linear algebra

ALGEBRA LINEAL

Grupo de Docentes ModularFacultad de Ciencias,

Proyecto financiado por el Departamento de Matemática-UBB.

Contenido

1 Vectores 21.1 Vectores en R2 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Propiedades de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Producto Escalar y Vectorial 92.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Norma(Euclidiana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Ángulo entre vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Rectas y Planos en el Espacio 183.1 Rectas en R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Paralelismo, perpendicularidad e intersección entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Planos en R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Distancia de un punto al plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Espacios Vectoriales 314.1 Noción de una espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Intersección de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Uniones de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.3 Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Subespacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

CONTENIDO 1

5 Base y dimensión 425.1 Conjunto linealmente independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Conjunto linealmente dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4 Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Cambios de Base y el Proceso de Gram-Schmidt 486.1 Coordenadas en un base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Espacios vectoriales con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.1 Producto interno, norma y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3.2 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3.3 Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1 Vectores

1.1 Vectores en R2 y R3

A partir de la representación de R, como recta numérica, los elementos (a,b) ∈ R2 se asocian conpuntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen unsistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a (0,0) y cada (a,b) seasocia con un punto de coordenada a (llamada abscisa) en la recta horizontal (eje X) y coordenadab (llamada ordenada) en la recta vertical (eje Y ). Ver figura 1.1.

Figura 1.1: Punto (a,b) en R2.

Análogamente, los elementos (a,b,c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensionaldefinido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistemade coordenadas rectangulares (eje X , Y y Z). Ver figura 3.1.

3

Figura 1.2: Punto (a,b,c) en R3.

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y enR3. La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina sumagnitud. Ver figuras 1.3, 1.4.

Figura 1.3: Vector (a,b). Figura 1.4: Vector (a,b,c).

Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una fecha arriba tales como−→v ,−→x ,−→z . Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. En el contexto de losvectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculastales como α, β, k.

4 CAPÍTULO 1. VECTORES

1 El vector nulo se denota con−→0 = (0,0,0).

2 Los vectores están anclados en el origen. Sin embargo,frecuentemente visualizamos un vector un vectorcomo su traslación: El vector

−→AB está anclado en el

origen pero la visualizamos como el “vector” que vade A hasta B. Formalmente

−→AB =

−→OB−−→OA.

3 A veces hablamos del espacio Rn. Un vector en Rn esuna n-tuple (x1,x2, . . . ,xn) con cada xi ∈ R. A xi se lellama componente i-ésima del vector.

1.2 Operaciones básicas

Igualdad. Dos vectores son iguales si tienen, el mismo orden y los mismos componentes.

Si−→v = (v1,v2,v3)∈R3 y−→w = (w1,w2,w3)∈R3, entonces−→v =−→w si y solo si v1 = w1, v2 = w2, v3 = w3.

Definición 1.1 (Igualdad).

Sean −→v = (1,3,4) y −→w = (3,1,4), entonces −→v 6=−→w .

Ejemplo 1.1

Suma y Resta. La suma y resta de vectores tanto en R2, como en R3, se hace componente a com-ponente.

5

Si −→v = (v1,v2,v3) ∈ R3 y −→w = (w1,w2,w3) ∈ R3;

−→v +−→w = (v1 +w1,v2 +w2,v3 +w3) y −→v −−→w = (v1−w1,v2−w2,v3−w3).

Definición 1.2 (Suma y Resta).

Sean −→v = (1,3,4) y −→w = (3,1,4), entonces{ −→v +−→w = (4,4,8).−→v −−→w = (−2,2,0).

Ejemplo 1.2

Multiplicación por un escalar. Un escalamiento de un vector, por una factor k ∈ R, se logra mul-tiplicando cada componente por el mismo número real k.

Consideremos el vector −→v = (v1,v2,v3) ∈ R3 y el escalar k ∈ R, entonces

k−→v = (kv1,kv2,kv3).

Definición 1.3 (Multiplicación por un escalar).

Sea −→v = (1,3,4) entonces{2−→v = (2,6,8).12−→v = (1

2 ,32 ,

42).

Ejemplo 1.3


Todo vector−→v =(a,b,c)∈R3 puedeser escrito como:

(a,b,c) = a−→e1 +b−→e2 + c−→e3 ,

donde −→e1 = (1,0,0), −→e2 = (0,1,0),−→e3 = (0,0,1) son los llamados vec-tores unitarios.

Ejemplo 1.4

Sean los vectores −→u = (4,−1,1), −→v = (0,1/2,3) y −→w = (0,3,1/2), entonces

a.)−→u +0.5−→v +−→w = (4,−1,1)+ [0.5(0,1/2,3)+(0,3,1/2)]

= (4,−1,1)+(0,13/4,2)

= (4,9/4,3).

b.)−→u + t−→v + s−→w = (4,−1,1)+ [t(0,1/2,3)+ s(0,3,1/2)]

= (4,−1,1)+(0, t/2+3s,s/2+3t)

= (4, t/2+3s−1,s/2+3t +1).

Ejemplo 1.5

1.3 Propiedades de los vectores

Las propiedades más útiles de vectores, se enuncia en el siguiente teorema:

7

Si −→v , −→w , −→u ∈ R3 y α, β ∈ R entonces,

1.) Conmutatividad: −→v +−→w =−→w +−→v .

2.) Asociatividad:−→u +(−→v +−→w ) = (−→u +−→v )+−→w

3.) Elemento neutro: −→v +−→0 =−→v .

4.) Inversos: −→v +(−−→v ) =−→0 .

5.) 1.−→v =−→v .

6.) αβ−→v = α(β−→v ).

7.) α(−→v +−→w ) = α−→v +β

−→w .

8.) (α+β)−→v = α−→v +β

−→v .

Teorema 1.1 (Propiedades de los vectores).

1.4 Ejercicios

1.1 Dibuje los siguientes vectores−→a = (5,2);−→b = (−2,3);−→c = (−3,−4);

−→d = (2,−5) y determine:

a.) 2−→a +4−→b −−→c .

b.) 4−→d −3−→a +b.

1.2 Localizar en el punto A indicado los vectores dados, según el caso:

a.) A = (4,2); −→u = (−3,3).

b.) A = (−4,−2); −→w = (2,−2).

c.) A = (−2,3); −→v = (−2,2).

d.) A = (2,−3); −→x = (3,2).

1.3 Determine el vector que inicia en el punto P(3,3) y termina en el punto Q(−2,2). Tambiéndetermine un vector que va en sentido contrario al vector anterior.

1.4 Dados los puntos A = (3,−1,2) y B = (−1,2,1), Calcular:−→AB y

−→BA. ¿Que relación hay entre

−→AB

y−→BA.?

1.5 Dados −→a = (−2,1),−→b = (3,−2) y −→c = (5,−4). Encontrar los escalares h, k tales que:

−→c = h−→a + k−→b .

1.6 Dados −→a = (1,−2),−→b = (−2,4) y −→c = (7,−5). Demostrar que −→c no se puede escribir en la

formah−→a + k

−→b ,

donde h, k son escalares.


1.7 La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor de V1 = (5,−3)m/s, al instante t1 = 25 se-gundos. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2 = (−4,8)m/s.¿Cuánto vale el cambio de velocidad, ∆

−→V ?. ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de

tiempo?.

1.8 Si −→u = (−2,1,−4); −→v = (3,4,5) obtenga −→w tal que:

−→u +−→w =−→v −−→w .

1.9 Sean −→x = (1,2,3); −→y = (−1,2,3); −→z = (−1,6,9). Encontrar α, β, γ ∈ R tal que:

α−→x +β

−→y + γ−→z = (1,1,0).

1.10 El centro de masa (CM) de un sistema de k partículas de masa m1,m2, . . . ,mk cuyos vectoresde posición son −→r1 ,

−→r2 , . . . ,−→rk , respectivamente es el punto cuyo vector de posición se define por:

CM =m1−→r1 +m2

−→r2 + . . .+mk−→rk

m1 +m2 + . . .+mk.

Hallar el vector de posición del centro de masa del sistema de cuatro partículas mostradas en lafigura 3.3 y señalarlo en R2.

Figura 1.5: Partículas en el plano.

2 Producto Escalar y Vectorial

2.1 Producto escalar

El producto escalar (o también conocido como producto punto), es una operación entre vectoresque devuelve un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la ideageométrica de magnitud de un vector y ángulo entre vectores.

Consideremos los vectores −→v = (v1,v2,v3) ∈ R3 y −→w = (w1,w2,w3) ∈ R3. El producto escalar −→v ·−→wse define de la siguiente manera,

−→v ·−→w = v1 ·w1 + v2 ·w2 + v3 ·w3 ∈ R.

Definición 2.1 (Producto escalar).

a.) Sean −→v = (1,−2,5) y −→w = (2,√

2,0), entonces

−→v ·−→w = 1 ·2+(−2) ·√

2+5 ·0 = 2−2√

2.

b.) Sea −→u = (x,y,z) ∈ R3, entonces−→u ·−→u = x2 + y2 + z2.

De aquí deducimos que −→u ·−→u ≥ 0 y −→u ·−→u = 0 si y solamente si −→u = 0.

Ejemplo 2.1

Propiedades del producto escalar. En los cálculos que usan el producto escalar es frecuente invo-car las propiedades que se enuncian en el teorema que sigue.

10 CAPÍTULO 2. PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

Consideremos los vectores −→v ,−→w ,−→u ∈ R3 y α ∈ R, entonces

1.) −→v ·−→v ≥ 0

2.) −→v ·−→w =−→w ·−→v

3.) −→u · (−→v +−→w ) =−→u ·−→v +−→u ·−→w

4.) (α−→v ) ·−→w = α(−→v ·−→w )

Teorema 2.1 (Propiedades del producto escalar).

Nota: No hay propiedad asociativa pues “−→v · (−→w ·−→u )” no tiene sentido dado que−→w ·−→u es númeroreal.

2.1.1 Norma(Euclidiana)

La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclidiana.

Consideremos el vector −→v = (v1,v2,v3) ∈ R3. La norma de −→v se denota ‖−→v ‖ y se define de lasiguiente manera,

‖−→v ‖=√−→v ·−→v =

√v2

1 + v22 + v2

3.

La distancia de A a B se define como d(A,B) = ‖B−A‖.

Definición 2.2 (Norma).

a.) Sea −→w = (2,1,√

3), entonces ‖−→w ‖=√

22 +12 +(√

3)2 = 2√

2.

b.) La distancia de A = (x,y,z) a B = (1,2,−3) es ‖B−A‖=√(x−1)2 +(y−2)2 +(z+3)2.

