linearna algebra 1 skripta za nastavnicke studije na pmf-mo

LINEARNA ALGEBRA 1

skripta za nastavnicke studije na PMF-MO

Zrinka Franusic, Juraj Siftar

Sadrzaj

1 Vektorski prostori 21.1 Osnovne algebarske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Binarna operacija. Grupoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Prsten. Polje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Definicija i osnovna svojstva vektorskog prostora. Primjeri . . . . . . . . . . . . 161.3 Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Linearna nezavisnost. . . . . . . . . . . . . . 211.4 Baza vektorskog prostora. Dimenzija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Potprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6 Presjek i suma potprostora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Matrice 402.1 Definicija matrice. Vektorski prostor Mmn(F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Neke posebne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Elementarne transformacije i elementarne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.6 Inverzna matrica. Grupa regularnih matrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Sustavi linearnih jednadzbi 633.1 Osnovni pojmovi i definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Rjesivost sustava. Kriterij jednoznacnosti rjesenja. . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 Homogen sustav. Struktura skupa rjesenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Postupak rjesavanja sustava. Gaussova metoda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Determinante 714.1 Definicija determinante. Grupa permutacija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Osnovna svojstva determinante. Binet-Cauchyjev teorem. . . . . . . . . . . . . 764.3 Laplaceov razvoj. Inverzna matrica. Cramerov sustav. . . . . . . . . . . . . . . 80

1

Poglavlje 1

Vektorski prostori

Preliminarni pojmovi i oznakePocnimo s pregledom osnovnih pojmova, oznaka i vaznijih cinjenica elementarne ma-

tematike, posebice iz elementarne teorije skupova.Skup je osnovni matematicki pojam koji se ne definira. To je mnozina (kolekcija,

familija, ...) elemenata (objekata) koje odlikuju neka zajednicka svojstva. Najcesce ihoznacavamo velikim tiskanim slovima (A, B,..., X). Glavni skupovi brojeva s njihovimoznakama su

• skup prirodnih brojeva, N

• skup cijelih brojeva, Z

• skup racionalnih brojeva, Q

• skup realnih brojeva, R

• skup kompleksnih brojeva, C.

Skupove uglavnom zadajemo tako da navedemo sve njihove elemente ili pomocukarakteristicnog svojstva. Na primjer, A = {x, y, z} i B = {x : x2 ≥ 4 , x ∈ Z}.

Za prazan skup (to jest skup bez ijednog elementa) rabit cemo oznaku ∅.Ukratko cemo navesti osnovne skupovne relacije i operacije te njihove pripadne oz-

nake.

• Peanova relacija: a ∈ A (’a je element skupa A’), b 6∈ A (’b nije element skupa A’)

• Podskup skupa: A ⊆ B ( x ∈ A povlaci x ∈ B)

• Jednakost skupova: A = B (ako A ⊆ B i B ⊆ A)

• Presjek skupova: A ∩B = {x : x ∈ A i x ∈ B}

• Unija skupova: A ∪B = {x : x ∈ A ili x ∈ B}

• Razlika skupova: A\B = {x : x ∈ A i x 6∈ B}

• Simetricna razlika skupova : A4B = (A\B) ∪ (B\A)

• Komplement skupa: A ⊆ S, Ac = S\A

2

PMF-MO, nastavnicki smjerovi Linearna algebra 1

• Partitivni skup: za A 6= ∅, P(A) je skup svih podskupova od A

• Kartezijev produkt skupova: A×B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} (skup svih uredenihparova pri cemu je prvi clan iz skupa A a drugi iz B), A× A = A2

Neka su X, Y skupovi i f pravilo po kojem se svakom elementu skupa X pridruzujejedan element skupa Y . Uredena trojka (X, Y, f) naziva se preslikavanje ili funkcijaskupa X u skup Y koju obicno zapisujemo kao

f : X → Y.

Skup X naziva se podrucje definicije ili domena, skup Y podrucje vrijednosti ilikodomena, a f pravilo ili zakon preslikavanja.

Elementu x ∈ X je po pravilu f pridruzen element f(x) i pisemo

x 7→ f(x).

Kazemo da je f(x) slika elementa x ili vrijednost funkcije f u varijabli (tocki,argumentu) x.

Slika preslikavanja f je skup

f(X) = {f(x) : x ∈ X}.

Ponekad se jos oznacava sa S(f) ili Im(f). Jasno je da vrijedi da je f(X) ⊆ Y . Analogno,mozemo definirati i sliku bilo kojeg podskupa A ⊆ X, f(A).

Za B ⊆ Y skup svih elemenata iz X cija slika pripada skupu B naziva se praslikapodskupa B i oznacava se

f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.

Posebno, za y ∈ Y i B = {y} pisemo

f−1(y) = {x ∈ X : f(x) = y}

i kazemo da je f−1(y) ⊆ X praslika elementa y. Primijetimo da praslika nekog elementaili podskupa moze biti prazan skup. Naglasimo da se oznaka f−1(B), odnosno f−1(y)ne odnosi na inverznu funkciju f−1 od f , koja ne mora postojati (ako f nije bijekcija).

Dvije funkcije f : X → Y i f ′ : X ′ → Y ′ su jednake ako su im domene jednake, tojest X = X ′ i f(x) = f ′(x) za sve x iz X. Tada pisemo f = f ′.

Neka su f : X → Y i g : Y → Z preslikavanja i neka vrijedi da je f(X) = Y . Tadaje jedinstveno definirano preslikavanje

h : X → Z, h(x) = g(f(x)), x ∈ X.

Preslikavanje h nazivamo kompozicijom funkcija f i g, te ga oznacavamo s g ◦ f .Jednostavnom provjerom definicije mozemo ustanoviti da je komponiranje funkcija

zadovoljava svojstvo asocijativnosti, to jest za dana preslikavanja f : X → Y , g : Y → Z

3


i h : Z → V (uz uvjete da je f(X) = Y i g(Y ) = Z) kompozicije (h ◦ g) ◦ f , h ◦ (g ◦ f) :X → V su jednake.

Komponiranje funkcija nije opcenito komutativno, to jest opcenito g ◦ f 6= f ◦ g.

Na kraju ovog preliminarnog dijela ponovimo jos tri vazna svojstva koja moze imatifunkcija. Kazemo da je f : X → Y injekcija ili injektivno preslikavanje ako

x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

Injektivnost se najcesce ispituje koristenjem ekvivalentne tvrdnje: f je injekcija ako zax1, x2 ∈ X

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Funkcija f ce biti injektivna ako i samo se praslika svakog elementa iz Y , f−1(y), sastojiod najvise jednog elementa. Iz tog razloga se injektivna preslikavanja jos nazivaju 1-1preslikavanjima.

Kazemo da je f : X → Y surjekcija ili surjektivno preslikavanje ako je slikadomene jednaka kodomeni,

f(X) = Y.

Zbog toga se za surjekciju jos rabi termin preslikavanje na.Funkcija f : X → Y je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Vrijedi, da je f

bijektivno preslikavanje ako i samo ako za svaki y ∈ Y postoji jedinstven x ∈ X takavf(x) = y. Iz prethodnog se lako zakljucuje da je dobro definirano preslikavanje g :Y → X takvo da je g(y) = x za svaki y ∈ Y . Preslikavanje g naziva se inverzom iliinverznim preslikavanjem i oznacava s f−1.

Lako se vidi da jef−1 ◦ f = 1X , f ◦ f−1 = 1Y ,

gdje su 1X , 1Y identitete na skupovima X, odnosno Y ( 1X : X → X, 1X(x) = x za svex ∈ X.)

1.1 Osnovne algebarske strukture

1.1.1 Binarna operacija. Grupoid.

Definicija 1.1.1. Neka je S neprazan skup. Preslikavanje

θ : S × S → S

naziva se binarna operacija. Binarna operacija θ svakom uredenom paru (x, y) ∈S × S pridruzuje element z = θ(x, y) ∈ S.

Uredeni par (S, θ) naziva se grupoid, odnosno kazemo da binarna operacija θ odredujena skupu S algebarsku strukturu grupoida.

Navedimo primjere nekih binarnih operacija.

• Zbrajanje i mnozenje na skupovima brojeva (N, Z, Q, R, C) nazivamo standardnozbrajanje i standardno mnozenje. Dakle, (N,+), (N, ·), (Z,+), (Z, ·), (Q,+), ... sugrupoidi.

4


• Oduzimanje je binarna operacija na Z, Q, R i C, ali nije na N.

• Presjek, unija, razlika, simetricna razlika su binarne operacije na partitivnom skupuod S, P(S).

• Vektorsko mnozenje (×) je binarna operacija na vektorskom prostoru V 3.

• Na skupu svih funkcija S → S standardnu binarnu operaciju predstavlja kompozi-cija funkcija (u oznaci ◦).

• Binarnu operaciju mozemo i sami definirati. Na primjer, a ∗ b = a + b − ab zaa, b ∈ Z. Uocimo da je (Z, ∗) grupoid, ali (N, ∗) to nije.

Napomenimo da cemo u daljnjem izlaganju binarnu operaciju θ zbog jednostavnostioznacavati znakom ·, to jest θ(x, y) = x · y = xy, pri cemu ne cemo nuzno misliti nastandardno mnozenje.

Definicija 1.1.2. Neka je (S, ·) grupoid. Elementi x, y ∈ S komutiraju ako vrijedi

xy = yx.

Ukoliko svaka dva elementa iz S komutiraju onda kazemo da je binarna operacija ko-mutativna, odnosno da je (S, ·) komutativan grupoid.

Standardno zbrajanje i standardno mnozenje su komutativne operacije, dok vektorskomnozenje to nije.

Definicija 1.1.3. Neka je (S, ·) grupoid. Binarna operacija je asocijativna ako je

x(yz) = (xy)z,

za sve x, y, z ∈ S. Grupoid s asocijativnom binarnom operacijom naziva se polugrupa.Ukoliko je binarna operacija i komutativna, grupoid se naziva komutativna polugrupa.

Neki primjeri polugrupa:

• Skupovi brojeva N, Z, Q, R, C s obzirom na standardno zbrajanje i standardnomnozenje su komutativne polugrupe.

• Binarna operacija oduzimanja na Z nije asocijativna.

• Kompozicija funkcija je asocijativna pa je ({f : S → S}, ◦) polugrupa, no opcenitonekomutativna.

• Komutativne polugrupe su (P(S),∩) i (P(S),∪), ali (P(S), \) nije polugrupa jerrazlika skupova nije asocijativna.

Definicija 1.1.4. Neka je (S, ·) grupoid. Kazemo da je e ∈ S neutralni element ilijedinica binarne operacije ako je

ex = xe = x,

za sve x ∈ S. Ukoliko je binarna operacija asocijativna i dopusta neutralni element,onda se (S, ·) naziva monoid. Ako je operacija jos i komutativna, onda govorimo okomutativnom monoidu. Ponekad se monoid jos naziva polugrupa s jednicom.

5


Lako se pokazuje da ukoliko u grupoidu postoji neutralan element tada je on jedins-tven. Zaista, ako pretpostavimo suprotno da su e, e′ ∈ S neutralni elementi onda moravrijediti da je ee′ = e i ee′ = e′ pa je e = e′.

Navedimo primjere nekih monoida.

• Skupovi brojeva Z, Q, R, C s obzirom na standardno zbrajanje i standardnomnozenje su komutativni monoidi. Neutralni element zbrajanja je 0, a mnozenjaje 1. Uocimo da je (N, ·) komutativni monoid, ali da (N,+) to nije.

• Funkcija identiteta (id(x) = x, ∀x ∈ S) predstavlja neutralni element kompozicijefunkcija i stoga je ({f : S → S}, ◦) monoid.

• (P(S),∩) i (P(S),∪) su komutativni monoidi. Neutralni elementi su redom S i ∅.

U nekomutativnim strukturama moguce je imati samo jednostranu jedinicu, lijevu ilidesnu. Na primjer grupoid (P(S), \) ima samo desnu jedinicu (∅). No, ukoliko postojei desna i lijeva jedinica tada su one nuzno jednake.

1.1.2 Grupa

Definicija 1.1.5. Neka je (S, ·) grupoid i neka je e njegov neutralni element. Ako zax ∈ S postoji y ∈ S takav da vrijedi

xy = yx = e,

onda kazemo da je element x invertibilan, a element y zovemo inverz elementa x.

U nekim nekomutativnim strukturama pojavljuju se jednostrani inverzi, lijevi (akoje yx = e) ili desni(ako je xy = e). Ako u monoidu (S, ·) neki element x ima lijevi inverzyL i desni inverz yD, onda oni su nuzno jednaki. Zaista,

yL = yLe = yL(xyD) = (yLx)yD = eyD = yD.

Nadalje, ukoliko je element xmonoida (S, ·) invertibilan, onda je njegov inverz jedinstven.Ta se tvrdnja pokazuje posve analogno prethodnoj. Inverz elementa x oznacavamo s x−1

ako je nasa binarna operacija ”multiplikativnog tipa”. Kod operacije ”aditivnog tipa”inverz se cesce naziva suprotni element i oznacava s −x.

• U grupoidu (N, ·) invertibilan je samo element 1

• U (Z,+), (Q,+), (R,+) su svi elementi invertibilni, to jest svaki x ima suprotnielement −x iz pripadnog skupa.

• U (Q, ·), (R, ·) su invertibilni svi elementi osim 0. Jedini invertibilni elementi u(Z, ·) su 1 i −1.

• U ({f |S → S}, ◦) invertibilni elementi su bijektivna preslikavanja.

Propozicija 1.1.6. Neka je (G, ·) monoid.

6


(a) Ako je x ∈ G invertibilan element onda je i x−1 invertibilan, te vrijedi(x−1)−1

= x.

(b) Ako su x, y ∈ G invertibilni elementi, onda je i xy invertibilan, te vrijedi

(xy)−1 = y−1x−1.

Dokaz. (a) Tvrdnja slijedi iz xx−1 = x−1x = e i cinjenice da je inverz jedinstven.

(b) Zbog asocijativnosti vrijedi

(xy)(y−1x−1) = (yy−1)x−1 = xex−1 = xx−1 = e,

te analogno (y−1x−1)(xy) = e, pa slijedi tvrdnja.

Definicija 1.1.7. Monoid u kojem su svi elementi invertibilni naziva se grupa. Ako jebinarna operacija komutativna onda govorimo o komutativnoj ili Abelovoj grupi.

Za pocetak ustanovimo koji skupovi brojeva s obzirom na standardne operacije zbra-janja i mnozenja cine Abelove grupe.

• (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) su Abelove grupe. (N,+) je komutativna polugrupa.

• Uocimo da niti jedna od struktura (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·) nije grupa nonekima od njih nedostaje ”malo” da to postanu. Svi elementi razliciti od 0 u Q, Ri C su invertibilni. Stoga promotrimo te iste skupove bez nule, to jest

Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0}, C∗ = C\{0}.

Bitno je ustanoviti da su svi ovi skupovi zatvoreni na operaciju mnozenja (a 6= 0,b 6= 0 povlaci ab 6= 0) pa su (Q∗, ·), (R∗, ·), (C∗, ·) Abelove grupe.

• Skup parnih brojeva 2Z je Abelove grupa u odnosu na zbrajanje. Uocimo da skupneparnih brojeva to nije.

• Skup G = {x} u odnosu na neku binarnu operaciju je grupa je grupa ako i samoako x = e.

Jedan od ishoda predmeta Linearna algebra 1 jest nauciti rjesavati sustave linearnihjednadzbi. Ako linearnu jednadzbu s jednom nepoznanicom rjesavamo u ambijentalnomskupu koji ima strukturu grupe, onda ce ta jednadzba imati jedinstveno rjesenje. O tojvaznoj cinjenici govori sljedeca propozicija.

Propozicija 1.1.8. Neka je (G, ·) grupa. Jednadzbe

ax = b,

ya = b

imaju jedinstveno rjesenje za svaki izbor elemenata a, b ∈ G.

7


Dokaz. Mnozenjem s lijeva jednadzbe ax = b s inverzom elementa a, a−1 dobivamo

a−1(ax) = a−1b.

Zbog asocijativnosti je(a−1a)x = ex = x,

pa je rjesenje jednadzbe ax = b dano s

x = a−1b.

Na slican nacin, rjesenje jednadzbe ya = b

y = ba−1.

Jedinstvenost se lako pokazuje. Iz pretpostavke da su x1 i x2 rjesenja slijedi ax1 = ax2pa ponovo mnozenjem s lijeva s a−1 dobivamo da je x1 = x2.

Korolar 1.1.9. Neka je (G, ·) grupa. Jednadzba

x · x = x

ima jedinstveno rjesenje x = e.

Uskoro cemo ustanoviti da i mnogi drugi skupovi opskrbljeni s odgovarajucom bi-narnom operacijom imaju strukturu grupe. Buduci da smo cesto u poziciji da moramoustanoviti je li neka struktura grupa ili ne navest cemo redom svojstva koja pritom mo-ramo ispitati, tzv. aksiome grupe.

Neka G 6= ∅ i · operacija na G×G. Uredeni par (G, ·) je grupa ako vrijede sljedecasvojstva:

(1) x · y ∈ G za sve x, y ∈ G, (zatvorenost)

(2) (xy)z = x(yz) za sve x, y, z ∈ G, (asocijativnost)

(3) Postoji e ∈ G takav da je ex = xe = x za sve x ∈ G, (neutralni element)

(4) Za svaki x ∈ G postoji y ∈ G takav da je xy = yx = e. (inverzni element)

Ako vrijedi i svojstvo

(5) xy = yx za sve x, y ∈ G, (komutativnost)

onda je (G, ·) je komutativna ili Abelova grupa.

Napomenimo da svojstvo zatvorenosti (1) nije potrebno pokazivati ukoliko imamozadanu binarnu operaciju na G jer to dio njene definicije. Aksiomi grupe pokazuju seupravo redoslijedom kojim su iskazani. Jedina iznimka je svojstvo komutativosti (5) kojese moze pokazati ili opovrgnuti u bilo kojem trenutku. U sljedecih nekoliko primjera de-taljno cemo pokazati kako se vrsi provjera grupovnosti.

8


Primjer 1. Grupa ostataka modulo mNeka je m ∈ N i m > 1. Definiramo skup

Zm = {0, 1, 2 . . . ,m− 1}.

Prije nego sto definiramo operaciju na Zm prisjetimo se sto kaze Teorem o dijeljenju sostatkom: ako su a, b ∈ Z i b 6= 0 onda postoje jedinstveni q ∈ Z i r ∈ Zm takvi da jea = bq + r. Broj r je jedinstveni ostatak broja a pri dijeljenju s b.

Sada, na skupu Zm definiramo binarnu operaciju koja svakom uredenom paru (x, y) ∈Zm×Zm pridruzuje ostatak pri dijeljenju broja x+y brojem m. Ova operacija se nazivazbrajanje modulo m i oznacava s +m. Pisemo

x+m y = z,

pri cemu je x+ y = mq + z za neki q ∈ Z i z ∈ Zm.Krenimo redom ispitati svojstva grupe. Svojstvo (1) vrijedi prema samoj definiciji.

(5) Operacija +m je ocito komutativna.

(2) Svojstvo asocijativnosti nije sasvim jednostavno za pokazati. Neka je

(x+m y) +m z = r +m z = s,

gdje je

x+ y = km+ r, (1.1)

r + z = lm+ s, (1.2)

za k, l ∈ Z i r, s ∈ Zm. Nadalje, neka je y +m z = t, to jest

y + z = pm+ t, (1.3)

za p ∈ Z i t ∈ Zm. Ako zbrojimo jednakosti (1.1), (1.2) i (1.3) pomnozenu s −1dobit cemo

x+ t = (k + l − p)m+ s,

odnosno x+m t = s pa je

x+m (y +m z) = x+m t = s,

sto je i trebalo pokazati.

(3) 0 je neutralni element.

(4) Suprotni element (inverz) od x ∈ Zm\{0} je m− x, a element 0 je sam sebi inverz.

Zakljucujemo da je (Zm,+m) Abelova grupa koja je poznata pod nazivom grupaostataka modulo m. S njom cemo se susretati na jos nekim predmetima na ovom studiju,na primjer na Elementarnoj teoriji brojeva.

Za konkretnu vrijednost broja m, na primjer m = 4 rezultat operacije na svakomuredenom paru zapisujemo u tablici:

9


+4 0 1 2 3

0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

Nije rijetko da upravo tablicno definiramo binarnu operaciju na nekom konacnomskupu. Tu tablicu binarne operacije nazivamo Cayleyeva tablica.

Prirodno je analogno definirati i operaciju mnozenja modulo m, u oznaci ·m i pitatise je li (Zm, ·m) isto Abelova grupa. Odgovor je ne. No, situaciju mozemo ’popraviti’ uovisnosti o tome je li broj m prost ili slozen. Promotrimo tablicu za m = 4:

·4 0 1 2 3

0 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Moze pokazati da su zadovoljena svojstva komutativnosti, asocijativnosti (- ne lako!),i da je 1 neutralni element, no jasno je da elementi 0 i 2 nemaju multiplikativni inverz.Stoga je (Z4, ·4) komutativni monoid. Za m = 5 imamo sljedecu tablicu

·5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 2

Nakon pomnijeg istrazivanja tablice mozemo zakljuciti da je (Z5, ·5) komutativnimonoid i da jedino 0 nema inverz. Ukoliko iz skupa Z5 izbacimo nulu, Z∗5 = Z5\{0},struktura se ’popravila’ i (Z∗5, ·5) je Abelova grupa.

♥Primjer 2. Na kolegiju Analiticka geometrija pokazalo se da operacija zbrajanja vektorana V 1, V 2 i V 3 zadovoljava sva svojstva Abelove grupe.

♥Primjer 3. Grupa polinoma.

Neka je n ∈ N0 i a0, a1, . . . , an ∈ R, an 6= 0. Preslikavanje p : R→ R zadano s

p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

(realni) polinom stupnja n. Polinome zbrajamo tako da im zbrojimo koeficijente uzodgovarajuce potencije. Neka je Pn skup svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n.Lako je za ustanoviti da je (Pn,+) Abelova grupa. Za razliku od toga mnozenje polinomacak nije ni binarna operacija u Pn (osim u trivijalnom slucaju n = 0). Nadalje, ako sP oznacimo skup svih polinoma, to jest P = ∪n≥0Pn, tada je (P ,+) takoder Abelovagrupa, a (P , ·) je komutativni monoid.

♥

10


Primjer 4. Grupa n-tih korijena jedinice.Za n ∈ N definiramo

Kn = {z ∈ C : zn = 1}.

Skup Kn predstavlja skup svih rjesenja jednadzbe zn − 1 = 0 u skupu kompleksnihbrojeva. Tih rjesenja u C ima tocno n i zovu se n-ti korijeni jedinice (ili korijeni jedinicestupnja n). Skup mozemo i eksplicitno zapisati kao

Kn = {cos2kπ

n+ i sin

2kπ

n: k = 0, 1, 2, . . . , n− 1}.

Ispitajmo koju algebarsku strukturu cini ovaj skup s obzirom na operaciju standardnogmnozenja.

(1) Neka su z1, z2 ∈ Kn. Tada vrijedi

(z1 · z2)n = zn1 · zn2 = 1 · 1 = 1,

pa je i z1z2 ∈ Kn.

(2) Standardno mnozenje u Kn je asocijativno.

(3) Postoji neutralni element 1 ∈ Kn.

(4) Svaki z ∈ Kn ima inverz z−1 u C (jer je ocito z 6= 0). Provjerimo da je z−1 ∈ Kn:

(z−1)n = (zn)−1 = 1−1 = 1.

(5) Standardno mnozenje je komutativno.

Zakljucujemo da je (Kn, ·) Abelova grupa a nazivamo ju grupa n-tih korijena jedinice.Navedimo primjere za prvih nekoliko vrijednosti broja n:

K1 = {1}, K2 = {1,−1}, K3 = {1, −1 + i√

3

2,−1− i

√3

2}, K4 = {1, i,−1,−i}, . . .

Lako mozemo uociti da elemente grupe Kn mozemo shvatiti u kompleksnoj ravnini i kaovrhove pravilnog n-terokuta upisanog u jedinicnu kruznicu.

