limity - matematika-lucerna.cz

Limity

Robert Mařík a Lenka Přibylová

6. března 2007

Obsah

limx→1

arctg x

x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

limx→−1

arctg x

x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

limx→−∞

arctg x

x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

limx→±∞

e−x arctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

limx→±∞

(x3 + 2x2 − 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

limx→±∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

limx→±∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

limx→∞

(2 lnx − ln(x2 + x + 1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Vypočtěte limx→1

arctg x

x + 1

limx→1

arctg x

x + 1=

arctg 1

1 + 1=

π

4

2=

π

8

// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


arctg x

x + 1

limx→1

arctg x

x + 1=

arctg 1

1 + 1=

π

4

2=

π

8

• Dosadíme x = 1.

• Jedná se o definovaný výraz. Funkce je spojitá v bodě x = 1a funkční hodnota je rovna hodnotě limity.



arctg x

x + 1

limx→1

arctg x

x + 1=

arctg 1

1 + 1=

π

4

2=

π

8

arctg 1 =π

4, resp. tg

π

4= 1



arctg x

x + 1

limx→1

arctg x

x + 1=

arctg 1

1 + 1=

π

4

2=

π

8

Zjednodušíme.


Vypočtěte limx→−1

arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞

Oboustranná limita limx→−1

arctg x

x + 1neexistuje.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

Dosadíme . . .// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

. . . a upravíme.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

• Funkce je typunenulový výraz

nula.

• Musíme proto studovat nejprve jednostranné limity. Zač-neme s limitou zprava.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

Dosadili jsme x = −1.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

• Musíme určit znaménko jmenovatele.

• Je-li x napravo od −1, pak x > −1 a platí x + 1 > 0.

• Jmenovatel je kladný.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

Limita zprava je −∞.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

• Je-li x nalevo od čísla −1, pak x < −1.

• Proto x + 1 < 0 a jmenovatel je záporný.



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

Limita je +∞



arctg x

x + 1

limx→−1

arctg x

x + 1=

arctg(−1)

−1 + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

0

∥

∥

∥

∥

limx→−1+

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

+0

∥

∥

∥

∥

= −∞

limx→−1−

arctg x

x + 1=

∥

∥

∥

∥

−π

4

−0

∥

∥

∥

∥

= +∞


arctg x

x + 1neexistuje.

Obě jednostranné limity jsou různé a oboustranná limita tedy

neexistuje.


Vypočtěte limx→−∞

arctg x

x + 1

limx→−∞

arctg x

x + 1=

−π

2

−∞= 0



arctg x

x + 1

limx→−∞

arctg x

x + 1=

−π

2

−∞= 0

• Určíme limitu čitatele a jmenovatele samostatně.

• limx→−∞

arctgx může být určena z grafu funkce y = arctg x.

• Funkce y = arctg x má vodorovnou asymptotu y = −π

2v

−∞. Hodnota limity čitatele je −π

2



arctg x

x + 1

limx→−∞

arctg x

x + 1=

−π

2

−∞= 0

Limita jmenovatele je −∞ + 1 = −∞.



arctg x

x + 1

limx→−∞

arctg x

x + 1=

−π

2

−∞= 0

Konečná hodnota dělená nekonečnem je rovna nule.


Vypočtěte limx→±∞

e−x arctgx

limx→∞

e−x arctg x = e−∞ arctg∞ = 0π

2= 0

limx→−∞

e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(−π

2) = −∞



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Začneme s limitou v +∞// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

• Určíme zvlášť limity funkcí v součinu.

• Dosadíme. Výrazem e−∞ máme na mysli limitu limx→−∞

ex.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

• Dosadíme do druhé funkce.

• Výrazem arctg∞ máme na mysli limitu limx→∞

arctg x.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Zkoumáním grafů funkcí y = ex a y = arctg x zjistíme, že

limx→−∞

ex = 0

a

limx→∞

arctgx =π

2.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Součin je nula.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Pokračujeme s limitou v −∞.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

• Opět určíme limity funkcí v součinu.

• Dosadíme. Protože platí −(−∞) = ∞, dostáváme z prvníhosoučinitele výraz e∞. Tím máme na mysli limitu lim

x→∞ex.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Dosadíme do druhé funkce. Výrazem arctg(−∞) rozumímelimitu lim

x→−∞arctg x.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Z grafů funkcí y = ex a y = arctg x plyne

limx→∞

ex = ∞

a

limx→−∞

arctgx = −π

2.



e−x arctgx

limx→∞


2= 0

limx→−∞


2) = −∞

Součin je roven −∞.



