Departamento de Matemtica Pura e Aplicada - UFRGSLista de Exerccios de Clculo Numrico

Prof. Joo Batista Carvalho

10 de maro de 2013

2

Captulo 1

Introduo ao Clculo Numrico - UFRGS

1.1 Matemtica Bsica e FundamentosExerccio 1.1.1 : Avaliando expresses numricas

Em Matemtica Numrica, identificar operaes ponto-flutuante invlidas, ou mesmooperaes ponto-flutuante vlidas, mas cuja resposta no faz sentido contextual, funda-mental para garantir a consistncia lgica dos procedimentos criados para soluo de pro-blemas. Avalie as expresses abaixo (y) para os valores x indicados, interpretando a respostadada pela ferramenta computacional escolhida. Complete a tabela com o valor encontradoou. caso a avaliao no faa sentido para o x pedido, escreva NaN (do ingls Not A Num-ber). Esse o momento para exercitar regras bsicas sobre ordem de prioridade na avaliao,e aplicabilidade (domnio) de operaes algbricas e transcendentes.

expresso x = 3 x = 0 x = 3

y =1

1 + x+ ln(1 + x)

y =x

1 + x2

y =x+ 2

cos(x)

y = |x|2/5 + (3x)1/3

y = x2e2x/5

y = 2x/3 + 5x/3

Exerccio 1.1.2 Avalie as expresses abaixo para o valor de x indicado

expresso x y

y =(x 3)(x 4)(x+ 3)(x+ 1)

1.4

y =xe2x

x+ 11.1

y =(3 x2)(1 + 2/x2)

x(x+ 1)0.9

y = cos(x2) + sin2(x) /2

y = 1 +3

2x3

Exerccio 1.1.3 : Potenciao no-inteira

Em uma mquina digital, potenciao no-inteira de um nmero real pode ser feita viaxr = exp(r ln(x)), onde o logaritmo natural ln() normalmente referido por log, e onmero de Euler. Essa a razo pela qual, na maioria das ferramentas computacionais, apotenciao invlida se a base (x) for negativo. Em Scilab, por exemplo, tal restrio noexiste, pois aritmtica de nmeros complexos sempre usada; entretanto, cuidado deve sertomado quando x negativo. Preencha e interprete.

3

4 CAPTULO 1. INTRODUO AO CLCULO NUMRICO - UFRGS

operao resultado operao resultado(2.1) (3.1) (-2.1)**(-3.00001)(2.1) (3.01) (-2.1)**(-3.000001)(2.1) (3.001) (-2.1)**(-3.0000001)(2.1) (3.0001) (-2.1)**(-3.0)

1.2 Tcnicas computacionais e algortmicasExerccio 1.2.1 : Mtodo, algoritmo e programa.

A atuao em Matemtica Numrica compreende 3 nveis, fases ou etapas:

Mtodo: a fundamentao matemtica para a soluo de um problema estabelecida;envolve equacionamentos e associao de variveis a grandezes fsicas relevantes a talsoluo.

Algoritmo: o caminho at a soluo do problema descrito como uma sucesso de sub-tarefas, em determinada ordem, e decises adequadas as respostas dessas sub-tarefas.A fundamentao lgica mais importante nesta etapa.

Programa: a sucesso de tarefas algortmicas implementada em uma mquina digital,atravs do uso de alguma linguagem de programao ou ambiente computacional.

Por procedimento, entendemos qualquer combinao entre as etapas acima.

PEDE-SE: considerando o problema de encontrar razes para a equao ax2+bx+c = 0,onde a 6= 0, descreva as 3 fases mencionadas acima.

Exerccio 1.2.2 : Mtodos Diretos versus Iterativos.

Em Matemtica Numrica, quando a soluo de um problema pode ser encontrada (cal-culada) aps um nmero finito de operaes em aritmtica de mquina, o mtodo (pro-cedimento) dito ser Direto. Ao contrrio, nos mtodos (procedimentos) Iterativos, umasequncia de aproximaes para a soluo, pretensamente cada vez melhores, gerada,cabendo ao prprio procedimento decidir (validar) quando uma soluo satisfatoria j foiencontrada, e ento a iterao pode parar.

Considere o problema de avaliar s =i=0

Li, onde L = 1/3.

s = 1 +1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243+

1

729+ . . .

Enquanto o mtodo direto indica a resposta s = 11 1/3 = 1.5, baseado em resultado cls-

sico sobre soma de progresses geomtricas decrescentes, o mtodo iterativo desenvolve-sebaseado nos experimentos a seguir:

(a) Calcule as somas progressivas sn =ni=0

Li, ou seja:

s0 = 1 s4 = 1 +1

3+

1

9+

1

27+

1

81

s1 = 1 +1

3s5 = 1 +

1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243

s2 = 1 +1

3+

1

9s6 = 1 +

1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243+

1

729

s3 = 1 +1

3+

1

9+

1

27s7 = 1 +

1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243+

1

729+

1

2187

e preencha a tabela abaixo (at a quinta casa decimal):n sn n sn n sn0 3 61 4 72 5 8

(b) Por outro lado, o que voc sabe sobre limn

sn ?(c) Mostre que essas quantidades satisfazem a recorrncia abaixo1 .{

s0 = 1

sn+1 = 1 +sn3, n = 0, 1, 2, 3, . . .

(d) use a parte (c) para avaliar a sequncia da parte (a) iterativamente, e calcule s20.

Exerccio 1.2.3 : Aproximao de Pi via Srie de Leibniz.

Em Matemtica Numrica, um mtodo Determinstico se, fixados os dados de um pro-blema, e a mquina que ir resolv-lo, os resultados sempre sero os mesmos. Por outrolado, nos mtodos Probabilsticos, mesmo fixando os dados e a mquina, os resultados sodiferentes a cada execuo. Por exemplo2, uma estratgia Determinstica para a aproxima-o da constante , baseia-se em um resultado bastante conhecido do Clculo Diferencial:

Arctan(x) = x x3

3+x5

5 x

7

7+x9

9+ . . .+ , x [1, 1]

1no caso geral, mostre que seria sn+1 = 1 + L sn2veja http://www.mat.ufrgs.br/carvalho/mat01169/calc_pi1 para exemplo de estratgia probabilstica

1.2. TCNICAS COMPUTACIONAIS E ALGORTMICAS 5

o que ento implica

4= Arctan(1) = 1 1

3+

1

5 1

7+

1

9+ . . .+

Para um inteiro n dado, seja sn o valor da soma dos n primeiros termos da srie doarctan(1), multiplicado por 4. Preencha a tabela, usando Scilab ou outro recurso com-putacional.

n sn n sn5 10

15 20

Exerccio 1.2.4 :Aproximao de Pi por um mtodo iterativo usando trigonometria

Uma estratgia matematicamente muito simples para aproximar consider-lo comosemi-permetro de uma circunferncia de raio r = 1, que pode ento ser aproximado usandosemi-permetros n de polgonos regulares Pn de n lados, ao n crescer.

1

1

n = 4 n = 5

n = 6 n = 7

1 1

(a) Sendo an a dimenso da aresta de Pn, mostre que an/2 = sen (180o/n) e n = n an/2.Escreva como o limite de uma expresso ao n.

(b) O desafio que temos avaliar as frmulas acima sem conhecer o prprio valor de .Para isso, sabemos que sen (/2) = 1, cos(/2) = 0, e podemos calcular recursivamentesen (/4), sen (/8), sen (/16), sen (/32) e assim por diante usando (trigonometria):

sin(u/2) =

1 cos(u)

2, cos(u/2) =

1 + cos(u)

2

e ento aproximar via limite pk do semi-permetro de polgonos regulares de n = 2klados.

Seja sk = sen( 2k

), ck = cos

( 2k

), onde sabido que s2 = c2 =

2/2. Encontre

uma recurso entre essas quantidades e use-a para aproximar iterativamente em ambienteScilab. Preencha a pequena tabela abaixo para melhor compreenso.

k ck sk pk = 2k2 0.7071068 0.7071068 2.8284271345678

Exerccio 1.2.5 : Potenciao Inteira

Em uma mquina digital, estratgia especial usada para avaliar xn usando muito menosdo que os n 1 produtos da estratgia mais intuitiva. Um bom exemplo x8, que pode seravaliado usando apenas 3 produtos: x x x x2 x2 x4 x4. Leia mais sobre issoem estudo disponibilizado na pgina de internet da turma 3, e preencha as tabelas abaixo,para x13 e x11 respectivamente.

k y z13 1 x

k y z11 1 x

Exerccio 1.2.6 : Avaliao de polinmios, parnteses e o algoritmo de Horner

Sobre a avaliao computacional eficiente de polinmios y = anxn+ an1xn1 + . . .+a1x + a0 de coeficientes reais,onde x um nmero real, an real no-nulo, e n umnmero inteiro positivo, o algoritmo de Horner consiste em agrupar os termos da equaopolinomial, usando parnteses em uma expresso aninhada

y = a0 + x(a1 + . . .+ x(an3 + x(an2 + x(an1 + xan))) . . .)

3http://www.mat.ufrgs.br/carvalho/mat01169/avalia_pot

6 CAPTULO 1. INTRODUO AO CLCULO NUMRICO - UFRGS

Algoritmo Horner (n, (cn, . . . , c0), x)P1: bn an;P2: Para k = n, n 1, . . . , 2, 1 faa bk1 ak1 + x bk;Retorne b0;Essa estratgia de avaliao requer apenas 2n operaes ponto-flutuante, e no usa po-

tenciao. Portanto, uma benfeitoria bastante conhecida escrever polinmios na formaaninhada, para diminuir o nmero de operaes necessrias para sua avaliao. Em cadaum dos casos abaixo, re-escreva na forma aninhada:

(a) y = 3.2x4 2.1x3 + x2 3.2x+ 6.6(b) y = 3.2x6 + 2.3x3 + 3.2x2 + 2.6(c) y = x3 2.1 + 1.3x2 + 3.4x5

Exerccio 1.2.7 : Soluo de EDO por Srie de Potncias gera recurso.

Seja y(t) a soluo do problema de valor inicial (PVI){y + xy = 1y(0) = 1/3 , y(0) = 0

Mostre que uma expresso em Srie de Potncias na vizinhana de x = 0

y =n=0

anxn

implica uma relao recursiva, ou recurso, entre os coeficientes:{a0 = 1/3 , a1 = 0a2 = 1/2 , (n+ 2)(n+ 1)an+2 + an1 = 0, n = 1, 2, 3, . . .

Preencha a tabela abaixo at a quinta casa decimal

n an n an n an0 4 81 5 92 6 103 7 11

Exerccio 1.2.8 : Avaliao de Recurses

A tcnica de Integrao por Partes permite resolvermos

pn =

10

eaxxndx

reduzindo a integrais mais simples (potncia diminui) e assim por diante, at o ponto emque usamos o valor de p0 (determine-o).

(a) Objetivamente, mostre que pn satisfaz a expresso recursiva:pn+1 =

ea

a n+ 1

apn, n 0;

(b) usando a resposta da parte (a), para a = 2, use Scilab como calculadora, paracompletar a coluna pn da tabela abaixo

n pn qn0123456789

1011121314

(c) em Scilab, integrais definidas podem ser calculadas usando a funo intg. Descubracomo usar essa funo e use-a para verificar se os valores pn da tabela acima esto corretos,sendo qn o valor calculado de pn usando intg. O que est acontecendo com pn ?

1.3 Aritmtica de mquina, erros, preciso e exatidoExerccio 1.3.1 : Preciso na base decimal.

No computador, nmeros reais so representados usando um sistema de representaochamado sistema ponto flutuante. O sistema de uso consagrado segue o padro IEEE, de1985, considerado nas definies a seguir.

Um nmero ponto-flutuante no-nulo normalizado x em base 2 tem a forma:

x = (1)s0.1d2d3 . . . dp2E , di = 0 ou 1, 2 i p (1.1)ou seja, ele representado pelos p algarismos binrios (s, d2, d3, . . . , dp) e por uma potnciaE, tambm em binrio. De outra forma,

x = M2Eonde M a mantissa, E o expoente, p o parmetro de preciso. Pelo padro IEEE, oexpoente E pode ser qualquer nmero inteiro entre um mnimo L e um mximo U . Valoresrecomendados so

1.3. ARITMTICA DE MQUINA, ERROS, PRECISO E EXATIDO 7

preciso simples: p = 24, L = 126, U = 127 preciso dupla: p = 53, L = 1022, U = 1023.

No ambiente Scilab, preciso dupla adotada por padro. Uma vez que a base decimal a que compreendemos e vivenciamos, importante conhecermos a quantos algarismosdecimais (dgitos) corresponde o padro p = 53 em binrio. Usando format, em Scilab,podemos estabelecer quantos dgitos so mostrados na tela do computador.

