Lidt om lim←−(k) og hvad de kan bruges til

Sara Arklint

Københavns Universitet

Kandidatprojekt (15 ECTS-point)Aeveret 11. april 2007Vejleder: Anders Frankild

Indhold

1. Prolog 1

2. Beregning af lim←−(k) 1

3. Forsvinding af lim←−(k) 14

4. Flade moduler og andet nyttigt 17

5. Resultater for homologiske dimensioner 30

A. Appendiks 33

Litteratur 37

1. Prolog

I begyndelsen af 1970'erne viste Chr. U. Jensen nogle resultater for homologiske dimen-sioner hvor beviserne byggede på kendskab til hvornår de aedte lim←−

(k) af projektiv limesforsvinder. I denne tekst arbejder vi os langsomt men sikkert frem mod et af disse re-sultater. Medmindre andet er anført, er sætningerne og deres beviser derfor taget fra[Jen72].Vi lægger ud med at denere lim←−

(k) og undersøger dem lidt inden vi ser hvornår demed sikkerhed forsvinder. Dernæst får vi dualiteten mellem projektiv og induktiv limes ispil så vi kan vise nogle resultater for homologiske dimensioner som leder hen til følgenderesultat: hvis en unital ring R opfylder at alle højre- og venstreidealer er af type højstℵk, vil

| l. gdR− r. gdR| ≤ k + 1,

i.e. venstre og højre global dimension af ringen vil afvige fra hinanden med højst k + 1.Teksten er skrevet til en læser som har et grundlæggende kendskab til homologisk

algebra og som før er stødt på projektiv og induktiv limes. For en sikkerheds skyld bliverde væsentligste begreber og konstruktioner kort introduceret inden de bruges.Angående notationen er den søgt holdt så simpel som muligt; fx er diverse prækser

og sub- og supscripts udeladt når det er skønnet acceptabelt at lade dem være under-forståede. For en afbildning f : X → Y og delmængder X0 ⊆ X og Y0 ⊆ Y betegnerf |X0 restriktionen af f til X0 mens f |Y0 betegner, såfrem det giver mening, korestriktio-nen af f til Y0. Desuden er følgende notation benyttet adskillige steder: for et elementx = (xi)i∈I i

∏i∈I Ai indfører vi for en delmængde J ⊆ I betegnelsen x|J for (xj)j∈J , og

for et element i ∈ I betegnelsen x|i = xi. Notationen synes oplagt såfremt man betragterx som en funktion x : I →

⋃i∈I Ai, dvs. fx er x|J blot restriktionen x|J : J →

⋃i∈I Ai.

Endelig skal nævnes at vi for moduler A ⊆ B betegner et element i kvotienten B/A somb+A.I det følgende er alle ringe unitale, og med moduler over sådanne ringe menes der

venstremoduler.

2. Beregning af lim←−(k)

Vi lægger altså ud med en kort introduktion til kategorien af projektive I-systemer ogfunktoren projektiv limes samt dennes aedte, og dernæst kigger vi nærmere på hvordande aedte lim←−

(k) kan beregnes.

Kategorien af projektive I-systemer

For en fast ring R og en fast opadltrerende partielt ordnet mængde I betragtes katego-rien af projektive I-systemer af R-moduler. Dvs. objekterne i vores kategori er familier(Ai, fij) hvor hvert Ai er en R-modul, hvor vi har en R-homomor fij : Aj → Ai nåri ≤ j, hvor fii = 1Ai for alle i ∈ I, og hvor fijfjk = fik når i ≤ j ≤ k. Og morerne

