Esfuerzos principales

Introducción

Luego de hacer los análisis para hallar los esfuerzos internos en el punto crítico de un elemento mecánico, debe analizarse el estado de esfuerzos en el punto crítico para luego proceder a diseñar la pieza o determinar si un elemento ya diseñado fallará por la acción de las cargas externas.

Las estructuras reales están compuestas de materiales reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzo suficientemente grande. Muchas teorías de falla se basan en evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto alcanza un valor crítico. Resulta entonces necesario determinar los esfuerzos normal y cortante máximos dentro de un cuerpo para compararlos con los valores críticos asociados con las teorías de falla. Los esfuerzos normales máximo y mínimo en un punto se llaman esfuerzos principales.

El tensor de esfuerzos

Considere un elemento infinitesimal tridimensional bajo la acción de esfuerzos:

Sobre el elemento actúan tres esfuerzos normales y seis esfuerzos cortantes sobre lascaras. El estado de esfuerzos en el elemento es descrito mediante una matriz de denominada el tensor de esfuerzos:

El tensor de esfuerzos es simétrico debido a que los esfuerzos cortantes cruzados deben ser iguales para garantizar equilibrio del elemento. En el caso bidimensional

Sobre el elemento actúan dos esfuerzos normales y dos esfuerzos cortantes sobre lascaras. Los esfuerzos cortantes son iguales para garantizar equilibrio del elemento, el tensor de esfuerzos en este caso es entonces:

El caso bidimensional es generalmente el hallado en los problemas de diseño mecánico.

3. Esfuerzos principales

Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos normales principales seno tan cómo σ 1 , σ 2 , σ 3 donde σ 1 ,>σ 2> , σ 3 , y en el ángulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como τmax y en el ángulo de rotación al que se da los esfuerzos normales son el promedio delos esfuerzos normales del tensor de esfuerzos. Los esfuerzos normales principales son los exigen valores o valores propios del tensor de esfuerzos.

Los esfuerzos principales son las raíces de 3.1. El esfuerzo cortante máximo absoluto es

En el caso tridimensional, debe resolverse la ecuación

Diferencia en Esfuerzos normal y Esfuerzos principales

Los esfuerzos normales son los que actúan en la "cara" de una partícula, hay dos tipos de esfuerzos los normales y los tangenciales (o cortantes), la diferencia con los principales es la magnitud ya que los esfuerzos principales SON esfuerzos normales y esa es su principal característica. Se conocen como principales aquellos que se presentan en una determinada posición de la partícula y son los máximos que la partícula sufre. Los esfuerzos principales se presentan cuando los esfuerzos cortantes son nulos, es decir, la posición de la partícula en la cual SOLO existen esfuerzos normales, en esa posición los esfuerzos normales serán máximos y eso se conoce como ESFUERZO PRINCIPAL 

Los esfuerzos en un punto situado sobre un plano inclinado según un ángulo Ɵ se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones:

σ '=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ−τ sin 2 θ,

dσ 'dθ

=−(σ x−σ y)sin 2θ−2 τ cos2 θ=0 (6.3)

Sin embargo, no se sabe si los esfuerzos calculados mediante estas ecuaciones para cualquier ángulo particular son los esfuerzos máximos o mínimos posibles. Los esfuerzos máximos y mínimos en un punto se llaman los esfuerzos principales, y es importante para el proyectista poder calcular estos esfuerzos principales.

Un método para obtener los esfuerzos principales para un problema dado, es para presentar gráficamente los valores del esfuerzo a partir de la ecuación:

σ '=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ−τ sin 2 θ,

dσ 'dθ

=−(σ x−σ y)sin 2θ−2 τ cos2 θ=0

σ

ᶿ

A

B

Fig. 6.22

Con los valores correspondientes de Ɵ. Si esto se hace, se obtendrá una gráfica semejante a la mostrada en la Fig 6.22. Las coordenadas de los esfuerzos principales en la A y B podrían entonces obtenerse gráficamente. Sin embargo, este método es muy laborioso y debe repetirse para cada combinación numérica de esfuerzo que surja. Por consiguiente, es más conveniente obtener formulas generales para los esfuerzos principales.

La pendiente de la gráfica de una ecuación en cualquier punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto, que es la primera derivada de la ecuación de la curva. Para la ecuación:

σ '=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ−τ sin 2 θ,

dσ 'dθ

=−(σ x−σ y)sin 2θ−2 τ cos2 θ=0 , la primera derivada es dσ 'dθ

.

