liibro analisis

8/17/2019 liibro analisis

1/104

TEORIA DE INVERSIONES PA-440

1

CAPITULO 1

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES:

El objetivo de este capitulo es suministrar la terminología básica de la ingeniería

económica y los conceptos fundamentales que forman la base del análisis económico.

1.1 Interés ( I )

Es la manifestación del valor en el tiempo, el cual es una medida del aumento entre lasuma original solicitada en préstamo o invertida y la cantidad final acumulada o que seadeuda. Si se ha invertido en el pasado se tiene que:

Original Inversion

Original Inversion AcumuladaTotal Cantidad I

1.2 Tasa de Interés ( i )

Es el interés de una unidad monetaria en la unidad del tiempo considerada y cuyarepresentación es porcentual.

%100 xOriginal Inversion

TiempodeUnidad por Acumulado Interesi

Ejemplo: Si se invierte S/. 100,000 al inicio de un año y se obtieneS/. 190,000 al final de ese año. Calcular el Interés y la tasa del Interés.

Solución :a) Calculo del Interés ( I ):

000,90./000,100000,190 S I

b) Calculo de la tasa de Interés ( i ):

%90)%100

000,100

000,90( i

1.3 Tasa Mínima Atractiva de Retorno (TMAR)

Es la tasa de interés que esperan obtener los inversionistas por una inversión. Para queuna inversión propuesta parezca "rentable" a los ojos de los inversionista, estos debenesperar recibir mas dinero que el invertido. En otras palabras, los inversionistas esperanrecibir una tasa justa por la inversión. Cuando el período de interés es igual o menor queun año, la tasa de retorno en porcentaje para el período de interés es :

)%100(Re

Original Inversion

Original Inversioncibido DinerodeTotal Cantidad TMAR


2/104


2

)%100(Original Inversion

Utilidad TMAR

1.4 Equivalencia

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizados simultáneamente, generan elconcepto de equivalencia, lo que significa que sumas diferentes de dinero a términosdiferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico.Por ejemplo: Si la tasa de interés es de 6% anual, $100 de hoy (es decir actualmente)equivaldrán a $106 en un año. Por que como sabemos :

Cantidad Acumulada = 100 + 100(1 + 0.06) = 100(1.06) = $106.

1.5 Costo de Capital

Representa el costo del dinero obtenido de diversas fuentes tales como venta de

acciones, bonos préstamo directo, etc.

1.6 Interés Simple

Es la ganancia del capital principal o stock de efectivo ignorando cualquier interés que sehalla acumulado en los períodos anteriores:

ni P I .. Interés Simple

Donde: I = Interés, ganancia, crédito o devengado.P = Principal, capital o stock inicial de efectivo.

i = Tasa de interés por períodos considerado.n = Numero de períodos.

El tamaño del período puede ser: un día, una semana, un mes. Si el interés ( I ) seagrega al principal ( P ) el resultado se denomina monto ( F ) o stock final.

I P F Monto o Stock Final Del Efectivo

Ejemplo: Determinar el interés sobre S/. 1,000 al 12% de interés simple anual durante:a.- 2 añosb.- 8 mesesc.- 150 días.

Determinar además el stock final para (c).Solución :

a.- Para 2 años : I = P i nP = S/. 1,000 I = (1,000 )(0.12 )( 2)i = 12% anual I = S/. 240n = 2

b.- Para 8 meses: I = (1,000 )( 0.01 )( 8)


3/104


3

P = S/. 1,000 I = S/. 80im = (12%)/12 = 1% (tasa proporcional mensual) n = 8

c.- Para 150 días: I = 1,000 x 12/360 x 150P = S/. 1,000 I = S/ 50id = 12%/360 (tasa proporcional diaria) F = P + In = 150 F = 1,000 + 50

F = S/. 1,050

1.7 Interés Compuesto

Es la suma de la ganancia del capital y de los intereses acumulados en períodosanteriores. En el interés compuesto, el interés del períodos se incrementa al capital(capitalización de intereses).

Ejemplo: Calcular el monto total adeudado al cabo de 3 años si se solicita un préstamo deS/. 1,000 al 70% de interés compuesto anual.

Solución :

Para el año 1:Interés año 1 = (1,000 )( 0.70 ) = S/. 700Monto total adeudado al final del año 1 = 1,000 + 700 = S/. 1,700.

Para el año 2:Interés año 2 = (1,700 )( 0.70 )= S/. 1,190Monto total adeudado al final del año 2 = 1,700 + 1,190 = S/. 2,890

Para el año 3:Interés año 3 = (2,890)( 0.70) = S/. 2,023

Monto total adeudado al cabo del año 3 = 2,890 + 2,023 = S/. 4,913


4/104


4

CAPITULO 2

2. FACTORES Y SU EMPLEO:

2.1 Símbolos y Definiciones

a. Símbolos y su Significado

P = valor o suma de dinero en un tiempo señalado como el presente.F = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro.

A = Un pago simple en una serie de "n" pagos iguales hechos al final de este período.N = Numero de períodos de pagos de interés.i = Tasa de Interés.

b. Flujo de Caja

Al resultado de ingresos y desembolsos se le denomina flujo de caja.

s Desembolso EntradasCajade Flujo

Ejemplo: Si se compró un televisor en 1,992 por S/. 900 y los costos de mantenimientoanuales fueron de S/. 40 durante 3 años, y luego se vendió por S/. 500. ¿ Cuál es el flujode caja ?

Solución:

Año Entrada Desembolso Flujo de Caja1992 0 900 -9001993 0 40 -401994 0 40 -40

1995 500 40 460

Es importante tener presente que todas las entradas y desembolsos, y por lo tanto losvalores de flujo de caja, se consideran cantidades de fin de período.

c. Diagrama de flujo de caja

Es la representación gráfica del flujo de caja en una escala de tiempo, en donde el tiempocero representa el presente así por ejemplo, el tiempo tres representa el final del períodode tiempo tres.En la escala de tiempo, de la siguiente figura, las flechas hacia arriba indican un flujo decaja positivo, y hacia abajo un flujo de caja negativo.

10 30 100

0 1 2 3 4 5 6

5

Otra manera de representar lo anterior es como sigue:


5/104


5

10 30 - 5 100

0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo: Supongamos que usted desea depositar en su cuenta de ahorro, a partir delsiguiente año, una cantidad anual de S/. 20,000 durante los primeros 3 años y luego, unacantidad anual de S/. 50,000 durante los dos años siguientes. ¿ Como resultará su flujo decaja?.

Solución:

Colocando las cifras en miles de soles se tiene:

20 20 20 50 50

0 1 2 3 4 5

P = ? i = 70%

o también :

20 20 20 50 50

0 1 2 3 4 5

2.2 Deducción de Fórmulas y Factores:

a. Factor de capitalización de un solo pago o imposiciónCálculo de un valor futuro (F) dado un valor presente (P) a una tasa de interés "i" en "n"

períodos.

Gráfico:P F =

0 1 2 3 n-1 n

Deducción:

Al final del primer período se tiene:F1 = P + P.iF1 = P ( 1 + i )

Al final del segundo período se tiene:F2 = F1 + F1.iF2 = F1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) ( 1 + i )F2 = P ( 1 + i ) 2

Al final del tercer período se tiene:F3 = F2 + F2 iF3 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) 2 ( 1 + i )F3 = P ( 1 + i ) 3


6/104


6

Al final de n períodos por inducción matemática se tiene:

ni F 1

A la expresión

ni1

se le denomina factor de capitalización de un sola imposición opago y se le designa como (F/P i, n) entonces, el valor futuro de una imposición se expresacomo:

F = P ( F / P, i, n )

En las tablas de interés se dan los valores de los factores para cada período.

Ejemplo: Si se invierte S/. 1,000 ahora al 6% de interés anual capitalizable anualmente .¿ Cuál es el monto al final del cuarto año?

F = 1,000 ( 1 + 0.06 ) 4

F = S/. 1,262

b. Factor del valor actual de una imposición

Calculo de P dado F, i y nDespejando P en la relación que calcula el monto de una imposición o pago único.

n

i F P

1

1

El factor : n

i1

1

es el llamado: Factor del Valor de una Imposición y se le designa así :(P/F, i, n) entonces:

P = F ( P / F, i, n )

Ejemplo: Si dentro de cuatro años se va a recibir S/. 1,262 entonces su valor actual al 6%anual capitalizable anualmente es:

000,1./4

06.01

1.262,1 S P

O bien, utilizando la notación del factor y las tablas de intereses:

P = 1,262 ( P / F, 6%, 4 ) = 1,262 x 0.7921 = S/. 1,000

c. Factor de capitalización de una serie de imposiciones iguales:

Cálculo de un valor futuro o stock final (F) dada una serie de imposiciones iguales (A)depositados al final de cada uno de los "n" períodos a una tasa de interés "i".


7/104


7

Gráfico:

A A A A F=?

0 1 2 n-1 n

Aplicando la formula F = P ( 1 + i ) n , determinada en (a), para cada pago (A) se tiene:

F = A ( 1 + i ) n-1 + A ( 1 + i ) n-2 + ......+ A ( 1 + i ) + A

Multiplicando esta igualdad por (1+i) se tiene:

F ( 1 + i ) = A ( 1 + i ) n + A ( 1 + i ) n-1 + ...... + A ( 1 + i ) 2 + A ( 1 + i )

restando la primera igualdad a esta última, resulta:

i

n

i A F 11

El factor ,

i

ni 11

se denomina “ Factor de Amortización de una serie de pagos oimposiciones iguales”, y se le denota como ( F/A, i, n ),entonces:

F = A ( F / A, i, n )

Ejemplo: Calcular el monto de una serie de 5 pagos de S/. 100 hechos al finalde cada año al 6% de interés compuesto anual:

F =? 100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 i = 6% anual.

El punto marcado con 0 (cero) es el presente o inicio del año 1 y el marcado con 1 es elfinal del año 1 y comienzo del año 2.El valor futuro se puede calcular por partes aplicando la fórmula F= P(F/P, i, n) para cadavalor A, pero es mas fácil aplicando la fórmula encontrada en (c) así se tiene:

7.563./

06.0

15

06.01.100 S F

Aún más sencillo resulta con la notación del factor.

