límites de funciones consideremos una función f, un punto x 0 y un entorno reducido de dicho...
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Límites de Funciones
Consideremos una función f, un punto x0 y un entorno
reducido de dicho punto.
Vamos a analizar qué ocurre con los valores de dicha función
a medida que x se acerca a x0, pero sin importar el valor
que toma en el punto x0.
Ejemplo 1:
Sea f(x) = x+2 y sea x0=2
Cuando x se acerca a x0=2, ya sea por valores menores o
mayores que 2, la función se acerca a un mismo valor, L = 4.
Además, el valor de la función en x0=2 es también 4, es decir,
F (x0) = f (2)= 4.
Dominio de f (x): Reales
Límites de Funciones
x 1 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 3f (x) 3 3.5 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1 4.5 5
x tiende a 2 por la izquierda x tiende a 2 por la derecha
F (x) tiende a 4 F (x) tiende a 4
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3
x
y
Límites de Funciones
Ejemplo 2:
Pero en este caso el valor de la función en x0=2 es 6, es decir,
f(x0) = f (2) = 6
26
224
)(
2
xsi
xsixx
xf
Dominio de f (x): Reales
Cuando x se acerca a x0=2, ya sea por valores menores o
mayores que 2, la función se acerca a un mismo valor, L = 4.
x 1 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 3f (x) 3 3.5 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1 4.5 5
x tiende a 2 por la izquierda x tiende a 2 por la derecha
F (x) tiende a 4 F (x) tiende a 4
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3
x
y
Límites de FuncionesEjemplo 3:
032
01)(
2
xsix
xsixxf
Cuando x se acerca a x0=0, por valores menores que 0, la función se acerca a L1= -1,
y cuando x se acerca a x0=0, por valores mayores que 0, la función se acerca a L2=
3.
Además, el valor de la función en x0=0 es -1, es decir, f(x0)=f(0)= -1.
Dominio de f (x): Reales
x tiende a 0 por la izquierda x tiende a 0 por la derecha
F (x) tiende a -1 F (x) tiende a 3
x -1 -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.5 1f (x) 0 -0.75 -0.99 -0.9999 -0.99999999 3.002 3.02 3.2 4 5
y
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
0
lim
xxLxf )(
Límites de Funciones
Conclusión:
En los dos primeros casos, la función se acerca a un único valor L cuando x se aproxima a x0.
A este valor L lo llamaremos el LIMITE DE LA FUNCION cuando x tiende a x0.
En el tercer caso, la función se aproxima a dos valores distintos, L1 y L2.
Aquí diremos que LA FUNCION NO TIENE LIMITE cuando x tiende a x0.