�l 2 � x2�
x 6.2y � 1.0006 1y � 0.9754 � 1 si x 6.1
1
15 000
y
x
2
18
4 12
y 288x2
f(x) 3x2 � 21x � 30
2x2 � 2x � 12f(x)
3(x � 5)(x � 2)
2(x � 3)(x � 2)
y
x
y x
y
x
y x � 1
5
10
y
x
x 2y �2
x 4
�2
y
x
��2, y�(b)
49 375 50 10 125 watts
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 4
2 Sí 4 No 5 7
8 (a) No
(b) Sí, cuando siempre que el denominador
no sea cero.
9 Las asíntotas verticales son
Las asíntotas horizontales de f son .
10 El segundo entero.
11 (a) $1476(b) No es válido para valores de alta confiabilidad.
Capítulo 5
EJERCICIOS 5.1
1 (a) 4 (b) No es posible.
3 (a) Sí (b) No (c) No es una función.
5 Sí 7 No 9 Sí 11 No 13 No 15 Sí
Ejercicios 17 al 20: demuestra que .
17 19
21
23 ���, 43� � �43 , ��; ���, 83� � �8
3 , �����, 0� � �0, ��; ���, 1� � �1, ��
y
x
y
x
f �g�x�� x g� f �x��
y �9
x �9.f �1�x�
x281 � x2.
x cd � af
ae � bd,
f �x� �x2 � 1��x � 1��x2 � 1��x � 2�
n � 1
200
2000
C (miles de dólares)
x (por ciento)10 100
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R29
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A29
25 27
29 31
33 35 ,
37 39
41 43 (a) 3 (b) �1 (c) 5
45 (a) (b) ;
(c) ;
47 (a) (b) ;
(c) ;
49 (a) Como f es biunívoca, existe una inversa;
.
(b) No; no es biunívoca.
51 (c) La gráfica de f es simétrica alrededor de la rectay x; por tanto, .
53 Sí
55 (a)
(b) ;
por ��1, 4���1, 2�
��0.27, 1.22�
��0.20, 3.31�
��0.27, 1.22�
f �x� f �1�x�
f �1�x� x � b
a
R1 ��3, 3�D1 ��2, 2�R ��2, 2�D ��3, 3�y
x(�3, �2)
f
f �1
(�2, �3)
f �1
f(3, 2)
(2, 3)
y x
R1 ��1, 2�
D1 � 1
2, 4�
R � 1
2, 4�
D ��1, 2�y
x
(2, 4)
(4, 2)
�q, �1���1, q� f
f �1
y x
f �1�x� 3 � 2x � 9
f �1�x� xf �1�x� �x � 1�3
x � 0f �1�x� 3 � x2f �1�x� �3 x � 5
2
f �1�x� ��2 � x
3f�1�x�
5x � 2
2x � 3
f �1�x� 2x � 1
3xf �1�x�
x � 5
357
por
59 (a) 805
(b) . Dada una circulación de aire de
x pies3/min, V�1 (x) calcula el número máximo depersonas que deben estar en el restaurante a la vez.
(c) 67
EJERCICIOS 5.2
1 5 3 �1, 3 5 7 9 3
11 (a) (b)
(c) (d)
(e) (f) y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
18
5�
4
99
V�1�x� 1
35x
pies3min
��8, 8���12, 12�
f �1�x� x3 � 1
R30 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A30
(g) (h)
(i) ( j)
13 15
17 19
21 23 y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
25 27
29 31
33 (a) 90 (b) 59 (c) 35
35 (a) 1039; 3118; 5400 37 (a) 50 mg; 25 mg;
(b)
(b)
39
41 (a) $1010.00 (b) $1061.52 (c) $1126.83
(d) $10 892.55
43 (a) $7800 (b) $4790 (c) $2942
45 $161 657 351 965.80
47 (a) Examina la curva formada por el valor y en el año n.
(b) Resuelve para a.
49 (a) $925.75 (b) $243 270
51 $6346.40
53 (a) 180.1206 (b) 20.9758 (c) 7.3639
55 (a) 26.13 (b) 8.50
57 �1.02, 2.14, 3.62
59 (a) No biunívoca.(b) 0
��3, 3� por ��2, 2�
�0, 60, 5� por �0, 40, 5�
s �1 � a�Ty0
�1
1600
f (t) (mg restantes)
t (días)10
201
1000
f (t) (bacterias)
t (horas)
25
222 � 17.7 mg
f �x� 180�1.5��x � 32f �x� 8�12�x
f �x� 2�23�x
� 3f �x� 2�52�x
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R31
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A31
61
(a) Creciente: ;decreciente:
(b)
63 6.58 años
65 El número máximo deventas se aproxima a k.
67 Después de unos 32.8 añosaproximadamente.
69 (a)
(b) La función exponencial f. (c) 1989
71
73 (a) $746 648.43; $1 192 971 (b) 12.44%
(c) Exponencial; polinomial.
y 0.03(1.0588)t; 58¢
��10, 90, 10� por ��200, 1500, 100�
�0, 40, 10� por �0, 200 000 50 000�
�0, 7.5� por �0, 5�
��1.79, 1.94�
��4, �3.37� � ��1.19, 0.52���3.37, �1.19� � �0.52, 1�
��4, 1� por ��2, 3�
EJERCICIOS 5.3
1 (a) (b)
3 (a) (b)
5 $1510.59 7 $13 806.92 9 13% 11 3, 4
13 �1 15 17 19 27.43 g
21 280.0 millones 23 13.5% 25 561027 7.44 pulg 29 75.77 cm;
31 $11.25 por hora 33 (a) 7.19% (b) 7.25%
35
37 (a) 29.96 (b) 8.15
�0, 60, 5� por �0, 40, 5�
y
x1
1
y e1000x
15.98 cmaño
4
�ex � e�x�2�
3
4, 0
y
x
y
x
y
x
y
x
R32 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A32
39 (a) (b)
41 (a) (b)
43 �1.04, 2.11, 8.51
45 está más próxima a si ; es más cer-cana a si .
47 0.11, 0.79, 1.13
��2, 2.5� por ��1, 2�
�0, 4.5� por �0, 3�
x � 1ex
g�x�x � 0exf �x�
��3, 11� por ��10, 80, 10�
��4.5, 4.5� por ��3, 3�
y
x
��7.5, 7.5� por ��5, 5�
y
x
49
51 0.567
53 Creciente en [�1, �);decreciente en (��, �1]
55 (a) A medida que h aumenta, C disminuye.
(b) Conforme y aumenta, C disminuye.
57 (a)
(b) 0.885, 0.461
EJERCICIOS 5.4
1 (a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
3 (a) (b) (c)
(d) (e) (f)
5 7
9
11 (a) (b)
(c) (d)
(e)
13 (a) (b) (c)
(d) (e) e1/6 z � 2e4�3x w
e0.1 x1020 t x1050 x
ln �3 � x� 2t
ln p 7log �y � 1� x
log 0.001 �3log 100 000 5
t 1
C loga �A � D
B �t loga�H � K
C �t 3 loga 5
2
b3/2 51223x�4 m35 �x � 2�
t p r3�5 1
24325 32
log0.7 �5.3� tlog5 a � b
a 7t
log3 �4 � t� xlog t s r
log4 1
64 �3log4 64 3
��1000, 10 000, 1000� por �0, 1.5, 0.5�
f �x� 1.225e�0.0001085x
��5.5, 5� por ��2, 5�
�0, 200, 50� por �0, 8�
y � 2.71 � e
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R33
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A33
15 (a) 0 (b) 1 (c) No es posible. (d) 2 (e) 8
(f) 3 (g) �2
17 (a) 3 (b) 5 (c) 2 (d) �4 (e) 2
(f) �3 (g)
19 4 21 No hay solución. 23 �1, �2 25 13
27 27 29 31 3 33 3
35 (a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h) y
x
y
x
2 2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
�1
e
3e2
(i) ( j)
(k) (l)
37 39
41 43
45 47
49
51 (a) 4240 (b) 8.85 (c) 0.0237 (d) 9.97
(e) 1.05 (f) 0.202
53 ; 4.88% 55
57 59 (a) 2 (b) 4 (c) 5t �L
R ln � I
20�t �1600 log2 �q
q0�f �x� 1000ex ln 1.05
f �x� F�x� � 1
f �x� F�x � 2�f �x� �F�x�
y
x
f (x) log3 x
y
x
y
x
x �10
y
x
y
x
y
x
y
x
R34 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A34
61 (a) 10 (b) 30 (c) 40 63 En el año 2079.
65 (a) (b) 37.92 kg
67 (a) 10 007 pies (b) 18 004 pies
69 (a) 305.9 kg (b) (1) 20 años (2) 19.8 años
71 10.1 mi 73
75 (a) En promedio las personas caminan más rápido engrandes ciudades.
(b) 570 000
77 (a) 8.4877 (b) �0.0601
79 1.763 81
83 (a) 30% (b) 3.85
EJERCICIOS 5.5
1 (a) (b)
(c)
3
5
7
9 (a) (b) (c)
11 13 15 17
19 21 No hay solución. 23 �7 25 1
27 �2 29 31
33
35 37 y
x
y
x
3 � 210
�1 � 21 � e�1 � 265
2
525
7
2ln xlog
y13/3
x2loga
x223 x � 2
�2x � 3�5
log3 y5log3 2z
xlog3 �5xy�
7
4 ln x �
5
4 ln y �
1
4 ln z
1
3 log z � log x �
1
2 log y
3 loga x � loga w � 2 loga y � 4 loga z
1
3 log4 z
log4 y � log4 xlog4 x � log4 z
��2, 16� por ��4, 8�
�0, 14.90�
21/8 � 1.09
W 2.4e1.84h
39 41
43 45
47 49 51
53 55
57 (a) 0 (b) 59 0.29 cm
61
63 1.41, 6.59
65 (a) Creciente en [0.2,0.63] y [6.87, 16];decreciente en[0.63, 6.87]
(b) 4.61; �3.31
67 6.94 69 115 m�0.2, 16, 2� por ��4.77, 5.77�
�0, 6� por ��1, 3�
�0, 1.02� � �2.40, ��
R�2x� R�x� � a log 2
v
z
y b
xk
� �7f �x� log2 �8x�f �x� log2 x2
y
x
y
x
y
x
y
x
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R35
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A35
EJERCICIOS 5.6
1 3 5 1.1133
7 �0.7325 9 2 11
13 15 �3 17 5
19 21 1, 2
23 25 1 o 100 27
29 10 000 31 33 7
35
37 39
41
43 Intersección en y log2 3 45 Intersección en x log4 3
47 (a) 2.2 (b) 5 (c) 8.3
49 Básico si , ácido si el .
51 11.58 años � 11 años 7 meses. 53 86.4 m
55 (a) (b) 6.58 min
57 (a) (b) Después de 13 863 genera-ciones.
59 (a) 4.28 pies (b) 24.8 años 61
63 La sospecha es correcta.
ln �256�ln �20035�
� 0.82
t log �FF0�
log �1 � m�
1
10
60
t (minutos)
A (mg en la sangre)
pH � 7pH 7
y
x
y
x
� 0.7925 � 1.5850
x 1
2 ln � y � 1
y � 1�x ln �y � 2y2 � 1 �x
1
2 log � 1 � y
1 � y�x log �y � 2y2 � 1 �
ln 3
10100log �4 � 219 �
log 4� 1.53
2
3 � 101
11� 2.02
log �825�log �45�
� 5.11
log �281�log 24
� �1.16
4 �log 5
log 3� 2.54
log 8
log 5� 1.29
65 La sospecha es incorrecta. 67 �0.576469 Ninguno
71 1.37, 9.94
73
75 (4) 77 (a) 1998 (b) 1998
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 5
1 Sí
2
3 (a) 4 (a)
(b) (b)
5 (a) 2 (b) 4 (c) 2 (d) 2 (e)
6 (a) 5 (b) 7 (c) 4
(d) No se dio suficiente información.
x 2
y
x
y x
f �1
f(0, 9)
(9, 0)
y
x
y x
f �1
f
f �1�x� ��9 � x
2f �1�x�
10 � x
15
y
x
��5, 10� por ��8, 2�
�1.52, 6.84����, �0.32� �
��1, 17� por ��1, 11�
R36 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A36
7 8
9 10
11 12
13 14 y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
15 16
17 18
19 20
21 22
23 (a) �4 (b) 0 (c) 1 (d) 4 (e) 6 (f) 8
(g)
24 (a) (b) 0 (c) 1 (d) 5 (e) 1 (f) 25
(g)1
3
1
3
1
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R37
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A37
25 0 26 27 9 28 9 29 30 1
31 32 99 33
34 35 36 1 37
38 No hay solución. 39 40 2 41
42 ln 2 43 (a) �3, 2 (b) 2
44 (a) 8 (b)
45
46 47
48
49
50 Si y � 0, entonces
Si y 0, entonces
51 (a) 1.89 (b) 78.3 (c) 0.472
52 (a) 0.924 (b) 0.00375 (c) 6.05
53 (a)
(b)
54 (a)
(b)
55 (a) 2000(b) ; ; 6000
56 $1125.51
57 (a) (b) 8 días
1
2000�31/2� 34642000�31/6� � 2401
y 3 � log2 �x � 2�, D ��2, ��, R �
D �, R ��2, ��
y 2x � 1, D �, R ��1, ��D ��1, ��, R �
x log �1 � 21 � 4y2
2y �.
x log �1 � 21 � 4y2
2y �.
x log �1 � 21 � 4y2
2y �
y
x
x �2
f(x) 6�4
3�x
�log �xy2�
4 log x �2
3 log y �
1
3 log z
�4
0, �125
1
4, 1, 4
log �38�log �329�
��log 7
log 3
5 �log 6
log 2�1 � 23
33
47�
6
5 58
59 (a) Después de 11.39 años. (b) 6.30 años 60 3.16%
61
62 (a)
(b) Examine , donde es la intensidad co-rrespondiente a � decibeles.
63 64
65 66
67 68
69 (a) (b) 12 589; 1585; 200
70 (a) (b) 71 110 días
72 86.8 cm; 73
74 (a) 26 749 años (b) 30% 75 21.00 años
76 3196 años
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 5
1 (a)
2
La base a debe ser positiva, de tal manera que la funciónf(x) ax esté definida para todos los valores de x.
y
x1
1y x
3f �1(x) 1 � x � 1
f (x) �(x � 1)3 � 1
t �L
R ln �V � RI
V �9.715 cmaño
1024 ergsE 1011.4�1.5R
n 107.7�0.9R
v a ln �m1 � m2
m1�h
ln �29p�0.000034
26 615.9 mi2A1
A2
10�R�5.1�/2.3 � 3000
10�R�7.5�/2.3 � 34 000
A 10�R�5.1�/2.3 � 3000t �1
k ln �a � L
ab �I���I�� � 1�
I I010��10
t �ln 100�L
R� 4.6
L
R
N 1000� 3
5�t/3
R38 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A38
3 (a) La gráfica se aplana.
(b)
4 7.16 años
5 (a) Sugerencia: primero toma el logaritmo natural deambos lados.
(b) 2.50 y 2.97
(c) Advierte que Cualquier recta horizontal
, con cortará la gráfica en los puntos
y , donde y
.6 (a) La diferencia está en el compuesto.
(b) Más cerca de la gráfica de la segunda función.(c) 29 y 8.2; 29.61 y 8.18
7 Sugerencia: compruebe las restricciones para las leyes delogaritmos.
8 (a)
(b)
(c) $84 076.50; 24.425 años
9 , ,y .Los
valores de las funciones exponenciales (con base 1) sonmayores que los valores de las funciones polinomiales (contérmino inicial positivo) para valores muy grandes de x.
10 con x � 0.44239443, 4.1770774 y 5 503.6647. Losvalores de y para y x serán finalmente mayores quelos valores de y (ln x)n.
11 8.447177%; $1 025 156.25
12 (a) ,(b) 9.22; no
13 27 de marzo de 2009; alrededor de 9.05%.
14
15 (a)
y � 68.2�1.000353�x
425 bombas 1 erupción3.5 sismos 1 bomba
�x, x�
�36 102.844, 4.6928 � 1013��100, 0.01105111���0.0001, 0.01���0.9999011, 0.00999001�
�0, 35, 5� por �0, 100 000, 10 000�
U P�1 �r
12�12t
�12M��1 � r12�12t � 1�
r
x2 e
1 � x1 � e�x2, ln x2
x2��x1,
ln x1
x1�
0 � k �1
e,y k
f �e� 1
e.
y 101
2�ex/101 � e�x/101� � 71 (b) Logístico
(c) consulte la gráfica delinciso (a).
(d)
16
Capítulo 6
EJERCICIOS 6.1
Ejercicios 1 al 4: las respuestas no son únicas.
1 (a) 480°, 840°,(b) 495°, 855°,(c) 330°, 690°,
3 (a) 260°, 980°,
(b)
(c)
5 (a) 84° (b) 57.5°
7 (a) 131° (b) 43.58°
9 (a) (b) (c)
11 (a) (b) (c)
13 (a) 120° (b) 330° (c) 135°
15 (a) (b) 1260° (c) 20°
17 114° 19 286° 21 37.6833°
23 115.4408° 25 63° 27 310°
29 2.5 cm31 (a) (b)
33 (a) 1.75; (b)
35 (a) (b)
37 En millas: (a) 4189 (b) 3142 (c) 2094(d) 698 (e) 70
39 41 37.1%
43
45 (a) (b)
47 (a) (b) (c) 380 rpm
(d)
49 (a) (b)
51 Largo 53 192.08 revmin
2
3d
21�
8� 8.25 pies
S�r� 1140
r; inversamente
38� cms400� radmin
100�
3� 104.72 piesmin80� radmin
7.29 � 10�5 rads
1
8 radián � 7�10�
80�
9� 27.93 m220�
9� 6.98 m
14 cm2315
�� 100.27�
8� � 25.13 cm22� � 6.28 cm
37�17�10�8�
28�44�35�30�
�630°
5�
9
2�
5
5�
2
5�
4�
�
3
5�
6
8�23�
42�26�
7�
4, 15�
4, �
9�
4, �
17�
4
17�
6, 29�
6, �
7�
6, �
19�
6
�100�, �460�
�390�, �750�
�225�, �585�
�240�, �600°
eb, con b 11 ln 5 ln 7
ln 35
1.1355 � 1010
y �1.1355 � 1010
1 � 3.5670e�0.0281x;
��10, 110, 10� por �0, 1010, 109�
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R39
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A39
EJERCICIOS 6.21 (a) B (b) D (c) A (d) C (e) E
Nota: las respuestas están en el orden sen, cos, tan, cot, sec,csc para cualquier ejercicio que requiera los valores de lasseis funciones trigonométricas.
3
5
7
9
11 13
15
17 19
21
23 25 192 pies 27 1.02 m
29 (a) 0.6691 (b) 0.2250 (c) 1.1924 (d)
31 (a) 4.0572 (b) 1.0323 (c) (d) 4.3813
33 (a) 0.5 (b) (c) 0.9985 (d)
35 (a) (b)
37 (a) 5 (b) 539 41
43 45
47
Ejercicios 49 al 70: se proporcionan comprobaciones caracte-rísticas.
49
51
53
55
57
59
61
�1
sec2 �
�1 � sen ���1 � sen �� 1 � sen2 � cos2 �
sen2 ��2� � cos2 ��2� 1
sen ��2�csc ��2�
�cos ��2�sec ��2�
sen ��2�
1sen ��2��
cos ��2�1cos ��2�
cos2 � sen2 �
cos2 � sen2 �
cos2 � �sec2 � � 1� � cos2 � �tan2 ���1 � cos 2���1 � cos 2�� 1 � cos2 2� sen2 2�
csc �
sec �
1sen �
1cos �
cos �
sen � cot �
sen � sec � sen � �1cos �� sen �cos � tan �cos � sec � � cos � �1cos �� � 1
sen � 2sec2 � � 1
sec �
sec � 121 � sen2 �
cot � 21 � sen2 �
sen �
sen �1 � sen � cos �
�4�1
�1�0.9880
�0.6335
�1.0154
20023 � 346.4 pies
11
6,
5
6, 11
5,
5
11,
6
5,
6
11
5
13, 12
13,
5
12, 12
5, 13
12, 13
5
3
5,
4
5,
3
4,
4
3,
5
4,
5
3
x � 43; y � 4
x � 72; y � 7x � 8; y � 43
b
c, c2 � b2
c,
b
c2 � b2, c2 � b2
b,
c
c2 � b2,
c
b
a
a2 � b2,
b
a2 � b2,
a
b,
b
a, a2 � b2
b, a2 � b2
a
2
5, 21
5,
2
21, 21
2,
5
21,
5
2
4
5,
3
5,
4
3,
3
4,
5
3,
5
4
63
65
67
69
71
73
75
77
79
Nota: I significa indefinida.
81 (a) 1, 0, I, 0, I, 1 (b) 0, 1, 0, I, 1, I
(c) (d)
83 (a) IV (b) III (c) II (d) III
85
87
89
91
93 95 97 �sen �
2sec ��tan �
15
4, �
1
4, �15, �
1
15, �4,
4
15
�8
3, �
1
3, 8,
1
8, �3, �
3
8
�5
13, 12
13, �
5
12, �
12
5, 13
12, �
13
5
3
5, �
4
5, �
3
4, �
4
3, �
5
4,
5
3
0, �1, 0, I, �1, I�1, 0, I, 0, I, �1
�7
53, �
2
53,
7
2,
2
7, �
53
2, �
53
7
4
5,
3
5,
4
3,
3
4,
5
3,
5
4
4
17, �
1
17, �4, �
1
4, �17,
17
4
�5
29, �
2
29,
5
2,
2
5, �
29
2, �
29
5
�3
5,
4
5, �
3
4, �
4
3,
5
4, �
5
3
0 � log sen � �log sen �
log csc � log � 1
sen �� log 1 � log sen �
� sec2 3� � csc2 3�
� 1 � tan2 3� � cot2 3� � 1
sec2 3� csc2 3� � �1 � tan2 3���1 � cot2 3��
� sec � � cos �
� 1 � cos � �1
cos �� 1 � �cos � � sec �
1
tan � tan � �
cos �
sen � sen � �
1
sen � sen �
cos ��
1
sen � sen �
� csc � sen � cot � tan � � cot � sen � � csc � tan ��cot � � csc ���tan � � sen ��
sen �
cos � sen � tan � sen �
sec � � cos � 1
cos �� cos �
1 � cos2 �
cos �
sen2 �
cos �
R40 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A40
EJERCICIOS 6.3
1
3
5 (a) (b)
(c) (d)
7 (a) (b)
(c) (d)
Nota: I significa indefinida.
9 (a)
(b)
11 (a)
(b)
13 (a)
(b)
15 (a)
(b)
17 (a) (b) (c)
19 (a) 1 (b) (c) 1
Ejercicios 21 al 26: se proporcionan comprobaciones caracte-rísticas.
21
23
25
1 � sen2 x
cos x
cos2 x
cos x cos x
1
cos x�
sen x
cos x sen x
1
cos x� ��tan x���sen x�
1
cos ��x�� tan ��x� sen ��x�
cot ��x�csc ��x�
�cot x
�csc x
cos xsen x
1sen x cos x
� �tan x ��sen x��1cos x�
sen ��x� sec ��x� ��sen x� sec x
�1
�1�2
2�1
�2
2, �
2
2 �; �2
2, 2
2, �1, �1, 2, �2
��2
2, �
2
2 �; �2
2, �
2
2, 1, 1, �2, �2
��2
2, 2
2 �; 2
2, �
2
2, �1, �1, �2, 2
�2
2, 2
2 �; 2
2, 2
2, 1, 1, 2, 2
�0, 1�; 1, 0, I, 0, I, 1
�0, �1�; �1, 0, I, 0, I, �1
��1, 0�; 0, �1, 0, I, �1, I
�1, 0�; 0, 1, 0, I, 1, I
�12
13, �
5
13���12
13,
5
13��12
13,
5
13��12
13,
5
13���
3
5,
4
5�� 3
5, �
4
5���
3
5, �
4
5���3
5, �
4
5��
7
25, 24
25, �
7
24, �
24
7, 25
24, �
25
7
8
17, �
15
17, �
8
15, �
15
8, �
17
15, 17
8
27 (a) 0 (b) 29 (a) (b)
31 (a) 1 (b) 33 (a) (b)
35 (a) (b) 37 (a) (b) 1
39 41 43
45 47 49
51 (a)
(b)
(c)
53 (a)
(b)
(c)
55 57
59 61
63 (a) ��2�, �3�
2 �, ��3�
2, ���, �0,
�
2 �, � �
2, ��
y
x1
p
y
x1
p
y
x1
p
y
x1
p
�4�
3� x � �
2�
3 y
2�
3� x �
4�
3
4�
3� x � 2�
�2� � x � �4�
3, �
2�
3� x �
2�
3 y
�4�
3, �
2�
3, 2�
3, 4�
3
5�
6� x � 2�
�2� � x � �11�
6, �
7�
6� x �
�
6 y
�11�
6� x � �
7�
6 y
�
6� x �
5�
6
�11�
6, �
7�
6,
�
6, 5�
6
0, ��
4, 5�
4
�
4, 7�
4, 9�
4, 15�
4
0, 2�, 4��
6, 5�
6, 13�
6, 17�
6
3�
2, 7�
2
��2�
��1��
�12
2�1
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R41
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A41
(b)
65 (a) La función tangente aumenta en todos los intervalosen los que está definida. Entre �2p y 2p, estos
y
(b) La función tangente nunca es decreciente en un inter-valo donde está definida.