PEDE-SE: Descubra como format funciona, e tambm o nmero mximo de casas sig-nificativas corretas que a mantissa de um nmero real preciso dupla pode ter, imprimindodzimas peridicas conhecidas na tela do Scilab.

Exerccio 1.3.2 : Perda da exatido por subtrao catastrficaErros computacionais de 2 fontes conhecidas so os mais preponderantes em MatemticaNumrica:

erros de arredondamento: ocorrem devido a limitaes da aritmtica de mquina(dentre as quais a prpria natureza finita da preciso p), e est presente mesmo nasoperaes mais bsicas como somar, subtrair, multiplicar e dividir.

erros de truncamento: ocorrem devido a complexidade de algumas operaes mate-mticas, que normalmente tm implicito algum processo de limite.

Um procedimento tanto mais exato quanto menos erros computacionais afastarem sua res-posta da resposta terica do problema. Uma situao onde erros de arredondamento podemprovocar substancial perda na exatido de uma resposta quando uma soma ponto-flutuanteacarreta subtrao de duas quantidades muito prximas uma da outra. Este fenmeno muitas vezes chamado subtrao catastrfica.

Considere a avaliao computacional de y =

1 + x2 1 para valores de x com mag-nitude muito pequena. Considere tambm a avaliao da expresso associada:

z =x2

1 + x2 + 1(a) Determine z a partir de y e mostre que essas quantidades, teoricamente, so iguais.(b) Complete a tabela abaixo usando notao cientfica (use format )

x y z101 4.98756211208895D-03 4.98756211208903D-03102

103

104

105

106

(c) Conclua que a expresso de y permite perda de exatido devido a subtrao catastrfica,ao passo que a expresso de z no sofre de problema semelhante, sendo um melhoramentoou benfeitoria para a expresso de y. De uma maneira geral, benfeitorias so obtidas atra-vs de manipulao algbrica nas expresses que tem problema de subtrao catastrfica,nas situaes onde tal possvel.

Exerccio 1.3.3 : Benfeitoria para Frmula de Bskara.Em vistas ao problema de perda de exatido por subtrao catastrfica, sabido que tal

problema existe na avaliao da Frmula de Bskara

x1,2 =bb2 4ac

2a,

no clculo da raz de menor magnitude, quando o produto ac prximo de zero, e entob2 4ac |b|. Por outro lado, sabida benfeitoria usa a propriedade que o produto das

razes x1 e x2 satisfaz x1x2 = c/a, e determina

x1 =b sgn(b)b2 4ac

2a, x2 =

c

ax1.

PEDE-SE: Dado um nmero real tal que 1/2 1/2 queremos calcular, comMXIMA exatido, as solues x1 e x2 de = x

1 + x2. Pede-se que voc indique (ex-

presso analtica) e calcule tais solues preenchendo a tabela abaixo no formato de notaocientfica (use format("e",20) em Scilab).

x1 x2101

102

103

104

105

106

107 9.9999999999999D+06 1.0000000000000D-07108

0 0

Exerccio 1.3.4 : Benfeitoria em ambiente ScilabPara a avaliao numrica, com maior exatido possvel, da expresso

z = cos2(h) 1 + sen (h),onde h um nmero real, benfeitoria necessria para remover possvel subtrao catas-trfica. Determine essa benfeitoria e use-a para completar a tabela abaixo, com a maiorexatido possvel. Em Scilab, use format("e",20) para melhor representao, no formato denotao cientfica.

8 CAPTULO 1. INTRODUO AO CLCULO NUMRICO - UFRGS

h z h z102 107

103 9.9899983366668E-04 108104 109

105 1010

106 1011 9.9999999999000E-12

Exerccio 1.3.5 : Benfeitoria em ambiente ScilabQueremos encontrar uma benfeitoria para remover possvel subtrao catastrfica da ex-

presso trigonomtrica z = tan(x) tan(x h2), onde h um nmero real.(a) Escrevendo a = x, b = x h2, e usando a frmula bem conhecida

tan(a b) = tan(a) tan(b)1 + tan(a) tan(b)

,

mostre que z = tan(h2)(1 + tan(x) tan(x h2)) uma possvel benfeitoria.(b) Complete a tabela abaixo usando Scilab

h digse(z, z) h digse(z, z) h digse(z, z)100 103 106

101 104 107

102 105 108

onde, sendo x uma aproximao de um nmero x,

digse(x, x) = log10(2|x x||x|

).

Exerccio 1.3.6 : Benfeitoria em ambiente ScilabUm resultado devido a Al-Kayhami (c. 1200 DC) nos diz que, se p3 + q2 0, ento a

equao x3 + 3px+ 2q = 0 tem uma nica raiz real r dada por

r = u v, onde u3 =p3 + q2 q, v3 =

p3 + q2 + q.

Subtrao catastrfica esperada quando p for pequeno. Proponha uma benfeitoria para re-mover esse problema, definindo uma expresso nova para uma quantidade r. Dica: dependedo sinal de q.

Sendo q = 3, complete a tabela abaixo em Scilab:

p digse(r, r) p digse(r, r) p digse(r, r)100 103 106

101 104 107

102 105 108

Exerccio 1.3.7 : Benfeitoria em ambiente ScilabSubtrao catastrfica esperada na avaliao, em aritmtica de mquina, da expressoy = 1 |1 x|3, nas situaes em que a magnitude de x pequena. Indique como avaliaressa expresso com mxima exatido, e preencha a tabela abaixo (use format("e",20) emScilab) usando sua estratgia

x y x y100 108

101 109

102 1010

103 1011

104 1012

105 1013

106 1014

107 1015

Exerccio 1.3.8 : Benfeitoria em ambiente ScilabSubtrao catastrfica esperada na avaliao, em aritmtica de mquina, da expressoy = 1 |1 p|3/2, nas situaes em que a magnitude de p pequena. Indique como avaliaressa expresso com mxima exatido, e preencha a tabela abaixo (use format("e",20) emScilab) usando sua estratgia

p y p y100 107

101 108

102 109

103 1010

104 1011

105 1012

106 1013

Exerccio 1.3.9 : Benfeitoria para aproximao de (a) No exerccio 1.2.4 voc obteve uma recurso, baseada em uma conhecida identidade

trigonomtrica, para a aproximao da constante por meio de uma sequncia pk = 2k ,n = 2, 3, 4, 5, . . .. Apesar de ser uma idia muito astuta, identifique nesta recurso umasubtrao catastrfica oriunda da avaliao de uma expresso da forma 1 cos(u) onde utem magnitude cada vez menor.

(b) Calculando as quantidades dk = digse(pk, ), mostre que a recurso do exerccio1.2.4, produz aproximaes de com no mais do que 9.11 digses de exatido, completandoa tabela abaixo. Use format("v",18) para melhor representao.

1.4. CONVERGNCIA VERSUS MEDIDA DO AUMENTO DA EXATIDO 9

k pk dk k pk dk11 3.141591421504635 6.10 1712 1813 1914 2015 21 3.14159655370482 5.6116 22

(c) Pedimos que voc proponha uma benfeitoria para a recurso do exerccio 1.2.4, apre-sentando uma nova expresso definindo uma quantidade pk, k = 2, 3, . . ., e preenchendo atabela abaixo, onde para dk = digse(pk, ).

k pk dk k pk dk11 3.1415914215112002 6.11 1712 1813 1914 2015 21 3.1415926535886194 12.12716 22

1.4 Convergncia versus medida do aumento da exatidoExerccio 1.4.1 : classificando o aumento da exatido

Mtodos iterativos convergentes podem ser classificados quanto rapidez com que suaconvergncia ocorre. Classicamente, para um mtodo que produz uma sequncia {xn} x, a resposta exata, dizemos que a ordem de convergncia p quando, para algum c 6= 0,

|xn x| c|xn1 x|p.Assim, classificamos a convergncia por:

linear: se p = 1; sublinear: se 0 < p < 1; superlinear: se p > 1, e ainda os casos particulares quadrtica, quando p = 2 e

cbica, quando p = 3.

Por outro lado, usando a medida logartmica da exatido

n = digse(xn1, xn) = log10(2|xn1 xn|

|xn|)

,

j considerando que x normalmente no conhecido a priori, sabemos que convergncia linear: equivale a n n + , onde o acrscimo da exatido por

iterao;

convergncia sublinear: equivale a ter um grfico n versus n voltado para baixo(abaixo de suas tangentes);

convergncia superlinear: equivale a ter um grfico n versus n voltado para cima(acima de suas tangentes);

com ateno para os casos particulares:

p = 2 equivale a ter n 2n1 + para algum 4; p = 3 equivale a ter n 3n1 + para algum 5;

para convergncia quadrtica e cbica, respectivamente.

PEDE-SE: analise e classifique a convergncia das seguintes sequncias. Encontre, ana-liticamente, o respectivo limite como expresso de u.

(a){

u = 11 , x0 = 1

xn+1 =u/xn , n = 0, 1, 2, 3, . . .

(b)

u = 13 , x0 = 1

xn+1 =2u/xn + xn

3, n = 0, 1, 2, 3, . . .

(c)

u = 17 , x0 = 1

xn+1 =2x3n + u

3x2n, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Exerccio 1.4.2 : Aumento da exatido: clculo de Pi segundo Hutton

A partir de uma idia proposta por Leibniz para melhorar o clculo de via Mtodo daSrie de Leibniz, Hutton (c. 1870 DC), props usar a relao:

1 =1/2 + 1/3

1 1/2 1/3 que implica

4= arctan

(1

2

)+ arctan

(1

3

).

Use esse mtodo para desenvolver uma recurso para o clculo de . Avalie os 20 primeirostermos dessa recurso, sua exatido, e ento classifique o mtodo quanto ao aumento daexatido. Como o aumento da exatido aqui se compara com o da Srie de Leibniz ?

4exatido em digses aproximadamente dobra de uma iterao para outra5exatido em digses aproximadamente triplica de uma iterao para outra

10 CAPTULO 1. INTRODUO AO CLCULO NUMRICO - UFRGS

Exerccio 1.4.3 : Aumento da exatido: clculo de Pi segundo Arquimedes

A idia de Archimedes (c. 200 AC) para o clculo de hoje traduz-se (Mtodo dasMdias) num procedimento baseado na seguinte recurso:

a1 = 33, b1 = 3

3/2

an+1 =2

1/an + 1/bn, bn+1 =

an+1bn , n = 1, 2, 3, . . .

Avalie os 20 primeiros termos dessa recurso em Scilab; defina xn = (an + bn)/2 e monteuma tabela (n, xn, digse(xn1, xn)) e ento classifique esse mtodo quanto ao aumento daexatido.

Exerccio 1.4.4 : Aumento da exatido: clculo de Pi segundo Wallis

O produto de Wallis (c. 1670 DC) para aproximar numericamente 4

=

9

8 2524 4948 8180

. . .(2n 1)2

(2n 2)(2n) . . ..

Use esse mtodo para desenvolver uma recurso para o clculo de . Avalie os 12 primeirostermos dessa recurso, sua exatido (considere x1 = 4, x2 = 4(8)/9 e assim por diante).Classifique esse mtodo quanto ao aumento da exatido.

Exerccio 1.4.5 : Aumento da exatido: inverso de um nmero

Um mtodo que pode ser usado para calcular o inverso de um nmero u (0, 1) dado escrever x = 1/u como

x =1

1 q = 1 + q + q2 + q3 + q4 + . . .

e ento aproximar x pelos termos parciais xn da soma da progresso geomtrica infinitaacima, que converge pois |q| = |1 u| < 1. Mostre que xn+1 = 1+ q xn. Para u = 0.67,encontre tal PG e calcule x0, x1, x2, . . . , x9 em Scilab, fazendo uma tabela (n, xn, n), onden a medida da exatido em digse. Classifique a convergncia.

Exerccio 1.4.6 : Aumento da exatido: avaliao de logaritmo natural

Um antigo resultado (C.W. Borchardt, 1881) estabeleceu o clculo de ln(x) usando oMtodo das Mdias: se x e y so positivos, ento a recurso

a1 =

x+ y

2; g1 =

xy

an+1 =an + gn

2; gn+1 =

an+1gn , n = 1, 2, 3, . . .

tal que o limite comum de {an} e {gn} a quantidade6 L(x, y) = x yln(x) ln(y) . Dessa

forma, fazendo y = 1, temos que n =x 1an

ln(x). Para x = 2.34, avalie essa recurso,fazendo uma tabela (n, n, n), onde n a medida da exatido em digse. Classifique aconvergncia.