F = 100 ( F / A, 6%, 5 ) = 100 ( 5.637 ) = S/. 563.7

d. Factor de amortización constante o factor de capitalización en serie de pagosiguales:


8/104


8

Despejando A en la fórmula hallada en (c) se tiene:

11 ni

i F A

el factor que resulta, 11 ni

i

se denomina “ factor de amortización constante o factorde amortización en serie de pagos iguales", entonces:

A = F ( A / F, i, n )

Ejemplo: Si se desea acumular S/. 563.7 mediante cinco entregas anuales al 6% de interéscompuestos capitalizable anualmente el valor de cada pago ha de ser:

100./

15

06.01

06.0.7.563 S A

e. Factor de recuperación de capital:

Cálculo de A dado un valor presente P, i y n. De las relaciones anteriormente encontradastenemos :

11 ni

i F A

ni F 1

Reemplazando el valor de F se obtiene

11

1.n

i

nii P A

El factor

11

1.

n

i

nii

se denomina : Factor de recuperación de capital:. Se le designa:(A/P, i, n) entonces:

A = P ( A / P, i, n )

Ejemplo: S/. 100,000 invertidos al 50% de interés compuesto capitalizable anualmente,suministrarán 8 pagos de fin de año de:

Solución :

Gráfico: - 100000 A. A A A

-------------------------- ------ -0 1 2 7 8


9/104


9

032,52./

18

5.01

85.01.5.0

.000,100 S A

Usando la notación del factor y las tablas:

A = 100,000 ( A / P, 50%, 8 ) = 100,000 x 0.52030 = S/. 52,030

f. Factor del valor actual de una serie de pagos iguales

En la fórmula anterior se puede despejar P :

n

ii

ni

A P

1.

11

El factor que resulta,

nii

ni

1.

11

se denomina: factor del valor actual de una serie depagos iguales:, se le simboliza con (P/A, i, n), entonces:

P = A ( P / A, i, n )

Ejemplo: El valor actual de una serie de 8 pagos anuales iguales de S/. 52.03 al 50% deinterés compuesto anual será:

032,52./8

5.01.5.0

18

5.01.37.52 S P

Usando la fórmula encontrada :

( P / A, 50%, 8 ) = 52,030 x 1,9220 = S/.100,002

Se observa error no significativo de 2 unidades, motivado por el uso de las tablas.

g. Gradiente uniforme:

Cuando un flujo de caja varia en la misma cantidad cada período la cantidad del aumento o

disminución se denomina gradiente (G).La deducción de las fórmulas se hallan en el Anexo A.


10/104


10

CUADRO DE RESUMEN

N° EXPRESIONMATEMATICA

NOTACION USANDO ELFACTOR

SIGLAS ENINGLES

1 F = P (F/P, i, n) FCCPU

2 P = F (P/F, i, n) FVPPU

3 F = A (F/A, i, n) FCCSU

4 A = F (A/F, i, n) FFA

5 P = A (P/A, i, n) FVPSU

6 A = P (A/P, i, n) FRC


11/104


11

PROBLEMAS:

1.- Si una persona deposita S/. 600 hoy, S/. 300 dos años mas tarde y S/. 400 de aquí acinco años. ¿Cuánto tendrá en su cuenta dentro de diez años si la tasa de interés es del5% ?.

Solución: El valor futuro es igual a la suma de los pagos únicos individuales en el año 10de esta manera:

F= 600 ( F / P, 5%, 10 )+ 300 ( F / P, 5%, 8 )+ 400 ( F / P, 5%, 5 ) = 600 (1.6289) + 300 (1.4774) + 400 (1.2763). = S/. 1,931.1

2.- ¿Cuánto dinero estará dispuesto a pagar ahora por un pagaré que producirá S/.600anuales durante nueve años a partir del año entrante, si la tasa de interés es del 7%?.

Solución:

P = 600 ( P / A, 7%, 9 ) = 600 (6.5152)

= S/. 3,909.1

3.- Determinar el valor presente a la tasa del 10% anual, de las siguientes cantidades S/.300 a comienzo del año 3, S/. 400 al final del año 5, y S/. 200 al final del año 6.

Solución:

P=? 300 400 200

0 1 2 3 4 5 6

P = 300 ( P / F, 10%, 2 ) + 400 ( P / F, 10%, 5 ) + 200 ( P / F, 10%, 6 )= 300 x 0.8264 + 400 x 0.6209 + 200 x 0.5645

= S/. 609.2

4.- ¿ Cuál es el flujo uniforme equivalente del problema anterior ?.

Solución :

A A A A A A

0 1 2 3 4 5 6 P

A = 609.2 ( A / P, 10%, 6 )

= S/. 139.87

5.- Calcule el valor presente al 10% de las cantidades colocadas en la siguiente escala detiempo: (P)

100 100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 6 años


12/104


12

Solución:

A continuación se presenta dos métodos de solución:

Primer Método:

a) Se calcula el valor presente de las cantidades consideradas hasta el año 2.b) Se calcula el valor futuro de las tres ultimas cantidades y se traslada al año cero.c) Se suman los resultados.

a). P1 = 100 ( P / A, 10%, 2 ) + 100 = 273.6b). P2 = 100 ( F / A, 10%, 3) ( P / F, 10%, 6 ) = 186.8c). P = P1 + P2 = S/. 460.4

Segundo Método:

a) Se adiciona S/. 100 en el año 3 para completar la serie, se traslada al presente y se

disminuye la cantidad equivalente sumada anteriormente.

Gráficamente se tiene:

100 100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 6

100

P = 100 (P/A, 10%, 6) + 100 - 100(P/F, 10%, 3) = S/. 460.4

6.- Si una persona puede hacer hoy una inversión que requiere un gasto de S/. 3,000 pararecibir S/. 5,000 dentro de 5 años.¿Cuál será la tasa de retorno sobre la inversión ?.

Solución :5,000

0 1 2 3 4 5

3,000

P = F (P/F, i, n)3,000 = 5,000 1 (1+i)5

(1+i)5 = 5/3 i = 10.76%


13/104


13

7.- Una reparación efectuada en la actualidad evitará otras reparaciones, si la reparaciónactual cuesta 5,000 dólares y el valor cronológico del dinero es 20%. ¿ A cuánto deberíaelevarse el costo de las reparaciones al año siguiente, para justificar que se efectúe dichareparación en el momento actual?. Tómese en cuenta también una pérdida por producciónde 400 dólares hasta el final del año siguiente:

Solución : F=?-5000 -400

0 1 Año

5000 = (F - 400)(P/F, 20%, 1)F = $ 6 400.

Reparación de fin de año deberá ser mayor que 6,400 dólares para que se justifique elcosto de reparación actual.


14/104


14

CAPITULO 3

3. TIPOS DE TASAS DE INTERES:

3.1 Tasa de Interés Nominal ( in)

La tasa de interés nominal viene a ser una tasa anual de interés donde también seespecifica la frecuencia de conversión (o número de periodo de conversión ) y a partir deesta información se determina la tasa de interés del periodo.

3.2 Tasa de Interés Proporcional o del Periodo ( ip)

Es el interés que gana la unidad monetaria en un periodo por lo general menor de un año.

La tasa de interés proporcional se calcula dividiendo la tasa nominal entre el número deperíodos (m) considerados.

Ejemplo:

La tasa de interés nominal (in) es 60% capitalizable trimestralmente. Se pide calcular latasa de interés proporcional del periodo (ip).

meses

mesesm

3

12

m

ii n p

ip = 15%

Ejemplos de tasa de interés nominal con sus respectivos periodo de conversión así comosu correspondiente tasa de interés del periodo:

Tasa nominalde interés

Periodo deconversión

Por año ( m)

Tasa de interés delperiodo (ip)

12% convertible anual 1 12%12% convertible semestral 2 6%12% convertible trimestral 4 3%12% convertible mensual 12 1%

3.3 Tasa de Interés Efectiva ( ie)

Es el interés que gana la unidad monetaria en un año, dependiendo de una tasa de interésnominal y el número de periodos de capitalización.

Deducción de la fórmula:


15/104


15

P = Una cantidad presenteF = Una cantidad futura ( al cabo de un año)in = Tasa de interés nominalm = Número de períodos en el año.ie = Tasa de interés efectivaip = Tasa de interés del período.

En un año se tiene que F = P(1+ie) , reemplazando el valor F en la expresión anterior seobtiene :

P (1 i ) P(1 i )e m p

i (1 im

) m 1e n

i (1 i ) 1e p m

Ejemplo:

Si un banco pagó 12% de interés anual capitalizando trimestralmente ¿Cuál es el valorfuturo en un año de S/. 100.

Solución:

P = 100in = 12%

43

12m

100 F = ?

0 (un año o 4 trimestres) 4

F = P( 1 + ip )m

F = 100(1+0.03)4 = 100 (F/P, 3%, 4) F = 112.55

De la expresión F = P(1+in)n , donde (in) es el interés nominal anual y n el número de añosque se deduce, en el Anexo B, las fórmulas de interés compuesto continuamente.

La tabla siguiente nos muestra el efecto de la frecuencia de capitalización:

1)1( m pe ii

m

pi P F )1(


16/104


16

Tasa de Interés Nominalcon capitalización

Tasa de Interés Efectiva

5% anual 5.0000 %5% semestral 5.0625 %5% trimestral 5.0940 %5% mensual 5.1160 %

3.4 Tasa de Interés Vencida ( i )

Es la tasa de interés que se aplica como factor al capital inicial (P), para obtener un interés( I ) en la unidad de tiempo.Si se desea conocer el interés ganado en la unidad de tiempo se hace uso de la fórmulasiguiente:

I = P i

La cantidad acumulada al final del período se obtiene de:

F = P + I

Las deducciones de las fórmulas efectuadas en (2.2) se hicieron aplicando el concepto detasa de interés vencida.

3.5 Tasa de Interés Adelantado o Tasa de Descuento (d)

Es la tasa de interés que se aplica como factor al valor final (F), para obtener un interés(D), denominado descuento o interés adelantado.Si se desea conocer el descuento en la unidad de tiempo se hace uso de la siguientefórmula:

D = d F

Como se observa la tasa de descuento es referida a una cantidad futura y la tasa deinterés a una cantidad presente.En consecuencia la cantidad presente se calcula mediante:

P = F - D

Relación entre la Tasa de Interés (i) y Descuento (d)

Se puede calcular el descuento (o interés) en una unidad de tiempo, usando la tasa dedescuento o la tasa de interés.

En el primer caso D = F d ...(a)En el segundo casa I = P i ...(b)

Para D = I, por tanto se iguale (a) con (b)

F d = P i

F

i Pd

... (c)


17/104


17

Para un período se tiene : F = P(1 + i) ... (d’)

reemplazando el valor F de (d’) en (c).

i

i

1i)P(1

Pid

En esta fórmula se observa que la tasa de descuento es menor que la tasa de interés.La fórmula también se puede presentar de la siguiente manera:

d -1

d i

3.6Tasa de Interés al Rebatir:

Es una tasa de interés que se cobra sobre los saldos de la deuda pendiente. Por ejemplo Si tenemos una deuda de S/. 100,000 al 60% pagadera en cuatro cuotas semestrales. En

el primer semestre el pago por concepto de interés asciende a S/. 30,000.

