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Sachverzeichnis

! =, 9N, 2Q, 2R, 2Z, 2←, 6*, 30++, 13, 42+=, 39--, 42<, 9<<, 8, 37<=, 9==, 9>, 9>=, 9>>, 8%, 10&, 28//, 7#include, 8\n, 8

Aa/b, 10Abbildung, 2Abbruchkriterium, 72Abstand, 98, 130abzählbare Menge, 3Addition, 45adjazenter Knoten, 76

Adjazenzlisten, 88Adjazenzmatrix, 87Äquivalenzklassen, 33Äquivalenzrelation, 33, 78Alchwarizmi, Mohammed ibn Musa, 1algorithm, 65, 109Algorithmische Mathematik, 2Algorithmus, 1

eine Funktion berechnender, 11numerisch stabiler, 69polynomieller, 135randomisierter, 114streng polynomieller, 135terminierender, 11

Allgemeines Sortierproblem, 104Alphabet, 3and, 9Anweisung in C++, 7Approximationsalgorithmus, 140Äquilibrierung, 168Arboreszenz, 82Arithmeum, 34Array, 83Artikulationsknoten, 79Assoziativgesetz, 60asymptotische Laufzeit, 11aufspannender Teilgraph, 77augmentierender Weg

M-, 140f -, 143

Augmentierung, 144

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018S. Hougardy und J. Vygen, Algorithmische Mathematik,https://doi.org/10.1007/978-3-662-57461-4

173

174 Sachverzeichnis

Ausdruck, 9Ausgabe, korrekte, 3Ausgangsgrad, 76Auslöschung, 66äußeres Produkt, 150auto, 42azyklischer Digraph, 100a-posteriori-Schranke, 64a-priori-Schranke, 64

Bbabylonisches Wurzelziehen, 70Basiskonverter, 27Baum, 80begin(), 42Beliebig große ganze Zahlen, 40Bellman, Richard, 135benachbarter Knoten, 76Berechnungsproblem, 3

diskretes, 3, 13eindeutiges, 3numerisches, 3

bereichsbasiertes for, 42Berge, Claude, 140Betragsdarstellung, 31Betragssummennorm, 163BFS, 97Bias-Darstellung, 56Bijektion, 2bijektive Funktion, 2Binärbaum, vollständiger, 116Binärdarstellung, 25, 27Binärheap, 116binäre Suche, 64

diskret, 65binary_search, 65bipartiter Graph, 99bipartiter Matching-Algorithmus, 141Bipartition, 99Bit, 25Blatt, 80, 82bool, 9Branching, 82break, 130Breitensuche, 97Brücke, 79Bubblesort, 110Bucketsort, 110

Byte, 25b-adische Darstellung

natürlicher Zahlen, 26reeller Zahlen, 54

b-Komplement, 31b-Komplementdarstellung, 32

CC++, 1, 5

Programm, 7C-style strings, 90Call

by reference, 28, 30by value, 28

Cantor, Georg, 18Cantors Diagonalbeweis, 18catch, 38char, 90Charakterisierung, gute, 100Church, Alonzo, 4cin, 8class, 34clock(), 108clock_t, 108CLOCKS_PER_SEC, 108Code, 29Collatz-Folge, 19, 20Collatz, Lothar, 20Collatz-Problem, 20Compiler, 4Computerprogramm, 2const, 29Containertypen, 42cout, 8cstdlib, 108ctime, 108

DDantzig, George, 145Darstellung, b-adische

natürlicher Zahlen, 26reeller Zahlen, 54

Datenfehler, 63Datenstruktur, 83dec, 29default_random_engine, 108Definition einer Variablen, 9

Sachverzeichnis 175

Definitionsbereich, 2delete, 85Destruktor, 35Determinante, 149, 150Dezimaldarstellung, 25DFS, 96Diagonalbeweis von Cantor, 18diagonaldominante Matrix, 169Diagonalmatrix, 154, 168Differenz, symmetrische, 78Digraph, 75

azyklischer, 100stark zusammenhängender, 81zusammenhängender, 81

Dijkstra, Edsger, 130Dijkstras Algorithmus, 127, 130disjunkte Vereinigung, 78diskretes Berechnungsproblem, 3Distributivgesetz, 60Divide-and-Conquer, 111Division, 47, 72

ganzzahlige, 10do while, 21double, 9, 59Dreiecksmatrix

normierte, 151obere, 151untere, 151

EEdmonds, Jack, 146, 158Edmonds-Karp-Algorithmus, 147eindeutiges Berechnungsproblem, 3einfacher Graph, 75einfacher Primzahltest, 10Eingangsgrad, 76Einheitsmatrix, 150Einheitsvektor, 150else-Teil

in C++, 14in Pseudocode, 10

end(), 42Endknoten, 76, 77endliche Menge, 3enthaltener Graph, 77entscheidbares Problem, 19Entscheidungsproblem, 3, 7eps, 58