Exerccio 1.4.7 : Aumento da exatido: avaliao de logartmo natural

Recentemente, B. Carlson 7, mostrou como acelerar a convergncia do Mtodo de Bor-chardt para a aproximao de ln(x), usando tcnica de extrapolao no limite. Seu resultadoestabelece que: se x e y so positivos, ento a recurso

a1 =x+ y

2; g1 =

xy u1 = (a1 + 2g1)/3

an+1 =an + gn

2; gn+1 =

an+1gn; un =

an + 2gn3

, i = 1, 2, 3, . . .

tal que {un} L(x, y) = x yln(x) ln(y) mais rapidamente. Dessa forma, fazendo y = 1,

temos que n =x 1un

ln(x). Para x = 2.34, avalie essa recurso, fazendo uma tabela(n, n, n), onde n a medida da exatido em digse. Classifique a convergncia.

Exerccio 1.4.8 : Aumento da exatido: avaliao de sries.

Usando a resposta do Exerccio 1.2.7, queremos aproximar, iterativamente, o valor dasoluo do PVI {

y + xy = 1y(0) = 1/2 , y(0) = 0

em x = 3/4. Avalie as primeiras 15 aproximaes por este mtodo, classifique suaconvergncia.

Exerccio 1.4.9 : Aumento da exatido: aproximao de nmeros irracionais

sabido que, sendo

p0 = q0 = 1pn = pn1 + 2qn1qn = pn1 + qn1

para n = 1, 2, 3, . . ., ento xn = pn/qn 2. Calcule, em Scilab, as 12 primeiras

aproximaes de2 por este mtodo, e classifique-o quando ao aumento da exatido.

6conhecida como mdia logartmica entre dois nmeros x e y.7B.C. Carlson, The Logarithmic Mean. The American Mathematical Monthly, (79), nr. 6, pp. 615-618.

Captulo 2

Clculo Numrico de Razes - UFRGS

2.1 Localizao, Enumerao e SeparaoExerccio 2.1.1 No contexto dos problemas de razes: encontrar x tal que f(x) = 0, quatroetapas sobressaem:

localizao: encontramos um intervalo [a, b] que contenha TODAS as razes desejadas,para que mtodos numricos possam re-inicializar toda vez que sarem desse intervalo;

enumerao: dado um intervalo I , encontramos o nmero de razes de f(x) = 0 queesto em I , incluindo multiplicidades 1;

separao: para cada raiz desejada, encontramos um intervalo que lhe seja exclusivo,para que o mtodo numrico, depois de ser inicializado em tal intervalo, no aproximeoutras razes;

CN propriamento dito: raz ser o limite de aproximaes em aritmtica ponto-flutuante, via mtodos iterativos.

PEDE-SE: Localize, e ento enumere e separe, usando plotagem em intervalos adequados,as razes reais de 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 5x + 1 = 0. Apresente a Tabela 2.1 com suaresposta.

Exerccio 2.1.2 : Localizao de razes polinomiais. Um resultado muito simples2 asse-gura que as razes de uma equao polinomial anxn + an1xn1 + . . . + a1x + a0 = 0,onde n > 1, an 6= 0 satisfazem

|x| L = 1 + max{|an1|, |an2|, . . . , |a1|, |a0|}|an|1uma raiz r de f(x) = 0 tem multiplicidade quando f(x) = (x r)g(x), onde g(r) 6= 02chamaremos de Cota bsica.

multip intervalo multip intervalo

Tabela 2.1: Tabela de separao de razes.

e ento basta procurarmos por razes no intervalo [a, b] = [L,L]. PEDE-SE: Localize,e ento enumere e separe usando plotagem no intervalo [L,L], todas as razes reais de405x2 + 108x3 = 560 + 264x + 81x4. Mostre que as razes positivas so simples 3 , e anegativa dupla. Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

Exerccio 2.1.3 A Regra da Lacuna um resultado que garante que uma equao poli-nomial p(x) = 0 possui ao menos 1 par de razes imaginrias; desta forma, pode aju-dar na enumerao das razes reais mltiplas. Regra: se os coeficientes de p(x) foremtodos reais E (i) para algum k com 1 k < n , ak = 0 e ak1 ak+1 > 0 OU(ii) existem dois ou mais coeficientes nulos sucessivos4, ento p(x) = 0 tem ao menos 1par de razes imaginrias conjugadas. PEDE-SE: Localize usando a Cota bsica, e en-to enumere e separe, usando plotagem em intervalos adequados, todas as razes reais de27x5 + 9x3 676x2 + 1328x 704 = 0 . Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.Exerccio 2.1.4 Localize, e ento enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, as razes reais da equao x7 2x6 +3x+2 = 0. Preencha a Tabela 2.1 com sua

3r simples quando = 1, dupla quando = 2, tripla quando = 3, e assim por diante. No caso mpar,ao contrrio do par, a funo anula-se trocando de sinal na raiz, e a visualizao grfica ento permite distinguirentre esses dois casos. Outra dica: a tangncia (derivada) do grfico em raiz mltipla sempre nula.

4esse subcaso frequentemente chamado Regra da Lacuna Dupla

11

12 CAPTULO 2. CLCULO NUMRICO DE RAZES - UFRGS

resposta.

Exerccio 2.1.5 Para encontrar as dimenses do tringulo issceles que circunscreve umcrculo de raio R e tem o dobro de sua rea:

(a) Sendo h a altura do tringulo, mostre que sua rea dada porA =

2R22 2 , onde =

h

R> 2.

(b) Mostre que A = R2 implica 3 2+ 22 = 0(c) Para = 2, faa o grfico em Scilab de f() = 3 2 + 22 e verifique que

existem duas raizes de interesse, que elas so simples , e que esto nos intervalos [2, 2.5] e[4.5, 5], respectivamente.

Exerccio 2.1.6 Localize, e ento enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, os pontos estacionrios 5 reais de

y =x6

6 2x

5

5 3x

2

2+ 2x+ 1 = 0.

Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

Exerccio 2.1.7 Queremos encontrar a distncia do ponto P (3,1) curva x2 y2 =1, x 1. 6 Mostre que a soluo resolve, para x > 1, o problema de razes

4x 6 2xx2 1 = 0.

Localize, enumere e separe suas possveis solues.

Exerccio 2.1.8 Localize, e ento enumere e separe usando plotagem em intervalos adequa-dos, as duas razes reais de menor magnitude da equao x cos(x) ln(|x|) = 0. Preenchaa Tabela 2.1 com sua resposta.

Exerccio 2.1.9 Localize, e ento enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, as razes negativas de cos(x) 3x ln(|x|) = 0. Preencha a Tabela 2.1 com suaresposta.

Exerccio 2.1.10 Localize, e ento enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, as 2 razes reais positivas de menor magnitude de tan(x) exp(cos(x)) = 0.Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

Exerccio 2.1.11 Localize, e ento enumere e separe todos os pontos estacionrios de y =ln(1 + x2)

2 sen (x) no intervalo [30, 32]. Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

5pontos estacionrios so pontos onde a derivada (ou o vetor gradiente) nula(o). Encontr-los a primeiraetapa da tarefa clssica de otimizao de uma funo de uma ou vrias variveis. Revise suas notas de ClculoDiferencial se houver deficincia conceitual nesse tpico.

6menor distncia entre um ponto P fixo e um ponto M mvel que descreve uma trajetria hiperblica.

2.2 Mtodo de Newton-RaphsonExerccio 2.2.1 O Mtodo de Newton-Raphson para encontrar solues de f(x) = 0 podeser aplicado nas situaes onde a funo derivada f (x) conhecida, e a partir de umaaproximao x0 da raz r:

x0 aproximao inicial

xn+1 = xn f(xn)f (xn)

, n = 0, 1, 2, 3, . . .

PEDE-SE: calcule as razes do Exerccio 2.1.1, com 5 casas significativas corretas, usandoesse mtodo. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s)resposta(s), e classifique a convergncia.

Exerccio 2.2.2 No contexto do Exerccio 2.1.5: PEDE-SE: (a) Defina f() = 3 2+22, para = 2, e mostre que, dado 0 R:

n+1 = n 3n 2n + 22

32n 2, n = 0, 1, 2, 3, . . .

a respectiva iterao de Newton-Raphson.

(b) Encontre as dimenses do(s) tringulo(s) issceles que circunscreve(m) um crculo deraio R e tem o dobro de sua rea, fazendo 0 = (2 + 2.5)/2 , 0 = (4.5 + 5)/2, e iterandoa expresso acima. Apresente as tabelas de aproximaes, com coluna n para a medida daexatido7, e classifique a convergncia em cada caso.

Exerccio 2.2.3 Encontre, com 5 casas significativas corretas em seus coeficientes, as equa-es das retas que passam pelo ponto P (0, 1) e so ortogonais curva xy = 1, usando omtodo de Newton Raphson. Um resultado bastante conhecido que o Mtodo de Newton-Raphson possui convergncia quadrtica (aumento quadrtico da exatido) quando a raiz simples. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s)resposta(s), e comprove sobre o aumento da exatido.

Exerccio 2.2.4 (trajetria de escape) Encontre, com 5 casas significativas corretas emseus coeficientes, a(s) eq. da(s) reta(s) que tangencia(m) a curva y = x + 1/x2 e quepassa(m) pelo ponto R(3, 1). Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricasconvergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.2.5 Duas variaveis x e y relacionam-se segundo

y =x6

6 2x

5

5 3x

2

2+ 2x+ 1 = 0.

7a medida n = digse(n1, n) j foi definida na subseo 1.4

2.2. MTODO DE NEWTON-RAPHSON 13

(a) usando a localizao do Exerccio 2.1.6, e o mtodo de Newton-Raphson, encontre(com 5 casas corretas) todos os pontos estacionrios (reais) de y;

(b) encontre o mximo e o mnimo absolutos de y no intervalo [3, 3].

Exerccio 2.2.6 Pode-se demonstrar que o mtodo de Newton-Raphson sempre convergirpara razes simples, MAS desde que a aproximao inicial x0 seja suficientemente prximada raz r, ou seja, estabelece uma condio LOCAL para convergncia. Por outro lado, oCritrio de Fourier estabelece condio GLOBAL para convergncia de Newton-Raphson,ou seja, para quaisquer x0 em determinada regio da reta real.

Critrio de Fourier: uma condio suficiente para a convergncia do mtodo de Newton-Raphson para a soluo de f(x) = 0 que x0, a aproximao inicial, seja escolhida talque f(x0)f (x0) > 0.

PEDE-SE: no contexto de resolver x3 + x2 = u para u positivo dado:(a) Mostre que o valor mnimo absoluto de x3 + x2 igual a (5/2)(2/3)3/5

1.9601317. Portanto, esse o menor valor que u pode ter para que existam raizes reaispara a equao acima. Por simplicidade, considere u > 2.

(b) Sendo f(x) = x3+x2u, mostre que u1/3 21/3 < 1 e que f(u1/3) > 0 masf(1) < 0, e conclua a existncia de uma raiz real positiva no intervalo (u1/3, 1). Tambmmostre que f(

u) > 0 e conclua a existncia de uma raiz real positiva no intervalo (1,

u).

(c) Mostre que o critrio de Fourier garante que as solues positivas de 1x3

+x2 = u > 2

sempre podem ser encontradas via

x0 = u1/3

xn+1 = xn 1/x3n + x

2n u

2xn 3/x4n, n = 0, 1, 2, 3, . . .

e

x0 = u1/2

xn+1 = xn 1/x3n + x

2n u

2xn 3/x4n, n = 0, 1, 2, 3, . . .

respectivamente. Apresente sequncia de aproximaes convergindo as solues correspon-dentes a u = 17.

Exerccio 2.2.7 A gua que acumula-se no interior de um reservatrio esfrico de raio Rtem altura h. Mostre que o volume da massa de gua represada dado por

V =

(Rh2 h

3

3

)e encontre o valor de h que corresponde a 90 porcento do volume total. Qual a percentagemem relao altura mxima ?

Exerccio 2.2.8 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo deNewton-Raphson e a localizao do Exerccio 2.1.4, a raiz negativa de x72x6+3x+2 =

0. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s) res-posta(s).

Exerccio 2.2.9 Encontre as razes da equao exx3 7 = 0, com 5 casas significativascorretas, usando o Mtodo de Newton-Raphson. Apresente (tabela) sequncia de aproxi-maes numricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.2.10 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo deNewton-Raphson e a localizao do Exerccio 2.1.8, as duas razes de menor magnitudede x cos(x) ln(|x|) = 0. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas con-vergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.2.11 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo deNewton-Raphson e a localizao do Exerccio 2.1.9, todas as razes reais de cos(x) 3x ln(|x|) = 0. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo asua(s) resposta(s).