1

(Ai, fij)→ (Bi, gij) er familier (ϕi) af R-homomorer hvor diagrammet

Ai

ϕi

Ajfijoo

ϕj

Bi Bj

gijoo

kommuterer for alle i ≤ j.Vi ser hurtigt at for (ϕi) : (Ai, fij)→ (Bi, gij) er ker(ϕi) = (kerϕi, fij |kerϕi

kerϕj), im(ϕi) =

(imϕi, gij |imϕiimϕj

) og coker(ϕi) = (cokerϕi, x+imϕj 7→ gij(x)+imϕi) som er veldenerede

projektive I-systemer da fij(kerϕj) ⊆ kerϕi og gij(imϕj) ⊆ imϕi ifgl. ovenståendediagram. Vi ser heraf at en følge af projektive I-systemer er exakt i (Ai) netop når detilsvarende følger af R-moduler er exakt i Ai for hvert i ∈ I. Kategorien af projektiveI-systemer arver en del struktur fra kategorien af R-moduler, og det er en hyggelig lilleopgave, jf. [Wei94, A.4.3], at vise at det er en abelsk kategori. Direkte sum dannes fx(Ai, fij)⊕ (Bi, gij) = (Ai ⊕Bi, fij ⊕ gij).Vi bemærker desuden at kategorien har nok injektive. Før vi kan vise dette, får vi brug

for et lille lemma.

Lemma 2.1 Givet et projektivt I-system (Ai, fij) og en familie (Bi) af R-moduler somopfylder at vi for hvert i ∈ I kan indlejre Ai i Bi, kan vi indlejre (Ai) i det projektiveI-system (Ci, hij) givet ved

Ci =∏k≤i

Bk, hij((xk)k≤j) = (xk)k≤i.

Bevis. At (Ci, hij) udgør et projektivt I-system er klart. Lad ιi : Ai → Bi betegne degivne indlejringer. Denér nu ϕi : Ai → Ci ved ϕi(a) = (ιkfki(a))k≤i, og bemærk at ϕier injektiv da ιifii = ιi er injektiv. Det eftervises let at (ϕi) er en mor fra (Ai) til (Ci),og (ϕi) er således en indlejring eftersom hver ϕi er injektiv.

Sætning 2.2 Ethvert projektivt I-system (Ai) kan indlejres i et injektivt projektivt I-system.

Bevis. Da kategorien af R-moduler har nok injektive, kan vi for hvert i ∈ I indlejre Ai ien injektiv modul Bi. Ifølge lemma 2.1 kan (Ai) indlejres i (Ci, hij) deneret ved

Ci =∏k≤i

Bk, hij((xk)k≤j) = (xk)k≤i.

Vi skal blot eftervise at (Ci, hij) er et injektivt objekt. Lad derfor en mor (ϕi) : (Xi)→(Ci) være givet samt en indlejring af (Xi, fij) i systemet (Yi, gij):

0 // (Xi)(ιi) //

(ϕi)

(Yi)

(Ci)

2

Lader vi πi betegne projektionen Ci → Bi givet ved (xk)k≤i 7→ xi, bemærker vi at vi forhvert i ∈ I kan udvide πiϕi til en homomor ψi : Yi → Bi

0 // Xiιi //

πiϕi

Yi

ψi~~

Bi

eftersom Bi er injektiv. Denér nu en homomor ψi : Yi → Ci ved ψi(y) = (ψkgki(y))k≤i.Da vi har for alle i ≤ j og alle y ∈ Yj at

ψi(gij(y)) = (ψkgkigij(y))k≤i = (ψkgkj(y))k≤i = hij(ψj(y)),

er (ψi) : (Yi)→ (Ci) en mor, og da vi givet i ∈ I og x ∈ Xi har at

ψiιi(x) = (ψkgkiιi(x))k≤i= (ψkιkfki(x))k≤i= (πkϕkfki(x))k≤i= (πkhkiϕi(x))k≤i= ϕi(x),

udvider (ψi) som ønsket (ϕi).

