liturature review

8/7/2019 Liturature Review

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M u l t i d i g i t n u m b e r s c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s

R a k h

2 7 M a r c h 2 0 1 1

I n t r o d u c t i o n

T r a d i t i o n a l s c h o o l s y s t e m s i n U n i t e d S t a t e s a n d m a n y o t h e r c o u n t r i e s l i k e

I n d i a t e a c h c h i l d r e n s t a n d a r d a l g o r i t h m n e e d e d f o r m u l t i d i g i t n u m b e r o p e r -

a t i o n s l i k e a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a n d e n c o u r a g e t h e m t o m e m o r i z e t h e s e

a l g o r i t h m s r a t h e r t h a n u n d e r s t a n d i n g p r i n c i p l e s b e h i n d t h e s e a l g o r i t h m s .

s a m e i s t h e c a s e w i t h b a s e - t e n p l a c e - v a l u e s y s t e m o f w r i t t e n m u l t i d i g i t n u m -

b e r s , c h i l d r e n h a v e i n a d e q u a t e u n d e r s t a n d i n g ( B e d n a r t z & J a n v i e r , 1 9 8 2 ;

B e i s h u i z e n , 1 9 9 3 ; F u s o n , 1 9 9 0 , 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ; K o u b a e t e t a l , 1 9 8 8 ; M u r r a y

& O l i v i e r , 1 9 8 9 ; O l i v i e r , M u r r a y , & H u m a n , 1 9 9 0 ) . T h r o u g h m a n y r e s e a r c h

p r o j e c t s i t ' s a w e l l k n o w f a c t t h a t c h i l d r e n s t r u g g l e w i t h m u l t i d i g i t n u m b e r

c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s . C h i l d r e n ' s u n d e r s t a n d i n g o f m u l t i d i g i t n u m b e r s

a n d t h e i r c o m p u t a t i o n a l s k i l l s a r e r e l a t e d ( H i e b e r t & W e a r n e , 1 9 9 6 ) .

S o f a r l o t o f r e s e a r c h h a s b e e n d o n e i n t h i s a r e a . T h e s e s t u d i e s c a n b e

g r o s s l y d i v i d e d i n t o f o l l o w i n g c a t e g o r i e s

A ] C h i l d r e n ' s m u l t i u n i t c o n c e p t u a l s t r u c t u r e s f o r m u l t i d i g i t

n u m b e r s

U n d e r s t a n d i n g o f m u l t i d i g i t n u m b e r a n d c o n s t r u c t i n g i t ' s m e a n i n g i s a p r o -

l o n g e d p r o c e s s , i t s t a r t s w h e n c h i l d e n t e r s s c h o o l , e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h -

e m a t i c s t a u g h t i n c l a s s r o o m s h e l p c h i l d t o d e v e l o p m u l t i d i g i t c o n c e p t i o n .

I n t e r a c t i o n w i t h t e a c h e r , l a n g u a g e i n c l a s s r o o m , p r o b l e m s s o l v e d h e l p c h i l d

i n t h i s p r o c e s s . U s e o f d i e r e n t s u p p o r t o b j e c t s ( b a s e - t e n b l o c k , M o n t e s s o r i

c a r d s e t c ) i s v e r y i m p o r t a n t , a s c h i l d u s e t h e s e o b j e c t s a s a s u p p o r t f o r

1


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v i s u a l i z a t i o n i n m u l t i d i g i t a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a t e a r l y s t a g e o f d e -

v e l o p m e n t ( H i e b e r t e t a l , F u s o n , F r a i v i l l i g & B u r g h a r d t , 1 9 9 2 ; H i e r b e r t e t a l ,

1 9 9 7 ) .

F u s o n e t a l ( 1 9 9 0 ) e x p l a i n s d e v e l o p m e n t a l s e q u e n c e o f c o n c e p t u a l s t r u c t u r e

i n d e t a i l , t h e y h a v e i d e n t i e d v e d i e r e n t c o r r e c t c o n c e p t i o n s o f m u l t i d i g i t

n u m b e r s t h a t c h i l d r e n u s e . T h e y c a l l i t U D S S I m o d e l ,

1 ] U n i t a r y m u l t i d i g i t c o n c e p t i o n :

Q u a n t i t i e s a r e n o t d i e r e n t i a t e d i n t o F o r 1 5 d o u g h n u t s , 1 i s r e l a t e d t o t e e n

i n t o g r o u p i n g s a n d n u m b e r w o r d s . f t e e n a n d q u a n t i t i e s a r e n o s e p a r a t e d

i n t o 1 0 d o u g h n u t s a n d 5 d o u g h n u t s .