Eratosthenes, 15erreichbarer Knoten, 78Euklid, 48Euklidischer Algorithmus, 2, 48, 49

Ffalse, 9Fehler

absoluter, 58relativer, 58

Fehlerfortpflanzung, 66Fehlertheorie, linearisierte, 167Fibonacci, Leonardo, 49Fibonacci-Zahlen, 49FIFO-Speicher, 85float, 57Fluss

maximaler, 142s-t-, 142

Fluss-Problem, 142Flusserhaltungsbedingung, 142for

Anweisungin C++, 14in Pseudocode, 10

bereichsbasiertes, 42Ford-Fulkerson-Algorithmus, 145Ford, L.R., jr., 135, 145FPU, 57Frobenius, Ferndinand Georg, 141Fulkerson, D.R., 145Funktion, 2

bijektive, 2in C++, 13injektive, 2rekursive, 28surjektive, 2

Funktionsparameter, 13

GGauß, Carl Friedrich, 151Gauß-Elimination, 2, 151, 155

rückwärtsstabile Phase, 162Gauß-Jordan-Verfahren, 154Gaußklammer, 10gegenläufige Kante, 143Gewicht, 123

176 Sachverzeichnis

ggT, 48Gleichungssystem, lineares, 149Gleitkommadarstellung, normalisierte, 55Gleitkommazahl, normalisierte, 55globale Variable, 28Goldbachsche Vermutung, 22Goldener Schnitt, 51Grad, 76Graph, 75

bipartiter, 99einfacher, 75enthaltener, 77gerichteter, 75inklusionsmaximaler, 79inklusionsminimaler, 79kantendisjunkter, 78knotendisjunkter, 78regulärer, 147ungerichteter, 75unzusammenhängender, 79vollständiger, 99

bipartiter, 99zugrundeliegender ungerichteter, 81zusammenhängender, 79

Graphen, 90Graphendurchmusterung, 95Greedy-Algorithmus, 124größter gemeinsamer Teiler, 48gut konditioniert, 68gute Charakterisierung, 100

HHaltefunktion, 19Halteproblem, 19Hamiltonkreis, 136Harmonische Zahlen, 36Hash-Tables, 120Headerdatei, 39Heap, 29, 115, 116

binärer, 115Heapordnung, 115Heapsort, 119Heiratssatz, 141Held, Michael, 135Heron von Alexandria, 70hex, 29Hexadezimaldarstellung, 27

Hoare, Antony, 112Horner-Schema, 26

IIEEE-Standard, 56if-Anweisung

in C++, 14in Pseudocode, 10

Implementieren, 5include, 8Induktion

über f , 26vollständige, 26

Induktionsanfang, 26Induktionsschritt, 26Induktionsvoraussetzung, 26induzierte Norm, 165induzierter Teilgraph, 77injektive Funktion, 2inklusionsmaximaler Graph, 79inklusionsminimaler Graph, 79innerer Knoten, 77inneres Produkt, 150Instanz eines Problems, 3int, 9, 34Intervallarithmetik, 69Invariante, 99Inverse, 150inverse Matrix, 149inzidenter Knoten, 76Inzidenzmatrix, 87iomanip, 109iostream, 8Iterator, 42, 105

JJarník, Vojtech, 126

KKante, 75

beginnt in, 76endet in, 76gegenläufige, 143geht von … nach…, 76inzidente, 76parallele, 75

Sachverzeichnis 177

kantendisjunkte Kreise, 78kantendisjunkte Graphen, 78Kantengewicht, konservatives, 133Kantenzug, 77

geschlossener, 77Kapazität, 142, 143Karatsuba, A.A., 46Karatsubas Algorithmus, 46Karp, Richard, 135, 146kartesisches Produkt, 2kaufmännische Rundung, 57kgV, 48Kind, 82Klasse, 34kleinstes gemeinsames Vielfaches, 48Kn , 99Kn,m , 99Knoten, 75

adjazenter, 76benachbarter, 76erreichbarer, 78innerer, 77inzidenter, 76

knotendisjunkte Graphen, 78kombinatorische Optimierung, 123Kommandozeilenparameter, 90Kommentare in C++, 7Kommutativgesetz, 60Komplement eines Graphen, 102Komplementdarstellung, 31komplexe Zahl, 53Kondition, 165