60% (S/.100.000) 2

En el segundo, la deuda pendiente es S/. 75,000 (se amortizó la cuarta parte de la deuda),los intereses son S/. 22,500.

60% (S/. 75,000) y así sucesivamente. 2

Problemas:

1.- ¿Cuál es el interés eficaz de un inversionista que paga por un bono la cantidad de S/. 8,000 el

cual tiene una antigüedad de 8 meses , siendo el valor nominal de S/.2,500 con un interésnominal de 20% capitalizable trimestralmente y con un tiempo de retención de 1 año . ?

Solución:

-3500 F

0 1 año

it5%4

20%ip

Hallando el F :

F = 3,500 ( F/P , 5% , 4 )

F = 4,275 8000 F = 4,275

0 1 8 12


18/104


18

F = 8,000 ( F/P , in , 4 ) 4,275 = 8,000 ( F/ P , in , 4 )

( 1 + ie) = ( 1 + in )12 0.53 = ( F/P , in , 4 ) ie = ( 1 + in )12 - 1=571.6%

2.- Una empresa constructora recibió en calidad de préstamo , la cantidad de S/. 130,000 apagarse en 3 meses . La tasa de interés trimestral es de 10% . Calcular el interés , el montototal y la tasa de descuento si en lugar de préstamo se realiza una operación de descuento .

Solución: Como I = D I = F - P

F = P ( 1+ i )

F = 130,000( 1 + 0.1 )I = 13,000

D = I = 13,000 = Fd

x100

143,000

13,000

F

Dd

3.- Se necesita S/. 800 para comprar unas computadoras en los próximos 3 años , se desea sabercuánto se debe deflactar mensualmente a un interés nominal anual de 12% capitalizablesemestralmente .

Solución: A A A

F = 8,000

0 1 2 36 meses

m = 26%is

m

in

( 1 + is ) = ( 1 + im )6 ( 1 + is )1/6 - 1 = im En los 3 años se tendrá :

A = F (A/F , im , 36 )

A = 8,000 (A/F,0.97%,36)

A = 186.53

4.- ¿Cuánto dinero habrá que retirar de una cuenta de ahorros si estos retiros se realizansemestralmente , debido a inversiones que se realizan en la compra de bonos. ?

Al cabo de 2 años se posee en la cuenta de ahorros S/. 150,000.Para no afectar dicho saldo se deposita mensualmente una pequeña suma de S/. 100 a la tasade interés de 12 % capitalizable trimestralmente .

Solución:


19/104


19

m = 4 P F

%34

%12

m

im it

0 it = 3 % 1 trimestres

0 1 2 3 meses( 1 + in )3 = ( 1 + it )

in = ( 1 + it )1/3 – 1

in = 0.99 %

Analizando los depósitos :

F = A ( F/A , in , 24 ) = A ( F/A , i , n )

F1 = 100 ( F/A , in , 24 )

Analizando los retiros :

F = A ( F/A , i n ,n)

F2 = - A ( F/A , is , 4 )

De F = 150,000

150,000 = 100 ( F/A , in , 24 ) - A (F/A , is , 4 )

Hallando is :( 1 + is ) = ( 1 + it )2

is = ( 1 + it )2 - 1

is = 6.09 %

Del Gráfico: - A - A

100 100 100 100 100

0 1 2 6 12 24 meses

)4,,/(

000,150)24,,/(100

is A F

in A F A

)4%,09.6,/(

000,150)24%,99.0,/(100

A F

A F A

A = -33,627.96

5.- Se tiene un bono con un valor nominal de S/. 1,000 , con una vida de 2 años y con un interésmensual del 2 % . Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono este inversionista si han


20/104


20

transcurrido 13 meses desde la vigencia . El interés eficaz es del 36 % .

Solución: 1,000 Pinv = ? 20 20 20

0 1 2 13 14 15 24

Interés Mensual ( I ) :I = Vn ip = (1,000)(0.02) = 20

ie= 0.36

1+ ie = ( 1 + in )12

Inversionista :

iinv = (1.36)1/12 - 1

Pinv = 20 ( P/A , iinv , 11 ) + 1,000 ( P/F , iinv , 11 )

Pinv =189.32 + 754.82 = 944.14

6.- Si una persona deposita S/.1,000 hoy, 3,000 dentro de cuatro años y 1,500 de 6 años, a unatasa de interés del 6% anual capitalizada semestralmente ¿Cuánto dinero tendrá en su cuentadentro de 10 años?.

Solución:

1000 3000 1500 F=?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P.anuales 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P.semestrales

Primer Método:

Consiste en calcular el interés efectivo anual y luego utilizarse para encontrar F en elaño 10.

ie = ( 1 + 0.06/2)2 -1 = 6.09%

Entonces:

F = 1,000(F/P,6.09%,10) + 3000(F/P,6.09%,6) + 500(F/P,6.09%,4)

F = S/. 7,983.7Segundo Método:

Como la capitalización es semestral a un interés del 3% por período se calculará elvalor futuro considerado los períodos semestrales.

F = 1,000 (F/P,3%,20) + 3000(F/P,3%,12) + 1500 (F/P,3%,8)

F = S/. 7,983.7


21/104


21

7.- Calcular el depósito mensual necesario para acumular S/.5,000 en 5 años a un 6% nominalanual capitalizado diariamente.

Solución:

5,000 A A A A A=?

0 1 2 59 60 meses

El interés efectivo mensual se calcula de la manera siguiente:

360

06.0. id Diario Interés

Se considera como 30 el número de días por mes, por consiguiente existen 30

períodos de capitalización en el mes. Interés efectivo del período:im = 0.501%

En los cinco años hará un total de 60% depósitos.

A = F(A/F,0.501%,60)

A = 5,000 (0.01434)

A = S/. 71.7 mensual.

Caso de Bonos.-El bono es un documento valorado emitido por una institución con el propósito de financiar

proyectos, en este documento consta el tiempo de vigencia y el interés que se ha de pagarperiódicamente al tenedor del bono, en otros tipos de bonos el interés se capitaliza y al vencimientode éste el tenedor del bono recibe el valor nominal más los intereses acumulados.

8.- Una persona tiene un bono de Reconstrucción con un valor nominal de S/. 100,000 al 56%capitalizable trimestralmente y con periodo de vigencia de 2 años .¿Cuanto estaría dispuesto apagar por el bono un inversionista que desea ganar el 90% capitalizable trimestralmente ?.

Solución:

100,000 F = ? 0 1 2 años0 1 2 3 4 5 6 7 8 trimestres

El poseedor del bono recibiría al cabo de dos años la siguiente cantidad.

F = 100,000(F/P,56/4%, 8)F = S/. 285,529

1)360

06,01( 30 mi


22/104


22

El inversionista de acuerdo a lo que el desea ganar, estaría dispuesto a pagar en elpresente:

P = 285,259 (P/F, 90/4%, 8)P = S/. 56254

9.- Una persona tiene bonos de S/.1,000 c/u al 60%. El interés se pagará trimestralmente siendo eltiempo de vigencia de 5 años. Si un inversionista desea ganar el 90% capitalizablemensualmente. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por cada bono ?.

Solución: 150 150 150 150 1,000

0 1 5 años 0 1 2 3 4 20 Trimestres

Datos del Bono:

Valor Nominal = S/. 1,000

Duración (n) = 5 años o 20 (trimestres)Tasa nominal Anual = 60%Tasa trimestral = i

Interés Trimestral = 15% x 1,000 = S/. 150

Datos del Inversionista:Tasa Nominal Anual = 90%Tasa Mensual im = 7.5%

El inversionista al adquirir el bono en el presente (t=0) recibirá en el transcurso de los 5años, las cantidades que se muestran en el gráfico pero como él desea obtener el 90%capitalizable mensualmente deberá hacer los siguientes cálculos para determinar la cantidad

equivalente a pagar por el bono.

Procedimiento:

a) Calcular la tasa efectiva trimestral ya que el inversionista desea una capitalizaciónmensual.

b) Calcular el valor presente de las cantidades del gráfico, con la tasa determinada en (a).a). (1+r) = (1+im)3

r = (1,075)3 - 1

r = 0.2423

b). Cantidad dispuesta a pagar por cada bono (VP = Valor presente)VP = 150 (P/A, 24.23%, 20) + 1000 (P/F, 24.23%, 20)

VP = S/. 624

10.- Diez compañeros de trabajo de una empresa deciden conformar una junta en las siguientescondiciones:


23/104


23

El Aporte acordado de cada participante que no ha obtenido la Junta deberá ser de S/.100,000 mensuales.

La cantidad total recaudada al final de cada mes se ha de sortear entre los participantes queaún no han obtenido el monto.

El favorecido en el sorteo del monto, adquiere el compromiso de devolver en los mesesrestantes, la cantidad adeudada en cuotas mensuales iguales considerando para dicho

cálculo una tasa del 5% de interés mensual a fin de compensar el efecto de la inflación.

Se pide construir unta tabla donde se señale los aportes mensuales de cada participante.

Solución:

Primer Mes:

La cantidad total recaudada en el primer mes en miles de soles, es:

P = 100 x 10 = S/.1000Si el primer participante obtiene la Junta, entonces su deuda es:

D = 1,000 - 100 = S/. 900

Por consiguiente el pago mensual (cuota) durante los 9 meses siguientes es:

A = 900 (A/P, 5%, 9) A = S/. 126.3

1000 (100) A A A

1 2 9 10

Segundo Mes:

Cantidad Recaudada: P = (100) x 9 + 126.3 = 1,026.3Si el segundo participante obtiene la Junta se deuda es:D = 1,026.3 - 100 (F/A, 5%, 2)D = S/. 821.3

La cuota mensual es:

A = 821.3 (A/P, 5%, 8) A = S/. 127.1

1,026.3 (100) (100) A A A

1 2 3 9 10

En general se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar la cuota mensual de cadaparticipante que ha obtenido la Junta.

A = P - 100 (F/A, 5%n) (A/P, 5% 10 - n)


24/104


24

n: 1,2......,10

Aplicando esta fórmula se obtiene la siguiente tabla:

Partic Mes

1 2 3 .............

6 7 8

1 100.0 100.0 100.0 .............

100.0 100.0 100.0

2 126.3 - - .............

- - -

3 - 127.3 - .............

- - -

4 - - 127.6 .............

- - -

5 - - - .............

- - -

6 - - - .............

- - -

7 - - - .............

129.1 - -

8 - - - .............

- 129.6 -

9 - - - .............

- - 130.1

10 - - - .............

- - -

11.- Calcular la tasa de interés vencida y efectiva de S/. 1000 a 90 días si el descuento es de S/.130

Solución :

D = d F

d = (130/1,000)/ 0.13

i = 14.94%

d

d i

1

ie = (1+i)n n = 360/90

ie = 174.55%

En consecuencia las tasas de interés vencida y efectiva son 14.94% y 174.55%respectivamente.