Funktorerne lim←−(k)

Til ethvert projektivt I-system (Ai, fij) knytter vi en projektiv limes lim←−I(Ai, fij) ellerblot lim←−Ai givet som R-modulen

lim←−I(Ai, fij) =

(ai) ∈∏i∈I

Ai

∣∣∣∣ ∀i ≤ j : ai = fij(aj),

samt R-homomorer αj : lim←−Ai → Aj givet ved αj((ai)) = aj . Den projektive limeshar den universelle egenskab at hvis vi har en anden R-modul B og R-homomorer(ψi : B → Ai)i∈I som opfylder at ψi = fijψj når i ≤ j, da ndes netop én R-homomorψ : B → lim←−Ai så ψi = αiψ for alle i ∈ I.Givet en mor (ϕi) : (Ai) → (Bi) kan vi denere en R-homomor lim←−ϕi : lim←−Ai →

lim←−Bi ved (ai) 7→ (ϕi(ai)). Da lim←−ϕi deneres koordinatvist, er det klart at projektivlimes lim←− er en additiv funktor fra kategorien af projektive I-systemer til kategorien afR-moduler.Da kategorien har nok injektive og da lim←− er additiv, kan vi således betragte de højre-

aedte funktorer lim←−(k) til lim←− givet ved injektive resolutioner. Og følgende lemma giver

specielt at lim←−(0) er isomorf med lim←−.

Lemma 2.3 Funktoren lim←− er venstreexakt.

3

Bevis. Lad der være givet en kortexakt følge

0 // (Ai, fij)(ϕi) // (Bi, gij)

(ψi) // (Ci, hij) // 0 .

Vi ser straks at der generelt gælder at

ker(lim←−ϕi

)= (ai) ∈ lim←−Ai | ϕi(ai) = 0

=

(ai) ∈∏i∈I

kerϕi

∣∣∣∣ (ai) ∈ lim←−Ai

= lim←− kerϕi,

så da de enkelte R-homomorer ϕi alle er injektive, er også lim←−ϕi injektiv.

Da lim←− er en additiv funktor, har vi at im(lim←−ϕi

)⊆ ker

(lim←−ψi

). Da imϕi = kerψi

for alle i ∈ I, har vi for et (bi) ∈ ker(lim←−ψi

)at der ndes (ai) ∈

∏Ai så ϕi(ai) = bi for

alle i ∈ I. Og siden

ϕi(fij(aj)) = gij(ϕj(aj)) = gij(bj) = bi = ϕi(ai)

for alle i ≤ j, har vi da hver ϕi er injektiv at fij(aj) = ai for alle i ≤ j. Ergo vil

(ai) ∈ lim←−Ai og (lim←−ϕi)((ai)) = (ϕi(ai)) = (bi) så (bi) ∈ im(lim←−ϕi

).

Bemærkning 2.4 Indexmænden I behøver ikke at være opadltrerende for at vi kanlave konstruktionen af projektiv limes og opnå den universelle egenskab. Dette faktumvil blive benyttet senere hen hvor vi for vilkårlige delmængder J ⊆ I vil betragte limiten

lim←−J Ai =

(ai) ∈∏i∈J

Ai

∣∣∣∣ ∀i ≤ j : ai = fij(aj)

af delsystemet (Ai)i∈J . Vi betragter da den kanoniske afbildning lim←−I Ai → lim←−J Ai givetved a 7→ a|J ; bemærk at denne afbildning ikke behøver være surjektiv.

Svagt asque resolutioner

I det følgende vil vi se at de aedte lim←−(k) til projektiv limes kan bestemmes ud fra svagt

asque resolutioner i stedet for injektive resolutioner, og dette benytter vi til for et givetsystem (Ai) at konstruere et konkret kompleks at beregne lim←−

(k)Ai ud fra.For at kunne denere begreberne asque og svagt asque lægger vi en topologi på I

ved at denere en basis (j ∈ I | j ≤ i)i∈I for de åbne delmængder.

Denition 2.5 Et projektivt I-system (Ai) kaldes asque såfremt den kanoniske afbild-ning lim←−I Ai → lim←−J Ai givet ved a 7→ a|J er surjektiv for alle åbne delmængder J ⊆ I.