Ejemplo 2.2

Consideremos los vectores −→v ,−→w ∈ R3 y α ∈ R, entonces,

1.) ‖−→v ‖ ≥ 0 y ‖−→v ‖= 0 si y solo si −→v = 0

2.) ‖α−→v ‖= |α|‖−→v ‖

3.) ‖−→v +−→w ‖ ≤ ‖−→v ‖+‖−→w ‖ (desigualdad triangular)

4.) |−→v ·−→w | ≤ ‖−→v ‖‖−→w ‖ (desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Teorema 2.2 (Propiedades de norma).

11

Un vector −→v se dice unitario si su norma es 1. Es decir: ‖−→v ‖= 1.

Definición 2.3 (Vector unitario).

• Observe que si −→w 6=−→0 entoncesw‖w‖

es unitario.

• El vector−→w = (cosθ,sinθ) es unitario para todo θ∈R, pues ‖(cosθ,sinθ)‖=√

cos2 θ+ sin2θ=

1.

2.1.2 Ángulo entre vectores en R3

A partir de la Ley de los cosenos podemos establecer una relación entre el producto escalar, normasy ángulos, como se muestra a continuación.

Ley de lo cosenos. Si a, b y c son las longitudesde los lados de un triángulo arbitrario, setiene la relación

c2 = a2 +b2−2accosθ,

donde θ es el ángulo entre los lados delongitud a y b.

Para visualizar esta ley usando vectores,consideremos el triángulo determinadopor los vectores −→v , −→w ∈ R3, como semuestra en la figura.

Entonces‖−→v −−→w ‖2 = ‖−→v ‖2 +‖−→w ‖2−2‖−→v ‖‖−→w ‖cosθ. (2.1)

Ahora, puesto que

‖−→v −−→w ‖2 = (−→v −−→w ) · (−→v −−→w ) = ‖−→v ‖2 +‖−→w ‖2−2−→v ·−→w

entonces, despejando en (3.1) obtenemos

−→v ·−→w = ‖−→v ‖‖−→w ‖cosθ.

Ángulo entre vectores en Rn. En el caso de Rn, si −→v , −→w ∈ Rn son vectores no nulos, entoncesusando la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |−→v · −→w | ≤ ‖−→v ‖‖−→w ‖ y la propiedad del valorabsoluto: |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k, para un número k ≥ 0, obtenemos: −‖−→v ‖‖−→w ‖ ≤ −→v · −→w ≤

‖−→v ‖‖−→w ‖ y entonces: −1≤−→v ·−→w‖−→v ‖‖−→w ‖

≤ 1.

Se puede garantizar que para −→v , −→w ∈ Rn vectores no nulos, es posible encontrar un únicoθ ∈ [0,π] tal que −→v ·−→w = ‖−→v ‖‖−→w ‖cosθ. Formalmente


Si −→v ,−→w ∈ Rn son vectores no nulos, el ángulo entre −→v y −→w es el único θ ∈ [0,π] tal que

−→v ·−→w = ‖−→v ‖‖−→w ‖cosθ, es decir: θ = arccos( −→v ·−→w‖−→v ‖‖−→w ‖

).

Definición 2.4

Como consecuencia, tenemos una caracterización para vectores ortogonales. Recordemos que dosvectores son ortogonales si al menos uno de ellos es nulo o si el ángulo entre ellos es π/2. Entonces

Los vectores −→v ,−→w ∈ Rn son ortogonales si y sólo si −→v ·−→w = 0.

Teorema 2.3 (Vectores ortogonales).

Nota: El único vector ortogonal consigo mismo es el vector−→0 .

Sean −→w = (1,0,√

2) y −→v =

(−2,1,√

2) entonces −→w y −→v son or-togonales pues −→w ·−→v =−2+2 = 0.

Ejemplo 2.3

13

Sean −→w = (2,0,2) y −→v = (0,2,2) entonces el an-gulo entre −→w y −→v es

θ = arccos(

12

)= π/3;

pues,

cosθ =−→v ·−→w‖−→v ‖‖−→w ‖

⇒ θ = arccos( −→v ·−→w‖−→v ‖‖−→w ‖

)

Ejemplo 2.4

2.2 Producto vectorial

El producto vectorial entre dos vectores en R3 es un vector que es simultáneamente perpendiculara −→v y a −→w .

Consideremos los vectores−→v =(v1,v2,v3)∈R3 y−→w =(w1,w2,w3)∈R3. El producto vectorial−→v ×−→wse define de la siguiente manera,

−→v ×−→w = (v2w3− v3w2,v3w1− v1w3,v1w2− v2w1) .

Ver figura 2.1

Definición 2.5

Una observación importante, es que el producto vectorial −→v ×−→w , es un vector que es perpendic-ular tanto a −→v , como a −→w .

Sean los vectores −→v = (5,0,√

2) y −→w = (2,1,√

2), entonces el producto vectorial es:

−→v ×−→w = (−√

2,−3√

2,5).

Ejemplo 2.5

Propiedades del producto vectorial. Recordemos que el producto vectorial solo lo hemos definidoen R3,


Figura 2.1: Producto vectorial.

Consideremos los vectores −→v , −→w , −→u ∈ R3 y α ∈ R, entonces

1.) −→v · (−→v ×−→w ) = 0.

2.) −→w · (−→v ×−→w ) = 0.

3.) ‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2− (−→u ·−→v )2. (Identidad de Lagrange)

4.) −→v ×−→w =−−→w ×−→v .

5.) −→v × (−→w +−→u ) =−→v ×−→w +−→v ×−→u

6.) (−→v +−→w )×−→u =−→v ×−→u +−→w ×−→u .

7.) α(−→v ×−→w ) = (α−→v )×−→w =−→v × (α−→w ).

8.) −→v ×−→0 =−→0 ×−→v =

−→0 .

9.) −→v ×−→v = 0.

Teorema 2.4 (Propiedades del producto vectorial).

Observaciones:

1 Observe que no tenemos la propiedad de asociatividad para el producto cruz.

2 De la propiedad 9 y la propiedad 7 podemos deducir que si dos vectores son paralelos, elproducto vectorial es cero.

3 De la igualdad de Lagrange se puede deducir la fórmula (de área)

‖−→u ×−→v ‖= ‖−→u ‖‖−→v ‖sinθ (2.2)

15

4 Consideremos un paralelogramo determinado por dos vectores−→u ,−→v ∈R3, como se ve en lafigura de la derecha. Si θ es el ángulo entre estos vectores, el área del paralelogramo es,

A = ‖−→u ‖‖−→v ‖sinθ = ‖−→u ×−→v ‖.

5 Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares−→u ,−→v ,−→w ∈ R3, como se ve en la figura. El volumen del paralelepípedo es,

V = |−→w · (−→u ×−→v )|.

El área del triángulo con vertices en P = (1,3,−2), Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6) es

Área =‖−→PQ×−→QR‖

2

=‖(1,−2,6)× (−5,0,2)‖

2=‖(−4,−32,−10)‖

2

=

√(−4)2 +(−32)2 +(−10)2

2=

√11402

.

Ejemplo 2.6


El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores −→u = (1,3,−2), −→v = (2,1,4), −→w =

(−3,1,6) es

Volumen = |−→w · (−→u ×−→v )|= |(−3,1,6) · (14,−8,−5)|= |(−3)(14)+(1)(−8)+(6)(−5)|= 80.

Ejemplo 2.7

2.3 Paralelismo y perpendicularidad

Dos vectores −→u ,−→v ∈ R3 distinto de cero,

a.) son paralelas si −→u = λ−→v , para algún

λ ∈ R.

b.) son perpendiculares si −→u · −→v = 0. Esdecir los vectores forman ánguloπ/2.

Definición 2.6

2.4 Ejercicios

2.1 Se dan los puntos A(2,4); B(5,2); C(7,3) calcular:

a.) El ángulo formado por los vectores−→OA y

−→OB.

b.) El ángulo CAB.

17

2.2 Dados−→a =(5,12) y−→b =(1,k), donde k es un escalar, encontrar k tal que la medida en radianes

del ángulo entre −→a y−→b sea

π

2.

2.3 Se dan los vectores −→u = (1,2); −→v = (4,−2)

a.) Prueba que −→u y −→v son perpendiculares.

b.) Prueba que k−→u es perpendicular a −→v , para todo k ∈ R.

2.4 Encuentre el valor de x para que los vectores −→u = (1,1,4); −→v = (x2,x,−3) sean perpendicu-lares.

2.5 Sean −→u , −→w 1, −→w 2 ∈R3. Si −→u es perpendicular tanto a −→w 1 como a −→w 2. Probar que −→u es perpen-dicular al vector a−→w 1 +b−→w 2, para todo a, b ∈ R.

2.6 Dados −→a = (5,−k) y−→b = (k,6), donde k es un escalar, encontrar

a.) k tal que −→a y−→b sean perpendiculares.

b.) k tal que −→a y−→b sean paralelas.

2.7 Demostrar que los tres puntos (1,−1,3), (2,1,7) y (4,2,6) son los vértices de un triángulorectángulo calcular su área.

2.8 Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en A(−2,3,1), B(1,2,3) y C(3,−1,2).

2.9 Demuestre que si −→a +−→b +−→c = 0 ⇒ −→a ×

−→b =−→b ×−→c =−→c ×−→a .

2.10 Si −→u = (−2,1,−4); −→v = (3,4,5) obtenga −→w tal que

−→u +−→w =−→v −−→w .

También determine: ‖3−→u −3−→v +−→w ‖.

2.11 Determine todos los escalares k tales que ‖k−→v ‖= 1, donde −→v = (1,2,3).

2.12 Sean dos vectores −→a y−→b perpendiculares entre sí. Si ‖−→a ‖= 3 y ‖

−→b ‖= 4, calcula:

(−→a +−→b )× (−→a −

−→b )

2.13 Hallar el área del paralelogramo definido por los vectores:−→AB = (2,−2,−3) y

−→AC = (2,0,3).

2.14 Calcular el valor de k para que el volumen del paralelepípedo definido por los siguientesvectores:

−→u (1,−1,1),−→v (1,1,1), y −→w (2,3,k)

sea igual a 12 unidades cúbicas.

3 Rectas y Planos en el Espacio

3.1 Rectas en R3.

Consideremos la recta L que pasa por P y porQ. Esta recta es paralela al vector −→v =

−→PQ, por

lo tanto, dado un punto R = (x,y,z) ∈ L, se debecumplir que

−→PR = t−→v , o sea R−P = t−→v ; t ∈ R.

