Limit Suatu Fungsi

Pertanyaan Awal

Bagaimana perilaku fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 untuk

nilai-nilai 𝑥𝑥 yang dekat dengan 3?

Tabel Nilai Fungsi

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙2 3 4 112,5 4,25 3,5 8,252,8 5,24 3,2 6,842,9 5,61 3,1 6,412,95 5,8025 3,05 6,20252,99 5,9601 3,01 6,04012,995 5,98003 3,005 6,020032,999 5,996 3,001 6,004

Grafik Fungsi

Tampak bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 6 dengan memilih nilai x yang dekat dengan 3.

lim𝑥𝑥→3

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 6

3

0

6

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3

𝑥𝑥

𝑦𝑦

f(x) mendekati

6.

x mendekati 3.

Definisi Intuitif Limit

Misalkan f(x) terdefinisi ketika x dekat dengan a. Maka kita menuliskan

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

dan mengatakan “limit f(x), untuk x mendekati a, sama dengan L”jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih nilai x yang dekat ke a (pada kedua sisinya) tetapi tidak sama dengan a.

Ilustrasi Limit Fungsi

… tetapi 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎

a0

L

x

y

a0

L

x

y

a0

L

x

y

Contoh 1

Tebaklah nilai limit

lim𝑥𝑥→2

𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

Pembahasan Tabel di samping memberikan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥untuk 𝑥𝑥 mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan 2).

𝒙𝒙 < 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙1,5 0,2857141,9 0,256411,99 0,2506721,999 0,2500631,9999 0,250006

𝒙𝒙 > 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙2,5 0,2222222,1 0,2439022,01 0,2493772,001 0,2499382,0001 0,249994

Contoh 1

Berdasarkan tabel sebelumnya dan grafik di samping diperoleh

lim𝑥𝑥→2

𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

= 0,25

2

0,25

x

y

𝑦𝑦 =𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

Masalah…

Bagaimana jika,

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

, 𝑥𝑥 ≠ 2

1, 𝑥𝑥 = 2Berapakah nilai

lim𝑥𝑥→2

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = —?—

2

0,25

x

y

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

Latihan Soal

Perkirakan nilai limit berikut.

lim𝑡𝑡→0

𝑡𝑡2 + 25 − 5𝑡𝑡2

Kesalahan Kalkulator

Pada latihan soal sebelumnya bagaimana jika kita memilih nilai-nilai x yang sangat dekat dengan 0?

𝒕𝒕 𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐

±0,000001 0.099476±0,0000001 0.0888178±0,00000001 0,0000000

−5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5

−10−6 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 10−6

Latihan Soal

Selidikilah nilai limit berikut.

lim𝑥𝑥→0

sin𝜋𝜋2𝑥𝑥

Nilai Limit Tidak Ada

2–2 x

y

1

–1

𝑦𝑦 = sin𝜋𝜋2𝑥𝑥

Terlalu banyak fluktuasi

Nilai Limit Tidak Ada

–1–2–3 1 2 3 x

1

–1

yf(x) = 1

f(x) = –1

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =− 𝑥𝑥𝑥𝑥

Perilaku kanan & kiri tidak sama

Limit Sepihak

DEFINISI LIMIT KIRI Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

dan mengatakan limit kiri f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x kurang dari a.

Limit Sepihak

DEFINISI LIMIT KANAN Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

dan mengatakan limit kanan f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x lebih dari a.

Ilustrasi Limit Sepihak

x a x

y

0

f(x) L

x

y

0 a x

f(x)L

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

Limit dan Limit Sepihak

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

jika dan hanya jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿.

Latihan Soal

Gunakan grafik di samping untuk menentukan nilai-nilai limit (jika ada) berikut.(a) lim

𝑥𝑥→2−𝑔𝑔 𝑥𝑥 (b) lim

𝑥𝑥→2+𝑔𝑔 𝑥𝑥

(c) lim𝑥𝑥→5−

𝑔𝑔 𝑥𝑥 (d) lim𝑥𝑥→5+

𝑔𝑔 𝑥𝑥

(e) lim𝑥𝑥→2

𝑔𝑔 𝑥𝑥 (f) lim𝑥𝑥→5

𝑔𝑔 𝑥𝑥

1 2 3 4 5

1

2

3

4

y

x

y = g(x)

#HaveANiceDay