69 (a) (b) (c) 0.5, 2.6
71 (a) (b) 0.4 (c) 2.2, 4.1
73 (a)
(b) Máx: 72°F a las 6:00 P.M., 80% a las 6:00 A.M.;mín: 48°F a las 6:00 A.M., 40% a las 6:00 P.M.
75 77
por
79 0 81 1 83 1
EJERCICIOS 6.4
1 (a) 60° (b) 20° (c) 22° (d) 60°
3 (a) (b) (c) (d)
5 (a) (b)
(c) (d) 32� � 100 � 30.4�2� � 5.5 � 44.9�
� � 2 � 65.4�� � 3 � 8.1�
�
4
�
6
�
3
�
4
��5.19, 3.19���2.09, 2.09���2�, 2�, �2����, �, �4� por
��4.91, �4.81��2.98��2.03, 1.82�;�0.72, �1.62, �2.61,
�0.7
�0.9�0.8
�3�
2, 2��.� �
2, 3�
2 ����
2,
�
2 �,
���, ��
2 �, ���
2, 0�, ��,
3�
2 �, �3�
2, 2�� 7 (a) (b) 9 (a) (b)
11 (a) (b) 13 (a) (b)
15 (a) (b) 17 (a) (b) 2
19 (a) 0.958 (b) 0.778 21 (a) 0.387 (b) 0.472
23 (a) 2.650 (b) 3.179 25 (a) 30.46° (b)
27 (a) 74.88° (b)
29 (a) 24.94° (b)
31 (a) 76.38° (b)
33 (a) 0.9899 (b) (c)
(d) 0.7907 (e) (f) 1.3677
35 (a) 214.3°, 325.7° (b) 41.5°, 318.5°
(c) 70.3°, 250.3° (d) 133.8°, 313.8°
(e) 153.6°, 206.4° (f) 42.3°, 137.7°
37 (a) 0.43, 2.71 (b) 1.69, 4.59 (c) 1.87, 5.01
(d) 0.36, 3.50 (e) 0.96, 5.32 (f) 3.35, 6.07
39 0.28 cm
41 (a) El máximo ocurre cuando el Sol se levanta por eloriente.
(b)
43
EJERCICIOS 6.5
1 (a) (b)
y
x�3p
2
y
x1 p
1, �
24, 2�
�9, 93 �
2
4� 35%
�11.2493
�0.1425�0.1097
76�23�
24°57�
74�53�
30�27�
�2
3
2
3�2
3�3
3�3�
3
3
1
2�
3
22
23
2
R42 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
Hora T H Hora T H
12 A.M. 60 60 12 P.M. 60 60
3 A.M. 52 74 3 P.M. 68 46
6 A.M. 48 80 6 P.M. 72 40
9 A.M. 52 74 9 P.M. 68 46
intervalos son ��3�
2, �
�
2 �,��2�, �3�
2 �,
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A42
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
3 (a) (b)
y
x1 p
y
xp
4
1, 2�
33, 2�
y
x1
3p
y
x1
�3p
1, �
24, 2�
y
x
2
p
y
x1
p
1
2,
�
22, 8�
y
x1
p
y
x1
p
1, 8�1
4, 2� (c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
5 7
y
x1
2p
y
x1
p
3, 2�, ��
61, 2�,
�
2
y
x1 p
y
x1
p
1, 2�
33, 2�
y
x1
p
y
x1
p
1
2, 2�
32, 6�
y
xp
2
y
x1
p
1, 6�1
3, 2�
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R43
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A43
9 11
13 15
17 19
21 6, 2, 0 23 2, 4, 0
y
x
3
p
y
x
7
�3p
y
x1
p
y
x1
3p
1, 4�, 2�
32,
2�
3,
�
3
y
x1
p
y
x1
p
1, 2�
3, �
�
31, �,
�
2
y
x1
2p
y
x
2
p
4, 2�, �
41, 2�, �
�
225 27
29 31
33 35
37 39
y
x
8
p
y
x
5
p
5, �, ��2, �, �
2
y
x
3
p
y
x1 3p
2, 4, 1
23, 2, �4
y
x1
2p
y
x
3
p
5, 6�, ��
23, 4�,
�
2
y
x
6
3p
y
x
2
p
5, 2�
3,
�
6
1
2, 1, 0
R44 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A1-A44 10/30/2006 16:54 Page A44
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R45
41 (a) (b)
43 (a) (b)
45 47
49 51
53 La temperatura es de 20ºF a las 9:00 A.M. (t � 0).Aumenta a un máximo de 35ºF a las 3:00 P.M. (t � 6)y después disminuye a 20ºF a las 9:00 P.M. (t � 12).Continúa descendiendo hasta un mínimo de 5ºF a las3:00 A.M. (t � 18). Luego sube a 20ºF a las 9:00 A.M.(t � 24).
55 (a) con
(b) f (t)
t
2
2
c � �5�
6, d � 0b �
�
12,
a � 10,f �t� � 10 sen ��
12�t � 10�� � 0,
�0, 24, 2� por �0, 40, 5�
D(t)
t50
2365
6
12
18
79
f (t)
t
0.1
4
a � 8, b � 4�4�
y � 2 sen � �
2x �
3�
2 2, 4, �3
y � 4 sen �x � ��4, 2�, ��57 (a)
(b)
59 (a)
(b)
61 (a)
(b)
63 Cuando o cuando y oscila entre �1 y 1y no se aproxima a un valor único.
��2, 2, 0.5� por ��1.33, 1.33, 0.5�
x l 0�,x l 0�
D�t� � 6.42 sen � �
6t �
2�
3 � 12.3
�0.5, 24.5, 5� por �0, 20, 2�
P�t� � 2.95 sen � �
6t �
�
3 � 3.15
�0.5, 24.5, 5� por ��1, 8�
f (t)
t2
2
219
b ��
12, c � �
3�
4, d � 20
f �t� � 10 sen ��
12�t � 9�� � 20, con a � 10,
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A45
R46 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
65 Cuando o cuando y parece aproximarsea 2.
67 69
EJERCICIOS 6.6
1 3
5 7
y
x1
p
y
x1
p
2�2�
y
x1
p
y
x1
p
��
���, �, �4� por ��2.09, 2.09�
�1.49, 2.42���0.45, 0.61� �
���, �1.63� �y � 4
��2, 2, 0.5� por ��0.33, 2.33, 0.33�
x l 0�,x l 0�
9 11
13 15
17 19
21 23
y
x1
p
y
x
8
�3p
3��
2
y
x
8
p
y
x1
p
�2�
y
x1
p
y
x1
p
�
24�
y
x�3p
y
x
4p
�
2�
��20, 20, 2� por ��1, 5�
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A46
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R47
25 27
29 31
33 35
37 39
y
x1
p
y
x1
p
2�4�
y
x1
p
y
x
4
p
�6�
y
x1
p
y
x1
p
�2�
y
x1
p
y
x�3p
2��
241 43
45 47
49 2 51 1
53
55 57 y
xp
1
y
xp
2
y � �cot �x ��
2
y
x1
1
y
x11
9
y
xp1
y
x1
p
4��
y
x1
p
y
x1
p
6��
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A47
R48 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
59 61
63 65
67 69
por 71
73 75
���, �, �4� por ��4, 4���4.19, 4.19���2�, 2�, �2� por
�1.23, �3.68���2.76, 3.09�;e�x/4
��2�, 2�, �2� por ��4, 4�
��4, 4���2�, 2�, �2���2�, 2�, �2� por ��4, 4�
y
xp
1
y
xp
2
y
xp
1
y
xp
2
77 79
81 (a) (b) (c)
83 (a) (b) (c)
EJERCICIOS 6.7
1
3
5
7
9
11
13
15 17
19 21
23
25 27 28 800 pies 29 160 m
31 9659 pies 33 (a) 58 pies (b) 27 pies 35
37 16.3° 39 2063 pies 41
43 21.8° 45 20.2 m 47 29.7 km 49 3944 mi
51 126 mph
53 (a) 45%(b) Cada satélite tiene un intervalo de señal de más de
120º.
55 57
59
61 N70°E; N40°O; S15°O; S25°E
63 (a) 55 mi (b) S63°E 65 324 mi
67 Amplitud, 10 cm; periodo, ; frecuencia, 3 osc/s.
El punto está en el origen en t � 0. Se mueve hacia arribacon rapidez decreciente y alcanza el punto de coordenada
10 cuando Después invierte la dirección y se
mueve hacia abajo, acelerando hasta llegar al origen
t �1
12.
1
3 s
h � d�tan � � tan ��
h �d
cot � � cot �h � d sen � � c
1 459 379 pies2
51�20
25023 � 4 � 437 piesb � �c2 � a2
c � a csc �a � b cot �
b � c cos �� � 69�, � � 21�, a � 5.4
� � 29�, � � 61�, c � 51
� � 18�9, a � 78.7, c � 252.6
� � 53�, a � 18, c � 30
� � 60�, � � 30�, a � 15
� � � � 45�, c � 5�2
� � 45�, a � b � 15�2
� � 60�, a �20
3�3, c �
40
3 �3
ln 2
�
�
kz0A0e��z
0.603I00.044I0I0
���, �, �4� por ��2.09, 2.09�
��2, 2� por ��1.33, 1.33�
�2.39, ���0.11, 0.95� �
���, �1.31� ���0.70, 0.12�
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A48
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R49
cuando Continúa hacia abajo desacelerando y
llega al punto de coordenada �10 cuando Luego
invierte la dirección y se mueve acelerando hacia arriba,
regresando al origen cuando
69 Amplitud, 4 cm; periodo, frecuencia,
El movimiento se parece al del ejercicio 67; sin embargo,el punto inicia 4 unidades arriba del origen y se mueve
hacia abajo llegando al origen cuando y al punto
de coordenada �4 cuando Después invierte la
dirección y se mueve hacia arriba, llegando al origen cuando
t � 1 y después a su punto de partida cuando
71
73 (a)
(b) 324 000 pies
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6
1
2 810°, 315°, 900°, 36°
3 (a) 0.1 (b)
4 (a) (b)
5 6
7 8
9 10
Ejercicios 11 al 20: se presentan comprobaciones caracte-
rísticas.
11
� 1 � sen2 � cos2
sen �csc � sen � � sen csc � sen2
cot � �csc2 � 1tan � �sec2 � 1
x �7
2 �2; y �
7
2 �2x � 6�3; y � 3�3
100�
3, 105�
4
200�
3, 90�
175�
16 cm235�
12 cm
0.2 m2
�120�,
11�
6, 9�
4, �
5�
6, 4�
3,
�
5
y � 25 cos �
15t
d � 5 cos 2�
3t
t �4
3.
t �2
3.
t �1
3
3
4 oscs.
4
3 s;
t �1
3.
t �1
4.
t �1
6. 12
13
14
15
16
17
18
� �csc2
� �1 � cot2 � ��1 � cot2 �
�1
sen � csc
1 � sec
tan � sen �
1 �1
cos
sen
cos �
sen cos
cos
�
cos � 1
cos
sen �1 � cos �cos
��cos � sen � cos
�cos � sen � sen �
cos
sen � cot
cot � 1
1 � tan �
cos
sen � 1
1 �sen
cos
�
cos � sen
sen
cos � sen
cos
�sen � cos
sen � cos
sec � csc
sec � csc �
1
cos �
1
sen
1
cos �
1
sen
�
sen � cos
cos sen
sen � cos
cos sen
1 � tan2
tan2 �
1
tan2 �
tan2
tan2 � cot2 � 1 � csc2
�
sen
cos
1
cos
�tan
sec
sec � cos
tan �
1
cos � cos
sen
cos
�
1 � cos2
cos
sen
cos
�
sen2
cos
sen
cos
� 1 � sec2
� cos2 sec2 � sec2
�cos2 � 1��tan2 � 1� � �cos2 � 1��sec2 �
�1
sen � csc
�sen2 � cos2
sen
� sen �cos2
sen
cos �tan � cot � � cos �sen
cos � cos �
cos
sen
19tan ��� � cot ���
tan �
�tan � cot
tan � �
tan
tan �
cot
tan
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A49
R50 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
20
21
22 (a)
(b)
(c)
23 (a) II (b) III (c) IV
24 (a)
(b)
25
26
27 (a) (b) 65°, 43°, 8°
28 (a) 1, 0, I, 0, I, 1
(b)
(c) 0, 1, 0, I, 1, I
(d)
29 (a) (b) (c) (d)
(e) (f)
30 310.5° 31 1.2206; 4.3622 32 52.44°; 307.56°
�2
�3�1
�2�1
2�
�3
3�
�2
2
�1
2, �3
2, �
�3
3, ��3,
2
�3, �2
�2
2, �
�2
2, �1, �1, ��2, �2
�
4,
�
6,
�
8
� 3
5,
4
5; � 3
5,
4
5; ��3
5,
4
5; ��3
5,
4
5��3
2,
1
2��1, 0�; �0, �1�; �0, 1�; ��
�2
2, �
�2
2 ; �1, 0�;
2
�13, �
3
�13, �
2
3, �
3
2, �
�13
3, �13
2
�4
5,
3
5, �
4
3, �
3
4,
5
3, �
5
4
�1, 0, I, 0, I, �1
2
�13, �
3
�13, �
2
3, �
3
2, �
�13
3, �13
2
�4
5,
3
5, �
4
3, �
3
4,
5
3, �
5
4
�33
7,
4
7, �33
4,
4
�33,
7
4,
7
�33
�1
sen � csc
�sen2 � cos2
sen
� sen �cos2
sen
� sen �cos sen
1cos
�1
csc ����
cot ���sec ���
� �1
�csc �
�cot
sec 33 5, 34
35 36
37 38
39 2, 2 40 4, 4y
xp
1
y
xp
3
y
xp
1
y
xp
1
4, �3, 4�
y
xp
1
y
xp
2
1
2, 6�
1
3, 2�
3
y
xp
1
y
xp
1
2
3, 2�2�
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R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R51
41 (a) 1.43, 2 (b)
42 (a) (b)
43 (a) (b)
44 (a) 2, 4 (b)
45 46
47 48
49 50
51 52 y
xp1
y
xp
1
y
xp
1
y
xp1
y
xp
1
y
xp
1
y
xp
1
y
xp
1
y � 2 cos �
2x
y � �3 cos 3
2x3,
4�
3
y � �3.27 sen 2
3x3.27, 3�
y � 1.43 sen �x 53 54
55 56
57
58
59
60
61 (a) (b) 440.2 62 1048 pies
63 0.093 mi/s 64 52°
65 Aproximadamente 67 900 000 mi.
66 67 250 pies
68 (a) 231.0 pies (b) 434.5 69 (b) 2 mi
70 (a) (b) 22.54 pies
71 (a) (b) 37.47°
72 (b) 4.69 73 (a) 74.05 pulg (b) 24.75 pulg
74 (a) (b)
75 (a) (b) h � 1650 piesh � R sec s
R� R
V �4
3a3 sen2 cos S � 4a2 sen
25
323 � 14.43 pies-candelas
T � h � d�cos � tan � sen ��
6�
5 radianes � 216�
109�
6
� � 13�, � � 77�, b � 40
� � 68�, � � 22�, c � 67
� � 35�20, a � 310, c � 380
� � 30�, a � 23, c � 46
y
xp
1
y
xp1
y
xp1
y
xp1
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R52 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
76
77
78 (a) (b) 20.8°C en julio 1.
79 (a) (b) 45 días en el verano.
80 (a) El corcho tiene un movimiento armónico simple.
(b)
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6
3 Ninguno.
5 Los valores de y1, y2 y y3 están muy próximos unos deotros cerca de x � 0.
6 (a)
(b)
7 (a)
(b)
8 (a) (b)
(c) 10 revoluciones.
D�t� � 5 cos �500�
3t � 18
500�
3 rads
x � �1.2624, y � 0.9650
x � 1.8415, y � �0.5403
x � �0.8838, y � �0.4678
x � �0.4161, y � 0.9093
1 � t � 2
4 000
D(t)
t10 90
5
T (t)
t3
y � 98.6 � �0.3� sen ��
12t �
11�
12
y
x
1
1 10
Capítulo 7
EJERCICIOS 7.1
Ejercicios 1 al 50: se presentan comprobaciones característi-cas para los ejercicios 1, 5, 9, …, 49.
1
5
9
13
17
21
25
29
�sen � � 1
cos ��1 � sen ���
1
cos �� sec �
1 � csc �
cot � � cos ��
1 �1
sen �
cos �
sen �� cos �
�
sen � � 1
sen �
cos � � cos � sen �
sen �
��1 � sen t�2
�1 � sen t� �1 � sen t��
1 � sen t
1 � sen t
��1 � sen t�2
cos2 t�
�1 � sen t�2
1 � sen2 t
�sec t � tan t�2 � � 1
cos t�
sen t
cos t2
� �1 � sen t
cos t 2
� sen2 r � cos2 r
� �sen2 r � cos2 r� �1�
sen4 r � cos4 r � �sen2 r � cos2 r� �sen2 r � cos2 r�
� sec x � 1 �1
cos x� 1 �
1 � cos x
cos x
tan2 x
sec x � 1�
sec2 x � 1
sec x � 1�
�sec x � 1� �sec x � 1�sec x � 1
� csc2 t � cot2 t
� �csc2 t � cot2 t� �1�
csc4 t � cot4 t � �csc2 t � cot2 t� �csc2 t � cot2 t�
� 2 csc2 �2
sen2
1
1 � cos �
1
1 � cos �
1 � cos � 1 � cos
1 � cos2
� �cos
sen 2
� cot2
csc2
1 � tan2 �
csc2
sec2 �
1sen2
1cos2 �
cos2
sen2
�cos
sen cos � cot cos
csc � sen �1
sen � sen �
1 � sen2
sen �
cos2
sen
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R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R53
33
37
41
45 , porque
49
Ejercicios 51 al 62: se presenta un valor característico de t ode u y la desigualdad resultante.
51 , 53 , 55 ,
57 , 59 ,
61 No es una identidad. 63 Es una identidad.
65 67 69
71 73 75
77 La gráfica de f parece ser la de .
� �1�sen2 x cos2 x
�sen2 x cos2 x
�sen2 x cos2 x
��sen2 xcos2 x�cos4 x
sen2 x � sen4 x
�1 � sec2 x�cos4 x�
sen2 x�1 � sen2 x��tan2 x cos4 x
y � g�x� � �1
a4 sec3 tan a tan 1
a2 cos2
a sec a tan sen a3 cos3
cos �2 � 1�
4�1 � 1�
2 � 1�
41 � �1
3�
2�1 � 1�
� �ln sec � tan � ln 1 � ln sec � tan
� ln 1
sec � tan � ln sec2 � tan2
sec � tan ln sec � tan � ln �sec � tan ��sec � tan �
sec � tan loga ax � x.log 10tan t � log10 10tan t � tan t
� �1 � tan2 ��2 � LS� 1 � 2 tan2 � � tan4 �
� 1 � 2 tan2 � � tan4 � � 4 tan2 �
� �1 � tan2 ��2 � 4 tan2 �LD � sec4 � � 4 tan2 � � �sec2 ��2 � 4 tan2 �
� sen � cos �
1
tan � � cot ��
1
sen �
cos ��
cos �
sen �
�1
sen2 � � cos2 �
cos � sen �
� LS
�sen � cos � � cos � sen �
cos � cos � � sen � sen �
�
sen � cos � � cos � sen �
cos � cos �
cos � cos � � sen � sen �
cos � cos �
LD �tan � � tan �
1 � tan � tan ��
sen �
cos ��
sen �
cos �
1 �sen �
cos ��
sen �
cos �
79 La gráfica de f parece ser la de y � g(x) � cos x.
EJERCICIOS 7.2
Ejercicios 1 al 34: n representa cualquier entero.
1 , 3
5 ,
7 No tiene solución porque .
9 Toda u excepto .
11 , 13
15 ,
17 , 19 ,
21 23 ,
25 , 27 ,
29 , 31 ,
33 , 35
37 , , , 39 , , ,
41 43
45 47 No hay solución. 49
51 53
55 Toda en excepto 0, y
57 59
61 15°30 , 164°30 63 135°, 315°, 116°30 , 296°30
65 41°50 , 138°10 , 194°30 , 345°30 67 10
3�
4, 7�
4
�
2, 3�
2, 7�
6, 11�
6
3�
2
�
2, ��0, 2���
�
4, 5�
40,
�
2
11�
6,
�
2
�
2, 3�
2, 2�
3, 4�
3
0, �, �
4, 3�
4, 5�
4, 7�
4
�
6, 5�
6, 3�
2
5�
3
4�
3
2�
3
�
3
15�
8
11�
8
7�
8
3�
8
e��2��� n5�
12� �n
�
12� �n
11�
6� 2�n
7�
6� 2�n
5�
6� �n
�
6� �n
5�
3� 2�n
4�
3� 2�n
2�
3� �n
�
3� �n
3�
2� 2�n2�n
�
4�
�
2n
4�
3� 2�n
2�
3� 2�n
7�
12� �n
�
4� �n
7�
12� 2�n�
�
12� 2�n
�
2� 3�n
11�
12� �n
�
12� �n
��
2� �n
�
2� 1
5�
3� 2�n
�
3� 2�n
�
3� �n
7�
4� 2�n
5�
4� 2�n
� �sen x � cos x� � sen x � cos x� sec x cos x�sen x � cos x� � sen x
sec x�sen x cos x � cos2 x� � sen x
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A53
R54 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
69 (a)
[1, 25, 5] por [0, 100, 10]
(b) Julio: 83°F; Oct.: 56.5°F. (c) De mayo a septiembre.
71 y 73 (a) 3.29 (b) 4
75 (a) (b) y
77 ,
,
79 81
83
85
por
(a) 0.6366 (b) Tiende a .
(c) Una infinidad de ceros.