♥

Primjer 5. Grupa Q(√

2).Neka je

Q(√

2) = {a+ b√

2 : a, b ∈ Q}.

Uz standardno zbrajanje lako se ustanovljava da (Q(√

2),+) ima strukturu Abelovegrupe. Zaista, provjerit cemo sve aksiome grupe.

(1) Zbrajanje je zatvoreno u Q(√

2), to jest

(a+ b√

2) + (c+ d√

2) = (a+ c) + (b+ d)√

2 ∈ Q(√

2), ∀ a, b, c, d ∈ Q,

jer a+ c, b+ d ∈ Q

11


(2) Standardno zbrajanje je asocijativno. (Jos kazemo da se nasljeduje iz R jer jeQ(√

2) ⊂ R.)

(3) Postoji neutralni element 0 ∈ Q(√

2) jer 0 ∈ Q.

(4) Svaki a+ b√

2 ∈ Q(√

2) ima suprotni element (inverz) −a− b√

2 ∈ Q(√

2)

(5) Standardno zbrajanje je komutativno.

Sada ispitajmo koju strukturu cini Q(√

2), odnosno Q(√

2)∗ = Q(√

2)\{0} s obziromna standardno mnozenje.

(1) Mnozenje je zatvoreno u Q(√

2)∗, to jest

(a+ b√

2) · (c+ d√

2) = (ac+ 2bd) + (ad+ bc)√

2 ∈ Q(√

2)∗, ∀ a, b, c, d ∈ Q,

jer ac+ 2bd, ad+ bc ∈ Q.

(2) Standardno mnozenje je asocijativno.

(3) Postoji neutralni element 1 ∈ Q(√

2)∗.

(4) Svaki a+ b√

2 ∈ Q(√

2)∗ ima inverz

(a+ b√

2)−1 =a

a2 − 2b2− b

a2 − 2b2

√2 ∈ Q(

√2)∗.

Uocimo da je a2 − 2b2 6= 0 za a, b ∈ Q i a2 + b2 6= 0, te aa2−2b2 ,

−ba2−2b2 ∈ Q

(5) Standardno mnozenje je komutativno.

Dakle, (Q(√

2)∗, ·) je Abelova grupa.♥

Napomena 1.1.10. Uocimo da u primjerima 4 i 5 nismo morali dokazivati svojstvoasocijativnosti i komutativnosti buduci da ta svojstva vrijede na ’vecim’ skupovima C iR koji sadrzavaju Kn i Q(

√2). Sovise, u Primjeru 4 pokazali smo da je skup Kn jedna

podgrupa Abelove grupe (C∗, ·), a u Primjeru 5 da je Q(√

2) jedna podgrupa Abelovegrupe (R,+). Opcenito, kazemo da je podskup H grupe G podgrupa od G, ako je Hgrupa s obzirom na binarnu operaciju · uz koju je G grupa. Pisemo, H ≤ G. Lako semoze ustanoviti da je H ≤ G ako i samo ako vrijedi

x · y ∈ H, x−1 ∈ H,

za sve x, y ∈ H. Odnosno, H ≤ G ako i samo

x · y−1 ∈ H,

za sve x, y ∈ H. Napominjemo da je suvisno pokazivati da je neutralni element operacije,e, sadrzan uH, zato sto pretpostavke da je x ∈ H i x−1 ∈ H impliciraju da je e = x·x−1 ∈H.

12


Primjer 6. Struktura s eksplicitno zadanom novom operacijom.Zadan je skup

G = {x ∈ R : x > 0, x 6= 1}i operacija

x ∗ y = xlog y, x, y ∈ G.Ispitujemo redom aksiome grupe.

(1) Za x, y ∈ G je z = x ∗ y = xlog y > 0. Provjerimo da je z 6= 1. Zaista, ako z = 1,onda je log y = 0 pa je y = 1 sto je u proturjecju s cinjenicom y ∈ G. Dakle,z ∈ G i operacija je ∗ je jedna binarna operacija na G, to jest ispunjeno je svojstvozatvorenosti.

(2) Asocijativnost moramo provjeriti raspisivanjem. Za x, y, z ∈ G vrijedi

(x ∗ y) ∗ z = (xlog y) ∗ z = (xlog y)log z = xlog y log z,

x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (ylog z) = xlog(ylog z) = xlog z log y = xlog y log z.

(5) Operacija je komutativna jer je

x ∗ y = xlog y = (10log x)log y = 10log x log y = 10log y log x = (10log y)log x = ylog x = y ∗ x.

(3) Pitamo se postoji li e ∈ G takav da je x ∗ e = x za sve x ∈ G, to jest xlog e = x a tovrijedi ako i samo ako je e = 10. Zbog komutativnosti imamo sljedece

x ∗ 10 = 10 ∗ x = x, ∀x ∈ G.

(4) Neka je x ∈ G i y takav da je x ∗ y = 10. Tada je xlog y = 10 i slijedi da je

y = 101

log x = 10logx 10.

Vrijedi da je y > 0 i y 6= 1, pa je y = x−1 ∈ G. (Provjerite jos jednom direktnimuvrstavanjem da je x ∗ y = y ∗ x = 10.)

Pokazali smo, eksplicitno provjeravajuci sve aksiome grupe, da je (G, ∗) Abelova grupa.♥

Napomena 1.1.11. U Primjeru 6 svojstva asocijativnosti komutativnosti nisu nipostoocita ni nasljedna buduci se radilo ’novoj’ operaciji. Ta smo svojstva morali provjeritieksplicitno - raspisivanjem po definiciji same operacije.

Primjer 7. Simetricna grupa stupnja n.Neka je Sn skup svih bijektivnih preslikavanja

f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.

Pokazimo da je Sn grupa s obzirom na operaciju komponiranja funkcija. Vrijede sljedecetvrdnje.

(1) Kompozicija bijekcija je bijekcija. Dakle, ◦ je binarna operacija na Sn.

13


(2) Komponiranja funkcija je asocijativno.

(3) Identiteta je bijekcija.

(4) Svaka bijektivna funkcija ima inverz f−1 i on je bijekcija.

Komponiranja funkcija opcenito nije komutativno. Pokazali smo da je Sn grupa koja senaziva simetricna grupa stupnja n.

Bijekciju f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} jos nazivamo permutacija i oznacavamo s

f =

(1 2 3 · · · n

f(1) f(2) f(3) · · · f(n)

).

Konkretno, za n = 4 i za permutacije f, g ∈ S4

f =

(1 2 3 43 1 4 2

), g =

(1 2 3 42 3 1 4

),

njihove kompozicije su

f ◦ g =

(1 2 3 41 4 3 2

), g ◦ f =

(1 2 3 41 2 4 3

).

Inverz od f je

f−1 =

(1 2 3 42 4 1 3

).

Jednostavno mozemo ustanoviti da Sn ima konacno mnogo elemenata i to njih n!.Pisemo |Sn| = n!. Kao ilustraciju navedimo sve elemente grupe S3:

S3 = {(

1 2 31 2 3

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 32 1 3

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

),

(1 2 33 2 1

)}.

♥

1.1.3 Prsten. Polje.

Definicija 1.1.12. Neka je R neprazan skup na kojem su definirane dvije binarne ope-racije + i ·. Kazemo da je uredena trojka (R,+, ·) prsten ako vrijedi

(i) (R,+) je Abelova grupa,

(ii) (R, ·) je polugrupa (to jest operacija · je asocijativna),

(iii) svojstvo distributivnosti operacije · obzirom na operaciju +:

x(y + z) = xy + xz, (x+ y)z = xz + yz,

za sve x, y, z ∈ R.

14


Neutralni element grupe (R,+) naziva se nula i oznacava s 0. Ukoliko postoji neutralnielement strukture (R, ·) onda se on naziva jedinica i oznacava s 1, a (R,+, ·) se tadanaziva prsten s jedinicom. Ukoliko je operacija · komutativna, onda govorimo o ko-mutativnom prstenu.

Sljedeca propozicija nam pokazuje da u prstenu neutralni element zbrajanja, nula,ne moze imati multiplikativni inverz.

Propozicija 1.1.13. Neka je (R,+, ·) prsten. Tada je a · 0 = 0 · a = 0 za sve a ∈ R.

Dokaz. Vrijedia · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0.

Pribrajanjem suprotnog elementa od a · 0 jednakosti a · 0 = a · 0 + a · 0 slijedi tvrdnja.(Ovo posljednje slijedi i prema Korolaru 1.1.9 primijenjenom na grupu (R,+).)

Propozicija 1.1.14. Neka je (R,+, ·) prsten i neka su elementi a, b ∈ R invertibilni.Tada je ab 6= 0.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno ab = 0. Mnozenjem s lijeva inverzom od a dobivamob = a−1 · 0, pa prema Propoziciji 1.1.13 slijedi b = 0, a to je u proturjecju da je binvertibilan.

Prethodne dvije propozicije ’sugeriraju’ da je smisleno promatrati strukturu defini-ranu na sljedeci nacin.

Definicija 1.1.15. Komutativni prsten s jedinicom (R,+, ·) kojem je svaki element x ∈R\{0} invertibilan naziva se polje. Polje se cesto oznacava s F.

Na drugi nacin mozemo reci da je (F,+, ·) polje ako vrijedi

(i) (F,+) je Abelova grupa,

(ii) (F∗, ·) je Abelova grupa (F∗ = F\{0}),

(iii) svojstvo distributivnosti operacije · s obzirom na operaciju +.

Koristeci tvrdnje i primjere iz prethodnog poglavlja mozemo zakljuciti sljedece.

• (Z,+, ·) je komutativni prsten s jedinicom.

• (Q,+, ·), (R,+, ·) i (C,+, ·) su polja.

• (Zm,+m, ·m) je komutativni prsten s jedinicom koji se naziva prsten cijelih brojevamodulo m. (Zm,+m, ·m) je polje ako i samo ako je m = p prost broj. Zp je vazanprimjer tzv. konacnog polja, to jest polja s konacno mnogo elemenata.

• (P ,+, ·) je komutativni prsten s jedinicom (e(x) = 1 za sve x). Cesto se P nazivaprsten polinoma. Nadalje, za prstene polinoma jos se koriste oznake Z[x], Q[x],R[x] u ovisnosti u tome iz kojeg od skupova se uzimaju koeficijenti polinoma ( Z,Q ili R).

• (Q(√

2),+, ·) je polje. Opcenito, ako je d ∈ N broj koji nije potpuni kvadrat onda

je (Q(√d),+, ·) je polje. Naziv mu je kvadratno polje.

15


1.2 Definicija i osnovna svojstva vektorskog prostora. Primjeri

Definicija 1.2.1. Neka je (V,+) Abelova grupa, zatim F polje. Ako postoji preslikavanje· : F× V → V koje zadovoljava sljedeca svojstva:

(1) α · (β · a) = (αβ) · a, za sve α, β ∈ F, a ∈ V , (kvaziasocijativnost)

(2) (α + β) · a = α · a+ β · a, za sve α, β ∈ F, a ∈ V ,

(distributivnost operacije · u odnosu na zbrajanje u F)

(3) α · (a+ b) = α · a+ α · b, za sve α ∈ F, a, b ∈ V ,

(distributivnost operacije · u odnosu na zbrajanje u V )

(4) 1 · a = a, za sve a ∈ V .,

tada se uredena trojka (V,+, ·) naziva vektorski ili linearni prostor nad poljem F.Ako je F = R onda govorimo o realnom vektorskom prostoru, a ako je F = C ondao kompleksnom vektorskom prostoru.

Elemente skupa V zovemo vektorima, a elemente polja F skalarima. Neutralnielement (nulu) Abelove grupe (V,+) zovemo nulvektor i oznacavamo s 0V .

Operaciju · nazivamo mnozenje vektora skalarom i umjesto α · a cesto pisemoαa.

Skup koji se sastoji samo od nulvektora, {0V } takoder je vektorski prostor, a nazivamoga trivijalni prostor.

Primjer 8. Vektorski prostori V 1, V 2 i V 3.Na kolegiju Analiticka geometrija proucavali smo skup vektora, to jest klasu usmje-

renih (orijentiranih) duzina na pravcu (V 1), u ravnini (V 2) i u prostoru (V 3). U onomsto slijedi pisemo samo V 3, a sve tvrdnje se odnose i na V 1 i V 2. Na skupu V 3 smodefinirali zbrajanje vektora pomocu pravila trokuta na odgovarajucim predstavnicima,

~a+~b = [−→AB] + [

−−→BC] = [

−→AC].

Buduci da smo pokazali da je ovako zadana binarna operacija asocijativna i komutativna,

zatim da postoji neutralni element ~0 = [−→AA], te je svakom vektoru ~a = [

−→AB] suprotan

[−→BA] = −~a, zakljucujemo da je (V 3,+) Abelova grupa.

Operacija mnozenja vektora skalarom uredenom paru (α,~a), α ∈ R\{0}, ~a ∈ V 3\{~0},pridruzuje vektor α~a ciji je modul |α||~a|, smjer isti kao smjer vektora ~a i orijentacija ista

kao ~a ako je α > 0, odnosno suprotna ako α < 0. U trivijalnom slucaju (α = 0 ili ~a = ~0)

je α~a = ~0. Pokazali smo da su zadovoljena svojstva (1) do (4) Definicije 1.2.1, pa je(V 3,+, ·) vektorski prostor. Na slican nacin se ustvrduje da je i skup radijvektora V 3(0)vektorski prostor.

♥

Navedimo nekoliko napomena o nacinu oznacavanja. Vektorski prostor (V,+, ·) kratkooznacavat cemo s V . Elemente vektorskog prostora V , vektore, oznacavat cemo s a, b,..., x, y, v (dakle bez strelice!). Ponekad, gdje je iz konteksta nedvosmisleno, nulvektor0V oznacava se samo s 0. Skalare polja F oznacamo malim slovima grckog alfabeta α,β, ...

16


Propozicija 1.2.2. Vrijedi

(i) 0 · a = 0V , za sve a ∈ V ,

(ii) α · 0V = 0V , za sve α ∈ F.

Dokaz. (i) S jedne strane je a = a+ 0V a s druge a = (1 + 0)a = 1 · a+ 0 · a = a+ 0 · a.Stoga je

a+ 0V = a+ 0 · a,

pa pribrajanjem suprotnog vektora −a prethodnoj jednakosti slijedi 0 · a = 0V .

(ii) Iz αa = 0V + αa a s druge αa = α(0V + a) = α0V + αa je

0V + αa = α0V + αa.

Pribrajanjem suprotnog vektora −αa prethodnoj jednakosti slijedi α0V = 0V .

Uocimo da smo u vektorskom prostoru V 3 (odnosno V 1 i V 2) definirali da je α ·~0 = ~0

i 0 · ~a = ~0 pa Propoziciju 1.2.2 nismo trebali dokazivati.

Propozicija 1.2.3. α · a = 0V ako i samo ako je α = 0 ili a = 0V .

Dokaz. Dovoljnost slijedi iz Propozicije 1.2.2.Pokazimo nuznost. Pretpostavimo da je α · a = 0V . Ako je α = 0, onda smo pokazali

tvrdnju. Stoga, pretpostavimo da α 6= 0. Stoga postoji inverz α−1 ∈ F. Vrijedi da je

a = (α−1α)a = α−1(αa) = α−10V = 0V ,

sto je i trebalo pokazati.

Propozicija 1.2.4. Vrijedi

(−α)a = −(αa) = α(−a),

za sve α ∈ F i a ∈ V .

Dokaz. Kako je(−α)a+ αa = (−α + α)a = 0 · a = 0V ,

slijedi da je suprotan vektor od αa, to jest −(αa) jednak vektoru (−α)a.

Prethodna propozicija posebno kaze da je suprotan vektor od a jednak umnosku vek-tora a skalarom −1, to jest −a = (−1)a.

U nizu primjera koji slijede, pokazat cemo da mnogi matematicki objekti (uredenen-torke, polinomi, funkcije, ...) imaju ’karakter’ vektora.

17


Primjer 9. Koordinatni prostor Rn.Neka je n ∈ N i Rn skup svih uredenih n-torki realnih brojeva, odnosno

Rn = R× R× · · · × R = {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn ∈ R}.

Uz prirodno definirano zbrajanje po koordinatama (ili koordinatno zbrajanje),

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

je (Rn,+) Abelova grupa. Mnozenje uredene n-torke realnim brojem α definira se takoderkoordinatno,

α · (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn).

Buduci da su obje operacije definirane koordinatno, lako se moze ustanoviti da je (Rn,+, ·)realan vektorski prostor koji se ponekad naziva realan n-dimenzionalni koordinatni pros-tor.

Opcenito, svaki skup uredenih n-torki elemenata iz nekog polja F, Fn, uz koordinatnodefinirane operacije zbrajanja i mnozenja (iz polja) bit ce vektorski prostor nad poljemF. U skladu s ovom opaskom, istaknimo vektorski prostor (Znp ,+p, ·p) s konacno mnogoelemenata (pn).

Posebno, za n = 1 dobivamo da je polje F vektorski prostor nad samim sobom.Pri tome, elementi polja imaju dvostruku ulogu - oni su i vektori i skalari, a operacijamnozenja iz polja predstavlja operaciju mnozenja skalarom.

♥

Primjer 10. Kompleksni brojevi.Kao sto smo vidjeli u prethodnom primjeru, polje kompleksnih brojeva C mozemo

shvatiti i kao vektorski prostor nad samim sobom. No, mozemo ga shvatiti i kao vektorskiprostor nad poljem R, odnosno kao realan vektorski prostor. U tom slucaju koristimooznaku CR.

Opcenito, svaki vektorski prostor nad C je ujedno vektorski prostor nad R.♥

Primjer 11. Prostor nizova.Neka je

RN = {(xi) : xi ∈ R}

skup svih nizova realnih brojeva. Uz koordinatno zbrajanje i mnozenje skalarom

(xi) + (yi) = (xi + yi), α(xi) = (αxi),

RN je realan vektorski prostor.♥

Primjer 12. Prostor polinoma.Neka je n ∈ N. S Pn smo oznacili skup svih polinoma u jednoj varijabli s realnim

koeficijentima stupnja manjeg ili jednakog n,

Pn = {p : st(p) ≤ n}.

18


U prethodnom odsjecku ustanovili smo da je Pn uz uobicajeno zbrajanje polinoma Abe-lova grupa. Mnozenje polinoma p realnim brojem α definiramo prirodno, αp : R→ R jepolinom definiran s

(αp)(x) = α(p(x)) =n∑i=0

(αai)xi, x ∈ R,

pri cemu je p(x) =∑n

i=0 aixi. Odmah se vidi da je uz ove operacije Pn realan vektorski

prostor. Analogno, skup svih polinoma u jednoj varijabli s realnim koeficijentima P jetakoder realan vektorski prostor.

♥

Primjer 13. Prostor funkcija.Prethodni primjer mozemo generalizirati na skup realnih funkcija realne varijable,

RR = {f : R→ R}.

Operacije zbrajanja i mnozenja funkcija realnim brojem definiramo po tockama. Zaf, g ∈ RR i α ∈ R

f + g : R→ R, (f + g)(t) = f(t) + g(t), t ∈ R.

αf : R→ R, (αf)(t) = αf(t), t ∈ R.

Kako su operacije zadane po tockama, svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distri-butivnosti vrijede jer vrijede u polju R. Neutralni element zbrajanja je funkcije n(t) = 0,za sve t ∈ R. Svaka funkcija f ima svoju suprotnu −f , (−f)(t) = −f(t), t ∈ R. Stogaje RR realan vektorski prostor.

♥

Primjer 14. Prostor matrica reda 2.Uredena cetvorka (a, b, c, d) ∈ R4 zapisana u kvadratnu shemu(

a bc d

)naziva se realna matrica reda 2. Uobicajno je matrice oznacavati velikim tiskanim slovimaA, B, ..., te njezine elemente s aij gdje indeks upucuje na polozaj elementa u matrici -aij se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca. Dakle,

A =

(a11 a12a21 a22

).

Skup svih realnih matrica reda 2 oznacavamo s M2(R).Na skupu M2(R) zbrajanje je definirano po elementima ( sto upravo odgovara koor-

dinatnom zbrajanju),

A+B =

(a11 a12a21 a22

)+

(b11 b12b21 b22

)=

(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

).

19


Stoga je ova binarna operacija ocito komutativna i asocijativna. Neutralni element zbra-janja je matrica ciji su svi elementi jednaki 0,(

0 00 0

),

a zovemo ju nulmatrica. Svaka matrica A ima suprotnu matricu −A danu s

−A =

(−a11 −a12−a21 −a22

).

Prema svemu navedenom za zakljuciti je da je (M2(R),+) Abelova grupa.Operacija mnozenja skalarom takoder se definira prirodno, po elementima (odnosno

koordinatno). Za α ∈ R i A ∈M2(R) je

αA = α

(a11 a12a21 a22

)=

(αa11 αa12αa21 αa22

).

Jasno je da M2(R) realan vektorski prostor.Na isti nacin, mozemo ustanoviti da je skup svih matrica reda 2 ciji su elementi

kompleksni brojevi, odnosno kompleksnih matrica reda 2, u oznaci M2(C) kompleksanvektorski prostor. U skladu s napomenom iz Primjera 10, skup M2(C) cemo ponekadshvacati kao realan vektorski prostor i prema tome oznacavati s M2(C)R.

♥

Primjer 15. ’Egzotican’ vektorski prostor.Neka je V = R+ = {a ∈ R : a > 0}. Za a, b ∈ V i α ∈ R definiramo ’neobicne’

operacije zbrajanja ⊕ i mnozenja vektora skalarom � na sljedeci nacin:

a⊕ b = ab, α� a = aα.

Prvo provjerimo da je (V,⊕) Abelova grupa. Zaista, operacija ⊕ je zatvorena na V jerje ab > 0 za a, b > 0, to jest a ⊕ b ∈ V za sve a, b ∈ V . Operacija ⊕ je asocijativna ikomutativna jer standardno mnozenje u R ima ta svojstva. Neutralni element je 1 ∈ V ,a inverz od a ∈ V je a−1 = 1

a∈ V .

Sada provjeravamo potrebna svojstva operacije �. Zatvorenost vrijedi jer je aα > 0za sve a > 0 i α ∈ R. Ispitujemo kvaziasocijativnost i distributivnosti. Neka su α, β ∈ Ri a, b ∈ V . Vrijedi

α� (β � a) = α� aβ =(aβ)α

= aβα = aαβ = (αβ)� a.

Nadalje,(α + β)� a = aα+β = aαaβ = aα ⊕ aβ = (α� a)⊕ (β � a),

teα� (a⊕ b) = α� (ab) = (ab)α = aαbα = aα ⊕ bα = (α� a)⊕ (β � a).

Konacno, jer je 1� a = a1 = a, mozemo zakljuciti da je (V,⊕,�) jedan realan vektorskiprostor.

♥

20


1.3 Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Linearna nezavisnost.

Definicija 1.3.1. Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te k ∈ N. Za α1, ...,αk ∈ Fi a1, ..., ak ∈ V vektor oblika

α1a1 + · · ·+ αkak

nazivamo linearna kombinacija vektora a1, ..., ak s koeficijentima α1, ...,αk.Neka je S ⊆ V . Skup svih linearnih kombinacija vektora iz S naziva se linearna

ljuska ili linearni omotac skupa S i oznacava [S]. Dakle,

[S] = {α1a1 + · · ·+ αnan : n ∈ N, a1, . . . , an ∈ S, α1, . . . , αn ∈ F}.

Ako je S = {a1, . . . , ak}, onda pisemo

[S] = [a1, . . . , ak] = {α1a1 + · · ·+ αkak : α1, . . . , αk ∈ F},

te skup [a1, . . . , ak] nazivamo linearnom ljuskom ili linearnim omotacem vektora a1, ...,ak.

Propozicija 1.3.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem F, S 6= ∅ i S ⊆ V . Ondaje [S] vektorski prostor nad poljem F obzirom na iste operacije zbrajanja i mnozenjaskalarom koje su definirane u prostoru V .