De donde L = {(x,y,z)∈R3 : (x,y,z) =−→OP+t−→v }.

Informalmente escribimos L : (x,y,z) = P+ t−→v .

Si L es una recta que pasa por los puntos P = (p1, p2, p3), Q = (q1,q2,q3) y si −→v = Q−P, entonces

1.) La ecuación vectorial de L es (x,y,z) = P+ t−→v , t ∈ R.

2.) Despejando x, y y z obtenemos las ecuaciones paramétricas de L :

x(t) = p1 + tv1

y(t) = p2 + tv2

z(t) = p3 + tv3

3.) Si cada vi 6= 0, despejando “t” obtenemos las ecuaciones simétricas de L :x− p1

v1=

x− p2

v2=

x− p3

v3

Definición 3.1

19

Consideremos la recta L que pasa por P =

(1,3,2) y Q = (2,1,4). En este caso −→v =−→PQ =

Q−P = (1,−2,2), luego

• Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,3,2) +t(1,−2,2).

• Ecuaciones paramétricas:

x(t) = 1+ t

y(t) = 3−2t

z(t) = 2+2t

• Ecuaciones simétricas:

x−11

=y−3−2

=z−2

2.

Ejemplo 3.1

a.) Consideremos la recta L que pasa por P = (1,3,−2) y Q = (2,1,−2). En este caso −→v = Q−P =

(1,−2,0), luego

• Ecuación vectorial L : (x,y,z) = (1,3−2)+ t(1,−2,0)

• Ecuaciones paramétricas:

L :

x(t) = 1+ ty(t) = 3−2tz(t) = −2

• Ecuaciones simétricas:x−1

1=

y−3−2

; z =−2.

b.) Consideremos la recta L1 de ecuaciones simétricas,

x+13

=y+2

2= z−1,

entonces L1 va en la dirección de −→v = (3,2,1).

Ejemplo 3.2

20 CAPÍTULO 3. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

3.2 Paralelismo, perpendicularidad e intersección entre rectas.

Consideremos dos rectas,

L1 : (x,y,z) = P+ t−→v ; t ∈ R ∧ L2 : (x,y,z) = Q+ s−→w ; s ∈ R.

• Estas son paralelas, denotado por: L1||L2 si y solo si −→v ||−→w .

• Estas son perpendiculares, denotado por: L1 ⊥ L2 si y solo si −→v ⊥−→w , es decir: −→v ·−→w = 0.

• El ángulo entre L1 y L2 es igual al ángulo entre −→v y −→w .

Intersección. Sean P = (p1, p2, p3) y Q = (q1,q2,q3) enR3. Consideremos las rectas

L1 : (x,y,z) = P+ t−→v y L2 : (x,y,z) = Q+ s−→w .

Para determinar si hay intersección igualamoslas ecuaciones,

P+ t−→v = Q+ s−→w ⇒

tv1− sw1 = q1− p1

tv2− sw2 = q2− p2

tv3− sw3 = q3− p3.

Si este sistema tiene solución, entonces estasolución nos da el o los puntos de intersecciónentre L1 y L2. Como el sistema es lineal puedepasar que,

• hay solución única: las rectas se intersectanen un solo punto,

• hay infinitas soluciones: las rectas coinci-den,

• no hay solución: las rectas no se inter-sectan.

21

Consideremos la recta L1 : (−1,3,1)+ t(4,1,0).

• L1 y la recta L2 : (−13,−3,−2)+ s(12,6,3), se intersectan en el punto (−1,3,1). Este punto seobtiene con t = 0 en la primera recta y con s = 1 en la segunda recta.

(−1,3,1) = (−1,3,1)+0(4,1,0)

(−1,3,1) = (−13,−3,−2)+1(12,6,3)

• L1 es paralela a la recta L3 : (x,y,z) = (1,3,−2)+ t(8,2,0) pues (8,2,0) = 2(4,1,0)

• L1 es perpendicular a la recta L4 : (x,y,z) = (0,2,−1)+ t(−1,4,3) pues (−1,4,3) · (4,1,0) = 0

• L1 no intersecta a L4 : (x,y,z) = (0,2,−1)+ t(−1,4,3) pues el sistema−1+4t = −s

3+ t = 2+4s1 = −1+3s

no tiene solución (es inconsistente).

Ejemplo 3.3

3.3 Distancia de un punto a una recta

Sea L una recta y P y Q dos puntos distintos en L. Dador R ∈ L, queremos calcular la distanciamínima de R a L y el punto E ∈ L en el que se alcanza este mínimo. Por supuesto, la distanciamínima es la longitud del segmento perpendicular que va desde R a L, la denotamos por d(R,L):La distancia mínima de R a la recta es

d(R,L) =∥∥−→PR−proy−→PQ

−→PR∥∥

y esta distancia mínima se alcanza en el punto E = P+proy−→PQ−→PR. Recordemos proy−→u

−→v denota laproyección del vector −→v sobre el vector −→u y es definido por:

proy−→u−→v =

−→v ·−→u‖−→u ‖2

−→u .

Ver figura 3.1.De la figura 3.1, también podemos observar que:

∥∥proy−→PQ−→PR∥∥2

+‖−→ER‖2 = ‖PR‖2,


Figura 3.1: Distancia de un punto R a la recta L.

de esto tenemos que

[d(R,L)]2 = ‖ER‖2 = ‖PR‖2−∥∥proy−→PQ

−→PR∥∥2

= ‖−→PR‖2−

(−→PR ·−→PQ

)2

‖−→PQ‖2

=‖−→PQ‖2‖−→PR‖2−

(−→PR ·−→PQ

)2

‖−→PQ‖2

=

(‖−→PR×−→PQ‖

)2

‖−→PQ‖2

⇒ d(R,L) =

∥∥−→PR×−→PQ∥∥

‖−→PQ‖. (3.1)

23

Sea R = (2,2,5) y consideremos la recta L : (x,y,z) = (2,0,1)+ t(0,2,1). Para calcular la distancia deR a L, tomamos P = (2,0,1) y el vector dirección de la recta L es:−→v = (0,2,1). Entonces la distanciade R = (2,2,5) a L es

d(R,L) =

∥∥−→PR×−→v∥∥

‖−→v ‖

=

∥∥(0,2,4)× (0,2,1)∥∥

‖(0,2,1)‖

=6√5.

La distancia mínima se alcanza en

E = P+proy−→v−→PR = (2,0,1)+

85(0,2,1) =

(2,

165,135

)∈ L.

Ejemplo 3.4

Observación. Cuando tenemos una recta L : ab+by+ c = 0 en R2, se puede deducir de (3.1), quela distancia de un punto R = (x0,y0) a la recta dada L es:

d(R,L) =|ax0 +by0 + c|√

a2 +b2.

3.4 Planos en R3.

Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por trespuntos no colineales.Sean P,Q,R ∈ R3 no colineales y sea Π el plano que contiene estos tres puntos. Si M = (x,y,z) ∈ Π

entonces,

M = P+ t−→PQ+ s

−→PR; t,s ∈ R.

Esta es una ecuación vectorial de Π.


Figura 3.2: Plano Π en R3.

Consideremos un plano Π que pasa por los puntos no colineales P, Q, R.

•−→N = (a,b,c) es un vector normal al plano Π si:

−→N · [(x,y,z)−P] = 0 para cualquier (x,y,z) ∈Π.

• Si−→N = (a,b,c) es un vector normal al plano Π entonces

[(x,y,z)−P] ·−→N = 0

se llama una ecuación normal de Π.

• Si−→N es un vector normal del plano Π entonces

ax+by+ cz =−→N ·P

se llama una ecuación cartesiana del plano Π.

• Si −→v =−→PQ y si −→w =

−→PR entonces

(x,y,z) = P+ t−→v + s−→w ; t,s ∈ R

se llama una ecuación vectorial del plano Π.

Definición 3.2 (Ecuaciones del plano).

• Tres puntos P, Q, R ∈ R3 son no colineales si [P · (Q×R)] 6= 0.

25

Hallar la representación vectorial del plano Π que contiene a los puntos P = (−1,2,1), Q =

(4,−2,1), R = (0,1,−1).En efecto. Consideremos los vectores

−→v =−→PQ = Q−P = (5,−4,0), −→w =

−→PR = R−P = (1,−1,−2).

Por tanto la ecuación vectorial del plano Π es:

(x,y,z) =

(x,y,z) = P+ t−→v + s−→w= (4,−2,1)+ s(5,−4,0)+ t(1,−1,−2), t,s ∈ R.

Ejemplo 3.5

Hallar la ecuación normal y la ecuación general del plano Π que pasa por los puntos

P = (1,2,−3), Q = (−2,1,2), R = (0,1,1).

En efecto. Consideremos los vectores −→v =−→PQ = Q−P = (−3,−1,5), −→w =

−→PR = R−P = (−1,−1,4),

y como el vector normal−→N es paralelo a −→v ×−→w = (1,7,2) entonces elegimos

−→N = (1,7,2). Luego,

la ecuación normal del plano Π será:

[(x,y,z)−P] ·−→N = 0

[(x,y,z)− (1,2,−3)] · (1,7,2) = 0.

Además

(x,y,z) ·−→N = P ·−→N(x,y,z) · (1,7,2) = (1,2,−3) · (1,7,2)⇒ x+7y+2z = 9. Ecuación general del plano Π.

Ejemplo 3.6


Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P = (1,−2,3),paralela a la normal al plano que contiene a los puntos A = (1,1,1), B = (2,1,1), C = (1,−1,3).En efecto. Dos vectores paralelos al plano indicado serán −→v =

−→AB = (1,0,0),

−→b =

−→AC = (0,−2,2).

Además, −→v × −→w = 2(0,1,−1), elegimos como vector normal al plano−→N = (−1/2)−→v × −→w =

(0,1,−1). Así,−→N será el vector direccional de la recta L que pasa por el punto P = (1,−2,3). Luego,

para (x,y,z) ∈ L, tenemos la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta:

L : (x,y,z) = P+ t−→N

= (1,−2,3)+ t(0,1,1), t ∈ R.

EntoncesL : x = 1, y =−2+ t, z = 3+ t, t ∈ R.

Ejemplo 3.7

3.5 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

Consideremos la recta L1 : (x,y,z) = P+ t−→v y los dos planos

Π1 : a1x+b1y+ c1z = d1 y Π2 : a2x+b2y+ c2z = d2.