2 ] D e c a d e - a n d - o n e s c o n c e p t i o n :

C h i l d r e n b e g i n t o s e p a r a t e t h e d e c a d e s a n d t h e w o r d p a r t o f n u m b e r s a n d

t r y t o r e l a t e e a c h p a r t s e p a r a t e l y t o t h e q u a n t i t i e s t o w h i c h i t r e f e r s . e . g . 5 0

t o f t y o b j e c t s a n d 3 t o t h r e e o b j e c t s . C h i l d r e n t r y t o l i n k t h e d e c a d e s a n d

o n e s p a r t s o f a n u m b e r T y p i c a l e r r o r b y s t u d e n t s : t h e y w r i t e 5 0 3 a s t h e y

h e a r f t y t h r e e .

3 ] S e q u e n c e - t e n s - a n d - o n e s c o n c e p t i o n :

C h i l d r e n c o n s t r u c t a s e q u e n c e - t e n s - a n d - o n e s c o n c e p t i o n , i n w h i c h e a c h d e c a d e

i s s t r u c t u r e d i n t o g r o u p s o f t e n s . T h i s r e q u i r e s s k i l l o f b e i n g a b l e t o c o u n t

b y t e n s .

4 ] S e p a r a t e - t e n s - o n e s c o n c e p t i o n :

C h i l d b e g i n s t o t h i n k o f t w o d i g i t q u a n t i t i e s a s c o m p r i s i n g t w o s e p a r a t e k i n d s

o f u n i t s - u n i t s o f t e n s a n d u n i t s o f o n e .

5 ] I n t e g r a t e d s e q u e n c e - s e p a r a t e t e n s c o n c e p t i o n :

C h i l d c a n s w i t c h b e t w e e n t w o u n i t s r a p i d l y ( i . e . u n i t s o f t e n s a n d u n i t s o n e s ) .

C o n c a t e n a t e d s i n g l e - d i g i t c o n c e p t i o n :

E v e n w h e n c h i l d r e n h a v e o n e o f t h e a d e q u a t e m u l t i d i g i t c o n c e p t i o n s a n d

u s e t h i s c o n c e p t i o n t o a d d o r s u b t r a c t n u m b e r s m e a n i n g f u l l y a n d a c c u r a t e l y

w h e n t h e s e a r e p r e s e n t e d i n a w o r d p r o b l e m o r h o r i z o n t a l l y , t h e y m a y u s e

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3/5

s i n g l e d i g i t c o n c e p t i o n f o r t h e s a m e c o m p u t a t i o n p r e s e n t e d v e r t i c a l l y a n d

m a k e e r r o r . ( C o b b & W h e a t l e y , 1 9 8 8 ; D a v i s , 1 9 8 4 )

B ] P r o b l e m s c h i l d r e n f a c i n g

E u r o p e a n c h i l d r e n f a c e r e l a t i v e l y m o r e p r o b l e m i n l e a r n i n g m u l t i d i g i t n u m -

b e r c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s b e c a u s e o f t h e l a n g u a g e ( E n g l i s h , I t a l i a n ) t h e y

u s e . E u r o p e a n n u m b e r w o r d s r e q u i r e s o m e d e c a d e c o n c e p t i o n , a n d t h e w r i t -

t e n m a r k s r e q u i r e s o m e c o n c e p t i o n o f s e p a r a t e t e n s a n d o n e s ( F u s o n e t a l ,

1 9 9 7 ) . I f e e l s a m e p r o b l e m e x i s t s i n I n d i a n v e r n a c u l a r l a n g u a g e s l i k e D e -

v a n a g a r i a n d M a r a t h i .

C h i l d r e n s p e a k i n g C h i n e s e - b a s e d n u m b e r w o r d s t h a t a r e r e g u l a r a n d

n a m e t h e t e n s h a v e a m u c h e a s i e r t a s k ( M i l l e r , 1 9 9 0 ; M i l l e r , A g n o l i , & Z h u ,

1 9 8 9 ; M i l l e r & S t i g l e r , 1 9 8 7 ) . E v e n f e w l a n g u a g e s i n I n d i a n t o o h a v e r e g u l a r

n u m b e r w o r d s l i k e t h a t o f C h i n e s e - b a s e d n u m b e r w o r d s .