87 5.400 89 3.619
91 , 1.08 93
95 97 (a) 37.6° (b) 52.5°
EJERCICIOS 7.3
1 (a) cos 43°23 (b) sen 16°48 (c)
(d) csc 72.72°
3 (a) (b) (c)
(d) sec ��
2� 0.53
cot �� � 2
2 cos �2� � 1
4 sen 3�
20
cot �
3
�0.64, �2.42
�1.00�1.48
y � 1
��1.5, 1.5, 0.5��0, 3�
�0.39, 1.96� � �2.36, 3.53� � �5.11, 5.50�
�0, 1.27� � �5.02, 2��7
360
D�4�
3, 2�
3�
1
2�3C�2�
3,
�
3�
1
2�3
B��2�
3, �
�
3�
1
2�3,A��
4�
3, �
2�
3�
1
2�3
25
3� t � 10
0 � t �5
3N(t)
t5 10
1000
t � 8.50t � 3.50
5 (a) (b)
7 (a) (b)
9 (a) (b)
11 cos 25° 13 15
17 (a) (b) (c) I
19 (a) (b) (c) IV
21 (a) (b) (c) I
23
25
27
29
31
33
35
37 tan �u ��
4 �
tan u � tan �
4
1 � tan u tan �
4
�1 � tan u
1 � tan u
�22
2 �sen � cos �
�22
2 sen �
22
2 cos
sen � ��
4 � sen cos �
4� cos sen
�
4
� cot ��� � �cot
tan � ��
2 � cot ��
2� � �
�
2 ��
�cos x
sen x� �cot x
�
sen x cos �
2� cos x sen
�
2
cos x cos �
2� sen x sen
�
2
tan �x ��
2 �
sen �x ��
2 cos �x �
�
2
� sen x
cos �x �3�
2 � cos x cos 3�
2� sen x sen
3�
2
cos � � �� � cos cos � � sen sen � � �cos
� �cos x
sen �x �5�
2 � sen x cos 5�
2� cos x sen
5�
2
� sen ��1� � cos �0� � �sen sen � � �� � sen cos � � cos sen �
4�21 � 6
25� 0.97
3�21 � 8
25� 0.23
�24
7�
24
25
36
85
77
85
sen ��5�sen ��5°�
�6 � �2
4�2 � 1
2
�2 � �3�3 � 1
�6 � �2
4�2 � �3
2
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A54
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R55
39
41
43
45
47
49
51
53 (a) Cada lado . (b)
(c)
55 57
59 es externo.�
12, 5�
12;
3�
4
�
6,
�
2, 5�
60,
�
3, 2�
3
a � 60°, b � 3°a � 60°� 0.0523
� cos x �cos h � 1
h � sen x �sen h
h �
cos x cos h � cos x
h�
sen x sen h
h
�cos x cos h � sen x sen h � cos x
h
f �x � h� � f �x�h
�cos �x � h� � cos x
h
� sen u cos v � cos u sen v� sen u cos ��v� � cos u sen ��v�
sen �u � v� � sen �u � ��v��
�cot u cot v � 1
cot v � cot u
��cos u cos v � sen u sen v� �1sen u sen v��sen u cos v � cos u sen v� �1sen u sen v�
cot �u � v� �cos �u � v�sen �u � v�
cos u cos v sen w � sen u sen v sen wsen u cos v cos w � cos u sen v cos w �
�sen � sen �
sen �� � ��
�1
cos � sen � � cos � sen �
sen � sen �
1
cot � � cot ��
1
cos �
sen ��
cos �
sen �
� sen2 u � sen2 v� sen2 u � sen2 u sen2 v � sen2 v � sen2 u sen2 v� sen2 u�1 � sen2 v� � �1 � sen2 u� sen2 v� sen2 u cos2 v � cos2 u sen2 v
�sen u cos v � cos u sen v�� �sen u cos v � cos u sen v� �
sen �u � v� � sen �u � v�
� 2 cos u cos v�cos u cos v � sen u sen v�
� �cos u cos v � sen u sen v� �
cos �u � v� � cos �u � v�61 (a) (b)
(c)
63 (a) (b)
(c)
65
67 (a) con tan
(b) para cualquier ente-
ro no negativo n.
69 (a)
con y
(b)
71 (a) ,como y , . Así,
y, por tanto, .
(b) (c) cos � � �B�2A�0, 2�
C � A � BC2 � �A � B�2
B � 0A � 0cos � � 1C2 � A2 � B2 � 2AB cos � � A2 � B2 � 2AB
� A2 � B2 � 2AB cos �� A2 � B2�sen2 � � cos2 �� � 2AB cos �� B2 sen2 � � A2 � 2AB cos � � B2 cos2 �
C2 � �B sen ��2 � �A � B cos ��2
b � A � B cos �a � B sen �� a cos �t � b sen �t
� �B sen �� cos �t � �A � B cos �� sen �t
� A sen �t � B�sen �t cos � � cos �t sen ��p�t� � A sen �t � B sen ��t � ��
t � C ��
2� �n � 2.55 � �n
C �3
2; �13, 2�y � �13 cos �t � C�
� 10�41 cos �60� t � 0.8961�
y � 10�41 cos �60� t � tan�1 5
4
xp
3
f (x)
2�2, 2�
3, �
�
12f �x� � 2�2 cos �3x �
�
4
f (x)
xp
2
2, �, �
12f �x� � 2 cos �2x �
�
6
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A55
R56 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
73 , , ,
por
EJERCICIOS 7.4
1 3
5
7
9 (a) (b) (c)
11
13
15
17
19
21
�3
8�
1
2 cos 2t �
1
8 cos 4t
�1
4�
1
2 cos 2t �
1
8�
1
8 cos 4t
�1
4�
1
2 cos 2t �
1
4 �1 � cos 4t
2 �
1
4�1 � 2 cos 2t � cos2 2t�
sen4 t � �sen2 t�2 � �1 � cos 2t
2 2
� 8 cos4 � 8 cos2 � 1� 2�4 cos4 � 4 cos2 � 1� � 1� 2�2 cos2 � 1�2 � 1
cos 4 � cos �2 � 2� � 2 cos2 2 � 1
� 3 sen u � 4 sen3 u � sen u�3 � 4 sen2 u�� 2 sen u � 2 sen3 u � sen u � 2 sen3 u� 2 sen u�1 � sen2 u� � sen u � 2 sen3 u� 2 sen u cos2 u � sen u � 2 sen3 u� �2 sen u cos u� cos u � �1 � 2 sen2 u� sen u� sen 2u cos u � cos 2u sen u
sen 3u � sen �2u � u�� 1 � sen 2t
�sen t � cos t�2 � sen2 t � 2 sen t cos t � cos2 t
� 2 sen x
4 sen x
2 cos
x
2� 2 � 2 sen
x
2 cos
x
2� 2 sen �2 �
x
2sen 10 � sen �2 � 5� � 2 sen 5 cos 5
�2 � 11
2�2 � �3
1
2�2 � �2
�1
2�2 � �2,
1
2�2 � �2, ��2 � 1
1
10�10,
3
10�10,
1
3
�4
9�2, �
7
9,
4
7�2
24
25, �
7
25, �
24
7
��5, 5���3.14, 3.14, �4�
�2.14, 2.77��0.17, 0.46���1.00, �0.37���2.97, �2.69�23
25
27
29
31
33 35 0,
37 39 41
45 (a) 1.20, 5.09
(b) , ,
47 (a)
(b)
49 (b) Sí, el punto B está a 25 millas de A.
51 (a) (b) 53.13° 53 (b) 12.43 mm
55 La gráfica de f parece ser la de .
57
59 61 �2.59�2.03, �0.72, 0.58, 2.62
�3.55, 5.22
�sen x�2 cos x � 1�cos x�2 cos x � 1�
�sen x
cos x� tan x
sen 2x � sen x
cos 2x � cos x � 1�
2 sen x cos x � sen x
�2 cos2 x � 1� � cos x � 1
y � g�x� � tan x
V �5
2 sen
0, ��, �2�, ��
4, �
3�
4, �
5�
4, �
7�
4
�3�
2, �
�
2,
�
2, 3�
2
R�4�
3, �1.5Q��, �1�P�2�
3, �1.5
0, �
3, 5�
30, �
�
3, 5�
3, �
�, 2�
3, 4�
3
3
8�
1
2 cos 4x �
1
8 cos 8x
3
8�
1
2 cos �
1
8 cos 2
tan u
2�
1 � cos u
sen u�
1
sen u�
cos u
sen u� csc u � cot u
�3 tan u � tan3 u
1 � 3 tan2 u�
tan u�3 � tan2 u�1 � 3 tan2 u
�
2 tan u � tan u � tan3 u
1 � tan2 u
1 � tan2 u � 2 tan2 u
1 � tan2 u
�
2 tan u
1 � tan2 u� tan u
1 �2 tan u
1 � tan2 u� tan u
tan 3u � tan �2u � u� �tan 2u � tan u
1 � tan 2u tan u
� 2 sen2 2t � �1 � 2 sen2 2t� � 12 sen2 2t � cos 4t � 2 sen2 2t � cos �2 � 2t�
�1
2 � sec2
sec2
�sec2
2 � sec2
sec 2 �1
cos 2�
1
2 cos2 � 1�
1
2� 1
sec2 � 1
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A56
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R57
EJERCICIOS 7.5
1 3
5 7
9 11
13 15
17
19
21
23
25 27
29 31
33 35
37
39 f �x� �1
2 sen
�n
l�x � kt� �
1
2 sen
�n
l�x � kt�
0, ��, �2�, ��
4, �
3�
4, �
5�
4, �
7�
4
�
4, 3�
4, 5�
4, 7�
4,
�
2, 3�
2
�
7�
2�
7n,
2�
3n
�
2� �n,
�
12�
�
2n,
5�
12�
�
2n
�
2n
�
4n
1
2 sen ��a � b�x� �
1
2 sen ��a � b�x�
� sen 2x � sen 4x � sen 6x
� �sen 6x � sen ��2x�� � �sen 4x � sen 0�� �2 cos 2x sen 4x� � �2 cos 2x sen 2x�� 2 cos 2x �sen 4x � sen 2x�
4 cos x cos 2x sen 3x � 2 cos 2x �2 sen 3x cos x�
�
tan 1
2�u � v�
tan 1
2�u � v�
� cot 1
2�u � v� tan
1
2�u � v�
sen u � sen v
sen u � sen v�
2 cos 1
2�u � v� sen
1
2�u � v�
2 sen 1
2�u � v� cos
1
2�u � v�
� tan 1
2�u � v�
sen u � sen v
cos u � cos v�
2 sen 1
2�u � v� cos
1
2�u � v�
2 cos 1
2�u � v� cos
1
2�u � v�
sen 4t � sen 6t
cos 4t � cos 6t�
2 sen 5t cos t
2 sen 5t sen t� cot t
2 cos 3
2x cos
1
2x�2 cos 5t sen 2t
�2 sen 4x sen x2 sen 4 cos 2
3
2 sen 3x �
3
2 sen xsen 12 � sen 6
1
2 cos 2u �
1
2 cos 10u
1
2 cos 4t �
1
2 cos 10t
41 (a)
(b)
por
43 La gráfica de f parece ser la de .
EJERCICIOS 7.6
1 (a) (b) (c)
3 (a) (b) (c)
5 (a) No está definido. (b) No está definido. (c)
7 (a) (b) (c) 14
9 (a) (b) (c)
11 (a) (b) (c)
13 (a) (b) (c) No está definido.
15 (a) (b) (c)
17 (a) (b) 0 (c)
19 (a) (b) (c)
21 (a) (b) (c)
23 25 27
29 31 (a) (b) 0 (c)�
2�
�
2�1 � x
2
2x�1 � x2�x2 � 4
2
x
�x2 � 1
1
2
4
17�17�
1
10�2
24
7�
161
289�
24
25
�77
36�3
2
4
�15
�34
5�5
2
�2
2�3
2
��
4
3�
4�
�
4
��
6
5�
6
�
3
1
2�
3
10
�
4
�
6
�
4
�
3
��
3
2�
3�
�
4
�sen 2x
cos 2x� tan 2x
�sen 2x�1 � 2 cos x�cos 2x�1 � 2 cos x�
�sen 2x � 2 sen 2x cos x
cos 2x � 2 cos 2x cos x
sen x � sen 2x � sen 3x
cos x � cos 2x � cos 3x�
sen 2x � �sen 3x � sen x�cos 2x � �cos 3x � cos x�
y � g�x� � tan 2x
��2.09, 2.09���3.14, 3.14, �4�
0, ��
3, �
�
2, �
2�
3, ��
0, �1.05, �1.57, �2.09, �3.14
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A57
R58 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
33 35
37 39
41 43 (a)
(b)
(c)
45 (a) (b)
(c)
47 49
51 , donde
53 ,
55 ,
57 , ,
, cos�1 ��1
3�3 � 2.1863cos�1
1
3�3 � 0.9553
cos�1 ��1
5�15 � 2.4569cos�1
1
5�15 � 0.6847
tan�1 1
4��9 � �57 � � �1.3337
tan�1 1
4��9 � �57 � � �0.3478
2� � cos�1 ��1 � �2 � � 5.1395cos�1 ��1 � �2 � � 1.1437
xR � sen�1 �3
4 sen yx � xR o x � � � xR
x � cos�1 �1
2�15 � y��x � sen�1 ��y � 3�
x �3
2 cos
1
4y
0 � y � 4��3
2� x �
3
2
x � sen 2y � 3
��
4� y �
�
4
2 � x � 4y
x1
y
x1
y
x1
p
q
y
x1
q
1
q
y
x
59
61 , ,
,
63 , ,
,
65 (a) 1.65 m (b) 0.92 m (c) 0.43 m 67 3.07°
69 (a) (b) 40°
71 Sea y con
y . Así, y
. Dado que la función seno es biunívoca sobre
, tenemos .
73 Sea y con
y . Así,
y . En consecuencia,. Dado que la función seno
es biunívoca , tenemos que .
75 Sea y . Dado que ,
tenemos y , y de ahí que
. Así,
. Puesto que el denominador 0, es
indefinido, de ahí que .� � � ��
2
tan �� � ��x � �1x�
0
tan �� � �� �tan � � tan �
1 � tan � tan ��
x � �1x�1 � x � �1x�
�
0 � � � � � �
0 � � ��
20 � � �
�
2
x � 0� � arctan �1x�� � arctan x
� � �����
2,
�
2 �sen � � �sen � � sen ����
sen � � xsen � � �x
��
2� � �
�
2�
�
2� � �
�
2
� � arcsen x� � arcsen ��x�
� � ����
2,
�
2sen � � x
sen � � x��
2� � �
�
2�
�
2� � �
�
2
� � tan�1 x
�1 � x2� � sen�1 x
� � � sen�1 d
k
5�
3� 5.2360
�
3� 1.0472
2� � cos�1 2
3� 5.4421cos�1
2
3� 0.8411
2� � cos�1 1
3� 5.05222� � cos�1 ��
3
5 � 4.0689
cos�1 1
3� 1.2310cos�1 ��
3
5 � 2.2143
sen�1 ��1
6230 � �1.1503
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A58
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R59
77 Dominio: ; imagen:
por
79 0.29
81
por
83 85
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
1
2
3
4
�1
cos2 x sen2 x� sec2 x csc2 x
� �sen2 x � cos2 x
cos x sen x 2
�tan x � cot x�2 � �sen x
cos x�
cos x
sen x2
� sen
�tan
sen2 � cos2
cos
�sen cos
1cos
�sec2 � 1� cot
tan sen � cos �
�tan2 � cot
sen
cos � sen � cos
�cos2 � sen2
cos �
1
cos � sec
cos � sen tan � cos � sen �sen
cos
�cot2 x � 1� �1 � cos2 x� � �csc2 x� �sen2 x� � 1
tan�1 1
2� 26.6°tan�1 1 � 45°
�0, 1.05, 0.2��0, 1.57, �8�
� 1.25 � 72°
��2, 4���3, 6�
���
2, ���0, 2� 5
6
7
8
9
10
Dado que el LI y el LD equivalen a la misma expresión ylos pasos son reversibles, la identidad se verifica.
��1�6
�1�12 � 1
� sen u sen v
�1 � sen u sen v
1 � sen u sen v
sen u sen v
LD �1 � sen u sen v
�1 � csc u csc v�
1 � sen u sen v
�1 �1
sen u sen v
� sen u sen v
LI �sen u � sen v
csc u � csc v�
sen u � sen v
1
sen u�
1
sen v
�sen u � sen v
sen v � sen u
sen u sen v
� tan � � cot �
��tan � � cot �� ��tan2 � � tan � cot � � cot2 ���
�tan2 � � �1 � cot2 ���
tan3 � � cot3 �
tan2 � � csc2 �
�1 � sec v
2 sec v
cos2 v
2�
1 � cos v
2�
1 �1
sec v
2�
sec v � 1
sec v
2
�2 cot u
cot2 u � 1�
2 cot u
�csc2 u � 1� � 1�
2 cot u
csc2 u � 2
tan 2u �2 tan u
1 � tan2 u�
2 �1
cot u
1 �1
cot2 u
�
2
cot u
cot2 u � 1
cot2 u
�tan � � tan �
1 � tan � tan �
sen �� � ��cos �� � ��
��sen � cos � � cos � sen ��cos � cos �
�cos � cos � � sen � sen ��cos � cos �
� �sec t � tan t� sec t
� � 1
cos t�
sen t
cos t � sec t
�1 � sen t
cos t�
1
cos t
1
1 � sen t�
1 � sen t
1 � sen t�
1 � sen t
1 � sen2 t�
1 � sen t
cos2 t
11 �sen2 x
tan4 x3�csc3 x
cot6 x2
� �sen6 x
tan12 x�csc6 x
cot12 x ��sen x csc x�6
�tan x cot x�12
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A59
R60 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
13
14
15
puesto que .
16
puesto que .
17 cos �x �5�
2 � cos x cos 5�
2� sen x sen
5�
2� sen x
�1 � sen � � 0
� cos
1 � sen �
cos 1 � sen
,
� � cos2
�1 � sen �2
� � 1 � sen2
�1 � sen �2
�1 � sen
1 � sen � ��1 � sen �
�1 � sen ��
�1 � sen ��1 � sen �
�1 � cos t� � 0
� ��1 � cos t�2
sen2 t�
1 � cos t sen t
�1 � cos t
sen t ,
� ��1 � cos t�2
1 � cos2 t
�1 � cos t
1 � cos t� ��1 � cos t�
�1 � cos t��
�1 � cos t��1 � cos t�
�cos t � 1
�1 � cos t��1 � cos t��
1
1 � cos t
�cos t � 1
sen2 t�
cos t � 1
1 � cos2 t
cot ��t� � csc ��t�sen ��t�
��cot t � csc t
�sen t�
cos t
sen t�
1
sen t
sen t
��1 � sen t��1 � sen t�
1 � sen t� 1 � sen t
�cos t
1 � sen t
cos t
�cos2 t
1 � sen t�
1 � sen2 t
1 � sen t
cos ��t�sec ��t� � tan ��t�
�cos t
sec t � tan t�
cos t
1
cos t�
sen t
cos t
� cos � sen
��cos � sen � �cos � sen �
cos � sen
�cos2 � sen2
cos � sen
�cos2
cos � sen �
sen2
sen � cos
18
19
20
21
22 Sea y . Debido a que
, . Así, y
. Dado que la fun-
ción tangente es biunívoca , tenemos o,
de manera equivalente, .
23 24 25
26 27
28 29
30 31
32 Toda x en excepto
33 34
35 36
37 38
39 0, �
8, 3�
8, 5�
8, 7�
8, �,
9�
8, 11�
8, 13�
8, 15�
8
�
6, 5�
6, 7�
6, 11�
6
�
3, 5�
3
0, �, �
3, 5�
3
3
4,
7
4, 11
4, 15
4, 19
4, 23
4
0, �
3, 2�
3, �,
4�
3, 5�
3
�
3, 5�
3
�
4, 3�
4, 5�
4, 7�
4�0, 2��
�
6, 5�
6,
�
3, 5�
3
2�
3, 4�
3, �
7�
6, 11�
6,
�
2
�
2, 3�
2,�
4, 5�
4, 3�
4, 7�
4
0, �, 2�
3, 4�
3
�
4, 3�
4, 5�
4, 7�
4
0, �7�
6, 11�
6
�
2, 3�
2,
�
4, 7�
4, 3�
4, 5�
4
� �1
2�
� � 2��� �
2,
�
2 tan � �
2x
1 � x2 �2 tan �
1 � tan2 �� tan 2�
tan � � x��
4� � �
�
4�1 � x � 1
� � arctan 2x
1 � x2� � arctan x
sen 8 � 2 sen 4 cos 4
tan 1
2 �
1 � cos
sen �
1
sen �
cos
sen � csc � cot
� sen � cos3 � � cos � sen3 �
�1
2�2 sen � cos �� �cos2 � � sen2 ��
1
4 sen 4� �
1
4 sen �2 � 2�� �
1
4�2 sen 2� cos 2��
tan �x �3�
4 �
tan x � tan 3�
4
1 � tan x tan 3�
4
�tan x � 1
1 � tan x
12cos
1 � tan �
sen
1 � cot �
cos
cos � sen
cos
�sen
sen � cos
sen
� 8 sen cos �1 � 2 sen2 � �1 � 8 sen2 cos2 �
� 8 sen cos �1 � 2 sen2 � �1 � 2�2 sen cos �2�
� 2�2 sen 2 cos 2� �1 � 2 sen2 2�
5612Swokowski Answers.A45-A60 10/30/2006 16:52 Page A60
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R61
40 41
42 43 44
45 46 47 48
49 50 51 52
53 54 55 56
57 (a)
(b)
(c) (d)
58 (a) (b)
(c) (d)
59 60 61 62 63
64 65 66 2 67 No está definido. 68
69 70
71 72
y
x1
2p
y
x1
q
�7
25
240
289
�
2
1
2
3�
4
��
4�
�
3
�
4
�
6
6 cos 4x cos 2x2 cos 9
40t sen
1
40t
2 sen 11
2� sen
5
2�2 sen 5u cos 3u
2 sen 10� � 2 sen 4�3 sen 8x � 3 sen 2x
1
2 cos
1
12u �
1
2 cos
5
12u
1
2 cos 3t �
1
2 cos 11t
5
34�34
1
3
1
10�10
24
7
�161
289
240
289�
36
85
36
85
�36
77�
84
13�
13
85
84
85
2
�2 � �2
�2 � �6
4�2 � �3
�6 � �2
4
�
5, 3�
5, �,
7�
5, 9�
5
73 74
75
� cos (a � b) cos g � sen (a � b) sen g� (cos a cos b � sen a sen b) cos g �
(sen a cos b) cos � cos a sen b) sen g� cos a cos b cos g � sen a sen b cos g �
sen a cos b sen g � cos a sen b sen g
76 (b) (c)
77
78 (a) (b)
79 (a) (b) 43°
80 (a) 78.7° (b) 61.4°
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 7
1 Sugerencia: Factoriza sen3 x � cos3 x como una diferen-cia de cubos.
2
3 45; aproximadamente 6.164.
4 El cociente de la diferencia para función seno parece serla función coseno.
5 Sugerencia: Escribe la ecuación en la forma ,
y saca la tangente de ambos lados.
6 (a) La función diente de sierra inversa, representadapor sierra�1, se define como sigue: y � sierra�1 x six � sierra y para y .
(b) 0.85;
(c) sierra ;sierra�1 �sierra y� � y si �1 � y � 1
�sierra�1 x� � x si �2 � x � 2
�0.4
�1 � y � 1�2 � x � 2
�
4� � � 4�
� �a cos � si 0 � � � ��2 o 3��2 � � 2�
�a cos � si ��2 � 3��2
�a2 � x2
d � r�sec 1
2� � 1�
d � 1,000 piesx � 2d tan 1
2�
�
4,
3�
4,
5�
4,
7�
4,
�
3,
5�
3
2
3�2At � 0,
�
4b
cos �� � � � �� � cos �� � �� � �
y
x
1
1
y
x�1
d
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:28 Page R61
R62 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
(d)
Capítulo 8
EJERCICIOS 8.1
1 , ,
3 , ,
5 , ,
7 No existe triángulo.
9 , , ;, ,
11 , , ;, ,
13 , ,
15 , , 17 219 yd
19 (a) 1.6 mi (b) 0.6 mi 21 2.7 mi 23 628 m
25 3.7 mi de A y 5.4 mi de B 27 350 pies
29 (a) 18.7 (b) 814 31 (3949.9, 2994.2)
EJERCICIOS 8.2
1 (a) B (b) F (c) D (d) E(e) A (f) C
3 (a) a, ley de los senos. (b) a, ley de los cosenos.(c) Cualquier ángulo, ley de los cosenos.(d) No se proporcionó suficiente información.(e)
(f) c, ley de los senos; o
5
7
9
11
13 15 196 pies
17 24 mi 19 39 mi 21 2.3 mi 23 N55°31 E
25 63.7 pies desde la primera y tercera bases; 66.8 piesdesde la segunda base.
27
29 Sugerencia: Usa la fórmula
31 (a) 72°, 108°, 36° (b) 0.62 (c) 0.59, 0.36
sen �
2� �1 � cos �
2.
37 039 pies � 7 mi
� � 12°30 , � � 136°30 , � � 31°00
� � 29°, � � 47°, � � 104°
c � 2.75, � � 21°10 , � � 43°40
b � 180, � � 25°, � � 5°
a � 26, � � 41°, � � 79°
g, a � b � g � 180°g, a � b � g � 180°
a � 0.146� � 32.383°� � 25.993°
c � 20.6� � 61°10 � � 53°40
b � 75.45� � 34.80°� � 97.46°b � 100.85� � 49.72°� � 82.54°
b � 59� � 24°10 � � 102°30
b � 108� � 49°10 � � 77°30
c � 17.8a � 13.6� � 78°30
c � 68.7b � 55.1� � 100°10
c � 15.6b � 14.1� � 62°
y
x
2
2
y � arcosierra (x)
(2, 1)
(�2, �1)
Ejercicios 33 al 40: la respuesta está en unidades cuadradas.