12.- Si la tasa efectiva anual (ie) es 40% ¿Cuál es el descuento (D) de un letra por S/.100 quevence dentro de 90 días.

Solución:

F = S/.100ie = 40%Período (p) = 90 díasNúmero de períodos en el año (n) = 360/90 = 4


25/104


25

Cálculo del interés del período (ip)

ie = (1+ip)n - 1 Cálculo de la tasa de descuento (d)

ipipd

1 ..........(2)

Cálculo del descuento D

D = d F

D = S/. 8.07

Adicionalmente con la información anterior, se calcula el interés del período.

P ip = F d = D

p

D

ip

D F

d ip

07.8100

07.8

ip

ip = 8.78% P = F - D

P F

0 90 días

13.- Con una tasa del 15% transfórmese la siguiente serie no uniforme en una serie uniforme: unasuma de S/. 20,000 se presenta al comienzo del primer año, en los diez años siguientes, sepresentan sumas de S/. 8,000 al final de cada año durante los primeros 4 años y 10,000 al finalde cada año durante los 6 años restantes. Se presentan sumas complementarias de S/. 6,000 alprincipio del tercero y el sexto año.

Solución:

(en miles de nuevos soles)El diagrama de flujo será el siguiente:

6 620 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cálculo de la serie anual:


26/104


26

A = 20 + 8(P/A, 15%, 4) + 10 (P/A, 15%, 6)(P/F, 15%, 4) + 6 (P/F, 15%, 2) + 6(P/F, 15%, 5) (A/P, 15%, 10)

A = S/. 143456

14.- Determinar el valor de una cantidad X de Soles, sabiendo que se efectúa los siguientesdepósitos:

X al inicio del año 1X + S/.100 al final del año 3

A un interés del 12% capitalizado mensualmente. Estos depósitos han de cubrir 6 pagostrimestrales de s/.300 a partir del quinto año.

Solución:

X X+100 A A A A A A A = 300

0 1 2 3 4 5 6

Valor Presente de los Depósitos:

P = X + (X+100) (P/F, 1%, 36) .................(1)

Valor Presente de los Pagos Trimestrales:

P = [300 + 300(P/A, ip, 5)] (P/F, 1%, 48)......(2)

%0301.313

3

03.01

ip

Igualando (1) y (2) se tiene:

4801.1

5.786.1

3601.1

100

x x

X = S/. 786.715.- Una persona tiene un bono de S/. 1,000 al 70%. El interés se pagará trimestralmente siendo el

tiempo de vigencia de 6 años. Si un inversionistas desea ganar el 100% capitalizable cada dosmeses ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono ?

Solución :

Bono:

I = S/. 1,000x0.175 P = 175(P/A,26%,24) + 1,000(P/F,26%,24)

)%4/70( pi


27/104


27

n = 24 períodos P = S/. 674.4

Inversionista

16.- Una persona tiene un bono de Reconstrucción con las siguientes características :

Valor nominal de S/. 100 Tasa de interés : 56% capitalizable trimestralmente Vigencia del bono : dos años Meses que faltan para su redención : 13

¿ Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea un rendimientoefectivo de 181% ?

Solución :

100 Pi = ? F

0 11 24 meses

%14%

4

56i

Valor del bono al cabo de dos años (F)

F = 100 (F/P,14%, 8)

F = S/. 285,259

Monto que puede pagar el inversionista (P1)

P1 = S/. 93.156

%261

5.1

6

11

iT

)(iltrimestrainterésdeTasas T

)%6/100( pi

%99.8 pi

sta.inversioniel para períododelinterésdeTasa i p

nni

F p

0899.1

259.285

1

,


28/104


28

17.- Una persona que depósito en una entidad financiera una suma A, hace tres años, deseadeterminar la cantidad de dinero que tiene en el presente, cuenta para ello con la siguienteinformación:

Año Tasa de Interés Capitalización

1 60 mensual 2 70 quincenal 3 90 diario

a) ¿Cuánto dinero posee al cabo de 3 años?b) ¿Cuál es la tasa efectiva y la tasa nominal equivalente de una capitalización trimestral?

Solución : A

0 1 2 3

Valor en el año 3 (A3)

)360

0.9 +(1)

24

0.7 +(1)

12

0.6 +A(1=A3

3602412

A3 = 8.797 A

Tasa efectiva equivalente (ie)

A(1 + ie)3 = 8.797 A

ie = 106.43%

Tasa nominal equivalente (in)

in = 79.46%

18.-Una importante compañía manufacturera compró una maquina semiautomática por un valor de

S/.13,000. Su mantenimiento anual y el costo de operación ascendieron a S/. 1,700. Cinco añosdespués de la adquisición inicial, la compañía decidió comprar una unidad adicional para que lamaquina fuera totalmente automática. La unidad adicional tuvo un costo original de S/.7,100. Elcosto de operación de la maquina en condiciones totalmente automáticas fue de S/.900anuales. Si la compañía uso la maquina durante 16 años y después vendió la unidadautomática adicional en S/.1,800¿Cual fue el costo anual uniforme equivalente de la maquina auna tasa de interés de 9% ?.

Solución :

1

4

41

iei

4)14 0643.2( xni


29/104


29

7,100 1,800 (venta)13,000 1,700 ... 1,700 900 ... 900

0 1 ... 5 6 ... 16

Valor presente de las adquisiciones y la venta .......................(P 1)P1 = 13,000 +7,100 (P/F, 9%, 5) - 1,800 (P/F, 9%, 16)Valor presente del costo de operación ..................................(P2)

P2 = 1,700 (P/A, 9%, 5) - 900 (P/A, 9%, 11)(P/F, 9%, 5)

Costo anual uniforme (A)

A = (P1 + P2)(A/P,9%,16) = S/. 3,339

19.- Al inicio del primer año, la persona A hace un depósito de S/.100 en una entidad financiera. Latasa de interés es del 80% capitalizable trimestralmente, al término del primer semestre delprimer año, otra persona B hace un depósito de S/. 100 en otra entidad financiera a una tasa del90% de capitalización continua. ¿ Cuanto tiempo ha de transcurrir para que la persona B tenga50% más que A ?.

Solución:

A : 100

0 1 2 ................................. años80% cap. trimestral

B: 100

. 0 1 2 .................................. años

90% cap. continuo

Cálculo del valor futuro de A(F A)

F A = P(F/P, 20%, n) = 100 [(1 + 0.20)4]n = 100 x (2.0736)n

Cálculo del valor presente B(PB)

)B(ianualinterésdetasaladeCálculo

5.09.0100100

xe

me

B p

%146%96.15519.0

e Bi


30/104


30

Calculo del valor futuro de B(FB)

FB = 63.7628(1 + 1.46)n

FB = 1.5 F n = 2.63 años.

20.- Un señor tiene s/ 20000 quiere depositar el dinero suficiente con el fin de obtener s/ 50000para educar a su hijo ; si el hijo tiene 5 años y comienza sus estudios a los 18 años ¿ Cuántodeberá depositar el señor con el fin de poder ganar un 8% de interés con capitalizacióntrimestral.

Solución :

P = ? F = 50000 5 6 7 18

0 1 2 13

in = 8% capitalizable trimestralmentetenemos que m = 4

entonces :

ie = (1+ip)4 - 1

ie = 8.24%P = F(P/F,ie,n)

P = 50000(P/F, 8.24%,13)

P = 17861.94

RTA 17861.94

21.- ¿Cuánto dinero podemos retirar trimestralmente durante 15 años de un fondo de retiro queproduce 8% de interés anual capitalizable semestralmente . Se tiene actualmente 40000.

Solución :

P = 4000 A A A

0 1 4 15

%24

%8

m

ni pi

42

8

m

ni pi

entesemestralm blecapitalizaanual8%ni


31/104


31

it = (1+0.04)1/2 -1

it = 1.98%

A = P(P/A,it,n)

A = 40000(P/A,1.98%,60)

A = 1145.15 RTA 1145.15

22.-¿Cuántos depósitos mensuales de $45 debe efectuar una persona con el objeto de acumular$10000 si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable semestralmente ?

Solución:

45 45 45 45

0 1 2 3 n

in = 10% anual capitalizable semestralmente

ip = 2

in

= = 5im = (1+0.05)1/6 - 1

im = 0.82%

Sabemos : F = A (F/A,im,n)

10000 = 45 (F/A,0.0082,n)

log1.182 = n log1.0082

n = 20

RTA = 20

23.- Diez participantes en una Junta (100 $/ cu). La modalidad para obtener la junta es al remate.

El primer mes salió con $ 150.El segundo mes salió con $ 160.El tercer mes salió con $ 175.

Al final del cuarto mes un participante por motivo de viaje se retira de la Junta.Se pide determinar la cantidad que se le deberá entregar.

0082.0

10082.014510000

n

n0082.1182.1


32/104


32

Solución:

Para el 1er mes :

Recibe : $ 1000 Periodo Deuda Interés Cuota Amort.Deuda : $ 900 2 900 8.1 150 69Cuota : $ 150 3 871 74.8 150 75.2# de Cuotas : 9 4 755.8 68.0 150 82.0Cálculo del interés : 5 673.8 60.6 150 89.4P = D(P/A,i,9) 6 584.4 52.6 150 97.4900=150(P/A,i,9) 7 487.0 43.8 150 106.2I = 8.98% 8 380.8 34.3 150 115.7aproximando : 9 265.1 23.9 150 126.1i = 9.00% 10 139.0 12.5 150 137.5

Para el 2do mes :

Recibe = 150 + 9x100 Periodo Deuda Interés Cuota Amort.= 1050 3 841 87.5 160 72.5

Deuda = 1050 - 4 768.5 79.9 1 60 80.1(100+(900+81)/9) 5 688.4 71.6 160 88.4

= 841. 6 600 62.4 160 97.6Cuota = 160 7 502.4 52.2 160 107.8# de Cuotas = 8 8 324.6 41.3 160 119Cálculo del interés : 9 275.6 28.7 160 131.3P = D(P/A,i,8) 10 144.3 15 160 145841=160(P/A,i,8) ; i = 10.4 %Para el 3er mes :

Recibe = 150 + 160 + 8x100 = 1110 Periodo Deuda Interés Cuota Amort.Deuda : 780.7 4 780.7 99.1 175 75.9

Cuota : 175 5 704.8 89.5 175 85.5# de Cuotas : 7 6 619.3 78.7 175 96.3Cálculo del interés : 7 523 66.4 175 108.6P = D(P/A,i,7) 8 414.4 52.6 175 122.4.780.7 = 175(P/A,i,7) 9 292 37.1 175 137.9i = 12.7 % 10 154.1 19.6 175 155.4

Para el 4to mes :

Recibe = 150 + 160 + 175 + 7x100 = 1185

Deuda = 1185 – ((755.8+68)/7 +(768.5+79.9)/7 +(780.7+99.1)/7 +100)

= 1185 – 464.6 = 720.4

Se le entrega = 1185 – 720.4 = 464.6


33/104


33

24.- Se trata de un préstamo bancario de 40 millones de soles a una tasa de interés efectiva de27%, pero el Banco cobra el interés por adelantado.