F o r t u n a t e l y s a m e p r o b l e m i s n o t w i t h t h e n u m b e r o f m u l t i u n i t o f h u n -

d r e d s o r t h o u s a n d , t h e s e n u m b e r s a r e o r d i n a r i l y f o l l o w e d b y t h e w o r d h u n -

d r e d o r t h o u s a n d ( e . g . , 7 5 0 0 i s s a i d a s s e v e n t h o u s a n d v e h u n d r e d ) . S o m e

E u r o p e a n l a n g u a g e s s u c h a s S p a n i s h d o h a v e s o m e i r r e g u l a r i t i e s . T h e s e

i r r e g u l a r i t i e s m a y m a k e i t m o r e d i c u l t f o r c h i l d r e n t o l e a r n ( F u s o n e t a l ,

1 9 9 7 ) .

F o u r - d i g i t n u m b e r s i n E n g l i s h a r e s o m e t i m e s r e a d a s 2 - d i g i t n u m b e r s ,

e . g . , d a t e s a r e a l w a y s r e a d i n t h i s w a y ( 1 9 1 8 i s r e a d a s n i n e t e e n e i g h t e e n ) .

I t m a y h e l p i n m e m o r i z i n g n u m b e r s b u t i t d o c r e a t e s c o n f u s i o n i n c h i l d ' s

m i n d . ` - ' b e t w e e n t w o d a t e s i n t i m e s e r i e s ( 1 8 5 7 - 1 9 4 7 ) a l s o c o n t r i b u t e s t o

c o n f u s i o n .

C ] I n v e n t e d s t r a t e g i e s f o r m u l t i d i g i t o p e r a t i o n s

T h e r e i s m o u n t i n g e v i d e n c e t h a t c h i l d r e n b o t h i n a n d o u t o f s c h o o l c a n

c o n s t r u c t m e t h o d s f o r a d d i n g a n d s u b t r a c t i n g m u l t i d i g i t n u m b e r s w i t h o u t

e x p l i c i t i n s t r u c t i o n i n s p e c i c p r o c e d u r e s ( C a r p e n t e r & F e n n e m a , 1 9 9 2 ; C a r -

r a h e r , C a r r a h e r , & S c h l i e m a n n , 1 9 8 7 ; C o b b & W h e a t l e y , 1 9 8 8 ; F u s o n &

B u r g h a r d t , 1 9 9 3 ; H i e b e r t & W e a r n e , 1 9 9 6 ; K a m i i , 1 9 8 9 ; L a b i n o w i c z , 1 9 8 5 ;

N u n e s , 1 9 9 2 ; O l i v i e r , M u r r a y , & H u m a n , 1 9 9 0 ; S a x e , 1 9 8 8 ) .

C h i l d r e n e m p l o y a n u m b e r o f s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g m u l t i d i g i t p r o b l e m s a t

v a r y i n g l e v e l s o f s o p h i s t i c a t i o n . M a n y o f t h e s e s t r a t e g i e s a r e c o n s t r u c t e d b y

c h i l d r e n i n d i v i d u a l l y o r c o l l e c t i v e l y , w i t h o u t d i r e c t i n s t r u c t i o n b y t h e t e a c h e r

( F u s o n e t a l . , 1 9 9 7 ) .

3


4/5

S o m e o f t h e s e i n v e n t e d s t r a t e g i e s ( F o r a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n ) a r e a s

f o l l o w s : E x : F i n d i n g t h e s u m 3 8 + 2 6

S e q u e n t i a l :

T h i r t y a n d t w e n t y i s f t y a n d t h e e i g h t m a k e s f t y - e i g h t . T h e n s i x m o r e i s

s i x t y - f o u r .

C o m b i n i n g u n i t s s e p a r a t e l y :

T h i r t y a n d t w e n t y i s f t y , a n d e i g h t a n d s i x i s f o u r t e e n . T h e t e n f r o m t h e

f o u r t e e n m a k e s s i x t y s o i t ' s s i x t y - f o u r .

C o m p e n s a t i n g :

T h a t ' s l i k e f o r t y a n d t w e n t y - f o u r , a n d t h a t ' s s i x t y - f o u r . ( S i m i l a r s t r a t e g i e s

a r e u s e d f o r s u b t r a c t i o n s ) .

T h e r e a r e m a n y o t h e r s t r a t e g i e s a l s o , l i k e

S p l i t s t r a t e g i e s

S a m e a s ` C o m b i n i n g u n i t s s e p a r a t e l y '

J u m p s t r a t e g i e s

C o u n t i n g u p o r d o w n t h e t e n s a n d t h e u n i t s o f t h e s e c o n d i n t e g e r f r o m t h e

r s t u n - s p l i t i n t e g e r ( 3 8 + 2 6 = . ; 3 8 + 2 0 = 5 8 ; 5 8 + 6 = 6 4 )

V a r y i n g s t r a t e g i e s

I n v o l v i n g t h e a d a p t a t i o n o f t h e n u m b e r s a n d o p e r a t i o n s i n t h e s u m o n t h e

b a s i s o f o n e ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e n u m b e r r e l a t i o n s a n d t h e p r o p e r t i e s o f

o p e r a t i o n s , l i k e i n t h e c o m p e n s a t i o n ( 3 8 + 2 6 = . ; 4 0 + 2 6 - 2 = 6 6 - 2 = 6 4 ) .