Dokaz. • Neka su x, y ∈ [S]. Tada su vektori x i y linearna kombinacije vektora iz Spa je to i vektor x+ y. Stoga je zbrajanje vektora binarna operacija na [S].

• Svojstva asocijativnosti i komutativnosti nasljeduju se jer je [S] ⊆ V .

• Neutralni element zbrajanja vektora, nula je iz [S] jer je 0V = 0 · a za bilo kojia ∈ S.

• Za x ∈ [S], postoje a1, ..., ak ∈ S i α1, ...,αk ∈ F takvi da je x = α1a1 + · · ·+αkak.Suprotni vektor od x je −x = (−α1)a1 + · · ·+ (−αk)ak pa je −x ∈ [S].

Sada mozemo zakljuciti da je ([S],+) Abelova grupa. Ustanovimo da vrijede i ostalasvojstva vektorskog prostora.

• Neka je x = α1a1 + · · · + αkak ∈ [S]. Onda je λx = (λα1)a1 + · · · + (λαk)ak ∈ [S]za sve λ ∈ [S].

• Kvaziasocijativnost i distributivnosti se nasljeduju iz vektorskog prostora V .

Dakle, [S] je vektorski prostor nad poljem F obzirom na operacije iz V .

Definicija 1.3.3. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i G ⊆ V . Ako je

V = [G],

odnosno ako se svaki vektor iz V moze prikazati kao linearna kombinacija (konacnomnogo) vektora iz G, onda kazemo da je G sustav izvodnica ili generatora za prostorV , odnosno skup izvodnica ili generatora za V . Jos se moze reci da skup G razapinjeili generira prostor V .

21


Ako je V = [G], onda za svaki x ∈ V postoje vektori a1, ..., ak ∈ G i skalari α1, ...,αk ∈ F takvi da se x prikazuje kao

x = α1a1 + · · ·+ αkak =k∑i=1

αiai.

Za pocetak se pitamo postoji li za svaki vektorski prostor V sustav izvodnica i za-kljucujemo da postoji jer citav prostor V mozemo shvatiti kao sustav izvodnica, to jestG = V . Nadalje, ako G generira prostor V , onda ga generira i svaki njegov nadskup.Stoga je prirodno pokusati odrediti najmanji moguci (minimalan) skup koji predstavljasustav izvodnica. No, prije toga promotrimo primjere nekih sustava izvodnica.

• Ako je ~a ∈ V 1 i ~a 6= ~0, onda {~a} generira V 1.

• Neka su ~a i ~b u V 2 nekolinearni vektori. U kolegiju prethodniku, Analiticka geome-trija, pokazali smo da za svaki ~c ∈ V 2 postoje (jedinstveni) skalari α, β ∈ R takvi

da je ~c = α~a + β~b. Dakle, mozemo zakljuciti da skup koji se sastoji od bilo kojadva nekolinearna vektora predstavlja sustav izvodnica za V 2.

• Analogno, skup od bilo koja tri nekomplanarna vektora predstavlja sustav izvodnicaza V 3.

• Neka je x = (x1, x2) proizvoljan vektor iz R2. Tada je

x = x1(1, 0) + x2(0, 1).

Zakljucujemo da se svi x = (x1, x2) ∈ R2 mogu zapisati kao linearna kombinacijavektora e1 = (1, 0) i e2 = (0, 1) pa je stoga {e1, e2} sustav izvodnica za R2.

Opcenito, Rn = [e1, e2, . . . , en], gdje je e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), ...,en =(0, 0, . . . , 1).

• Neka je S = {(1, 0), (1, 1), (1,−1)} ⊂ R2. Lako se vidi da vrijedi jednakost

(x1, x2) = (x1 − x2)(1, 0) + x2(1, 1),

za sve (x1, x2) ∈ R2. Stoga je skup {(1, 0), (1, 1)} sustav izvodnica za R2 pa je to injegov nadskup S. Nadalje, vrijedi da je

(x1, x2) = (x1 − x2 − 2t)(1, 0) + (x2 + t)(1, 1) + t(1,−1),

za sve (x1, x2) ∈ R2 te proizvoljan t ∈ R. Znaci, prikaz proizvoljnog vektora iz R2

kao linearne kombinacije vektora skupa S nije jednoznacan. Za razliku od toga,vektor iz R2 se jednoznacno prikazuje kao linearna kombinacija vektora (1, 0) i(1, 1).

• Neka je {p0, p1, . . . , pn} ⊂ Pn pri cemu je pi(x) = xi za i = 0, 1, . . . , n. Kako je zap ∈ Pn

p(x) =n∑i=0

aixi =

n∑i=0

aipi(x), ∀x ∈ R,

22


to jest p =∑n

i=0 aipi, slijedi da je {p0, . . . , pn} sustav izvodnica za Pn.

Skup {p0, p1, p2, . . .} ⊂ P razapinje vektorski prostor P . Uocimo da je {p0, p1, p2, . . .}beskonacan skup.

• Kompleksan broj z je oblika z = α + iβ za neke α, β ∈ R. Ako polje C shvatimokao realan vektorski prostor, CR, onda je skup {1, i} ocito njegov sustav izvodnica.

Skup {1} ili {z} za z 6= 0 predstavlja sustav izvodnica za C - kompleksan vektorskiprostor.

Definicija 1.3.4. Vektorski prostor je konacnogeneriran ako sadrzi bar jedan konacansustav izvodnica.

Iz gore navedenih primjera mozemo zakljuciti da su prostori V 1, V 2, V 3, R2, Pnkonacnogenerirani, dok je P primjer prostora koji nije konacnogeneriran. Na ovompredmetu cemo se baviti samo konacnogeneriranim vektorskim prostorima.

Propozicija 1.3.5. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i G ⊆ V skup izvodnicaprostora V . Ako se vektor a ∈ G moze prikazati kao linearna kombinacija preostalihvektora iz G, onda je G\{a} takoder skup izvodnica prostora V .

Dokaz. Proizvoljan vektor iz V moze se prikazati kao linearna kombinacija nekih vektoraiz G pa pretpostavimo da je

x = αa+n∑i=1

βibi,

za b1, . . . , bn ∈ G i α, β1, . . . , βn ∈ F. Nadalje, a ∈ G se moze prikazati kao linearnakombinacija vektora iz G\{a}, pa postoje b′1, . . . , b

′k ∈ G i β′1, . . . , β

′k ∈ F takvi da je

a =k∑j=1

β′jb′j.

Stoga je

x = α(k∑j=1

β′jb′j) +

n∑i=1

βibi =k∑j=1

(αβ′j)b′j +

n∑i=1

βibi,

odnosno x je linearna kombinacija vektora iz G\{a}.

Vec smo spomenuli da nas zanima odrediti sto je moguce manji sustav izvodnica.Propozicija 1.3.5 nam kaze kako operativno smanjiti skup izvodnica konacnogeneriranogvektorskog prostora. Dakle, svaki vektor koji je linearna kombinacija preostalih vektoraizbacujemo iz sustava izvodnica i na taj nacin dobijemo novi sustav izvodnica kojem sekardinalitet smanji za jedan (uz pretpostavku da smo krenuli od konacnog skupa izvod-nica). Ponavljuci postupak doci cemo do minimalnog skupa izvodnica, to jest do skupau kojem se niti jedan vektor ne moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih. Uonom sto slijedi vidjet cemo da je takav skup karakteriziran svojstvom linearne nezavis-nosti.

23


Definicija 1.3.6. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka je S = {a1, . . . , ak}njegov podskup. Kazemo da je S linearno nezavisan skup vektora ako se nulvektor 0Vmoze na jedinstven nacin prikazati pomocu vektora iz S, to jest ako iz

α1a1 + α2a2 · · ·+ αkak = 0V (1.4)

slijedi da je α1 = α2 = · · · = αk = 0. U suprotnom, to jest ako postoji izbor skalara α1,..., αk takav da je bar jedan skalar αi 6= 0 i da vrijedi (1.4), onda kazemo da je skup Slinearno zavisan.

Cesto kazemo da S linearno nezavisan ako je prikaz nulvektora u (1.4) trivijalan,odnosno ako je (1.4) moguc samo za trivijalan izbor skalara α1, ..., αk, odnosno da susvi αi jednaki nuli. S je linearno zavisan ako u (1.4) imamo netrivijalan prikaz, odnosnoako je postoji netrivijalan izbor skalara α1, ..., αk za koje vrijedi (1.4).

Napomenimo da se Definicija 1.3.6 odnosi samo na konacne skupove, a mi cemosamo takve i promatrati. Beskonacan skup je linearno nezavisan samo ako je svakinjegov konacan podskup linearno nezavisan, odnosno linearno zavisan ako postoji barjedan konacan podskup koji je linearno zavisan.

Prisjetimo se nekih primjera linearno nezavisnih skupova vektora o kojima je bilorijeci u Analitickoj geometriji.

• Neka su ~a,~b u V 2 (ili u V 3) nekolinearni. Onda je skup {~a,~b} linearno nezavisan.

• Neka su ~a,~b,~c u V 3 nekomplanarni. Onda je skup {~a,~b,~c} linearno nezavisan.

• Neka su e1 = (1, 0) i e2 = (0, 1) iz R2. Tada je skup {e1, e2} linearno nezavisan.Zaista, iz

αe1 + βe2 = 0V ,

slijedi α = 0 i β = 0.

Opcenito, skup {e1, e2, . . . , en} u Rn je linearno nezavisan.

• Skup {p0, p1, . . . , pn} je linearno nezavisan u prostoru P . Zaista, iz

n∑i=0

αipi = 0P ,

pri cemu smo s 0P oznacili nulpolinom, slijedi da je

n∑i=0

αipi(x) = 0,

za sve x ∈ R, a to je jedino moguce za α0 = · · · = αn = 0.

Propozicija 1.3.7. Jednoclan skup, S = {a}, linearno je nezavisan ako i samo ako jea 6= 0V .

24


Dokaz. Pokazujemo nuznost: ako je {a} je linearno nezavisan, onda je a 6= 0V . Obratpo kontrapoziciji te tvrdnje kaze: ako je a = 0V , onda je {a} je linearno zavisan. Zaista,prema Propoziciji 1.2.3 jednakost α ·a = α ·0V = 0V vrijedi za sve α ∈ F, pa je ispunjenanetrivijalno (npr za α = 1).

Obratno, pretpostavimo da a 6= 0V . Prema Propoziciji 1.2.3 jednakost αa = 0Vpovlaci da je α = 0 (jer a 6= 0V ). Stoga je S = {a} linearno nezavisan.

Korolar 1.3.8. Jednoclan skup, S = {a}, linearno je zavisan ako i samo je a = 0V .

Propozicija 1.3.9. (i) Podskup linearno nezavisnog skupa je linearno nezavisan.

(ii) Nadskup linearno zavisnog skupa je linearno zavisan.

Dokaz. (i) Neka je S = {a1, a2, . . . , an} linearno nezavisan skup, te S1 neki njegov pravipodskup. Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da se S1 sastoji od prvih 1 ≤k < n vektora skupa S, S1 = {a1, a2, . . . , ak}. Nadalje, pretpostavimo suprotnoda je S1 linearno zavisan. Tada postoje skalari α1, ..., αk takvi da je barem jedanαj 6= 0, 1 ≤ j ≤ k i

k∑i=1

αiai = 0V .

Stavimo da αj = 0 za sve j = k + 1, . . . , n i ustanovimo da je

n∑i=1

αiai =k∑i=1

αiai +k∑

i=k+1

0 · ai = 0V

jedan netrivijalan prikaz nulvektora pomocu vektora iz S. Dakle, S je linearnozavisan sto je u proturjecju s pocetnom pretpostavkom. Znaci, S1 je linearno ne-zavisan.

(ii) Slicno kao u (i), za linearno zavisan skup S = {a1, . . . , ak} i njegov nadskup S2 ={a1, . . . , ak, b1, . . . , bn} vrijedi da postoji netrivijalan izbor skalara α1, ..., αk, teβ1 = · · · = βn = 0 takvi da vrijedi

k∑i=1

αiai +n∑i=1

βibi = 0V ,

pa je i S2 linearno zavisan skup.

Buduci da smo ustanovili da je skup {0V } linearno zavisan, imamo sljedecu posljedicuprethodne propozicije.

Korolar 1.3.10. Svaki skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan.

Propozicija 1.3.11. Skup od barem dva vektora je linearno zavisan ako i samo ako sebarem jedan vektor iz S moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz S.

25


Dokaz. Pretpostavimo da je S = {a1, . . . , an} linearno zavisan i n > 1. Postoje skalariα1, ..., αn takvi da je αi 6= 0, za neki i ∈ {1, . . . , n} i

∑ni=1 αiai = 0V . Odatle je

αiai = (−α1)a1 + · · ·+ (−αi−1)ai−1 + (−αi+1)ai+1 + · · ·+ (−αn)an,

pa mnozenjem cijelog izraza s α−1i (sto je moguce jer αi 6= 0) slijedi da je

ai = (−α1α−1i )a1 + · · ·+ (−αi−1α−1i )ai−1 + (−αi+1α

−1i )ai+1 + · · ·+ (−αnα−1i )an,

odnosno ai je linearna kombinacija preostalih vektora iz S.Obratno, bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da se vektor an moze prikazati kao

linearna kombinacija preostalih vektora iz S, to jest svojih prethodnika. Tada postojeskalari α1, ..., αn−1 za koje vrijedi

an = α1a1 + · · ·+ αn−1an−1.

Otuda je0V = α1a1 + · · ·+ αn−1an−1 + (−1)an,

jedan netrivijalan prikaz nulvektora (jer je αn = −1 6= 0), pa je skup S linearno zavisan.

Prethodna propozicija pokazuje se vrlo korisnom pri ispitivanju linearne (ne)zavisnostikonkretnog skupa.

Primjer 16. Ispitat cemo linearnu (ne)zavisnost sljedecih skupova u R4,

(a) {(1, 0, 1, 3), (−1, 0, 0, 2)}

(b) {(1, 1, 2, 2), (−1, 2,−1, 2), (−2, 1,−3, 0)}

(c) {(1, 1, 0, 0), (3, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 4), (0, 0,−1, 2)}

(b) {(1, 0, 1, 1), (0, 1,−1, 2), (2,−1, 0, 0)}

♥

1.4 Baza vektorskog prostora. Dimenzija.

Definicija 1.4.1. Podskup B vektorskog prostora V je baza prostora V ako je B sustavizvodnica za V i linearno nezavisan skup u V .

U prethodnom odsjecku smo za neke skupove vec ustanovili da su sustavi izvodnicai linearno nezavisni u konkretnim vektorskim prostorima.

• Skup {~a} ⊂ V 1 za ~a 6= ~0 je baza prostora V 1.

Neka su ~a i ~b nekolinearni vektori u V 2. Skup {~a,~b} je baza za V 2.

Neka su ~a, ~b i ~c nekomplanarni vektori u V 3. Skup {~a,~b,~c} je baza za V 3.

• Skup {e1, e2, . . . , en} je baza za Rn. Ta se baza naziva kanonska ili standardna.

26


• Skup {p0, p1, . . . , pn} je baza za Pn.

• Skup {1} je baza polje F kojeg shvacamo kao vektorski prostor nad samim sobom.Opcenito, je i svaki skup {a}, a 6= 0 je baza za F.

Skup {1, i} je baza za realan vektorski prostor CR.

Prvo pitanje koje nam se prirodno namece jest postoji li u svakom netrivijanomvektorskom prostoru baza. Odgovor na to pitanje je potvrdan, a mi cemo ga obrazlozitiza konacnogenerirane vektorske prostore. Dakle, u onom sto slijedi nasa je pretpostavkada prostor V konacnogeneriran i netrivijalan, to jest da postoji skup G = {a1, . . . , an} ⊂V takav da je [G] = V .

Teorem 1.4.2. Neka je V konacnogeneriran i netrivijalan vektorski prostor. Ako jeG = {a1, . . . , an} ⊂ V sustav izvodnica za V , onda G sadrzi podskup koji je baza za V .

Dokaz. Ako je G linearno nezavisan skup u V , onda je prema definiciji skup G bazaprostora V .

Pretpostavimo da je G linearno zavisan skup. Tada prema Propoziciji 1.3.11 postojivektor ai ∈ G koji se moze prikazati kao linearna kombinacija vektora iz G\{ai}. No,prema Propoziciji 1.3.5 skup G1 = G\{ai} je takoder sustav izvodnica za V . Ukoliko jeG1 linearno nezavisan skup, onda je i baza za V pa smo gotovi s dokazom. U protivnom,ponavljamo postupak i u konacno mnogo koraka l ≤ n− 1 dolazimo do skupa Gl koji jesustav izvodnica za V i linearno nezavisan, to jest baza za V .

Korolar 1.4.3. Svaki V netrivijalan konacnogeneriran vektorski prostor ima konacnubazu.

Definicija 1.4.4. Vektorski prostor koji ima konacnu bazu naziva se konacnodimen-zionalan. U protivnom je beskonacnodimenzionalan. Trivijalan prostor V = {0V }je konacnodimenzionalan.

Korolar 1.4.5. Neka V netrivijalan vektorski prostor. V je konacnogeneriran ako isamo ako je konacnodimenzionalan.

Sljedece pitanje koje se namece u vezi s bazom jest sastoji li svaka baza konacnodimen-zionalnog prostora od istog broja vektora, odnosno jesu li svake dvije baze prostorajednakobrojne ili ekvipotentne. I ovaj put je odgovor potvrdan. U dokazu te tvrdnjekoristit cemo se sljedecom pomocnom tvrdnjom koja je varijanta Propozicije 1.3.11.

Lema 1.4.6. Neka S = {a1, . . . , ak} linearno zavisan skup vektora i a1 6= 0V . Onda sebar jedan vektor iz S moze zapisati kao linearna kombinacija svojih prethodnika.

Dokaz. Uocimo najprije da je k > 1. Kako je S linearno zavisan skup, postoji netrivijalanizbor skalara α1, . . . , αk takvih da je

α1a1 + · · ·+ αkak = 0V .

Neka je αi zadnji koeficijent koji je razlicit od nule, to jest αi 6= 0 i αi+1 = · · · = αk = 0ako i < k ili αk 6= 0 ako i = k. Jasno je da je i > 1 jer je a1 6= 0V . Zaista, u protivnom

27


iz α1a1 = 0V i α1 6= 0 slijedi a1 = 0V sto je u kontradikciji s pretpostavkom. Konacno,mnozenjem jednakosti

α1a1 + · · ·+ αi−1ai−1 + αiai = 0V

s α−1i 6= 0 dobivamo da je

ai = (−α−1i α1)a1 + · · ·+ (−α−1i αi−1)ai−1.

Dakle, ai ∈ [a1, . . . , ai−1].

Teorem 1.4.7 (Steinitz). Neka je V netrivijalan konacnodimenzionalan vektorski pros-tor. Svake dvije baze prostora V su jednakobrojne (ekvipotentne).

Dokaz. Prema pretpostavci V ima konacnu bazu

B = {b1, . . . , bn}.

Nadalje, neka jeX = {xα : α ∈ A}

jos jedna baza za V pri cemu je s A oznacen skup indeksa pomocu kojih su indeksiranivektori iz X. Treba pokazati da je |B| = |X|. Najprije pretpostavimo da je B ∩X = ∅.Za neki xα1 ∈ X promotrimo skup

S1 = {xα1 , b1, . . . , bn}.

Ovaj skup sadrzi bazu prostora pa je sigurno sustav izvodnica za V . S1 je i linearnozavisan jer je xα1 ∈ [b1, . . . , bn] pa stoga prema Lemi 1.4.6 postoji vektor iz S1 koji semoze prikazati kao linearna kombinacija svojih prethodnika. Uocimo da to ne mozebiti xα1 nego neki od vektora b1, . . . , bn. Ako vektor bi1 , i ∈ {1, . . . , n} zadovoljava tosvojstvo tada ga izbacimo iz skupa S1, a skup S1\{bi1} je takoder sustav izvodnica za Vprema Propoziciji 1.3.5. Nastavljamo postupak tako sto skupu S1\{bi1} prikljucujemoneki vektor iz X, to jest xα2 ∈ X\{xα1}. Novonastali skup je

S2 = {xα2 , xα1 , b1, . . . , bi1 , . . . , bn},

gdje oznaka bi1 znaci da smo vektor bi1 izostavili iz nabrajanja, odnosno izbacili iz skupa.Kako je S2 nadskup sustava izvodnica S1\{bi1}, to je i S2 sustav izvodnica. Nadalje, izistog razloga se vektor xα2 moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora,pa slijedi da je S2 linearno zavisan. Stoga prema Lemi 1.4.6 postoji vektor iz S2 kojise moze prikazati kao linearna kombinacija svojih prethodnika. No, to ne moze biti nixα1 , ni xα2 jer je skup {xα1 , xα2} linearno nezavisan (kao podskup baze). Dakle, postojineki bi2 koji je linearna kombinacija svojih prethodnika u S2. Sada iz skupa S2 izbacimovektor bi2 i nadopunimo ga vektorom xα3 ∈ X\{xα1 , xα2} pa dobivamo skup

S3 = {xα3 , xα2 , xα1 , b1, . . . , bi1 , . . . , bi2 , . . . , bn}.

Analognim zakljucivanjem jasno je da S3 sustav izvodnica i linearno zavisan (jer sexα3 moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz S3). Nastavljajuci

28


postupak, ako je |X| ≥ n dolazimo do skupa Sn koji se sastoji od n vektora iz X i tocnojednog vektora bin iz B,

Sn = {xαn , . . . , xα2 , xα1 , bin}.Zbog opisanog postupka, jasno je da smo dobili Sn koji je sustav izvodnica i linearnozavisan. Jedino vektor bin moze biti linearna kombinacija svojih prethodnika jer prvih nvektora cini podskup baze X. Izbacivanjem tog posljednjeg dolazimo do skupa

S = {xαn , . . . , xα2 , xα1}

koji je sustav izvodnica za V i linearno nezavisan jer je dio baze X. Dakle, zakljucujemoda je nuzno X = S, odnosno n = |X|.

Ukoliko B∩X 6= ∅, onda zapocinjemo postupak tako sto na pocetak skupa S1 stavimozajednicke elemente od B i X. Konkretno ako su na primjer xα1 = b1, ..., xαk

= bk svielementi iz B ∩X tada stavimo

S1 = {xαk+1, xαk

, . . . , xα1 , bk+1, . . . , bn},

gdje je xαk+1∈ X\{xαk

, . . . , xα1}. Jasno je da se xαk+1moze prikazati kao linearna

kombinacija preostalih vektora iz skupa S1 jer oni predstavljaju bazu B, pa je S1 linearnozavisan i sustav izvodnica (jer sadrzi bazu). Postupak je dalje sasvim analogan onom uslucaju B ∩ X = ∅ - zapocinjemo izbacivanjem nekog od vektora bk+1, . . . , bn iz skupaS1.

S obzirom na Teorem 1.4.7 smisleno je definirati sljedeci pojam.

Definicija 1.4.8. Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i V 6= {0V }.Broj vektora u bilo kojoj bazi prostora V naziva se dimenzija vektorskog prostora Vi oznacava s dimV . Ako je dimV = n, onda kazemo da je V n-dimenzionalan vek-torski prostor.

Za V = {0V } stavljamo da je dimV = 0

Buduci da znamo baze nekih vektorskih prostora sada lako mozemo zakljuciti i kolikaim je dimenzija:

• dimV 1 = 1, dimV 2 = 2, dimV 3 = 3,

• dimRn = n,

• dimPn = n+ 1,

• dimC = 1, dimCR = 2, i opcenito dimCn = n, dimCnR = 2n,

• dimM2(R) = 4.

Pokazali smo da svaki sustav izvodnica konacnogeneriranog prostora V sadrzi bazuprostora (Teorem 1.4.2). Drugim rijecima kazemo da se svaki sustav izvodnica mozereducirati do baze. Sada cemo pokazati da se svaki linearno nezavisan skup moze prosiritido baze.

Teorem 1.4.9. Svaki linearno nezavisan skup u konacnodimenzionalnom vektorskomprostoru V sadrzan je u nekoj bazi prostora V .

