límites trascendentes

8/17/2019 Límites Trascendentes .

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Taller de aprendizaje guiado Nº4

Límites Límites infinitos y trascendentes

Autores:

Ricardo Salinas.Gloria Cancec.Roberto Vásquez.

Aprendizajes Esperados

1. Calcular límites infinitos.

2. Calcular límites en el

infinito.

3. Calcular límites

trigonométricos.

4.

Calcular límites

exponenciales.

5. Calcular límites

logarítmicos.

INACAP Renca


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Proyecto de Innovación Pedagógica – INACAP Renca 1

Límites infinitos

Actividad Nº1

x 1

1lim

x 1

y

x 1

1lim

x 1

x 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1

f(x) -10 -100 -1000 ? 1000 100 10

x clímf(x)

La función crece o decrece indefinidamente cuando x tiende a c.

El límite no existe. El límite no es indeterminado.

Si al evaluar en c se obtiene una formak

f(c)0

, entoncesx clim f(x)

¿Qué significa que el límite de unafunción sea infinito?

¿Cuándo el límite de unafunción es infinito?

¿Cómo es la gráfica de una funciónque tiene límite infinito?

La gráfica de la función presenta una

asíntota vertical en x=c.

¿Qué es un límite infinito?

Si f(x) crece o decrece

indefinidamente, cuando x

tiende a c, se dice que la

función tiende a infinito.

En este tipo de límite es

importante analizar los

límites laterales de la

función, ya que por la

derecha o por la izquierda

pueden tender a infinito

positivo e infinitonegativo alternadamente.

Observa el siguiente ejemplo…

1

0 límite infinito

Paso 1

Escribir el resultado en términos del resultado de los límites laterales Paso 3

Analizar numérica o gráficamente los límites laterales Paso 2

x 1

x tiende a 1 por la izquierda

x 1

x tiende a 1 por la derecha

f(x) tiende a f(x) tiende a

x 1

1lim

x 1


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Instrucción: Evalúa los siguientes límites y señala si son o no límites infinitos.

1) x 2

3lim

x 2 2)

x 1

1lim

1 x

3)x 4

x 4límx 4)

2x 1

2lim(x 1)

5) 2

x 2

x 4lim

x 2

6) 2x 2

1lim

(x 2)

Actividad Nº2

Instrucción: Completa los siguientes desarrollos de límites infinitos y luego esboza la gráfica.

1)

x 2

3lim

x 2

y

x 2

3lim

x 2

2)

x 1

1lim

1 x

y

x 1

1lim

1 x

x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1

f(x) ?

x 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1f(x) ?

SINO

SINO

SINO

SINO

SINO

SINO


x 2

3lim

x 2


x 1

1lim

1 x


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3)

2x 1

2lim

(x 1)

y

2x 1

2lim

(x 1)

Actividad Nº3

Instrucción: Calcula los siguientes límites y esboza su gráfica.

1)

x 4

2lim

x 4

2)

2x 2

1lim

(x 2)

x 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1

f(x) ?


2x 1

2lim

(x 1)


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3)

x 2

1lim

x 2

4)

2x 1

1lim

x 1


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Se entiende por límite en el infinito de una función a la expresión

x xlim f(x) ó lim f (x)

El cálculo de límites en el infinito se rige por las mismas propiedades y fórmulas del límite de

sucesiones.

Límites en el infinito

Actividad Nº4

Instrucción: Completa los siguientes cuadros basándote en lo que sabes de límites de sucesiones.

Límites en el infinito

xlímf(x)

Formas determinadas

x

Llim f(x)

Límites básicos:

x

lím k

nx

1lím , n 0

x

n

x

si k 0lím k x ; n 0

si k 0

x

x

si r 1lím r

si r 1

Límite de un polinomio:

n 2n 2 1 0

x

n

n

lim a x a x a x a

si a 0

si a 0

Cálculo Directo Cálculo Indirecto

Formas Indeterminadas

xlim f(x)

Métodos:

Funciones racionales con potencias de base x:

2

2x

1

3x 2x 1lím ......

15x 3

Funciones racionales con potencias deexponente x:

x x 1

x 1 xx

1

2 3lím ......

12 3

Funciones con diferencia de raíces:

xlím x 1 x 1 .....


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Actividad Nº5

Instrucción: Calcula los siguientes límites.

a) 4 3 2

xlím 2x 3x 5x 4x 1

b)2

2x

4 5xlím

1 2x 3x

c) 2

xlím 3x 4 5x

d)2x

5lím

x 4x 4

e)x x

x xx

3 2lím

4 5

f)

x2

4x

3 1lím 3x 4

2x


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g)4

2x

2 5x 4xlím

2x 3x 5

h)

3 2x

x

4lím3

i) xlím x 4 x

j)

1 3x 1 2x

x

4 5lím

7 3

j)x x 1

3x 2 xx

3 8lím

2 5

k)2x

9x 2lím

x

l)2 2

xlím 2x x 1 x x 1


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Límites de funciones trascendentes

Actividad Nº6

Instrucción: Indica si los siguientes límites son o no trascendentes.