Entonces, siendo−→N 1 = (a1,b2,c2), y

−→N 2 = (a2,b2,c2) los vectores normal a Π1 y Π2, respectiva-

mente,

• Π1//Π2 si y solo si−→N 1//

−→N 2.

• Π1 ⊥Π2 si y solo si−→N 1 ⊥

−→N 2.

• El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales.

• L1//Π1 si y solo si−→N 1 ⊥−→v .

• L1 ⊥Π1 si y solo si−→N 1//

−→v .

Definición 3.3

27

Consideremos el problema de obtener una ecuación cartesiana del plano Π1 que contenga a larecta

L1 : (x,y,z) = (1,2,1)+ t(0,2,3)

y al punto P = (0,0,−1) (que no está en L1). En efecto. Para encontrar una ecuación cartesianadel plano Π1, buscamos tres puntos no colineales en este plano; el punto P que ya tenemos ydos puntos de la recta. Para obtener estos dos puntos de la recta, le damos un par de valores alparámetro t tal que nos generen al final tres puntos no colineales.En este caso con t = 0 y t = 1 obtenemos los dos puntos que faltan. Tres puntos no colineales en elplano Π son

P = (0,0,−1), Q = (1,2,1), R = (1,4,4)

Estos puntos no son colineales pues P · (Q×R) = (0,0,−1) · (4,−3,2) = −2 6= 0. Ahora, tomemos−→N =

−→PQ×−→PR = (1,2,2)× (1,4,5) = (2,−3,2). Como

−→N ·−→P = −2, una ecuación cartesiana es: 2x−

3y+2z =−2.

Ejemplo 3.8

Obtener la ecuación cartesiana del plano Π1 que sea paralelo a las rectas

L1 : (x,y,z) = (1,2,1)+ t(0,2,3), L2 : (x,y,z) = (1,0,1)+ t(5,0,0)

y que contenga al punto P = (1,1,1). En efecto. De acuerdo a la teoría, un vector normal al planoΠ debe ser perpendicular a (0,2,3) y a (5,0,0); entonces para encontrar la ecuación cartesiana delplano Π, podemos tomar

−→N = (0,2,3)× (5,0,0) = (0,−15,−10). Como

−→N ×P = 5, una ecuación

cartesiana del plano es:Π : 15y−10z = 5.

Ejemplo 3.9

Obtener la ecuación cartesiana del plano Π que sea perpendicular Π que se perpendicular a larecta

L1 : (x,y,z) = (1,2,1)+ t(0,2,3)

y que contenga al punto P = (1,1,1). En efecto. Para encontrar la ecuación cartesiana del plano Π,podemos tomar

−→N = (0,2,3). Como

−→N ·P = 5, una ecuación cartesian del plano es:Π : 2y+3z = 5.

Ejemplo 3.10


3.6 Distancia de un punto al plano

Consideremos un plano Π de ecuación ax+ by+ cz = d. Sea P ∈ Π. Un vector normal al plano es−→N = (a,b,c). La distancia d(Q,Π) de Q = (x,y,z) a Π es

d(Q,Π) =∥∥proy−→N

−→PQ∥∥

=

∥∥∥∥(Q−P) ·−→N‖−→N ‖2

−→N∥∥∥∥

=

∣∣∣∣(Q−P) ·−→N‖−→N ‖2

∣∣∣∣‖−→N ‖=|(x,y,z) ·−→N −P ·−→N |

‖−→N ‖

=|ax+by+ cz−d|√

a2 +b2 + c2.

Ver figura 3.3.

Figura 3.3: Distancia d(Q,Π) del punto Q al Plano Π.

Consideremos el plano Π : 2x+3y−2z = 5. La distancia del plano al origen es

|2 ·0+3 ·0−2 ·0−5|√22 +32 +(−2)2

=512

.

Ejemplo 3.11

29

3.7 Ejercicios

3.1 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,−1,1) y es paralela a la recta que pasapor los puntos A(−2,0,1); B(1,2,3).

3.2 Muestre que las rectas dadas son paralelas.

L1 : x−2 =y+5

3=

z−2−2

; L2 :

x = −2t +5y = −6t +1z = 4t +2.

3.3 Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el origen y cuya dirección es ortogonala los vectores −→u = (2,−1,3), −→v = (−1,−1,2).

3.4 Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2,2,−3) y es perpendicular a las rectascuyos vectores dirección son (2,−1,3) y (−1,2,0).

3.5 Demuestre que las dos ecuaciones

−→P = (1,0,5)+ t(4,−2,6) y−→Q = (3,−1,8)+ s(−2,1,−3)

representan la misma recta.

3.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,6,4), corta al eje z y es paralela al planoΠ : x−3y+5z−6 = 0.

3.7 Demuestre que las rectas dadas

L1 :

{x = 3z+7y = 5z+7

y L2 :

{x = 2z+3y = 4z+4

se intersectan.

3.8 Hallar la ecuación del plano que contiene a P0 = (1,2,3) y normal a−→N = (1,−1,1).

3.9 Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos A(1,2,1); B(1,0,1); C(0,1,−1).

3.10 Hallar la ecuación del plano que contiene al punto (1,2,−1) y es perpendicular a la recta queresulta de la intersección de los planos:{

Π1 : x−2y+ z−4 = 0,Π2 : 2x− y− z = 0.


3.11 Encontrar la ecuación del plano determinado por las rectas

L1 :

x+1 = 4ty−3 = tz−1 = 0

y L2 :

x+13 = 12sy−1 = 6sz−2 = 3s.

3.12 Determinar los puntos de intersección de la recta L : (x,y,z)= (2,1,7)+t(0,6,4) con los planoscoordenados x = 0, y = 0 y z = 0.

3.13 Encuentre la longitud de la perpendicular del origen al plano Π : 2x−4y+ z−8 = 0.

3.14 Muestre que el vector −→v = (a,b) es ortogonal a la recta L : ax+by+ c = 0.

3.15 Determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P(5,−1,4) y Q(6,2,5).

3.16 Demuestre que la recta L : x = 0, y = t, z = t, t ∈ R.

a.) Pertenece al plano 6x+4y−4z = 0.

b.) Es paralela al plano 5x−3y+3z−1 = 0.

3.17 Encuentre el punto de intersección de la recta

L :

x = 4+5ty = −2+ t, t ∈ R.z = 4− t

y el plano Π : 3x− y+7z+8 = 0.

3.18 Demuestre que la recta

L :

x = 4+2ty = −t, t ∈ R.z = −1−4t

es paralelo al plano 3x+2y+ z−7 = 0.

3.19 Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,−4,5) y es paralelos al planoΠ : 5x−2y− z+9 = 0.

4 Espacios Vectoriales

4.1 Noción de una espacio vectorial

Los espacios vectoriales es el terreno donde se desarrolla todo el Algebra Lineal. En esta sección se presentanlos axiomas de espacio vectorial, se deducen algunas consecuencias inmediatas y se darán algunos ejemplosimportantes de esta noción.Un espacio vectorial E es un conjunto, cuyos elementos son llamados vectores, en el que estándefinidas dos operaciones: La adición, que a cada par de vectores u,v ∈ E le hace corresponder unnuevo vector u+v∈ E, llamado suma de u y v; y la multiplicación por un número real, que a cadanúmero α ∈ R y a cada vector v ∈ E le hace corresponder un vector α.v ó αv, llamado productode α por v. Estas operaciones deben satisfacer, para cualquier α, β ∈ R y u,v,w ∈ E los siguienteaxiomas, llamado axiomas de espacio vectorial:

Conmutatividad: u+ v = v+u.

Asociatividad: (u+ v)+w = u+(v+w) y (αβ)v = α(βv).

Vector nulo: Existe un vector 0 ∈ E, llamado vector nulo o vector cero, tal que v+ 0 = 0+ v = v,para todo v ∈ E.

Inverso aditivo: Para cada vector v ∈ E existe un vector −v ∈ E, llamado inverso aditivo, u op-uesto de v, tal que −v+ v = v+(−v) = 0.

Distributividad: (α+β)v = αv+βv y α(u+ v) = αu+αv.

Multiplicación por 1: 1 · v = v.

32 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

Para todo número natural n, el símbolo Rn representa al espacio vectorial euclidiano n-dimensional.Los elementos de Rn son las secuencias u = (α1, . . . ,αn), v = (β1, . . . ,βn) de números reales.Diremos que los números α1, . . . ,αn son las coordenadas del vector u. Las operaciones de este espa-cio vectorial Rn, son definidas de manera natural, como:

u+ v = (α1 +β1, . . . ,αn +βn),

α ·u = (αα1, . . . ,ααn).

El vector cero es, por definición, aquel cuyas coordenadas son todas iguales a cero: 0=(0,0, . . . ,0). Elinverso aditivo de u= (α1, . . . ,αn), es−u= (−α1, . . . ,−αn). Se prueba que, con estas definiciones Rn

es un espacio vectorial. Para n= 1, tenemos que R1 =R= recta numérica, R2 es el plano euclidianoy R3 es el espacio euclidiano tridimensional.

Ejemplo 4.1

Una matriz (real) m× n, A = [ai j], es una lista de números reales ai j con índices dobles, donde1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Una matriz A se representa como un cuadrado numérico de m filas y ncolumnas, en la cual el elemento ai j está ubicado en la intersección de la i-ésima fila con la j-ésimacolumna:

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

m×n

Cuando m = n, se dice que A es una matriz cuadrada. El conjunto M(m× n) de todas la matricesm×n se convierte en un espacio vectorial cuando en él se define la suma de las matrices A = [ai j] yb = [bi j] como a+b = [ai j +bi j] y el producto de la matriz A por el número real α como αA = [αai j].La matriz nula 0 ∈M(m×n) es aquella formada por ceros y el inverso aditivo de la matriz A = [ai j]

es −A = [−ai j].

Ejemplo 4.2

33

Sea X cualquier conjunto no vació. El símbolo F (X ,R) representa al conjunto de todas las fun-ciones reales f ,g : X → R. El se convierte en un espacio vectorial cuando se definen la suma f +gde dos funciones y el producto α f del número α por la función f de manera natural:

( f +g)(x) = f (x)+g(x), (α f )(x) = α f (x).

Variando el conjunto X , se obtiene diversos ejemplos de espacios vectoriales de la forma F (X ,R).Por ejemplos, si X = {1, . . . ,n} entonces F (X ,R) =Rn. Si X es el producto cartesiano de los conjunto{1, . . . ,m} y {1, . . . ,n} entonces F (X ,R) = M(m×n).