29


Dokaz. Neka je S = {a1, . . . , ak} linearno nezavisan skup u V i neka je B = {b1, . . . , bn}baza za V . Skup

S ∪B = {a1, . . . , ak, b1, . . . , bn}je nadskup sustava izvodnica (to jest baze) pa i sam generira prostor V , odnosno [S∪B] =V . Nadalje, S ∪ B je linearno zavisan skup jer se svaki vektor ai moze prikazati kaolinearna kombinacija vektora iz baze B. Stoga se prema Lemi 1.4.6 barem jedan odvektora iz S ∪B moze prikazati kao kombinacija svojih prethodnika. Lako vidimo da tone mo ze biti niti jedan od vektora ai jer je skup S linearno nezavisan pa stoga postojineki bj1 , 1 ≤ j1 ≤ n takav da je bj1 ∈ [a1, . . . , ak, b1, . . . , bj1−1]. Izbacivanjem vektora bj1iz skupa S ∪B dobivamo skup

S1 = S ∪B\{bj1}

koji je takoder sustav izvodnica za V prema Propoziciji 1.3.5. Ukoliko je i S1 linearnozavisan skup tada postoji neki bj2 , 1 ≤ j2 ≤ n, koji se moze prikazati kao kombinacijasvojih prethodnika pa njegovim izbacivanjem dolazimo do skupa

S2 = S1\{bj2}

koji je takoder sustav izvodnica za V . Ponavljamo opisani postupak sve dok je skup Silinearno zavisan. Nakon konacno mnogo koraka dolazimo do skupa Sl koji je linearnonezavisan, ali i sustav izvodnica za V . Stoga je Sl jedna baza za V i S ⊂ Sl. Uocimo da jezapravo l = k jer je zbog Steinizovog teorema 1.4.7 je |Sl| = |B| = n, pa je k+n− l = n.Ukratko, do trazene baze smo dosli izbacivanjem k vektora bj iz S ∪B.

Kao posljedicu gotovo svega dokazanog u ovom i prethodnom odsjecku iskazat cemosljedeci korolar koji se sastoji operativno vrlo korisnih tvrdnji u slucaju kad nam jepoznata dimenzija ambijentalnog vektorskog prostora.

Korolar 1.4.10. Neka je V n-dimenzionalan vektorski prostor. Vrijedi:

(1) Ako je S linearno nezavisan skup i |S| = n, onda je S baza za V .

(2) Ako je S sustav izvodnica za V i |S| = n, onda je S baza za V .

(3) Ako je S linearno nezavisan skup, onda je |S| ≤ n.(Drugim rijecima, maksimalan broj vektora u linearno nezavisnom skupu je n.)

(4) Ako je S takav da je |S| > n, onda je S linearno zavisan skup.

(5) Ako je S sustav izvodnica za V , onda je |S| ≥ n.(Drugim rijecima, minimalan broj vektora u sustavu izvodnica za V je n.)

(6) Ako je S takav da je |S| < n, onda S ne moze biti sustav izvodnica za V .

U sljedecem teoremu dat cemo jos jednu karakterizaciju baze.

Teorem 1.4.11. Neka je B = {b1, . . . , bn} baza vektorskog prostora V . Tada za svakia ∈ V postoje jedinstveni skalari β1, . . . , βn takvi da je a = β1b1 + · · ·+ βnbn.Vrijedi i obrat. Ako se svaki vektor iz V jedinstveno prikazuje kao linearna kombinacijavektora iz B, onda je B baza za V .

30


Dokaz. Pretpostavimo da je B baza i da postoje barem dva prikaza vektora a kao linearnekombinacije vektora iz B, to jest

a = β1b1 + · · ·+ βnbn, a = α1b1 + · · ·+ αnbn,

za neke β1, . . . , βn, α1, . . . , αn ∈ F. Odatle je

0V = (α1 − β1)b1 + · · ·+ (αn − βn)bn.

Buduci da je B baza pa stoga i linearno nezavisan skup, slijedi da je αi−βi = 0, odnosnoαi = βi za sve i = 1, . . . , n.

Obrat. Iz pretpostavke da se svaki vektor iz V prikazuje kao linearna kombinacijavektora iz B, slijedi da je B sustav izvodnica za V . Nadalje, prikaz 0V = α1b1+· · ·+αnbnje jedinstven, pa je nuzno αi = 0 za sve i = 1, . . . , n. Dakle, B je linearno nezavisanskup pa stoga i baza za V .

Prisjetimo se da smo u kolegiju Analiticka geometrija pokazali da skup od dva ne-kolinearna vektora u V 2, odnosno skup od tri nekomplanarna vektora u V 3 zadovoljavasvojstvo iskazano u Teoremu 1.4.11 i to je bio razlog zbog kojeg smo te skupove tadaproglasili bazom.

Primjer 17. Neka je B = {a, b, c} baza za V . Ispitaj je li neki od danih skupova linearno(ne)zavisan, sustav izvodnica ili baza za V :

(a) A = {a+ b, a+ b+ c},

(b) B = {a− b, b− c, a− c},

(c) C = {a, a+ b, a+ b+ c},

(d) D = {a, a+ b, a+ b+ c, b+ c}.Odgovori.

(a) A je linearno nezavisan, nije sustav izvodnica ni baza za V .

(b) B je linearno zavisan (a− c = (a− b) + (b− c)), nije sustav izvodnica ni baza za V .

(c) C je linearno nezavisan, sustav izvodnica i baza za V .

(d) D = {a, a+ b, a+ b+ c, b+ c} je linearno zavisan, sustav izvodnica (jer sadrzi bazuC) ali nije baza za V .

♥

1.5 Potprostori

Definicija 1.5.1. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i L 6= ∅ neki podskup od V .Kazemo da je L vektorski potprostor prostora V ako je L i sam vektorski prostor nadpoljem F s obzirom na operacije zbrajanja i mnozenja skalarom definirane u V . Kracecemo reci da je L potprostor od V i pisemo L ≤ V .

Prostore L = V i L = {0V } nazivamo trivijalnim potprostorima.Za L cemo reci da je pravi potprostor od V ako je {0V } & L & V i tada pisemo

L < V ili L � V .

31


Da bismo ustanovili da je neki skup L vektorski potprostor potrebno je opcenitoispitati deset svojstava - prvih pet predstavlja aksiome Abelove grupe jer skup L u odnosuna operaciju zbrajanja mora imati strukturu Abelove grupe, a preostalih pet su svojstvaoperacije mnozenja skalarom. No, ukoliko je nas skup L podskup nekog vektorskogprostora V i zelimo ispitati je li on sam vektorski potprostor s obzirom na iste operacijeiz V , onda se mnoga svojstva nasljeduju i stoga ih nema potrebe dokazivati. Konkretno,nasljeduje se asocijativnost i komutativnost zbrajanja, te kvaziasocijativnost mnozenjaskalarom, obje distributivnosti i svojstvo mnozenja s 1. Dakle, da bismo ustanovili daje L potprostor od V morali bismo provjeriti sljedeca svojstva:

• a+ b ∈ L, za sve a, b ∈ L,

• nulvektor (tj. neutralni element zbrajanja) je u L, odnosno 0V ∈ L,

• za svaki a ∈ L je i njegov suprotan vektor −a ∈ L,

• αa ∈ L, za sve a ∈ L i α ∈ F.

No, pokazuje se da je dovoljno provjeriti samo prvo i posljednje svojstvo, odnosno do-voljno je samo provjeriti da je skup L zatvoren na zbrajanje vektora i mnozenje vektoraskalarom.

Teorem 1.5.2. Neka je L 6= ∅ neki podskup vektorskog prostora V . L je potprostor od Vako i samo ako je zatvoren u odnosu na operacije iz V , odnosno ako i samo ako vrijedi

(1) a+ b ∈ L, za sve a, b ∈ L,

(2) αa ∈ L, za sve a ∈ L i α ∈ F.

Dokaz. Ako je L potprostor od V , onda je L i sam vektorski prostor pa je zatvoren nazbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom.

Pokazimo dovoljnost. Pretpostavimo da je L zatvoren na zbrajanje vektora i mnozenjevektora skalarom. Tada za a ∈ L vrijedi da je i (−1)a ∈ L. Kako je −a = (−1)a, po-kazali smo da je suprotan vektor od a takoder iz L. Nadalje, i 0V = a + (−a) ∈ L, jerje L zatvoren na zbrajanje. Dakle, L je vektorski prostor s obzirom na iste operacije izV .

Prisjetimo se da smo u Propoziciji 1.3.2 pokazali da je linearna ljuska proizvoljnogskupa S iz V , [S], potprostor od V .

Korolar 1.5.3. Skup L ⊆ V , L 6= ∅, je potprostor od V ako i samo ako je αa+ βb ∈ L,za sve a, b ∈ L i α, β ∈ F.

Dokaz. Za α = β = 1 dobivamo svojstvo (1), a za β = 0 svojstvo (2) Teorema 1.5.2.

Korolar 1.5.4. Skup L ⊆ V , L 6= ∅, je potprostor od V ako i samo ako je αa + b ∈ L,za sve a, b ∈ L i α ∈ F.

Sada nas zanima odnos dimenzije citavog prostora V i njegovog potprostora L.Ocekujemo da ce vrijediti dimL ≤ dimV . No, to je tocno samo ako je V konacnodimen-zionalan.

32


Propozicija 1.5.5. Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov pot-prostor. Tada je i L konacnodimenzionalan vektorski prostor i dimL ≤ dimV .Ako je dimL = dimV , onda je L = V .

Dokaz. Najprije ustanovimo da je L konacnodimenzionalan vektorski prostor. Ako jeL = {0V }, tvrdnja trivijalno vrijedi. Pretpostavimo da L 6= {0V }. Stoga postoji a1 ∈ Li a1 6= 0V . Ako je [a1] = L, onda je L konacnogeneriran, odnosno konacnodimenzionalanprostor. Ako [a1] 6= L, to jest [a1] < L, onda postoji a2 ∈ L\[a1] i a2 6= 0V . Ocitoje skup {a1, a2} linearno nezavisan. Ako je [a1, a2] = L, onda smo pokazali da je Lkonacnodimenzionalan. U suprotno, nastavljamo postupak. Broj koraka u ovom pos-tupku je konacan i maksimalno jednak n = dimV , jer je maksimalan broj vektora ulinearno nezavisnom skupu jednak n.

Neka je BL baza za L. Ako je BL i baza za V , onda dimL = dimV . Ako BL nijebaza za V , onda je to linearno nezavisan skup u V koji mora biti sadrzan u nekoj baziB za V (Teorem 1.4.9). Stoga je dimL = |BL| < |B| = dimV .

U sljedecim primjerima dajemo jos neke primjere potprostora.

Primjer 18. Opisimo sve prave potprostore od V 3. Kako je dimV 3 = 3, dimenzijapravog potprostora L od V 3 moze biti 1 ili 2.

Ako je dimL = 1, onda postoji ~a ∈ V 3\{~0} takav da je L = [~a], to jest L = {α~a :α ∈ R}.

Ako je dimL = 2, onda postoje nekolinearni vektori ~a,~b ∈ V 3 takvi da je L = [~a,~b],

to jest L = {α~a+ β~b : α, β ∈ R}.♥

Primjer 19. Ustanovit cemo koji je danih skupova potprostor od Rn, te mu odreditijednu bazu i dimenziju,

(a) A = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ Z},

(b) B = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 = 2x2},

(c) C = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn :∑n

i=1 xi = 0},

(d) D = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn :∑n

i=1 xi = 1},

(e) E = {(x1, x1, . . . , x1) : x1 ∈ R}.

(a) A nije potprostor od Rn. Za to je dovoljno naci samo jedan konkretan primjerkoji ne zadovoljava uvjete iz Teorema 1.5.2, to jest protuprimjer. Recimo, e1 =(1, 0, . . . , 0) ∈ A, ali 1

2e1 6∈ A.

(b) Neka su x = (x1, . . . , xn) i y = (y1, . . . , yn) elementi skupa B. Tada je x1 = 2x2 iy1 = 2y2. Za α ∈ R je

αx+ y = (αx1 + y1, . . . , αxn + yn).

Kako je αx1 + y1 = α(2x2) + (2y2) = 2(αx2 + y2), slijedi da je αx + y ∈ B. Stogaje B potprostor od Rn.

33


Odredimo mu sada jednu bazu i dimenziju. Za x = (x1, . . . , xn) ∈ B vrijedi

x = (x1, x2, x3, . . . , xn) = (2x2, x2, x3, . . . , xn) = x2 (2, 1, 0, . . . , 0)︸︷︷︸2e1+e2

+x3e3+· · ·+xnen.

Skup vektora {2e1 + e2, e3, . . . , en} je ocito sustav izvodnica za B. Lako se provjerida je i linearno nezavisan, pa je to baza za B i dimB = n− 1.

(c) Neka su x = (x1, . . . , xn) i y = (y1, . . . , yn) elementi skupa C, te α ∈ R. Vrijedi

αx+ y = (αx1 + y1, . . . , αxn + yn),

ten∑i=1

(αxi + yi) = α

n∑i=1

xi +n∑i=1

yi = α · 0 + 0 = 0,

pa je αx+ y ∈ C. Stoga je C potprostor od Rn.

Odredimo mu sada jednu bazu i dimenziju. Za x = (x1, . . . , xn) ∈ C vrijedi da jex1 = −x2 · · · − xn pa je

x = (−x2 − x3 · · · − xn, x2, x3, . . . , xn)

= x2 (−1, 1, 0, . . . , 0)︸︷︷︸−e1+e2

+x3 (−1, 0, 1, . . . , 0)︸︷︷︸−e1+e3

+ · · ·+ xn (−1, 0, . . . , 0, 1)︸︷︷︸−e1+en

.

Skup vektora {−e1 + e2,−e1 + e3, . . . ,−e1 + en} razapinje C i lako se provjeri daje linearno nezavisan, pa je to baza za C i dimC = n− 1.

(d) Skup D nije potprostor od Rn. Zaista, za e1, e2 ∈ D vrijedi da e1 + e2 6∈ D (jer jezbroj koordinata vektora e1 + e2 jednak 2).

(e) Uocimo da je E = [(1, 1, . . . , 1)], pa je E jednodimenzionalni potprostor od Rn.

♥

Primjer 20. U realnom vektorskom prostoru RR = {f : R→ R} (svih realnih funkcijarealne varijable) ispitajmo jesu li sljedeci skupovi potprostori:

(a) P - skup svih parnih funkcija u RR,

(b) N - skup svih neparnih funkcija u RR,

(c) C - skup svih neprekidnih funkcija u RR.

Prisjetimo da se operacije zbrajanja i mnozenja skalarom u RR definiraju po tockama,to jest

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), ∀x ∈ R.

(a) Funkcija f ∈ RR je parna ako je f(−x) = f(x). Neka su f, g ∈ P i α ∈ R. Tada je

(f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x),∀x ∈ R,

(αf)(−x) = αf(−x) = αf(x) = (αf)(x), ∀x ∈ R.Stoga su f + g i αf parne funkcije, odnosno P je potprostor od RR.

34


(b) Funkcija f ∈ RR je neparna ako je f(−x) = −f(x). Neka su f, g ∈ N i α ∈ R. Tadaje

(f+g)(−x) = f(−x)+g(−x) = −f(x)+(−g(x)) = −(f(x)+g(x)) = −(f+g)(x), ∀x ∈ R,

(αf)(−x) = αf(−x) = α(−f(x)) = −(αf(x)) = −(αf)(x), ∀x ∈ R.

Stoga su f + g i αf neparne funkcije, odnosno N je potprostor od RR.

(c) Ako su f i g neprekidne u tocki x, onda su f + g i αf neprekidne u x. Stoga je Cpotprostor od RR.

♥

Primjer 21. Neka je Q skup svih polinoma iz Pn koji imaju nultocku u c = 1, to jest

Q = {p ∈ Pn : p(1) = 0}.

Svaki polinom iz Q djeljiv je polinomom t− 1, to jest p ∈ Q je oblika

p(t) = (t− 1)q(t),

gdje je q polinom stupnja manjeg ili jednakom od n − 1. Odatle odmah slijedi da cei linearna kombinacija polinoma iz Q imati takoder nultocku u c = 1. Stoga je Qpotprostor od Pn.

Odredimo mu jednu bazu i dimenziju. Za p ∈ Q je

p(t) = (t− 1)(an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0),

za neke an−1, . . . , a1, a0 ∈ R, odnosno

p(t) = an−1 (t− 1)tn−1︸︷︷︸qn(t)

+an−2 (t− 1)tn−2︸︷︷︸qn−1(t)

+ · · ·+ a1 (t− 1)t︸︷︷︸q2(t)

+a0 (t− 1)︸︷︷︸q1(t)

.

Skup {q1, . . . , qn} je sustav izvodnica i ocito linearno nezavisan pa on predstavlja bazuza Q i dimQ = n− 1.

♥

Primjer 22. Neka je L(V ) skup svih potprostora vektorskog prostora V . Biti potprostorje refleksivna i tranzitivna relacija na skupu L(V ).

♥

1.6 Presjek i suma potprostora.

Propozicija 1.6.1. Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Tada je L ∩Mpotprostor od V .

Dokaz. Neka su a, b ∈ L ∩M , te α, β ∈ F. Tada je αa + βb ∈ L, jer su a, b ∈ L i L jepotprostor od V . Na isti nacin, αa+ βb ∈M , pa je αa+ βb ∈ L ∩M . Prema Korolaru1.5.3 slijedi tvrdnja.

35


Prema prethodnoj propoziciji je jasno da je presjek konacno mnogo potprostora L1,...,

Lk prostora V - potprostor od V . Tada pisemon⋂i=1

Li. Isto vrijedi i za bilo koju mnozinu

potprostora od V ,⋂α∈A

Lα.

Definicija 1.6.2. Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Potprostor L ∩Mse naziva presjek potprostora L i M .

Dalje nam se prirodno namece pitanje hoce li i skup L∪M , to jest unija potprostorabit potprostor od V . Opcenito, ne! Na primjer, za potprostore L = [~i] i M = [~j] od V 3

vidimo da ~i+~j 6∈ L∪M , pa L∪M nije vektorski prostor. Buduci da unija potprostoraopcenito nije potprostor zanimat ce nas najmanji potprostor koji ju sadrzi. Dakle, zapocetak cemo odrediti najmanji potprostor L koji sadrzi podskup S. Jasno je da je Lmozemo dobiti kao presjek svih potprostora Li koji sadrze skup S,

L =⋂S⊆Li

Li.

Propozicija 1.6.3. Neka je S podskup vektorskog prostora V i L najmanji potprostorod V koji sadrzi S. Tada je L = [S].

Dokaz. Ako je S = ∅, onda je L = {0V }, pa je L = [S].Pretpostavimo da S 6= ∅. Jasno je da je L ⊆ [S] jer je [S] potprostor koji sadrzi skup

S, a L najmanji takav potprostor. Pokazimo inkluziju [S] ⊆ L. Neka je x ∈ [S]. Tadapostoje vektori a1, . . . , ak ∈ S i skalari α1, . . . , αk ∈ F takvi da je x = α1a1 + · · ·+ αkak.No, a1, . . . , ak ∈ L, jer S ⊆ L i kako je L potprostor, slijedi da je x ∈ L.

Definicija 1.6.4. Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Najmanji potprostorkoji sadrzi skup L ∪M naziva se suma potprostora L i M i oznacava s L+M .

Prema Propoziciji 1.6.3 je L + M = [L ∪M ]. Nadalje vrijedi da je suma konacno

mnogo potprostora L1,..., Lk od V jednaka je L1 + · · · + Lk =∑k

i=1 Li = [⋃ki=1 Li],

odnosno suma bilo koje mnozine potprostora je∑α∈A

Lα = [⋃α∈A

Lα].

Sljedeca tvrdnja opravdat ce naziv ’suma’ i pokazati sa se svaki vektor iz L+M mozereprezentirati kao zbroj vektora iz L i vektora iz M .

Propozicija 1.6.5. Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Vrijedi

L+M = {a+ b : a ∈ L, b ∈M}.

Dokaz. Stavimo W = {a + b : a ∈ L, b ∈ M}. Neka je a ∈ L i b ∈ M . Tada jea, b ∈ L ∪M , pa je a+ b ∈ [L ∪M ] = L+M . Stoga smo pokazali da je W ⊆ L+M .

S druge strane, ako je x ∈ L + M = [L ∪M ], onda postoje a1, . . . , ak ∈ L ∪M iα1, . . . , αk ∈ F takvi da je x = α1a1 + · · · + αkak. Kako je ai ∈ L ∪M , to znaci daje ai ∈ L ili ai ∈ M . Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je prvih 1 ≤ l < kvektora ai iz potprostora L a preostali da su iz M . Tada je

x = α1a1 + · · ·+ αlal︸︷︷︸a∈L

+αl+1al+1 + · · ·+ αkak︸︷︷︸b∈M

= a+ b.

36


U slucaju da je l = 0, tj. ako su svi vektori ai iz potprostora M stavljamo a = 0V ib = x, te ako je l = k, onda a = x i b = 0V . Ovim smo pokazali da je L+M ⊆ W .

Teorem 1.6.6. Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Vrijedi

dim(L+M) = dimL+ dimM − dimL ∩M.

Dokaz. Pretpostavimo da je dimL = l, dimM = m i dimL ∩M = k. Neka je BL∩M ={c1, . . . , ck} baza potprostora L ∩ M . Kako je L ∩ M ≤ L,M , bazu BL∩M mozemonadopuniti do baza prostora L i M . Stoga, neka su

BL = {c1, . . . , ck, a1, . . . , ar}, BM = {c1, . . . , ck, b1, . . . , bs}

baze za L i M . Uocimo da je k + r = l i k + s = m. Sada formiramo skup

B = BL ∪BM = {c1, . . . , ck, a1, . . . , ar, b1, . . . , bs}.

Jasno je da je B jedan sustav izvodnica za [L ∪M ] = L + M . No, vrijedi i vise - B jebaza za L+M jer je B linearno nezavisan skup. Zaista, pretpostavimo da je

k∑i=1

γici +r∑i=1

αiai +s∑i=1

βibi = 0V , (1.5)

za neke skalare αi, βi, γi. Uocimo da je vektor

x =k∑i=1

γici +r∑i=1

αiai =s∑i=1

(−βi)bi,

iz L i iz M , pa je x iz L ∩M . Odatle slijedi da je linearna kombinacija vektora ai, tojest

r∑i=1

αiai = x−k∑i=1

γici

takoder iz L∩M sto je jedino zadovoljeno za 0V . Kako je {a1, . . . , ar} linearno nezavisanskup, nuzno vrijedi α1 = · · · = αr = 0. Sada (1.5) povlaci

k∑i=1

γici +r∑i=1

αiai = 0V ,

pa je γ1 = · · · = γk = β1 = · · · = βs = 0. Dakle, B je baza za L+M i stoga

dim(L+M) = k + r + s = (k + r) + (k + s)− k = dimL+ dimM − dimL ∩M.

Definicija 1.6.7. Za suma potprostora L i M kazemo da je direktna suma ako L∩M ={0V }. Tada pisemo L+M .

Propozicija 1.6.8. Suma potprostora L i M je direktna ako i samo ako za svaki x ∈L+M postoje jedinstveni a ∈ L i b ∈M takvi da je x = a+ b.

37


Dokaz. Pretpostavimo da je suma direktna, tj. L+M .Prema Propoziciji 1.6.5 znamo daza svaki x ∈ L+M postoje a ∈ L i b ∈ M takvi da je x = a+ b. Jos trebamo pokazatinjihovu jedinstvenost. Pretpostavimo suprotno. Neka su i a′ ∈ L i b′ ∈ M takvi da je= a′ + b′. Iz x = a + b = a′ + b′ slijedi da je a − a′ = b′ − b. Stoga je y = a − a′ ∈ Li y = b′ − b ∈ M , odnosno y ∈ L ∩M . Kako je suma direktna, L ∩M = {0V }, pa jey = 0V , tj. a = a′ i b = b′.