Exerccio 2.2.12 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo deNewton-Raphson e a localizao do Exerccio 2.1.10, as 2 razes positivas de menor mag-nitude de tan(x) exp(cos(x)) = 0. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes num-ricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.2.13 O mtodo de Newton-Raphson converge apenas linearmente para razesmltiplas. Para trazer de volta o aumento quadrtico, devemos aplicar o mtodo de NewtonModificado:

x0 aproximao inicial

xn+1 = xn f(xn)f (xn)

, n = 0, 1, 2, 3, . . .

que convergir quadraticamente para raz r de multiplicidade .PEDE-SE: Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo de Newton-

Raphson e a localizao do Exerccio 2.1.2, todas as razes reais de 405x2 + 108x3 =560+264x+81x4. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindoa sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.2.14 Considere a equao 36x5 + 93x4 11x3 20x2 + x+ 1 = 0.(a) Localize, enumere e separe todas as suas razes. Mostre seus clculos.(b) Encontre todas as suas razes, com 5 casas significativas exatas. Apresente tabela

(n, xn) comprovando a convergncia a cada raiz encontrada.

Exerccio 2.2.15 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo deNewton-Raphson e a localizao do Exerccio 2.1.11, todos os pontos estacionrios de

14 CAPTULO 2. CLCULO NUMRICO DE RAZES - UFRGS

y =ln(1 + x2)

2 sen (x) no intervalo [30, 32]. Apresente (tabela) sequncia de aproxi-

maes numricas convergindo a sua(s) resposta(s). Encontre o mximo e o mnimo abso-luto de y neste intervalo.

Exerccio 2.2.16 Duas variveis R e relacionam-se por R = e 21 + e

.

(a) Encontre a equao satisfeita pelos pontos estacionrios de R;(b) Localize, enumere e separe todos os pontos estacionrios de R;(c) Encontre, usando o mtodo de Newton-Raphson, todos os pontos estacionrios de R,

com 5 casas corretas;(d) Encontre o mnimo absoluto de R no intervalo [0, 10], e o respectivo valor de .

Exerccio 2.2.17 Encontre a equao da circunferncia, com centro na origem, que tan-gente curva y = ex. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas conver-gindo a sua(s) resposta(s).Exerccio 2.2.18 Encontre a altura de um tringulo inscrito em uma circunferncia de raioR, cuja hipotenusa um dimetro dessa circunferncia, e cujo permetro 9R/2. Apresente(tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s) resposta(s).

2.3 Mtodo da SecanteExerccio 2.3.1 O Mtodo das Secantes para encontrar solues de f(x) = 0 pode seraplicado nas situaes onde a funo derivada f (x) NO conhecida 8, MAS a partir deduas aproximaes DISTINTAS x1 e x0 para a raz r:

x1 6= x0 aproximaes iniciaisdn =

f(xn) f(xn1)xn xn1 , xn+1 = xn

f(xn)

dn, n = 0, 1, 2, 3, . . .

PEDE-SE: Dentre todos os tringulos issceles inscritos em um crculo de raio r = 1,encontre as dimenses daquele que tem rea A = 2

3/3. Apresente (tabela) sequncia de

aproximaes numricas convergindo a sua(s) resposta(s).Exerccio 2.3.2 Pode-se mostrar9 que no clculo numrico da raiz r de f(x) = 0 peloMtodo da Secante, se f(r) = 0 e f (r) 6= 0 e f (x) contnua, ento existe um intervaloaberto contento r tal que se x1 e x0 so distintos e esto neste intervalo, ento a sequncia{xn} dada pelo mtodo da Secante verifica

8a quantidade f (xn), a inclinao da reta tangente, aproximada pela diferena dn, que inclinao da retasecante por (xn1, f(xx1)) e (xn, f(xn))

9Demonstrao em A. Ralston, A first course in numerical analysis. New York: McGraw-Hill, 1983.

xn r; |xn+1 r| c|xn r|p, onde p = (1 +

5)/2 = 1.618.

PEDE-SE: Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Mtodo da Secante ea localizao do Exerccio 2.1.8, as duas razes reais de menor magnitude de x cos(x) ln(|x|) = 0. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s)resposta(s), e comprove o aumento de cerca de 61% da exatido em digses, de uma iteraopara outra.

Exerccio 2.3.3 Encontre a distncia do ponto P (3,1) curva x2y2 = 1, x 1 usandolocalizao, enumerao e separao do Exerccio 2.1.7. Apresente (tabela) sequncia deaproximaes numricas convergindo a sua resposta.

Exerccio 2.3.4 Encontre, com 3 casas significativas corretas, usando o Mtodo da Secantee a localizao do Exerccio 2.1.9, a raz real de menor magnitude de cos(x)3x ln(|x|) =0. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s) res-posta(s).

Exerccio 2.3.5 Encontre, com 3 casas significativas corretas, usando o Mtodo da Se-cante e a localizao adequada, a duas razes de menor magnitude da equao 4 2x =

5

1 +|x| . Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s)

resposta(s).

Exerccio 2.3.6 Encontre a equao da circunferncia, com centro na origem, que tan-gente curva y = e

|x|

. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas con-vergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.3.7 Dentre todos os retngulos inscritos em um crculo de raio r = 1, en-contre as dimenses daquele que tem permetro P = 5. Apresente (tabela) sequncia deaproximaes numricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.3.8 Encontre as dimenses do tringulo retngulo, que tem um dos catetos comdimenso unitria, cujo permetro P = 4. Apresente (tabela) sequncia de aproximaesnumricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.3.9 A rea A de uma mancha de leo circular cresce a uma razo logartmicade seu raio r

dA

dt= ln(r), onde = 1.2,

2.4. PROBLEMAS ASSOCIADOS AO CLCULO NUMRICO DE RAZES 15

R

x

Figura 2.1: Trisseco no radial de um crculo.

onde t o tempo. Encontre o raio r sabendo que ele est crescendo a uma taxa de0.18km/s. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s)resposta(s).

Exerccio 2.3.10 (Desafio) Queremos dividir um crculo de raio R em trs partes de mesmarea, conforme a Figura 2.1. Encontre a rea A de regio inferior como funo de x.Encontre x tal que A(x) = R

2

3. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas

convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.3.11 (a) Localize, enumere e separe as razes reais da equao6x3 + 7 log(|x|) + 5 = 0

(b) Encontre as referidas razes com 5 dgitos significativos exatos. Indique o mtodo usado,e apresente uma tabela (n, xn) comprovando a convergncia para cada raiz encontrada.

Exerccio 2.3.12 (a) Localize, enumere e separe as razes reais da equao|2x|1/3 = exp(x 1)

(b) Encontre as referidas razes com 5 dgitos significativos exatos. Indique o mtodo usado,e apresente uma tabela (n, xn) comprovando a convergncia para cada raiz encontrada.

Exerccio 2.3.13 (a) Localize, enumere e separe as razes reais da equao

x3/2 +x

2 cos(x2) =

2

(b) Encontre as referidas razes com 5 dgitos significativos exatos. Indique o mtodo usado,e apresente uma tabela (n, xn) comprovando a convergncia para cada raiz encontrada.

2.4 Problemas associados ao clculo numrico de razesExerccio 2.4.1 : Desigualdades algbricas. Resolver desigualdades uma tarefa co-adjuvante que acompanha o Clculo Infinitesimal10; normalmente, aparece na determina-o de conjuntos de valores que uma varivel (ou parmetro) pode assumir, sendo portantofundamental no estabelecimento do domnio de funes de uma varivel real. A estrat-gia numrica mais comum procurar todas as razes da respectiva igualdade11 e depoisinspecionar sinais nos intervalos determinados por essas razes.

PEDE-SE: Encontre, com 5 casas corretas, o domnio natural da funo real que associa,para ,

7

3

4 sen 3() cos3()

que naturalmente est associada a equao 2 + sen 3()+ cos3() 34 = 0, existente entreduas grandezas e . Apresente tabela de aproximaes numricas.

Exerccio 2.4.2 : Equaes algbricas envolvendo integrais

Em algumas aplicaes que resultam em f(x) = 0, a avaliao de f envolve uma integraldefinida, em termos de x, que somente elucidaremos mais adiante neste curso. Assim, porsimplicidade, usaremos funes auxiliares do prprio ambiente computacional para apro-ximar numericamente tais termos. Em Scilab, use a funo intg para aproximar numeri-camente a integral definida (descubra como intg funciona). PEDE-SE: Localize, enumere,separe e ento aproxime numericamente, com 5 casas significativas corretas, as duas razespositivas de menor magnitude de f(x) =

x0

s sin(s3/2)ds. Apresente (tabela) sequnciade aproximaes numricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.4.3 Localize, enumere, separe, e ento aproxime numericamente, com 5 casassignificativas exatas, as 2 razes positivas de menor magnitude da equao

x

x20

sin(/2 +s)ds =

7

4

Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.4.4 : Diviso ponto-flutuante. Numa mquina digital como, por exemplo, umcomputador pessoal, as operaes de soma e multiplicao so feitas via circuito eltrico(hardware), na chamada CPU (Central Processing Unit ou simplesmente processador), quepossui uma unidade de soma e uma unidade de multiplicao. No existe uma unidade de

10voc deve ter boas recordaes da disciplina inicial de Clculo, no caso que somente envolve polinmios11cuidado com expresses descontnuas, desigualdades estritas, e intervalos ilimitados

16 CAPTULO 2. CLCULO NUMRICO DE RAZES - UFRGS

diviso. A diviso de dois nmeros, fundamental para o completamento das 4 operaesaritmticas, feita usando somas e produtos e implementada em instrues do mais baixonvel (software). Dados dois nmeros x e y, onde a operao x/y garantidamente noproduza overflow, x/y calculado como x u, onde u o inverso multiplicativo de y,satisfazendo f(u) = 1/u y = 0. A aplicao do Mtodo de Newton produz

un+1 = un 1/un y1/u2n= un + (1 y un)un.

Quando y > 0 ento escolhemos u0 > 0 e menor que o valor exato de 1/y, para queento f(u0) > 0 e f (u0) = 2/u30 > 0, e a convergncia esteja garantida pelo Critriode Fourier. Alm disso, como os nmeros a dividir tm uma representao normalizada, naverdade dividiremos apenas suas mantissas, ajustando o expoente e o sinal do resultadoobtido adequadamente. Por essa razo, em base 10, podemos sempre assumir

101 x, y < 1, e que implica 1 < 1y 10

o podemos usar u0 = 1. PEDE-SE: calcular a diviso ponto-flutuante 12.78/2.27.Exerccio 2.4.5 : Avaliao de ex. Alternativamente avaliao de ex via Srie de Tay-lor12, apresentamos aqui uma estratgia que usa mtodo de Newton, e avaliao de lo-garitmos naturais (veja exerccios 1.4.6 e 1.4.7). Primeiramente, observamos que avaliarx = eu equivalente a resolver o problema de razes f(x) = 0, onde f(x) = ln(x) u.

Dessa forma, se u 0, escolhemos13 x0 = eu = e . . . e, para que recurso

xn+1 = xn ln(xn) u1/xn

= xn + xn(u ln(xn)), n = 0, 1, 2, 3, . . .

tenha convergncia superlinear garantida14 a x = eu. Se u < 0, calculamos eu e in-vertemos. Para u = 4.56, encontre eu com 7 casas corretas, apresente a correspondentesequncia (n, xn, n).

Exerccio 2.4.6 Encontre, com 5 casas significativas corretas, o valor da soluo exata15do Problema de Valor Inicial

dy

dt=

t

1 + y2, t > 0

y(0) = 1

12veja Estudo de Caso em http://www.mat.ufrgs.br/carvalho/mat01169/m_apoio169.html13tal que f(x0) = u u 014pelo Critrio de Fourier, uma vez que f(x0)f (x0) > 015Revise suas notas de Mtodos ou Equaes Diferenciais se houver deficincia nesse tpico.

no instante t = 1, usando tcnica de soluo analtica por variveis separveis, e depoiso mtodo de Newton-Raphson. Apresente (tabela) sequncia de aproximaes numricasconvergindo a sua(s) resposta(s).

Exerccio 2.4.7 Encontre, com 5 casas significativas corretas, o instante t no qual a solu-o exata do Problema de Valores Iniciais{

y + 4y + 3y = 2 t > 0y(0) = 5/3, y(0) = 2

igual a 1.0 , usando o Mtodo de Newton-Raphson. Apresente (tabela) sequncia deaproximaes numricas convergindo a sua resposta.

2.5 Razes imaginrias de polinmiosExerccio 2.5.1 Localize, enumere, separe e encontre, com 5 casas significativas corretas,usando o Mtodo de Newton-Raphson, todas as razes de 2x5+3x4+x3+2x25x+1 = 0.

