link-springer-com-443.webvpn.jmu.edu.cn · 2017-08-25 · unlversite paris vi seminalre de theorie...
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UNlVERSITE PARIS VI
SEMINAlRE DE
THEORIE DD POTENTIEL
SUR UNE DECOMPOSITION DES NOYAUX DE CONVOLUTION DE HUNT
Ma8ayuki ITO *
1. On dcsigne par Rn lTespace euclidien de dimension 1)
Pour 0 = ,on) E Sn ' On pose
et par Sn
(1.1) R(J
..igne x.J
{5. ( 1 s j ;;; n) ] U {o} ,J
au, pour t E lR1Gigne t = 0 si et seulement si t o
Parmi les noyaux de convolution de Hunt sur lRn les noyaux de convolution
de Hunt partes par Ro
sont tres commodes pour la multiplication at la division
des noyaux de convolution de Hunt, car, pour deux noyaux de convolution N1
at
portes par R ,la convolutiono a toujours un sens.
de noyaux de convolutianelementaires verifiant les conditions (1.2) et
La but de cette note est de montrer les deux enances suivants
(1) A un noyau de convolution elementaire N sur lin , on associe une familIa
(N) So oE n
(1.3), d'une facon unique excepte la multiplication par une constante ;
* Cet article est la redaction detaillee de I'expose du 16 Juin 1983
158
(1. 2) Pour a E S quelconque, N (CR ) 0n C 0
(1. 3) N5
Non
(II) A uri noyau de de Hunt N sur lRn , on as soci e une f am.i l Le
(NOJaES de noyaux de convolu t i on de Hunt verifiant 1"5 cond i.t Lons (1. Z), (1.3)n
et (1.4), d'un" uniqu" "xcepte la multiplication par une constante ;
(1.4) Pour une cons t ant.e c > 0 et 0 E: Sn quel eonque s, (N + C E) a -c N
au c est la mesure de Dirac a l'origine.
On dit que No Cst la partie de N sur Ro . Nous ne savons pas si, dans
(II), la condition (1.4) peut etre supprimee.
Comme application, on donnera une condition suffisantc pour qu'un noyau de
convolution sur lR1
soit un noyau de convolution de Hunt.
De la meme nmniere que dans lRn , on pourra donner la decomposition analogue
pour un noyau de convolution de Hunt sur un groupe de Lie el ementaire.
2. Ecrivons d'ahord quelques definitions et propositions connnes ou bien faciles
sur les potenticls par rapport aux noyaux de convolution sur un groupe abelien X
localement compact, separe et denombrable a l'infini.
Un noyau de convolution N sur X est une mesure de Radon positive sur X
et. pour une mesure de Radon ree11e dans X. N '" s'appelle Ie N-potentiel
de iJ des que l.a convoLu tion a un sens , La mesu re de Dirac
pelle souvent Ie noyau de convolution identite.
a l'origine s'ap-
On designe pat CK(X) l'espace vectoriel topologique usue! des fonctions
finies et continues dans X a support compact et par Ie sous-ensemble
constitue des fonctions 0 Pour un noyau de convolution N et I E CK(X) •
N * fest defini au sens usuel,
On dit que N cst borne sit pour f CK(X) quelconque, N * f est bornee
et que N s'annule a l'infini si J pour f E: CK
(X) quelc:onque. lim N * f {x ) = 0
Soient N et NZ deux noya= de convolution. On dit que N1
est divise1
par NZ
s'll existe un autre noyau de convolution N3
tel que N1
= NZ '" N3
159
NT verifie I e pr inc.Ipe de domination relatif a NZ
(re sp , principe transitif de
domination par rapport aNz'
si, pour f, g E: queLconque s ,
(2.1) N1 " f $ HZ 'II: g sur supp (f) .. NT * f :;; * g sur X (I)
(resp. N1
* f N1 "g sur supp(f) NZ " f NZ
"g sur X) .
Dans ce cas. on ecrie Nt NZ (resp. N, C NZ)
• En particulier 5i, pour un noyau
de convolution N,N N > alors on die simplement que N verifie Ie principe de
dominat ion.
On dit que NT verifie Ie principe du balayage reLatif a NZ
(note desormais
N1 NZ) si. pour une mesure de Radon positive dans X a support compact et
un ouvert W relativement compact dans X que l conque s , il ex i sne une mesure de
Radon positive ).J I por te e par til telle que l' on ait :
En particulier si N"f N , alors on dit simplement que N verifie Ie principe du
balayage.
PROPOSITION 1. POW' deus: 'lIoyaux de convolution N1
i 0 et: N2
;t 0 , N1
-c N2,
N1 CN2
et: Hi N2
eont: equivdents et: l.lon a N1
-c N2
s-i. et: seuZement
si, POUl' toute aonstante a) 0 , N] + a I: -c
Voir Ie theot:eme 20 dans [9] . Donc on verra facilement La remarque suivante :
R..marque 2. Suppos ons que N11 N2 • Al.or s , pour une mesure de Radon positive jJ
dans X a support compact et un ouvert w relaeivement compact dans X quelcon-
ques, il existe une mesure de Radon positive por cee par w telle que (2.2)
et (2.3) soient verifiees et que l'on ait :
(1) On designe par supp(f) Ie support de f.
160
(Z.4) Pour une mesure de Radon positive v quelconque, NZ
v
dans X de s que NZ
:!< v a un aerrs e t queN, * V NZ
I< jJ dans I,li
Ce1a s'obtient de la meme maniere que dans la proposition 25 de [9] . On dit
que N, :I<J,J est Ie N,-potentiel balaye de NZ
:I< jJ sur 4; et que p' est uneW
mesure balayee de IJ sur w relativement 11 (N, ,NZ
) Il est evident que I'll :I< jJW
est c ro iSS<;lnt W Si NZ
est injectif(Z) alors 1" est unique. Dans Ieavec w
cas au N N , une mesure balayee de IJ sur relativement a (N.N) s'sppelle
mesure balayee relativement aN.
Une famille (Np)p)O de noyaux de convolution s'appelle une n!solvante s i ,
pour p > 0 et q) 0 queleonques,
(Z.5) N -NP q
(q - p) N * N (Equation resolvante).p q
une resolvante. Si lim N = NP P
s ' appelI e la resol vant;c a s soc ieie
Soi t N un noyau de convolution et (Np
) p ) 0
(vaguemenr ) , a I ors , en posant NO = N, (N) "> 0p p '=
aN. On sait bien qu'elle est determinee d 1 une faeon unique (cf., par Ckemple.
On dit qu'un noyau de convolution Nest regulier 5i
(2.6) n peNv E ....
Cv) {a} •
ou tv designc Ill. total i te de s voi s i.nage s c ompact S de 1 ror igine 0 e t au P (N ; Cv)
est l'adherence de (N * A ; supP(A) C Cv , N N * A} pour 1a topologie vague.
Remarque 3. Soit Nl
un noyau de convolution et NZ
un noyau de convolution regu-
lier. 5i N, < NZ et N2 f 0 , alors N, est aussi regulier.
En effet, on peut supposer que
alors il existe une famille filtrante
N, # 0 . Soit n E n peN, Cv) quelconquev V-
( V ) a droite c: lr e t une famille0. aEA
de mesures de Radon positives telle quefiltrante
et lim N. * Aa. I a.
n Cv ; (,il ,a. 0.
n (vaguement). D'apres
(2) Cela signifie que, pour une mesure de Radon reelle jJ quelconque, I' 0
des que NZ * a un sens et que NZ * 0 •
161
on a NZ * Au E: l'{N
Z; c"'a.) • et done. lim N "11 '" 0 {",aguement). Comme, pour
Ct 2 Il
f E C;{X)+
" f ;;; NZ " gque Lc.cnque , i1 cxi sre g E: GK(X) telle que N, sur X ,
on a f1 '" lim N "A '" a , d 'au n P(N ; Cv) = Iola 1 a vE"lY 1
PROPOSITION 4. Soit N un noyau de convolution, AlaI'S on Q (l) -<=> (2) .
(1) It existe Za resolvante associee d N
(2) Nest- regutiwf' ei: vepifie Le principe de domination.
Voir I e t.hao retne 3 dans [6] . Dans c a ca s , on VI)i t f ac i l amenc que, pour une mesu re
de Radon positive IJ a support compact e.t un ouver t W dans X quelconque, it
ex i ste une. mesu rc balayee de IJ sur W r e l a t i vementaN •
On note r a Jl(X) 1 'ensemble forme par t.ou n le.s noyaux de convolution auxquel s
on pcut; a s soc i e r une r e sol.vanre . Pour un noyau ,Ie convolution N' on pose
6I..(X ; N') '" {N EO 9\.(JO ; N < N'J • D'aprcs la trans Lt i vi t.e de <, on a, pour
N E $.(X ; N') queLconque , (N ) > 0 c :R(X ; N') , oup p
(N ) > 0 est la resolp p-
vante associee a N
Relll1lrque 5,; Pour un noy au de convolution rigulier N' f 0 , :Jl(x N') est vague-
ment fer-me.
Cela resulte de La remarque 3 et; de la pro}losition 4 .
