LISTA DE PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO

Prof. Ramon Herrera Avila

ENERO del 2014

0. ANALISIS VECTORIAL Y SISTEMAS DE COORDENADAS

1. Un rombo es un paralelogramo equilatero. Denote dos

lados vecinos del rombo con los vectoresA y

B .

Verifique que las diagonales estan dadas por A +ByA B .

Demuestre que las diagonales son perpendicularesentre s.

2. Si los tres lasdos de un triangulo arbitrario se denotan

con los vectoresA,B y

C en el sentido de las agujas

del reloj o en sentido contario, entonces determine que

la ecuacionA +

B +

C =

0 es valida.

3. Dados los vectoresA,B y

C siguientes:

A = 6 i + 2 j 3 kB = 4 i 6 j + 12 kC = 5 i 2 k

Calcule:

a) bB ;

b) B A;c) La componente de

A en la direccion de

B ;

d) La componente deB en la direccion de

A;

e)A B ;

f ) AB ;

g)A B ;

h)A (B C);

i) (A B) C .

4. Los vectores unitarios aA y bB denotan las direcciones

de los vectoresA y

B respectivamente en el plano xy

formando los angulos y , respectivamente con el ejex.

a) Obtenga una formula para desarrollar el coseno dela diferencia de dos angulos, realizando el productoescalar aA bB ;

b) Obtenga una formula para sin( )utilizando elproducto aA bB .

5. Dado el vector A = Ax i +Ay j +Azk, demostrar que:

Ax = A i Ay = A j Az = A k

donde i, j y k son los vectores unitarios a lo largo de lasdirecciones x,y,z respectivamente y, por tanto que:

A =(A i

)i+(A j

)j +

(A k

)k

6. Si los vectores A y B vienen dados por:

A = 3i+ 2j y B = i 4jdeterminar A + B, A B, A + 3B, y 2A analtica ygraficamente.

7. Dados dos puntos P1(2, 0, 3) y P2(0, 4,1), determine:a) La longitud de la lnea que une a P1 y P2;

b) La distancia perpendicular desde el punto P3(3, 1, 3)hasta la lnea formada por P1 y P2.

8. Dado el vector A = 5 i 2 j + k

, determine la expresion de:

a) Un vector unitario bB talque bBA;b) Un vector unitario cC en el plano xy tal que cCA.

9. Demuestre la siguiente relacion desarrollandola en coor-denadas cartesianas, llamado el triple producto vectorial.

A (B C) = B(A C)C(A B)

10. La posicion de un punto en coordenadas cilndricasesta indicada por (3, 43pi,4). Escriba este punto:a) En coordenadas cartesianas y

b) En coordenadas esfericas.

11. Determine los resultados de los siguientes productos:

a) i;b) r j;c) k r;d) i;e) r;f ) k;

12. Considerese el siguiente campo vectorialA = 5r r +

2sin() + 2cos() en coordenadas , trans-

formar el campoA, en coordenadas cartesianas.

13. Demuestre que el vector dirigido de M(x1, y1, z1) aN(x2, y2, z2), esta dado por:

(x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k14. Dado

F = (y 1) i + 2x j, hallar el vector en (2, 2, 1) y

su proyeccion sobre el vectorA = 5 i j j + 2 k

15. TransformeA = y i+x j x

2x2+y2

k de coordenadas carte-

sianas a cilndricas.

1

2I. EL CAMPO ELECTROSTATICO Y LA FUENTE QUE LO ORIGINA.

1. Una carga puntiforme de 106 [C] esta situada en elorigen (0, 0, 0) de un sistema de coordenadas rectangu-lares. Otra carga puntiforme de 106 [C] esta situada enel eje x en (1, 0, 0), es decir a 1 [m] del origen. Caul esla fuerza sobre la segunda carga si el medio entre ellases el aire?Cual sera la fuerza si ambas cargas fuesenpositivas?

2. Cual es la fuerza atractiva entre el electron y elnucleo del atomo de hidrogeno, que estan separadosaproximadamente 1010 [m] (= 0.1 [nm])? El atomo dehidrogeno tiene un electron y el nucleo tiene la mismacarga pero de signo contrario a la del electron.