Sada pokazimo obrat. Pretpostavimo da se svaki vektor iz L+M jedinstveno prikazujekao zbroj vektora iz L i vektora iz M , te pretpostavimo da L ∩M 6= {0V }. Znaci dapostoji a ∈ L ∩M i a 6= 0V . U tom slucaju za nulvektor vrijede dva razlicita prikazaoblika a+ b, a ∈ L i b ∈M ,

0V = 0V + 0V , 0V = a︸︷︷︸∈L∩M≤L

+ (−a)︸︷︷︸∈L∩M≤M

,

a to je u kontradikciji s pretpostavkom. Dakle, L ∩M = {0V }.

Korolar 1.6.9. Suma potprostora L i M je direktna ako i samo ako

dim(L+M) = dimL+ dimM.

Korolar 1.6.10. Ako je suma potprostora L i M direktna, te ako su BL i BM bazepotprostora L i M , respektivno, onda je BL ∪BM baza potprostora L+M .

Propozicija 1.6.11. Neka je L potprostor konacnodimenzionalnog vektorskog prostoraV . Tada postoji potprostor M od V takav da je V = L+M .

Dokaz. Ako je L = {0V }, onda je M = V . I obrnuto, ako je L = V , onda M = {0V }.Neka je L netrivijalan potprostor od V . Stoga je 1 ≤ dimL = k ≤ dimV = n. Bazu

potprostora L,BL = {a1, . . . , ak}

nadopunimo do baze citavog prostora V :

B = {a1, . . . , ak, ak+1, . . . , an}.Tvrdimo da je M = [ak+1, . . . , an]. Zaista, za x ∈ V postoje α1, . . . , αn ∈ F za koje je

x =n∑i=1

αiai =k∑i=1

αiai︸︷︷︸a∈L

+n∑

i=k+1

αiai︸︷︷︸b∈M

= a+ b,

pa je x ∈ L+M , odnosno V ≤ L+M . Kako je uvijek L+M ≤ V , slijedi V = L+M .Jos moramo vidjeti da je suma direktna. Ako je y ∈ L ∩M , onda je

y =k∑i=1

αiai ∈ L, y =n∑

i=k+1

αiai ∈M.

Otuda jek∑i=1

αiai +n∑

i=k+1

(−αi)ai = 0V .

Kako je {a1, . . . , an} baza za V , slijedi α1 = · · · = αn = 0. Dakle, y = 0V i L ∩M ={0V }.

38


Prema prethodnoj propoziciji sljedeca je definicija je smislena.

Definicija 1.6.12. Ako je L potprostor prostora V , onda se potprostor M za koji vrijedida je V = L+M naziva direktni komplement potrostora L. Jos kazemo da smo Vrastavili na direktnu sumu potprostora L i M .

Propozicija 1.6.11 kaze da svaki potprostor konacnodimenzionalnog vektorskog pros-tora ima direktni komplement. Vazno je naglasiti da on ne mora biti jedinstven.

Primjer 23. Zadani su L = [(1, 0,−1), (1, 2, 1)] i M = [(0, 0, 1), (1, 2, 1)] potprostori uR3. Odredimo po jednu bazu za L ∩M i L+M .

♥

39

Poglavlje 2

Matrice

2.1 Definicija matrice. Vektorski prostor Mmn(F).

Definicija 2.1.1. Neka su m,n ∈ N. Preslikavanje

A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} → F

naziva se matrica tipa (m,n) (ili m × n) s koeficijentima (ili elementima) iz polja F.Skup svih takvih oznacavamo s Mmn(F).

Dakle, matrica A uredenom paru (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, pridruzuje neki skalariz polja F. Uobicajeno je te funkcijske vrijednosti A(i, j) oznaciti s aij te ih zapisati upravokutnu shemu, odnosno tabelarno na sljedeci nacin

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... · · · ...am1 am2 . . . amn

.Umjesto uglatih zagrada cesto koristimo i okrugle zagrade . Elementi matriceA rasporedenisu u m redaka i n stupaca. Uredenu n-torku

(ai1, ai2, . . . , ain)

nazivamo i-ti redak matrice A, a uredenu m-torku

(a1j, a2j, . . . , amj)

j-ti stupac matrice A. Elementi matrice A indeksirani su na nacin koji odmah ukazujena njihov polozaj u matrici. Element aij nalazi se na presjeku i-tog retka i j-tog stupca.U razlicitim situacijama bit ce nam prakticnije taj element oznaciti s [A]ij ili (A)ij, acitavu matricu krace cemo zapisati kao A = (aij) ili A = [aij].

Definicija 2.1.2. Matrica tipa (n, n) naziva se kvadratna matrica ili matrica redan. Skup svih matrica reda n s elementima iz F oznacavamo s Mn(F).

Ako je A = [aij] ∈Mn(F), onda uredenu n-torku

(a11, a22, . . . , ann)

40


zovemo glavnom dijagonalom (ili samo dijagonalom) matrice A. Uredenu n-torku

(a1n, a2,n−1, . . . , an1)

zovemo sporednom dijagonalom matrice A.

Definicija 2.1.3. Matrica tipa (m, 1) naziva se stupcana, a matrica tipa (1, n) -retcana.

Na primjer, matrica(

1 2 3)

je retcana matrica, a

123

je stupcana matrica.

Definicija 2.1.4. Matrice A = [aij] i B = [bij] su jednake, to jest A = B, ako su istogtipa te ako su im elementi na odgovarajucim pozicijama jednaki. (Ako su A i B tipa(m,n), onda aij = bij za sve i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n. )

Sada cemo uvesti osnovne operacije s matricama - zbrajanje matrica i mnozenje ma-trica skalarom. Operacije se definiraju prirodno - po elementima matrice sto je u skladus cinjenicom da smo matrice definirali kao preslikavanja. Naime, zbrajanje funkcija imnozenje funkcija skalarom realizirali smo po tockama.

Definicija 2.1.5. Zbroj matrica A = [aij] i B = [bij] tipa (m,n) je matrica C = [cij]tipa (m,n) za cije elemente vrijedi

cij = aij + bij,

za sve i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n. Pisemo C = A+B.

Napomenimo da ne definiramo zbroj matrica razlicitog tipa. Na primjer, nije defi-nirano (

1 −13 0

)+

(0 1 3−1 2 2

).

Definicija 2.1.6. Nulmatrica je matrica ciji su svi elementi jednaki nuli. Oznacavatcemo je s 0 ili s 0mn ukoliko zelimo istaknuti da je tipa (m,n).

Propozicija 2.1.7. Skup matrica Mmn(F) uz operaciju zbrajanja matrica je Abelovagrupa.

Dokaz. Zbrajanje matrica je ocito binarna operacija koja je asocijativna i komutativnajer se operacija definira po elementima matrice, a oni su iz polja F. Neutralni elementje nulmatrica, 0mn. Svaka matrica A = [aij] ima suprotnu matricu −A = [−aij].

Definicija 2.1.8. Umnozak matrice A = [aij] tipa (m,n) skalarom λ ∈ F je matricaB = [bij] tipa (m,n) za cije elemente vrijedi

bij = λaij,

za sve i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n. Pisemo B = λA.

Teorem 2.1.9. Skup matrica Mmn(F) uz operacije zbrajanja matrica i mnozenje matricaskalarom je vektrorski prostor nad poljem F cija je dimenzija jednaka m · n.

41


Dokaz. Pokazali smo da je (Mmn(F),+) Abelova grupa, a ostala svojstva (kvaziasoci-jativnosti, obje distributivnosti i mnozenje s 1) vrijede jer su operacije definirane poelementima (tockama).

Neka je A = [aij] ∈Mmn(F). Tada je

A =n∑i=1

m∑j=1

aijEij,

gdje je Eij matrica ciji su svi elementi jednaki nuli osim elementa na presjeku i-tog retkai j-tog stupca, odnosno

[Eij]kl =

{1, k = i, l = j0, inace

.

Skup B = {Eij : i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n} je ocito sustav izvodnica za Mmn(F)i linearno nezavisan skup (jer se ocito niti jedna matrica Eij ne moze prikazati kaolinearna kombinacija preostalih matrica iz B). Dakle, skup B je baza za Mmn(F), pa jedimMmn(F) = |B| = mn.

Napomenimo da se svaka A = [aij] tipa (m,n) moze shvatiti kao uredena mn-torka

(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , am1, . . . , amn).

Dakle, postoji prirodna bijekcija Mmn(F) → Fmn. Stoga je tvrdnja Teorema 2.1.9ukladena s cinjenicom da je i Fmn vektorski prostor nad poljem F dimenzije mn. Takveprostore zovemo izomorfnima a tome ce vise biti govora na kolegiju Linearna algebra 2.

2.2 Neke posebne matrice

U ovom dijelu istanut cemo neke matrice koje su posebne ’sadrzajem’ odnosno nekimspecificnim svojstvom koje zadovoljavaju.

Definicija 2.2.1. Matrica reda n

• D = (dij) je dijagonalna ako dij = 0 za sve i 6= j.

• S = (sij) je skalarna ako je dijagonalna i sii = α za sve i = 1, . . . , n.

• I = (δij) je jedinicna ako je skalarna i δii = 1 za sve i = 1, . . . , n.

• G = (gij) je gornjetrokutasta ako je gij = 0 za sve 1 ≤ j < i ≤ n.

• H = (hij) je donjetrokutasta ako je hij = 0 za sve 1 ≤ i < j ≤ n.

Konkretno, pogledajmo neke primjere upravo definiranih matrica:

42


• D =

1 0 00 0 00 0 2

je dijagonalna matrica. Krace pisemo D = diag(1, 0, 2).

• S =

2 0 00 2 00 0 2

je skalarna matrica.

• I =

1 0 00 1 00 0 1

je jedinicna matrica (reda 3). Uocimo, S = 2I.

• G =

1 0 20 3 30 0 0

je gornjetrokutasta matrica.

• H =

1 0 02 3 0−1 0 2

je donjetrokutasta matrica.

Primjer 24. Sljedeci skupovi:

• skup svih dijagonalnih matrica reda n,

• skup svih skalarnih matrica reda n,

• skup svih gornjetrokutastih (donjetrokutastih) matrica reda n

predstavljaju vektorske potprostore od Mn(F) dimenzija n, 1 i n(n+1)2

, respektivno. Za-ista, lako se ustanovi da su gornji skupovi zatvoreni na zbrajanje matrica i mnozenjematrica skalarom. Dalje, skup

BD = {Eii : i = 1, . . . , n}

je baza za potprostor dijagonalnih matrica reda n. Skup

BS = {I}

je baza za potprostor skalarnih matrica reda n, a

BG = {Eij : 1 ≤ i ≤ j ≤ n}

baza za potprostor gornjetrokutastih matrica reda n. ♥

Definicija 2.2.2. Neka je A = [aij] ∈ Mmn(F). Transponirana matrica matrice Aje matrica B = [bij] ∈Mnm(F) za cije elemente vrijedi

bij = aji,

za sve i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Pisemo, B = At.Operacija

t : Mmn(F)→Mnm(F), A 7→ At,

naziva se transponiranje.

43


Ponekad se transponirana matrica oznacava s Aτ ili s A′.

Primjer 25. Neka je

A =

1 23 45 6

.

Tada je

At =

(1 3 52 4 6

).

Uocimo da retci matrice A predstavljaju stupce matrice At i obratno.♥

Propozicija 2.2.3. Neka su A,B ∈Mmn(F), te λ ∈ F. Vrijedi

(1) (At)t = A,

(2) (A+B)t = At +Bt,

(3) (λA)t = λAt.

Dokaz. Svaka od tvrdnji se dokazuje na isti nacin. Prvo ustanovimo da se s lijeve i desnestrane jednakosti nalaze matrice istog tipa, a zatim pokazemo jednakost odgovarajucihelemenata. Na primjer, u (2) vidimo da su (A+B)t i At +Bt tipa (m,n) i vrijedi

[(A+B)t]ij = [A+B]ji = [A]ji + [B]ji = [At]ij + [Bt]ij = [At +Bt]ij,

za sve i = 1, . . . , n i j = 1, . . . ,m.

Definicija 2.2.4. Matrica A ∈Mn(F) je simetricna ako vrijedi

A = At,

odnosno antisimetricna akoA = −At.

Primjer 26. Neka su S, odnosno A skup svih simetricnih, odnosno antisimetricnihmatrica reda n s elementima iz polja F. Tada su S i A vektorski potprostori od Mn(F).Zaista, ako su A,B ∈ S i λ ∈ F tada je

(λA+B)t = {Prop. 2.2.3} = λAt +Bt = λA+B,

pa je matrica λA+B simetricna, to jest λA+B ∈ S. Znaci, S ≤Mn(F). Analogno, zaA,B ∈ A imamo

(λA+B)t = λAt +Bt = λ(−A) + (−B) = −(λA+B),

pa je λA+B ∈ A, odnosno A ≤Mn(F).

44


Odredimo potprostorima S i A dimenzije. Prema definiciji simetricne matrice jasnoje da je A ∈ S ako i samo ako je oblika

A =

a11 a12 a13 . . . a1na12 a22 a23 . . . a2na13 a23 a33 . . . a3n...

...... · · · ...

a1n a2n a3n . . . ann

.

Vidimo da je

A =n∑i=1

aiiEii +n−1∑i=1

n∑j=i+i

aij(Eij + Eji),

gdje je Eij matrica reda n koja na mjestu (i, j) ima vrijednost 1, a na svim ostalimmjestima se nalazi 0. Stoga skup

{Eii : i = 1, . . . , n} ∪ {Eij + Eji : 1 ≤ i < j ≤ n}

predstavlja sustav izvodnica za S, ali i bazu jer se lako moze ustanoviti da je linearnonezavisan. Broj elemenata tog skupa je

n+ (1 + 2 + . . .+ n− 1) = n+ (n− 1)n/2 = n(n+ 1)/2,

pa je

dimS =n(n+ 1)

2.

Slicno, B ∈ A ako i samo ako je

B =

0 b12 b13 . . . b1n−b12 0 b23 . . . b2n−b13 −b23 0 . . . b3n

......

... · · · ...−b1n −b2n −b3n . . . 0

.

Uocavamo da su dijagonalni elementi antisimetricne matrice jednaki 0 jer iz definicijeslijedi da je bii = −bii, odnosno 2bii = 0 sto povlaci da je bii = 0 (u svim poljima osimonim karakteristike 2) za sve i = 1, . . . , n. Dalje, mozemo ustanoviti da skup

{Eij − Eji : 1 ≤ i < j ≤ n}

predstavlja bazu za A pa je

dimA = 1 + 2 + . . .+ n− 1 =(n− 1)n

2.

Uocimo i ovo

dimS + dimA =n(n+ 1)

2+

(n− 1)n

2= n2 = dimMn(F).

45


Odatle prema Korolaru 1.6.9 slijedi da je

Mn(F) = S+A,

odnosno da je Mn(F) direktna suma potprostora S i A. (To smo mogli lako ustanoviti idirektnom provjerom, ako A ∈ S ∩A, onda A = At = −A, to jest 2A = 0, odnosno A =0.) Kao posljedicu te cinjenice dobivamo da se svaka kvadratna matrica moze jedinstvenoprikazati kao zbroj jedne simetricne i jedne antisimetricne matrice. Konkretno, za C ∈Mn(F) je

C = 2−1(C + Ct)︸︷︷︸A

+ 2−1(C − Ct)︸︷︷︸B

,

pri cemu se lako vidi da je A ∈ S i B ∈ A.♥

2.3 Mnozenje matrica

Definicija 2.3.1. Matrice A i B su ulancane ako je broj stupaca matrice A jednakbroju redaka matrice B.

Cesto govorimo o paru ulancanih matrica (A,B) iz razloga sto ovo svojstvo nijeopcenito simetricno. Zaista, ako je A tipa (m,n) i B tipa (n, p), onda je par matrica(A,B) ulancan, dok je par (B,A) ulancan samo ako je m = p.

Definicija 2.3.2. Neka su A = [aij] i B = [bij] ulancane matrice tipa (m,n) i (n, p),respektivno. Umnozak matrica A i B je matrica C = [cij] tipa (m, p) ciji su elementidani sljedecom formulom

cij = ai1b1j + ai2b2j · · ·+ ainbnj =n∑k=1

aikbkj,

za i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p. Pisemo, C = A · B = AB. Na ovaj nacin definirali smooperaciju mnozenja matrica

· : Mmn(F)×Mnp(F)→Mmp(F).

Prvo sto opazamo da je mnozenje matrice bitni slozenija operacija od svih do sadadefiniranih operacijama na matricama (zbrajanje, mnozenje matrica skalarom, transpo-niranje). Mozda to na prvi pogled izgleda cudno, no vidjet cemo da ovakva definicijamnozenja itekako ima smisla. Ukratko, mozemo pamtiti da (i, j)-ti element produktaAB dobivamo tako sto i- redak matrice A, (ai1, . . . , ain), pomnozimo skalarno s j-timstupcem matrice B, (b1j, . . . , bnj).

Jedan od razloga ovakve definicije mnozenja matrica mozemo vidjeti na sljedecemprimjeru.

Primjer 27. Zadan je sustav linearnih jednadzbi

2x1 − 3x2 = 14x1 + 5x2 = 2

.

46


Zamislimo da ga zelimo zapisati u obliku jedne linearne jednadzbe ax = b. Jasno je daumjesto koeficijenta a imamo ’paket koeficijenata’ uz nepoznanice x1 i x2. Taj je ’paketkoeficijenata’ prirodno zapisati kao matricu

A =

(2 −34 5

).

Analogno tome slobodne koeficijente zapisujemo kao stupcastu matricu

B =

(12

),

a nepoznanice kao

X =

(x1x2

).

Uocimo da je

AX =

(2 −34 5

)·(x1x2

)=

(2x1 − 3x24x1 + 5x2

),

pa dani sustav ima isti zapis kao i linearna jednadzba s jednom nepoznanicom, AX = B.♥

Sada cemo pokazati osnovna svojstva mnozenja matrica. Neka od tih svojstva su naprvi pogled neobicna, bas kao sto je i sama definicija mnozenja. Tako mnozenje matricaopcenito nije komutativna operacija. Za pocetak, uocimo da je o komutativnosti smislenogovoriti samo ako su A i B kvadratne matrice istog reda. Zaista, ukoliko nisu i ako jeumnozak AB definiran, BA to ne treba biti jer smo vec napomenuli da svojstvo ’bitiulancan nije simetricno. Nadalje, ako A i B nisu kvadratne nego tipa (m,n) i (n,m),onda su oba umnoska definirana, AB i BA. No, to su kvadratne matrice razlicitih redova(AB je reda m, a BA je reda n)

Primjer 28. Vrijedi

AB =

(1 23 1

)(0 11 2

)=

(2 51 5

), BA =

(0 11 2

)(1 23 1

)=

(3 17 4

).

Dakle, AB 6= BA, odnosno mnozenje matrica nije komutativna operacija. S druge strane,postoje matrice koje komutiraju. Na primjer,(

1 1−2 1

)(1 −12 1

)=

(3 00 3

),

(1 −12 1

)(1 1−2 1

)=

(3 00 3

).

♥

Propozicija 2.3.3. Vrijedi(AB)C = A(BC),

za sve matrice za koje je gornji izraz definiran.

47


Dokaz. Neka je A matrica tipa (m,n), B tipa (n, p) i C tipa (p, q). Lako mozemoustanoviti da su matrice (AB)C i A(BC) tipa (m, q). Zaista, matrica AB je tipa (m, p),pa je (AB)C tipa (m, q). Nadalje, BC je (n, q), pa je A(BC) takoder tipa (m, q).

Provjerimo sada jednakost odgovarajucih elemenata tih matrice,

[(AB)C]ij =

p∑k=1

[AB]ik[C]kj =

p∑k=1

(n∑l=1

[A]il[B]lk

)[C]kj

=n∑l=1

[A]il

(p∑

k=1

[B]lk[C]kj

)=

n∑l=1

[A]il[BC]lj = [A(BC)]ij,

za sve i =, . . . ,m, j = 1, . . . , q.

Propozicija 2.3.4. Mnozenje matrica je

(1) kvaziasocijativno, to jest

(λA)B = λ(AB) = A(λB),

za sve λ ∈ F, te A i B za koje je gornji izraz definiran.

(2) distributivno prema zbrajanju matrice, to jest

(A+B)C = AC +BC, A(B + C) = AB + AC

za sve A, B i C za koje je gornji izraz definiran.

Dokaz. (1) Neka je A ∈ Mmn(F), te B ∈ Mnp(F). Tada su matrice (λA)B, λ(AB) iA(λB) tipa (m, p). Vrijedi

[(λA)B]ij =n∑k=1

[λA]ik[B]kj =n∑k=1

(λ[A]ik)[B]kj = λn∑k=1

[A]ik[B]kj = λ[AB]ij,

za sve i =, . . . ,m, j = 1, . . . , p. Na isti nacin provjerimo preostalu jednakost.

(2) Neka su A,B ∈ Mmn(F), te C ∈ Mnp(F). Tada su (A + B)C,AC + BC ∈ Mmp(F).Vrijedi

[(A+B)C]ij =n∑k=1

[A+B]ik[C]kj =n∑k=1

([A]ik + [B]ik)[C]kj

=n∑k=1

[A]ik[C]kj +n∑k=1

[B]ik[C]kj = [AC]ij + [BC]ij = [AC +BC]ij,

za sve i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p.

Propozicija 2.3.5. Neka je A ∈Mmn(F). Vrijedi ImA = A i AIn = A, gdje su Im i Injedinicne matrice reda m, odnosno n.

48


Dokaz. Ocito je ImA tipa (m,n). Neka je Im = I = (δij), te A = (aij). Tada

IA =m∑k=1

δikakj = {δik = 1, za i = k, inace δik = 0} = aij.

Mnozenje matrica na skupu matrica reda n, Mn(F), predstavlja jednu binarnu ope-raciju. Na temelju svega sto smo pokazali u propozicijama 2.3.3, 2.3.4 i 2.3.5 vidimo da(Mn(F), ·) ima jednu algebarsku strukturu koju smo vec upoznali.

Korolar 2.3.6. Skup Mn(F) s obzirom na operaciju mnozenja matrica je nekomutativanmonoid.

Dokaz. Prema Propoziciji 2.3.3, mnozenja matrica je asocijativno u Mn(F). Propozicija2.3.5 povlaci da je AI = IA = A, za sve A ∈Mn(F).

Stovise, Mn(F) je primjer strukture koja se naziva asocijativna algebra s je-dinicom. Naime, algebra je svaki vektorski prostor s definiranim tzv. bilinearnimmnozenjem (to jest mnozenjem koje zadovoljava svojstva distributivnosti i kvaziasoci-jativnosti). Buduci je mnozenje jos i asocijativno, dobiva pridjev asocijativna, te zbogpostojanja neutralnog elementa mnozenja (I) isticemo i ono s jedinicom. Prisjetimo seda smo se vec susreli s ovom strukturom. Na kolegiju Analiticka geometrija pokazuje seda je prostor V 3 jedna (neasocijativna) algebra pri cemu ulogu mnozenja ima operacijavektorskog produkta.

Primjer 29. Sljedeci skupovi:

• skup svih dijagonalnih matrica reda n,

• skup svih skalarnih matrica reda n,

• skup svih gornjetrokutastih (donjetrokutastih) matrica reda n.

predstavljaju podalgebre od Mn(F) (i to asocijativne s jedinicom). U Primjeru 24 poka-zali smo da su to potprostori od Mn(F). Sada jedino moramo ustanoviti da su zatvorenina mnozenje. Neka su C = diag(c1, . . . , cn) i D = diag(d1, . . . , dn) dijagonalne matricereda n. Za i 6= j vrijedi

[CD]ij =n∑k=1

[C]ik[D]kj = ci[D]ij + [C]ijdj = 0,

za i = j je

[CD]ii =n∑k=1

[C]ik[D]ki = cidi,

pa jeCD = diag(c1d1, . . . , cndn).

Ako su S = sI, T = tI skalarne matrice, onda je i ST = (st)I skalarna matrica.