33 260 35 11.21 37 13.1 39 517.0
41 1.62 acres 43 123.4 pies2
EJERCICIOS 8.3
1
3
5
7 Los puntos terminales son 9 Los puntos terminales son
11 13 f 15
17
19
21
o
23
También,
25
� �a � ��b� � �a � b� �a1, �a2� � �b1, �b2�� �a1 � b1, �a2 � b2�� ��a1 � b1�, ��a2 � b2��� �� a1 � b1, a2 � b2��
��a � b� � �� a1, a2� � b1, b2��
m0 � m 0, 0� � m0, m0� � 0, 0� � 0.0a � 0 a1, a2� � 0a1, 0a2� � 0, 0� � 0.
n�ma�� m�na�� m�n a1, a2�� o n�m a1, a2��� m na1, na2� o n ma1, ma2�� mna1, mna2�� �mn�a1, �mn�a2�
�mn�a � �mn� a1, a2�
� 0, 0� � 0� a1 � a1, a2 � a2�� a1, a2� � �a1, �a2�
a � ��a� � a1, a2� � �� a1, a2��
� �a � b� � c� � a1, a2� � b1, b2�� � c1, c2�� a1 � b1, a2 � b2� � c1, c2�� a1 � b1 � c1, a2 � b2 � c2�� a1, a2� � b1 � c1, b2 � c2�
a � �b � c� � a1, a2� � � b1, b2� � c1, c2��
�1
2e�b
y
x
a2
8
2a
b
�3b
a � b
y
x
b a2a
a � b
�3b
8
8
�6, �9�.��6, 9�, ��8, 12�,�6, 4�, �3, �15�.��4, 6�, ��2, 3�,�3, 2�, ��1, 5�, �2, 7�,
4i � 3j, �2i � 7j, 19i � 17j, �11i � 33j, �5
�15, 6�, 1, �2�, �68, 28�, 12, �12�, �53
3, 1�, 1, �7�, 13, 8�, 3, �32�, �13
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:28 Page R62
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R63
27
29 31 33
35 37 102 lb 39 7.2 lb
41 89 lb; S66°O 43 5.8 lb; 129°
45 40.96; 28.68 47
49 (a) (b)
51 (a) (b)
53 (a) (b)
55
57 (a) (b)
59 (a)
(b)
61 63 56°; 232 mph
65 420 mph; 244° 67 N22°O
69
71 (a) (24.51, 20.57) (b)
73 28.2 lb persona
EJERCICIOS 8.4
1 (a) 24 (b)
3 (a) (b)
5 (a) 45 (b)
7 (a) (b)
9 11
13 Opuesto 15 Mismo 17 19
21 (a) (b) 23
25 27 2.2 29 7
31 28 33 12
35
37
� m�a1b1 � a2b2� � m�a � b�� ma1b1 � ma2b2
� ma1, ma2� � b1, b2��ma� � b � �m a1, a2�� � b1, b2�
� ��a21 � a2
2 �2� � a �2
a � a � a1, a2� � a1, a2� � a21 � a2
2
17��26 � 3.33
�51�23�23
3
8
6
5
��4j� � ��7i� � 0 4, �1� � 2, 8� � 0
cos�1 � �149�5
�149�149�25� � 180°�149
5
cos�1 � 45
�81�41� � 38°40
cos�1 � �14
�17�13� � 160°21 �14
cos�1 � 24
�29�45� � 48°22
���24.57, 18.10�
v1 � 4.1i � 7.10j; v2 � 0.98i � 3.67j
sen�1 �0.4� � 23.6°
G � �F � 5.86, �1.13�F � �5.86, 1.13�
G � �F � �7, �2�F � 7, 2�
�24
�65 i �
42
�65 j
��3, 3
2� �12, 6�
��2
�29,
5
�29�� 2
�29, �
5
�29�
8
17 i �
15
17 j�
8
17 i �
15
17 j
�6.18; 19.02
18; 3�
2
tan�1 �� 5
4� � ��41;5; �3�2; 7�
4
� 2 � v �� �4a2 � 4b2 � 2�a2 � b2 � 2 � a, b� �
� 2v � � � 2 a, b� � � � 2a, 2b� � � ��2a�2 � �2b�2 39
41
43 (a) ;
(b) 0.53°
45 47 2.6 49 24.33
51 caballos de fuerza.
EJERCICIOS 8.5
1 5 3 5 8 7 1 9 0
Nota: El punto P es el correspondiente a la representacióngeométrica.
11 13 15
17 19
21 23 25
27 29 31 12 cis 0
33 35 37
39
41
43
45
47 49 51
53 55 57
59 , 61
63 67 17.21 � 24.57i8 � 4i, 8
5�
4
5i
40, 5
2�
2
5�3 �
2
5i10�3 � 10i
�2, i2 � i5 � 3i
�5�3 � 3�3 i2�2 � 2�2 i
5 cis �tan�1 �� 3
4� � 2���34 cis �tan�1
3
5� ��
�10 cis �tan�1 �� 1
3� � ���5 cis �tan�1
1
2�10 cis
4�
36 cis
�
27 cis �
20 cis 3�
24�2 cis
5�
4
4 cis �
68 cis
5�
6�2 cis
7�
4
17 �6 � 4 i
19 2 i
Ejeimaginario
Eje real
15 �3 � 6 i
11 4 � 2 i
13 3 � 5 i
Ejeimaginario
Eje real
P�0, 2�P��6, 4�
P��3, 6�P�3, �5�P�4, 2�
�85
16�3 � 27.7
� 4
5,
3
5�
w � �93 � 106�i � �0.432 � 106�jv � �93 � 106�i � �0.432 � 106�j
100023 � 1732 pies-lb
� 0 � 0 � 00 � a � 0, 0� � a1, a2� � 0�a1� � 0�a2�
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R63
R64 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
69 71 73 70.43 volts
EJERCICIOS 8.6
1 3 5
7 9
11 13
15
17
19 , 21 con ,81°, 153°, 225°, 297°
23 25 ,
27
29 con , 72°, 144°, 216°, 288°
31
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8
1
2
3
4
5
6
7
8 9 290 10 10.9� � 42°, � � 87°, � � 51°
� � 24°, � � 41°, b � 10.1
� � 19°10 , � � 137°20 , b � 258
� � 38°, a � 8.0, c � 13
� � cos�1 � 7
8�, � � cos�1 �11
16�, � � cos�1 �� 1
4�� � 75°, a � 50�6, c � 50�1 � �3 �� � 60°, � � 90°, b � 4; � � 120°, � � 30°, b � 2
a � �43, � � cos�1 � 4
43�43�, � � cos�1 � 5
86�43�
� rn�cos n� � i sen n��� rnei�n��
� rn�ei��n
r �cos � � i sen ��n � r �ei��n
� � 0°3 cis �
2i, �3 � i
��3 i2i, �3 i2, 2i
�2�
y
x
w0
w1
w2
w3w4
10
y
x(1, 0)
w0
w1w2
w3
w4 w5
�1
2
1
2�3 i
� � 9°�10 2 cis �1, 1
2
1
2�3 i
3i, 3
2�3 �
3
2i
��4 2
2�
�4 18
2i�, ��4 18
2�
�4 2
2i�
� 1
2�6 �
1
2�2 i��64�3 � 64i
�1
2�
1
2�3 i�
1
2�2 �
1
2�2 i
�8�32i�972 � 972i
�365 ohms11.01 � 9.24i 11 Los puntos terminales son
12 (a) (b) (c)
(d)
13 14 109 lb; S78°E
15
16
17 Círculo con centro y radio c.
18 Los vectores a, b, y a � b forman un triángulo donde elvector a � b es opuesto al ángulo . La conclusión esuna aplicación directa de la ley de los cosenos, con loslados , y .
19 183°; 70 mph
20 (a) 10 (b) (c)
21 (a) 80 (b) (c)
22 56
23 24 25
26 27
28 29
30 31 ,
32 33 34 i
35 36
37
38 (a) (b) con , 220°, 340°
39 con , 72°, 144°, 216°, 288°
40 47.6° 41 53 000 000 mi
42 (a) 449 pies (b) 434 pies
43 (a) 33 mi, 41 mi (b) 30 mi 44 204
45 1 hora y 16 minutos. 46 (c) 158°
47 (a) 47° (b) 20
48 (a) 72° (b) 181.6 (c) 37.6 piespies2
� � 0°2 cis �
� � 100°�3 2 cis �224
�3, 3
2
3
2�3 i
�219 � 219�3 i�972 � 972i
�512i�4�2 i, �2�2
�3
2�12 � 12�3 i12 � 5i
10�3 � 10i�41 cis �tan�1 5
4�10 cis
7�
612 cis
3�
2
17 cis �4 cis 5�
310�2 cis
3�
4
�40cos�1 � 40
�40�50�� 26°34
10
�13cos�1 � 10
�13�17�� 47°44
� a � b �� b �� a �
�
�a1, a2�
��12
�58,
28
�58�
�16i � 12j
14 cos 40°, �14 sen 40°��29 � �17 � 1.26
�40 � 6.32�8i � 13j12i � 19j
��8, 10�, ��1, 4�.��2, �3�, ��6, 13�,
y
xa � b
a � b2a
�qb
8
�8
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EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 8
4 (b) Sugerencia: la ley de los cosenos.
5 (a)
6 (a) 1 ( b ) ( c )
7 La afirmación es verdadera.
Capítulo 9
EJERCICIOS 9.1
1 3
5 7 9 No hay solución.
11 13
15 ,
17 19
21
23
25 27
29
31 (a) tangente
(b) interseca en dos puntos
(c) no hay intersección
33 Sí, ocurre una solución entre 0 y 1.
35 37
39 12 pulg � 8 pulg
41 (a) , (b) 77 143
43 , , ; la cuarta solución no tiene sentido.
��100, 150��50, 0��0, 100��0, 0�
b � 40 000a � 120 000
f(x) � 2(3)x � 11
4; tangente
y
x
y � xy � 2�x
b � 4;
b 4;
b � 4;
�1, �1, 2�, ��1, 3, �2�
�3, �1, 2��222, 2�, ��222, 2��22, 223 �, ��22, 223 ��2, 5�, �25, 4�
�0, 1�, �4, �3���4, 0�, �12
5,
16
5 ���
3
5�
1
10286,
1
5�
3
10286�
��3
5�
1
10286,
1
5�
3
10286�
��2, 2���4, 3�, �5, 0�
�3, �2��0, 0�, � 1
8,
1
128��1, 0�, ��3, 2��3, 5�, ��1, �3�
�2
2�
�2
2i; e���2 � 0.2079�i;
�
2i
�� b � sen � � � a � sen ��j
�� b � cos � � � a � cos ��i �
45 Sí; 1 pie � 1 pie � 2 pies o bien
47 Los puntos están sobre la parábola (a) y
(b) .
49 (a)
(b)
51 ;
53 , ,
por
55 , , ,
por
57 , 59 ,
EJERCICIOS 9.2
1 3 5 7
9 11 13 No hay solución.
15 Todos los pares ordenados tales que .
17 19
21 313 estudiantes, 137 no estudiantes.
23 cm, cmy � 12 � �30
�� � 2.45x � �30
�� � 4 � 5.55
��22
7, �
11
5��0, 0�
3m � 4n � 2�m, n�
� 8
7, �
3
726��51
13,
96
13��76
53,
28
53���1,3
2��8, 0��4, �2�
b � 0.9002a � 2.8019b � 0.4004a � 1.2012
�2, 2�3, 3
�1.22, 1.19��0,10, 1.50���0.12, 1.50���1.44, 1.04�
�4, 4�6, 6
�1.14, 1.65���0.63, 1.90���0.56, 1.92�
� 1
227
2,
1
2�27
2 ���0.82, 1.82�
��3
2211, �
1
2� � ��4.975, �0.5�
�31.25, �50�
y �1
4x 2 � 1
y �1
2x 2 �
1
2
� 1.30 pies � 1.30 pies � 1.18 pies
213 � 1
2 pies �
213 � 1
2 pies �
8
�213 � 1�2 pies
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R66 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
25 pies, pies 27 2400 adultos,
3600 cachorros
29 40 g de aleación al 35%, 60 g de aleación al 60%.31 540 mph, 60 mph 33 ,35 20 sofás, 30 sillones.
37 (a) para una arbitraria (b) $16 por hora.
39 1928; 15.5�C 41 LP: 4 h, SLP: 2 h
43 , 45
EJERCICIOS 9.3
1 3
5 7
9 11
13 15
y
x
4 � y � 2x
3x � y � 3
5
�5
y
x
y � x21
y
x
y � x2 � 1
y
xy � x2 � 2
y
x
y � �2x � 1
y
x3x � 2y � 6
a � cos x � sec x, b � sen xb � �1
6e6xa �
1
6
c � 0�c,4
5c�
a � 3v0 � 10
w �20
�l � 10
17 19
21 23
25
27 , ,
29 ,
31 , ,
33 , , y � �3
4x � 4y � x � 4y �
1
8x �
1
2
�x � 2�2 � � y � 2�2 � 8y � �x � 4y x
y � �2x � 4x2 � y2 � 9
y � x � 4y �x � 40 � x 3
y
x
x � 1 � y
x2 � 1 � y
y
x
x � y � 1
x2 � y2 � 4
y
x
y
x
y
x
y � 3
x � 4
x � 2y � 8
y
x
y � 4
x � �2
y � 2x � 1
3x � y � 6
y
xy � x � 0
2x � 5y � 10
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R66
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R67
35 Si x y y denotan losnúmeros de conjuntos de lamarca A y de la marca B,respectivamente, entonces unsistema es , ,
, .
37 Si x y y denotan lacantidad puesta en inver-sión de alto riesgo y bajoriesgo, respectivamente,entonces un sistema es
, ,.
39 , ,
41 Si la planta está ubicada en , entonces un sistema es, ,
.y
x
x2 � y2 � 1002
(x � 100)2 � y2 � 1002
10
10
(x � 100)2 � y2 � 602
x2 � y2 � 602
y � 0602 � �x � 100�2 � y2 � 1002602 � x2 � y2 � 1002
�x, y�
y
x
x � 1x � y
x � y � 9
x � 1y � xx � y � 9
x � y � 15 000y � 3xx � 2 000
y
x
2000
2000
x � y � 15 000
x � 2000
y � 3x
x � y � 100x � 2yy � 10x � 20
y
x
x � 20
x � y � 100x � 2y
y � 10
43 45
por por
47 No hay solución.
por
(c) Región arriba de la recta.
EJERCICIOS 9.4
1 Máximo de 27 en (6, 2); mínimo de 9 en (0, 2).3 Máximo de 21 en 5 Mínimo de 21 en .
7 C tiene el valor máximo de 24 para cualquier punto delsegmento de recta de a .
9 50 estándar y 30 de tamaño extra.
y
x(8, 0)
(6, 3)
(2, 5)(0, 4)
x � 2y � �8
qx � y � 6
3x � 2y � 24
(0, 0)
�6, 3��2, 5�
x
y
2x � 5y � 16(8, 0)
(3, 2)(0, 4)
2x � 3y � 12
(4, 6)
y
x
(6, 3)
(5, 0)(0, 0)
(0, 3)
3x � 4y � �123x � 2y � 24
3x � y � 15
�3, 2��6, 3�
�3, 3�4.5, 4.5
�1, 1�1.5, 1.5�1, 4�3.5, 4
49 (a) Sí(b)
por 0, 50, 533, 80, 5
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R68 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
11 3.5 lb de S y 1 lb de T.
13 Enviar 25 desde a A y 0 desde a B.
Enviar 10 desde a A y 60 desde a B.
15 Ninguno de alfalfa y 80 acres de maíz.
17 Costo mínimo: 16 oz de X, 4 oz de Y, 0 oz de Z;
costo máximo: 0 oz de X, 8 oz de Y, 12 oz de Z.
19 Dos camionetas de reparto y cuatro autobuses.
21 3000 truchas y 2000 lobinas.
23 60 unidades básicas y 20 de lujo.
EJERCICIOS 9.5
1 3 5 No hay solución.
7
Ejercicios 9 al 16: hay otras formas para las respuestas; c escualquier número real.
9 11
13
15
17 19 21 No hay solución.
23 17 de 10%, 11 de 30%, 22 de 50%.
25 4 h para A, 2 h para B, 5 h para C.
27 380 lb de , 60 lb de , 160 lb de .
29 (a) , , (b) , ,
31 lb Colombiano, lb Brasileño, lb Keniano
33 (a) A: , B: ,
C: , D:
(b) , ,
(c) ;
35 2134 37
39
41 , , ,
EJERCICIOS 9.6
1 , , ,
3 , , , � �9
3
�18
�3
�15
0�� 12
4
�6
�2
0
8�� 3
3
�9
�2
�5
4��9
1
3
0
5
4�
��12
9
�3
�6��10
2
�4
6��1
4
�3
1�� 9
�2
�1
5�
d �23
18c �
17
18b �
11
9a � �
4
9
f(x) � x3 � 2x2 � 4x � 6
x2 � y2 � x � 3y � 6 � 0
x3 � 225 � x2 � 225 � �150 � x1� � 75 � x1 � 75
x3 � 150 � x4 � 150
x4 � 50x2 � 125x1 � 25
x3 � x4 � 150x2 � x3 � 225
x1 � x2 � 150x1 � x4 � 75
1
2
1
8
3
8
I3 �9
4I2 � 3I1 �
3
4I3 � 2I2 � 2I1 � 0
G3G2G1
��2, �3�� 1
11,
31
11,
3
11�� 7
10c �
1
2,
19
10c �
3
2, c�
�12
7�
9
7c,
4
7c �
13
14, c�
�0, �c, c��2c, �c, c�
� 2
3,
31
21,
1
21���2, 4, 5��2, 3, �1�
W2W2
W1W1
5 , ,,
7 No es posible, no es posible,
,
9 �18 11 ,
13 ,
15 ,
17 ,
19 ,
21 , no es posible. 23
25 35
37
39 (a) ,
(b)
(c) Los $1436.00 representan la cantidad que la tienda de-bería recibir si se vendieran todas las toallas amarillas.
$4695.50
$4396.50
$4906.00
$2442.50
$1436.00
B � �$1.39
$2.99
$4.99�A �
400
400
300
250
100
550
450
500
200
100
500
500
600
300
200
� 76
�5
41
�38
61
0
102
�13
19�
� 135
�39
45
�109
92
3
91
�33
95�� 18
�40
0
10
�2
�10�� 4
12
�1��2
5
0
3
5
�2�� �3
�12
15
7
28
�35
2
8
�10�15
�1
4
7
2
5
8
3
6
9��1
4
7
2
5
8
3
6
9�� 3
�5
�51
�4
2
26
4
2
10�� 4
�18
8
11�� 3
2
15
�20
10
�13
�11
�4
1�� 3
16
�7
�14
2
�29
�3
�2
9�
� 4
23
38
�22��16
11
38
�34���12
�6
3
0
3
�9�� 6
0
�6
�4
2
4
4
�8
�2�
�21 0 158 �6 4�3 �3 711 �3 �3
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R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R69
EJERCICIOS 9.7
1 Demuestre que y .
3 5 No existe
7 9
11 13 ;
17 (a) (b)
19 (a) (b)
21
23
25 (a)
(b) (c) ,
27 (a)
(b)
(c) , , z � �0.6135y � �0.5227x � �0.1081
�0.1474
0.1197
0.0297
0.1572
�0.0696
0.0024
�0.1691
�0.1426
�0.1700�
�3.1
4.1
0.6
6.7
�5.1
1.1
�8.7
0.2
�7.4��x
y
z� � �1.5
2.1
3.9�
y � 0.0579x � 1.4472�0.1391
0.0625
0.2016
�0.1136��4.0
2.2
7.1
�4.9��x
y� � �6.2
2.9���0.22278
�1.17767
�0.37159
0.15987
0.12932
0.09503
0.00241
�0.04150
0.06496
0.55936
0.14074
0.07218
0.37796
0.29171
0.37447
�0.20967�
� 0.11111
�0.03704
0.07407
0.25926
0.02469
�0.04938
�0.62963
0.32099
0.35802�
�16
3,
16
3, �
1
3���25
3, �
34
3,
7
3�� 7
5,
6
5��13
10, �
1
10�
� 1
a
0
0
1
b�ab � 0
1
2
0
0
0
1
4
0
0
0
1
6
1
3 ��4
�4
1
�5
�8
2
3
3
0�1
8 � 2
�2
0
1
3
0
0
0
2�
1
10� 3
�1
4
2�BA � I2AB � I2
29 (a) , ,
(b)
por
(c) Junio: 61�F; octubre: 41�F.
EJERCICIOS 9.8
1 ; ; ;; ;
3 ; ; ;; ; ;; ; ;
; ; ;
5 5 7 �83 9 2 11 0 13 �125 15 48
17 �216 19 abcd 31 (a) (b) �1, 4
33 (a) (b) �2, 1
35 (a) (b) �2, �1, 1
37 (a) (b) �2, 2, 4
39 41
43 �359 284 45 10 739.92
47 (a) (b) �2.51, 1.22, 2.29
por
EJERCICIOS 9.9
1 3
5 2 es un factor común de y .
7 y son idénticas.
9 �1 es un factor común de .
11 Todo número de es 0. 13
15 �10 17 �142 19 �183 21 44 23 359
33 35
37 , así que no se puede usar la regla de Cramer.
39 41
43 x �cgi � dfi � bfj
cei � afi � bfh
��2, 4, 5��2, 3, �1�� D � � 0
�8, 0��4, �2�
2C1 � C3 l C3C2
R2
R3R1
R3R1
�R1 � R3 l R3R2 i R3
�12, 2�10, 11
�x3 � x2 � 6x � 7
�6i � 8j � 18k�31i � 20j � 7k
�x3 � 4x2 � 4x � 16
�x3 � 2x2 � x � 2
x2 � x � 2
x2 � 3x � 4
M33 � 6 � A33
A32 � �4M32 � 4M31 � 11 � A31
A23 � �34M23 � 34M22 � �5 � A22
A21 � �7M21 � 7M13 � 15 � A13
A12 � �10M12 � 10M11 � �14 � A11
M22 � 7 � A22A21 � 1M21 � �1A12 � �5M12 � 5M11 � 0 � A11
�15, 70, 51, 12
c � �25.7407b � 26.2963a � �1.9630
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R69
EJERCICIOS 9.10
1 3
5 7
9 11
13
15 17
19 21
23 25
27
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 9
1 2 No hay solucion. 3
4 5
6 7
8 9
10
11 para cualquier número real c. 12
13 para cualquier número real c.
14 15 16
17 18
y � x � 2
x � 5
y � x
y
x
y
x
y � x2
x2 � y2 � 16
�3, �1, �2, 4���1,1
2,
1
3��5, �4�
�5c � 1, �19
2c �
5
2, c�
�0, 0, 0���2c, �3c, c�
��6
29,
2
29, �
17
29�� 6
11, �
7
11, 1��log2
25
7, log3
15
7��14
17,
14
27���1, 1, �1�, �0, 1
226, �
1
2��223, 22 �, ��223, 22 ��4, �3�, �3, �4�
��3, 5�, �1, �3��19
23, �
18
23�
2x � 3 �2
x � 1�
3
2x � 1
3 �4
x�
8
x � 42x �
1
x � 1�
3x
x2 � 1
4x � 1
x2 � 1�
3
�x2 � 1�2
4
x�
5x � 3
x2 � 2
�2
x � 1�
3x � 4
x2 � 1
5
x�
2
x � 1�
3
�x � 1�3
24�25
x � 2�
2�5
�x � 2�2�
23�25
2x � 1
�7
x�
5
x2�
40
3x � 5
2
x � 1�
5
�x � 1�2
3
x�
2
x � 5�
1
x � 1
2
x � 1�
3
x � 2�
1
x � 3
5
x � 6�
4
x � 2
3
x � 2�
5
x � 3
19 20
21 22 23
24 25
26 27 28
29 30 31
32 33
34 35 36
37 �6 38 9 39 48 40 �86 41
42 0 43 120 44 �76 45 0 46 �50
47 48
49 2 es un factor común de , 2 es un factor común de ,y 3 es un factor común de .