Exerccio 2.5.2 Localize, enumere, separe e encontre, com 5 casas significativas corretas,usando o Mtodo de Newton-Raphson, todas as razes de x5 2x4 3x+ 2 = 0.

Exerccio 2.5.3 Localize, enumere, separe (veja Exerccio 2.1.4) e encontre, com 5 casassignificativas corretas, usando o Mtodo de Newton-Raphson, todas as razes de x72x6+3x+ 2 = 0.

Exerccio 2.5.4 Localize, enumere, separe (veja Exerccio 2.1.3) e encontre, com 5 casassignificativas corretas, usando o Mtodo de Newton-Raphson, todas as razes de 27x5 +9x3 676x2 + 1328x 704 = 0.

Captulo 3

Sistemas de Equaes Algbricas e Autovalores - UFRGS

3.1 Sistemas de Equaes Lineares AlgbricasExerccio 3.1.1 : Encontre a soluo numrica do sistema linear Ax = b, onde

A =

3 3 4 2 00 2 3 4 10 0 2 3 20 0 0 4 10 0 0 0 4

, b =

51928

em Scilab.

Exerccio 3.1.2 : Encontre a soluo numrica do sistema linear Ax = b, onde

A =

3 0 0 0 03 2 0 0 04 3 2 0 02 4 3 4 00 1 2 1 4

, b =

3301211

em Scilab, usando eliminao gaussiana e pivotamento parcial. Quais foram os pivots ajjusados ? possvel encontrar essa soluo usando substituio reversa ? Explique.

Exerccio 3.1.3 : Encontre a soluo numrica do sistema linear Ax = b, onde

A =

4. 2. 1. 0.3. 1. 1. 0.0. 1. 3. 1.1. 1. 1. 4.

, b =

3.52.55.518.5

usando eliminao gaussiana com pivotamento parcial de linhas. Quais foram os pivotsajj usados ?

Exerccio 3.1.4 Encontre, usando eliminao gaussiana e pivotamento parcial, a soluonumrica do sistema de equaes

x 2y w = 2.92x+ 2y 3z = 5.73y + z 2w = 0.4x+ 4z + 3w = 0.3

Quais foram os pivots ajj usados em sua soluo ?

Exerccio 3.1.5 Encontre, usando eliminao gaussiana e pivotamento parcial, a soluonumrica do sistema de equaes

z + 3y 2x+ 3w + 2v = 8x y w + 3v = 5

x+ y + w + v = 23y 2z + 2w 2v = 1

3z yw v = 3Quais foram os pivots ajj usados em sua soluo ?

Exerccio 3.1.6 Encontre uma fatorao LU para a matriz

A =

8.5 1. 2.4.25 6. 1.2.125 0.25 3.6

17

18 CAPTULO 3. SISTEMAS DE EQUAES ALGBRICAS E AUTOVALORES - UFRGS

usando a tcnica vista em aula 1. Compare com a resposta de lu, em Scilab.

3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares AlgbricasExerccio 3.2.1 Abaixo temos, em um mesmo grfico, as curvas que compem

o sistema de equaes{4x2 + 2xy3 = 912x2y y3 = 4

Localize, enumere, separe e encontre, peloMtodo de Newton-Raphson e com 5 casassignificativas exatas, todas as razes dessesistema. Desafio: obtenha esse grfico.

Exerccio 3.2.2 : Encontre as solues numricas do sistema de equaes{x2 xy + y2 = 2x+ xy2 3y = 1

prximas a (1; 0) e (1;1.5), respectivamente, usando o Mtodo de Newton, e com 4dgitos significativos exatos. Ao aplicar o mtodo, preencha a Tabela 3.1, onde vk amedida contnua da exatido (digse vetorial), e classifique a convergncia.

Exerccio 3.2.3 : Encontre a soluo numrica do sistema no-linear de equaes

x2y + 2yz + 2z = 32x+ y2 z = 2z3 2y 3z = 1

prxima a (0.5,0.5, 2), usando o Mtodo de Newton, com 4 dgitos significativos exatos.Ao aplicar o mtodo, preencha a Tabela 3.2, onde vk a medida contnua da exatido (digsevetorial), e classifique a convergncia.

1A notao clssica pede que os elementos da diagonal de L sejam unitrios. Entretanto, se seu livro-textoadota que so os elementos da diagonal de U que devem ser unitrios, faa de acordo.

k xk yk vk

Tabela 3.1: Aplicao do Mtodo de Newton para sistemas, N=2

k xk yk zk vk

Tabela 3.2: Aplicao do Mtodo de Newton para sistemas, N=3

Exerccio 3.2.4 : Usando localizao, enumerao e separao adequados, encontre asoluo numrica do sistema no-linear de equaes{

2x3 y2 = 1xy3 y = 4

pelo Mtodo de Newton, com 4 dgitos significativos exatos.

Exerccio 3.2.5 : Encontre as solues numricas do sistema no-linear de equaes{x+ 3ln(x) y2 = 02x2 xy 5x+ 1 = 0

prximas a (4.0, 3.0) e (1.5,1.5), respectivamente, pelo Mtodo de Newton, e com 4dgitos significativos exatos.

Exerccio 3.2.6 : Encontre a soluo numrica do sistema no-linear de equaes

x3 2y2 + sin(z2) = 22x2 xy + exp(yz) = 2y3 + 2 exp(y)z = 2

3.3. CLCULO NUMRICO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES 19

prxima a (3.45, 2.22, 0.78), pelo Mtodo de Newton, e com 4 dgitos significativos exatos.Ao aplicar o mtodo, preencha a Tabela 3.2, e classifique a convergncia.

Exerccio 3.2.7 Encontre todos os trs pontos estacionrios2 de f(x, y) = x5y3 x3 +y3 + x 6y que existem na regio [2, 2] [2, 2]. Apresente tabela que evidencie aconvergncia a cada raiz encontrada.

Exerccio 3.2.8 Encontre os pontos estacionrios de f(x, y) = xey + exy + y2x queexistem na regio [2, 2] [1, 3]. Apresente tabela que evidencie a convergncia a cadaraiz encontrada.

Exerccio 3.2.9 Dois satlites orbitam em rbitas elpticas co-planares com excentricida-des e = 1/2 e e = 4/7, tendo um planeta P comum como um dos focos, eixos principaisortogonais, e distncia de apogeu de 9u.d e 11u.d, respectivamente. Veja a figura abaixo.

P

S1

S2

e=4/7

e=1/2bet

alf

(a) Mostre que, se a origem do sistema de coordenadas for colocada sobre a posio doplaneta P , e variveis x e y forem definidas como usualmente, ento as equaes das rbitassero

(x+ 3)2

36+y2

27= 1,

x2

33+

(y 4)249

= 1

(b) Encontre ngulos e , em relao ao eixo principal do satlite de menor excentricidade,sobre a posio do planeta P , dos 2 pontos onde as rbitas se interceptam, respectivamente.

2pontos estacionrios so pontos onde a derivada (ou o vetor gradiente) nula(o). Encontr-los a primeiraetapa da tarefa clssica de otimizao de uma funo de uma ou vrias variveis. Revise suas notas de ClculoDiferencial se houver deficincia conceitual nesse tpico.

Exerccio 3.2.10 Para encontrar mximo ou mnimo absoluto de uma funo diferencivelf(x) com x restrito a g(x) 0, onde g contnua, procuramos por pontos x :

C1: interiores fronteira da restrio3, nos quais f estacionria;

C2: na fronteira da restrio, onde f = g para algum > 04 ;

PEDE-SE: (a) usando mesh ou contour, identifique5 que o ponto de mximo absoluto def(x, y) = x5y3 x3 + y3 + x 6y sujeito a x4/4 + y2/2 2 se enquadra no caso C2acima. Monte o sistema de equaes que esse ponto deve satisfazer.

(b) Encontre tal mximo absoluto, e o ponto onde ocorre, com 5 casas significativas cor-retas, usando o mtodo de Newton. Apresente tabela que evidencie convergncia a soluoencontrada.

Exerccio 3.2.11 : Para encontrar o mximo de f(x, y) = yex + xe2y (e seu respectivoponto) sujeito a restrio g = x2 + y2 2 = 0, PEDE-SE:

(a) Monte o sistema (Multiplicador de Lagrange){ f zg = 0g = 0

nas variveis x, y e z.(b) Sabendo que a soluo (x, y) est prxima a (0.8;1.2), estime z e encontre a so-luo do sistema da parte (a) com 5 casas significativas corretas, aplicando o mtodo deNewton. Apresente tabela que evidencie a convergncia a soluo desse sistema.

3.3 Clculo numrico de autovalores e autovetoresExerccio 3.3.1 (mtodo da Potncia) Se uma matriz A Rnn possui um autovalor real0 cuja magnitude supera a de todos os outros (autovalor real dominante) ento, paraqualquer6 vetor x0 Rn a iterao

yk = Axk , k = (y

k)Txk

xk+1 =yk

|yk|2 , k = 0, 1, 2, . . . tal que (k, xk) converge a (0, x) tal que Ax = 0x, onde |x|2 = 1. PEDE-SE: encontreo autovalor dominante da matriz

3isto , tais que g(x) < 04tal , que portanto tambm incgnita, o chamado de Multiplicador de Lagrange5sugesto: considere K(x, y) = f(x, y), se g(x, y) < 0; 0 caso contrrio6x0 no pode ser autovetor de algum dos outros autovalores

20 CAPTULO 3. SISTEMAS DE EQUAES ALGBRICAS E AUTOVALORES - UFRGS

A =

2. 1. 1. 0.0. 3. 2. 1.0. 1. 4. 2.2. 1. 1. 7.

com trs casas significativas corretas, aplicando esse mtodo. Apresente (tabela) aproxi-maes numricas convergindo a suas solues.

Exerccio 3.3.2 (mtodo da Potncia Inversa) Se uma matriz A Rnn possui um autova-lor real n cuja magnitude superada pela de todos os outros (autovalor real subdominante,submisso) ento, para qualquer7 vetor x0 Rn, a iterao

Resolver Ayk = xk, k =

1

(yk)Txk

xk+1 =yk

|yk|2 , k = 0, 1, 2, . . . tal que (k, xk) converge a (n, x) tal que Ax = nx, onde |x|2 = 1. PEDE-SE:encontre o autovalor subdominante da matriz

A =

2. 1. 1. 0.0. 3. 2. 1.0. 1. 4. 2.2. 1. 1. 7.

com trs casas significativas corretas, aplicando esse mtodo. Apresente (tabela) aproxi-maes numricas convergindo a suas solues.

Exerccio 3.3.3 Encontre o autovalor dominante e o autovalor subdominante da matriz

A =

6. 1. 1. 0.1. 4. 1. 0.1. 1. 3. 1.0. 0. 1. 2.

com duas casas significativas corretas, aplicando mtodos de Potncia. Apresente (tabela)aproximaes numricas convergindo a suas solues.

7x0 no pode ser autovetor de algum outro autovalor

Captulo 4

Interpolao e Ajuste de Curvas - UFRGS4.1 Interpolao No-segmentadaExerccio 4.1.1 : Polinmio Interpolador no formato de Lagrange

Dado um conjunto de dados {(x0, y0), . . . , (xn, yn)}, o polinmio de Lagrange uminterpolador que pertence ao espao vetorial Pn dos polinmios de grau menor ou igual an, e representado por

(x) =

ni=0

yiLi(x), onde Li(x) =

0jn,j 6=i

x xjxi xj .

Resolve, com unicidade, o problema de interpolao em Pn1, desde que os valores {xi}sejam distintos. PEDE-SE: interpole a tabela abaixo em x = 2.5, usando polinmio deLagrange.

x 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8f(x) .5104 .5208 .5104 .4813 .4359

Exerccio 4.1.2 : Encontre o polinmio de grau menor ou igual a 3 que concorda comf(x) = x2 em x0 = 1, x1 = 3, x2 = 6 e x3 = 7.

Exerccio 4.1.3 : Interpole a tabela abaixo em x = 1.22, usando seu respectivo polinmiode Lagrange.

x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4f(x) 1.0000 1.23368 1.55271 1.99372 2.61170

1existe um nico polinmio em Pn, isto , de grau n que interpola cada tabela dada

Exerccio 4.1.4 : Diferenas Divididas e a forma de NewtonDada a amostragem, ou tabela, (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n de uma funo desco-

nhecida f , definimos a diferena dividida (de primeira ordem) de f entre xi e xi+1por f [xi, xi+1] =

f(xi+1) f(xi)xi+1 xi , quantidade esta que fundamenta-se na noo de

variao mdia de uma funo em um intervalo. A seguir, definimos diferenas di-vididas de segunda ordem progressivamente, usando as diferenas de primeira ordem:f [xi, xi+1, xi+2] =

f [xi+1, xi+2] f [xi, xi+1]xi+2 xi , e assim por diante, para ordens mais al-

tas. A forma de Newton via diferenas divididas para o polinmio interpolador de grau nsobre (xi, f(xi)), k = 0, . . . , n dada por

(x) = f(x0) + f [x0, x1](x x0) + f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) +f [x0, x1, x2, x3](x x0)(x x1)(x x2)++ . . .+ f [x0, . . . , xn](x x0) . . . (x xn1).