49


Neka su G i H gornjetrokutaste matrice. Izracunajmo element njihovog umnoska namjestu (i, j) za 1 ≤ j < i ≤ n,

[GH]ij =n∑k=1

[G]ik[H]kj =i−1∑k=1

[G]ik[H]kj︸︷︷︸[G]ik=0, k=1,...,i−1

+n∑k=i

[G]ik[H]kj︸︷︷︸[H]kj=0, k=i,...,n, jer k>j

= 0.

Stoga je GH gornjetrokutasta matrica.♥

Propozicija 2.3.7. Vrijedi(AB)t = BtAt,

cim je umnozak definiran.

Dokaz. Ako je A tipa (m,n) i B tipa (n, p), onda su matrice (AB)t i BtAt tipa (p,m).Za (i, j) takve da je 1 ≤ i ≤ p i 1 ≤ j ≤ m vrijedi

[(AB)t]ij = [AB]ji =n∑k=1

[A]jk[B]ki =n∑k=1

[At]kj[Bt]ik =

n∑k=1

[Bt]ik[At]kj = [BtAt]ij.

Jasno je da prethodni rezultat mozemo poopciti na konacno mnogo matrica,(A1 · · ·Ak)t = Atk · · ·At1.

Ustanovili smo da (Mn(F), ·) monoid. Mozemo pitati je li mozda ova struktura igrupa. Odgovor je nijecan, sto mozemo zorno vidjeti u sljedecem primjeru.

Primjer 30. Zadana je matrica

A =

(1 21 2

).

Pitamo se postoji li matrica X reda 2 za koju AX = XA = I. Neka je

A =

(x1 x2x3 x4

).

Iz AX = I dobivamo sustavx1 + 2x3 = 1x1 + 2x3 = 0

,

te isti sustav za x2 i x4. Ocito ti sustavi nemaju rjesenja, pa matrica X ne postoji.♥

Definicija 2.3.8. Kvadratna matrica A ∈ Mn(F) je invertibilna ili regularna akopostoji matrica B ∈Mn(F) takva da je

AB = BA = I.

Matricu B zovemo inverznom matricom od A i pisemo, B = A−1. U protivnom je Asingularna matrica.

50


Prisjetimo se nekih tvrdnji koje vrijede u svakom monoidu koje smo pokazali u od-sjecku 1.1.2 (Propozicija 1.1.6). Buduci je (Mn(F), ·) multiplikatvni monoid, vrijedisljedece:

• Ukoliko inverz postoji, onda je on jedinstven. Stoga je opravdano inverz matrice Aoznaciti s A−1. Nadalje, i A−1 je regularna i vrijedi (A−1)−1 = A.

• Ako su A i B regularne matrice, onda je to AB, te vrijedi (AB)−1 = B−1A−1.Tvrdnju mozemo poopciti i na konacno mnogo regularnih matrica A1, ..., Ak. Tadaje (A1 · · ·Ak)−1 = A−1k · · ·A

−11 .

2.4 Elementarne transformacije i elementarne matrice

Neka je A = [aij] ∈Mmn(F). Oznacimo sa S1, . . . , Sn redom stupce matrice A, to jest

S1 =

a11a21...am1

, . . . , Sn =

a1na2n...

amn

.

Kazemo da je{S1, . . . , Sn}

stupcana reprezentacija matrice A. Linearna ljuska razapeta tim skupom

[S1, . . . , Sn]

je potprostor odMm,1(F) pa dimenzija te ljuske manja ili jednakam (jer je dimMm,1(F) =m). S druge strane, dimenzija te ljuske je manja ili jednaka n, pa je

dim[S1, . . . , Sn] ≤ min(m,n).

Na isti nacin, mozemo promatrati retcanu reprezentaciju matrice A:

{R1, . . . , Rm} ⊂M1,n(F),

gdje je

R1 =(a11 a12 · · · a1n

), . . . , Rm =

(am1 am2 · · · amn

).

Analogno, vrijedidim[R1, . . . , Rm] ≤ min(m,n).

Lako je ustanoviti da neke operacije (transformacije) nad skupom vektora koji raza-pinje ljusku ne ce promijeniti dimenziju ljuske. Neka je S = {x1, x2, . . . , xn} podskupnekog vektorskog prostora V nad poljem F. Nad skupom S vrsimo sljedece operacije:

1. Medusobna zamjena neka dva vektora. Na primjer, imamo S ′ = {x2, x1, . . . , xn}.Jasno je [S] = [S ′].

51


2. Mnozenje nekog vektora skalarom λ 6= 0. Na primjer, S ′ = {λx1, x2, . . . , xn}. Iovdje vrijedi [S] = [S ′].

3. Pribrajanje nekog vektora nekom drugom vektoru. Na primjer, S ′ = {x1, x2 +x1, x3, . . . , xn}. Ponovo, lako je za ustanoviti da je [S] = [S ′].

Opisane operacije vrsit cemo nad stupcima ili retcima matrice.

Definicija 2.4.1. Elementarne transformacije nad matricom A ∈Mmn(F) su:

(I) zamjena dva stupca (retka),

(II) mnozenje nekog stupca (retka) skalarom λ 6= 0,

(III) pribrajanje nekom stupcu (retku) nekog drugog stupca (retka) pomnozenogskalarom λ.

Uocimo, primjenom elementarnih transformacija nad matricom A dimenzija potpros-tora [S1, . . . , Sn] ≤ Mm,1(F), odnosno potprostora [R1, . . . , Rm] ≤ M1,n(F) se ne ce pro-mijeniti.

U sljedecim primjerima uocit cemo da se sve elementarne transformacije nad matri-com mogu realizirati mnozenjem te matrice s lijeva ili desna posebnim matricama.

Primjer 31. Neka je

A =

1 2 −1 02 0 3 1−1 2 1 2

.

Uocimo, 1 0 00 0 10 1 0

︸︷︷︸

=F

·A =

1 2 −1 0−1 2 1 2

2 0 3 1

︸︷︷︸zamjena 2. i 3. retka

.

Dakle, matrica FA je dobivena iz matrice A zamjenom 2. i 3. retka. Na isti nacin,

A ·

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

︸︷︷︸

=G

=

1 −1 2 02 3 0 1−1 1 2 2

︸︷︷︸zamjena 2. i 3. stupca

,

odnosno mnozenje AG realizira zamjenu 2. i 3. stupca matrice. Uocimo, da smoza realizaciju elementarne transformacije nad retcima mnozili matricu A s lijeva, a zatransformaciju nad stupcima s desna. Nadalje, matrice F i G dobili smo upravo tran-sformacijom prve vrste (konkretno, zamjenom 2. i 3. stupca ili retka) jedinicne matriceI reda 3, odnosno 4. Lako se vidi da je

F · F = I3, G ·G = I4.

Matrice F i G su invertibilne. I vise, kazemo da su involutorne jer im je inverz jednaknjima samima.

♥

52


Primjer 32. Neka je A kao u Primjeru 31, te neka su

F =

1 0 00 3 00 0 1

, G =

1 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Uocimo,

F · A =

1 2 −1 06 0 9 3−1 2 1 2

︸︷︷︸2. redak pomnozen s 3

,

te

A ·G =

1 6 −1 02 0 3 1−1 6 1 2

︸︷︷︸2. stupac pomnozen s 3

.

Kao i prethodnom primjeru, mnozenje 2. retka ili stupca skalarom razlicitim od 0 reali-zirali smo mnozenjem matrice A s lijeva, odnosno desna s matricom kojoj je 2. redak(ili stupac) jedinicne matrice ponozen odgovarajucim skalarom (λ = 3). Lako se vidi dasu matrice F i G invertibilne. Zaista,

F · F ′ = I3, G ·G′ = I4,

gdje je

F ′ =

1 0 00 1

30

0 0 1

, G′ =

1 0 0 00 1

30 0

0 0 1 00 0 0 1

.

♥

Primjer 33. Neka je A kao u Primjeru 31, te neka su

F =

1 3 00 1 00 0 1

, G =

1 3 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Uocimo,

FA =

7 2 8 32 0 3 1−1 2 1 2

︸︷︷︸

1. redak uvecan za 2. redak pomnozen s 3

,

AG =

1 5 −1 02 6 3 1−1 −1 1 2

︸︷︷︸

2. stupac uvecan za 1. stupac pomnozen s 3

,

53


Matrice F i G su invertibilne. Inverzi su dani s

F−1 =

1 −3 00 1 00 0 1

, G =

1 −3 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

♥

U primjerima 31, 32 i 33 opisali smo matrice F i G koje mnozenjem s lijeva ili desnarealiziraju elementarne transformacije 1., 2. i 3. vrste nad retcima ili stupcima. Takvese matrice nazivaju elementarne matrice. Nadalje, u primjerima smo vidjeli da su tematrice invertibilne a njihovi inverzi su takoder elementarne matrice. Te se tvrdnjepokazuju i opcenito.

Definicija 2.4.2. Elementarna matrica reda n je matrica koja je dobivena jednomelementarnom transformacijom nad stupcima ili retcima jedinicne matrice reda n.

Propozicija 2.4.3. Svaka elementarna matrica je regularna. Inverz elementarne ma-trice je elementarna matrica.

Dokaz. Ako je elementarna matrica dobivena zamjenom dva stupca ili retka jedinicnematrice, onda je ona involutorna, to jest inverz sama sebi.

Ako je elementarna matrica dobivena mnozenjem i-tog retka (stupca) jedinicne ma-trice skalarom λ 6= 0, onda je njoj inverzna matrica dobivena mnozenjem i-tog retka(stupca) jedinicne matrice skalarom 1

λ.

Ako je elementarna matrica dobivena pribrajanjem i-tog retka (stupca) pomnozenogs λ, j-tom retku (stupcu) jedinicne matrice, onda je njoj inverzna matrica dobivenapribrajanjem i-tog retka (stupca) pomnozenog s −λ, j-tom retku (stupcu) jedinicnematrice.

Propozicija 2.4.4. Neka je A ∈ Mmn(F). Elementarne transformacije nad retcimamatrice A mogu se realizirati mnozenjem s lijeva s odgovarajucim elementarnim matri-cama reda m. Elementarne transformacije nad stupcima matrice A mogu se realiziratimnozenjem s desna s odgovarajucim elementarnim matricama reda n.

Definicija 2.4.5. Neka su A,B ∈Mmn(F). Matrica A je ekvivalentna matrici B akose B moze dobiti iz A primjenom konacno mnogo elementarnih transformacija. PisemoA ∼ B.

Prema Propoziciji 2.4.4, ako je A ∼ B, onda postoje elementarne matrice F1, . . . , Fkreda m i elementarne matrice G1, . . . , Gl reda n takve da je

B = (Fk · · ·F1)A(G1 · · ·Gl).

Kako su elementarne matrice regularne, to su i njihovi umnosci S = Fk · · ·F1 i T =G1 · · ·Gl takoder regularne matrice i vrijedi

B = SAT.

Ovim smo pokazali sljedecu tvrdnju.

54


Propozicija 2.4.6. Neka su A i B ekvivalentne matrice tipa (m,n). Tada postoje regu-larna matrica S reda m i regularna matrica T reda n za koje vrijedi B = SAT .

Propozicija 2.4.7. Relacija ′ ∼′ je relacija ekvivalencije na skupu Mmn(F).

Dokaz. Relacija ′ ∼′ je ocito refleksivna (A ∼ A).Pretpostavimo da je A ∼ B. Tada elementarne matrice F1, . . . , Fk reda m i elemen-

tarne matrice G1, . . . , Gl reda n takve da je B = (Fk · · ·F1)A(G1 · · ·Gl). Mnozenjem sinverzima F−11 , . . . , F−1k s lijeva, te s G−1l , . . . , G−11 s desna dobivamo da je

F−11 · · ·F−1k BG−1l · · ·G−11 = A,

odnosno B ∼ A buduci da su inverzi elementarnih matrica - elementarne matrice.Pretpostavimo da je A ∼ B i B ∼ C. Tada postoje odgovarajuce elementarne matrice

Fi, Gi, Hi, Ki za koje je B = (Fk · · ·F1)A(G1 · · ·Gl) i C = (Hp · · ·H1)B(K1 · · ·Kq). Kakoje

C = (Hp · · ·H1Fk · · ·F1)A(G1 · · ·GlK1 · · ·Kq),

slijedi A ∼ C.

2.5 Rang matrice

Definicija 2.5.1. Neka je A = [aij] ∈ Mmn(F), te {S1, . . . , Sn} ⊂ Mm1(F) skup stupacamatrice A. Rang matrice A je dimenzija linearne ljuske razapete skupom stupaca odA. Pisemo,

r(A) = dim[S1, . . . , Sn].

Ako je A matrica tipa (m,n), tada je

r(A) ≤ n,

jer |{S1, . . . , Sn}|. S druge strane, linearna ljuska [S1, . . . , Sn] je potprostorm-dimenzionalnogprostora Mm1(F) pa je

r(A) ≤ m.

Stoga jer(A) ≤ min(m,n).

Nulmatrica je ranga 0.

Napomenimo da se rang matrice cesto definira kao maksimalan broj linearno nezavis-nih stupaca matrice A. Ta je definicija ekvivalentna s nasom jer znamo da se svaki sustavizvodnica (to jest skup {S1, . . . , Sn}) moze reducirati do baze prema Teoremu 1.4.2).

U onom sto slijedi opisat cemo kako operativno odrediti rang neke matrice. Ustanovilismo da se dimenzija linearne ljuske ne mijenja ukoliko nad vektorima vrsimo elementarneoperacije (transformacije). Dakle, vrijedi sljedeci teorem.

55


Teorem 2.5.2. Neka je matrica A′ dobivena iz A primjenom elementarnih transforma-cija nad stupcima. Tada je

r(A) = r(A′).

Uskoro cemo pokazati da se rang matrice nece promijeniti ukoliko vrsimo elementarnetransformacije i nad retcima. Sljedeca tvrdnja nam kaze da je rang po stupcima jednakrangu po retcima, pri cemu rang po retcima shvacamo kao dimenziju linearne ljuske kojaje razapeta retcima matrice.

Teorem 2.5.3. Neka je dana matrica A ∈ Mmn. Maksimalan broj linearno nezavisnihstupaca matrice A jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih redaka matrice A.

Dokaz. Neka je r(A) = r. Ako je {S1, . . . , Sn} stupcana reprezentacija matrice A, ondaje

dim[S1, . . . , Sn] = r.

Bez smanjenja opcenitosti neka je {S1, . . . , Sr} linearno nezavisan skup (u suprotnommozemo vrsiti elementarne transformacije zamjene stupaca koje ne mijenjaju rang ma-tice, prema Teoremu 2.5.2). Dakle, Sj ∈ [S1, . . . , Sr] za sve j = r + 1, . . . , n, odnosno

Sj = γ1jS1 + · · ·+ γrjSr, j = r + 1, . . . , n,

za neke γij ∈ F.Neka je A matrica tipa (m, r) cija je stupcana reprezentacija {S1, . . . , Sr} (to jest

matrica koju smo dobili tako sto smo iz matrice A izbacili zadnjih n − r stupaca).Pretpostavimo da matrica A ima p linearno nezavisnih redaka. Tada je

p ≤ min{m, r}.

Zaista, p ≤ m jer m broj redaka u A, te p ≤ r jer je svaki redak vektor iz M1,r(F) (ili Fr).Oznacimo s R1, . . . , Rm retke u matrici A, te bez smanjenja opcenitosti pretpostavimoda je skup {R1, . . . , Rp} linearno nezavisan. Stoga postoje λki ∈ F, k = 1, . . . , p, i =p+ 1, . . . ,m takvi da je

Ri = λ1iR1 + · · ·+ λpiRp, i = p+ 1, . . . , n.

Moze se pokazati da prethodne relacije vrijede i za retke matrice A, odnosno

Ri = λ1iR1 + · · ·+ λpiRp, i = p+ 1, . . . , n.

(Napominjemo da smo precizan dokaz prethodne jednakosti izostavili). Sada je ocitomaksimalan broj linearno nezavisnih redaka u A manji ili jednak od p, odnosno vrijedi

t ≤ p ≤ r,

gdje smo s t oznacili broj linearno nezavisnih redaka u A.Ako tvrdnju da je maksimalan broj linearno nezavisnih redaka u nekoj matrici manji

ili jednak od maksimalnog broja linearno nezavisnih stupaca primijenimo na matricu At,dobit cemo upravo nejednakost r ≤ t. Dakle, t = r.

Korolar 2.5.4. Vrijedi r(A) = r(At).

56


Korolar 2.5.5. Ako je matrica A ekvivalentna matrici B, onda je r(A) = r(B).

Dokaz. Matrica B je dobivena pomocu konacno mnogo elementarnih transformacija nadstupcima i retcima matrice A, pa tvrdnja slijedi prema teoremima 2.5.2 i 2.5.3.

Nas cilj je vrseci elementarne transformacije nad stupcima i retcima matrice takopojednostavniti pocetnu matricu da se rang moze lako iscitati.

Primjer 34. Zadana je matrica

A =

1 0 2 −13 1 −3 1−1 −1 7 −3

.

Vrsimo sljedece elementarne transformacije nad stupcima i retcima:

A ∼{

2. retku dodamo 1. redak pomnozen s − 33. retku dodamo 1. redak

}∼

1 0 2 −10 1 −9 40 −1 9 −4

∼{

3. stupcu dodamo 1. stupac pomnozen s − 24. stupcu dodamo 1. stupac

}∼

1 0 0 00 1 −9 40 −1 9 −4

∼{

3.retku dodamo 2. redak}∼

1 0 0 00 1 −9 40 0 0 0

∼{

3. stupcu dodamo 2. stupac pomnozen s 94. stupcu dodamo 2. stupac pomnozen s− 4

}∼

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

= D2

Jasno je da je r(D2) = 2, jer prva dva stupca ocito cine linearno nezavisan skup, pa je ir(A) = 2.

♥

Definicija 2.5.6. Neka je 0 < r ≤ min(m,n). Matrica Dr ∈ Mmn(F) takva da je[Dr]ii = 1, za sve i = 1, . . . , r, a svi ostali elementi su jednaki nuli, naziva se kanonskamatrica ranga r i tipa (m,n).

Matrica

•(

1 0 00 0 0

)je tipa (2, 3) i ranga 1,

•(

1 0 00 1 0

)je tipa (2, 3) i ranga 2,

•

1 0 00 1 00 0 1

je reda 3 i ranga 3 - maksimalnog ranga, te je ocito jednaka jed-

ninicnoj matrici.

57


Propozicija 2.5.7. Neka je A ∈Mmn(F) ranga r. Tada se matrica A moze primjenomkonacno mnogo elementarnih transformacija nad stupcima ili retcima svesti na kanonskumatricu tipa (m,n) i ranga r.

Teorem 2.5.8. Neka je A ∈Mmn(F). Vrijedi r(A) = r ako i samo ako A ∼ Dr.

Korolar 2.5.9. Matrice A i B su ekvivalentne ako i samo ako su istog ranga.

Dokaz. Jedan smjer je pokazan u Korolaru 2.5.5, a drugi slijedi zbog toga sto je ekviva-lencija matrica relacija ekvivalencije (Propozicija 2.4.7).

2.6 Inverzna matrica. Grupa regularnih matrica.

Skup svih regularnih, to jest invertibilnih matrica u multiplikativnom monoidu Mn(F)cini nekomutativnu grupu. Tu grupu oznacavat cemo s GL(n,F) i nazivati opca linearnagrupa.

Teorem 2.6.1. Matrica reda n je regularna ako i samo ako je ranga n.

Dokaz. Pretpostavimo da je matrica A ∈Mn(F) regularna i ranga 1 ≤ r. Tada je premaTeoremu 2.5.8 A ∼ Dr, gdje je Dr kanonska matrica ranga r i reda n. Propozicija 2.4.6povlaci da je Dr = SAT sa neke regularne matrice S i T reda n. Stoga je i Dr nuznoregularna jer je umnozak regularnih matrica. No, Dr je regularna ako i samo ako jer = n, pa je A ranga n.

Obratno, ako je A ranga n, tada je A ∼ Dn = I, odnosno zbog simetricnosti I ∼ A.Prema Propoziciji 2.4.6 postoje regularne matrice S i T reda n takve da je A = SIT =ST , pa slijedi da je A regularna.

Korolar 2.6.2. Svaka regularna matrica moze se napisati kao umnozak elementarnihmatrica.

Dokaz. Neka je A ∈ Mn(F) regularna, tada je prema Teoremu 2.6.1 ranga n, a premaTeoremu 2.5.8 je A ∼ I. Stoga postoje elementarne matrice F1, . . . , Fk i G1, . . . , Gl redan takve da je A = (Fk · · ·F1)I(G1 · · ·Gl) = Fk · · ·F1G1 · · ·Gl. Dakle, A je umnozakelementarnih matrica.

Korolar 2.6.3. Neka su A,B ∈ Mmn(F). Matrice A i B su ekvivalentne ako i samopostoji regularna matrica S reda m i regularna matrica T reda n za koje vrijedi B = SAT .

Dokaz. Jedan smjer smo pokazali u Propoziciji 2.4.6, a drugi slijedi iz prethodnog koro-lara 2.6.3.

Regularne matrice posebne su i po tome sto se mogu transformirati do jedinicnematrice primjenom elementarnih transformacija samo po retcima ili samo po stupcima.Zaista, neka je A = (aij) regularna, odnosno r(A) = n. Bez smanjenja opcenitostimozemo pretpostaviti da je a11 6= 0. (U suprotnom u prvom stupcu mora postojati

58


element aji 6= 0 jer je matrica A punog ranga, te napravimo zamjenu prvog i j-togretka.) Stoga vrijedi

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... · · · ...an1 an2 . . . ann

∼

1 a′12 . . . a′1n0 a′22 . . . a′2n...

... · · · ...0 a′n2 . . . a′nn

= A′,

gdje smo matricu A′ dobili nakon sljedecih transformacija: pribrajanjem 1. retka pomno-zenog s −aj1/a11 j-tom retku, za sve j = 2, . . . , n, te mnozenjem 1. retka s 1/a11.Sada uocimo da medu elementima 2. stupca {a′22, . . . , a′n2} mora postojati barem jedanelement razlicit od nule. Zaista, ukoliko bi svi bili jednaki nuli, onda bi 2. stupac matriceA′ bio nuzno kolinearan s 1. stupcem sto bi znacilo da je r(A′) < n, a to je u proturjecju sacinjenicom da su A i A′ ekvivalentne matrice. Stoga, ponovo bez smanjenja opcenitostimozemo pretpostaviti da je a22 6= 0, te na slican nacin transformirajuci matricu A′

dobivamo

A ∼ A′ ∼

1 0 a′′13 . . . a′′1n0 1 a′′23 . . . a′′2n0 0 a′′33 . . . a′′2n...

...... · · · ...

0 0 a′′n3 . . . a′′nn

= A′′.

Analognim zakljucivanjem dobivamo da medu elementima 3. stupca {a′33, . . . , a′n3} morapostojati barem jedan element razlicit od nule i nastavljamo postupak. U posljednjemkoraku imat cemo

A ∼

1 0 . . . 0 a

(n)1n

0 1 . . . 0 a(n)2n

......

... · · · ...

0 0 . . . 1 a(n)2,n−1

0 0 . . . 0 a(n)nn

= A(n),

pri cemu je nuzno a(n)nn 6= 0 jer bi u suprotnom imali r(A) = r(A(n)) = n− 1 < n. Stoga

smo dobili da je A ∼ I pri cemu smo rabili samo elementarne transformacije nad retcimamatrice.

Posve analogno mogli bismo provoditi elementarne transformacije samo nad stupcimamatrice i doci do istog zakljucka.

Primjer 35. Transformirat cemo zadanu matricu A koristeci samo elementarne tran-

59


sformacije nad retcima matrice.

A =

1 2 −12 3 50 −1 9

∼{

2.retku dodamo 1. redak pomnozen s− 2}∼

1 2 −10 −1 70 −1 9

∼{

1. retku dodamo 2. redak pomnozen s 23. retku dodamo 2. redak pomnozen s− 1

}∼

1 0 130 −1 70 0 2

∼{

2. redak pomnozimo s − 13. redak pomnozimo s 1

2

}∼

1 0 130 1 −70 0 1

∼{

1. retku dodamo 3. redak pomnozen s − 132. retku dodamo 3. redak pomnozen sa 7

}∼

1 0 00 1 00 0 1

= I.