Ejemplo 4.3

Otros ejemplos de espacios vectoriales se presentan como subespacios, como veremos en la sigu-iente sección.

1.) Si w+u = w+v entonces u = v. En particular, w+u = w implica u = 0 y w+u = 0 implica u =−w.

2.) Dados 0∈R y v∈ E tenemos: 0v = 0∈ E. Análogamente, dados α∈R y 0∈ E, se cumple α0 = 0.

3.) Si α 6= 0 y v 6= 0 entonces αv 6= 0.

4.) (−1)v =−v.

Teorema 4.1 (Propiedades de un espacio vectorial).

En adelante, escribiremos u− v para representar u+(−v). Evidentemente, u− v = w ⇔ u = v+w.

4.2 Subespacios vectoriales

Sea E un espacio vectorial. Un subespacio vectorial (o simplemente un subespacio) de E es unsubconjunto F ⊂ E, con las siguientes propiedades:

1.) 0 ∈ F ,

2.) Si u,v ∈ F entonces u+ v ∈ F ,

3.) Si v ∈ F entonces, para todo α ∈ R, αv ∈ F .

Definición 4.1

El conjunto {0} y todo el espacio E, son ejemplos triviales de subespacios de E. Todo subespaciovectorial es, en sí mismo, un espacio vectorial.


Sea v ∈ E un vector no nulo. El conjunto F = {αv : α ∈ R} de todos los múltiplos de v es unsubespacio vectorial de E llamado la recta que pasa por el origen y contiene a v.

Ejemplo 4.4

Consideremos el espacio E = R2 y los subconjuntos

F = {(x,y) ∈ R2 : y = x+1} y G = {(x,y) ∈ R2 : y = 2x}.

F no es un subespacio, pues el vector nulo (0,1) 6∈ F . Por otro lado, G si es un subespacio de R2,ya que

1.) 0 = (0,0) ∈ G.

2.) Si (x,y), (x′,y′) ∈ G entonces y = 2x, y′ = 2x′, de esto tenemos que y+ y′ = 2(x+ x′) y por tanto(x,y)+(x′,y′) ∈ G.

3.) Si (x,y) ∈ G, entonces y = 2x, luego para cualquier α ∈ R, tenemos que αy = 2(αx), por tantoα(x,y) ∈ G.

Ejemplo 4.5

El espacio vectorial E = R3, y el conjunto

F = {(x,y,z) ∈ R3 : z = x+ y}.

Veamos si satisface las condiciones para ser un subespacio de R3.

1.) (0,0,0) ∈ F .

2.) Si (x,y,z), (x′,y′,z′) ∈ F , entonces z = x+ y y z′ = x′+ y′, de esto tenemos que z+ z′ = (x+ x′)+(y+ y′), luego (x,y,z)+(x′,y′,z′) ∈ F .

3.) Si (x,y,z) ∈ F , entonces z = x+ y, luego para cualquier α ∈ R, tenemos que: αz = αx+αy, portanto (αx,αy,αz) ∈ F ⇒ α(x,y,z) ∈ F .

Ejemplo 4.6

35

Sean a1, . . . ,an números reales. El conjunto H de todos los vectores v = (x1, . . . ,xn) ∈ Rn tales que

a1x1 + . . .+anxn = 0

es un subespacio vectoriales de Rn. En el caso no interesante en que a1 = . . .= an = 0, el subespacioH es todo Rn. Si, al contrario, por los menos unos de los ai 6= 0 diremos que H es un hiperplano deRn que pasa por el origen.

Ejemplo 4.7

Sea M(n×n) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas reales de n filas y n columnas.Si A ∈M(n×n) escribimos

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

n×n

Por definición, la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de si diagonal. Lanotación es

traz(A) = a11 +a22 + . . .+ann =n

∑i=1

aii.

El conjunto F = {A ∈ M(n× n) : traz(A) = 0}, es el de las matrices de traza nula de M(n× n),constituye un subespacio de M(n×n). En efecto:

1.) La matriz nula es de traza nula y en consecuencia 0 ∈ F .

2.) Sean A,B ∈ F , entonces traz(A) = 0 = traz(B), luegon

∑i=1

aii = 0 =n

∑i=1

bii, esto implica que

n

∑i=1

(aii +bii) =n

∑i=1

aii +n

∑i=1

bii = 0 ⇒ traz(A+B) = 0 ⇒ A+B ∈ F.

3.) Si A ∈ F , entonces traz(A) =n

∑i=1

aii = 0, luego para cualquier α ∈ R, tenemos que

n

∑i=1

αaii = α

n

∑i=1

aii = 0 ⇒ traz(αA) = 0 ⇒ αA ∈ F.

Ejemplo 4.8


4.3 Operaciones con subespacios

4.3.1 Intersección de subespacios

Sea I un conjunto de índices y sea {Fi} con i ∈ I una familia de subespacios del espacio vectorialE. Entonces la intersección F =

⋂i∈I

Fi es un subespacio de E.

F =⋂i∈I

Fi es un subespacio de E.

Teorema 4.2

En efecto:

1.) Ya que 0 ∈ Fi, para cada i ∈ I, entonces 0 ∈ F =⋂i∈I

Fi.

2.) Si x,y ∈ F , entonces x,y ∈ Fi, para cada i ∈ I, y como Fi es subespacio de E, entonces x+ y ∈ Fi,

para cada i ∈ I. Por tanto x+ y ∈n⋂

i=1

Fi, luego x+ y ∈ F .

3.) Si x ∈ F , entonces x ∈ Fi, para cada i ∈ I, y para cualquier α ∈R, tenemos que αx ∈ Fi, para cadai ∈ I, esto por ser Fi subespacio de E. Así tenemos que αx ∈ F , para cualquier α ∈ R. �

En R3 consideremos los subespacios

F1 = {(x,y,z) ∈ R3 : z = 0}, F2 = {(x,y,z) ∈ R3 : x = 0},

la intersección de estos es:

F = F1∩F2 = {(x,y,z) ∈ R3 : x = 0 ∧ z = 0}.

Ejemplo 4.9

4.3.2 Uniones de subespacios

Si F1 y F2 son dos subespacios de E, entonces F1∪F2, no es necesariamente un subespacios de E,como lo prueba el siguiente ejemplo:Consideremos en R2 los subespacios F1 y F2 de la figura 4.1.La unión de ambos es par de rectas, y eligiendo x ∈ F2, y ∈ F1, distintos del vector nulo, tenemos

x ∈ F2 ⇒ x ∈ F1∪F2,

y ∈ F1 ⇒ y ∈ F1∪F2,

37

Figura 4.1: Unión de F1 y F2 no necesariamente es un subespacio.

perox+ y 6∈ F1∪F2.

4.3.3 Suma de subespacios

Sean F1 y F2 dos subespacios de E. Definimos el conjunto

F = {x ∈ E : x = x1 + x2, x1 ∈ F1, x2 ∈ F2}.

El conjunto F se llama suma de los subespacios F1 y F2 y se denotará por:

F = F1 +F2.

La suma de dos subespacios de E es un subespacio de E.

Teorema 4.3

En efecto:

1.) Ya que 0 = 0+0, entonces 0 ∈ F = F1 +F2.

2.) Si x, y ∈ F , entonces x = x1 + x2, y = y1 + y2, para ciertos x1,y1 ∈ F1, x2,y2 ∈ F2. Luego x+ y =

(x1+y1)+(x2+y2) y como F1 y F2 son subespacios, entonces (x1+y1) ∈ F1 y (x1+y2) ∈ F2, portanto x+ y ∈ F = F1 +F2.

3.) Si x ∈ F = F1 +F2, entonces x = x1 +x2, para ciertos x1 ∈ F1, x2 ∈ F2. Luego para cualquier α ∈R,tenemos que αx = αx1 +αx2, y como F1 y F2 son subespacios, entonces αx1 ∈ F1 y αx2 ∈ F2.Por tanto αx ∈ F , para cualquier α ∈ R. �

Un caso particularmente importante se presenta cuando los subespacios F1 y F2 solo se intersectanen {0}, es decir: F1∩F2 = {0}. En esta situación, el subespacio F = F1+F2 recibe el nombre de sumadirecta de F1 y F2, y se utiliza la notación

F = F1⊕F2.


F = F1⊕F2 ⇐⇒ F = F1 +F2 ∧ F1∩F2 = {0}.

Definición 4.2 (Suma directa).

Extendemos la definición de suma de subespacios:

La suma de los subespacios F1,F2, . . . ,Fn de E es el conjunto

F =n

∑i=1

Fi = {x ∈ E : x =n

∑i=1

xi, xi ∈ Fi, ∀i ∈ 1,2, . . . ,n}.

Resulta F =n

∑i=1

Fi ser un subespacio de E. Además, Si i 6= j⇒ Fi∩Fj = {0}, entonces diremos que

F es la suma directa de ellos, y escribiremos

F = F1⊕F2⊕ . . .⊕Fn.

Definición 4.3

4.4 Subespacio generado

Queremos construir subespacios vectoriales de un espacio vectorial V dado, a partir de un vectoro de varios vectores bajo ciertas condiciones y relaciones existentes entre dichos vectores.

Sea X un subconjunto del espacio vectorial E. El subespacio vectorial de E generado por X es definido,como el conjunto de todas las combinaciones lineales

α1v1 +α2v2 + . . .+αnvn,

de vectores v1,v2, . . . ,vn ∈ X .

Definición 4.4

Notemos que el conjunto de todas la combinaciones lineales que es posible formar con vectoresdel conjunto X es un subespacio vectorial. Lo denotaremos por el símbolo 〈X〉.El subespacio 〈X〉, generado por el subconjunto X ⊂ E, contiene al conjunto X y, además, es elmenor subespacio de E que contiene a X . En otras palabras, si F es un subespacio de E y queX ⊂ F entonces 〈X〉 ⊂ F . Evidentemente si X es ya un subespacio vectorial, entonces 〈X〉 = X .Cuando el subespacio 〈X〉 coincide con E, decimos que X es un conjunto de generadores de E.Explícitamente: X es un conjunto de generadores del espacio vectorial E, si todo w ∈ E se puedeexpresar como combinación lineal

w = α1v1 +α2v2 + . . .+αnvn

39

de vectores v1,v2, . . . ,vn pertenecientes a X .

Si v ∈ E es un vector no nulo, el subespacio generado por v es la recta que pasa por el origen ycontiene a v.

Ejemplo 4.10

Los llamados vectores canónicos

e1 = (1,0, . . . ,0),

e2 = (0,1, . . . ,0),...

en = (0,0, . . . ,1).