Interpole a tabela abaixo em x = 1.09, usando e apresentando a tabela de diferenasdivididas.

x 1.00 1.05 1.10 1.15f(x) .1924 .2414 .2933 .2033

Exerccio 4.1.5 : A tabela abaixo foi gerada usando a funo f(x) = x5 2x3. Interpoleessa tabela para x = 1.2.

x 1.00 1.10 1.25 1.3 1.35 1.40f(x) -1.0000 -1.0515 -0.8545 -0.6811 -0.4367 -0.1098

Exerccio 4.1.6 : A tabela abaixo mostra a populao recenseada (P ) de um certo pas,em milhes, durante certo perodo do sculo passado.

21

22 CAPTULO 4. INTERPOLAO E AJUSTE DE CURVAS - UFRGS

t 1920 1930 1940 1950 1960 1970P 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212

(a) Usando o polinmio interpolador de Lagrange na forma de Newton, usando diferenasdivididas, interpole a populao nos anos 1925, 1955 e 1965;

(b) Estime a populao nos anos 1910 e 2000. Tm algum sentido essas respostas ?

Exerccio 4.1.7 : frmula de Newton via Diferenas Finitas Ascendentes

No caso particular em que os pontos de interpolao so equidistantes, sendo h a distnciacomum entre eles, definimos a diferena finita ascendente (de primeira ordem) de f no pontoxi por f(xi) = f(xi+1) f(xi). A seguir, definimos diferenas finitas ascendentes deordem mais alta recursivamente:kf(xi) = k1f(xi+1)k1f(xi), k = 2, 3, . . .A frmula de Newton via diferenas divididas para o polinmio interpolador de grau n

sobre (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n dada por

(x) =

nk=0

kf(x0)(

sk

), s =

x x0h

onde(

s0

)= 1,

(sk

)=

s(s 1) . . . (s (k 1))k!

, e 0f(x0) = f(x0).Abaixo relacionamos a temperatura T (Celsius) com a presso de vapor P (Psig) do gs

R134-A:T -12 -9 -6 -3 0P 12.21 15.59 19.31 23.37 27.79

PEDE-SE: interpolar P para T = 5 graus Celsius, usando frmula de Newton viaDiferenas Finitas Ascendentes. Apresente a tabela de diferenas.

4.2 Interpolao SegmentadaExerccio 4.2.1 Uma interpoladora linear segmentada (x) sobre um conjunto de dados{(x0, y0), . . . , (xn, yn)} uma funo definida como um segmento de reta em cada inter-valo [xi1, xi], i = 1, 2, . . . , n. Por simplicidade, definimos

i(x) =(x xi)yi1xi1 xi +

(x xi1)yixi xi1 . (4.1)

PEDE-SE: Resolva o exerccio 4.1.1 usando interpolao segmentada linear.

Exerccio 4.2.2 Uma interpoladora cbica segmentada (x) sobre um conjunto de dados{(x0, y0), . . . , (xn, yn)} uma funo definida como um polinmio de grau menor ou iguala trs (cbica) em cada intervalo [xi1, xi], i = 1, 2, . . . , n. A estratgia de Hermite define

i(x) = f(xi1)si(x) + f(xi)ri(x) + di1si(x) + diri(x)

onde

si(x) =2

h3i(x xi)2

(x xi1 + hi

2

), si(x) =

1

h2i(x xi1)(x xi)2 (4.2)

ri(x) =2h3i

(x xi1)2(x xi hi

2

), ri(x) =

1

h2i(x xi1)2(x xi) (4.3)

e onde os parmetros di, i = 0, 1, 2, . . . , n, que esto livres, podem ser escolhidos usandodiferenas divididas sobre os dados:

d0 =y1 y0h1

, dn =yn yn1

hn(4.4)

di =yi+1 yi1hi+1 + hi

, i = 1, 2, . . . , n 1 (4.5)

ou, alternativamente,

d0 =y1 y0h1

, dn =yn yn1

hn(4.6)

di =

yi+1 yihi+1/hi

+yi yi1hi/hi+1

hi + hi+1, i = 1, 2, . . . , n 1 (4.7)

PEDE-SE: Resolva o exerccio 4.1.1 usando interpolao segmentada cbica com parme-tros de inclinao satisfazendo (4.4) e (4.5).Exerccio 4.2.3 : Resolva o exerccio 4.1.3 usando (a) interpolao segmentada linear, (b)interpolao segmentada cbica com parmetros de inclinao satisfazendo (4.4) e (4.5).Exerccio 4.2.4 : Resolva o exerccio 4.1.4 usando (a) interpolao segmentada linear, (b)interpolao segmentada cbica com parmetros de inclinao satisfazendo (4.4) e (4.5).Exerccio 4.2.5 : Resolva o exerccio 4.1.5 usando (a) interpolao segmentada linear, (b)interpolao segmentada cbica com parmetros de inclinao satisfazendo (4.6) e (4.7).Exerccio 4.2.6 : Resolva o exerccio 4.1.6 usando (a) interpolao segmentada linear, (b)interpolao segmentada cbica com parmetros de inclinao satisfazendo (4.4) e (4.5).

4.3. AJUSTE DISCRETO VIA MNIMOS QUADRADOS 23

Exerccio 4.2.7 : A tabela abaixo mostra a evoluo no tempo da posio de um automvelao longo de uma rodovia aproximadamente reta. Posio e velocidade so medidas pormeio de um radar.

tempo (min) 0 10 25 30 42 50 60posio (Km) 8 20 27 30 45 69 78

velocidade (Km/h) 15 35 20 55 48 45 48

(a) Qual a posio do automvel 37 minutos aps a partida, quando foi visualmente avistadopor uma testemunha ?(b) (Desafio) Em que momento t o automvel passa por um posto policial no Km 40 ? Foiantes ou depois de ter sido avistado pela testemunha do item (a) ?

Exerccio 4.2.8 : A tabela abaixo mostra a evoluo no tempo da quantidade de um gsque toma parte de uma reao qumica. O gs, que consumido pela reao, e reposto auma taxa constante, tem concentrao e respectiva taxa de variao medidos por meio deequipamentos.

tempo (s) 0 1 2 4 6 7 8concentrao (mol/) 1.0 1.8 2.3 1.1 0.3 1.2 1.0

(a) Encontre a concentrao de gs no instante 3s usando interpolao cbica segmentada,e as equaes (4.6) e (4.7).(b) Encontre a concentrao de gs no instante 3s usando interpolao por splines cbicosnaturais.(c) Encontre a concentrao de gs no instante 3s usando interpolao por splines cbicosperidicos.

Exerccio 4.2.9 : Resolva o exerccio 4.1.1 usando interpolao por splines cbicos natu-rais.

Exerccio 4.2.10 : Resolva o exerccio 4.1.3 usando interpolao por splines cbicos na-turais.

Exerccio 4.2.11 : Resolva o exerccio 4.1.4 usando interpolao por splines cbicos na-turais.

4.3 Ajuste Discreto via Mnimos QuadradosExerccio 4.3.1 : Regresso Linear. Aproxime y para x = 3.5, usando a tabela abaixo, e areta que melhor aproxima essa tabela no sentido dos Mnimos Quadrados.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11y 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 16.1

Exerccio 4.3.2 : Ajuste quadrtico. Aproxime y para x = 0.33, usando a tabela abaixo eo polinmio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima essa tabela segundo o critriodos mnimos quadrados.

x 0 .25 .50 .75 1.00y 1.00 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

Exerccio 4.3.3 : Ajuste exponencial. Suspeita-se que as variveis x e y cuja amostragem apresentada na tabela abaixo

x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.47

estejam relacionadas por y = beax, a, b R. Para encontrar os parmetros a e b que ajustama tabela, use a relao ln(y) = ln(b) + ax e o critrio dos mnimos quadrados.

Exerccio 4.3.4 : Ajuste exponencial. Resolva o Exerccio 4.1.6 usando ajuste exponencialP = beat.

Exerccio 4.3.5 : O conjunto de dados, abaixo, apresentado a uma das comisses do Se-nado Americano e referente ao ano de 1970, faz um levantamento comparativo das caracte-rsticas da gravidade de acidentes para as vrias classes de automveis. Mais precisamente,a Percentagem de Incidncia (PI) definida como, para veculos na classe em questo, apercentagem entre o nmero de casos em que o ferimento mais grave foi fatal ou srio e onmero de casos de envolvimento em acidente.

Tipo Peso mdio p (libras) PIdomstico de luxo 4800 lb 3.1

domstico intermedirio 3700 lb 4.0domstico econmico 3400 lb 5.2domstico compacto 2800 lb 6.4importado compacto 1900 lb 9.6

Encontre a melhor reta que aproxima essa tabela no sentido dos MQ. Qual o PI que podeser estimado para um automvel com peso de 3700 libras ? O que voc esperaria para ocaso de uma motocicleta com 370 libras, se tal fizesse sentido ?

Exerccio 4.3.6 : Em um artigo tratando da eficincia da utilizao de energia por umalarva (Pachysphinx modesta), L. Schroeder (1973) usou a tabela seguinte para determinara relao entre W , o peso da larva em gramas, e R, a taxa de consumo de oxignio emml/h.

24 CAPTULO 4. INTERPOLAO E AJUSTE DE CURVAS - UFRGS

W 0.025 0.233 0.783 1.35 1.69 2.75 4.83 5.53R 0.234 0.537 1.47 2.48 1.44 1.84 4.66 6.94

Por razes de biologia molecular, assumida uma relao entre W e R da forma R = bW a(e ento ln(R) = ln(b) + a ln(W )). Encontre os parmetros a e b que melhor ajustam essatabela.

4.4 Ajuste Contnuo via Mnimos QuadradosExerccio 4.4.1 : Encontre os valores das constantes a e b para os quais (x) =acos(x) + bcos(2x) melhor aproxima f(x) = e1x2 , no intervalo [1, 1], no sentidodos Mnimos Quadrados.Exerccio 4.4.2 : Encontre os valores das constantes a, b e c para os quais (x) = a +bx2 + cx4 melhor aproxima f(x) = e1|x|, no intervalo [1, 1], no sentido dos MnimosQuadrados.Exerccio 4.4.3 : Encontre os valores das constantes a e b para os quais (x) = ax +bx3 melhor aproxima f(x) = xsen (

|x|), no intervalo [1, 1], no sentido dos Mnimos

Quadrados.Exerccio 4.4.4 : Encontre os valores das constantes a e b para os quais (x) = a +bx2 + cx4 melhor aproxima f(x) = e

|x|

, no intervalo [1, 1], no sentido dos MnimosQuadrados.Exerccio 4.4.5 : Encontre os valores das constantes a, b e c para os quais (x) = a +bx+ cx2 melhor aproxima f(x) = ln(1 + |x|+ |x|3), no intervalo [1, 1], no sentido dosMnimos Quadrados.Exerccio 4.4.6 : Encontre os valores das constantes a, b, c e d para os quais (x) =a+ bx+ cx2 + dx3 melhor aproxima f(x) = xln(1 + x2), no intervalo [1, 1], no sentidodos Mnimos Quadrados.Exerccio 4.4.7 : Encontre os valores das constantes a, b e c para os quais (x) = a +b/x+c/x2 melhor aproxima f(x) = arctan(x) no intervalo [1, 10], no sentido dos MnimosQuadrados.

4.5 Problemas Gerais sobre Interpolao e AjusteExerccio 4.5.1 Em um processo de solubilizao, os valores de variveis t (em minutos) ec (concentrao em gramas por litro), onde c = f(t), so mostrados na tabela abaixo.

t 0 1 2 3 4 5 6c 0.582 0.781 1.381 2.782 1.583 1.550 1.552

(a) Aproxime f(3.5) usando interpolao no-segmentada via Frmula de Newton paraDiferenas Finitas Ascendentes. Mostre todos os passos da soluo; indique os clculosfeitos no computador, quando conveniente.

(b) Aproxime f(3.5) usando interpolao segmentada via Spline Cbico Armado, com = 0.15 e = 0. Mostre todos os passos da soluo; indique os clculos feitos nocomputador, quando conveniente.