Se debe hallar la Tasa de Descuento equivalente y los cuadros de repago de la deuda a lo largo de4 meses (a cuotas decrecientes, constantes y crecientes)

Solución :

Siendo : i = 0.27

Entonces : d = 0.2126 d = 21.26%.

1.-CUOTAS DECRECIENTES

8100 5400 2700 10800 12700 12700 12700 12700

0 1 2 3 450800

Importe Inicial = 40 000 000/(1-d) = 50 800.

NroSALDO AMORTIZACION INTERES

Saldo*0.2126CUOTA

0 50800 - 10800 108001 50800 12700 8100 208002 38100 12700 5400 181003 25400 12700 2700 154004 12700 12700 - 12700

50800 27000

2.- CUOTAS CONSTANTES

A1 A2 A3 A4 C1 C2 C3 C4

10800 I1 I2 I3 I4

0 1 2 3 450800

A1 + A2 + A3 + A4 = 50800(50800 – A1)xd + A1 = C1 50800xd + A1(1-d) = C1

(50800 – A1 – A2)xd + A2 = C250800*d + A2(1-d) – A1xd = C2

(50800 – A1- A2 - A3)xd + A3 = C350800d + A3(1-d)– A2d– A1d = C3

id

1

11


34/104


34

(50800 – A1 – A2 – A3 – A4)xd + A4 = C4 50800xd + A4(1-d)- A3d- A2d- A1d = C4

C1 = C2 50800xd + A1 (1-d) = 50800xd + A2(1-d) – A1d A1 = A2 (1-d) = A3 (1-d)2 = A4 (1-d)3

A2 = A3 (1-d) = A4 (1-d)2

A3 = A4 (1-d)

A1 + A2 + A3 + A4 = 50800 = A4 ((1-d)3 +(1-d)2 +(1-d)1 +1)

d = 0.2126 A4 = 17543.90 = C

Nro SALDO AMORTIZACION INTERESSaldo*0.2126

CUOTA

0 50800.00 - 10800.00 10800.001 50800.00 3564.70 8979.20 17543.902 42235.30 10877.20 6666.70 17543.903 31358.10 13814.10 3729.80 17543.904 17544.00 17544.00 - 17544.00

50800.00 30175.70

3.- CUOTAS CRECIENTES

10800 50800 10160 15240 20320

0 1 2 3 450800

Nro SALDO FACTOR DE AMORTIZACION

AMORTIZACION INTERESSaldo*0.2126

CUOTA

0 50800 - 10800 108001 50800 1/10 5080 9720 148002 45720 2/10 10160 7560 177203 35560 3/10 15240 4320 195604 20320 4/10 20320 - 20320

50800 32400


35/104


35

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa del 5,25% con capitalización diaria, quesegún dicho anuncio es equivalente a una tasa efectiva del 5.39%. Un inversionista tienedepositado su dinero en una cuenta que o paga el 5% capitalizable trimestralmente. Si estapersona transfiere 10000 de su cuenta al banco ,¿ Qué interés adicional recibirá al año.

RTA : 30%

2.- Una compañía maderera requiere incrementar su capital en 2 millones para financiar unapequeña expansión. ¿Cuál debería ser el valor nominal de sus bonos si los mismos pagarían uninterés del 12% anual capitalizable trimestralmente y vencimiento en 20 años ?. Suponga quelos inversionistas requieran una tasa de retorno del 16% anual capitalizable trimestralmente.

RTA : 2’628,598

3.- Un inversionista compró un bono de 1,000 dólares al 5% en 825. El interés se pagasemestralmente y el bono vence en 2 años. El bono se conservó durante 8 años y se vendió en

800 inmediatamente después del pago N° 16 de interés. ¿Qué tasa de retorno anual nominal seconsiguió con esta inversión ?.

RTA : 5.8%


36/104


36

Capitulo 4

4. INFLACIÓN Y DEVALUACION:

Trataremos aquí este problema, que es muy común para las personas de todo el mundo,

que es el cambio constante de los precios los cuales les crean un problema a aquellas que tieneningreso fijo.

En este capítulo aprenderemos como dar cuenta de los efectos de la inflación y la escalación decostos cuando esté manejándose un análisis económico de alternativas.

4.1 DefinicionesLa inflación (f) se describe más comúnmente en términos de un porcentaje anual que representa latasa a la cual los precios del año en referencia han aumentado en relación con los precios del añoanterior.

Ejemplo:Si la tasa de inflación anual fue de 125% determinar la inflación promedio mensual.Inflación en el año f = 125%Inflación promedio mensual f m = ?

n =1 año = 12 meses

Aplicando la fórmula determinada en el capítulo 3 "Tasa de Interés Efectiva", se obtiene:

La pérdida del valor adquisitivo de la moneda puede expresarse matemáticamente utilizando elfactor 1/(1+i)n.

Deflactor El deflactor es un índice de precios con el que se convierte una cantidad ‘nominal’ en otra ‘real’.Numéricamente es el cociente entre el PBI nominal y el PBI real expresado en forma de índice .

De acuerdo al siguiente cuadro

AÑO PBINOMINAL

PBIREAL

DEFLACTORPBI

TASAINFLACIÓN

1 988 40 164,0 35 911,8 111,8 5,71 989 45 024,9 37 622,1 119,7 7,01 990 50 074,1 38 980,5 128,5 7,41 991 54 775,2 39 903,1 137,3 6,91 992 58 911,6 40 378,1 145,9 6,3

12f = f + 1 - 1

1-1,251f 12m

m 7% f

0101991

1991 BI. 1991 x

real PBI

nal- PBI - nomidel.P Deflactor.


37/104


37

Ejemplo Nº 1

Un empleado recibe actualmente S/. 145 como sueldo, considerando una tasa de interésreal de 20% anual con una inflación anual estimada de 1.2% . Se pide el valor final delsueldo al cabo de 3 años.

Solución :

145 F = ?

0 1 2 3

ir = 20%f anual = 1,2%

usando : f 1

f i nr i

i’ n = ir ( 1+f ) +f Y reemplazando los datos tenemos i ń = 21,44%

F = P ( 1 + i´n )3 = 145 ( 1 + i´n )3 = 260F = 260

Ejemplo Nº 2

Se espera que la inflación aumente a razón de 15% durante 8 años . Se pide el valor futurode la inversión actual de S/. 2 000 en una cuenta de ahorro , con un rendimiento del 10%de interés .

Solución :

27137 100139903

254775 1991 , x

,

,del.PBI Deflactor. .

x1001992realPBI

1992nominalPBI

.. 1992

delPBI Deflactor

9145100140378

6589111992 , x

,

, del.PBI. Deflactor.

100inf 1991

199119921992 x

Deflactar.

.-Deflactar Deflactar lacion.Tasa de

.

361003137

9145inf 1992 , x

,

, lacion.Tasa.


38/104


38

Se calcula el valor futuro de S/ 2 000 sin descontar la inflación (Fn).Debido a eso :

Fn= 2 000 ( F/P, 10% , 8 )Fn = 4 287,18

El valor futuro en unidades monetarias del mismo poder adquisitivo (Fr) se obtienedeflactando Fn:

F r=4 287,18/(1+0,15)8 F r= 1 401,4

Ejemplo Nº 3

Cual es la inflación mensual equivalente (Fm) si se tiene los estimadores para los siguientestres trimestres: f 1 = 12% , f 2 = 13% , f 3 = 14%

Solución : P F

0 1 2 3

P(1 + f m )3 = P(1 + f 1 )(1 + f 2 )(1 + f 3 )

( 1 + f m )3 = ( 1 +f 1 )( 1+ f 2 )( 1+ f 3 )

( 1 + f m)3 = (1+ 0,12)( 1 + 0,13)( 1 + 0,14 )

f m = 12,9%

Ejemplo Nº 4

Si un trabajador tenía hace un año un haber mensual de S/. 480 y en la actualidad percibeS/. 750, considerando que la tasa de inflación anual es de 125%. Determinar el poderadquisitivo del haber actual con respecto al año anterior.

Solución:

P' = S/. 480P = 750

P1 = ? Poder adquisitivo del dinero al cabo de un año.f = 125%n = 1

P' = 480 F1 = 750


39/104


39

-1 0

Deflactando se tiene:

F F

(1 f)

1

F

750

1 1 1

333( ,25)

,33

Cálculo de la pérdida del poder de adquisición

480 333,333

-1 0

Pérdida del poder adquisitivo:

i = - 30,56%

Los S/. 333,333 tienen un poder adquisitivo de 69,44% con respecto al año anterior, o seaque ha perdido el 30,56% del poder adquisitivo.Los tipos de tasas de interés estudiados en el capítulo 3, tienen una característica en

común: ignoran la existencia de la inflación; por eso en el lenguaje de inflación se dice quetodas aquellas tasas de interés son NOMINALES. Al concepto de tasa de interés nominal,que es el que ignora la existencia de la inflación se opone la noción de interés REAL, quees la que precisamente la tiene en cuenta.Bajo estas denominaciones se tiene lo siguiente:

in = tasa de interés nominalir = tasa de interés realSe sabe que:

................. (1)

Si se toma en cuenta la inflación se tiene:

................. (2)

Remplazando (1) en (2) se tiene:

i1

333,333 048

)iP(1F n1

f 1 F F

1

f)(1

)i(1PF

n


40/104


40

Por estar considerada la inflación, entonces:

………...........(3)

La fórmula Nº (3) también se acostumbra a ser presentada de la forma siguiente:

(1+in) = (1+ir ) (1+f)

El problema anterior (ejemplo 4) se resuelve de la siguiente manera:

De (1):

f = 125%

Aplicando (3) se tiene:

La tasa de interés real es negativa, lo que significa que el haber mensual deltrabajador ha perdido poder adquisitivo.Observando el numerador de la formula

i i f

1 f r

n

Se apreciara de inmediato que se tendrá una tasa de interés real positiva si el interésnominal es mayor que la inflación.

Ejemplo Nº 5:

)iP(1F r

f)(1

)i(1P)iP(1 n

r

f 1

f -i i

nr

100*1480

750 in

56,25%in

2,25

100*1,25)-(0,5625 ir

30,56%-ir


41/104


41

Si una persona deposita una cantidad P en soles con un interés bancario de 11 % anual yla misma cantidad en dólares con un interés de 6 % anual y una devaluación anual de 10%. ¿ Cuál opción le convendrá ?