PHOPOST1'ION 6. Soit N'" 0 Ull nouau de eonuol.ub ian Y'eguZier', p > 0 un nombre
fixe et: YP
z.'operatela' de N' ) aans Zui-meme tel. que, P01Q>
N E j\.rx N') quelconque, y (R) Boit Ie p-eme element de la roesclvantep
assoaide d N. Yp est vaguement continuo
Demonstration. Supposons qu'une famille filtrante
vaguemenr ver s N E N') • On designe par
; N') converge
et par
resolvante associie a Na et celIe associee 8 N. Pour notre. conclusion, il
lim Na,p existe, car (N ) Pa: 0:, p a E ,
Pour v E: on dcsignc par
N • Soit f CK+(X)((
telle que, pour a. As E: c;(X)quelconque. Alors on peut supposer qu'il existe
suffit de montrer que lim N '" N lorsqueCl. a,p p
est vagucment borncc. Posons N' '" lim NP a a.p
E' une mesure balayee de £ sur Cv relativcmcnt aa. ,Cv
162
v v fV(x)quelccnque * f N' "g sur X , au
conque,
fC-x) • On a, pour v ( if quel-
(2.7)JrfdN * N' lim {f<IN
P n
S lim JEd eN - N "Cl. Cl. Cl.
" N :> lim ffdl'.,.. " NNCl,p a '" "',F
,C,? * Na,p + JfdNCt " " N,ev Ct,p
s JfdN ,. Nt + lim (gdN' 'I< lo' " NP a J a,cv Ct,p
::; JfdN " N' + lim )gdN t
" 1;:'P Ct a,Cv
car l'equation resolvante et Net eN' impliquent Nt pN' 'I< N • On a encorea,p
N' * £' E peN' ; Cv) , d'apres C. N' , et done (2.7) donneG,Cv v.
ct
(2.8) lim N 'I< Na a a,p N * N'
P(vaguement )
(2.9) epN + <:) ,. N c (pN + E) ,. N'p P
Ceci donne immediatement Np
N' • La demonstration est ainsi complete.p
Une famille (ut)t;<:O de mesure s de Radon positives s'appelle un semi-groupe
vaguemeut; continu s i, 0:0
o , s ;;: 0 e t
1 'application t + at
est vaguement continue. Un noyau de convolution N est,
par definition, un noyau de convolution de Hunt S1 N est, pour un semi-greupe
o vaguement continu, de Is forme
(2.10) N c [ Ur dt •
Dans ce cas, ('\\ est determine d'une f acon unique et
vaguement continu associe aN. Pesens, pour
alors
p 0 • Np
(Np) p ;;:0 est la resolvante aasoc i ee Ii N.
s'appelle I e
[ exp (-ep t )
sem i-sg r oupe
nr dt ;
Soit N un noyau de admettant Une uS8oaiee.
AlO"l"S on a (1) ..... (:'.) -. (3) ;
(J) N
N
est un noyau de convoZution de Hunt.
(3)est
(3) Cel.a signifie que, pour :t: 0 E: X quekonque, N t N " e::r:
163
I (3) N eat: injeatif.
Voi r Le coroUaire 1 de 1a proposition 4. T dans [6.] • Done s i K est un uoyau
de convolution de Hunt, alors, pour une masure de Radon positive dans X a
support compact et un Olivert W dans X, i1 y a une unique mesure balayee de
sur w re1ativeDl!?-nt a
Un noyau de convolution N est die elementaire si, pour une constante
c > 0 et une mesure de Radon positive o.N est de Ia forme
(2. T1) N dE: + L: (0)1\n) •
au (0)"1 entier,Ion
0 et, pour un n 2 quel con que , (0) =*n-l
(0) " 0 •n *0
r. t Co) )n=1 cOn!dt (d. [Z])
tao = et. pour t > 0 quelconque. at = (s +
(at) t 0 est un semi-groupe vaguemenc cont i nu et N= f: atalors
Posans
PROPOSITION 8. Soient N1
et deux Tloyaux de convolution de Iiunt., Si, pour'
v E flJY que Lconque , La meSUl'e balauee de I': SUT' Cv J>elativemen t r.1 N1
est egaZe a celZe reZativement a N2,
alops N1
= aN2 ,au a eDt une
conetante ) 0 •
Demonstration. Montrons que Nt < NZ
Comme supp (N1) 3 0 , il suffit de montrer
que, pour f,g E c;. (X) qucle:onques, NT * f :;; NZ * g sur X des que Nt * f < N2 * g
sur supp{f) Alors on peut ehoisir v E: q,Q/ tel que N1 * f NZ * g sur
supp (f) + v au supp(£) + v .. {x + y ; x E supp If ) , Y E: v} Soil: 1':' la mesureCv
dans
re1ativement a N1
(aussi abalayce de E sur Cv
X,N. l' N. * 1':'J J Cv
donne done
et supp (N. - N. * £' ) C v) J Cv
N2)
• Al o r s on a N. N *£'J j Cv
(j = T,2). La regularite de N.J
(2.12) N.J
(N. - N. *1 1
00
* (c + Eo=T
(j t ,2).
En vertu du principe de domination pour e: +
sur X ,d'au N1 < NZ . De la meme meniere, on a N2
< N1
• Par consequent, 1a
proposition 8 resulte de la proposition connue suivante :
PROPOSITION 9. Soient:
Ique H] < HZ 8/;
164
N] to et Np, to deux tioyaux de et: euppoeone
N2":": • AlaI's H
1est pI'opol'tionneZ a N
2•
Voir la demonstration de la proposition 31 dans [9) •
PROPOSlTION 10. Soit No un nogau. de convolution de Bunt: et: eait: N un noyau
de convol.utrion to. Alors on a (1) - on(1) Pour a > 0 quelconque. aN + No <No
(2) IZ exiete un noyau de convo lu tion de HuntN' te Z que
r:::.1J) N N' z: No
Dans ae DaB, N' est determine d'une unique.
Voir Ie theoreme 32 dans [9] • En regardant aussi Ie theoreme 32 dans [9J , on voit
facilemcnt la ramarque suivante
Remarque 11. Soit NO un noyau de convolution de Hunt et C (N )S 0
l'ensemble forme
par tous les qoyaux de convolution N verifiant aN+N <No 0
pour tout: a > 0 .
Alors Cs(No) est un cSne convexe vaguement ferme.
PROPOSITION 12. Soit N un noyau de convolution de Hunt et: (NpJp"
0 La I'esol-
t·f"l.JE"-t ). sur'roo; J... ([),(r;) <j r) ,
J 2 .L
ei il
;:: It (JRl ; t: <; oj vercfumt I (0,0) e t:
r+ 'N dA([) ellt aUlllli un noyau de de
) p
une cone tan te c';C 0 e tune meS147'(' posi I,-i.e{)!! II I cur JR+'/
d)\ r (p) < 00 t.el.Le a y'ue
Voir Ie theoreme 1 dans [5] et la derniere partie dans [71 •
tout element de La resolvante as&ociee 8 est de La meme
Remarque 13. Soient
et:
forme.
et (N) ;0, 0P p-
les memes que ci-dessus. Pour les memes c
165
Alors, pour q > 0 quelcouque,
(2.15) + IN dA(p) '"p q
+ IN dA' (p ) + qN )P a
Na
au c' et A' sont les memes que dans la proposition 12. Done la proposition
12 donne notre remarque.
Remarque 14. Soient N1,N2, ..• ,N
ndes noyaux de convolution de Hunt tels que
N, '" N *...* N a i t un sens , Des ignons par (N. )"'0 Is r,,-solvante as scc i e e2 n J ,p p s-
it N. (j 1,2, .•. ,0) . Alors, pour une mesure positive v dans :lRn
porteeJ
par R(1 1 1)' r.. r NI '" NZ *... * N dV(P1""'P) dcfinit un noyau, ,", J J ,P, ,P2 ((,PO 1· n 1
de convolution s i et seulement s i 1 'on a J" J max(P1,
15 ...max (Pn
' 1) d\l(p,,. ...Pn) < 00
En effet. soit f E c;(X) verifiant flo) > 0 quelconque; posons
(Z .16)
Connne lim (P1N1)
'" ••• '" (p N ) (veguement ) , on aP ->-00 P ->-rn ,P, n n'Pn1 "', n
(2.17) o < min Ill(p" •• ,Pn
) sP, , •. 'Pn
max Ijl(PI •••• Pn) < 00 •
P1• .. ·Pu
Cela mantre la remarque 14.
PROPOSITION 15. Soient Nl'N2,
••. ,Nn
des noyau:x: de oonnolut-ion de Hunt t.el:e que
(N. ) > ° La I'esolvante aS80ciee aJ,P p-
AloI'S on a :
est un ncyau de convolution de Hunt. AloI's, pour
est aussi un noyau
que Lconque ,
quelaonques, N.J ],p]
(j z: 1,2 •.•• , n)N.J
(])
de convolution de Hunt.