absolute, 68einer Matrix, 166relative, 67

König, Dénes, 99, 140konservatives Kantengewicht, 133Konstante, 29Konstruktor, 35Konvergenz, lineare, 71Konvergenz, quadratische, 71Konvergenzordnung, 71korrekte Ausgabe, 3Kosten, 123Kreis, 77

ungerader, 99Kruskal, Joseph, 124Kruskals Algorithmus, 124Kürzen von Brüchen, 48

Kürzeste-Wege-Baum, 131Kürzeste-Wege-Problem, 130

L�1-Norm, 163�∞-Norm, 163Lambda-Kalkül, 4Landau-Symbole, 11, 88Länge

eines Kreises, 78eines Teilgraphen, 123eines Weges, 78, 130eines Wortes, 3

Laplacescher Entwicklungssatz, 150Laufzeit, 11

asymptotische, 11lineare, 96polynomielle, 135

leere Menge, 3leeres Wort, 3LIFO-Speicher, 85limits, 20Lineare Gleichungssysteme, 149lineare Konvergenz, 71lineare Laufzeit, 96Lineares Programm, 147linearisierte Fehlertheorie, 167Liste, 84

doppelt verkettete, 84einfach verkettete, 84von Primzahlen, 14

ln, 11localtime, 108log, 11long, 34long double, 57long long, 20, 34Lösung, optimale, 123Lösung, zulässige, 123LU-Zerlegung, 154

teilpivotisiert, 155voll pivotisiert, 154

Mmain, 7Manhattannorm, 163Mantisse, 56

178 Sachverzeichnis

map, 120Maschinencode, 4Maschinengenauigkeit, 58Maschinenzahl, 56Maschinenzahlbereich, 56Matching, 139

perfektes, 139überdeckter Knoten, 140

Matching-Algorithmus, bipartiter, 141Matching-Problem, 139Matrix

diagonaldominante, 169inverse, 149nichtsinguläre, 150singuläre, 150

Matrixnorm, 163submultiplikative, 163verträgliche, 163

max, 20Max-Flow-Min-Cut-Theorem, 145maximaler Graph, 79Maximumnorm, 163Median, 114Menge

abzählbare, 3endliche, 3leere, 3maximale, 79minimale, 79überabzählbare, 3unendliche, 3

Mergesort, 111minimaler Graph, 79minimum spanning tree, 124Minimum-Spanning-Tree-Problem, 123mod, 10Modellfehler, 64Moore-Bellman-Ford-Algorithmus, 133Moore, E.F., 135MST, 124Multiplikation, 46

gut konditionierte, 68

NNachbar, 76Nachbarschaft, 76Nachiteration, 166NaN, 56

Netzwerk, 142Neumann, John von, 112new, 85Newton, Isaac, 70Newton-Verfahren, 70nichtsinguläre Matrix, 150, 151Norm, 163

induzierte, 165normalisierte Gleitkommazahl, 55normierte Dreiecksmatrix, 151not, 9NP, 136Null-Pointer, 84nullptr, 84Nullstelle, 70numeric_limits, 20, 57numerisch stabiler Algorithmus, 69numerisches Berechnungsproblem, 3

OO-Notation, 11, 88obere Dreiecksmatrix, 151oct, 29Oktaldarstellung, 27�-Notation, 11, 88operator, 35Operatoren in C++, 9, 35optimale Lösung, 123Optimierung, kombinatorische, 123or, 9Orakel, 64Ordnung

partielle, 103durch Schlüssel induzierte, 110

topologische, 100totale, 103

Orientierung, 81ostream, 37Outputoperator, 8

PP, 136P = NP, 136parallele Kante, 75Parameter einer Funktion, 13partielle Ordnung, 103

durch Schlüssel induziert, 110

Sachverzeichnis 179

Partition, 33perfektes Matching, 139Permutation, 104Permutationsmatrix, 154Petersen, Julius, 140Pivotelement, 156Pivotisierung, partielle, 156Pointer, 29polynomielle Laufzeit, 135polynomieller Algorithmus, 135pop_back, 85Potenzmenge, 21Prim, 8Prim, Robert, 126Primfaktorzerlegung, 16Prims Algorithmus, 126, 127Primzahl, 7Primzahltest, 8

einfacher, 10, 12Primzahlzwilling, 22Prioritätswarteschlange, 115private, 35Problem, gut konditioniertes, 68Produkt

inneres, 150kartesisches, 2

Produkt, äußeres, 150Programm, 5

implementieren, 5lineares, 147

Programmiersprache, 4Pseudo-Zufallszahlen, 109Pseudocode, 5, 10public, 35push_back, 41