Exerccio 4.5.2 Variveis x e y esto relacionadas por 0.5 3 1x2 1 2

0 0 1

uy

w

=

101

(a) Para preencher a tabela abaixo, aplique eliminao gaussiana com pivotamento delinhas; mostre seus clculos.

x 0 0.3 0.6 0.9y -2

(b) Interpole a tabela encontrada na parte (a) para x = 0.5, usando a interpoladora poli-nomial Lagrangeana da tabela.

(c) Interpole a tabela encontrada na parte (a) para x = 0.5, usando spline cbico natural.Exerccio 4.5.3 A tabela abaixo apresenta valores de variveis x e y, onde assumimos quey = ax2 + bx+ c+

d

x+

e

x2,

x 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0y 0.571 0.293 0.123 0.0427 0.0123

(a) Encontre a, b, c, d e e substituindo os dados da tabela na expresso acima, e resolvendoo sistema linear resultante via Eliminao Gaussiana com Pivotamento Parcial. Mostre todasas etapas do processo.

(b) Interpole a tabela dada para x = 1.4, USANDO a resposta obtida na parte (a).Exerccio 4.5.4 A tabela abaixo apresenta valores de variveis x e y, onde assumimos quey = xex

2

, e ento que log(y) = log() + log(x) x2,x 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0y 0.571 0.293 0.123 0.0427 0.0123

(a) Encontre os valores de , e usando ajuste de dados via critrio dos MnimosQuadrados. Mostre o desenvolvimento de seu raciocnio.

(b) Interpole a tabela dada para x = 1.4, USANDO a resposta obtida na parte (a).

Captulo 5

Integrao Numrica - UFRGS

5.1 Quadratura Newtoniana CompostaExerccio 5.1.1 : A Quadratura Composta do Trapzio uma estratgia que divide umintervalo de integrao [a, b] em n sub-intervalos [xi1, xi], i = 1, 2, . . . , n e emprega aRegra do Trapzio

Ii =f(xi1) + f(xi)

2 h

em cada um deles. Sendo h = (b a)/n, definimos xi = a + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n.PEDE-SE: Aproxime numericamente

I =

20

tan

(x2

16

)dx

usando: (a) Regra Composta do Trapzio e 3 intervalos;(b) Regra Composta do Trapzio e 4 intervalos;

Exerccio 5.1.2 : A Quadratura Composta de Simpson uma estratgia que divide umintervalo de integrao [a, b] em n sub-intervalos [xi1, xi], i = 1, 2, . . . , n e emprega aRegra de Simpson

Ii =f(xi1) + 4f(xi1/2) + f(xi)

6 h, onde xi1/2 =

xi1 + xi2

em cada um deles. Sendo h = (b a)/n, definimos xi = a + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n.PEDE-SE: Aproxime numericamente

I =

22

exp(x2)3 + x

dx

usando: (a) Regra Composta de Simpson e 3 intervalos.(b) Regra Composta de Simpson e 4 intervalos.

Exerccio 5.1.3 : Aproxime numericamente

I =

pi0

sin(x)

1 + x2dx

usando: (a) Regra Composta do Trapzio e 4 intervalos;(b) Regra Composta de Simpson e 3 intervalos.

Exerccio 5.1.4 : Aproxime numericamente

I =

31

x2 +

2

3xdx

usando: (a) Regra Composta do Trapzio e 5 intervalos;(b) Regra Composta de Simpson e 4 intervalos.

Exerccio 5.1.5 : A tabela abaixo mostra os valores de duas variveis x e y, onde presume-se y = f(x).

x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.47

Sem criar (usar) novos pontos para essa tabela, aproxime 21

f(x)dx usando:

(a) Regra Composta do Trapzio ,(b) Regra Composta de Simpson.

25

26 CAPTULO 5. INTEGRAO NUMRICA - UFRGS

5.2 Quadratura Newtoninana Composta RecursivaExerccio 5.2.1 : Uma estratgia recursiva de quadratura numrica, proposta por Rom-berg e baseada na Regra do Trapzio, apresentada no seu formulrio para uso em prova,na forma algortmica. Avalie numericamente, com 5 casas significativas corretas,

I =

21

ex

ln(1 + x)dx

usando a Regra Recursiva do Trapzio. (e = 2.7182818= nmero de Euler). Apresenteuma tabela (n, sn, digse(sn1, sn)) e classifique a convergncia desse mtodo, quanto aoaumento da exatido.

Exerccio 5.2.2 : Avalie numericamente, com 5 casas significativas corretas,

I =

e20

ln (1 +x)

1 + x2dx

usando a Regra Recursiva do Trapzio. (e = nmero de Euler) Por qu essa iterao noconverge com a velocidade prevista ?

Exerccio 5.2.3 : O erro de truncamento da Regra do Trapzio dado por

eRT =h2(b a)

12M , onde M = max

x[a,b]|f (x)| .

e portanto tem ordem 2 em h = hn =(b a)2n

, no contexto da quadratura recursiva1.A tcnica de Acelerao de Richardson2 estabelece que a sequncia {un}, onde un =(4sn sn1)/3 tem erro de truncamento de ordem mais alta3, e portanto sua convergnciaser mais rpida. PEDE-SE: revisite o Exerccio 5.2.1, aplicando em {sn} a tcnica deacelerao de Richardson para construir uma sequncia acelerada {un}.Exerccio 5.2.4 : Avalie numericamente, com 5 casas significativas exatas,

I =

pipi/2

sin(x)

cos(x) + ln(x)dx

usando a Regra Recursiva do Trapzio com a tcnica de acelerao de Richardson.

Exerccio 5.2.5 : Uma estratgia recursiva de quadratura numrica, proposta por Rom-berg e baseada na Regra de Simpson, apresentada no seu formulrio para uso em prova,na forma algortmica. Avalie numericamente, com 5 casas significativas corretas,

1eTR(hn) = O(h2n) ao n.

2ou extrapolao no limite3pode-se demonstrar que essa ordem 4.

I =

22

arcsen (xex/20) dx

usando Quadratura Recursiva de Simpson. Apresente uma tabela (n, sn, digse(sn1, sn))e classifique a convergncia desse mtodo, quanto ao aumento da exatido.

Exerccio 5.2.6 : O erro de truncamento da Regra de Simpson dado por4

eRS =h4(b a)

180M , onde M = max

x[a,b]|f (4)(x)| .

e portanto tem ordem 4 em h = hn =(b a)2n

, no contexto da quadratura recursiva5. Atcnica de Acelerao de Richardson, mais uma vez aplicada, estabelece que a sequncia{un}, onde un = (16sn sn1)/15 tem erro de truncamento de ordem mais alta6, e por-tanto sua convergncia ser mais rpida. PEDE-SE: revisite o Exerccio 5.2.5, aplicandoem {sn} acelerao de Richardson para construir uma sequncia acelerada {un}.

Exerccio 5.2.7 : Avalie numericamente, com 8 casas significativas exatas (use for-mat("v",11) em Scilab),

I =

3pi/2pi/2

sin(x+ |x|1/2

)dx

usando: (a) Quadratura Recursiva do Trapzio com acelerao de Richardson;(b) Quadratura Recursiva de Simpson.

5.3 Quadratura GaussianaExerccio 5.3.1 : a frmula de quadratura de Gauss-Legendre para n+ 1 pontos 1

1f(x)dx

nk=0

wkf(xk)

onde x0, x1, x2, . . . , xn so definidos conforme tabela:

4A.Ralston, P.Rabinowitz. A First Course in Numerical Analysis. revised 2nd Ed. Dover, 2001.5eRS(hn) = O(h

4n) ao n.

6pode-se demonstrar que essa ordem 6.

5.3. QUADRATURA GAUSSIANA 27

n xk wk

1

1/31/3

11

23/50

3/5

5/98/95/9

3

0.8611363120.3399810440.3399810440.861136312

0.3478548450.6521451550.6521451550.347854845

PEDE-SE: aproxime numericamente I = 10

sin(x)

1 x2 dx usando:

(a) quadratura de Gauss-Legendre em 2 pontos;(b) quadratura de Gauss-Legendre em 3 pontos;

Exerccio 5.3.2 : a frmula de Quadratura de Gauss-TChebyshev para n+ 1 pontos : 11

f(x)1 x2 dx

n+ 1

nk=0

f(xk)

onde x0, x1, . . . , xn so definidos porxk = cos

((2k + 1)

2(n+ 1)

), k = 0, 1, . . . , n

PEDE-SE: aproxime numericamente I = 21

ln(3 x2) dx usando:

(a) quadratura de Gauss-Tchebyshev em 4 pontos.(b) quadratura de Gauss-Tchebyshev em 5 pontos.

Exerccio 5.3.3 : a frmula de Quadratura de Gauss-Laguerre para n+1 pontos escrita 0

f(x)exdx n

k=0

wkf(xk)

onde x0, x1, x2, . . . , xn so definidos conforme tabela.

n xk wk

1 0.5857864376273.414213562373

0.8535533905930.14644669407

20.4157745567832.2942803602796.289945082937

0.7110930099290.2785177335690.103892565016

3

0.3225476896191.7457611011584.5366202969219.395070912301

0.6031541043420.3574186924380.388879085150 1010.539294705561 103

4

0.26356031971.4134030593.596425777.085810005912.64080084423

0.52175561060.398666811080.75942244868 1010.36117586799 1020.23369972386 104

PEDE-SE: aproxime numericamente 1

x2

1 + 2x4dx usando quadratura de Gauss-

Laguerre com 4 pontos.

Exerccio 5.3.4 a frmula de Quadratura de Gauss-Hermite para n+ 1 pontos :

f(x)ex2

dx n

k=0

wkf(xk)

onde x0, x1, x2, . . . , xn, w0, w1, . . . , wn so definidos conforme tabela.n xk wk

1 0.70710678110.7071067811

0.88622692550.8862269255

21.224474487140.000000000001.22447448714

0.29540897521.18163590060.2954089752

3

1.65068012390.52464762330.52464762331.6506801239

0.08131283540.80491409000.80491409000.0813128354

4

2.0218287050.9585724646

00.95857246462.021828705

0.01995324210.39361932320.94530872050.39361932320.0199532421

28 CAPTULO 5. INTEGRAO NUMRICA - UFRGS

PEDE-SE: aproxime numericamente I =

epi|x|

2 + x2dx usando :

(a) quadratura de Gauss-Hermite em 4 pontos;(b) quadratura recursiva do Trapzio em [20, 20], com 5 casas significativas corretas.

Exerccio 5.3.5 Aproxime numericamente

I =

0

e|x|

1 + x2dx

usando:(a) quadratura de Gauss-Laguerre em 4 pontos;(b) quadratura de Gauss-Hermite em 4 pontos (use a simetria do integrando).

Exerccio 5.3.6 : Avalie numericamente, com 5 casas significativas exatas,

I =

22

arcsen (xex/20) dx

usando(a) quadratura de Gauss-Legendre em 4 pontos;(b) quadratura de Gauss-Tchebyshev em 5 pontos;

5.4 Integrandos Mal-comportadosExerccio 5.4.1 : Aproxime numericamente a integral mal comportada

I =

pi0

sen (x)x

dx

usando a mudana de varivel u = x1/2 e(a) quadratura de Gauss-Tchebyshev com 5 pontos;(b) quadratura de Gauss-Legendre com 4 pontos;(c) quadratura composta recursiva de Simpson, com 5 casas significativas corretas.

Exerccio 5.4.2 : Para aproximar numericamente a integral mal comportada

I =

11

ex

3xdx

use a mudana de varivel x = u3/2, x < 0;x = u3/2, x 0 e(a) quadratura de Gauss-Tchebyshev com 5 pontos;(b) quadratura de Gauss-Legendre com 4 pontos.

Exerccio 5.4.3 : Para aproximar numericamente a integral mal comportada

I =

10

sen(x/4

)x

dx

use a mudana de varivel u = ln(x), x > 0 e quadratura de Gauss-Laguerre com 5 pontos.

5.5 Problemas Gerais sobre QuadraturaExerccio 5.5.1 : Uma barra, com comprimento de 1 metro e seco de rea unitria, econstituda por uma material de densidade no uniforme, tem sua densidade (g/cm3)medida, atravs do uso tcnicas de tomografia, em seces localizadas a x centmetros deuma das extremidades.

x (cm) 0 20 40 60 80 100 2.5 2.9 3.1 3.1 2.9 2.5

Estime, numericamente, a massa dessa barra.

Exerccio 5.5.2 : A tabela abaixo mostra os valores da taxa de variao no tempo (t) damassa m de um reagente que inicialmente de 100 g.

t (s) 0 13 23 29 36 47 60dm/dt (g/s) -1.5 -0.9 -0.4 -0.1 0.4 0.7 0.9

Estime a massa do reagente ao final do experimento. Explique por qu no podemos usar aRegra Composta de Simpson aqui.