(2) POUI' des constantes 0] Ol: ° ,... ,on Ol: 0 et des
+SUI' JR verifiant
(j:= 1,2 •. . • ,n) queZaonquee,
(C .,A.) l' (0,0)J J
et
mesures positives
(OO !.. dA Jp) < 00J] P J
(2. ! 8)n
j:=](c ,E
J+ IN. d).. . (p))
J,P J
166
est un noyau de convolution de Hunt si et seulement si. pour des constantesn
c1
O"",cn
0 quelconques, * (c. E + N.) est un noyau de convolution dej=1 J ]
Hunt.
Demonstration. Montrons d'abord (1) • Connne N. ,; N. *...* N.J 1 J2 Jk- 1
un noyau de convolution de Hunt, la proposition 10 donne que, pour
est aussi
a > 0
que1conque, aN. + N. 11... * N. -c S. * " N. ,et dorrc a{Pk
N. + £) +Jk J 1 Jk J 1 J k Jk
N. *... * N. -< N. *...* :q. CommeJ 1 J k J 1 lit
(2.19) (N. *J 1
,; N. est un noyauJk,Pk,; ,; N.
Jk-2N.
J 1
est un noyau de convolution de Hunt, et l'on obtient aussi que
on voit, d'aprcs la proposition 10, que N. *... * N.J 1 JI<:_l
de convolution de Hunt. De 1a meme maniere, on voit que
N. "' ••• 1o N. * N. '" N. est un noyau de convolution de Hunt. Done,J 1 J k - 2 Jk - 1 , Pk - l Jk,Pk
par recurrence, on arrive a (1)
Montrons (2) . Soient c! ec (j = 1,2, ••• ,n) une constante :" ° etJ J
une mesure positive sur lR+ telles que # <0,0) , I 1 < 00 crJ J 1 P J
(2.20 ) (c. E + IN. di...(p» * (c E + IN. dA:(p) = N.J J ,p ] J J,P J J
Soient Pl > 0, ••• et Pn > 0 des nombres que1conques.n
cst un noyau de convolution de Runt, on a
Crnnmen
( '"j=l
n;I: (p. N. + E)
j=1 J J
N.), et done, d'apresJ
l a remarque 11 ,
(2.21) E + IN. E C ( N.) .j =1] J. P J 5 j =1 J
Ceei et la proposition 10 donnent immediatement (2), et la demonstration est
ainsi complete.
cst un noyau de convolution de Hunt, alors
cl
> 0,
ki/o: N.
j=1 J
est un Doyau de convolution de Hunt,
un noyau de convolution de Hunt.
n
* N.j=l J
n'est pas toujours(N. + c. c)J ]
En regardant [10J , aD voit la remarque 16, car, si pour tousn
cn
) 0, '" (N. + e. E)j=1 J J
1 'cst Russi quel que soit 0 < k S D •
Remarque 16. Dans Ie cas Dbni/o:
167
Soit N un noyau de convolution de Hunt sur X et une
famille filtrante de mesures de Radon positives dans X. Si (N * A (resp.
(iJa)uE: ti' convergc vaguement et s'D ex i st e une mesure de Radon positive A t el l e
que N '" A air un sens e t; que N '" A i:: Nit" (0. E: 11)0.
(N " lJa )a. EO") converge vaguemerit et l' on a 1 N '" )Jo.
Voir, par exemple, Ie lemme 4.1 dans [6] .
a l.or s ("0'> a E: tI (re sp ,
N It (Linr u ) •0: a
18. Soit IV un 11.oyau de de Hunt sur X et x' UTI
fious-groupe ferme de X Designons par £CX 'Za mesure balauee de 10 sur
ex' reZativement a N Si N{X' ) > 0 alops N iF N kECX' N :0: N £CX'. ,
et "'ex' i:: Nx' k au NX' = N SUI' X' et NX' = 0 dans ex' et,
Demonstration. Soit w un ouvert relativement compact dans X verifiant w c ex'
de E sur W relativement aN. Comme supp(Nx' '" c ex'
on a NX' * s'ex' Nex• dans X D' a pr e s I'injeetivite de N.
On a alors NX' '" N * NCX' dans ex' , ou est 1a mesure balayee
et lim S'wt ex' li.1
on a N I- N '"
, .
ct l'on a evidemrnent N N *
Dans cc cas, on a
• d'oG Ia proposition lB.
(2.22) N - (N *
a dans CX' • car
(2.23) N * (10 - [ex')
N un noyau de aonvoZuticn de Hunt. AlaI'S. que N
I 80it elementaire, it faut et it 8uffit que N({O}) > 0 .
Cela resulte immediatcment de 1a proposition 18.
D'autrc part on a la proposition suivante :
PROPOSITION 20. Soient N un nouau de convolution sur X ver'ifiant Pi -< N et:
I X' un eoue-qnoupe ferme de X. Si N{X') = 0, alorn, pour x E: X que Loonque ,
168
I N({x} + X') z: 0 ,ou LX} + X I z: (x + y y Ex') •
Demonstration. Supposons qu'il exisce x X tel que N({x} + X') > 0 • Alors i1
existe un compact K C X' tel que N(h} + K) > 0 . Soit (Wa ) C1 E !\. une famille
filcrante a gauche d'ouverts relativement compacts dans X telle que
n ill {xl + K • OnaEA C1
tivement aN. Alors on a
par la mesure balayee de E sur wCl.
rEola-
(2.24) N * + K) N(h} ... K) > 0 •
Comme N f 0 , e st; vaguement bornee , et done on peu t suppose r qu'clle
converge vaguement vers £' • Comme lim N * = N * E' (vaguemenBon aCl.
N * c'({x} + K) > 0 • Posons A E' * E alors supp(A) eKe X' et-x
N * A(K) > a . cela est en contradiction avec N(X') = 0 . La demonstration
est ainsi complete.
3. Montrons notre premier theoreme. qui a ete deja introduit dans Ie paragraphe ,.
THEORF:ME 21. SoU N un noyau de convolution elementaipe suP mn . Alors il
esriete uno de noyaux de oonvolution elementaires telle
que IIr/CR0) 0 et u o E: s N'J' Dans oe cas. pour a Sn que Lconque ,n
No est la muttiptioubicn par une oonstante.
Nimonstration. On note w1
{x
m 1, WZ,m [x = (x1,
••• ,xn)
; x, > O} et, pour un entier
w2,m
N • De la
A'm
A et par
relativement a
On dcsigne par
et celie sur
n= (xl"" ,xn) E: JR
xI < ;} n C{O} •
surla mesure balayee de
meme que dans la proposition 18 on a
0.1) et s N dans X,W2 ,m
00 N = N dans (1)1 et Nw,La proposition 18 donne encore
o sur Cw1et au Nw est analogue,
2,m
(3.2) N({O}) - N * '\({O}) > 0 et N({O}) - N * ).'({O}) > 0 .m
169
COlllll1e {M"'A')""m m=t est decroissante. 1a remarque 17 montre que (A' }oom m"'l
conver-
ge vaguement vers la limite A,' lorsque m 00 et que lim N :II = N '" A' .mm+<»
On a done
(3.3) M({O}) > N'" ,,'({a}) et NCW
nc{o}<:N({O}) A' •1
aU Is notation NCW 1 (1 clo)E O,,/m
m-l
est la meme que ci-desslis. D'apres (3.2) et (3.3) •
ont un sens et
""(3.4) N = (N - N • ,,) '" (£ + r (A)·m
IIl"'l(N - N '" :II (£ + I (A')"'m
m=l
COlllIl1e supp(N - N '" A) II supp(X') C CW1
• on a
(3.5) M:II (E - A) * (£ - A') .. 0 dans w1
D'apre.s (J.n. A(CW,) = 0 • On a encore (N - N '" A') (C(w1
U
lim (N - N '" (C(w, u .. 0 • Donem-'>OO
(3.6) N'" (£ - Xl '" (£ - l')(C(w, U - 0 •
Ayant (N - N '" A') '" A({O}) "' a • On arrive a
(3.7) N '" (£ - J,,) * (£ - A') - (N({a}) - N '" £ •
IX> :It
Pasons N(,) - a{E + E (A) m) etrn=l
sont deux constantes > 0 verifiant
'"N' =b (c + E 0,')*m) • ou a e c b
(-1) m=l
a.b - N({O}) - N * A' ({o}) • Soi t v La
sens ,
S un sens et que
= lim ; alorsm+<» 00 *m
E (v') a unm=l
E sur {x - (xl"" '''n) ; x, < oj reLar.Iveme:nt a NI (-1)
1{x (x, •..••xn);
xl> -iii} relativment 11 NC-
D(m = 1,2, ... )'
00
converge vaguement lorsque m w • Pasens(\I' )m m-l
v'({O}) - 0 • supp(v')
On a encore NC_')({O}) > NC- 1) t v'({O}) et
mcsure balayee de
et celIe surm
Alora, de Is meme faGon que ci-dessus, on voit que
170
sont deux constantes N' * \J'({O})H)NC- O ({O})
Posons N = dE; +(-1) L
m=1> 0
et
verifiant
Il eo)c.d
d(e +*m
(\J' )ou et d
hIoTs et: sont trois noyauK de convolution elementaires
verifiant
et, pour t,-l,O,
signe xl j} U {oJ)) Q .