I n v e n t e d s t r a t e g i e s a n d s t a n d a r d a l g o r i t h m s d i e r f r o m e a c h o t h e r i n f e w

a s p e c t s , s t a n d a r d a l g o r i t h m s a r e e v o l v e d o v e r c e n t u r i e s f o r e c i e n t a n d a c -

c u r a t e c a l c u l a t i o n s . B u t t h i s v e r y a s p e c t i s m i s s i n g i n s c h o o l b o o k s , w h e r e a s

i n v e n t e d s t r a t e g i e s a r e d i r e c t l y d e r i v e d f r o m u n d e r l y i n g m u l t i d i g i t c o n c e p t s .

R e s e a r c h s h o w s t h a t s t u d e n t s t h o s e w h o u s e s t r a t e g i e s b e f o r e t h e y l e a r n e d

s t a n d a r d a l g o r i t h m s d e m o n s t r a t e b e t t e r k n o w l e d g e o f b a s e - t e n n u m b e r c o n -

c e p t s a n d w e r e m o r e s u c c e s s f u l i n e x t e n d i n g t h e i r k n o w l e d g e t o n e w s i t u -

a t i o n s t h a n w e r e s t u d e n t s w h o r s t l e a r n e d s t a n d a r d a l g o r i t h m s ( C a r p e n t e r

T . e t a l , 1 9 9 8 ) .

4


5/5

I f e e l i n a b o v e a l l c a s e s e n o u g h f r e e d o m i s g i v e n c h i l d r e n t o u s e m u l t i p l e

a p p r o a c h / s t r a t e g i e s , c a s e i s n o t s a m e i n I n d i a n s c e n a r i o , i t i s n o t k n o w n o r

I h a v e n ' t c o m e a c r o s s a n y r e s e a r c h o n w h e t h e r t h e s a m e s t r a t e g i e s a r e u s e d

o r n o t , o r s o m e o t h e r s t r a t e g i e s u s e d .

R e f e r e n c e s

F u s o n , K . C . , W e a r n e , D . , H i e b e r t , J . , M u r r a y , H . , H u m a n , P . , O l i v i e r ,

A . , C a r p e n t e r , T . , & F e n n e m a , E . ( 1 9 9 7 ) . C h i l d r e n ' s c o n c e p t u a l s t r u c t u r e s

f o r m u l t i d i g i t n u m b e r s a n d m e t h o d s o f m u l t i d i g i t a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n .

J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 8 , 1 3 0 - 1 6 2 .

F u s o n , K . C . ( l 9 9 2 b ) . R e s e a r c h o n w h o l e n u m b e r a d d i t i o n a n d s u b t r a c -

t i o n . H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , I n D . A .

G r o u w s ( E d . ) , R e s t o n , V e r g i n i a : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t -

i c s , ( p p . 2 4 3 - 2 7 5 ) .

H i e b e r t , J . , & W e a r n e , D . ( 1 9 9 6 ) . I n s t r u c t i o n , u n d e r s t a n d i n g , a n d s k i l l i n

m u l t i d i g i t a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . C o g n i t i o n a n d I n s t r u c t i o n , 1 4 , 2 5 1 - 2 8 4 .

T h o m a s P . C a r p e n t e r , M e g a n L . F r a n k e , V i c t o r i a R . J a c o b s , E l i z a b e t h

F e n n e m a , S u s a n B . E m p s o n , ( J a n . , 1 9 9 8 ) . A L o n g i t u d i n a l S t u d y o f I n v e n -

t i o n a n d U n d e r s t a n d i n g i n C h i l d r e n ' s M u l t i d i g i t A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n .

J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n V o l . 2 9 , N o . 1 , p p . 3 - 2 0

T o r b e y n s , J . , V a n d e r v e k e n , L . , V e r s c h a e l , L . & G h e s q u i e r e , P . ( 2 0 0 6 ) .

A d a p t i v e e x p e r t i s e i n t h e n u m b e r d o m a i n 2 0 - 1 0 0 . I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r

t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , V o l . 5 , p p . 2 8 9 - 2 9 6 .

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