cálculo diferencial e integral de una variable 1 límite de una función en un punto. clase 1.1
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Límite de una
función en un punto.
Clase 1.1
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
• Compara numéricamente los comportamientos de una función en la vecindad de un punto.
• Interpreta el significado de la notación
• Determina si una función tiene o no límite en un punto a partir de la gráfica.
• Determina límites laterales y grafica sus comportamientos.
• Calcula límites infinitos e interpreta geométricamente sus resultados.
• Calcula límites de formas indeterminadas.• Evalúa límites de operaciones combinadas
dados los lugares geométricos.
limx a
f x L
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Recta Tangente (Circunferencia)
Lt
x
yPunto tangencial
Problema 1: Encontrar la recta tangente a la circunferencia , que pasa por el punto ( -3 ; 4 ).
2 2 25x y
44
Cálculo diferencial e integral de una variable
¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ; que pasa por el punto P(-1;-1)?
3f x x
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Cálculo diferencial e integral de una variable
El número e.
ktBtF )71828.2()(
ktBtF )71828.2()(
))71828.2(1()( ktBtF
ktQ
KtF
)71828.2(1
)(
khPhP )71828.2()( 0
Algunos de los valores obtenidos en el desarrollo de este límite son:
66
Cálculo diferencial e integral de una variable
x
y y
x
x
yy
x
LL
L
xo xo
xoxo
y = f(x)
f(xo)
f+(xo)
f-(xo)
y = f(x)
y = f(x)y = f(x)
77
Cálculo diferencial e integral de una variable
Límite de una función en un punto
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Límite de una función en un punto
Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto alrededor de a (posiblemente excepto en a). Si los valores de f(x) se acercan de manera arbitraria a L para todo valor x suficientemente cerca de a, se dice que la función f se aproxima al valor límite L conforme x se aproxima a a.
limx a
f x L
Pag. 91
99
Cálculo diferencial e integral de una variable
Nota:
La definición no es rigurosa por los términos imprecisos que se emplean.
La función puede o no estar definida en el punto.
La aproximación al número a es por ambos lados.
x f (x) x f (x)
1010
Cálculo diferencial e integral de una variable
TEOREMA
Si L existe es ÚNICO.
TEOREMA DE UNICIDAD DE LIMITETEOREMA DE UNICIDAD DE LIMITE
Si el límite de f(x) cuando x tiende a “a” existe, entonces es único.
2
x 1
x 1lim 2
x 1
1111
Cálculo diferencial e integral de una variable
Función de heaviside
01
00
, t
, tH(t)
a
L
x
ySea f definida en (a,c) y sea L un número real. La afirmación
Lf(x)ax
lim
)(xfy
1212
Cálculo diferencial e integral de una variable
Límite y límites laterales
Una función f(x) tiene un límite cuando x tiende a a si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
lim f (x ) = Lx alim f (x) = +x
a
lim f (x ) = L
-x a
si y sólo si
Pag 96
1313
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
2lim1
xgx
1;21
1;1
12
xx
xx
xxg
1414
Cálculo diferencial e integral de una variable
A continuación se muestra la gráfica de una función g. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:
)x(glim2x
)x(glim2x
)x(glim2x
)x(glim3x
)x(glim3x
)x(glim3x
1515
Cálculo diferencial e integral de una variable
Límites infinitos
• DefiniciónDefinición: Sea una función f definida a ambos lados de a excepto tal vez en el mismo a. Entonces:
significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grande (tan grande como se quiera) tomando x lo suficientemente cercano de a, pero distinto de a.
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1616
Cálculo diferencial e integral de una variable
Asíntotas verticales
DefiniciónDefinición: La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva representada por si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfaxaxax
)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfaxaxax
Pag. 98
1717
Cálculo diferencial e integral de una variable
Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites
Suponga que c es una constante y que los límites
Existen. Entonces
xgxfaxax
limylimPag. 102 - 104
positivo enteroun es donde limlim11.
positivo enteroun es donde lim.10
lim 9. lim 8. lim 7.
positivo enteroun es donde limlim 6.
0lim si lim
limlim.5
limlim.4
limlimlim.3
limlimlim.2
limlimlim.1
nxfxf
nax
axaxcc
nxfxf
xgxg
xf
xg
xf
xfcxcf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
nax
n
ax
nn
ax
nn
axaxax
n
ax
n
ax
axax
ax
ax
axax
axaxax
axaxax
axaxax
Revisar ejemplos 1- 7
1818
Cálculo diferencial e integral de una variable
x alim f(x) = f(a)
TEOREMA
Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f, entonces:
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1919
Cálculo diferencial e integral de una variable
Formas Indeterminadas 0/0
1
12
x
xf(x)
0
0
1
12
x
x
1. Sea la función :
Si x = 1 :
0
0
2
4
x
x
2. Sea la función :
Si evaluamos en x = 4 :2
4
x
xf(x)
Pag. 105
2020
Cálculo diferencial e integral de una variable
Simplificación
g = h/
lim h(x)x a
lim g(x) =x a
a
g
x
y
L
a
hL
x
y
2121
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
h 0
2 2lim
hh
2
2x 1
2lim
x xx x
3. Evaluar
4. Evaluar
5. Evaluar2-x
22
5xx
lim
23
2x
2222
Cálculo diferencial e integral de una variable
x 2
2 4lim
2
x
x
6. Evaluar
x 4lim f x
7. Si 4, 4
8 2 ; 4
x xf x
x x
Determinar si existe