En faisaut la meme discussion pour
des noyaux de convolution elementaires N(j,k)
et N(O) • on voit qu'il existo
1,-1,0 • k 1,-1,0) tel s
que N(. k)J,so i t porte par j , s i.gne x
2=kl U {ol
et que
Done on voi t , par recurrence, l' existence d ' une famille (No) 0 E: S de noyauxn
de convolution elementaire veriiiaut les proprietes cherchees.
MontTons l'uuicite de N (0 E S) excepte In multiplication par unea n
estco '"N': = c",(E: + l: (a') n) ,ou c" " (J [}
mesure positive dans lRil vcrifiant
une autre famille v,,-rifiaut toutes les conditions
est unact'o
et
a E Sn
N' est de la formeo
> 0
constante. Soit
demandees. Alors
une constante
a' «eR ) U {ol) = 0 . Posons, pour j ',-',0 ,o 0
Pour j = l,-',Cl! est une mCsure reelle portee par {xJ
e t N * = N dans cet en serebl.e ouve r t , Dta-pres Le pr i nc i pe de domi na t i on pourJ
N,aj est la mesurc balayee de E: sur {x (x1 •••• ,x n) ; signc Xu jl relati-
vement aN. Ceci montre que, pour
P'apres I tinjectivite do N(j) (j
1.-1.N(j) est proportionncl a
1,-1).N(O) est aussi pr.oportionnel a
171
Done 00 voit, par recurrence, que, pour 0 E So quulconque, est proportionnel
a No. La demonstration est ainsi
Remarquous que, pour un noyau de convolution de Hunt N et une constante
c > 0 • N + oE: est un noyall de convolution elementaire.
TfiEOREMf, 22. Soit N un noyau de de Hunt SUT En . it 6xiste
de de convolution de Huni telle que
pOUl'
c>O,oupoup toute constante
eQt une famille obtenue dans le theoreme 21
"oE Sn
+ eO o) oE Sn
un6 f'ami l/le (Pioj o E Sn
No' (N + esJ o <No
UN
lv' =
Demonstration. Pour un entier ill 1 , on designe par (N ) la resolvantem,p p?O
assac.ie.e Ii N1
Alors N au s s i de convolution elementaire.+-E est un ooyaum m,p
La famille de noyaux de convolution elementalre obtenue dansSait (N ) Eill,P,O 0 Sn
Ie theoreme 21 pour Nm,p
Pour k > ill <: quelconques, on a
0.13) eN .. .! E:) = eN .. .! E:) * N )k m k - m . k,klll!(k-m)
De in memo maniere que dans Ie theoremc 21. on a. pour a E: Sn
quelconque
0.14) Uk (N + 1 s) * N,ID, m 0 k,km/(k-m} ,0
au <lk,m,O est une constante > 0 Ceei montre que
(3.15) (N 1E:)a -< eN .. .! £)+-
m k C
Soit f l' 0 E c;(Rn) quelconque fixee. Pour o E: S et mn
choisit une constante am,a > 0 tel1e que
(3.16) max am,.c (N + .! c) ;, f(x) = 1x E: supp (f) m c:
quelconque on
N'oPosons
(3.16), oj 0
vagucmcnt lorsque
Comme (N + .! e) . -< N + .! E -< N, (a (N + 1 c) ) 1 est vaguement bornee. OnmOm m,a m 0 m-
peut gupposer que, pour a E: S que1conque, (a (N +.! £)0)00 1 convergen m.o ill 1ll=
lim a (N + 1 s) (0 E S ) . D'apresm"')oOO m,a man
De la meme manierc que dans (3.15), on a, pour tout c > 0 ,
(N + cc) . -c N'o a Evidemmcnt, pour a Sn quelconque, satisfait au principe
de domination. Comme
172
Nt < N N' 8&t regu1ier (voir 1a remarque 3), et done ilo ' CI
exi.st.a la resolvanta (Ne' ) :? 0 associee aN',p p - o
1a (esolvante associee a a (N + .1. e) Gommem,O m o
proposition 6 montre que. pour p 0 queleonque,
(0 E: Sn) • Soit «Nm.dp)p
a (N + ! E) -c N • Lam, o ro a
(3.17) lim (N ,)m, p
N'a,p (vaguement ) .
Soit p > a quelconque. Comme, pour tout m , , N pN It (N )m,a p
N est
regulier, (3.17) et la remarque 17 donnent
(3.18) lim N "m+=
(N )m,o p N * N'a.P
(vaguement ) •
que, pour m 1
et o E: S queIconquas , Alar!! il ex i st.en
1 " vque l conque , a (N + - E) * g N * h
lll,a m a
h E C; CRn) telle
sur JRn • Done on It,
(N + l c) I< g(-x» deN ) (x )a me· m,1: p
fgdN' It N'a T.p
pour , E Sn
(3.19)
quelconque.
lim fgd(a (N + .1. E) ) * (N )_ m,a mOm,' P
lim Jgd(a (N + ! E) ) * (N ) TIm IN " he-x)m- m,O III a m, T p _
. f( v(' N I< h -x) -_J
s j'g<lN:, * N'u T,p
deN ) (x)m.T p
et done
0.20)
Posons
1 im a (K + 1 c;) )_ m,O m 0 m,l: p N' * N 'a 1,p
(vaguement ) •
0.21) M(TESP.'11- 0 a
rn,C "ianAlors M -<N et (M )'"
ill,a m-'
(N + 1 <.:) )ill T
est vaguement bornee. On peut supposer done que
(vaguement). De In maniere que ci-dessus, on a pour
converge aussi larsquc m ro • Pasans M = lim M "o nr'"'" m,"
p > a quelconque,
(J.22) N I< (c; - pN' )0,1'
lim N " (l - peN »rn:-t"" "',0 P
1 im M * eN )_ m,O m," p * N'0,1"
173
En faisant p +0 , on arrive a l'egalire
Ceci implique Mo 1 0 , am,T(N
Soit L; a • Pour f e: c;ORn)
a eN"" ,!. E) >\ f :> M I< gm.T m T m,o
+ ,!. E) -< M ,N' -c. Me (m > 1,2, ... ; 1 of 0).m l m,O" -....
quelconque, il existe g"e: relIc que
sur lRn
(m - 1,2, ... ) et I< f ::ii Mo
'" g sur
x . Done. en faisant p + 0 dans (3.20). on a
(3.24) lim a a (N + ,!. £) '" (N + ,!. E)IIr"'" m,O m, T mOm T
(1 'I 0) •
Par recurrence, on obtient que
C1.25) lim ( IT a ) ( '" (N + .l. E) ) '" N'IIr"'" oES m,e oES m 0 a S 0
n n n
On obt i ant; aus s i, que ( II a )'" converge lorgque m"'''' Par consequent,oES ID,er m-1
npour chaque a E: s , on peut choisir un noyau de convolution No propart ionnel
n
a verifiant '" No - N Comma No est non-periodique, No est un noyaueE:s
nde convolution de Hunt ct. pour une constante c > 0 quelconque, (N + CE)a -< No
soit une familIa verifiant les proprietes de l'enonce, i1
on voit que, pour
Pour que (Ne)aESn
suffit de monrrar que, pour
existe une suite (b )'"m,O m-l
(vaguement), D'apres (3,25),
c E: Sn
des nombres > 0
Pour 0 E S , iln
te11e que No lim b (N + 1 c)m.O m a
un sous-ensemh1e E de Sn quel-
conque,
(3,26) lim '" (b (N +.1. E) ) #< N
m-- oE:E m.O m 0 aEE a
Posons E. {('n-; .j) E: s }J n
O,27l M '" (b (N +.!. El (J) at M. '" N (j 1.-1,O)m.i aEEj
m,O m J oEE. 0
J
Comme M . est uu noyau de convolution elementaire (voir Ie theoreme 21).(3.26),m.]
M. 1 0 M. -< N mont rent que M. est un noyau de convolution de Hunt. MontronsJ J J
que. pour j - 1,-1,0,
174
0.28) M.(C (xl •••• ,x)J n
signe xn
j) n c{a}) ., 0 •
Evidemment on peut supposer que j 0 . supposons que. pour
pas lieu. Soit Ill. mesure balayee de E sur C {x
sur {x (xi.··· .xn)x > o}n
E sur {x = (x1·····xn) x » O}n
dans En (m .. i .2 •.•• ) et.Comme N * E' N * E T
m
par rapport Ii N. Soit Ill. mesure balayee de
relativement Ii N +m
relativement Ii M1 • Alors. d'apres Ill. proposition 18, M1 f M1 * E' • Done
a un sensa Evidemment E' est portee par {x (x1•...• xn); xn O} .
k=lOn voit aussi que E T est la mesure balayee de E
pour tout point vaguement adherent de dans
* f $ N * g (m!II
1.2•.•• ) • et done. par recurrence.