50 Intercambia con y luego con para obtener eldeterminante de la derecha. El efecto es multiplicar dosveces por �1.
51 53 54
55 56
57 58
59 60
61 Impuesto � $18 750; bono � $3125.
62 Radio interior � 90 pies, radio exterior � 100 pies.
y � 222x � 34025 pies � 2025 pies
4
x2 � 2�
x � 2
x2 � 5�
2
x � 5�
3x � 1
x2 � 4
2 �3
x � 1�
4
�x � 1�2
8
x � 1�
3
x � 5�
1
x � 3
� 2
3,
31
21,
1
21��76
53,
28
53�a11a22a33 �� � ann
R3R2R2R1
C3
C2R1
4, 27�1 223
�84
��1, 3, 2��2, �5�1
37��4
3
9
�20
15
8
15
�2
�6�
�1
0
0
0
2
�1
0
�7
4�1
11� 8
5
�14
1
2
1
�2
�4
9�
�1
2 �2
3
4
5��1
0
0
0
1
0
0
0
1�� 5
13
9
19��0
0
0
0�� a
2b
3a
4b�� a
2a
3a
4a���12
6
4
�11
�11
5�� 0
15
�37
�6�� 0
16
12
4
22
11
�6
1
9�� 26
�6��4
4
�5
�11
6
5�
y
x
y � 2x � 5
y � x2
y
x
2x � y � 4
x � 2y � 2y � 3x � 4
R70 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R70
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R71
63 En : A, 30; B, 20; C, 50
64 Del poniente, 95; del oriente, 55.
65 Si x y y denotan lalongitud y el ancho,respectivamente, entonces unsistema es , ,
.
66 , ,,
67 80 podadoras y 30 cortadoras.68 Alto riesgo, $50 000; bajo riesgo, $100 000; bonos $0.
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 9
1 (a) , , ; , ,
(b) ,
(c) Se acerca a .
2 (a) ;
(b) Los elementos de representan las poblaciones de las islas A, B y C,respectivamente, después de un año.
(c) La población se estabiliza con 10 000 aves en A,5 000 en B y 20 000 en C.
(d) A pesar de la distribución de la población inicial delas 35 000 aves, la población tiende hacia la distribu-ción descrita en el inciso (c).
3 Sugerencia: Asigna un tamaño a A y analiza la definiciónde una inversa.
F � 11 500 8400 15 100
E � �0.90
0.00
0.05
0.10
0.80
0.00
0.00
0.20
0.95�
D � 12 000 9000 14
000
�4, 0�
y �1
b � 2x �
4b � 10
b � 2
y � �1000x � 2004b � 1.999y � �100x � 204b � 1.99
y � 0x � 0
x � y � 18
x � 2y
y
x
2
2
x � 2yx � y � 18
y �1
2x
y � 8x � 12
y (ancho)
x (longitud)
y � 8
x � 12
y � qx
x � 0
pies3�h4 AD: 35%, DS: , SP:
5 , , ; la raíz cuarta es �4.
6
8 (a) No es posible.
(b)
(c)
(d)
donde a es cualquier número real diferente de cero.(e) No es posible.
Capítulo 10
EJERCICIOS 10.1
1 9, 6, 3, 0; �12 3
5 9, 9, 9, 9; 9
7 1.9, 2.01, 1.999, 2.0001; 2.000 000 01
9 11 2, 0, 2, 0; 0
13 15 1, 2, 3, 4; 8
17 19
21 2, 1, �2, �11, �38 23
25 5, 5, 10, 30, 120 27
29
31
33 �5 35 10 37 25 39 41 61
43 10 000 45 477
2k2
319
3
�17
15
�1, �1 �122
, �1 �122
�123
, �1
2�
122�
123
7
2, 15
2, 12, 17
2, 2, 4, 43, 412
�3, 32, 34, 38, 316
50
y
x
y
x10
0.5
2
3,
2
3,
8
11,
8
9;
128
33
4, �9
4,
5
3, �
11
8; �
15
16
1
2,
4
5,
7
10, 10
17;
22
65
f(x) � ax3 � ��2a �5
12�x2 � ��3a �7
12�x � 4,
f(x) � �5
12x2 �
7
12x � 4
x2 � y2 � 1.8x � 4.2y � 0.8 � 0
y � 0.0583x3 � 0.116x2 � 1.1x � 4.2
c � 24b � 10a � �15
312
3%33
1
3%
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R71
49
51 Cuando k aumenta, los términos tienden a 1.
53 0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8
55 (a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
(b) 1, 2, 1.5, , 1.6, 1.625, 1.6153846, 1.6190476,1.6176471, 1.6181818
57 (a) (b) El cuarto día.
59
61 2.236068 63 2.449365 (a) , (b) 1.7667 tiende a e. 69 tiende a 1.
71 10
73 19
75 (a) Decrece de 250 insectos a 0.(b) Se estabiliza en 333 insectos.(c) Se estabiliza en 636 insectos.
0, 20, 5 por 0, 300, 50
0, 20, 5 por 0, 125, 25
anan
f �2� � 0.30 � 0f �1� � �1 0
C
n
1031.40
89.95
615.65703.60791.55859.50945.45
179.90269.85359.80439.75527.70
2 4 6 8 10 12
m � 85.95
m � 87.95
m � 89.95
C(n) � �89.95n si 1 � n � 4
87.95n si 5 � n � 9
85.95n si n � 10
an � 0.8an�1
1.6
� �nk�1
ak � �nk�1
bk
� �a1 � a2 � ��� � an� � �b1 � b2 � ��� � bn�� �a1 � a2 � ��� � an� � ��b1 � b2 � ��� � bn�� �a1 � b1� � �a2 � b2� � ��� � �an � bn�
�nk�1
�ak � bk�EJERCICIOS 10.2
1 Demuestra que 3 ; 18; 38
5 ; 1.8; 0.3 7 ; 5.4; 20.9
9 11 �8 13 �8.5
15 17 19 �105 21 30 23 530
25 27
29 o
31 o
33 o
35
37 24 39 12 o 18 41
43 (a) 60 (b) 12 780 45 255 47
49 $1200 51
53 Demostrar que el (n � 1)-término es 1 mayor que eln-ésimo término.
55 (a) (b) (c) $722.22
EJERCICIOS 10.3
1 Demostrar que 3
5 ; 0.03; �0.00003 7 ; 3125; 390 625.
9 ; 20.25; �68.34375
11 13
15 17 19 21 88 572
23 25 27
29 31 33
35 Puesto que , la suma no existe.
37 1024 39 41 43 45
47 24 49 4, 20, 100, 500 51
53 (a) (b) 61 917 55 300 pies
57 $3 000 000 59 (b) 375 mg
N�t� � 10 000�1.2�t
25
256% � 0.1%
16 123
9999
5141
999
2393
990
23
99
� r � � 22 � 1
50
33
2
3�4n�1
��1�n�11
4 � 1
3�n�1
�7n�1
2n8188 � 55j�341
1024
23 3; 36243
823
2�n�1�x�1; 24x�1; 27x�1��1�n�1x2n�2; x8; �x14
4��1.5�n�1
5n300��0.1�n�1
8� 1
2�n�1
� 24�n; 1
2;
1
16
ak�1
ak
� �1
4.
d � �1
36; 1
8
36,
7
36,
6
36, . . . ,
1
36
16n2
154� pies
10
3, 14
3, 6,
22
3, 26
3
�1528
n�1
�11n � 3� � 12 845 132
�5n�0
3 � 3n
7 � 4n�6n�1
3n
4n � 3
�66
n�0
�4 � 7n��67
n�1
�7n � 3�
�4n�0
�4 � 7n��5n�1
�7n � 3�
934j � 838 265423
2
551
17�9.8
ln 3n; ln 35; ln 310
3.1n � 10.13.3 � 0.3n
4n � 2ak�1 � ak � 4.
R72 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R72
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R73
61 (a)
(b)
(c)
63 (a) (b) 4 782 969
(c) (d)
65 $38 929.00 67 $7396.67
69 (a)
(b) (c) $16 000
EJERCICIOS 10.4
Ejercicios 1 al 32: se presenta una comprobación característi-ca para los ejercicios 1, 5, 9, …, 29.
1 (1) es verdadero, porque .
(2) Suponiendo que es verdadero:
. Por consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
5 (1) es verdadero, porque
(2) Suponiendo que es verdadero:
Por consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.Pk�1
�1
2�k � 1�5�k � 1� � 1.
�1
2�k � 1��5k � 4�
�1
2�5k2 � 9k � 4�
�5
2k2 �
9
2k � 2
�1
2k�5k � 1� � 5�k � 1� � 3
2 � 7 � 12 � ��� � �5k � 3� � 5�k � 1� � 3
2 � 7 � 12 � ��� � �5k � 3� �1
2k�5k � 1�.
Pk
5�1� � 3 �1
2�1�5�1� � 1 � 2.
P1
Pk�1
� �k � 1��k � 1 � 1�.
� �k � 1��k � 2�
� k�k � 1� � 2�k � 1�
2 � 4 � 6 � ��� � 2k � 2�k � 1�
2 � 4 � 6 � ��� � 2k � k�k � 1�
Pk
2�1� � 1�1 � 1� � 2P1
r �3
5;
2882
3125� 0.92224
2
5,
6
25,
18
125,
54
625,
162
3125
729
16 384� 4.45%bk �
3k�1
4k�
1
4 � 3
4�k�1
ak � 3k�1
16a1
4 � 210Pn � � 1
4210�n�1
P1
An � � 5
8�n�1
A1,an � � 1
4210�n�1
a1,
ak�1 �1
4210ak
9 (1) es verdadero, porque
(2)Suponiendo que es verdadero:
Por consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
13 (1) es verdadero, porque
(2) Suponiendo que es verdadero:
. Por consi-
guiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.Pk�1
�3
2�3k�1 � 1�.
�3
2�3 � 3k � 1�
�9
2� 3k �
3
2
�3
2� 3k �
3
2� 3 � 3k
�3
2�3k � 1� � 3k�1
3 � 32 � 33 � ��� � 3k � 3k�1
3 � 32 � 33 � ��� � 3k �3
2�3k � 1�
Pk
31 �3
2�31 � 1� � 3.P1
Pk�1
��k � 1��k � 2��2k � 3�
6.
��k � 1��2k2 � 7k � 6�
6
� �k � 1��k�2k � 1�6
�6�k � 1�
6 � �
k�k � 1��2k � 1�6
� �k � 1�2
12 � 22 � 32 � ��� � k2 � �k � 1�2
12 � 22 � 32 � ��� � k2 �k�k � 1��2k � 1�
6.
Pk
�1�1 �1�1 � 1�2�1� � 1
6� 1.
P1
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R73
R74 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
17 (1) es verdadero, porque
(2) Suponiendo que es verdadero:
. Por tanto,
Así, es verdadero y la demostración termina.
21 (1) Para , y 4 es un factor de 4.(2) Suponiendo que 4 es un factor de . El (k � 1)-
ésimo término es
Según la hipótesis de inducción, 4 es un factor de 5k
� 1 y 4 es un factor de 4, así que 4 es factor del(k � 1)-ésimo término. Por consiguiente, esverdadero y la demostración termina.
25 (1) Para n � 1, a � b es factor de .(2) Suponiendo que es un factor de . A
continuación aplicamos la sugerencia al (k � 1)-ésimotérmino,
Como es un factor de y como de-bido a la hipótesis de inducción es un factorde , se deduce que es un factor del (k � 1)-ésimo término. Así, es verdadero y lademostración termina.
29 (1) es verdadero, porque .(2) Suponiendo que es verdadero: .
De aquí que,
Así, es verdadero y la demostración termina.
33 35
37 (a) , ,
;
(b) El método que se usó en el inciso (a) demuestra quela fórmula sólo es verdadera para .n � 1, 2, 3
c �1
6b �
1
2,a �
1
3,27a � 9b � 3c � 14
8a � 4b � 2c � 5a � b � c � 1
4n3 � 12n2 � 11n
3
n3 � 6n2 � 20n
3
Pk�1
� k � 1. � �5 � log2 k� � 1 � 5 � log2 2 � log2 k � 5 � log2 2k
5 � log2 �k � 1� 5 � log2 �k � k�
5 � log2 k � kPk
5 � log2 8 � 8P8
Pk�1
a � b�ak � bk�a � b
ak�a � b��a � b� � ak�a � b� � �ak � bk�b.
ak�1 � bk�1 � ak � a � b � ak � b � ak � bk � b
ak � bka � ba1 � b1
Pk�1
� 5�5k � 1� � 4. � 5 � 5k � 5 � 4
5k�1 � 1 � 5 � 5k � 1
5k � 15n � 1 � 4n � 1
Pk�1
�1
82�k � 1� � 12.
�1
8�2k � 3�2
�1
8�4k2 � 12k � 9�
�1
2k2 �
3
2k �
9
8
1
8�2k � 1�2 � �k � 1�
1 � 2 � 3 � ��� � k � �k � 1�
1 � 2 � 3 � ��� � k 1
8�2k � 1�2
Pk
1 1
82�1� � 12 �
9
8.P1
39 (1) Para
(2) Suponiendo que es verdadero:
Por consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
41 (1) Para
.
(2) Suponiendo que es verdadero:
Por consiguiente,
Así, es verdadera y la demostración termina.
EJERCICIOS 10.5
1 1440 3 5040 5 336 7 1 9 21
11 715 13 15
17
19
21
23
25
27
29
31
33 35
37 39 41
43 45 47 4.8, 6.19
49 4x3 � 6x2h � 4xh2 � h3
�135
16�216y9x2
448y3x1070x2y2114 688
9u2v6
189
1024c8�1680 � 313z11 � 60 � 314z13 � 315z15
325c10 � 25 � 324c52/5 � 300 � 323c54/5
x5/2 � 5x3/2 � 10x1/2 � 10x�1/2 � 5x�3/2 � x�5/2
� 729x6
x�12 � 18x�9 � 135x�6 � 540x�3 � 1215 � 1458x3
1
243x5 �
5
81x4y2 �
10
27x3y4 �
10
9x2y6 �
5
3xy8 � y10
81t 4 � 540t 3s � 1350t 2s2 � 1500ts3 � 625s4
� 7xy6 � y7
x7 � 7x6y � 21x5y2 � 35x4y3 � 35x3y4 � 21x2y5
x6 � 6x5y � 15x4y2 � 20x3y3 � 15x2y4 � 6xy5 � y6
64x3 � 48x2y � 12xy2 � y3
�2n � 2��2n � 1�n�n � 1�
Pk�1
� rk�1cos �k � 1�� � i sen �k � 1��.i�sen k� cos � � cos k� sen ��
� rk�1�cos k� cos � � sen k� sen �� �
� rkcos k� � i sen k�r�cos � � i sen ��� r�cos � � i sen ��kr�cos � � i sen ��
r�cos � � i sen ��k�1
r�cos � � i sen ��k � rk�cos k� � i sen k��.
Pk
r�cos � � i sen ��1 � r1cos �1�� � i sen �1��n � 1,
Pk�1
� ��1�k�1 sen �.
� ��1�k sen � � ��1� � cos �� � k�� � �0�� sen �� � k�� cos � � cos �� � k�� sen �
� sen �� � k�� � �sen � � �k � 1��
sen �� � k�� � ��1�k sen �.
Pk
� �sen � � ��1�1 sen �. sen �� � 1�� � sen � cos � � cos � sen �
n � 1,
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R74
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R75
51 y
EJERCICIOS 10.6
1 210 3 60 480 5 120 7 6 9 1 11
13 (a) 60 (b) 125 15 64 17
19 24 21 (a) 2 340 000 (b) 2 160 000
23 (a) 151 200 (b) 5760 25 102427 29
31 (a) 27 600 (b) 35 152 33 9 000 000
35 37
39
41 (a) 900(b) Si n es par, ; si n es impar, .
43 (a)
(b)
EJERCICIOS 10.7
1 35 3 9 5 n 7 1 9
11 13
15 17
19
21 23
25 (a) (b)
27 y en consecuencia
29
31 Determinando
33 (a)
(b)
35
37 (a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512(b) Sn � 2n�1
C�4, 3� � C�48, 2� � 4512
P�1000, 30� � 6.44 � 1089
C�1000, 30� � 2.43 � 1057
C�31, 3� � 4495
C�6, 3� � 20
n � 10C�n, 2� � 45
C�24, 6� � 134 596C�49, 6� � 13 983 816
C�8, 3� � 56C�12, 3� � C�8, 2� � 6160
� 4 082 4003 � C�10, 2� � C�8, 2� � C�4, 2� � C�6, 2� � 3 � 4
�5! � 4! � 8!� � 3! � 696 729 600C�8, 2� � 28
C�10, 5� � 25210!
3! 2! 2! 1! 1! 1!� 151 200
12!
5! 3! 2! 2!� 166 320
n! �nn22�n
en
y � 1y
x
1
10 20
9 � 10�n�1�/29 � 10�n/2��1
�216 � 1� � 17
3! � 23 � 48P�4, 4� � 24
P�6, 3� � 120P�8, 8� � 40 320
P�8, 3� � 336
n!
�n!
1! �n � 1�!� n
� n
n � 1� �n!
n � �n � 1�! �n � 1�!
�n
1� �n!
�n � 1�! 1!� n
39 (a)
(b) 252; 5
41 (a)
(b) 92 378; 9, 10
EJERCICIOS 10.8
1 (a) 1 hasta 12 (b) 2 hasta 11 (c) 3 hasta 10
3 (a) 1 hasta 5 (b) 1 hasta 5 (c) 1 hasta 2
5 (a) 1 hasta 2 (b) 2 hasta 3 (c) 3 hasta 2
7 (a) 1 hasta 17 (b) 5 hasta 31 (c) 7 hasta 29
9 11 13 5 hasta 2; 2 hasta 5 15 5 hasta 9;
17 1.93 hasta 1 19
21
23 25
27
29 (a) 0.45 (b) 0.10 (c) 0.70 (d) 0.95
31 (a)
(b)
(c)
33 (a) (b)
(c)
(d)C�8, 6� � C�8, 7� � C�8, 8�
28� 0.14453
C�8, 6�28
� 0.109375
C�8, 7�28
� 0.03125C�8, 8�
28� 0.00391
C�10, 0� � C�50, 5�C�60, 5�
�C�10, 1� � C�50, 4�
C�60, 5�� 0.8096
1 �C�30, 0� � C�30, 5�
C�60, 5�� 0.9739
C�20, 5� � C�40, 0�C�60, 5�
� 0.0028
�0.674�4 � 0.2064
4
6
C�13, 5� � 4
C�52, 5�� 0.00198
C�13, 4� � C�13, 1�C�52, 5�
� 0.00358
48 � 13
C�52, 5�� 0.00024
9
14
3
8
6
216
7
36;
5
36;
2
36;
9
15;
6
15;
5
15;
2
6;
1
6;
1
6;
12
52;
8
52;
4
52;
0, 19 por 0, 105, 104
0, 10 por 0, 300, 50
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R75
35
37 (a) Un resultado representativo es (nueve de tréboles, 3);312
(b) 20; 292; (c) No; sí;
(d) Sí; no; 0;
39 41 (a) (b)
43 (a) (b)
45 (a) 0 (b)
47 (a) (b)
49 12.5% 51 (a) (b)
53 (aproximadamente una posibilidad en 13
millones)
55
57 (a) (b) (c)
59 (a) 0.9639 (b) 0.95 61 (b) 0.76 63 $0.99
65 $0.20
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 10
1
2 0.9, �1.01, 0.999, �1.0001; 0.999 999 9
3 4
5 6 2, 2, 2, 2, 2
7 8
9 75 10 11 940 12 �10 13
14 15 16
17 18
19 20
21 22 23 1 � �nk�1
��1�k x2k
2k�20
n�0
an x3n�25
n�0
an x4n
�7n�1
��1�n�1 1
n�5n�1
��1�n�1�105 � 5n�
�4n�1
n
5n � 1�4n�1
n
3n � 1
�98
n�1
1
n�n � 1��n � 2��99
n�1
1
n�n � 1��6n�1
23�n
�5n�1
3n�37
10
1, 1
2,
2
3,
3
5,
5
89, 3, 23, 24 3, 28 3
10, 11
10, 21
11, 32
21, 53
32
1
12,
1
15,
1
15,
8
105;
8
452,
1
2,
5
4,
7
8;
65
64
5, �2, �1, �20
29; �
7
19
244
495� 0.4929
1
36
8
36
1970
39 800� 0.0495
2
25 827 165
C�4, 2�24
�6
16
1
16
334 415
418 890� 0.798
331 142
418 890� 0.791
1
9
C�4, 2�4!
�1
4
C�4, 4�4!
�1
24
1 �1
32�
31
32
1
321 �
10
36�
26
36
92
312
72
312;
156
312;
36
312;
192
312
20
312
1 �C�48, 5�C�52, 5�
� 0.34116 24 25
26 52 27 �31; 50 28 12
29 20, 14, 8, 2, �4, �10 30 64 31 �0.00003
32 1562.5 o bien 33 34
35 17; 3 36 37 570 38 32.5
39 2041 40 �506 41 42
43 (1) es verdadero, ya que
(2) Supón que es verdadero:
Por consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
44 (1) es verdadero porque
.
(2) Supongamos que es verdadero:
De ahí que,
Así, es verdadero y la demostración termina.Pk�1
�2�k � 1��2k � 3��k � 2�
3.
��k � 1��4k2 � 14k � 12�
3
� �k � 1��4k2 � 2k
3�
12�k � 1�3 �
��2k��2k � 1��k � 1�
3� 2�k � 1�2
22 � 42 � 62 � ��� � �2k�2 � 2�k � 1�2
22 � 42 � 62 � ��� � �2k�2 ��2k��2k � 1��k � 1�
3.
Pk
2�1�2 �2�1�2�1� � 11 � 1
3� 4
P1
Pk�1
��k � 1�3�k � 1� � 1
2.
��k � 1��3k � 4�
2
�3k2 � 7k � 4
2
�3k2 � k � 6k � 4
2
�k�3k � 1�
2� 3�k � 1� � 1
2 � 5 � 8 � ��� � �3k � 1� � 3�k � 1� � 1
2 � 5 � 8 � ��� � �3k � 1� �k�3k � 1�
2.
Pk
3�1� � 1 �13�1� � 1
2� 2.P1
6268
999
5
7
1
81;
211
1296
�12 800
2187422�1562.5
�5 � 823; �5 � 35231 � �nk�1
xk
k
R76 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R76
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R77
45 (1) es verdadero porque
.
(2) Supongamos que es verdadero:
De ahí que,
Así, es verdadero y la demostración termina.
46 (1) es verdadero, porque
.
(2) Supongamos que es verdadero:
Por consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
47 (1) Para , y 3 es factor de 3.
(2) Supongamos que 3 es factor de . El (k � 1)-
ésimo término es
Según la hipótesis de inducción, 3 es factor dey 3 es un factor de , de modo que 3 esun factor del (k � 1)-ésimo término. Así, es verdadero y la demostración termina.Pk�1
3�k2 � k � 1�k3 � 2k
� �k3 � 2k� � 3�k2 � k � 1�.
� �k3 � 2k� � �3k2 � 3k � 3�
�k � 1�3 � 2�k � 1� � k3 � 3k2 � 5k � 3
k3 � 2k
n3 � 2n � 3n � 1
Pk�1
��k � 1��k � 2��k � 3�
3.
� �k � 1��k � 2�� k
3� 1�
�k�k � 1��k � 2�
3� �k � 1��k � 2�
� �k � 1��k � 2�1 � 2 � 2 � 3 � 3 � 4 � ��� � k�k � 1�
�k�k � 1��k � 2�
3.
1 � 2 � 2 � 3 � 3 � 4 � ��� � k�k � 1�Pk
1�1 � 1� ��1��1 � 1��1 � 2�
3� 2
P1
Pk�1
�k � 1
2�k � 1� � 1.