Constituye un conjunto de generadores del espacio Rn. En efecto: Dado un v = (α1,α2, . . . ,αn) ∈Rn,tenemos que

v = α1e1 + . . .+αnen.

Ejemplo 4.11

4.5 Ejercicios

4.1 Consideremos E = F (R,R) el espacio vectorial de las funciones reales con una variable real,investigar si son espacios vectoriales sobre R:

i.) El conjunto de las funciones continuas.

ii.) El conjunto de las funciones derivables.

iii.) El conjunto de las funciones pares, es decir: Las funciones f ∈ E tales que f (x) = f (−x).

iv.) El conjunto de las funciones impares, es decir: Las funciones f ∈ E tales que f (x) =− f (−x).

v.) El conjunto de las funciones constantes.

vi.) El conjunto de las funciones no negativas.


4.2 Sean E =R2. Determine si las siguientes operaciones definen sobre E una estructura de espa-cio vectorial sobre R.

(a,b)+(a′,b′) =

(a+a′

2,b+b′

2

).

α(a,b) = (αa,αb).

4.3 Considerando el espacio vectorial E = R3 sobre R, investigar si los siguientes conjuntos sonsubespacios de R3:

i.) F = {(x,y,z) ∈ R3 : x+ z = 0}.

ii.) F = {(x,y,z) ∈ R3 : |x|= |y|}.

iii.) F = {(x,y,z) ∈ R3 : z = x+2}.

4.4 Sea el espacio vectorial E =Rn sobre R. Determinar si los siguientes conjuntos son subespaciosde Rn:

i.) F = {(x1,x2, . . . ,xn) ∈ Rn : xn ∈ Z}.

ii.) F = {(x1,x2, . . . ,xn) ∈ Rn : ∑ni=1 aixi = 0, ai ∈ R}.

4.5 Dados los espacios vectoriales E1, E2, consideremos el conjunto E = E1×E2 (producto carte-siano de E1 por E2), cuyos elementos son pares ordenados v = (v1,v2), con v1 ∈ E1 y v2 ∈ E2. definaoperaciones que convierten a E en un espacio vectorial. Verifique la validez de los axiomas de es-pacio vectorial y muestre que su definición se puede extender para el caso de n espacios vectorialesE1, . . . ,En.

4.6 M(n×n) denota el espacio vectorial de las matrices reales n×n. Por definición, la matriz A ∈M(n×n) se llama triangular superior si y solo si

i > j ⇒ ai j = 0.

demostrar que F es subespacio de M(n× n), siendo F el conjunto de las matrices triangularessuperiores.

4.7 Determinar si los siguientes subconjuntos subespacios de E = R2:

i.) S = {(x,y) ∈ R2 : (x− y)2 = (x+ y)2}.

ii.) T = {(x,y) ∈ R2 : 12 x+ y = x− 1

2 y}.

4.8 Sean S, T y U subespacios de E. Demostrar

i.) S+T = T +S.

ii.) S+(T +U) = (S+T )+U .

41

iii.) S⊂ S+T .

4.9 Demostrar que si el subespacio F de E es la suma directa de los subespacios F1 y F2, entoncestodo vector de F se puede expresar de modo único como la suma de un vector de F1 y uno de F2.

4.10 Sea E = M(n×n) el espacio vectorial de matrices reales y sean los subconjuntos

F1 = {A ∈M(n×n) : ai j = a ji, ∀i,∀ j},F2 = {A ∈M(n×n) : ai j =−a ji, ∀i,∀ j},

Por definición, los elementos de F1 se llaman matrices simétricas, y los de F2 matrices antisimétri-cas.Demostrar

1.) F1 y F2 son subespacios de M(n×n).

2.) M(n×n) = F1⊕F2.

4.11 Pruebe que, en la definición de subespacio vectorial, la condición “0 ∈ F” puede ser sustitu-ida por “F 6= /0”.

4.12 Sea F1 = { f : R→R| f (x) = f (−x), ∀x ∈R} y F2 = { f : R→R| f (x) =− f (−x), ∀x ∈R}. Probarque F (R,R) = { f : R→ R| f es función} es suma directa de F1 y F2.

4.13 Exprese el vector (1,−3,10) como combinación lineal de los vectores u = (1,0,0), v = (1,1,0)y w = (2,−3,5).

4.14 Pruebe que la matriz d =

[4 −4−6 16

]se puede expresar como combinación lineal de las matrices

a =

[1 23 4

], b =

[−1 23 −4

], y c =

[1 −2−3 4

]

4.15 Determinar el valor de x para que el vector (1,x,5)∈R3 pertenezca al subespacio 〈(1,2,3), (1,1,1)〉.

5 Base y dimensión

5.1 Conjunto linealmente independiente

Sea E un espacio vectorial. Diremos que un conjunto X ⊂ E es linealmente independiente (abre-viadamente, L.I.) si ningún vector v ∈ X es combinación lineal de los otros vectores de X .

Definición 5.1

Para evitar ambigüedades, si X tiene un único elemento v 6= 0, diremos que X es L.I., por defini-ción. Cuando X es L.I. se dice también que los elementos de X son vectores linealmente indepen-dientes.Cuando el conjunto X es L.I., sus elementos son todos no nulos, pues el vector nulo es combinaciónlineal de otros cualesquiera: 0 = 0.v1 + . . .+0.vn.Un criterio muy útil para verificar la independencia lineal de un conjunto, es dado por el siguienteteorema:

Sea X un conjunto L.I. en el espacio vectorial E. Si α1v1 + . . .+αnvn = 0 con v1, . . . ,vn ∈ X entoncesα1 = . . .= αn = 0. Recíprocamente, si la única combinación lineal nula de vectores de X es aquellacuyos coeficientes son todos iguales a cero, entonces X es un conjunto L.I.

Teorema 5.1

43

Los vectores canónicos e1 = (1,0, . . . ,0), . . . en = (0,0, . . . ,1) en Rn son L.I. En efecto: α1e1 + . . .+

αnen = 0 significa (α1, . . . ,αn) = 0 luego α1 = . . .= αn = 0. Análogamente, los monomios 1, x, . . . ,xn

en Pn(el conjunto de polinomios de grado≤ n) son L.I. pues α0+α1x+ . . .+αnxn = p(x) es el vectornulo en Pn sólo si p(x) es la función idénticamente nula, esto es p(x) = 0, para todo x ∈ R. Estoimplica α0 = α1 = . . .= αn = 0.

Ejemplo 5.1

Si un vector es combinación lineal de una familia linealmente independiente, entonces dicha com-binación lineal es única.

Teorema 5.2

En efecto: Sea v ∈ E (espacio vectorial) combinación lineal de la familia {v1, . . . ,vn}, y ésta lineal-mente independiente. Entonces existen escalares αi tal que

v =n

∑i=1

αivi.

Debemos probar que esta combinación es única. Supongamos que existan escalares βi tales que

v =n

∑i=1

βivi.

Entoncesn

∑i=1

αivi =n

∑i=1

βivi

n

∑i=1

(αi−βi)vi = 0.

Ya que la familia es linealmente independiente, se deduce que

αi−βi = 0, ∀i = 1,2, . . . ,n.

Por tanto, la combinación lineal es única. �

5.2 Conjunto linealmente dependiente

Un conjunto X ⊂ E se dice que es linealmente dependiente (abreviadamente, L.D.) si no es L.I.Definición 5.2

44 CAPÍTULO 5. BASE Y DIMENSIÓN

Esto significa que alguno de los vectores v ∈ X es combinación lineal de otros elementos de X , oque X = {0}. Para que X sea L.D., es necesario y suficiente que exista una combinación lineal nulaα1v1 + . . .+αnvn = 0 de vectores v1, . . . ,vn ∈ X con algún coeficiente αi 6= 0. Si X ⊂ Y y X es L.D.entonces Y es también L.D. Si 0 ∈ X entonces X es L.D.

Los vectores u = (1,2,3), v = (4,5,6), w = (7,8,9) en R3 son L.D. pues w = 2v−u.

Ejemplo 5.2

Cuando los vectores v1, . . . ,vn son L.D., ello no significa que cualquiera de ellos sea combinaciónlineal de los demás. Por ejemplo si u = (1,2), v = (3,4) y w = (4,8) entonces, {u,v,w} ⊂ R2 es unconjunto L.D. pues w = 4u+0v, pero v no es combinación de u y w.

Ejemplo 5.3

5.3 Base de un espacio vectorial

Una base de un espacio vectorial E es un conjunto B ⊂ E linealmente independiente que generaE.

Definición 5.3

Esto significa que todo vector v ∈ E se expresa, de modo único, como combinación lineal v =

α1v1+ . . .+αnvn de elementos de la base B . Si B = {v1, . . . ,vn} es una base de E y v=α1v1+ . . .+αnvn

entonces se dice que los números α1, . . . ,αn son las coordenadas del vector v en la base B .

Los vectores e1 = (1,0, . . . ,0), . . . en = (0,0, . . . ,1) constituyen una base {e1, . . . ,en} de Rn llamadabase canónica. Análogamente, los monomios 1,x, . . . ,xn, forman una base para el espacio vectorialP\ polinomios de grado ≤ n.

Ejemplo 5.4

45

5.4 Dimensión de un espacio vectorial

Dimensión de un espacio vectorial E es el número de elementos de cualquiera de las bases de E.SI E consiste únicamente en el vector nulo, diremos que su dimensión es 0.

Definición 5.4

La definición de base, esta bien dada, pues es posible demostrar que si un espacio vectorial Eadmite base con n elementos entonces todas las bases de E tiene el mismo número de n elementos.Denotaremos por dim(E) = n.

Si la dimensión de E es n, un conjunto de n vectores genera E si y solo si, es L.I.

Teorema 5.3

Como la base canónica {e1, . . . ,en} ⊂ Rn tiene n elemento, Rn es un espacio vectorial de dimensiónfinita n. Se sigue del anterior teorema, que para demostrar que n vectores v1, . . . ,vn ∈ Rn formanuna base, basta con demostrar que ellos son L.I. o alternativamente, que generan Rn.

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n. Entonces:

1.) Todo conjunto X de generadores de E contiene una base.

2.) Todo conjunto L.I. {v1, . . . ,vn} ⊂ E está contenido en una base.

3.) Todo subespacio vectorial F ⊂ E tiene dimensión finita, que es ≤ n.

4.) Si la dimensión del subespacio F ⊂ E es n entonces F = E.