Solución:

Moneda Nacional :

P F

0 i1 = 11 % 1

F1 = P (1 + 0,11) = 1,11P

Moneda Extranjera :

P

X F’

0 i2 = 6 % 1

sea X = cantidad de soles por dólar

F' P

X(1 0,06)

Convirtiendo los dólares a soles, aplicando la tasa de devaluación del 10%, se tiene:

F2=1,166P

La mejor opción es depositar en dólares

Ejemplo N 6 :

Un empleado recibe de sueldo en la actualidad 12 000 soles y al cabo de 5 meses recibe19 000, asumiendo una inflación mensual del 1,5% se pide la tasa de interés real.

Solución :

2F)X(1,06)(1,1X

P (1,1)X'F


42/104


42

P = 12 000 F = 19 000

0 1 2 ............................ 5 meses

F = P(1+ in’)

5

19 000 = 12 000( 1+ in’)5

19

121 i '5 n

De :

Tenemos :

i i ' 0,015

1,015 0,08r n

ir = 8%

Ejemplo Nº 7:

Se pide estimar la inflación anual , si las inflaciones en los tres primeros meses son :

f 1 = 1,3%f 2 = 1,2%f 3 = 1,4%

Cuál es la inflación anual?

Solución :

0 f 1=1,3% 1 f 2=1,2% 2 f 3=1,4% 3 meses

0 Ft 1 trimestre

1 + Ft =(1+f 1)(1+f 2)(1+f 3)

Ft = 1,013 x 1,012 x 1,014 - 1

Ft = 0,04

f 1

f 'ii

nr


43/104


43

(1+f m)3 = (1+f 1)(1+f 2)(1+f 3)

f anual = (1+f t)4 – 1 = 0,17

Ejemplo Nº 8:

Si se espera que la inflación aumente a razón de 125% anual, compárese la inversiónactual de S/. 10 000 000 en una cuenta de ahorro por 3 años con un rendimiento del 80%de interés efectivo anual, con la inversión actual de10 000 000 en una máquina que se necesitará dentro de 3 años.

Solución:

Si la máquina aumenta de precio conforme a la inflación, como resultado de ésta, S/.

10 000 000 dentro de 3 años, no permitirá adquirirla, puesto que se tiene a una tasainflacionaria del 125%, los S/. 10 000 000 se convierten en:

F = 10 000 000 (1+1,25)3 = S/. 113 906 250

Esta cantidad tendrá igual poder adquisitivo que los 10 000 000 actuales; mientras queel depósito en el banco acumulará sólo:

F = 10 000 000 (1+ 0,8)3 = S/. 58 320 000

Cantidad que no permite adquirir la máquina, ya que representa sólo el 51,2% delvalor de ese monto.Para calcular el valor adquisitivo puede utilizarse también el cuadro de "ÍNDICE

GENERAL DE PRECIOS AL CONSUMIDOR".

Ejemplo Nº 9

Si al 31 de abril de 1 982 una persona ganaba S/. 250 000 y al 31 de abril de 1983 gana S/.400 000, calcular el valor real del dinero al 31/04/83.

Índice General de Precios al Consumidor

Io = 254,0 (índice al 31.04.82)I1 = 408,6 (índice al 31.04.83)

Solución:

Los índices se pueden tratar como cantidades equivalentes en el tiempo.

0,01311,04 f 3m


44/104


44

254,0 408,6

0 1

La tasa de inflación es:

F = P (1+f)1

408,6 = 254 (1+f)

1 f 408,6

254

1+ f = 1,6087

f = 60,87 %

Por consiguiente, el valor adquisitivo de 400 000 (F) es de:

Valor con respecto al 31.04.82:

Esta cantidad representa, respecto a lo que ganaba al 31.4.82 - el 99,46%

Método Usual del Cálculo:En la práctica se opera de la siguiente manera:

DEFLACTOR :

Valor adquisitivo :

4.2 Definición de Evaluación y Aplicaciones

El término de evaluación significa simplemente el reconocimiento de que la unidadmonetaria ha perdido parte de su valor adquisitivo y que en consecuencia está siendoajustada a fin de reflejar dicha pérdida.La devaluación está referida a que la moneda ha perdido su valor adquisitivo al compararlocon otra moneda de valor más estable.

Ejemplo Nº 1

Se puede adquirir bonos de Reconstrucción de los tenedores primarios pagando el 38%

del valor nominal. Estos bonos rinden un interés nominal del 56% capitalizabletrimestralmente, siendo redimibles a los 2 años.Se puede adquirir también Certificados Bancarios en moneda extranjera al 16% anual a 30días renovables (capitalización mensual), asumiendo una tasa mensual de probabledevaluación del 4,52% se pide:

a) Cuál es el rendimiento anual efectivo para los bonos de reconstrucción?b) Cuál es el rendimiento anual del certificado bancario en moneda extranjera?c) Cuál es la mejor alternativa?

654248 )6087,0(1

000400

f)(1

F

6087,1254

6,408

99,46% elseravieneque 650248S/6087,1

000400


45/104


45

Solución:

a) Sea B el valor nominal del bono y 0,38 lo que se pagó por éste, entonces al cabo dedos años recibe

F = B(F/P,56/4%,8)

años 0 1 2Trimestres 4 8

Como sólo se convirtió 0.38 B el rendimiento o interés anual es:

0.38B = B(F/P,56/4%,8) (P/F,i%,2)

Con las fórmulas se tendría:

0,38 = (1+0,14)8*2

i = 173,99%

b) La inversión en certificado bancario en moneda extranjera es 0.38B, entonces elrendimiento anual efectivo de la inversión considerando la devaluación efectiva anuales:

0,38 B

años 0 1 2meses 12 24

i = 99,26%

El factor (1+0,16/12)12 se aplica para determinar el interés de la moneda extranjera enun año y el factor (1+0,0452)12se utiliza para convertir la moneda extranjera ennacional ya que como se menciona, en el enunciado, la devaluación es 4,52%mensual. El rendimiento se puede calcular también de la siguiente manera:

(1+i) = (1+0,16/12)12(1+0,0452)12

i = 99,26%

c) La mejor solución alternativa es (a).

i)(1

1

100*0,38B

0,38B]0,0452)(1)12

0,16[0,38B(1

anualoRendimient

100*Inversión

Interes anualoRendimient

1212


46/104


46

Ejemplo Nº 2

Una compañía invierte S/. 3 000,00 anualmente durante 8 años comenzando dentro de unaño en un nuevo proceso de producción ¿Cuánto dinero deberá recibir al final del año 8 enmoneda corriente en ese entonces para que la compañía recupere su inversión a una tasade interés del 13% anual y a una tasa de inflación del 10%?

Solución :

Sabemos if = i + if + f

if =0,13+(0,13)(0,10)+0,1

if = 0,243

A A A F = ?

0 1 2 if = 0,243 7 8

F= A(F/A, if ,n)

F = 3 000(F/A,24,3%,8) F = 58 007

Ejemplo Nº3

Calcular cuanto dinero se debe ahorrar anualmente durante 12 años una fábricaempacadora de carne a través de la recuperación de residuos para justificar undesembolso de 35 000 ; si la tasa de interés es del 20% anual y la tasa de inflación del 7%anual.

Solución :

P = 35 000 A A A A

0 1 2 11 12

i = 20% anual

hallaremos la tasa de interés inflada

if = i + f + ifif = 0.2 + 0,07 +0,2x0,07

if = 28,4%


47/104


47

sabemos

A = P (A/P,i f ,n)

A = 35 000 (A/P,28,4%, 12)

A = 10 461

Ejemplo Nº4

Hallar la cantidad de moneda de hoy y moneda corriente en el año 10 que será equivalentea una inversión actual de S/. 33 000 a una tasa de interés anual del 15% y una tasa deinflación del 10%.

Solución :

a)

P =33 000 F = ?

0 1 2 9 10

i= 15%

Sabemos

F = P(F/P, i ,n)

F = 33 000 (F/P,15%,10)

F = 133 503,4

b)P = 33 000 F = ?

0 1 2 9 10

if = i +f+if if = 0,15 +0,1 +0,15x0,1

if = 26,5%

Sabemos

F = P(F/P ;if ,n)


48/104


48

F = 33 000 (F/P,26,5%,10)

F = 346 273

Problemas Resueltos

1. El gerente de la tienda de alimentos “Súper rápido” está tratando de determinar cuantodeberá gastar ahora para evitar el gasto de $10 000 dentro de dos años, en un equipode refrigeración. Si la tasa de interés es de 3/2% mensual y la tasa de inflación es de 1%también mensual. ¿ Cuál es la máxima cantidad de dinero de la que puede disponer elgerente para gastar ?SOLUCION:

P = F(P/F, i’n%, 24 )

... (1)

i’n = (1+f)(1+ir )-1

(1+ in)24 = (1+ f)24(1+ir )24 .............................(2)

(2) en (1) :

P= 5 509

2. A una chica con suerte le acaban de informar que su abuelo murió y le dejó una cuentade ahorro de $3 000 000. Si el abuelo abrió la cuenta hace 50 años, con un depósitoúnico y nunca depositó otro dólar a la cuenta original, ¿ Cuánto depositó ? Suponga quela cuenta gana intereses a una tasa de 20% anual y la tasa de inflación fue de 5%durante ese período.

Solución

Al igual que el problema anterior.

24)i'(1

FP

n

2424 ir)(1f)(1

F P

2424 0,015)(10,01)(1

00010 P

50r

50 )i(1f)(1

F P

5050 )2,01()05,01(

0000003 P


49/104


49

P= 28,74

1. ¿ Cuánto dinero podrá gastar la compañía GROQ hoy para evitar gastar $5 000anuales por seis años a la tasa de interés de 15% y la tasa de inflación del 10% anual ?.

Solución

Sabemos que:

P= 1 220,18.

CAPITULO 5

6r

6)i(1f)(1

FP

66)15,0(1)1,0(1

5000P


50/104


50

5. PRINCIPALES MODALIDADES DE OPERACIONES FINANCIERAS

5.1 Operaciones Activas PrestamosLos préstamos de mayor interés son los que se otorgan a mediano y largo plazo.La devolución gradual de un préstamo se denomina amortización, la mayoría de las veces seefectúa pagos periódicos que incluyen además los intereses, comisiones, costos de operar elcrédito, etc. se denomina Costo de Capital del inversionista.La descomposición de los pagos en períodos se llama programa de amortización.

Las formas usuales de pago son: Plan de cuotas decrecientes. Plan de cuotas constantes. Plan de cuotas crecientes. Sistema de reajuste de deudas.

Plan de Cuotas Decrecientes

También llamado " PLAN DE AMORTIZACIONES CONSTANTES ", bajo esta modalidad

quien recibe un préstamo lo tiene que amortizar en partes iguales adicionando además losintereses a rebatir o sobre el saldo pendiente de cada período ya que los interesesdisminuyen al disminuir el saldo de la deuda.