Systemet (Ai) kaldes svagt asque hvis afbildningen lim←−I Ai → lim←−J Ai er surjektiv foralle opadltrerende åbne delmængder J ⊆ I.

4

Vi lægger ud med nogle nyttige iagttagelser.

Lemma 2.6 Hvis det projektive I-system (Ai) er svagt asque, er afbildningen lim←−I Ai →lim←−J Ai surjektiv for alle opadltrerende delmængder J ⊆ I.

Bevis. Givet en opadltrerende delmængde J ⊆ I vil

U = i ∈ I | ∃j ∈ J : i ≤ j

være åben i I og opadltrerende. Da (Ai) er svagt asque, vil lim←−I Ai → lim←−U Ai såledesvære surjektiv. Og lim←−U Ai → lim←−J Ai er oplagt surjektiv da et (aj) ∈ lim←−J Ai kan løftes

til (ai)i∈U hvor ai = fij(aj) for et j ∈ J med i ≤ j. Så dermed bliver sammensætningenlim←−I Ai → lim←−J Ai også surjektiv.

Lemma 2.7 Hvis det projektive I-system (Ai) er svagt asque, vil også delsystemet(Ai)i∈J være svagt asque for alle opadltrerende delmængder J ⊆ I.

Bevis. Givet en opadltrerende delmængde K af J vil K også være opadltrerende i Ieftersom J er det. Thi givet i ∈ I ndes, da J er opadltrerende i I, et j ∈ J så j ≥ i,og da K er opadlterende i J , ndes så et k ∈ K så k ≥ j og altså k ≥ i.Så siden (Ai) er svagt asque er lim←−I Ai → lim←−K Ai surjektiv. Derfor må også lim←−J Ai →

lim←−K Ai være surjektiv eftersom vi for a ∈ lim←−I Ai har at a|K = (a|J)|K .

Som nævnt skal vi se at lim←−(k) kan beregnes ud fra svagt asque resolutioner, og vi

viser nu at ethvert projektivt I-system tillader en asque resolution.

Sætning 2.8 Ethvert projektivt I-system kan indlejres i et asque projektivt I-system.

Bevis. Lad (Ai) være et projektivt I-system. Det følger af lemma 2.1 at vi kan indlejre(Ai) i det projektive I-system (Bi, gij) givet ved

Bi =∏k≤i

Ak, gij ((xk)k≤j) = (xk)k≤i.

For alle åbne delmængder J ⊆ I er

lim←−J Bi =∏i∈J

Ai

og afbildningen lim←−I Bi → lim←−J Bi således (ai)i∈I 7→ (ai)i∈J og altså surjektiv. Så (Bi)er asque.

Korollar 2.9 Et injektivt projektivt I-system (Ai, fij) er asque.

Bevis. Ifølge sætning 2.8 kan (Ai) indlejres i et asque projektivt I-system (Bi, gij). Da(Ai) er et injektivt objekt vil (Ai) være direkte summand i (Bi), dvs. vi har et projektivtI-system (Ci, hij) så (Ai ⊕ Ci, fij ⊕ hij) ∼= (Bi, gij).Da (Bi) er asque er således lim←−I Ai ⊕ Ci → lim←−J Ai ⊕ Ci givet ved (ai + ci)i∈I 7→

(ai+ci)i∈J surjektiv for alle åbne delmænder J ⊆ I, dvs. også (Ai) og (Ci) er asque.

5

Da vi gentagne gange skal føre bevis ved (transnit) induktion over kardinalitet afindeksmængden I, får vi brug for det følgende lemma. Vi vil desuden senere hen fåbrug for at vi i beviset for lemmaet angiver en fremgangsmåde til ud fra en uendeligdelmængde J ⊆ I at konstruere en opadltrerende delmængde J ⊆ I som indeholder Jog er af samme kardinalitet som J .