{x = (x1•••• ,xn) ; xn > o}
ment). Pour un entier k
telle que
on a
et
lim E' = f':T_mf E: C;ORn
)
et lim N * N E' (vague-
- 0\- nqueleonques. il existe g E CKOR )
0.29)
Comme lim N * = 0k-..ro
et
(k., 1,2 •••• ) •
0.30) lim {r. + 1:lfl'l"O> k=l
(E,)*k •
on arrive Ii» O}xn
j = -1, (3.28) a anssi lieu. Pasons
E + 1: (E,/kk=l
est portee par
H, est proportionnel a{oJ • Par consequent, E'est: portee par
Comme E (E·)*k est aussi portee par {x .. (x 1•...• xn'k=l
une contradiction. De Ill. maniere, pour
CeCl donne que
(3.3l) (* No' (C {xO'EE
j k
En effet, de la maniere que ci-dessus,
i,xn = k} n C{O}) o .
k f o.x = k} n cia}) > 0 • Alorsn
N) (c [x
(* No) (C {x (x1••.• ,xn) ; xn_1 - j} n c{o}) - 0 •
OEE jk
( '"ot:Ejk
0.32)
supposons que
175
Soient et c" Le s mesures balayees de E sur {x = (Xl'··· ,xu) ; k}
relativement a * b eN +1 ) et am,O IlL ao E jk
maniere que dans (3.19), on voit que
* No ' respectivement. De la memeaEE j k
0.33) lim EU " et lim * b (N + 1 1:':) * If ;;,; * N * e" .m m, o m 0 m allt+<" -oEEj k
Comme N * " S N * E.' et N * e" N * ' dans X , on voit.:t de la meme manierem m
que dans (3.30) ,
co(£,,)*k) (£n)*k0.34) lim (E + E E + 1:
k=lm
k=lm->=
De 1a meme faeon que
R ; alars on voit que[J
(3.31) a lieu. Par recur-
UOEE'k1 J
b (N + - c)m,o m a*
est porte parb (N + 1. c)m,o m (J
oEEj kest proportionnel a
aEEj kM, , on arrive a une contradiction. Par consequent,
Ek=l
I:': +
pour
Remarquons que
, on a< N'ac > 0 • (N +
est unique excepte 1a multiplication par(NO) oE Sn
une autre fami11e quelconque verifiant toutes lesSn
Comme, pour une constante
renee. on voit que, pour 0 E Sn quelconque. NoCCRa) =0 . On remarque iei que
n-1No peut erre considere cOmme un noyau de convolution de Hunt sur maEEO
Montrons fina1ement que
une constante. Soit
conditions demandees.
supp(N ) U supp(N') c R , i1 existe une mesurea 0 a
Po = • Done pour une con stante
• Alars
eN. La(J 0
N'(J
d'oU N'(J
N(J
telle queRa
NO < No' • D'apres N < N' eto B 0
positive JJa
dans nt por t ee par
'"o sdem8nstration est ainsi complete.
Question 23. Est-ce que l'unicire de No (0 E so) excepte la multiplica
tion par une constante a lieu sans la condition (1.4) ?
n'est pas toujoursN0-*ait un sen s , Alors
une famil1e de noyaux de convolution de Hunt telle
'"et
Remarque 24. Soit
queaES
nun noyau de convolution de Hunt.
4. NOllS allons donner une condition explicite pour qu'un noyau de convolution
sur :JR; soit un noyau de convolution de Hunt.
176
On dit qu'une mesure positive dans (0,00) est logarithmiquemcnt convexe
5i k(t) dt et k est > 0 at logarithmiquement convexe ou bien k(t) a
dans (0,00). Dans cc cas, k est finie et continue dans (o,ro).
RemarqIJe 25. (voir [1]). La t ot.a l i t e des tne su re s positives e t Logar i thmiquement;
eonvexes dans (0,00) est un cOne convexe.
Soient et +f eo s«0,«» avac quelconques. La
remarque 2S donne que, pour une mesure positive et logarirhmiquement eonvcxe
dans (0,00), (Jf( t + to - s) du (s ) dtest logari thmiqueroent corrve'xe ,
THEORElifE 26. Soit N un noyoll. de oor>ne sur JRl ,K] 'to restriction
au sens des distributions dans (0,00) et
de 1I Ii e t: soil. La mesure dans (0,00) Gymetrique
.1,2) et. NO est un noyau de aonool.ution de Hunt.
convexe
o (j
(j = 1,2) , alops , oil. c.J
est une constante
Nous donnons d'abord les lemmes et 1a proposition suivante.
LEMME 2? SoU f une fonction > 0 , f7:nie e t COi"! tinue dane (0, m) ver'ifum t
0 et oopelienne danG (0,"')' Si11m f(t; < 00 et g une fonctiont->=fest logarithmiquement convexe et <p(t) est decpoissante au sens
alaI'S, pour une mesvye positive # I 0 dans [0,00) V6pifiant
ffrt + $) < m pour tout t > 0 La
(4.1 )
de test aussi dicroissante au sens dans (0,00).
Demonstration. On peut supposer que est a support compact. En eonsiderant une
convolution de g et d'une fonetion de +S< (Q .m) , on peut; supp oser que g est
aussi fiuie ct continue. On voit que fer) est dccroissante au sens large et,
pour tout f(t+a) .a > 0, est crOLssante au sens large. Soient 0 < t
1< t
2
177
qua l conqua s , Alors on a
Jg(tz + g) dj,l{s) JUtz + s)t,p(tz + s) dp (s)(4.2)
Jg{t, + s)d" (s) Jfet l+ &)t,p{t
1+ s)dJJ(s)
[fet2 + SW(tz + s)d,,{s) 1£(t2+ s) dj.l(s)
s sIf(t
l+ s)t,p(tz + s)dj.J{s) If{t l
+ s)d,,{s)
{g{t) + s)dj,l(s) > 0 • Si {g(t) + s)dj,l(s) 0 , alors on a aussi
s)dj,l(s) 0 . Par consequent, le lemme 27 est demontre.
Posons, pour p 0
sur
(4.3) >.p (
0
, \) =
P exp(pt)dt daus
(O,"')
(-=,0)
Alors ;\. e c \I sont. des noyaux de c.onvolution de Hunt sur JR1
• Comme. au sensP p
d ddes distributions, (- - P){dt - q)(Ap * Vq) E • Ap '" Vq est un noyau de con-
volution de Hunt des que (p,q) f (O.O) , On remarque encore que, pour p > 0
quelconque,
(4.4) Ie + vP P
exp("lt])dt=.!.->. ltv2p P P
Les deux lemmes suivants sont bien connus.
LEMME 28. (voir la proposition 10 at Boit K un noyau de convolution borne
8Ul" JRl porte pap (0, co) • Si K est un noyau de. aonvolution de. Hunt
(reap. 0 au sens des distributions dans (0,00)). alors it existe
de [aeon. unique un noga« de aonvoZution K 1 sur JRl porte par [0,00)
verifiant 0 au sena dee diBtributions dans (0,00) (resp_ un noqau.
de convolu tion de Bunt K' pOl'i;;e pal' [0,00)) tel que K" K lAO
LEMME 29. (voir auee i la ppopoBition 10 et: [51) _ Soient N ei: lV' deux nouaux
de convolution SU!' JRl et SuppOBOUB que IV N' = A v , ou p 0 ,p q
q :i:. 0 avec (p,q) i . AZors, pour que IV eo-it: un noyau de cOIl1)olu-
d dtion de Hunt, il faut et: il suffit que (dt + p)((Jt - q)N' ;: 0 au Bens des
distributions en dekops de o.
176
LEMME SoU K t 0 1.tl'i. noyau de 0011VO lut: iOIl 8U1' JRl por-te paZ' fo, 00) Si to
Peotpiotion de K d (C,oo) est Zogarithmiquement oonvexe, aZops K eat un
noyau de oonvolution de Hunt.
Dans Ie cas au K est borne, ceci est bien canou (voir [3] et [4]). Mantrans Ie
lernme 30. On peut suppaser que K - k(t)dt dans (0,00) et K - 0 sur •
au k est > 0 • fiuie et continue dans (0,00) avec lim k(t) < 00 II suffitt->-O
de montrer l'existence de la resalvante associee a K Pour cela, i1 suffit de
mon t r ar que, pour un nombre p < 0 et un ent i.e r n 2 queLc onques , il ex i ste
existe uoe fonc-
t el.l e que
une fanction f 0 , bornee Lebesgue mesurable et portee parp,n
k I< f + .! f :; k p. p , dans lR1 e t k I< f + .! f - kp,n p p,n p,n p p,n
D'aprcs Ie theareme d'existence (cf. Ie theoreme 1 dans [8]) , il
tion f > 0 , bornee, Lebesgue mesurable et portee par [-n',nJp,n
[.! n]I)'
p.p. sur
telle que
[.!,n] .n
k * f,
f ?: k [.! ul+- p.p. sur etp,n p p,n n'hEFT ; f (x) > O} COIlttn k * fp,n p,n
sur supp (f dt )p,n
k p.p. sur
est finie et continue, k I< f kp,n
La fonetion k etant logarithmiquement convexe, k * f (t)lk(t)p,n
est decroissante au sens large dans
1sur lR • Ce I a donne que
,n
n C supp(f dt), et done k * f kp,n p,n
verifie les conditions cherchees.