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

• Začneme s limitou v +∞. Dosadíme.



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

∞3 = ∞, ∞2 = ∞



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

∞ + ∞− 4 = ∞



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

Pokračujeme s limitou v −∞.



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

Dosadíme.// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

(−∞) × (−∞) × (−∞) = −∞ 2(−∞)(−∞) = ∞

Pozor! Máme neurčitý výraz ‖ −∞ + ∞‖.



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞

• Z teorie víme, jak tento problém vyřešit.

• Lze ukázat, že na výsledek má vliv jenom vedoucí koeficient.Ostatní koeficienty tedy vynecháme.

• Limita vedoucího člene je −∞.



(x3 + 2x2 − 4)

limx→∞

(x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞− 4 = ∞

limx→−∞

(x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4

= ‖ −∞ + ∞‖− 4

= −∞



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Začneme s limitou v +∞.// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

• Limita čitatele i jmenovatele je +∞.

• Dostáváme neurčitý výraz.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

• Z teorie víme, že limita se dá určit snadno – jenom z ve-doucích členů čitatele a jmenovatele.

• Vynecháme tedy všechno ostatní.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Upravíme

x3

2x2=

x

2.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Dosadíme x = ∞.// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Použijeme známá pravidla pro počítání s nekonečnem.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

• Pokračujeme s limitou v −∞.

• Dosazením x = −∞ dostáváme opět neurčitý výraz.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Opět uvažujeme pouze vedoucí členy.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Upravíme.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Dosadíme.// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞

Použijeme známá pravidla pro počítání s nekonečnem.



x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3

limx→∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

x3

2x2= lim

x→∞

x

2=

∞

2= ∞

limx→−∞

x3 + 3x2 + 1

2x2 − 3=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

x3

2x2= lim

x→−∞

x

2=

−∞

2= −∞



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Začneme s limitou v +∞.// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Dosadíme x = ∞.// / . .. c©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×


2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

• Neurčitý výraz.

• Použijeme jenom vedoucí členy.

• Všechno ostatní lze zanedbat.



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Upravíme

2x4

3x4=

2

3



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Limita konstantní funkce je ta konstanta.



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Pokračujeme s limitou v −∞. Dosadíme x = −∞.



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

• Máme neurčitý výraz.

• Použijeme jenom vedoucí členy.

• Všechno ostatní zanedbáme.



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Upravíme

2x4

3x4=

2

3



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3

Limita konstantní funkce je ta konstanta.



2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1

limx→∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→∞

2x4

3x4= lim

x→∞

2

3=

2

3

limx→−∞

2x4 + 4x + 5

3x4 − x3 + 4x + 1=

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= limx→−∞

2x4

3x4= lim

x→−∞

2

3=

2

3


Vypočtěte limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

Protože limx→∞

lnx = ∞, dostáváme neurčitý výraz ‖∞−∞‖.



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

• Limity z neurčitých výrazů ve tvaru zlomku jsou obyčejnějednodušší. Napíšeme funkci jako zlomek. .

• Nejdříve oba členy napíšeme v logaritmickém tvaru.

• Použijeme pravidlo r ln a = ln ar .



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

Odečteme logaritmy podle pravidla ln a − ln b = lna

b.



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

• Určíme limitu složené funkce.

• Nejprve prozkoumáme limitu vnitřní složky.



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

Uvnitř máme neurčitý výraz.



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

Uvažujeme jenom vedoucí členy.



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0

Provedeme krácení ve výrazux2

x2a použijeme zřejmý vztah

limx→∞

1 = 1.



[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

.

limx→∞

[

2 lnx − ln(x2 + x + 1)]

= ‖∞−∞‖

= limx→∞

[

lnx2 − ln(x2 + x + 1)]

= limx→∞

lnx2

x2 + x + 1= ln

(

limx→∞

x2

x2 + x + 1

)

= ln

∥

∥

∥

∥

∞

∞

∥

∥

∥

∥

= ln

(

limx→∞

x2

x2

)

= ln 1 = 0


limity - matematika-lucerna.cz

Documents