En el cuadro No 5,1 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajoesta modalidad de pago.

Cuadro No 5,1: Programa de AmortizaciónPlan de Cuotas Decrecientes

Monto : S/.10 000 000Plazo : 2 años = 8 cuotas trimestralesInterés : 12 + 3 = 15% anualInterés trimestral : 15/3 = 3.75% trimestral

Amortización : 10 000 000 / 8 = 1 250 000

Período Deuda A mortización Interés y Sal do Total a

Tri mestral Comisi ón Pagar

1 10 000,00 1 250,00 375,00 8 750,00 1 625,00

2 8 750,00 1 250,00 328,13 7 500,00 1 578,13

3 7 500,00 1 250,00 281,25 6 250,00 1 531,25

4 6 250,00 1 250,00 234,38 5 000,00 1 484,38

5 5 000,00 1 250,00 187,50 3 750,00 1 437,50

6 3 750,00 1 250,00 140,63 2 500,00 1 390,63

7 2 500,00 1 250,00 93,75 1 250,00 1 343,75

8 1 250,00 1 250,00 46,88 0,00 1 296,88

TOTA L 10 000,00 1 687,50 11 687,50

Plan de Cuotas Constantes

Mediante este sistema varía tanto las amortizaciones como los intereses, pero la suma de ambos,


51/104


51

o sea la cuota, que se ha de pagar en cada período es constante, ésta se obtiene aplicando lasiguiente fórmula:

A = P (A / P, i, n)

A : Cuota o armada constanteP : Principal o préstamoI : Tasa de interés proporcionaln : Número de períodos

Calculada la cuota, se determina los intereses del período y por diferencia se obtiene laamortización del préstamo en cada período.En el cuadro Nº 5,2 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajoesta modalidad.

Cuadro Nº 5,2: Programa de AmortizaciónPlan de cuotas Constantes

Monto : S/.10 000 000Plazo : 2 años - 8 cuotas trimestrales

Interés : 12 + 3 = 15%

Interés por período 3,75%

N úmero de períodos 8 tri mestres

Val or Princi pal 10 000,00

Per íod o Deu da A mor ti zaci ón In ter és y Sal do Total a

Trimestral Comi si ón Pagar

1 10 000,00 1 094,98 375,00 8 905,02 1 469,98

2 8 905,02 1 136.05 333,94 7 768,97 1 469,98

3 7 768,97 1 178,65 291,34 6 590,32 1 469,98

4 6 590,32 1 222,85 247,14 5 367,48 1 469,98

5 5 367,48 1 268,70 201,28 4 098,77 1 469,98

6 4 098,77 1 316,28 153,70 2 782,49 1 469,98

7 2 782,49 1 365,64 104,34 1 416,85 1 469,98

8 1 416,85 1 416,85 53,13 0,00 1 469,98TOTA L 10 000,00 36 929,90 11 759,87

Plan de Cuotas Crecientes

En este plan las cuotas aumentan en forma sucesiva a través del tiempo, esto se consigue de lamanera siguiente:

Se suma los dígitos de los períodos. Se divide el préstamo entre la suma de los dígitos ,y La amortización se calcula aplicando la siguiente fórmula:

P : Monto Inicialm : Dígito del períodoS : Suma de dígitos de los períodos

s

m P ón Amortizaci


52/104


52

El sistema de cuotas crecientes es utilizado principalmente en el sector vivienda ya que permite unmayor acceso de viviendas a las familias de menores recursos.En el Cuadro Nº 5,3 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo estamodalidad.

Cuadro Nº 5,3: Programa de AmortizaciónPlan de Cuotas Crecientes

Monto : S/. 10 000Plazo : 2 años = 8 cuotas trimestralesInterés : 12 + 3 = 15 %


N úmero de períodos 8 tri mestres

Valor Principal 10 000,00

Per íod o D eu da Pr op or ci ón A mor ti zaci ón In ter és y Sal d o Total a

Trimestral A mortizaci ón Comisión Pagar

1 10 000,00 0,0278 277,78 375,00 9 722,22 652,78

2 9 722,22 0,0556 555,56 364,58 9 166,67 920,143 9 166,67 0,0833 833,33 343,75 8 333,33 1 177,08

4 8 333,33 0,1111 1 111,11 312,50 7 222,22 1 423,61

5 7 222,22 0,1389 1 388,89 270,83 5 833,33 1 659,72

6 5 833,33 0,1667 1 666,67 218,75 4 166,67 1 885,42

7 4 166,67 0,1944 1 944,44 156,25 2 222,22 2100,69

8 2 222,22 0,2222 2 222,22 83,33 0,00 2305,56

TOTA L 1,000 10 000,00 12 125,00

Operaciones de descuento con más de una amortización

Plan de cuotas Decrecientes

Ejemplo:Se tiene la siguiente información:

P = S/. 100 (cantidad recibida)

P = M - D

0 60 120 180

Período de descuento = 60 díasie = 40% anualPlazo = 180 días

Solución:Cálculo de la tasa de descuento:

660

360n


53/104


53

Cálculo del monto total del préstamo (M):

Cálculo del monto a amortizar cada 60 días :

Programa de Amortización

Plan de Cuotas Decrecientes


Núm ero de períod os 8 trimestre s

Valor Principal 10 000,00

Período Deuda Amortización Interés y Saldo Total a

Trimestral Comisión Pagar

0 105,76 0,00 5,76 105,76 5,76

1 105,76 35,25 3,84 70,51 39,09

2 70,51 35,25 1,92 35,25 37,17

3 35,25 35,25 0,00 0,00 35,25

TOTAL 70,51 82,03

Plan de Cuotas ConstantesSea: A = Cuota constanteCj = Amortización en el período j, j : 1,2, , , nD = Tasa de descuentoM = Monto total del préstamoP = Cantidad neta recibida en el período ceron = Número de período de amortización.

6 1

11

ied

%45.5d

76.105

0545.01

100

1

)1(

M

d

P M

d M P

D M P

25.35

3

76.105

360

180

A

N

M A

n


54/104


54

Para n =1P= M-D A

0 1

P = M-DM = C1M = C1 = A

Para n =2 A A

0 1 2

M = C1 + C2 A = C2 A = C1 + C2d

C1 = A - C2d= A - Ad

M = A[ 1 + (1-d) ]

Para n =3 A A A

0 1 2 3

M = C1 + C2 + C3 A = C3C3 = A A = C2 + C3d

A = C3 A = C1+(C2 + C3).dC2 = A - C3d

= A - Ad A = C2 + C3dC1 = A - (C2 + C3)d

= A - (A- Ad +A)d A = C1 + (C2 + C3)dM = A + A - Ad +A(A - Ad + A)d

= A + [A - Ad + A](1-d)= A + A[1 + (1-d)](1-d)= A[1 +(1-d) + (1-d)2]

Para el período n, se tiene:

M = A [ 1 + (1 – d) + ( 1 – d)2 + ... (1 – d)n-1 ] ...(1)

Multiplicando (1) por (1-d):

M = A[ (1 – d) + (1 – d)2 + ... +(1 - d)n ] ...(2)

(1) - (2) :

n

n

d

d M A

d A Md

11

11


55/104


55

Efectuar el programa de amortización bajo de cuotas constantes para la siguiente información:

P = S/. 100 000

Período de descuento = 30 díasie = 40% anualPlazo = 120 días

Cálculo de la tasa de descuento:

Cálculo del monto del préstamo (en miles de Soles)

M = 100/ (1- 0,02765)M = 102,84

Cálculo de la cuota constante:n = 120 / 3 = 4

A = M d

1 – (1-d)n

A = 26,80

Programa de AmortizaciónPlan de cuotas constantes

Período Deuda Amortiz ac ión Ds ct o. Saldo Tot al a

Mensual pagar

0 102,84 0,00 2,843 102,84 2.84

1 102,84 24,64 2,162 78,20 26.80

2 78,20 25,34 1,462 52,86 26.803 52,86 26,06 0,741 26,80 26.80

4 26,8 26,80 0,000 0,00 26.80

Esta tabla se construye partiendo del último período, puesto que en él la amortización es igual a lacuota. Finalmente se aplica los índices que refleja la inflación y se tiene el siguiente sistema:

Sistema de reajuste de deudas

%765.24.01

11

30

360

12

d

n


56/104


56

El sistema de reajuste de deudas o de indexación de capital está definida como el reajusteperiódico y automático de determinados valores con índices que reflejan la inflación.

Del capítulo anterior se tiene:(1 + in) = (1 + ir ) (1 + f)

f : representa la tasa de reajuste de la deuda,ir : representa la tasa de interés básica

Programa de AmortizaciónSistema de Reajuste de Deudas

Monto Total : S/. 100 000Plazo : 3 añosInterés : 12% (ir = 3% trimestral)Descuento : 90 díasFactor de reaj. : 40% anual

(f = (1,4)0,5 - 1 = 8,77572 % trimestral)

Miles de SolesPeríodo Deuda Amortización Dscto. Saldo Total a

Trimestral Pagar

0 100,000 0,000 3,000 100,000 3,000

1 108,776 21,800 3,263 86,976 25,063

2 94,608 23,700 2,838 70,908 26,538

3 77,131 25,700 2,314 51,431 28,014

4 55,945 28,000 1,678 27,945 29,678

5 30,397 30,397 0,000 0,000 30,397

Una modalidad de cálculo muy usada en el medio comercial para la adquisición de artefactos

eléctricos, muebles, etc., es la aplicación de la tasa de interés flat.

Tasa de Interés Flat o DirectoSea una tasa de interés mensual (i), el interés (I) se calcula de la manera siguiente:

C : Cantidad a pagar (deuda total)n : Número de períodos (meses)I : C . i . n

El monto a pagar es:M = C + C . i . nLa cuota mensual (A) quedó determinada por:

A = M/n = ( C + C . i . n) /n

Esta modalidad de pago genera un mayor pago de intereses que los anteriores ya que el cálculodel total de estos es sobre la base de la deuda contraída inicialmente.

EjemploUn comprador adquirió una refrigeradora al precio de S/.2 000 y dio una cuota de S/. 200 comoinicial. Para el saldo se comprometió a pagar 12 cuotas de S/. 240 c/u, el vendedor le dijo que latasa mensual era de sólo 5%.

El cálculo de la cuota mensual le demostró que se obtenía del siguiente modo:= 240


57/104


57

¿Es 5% la tasa real mensual?. Determine la tasa efectiva anual.Solución :

1800 240 240 240

0 1 2 ... 12

1 800 = 240(P/A ,i , 12)(P/A, i,12) = 1 800/240 = 7,5

DATOS DE TABLAInterés Factor 8% 7,5361i% 7,59% 7,1607

Interpolando :

La tasa de interés mensual es : i = 8,1%La tasa efectiva anual es : ief = (1+0,081)12 - 1 = 154,63%

5.2 Operaciones PasivasDepósitos de ahorro y plazo fijo.El Banco Central de Reserva con fecha 14/01/ 98 unificó la tasa máxima de interés que lasinstituciones de crédito, están autorizadas a pagar por cualquier tipo de operación pasiva.