��2k � 1��k � 1�
�2k � 1��2k � 3�
�2k2 � 3k � 1
�2k � 1��2k � 3�
�k�2k � 3� � 1
�2k � 1��2k � 3�
�1
�2k � 1��2k � 3��
k
2k � 1�
1
�2k � 1��2k � 3�
1
1 � 3�
1
3 � 5�
1
5 � 7� ��� �
1
�2k � 1��2k � 1�
1
1 � 3�
1
3 � 5�
1
5 � 7� ��� �
1
�2k � 1��2k � 1��
k
2k � 1.
Pk
1
2�1� � 12�1� � 1�
1
2�1� � 1�
1
3
P1 48 (1) es verdadero, porque .(2) Supongamos que es verdadero: . Por
consiguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
49 (1) es verdadero, porque (2) Supongamos que es verdadero: Por consi-
guiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
50 (1) es verdadero, porque .(2) Supongamos que es verdadero: . Por con-
siguiente,
Así, es verdadero y la demostración termina.
51
52
53 54
55 56 52 500 000
57 (a) (b) En pies:
58 24 pies 59 60
61 (a)
(b)
62 (a) (b)
63 (a) (b)
64 65 5 hasta 8;
66 (a) (b)
67 (a) (b)
68 (a) (b) (c)
69 1 hasta 3
70 (a)
(b)
71 (a) (b) 72 0.44 73
74 5.8125
8
36
57
312
1
312
1 �22
64�
42
64
C�6, 4� � C�6, 5� � C�6, 6�26
�22
64
C�4, 1�24
�4
16;
50
1000
10
1000
1
1000
262 � 252
P�52, 4�� 0.0650
P�26, 4� � 2
P�52, 4�� 0.1104
2
8
2
4
8
13
17!
6! 5! 4! 2!� 85 765 680
C�9, 5� � 126C�12, 8� � 49564 � 1296P�6, 4� � 360
� 7.094 � 1013P�13, 5� � P�13, 3� � P�13, 3� � P�13, 2�P�52, 13� � 3.954 � 1021
P(10, 10) � 3 628 8002
1 � f
11
4, 2, 2
3
4, 3
1
2d � 1 �
1
2a1
21 504x10y2
�63
16y12c10x8 � 40x7 � 760x6
16x4 � 32x3y3 � 24x2y6 � 8xy9 � y12
� 1458x2y5 � 729y6
x12 � 18x10y � 135x8y2 � 540x6y3 � 1215x4y4
Pk�1
�k � 1� � �k � 1�k � �k � 1�k�1. 10k�1 � 10 � 10k � 10 � kk �k � 1� � kk
10k � kkPk
1010 � 1010P10
Pk�1
2k�1 � 2 � 2k � 2 � k! �k � 1� � k! � �k � 1�!
2k � k!Pk
24 � 4!P4
Pk�1
� 2 � 2k � 2k�1
2k � 2k
2k � �k � 1� � �k2 � 3� � �k � 1�
�k � 1�2 � 3 � k2 � 2k � 4
k2 � 3 2kPk
52 � 3 25P5
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R77
R78 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 10
1
(La respuesta no es única.)
2
3 (a)
(b) Aplicar la inducción matemática.
4 (a)
(b) Aplicar la inducción matemática.
5 Examinar el número de dígitos en el exponente del valoren notación científica.
6 El (k � 1)-ésimo coeficiente del
desarrollo de , a saber , que es igual que la
cantidad de subconjuntos de k elementos de un conjuntode n elementos.
7 4.61 8 $5.339 Cantidades en monedas de 10 centavos:
$237.37 $215.63 $195.89 $177.95 $161.65$146.85 $133.40 $121.18 $110.08 $100.00
Cantidades realistas en billetes de diez dólares:$240.00 $220.00 $200.00 $180.00 $160.00$140.00 $130.00 $120.00 $110.00 $100.00
10 Se dispone de 11 ingredientes.
11 (a) (b) (aproximadamente 1en 35).
(c) (d) $63 425 984
12 0.43 13 14 El total de la suma es p.
15 (a)
(b)
Capítulo 11
EJERCICIOS 11.1
1 ; ; 3 ; ;y
x
F��3
8, 0�V�0, 0�y � �2F�0, 2�V�0, 0�
� 1 sen5 xsen 5x � 5 cos4 x sen x � 10 cos2 x sen3 x
� 5 cos x sen4 x; cos 5x � 1 cos5 x � 10 cos3 x sen2 x
tan 5x �5 tan x � 10 tan3 x � tan5 x
1 � 10 tan2 x � 5 tan4 x
00 � 1
16 663 144
80 089 128� 0.21
2 303 805
80 089 128
1
80 089 128
�n
k��a � b�n
�k � 0, 1, 2, . . . , n�
2n4 � 4n3 � 2n2
1
5n5 �
1
2n4 �
1
3n3 �
1
30n
�; j � 94
an � 2n �1
24�n � 1��n � 2��n � 3��n � 4��a � 10�
5 ; ; 7 ; ;
9 ; ; 11 ; ;
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43 4 pulg
x � y2 � 3y � 1
y � �x2 � 2x � 5
x � 2y � 4 � 1
y � �2x � 3 � 1
� y � 3�2 � �8�x � 4�
x2 � 16� y � 1�
� y � 5�2 � 2�x � 3�
3x2 � �4y
y2 � �12�x � 1�
� y � 5�2 � 4�x � 3�
�x � 6�2 � 12� y � 1�
y2 � 8x
(x � 3)2 � 6�y �1
2��x � 2�2 � �16� y � 3�
y2 � 20�x � 1�
y
x
y
x
y �11
2y � �
9
4
F�0, �9
2 �V�0, 1
2�F�2, �7
4 �V�2, �2�
y
x
y � 3F�49
16, 2�V�3, 2�F��2, �1�V��2, 1�
y
x
x �3
8
y
x
116
x �47
16
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R78
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R79
45 pies del centro del paraboloide.
47 pulg
49 (a) (b) pies 51 64 968
53 55 ,
por
EJERCICIOS 11.2
1 ; 3 ;
5 ; y
x
F�0, 223 �V�0, 4�
y
x
y
x
F�0, 1�V�0, 4�F�25, 0�V�3, 0�
�7, 7�11, 10, 2
�2.08, �1.04�
pies21022p �r 2
4h
22480 � 43.82
9
169 ; 11 ;
13 ;
15 17
19 21
23 25
27 29
31
33 35x2
64�
y2
289� 1
x2
25�
y2
16� 1
y
x
�2, 2�, �4, 1�
x2
16�
4y2
25� 1
x2
4� 9y2 � 1
x2
7�
y2
16� 1
8x2
81�
y2
36� 1
4x2
9�
y2
25� 1
x2
64�
y2
39� 1
�x � 2�2
25�
� y � 1�2
4� 1
x2
4�
y2
36� 1
F�5, 2 221 �y
x
V�5, 2 5�
y
x
y
x
F�4 25, 2�F�3 27, �4�V�4 3, 2�V�3 4, �4�
por �3, 3�2, 4
�2.92, 1.38�
7 ;
y
x
0.5
0.5
F�1
10221, 0�
V�1
2, 0�
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R79
R80 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
37
39 Mitad superior de
41 Mitad izquierda de
43 Mitad derecha de
45 Mitad inferior de
47 pies 49 94 581 000; 91 419 000
51 (a) ;
(b) 16 cm; 2 cm desde V.
53 5 pies
55
por
57 59 ,
por �2, 6�6, 6
��0.88, 0.76��1.540, 0.618�
�200, 200, 100�300, 300, 100
d � h � �h2 �1
4k2d � h � �h2 �
1
4k2
284 � 9.2
�x � 1�2
9�
� y � 2�2
49� 1
�x � 1�2
4�
� y � 2�2
9� 1
x2 �y2
9� 1
x2
49�
y2
121� 1
y
xF F
P
37
x2
25�
y2
9� 1
EJERCICIOS 11.3
1 ; ; 3 ; ;
5 ; ; 7 ; ;
9 ; 11 ;
;
y
x
y � 2
3x
F�1
12213, 0�
V��2, �2 3�V�1
4, 0�
y
x
y
x
y � 2xy � 224xF�0, 225 �V�0, 4�F�5, 0�V�1, 0�
y
x
y
x
y � 3
2xy �
2
3x
F�0, 213 �V�0, 3�F�213, 0�V�3, 0�
;
y
x
�y � 2� � 3
2�x � 2�
F��2, �2 213 �
,,
por �2, 2�3, 3
�0.92, 0.59��0.58, �0.81���0.48, �0.91�
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R80
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R81
13 ; 15 ;; ;
17 19
21 23 25
27 29 31
33 Parábola con eje horizontal.
35 Hipérbola 37 Circunferencia 39 Elipse
41 Parábola con eje vertical. 43
45 47
49y
F
F P
11
3
x
y2
16�
x2
9� 1
y2
64�
x2
36� 1
x2
144�
y2
25� 1
y
x
�0, 4�, � 8
3,
20
3 �
y2
25�
x2
49� 1
x2
25�
y2
100� 1
x2
9�
y2
36� 1
y2
21�
x2
4� 1
x2
9�
y2
16� 1y2 �
x2
15� 1
� y � 3�2 ��x � 2�2
3� 1
x2
9�
y2
16� 1
y
x
2
y
x4
4
� y � 5� � 1
2�x � 2�� y � 2� �
12
5�x � 3�
F��2, �5 325 �F��3 13, �2�V��2, �5 3�V��3 5, �2�
51 Rama derecha de
53 Rama superior de
55 Mitades inferiores de las ramas de
57 Mitades izquierdas de las ramas de
59 La gráfica tiene las mismas asíntotas.
61
63 Si se introduce un sistema coordenado semejante al delejemplo 6, entonces las coordenadas del barco son
.
65 67 Ninguno
por por 69 (a) (b)
EJERCICIOS 11.4
1 3
y
t � �2
x
y
x
y � x � 2y � 2x � 7
v � 103 600 m�s�6.63 � 107, 0��10, 10�15, 15�10, 10�15, 15
�0.741, 2.206�
�80
3234, 100� � �155.5, 100�
x � 29 � 4y2
y
x
y2
36�
x2
16� 1
x2
16�
y2
81� 1
y2
9�
x2
49� 1
x2
25�
y2
16� 1
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R81
R82 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5 7
9 11
13 15
17 19
y
x
y
xt � �1 t � 1
y � �x � 1�y � �x2 � 1
y
x
y
x
y � 1�xy � ln x
y
x
y
x
t � 0
x2 � y2 � 1x2
4�
y2
9� 1
y
x
y
x
y � 1�x2� y � 3�2 � x � 5 21
23 (a) La gráfica es una circunferencia con centro (3, �2) yradio 2. Su orientación es en el mismo sentido delmovimiento de las manecillas del reloj, y empieza ytermina en el punto (3, 0).
(b) La orientación cambia y es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
(c) El punto donde empieza y termina la gráfica cambiaa (3, �4).
25
27 (a) (b)
x
y
x
y
y
x
y
x
t � q � 2pn
t � w � 2pn
C4C3
y
xt � 0
y
x
C2C1
5
y
x
(27, 16)
(1, 4)
5
y � �x1/3 � 1�2
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R82
(c)
31 Las respuestas no son únicas.
(a) (1)
(2)
(3)
(b) (1) (sólo da)
(2) (sólo da)
(3)
33 2704 35 15 488; 3872
37 (a) La figura es una elipse con centro (0, 0) y ejes delongitudes 2a y 2b.
39 (a)
por
(b) 0�
41 (a)
por
(b) 30�
�80, 80, 10�120, 120, 10
�6, 6�9, 9
3200�3;
��
2 x
�
2 ��sólo dat � �y � �tan�1 t�2;x � tan�1 t,
�1 � x � 1t � �y � sen2 t;x � sen t,x � 0t � �y � e2t;x � et,
t � �y � t6;x � t3,
��
2 t
�
2y � tan2 t;x � tan t,
t � �y � t2;x � t,
x
y
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R83
43
por
47
49 51
por por
53 Una máscara con 55 La letra A.boca, nariz y ojos.
EJERCICIOS 11.5
1 (a), (c), (e)
3 (a) (b)
5 (a) (b)
7 9 (a) (b) �4,7�
6 ���2,3�
4 ��24
5,
18
5 ���
3
2,
3
2�3���4, �4�3 �
� 1
2, �
1
2�3�� 3
2�2,
3
2�2�
y
x
y
x
�20, 20, 5�30, 30, 5�4, 4�6, 6
y � 4b sen t � b sen 4t
b
(a, 0)
y
x
x � 4b cos t � b cos 4t,
�1, 1�1, 1
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R83
R84 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
11 (a) (b)
13 15 17
19 21
23 25
27 29
31 33
35 37
39 y � �x2 � 1
y � 2x � 6x2 � y2 � 1
y2
9�
x2
4� 1y � x
x2 � � y � 3�2 � 9x � 5
r � 2 cos �r2 � �4 sec 2�
� � tan�1 ��1
2�r �3
cos � � sen �
r � 6 cot � csc �r � 4r � �3 sec �
�5�2,�
4 ��14,5�
3 � 41 43
45 47
49 51
53 55
57 59
y2 �x4
1 � x2�x � 1�2 � � y � 4�2 � 17
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R84
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R85
61 63
65 67
69 71
73 75
77
79 Sean y puntos en un plano . Seany Al sustituir� � �2 � �1.c � d�P1, P2�b � r2,a � r1,
r�P2�r2, �2�P1�r1, �1�
en la ley de los cosenos, seobtiene la fórmula.
81 (a)
por
(b) Máx: dirección este-oeste; mín: dirección norte-sur.
83 Simétrica con respectoal eje polar.
por
85 Las coordenadas polares aproximadas son
y
por
EJERCICIOS 11.6
1 elipse 3 3, hipérbola
�w, p�(�3, 0)
�w, q�
�3, w�
1
3,
�9, 9�12, 12
�5.76, 2.35�.�4.49, 1.77��1.75, 0.45�,
�6, 6�9, 9
�6, 6�9, 9
P2(r2, u2)
P1(r1, u1)
c2 � a2 � b2 � 2ab cos �,
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R85
5 1, parábola 7 elipse
9 hipérbola 11 1, parábola
13
15
17 19
21
23 25
27 29
31 33
35 (a) (b)
39 (a) Elíptica 41 (a) Hiperbólica
(b) (b)
por por
�12, 12, 3�24, 24, 3�18, 18, 3�36, �36, 3
r �7
4 � 3 sen �
3
4
r �8
1 � sen �r �
8
5 � 2 sen �
r �2
1 � sen �r �
12
3 � 4 cos �
r �2
3 � cos �x2 � 8y � 16 � 0; x � 4
4x2 � 5y2 � 36y � 36 � 0; x � 3
3x2 � 4y2 � 8x � 16 � 04y2 � 12x � 9 � 0
8x2 � y2 � 36x � 36 � 0
9x2 � 8y2 � 12y � 36 � 0
�2, q���6, w��T, q�
3
2,
��d, p�(�4, 0)�!, 0�
1
2, 43
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 11
1 ; 2 ;
3 ; 4 ;
5 ; 6 ;
y
x
V�1
5, 0�F�222, 0�V�2, 0�
y
x
y
x
F�0, 5�V�0, 4�F�0, 27 �V�0, 4�
y
x
y
x
F��2,33
32�V��2, 1�F�16, 0�V�0, 0�
e �rafe � rper
rafe � rper
, a �rafe � rper
2
R86 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
y
x0.5
0.5
F�1
30211, 0�
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R86
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R87
7 ; 8 ;
9 ; 10 ;
11 ; 12 ;
13 ; 14 ;
y
x
V�3, �2 2�F�4, �4�V�2, �4�
y
x2
2
y
x
F�5, �4 25 �F��3 25, 2�V�5, �4 2�V��3 3, 2�
y
x
y
x
F��39
8, �2�F��4
1
3210, 5�
V��5, �2�V��4 1, 5�
y
x2
2
V�3 2, �1�F�0, �9
4�V�0, 4�15 ; 16 ;
17 18
19 20 21
22 23 24
25 26 27
28 29 (a) (b) Hipérbola
30 31
32
33 34
y
x
y
x
y � x4 � 4x � 4y � 7
222 rad�s � 0.45 rev�s
x2 � � y � 2�2 � 4A �4a2b2
a2 � b2
�7
2
x2
256�
y2
112� 1
x2
25�
y2
45� 1
x2
8�
y2
4� 1
y2
36�
x2
4
9
� 1
x2
25�
y2
75� 1
x2
75�
y2
100� 1x � 5y2
x2 � �40yy2 � �16xy2
49�
x2
9� 1
y � �3�x � 4�2 � 147y � 2�x � 7�2 � 18
y
x
y
x
F�2, �3 26 �F��4 210, 0�V�2, �3 2�V��4 3, 0�
y
x
F�3 1, �1�
y
x
F�3, �2 23 �
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R87
35 36
37
38
39 9216 40 ��2, 5�
4 �, �2, 9�
4 �20 48023;
y
x
y
x
t � 0
C4C3
y
x
y
x
C2C1
y
x
�@, �r�
y �2x2 � 4x � 1
x � 1
x
yy
x
t � 0, p, 2p
t � q
t � w
y � 2�x2� y � 1�2 � ��x � 1�41 42
43 44
45 46
47 48
49 50
51 52
53 54
55 56
57 58
y2 � 6 � x8x2 � 9y2 � 10x � 25 � 0
y � �tan �3 � x�x2 � y2�2 � 8xy
x2 � y2 � 2x � 3yx3 � xy2 � y
� ��
4r�2 cos � � 3 sen �� � 8
r � 3 cos � � 4 sen �r � 4 cot � csc �
�4, 11�
6 �� 5
2�2, �
5
2�2�
R88 R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R88
R E S P U E S T A S A L O S E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S R89
59 60
61 62
63 64
�6, q�
�2, w�
(6, p) �T, 0�
1
2, elipse
2
3, elipse
(3, 0)
��4, q�
�2, w�
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DEL CAPÍTULO 11
1
2 La circunferencia pasa por ambos focos y por los cuatrovértices del rectángulo auxiliar.
5 , ,
o
6 7 43.12°
9
10 La gráfica de es la gráfica de rotadaun ángulo �, en sentido contrario al movimiento de las ma-necillas del reloj, mientras que la gráfica de se rota en el sentido del movimiento de las manecillas delreloj.