3. Calcular el modulo de la fuerza repulsiva entre dos cargaspuntiformes de 1 [C] cada una separadas por una distan-cia de 1 [mm]

4. Dos cargas puntiformes identicas estan separadas 50 [nm]en el espacio libre y presentan una fuerza repulsiva de0.161 [N ]. Cual es el valor de cada carga?.

5. Hallar la fuerza sobre una carga puntual de 50 [ C] en(0, 0, 5) [m] debido a una carga de 500pi [ C] que esta dis-tribuida uniformemente sobre un disco circular 5 [m],z 5 [m].

6. Una carga puntiforme Q = 109 [C] esta situada(0.5,1, 2) en el aire. Determinar: Cual es el modulo de la Intensidad de Campo

Electrico a una distancia de 1 [m] de la carga?.

Hallar E en (0.9, 1.2,2.4)7. Dos cargas situadas en el plano xy: Q1 = 10

9 [C] en(0, 0, 0) y Q2 = 4 109 [C] en (3, 0, 0). Determinar el Campo Electrico E en los puntos (1, 0)

y (1, 2), determinando el Campo Electrico debido acada carga y sumando vectorialmente los resultados.

8. Dos cargas estan situadas en el plano xy: Q1 = 109 [C]

en (0, 1, 0) y Q2 = 109 [C] en (0,1, 0). Determinar por suma de vectores el Campo Electrico

E en los puntos (1, 0, 0) y (1, 1, 0)

9. Cuatro cargas de 1 [C] cada una esta en el espacio libreen un plano en (0, 0, 0), (8, 0, 0), (8, 6, 0) y (0, 6, 0). Cuales el Campo Electrico E en (3, 0, 0).

10. Una carga lineal uniforme [Cm

]esta sobre el eje z y se

extiende de 1 y 1, determinar el Campo E, en cualquierpunto (x, y, z).

11. Un trozo de carga lineal recta de 1.5 [m] de largo, posee

una densidad de carga lineal uniforme = 2[Cm

]. Hallar

el campo E en un punto situado a 1 [m] de un extremoy en lnea con la carga y exterior a la misma.

12. Determinar el modulo del Campo E quesea lo suficientemente intenso para equili-brar la fuerza gravitatoria sobre un electron(me = 9.1 1031 [kg] ; qe = 1.602 1019 [C]

).

13. En el plano y = 3 [m] se distribuye uniformemente una

carga de densidad s =1086pi

[Cm2

]. Determinar E en to-

dos los puntos.

14. Dos distribuciones de carga uniformes e infinitas, cadauna con densidad s

[Cm2

], se localiza en x = 1. Deter-

minar E en todas las regiones.

15. Repita el problema anterior con s[Cm2

]sobre x = 1 y

s[Cm2

]sobre x = 1.

16. Determinar E en (2, 0, 2) [m] debido a la presencia de lastres distribuciones de carga siguientes:

Una carga superficial en x = 0 [m] con s1 =13pi

[nCm2

].

Una carga superficial en x = 4 [m] con s2 =13pi

[nCm2

].

Y una carga lineal en x = 6 [m] , y = 0 [m] con = 2 [nCm ].

17. Una carga Q [C] esta uniformemente distribuida en unanillo semicircular de radio a. Determinar:

El campo E en el origen.18. Un cilindro conductor infinitamente largo de radio a tiene

una carga de [Cm

]distribuida a lo largo de su longitud.

Determinar el Campo Electrico E para > a19. Hay una carga sobre el disco circular a, z = 0 de

densidad s = 0sen2 ().

Determinar el Campo Electrico E en (0, , h).20. Dos cargas Q1 = 2Q [C] en (1, 0, 1) y Q2 = Q [C] en

(0,1, 1). Halla la lnea para el cual E = 0.21. Si una carga de 1 [C] esta distribuida uniformemente en

todo el cascaron de una esfera de radio igual a 10 [mm].Cuanto vale E dentro y fuera del cascaron?.

22. Consideremos un volumen cilndrico infinitamente largo,de radio a. si la densidad de carga volumetrica v es con-tante dentro de este volumen y cer fuera. Cual es valorde E en todos lados?.

23. Cual es el valor de E en la superficie de una lamina con-ductora plana que tiene en su superficie una densidad decarga s = 10

2 [ Cm2

]?.