3) x 4

1 cos2xlím

3x

4)

3

x 1

x 8lím

2 x

3)x 0

sen(3x)lím5x

5) x

x 0

e 1límx

7)

3x 64

x 8lím

x 4 8)

x 3

x

x 3lím

x 1

Actividad Nº7

Los límites de funciones trascendentes son aquellos donde intervienen funciones trigonométricas ,exponenciales y logarítmicas.

Lee atentamente esta definición…

SINO

SINO

SINO

SINO

SINO

SINO

¿Cuándo aplicar técnicas

de cálculo indirecto para

límites trascendentes?

Cuando el límite no se

puede obtener por cálculo

directo, es decir aplicando

propiedades y fórmulas,

se debe recurrir a técnicas

de cálculo indirecto. Estastécnicas se aplicarán en el

caso en que inicialmente

el límite de una forma

indeterminada. Este

esquema resume los

casos.

Límite trascendente

x alim f (x) ?

Tratar de calcularlo de forma directa evaluando f(a)

El límite es determinado

x a

L ; límite finitolim f(x)

; límiteinf inito

El límite es indeterminado

x a

0

0lim f(x)

1

El límite se resolvió por

Cálculo Directo El límite se debe resolverpor métodos Indirectos


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CálculoIndirecto

de LímitesTrascende

ntes

límites exponenciales

límites trigonométricos

límites logarítmicos

Instrucción: Evalúa los siguientes límites de funciones trascendentes y señala si se pueden resolver

por cálculo directo o indirecto.

Cálculo indirecto de límite de funciones trascendentes

1) x 0

senxlim

x 1

2)

x 01 cos xlim

3x

3) 4x

x

1lim 1

2x

4)

1/

1lim 1

3

x

x x

CÁLCULO DIRECTOCÁLCULO INDIRECTO




¿Cuándo se aplica el cálculo

indirecto de límites

trascendentes?

Consideraremos los casos de

funciones que se ajusten a los

límites trigonométricos

exponenciales y logarítmicos

planteados en el esquema.

En todos los casos es

importante verificar que

inicialmente la función seindetermina en el valor c.


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Consideraremos todos los casos de límites de funciones trigonométricas que se indeterminen en x = c

y que se puedan ajustar a alguna de estas formas

x 0 x 0 x 0

senx tgx cos x 1lím 1 lím 1 lím 0

x x x

La posibilidad de ajustar una función a alguna de estas formas tiene relación con transformacionesalgebraicas de distinto tipo.

Instrucción: Comprueba (evaluando la función) que los siguientes límites de funciones trascendentes se

resuelven por cálculo indirecto de e indica a que tipo corresponden.

1) x 0

1 cos xlim

3x

Tipo: función ______________________________________

2) 2x

x

2lim 1

3x

Tipo: función ______________________________________

3) x 1

sen(x 1)lim

x 1

Tipo: función ______________________________________

4) x

x 0

3 1lim

2x

Tipo: función ______________________________________

Límites trigonométricos

Actividad Nº8

Instrucción: observa los siguientes ejemplos y completa los desarrollos.

x 0 x 0 x 0

sen(4x) 1 sen4x 4 4 sen4xlim lim lim

3x 3 x 4 3 4x

14 4

13 3

f(0)

f(1)

f(0)


00

Se podría ajustar a

x 0

senxlím

x

Se Factoriza por 1/3 y luego se multiplica por 4/4 para que elargumento de seno y el denominador sean iguales.

Ahora la función tiene la forma

x 0

senxlím 1

x


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x 0 x 0

senx 1 senx1) lim lim

2x x

1

x 0 x 0 x 0

2tg(2x) tg(2x) tg(2x)2) lim lim lim

3x x x

x 0 x 0 x 0

1 cos2x 1 1 cos2x 1 cos2x3) lim lim lim

5x x x

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

tg(3x)3 3tg(3x)1 tg(3x)tg(3x) tg(3x) 3 3x3 3xx xlim lim lim lim lim

1 tg(2x) 2 2tg(2x)tg(2x) tg(2x) 2

x x 2 2x

1

tg(2x)

2x

1

3

2

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

sen4x1 sen4x sen4x

xsen4x sen4x x4) lim lim lim lim lim

1 sen3xsen3x sen3x sen3x

x

sen3x

x

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

sen(2x)sen(2x)1 sen(2x)

3sen(2x) 3 sen(2x) 3 3 35) lim lim lim lim lim

1 tg(3x)4tg(3x) 4 tg(3x) 4 4 4tg(3x)

tg(3x)

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

1 cos2x(1 cos2x)1 1 cos2x

1 cos2x 1 cos2x6) lim lim lim lim lim

1 senx senxsenx senx

senx


0

0


x 0

tgxlím

x

Se multiplica por 3/3 en el numerador y 2/2 en eldenominador para que los argumentos de lastangentes sean iguales a los de sus denominadores


x 0

tgxlím 1

x

Se multiplica cada parte de la fracción por1/x ya que se necesita que la tangente este

partida por x.