QQuadrat einer Zahl, 6quadratische Konvergenz, 71Quadratwurzel, 64, 70Quelle, 142Quersumme, 44Queue, 85queue, 86Quicksort, 112, 113

Rrand(), 108RAND_MAX, 108random, 108random access, 83Random-Quicksort, 114randomisierter Algorithmus, 114Rang, 149, 150range, 57Rationale Zahlen, 36rbegin(), 42reelle Zahlen, 53Referenz, 28regulärer Graph, 147rekursive Funktion, 28Relation, 2rend(), 42Residualgraph, 143Residualkapazitäten, 143Residuenvektor, 166resize, 41Restklassenring, 33return, 13RSA, 16Rückwärtsanalyse, 69rückwärtsstabil, 162Rundung, 57Rundung, kaufmännische, 57Rundungsfehler, 4, 63runtime_error, 38

SSatz vom arithmetischen und geometrischen

Mittel, 71Schlüssel, 110Schnitt

goldener, 51s-t-, 143

Senke, 142setprecision, 59setw, 109short, 34Sieb des Eratosthenes, 2, 15, 16signifikante Stellen, 59singuläre Matrix, 150size(), 41sizeof, 34size_t, 34

180 Sachverzeichnis

sort, 109Sortieren

durch Einfügen, 110durch sukzessive Auswahl, 104, 106nach Schlüsseln, 110

Spaltensummennorm, 163Spaltenvektor, 150Sprache, 3, 8sqrt, 22Stabilität, 69Stack, 29, 85Standardbibliothek, 8, 17Standardskalarprodukt, 150stark zusammenhängender Digraph, 81Static, 30static, 39static_cast, 38std::, 8stdexcept, 38Stellen, signifikante, 59Streammanipulator, 29, 109streng polynomieller Algorithmus, 135string, 27, 28struct, 86Subdeterminante, 159Subgraph, 77submultiplikative Matrixnorm, 163subnormale Zahl, 56Subtraktion, 45Suchbaum, balancierter, 120Suche, binäre, 64

diskret, 65surjektive Funktion, 2swap, 37symmetrische Differenz, 78

TTeilbarkeitsrelation, 2Teiler, größter gemeinsamer, 48teilerfremde Zahlen, 48Teilgraph, 77

aufspannender, 77echter, 79induzierter, 77

Teilmenge, echte, 79Teilpivotisierung, 156template, 85Template-Parameter, 87

then-Teil in Pseudocode, 10�-Notation, 11, 88this, 43throw, 38Tiefensuche, 96time(), 108time_t, 108tm, 108topologische Ordnung, 100totale Ordnung, 103Transponieren, 150Traveling-Salesman-Problem, 136true, 9try, 38Turing, Alan, 4Turing-Maschine, 1, 4Typ einer Variablen, 9typename, 87

Uüberabzählbare Menge, 3überdeckter Knoten, 140Überlauf, 20, 34unendliche Menge, 3uniform_int_distribution, 108unordered_map, 120untere Dreiecksmatrix, 151Untergraph, 77using, 20

VVariable

globale, 28in C++, 9in Pseudocode, 6Typ, 9

vector, 17, 65Verbindung

Kante, 76Weg, 77

Vereinigung, disjunkte, 78Verfahrensfehler, 63verträgliche Matrixnorm, 163Vielfaches, kleinstes gemeinsames, 48virtual, 127void, 13vollständige Induktion, 26

Sachverzeichnis 181

vollständiger bipartiter Graph, 99vollständiger Graph, 99Vorgänger, 82Vorkonditionierung, 168Vorwärtsanalyse, 69Vorzeichendarstellung, 31

Wvan der Waerden, B.L., 140Wald, 80Weg, 77

augmentierenderM-, 140f -, 143

Wert, 142Wertebereich, 2what(), 38while-Anweisung in C++, 21Wilkinson, J.H., 161Wort, 3

leeres, 3

Wurzel, 82Wurzelziehen

babylonisches, 70

ZZahlen

harmonische, 36komplexe, 53reelle, 53subnormale, 56teilerfremde, 48

Zehnerkomplement, 32Zeichenkette, 3Zeilensummennorm, 163Zeilenvektor, 150Zertifikat, 136zugrundeliegender ungerichteter Graph, 81zulässige Lösung, 123Zusammenhangskomponente, 79

starke, 81Zweierkomplement, 32