24. Una carga lneal recta de 1.5 [m] de largo, posee una dis-

tribucion de carga = 2[Cm

]. Demostrar que el campo

E en un punto P situado a 1 [m] de distancia, es:

E = 36

[kV

m

]25. Si una carga Q1 = 1 [C] esta distribuida uniformemente

en todo un volumen esferico de radio r = 10 [mm]. De-terminar E y V en todas las regiones.

26. Dos cargas Q1 = 2Q [C] en (1, 0, 1) y Q2 = Q [C] en(0,1, 1). Halla la lnea para el cual V = 0.

27. Consideremos un volumen cilndrico infinitamente largo,de radio a. si la densidad de carga volumetrica v es con-tante dentro de este volumen y cer fuera. Cual es valorde V [V ] en todos lados?.

28. La densidad de una carga en la capa de expresor b aviene dada por s = kr

[Cm3

], donde k es una constante,

b y a son los radios de dos esferas concentricas, cona < r < b. Determinar:

a) E y V para todos los valores de r;

b) Trazar la grafica de E y V en funcion de r.

329. Dos planos conductores paralelos distan a una distanciade 1 [mm] entre ellos existe aire. Si se aplica un poten-cial de V = 100 [V ] entre los mismos, se origina unatransferencia de carga de 108 [C]. Cual es area de lasplacas?.

30. Determinar el modulo (magnitud) de un campo electri-co E que sea lo suficientemente intenso para equilibrarla fuerza gravitatoria sobre un electron (me = 9.1 1031 [Kg] , y qe = 1.602 1031 [C]). Hallar la distan-cia de un segundo electron que debera colocarse debajodel primero para producir el mismo campo E.

31. Ciertas distribuciones de potencial vienen dadas por:

a) V = 3x+ 1 [V ];

b) V = 2y12 [V ];

c) V = 4(x2+y2+z2) [V ].

32. Tres cargas cilndricas y concentricas tiene una carga lin-eal uniformemente distribuida sobre cada clindro. Si elclindro interno de radio = 2 [cm] tiene una carga lin-

eal = s2pi = 10pi[Cm

], el clindro medio de radio

= 4 [cm] y = 4pi[Cm

]y por ultimo, el cilndro

externo tiene = 6 [cm] y = 6pi[Cm

]. Determinar

D en = 1, 3, 5, y 7 [cm].

33. Hallar el Gradiente y el Laplaciano de un campo escalarque vara como:

a) 1r en dos dimensiones;

b) 1r en tres dimensiones.

34. Determinar D en (3, 0, 0) si existe una carga puntiformeQ = 2 [C] en (2, 0, 0) y una carga lineal = 2

[Cm

]a lo

largo del eje z.

35. Usando la ecuacion de Laplace hallar la distribucion depotencial entre dos esferas concentricas conductoras sep-aradas por el espaco libre. El conductor interno de radioa esta a un potencial V0 y el externo de radio b esta aV = 0.

36. Exponer el tema del Dipolo Electrico

4II. ENERGIA ELECTRICA.

1. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntualQ = 20 [C] desde el origen hasta (4, 0, 0) [m] en elcampo E = (x2 + 2y)i + 2xj

[Vm

].

2. Del problema anterior, mueva la carga desde (4, 0, 0) [m]hasta (4, 2, 0) [m] y determine el trabajo realizado.

3. Del campo E[Vm

]del problema 1. halle el trabajo real-

izado al mover la carga desde el origen hasta (4, 2, 0) [m]a lo largo de la lnea reacta que conecta los puntos.

4. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntualQ = 5 [C] desde el origen hasta (2m, pi4 ,

pi2 ), coordenas

esfericas, en el campo:

E = 5er4 r +

10

rsin()

[V

m

]5. Una carga lineal de = 400

[pCm

]a lo largo del eje

x y la superficie de pontencial cero pasa por el punto(0, 5, 12) [m] en coordenadas cartesianas. Halle el poten-cial en (2, 4,4) [m].

6. Halle el potencial en ra = 5 [m] respecto de rb = 15 [m]producido por una carga puntual Q = 500 [pC] en elorigen y referencia cero en el infinito.