11
12 y � �4 � �x � 2�2y � 2 �4 � x2,
�180�n��
r � f �� � ��
r � f ���r � f �� � ��
y � �1 �1 � x2
2
d �1
42a2 � b2
x � 2 � �1 �y2
3
y
x
P(x, y)
x � 3�x � 2�2
1�
y2
3� 1
w � 4� p �
5612Swokowski Answers.A61-A89 10/30/2006 01:29 Page R89
ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES
Adición de agua salina a un tanque, 320Banda transportadora hidráulica, 480Capacidad de producción, 676Dimensiones para que una caja pase por
una puerta, 222Filtrado de agua, 257Llenado de un tanque de
almacenamiento, 76Llenado de una tolva, 128Movimiento robótico, 439, 487,
595-596, 623Pesca comercial, 567-568Planeación de producción, 643, 661, 718Producción
de circuitos integrados (CI) para computadoras, 364
de un barril de petróleo, 93de un recipiente, 91, 256, 319, 652de una crayola, 642
Productividad de los empleados,383-384
Rapidez del volante de una máquina, 400Rotación de una cabría, 402Vaciado de un tanque de agua, 80
AGRICULTURA
Construcción de una cerca, 78, 92, 130,221, 633
Crecimiento de la cosecha, 346Estructuras para almacenamiento de
granos, 75, 79, 300, 743Mezcla de fertilizantes, 676Rendimiento de una huerta, 132Riego de un campo, 642, 717Superficie de cosecha, 639, 660
ALIMENTACIÓN
Dimensiones de un cono (barquillo), 79Ingredientes para pizzas, 802Mezclas de café, 676Mezclas de nueces, 643, 674Planeación de dietas, 661Posibilidades para el almuerzo, 787Preparación de alimentos en un hospital,
128Producción de queso, 172Selección de condimentos, 785Selecciones de helado, 785Valores de pizza, 403
ANIMALES/VIDA SILVESTRE
Alces, 334, 340Ballenas, 30, 172, 346Competencia por el alimento, 633Conejos, 513Dieta de ganado, 643Elefantes, 363Erradicación de plagas, 735Ganado, 676Gatos monteses, 642Insectos, 737Pájaros, 372, 676, 718Peces, 18, 30, 126, 251, 320, 337, 346,
386, 633, 661Perros pastor alemán, 126Ranas, 221Venados, 271, 322, 718
ARTE Y ENTRETENIMIENTO
Ángulos de visión para pintar, 556Apuestas para un dado, 791Asientos en un estadio, 743Asistencia a un cine, 77Azulejos Penrose, 580-581Cartas, 787, 791, 798, 800-801, 812Cuadros en una película, 18Dimensiones de un laberinto, 744Dinero de un premio, 744, 799, 802Diseño de un cartel, 92Fórmula para sobrevivir en juegos de
azar, 318Grabación en video, reproductora
de, 644Juego de feria, 797Juego de tirar dados, 809-810Juegos de video, 173, 479-480Lanzamiento de dados, 786, 797-799,
808Lanzamiento de una moneda, 787Longitud de una cuerda floja, 191,
234Lotería, 784, 794, 798, 803Lotería “powerball”, 814Manos de bridge, 795Manos de póquer, 795Máquinas tragamonedas, 808, 813-814Montaje de un sistema de proyección,
497Movimientos de backgammon, 813Precio de un reproductor de DVD,
747
Resultados de una carrera de caballos,787
Rifas, 812Rotación de discos compactos, 410Rotación de un disco fonográfico, 492Ruleta, 809-810Salto de un motociclista acróbata, 313Venta de entradas, 652, 662Vibración de una cuerda de violín, 549Vuelo de un proyectil humano, 226
ASTRONOMÍA
Año luz, 18Brillantez de las estrellas, 63Diseño del telescopio de Cassegrain,
841Espejo de un telescopio reflector, 815Fases de la Luna, 418Galaxia de la Vía Láctea, 18Leyes de Kepler, 251, 514, 878-879Órbita de Mercurio, 829Órbita de Plutón, 829Periodo de un planeta, 251Radiotelescopio de Jodrell Bank, 815Resolución de un telescopio, 418Satélite
trayectoria de un, 129, 815vista desde un, 560
Simulación de la gravedad, 594Sucesión de Bode, 736Tierra
distancia a Venus desde la, 622órbita de la, 828-829radio de la, 481rotación de la, 402
Trayectoria de un cometa, 825,842, 879
Venusdistancia desde el Sol de, 487elongación de, 480
BIOLOGÍA
Curva de crecimiento de Gompertz, 345Curva de crecimiento de una población,
379-381Dimensiones de una membrana celular,
129Mutación genética, 383Reproducción de bacterias, 330, 334,
349, 386, 736, 752Sucesión genética, 744
ÍNDICE DE APLICACIONES
IA90
5612_SwokowskiAI_A90_A94 10/29/2006 19:02 Page A90
Í n d i c e d e a p l i c a c i o n e s IA91
CIENCIAS DEL MEDIO AMBIENTE
Agotamiento de las reservas carbonífe-ras, 363
Altura de los árboles, 383, 418Altura de una nube, 80Cálculo meteorológico, 447, 479Capa de ozono, 220, 259, 372, 385, 447Concentración de radón, 252Contaminación
del agua, 371, 595del aire, 348, 677radiactiva, 191
Corrosión de cables, 234Costo de la limpieza de un derrame de
petróleo, 323Crecimiento de bosque, 653Crecimiento de pastizales, 653Densidad atmosférica, 91, 303, 348Efecto de invernadero, 294, 677Incendios, 233, 483, 570Isla de calor urbano, 109, 173Luz diurna
intensidad de la, 460-461, 606longitud de la, 110, 456-457, 462,
508-509y latitud, 111
Necesidades de ventilación, 245Océano
olas del, 460-461penetración de la luz en el, 335,
378-379salinidad del, 172zona fótica del, 383
Olas de marea, 512Precipitación, 320
en Minneapolis, 259en Seattle, 223en South Lake Tahoe, 461
Presión atmosférica, 346, 387Rayos solares, 447, 513, 606Río
caudal de un, 513profundidad de un, 561-462
Sismos, 356, 362, 386-387, 389, 490,555, 580frecuencia de los, 387
Temperaturadeterminación de la, 271, 294-295,
322, 694en Augusta, 513en Chicago, 512en Fairbanks, 461, 512en Ottawa, 490en París, 173, 643en una nube 80, 130
variación en la, 461y altitud, 80, 167y humedad, 439y latitud, 93y precipitación, 653
Tornados, 18, 402Tsunamis, 484Velocidad del viento, 371, 590Viento transversal vertical, 174, 384
COMUNICACIONES
Alcance de la radiocomunicación, 78,92, 622-623
Anuncios en el supertazón, 175Estaciones de radio
alcance de la transmisión, 156,471, 872
cantidad de, 245nomenclatura de las, 776
Llamadas telefónicasnúmero de, 258tarifas de, 208, 643
Longitud de una antena de banda civil,481
Números telefónicos, 776Periódicos
número de, 141reparto de, 79
Satélite de comunicaciones, 482Semáforo, 776Tarifas de correo de primera clase, 344Tarifas de correo expreso, 718Televisión por cable
suscriptores de, 140tarifas de la, 223
Torre de transmisión para televisión, 480
CONSTRUCCIÓN
Aislamiento, 77Baño, 129Banquetas, 84Cajas, 88, 91-92, 110, 189, 270, 302Canal, 216, 534Casa, 78Cilindro elástico, 322Cobertizo de almacenamiento, 256Colocación de una viga de madera, 556Dimensiones de una mesa, 642Edificios, 190, 687Escalera, 481, 741, 801Galería susurrante, 829Jaulas, 221Panel para calefacción solar, 128, 557Perrera, 129
Rampa, 479Rampa para silla de ruedas, 255Rectángulo de alambre, 92, 222Resistencia de extracción de clavos, 108Tienda, 303Tubos, 633Unidades de almacenamiento, 661Ventana, 79, 652
DEPORTES
Baloncestoposiciones en, 776saltos en, 257series de juegos en, 785
Béisbolcompra de bats y pelotas para un
equipo de, 648distancias en, 579estadísticas en, 172orden de bateo, 774selección de un equipo de, 780series de juegos en, 802
Boliche, 799Buceo, 271Canotaje, 92Capacidad aeróbica, 173Carreras de patinaje, 621Carreras de velocidad, 78, 175, 491,
567, 579Ciclismo, 744Clasificación de velocistas, 785Costos de un club de golf, 747Dimensiones de una pista, 257, 491, 717Futbol americano, 593, 784Golf, 555Lanzamiento de disco, 256Lanzamiento de martillo, 634Obstáculos para levantadores de pesas,
30Remo, 78Tenis, 784Tiempos de corredoras, 168
EDUCACIÓN
Acomodo de asientos, 776Calificación punto promedio, 80, 321Comités, 784, 796Designaciones de fraternidad, 776Elegibilidad de los maestros para la
jubilación, 130Oficiales de clase, 772Participantes en el programa Head Start
(comienzo temprano), 272Presupuestos en una universidad, 719
5612_SwokowskiAI_A90_A94 10/29/2006 19:02 Page A91
Programación de cursos, 776Promedio en calificaciones de examen,
69, 77Prueba de falso o verdadero, 776, 785,
796, 801Prueba de opción múltiple, 776Selección de becarios, 785Selección de preguntas para un examen,
785
ELECTRICIDAD
Circuitos y voltaje, 58Condensador eléctrico, 362Corriente en un circuito eléctrico, 362,
386-387, 458, 509-510, 514, 614,676, 792-793
Figura de Lissajous, 855, 882Intensidad de un reflector, 489Interruptores eléctricos, 792-793Ley de Coulomb, 91, 251Ley de Ohm, 80, 119Parábolas confocales, 815Potencia de un molino de viento, 108Potencia de un rotor de viento, 258Producción de calor en un circuito de
CA, 535Resistencia eléctrica, 250, 676Resistores conectados en paralelo,
65, 119Voltaje, 58, 524, 614
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Arreglo de colores, 787, 812Demostración de probabilidad, 797Experimento con un naipe y un dado,
796, 802Experimento de letra y número, 796Experimento de percepción extrasenso-
rial, 797Función de densidad de probabilidad,
347Palíndromos numéricos, 777Polinomio de Chebyshev, 270Probabilidad de cumpleaños, 799
FÍSICA/CIENCIAS EN GENERAL
Aceleraciónde una partícula, 676de una pelota, 643
Aguacorcho en, 491enfriamiento de, 385esferas sólidas de madera en, 295evaporación, 108, 173
Alcance de un proyectil, 251, 534Altura
de un cohete de juguete, 80, 89,258, 479
de un precipicio, 94de un proyectil, 126, 217, 221
Amplificación lineal, 119Bomba de vacío, 752Desintegración radiactiva, 252, 331,
335, 346, 358, 362-363, 386, 387Desviación del polo magnético, 403Determinación de la edad mediante
pruebas de carbono 14, 387Distancia
a un blanco, 78a un globo de aire caliente, 191, 234,
481-482, 570de la lente a la imagen, 115de parada de una partícula, 347de visibilidad, 30entre puntos de la Tierra, 402, 418,
580, 622recorrida por un objeto que cae, 744recorrida por una pelota que rebota,
750, 752, 802Elevación
de un risco, 490de una montaña, 482, 488-489, 571del Sol, 479
Energía de un electrón, 372Expansión adiabática, 57Explosión nuclear, 93Fórmula de contracción de Lorentz, 126Hechos que liberan energía, 389Intensidad de iluminación, 250Intensidad del sonido, 362, 386,
525, 541Ley
de Boyle, 129de Coulomb, 91, 251de Hooke, 119, 250de Newton del enfriamiento,
334, 357del gas ideal, 251
Medida de caudal, 642, 718Movimiento
armónico, 477, 483-484de una mesa, 524-525
Oscilación de un péndulo, 403Periodo de un péndulo, 129, 250, 752Peso de un astronauta en el espacio,
126Polinomio de Legendre, 270Presión
de aire, 362
de un líquido, 250de vapor, 363
Proporcionalidad entre la presión y elvolumen de un gas, 247
Proyección vertical, 91, 643Relación peso-latitud, 514Sombras, 607Temperatura
del agua hirviendo, 91escalas de, 65, 118, 174, 256
Tierraárea superficial de la, 18campo magnético de la, 471densidad de la, 303
Trabajo realizadoal empujar, 593, 606al tirar, 603-606
Trayectoriade las partículas alfa, 841de un objeto, 24de una pelota, 634
Rapidez (velocidad)de una partícula, 126del sonido, 129, 157
Velocidadde un cohete, 387de un gas, 91medida con láser de, 487
Volumen y decibeles, 371Vuelo de un proyectil, 221, 849-851,
882
GEOMETRÍA
Ángulosde un triángulo, 579de una caja, 480, 579
Áreade un paralelogramo, 581de un rectángulo en un arco
parabólico, 280de un triángulo, 157, 191, 576-579, 581de un vaso cónico, 109
Área superficialde un tanque, 58de una pirámide, 489-490
Centro de una circunferencia, 156Diagonal
de un cubo, 234de un paralelogramo, 575, 579
Figura de Moiré, 634Problema isoperimétrico, 634Profundidad de un vaso cónico,
488Tamiz de Sierpinski, 753-754
IA92 Í N D I C E D E A P L I C A C I O N E S
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Í n d i c e d e a p l i c a c i o n e s IA93
Volumende un prisma, 571de un vaso cónico, 480-481de una pirámide, 490
INGENIERÍA
Antenas de TV por satélite, 812, 815Avión caza a reacción, 571-572, 623Cables flexibles, 343, 388Canal de drenaje, 79Carreteras, 92, 222-224, 513,
534-535Cicloide, 852-853, 856Colector solar, 557, 570Curvas verticales en cimas, 223Curvas verticales en depresiones, 224Disco receptor de sonidos, 815Polinomio de Legendre, 270Puente(s)
arcos de, 828especificaciones para, 222levadizo, 479
Reflector elíptico, 829Reflector parabólico, 815Stonehenge, 418, 596Tobogán de agua, 479Túnel, 488Vigas
carga de soporte, 249flexión, 322resistencia, 280
INTERÉS GENERAL
Acomodo de libros, 776Acomodo de llaves en un llavero
circular, 784Acuarios, 129, 190, 630, 634Agrimensura, 478, 482, 490, 569-570,
572, 579, 622Altura
de un anuncio, 418de un asta bandera, 407de un edificio, 481-482, 488-489,
571, 622de una cometa, 478, 482de una torre, 473-474, 481-482
Cercado de una huerta, 92Composición de una familia, 784, 796Cúmulo de arena, 109, 233El Pentágono, 480Espejo de una linterna, 815Faro reflector, 815Fuerzas que actúan sobre un adorno de
Navidad, 634
Funciones en computación, 233,606-607
Genealogía, 753Globos, 109, 229, 233-234Glotocronología (datación de lenguas),
336, 387Guardarropa para combinar e igualar,
776La gran pirámide, 487La torre inclinada de Pisa, 570-571Longitud
de un cable, 478, 575de un poste de teléfonos, 566-567,
570Pantallas de calculadora, 192, 557Pesos de unas cadenas, 687Pila de troncos, 743Piscinas
agua en, 676dimensiones de, 129, 653llenado de, 79, 256niveles de cloro en, 736-737
Rapidez para podar el césped, 79Rescate en el tiro de una mina, 623Sucesión de Fibonacci, 736Torre Eiffel, 487Vuelos de reconocimiento, 579-580
NEGOCIOS/FINANZAS
Ahorro diario, 747Anualidades, 754Apreciación, 256, 335Asignaciones de oficina, 784Aumentar al máximo la ganancia, 656,
660-661, 673, 718Balance de una hipoteca, 388Bonos de ventas, 744Cálculo de un precio, 70Clave de acceso a cajeros automáticos,
776Comienzo de horas de trabajo, 797Comparaciones de inflación, 338Crecimiento del salario mínimo, 347Cuenta en un restaurante, 77Cuentas de ahorro, 30, 77, 337Depreciación, 336, 752, 754Descuento por volumen de compra,
93, 222Efecto multiplicador, 752El legado de Benjamín Franklin, 393Facturación por servicio, 77, 258Función de Gompertz, 337Función logística y ventas, 337Gastos de un negocio, 119, 173Índice de precios al consumidor, 344
Interés compuesto, 331-333, 335,338-339, 341-342, 362, 383, 752, 754
Interés simple, 71Inversiones, 71, 128, 642, 652, 684, 718Ley de Pareto para países capitalistas, 371Niveles de inventario, 652Nómina, 77, 233, 717Pago de una hipoteca, 336Poder de compra, 337Porcentaje de derechos de autor, 208Precio y demanda, 93, 109, 369,
371, 644Préstamos, 173, 336Promedio Dow Jones, 389Promedio Nasdaq, 389Relación al mínimo del costo, 657,
660-661Rendimiento efectivo, 347Renta de departamentos, 130, 223Salarios, 129, 389Tarifas de electricidad, 208Tasas impositivas, 208Trueque de servicios, 643Valor de inventarios, 687Valor del terreno, 347
POLÍTICA/TEMAS URBANOS
Cañones urbanos, 560Crecimiento de la población, 129, 342,
346, 357, 362, 387Demanda de agua, 490Densidad de población, 126, 320, 363Expansión de una ciudad, 92, 128Fondos municipales, 77Gastos gubernamentales, 348Homicidios con arma de fuego, 23Población estadounidense, 137Población mundial, 390Recaudación del gobierno, 337Regla del cubo, 109Reglamento de construcción
de edificios, 190Ubicación de una planta eléctrica, 652
QUÍMICA
Aleación cobre-plata, 77Aleación de plata, 643Bactericida, 128Cálculo del pH, 382-383Curva de respuesta de umbral, 323Ley del gas ideal, 251Masa
de un átomo de hidrógeno, 18de un electrón, 18
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Número de Avogadro, 18Sal disuelta en agua, 335Soluciones ácidas, 72, 676
SALUD/MEDICINA
Acción cardiaca, 460Análisis de la respiración, 455Área superficial del cuerpo, 30, 57Bifurcación arterial, 535Biorritmos, 460Cálculo del crecimiento humano, 109Cáncer en la piel, 385Cociente de inteligencia, 18Crecimiento
en la infancia, 173, 191, 346, 387fetal, 172infantil, 221
Curva de respuesta de umbral, 323Dimensiones de una extremidad
humana, 250Dimensiones de una perla (píldora
esférica), 93, 280, 634Distinción visual, 559Electroencefalografía, 460Epidemias, 337Estatura decreciente, 119Exposición al arsénico y cáncer, 808Fuerza de un pie, 559Glóbulos rojos, 57Gotas para los ojos, 77Indicador radiactivo, 346Ley de Poiseuille, 251Medicamentos
concentración de, 77dosis de, 173, 220en el torrente sanguíneo, 333-334,
383, 752Memoria, 384Muertes por fumar, 797Músculo bíceps, 593
Necesidades de calorías, 45Niveles de colesterol, 364Niveles terapéuticos mínimos, 119, 124Operación con litotríptero, 829Participantes en el programa Medicare,
272Peso
de hombres, 31de mujeres, 31de niños, 362de umbral, 251
Preparación de una solución de glucosa,77
Protección contra la luz solar, 513Pulsaciones durante una vida, 57Radioterapia, 344Rapidez al caminar, 77, 363Reacción a un estímulo, 371Relación entre huesos y estatura, 80Ritmos circadianos, 490
TRANSPORTE
Aumentar al máximo la capacidad depasajeros, 661
Automóvilescompra de, 119, 193diseño de, 581distancia de frenado, 56, 126, 193,
252distancia entre, 157, 579neumáticos de, 402rendimiento de combustible de, 78,
126, 128, 221, 256tarifa de renta de, 208tiempos de recorrido de, 74, 128valor de reventa de, 335velocidad, 128, 251
Avión(es) (aeroplanos)distancia a un, 570distancia entre, 92
hélice para, 487trayectoria, 478-479, 483, 579, 593,
841velocidad, 481velocidad de aterrizaje, 126y velocidad del aire, 128, 594,
595, 621Barcos
dirección de, 475-476, 483, 580distancia entre, 185, 257, 579ubicación de, 836, 841velocidad de, 621
Botes (lanchas)consumo de combustible, 128curso de, 474-475, 567-569, 579, 595hélice para, 491seguimiento de, 556velocidad de, 640, 642
Cambio de anticongelante, 73Cargos por envío, 718Distancias de una pista de aterrizaje,
192, 234 Flujo vehicular, 208, 677Fuerza de un remolcador, 594Impuesto a la gasolina, 190Mecánica de una bicicleta, 403Nave espacial, 191, 257Números de placa de circulación, 776Potencia, 607Reducción al mínimo del costo
de combustible, 661Ruta de un teleférico, 569-570Ruta ferroviaria, 534Rutas de un transbordador, 106Tiempo de llegada a un destino, 192Tren de alta velocidad, 128Velocidad de una máquina barrenieves,
78
IA94 Í N D I C E D E A P L I C A C I O N E S
5612_SwokowskiAI_A90_A94 10/29/2006 19:02 Page A94
A
Abscisa, 132Agrupación, solución de ecuaciones
usando, 102Algoritmo de la división, 273Amplitud
de un número complejo, 609de una función trigonométrica,
449-450, 452-453de una gráfica, 449del movimiento armónico, 477
Ángulo(s), 392-400agudo (acutángulo), 394, 404 central, 394, 398 complementarios, 394, 473coterminales, 392-393, 440cuadrantales, 392, 415de depresión, 473, 474de elevación, 473-474, 566-567de referencia, 440, 441, 442definición de, 392entre vectores, 599funciones trigonométricas, 403-417lado inicial, 392lado terminal, 392llano, 392medidos, 394-397medidos en grados, 392medidos en radianes, 394negativo, 392obtuso, 394posición estándar, 392positivo, 392recto, 392, 394subtendido, 394suplementario, 394vértice, 392
Aproximaciones, 15 sucesivas, 264
Aproximadamente igual a (L), 3Apuestas, 791Arco
circular, 398de una circunferencia, 394
Áreade un sector circular, 399de un triángulo, 134, 531, 576
Argumento de un número complejo,609, 611de una función, 176
Arreglos sin repeticiones, 771Asíntota(s)
de una hipérbola, 832horizontales, 306oblicuas, 315-317verticales, 305, 430, 433, 463-464
B
Base, 14, 19de una función exponencial, 326logarítmica, 348-349, 373para notación exponencial, 19
Binomios, 32, 761multiplicación, 34-35
Bisectriz, 134-135, 166
C
Calculadora(s). Véase tambiénAproximación de valoresfuncionales con calculadorasgraficadoras, 407, 443, 506-507cálculo de soluciones de una
ecuación trigonométrica, 507característica POLY, 269, 285combinaciones, 782comprobación de ecuaciones, 62comprobación de factorizaciones,
40comprobación de identidades
trigonométricas, 495conversión de radianes a grados,
397-398conversiones polar a rectangular,
859conversiones rectangular a polar,
861cuadrada, 690-691elaboración de una tabla, 49encontrar raíces, 617, 619encontrar un determinante, 698encontrar un producto punto,
597estimación de puntos de
intersección, 151-154
evaluación de expresiones, 5evaluación de potencias de
funciones trigonométricas,408
exponentes racionales, 27factoriales, 76forma científica, 15forma escalonada reducida de una
matriz, 670fórmulas de suma, 520funciones trigonométricas inversas,
552generación de una sucesión,
724-726graficado de ecuaciones polares,
864-866graficado de semielipses, 823graficado de una desigualdad,
649-650graficado de una ecuación, 144graficado de una función, 187-188graficado de una función definida
por tramos, 200-202graficadora, operaciones con
almacenamiento de valores, 5intersecciones en x, 144-145intersecciones en y, 144inversa de una función, 242inversa de una matriz cuadrada,
690-691listado y graficado de una sucesión,
733modo paramétrico, 845, 847multiplicación de matrices, 683permutaciones, 775prueba de desigualdades, 10raíz principal n-ésima, 23recíprocos, 7recta del mejor ajuste, 168-170sucesión definida recursivamente,
727, 734suma de una sucesión, 728-729sustracción, 7términos de una sucesión de sumas
parciales, 730-731, 734trazo de puntos, 137-138valor absoluto, 12
ÍNDICE
I95
5612_SwokowskiI_A95_A106 10/30/2006 16:52 Page A95
valor máximo (mínimo), 214-216vectores, 587-588
Cancelación de factores comunes, 46Cantidad escalar, 581Cardioide, 867-868Caso ambiguo, 565, 574Catenaria, 343Centro
de una circunferencia, 149de una elipse, 8, 16de una hipérbola, 830
Cero(s)de multiplicidad m, 283de un polinomio, 281-291, 295de una función, 180, 264, 267,
344-345de una gráfica, 143número, 6, 8racionales de polinomios, 297-298
Cerrado, definición de, 3Cielo, 427Cicloide, 852-853Cifras significativas, 15Circunferencia, 806
ecuación estándar de la, 147radio y centro de la, 149unitaria, 147
Cociente, 8, 273de diferencia, 183de factoriales, 763-764de funciones, 225de números complejos, 611de números reales, 8en el proceso de división, 273
Coeficiente(s), 19binomiales, 763inicial, 33
Cofactor, 695-696Cofunción, 517Columna, de una matriz, 663Combinación, 779, 782Combinación lineal de i y j, 589-590
de renglones, 675Complemento, de un conjunto, 790Completar el cuadrado, 83, 148Componente(s)
de a sobre b, 601-602de un vector, 583
Compresiones horizontales degráficas, 198
Común denominador, 47Conclusión, 11Cónica degenerada, 806Conjugado
de un número complejo,96-98
de una expresión, 51Conjunto(s), 31
complemento, 790correspondencia entre, 175-176intersección de, 116subconjuntos de, 782unión de, 116
Constante(s), 31, 32de proporcionalidad, 245de variación, 245suma de, 731
Coordenada(s), 9polares, 857-871rectangulares, 132-138relación con las coordenadas
polares, 858-860relación con las coordenadas
rectangulares, 858-859y, 132
Correspondenciabiunívoca, 8, 583entre conjuntos, 175
Cota inferior, 287Crecimiento de bacterias, 330Cuadrantes, 132, 392, 416Curva, 842-843
cerrada, 843cerrada simple, 843de crecimiento de Gompertz,
345de descenso mínimo, 853de probabilidad normal, 330ecuaciones paramétricas, 843logística, 379orientación, 844parametrizada, 843-844, 847plana, 842puntos extremos, 843
Cúspide, 852
D
Decimal, 2-3repetitivo infinito, 749
Decremento exponencial, 327
Definición deángulo de referencia, 440apuestas de un evento, 791asíntota horizontal, 306asíntota vertical, 305combinación, 779componente de a sobre b, 601conjugado de un número complejo,
96curva plana, 842determinante de una matriz, 694,
696, 698ecuaciones paramétricas, 843elipse, 816evento, 786excentricidad, 824exponentes racionales, 27factorial, 762función (es), 176, 186
biunívoca o inyectiva, 235compuesta, 226coseno inversa, 545cuadrática, 209exponencial natural, 340inversa, 237lineal, 183periódica, 426seno inversa, 542tangente inversa, 547trigonométricas de cualquier
ángulo, 413trigonométricas de números
reales, 421trigonométricas de un ángulo
agudo de un triángulorectángulo, 404
trigonométricas en términos deuna circunferencia unitaria,422
gráfica de una función, 179hipérbola, 830i y j, 588igualdad y suma de matrices, 678inversa de una matriz, 688la distancia entre puntos sobre una
recta coordenada, 13logaritmo, 349logaritmo común, 354logaritmo natural, 355magnitud de un vector, 583
I96 Í N D I C E
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Í N D I C E I97