Teorema 5.4

5.5 Ejercicios

5.1 Expresar en cada caso, si es posible, al vector v como combinación lineal de v1 y v2. El espaciovectorial sobre el que se trabaja es E = R2.

i.) v = (√

2,1), v1 = (√

3,2), v2 = (−√

6,2).

ii.) v = (2,4), v1 = (−1,3), v2 = (2,−6).

46 CAPÍTULO 5. BASE Y DIMENSIÓN

5.2 Comprobar que los vectores de R3

v1 = (−1,3,1), v2 = (3,−1,1) y v3 = (4,0,2)

son linealmente dependiente, y expresar a v3 como combinación lineal de v1 y v2.

5.3 En M(2×3) matrices de tamaño 2×3 se consideran las matrices

A =

[0 1 −21 1 1

], B =

[1 1 −20 1 1

]

Probar que son linealmente independientes.

5.4 Dados los vectores (1,−4,6), (1,4,4) y (0,−4,x) en R3, determinar x para que sean linealmentedependientes.

5.5 Demostrar que si a, b y c son tres números reales distintos, entonces los vectores (1,a,a2),(1,b,b2) y (1,c,c2) en R3 son linealmente independientes.

5.6 En el espacio vectorial de las funciones reales definidas en R, se consideren las funcionesf ,g y h definidas por

f (t) = t2 +2t−1, g(t) = t2 +1, h(t) = t2 + t

Demostrar que son linealmente dependientes.

5.7 En R2, los vectores (a,b) y (c,d) verifican la condición ad−bc 6= 0. Demostrar que son lineal-mente independientes.

5.8 Sabiendo que v1,v2,v3 son vectores linealmente independientes del espacio E, investigar ladependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

i.) {v1 +av2 +bv3,v2 + cv3,v3}

ii.) {v1,v2 +av3,v3 +bv2}

donde a,b,c ∈ R.

5.9 Sean {x1,x2, . . . ,xn} un conjunto L.I. de E y k ∈ R. Demostrar

{kx1,x2, . . . ,xn} es L.I. ⇔ k 6= 0.

5.10 Calcular bases de los subespacios de S, T , S + T y S∩ T en R4, siendo S = {(x1,x2,x3,x4) :x1− x2 = 0} y T = 〈(1,1,2,1), (2,3,−1,1)〉.

5.11 Encontrar una base y la dimensión del subespacio vectorial

F = 〈(1,2,−1,3), (2,1,0,−2), (0,1,2,1), (3,4,1,2)〉.

47

5.12 Si E es un espacio vectorial de dimensión 1, ¿cómo son sus bases?.

5.13 Determinar los valores de a y b, si es que existen, para que

〈(a,1,−1,2),(1,b,0,3)〉= 〈(1,−1,1,−2),(−2,0,0,−6)〉.

5.14 Demuestre que las matrices a,b,c siguientes, son L.I.:

a =

[1 10 0

], b =

[1 00 1

], c =

[1 11 1

].

5.15 Sea F el subespacio vectorial (plano) de R3 formado por los vectores v = (x,y,z) tales quex−2y+4z = 0. Halle una base {u1,u2,u3} ⊂ R3 tales que u1 y u2 pertenezcan a F .

5.16 Pruebe que los polinomios 1, x−1, y x2−3x+1 forman una base de P2 polinomios de grado≤ 2. Exprese el polinomio 2x2−5x+6 como combinación lineal de los elementos de dicha base.

6 Cambios de Base y el Procesode Gram-Schmidt

6.1 Coordenadas en un base

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita y B = {v1,v2, . . . ,vn} una base de E. Para cadavector v ∈ E, se llaman coordenadas de v en la base B a los números reales α1,α2, . . . ,αn talesque v = α1v1 +α2v2 + . . .+αnvn.Fijando el orden para los vectores de la base, el vector de Rn, de las coordenadas de v en B se de-nota por (v)mathcalB = (α1,α2, . . . ,αn) y mas usualmente por [v]B cuando lo escribimos como vectorcolumna en las operaciones con matrices:

[v]B =

α1

α2...

αn

.

Definición 6.1

Si B = {v1,v2,v3} es una base de E y v = v1− v2 +2v3, tenemos que

(v)B = (1,−1,2), (v1)B = (1,0,0), (v2)B = (0,1,0), (v3)B = (0,0,1)

o también

[v]B =

1−12

, [v1]B =

100

, [v2]B =

010

, [v3]B =

001

.

Ejemplo 6.1

49

Nota 1: Al usar el orden de los vectores, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si,en el ejemplo anterior, tomamos como base B1 = {v2,v3,v1}, tenemos que (v)B1 = (−1,2,1)que es un vector de coordenadas distinto de (v)B = (1,−1,2)

Nota 2: Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de E un único vectorde Rn, de manera que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector.Además, se cumple:

[v+w]B = [v]B +[w]B y [λv]B = λ[v]B , luego [λ1v1 + . . .+λnvn]B = λ1[v1]B + . . .+λn[vn]B

y con esto, tenemos que:

v ∈ 〈{v1, . . . ,vk}〉 ⊂ E ⇐⇒ [v]B ∈ 〈{[v1]B , . . . , [vk]B}〉 ⊂ Rn.

{v1, . . . ,vk} linealmente independientes en E ⇐⇒ {[v1]B , . . . , [vn]B} linealmente independientes en Rn.

{v1, . . . ,vn} base de E ⇐⇒ {[v1]B , . . . , [vn]B} base de Rn.

Por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores.

6.2 Cambios de base

Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá quecambiar las coordenadas en una nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, tendi-endo en cuenta lo siguiente:

Sean B1 = {u1,u2, . . . ,un} y B2 = {v1,v2, . . . ,vn} son base de una espacio vectorial E. Recibe el nombrede matriz de transición o matriz de cambio de la base B1 a la base B2, la matriz de dimensión n×n,que por columnas es

P =(

[u1]B2 [u2]B2 · · · [un]B2

)es decir, la i-ésima columna está constituida por las coordenadas en la base B2, del vector ui de labase B1.

Definición 6.2

En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base dellegada de los vectores de la base de partida.El porqué la matriz de cambio se construye así, puede observarse en la prueba de la proposiciónsiguiente:

50 CAPÍTULO 6. CAMBIOS DE BASE Y EL PROCESO DE GRAM-SCHMIDT

Sea P la matriz de cambio de una base B1 en otra base B2 de un espacio vectorial E. Entonces:

1.) ∀x ∈ E tenemos que [x]B2 = P.[x]B1 .

2.) P es invertible y su inversa, P−1, es la matriz de cambio de la base B2 a la base B1.

Teorema 6.1

En efecto: Sea B1 = {u1,u2, . . . ,un} y sea x = α1u1 +α2u2 + . . .+αnun. Entonces

1.)

P.[x]B1 =(

[u1]B2 [u2]B2 · · · [un]B2

)

α1

α2...

αn

= α1[u1]B2 +α2[u2]B2 + . . .+αn[un]B2

= [α1u1 +α1u2 + . . .+αnun]B2 = [x]B2 .

2.) Como los vectores de la base B1 son linealmente independientes, sus vectores coordenadas enla base B2 también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientesy por tanto P es invertible.Además, [x]B2 = P.[x]B1 ⇒ P−1.[x]B2 = P−1.P.[x]B1 ⇒ P−1[x]B2 = [x]B1 y P−1 es la matriz decambio de la base B2 en la base B1. �

Consideremos las base B1 = {x−1,x+1,x2−1} y B2 = {1,x,x2} de P2 polinomio de grado ≤ 2. Lamatriz de cambio de la base B1 a la base B2 será:

P=(

[x−1]B2 [x+1]B2 [x2−1]B2

)=

−1 1 −11 1 00 0 1

y P−1 =

−1/2 1/2 −1/21/2 1/2 1/20 0 1

.

la matriz de cambio de B2 a B1.

Ejemplo 6.2

51

Consideremos en R3 la base canónica B = {e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)} y la base B1 =

{v1 = (1,0,−1),v1 = (2,−1,1),v2 = (0,−1,1)}.Como v1 = 1(1,0,0)+0(0,1,0)−1(0,0,1) = e1−e3, tenemos que (v1)B = (1,0,−1); y lo mismo paralos otros vectores, luego la matriz de cambio de la base B1 a la base B será:

P =(

[v1]B [v2]B [v3]B

)=

1 2 00 −1 −1−1 1 1

.

Ejemplo 6.3

6.3 Espacios vectoriales con producto interno

6.3.1 Producto interno, norma y distancia

Un producto interno en un espacio vectorial E es una función que a cada para de vectores u,v ∈ Ele asocia un número real, que denotaremos por u · v, de tal manera que se cumplen las siguientesaxiomas:

1.) u · v = v ·u, ∀u,v ∈ E.

2.) (u+ v) ·w = u ·w+ v ·w, ∀u,v,w ∈ E.

3.) (αu) · v = α(u · v) = u · (αv), ∀u,v ∈ E, ∀α ∈ R.

4.) u ·u≥ 0, ∀u ∈ E y u ·u = 0 ⇐⇒ u = 0.

Definición 6.3

De los anterior podemos deducir, las siguientes propiedades:

1.) 0 ·u = 0.

2.) u · (v+w) = u ·w+ v ·w.

3.) u · (αv) = α(u · v).


Sea C([−1,1]) el conjunto de las funciones reales continuas definidas en el intervalo [−1,1]. Sepuede demostrar C([−1,1]) es un espacio vectorial, con las operaciones usuales de suma de fun-ciones y producto de una escalar por una función.Definamos la siguiente operación

f ·g =∫ 1

−1f (x)g(x)dx.

Esto es un producto interno para dicho espacio C([−1,1]). Para ello es suficiente probar que secumplen con los axiomas de la definición teniendo en cuenta propiedades de la integral definida.

Ejemplo 6.4

En Rn la función· : Rn×Rn → R

(X ,Y ) 7→ X ·Y := X tY = ∑ni=1 xiyi,

donde

X =

x1

x2...

xn

, Y =

y1

y2...

yn

y X t denota la transpuesta de X . Esta función es un producto interno para Rn. Para probar estoverificamos los axiomas de la definición:

1.) X ·Y = X tY = (X tY )t = Y tX = Y ·X .

2.) (X +Y ) ·Z = (X +Y )tZ = (X t +Y t)Z = X tZ +Y tZ = X ·Z +Y ·Z.

3.) (αX) ·Y = (αX)t ·Y = α(X tY ) = α(X ·Y ).

4.) X ·X = X tX =n

∑i=1

x2i ≥ 0. Además

X ·X = 0⇔n

∑i=1

x2i = 0⇔ xi = 0, ∀i.⇔ X = 0.