En la figura 6.22 se ve que la pendiente de la curva en el punto donde se presenta el esfuerzo principal es cero (horizontal). Por consiguiente se obtiene una ecuación general para los esfuerzos principales resolviendo un problema de máximo y mínimo, tal como el descrito anteriormente. Esto es, se deriva la ec. (6.3) y se iguala la derivada a cero. Los valores de θ para esa pendiente (cero) serán los valores de correspondientes a los esfuerzos principales.

σ '=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ−τ sin 2 θ,

dσ 'dθ

=−(σ x−σ y)sin 2θ−2 τ cos2 θ=0

Resolviendo esta ecuación, obtenemos

tan2 θ= −2 τσx−σ y

.

DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Cuando se trata del estado de esfuerzos espacial o triaxial, los esfuerzos principales se determinan mediante la resolución de la ecuación cúbica:

Dónde:

σ α=σ1+σ2

2+

σ1−σ 2

2cos2 α

Fuerza  se define como una interacción entre dos cuerpos; es una cantidad física vectorial que se describe mediante los conceptos intuitivos de “empujar” y “jalar”. Desde el punto de vista de la Dinámica, cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, el efecto que tiene dicha fuerza es darle al cuerpo una aceleración y, por tanto, cambiar el estado de reposo o de movimiento uniforme que tenía el cuerpo antes de la aplicación de la fuerza. Esto viene descrito por la Segunda Ley de Newton.  En el ámbito de la Mecánica de los Medios Continuos, lo que nos interesa es el comportamiento que tiene la materia cuando se le aplica una fuerza. En este contexto, el efecto que tiene una fuerza aplicada sobre un determinado cuerpo es la deformación del mismo. Para estudiar cómo se producen las deformaciones, debemos centrarnos primero en entender que la acción de la fuerza aplicada y el efecto producido dependerán directamente del área sobre la que está actuando la fuerza. Este efecto se denomina esfuerzo, se define como “fuerza por unidad de área” y lo vamos a representar por s. Por ejemplo, se tiene un área A sobre la que se aplica una fuerza de magnitud F1 y se tiene la misma área A pero ahora se le aplica otra fuerza de magnitud F2, mayor que F1, como se indica la figura. ¿Cuál de las dos fuerzas ejercerá un mayor esfuerzo sobre A? La respuesta correcta es F2. 

 

  Ahora se tiene un área A1 sobre la que está actuando una fuerza de magnitud F y se tiene la misma fuerza pero ahora actuando sobre otra área A2 mayor que la primera. ¿En cuál de los dos casos descritos se está realizando un mayor esfuerzo? En este caso la misma fuerza ejerce un mayor esfuerzo sobre el área más pequeña, A1. 

I 1=σ x+σ y+σ z

I 2=σ x σ y+σ x σ z+σ y σ z−τ xy2−τ xz

2−τ yz2

I 3=σ x σ y σ z+2 τ xy τ xz τ yz−σ x τ yz2−σ y τ xz

2−σ z τ xy2

  Matemáticamente, las relaciones anteriores entre fuerza, área y esfuerzo se pueden resumir por la expresión: 

      o bien :     La relación anterior es una relación tensorial, de ahí que a s se le denomine tensor de esfuerzos: 

 El uso de los tensores es muy común en Física, siempre que tengamos que describir propiedades de la materia que varíen con la dirección. Si tenemos un cuerpo sólido al que se le aplica una fuerza en su superficie, con una determinada magnitud y en una determinada dirección, los esfuerzos generados se aplican en en interior del cuerpo desde unas zonas hacia las zonas vecinas, dependiendo de su estructura molecular. Por ello, el tensor de esfuerzos no es un escalar, sino una matriz que describe la distribución de los esfuerzos en todas las direcciones del espacio dentro del material. ¿Cómo se distribuye el esfuerzo s  alrededor de un punto situado dentro del material? Vamos a suponer a la superficie de un determinado cuerpo sólido se le aplica una fuerza

externa . Ahora nos fijamos en un punto P dentro de este cuerpo y elegimos un elemento de volumen infinitesimal DV de forma cúbica de forma que contenga al punto P, como se observa en la figura:  

   