♥

Svojstvo da se regularna matrica moze svesti na jedinicnu matricu koristeci elemen-tarne transformacije samo nad retcima matrice (ili samo nad stupcima) moze se iskoristitiza postupak odredivanja inverza. Zaista, ako je A ∈ GL(n,F), onda postoje elementarnematrice F1, . . . , Fk reda n takve da je

I = Fk · · ·F1A.

Zbog jedinstvenosti inverza jasno je da je

A−1 = Fk · · ·F1.

No i vise, jer jeA−1 = (Fk · · ·F1)I,

slijedi da cemo inverz A−1 dobiti transformirajuci matricu I s istim transformacijamakoje cinimo nad retcima matrice A sa ciljem dobivanja jedinicne matrice A. Prirodno jeda se te transformacije izvrsavaju istovremeno. Ukratko, dogada se sljedece

(A... I) ∼

{elementarne transformacije nad retcima

}∼ (I

... A−1).

60


Primjer 36. Odredimo inverz matrice A iz prethodnog.

(A... I) =

1 2 −1 p 1 0 02 3 5 p 0 1 00 −1 9 p 0 0 1

∼

1 2 −1 p 1 0 0

0 −1 7 p −2 1 00 −1 9 p 0 0 1

∼

1 0 13 p −3 2 00 −1 7 p −2 1 00 0 2 p 2 −1 1

∼

1 0 13 p −3 2 00 1 −7 p 2 −1 0

0 0 1 p 1 −12

12

∼

1 0 0 p −16 172

−132

0 1 0 p 9 −92

72

0 0 1 p 1 −12

12

= (I... A−1).

Oznaka elementa aij znaci da se vrse transformacije nad svim retcima matrice osim

na i-tom sa ciljem da svi elementi j-tog stupca postanu nule, osim samog elementa aij.Taj se element cesto zove pivotni.

♥

Primjer 37. Kazemo da je matrica A ∈ Mn(F) ortogonalna ako je AAt = AtA = I, tojest ako je A−1 = At. Skup ortogonalnih matrica reda n s elementima iz F oznacavamo sO(n,F) i on cini podgrupu opce linearne grupe GL(n,F). Zaista, ako su A,B ∈ O(n,F),tada je

(AB)(AB)t = (AB)(BtAt) = A(BBt)At = AIAt = AAt = I.

Dakle, AB ∈ O(n,F). Nadalje, inverz A−1 = At je ortogonalna matrica, pa je O(n,F)podgrupa od GL(n,F).

Matrica

A =

(3/5 4/5−4/5 3/5

)je jedna ortogonalna matrica reda 2. Uocimo, da je(

3

5

)2

+

(4

5

)2

= 1,

(−4

5

)2

+

(3

5

)2

= 1,3

5· 4

5+

(−4

5

)3

5= 0.

Dakle, zbroj kvadrata elemenata nekog retka je 1, a skalarni produkt prvog i drugog retkaje 0. Lako se vidi da isto vrijedi i za stupce matrice A. No, opazeno svojstvo vrijedi iopcenito za A = [aij] ∈ O(n,F). Kako je AAt = I, imamo da je i [AAt]ij = [I]ij = δij i

[AAt]ij =n∑k=1

[A]ik[At]kj =

n∑k=1

aikajk,

61


pa jen∑k=1

aikajk = δij.

Za i = j jen∑k=1

a2ik = 1,

a za i 6= jn∑k=1

aikajk = 0.

Znaci, skalarni produkt dva razlicita retka je 0, a suma kvadrata elemenata nekog retkaje 1. Ako retke matrice A shvatimo kao vektore iz Fn, onda cemo reci da su oni normirani(to jest duljine 1) i medusobno ortogonalni ili okomiti (jer im je skalarni produkt 0). Toje razlog zasto smo matricu A nazvali ortogonalnom.

Ako isto primijenimo na jednakost AtA = I, dobivamo da analogno svojstvo vrijedii za stupce matrice A,

n∑k=1

a2ki = 1,n∑k=1

akiakj = 0, i 6= j.

Dakle, i stupci matrice A su normirani vektori i medusobno ortogonalni.Poznat primjer ortogonalne matrice je(

sinα cosα− cosα sinα

), α ∈ R.

♥

62

Poglavlje 3

Sustavi linearnih jednadzbi

3.1 Osnovni pojmovi i definicije

Definicija 3.1.1. Linearna jednadzba s n nepoznanica nad poljem F je svakajednadzba oblika

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b, (3.1)

pri cemu su x1, ..., xn nepoznanice, a1, ..., an ∈ F koeficijenti, te b ∈ F slobodnikoeficijent. Ako je b = 0, onda se jednadzba (3.1) naziva homogenom.

Rjesenje jednadzbe (3.1) je svaka uredena n-torka (γ1, . . . , γn) ∈ Fn takva dasupstitucijom x1 = γ1, ..., xn = γn u (3.1) dobivamo numericki identitet.

Rijesiti jednadzbu (3.1) znaci odrediti skup svih njenih rjesenja.

Primjer 38. Jednadzba2x− y + z + 3 = 0

predstavlja opcim ili implicitni oblik jednadzbe ravnine u E3 (odnosno R3). Za x = t iy = s dobivamo pripadni parametarski koordinatni oblik jednadzbe te ravnine

x = t,

y = s,

z = −2t+ s− 3, s, t ∈ R,

iz kojeg mozemo iscitati skup rjesenja pocetne jednadzbe

{(t, s,−2t+ s− 3) : t, s ∈ R} = {(0, 0,−3) + t(1, 0,−2) + s(0, 1, 1) : t, s ∈ R}.

Jos kazemo da ova ravnina prolazi tockom (0, 0,−3) i razapeta je vektorima (1, 0,−2)i (0, 1, 1).

♥

Definicija 3.1.2. Neka su m,n ∈ N. Sustav od m linearnih jednadzbi s n nepoz-nanica nad poljem F je sustav jednadzbi oblika

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

...... · · · ...

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(3.2)

63


pri cemu su x1, ..., xn nepoznanice, aij ∈ F koeficijenti, te bi ∈ F slobodni koeficijent,i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Ako je b1 = · · · = bm = 0, onda se sustav (3.2) nazivahomogen.

Rjesenje sustava (3.2) je svaka uredena n-torka (γ1, . . . , γn) ∈ Fn takva da sups-titucijom x1 = γ1, ..., xn = γn u (3.2) dobivamo niz numerickih identiteta.

Rijesiti sustav (3.2) znaci odrediti skup svih njegovih rjesenja.

Ako je Ri skup svih rjesenja i-te jednadzbe u (3.2), onda je skup svih rjesenja sustava(3.2) jednako

R =m⋂i=1

Ri.

Sustav je rjesiv ili konzistentan ako ima bar jedno rjesnje, odnosno ako R 6= ∅.

Primjer 39. Sustav2x + y = −1x − y = 4

je rjesiv. Stovise, ima jedinstveno rjesenje (1,−3). Dakle, R = {(1,−3)}.Sustav

2x + y = −1−4x − 2y = 2

je takoder rjesiv. Na primjer, uredeni par (0,−1) zadovoljava sustav. No, ovaj sustavima beskonacno mnogo rjesenja. Skup svih rjesenja dano je skupom

R = {(t,−2t− 1) : t ∈ R}.

Sustav2x + y = −1−4x − 2y = 5

nema rjesenja, to jest nekonzistentan je.Navedeni primjeri opisuju sve slucajeve koje mozemo dobiti prilikom rjesavanja sus-

tava s dvije linearne jednadzbe u dvije nepoznanice. Zaista, kako se jedna linearnajednadzba u dvije nepoznanice geometrijski interpretira kao pravac u ravnini, rjesavanjesustava ’2 puta 2’ interpretiramo kao trazenje presjeka dvaju pravaca u ravnini. Stogase pravci mogu sjeci u jednoj tocki (jedinstveno rjesenje sustava), mogu se poklapati(beskonacno rjesenja sustava) ili mogu biti paralelni (sustav nema rjesenja).

♥

U onim sto slijedi proucavat cemo sljedece probleme vezane uz sustave oblika (3.2):

• rjesivost,

• opis skupa rjesenja ukoliko je sustav rjesiv,

• metoda rjesavanja.

64


Prije toga uvest cemo kraci, odnosno matricni zapis sustava (3.2). Koeficijente sustava(3.2) ’smjestimo’ u matricu tipa (m,n),

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... · · · ...am1 am2 . . . amn

,

a slobodne koeficijente i nepoznanice u stupcane matrice tipa (m, 1), odnosno (n, 1)

B =

b1b2...bm

, X =

x1x2...xn

.

Sada uocimo da je sustav (3.2) ekvivalentan matricnoj jednadzbi

AX = B, (3.3)

pri cemu AX predstavlja umnozak matrica A i X. Rijesiti sustav (3.2) ekvivalentno jerjesavanju matricne jednadzbe (3.3). Iz tog razloga rjesenja sustava (3.2) cesto prikazu-jemo i zapisujemo kao stupcaste matrice iz Mn1(F),

Fn 3 (γ1, . . . , γn) !

γ1γ2...γn

∈Mn1(F).

Matrica A naziva se matrica sustava (3.2). Sustavu (3.2) cesto pridruzujemo i takozvanuprosirenu matricu sustava,

Ap =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

... · · · ......

am1 am2 . . . amn bm

= (A...B).

Uocimo, Ap ∈Mm,n+1(F).

3.2 Rjesivost sustava. Kriterij jednoznacnosti rjesenja.

Propozicija 3.2.1. Neka je (γ1, . . . , γn) ∈ Fn rjesnje sustava (3.2). Tada je

B = γ1S1 + · · ·+ γnSn,

gdje je {S1, . . . , Sn} stupcana reprezentacija matrice sustava A, te B matrica slobodnihkoeficijenata sustava.

65


Dokaz. Vrijedi

B =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... · · · ...am1 am2 . . . amn

γ1γ2...γn

=

∑n

k=1 a1kγk∑nk=1 a2kγk

...∑nk=1 amkγk

= γ1

a11a21...am1

+ γ2

a12a22...am2

+ · · ·+ γn

a1na2n...

amn

.

Korolar 3.2.2. Homogen sustav AX = 0 je uvijek rjesiv.

Dokaz. Zaista, 0 = 0 · S1 + · · ·+ 0 · Sn.

Teorem 3.2.3 (Kronecker-Capelli). Sustav AX = B je rjesiv ako i samo ako je rangmatrice sustava A jednak rangu prosirene matrice sustava Ap.

Dokaz. Prisjetimo se,r(A) = dim[S1, . . . , Sn],

gdje {S1, . . . , Sn} stupcana reprezentacija matrice sustava A. Prema Propoziciji 3.2.1sustav AX = B je rjesiv ako i samo ako je je B ∈ [S1, . . . , Sn], odnosno ako i samo akoje

r(A) = dim[S1, . . . , Sn] = dim[S1, . . . , Sn, B] = r(Ap).

Korolar 3.2.4. Sustav (3.2) ima jedinstveno rjesenje ako i samo ako je

r(A) = r(Ap) = n.

Dokaz. Ako sustav (3.2) ima jedinstveno rjesenje (γ1, . . . , γn) ∈ Fn, onda je prikaz vek-tora B kao linearne kombinacije, B = γ1S1 + · · · + γnSn, jedinstven. Stoga je skup{S1, . . . , Sn} linearno nezavisan, pa i baza linearne ljuske [S1, . . . , Sn]. Znaci, r(A) = n,a r(A) = r(Ap) (prema Propoziciji 3.2.1).

Obratno, ako je r(A) = r(Ap), onda sustav ima rjesenja i B ∈ [S1, . . . , Sn] (Propo-zicija 3.2.1). Kako je r(A) = n, skup {S1, . . . , Sn} je linearno nezavisan, pa je prikazvektora B u bazi {S1, . . . , Sn} jedinstven sto povlaci jedinstvenost rjesenja sustava.

3.3 Homogen sustav. Struktura skupa rjesenja.

Vrlo je lako za ustanoviti da homogen sustav AX = 0 uvijek ima rjesnje (0, . . . , 0). Tose rjesenje naziva trivijalnim. Sada cemo pokazati da ukoliko homogen sustav ima inetrivijalnih rjesenja, onda ona cine nama vrlo dobro poznatu algebarsku strukturu.

Propozicija 3.3.1. Skup svih rjesenja homogenog sustava AX = 0 cini vektorski pot-prostor od Mn1(F), odnosno Fn.

66


Dokaz. Oznacimo sH = {H ∈Mn1(F) : AH = 0}

Neka su H1, H2 ∈ H, te λ ∈ F. Tada je

A(λH1 +H2) = λ(AH1) + (AH2) = 0,

pa je i λH1 + H2 rjesenja homogenog sustava AX = 0, odnosno λH1 + H2 ∈ H. Dakle,H ≤Mn1(F).

Neka je {H1, . . . , Hd} baza potprostora H. Tada je

H = {λ1H1 + · · ·+ λdHd : λ1, . . . , λd ∈ F}.

Drugim rijecima, svako rjesenje H homogenog sustava AX = 0 oblika je

H = λ1H1 + · · ·+ λdHd,

za neke λ1, . . . , λd ∈ F. Prethodno opazanje vrijedi u svakom vektorskom prostoru, no zasada jos ne znamo kako pronaci bazu i dimenziju za H. Na ta pitanja dat cemo odgovoru sklopu metode za rjesavanje sustava.

Skup svih rjesenja nehomogenog sustava AX = B usko je povezan sa skupom svihrjesenja pripadnog homogenog sustava AX = 0.

Teorem 3.3.2. Neka je R0 ∈Mn1(F) neko rjesenje sustava AX = B. Skup svih rjesenjasustava AX = B je

R = R0 +H = {R0 +H : H ∈ H}.

Dokaz. Treba pokazati inkluzije, R ⊆ {R0 + H : H ∈ H} i {R0 + H : H ∈ H} ⊆ R.Ako je R1 ∈ R, onda je A(R1−R0) = B−B = 0, pa je R1−R0 ∈ H i R0 + (R1−R0) ∈{R0 +H : H ∈ H}.

S druge strane, A(R0 +H) = AR0 + AH = B + 0 = B, pa je R0 +H ∈ R.

Istaknuto rjesenje R0 sustava AX = B, naziva se partikularno rjesenje. Teorem 3.3.2nam kaze da se rjesenje nehomogenog sustava moze izraziti kao zbroj nekog partikularnogrjesenja i nekog rjesenja pripadnog homogenog sustava. Skup oblika R0 +H naziva selinearna mnogostrukost ( pri cemu je bitno da je H potprostor).

3.4 Postupak rjesavanja sustava. Gaussova metoda.

Definicija 3.4.1. Dva sustava linearnih jednadzbi nad istim poljem F su ekvivalentnaako imaju isti broj nepoznanica i isti skup rjesenja.

Ideja naseg postupka rjesavanja sustava bit ce u tome da sustav transformiramo unjemu ekvivalentan, ali koji je jednostavniji od pocetnog u smislu da iz njega mozemolako iscitati rjesenje.

67


Primjer 40. Sljedeca tri sustava su ekvivalentna;

(1)

x1 − x2 + 2x3 = 22x1 + 3x2 + x3 = −1x1 + x2 + x3 = 0

,

(2)

x1 + 2x2 + 3x3 = 0− x2 + 2x3 = 1

x3 = 0,

(3)

x1 = 2x2 = −1

x3 = 0.

Rjesenje ovih sustava je jedinstveno - (2,−1, 0). Lako je odabrati koji je ovih sustavanajlakse rijesiti - to je sustav (3). I sustav (2) se lako rjesava, supstitucijom unazad, dokje sustav (1) potrebno dodatno transformirati kako bi se doslo do rjesenja.

♥

Iz prethodnog primjera mozemo zakljuciti da jednostavnim sustavima smatramo onecija je matrica sustava dijagonalna (jedinicna) ili gornjetrokutasta. No, to nije uvijekmoguce dobiti buduci da matrica sustava ne mora biti kvadratna, a i rjesenje ne morabiti nuzno jedinstveno. Ipak, koristeci elementarne transformacije nad retcima prosirenematrice moguce je dobiti takvu matricu da cemo rjesenje samo ’procitati’.

Propozicija 3.4.2. Primjenom elementarnih transformacija na jednadzbama sustava,odnosno na retcima pripadne prosirene matrice, dobivamo sustav ekvivalentan polaznom.

Dokaz. Neka je zadan sustav AX = B, A ∈ Mmn(F). Elementarne transformacijena retcima pripadne prosirene matrice realiziraju se mnozenjem s lijeva s elementarnimmatricama, odnosno s nekom regularnom matricom T ∈Mm(F). Stoga nakon provedenihtransformacija dobivamo sustav (TA)X = TB. Jasno je da je sustav AX = B rjesivako i samo ako je (TA)X = TB rjesiv, jer je r(A) = r(TA) i r(Ap) = r(TAp), te

TAp = (TA...TB). Nadalje, ako je R ∈ Mn1(F) je rjesenje sustava AX = B, to jest

AR = B, onda je i (TA)R = TB. Obratno, ako (TA)R = TB, onda mnozenjem sinverzom T−1 s lijeva, slijedi da je AR = B. Stoga, matricne jednadzbe AX = B i(TA)X = TB imaju isti skup rjesenja, odnosno one su ekvivalentne.

Pretpostavimo prvo da je r(A) = r < n. Primjenom konacno mnogo elementarnihtransformacija nad retcima prosirene matrice Ap mozemo dobiti sljedece

Ap ∼

1 0 · · · 0 | a′1,r+1 · · · a′1,n p b′10 1 · · · 0 | a′2,r+1 · · · a′2,n p b′2...

... · · · ... | ... · · · ... p ...0 0 · · · 1 | a′r,r+1 · · · a′r,n p b′r0 0 · · · 0 | 0 · · · 0 p b′r+1...

... · · · ... | ... · · · ... p ...0 0 · · · 0 | 0 · · · 0 p b′m

, (3.4)

68


gdje su a′ij ∈ F za i = 1, . . . , r, j = r + 1, . . . , n, zatim b′1, . . . , b′r ∈ F, te (b′r+1, . . . , b

′m) =

(0, . . . , 0) ili (b′r+1, . . . , b′m) = (1, . . . , 0). Uocimo, da je jedinicna podmatrica (blok)

reda r. Postupak transformiranja prosirene matrice sustava na matricu u (3.4) zovemoGaussova metoda eliminacije.

Ako je (b′r+1, . . . , b′m) = (0, . . . , 0), onda ocito r(A) = r(Ap) = r, pa prema Kronecker-

Capellijevom teoremu 3.2.3, sustav AX = B ima rjesenje. Ako je (b′r+1, . . . , b′m) =

(1, . . . , 0), onda r(A) = r < r(Ap) = r + 1, pa sustav nije konzistentan.

Pretpostavimo da je sustav rjesiv i da je r < n. Stoga je prema (3.4) pocetni sustavekvivalentan sljedecem:

x1 · · · + a′1,r+1xr+1 + · · · + a′1,nxn = b′1x2 · · · + a′2,r+1xr+1 + · · · + a′2,nxn = b′2

...xr + a′r,r+1xr+1 + · · · + a′r,nxn = b′r

. (3.5)

U (3.5) vidimo da se nepoznanice x1, . . . , xr mogu izraziti pomocu nepoznanica xr+1, . . . , xn.Zaista,

x1 = b′1 − a′1,r+1xr+1 − · · · − a′1,nxnx2 = b′2 − a′2,r+1xr+1 − · · · − a′2,nxn

...xr = b′1 − a′r,r+1xr+1 − · · · − a′r,nxn

. (3.6)

Stoga je prirodno nepoznanice x1, . . . , xn razvrstati u dvije skupine: skup {x1, . . . , xr}i skup {xr+1, . . . , xn} koje cemo proglasiti slobodnim parametrima u F. Za svaki izbor(xr+1, . . . , xn) ∈ Fn−r dobivamo tocno jedno rjesenje sustava. Stavljamo

λ1 = xr+1, λ2 = xr+2, . . . , λn−r = xn,

i (3.6) zapisujemo matricno

x1x2...xrxr+1

...xn

=

b′1 − a′1,r+1xr+1 − · · · − a′1,nxnb′2 − a′2,r+1xr+1 − · · · − a′2,nxn

...b′r − a′r,r+1xr+1 − · · · − a′r,nxn

λ1...

λn−r

,

69


odnosno

x1x2...xrxr+1

xr+2...xn

=

b′1b′2...b′r00...0

︸︷︷︸

R0

+λ1

−a′1,r+1

−a′2,r+1...

−a′r,r+1

10...0

︸︷︷︸

H1

+λ2

−a′1,r+2

−a′2,r+2...

−a′r,r+2

01...0

︸︷︷︸

H2

+ · · ·+ λn−r

−a′1,n−a′2,n

...−a′r,n

00...1

︸︷︷︸

Hn−r

.

Uocimo,AR0 = B, AH1 = 0, . . . , AHn−r = 0,

odnosno R0 je partikularno rjesenje sustava ocito dobiveno izborom (λ1, . . . , λn−r) =(0, . . . , 0), dok su H1, . . . , Hn−r rjesenja pripadnog homogenog sustava AX = 0. Lakomozemo ustanoviti da je skup {H1, . . . , Hn−r} linearno nezavisan i razapinje potprostorH - skup svih rjesenja homogenog sustava AX = 0. Dakle, {H1, . . . , Hn−r} je baza zaH. Ovime smo pokazali sljedeci teorem.

Teorem 3.4.3. Neka je H skup svih rjesenja homogenog sustava AX = 0, za A ∈Mmn(F). Tada je H vektorski potprostor od Mn1(F) (odnosno Fn) dimenzije n− r, gdjeje r = r(A).

Napomenimo da u slucaju n = r i n < m, umjesto (3.4) imamo

Ap ∼

1 · · · 0 p b′1...

. . .... p ...

0 · · · 1 p b′n0 · · · 0 p b′n+1... · · · ... p ...0 · · · 0 p b′m

,

pa ako je b′n+1 = · · · = b′m = 0, onda sustav ima jedninstveno rjesenje

R0 =

b′1...b′n

.

U slucaju kvadratnog sustava (n = m) i n = r, slijedi da je

Ap ∼

1 · · · 0 p b′1...

. . .... p ...

0 · · · 1 p b′n

.

Dakle, kvadratni sustav kome je pripadna matrica punog ranga ima uvijek jedinistvenorjesenje R0. Napomenimo, da je tada matrica A i regularna, pa je R0 = A−1B.

70

Poglavlje 4

Determinante

4.1 Definicija determinante. Grupa permutacija.

Na kolegiju Analiticka geometrija definirali smo determinantu reda 2 i reda 3, odnosnodeterminantu matrice reda 2 i 3, jer se pokazala vrlo korisnim alatom za ispitivanjelinearne nezavisnosti, racunanje vektorskog i mjesovitog produkta, itd. Prisjetimo se,determinanta reda 2 definira se kao∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21,

a determinanta reda 3 kao∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11.

Formula kojom je zadana determinanta reda 3 moze se uciniti prilicno komplicira-nom, no uocimo u njoj odredenu pravilnost koja ce nam pomoci da shvatimo kako sedefinira determinanta matrice opcenitog reda n. Vidimo da se u toj formuli pojavljuje 6clanova, od kojih tri s predznakom +, a tri s predznakom − . Zanemarimo li privremenoizbor tih predznaka, uocimo da je svaki clan umnozak tri koeficijenta iz matrice. Pritomse svaki od brojeva 1, 2 i 3 u svakom takvom umnosku pojavljuje i na mjestu prvogindeksa i na mjestu drugog indeksa za neki koeficijent. Jednostavno receno, u svakomclanu pomnozena su neka tri koeficijenta iz matrice, ali tako da je svaki redak i svakistupac matrice zastupljen s po jednim koeficijentom.

