Límite de una función 1

Límite de una funciónEl límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a lasfunciones.Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tancercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

HistoriaAunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de unafunción se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, sutrabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haberexpresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnicahecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el métodoestándar para trabajar con límites.La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course ofPure Mathematics en 1908.

Definición formal

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función tiene límite en podemos decir demanera informal que la función tiende hacia ellímite cerca de si se puede hacer que estétan cerca como queramos de haciendo que estésuficientemente cerca de siendo distinto de .Los conceptos cerca y suficientemente cerca sonmatemáticamente poco precisos. Por esta razón, se dauna definición formal de límite que precisa estosconceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a ces L si y sólo si para todo existe un

tal que para todo número real x en eldominio de la función

.Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la quequeda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límiteexiste, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entoncesla elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definida como:

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donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es

necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Límites laterales

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0

-. Por lo tanto,el límite cuando x → x0 no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores másgrandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límitespueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otromodo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Funciones en espacios métricosExiste otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se diceque "el límite de f en c es L" y se escribe:

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

si , entonces De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindadhorizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no estédefinida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

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Unicidad del límiteTeorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.

Supóngase que y también que siendo L y L' distintos; se debe decomprobar que no puede ser que verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de Ly un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite para todo x en algún entornoagujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Propiedades de los límites

Propiedades generalesSi f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal .

IndeterminacionesHay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y

al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potencia

Ejemplo.0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobreotro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

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Regla de l'HôpitalEsta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son«igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general,establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla del'Hôpital.

•

Por ejemplo:

Límites trigonométricos

1.

2.

3.

4.

5.

Demostraciones

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) <x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x),obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límiteanterior. Es decir:

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Referencias[1] MacTutor History of Bolzano (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Bolzano. html)[2] Jeff Miller's history of math website. (http:/ / web. archive. org/ 19981205110714/ members. aol. com/ jeff570/ calculus. html)[3] MacTutor History of Weierstrass. (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Weierstrass. html)

Enlaces externos• Límites y continuidad de funciones (http:/ / sauce. pntic. mec. es/ ~jpeo0002/ Archivos/ PDF/ T09. pdf).• Weisstein, Eric W. « Limit (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Limit. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram

Research.

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