matriz, 664medida en radianes, 394menores y cofactores, 695movimiento armónico simple, 476múltiplo escalar de un vector, 585negativo de un vector, 586parábola, 806pendiente de una recta, 157permutación, 773polinomio, 33probabilidad de un evento, 787producto de dos matrices, 681producto de un número real y una
matriz, 679producto punto, 596recursiva, 726-727, 734raíz n-ésima de un número, 23sucesión aritmética, 738sucesión geométrica, 745sucesión infinita, 722suma de vectores, 584sustracción de vectores, 587trabajo, 604valor absoluto, 12valor absoluto de un número
complejo, 608valor esperado, 794vector cero, 586vectores paralelos y ortogonales,
598Delta, 157Denominador, 8
mínimo común, 47racionalización del, 26, 51, 98
Descartes, René, 132Descomposición en fracción parcial,
709-714Desigualdad(es), 9, 110
continua, 11, 114cuadrática, 120, 121equivalentes, 111gráficas, 111, 644-466lineal, 645racional, 114propiedades, 112, 125sistemas, 644-650solución, 110-117, 268
Desintegración radiactiva, 331Desplazamiento(s), 582
de fase, 451-454, 464
de gráficas, 194-196horizontales de gráficas, 195-196
Determinantes, 694-700propiedades de, 701-707
Diagrama(s)de árbol, 770de signos, 120-124
Diferenciacomún, 738de dos cuadrados, 39de dos cubos, 39, 100de funciones, 225de matrices, 679de números complejos, 96de números reales, 7
Dígitos, 15Dina, 602Dirección(es), 475-476, 567
negativa, 9positiva, 9
Directrizde una cónica, 873de una parábola, 808
Discriminante, 85Distancia, entre puntos de una recta
coordenada, 13División
de números reales, 7de polinomios, 273larga de polinomios, 273sintética, 275-278, 288
Divisores, 2Dominio
de una expresión algebraica, 32de una función, 176
compuesta, 238racional, 303-304trigonométrica, 433
implícito, 177
E
e, número, 340Ecuación(es), 60-66, 102-105
algebraica, 6condicional, 61cuadráticas, 80-89, 504de rectas, 161-164de una bisectriz, 166de una circunferencia, 147de una elipse, 818
de una hipérbola, 833de una parábola, 211-213, 809de una semielipse, 820en problemas aplicados, 69-76en x, 60en x y y, 141en y, 843equivalente, 60estándar
de una circunferencia, 148de una elipse, 818de una hipérbola, 833de una parábola, 808
exponencial, 328, 372-376gráficas, 141-154homogéneas, sistema de, 672identidad, 61lineal, 61-63, 163, 635-641
con dos variables, 635-641con más de dos variables,
662-675logarítmica, 351, 366-368,
376-381paramétricas, 843
de una cicloide, 852-853de una recta, 848-849
polares, 861-871de cónicas, 873-878
raíz, 143reducida, 291sin soluciones, 63sistemas de, 626-632solución, 60teoría de, 281tipo cuadrática, 105-106trigonométrica, 500-511
Eje(s)conjugado de una hipérbola,
831coordenados, 132de una elipse, 818de una hipérbola, 831de una parábola, 142, 807imaginario, 607mayor de una elipse, 818menor de una elipse, 818polar, 857real, 607transverso de la hipérbola, 831y, 132
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Elementode un conjunto, 31de una matriz, 664
Elipse, 806, 816-826, 873centro, 816ecuación estándar, 818ecuaciones polares, 875eje mayor, 818eje menor, 818excentricidad, 824focos, 816propiedad reflexiva, 825vértices, 818
Elipsoide, 826Elongación de gráficas, 197-198Elongaciones horizontales de gráficas,
198Ensayo y error, método de, 41Enteros, 2
no negativos, 2positivos, 2
Equipo graficador, 136. Véasetambién Calculadora graficadora
Erg, 603Escala Richter, 356Escalar, 581Espacio muestra, 786Espiral de Arquímedes, 869Eventos, 786
independientes, 792mutuamente excluyentes, 789
Excentricidad, 824, 873Expansión
binomial, 765-767de un determinante, 698
Experimento, 786Exponente(s), 14, 19-22
cero, 20ecuaciones que contienen, 102irracional, 28, 326leyes de los, 20-21negativo, 20, 27racional, 27
Expresión(es)algebraica, 31-43fraccionaria, 45-53productos y cocientes, 47racionales, 45
ecuaciones que contienen, 64simplificadas, 46
sumas y diferencias, 48trigonométrica, 494
Extremo, 263
F
Factor(es), 2, 37comunes, 704
cancelación, 46de amortiguación, 468no triviales, 37
Factorización(es), 37en la solución de ecuaciones
trigonométricas, 503-505en primos, 48fórmulas para, 38método de, 81por agrupación, 42por ensayo y error, 40-41
Figura de Lissajous, 851-852Foco(s), 830
de un paraboloide, 811de una cónica, 873de una elipse, 816de una hipérbola, 830de una parábola, 808
Forma científica, 14-15de punto-pendiente, 162-163escalonada, de una matriz, 666-669,
701reducida, 669-670
exponencial, 349, 609factorial de una permutación, 774general de la ecuación de una recta,
164logarítmica, 349polar de un número complejo,
609reducida, 669-670simétrica de una recta, 172trigonométrica de números
complejos, 607, 609Fórmula(s)
cuadrática, 84, 86-88de ángulodoble, 526mitad, 529-530múltiple, 526-532
de aproximación, 435de cambio de base, 373de cofunción, 517
de crecimiento (o decremento),342
de distancia, 132-134de Euler, 609de factorización, 38de Herón, 577-578
de interés compuesto, 332, 338-339continuamente, 339, 341simple, 71
de la distancia, 132-134de reducción, 520-251de suma, 515-516, 518-519
a producto, 537-538de sustracción, 515-516, 518del producto, 36
a suma, 536-537del punto medio, 135
especial de cambio de base, 374para negativos, 428-429
Fracción(es), 8complejas, 50parciales, 709-714suma, 47-48
Frecuencia en el movimientoarmónico simple, 477
Fuerza, 602constante, 602-604resultante, 583
Función(es). Véanse tambiénFunciones trigonométricasalgebraica, 226amplitud, 449arcocoseno, 545arcoseno, 543arcotangente, 547biunívoca o inyectiva, 235, 327,
351ceros, 180, 264, 266circular, 422cociente de, 225compuesta, 226-232constante, 181continua, 262cosecante, 404, 429 coseno, 404, 429
fórmula de suma para la, 516fórmula de sustracción para la,
515-517hiperbólica, 343inverso, 545-546
I98 Í N D I C E
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Í N D I C E I99
valores de una circunferenciaunitaria, 847
cotangente, 404, 429-430, 519creciente, 181, 237cuadrática, 209-219de crecimiento, 327de elevar
al cuadrado, 180al cubo, 180
de Gompertz, 337, 345de una variable compleja, 281decreciente, 181, 237definición, 176
alternativa, 186definida
en un conjunto, 177-178por tramos, 199-202
diferencia de, 225dominio, 238implicado, 177entero mayor, 202existencia, 178exponencial, 326-333
natural, 338-345extremo de, 263gráfica, 179-180, 187-188, 193-204identidad, 181igualdad, 177imagen, 238impar, 193indefinidas, 178inversa, 235-242lineal, 183-185logarítmica, 348-359
natural, 354logística, 337mayor entero, 202objetivo, 654operaciones con, 224-232par, 193periódica, 426polinomial, 226, 266-269producto de, 225racional, 303-318raíz
cuadrada, 180cúbica, 180
recíproca, 307secante, 404, 429, 430
hiperbólica, 376
seno, 404, 429, 500inverso, 542-545fórmulas de suma y sustracción,
518-519valores sobre la circunferencia
unitaria, 847sucesión infinita como, 722 suma de, 225tangente, 404, 429-430, 501
inversa, 547-548trascendentes, 226trigonométrica inversa, 443,
541-553, 888-889trigonométricas, 404valor(es)
absoluto, 194de, 177, 178de prueba, 264máximo, 211, 214, 216-217mínimo, 211, 214
Función(es) trigonométrica(s), 403amplitud, 559de ángulos, 403-417de números reales, 421-435dominios, 433en términos de
un triángulo rectángulo, 404una circunferencia unitaria, 422,
890fórmulas de
ángulo doble, 526ángulo mitad, 529-530ángulo múltiple, 526-532cofunción, 517de producto a suma, 536-537de suma a producto, 537-539de sustracción, 515-516, 518
gráficas, 425, 431, 433, 448-458,463-469, 510-511, 888-890
identidades de ángulo mitad,527-528
inversa, 443, 541-553par e impar, 429signos, 416valor(es)
absoluto, 467especiales, 406, 424y ángulos de referencia,
440-443y calculadoras, 443-446
G
Gauss, Carl Friedrich, 281Grado
como medida angular, 392de un polinomio, 33relación con el radián, 395-397
Gráfica(s). Véase también Calculadoragraficadora 510-511, 888-890amplitud, 449compresiones
horizontales, 198verticales, 197
comunes y sus ecuaciones, 884-885de desigualdades, 111de ecuaciones, 141-154
lineales, 164logarítmicas, 368-369
de funciones, 179-180, 187-188,193-204
de la figura de Lissajous, 851-852de un conjunto de números reales,
111exponenciales, 328-330, 343logarítmicas, 352-354polinomiales, 265-266racionales, 309-310, 312-315, 317trigonométricas, 425, 431, 433,
448-458, 463-469, 510-511,888-889
de un conjunto de pares ordenados,141
de un sistema de desigualdades,644-646, 649-650
de una curva parametrizada, 844,847
de una curva plana, 842de una ecuación polar, 861,
863-866, 868-869de una sucesión, 723-724definición, 141desplazamientos
horizontales, 195-196verticales, 194-195
elongaciones horizontales, 198verticales, 197
hueco, 311, 326, 435intersecciones con el eje x, 530, 538puntos
de intersección, 151-154
5612_SwokowskiI_A95_A106 10/30/2006 16:52 Page A99
retorno, 263, 267reflexión, 198-199
resumen de transformaciones,886-887
simetrías, 146-147Guías
para el método de sustitución de dosecuaciones en dos variables, 627
para encontrardescomposiciones en fraccionesparciales, 710funciones inversas, 239la forma escalonada de una
matriz, 667un elemento en un producto de
matrices, 680para la división sintética, 276para resolver
problemas de aplicación, 69problemas de variación, 247un problema de programación
lineal, 655una expresión que contiene
expresiones racionales, 64para trazar la gráfica de una
desigualdad en x y y, 645función racional, 309
H
Hipérbola, 307, 806, 830-838, 873asíntotas, 832centro, 830ecuación estándar, 833ecuaciones polares, 876eje transverso, 831ejes conjugados, 831focos, 830propiedad reflexiva, 838ramas, 832rectángulo auxiliar, 832vértices, 831
Hipotenusa, 404Hipótesis, 11
de inducción, 755Hueco, en una gráfica, 311, 326, 435
I
i el vector, 588-589i, número complejo, 94Identidad(es)
aditiva, 4
cotangente, 409de ángulo mitad, 527-528de diferencia, 515ecuación como, 61fundamentales, 408-411, 417multiplicativa, 4pitagóricas, 408-409recíprocas, 405, 409suma, 515tangente, 409, 518trigonométrica, comprobación,
412-413, 494, 496-497trigonométricas, 494-498
Igual a (=), 31Igualdad, 60
de conjuntos, 31de funciones, 177de matrices, 678de números
complejos, 94-95reales, 2
de polinomios, 33de sucesiones, 723de vectores, 582propiedades, 5
Imagen, 176de un radical, 24de una función, 176, 238, 433especular, 147índice de sumatoria, 728
Inducción matemática, 754-759Infinito (�), 111, 305Interés
compuesto, 331-332compuesto continuamente, 339,
341simple, 71
Intersección(es)de conjuntos (¨), 116de una gráfica, 143en x, 143-145, 433, 530, 538en y, 143-144, 433
Intervalo(s), 111abierto, 111cerrado, 111indefinido, 111infinito, 111semiabierto, 111
Inverso(a)aditivo, 4, 678
de un número real, 4de una matriz, 687-692multiplicativo, 98
de un número complejo, 98Inversamente proporcional, definición
de, 246Invertibilidad de matrices, 699
J
j, el vector, 588-589Joule, 603
K
Kepler, Johannes, 824
L
Ladoadyacente, 404
opuesto, 404terminal de un ángulo, 392
Ley(es)de cosenos, 572-575de crecimiento (o decremento),
342exponencial, 327
de exponentes, 20-21de logaritmos, 364-366de radicales, 24de senos, 562-566de signos, 11de tricotomía, 10del enfriamiento de Newton,
357del paralelogramo, 583del triángulo, 582
Limaçón(es) (caracoles), 867-868Límites para ceros, 287-289Litotríptero, 826Logaritmos(s)
base, 348cambio de base, 373comunes, 354fórmulas especiales para cambio de
base, 374leyes, 364-366naturales, 355propiedades, 364-369
Longitudde arco, 543de un arco circular, 398de un segmento de recta, 13
I100 Í N D I C E
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Í N D I C E I101
M
Magnitud, de un vector, 581, 583-584,588
Mapas, 176Más o menos (±), 20Matriz(ces) álgebra, 677-685
aumentada, 663cero, 678columna, 683columnas de, 663combinación lineal de renglones,
675cuadrada, 430, 664de coeficientes, 663
aumentada, 663de orden n, 664de renglón equivalente, 665de un sistema de ecuaciones, 663definición, 664determinante, 694, 698elemento de, 664elementos de la diagonal principal,
664equivalente, 665forma escalonada, 666-669forma escalonada reducida,
669-670identidad, 687-688igualdad, 678inversa, 687-692inverso aditivo, 678-679invertible, 688notación de doble subíndice, 664producto, 681producto de un número real con,
679renglón, 683renglones de, 663suma, 678sustracción, 679tamaño, 664transformaciones elementales de
renglón, 665Máximo factor común (mfc), 38, 53Mayor o igual que (≥), 11Mayor que (>) 9Media
aritmética, 741geométrica, 748
Menor, 695-696
Menor o igual que (�), 11Menor que (>), 9Menos infinito (� �), 305Método
de completar el cuadrado, 83de eliminación, 637, 640, 662de ensayo y error, 40de factorización, 81de sustitución, 627-629inverso, 692
Mínimo común denominador (mcd),47
Minutos, 394, 398Modelo matemático, 168Modo
conectado, 317de punto, 317de radianes, 421
Módulo, de un número complejo, 609,611
Monomio, 32Movimiento
amortiguado, 477armónico, 476-477armónico simple, 476de un punto, 846
Multiplicación de matrices, 680-685propiedades, 4
Multiplicidad de un cero, 284Múltiplo constante, de una ecuación,
636Múltiplo escalar de un vector, 583,
585-586, 588
N
n factorial, 762n-ésima potencia, 19n-ésima suma parcial, 730, 746Negativo(s)
de un número real, 4, 6-7de un vector, 586fórmulas, 428
Newton, 603No polinomios, 34Notación
de doble subíndice, 664de sumatoria, 728, 742equivalente, 32exponencial, 14, 19, 27factorial, 762-764
Numerador, 8decimal repetitivo infinito como,
749racionalización, 51-52
Número(s) amplitud, 609argumento, 609-611cociente, 98, 611complejo, 94-100
no real, 94conjugados, 96-98diferencia, 96enteros, 2forma trigonométrica, 607, 609igualdad de, 95imaginario, 94
puro, 94inverso multiplicativo, 98irracional, 3módulo, 609, 611multiplicación, 94-95
por un número real, 96naturales, 2parte
imaginaria, 95real, 95
primo, 2producto, 611propiedades, 4raíces cuadradas, 99raíz n-ésima, 616-618racional, 2reales, 2-15negativos, 9positivos, 9suma, 95unidad real, 100valor absoluto, 608, 610y la unidad imaginaria i, 94
0
Onda cosenoidal, 427amortiguada, 468
Onda senoidal, 427, 454amortiguada, 468
Orden de una matriz, 664Ordenada, 132Ordenamiento, 11Orientación, de una curva
parametrizada, 844
5612_SwokowskiI_A95_A106 10/30/2006 16:52 Page A101
Origen, 8, 132, 818, 833, 857Oscilación, 476-477
P
Parde ceros conjugados de un
polinomio, 295ordenado, 132, 141
Parábola(s), 142-143, 806-813, 873directriz, 808ecuaciónestándar, 211-213, 809
polar, 876eje, 807foco, 808propiedad reflexiva, 8 11vértice, 213-214, 807
Paraboloide, 811Paralelogramo, diagonales, 575Parametrización, 843Parámetro, 843Parte imaginaria de un número
complejo, 95Parte real de un número complejo, 95Pendiente(s)
de rectas paralelas, 164de rectas perpendiculares, 165de una recta, 157-160negativa, 158positiva, 158
Periodo, 426, 433, 450, 452-453, 464de interés, 338del movimiento armónico, 477
Permutaciones, 770-775distinguibles, 778no distinguibles, 778
Planocomplejo, 607coordenado, 132de Argand, 607r�, 857xy, 132
Polinomio(s), 32-33cero, 33cero real, 264ceros de un, 281-291ceros racionales, 297-298coeficiente inicial, 33como producto de factores lineales
y cuadráticos, 298
constante, 33cúbico, 262divisible, 273división, 36, 273en más de una variable, 35en x, 32, 33factorización, 37-38, 41, 281-282grado, 33iguales, 33irreducible, 37límites para los ceros, 287-289multiplicación, 35par de ceros conjugados, 295primo, 37suma y resta, 34término constante, 286término de, 33
Polo, 857Posición estándar de un ángulo, 392Primer término de una sucesión, 722Principal, 71Principio
de inducción matemática, 755extendido de inducción matemática,
758-759fundamental de conteo, 771
Probabilidad, 786-794Problema de programación lineal, 655Problemas de aplicación en
ecuaciones, 69-76trigonometría en, 471-477
Producto(s)de funciones, 225de matrices, 679, 681de números complejos, 94, 611de números reales, 3escalar, 596interno, 596punto, 596-605que implican el cero, 6
Programación lineal, 653-659Promedio, 741Propiedad(es)
asociativas, 4conmutativas, 4de cocientes, 8
de conjugados, 98de desigualdades, 112, 125de i, 94de la igualdad, 5
de logaritmos, 364-369de negativos, 6 de números reales, 4 de raíces n-ésimas, 24de valores absolutos, 116
distributiva, 4reflectora de una elipse, 825
de una hipérbola, 838de una parábola, 811
Proporcionalidad conjunta, 248constante de, 245directa, 246inversa, 246
Proyección, de a sobre b, 601Proyectil, trayectoria, 849-851Prueba de recta horizontal, 236Pruebas de simetría, 146Punto(s)
de intersección, de gráficas,152-153
de prueba, 644en una circunferencia unitaria
correspondiente a un númeroreal, 422
extremosde un intervalo, 111de una curva, 843
inicial de un ángulo, 392inicial de un vector, 581medio, 136terminal de un vector, 581
R
r-ada ordenada, 772Racionalización
de denominadores, 26-27de numeradores, 51-52
Radián, 394-397, 500Radical(es), 24-29
combinación, 28-29ecuaciones que contienen,
103-105eliminación de factores de, 25-26leyes, 24
Radicando, 24Radio de una circunferencia,
149Radioterapia, 344Raíz(ces)
cuadrada, 3, 23, 98-99
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de números negativos, 99principal, 23, 98
cúbica, 23de la unidad, 100, 618de multiplicidad, 2, 82
m, 283de una ecuación, 60, 143doble, 82existencia, 24extraña, 64funcional, 143n-ésima, 23, 614, 616-618
de la unidad, 618de números complejos, 614-619
principal n-ésima, 23Ramas
de la tangente, 430de una hipérbola, 832
Rapidezangular, 400lineal, 400
Rayos, 392Razón común, 745Recíproco(s), 4, 7, 11
de coordenadas y, 431notación, 6
Recta(s), 157-170coordenada, 9de mejor ajuste, 168-170ecuación, 164
paramétrica, 848-849polar, 862
formade pendiente-intersección, 163de punto-pendiente, 162general, 164simétrica, 172
horizontal, 161paralela, 164pendiente, 157-160perpendicular, 165real, 9tangente, a una parábola, 811vertical, 161
Rectángulo auxiliar, 832Rectas
paralelas, 164perpendiculares, 165
Reflexión de una gráfica, 147,198-199, 241
Regla de Cramer, 705-707Regla de, los signos de Descartes,
286-287Relación con el grado, 396Renglón, de una matriz, 663Renglón equivalente (o equivalente
por renglones), 665Representación geométrica, 607Residuo, en el proceso de división, 273Restricciones de una función objetivo,
654Resultado de un experimento, 786Rosa de cuatro pétalos, 869
S
Satisfacer una ecuación, 60Secciones cónicas, 806Sector circular, 399Segmento de recta dirigido, 581Segundo, 394, 398Semicircunferencia, 149Semielipse, ecuaciones para,
820, 823Semielipsoide, 826Semiparábola, gráfica de, 8, 12Semiplano, 645Serie(s),748-749
geométrica, infinita, 748infinita, 7495infinita alternante, 750
Signo(s)de desigualdad, 9de funciones trigonométricas, 416de un número real, 10-11leyes, 11radical, 24resultante, 120
variación de, 286Simetría, 146-147, 241, 433, 870Simplificación
de un radical, 25de una expresión
exponencial, 21racional, 46
Sistema(s)consistente de ecuaciones, 638coordenado, 9, 132de coordenadas
cartesianas, 132-138rectangulares, 132-138
de desigualdades, 644-650de ecuaciones, 626-632
con más de dos variables,662-675
consistentes, 638dependientes y consistentes, 638en dos variables, 635-641equivalentes, 629, 636homogéneos, 672inconsistentes, 638matriz de, 663solución, 626, 629
de números complejos, 94dependiente y consistente, 638equivalentes, 629, 636homogéneo de ecuaciones, 672inconsistente de ecuaciones, 638polar coordenado, 857para una variable, 65
Solución(es)de un sistema de desigualdades,
644, 646de un sistema de ecuaciones,
626, 629de un triángulo, 471de una desigualdad, 110-111de una ecuación, 60
en x, 60en x y y, 141polar, 861
extrañas, 64factibles, 654límites, 288trivial, 672
Subconjunto de un conjunto, 31, 782Subíndice de la columna, 664Subíndice de renglón, 664Sucesión(es), 722
aritmética, 738-742de sumas parciales, 730definida recursivamente, 726generación, 724-726geométrica, 745-751gráfica, 723-724, 733igualdad, 723infinita, 722término n-ésimo, 723
Suma parcial, 730, 746Suma(s)
de coordenadas y, 467
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de dos cubos, 39de funciones, 225de funciones trigonométricas, 468,
521de matrices, 678de números complejos, 94de números reales, 3de una serie, 749de una sucesión aritmética, 740de una sucesión geométrica,
746-747de vectores, 582, 584-586, 588
parciales, 730, 746geométrica infinita, 748, 750propiedades de la, 4teorema sobre, 732
Sustitución, 662trigonométrica, 497-498
Sustracción de números complejos,96de matrices, 679de números reales, 7
T
Tabla de signos, 120, 121Teorema
cambio de base, 373de cónicas, 873de De Moivre, 614-616de factorización completa, para
polinomios, 281-282de la aritmética, 2de Pitágoras, 106, 133,
405-406, 549del álgebra, 281del binomio, 761-768del factor, 275
cero, 6, 81, 504-505del residuo, 1-74, 274-275del valor intermedio, para funciones
polinomiales, 263-264fundamental del álgebra, 281para localizar el vértice de una
parábola, 213sobre amplitudes
y periodos, 450periodos y desplazamientos de
fase, 452sobre ángulos de referencia, 442sobre asíntotas horizontales, 308
sobre cómo expresar un polinomiocomo un producto de factoreslineales y cuadráticos, 296
sobre ecuaciones polares decónicas, 875
sobre el coseno del ángulo entrevectores, 599
sobre el número de combinaciones, 779de permutaciones diferentes, 773exacto de ceros de un polinomio,
285máximo de ceros de un
polinomio, 282sobre el valor máximo o mínimo de
una función cuadrática, 214sobre eventos
independientes, 792mutuamente excluyentes, 789
sobre exponentes negativos, 22sobre funciones
inversas, 238trigonométricas pares e impares,
429sobre invertibilidad de matrices,
699sobre la expansión de
determinantes, 698sobre la naturaleza biunívoca de las
funcionescrecientes o decrecientes, 237exponenciales, 327logarítmicas, 351
sobre la probabilidad de ocurrenciade uno de dos eventos, 790
sobre la suma de unaconstante, 731serie geométrica infinita, 748sucesión, 732sucesión aritmética, 739sucesión geométrica, 746
sobre las pendientes de rectasparalelas, 164perpendiculares, 165
sobre límites para los ceros realesde polinomios, 295
sobre los ceros racionales de unpolinomio, 297
sobre pares de ceros conjugados deun polinomio, 295
sobre permutaciones distinguibles,778-779
sobre producto punto, 599sobre productos y cocientes de
números complejos, 611sobre propiedades de matrices,
679-680sobre raíces n-ésimas, 616sobre renglones idénticos, 703sobre sistemas equivalentes, 636sobre transformaciones de
renglones de matrices, 665y columnas de un determinante,
702sobre un renglón de ceros, 699sobre una gráfica de la función
tangente, 464sobre valores funcionales repetidos
para seno y coseno, 426sobre vectores ortogonales, 600
Teoría de ecuaciones, 281Término de un polinomio, 33
de una serie, 749de una sucesión, 722
aritmética, 739geométrica, 745
Tiempo de duplicación, 357Transformación(es)
de columna, 703de determinantes, 702-703
de gráficas, 204de sistemas de ecuaciones, 636
de renglonesde matrices, 665de una matriz, 665, 703
elementales de renglón, 665Traslaciones, 196Trayectoria de un proyectil,
849-851Trazo de puntos 132, 137-138Trazo de una gráfica, 111, 144, 309Tríada ordenada, 629Triángulo, 471
área, 134, 576de Pascal, 767, 783isósceles, 406, 531oblicuo (oblicuángulo), 562-563,
572rectángulo, 403, 471-473vértices, 471
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U
Unidad astronómica (UA), 825Unidad imaginaria, 94
V
Valor absoluto, 11-13, 25de prueba, 120, 264de un número real, 608de una función trigonométrica,
467ecuaciones que contienen, 102esperado, 794gráfica de una
desigualdad que contiene, 204ecuación que contiene, 203
propiedades del, 116sistemas de desigualdades que
contienen, 647Valor máximo de una función
cuadrática, 211, 214, 216-217Valor mínimo de una función
cuadrática, 211, 214Valores polares, 867Variable(s)
de entrada, 185de salida, 185de sumatoria, 728dependiente, 185independiente, 185linealmente relacionadas, 167
Variaciónconjunta, 248directa, 246inversa, 246
Vector(es)cero, 586equivalentes, 582ortogonales, 598, 600posición, 583paralelos, 598, 600resultante, 591
Vida media, 331
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