LEMME Soil. K .:0 E + i: (0.) *n un nouau. de convolution et borne
lliln=1
fdK z: coour' parte pap [ 0,00) et vepifiant Suppo60ns que CI. est
poriee par (0,00) et logarithmiquement aonvexe. Pour t 0 quelconque,
on note 2 t La mesure balayee de E sUr' t t ,») rel.at.ioement: a IC.
> 0 , finie, continue et Jogarithmi-
Demonstration. On remarque d1abord que, pour tout
et que
poz-tee pa Y'
et que l'appli-
(0.) *n
- 1
Lebesgue. Evidemment
t00
1:n."'1
mesure de
t.el.Le que= Joe dat
dans
o , il existe une mesure positive
a;:; rE , d;.< (8)J $ t
Alora, pour tout t
cation [0,00) 3 t + est vaguement continue, car
v (a)*nL est absolument continue par rapport a la
n-1Ida - 1 • Posons a - k(t) dt . Alars k est
179
quement convexe dans (0,00) • Evidemment 1:'t est portee par etl'ona
(4,6) ('t
«K - K * * k) dt dans (t,OO) •
Pour t > 0 et un entier n 2 quelcenques, on pose
(4.7) b (E)t,n
- K '" 1:') * k(s +..!.)t n
si
si
s (""',t)
s E [t,oo)
Al o r s bestt,n
b (g) /k(s +..!.}t,n n
> 0 finie et continue cemme fanction sur [t,oo) et In fonction
est decroiEsante au sens large sur [t,oo) , On voit aussi que
I' application t -s. b d st,n
est vaguement continue. Soient t > 0 et deux entiers
n 2. m 2 quelconques fixes, Designons par F l'ensemble des nombres s tel
que g > et qu'il exisre une mesur a Ss porte e par it,s] or verifiant
(4,8) m-l1. (u + 1.) fb (u ) es (v) k(u + ..!.) pour tout U E: (t,g)m n vton S n
Dans cc cas, fb v •u (u) dB/v) <; k (u + ..!.) pour tout uE (0,00) • On a evidcmmentn
F i 'J ' Pour s E F et t < Sf < S que l.c onque s , on a s ' E F , car
fS '
(4.9) m-lk(u +..!.) b (u) dB (v) k(u + 1)m n t v.n s n
pour toul u E (t.s'),
E F • 8iso
tel que, pour
k(u + 1.) • d'oll unen
dS (v)s,0
+ n) • on choiEit une constante
Alors on voit facilement queso
Supposons que sup s <sET
fb (s) dS {w) > mm- l j, ( so + -nl
) , aloes i.l existeV,n 0 So
u E (t,sl) quelconque, (u + ..!.) ;;; {b (u)
contradiction. 5i Jb (s) dB ;v)v.n 0 se m 0
a > 0 tel que
(4.10) (b (g)J v.n 0
De la meme maniere que ci-dessus, il existe sl > So tel que 8, E F , d'Oll une
contradiction, Ainsi sup s = oc Par consequent, i1 existc une mesurc positivesEF
portee par telle que
(4.11) pour tout u E: Ct,ro) •
180
fonctions finies et continues de t sur
En faisant m + et ensuite n + , on
par [t,"') et verifiant(4.5) • En meme
on remarque que, pour toute+ 1
fECKOR) ,
voit qu'il existe une mesure portee
t !!if's, on a IdJJt[ do: • Dans ce cas,
la suite (JEd K * (bt
1 det,n n=
lo.oo) converge uniformement vers
sur tout compact lorsque n t d'apres Ie theoreme de Dini.
LEMME 32. Soi.t: K un noyau de aonvolution de Hunt Bla' porte pap [0,"') .
I sc, pour un nombre p) 0 , K -c Ap " vp' alore K -< Ap
Demonstration. Soi r (Kq) q <: a La resolvante as soc.i.ee a
et (A * v ) * (q K ) A * v . D'apres (4.4) • on ap p q p p
donne K * 1 E -< A . en faisant q + , on arrive aq p
K • Alors
A >11 (qK )P q
K-<AP
8Upp(K ) C [0,00)q
:;; A • Cecip
PROPOSITION 33. Bait N:I 0 un noyau de convolution bovne SU!' JRl et: sc-ient:
(0 ....)aanvexe dans
:;; 0 au sens des dist."i-
lim N ffx) fit f(--:r.J
Ill+<» 1alors eeiete deux noyau:r: de convoLution de Bunt N+ "It N su" JR tel-8
que N N+ II N_ , 8U[Jp(N+) C et 8U[Jp(Nj C (-ro,OJ.
K1, leB que dans le theoreme 26. Si
butions dans rO. m ) , - Kj
eat Lagapithmiquement
(j 1,2) et a'it exiRte f:l 0 telle que
Demonstration. Comme - K est Logari thmi.queraent. convexe er , pour f E 1) •dt:
2j f{
lim {-: K.} '* Ux) < .... K. 0 au sens des distributions dans CO,"")X-"= t J dt J
(j 1,2) • Posons. pour p > 0 •
(4.12) dN(p) exp(-pltl) dN(t) (designe par N(P) = exp(-pltl)N) •
Alors, au sens des distributions,
d2
d dans (0 ,ro)d
2 ("'<-")-'-T' -2pexp(-pt)jt
(4.13) (-2- pl)N(P) dt
dt d2
d ( ........ O)exP{pt)-2 N + 2pexp(pt)jt dansdt
et done - p2}N(P) 0 au sens des distributionB eD dehors de 0 • En utili-
sanl: la proposition 10 et Ie Ierome 29, on voit qu'il existe un noyau de convolution
de Runt N(p) • sur lR! tel que
181
(voir aussi [91) . Dtapres Ie theoreme 22, il existe deux noyaux de convolution
de Hunt N{P)' et N(P)' teis que+ -
( )'suppeN P ) U sUPP(A ) C [0."") • il existe un Doyau de
+ p
( ) 1
e t supp(N_P ) c (-"".oJ • D'apres (4.14).
Dtapres Ie lemrne 32. on a N(P)t -< A et+ p
il existe un noyau de convolution N(P) tel que(-.oJ
N(P) * N(P)' =A • De Ia meme maniere.+ + P
porte par
tel queporte par
et
c; [0,"")
et N(P)' -< A * v- p p
Comme N(P)'-<A+ B P
convolution M(P)+
D'apres l'injectivite de • On a
et decroissante au sens large dans
(p) (p ) ,• (exp(-pt)N_ ) * (exp(-pt)N_ )
sont des noyaux de convolution de Hunt.
sont barnes et Ie lemme 28 donne que. au sens des
est une fonction finie, continue etou k .J
dans <0.00)
(0,00) et 0 dans
(-00,0) • Par consequent. au sens des distributions, (- dd - P)N(P) 0 danst +
(0) (.'!.. + p)N(P) ... 0 d (0) C d l' h • t."" et s, ans -00, . omme - - K. est ogarl-t m1.quemencit - 2. dt J
convexe, on peut ecrire - i- K = k,(t) dt et K. d.(t)dt (j - 1,2),dt j J dt J J
logarithmiquement convexe au bien k , - 0J
Comme (exp(pt)N(P» * (exP(pt)N(P)') - AO+ +
et exp(pt)N(P)' • exp(-Pt)N(P)'+ -
( )' ( )'exp(pt)N P et exp(-pt)N p+ -
distributions, - dd (exp(Pt)N(P» 0 danst +
et d. est une foncticn 0J
(0,"") . D'apres (4.16), on a
exP(Pt)N(P) * «- - p)N(P» dans (0,00)+ dt -
et
(4.18) K1
exp(pt)«- i- - P)N(P» * «_ i- - P)N(P»)dt' dt + dt-
dans (0,,,,)
Comme
(4.19) (-!... - P)N(P) * ip)tdt -
182
on a
(4.20)
et
aU i(p)' est 1a mesure positive sur [0,00) sym trique avec N(P)' par rapport
(0."') •dans
est logarithmiquement
= 0(0,"') , alorsdans
SupP050ns que kf
0 • Alors k1
> 0 dans (0,00) et l'on peutd ,k: est une fonction decroissante au sens large dans (0,00). En
1lemme 27, (4.20) at (4.21), on voit que
a l'origine.
supposer que
utH isant Ie
convexe dans
D'apres Ie lemme 30. N(P) est un noyau de convolution de Hunt. De Is meme maniere+
que ci-dessus. N(P) est aussi un noyau de convolution de Hunt. Comme
a > 0 telm
.. a NO1m)m
Nm.-
et.. .L N(1 1m)a +
mque dans Ie
Posons
f(-x) 0 et. au sens des distributions. _ dN > 0 dans (0,"')dt -
(-"".0)+ 1
quelconque. lim N .. g(x) .. 0, on a, pour g E: CKOR )X""'" + 1
g(-x) = 0 . Done, on peut supposer que, pour toute gEScOR).
o . Pour un entier m 1 , on choisit une constante
a N(1/m) * f(x) .. 1m-
N N(t/m) • De La meme manierem,-
au bien lim N 1<
X--lim N * g(x)x+""
lim N :It f(x)N 1<
X-- dNet dt;:: 0 dans
que supxEsupp(f)
!lors N ..m,+
est vaguement bornee et toute mesure vaguement adherente est non nulle. Done
(Nm,+):=l
(N )""m,+ m=t
Alors N+
est aussi vaguement bornee. On peut supposer que (N etm.-
convergent vaguement. Po son s N = lim N et N+ lim Nm,,- In,-+-
.. N S N • Comme N_ 0 , N_ est un noyau de convolution de Hunt, car
N -c N Soient (N ) > 0 et (N) > 0 la rl:lsolvante associee a N e tm,pp_ pp_ m,-
f E C;OR1
) , il existe
S N(1 /m) * g s N * gm
N_, respectivement. Comme. pour toute
quelconque. Nm
_ 1< f,g • on vait, de la meme facon que dans la proposition 6, que,
telle que. pour
Nel:
celle associee a
pour tout p > 0 ,
(4.22) limNl1't'""" m,p
NP
(vaguemant ) .