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2x 2 x 2 x 2

1 cos(x 2) 1 cos(x 2) 1 1 cos(x 2)lim lim lim

(x 2)(x 2) x 2 (x 2)x 4

01

0 04

x 1 x 1 x 14sen(x 1) 4sen(x 1) sen(x 1)

7) lim lim lim3x 3 xx

2x 3 x 3

5x tg(x 3) 5x tg(x 3)8) lim lim

x xx 9

x 3

5x 5lim

x


0

0


x 0

1 cos xlím

x

Se separa en un producto en donde unode los factores tiene la forma del límitetrigonométrico buscado


x 0

tgxlím 1

x

Se Factoriza el denominador


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Consideraremos todos los casos de límites de funciones que se indeterminen en x = c y que se puedan

ajustar a alguna de estas formas

x1/x

x x 0

1

lím 1 e lím 1 x ex


Límites exponenciales

Actividad Nº9


22x x

2

x x

1 1lim 1 lim 1 e

x x

3x

x x

1 11) lim 1 lim 1

x x

3x

4x x

1 12) lim 1 lim 1 e ex x

3/x /x

x 0 x 03) lim 1 x lim 1 x


1

Se podría ajustar ax

x

1lím 1

x

Se reescribe la expresión como

potencia de potencia m

n n ma a

Ahora la función tiene la formax

x

1lím 1 e

x


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6x x

3x 6

2 23x6

x x x x

2 1 1 1lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 e

x x xx

2 2 2

x x2x

2x

x x x x

5 1 1 14) lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 e

x x xx

x xx

x

x x x x

3 1 1 15) lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 ex x xx

3x 3x 35x3

5x3

x x x x

2 1 1 16) lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 e e

3x 3x 3x3x


1


x

1lím 1

x

Reescribir el exponente para que quedeun factor igual al denominador x/2


x

1lím 1 e

x

Invertir la fracción de modo quequede 1 partido por un término con x


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x x

x x x

x 4 x 3 1 x 3

lim lim limx 3 x 3

x 3

x x x 3 3

x x

x 3

x

1 1 1

lim 1 lim 1x 3 x 3 x 3

1 1lim 1 1

x 3 x 3

30

e 1 e

xx

x x x

x 2 x 1 x 17) lim lim lim

x 1 x 1

x 1

x x x 1

x x

x 1

x

lim 1 lim 1x 1 x 1 x 1

lim 1 1x 1 x 1

0

e

xx

x x x

x x 2 x 28) lim lim lim

x 2 x 2

x 2

x

x

x x

2x 1

x

1 1lim 1 lim 1

x 1 x 1x 2

1 1lim 1 1

x 1 x 1

02e



x

1lím 1

x

Reescribir el numerador como unasuma o resta donde uno de lostérminos sea i ual al denominador

Separar en producto de potenciasdonde uno de los factores es un límite

del tipox

x

1lím 1 e

x

Separar y simplificar una de lasfracciones que quedará igual a 1

Transformar el exponente en unasuma o resta donde uno de lostérminos es el del denominador


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Consideraremos todos los casos de límites de funciones que se indeterminen en x = c y que se puedan

ajustar a la forma

x

x 0

c 1

lím lnc ,cx


Límites logarítmicos

Actividad Nº10


3x 3x 3x 3x

x 0 x 0 x 0 x 0

4 1 1 4 1 1 4 1 3 3 4 1lim lim lim lim

5x 5 x 5 x 3 5 3x

ln4

3ln4

5

x x

x 0 x 0

3 1 1 3 11) lim lim

2x x

ln

1ln

2x 2x 2x 2x

x 0 x 0 x 0 x 0

1 5 1 5 1 1 5 1 5 12) lim lim lim lim

4x x x x

ln

ln


0

0


x 0

c 1lím

x

Se multiplica por 3/3 para que eldenominador sea igual al exponentedel número 4


x

1lím 1 e

x


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Actividad Nº11

Instrucción: Calcula los siguientes límites.

a) 1 cos x

lím3xx 0

=

b)x 0

1 cos(3x)lím

x

=

c) 2tg(2x)

lím3xx 0

=

d) 2x

lím3tg(3x)x 0

=

e) 3sen(2x)

lím4tg(3x)x 0

=

f) 4sen(1 x)

lím3x 3x 1

=

g)4x

x

1lím 1

x

=

h) 2/x

x 0lím 1 x

=

i)x/2

x

1lím 1

x

=


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Proyecto de Innovación Pedagógica INACAP Renca18

j)2x

x

3lím 1

x

=

k)2x

x

1lím 1

x

=

l)x

x

x 2lím

x 1

=

m)6x

x

3lím 1

4x

=

n)

x3 1

lím2xx 0

=

ñ)3x

x 0

1 2lím

x

=

o)3x1 4

lím5xx 0

=

límites trascendentes

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