Exerccio 5.5.3 : A soluo de uma equao diferencial y(t) = ay(t)+ g(t), onde a R, dada por

y(t) = eaty0 + eat

t0

eas)g(s)ds (5.1)

que um caso especial da conhecida Frmula de Duhamel.Sendo y(t) a soluo do Problema de Valor Inicial{

y(t) +3y(t) = 2 cos(3t), t > 0

y(0) = 2/3,no instante t = 3, usando Quadratura Composta de Simpson e 6 intervalos.

Captulo 6

Soluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias - UFRGS

6.1 Mtodo de EulerExerccio 6.1.1 : O esquema de Euler para soluo de um PVI y = f(t, y); y(t0) = y0usa a diferena mais simples na aproximao (discretizao) da derivada y:

yi+1 = yi +t f(ti, yi)para i = 0, 1, 2, . . .; onde y0 o valor dado pela condio inicial.

PEDE-SE : Duas variveis x e y, onde sabemos y = f(x), esto relacionadas pordy

dt= y(t y).

Sabendo que f(0) = 2, aproxime f(2) usando o mtodo de Euler e h = t = 0.1.Exerccio 6.1.2 : Uma quantidade y evolui no tempo t segundo equao

dy

dt= t y2.

Sabendo que y(0) = 2, aproxime y(2) usando o mtodo de Euler e h = t = 0.1.Exerccio 6.1.3 : Uma quantidade y evolui no tempo segundo equao

dy

dt= cos(ty).

Sabendo que y(0) = 1, aproxime y() usando o mtodo de Euler e h = /20.

Exerccio 6.1.4 : (existncia e unicidade) O Teorema de Picard-Lindelf garante 1 que umPVI y = f(t, y), t > t0; y(t0) = y0 possui soluo nica enquanto f(t, y) for contnua emt e Lipschitz contnua em y 2.

1veja http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem2existe K > 0 tal que |f(t, y1) f(t, y2)| K|y1 y2|, y1, y2 D(f). Tal sempre verdade nos

domnios onde f/y for limitada.

PEDE-SE: em cada caso, procure encontrar soluo numrica em algum intervalo aps acondio inicial e, no encontrando, explique o por qu.

(a):{

y =

1 y2, t > 0y(0) = 1

verdade que y = cos(t) soluo ?

(b):{

y =

1 y2, t > 0y(0) = 0

verdade que y = sen (t) soluo ?

(c):{

y = t

1 y2, t > 0y(0) = 0

verdade que y = sen (t2/2) soluo ?

(d):{

y = (t 1)

1 y2, t > 1y(1) = 1

verdade que y = cos((t 1)2

2

) soluo ?

(e):{

y = y2/3, t > 1y(1) = 0

verdade que y = (t 1)3

27 soluo ?

(f):{

y =y t2, t > 0

y(0) = 1

Exerccio 6.1.5 : Se Tc a temperatura corporal de um paciente (em graus absolutos), umtermmetro capaz de revelar essa temperatura segundo

dT

dt= (Tc T )

onde = 103/seg e t (medido em seg) o tempo trancorrido na medio. Usandoo mtodo de Euler, responda: Assumindo T (0) = 293 (temperatura ambiente), e umatemperatura febril (Tc = 313), qual o tempo mnimo (em minutos) necessrio para umaaferio com 95 % de exatido ? Voc pode comprovar isso usando a soluo exata ?Exerccio 6.1.6 : Ajuste de dados sugere que a populao N(t) de uma certa cultura ani-mal cresce segundo

29

30 CAPTULO 6. SOLUO NUMRICA DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS - UFRGS

dN

dt= (L1/2 N1/2),

onde = 5 102, L = 107 e t o tempo medido em horas. Usando o mtodo de Euler,responda: supondo tal lei de crescimento, em quanto tempo uma amostra de 104 indivduosatingiria 97% de seu valor de equilbrio ?

Exerccio 6.1.7 : Em um processo de decaimento da massa m (Kg) de uma certa amostraradioativa, a anlise de dados obtidos por experimentao sugere

dm

dt= m2/3,

onde = 5102 e t o tempo medido em minutos. Usando o mtodo de Euler, responda:Se isso for verdade, em quanto tempo uma amostra de 2Kg reduzida pela metade ? Vocpoderia validar o resultado numrico usando a soluo exata ?

Exerccio 6.1.8 : A populao de uma micro-cultura de bactrias evolui conforme equaody

dt=

y

L y|L y|

onde = 101 e L = 103 so parmetros intrinsecos desse processo, y(0) = 102, e t o tempo em minutos. Usando o mtodo de Euler, e t = 0.05, responda: Existe umasaturao para essa populao ? Em qu instante 90 % dessa quantidade alcanada ?

Exerccio 6.1.9 : Uma bola de neve que desce pela montanha tem forma esfrica e raior, que inicialmente era de 1cm. Sendo V seu volume, e A a rea de sua superfcie, a bolacresce segundo

dV

dt= 4 ln(A)

onde t mede o tempo em segundos. Resolva a EDO satisfeita pelo raio r usando o mtodode Euler, e responda: Em que instante o raio ser de 2cm ? Em que instante o raio ser de4cm ? Em que instante o raio ser de 6cm ?

Exerccio 6.1.10 : Resolva o exercicio 6.1.1 usando o esquema Central:yi+1 = yi1 + 2t f(ti, yi)

para i = 1, 2, 3, . . .; onde y0 dado pelas C.I. e y1 = y0 +t f(t0, y0). Plote os dadose compare com a soluo do Exerccio 6.1.1. Resolva novamente com h = 0.01 e plote osdados. O desempenho desse esquema parece satisfatrio ?

6.2 Mtodos de Passo Mltiplo de AdamsExerccio 6.2.1 Encontre a soluo numrica do PVI

dy

dt=

0.1y

1 + t2, t > 0

y(0) = .

no intervalo [0, 10], usando t = 0.1 e o esquema Previsor de ordem 2 de Adams.

Complete a tabela abaixo:ti yi ti yi ti yi

0.0 3.5 7.00.5 4.0 7.51.0 4.5 8.01.5 5.0 8.52.0 5.5 9.02.5 6.0 9.53.0 6.5 10.0

Exerccio 6.2.2 : Resolva o exercicio 6.1.3 usando o esquema Previsor de ordem 2 deAdams.

Exerccio 6.2.3 : Resolva o exercicio 6.1.2 usando o esquema Corretor de ordem 2 deAdams.

Exerccio 6.2.4 : Resolva o exercicio 6.1.8 usando o esquema Previsor-Corretor de ordem2 de Adams.

Exerccio 6.2.5 : Uma quantidade y evolui no tempo segundo equao diferencialdy

dt=

cos(t)y

1 + t3.

Sabendo que y(0.5) = 1.5, aproxime y(4) usando o mtodo Previsor-Corretor de ordem 2de Adams e h = 0.1. Apresente uma tabela com os valores (ti, yi) calculados.

Exerccio 6.2.6 : Com o objetivo de resolver numericamente a equao diferencial y +ay = 0 , onde a > 0, propomos o esquema numrico{

y1 = y0 + ahy0

yi+1 =(1 3ah)yi

2+yi12

, i = 1, 2, 3, . . .

6.3. SISTEMAS DE EQUAES DIFERENCIAIS 31

onde h o parmetro de discretizao.(a) Estude consistncia e ordem do erro de truncamento local desse esquema. Estude a

estabilidade-zero desse esquema numrico.(b) Sendo a = 3 , y(0) = 1/2 e h = 0.05, use esse esquema para aproximar y(1);

encontre o valor exato e compare (encontre o erro relativo). Apresente uma tabela com osvalores (ti, yi) calculados.

(c) Entendendo a estabilidade. Refaa a parte (b) para h = 0.01, h = 0.005 e h = 0.001(no precisa imprimir tabela), e encontre os erros relativos na aproximao do valor exatode y(1). Esto diminuindo ?

Exerccio 6.2.7 : Com o objetivo de resolver numericamente a equao diferencial y +ay = 0 , onde a > 0, propomos o esquema numrico{

y1 = y0 + ahy0yi+1 = (2 4ah)yi + 3yi1, i = 1, 2, 3, . . .

onde h o parmetro de discretizao.(a) Estude consistncia e ordem do erro de truncamento local desse esquema. Estude a

estabilidade-zero desse esquema numrico.(b) Sendo a = 3 , y(0) = 1/2 e h = 0.05, use esse esquema para aproximar y(1);

encontre o valor exato e compare (encontre o erro relativo). Apresente uma tabela com osvalores (ti, yi) calculados.

(c) Entendendo a no-estabilidade. Refaa a parte (b) para h = 0.01, h = 0.005 eh = 0.001 (no precisa imprimir tabela), e encontre os erros relativos na aproximao dovalor exato de y(1). Esto diminuindo ?

Exerccio 6.2.8 : Usando o Mtodo Preditor de ordem 2 de Adams, (a) proponha um es-quema numrico para a soluo do PVI{

y + ay = b cos(t), t > 0y(0) = 1

onde a, b R, a > 0. (b) Para determinar y(1), resolva esse PVI para a = b = 2 et [0, 1]. A presente uma tabela com os valores (ti, yi) calculados.

Exerccio 6.2.9 : Usando o Mtodo Corretor de ordem 2 de Adams, proponha um esquemanumrico para a soluo do PVI do Exerccio 6.2.7. Usando esse esquema numrico, apre-sente uma tabela com os valores (ti, yi) calculados.

Exerccio 6.2.10 : Usando o Mtodo Previsor-Corretor de ordem 2 de Adams, proponhaum esquema geral para a soluo do PVI do Exerccio 6.2.7. Usando esse esquema num-rico, apresente uma tabela com os valores (ti, yi) calculados.

6.3 Sistemas de Equaes DiferenciaisExerccio 6.3.1 Considere o modelo predador-presa (de Lotka-Volterra) de interao entreduas espcies:

dy1dt

= y1( y2)dy2dt

= y2( y1)

onde y1 representa a populao da presa (coelho), e y2 representa a populao do predador(lobo). No instante inicial, t = 0, sabemos que existem 300 coelhos e 12 lobos. PEDE-SE:escreva o sistema na forma y(t) = F (t,y);y(0) = y0 e aplique o esquema de Euler nointervalo [0, 180], com t = 0.01. Faa grfico conjunto para as duas populaes, paracada conjunto de parmetros:

(a) = 2 101 , = 102 , = 101 , = 103.(b) = 2 101 , = 102 , = 102 , = 103.

Exerccio 6.3.2 Escreva o sistema abaixo na forma y(t) = F (t,y);y(0) = y0 e apliqueo esquema o esquema Previsor-Corretor de ordem 2 de Adams no intervalo [0, 2], comt = 0.1. Preencha tabela (ti, y1i, y2i) com sua soluo.

y1 =

y12 3y2

1 + y21y2 =

y23

+ 3y1

y1(0) = 10; y2(0) = 20;

Exerccio 6.3.3 Encontre soluo numrica de

y1 = y2 cos(ty1)y2 = 1 ety1 y2y1(0) = 3; y2(0) = 4;

no intervalo [1, 5], com t = 0.2, e usando mtodo de Runge-Kutta de ordem 4. Preenchatabela (ti, yi1, yi2) com sua soluo.

Exerccio 6.3.4 Encontre soluo numrica de

y1 = t y1/3 102y1y2 102y3y2 = 5 + 10

2y1y3 y2/4y3 = 2t+ 10

2y1y2 y3/6y1(0) = 100; y2(0) = 200; y3(0) = 100

no intervalo [0, 2], com t = 0.2, e usando mtodo de Runge-Kutta de ordem 4. Preenchatabela (ti, yi1, yi2, yi3) com sua soluo.

32 CAPTULO 6. SOLUO NUMRICA DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS - UFRGS

Exerccio 6.3.5 Resolva a EDO no-linear para u = u(t){u + euu + cos(u) = t, t > 0

u(0) = 1, u(0) = 1no intervalo [0, 2], com t = 1/10, e via reduo clssica3 um sistema de EDOs de pri-meira ordem nas variveis y1 = u, y2 = u . Use mtodo Previsor Corretor de Ordem 2 deAdams. Preencha tabela (ti, ui) com sua soluo.

Exerccio 6.3.6 Toda EDO de segunda ordem da forma4 x + f(x)x + g(x) = 0 pode serreduzida a um sistema de primeira ordem pela reduo de Linard

x1 = x , x2 = x + F (x)

onde F (x) = x0

f()d. Esse sistema {

x1 = x2 F (x1)x2 = g(x1)

PEDE-SE: aplique a reduo de Linard na equao do Oscilador de Van Der Pol{x (1 x2)x + x = 0, t > 0x(0) = x0, x

(0