En el mercado financiero la capitalización de los intereses quedó libre lo cual convirtió el tope

máximo de 60% en una simple referencia para el cálculo de rendimiento efectivo. Así se tuvo que para una tasa del 60% capitalizable diariamente, el interés efectivo fue de:

Según la última circular del Banco Central de Reserva al Sistema financiero se tiene por ejemploque las tasas de interés pasivo para depósito de ahorro es de 10% etc. en moneda nacional.En cuanto a la tasa de interés activa, la efectiva máxima anual por todo concepto será de 30%anual para cada año y de 15% para créditos a plazo mayor de un año.

EjemploSe formó una junta con 6 participantes, la cuota mensual será de S/.100 para todos aquello que nohan obtenido la Junta. La forma de obtener la junta es bajo la modalidad de remate, es decir elmonto total se entregará a aquel participante que presentó la mejor oferta o cuota que ha de pagaren cada uno de los meses restantes.Los ganadores de los tres primeros meses se comprometieron con cuotas de 200, 250 y 350 solesmensuales.En el cuarto mes uno de los participantes, que aún no ha obtenido la junta, decide retirarse. Sepide calcular la cantidad de dinero que le corresponde.

%12.82

1)365

6.01( 365

ie

ie


58/104


58

Solución:MES 1El primer ganador obtiene un monto de S/.600 pero le pertenecen S/.100 por consiguiente adquiereuna deuda de S/.500 que devolverá en cinco cuotas constantes de S/.200

1 2 3 4 5 6

200 = 500 (A/P, i , 5)i = 28,63%

MES DEUDA INTERES AMORT, CUOTA2 500,00 143,15 56,85 2003 443,15 126,87 73,13 2004 370,02 105,94 94,06 2005 275,96 79,01 120,99 2006 154,97 44,37 155,63 200

MES 2:

Monto = 4(100) + 200 + 250= S/. 850

Deuda = [ 850 – (443,15 + 126,87)/4 + (471,37 + 182,47)/4 +100]= S/. 444

350 = 444 ( A/P, i , 3)i = 59,3%

MES DEUDA INTERES AMORT, CUOTA4 444,00 264,18 85,82 3505 358,18 213,12 136,88 3506 221,30 131,67 218,33 350

MES 4:

La cantidad que le corresponde al participante que se va a retirar es:

Cantidad = (370,02 + 105,94)/3 + (403,84 + 156,33)/3 +(444 + 264,1)/3

= S/. 581,44

CAPITULO 66. BASES PARA LA COMPARACION DE ALTERNATIVAS:

En el presente capítulo, se mostrará tres métodos básicos para la evaluación de alternativas:

6.1 Valor Presente y Evaluación del Costo Capitalizado

a) Valor Presente(VP) El objetivo de este método es comparar el valor presente de cada


59/104


59

una de las alternativas.

EjemploComparar el valor presente de las máquinas de igual servicio, i =10% (Costos con signopositivo y beneficios con signo negativo) dado en miles soles.

Máquina A Máquina B

Costo inicial (P) 100 130Costo anual de operación (CAO) 40 30Valor de Salvamentos (VS) 10 13Vida útil, años 5 5

Nota: El valor de salvamento es el valor que aún posee el activo al final de su vida útil.

Solución:VP A = ?

-10

100 40 40 40 40 40

0 1 2 3 4 5 Máquina A

VP A = 100 + 40 (P/A, 10, 5) - 10(P/F, 10 ,5) = S/. 245 400

VP B = ?

-13

130 30 30 30 30 30

0 1 2 3 4 5

Máquina B

VPB = 130 + 30 (P/A,10%, 5) - 13(P/F,10% ,5) = S/. 235 700

Se debe seleccionar la máquina B puesto que VP B < VP AEn el ejemplo precedente la vida útil de las alternativas es la misma, cuando esto no ocurre,se procede como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 6,2

Comparar el valor presente de las máquinas de igual servicio, i =10%Máquina A Máquina B

Costo inicial (P) 100 130Costo Anual de operación (CAO) 40 42Valor de Salvamento (VS) 10 13Vida útil 2 3

Solución:


60/104


60

Cómo las máquinas tienen distintas vidas útiles, deben compararse sobre la base delmínimo común múltiplo de los años, es decir en este caso 6 años.

MÁQUINA AVP A = ?

100(P) 100(P) -10(VS) -10(VS) -10

100 40 40 40 40 40 40

0 1 2 3 4 5 6

Máquina A

VP A = 100+40(P/A,10%,6)+(100-10)(P/F,10%,2) +(100-10)(P/F,10%,4) -10(P/F, 10%, 6)=404,4

MÁQUINA B:

-13(VS)130(P) -13(VS)

130 42 42 42 42 42 42

0 1 2 3 4 5 6

VPB = 130+42(P/A,10%,6)+(130-13)(P/F,10% ,3) -13(P/F,10%, 6)= 393,5

Se debe seleccionar la máquina B, puesto que VPB < VP A

b) Costo Capitalizado: Está referido al valor presente de un proyecto que se supone tendráuna vida útil perpetua.Límite del factor de recuperación de capital (A/P, i, n)

Entonces si A = P (A/P, i, n), cuando n tiende a infinito se tiene que:

A = P i

Ejemplo 6,3

Calcular el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de S/. 100 000 y uncosto de inversión adicional de S/.30 000 después de 5 años, el costo anual de operación esS/.3 000 para los primeros 4 años y S/.5 000 de ahí en adelante. Además se espera uncosto recurrente de mantenimiento general de S/.12 000 cada 12 años, suponer que i =10%.

Solución:Por conveniencia se supone a los costos con signo positivo y en miles de soles.


61/104


61

100 30 12 12 3 3 3 3 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5 6 12 24 25

1. Hallamos el valor presente del costo inicial y de la inversión adicional:P1 = 100 + 30 (P/F, 10%,5) = 118,6

2. Hallamos el valor presente del costo recurrente de mantenimiento:P2 = [ 12(A/F, 10%,12) ] / 0,10 = 5,6

3. Calculamos el costo capitalizado para la serie de 3 hasta el infinitoP3 = 3/0,10 = 30

4. Calculamos el valor presente de la serie de 5-3 = 2 del año 5 en adelanteP4 = [ 2/0,10] (P/F, 10,4) = 13,7

5. Luego, el costo total capitalizado se obtiene de la suma:PT = P1 + P2 + P3 + P4 = 118,6 + 5,6 + 30 + 13,7 = 167,9

6.2 Valor Annual Equivalente

Es otra base de comparación la cual consiste en encontrar una cantidad anual equivalente, ya diferencia del método de valor presente no interesa uniformar el número de años paraevaluar alternativas.Ejemplo 6,4Comparar el costo anual y uniforme equivalente (CAUE) de las máquinas de igual servicio,i=10%, en miles de soles.

Máquina A Máquina B

Costo inicial (P) 100 130Costo Anual de operación (CAO) 40 42Valor de Salvamento (VS) 10 13Vida útil 2 3Solución:

CAUE A = 100 (A/P, 10%, 2) + 40 – 10 (A/F, 10% , 2)= 52,9

CAUE B = 130 (A/P, 10%, 3) + 42 – 13 (A/F, 10% , 3)= 90,3

Se debe seleccionar la Máquina A puesto que CAUE A < CAUEB

6.3 Tasa De Retorno

Definición.- Tasa de retorno o tasa de rendimiento, es un índice de rentabilidadampliamente aceptado. Está definido como la tasa de interés que reduce a cero el valorpresente de una serie de ingresos y egresos.En términos económicos la tasa de rendimiento representa el porcentaje o tasa de interés,ganado sobre el saldo no recuperado de una inversión. Se puede considerar el saldo norecuperado de una inversión como aquella parte de la inversión inicial que queda porrecuperar después de haber sumado y deducido los pagos de interés y los ingresosrespectivamente causados hasta que se haga el análisis.


62/104


62

Cálculo de la Tasa de Retorno.- El cálculo de la tasa de retorno requiere por lo general unasolución de ensayo y error.

Ejemplo 6,5 Calcular la tasa de retorno para el flujo de efectivo presentado a continuación:

Fin de Año t Flujo de Efectivo Ft0 - 1 0001 - 8002 5003 5004 5005 1 200

Es decir encuéntrese el valor de i que satisfaga la ecuación

n

F P F i t t ( / , , ) = 0t =0

donde n es el último año del flujo de efectivo.

Solución: Aplicando la fórmula se tiene:0 = -1 000 - 800 (P/F, i , 1) + 500(P/A, i , 1) (P/F, i , 1) + 700 (P/F, i ,5)

Se puede resolver el problema aplicando el Métodos de tanteos:

Para i = 0%, el valor presente VP es:VP ( i =0%) = -1 000 - 800 + 500 x 4 + 700 = 900

Puesto que el valor presente para i=0% es positivo, la tasa es mayor que 0. Si se toma otrovalor por ejemplo i=12%, se tiene:

VP( i=12%) = -1 000 - 800(P/F,12%,1) + 500(P/A,12%,4)(P/F,12%,1) + 700 (P/F,12%,5)

= 32

Puesto que VP ( i =12%) sigue siendo mayor que cero se debe ensayar una tasa superior deinterés. Con i=15% se tiene que:VP( i=15%) = - 1 000 - 800 (P/F,15%,1) +500(P/A,15,4) +(P/F,15,1) +

700 (P/F,15%,1)= -116

En esta forma se sabe entonces que la tasa de rendimiento está entre el 12% y el 15%.

Graficando las dos últimas se tiene: C (12,32)


63/104


63

B D i

A E(15,-116)

Por semejanza de triángulos se calcula la tasa que hace VP(i) =0

AC=BC AE BD

BD = 0,649

La tasa de retorno = 12+ 0,6 = 12,6%

Ejemplo: Comparar mediante el método de la tasa de retorno de maquinas de igual servicio si setiene que la TMAR, para una inversión adicional es del 10%.

(miles de soles)

MAQUINA A MAQUINA BCosto inicial -100 -130Costo anual de operación -40 -30Valor de salvamento 10 13

Vida útil 2 3

Solución: Aquí interesa averiguar si las 30 unidades adicionales que cuesta la máquina B conrespecto a la máquina A tiene un retorno mayor al 10%.

-130

+13 +13 -130 -30 -30 -30 -30 -30 -30

Flujo de B:

0 1 2 3 4 5

-100 -100

+10

liibro analisis

Documents