Za formiranje svakog clana trebamo ”proci kroz matricu” tako da iz svakog retkaizaberemo po jedan koeficijent, ali pazeci pritom da izabrani koeficijenti budu iz razlicitihstupaca. Primjerice, u prvom clanu gornjeg izraza prosli smo matricom ”dijagonalno” odgornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, a u cetvrtom clanu takoder ”dijagonalno”,ali po onoj drugoj dijagonali. Ovakvi clanovi formirani su na sve moguce nacine. Kakoto vidimo? Istaknemo li prvi indeks svakog izabranog koeficijenta (mozemo isto takokrenuti od drugog indeksa), pojedini umnozak mora imati oblik a1...a2...a3..., pri cemu suna mjestu drugog indeksa takoder brojevi 1, 2, 3 rasporedni na bilo koji nacin. Takvihporedaka ima 6, to su permutacije skupa {1, 2, 3}. Svaki izbor po tri koeficijenta u

71


skladu s navedenim pravilom moze se zadati jednom permutacijom i primjena takvogzapisa kljucna je za opcenitu definiciju determinante.∣∣∣∣∣∣

HHa11 HHa12 HHa13a21 HHa22 HHa23a31 a32 HHa33

∣∣∣∣∣∣a11 a12HHa21 a22HHa31 HHa32

a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13,

∣∣∣∣∣∣a11 a12 ��a13a21 ��a22 ��a23��a31 ��a32 ��a33

∣∣∣∣∣∣��a11 ��a12��a21 a22a31 a32

−a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11.

(Za determinantu reda 2 vrijedi isto pravilo, ali rezultat je krajnje jednostavan jerpostoje samo dvije mogucnosti ”prolaza” kroz matricu reda 2, oba ”dijagonalna”).

Permutacije ce nam, dakle, posluziti kako bismo pregledno i jednostavno zapisali pra-vilo formiranja umnozaka po n koeficijenata matrice koji pripadaju razlicitim retcima irazlicitim stupcima, odnosno tako da je svaki redak i svaki stupac zastupljen u umnoskus tocno jednim koeficijentom. Znamo da skup od n elemenata ima tocno n! permutacija,tako da determinanta reda 2 ima 2! = 2 clanova, reda 3 ima 3! = 6 clanova, reda 4 ima4! = 24 clanova itd. Broj clanova stoga vrlo brzo raste s povecavanjem reda matrice takoda eksplicitno ispisivanje clanova postaje vrlo neprakticno za n > 3. (No, obicno namtakvo ispisivanje nije ni potrebno).

Sljedece pitanje, izbor predznaka koji se pridruzuju pojedinim clanovima, iznimno jevazno jer o njemu ovise neka bitna svojstva determinante. Vec ranije moglo se uocitikako se kod rjesavanja sustava linearnih jednadzbi s 2 nepoznanice metodom suprotnihkoeficijenata pojavljuje izraz koji prepoznajemo kao determinantu reda 2 (i za koji jevazno je li razlicit od 0 ili je jednak 0). Slicno, uz vise truda, mogli bismo rjesavatisustav od 3 linearne jednadzbe s 3 nepoznanice tako da se kao vazan izraz, zahvaljujucipogodnom izboru predznaka, pojavi determinanta reda 3.

Zasad naglasimo samo to da ce se svakoj permutaciji p po odrednom pravilu pridruzitinjezin predznak sign p iz skupa {1,−1}, sto znaci da ce izbor predznaka u clanovima de-terminante biti diktiran stanovitim svojstvom permutacije kojom je zadan doticni clan.Pokazat ce se da tocno polovica od n! Permutacija (za n > 1) ima predznak 1, a drugapolovica −1.

Prije same definicije determinante podsjetimo se jos da je permutacija nekog konacnogskupa po definiciji svaka bijekcija koja taj skup preslikava na samog sebe te da sve bi-jekcije nekog konacnog skupa cine grupu s obzirom na kompoziciju preslikavanja kaobinarnu operaciju. Ta se grupa naziva simetricna grupa stupnja n i oznacave se sa Sn(vidi Odjeljak 1.1, Primjer 7). Struktura grupe Sn bit ce vazna za svojstva determinante.Napomenimo da je za grupu permutacija bitan je broj elemenata skupa koji se permu-tira, a ne oznake za pojedine elemente, no ovdje je taj skup jednostavno {1, 2, ..., n}.

Opcenito definiramo determinantu reda n na sljedeci nacin.

72


Definicija 4.1.1. Neka je A ∈Mn(F). Determinanta matrice A je skalar iz polja Fkoji se definira kao

detA =∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · anp(n), (4.1)

gdje je Sn grupa permutacija skupa {1, . . . , n}, a sign p ∈ {−1, 1} predznak permutacije.Jos kazemo da je determinanta reda n preslikavanje

det : Mn(F)→ F, A 7→ detA.

Istaknimo i razjasnimo redom sve oznake i pojmove u izrazu (4.1) za determinantu:Permutacija p ∈ Sn je bijekcija na skupu {1, . . . , n}. Oznacavali smo ju s

p =

(1 2 3 · · · np(1) p(2) p(3) · · · p(n)

).

Jos jednom napomenimo da je skup svih skup svih permutacija p skupa {1, . . . , n}, Sn,(nekomutativna) grupa s obzirom na operaciju komponiranja. Buduci da ova grupa brojin! elemenata, suma u (4.1) se sastoji od tocno n! pribrojnika.

Predznak permutacije p definira se kao

sign p = (−1)I(p),

gdje je I(p) broj inverzija permutacija p. Inverzija permutacije p je svaki par (i, j) takavda je 1 ≤ i < j ≤ n i p(i) > p(j). Ukoliko je broj inverzija permutacija p, I(p), paran,kazemo da je p parna permutacija, dok je u suprotnom p neparna permutacija.

Navedimo neka svojstva permutacija, osobito s naglaskom na predznak permutacije.

• Za broj inverzija permutacija p vrijedi

0 ≤ I(p) ≤ n(n− 1)

2=

(n

2

).

Uocimo da identiteta (1 2 3 · · · n1 2 3 · · · n

),

ima 0 inverzija, dok je u permutaciji(1 2 · · · n− 1 nn n− 1 · · · 2 1

),

svaki par (i, j) takav da je 1 ≤ i < j ≤ n - inverzija. Stoga je broj inverzije ove

permutacije jednak n(n−1)2

=(n2

).

• Moze se pokazati da je tocno polovicu grupe Sn cine parne permutacije. Stogaje u (4.1) pola clanova, odnosno 1

2n! njih, dolazi s predznakom +, te isto toliko s

predznakom −.

73


• Pokazuje se da jesign (p ◦ q) = (sign p)(sign q).

Posebno, (sign p)(sign p−1) = sign (p ◦ p−1) = sign id = 1, pa je sign p = sign p−1.

Primjer 41. Zadana je permutacija p ∈ S6,

p =

(1 2 3 4 5 64 3 1 6 2 5

).

Inverzije permutacije p su

(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5), (4, 6),

pa je I(p) = 7 i sign p = −1. Dakle, p je neparna permutacija.♥

Primjer 42. Uvjerimo se da izrazi za determinantu reda 2 i reda 3 slijede tocno premadefiniciji (4.1). Neka je n = 2. Tada je

S2 = {p1 =

(1 21 2

), p2 =

(1 22 1

)}.

Ocito je, I(p1) = 0 i I(p1) = 1. Za A = [aij] ∈M2(F) prema (4.1) imamo

detA = (sign p1)a1p1(1)a2p1(2) + (sign p2)a1p2(1)a2p2(2) = a11a22 − a12a21.

Clanove grupe S3 smo vec raspisali smo u Primjeru 7, odsjecak 1.1. No, navedimoih jos jednom,

S3 = { p1 =

(1 2 31 2 3

), p2 =

(1 2 31 3 2

), p3 =

(1 2 32 1 3

),

p4 =

(1 2 32 3 1

), p5 =

(1 2 33 1 2

), p6 =

(1 2 33 2 1

)}.

Vrijedi I(p1) = 0, I(p2) = I(p3) = 1, I(p4) = I(p5) = 2, I(p6) = 3. Stoga, za A = [aij] ∈M3(F) dobivamo

detA =6∑i=1

(sign pi)a1pi(1)a2pi(2)a3pi(3)

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.

♥

Propozicija 4.1.2. Vrijedi:

(1) Ako matrica A ima neki redak u kojem su svi elementi jednaki nuli, onda je

detA = 0.

Posebno, determinanta nulmatrice je 0.

74


(2) Ako je A = [aij] ∈ Mn(F) gornjetrokutasta (ili donjetrokutasta) matrica, onda je

detA = a11a22 · · · ann.Specijalno, determinanta jedinicne matrice je det I = 1, a determinanta skalarnematrice A = αI, α ∈ F, je detA = αn.

Dokaz. (1) Neka su svi koeficijenti i-tog retka su jednaki nuli, to jest aij = 0 za svej = 1, . . . , n. Uocimo da se u svakom pribrojniku sume u (4.1) nalazi tocno jedanfaktor iz i-tog retka, pa je

detA =∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · aip(i)︸︷︷︸0

· · · anp(n) = 0.

(2) Pretpostavimo da je A = [aij] gornjetrokutasta matrica reda n. Tada je aij = 0 zasve 1 ≤ i < j ≤ n. Uocimo da je jedina permutacija u kojoj je i ≥ p(i) za svei = 1, . . . , n identiteta. Dakle, ako je p permutacija razlicita od identitete, ondapostoji i ∈ {1, . . . , n} takav da je i < p(i), pa je u tom slucaju aip(i) = 0 kao i citavpribrojnik a1p(1) · · · aip(i) · · · anp(n) = 0. Stoga, detA = a11a22 · · · ann.

Propozicija 4.1.3. Transponiranjem matrice se ne mijenja determinanta, to jest

detA = detAt.

Dokaz. Neka je A = [aij] matrica reda n. Tada je

detAt =∑p∈Sn

(sign p)[At]1p(1)[At]2p(2) · · · [At]np(n) =

∑p∈Sn

(sign p)ap(1)1ap(2)2 · · · ap(n)n.

Uocimo da je permutacija (p(1) p(2) · · · p(n)

1 2 · · · n

)inverzna permutacija od

p =

(1 2 · · · np(1) p(2) · · · p(n)

).

Dakle,

detAt =∑p∈Sn

(sign p)a1p−1(1)a2p−1(2) · · · anp−1(n).

Nadalje, uocimo da je I(p) = I(p−1). Zaista, ako je (i, j) inverzija od p, tada je i < j ip(i) > p(j). Za i′ = p(j) i j′ = p(i), imamo i′ < j′ i p−1(i′) = j > i = p−1(j′). Dakle,(i′, j′) je pripadna inverzija od p−1. Konacno, ako p ’prolazi’ skupom svih permutacijaSn, onda ce ’proci’ i p−1, pa smo dobili

detAt =∑

p−1∈Sn

(sign p−1)a1p−1(1)a2p−1(2) · · · anp−1(n) = detA.

Korolar 4.1.4. Ako matrica A ima neki stupac u kojem su svi elementi jednaki nuli,onda je detA = 0.

75


4.2 Osnovna svojstva determinante. Binet-Cauchyjev teorem.

Buduci da smo se uvjerili da se determinanata gornjetrokutaste matrice vrlo lako racuna,prirodno je pokusati transformirati proizvoljnu matricu na istu. Pritom je kljucno koris-titi transformacije koje ne mijenjaju determinantu ili je barem kontrolirano mijenjaju.Pokazuje se da ce za tu svrhu opet posluziti elementarne transformacije na stupcimai retcima matrice. Prije nego sto to iskazemo i dokazemo navedimo jos neka svojstvapermutacija koja ce nam trebati.

Permutacija oblika

t =

(1 2 · · · i · · · j · · · n− 1 n1 2 · · · j · · · i · · · n− 1 n

)naziva se ciklus duljine 2 ili transpozicija. Krace ju ponekad oznacavamo s t = (ij).Pokazuje se da se svaka transpozicija neparna permutacija, to jest sign t = −1. Josvrijedi da je t ◦ t = id, odnosno t = t−1.

Nadalje, svaka se permutacija moze napisati kao kompozicija (produkt) transpozicija.Taj rastav nije jedinstven, ali je broj transpozicija u rastavu uvijek iste parnosti.

Propozicija 4.2.1. Neka su A,B ∈Mn(F). Ako je B dobivena iz A:

(1) medusobnom zamjenom dva retka (stupca), onda detB = − detA,

(2) mnozenjem skalarom λ 6= 0 nekog retka (stupca), onda detB = λ(detA),

(3) pribrajanjem nekog retka (stupca) pomnozenog s λ nekom drugom retku (stupcu),onda detB = detA.

Dokaz. Pokazujemo tvrdnju (1). Pretpostavimo da je B = [bij] dobivena iz A = [aij]zamjenom k-tog i l-tog retka, 1 ≤ k < l ≤ n.

detB =∑q∈Sn

(sign q)b1q(1)b2q(2) · · · bkq(k) · · · blq(l) · · · bnq(n)

=∑q∈Sn

(sign q)a1q(1)a2q(2) · · · alq(k) · · · akq(l) · · · anq(n).

Neka je t transpozicija dana s

t =

(1 2 · · · l · · · k · · · n− 1 n1 2 · · · k · · · k · · · n− 1 n

).

Vrijedi q(t(l)) = q(k), q(t(k)) = q(l) i q(t(i)) = q(i), za sve i 6= k, l. Stoga je

detB =∑q∈Sn

(sign q)a1(q◦t)(1)a2(q◦t)(2) · · · al(q◦t)(l) · · · ak(q◦t)(k) · · · an(q◦t)(n).

76


Stavimo p = q ◦ t, pa je q = p ◦ t jer je t ◦ t = id. Kako je sign (p ◦ t) = (sign p)(sign t) =−sign p, dobivamo

detB =∑p◦t∈Sn

(−sign p)a1p(1)a2p(2) · · · alp(l) · · · akp(k) · · · anp(n)

= −∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · alp(l) · · · akp(k) · · · anp(n) = − detA.

Tvrdnja za stupce vrijedi jer je detA = detAt prema Propoziciji 4.1.3.

Prije nego sto nastavimo dokaz tvrdnji (2) i (3) prethodne propozicije, iskazimo ko-risnu posljedicu tvrdnje (1).

Korolar 4.2.2. Ako su u matrici A dva retka (stupca) jednaka, onda detA = 0.

Dokaz. Pretpostavimo da A ima isti i-ti i j-ti redak. Ako napravimo transformacijuzamjene i-tog i j-tog retka, ponovo cemo dobiti matricu A, a prema Propoziciji 4.2.1 (1)je detA = − detA. Dakle, detA = 0.

Nastavimo s dokazom Propozicije 4.2.1.

Dokaz. Pretpostavimo da je B = [bij] dobivena iz A = [aij] mnozenjem skalarom λ 6= 0i-tog retka. Vrijedi

detB =∑p∈Sn

(sign p) b1p(1)︸︷︷︸a1p(1)

b2q(2)︸︷︷︸a2p(2)

· · · bip(i)︸︷︷︸λaip(i)

· · · bnp(n)︸︷︷︸anp(n)

=∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · (λaip(i)) · · · anp(n)

= λ∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · aip(i) · · · anp(n) = λ detA.

Sada, neka je B = [bij] dobivena iz A = [aij] pribrajanjem i-tog retka pomnozenog sλ j-tom retku. Uz pretpostavku i < j dobivamo

detB =∑p∈Sn

(sign p) b1p(1)︸︷︷︸a1p(1)

b2q(2)︸︷︷︸a2p(2)

· · · bip(i)︸︷︷︸aip(i)

· · · bjp(j)︸︷︷︸ajp(j)+λaip(i)

· · · bnp(n)︸︷︷︸anp(n)

=∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · aip(i) · · · (ajp(j) + λaip(i)) · · · anp(n)

=∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · aip(i) · · · ajp(j) · · · anp(n)︸︷︷︸detA

+

+ λ∑p∈Sn

(sign p)a1p(1)a2p(2) · · · aip(i) · · · aip(i) · · · anp(n)︸︷︷︸0

= detA.

77


Zaista, druga suma predstavlja determinantu matrice kojoj su i-ti i j-ti redak jednaki,(ai1, . . . , ain), pa prema je Korolaru 4.2.2 vrijednost determinante takve matrice jednakanuli.

Za stupce vrijede analogne tvrdnje jer detA = detAt.

Sljedeci primjer dajemo zbog boljeg razumijevanja dokaza Propozicije 4.2.1 (1).

Primjer 43. Pretpostavimo da su A i B matrice reda 4, te da je B = [bij] dobivena izA = [aij] zamjenom 2. i 3. retka. Nadalje, promotrimo sto se dogada sa clanom sumekoji odgovara permutaciji

p =

(1 2 3 42 3 4 1

).

Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 b44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = · · · −a12a23a34a41︸︷︷︸(sign p)a1p(1)a2p(2)a3p(3)a4p(4)

+ · · · .

detB =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a14a31 a32 a33 a34a21 a22 a23 a24a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = · · · +a12a33a24a41︸︷︷︸(sign q)a1q(1)a2q(2)a3q(3)a4q(4)

+ · · · ,

qdje je

p ◦ t =

(1 2 3 42 3 4 1

)◦(

1 2 3 41 3 2 4

)=

(1 2 3 42 4 3 1

)= q.

♥

Znaci, za zakljuciti je da se uslijed vrsenja elementarnih transformacija nad retcimaili stupcima matrice, determinanta moze promijeniti, ali kontrolirano! Nadalje, ako jeA ∼ B, to jest ako je B dobivena provodenjem konacno mnogo elementarnih transfor-macija matrice A, onda postoji α ∈ F i α 6= 0 takav da je detB = α detA. Otuda jejasno da ekvivalentne matrice ili obje imaju determinantu jednaku nuli ili obje imajudeterminantu razlicitu od nule.

Propozicija 4.2.3. Matrica A je regularna ako i samo ako je detA 6= 0.

Dokaz. Matrica A je regularna ako i samo ako je r(A) = n, odnosno ako i samo ako jeA ∼ I. Kako je det I = 1, slijedi da je detA 6= 0.

Ako pretpostavimo da A nije regularna, onda je r(A) = r < n i A ∼ Dr gdje je Dr

kanonska matrica ranga r i reda n, pa slijedi da detA = 0 jer detDr = 0.

Teorem 4.2.4. Neka je A ∈Mn(F). Sljedece tvrdnje su ekvivalentne:

(1) A je regularna,

(2) r(A) = n,

78


(3) detA 6= 0.

Napomenimo da iz detA 6= 0 zakljucujemo da je r(A) = n. Ali, ako detA = 0 , ondane znamo tocnu vrijednost ranga nego samo da je r(A) < n.

Teorem 4.2.5 (Binet-Cauchy). Neka su A,B ∈Mn(F). Tada je

det(AB) = detA · detB.

Dokaz. Tvrdnja ocito vrijedi za dijagonalne matrice. Dokaz provodimo u vise slucajeva.Najprije, ustanovimo koje su vrijednosti determinanti elementarnih matrica. PremaPropoziciji 4.2.1 slijedi:

• detE1 = −1, gdje je E1 elementarna matrica koja odgovara elementarnoj transfor-maciji 1. vrste (zamjeni dva retka ili stupca jedinicne matrice),

• detE2 = λ, gdje je E2 elementarna matrica koja odgovara elementarnoj transfor-maciji 2. vrste (mnozenju nekog retka ili stupca skalarom λ 6= 0 jedinicne matrice),

• detE3 = 1, gdje je E3 elementarna matrica koja odgovara elementarnoj transfor-maciji 3. vrste (pribrajanju nekog retka ili stupca skalarom pomnozenim λ 6= 0nekom drugom retku ili stupcu jedinicne matrice).

1. slucaj. Pretpostavimo da je B elementarna matrica, tada je

• det(AE1) = {Prop.4.2.1 (1)} = − detA = (detA)(detE1),

• det(AE2) = {Prop.4.2.1 (2)} = λ detA = (detA)(detE2),

• det(AE3) = {Prop.4.2.1 (3)} = detA = (detA)(detE3).

2. slucaj. Pretpostavimo da je B regularna matrica, tada se B moze prikazati kaoumnozak elementarnih matrica (Korolar 2.6.2). Znaci,

B = F1F2 · · ·Fk.

Tada je

det(AB) = det(AF1F2 · · ·Fk) = {1. slucaj} = det(AF1F2 · · ·Fk−1) detFk = · · ·= detA detF1 detF2 · · · detFk︸︷︷︸

detB

= detA detB.

3. slucaj. Pretpostavimo da B nije regularna matrica, tada je detB = 0. No, tada niumnozak AB nije regularna matrica, pa je i det(AB) = 0. Stoga, det(AB) = detA · 0 =detA detB.

79


4.3 Laplaceov razvoj. Inverzna matrica. Cramerov sustav.

Definicija 4.3.1. Neka je A = [aij] ∈ Mn(F). Determinanata matrice koja nastajeuklanjanjem i-tog retka i j-tog stupca matrice A naziva se minora reda n−1 i oznacavas ∆ij.

Moze se pokazati da vrijedi

detA =n∑j=1

aijAij, (4.2)

gdje je Aij = (−1)i+j∆ij tzv. kofaktor ili algebarski komplement elementa aij. Formula(4.2) naziva se Laplaceov razvoj po i-tom retku determinante. Analogno, vrijedi

detA =n∑i=1

aijAij, (4.3)

Laplaceov razvoj po j-tom stupcu.

Definicija 4.3.2. Neka je A = [aij] ∈ Mn(F). Adjunkta matrice A je matrica A =[Aji] ∈Mn(F), to jest transponirana matrica algebarskih komplemenata matrice A

Teorem 4.3.3. Za svaku matricu A ∈Mn(F) vrijedi

A · A = A · A = (detA)I.

Dokaz. Neka je i 6= j. Tada

[A · A]ij =n∑k=1

[A]ik[A]kj =n∑k=1

aikAjk.

Prema (4.2) prethodna suma je upravo jednaka vrijednosti sljedece determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1n... · · · ...ai1 · · · ain... · · · ...ai1 · · · ain... · · · ...an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ j-ti redak

i-ti redak

,

odnosno determinante kojoj su i-ti i j-ti redak jednaki, pa je prema Korolaru 4.2.2 njenavrijednost jednaka 0.

Nadalje,

[A · A]ii =n∑k=1

[A]ik[A]ki =n∑k=1

aikAik = detA,

prema (4.2), pa smo pokazali da je A · A = (detA)I.

Analogno se pokazuje A · A = (detA)I.

80


Korolar 4.3.4. Ako je detA 6= 0, onda

A−1 =1

detAA.

Definicija 4.3.5. Sustav AX = B je Cramerov sustav ako je A kvadratna matricapunog ranga.

Cramerov sustav AX = B ima isti broj jednadzbi i nepoznanica. Matrica sustava Aje ranga n sto je ekvivalentno s cinjenicom da je A regularna. Znaci, Cramerov sustavima jedinstveno rjesenje (γ1, . . . , γn). Nadalje,

X = A−1B,

pa prema Koloralaru 4.3.4 slijedi

X =1

detAAB.

Raspisivanjem elemenata umnoska AB dobivamo

[AB]i =n∑j=1

[A]ijbj =n∑i

[A]jibj =n∑i

bj[A]ji, 1 ≤ i ≤ n,

a to je upravo Laplaceov razvoj po i-tom stupcu sljedece determinante

Di =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1,i−1 b1 a1,i+1 · · · a1na21 · · · a2,i−1 b2 a2,i+1 · · · a2n... · · · ...

...... · · · ...

an1 · · · an,i−1 bn an,i+1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ , (4.4)

to jest determinante matrice A koju smo dobili zamjenom i-tog stupca stupcem slo-

bodnih koeficijenata B =

b1...bn

. Uobicajeno je rjesenja Cramerovog sustava zapisati

formulama

γi =Di

D, i = 1, . . . , n,

gdje je D = detA, a Di su dani s (4.4).

81

Bibliografija

[1] K.Horvatic, Linearna algebra I, II, PMF-Matematicki odjel, Zagreb 1995.

82

linearna algebra 1 skripta za nastavnicke studije na pmf-mo

Documents