183
En eHet, soit (' la mesure balayee dero,k
( sur ("""',-k) par rapport a
Nm _ (m 1,2, •• ; k ',2, .. ) . Alors fdE' 1 , et done, m,k
lim lim JgdN .. E' k = lim lim fN '" gd(' =0 ,car lim N '" g(x)k"""" nr><" ill, k-+= n:r>= . m, k x:+ _ '"
meme on a, pour tout p) 0 ,
o . De la
Par consequent,car
(4.23) limn:r>=
p fdNm,p
1'I .. Nm,p
N .. NP
et lim N1lf'<" m,+
.. Nm,p
(vaguement )
(4.24) N .. N+
'" (r; - pN )P
lim N '" Nn:r>= m,+ m,pN * (E:. - pN ) •
p
En faisant p 0 f on arrive a N * N+N • Ainsi N+ 0 , et done est
aussi un noyau de convolution de Hunt. La demonstration est ainsi complete.
sont logarithmiquement convexcs et decroissantes au sens large dans
k.J
et
(O,co) ,
d-d k.
t J
(0,"")
0 , floie
est une fonctionk.J
k. 0J
lim k , (x) k z(x) = 0,x-"<'"
= 0 • Evidemment on peut
est borne, on a
k. dt, ouJ
possede une denslte
N
K.J
est logarithrniquement convexe daos
co ,00) • Con:rne
d2
dt2 Kj
peut ecrire, on
dans
(0,00) • Done il suffit de mootrer que, dans Ie cas ou
est un noyau de convolution de Hunt au bien N
d2
N 1- 0 • Conme --2 k.dt J
est decroissante au sens large et Ie lemme 27 donne que
c t continue (j 1,2)
0 et de classe C2
dans
N
Demonstration du theoreme 26. Comme
supposer que
d2-kdt2 j
(j = 1,2) . D'apres Ie Lemme 3D, on peut supposer que k1
0 et k2 1- 0 .
En utilisant la proposition 33, il ex i s t a deux noyaux de convolution de Hunt
N et N+
sur JR1
tels que N+ * N = N , suppeN) C [0,"') et
supp(N_) c . Done il suffit de montrer que N < N , car, si e'cst vrai,
alars, pour deux cntiers m) n ) 1 quelconques,
(4.25) N * N + N * N * E' N *+ +,n + -"n ....m"n1dans JR •
ou s ' r..'+,n" -In
et sont les mcsures balayees de sur (n,oo) relativ,,-
ment a N+, celIe de sur (- "",- n) a N et celle de f sur
(m,n) U (- m,- n) r el a t i vemenr; a :'I. e t done on arrive a La regularite de K.
Rappel cus que La total i te des noyaux de convolution verifien t l e pr i nc i pe
de domination est vaguement fermee. En utilisant La remarque 25,
184
on peut supposcr que N({O}) 0 et k.J
est bornee et de classe
ccC dans (0,"") (j 1,2) , car, pour t ) 0 et une fonction (J) 0
ode
dans (0,"") verifient la meme condition+ t - s) ;Pes) ds deo
t
quelconques les fonctions (t + t s)!p{s) dso
que pour k, "t k2, au ;p( a) !p(-s) . Comm" , pour tout p ) 0 , exp(-p I tl)N
verifi" l a mem" condition que pour N (voir la remarque 25) , On peut suppos"r
encore que fdN < "" • Dna fdN+ < "t fdN_ < 00 • Soient N' et NT deux+
noysux de convolution verifiant supp(N:) C [0,=) , C (-oo,oJ ,v
N N' '" A et N * N' A+ + a 0
Al d d i ibut i d N' ... 0ors, au sens es lstrl utlons,- dt +
dans (O,"") et 2- N' 0dt - dans (-00,0) (voir Ie Ierome 28). D" la mem" manier"
que dans Is proposition 33, On a
(4.25) N+
([ - 2- k (t + s) dN_'(S) ds) dt dansdt ,o
(0,=) ,
(4.27) - N+ '" (f"" d\k, (t - s) dN'(s)dt dans (0,"") .a dt
de convolution de Hunt. De Ia meme maniere, Ies restrictions d"
Done Ies restrictions de
et d"
"st un noyau
d v- dt N_
sont logarithmiquement
dans
sur
?; 0
2-Ndt +
- 2- Ndt +
et de
Comme
N+
(voir Ie Iemme 27)convexes
sur (0,"") sont aussi convexes, "t NT est un noyau de con-
volution de Hunt.
Par consequ"nt, Ie lemme suivant montre notre theoreme 26.
LEMME J4. Soient N] '1 0 et N2" 0 deux noy= de convolution sur 1R1
portes
pal" CO ,(0)v
s'annulant d l'infini. Supposons que N1
N2
a un sens. Si
d <; 0 des distributions dans dedt Njau Bens (o ,») et si La restriction
d(0,00) logarithmiquement convexe (j = 1,2)- at Nj sur' est , alors
N1
N2
est un noyau de convolution de Hunt.
Demonstration du lemme 34. D'apres Ies Iemmes 27 et 30, on peut supposer que Is
restrict ion de N. sur (0,"") ne s' annule pa s (j '" 1,2) . En utilisantJ
185
lim pA ( (vaguement) et en rappelant Ia discussion dans la demonstration duv- p
thcoreme 26, on peut supposer que N. - k. dt et - i- k, est > 0 et 10ga-J J dt J
ritbmiquement convexe, aU k.J
est une fonction ) 0 , bornee et de classe<;0
C
Ie noyau de convolution de Hunt porte par
(0,"")
et
est un noyau de convolutionN.J
o au sens des distributions dans
fdNJ! - ec Posoris a, lim k , (t )
J tioo J
J
(j .. 1,2) • C01Illne
(0,"") (j 1 ,2) • Soit
N. s'annule 11 I'infini, on aJd
(- --d k.ja.)dt dans (0,""); alorst J J
dans
[0,"") tel que N. * N! - AJ J a
de Hunt (voir Le lemme 30), - dd ;?;t J
0..J
Comme
(4.28) a. N! * (0: - a,) .. (J J J
sur (O,t]
e:J, t J t
, . Pour tout t) 0 et i > 1,2,c +j ,t J ,t
j 1,2, on pose (a.) .. a.) t J
.. aJ• - (aJ')t' c. .. Id{a,) et
J, t J t(0.. ) = 0 dans (e ,"') (0. .) ,
J,t J t
Dna e. ) 0 , ) 0 etJ,t J,t
on a
J.l. portee par [ t,"") telle queJ,t
(j - ',2) dans (t; ,"') ouJ,s
tivement 11 N! . Pour t ) 0 etJ
et Idctj - , (j 1,2). On peut supposer evidemm.ent que a1
"z .. 1 • D' apre s
Ie lemme 31, on voit que, pout t) 0 quelconque, il existe une mesure
IdJ.l . = I"" 00, et 0.. I(! du , (5)
J,t t J J J,S J,t
est la mesure balayee de 0: sur (s,"') rela-
(4.29) N! * (c ! 0: - (a,) I )J J,t J t
et done, (4.28) donne que
(4.30) * (c , E- (Il) t) ::l 0 en dehors de 0 .) J , t J
On pOSlO, pour une constante d. et une mesure positive cr. dans }R'J ,t J,t
(4.31) N: * {c. E- (o.j'r) .. d. 0: - cr. (j D 1,2 ; t ) 0)J J,t J,t J,t
Alors d. ) 0 er supp Ic , ) c [0,"") , car N!{{O})" 1 • Posons, pour p) 0,J,t J,t J
N ,- exp(-pt)N, et N' ... IOXp (-pt)N: : alors N . * N' , .. A Poaonsp,J J p,J J Pd p,J P
encore E', .. exp (-pt) E '. ; al or s E'. est la mesure balayee de E surp,J,s J,s p,J,s
(s ,oo) relativement 11 N', En posant 0. •P,) P,J
exp(-pt) 0..J
on a
186
(4.32) Nt • * (E - 0. .)P,] P,]
E (j 1.2 P > 0) •
(n.) et aJ t
t > o} • Alors (4.32)
(0. .)' les mesures positives analogues ap,] t;
exp(-ps) O. (j 1,2 ;J,t
et:(ll .)P.] t:
at po sans(0.j)
Soient
(4.33) N' . * (e. 0: - (a .» d. E - a .Pd J.t Pd t J,t Pd. t
Comme., pour p > 0 queleonque, fdN T• < 00 et ej,t > Idea .) , on a
P.J Pd t
d. t > [dO' . . En faisant P + 0 , on arrive B. d. i:" Jdo. (j 1,2)J, p,),t J,t J.t
Comme. pour j 1.2 et t > 0
(4.34)
loNj
N! -. (0: - o:! )J J.t
dans
dans
[O,t)
et - N! 0 au sens des distributions dans (0,00). on voit que. au sens desJ
distribut ions.