7. Una carga total de 403 [nC] se distribuye uniformementealrededor de un anillo circular de 2 [m] de radio. Halleel potencial en el punto situado sobre el eje z, a 5 [m]del plano del anillo.

8. Repita el problema anterior, pero ahora la carga se dis-tribuye sobre un disco circular de radio igual a 2 [m].compare el resultado con el resultado del problema ante-rior.

9. halle el potencial en coordenadas esfericas producido pordos cargas puntuales iguales, pero opuestas sobre el ejey = d2 . Suponga que r >> d.

10. Determine la capacitancia equivalente de la siguientefigura figura 1.

Figura 1: Elemento Capacitivo 1

11. Determine la capacitancia equivalente de la siguientefigura figura 2.

Figura 2: Elemento Capacitivo 2

12. El capacitor de la siguiente figura 3 esta lleno de undielectrico que tiene una permitividad relativa 1 = 4.5;Determine la capacitancia.

Figura 3: Elemento Capacitivo 3

13. Hay una carga distribuida en un volumen v con den-sidad v, que da lugar a un campo electrico con en-erga almacenada WE =

12

vvV dv. Demuestre que

una expresion equivalente para la energa almacenada es:WE =

12

vE2 dv.

14. Halle la energa almacenada en un sistema de tres cargasiguales, Q = 2 [nC], dispuestas en lnea con 0.5 [m] deseparacion entre ellas.

15. Repita el problema anterior colocando en el centro unacarga de Q = 2 [nC].

16. Que energa esta almacenada en el sistema de dos car-gas puntuales, Q1 = 3 [nC] y Q2 = 2 [nC], separadaspor una distancia de d = 0.2 [m]?.

17. Dado el campo electrico E = 5e a , en coordenadascilndricas. Halle la energa almacenada en el volumendescrito por: 2a y 0 Z 5a.

18. Dado el potencial V = 3x2 + 4y2 [V ]. Halle la energaalmacenada en el volumen descrito por 0 x 1 [m],0 y 1 [m] y 0 z 1 [m].

19. El campo electrico entre dos conductores cilndricos,concentricos con radios = 0.01 [m] y = 0.05 [m]

respectivamente, esta dado por E = 105

[Vm

], si se de-

sprecian los efectos de los bordes. Halle la energa alma-cenada en una longitud de 0.5 [m], en el espacio vaco.

20. Una concha esferica conductora de radio a, centrada enel origen, tiene un campo potencial definido por:

V (r) =

{V0 [V ] si r aV0(

ar ) [V ] si r > a

Con referencia cero en el infinito. Halle una expresionpara la energa almacenada que este campo produce.

21. Un condensador de placas paralelas de 0.5 [m] por0.1 [m], tiene una distancia de separacion de 2 [cm] yuna diferencia de potencial entre las placas de 10 [V ].Halle la energa almacenada, suponiendo que = 0.

22. Halle la funcion potencial para la region comprendidaentre los discos circulares paralelos. Desprecie el efectode los bordes.

23. Del problema anterior, las placas estan separadas unadistancia de 5 [mm] y contienen un dielectrico r = 2.2,el potencial en las placas son V (0) = 100 [V ] y V (5) =250 [V ]. Determine las densidades de carga sobre los dis-cos.

24. Halle la funcion potencial y la intensidad del cam-po electrico para la region entre dos cilndros circu-lares rectos concentricos, donde V (1 [mm]) = 0 [V ] yV (20 [mm]) = 150 [V ]. Desprecie el efecto de los bordes.

25. En coordenadas esfericas, V = 0 [V ] para r = 0.10 [m] yV = 100 [V ] para r = 2.0 [m]. Suponiendo espaco vacoentre estas conchas esfericas concentricas, halle E y D.

5III. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

1. Halle la corriente presente en el alambre circular que semuestra en la siguiente figura 4

Figura 4: Densidad de corriente en un alambre

si la densidad de corriente es J = 15(1 e1000) [ Am2 ].El radio del alambre es de 2 [mm].

2. Determine la resistencia presente entre las superficiescurvas interna y externa del bloque que aparece enla figura 5. El material es plata, para la cual =6.17x107

[Sm

]. Si la misma corriente I cruza la superficie

interna y la externa, entonces, la densidad de corrienteJ , esta dada por: J = (k )

[Am2

]y E = ( k )

[Vm

].