Así tenemos que definido un producto interno en Rn, llamado producto interno usual en Rn.

Ejemplo 6.5

A partir de un producto interno sobre el espacio E se definen los conceptos de norma, distancia yángulo.

53

Si E es un espacio vectorial con producto interno, entonces la norma (o longitud o módulo) de unvector v ∈ E se denota mediante ‖v‖ y se define como

‖v‖=√

v · v

La distancia entre vectores u y v de E se denota por d(u,v) y se define como

d(u,v) = ‖u− v‖=√

(u− v) · (u− v)

Definición 6.4

Para todo u,v ∈ E, espacio con producto interno, tenemos

|u · v| ≤ ‖u‖‖v‖.

Teorema 6.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz).

1.) ‖u‖ ≥ 0, ∀u ∈ E

2.) ‖u‖= 0 ⇔ u = 0.

3.) ‖αu‖= |α|‖u‖, ∀u ∈ E, ∀α ∈ R.

4.) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖, ∀u,v ∈ E.

Teorema 6.3 (Propiedades de norma).

1.) d(u,v)≥ 0, ∀u,v ∈ E.

2.) d(u,v) = 0 ↔ u = v.

3.) d(u,v) = d(v,u), ∀u,v ∈ E.

4.) d(u,v)≤ d(u,w)+d(w,v), ∀u,v,w ∈ E.

Teorema 6.4 (Propiedades de distancia).


6.3.2 Ortogonalidad

Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto internos, como consecuenciade la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que −1≤ u · v

‖u‖‖v‖≤ 1 y, por tanto, existe un único

ángulo, θ tal que:cosθ =

u · v‖u‖‖v‖

, con 0≤ θ≤ π.

Definición 6.5

En un espacio vectorial con producto interno, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales siu · v = 0. Suele denotarse por u⊥ v.Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que u es ortogonal a W .Se dice que S = {v1,v2, . . . ,vk} es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos,es decir, si vi ⊥ v j para todo i 6= j.

Definición 6.6

Los vectores de la base canónica de R3 con producto interno usual son ortogonales entre si, perono lo son si el producto interno es definido por: v ·w = v1w1+v1w2+v2w1+2v2w2+v3w3. (Pruébeseque es un producto interno). En efecto: e1 · e2 = (1,0,0) · (0,1,0) = 0+1+0+0+0 = 1 6= 0.

Ejemplo 6.6

Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forma es de π/2 radianes (los famosos 90grados). De hecho en Rn con el producto interno usual, la ortogonalidad coincide con laperpendicularidad.

Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interno, entonces

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2.

Teorema 6.5 (Pitágoras).

1.) Si w⊥ {v1,v2, . . . ,vk}, entonces w⊥ 〈{v1,v2, . . . ,vk}〉.

2.) Si S = {v1,v2, . . . ,vk} un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos entonces Ses linealmente independiente.

Teorema 6.6

55

6.3.3 Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt

Sean E un espacio vectorial de dimensión n con producto interno. Se dice que la base B =

{v1,v2, . . . ,vn} es una base ortonormal de E, si B es un conjunto ortogonal y ‖vi‖= 1, ∀i.

Definición 6.7

Las bases canónicas y B1 = {(

1√2,

1√2

),

(− 1√

2,

1√2

)} son ortonormales en R2 con el producto

interno usual. La base B2 = {(2,0),(0,−√

2)} es ortonormal para el producto interno dado por:x · y = x1y1

4+

x2y2

2.

Ejemplo 6.7

Si B = {v1,v2, . . . ,vn} es una base ortonormal para el espacio E con producto interno, entonces paratodo v ∈ E, tenemos que

v = (v · v1)v1 +(v · v2)v2 + . . .+(v · vn)vn.

Teorema 6.7

Es decir, en una base ortonormal, la obtención de coordenadas puede ser más sencilla. Pero nosólo eso, si no que también se tiene:

Si P es la matriz de cambio de una base ortonormal B1 a otra base ortonormal B2, entonces P esuna matriz ortogonal (es decir: P−1 = Pt).

Teorema 6.8

Sean E un espacio vectorial con producto interno, W un subespacio de E y B = {w1,w2, . . . ,wk} unabase ortonormal de W . Para cada v ∈ E, llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vectorde W

proyW v = (v ·w1)w1 +(v ·w2)w2 + . . .+(v ·wk)wk.

Al vector v−proyW v se le llama componente ortogonal de v sobre W .

Definición 6.8

El vector proyección ortogonal no depende de la base ortonormal elegida, es decir, tomandocualquier base ortonormal se obtiene el mismo vector.


Lema 6.1 Sean E un espacio vectorial con producto interno, W un subespacio de E y B una base ortonormalde W . Entonces para cada v ∈ E, el vector v−proyW v es ortonormal a W .

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Sea E un espacio vectorial con producto in-terno y de dimensión finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de unabase B = {v1,v2, . . . ,vn} una base ortonormal B∗ = {u1,u2, . . . ,un}.

En efecto:

1a etapa: Como v1 6= 0 por ser de B , el vector u1 =v1

‖v1‖tiene norma 1 y además 〈{u1}〉= 〈{v1}〉.

2a etapa: Sea W1 = 〈{u1}〉, por el Lema anterior, el vector v2−proyW1v2 es ortogonal a W1, en partic-

ular a u1, y es distinto del vector 0 pues proyW1v2 ∈W1 y v2 6∈W1 = 〈{v1}〉, entonces tenemos

que

u2 =v2−proyW1

v2

‖v2−proyW1v2‖

=v2− (v2 ·u1)u1

‖v2− (v2 ·u1)u1‖∈ 〈{v1,v2}〉,

es ortogonal a u1 y tiene norma 1. Además, 〈{u1,u2}〉= 〈{v1,v2}〉.

3a etapa: Sea ahora W2 = 〈u1,u2〉, como antes, el vector v3−proyW2v3 es ortogonal a W2, en partic-

ular a u1 y u2, y es distinto del vector 0, pues proyW2v3 ∈W2 y v3 6∈W2 = 〈{v1,v2}〉, entonces

tenemos que

u3 =v3−proyW2

v3

‖v3−proyW2v3‖

=v3− (v3 ·u1)u1− (v3 ·u2)u2

‖v3− (v3 ·u1)u1− (v3 ·u2)u2‖∈ 〈{v1,v2,v3}〉,

es ortogonal a u1 y u2, y tiene norma 1. Además, 〈{u1,u2,u3}〉= 〈{v1,v2,v3}〉.

na etapa: Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores nonulos B∗ = {u1,u2, . . . ,un}, tal que 〈B∗〉= 〈B〉= E. Luego es una base ortonormal de E. �

6.4 Ejercicios

6.1 En una cierta base {u1,u2,u3,u4} de un espacio vectorial E, un vector w tiene por coordenadas(3,1,2,6). Hallar las coordenadas de w en otra base {v1,v2,v3,v4} cuyos vectores verifican que

v1 = u1 +u2, v2 = 2u4−u1, v3 = u2−u3, y v4 = 2u1−u2.

6.2 En R3 se consideran las bases B = {v1 =(2,0,0),v2 =(0,−1,2),v3 =(0,0,−3)} y la base canónicaBc = {e1,e2,e3}. Hallar las coordenadas respecto a la base B del vector x = 4e1 + e2−5e3.

6.3 Se consideran en R3 las bases B = {u1,u2,u3} y B ′ = {v1,v2,v3}, siendo

u1 = (−3,0,−3), u2 = (−3,2,−1), u3 = (1,6,−1) y

v1 = (−6,−6,0), v2 = (−2,−6,4), v3 = (−2,−3,7).

57

a.) Hallar la matriz de cambio de B a B ′

b.) Calcular la matriz de coordenadas, [w]B , siendo w = (−5,−8,−5).

c.) Calcular [w]B ′ .

6.4 Sean u = (u1,u2,u3) y v = (v1,v2,v3). Determinar si 〈{u,v}〉 = u1v1− u2v2 + u3v3 define un pro-ducto interno en R3.

6.5 a.) Encontrar dos vectores de R2 con norma euclídea uno y cuyo producto interno usual con(−2,4) sea cero.

b.) Demostrar que hay un infinito de vectores en R3 con norma uno y cuyo producto interno usualcon (−1,7,2) es cero.

6.6 Sean a =

(1√5,− 1√

5

)y b =

(2√30

,3√30

). Demostrar que {a,b} es ortonormal si R2 tiene

producto interno u · v = 3u1v1 + 2u2v2 donde u = (u1,u2) y v = (v1,v2), y que no lo es si R2 tiene elproducto interno usual.

6.7 Sean V un espacio con producto interno. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de losvectores v1,v2, . . . ,vk entonces es ortogonal a 〈{v1,v2, . . . ,vk}〉.

6.8 Considera R3 con el producto interno euclídeo. Utilizar el proceso de Gram-Schmidt paratransformar, en cada caso, la base {u1,u2,u3} en una base ortonormal.

a.) u1 = (1,1,1), u2 = (−1,1,0), u3 = (1,2,1).

b.) u1 = (1,0,0), u2 = (3,7,−2), u3 = (0,4,1).

6.9 Sea R3 con el producto interno u ·v = u1v1+2u2v2+3u3v3. Utilizar el proceso de Gram-Schmidtpara transformar la base formada por los vectores u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u2 = (1,0,0) en unabase ortonormal.

6.10 Hallar la distancia del vector u = (1,1,1,1) de R4 al subespacio generado por los vectoresv1 = (1,1,1,0) y v2 = (1,1,0,0).

6.11 Dados los vectores x = (x1,x2,x3) e y = (y1,y2,y3) de R3, demostrar que la expresión x · y =

2x1y1 +2x2y2 + x3y3 + x1y2 + x2y1 define un producto interno.

6.12 Considere el siguiente conjunto de tres vectoresx1 =

1−102

, x2 =

1110

, x3 =

−1−120

.

Usando el producto interno usual en R4 verificar que estos vectores son mutuamente ortogonales.


6.13 Sea E =C([−1,1]) el espacio con producto interno de la funciones continuas definidas en elintervalo [−1,1], donde el producto interno es definido por

f ·g =∫ 1

−1f (x)g(x)dx,

y sea S el subespacio de E generado por los tres polinomios linealmente independientes q0 =

1, q1 = x, q2 = x2. Use el proceso de Gram-Schmidt para determinar un conjunto ortonormal depolinomios {p0, p1, p2} que genera al subespacio S .

linear algebra

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