(4.35 ) _!- N' * (c! E (a.)t) 0dt j J • t J t
dans (0.00) (j 1.2 t > 0) •
Comme. dTapres (4.28) et (4.31) •
(4.36)
(d E - a ) * (£ - Nt * (cZ'l,t: ',t: 2
on a
1,2)et
v v(N, * (c 1, t £ - (Il,)t)) * (Ni * (c2 , t £ - (0.2)t) 0 dans C{O}
d. 2; fda. (jJ.t J,t
(4.37)
On remarque LcI que (4.35), supp'{u , ) c [0,"')J .t
dopuent
(4.38) N' * (c ' £ _ (0. )T) * (d E- .t) a: 0 dans (0."'), l,t 1 t Z,tet
v(ci
Z)(4.39) Nt * (c' c > * (d"t E C"t) 0 dans (""""'.O)Z Z.t
Dna aUBsi, pour tout p > 0 ,
187
en dehors de ° . Po sons b. t = 1_ {SdCa.) (s) (jJ, e L t Jt
b. > 0 e tJ , t
1,2 t > 0) alors
(4.41) I " 1lID b b
ttol,t2,t
d(dt + p)(-
"11: ' I< N I * (E -p,l p,Z
v+ p ) N' * K 'p,l p,2
(a ) * (c - (a."V )p,l t Cz p,2
,t
en dehors de o _ Done
i _ 2)N'v
(4.42) (- ;, N' 0 en dehors de 0dt
2 P p,l p,2
Conunc
" \/
(4.43) (N 1 ;, N ) ;, 0;' ;, N' ) A * vp, p,2 p,l p,Z P P
faisant p + 0 , on voit que
Ie 1emme 29 montre que Np.' ";, Np,2 est un noyau de convolution de Hunt. Bn
VN, ;, N
Zest aussi un noyau de convolution de Hunt,
droll Ie lemme 34.
Ainsi Ie the-oreme 26 est demontre.
On dit qu'une mesure positive p dans (0,00) est 10garithmiquement convexe au
sens des distributions si, pour un nombre t > 0 et une [ooction (jl -,. 0 de0
cLa s se CCO .a support (O,to)
que1conques, 1a fonction f(jl(t + t - s) dp (s)0
de t dans (0,"') est logarithmiquement convexe. D'aprcs 1a remarque 25, une
mesure positive dans (0 ,co) est 10garithmiquement convexe au sens des distribu-
t ions s i e Ile est 1agar i thmi quement C onvexe •
En rappel ant 1a demonstration du theoreme 26. on aura la remarque suivante
Remarque 35. Soit N un noyau de convolution borne sur )R' et soient K , et K Zd2
de s mesures dans (0,"") de:finies dans 1", th"oreme 26 sidt2 K" >: 0 au sens
dZ J
des d i stribut ions et si K. est logarithmiquement convexe au sens des distri-J
butions (j = 1,2) ,ulora N est de la meme forme que danS 1e theoreme 26.
iDans ce cas, ---2 N est dire logarithmiquement convexe au sens des distribu-dt
tions en dehors de O.
Par consequent, on aura 1e theoreme suivant
188
Goit convexe au sens des en
est un cone convexe vaguement ferme et touL
THEORE!.fE 36. SoU rt> 001)
tele que L Ndt2
de O. AloP$
['ensemble des noyaU$ de bornes N
de $(JR1) eat de La fOl'l7le {if:= c1No
+ (')2d t of) (')1,c2
et: No
sont les memes que dans le vheoreme 26. POi£!' IV tOE: ¢ (JRl) • N est un rl.OYQU
+ 1de convolution de HunL si el seulement s'iZ existe flO CKGR) telle
que lim N " J'(:r,m .0!
X""""o .
+ 1f 1 0 E: SK{R ) • on
$(JR1 ; f) est
est un cone convexe. Pour
max N * f(x) 1J. Alorsx supp Cf)
une base compacte ot convexe de II est irrteressant de determiner l'ensenr
ble des points extremaux de ; f)
La remarque 25 montre que waR 1)
pose ; f) = {N E ¢lOR!) ;
Par excmple, en posant
(4.43) p 00 , 0 q ;> ee) ,
ou A ° et \I 0 on a K: ¢(JR1) , e t done, pour00 00
j:qlO,oo) quelc.onques,1
)J1 ,j.JZ sur d)Jl (p)d)JZ(q) E: ¢(R )F,qest un noyau de convo1ution.
deux mesures positives
des que
5. Nous donnerons encore Ia decomposition d'un noyau de convolution de Hunt sur
un groupe elementaire de Lie. Plus generalement, on pose X = lEln
x ZI: m x F , ou
n,m sont des entiers est Ie groupe additif des entiers et ou Fest
un groupe abelien compact. Designons par °1,°
2et 03 les origines de lEl
n
de ZI: m et de F, et par {1 ,_l,O}n+m •
Posons, pour 0
(5.1) '"Ra
e t R( ) = {Ql} x {02} x F° 7 " •• )0Alors, de Ia meme maniere que dans Ie paragra-
phe 3, on aura Ie theoreme suivant
THEOREME 37. A un noyau de convolution elementaire N sur X. on aeeoo-ie une
189
famiUe (NO)o S de noyauz de elimentaires vOl'i}'iant Leen+m
conditions (5.2) et (5.J) d'une unique par
une conetant:e :
(5.2) POUl' 0 E S que loonque , N reR)n+m 0 (J
o .
NaN==(5.J)O Sn+m
(II) A un ncqau de oonvol.ution de Hunt N BUl" X. on associe une tamiZZe
(NO)a S de noyaux de convolution de Hunt vepifiant Zes conditions (5.2),n+m
(5.3) et: (5.4) d'une unique excep te La multipLication pal' une cons tantie
(5.4) Pour une constante (] > 0 et 0 E Sn+m quelconques, (N + < No '
ou ((N + eE)o)o s est une famille obtenue dans (1) pour le noyau den+m
convolution dlementaire N + •
On dit qu'une suite (an):_o de ncmbres
est croissante au sens large.
a = an n+1
(n O. T,2, ••• ) ou bien s i an
> 0
est
(n
10garithmiquement convexe siII
O 1 2 ) et (n+1 )""", ... a n=O
n
De Is meme facon que dans le theoreme 26, on voit la proposition suivanre
PROPOSITION 38. Boit Kt n) un nouau de convolution borne BUl' <Z. Si
K(n + 2) + K(n) 2K(n + l),K(-n -2) + K(-n) 2K(-n -1) (11. = 0,1,2, .•• ),
K(n + 2) + K(n) - 2K(n + 1));=0 et (K(-n -2) + K(-n) - 2K(-n -l}):=a
sont convexes et 8i lim K(n)X(-n) =0 alors K(n) estn--
un nouau de convolution de Hunt: SUI' ou. bien K = a .
Pour montrer Is presente proposition, on utilisera Ie Iemme cannu suivant au lieu
du lemme 30.
Hunt au bien k = 0 .
est logarithmiquement conuexe ; alore kin ) eei: un noyau de
LEMME 39, Soit ken)
ISi (k(n) ):=0
convolution de
un noyou de convolution SUI' <Z porte pap + = hi E 11. <: oJ.
190
BIB L lOG RAP HIE
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- The G!I.llIIlla function.New York. Rolt. 1964.
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- Sur une famille sous-ordonnee au noysu de convolution de Hunt donne.Nagoya Math. J •• 51. (1973). 45-56.
[5] M. ITO.
- Sur les cones convexes de Riesz et les noyaux de convolutioncompletement sous-harmoniques.Nagoya Math. J •• 55. (l974). 111-144.
[6] M. ITO.
- Sur Ie principe relarif de domination pour les noyaux de convolution.Hiroshima Math. J., 5. (1975). 293-350.
[7] M. ITO.
Sur I'unicite du cane convexe divisible constitue par de noyauxde convolution de Dirichlet.Nagoya Math. J •• 57, (1975). 127-152.
(8] M. ITO.
- Le principe relatif de domination et Ie principe transitif dedomination pour lea noyaux-fonctions boreliennes.Hiroshima Math. J .• 6. (1976). 207-219.
[9J M. ITO.
- Sur Ie principe de domination relatif, Ie balayage et les noyauxconditionnellement sous-medians.J. Math. pures et appl., 57. (l97B), 423-451.
191
[10) M. ITO.
- Sur Ie probleme de Ghaquet concernant la TV-inegalite.a paraitre dans ce volume.
M. ITO
Departement de Mathematiques
Faculte des Sciences
UNlVERSITE DE NAGOYA
Furo-cho. Chikusa-ku
NAGOYA. 464
Japan