Figura 5: Elemento Conductor

3. Un conductor de seccion transeversal uniforme y 150 [m]de largo tiene una caida de voltaje de 1.3 [V ] y una den-sidad de corriente de J = 4.65 105 [ Am2 ]. Determine lacunductividad del matrerial.

4. En un conductor cilndrico de radio 2 [mm], la densidadde corriente vara con la distancia desde el eje de acuerdoa J = 103e400 k

[Am2

].

5. Halle la corriente que cruza la porcion del plano x = 0definido por pi4 y pi4 y 0.01 z 0.01 [m], siJ = 1000cos(2y) i

[Am2

].

6. Dado J = 103sin() r[Am2

]. halle la corriente que cruza

la concha esferica r = 0.02 [m].

7. Determine la resistencia de una longitud L de un cablecoaxial, como se muestra en la figura 6

Figura 6: Resistencia de ailamiento

8. Dada la densidad de corriente J = ( 103

r2 cos()) [Am2

].

Halle la corriente que cruza la franja conica = pi4 ,0.001 r 0.080 [m].

9. Que densidad de corriente e intensidad del campoelectrico corresponden a una velocidad de arrastre de5.3x104

[ms

]en el aluminio?.

10. Considere la siguiente figura 7, determine la resistencia

de la barra curva. Cuyo campo electrico E =K

[V

m

],

donde K es una constante .

Figura 7: Resistencia de una barra curva

11. Una varilla circular de cobre de 1 [m] de largo, tiene undiametro de 4 [mm].

a) Hallar la resistencia entre sus extremos.

b) Cual debe ser el tamano de la seccion recta cuadra-da de una varilla de alumnio de 1 [m] de largo, paraque tenga la misma resistencia?.

6IV. EL CAMPO MAGNETOSTATICO Y LA FUENTE QUE LO ORIGINA.

1. Una corriente continua I fluye por un alambre recto delongitud 2L. Calacule la intensidad de campo magneticoH en un punto localizado a una distancia r del alambrey en el plano que lo divide en dos segmanetos igiales,aplicando la ley de Biot-Savart.

2. Determine la intensidad de campo magnetico en el cen-tro de una espira cuadrada plana de lado d por la quecircula una corriente continua I.

3. Determine la intensidad H y la densidad de campomagnetico B en un punto sobre el eje de una espira cir-cular de radio por la que circula una corriente continuaI.

4. Exponer el tema del Dipolo Magnetico.

5. Un filamento de corriente de 5 [A] en la direccion de j ypasa por el punto x = 2 [m] y x = 2 [m] y z = 2 [m].Halle H en el origen.

6. Determine que el campo magnetico H producido por unalamina infinita de corriente plana K = K j

[Am

], es:

H =1

2K n

[A

m

]donde n es un vector normal a la superficie.

7. Una lamina de corriente K = 10 k[Am

], yace en el plano

x = 5 [m] y una segunda lamina de K = 10 k [Am],esta en x = 5 [m]. Determine H, en todas las regiones.

8. Dado el campo vectorial general

A = (y cos(ax)) i + (y + ex) k [T m]Determine 5A en el origen.

9. Una lamina de corriente K = 6 i[Am

], yace en el plano

z = 0 y un filamento de corriente esta localizado en y = 0,z = 4. Determine la corriente I, as como su direccion siH = 0

[Am

]en (0, 0, 1.5) [m].

10. Un conductor circular de radio 0 = 1 [cm] tiene un cam-po interno:

H =104

{1

a2sin(a) r

acos(a)

}

[A

m

]

Donde r = cte. y a = pi20 . Halle la corriente total en elconductor.

11. Demuestre que el campo magnetico producido por el el-emento finito de corriente que aparece en la figura 8

Figura 8: Varilla finita

esta dado por:

H =I

4pi{sin(1) sin(2)}

[A

m

]12. Las corrientes en los conductores interno y externo de

la figura 9, estan uniformementes distribuidas. Utilizan-do la ley de Ampere demuestre que el campo H, parab c, esta dado por:

H =I

2pi(c2 2c2 b2 )

[A

m

]

Figura 9: Conductor Coaxial

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7V. CAMPOS DINAMICOS Y ECUACIONES DE MAXWELL.

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