Vamos a describir el efecto que tiene la fuerza externa  sobre el punto P. Supongamos que tenemos un plano perpendicular a la dirección x que atraviesa el volumen generando el área DyDz. Debido a las fuerzas internas dentro del cuerpo, el

material ubicado en la parte izquierda del plano ejerce una fuerza   sobre el material ubicado en la derecha y, por la Tercera Ley de Newton, el material de la derecha ejercerá una fuerza sobre el de la izquierda de igual magnitud y dirección

que  , pero de sentido contrario. Esta fuerza no necesita ser perpendicular al área,

puede tener cualquier orientación, por tanto,   es un vector con tres

componentes   que está aplicado al áreaDyDz. Como el

área DyDz es muy pequeña, se puede decir que   es proporcional al área, y el factor de proporcionalidad corresponde al esfuerzo. Así, para cada componente de la

fuerza   tenemos un esfuerzo dado por: 

 ,                 ,                  

  

Ahora consideramos un plano perpendicular al eje cortando al volumen DV por  el área DzDx. De la misma manera que con el plano anterior, una parte del material ejercerá una fuerza de atracción interna sobre la parte vecina y

viceversa,  , la cual no tiene que ser perpendicular al área formada por el plano dentro del volumen. Los esfuerzos generados sobre el área DzDx son: 

 ,                 ,                 Realizamos el mismo procedimiento pero ahora eligiendo un plano perpendicular al eje z. La fuerza interna ejercida entre zonas vecinas a través del área DxDydentro del

volumen es  , y los esfuerzos generados son: 

 ,                 ,                 

Al final, lo que obtenemos es un conjunto de nueve escalares, los cuales son las nueve componentes del tensor de esfuerzos: 

 Las nueve componentes del tensor de esfuerzos nos describen el estado de esfuerzos interno que tiene un punto determinado dentro de un cuerpo sólido. La distribución de las nueve componentes del tensor de esfuerzos, alrededor del punto P, se puede observar en la siguiente figura: 

 

  

Por la configuración anterior, podemos observar que, para que el punto no rote o no se desplace por el efecto de la fuerza aplicada, el tensor de esfuerzos debe ser un tensor simétrico, de manera que: 

,        ,       

Estas componentes se denominan “componentes tangenciales” y las

componentes  , cuyas direcciones son perpendiculares a las tres caras del cubo, respectivamente, se denominan “componentes normales”. Vemos que, debido a la simetría del tensor de esfuerzos, hemos pasado de tener nueve componentes a tener seis componentes diferentes que me describen el estado de esfuerzos en un punto del material. Pero aún podemos reducir más el número de componentes. Siempre podemos elegir un sistema de coordenadas en el que los esfuerzos tangenciales sean nulos y sólo tendríamos tres componentes normales que contienen toda la información sobre el estado de esfuerzos en P. Estas tres

componentes normales se denominan “esfuerzos principales”  . En el nuevo sistema de ejes, el tensor de esfuerzos se puede describir gráficamente mediante un elipsoide triaxial, cuyos tres ejes corresponderían a los tres ejes del sistema y cuyas magnitudes corresponderían a las magnitudes de los tres esfuerzos principales. Este elipsoide se llama “elipsoide de esfuerzos de Lamé ”.  

   

 En resumen, para cualquier estado de esfuerzos en un punto, podemos elegir un sistema de ejes para el que las componentes tangenciales sean todas nulas y sólo estarían presentes tres componentes normales. Si el elipsoide es una esfera, los esfuerzos son todos iguales en todas direcciones. Este estado de esfuerzos correspondería, por ejemplo, a la presión hidrostática. El tensor de esfuerzos y, por tanto, el elipsoide de Lamé varían de punto a punto dentro del material. Para conocer el estado de esfuerzos de todo el sólido necesitamos conocer el elipsoide de Lamé en función de la posición. Físicamente, un esfuerzo tangencial corresponde a una fuerza aplicada tangencialmente o paralelamente a la superficie, como por ejemplo una fuerza de rozamiento entre dos cuerpos cuyas superficies están en contacto. A este tipo de esfuerzos también se les llama “esfuerzos de cizalla”. Desde el mismo punto de vista, un esfuerzo normal corresponde a una fuerza aplicada perpendicularmente a la superficie en cuestión, y su acción correspondería a “jalar” o “empujar”, dependiendo del sentido de aplicación de la fuerza. A este tipo de esfuerzos se les denomina “esfuerzos de compresión”, cuando la fuerza está dirigida hacia la superficie, o “esfuerzos de tensión”, cuando la fuerza está dirigida hacia fuera de la superficie.