Lemma 2.10 Hvis I er en opadltrerende partielt ordnet mængde af uendelig kardinali-tet, ndes en velordnet familie (Iµ) af opadltrerende delmængder Iµ ⊆ I som opfylderat I =

⋃µ Iµ, at hver Iµ har kardinalitet skarpt mindre end kardinaliteten af I, at Iν ⊆ Iµ

når ν ≤ µ, og at Iµ =⋃ν<µ Iν såfremt µ er en grænseordinal.

Bevis. Lad Ω betegne den mindste velordnede mængde af samme kardinalitet som I mere præcist læg en velordning på I og sæt Ω = y ∈ I | y < x hvor x er det mindsteelement i I som opfylder at delmængden y ∈ I | y < x er af samme kardinalitet som I og bemærk at dette betyder at Ω ikke har noget største element.Fordi mængderne er af samme kardinalitet, har vi en bijektion f : I → Ω. For hvert

µ ∈ Ω deneresEµ = i ∈ I | f(i) < µ.

Bemærk at |Eµ| < |I| pga. valget af Ω. Bemærk desuden at Eν ⊆ Eµ når ν ≤ µ, at

I =⋃µ∈Ω

Eµ,

og at Eµ =⋃ν<µEν når µ er en grænseordinal dvs. når µ ikke har nogen forgænger. Vi

mangler nu blot at mingelere med vores Eµ så de også bliver opadltrerende.Hvis I er tællelig, har vi dels at Ω = N og dels at hver Eµ er endelig. Og da I er

opadltrerende vil enhver endelig delmængde af I have en øvre grænse i I. Vi kan såledesrekursivt denere vores Iµ ved at sætte I1 = ∅ og ved at sætte

In+1 = En+1 ∪ In ∪ i

hvor i er valgt så det er en øvre grænse for En+1 ∪ In.Hvis I er overtællelig, gør vi følgende. Da I er opadltrerende ndes en funktion

g : I × I → I med egenskaberne g(i, i) = i, g(i, j) ≥ i og g(i, j) ≥ j for alle i, j ∈ I.Denér rekursivt

Eµ,1 = g(i, j) | i, j ∈ Eµ, Eµ,n = g(i, j) | i, j ∈ Eµ,n−1

og bemærk at Eµ ⊆ Eµ,n, at hver Eµ,n ligesom Eµ har kardinalitet skarpt mindre end I,at Eν,n ⊆ Eµ,n når ν ≤ µ, og at Eµ,n =

⋃ν<µEν,n når µ er en grænseordinal. Sæt nu

Iµ =⋃n∈N

Eµ,n.

Da vil Iµ være opadltrerende samt opfylde de øvrige ønskede egenskaber.

6

Følgende resultat vil vise sig nyttigt i ere beviser senere hen, og dets bevis er førsteeksempel på hvordan vi vil anvende lemma 2.10.

Sætning 2.11 Hvis det projektive I-system (Ai) er svagt asque, vil der for enhverkortexakt følge

0 // (Ai)(ϕi) // (Bi)

(ψi) // (Ci) // 0

gælde at den inducerede følge

0 // lim←−Ailim←−ϕi

// lim←−Bilim←−ψi

// lim←−Ci // 0

er exakt.

Bevis. Da lim←− er venstreexakt, skal vi blot vise at lim←−ψi er surjektiv. Dette gøres vedfuldstændig induktion over kardinaliteten af I. Hvis I er endelig, er lim←−I oplagt exakt;

thi da har I et største element m, så lim←−Di = Dm og lim←− τi = τm for alle objekter (Di)og alle morer (τi). Antag at det ønskede gælder for indeksmængder med kardinalitetskarpt mindre end |I|. Lad c ∈ lim←−Ci og lad os nde b ∈ lim←−Bi så (lim←−ψi)(b) = c.

Ved lemma 2.10 skrives I =⋃µ Iµ; husk at netop I1 er tom. For at lette notationen

sættes cµ = c|Iµ ; bemærk at cmu ∈ lim←−Iµ Ci. Vi vil nu sammenstykke b ved rekursivt for

hvert µ 6= 1 at nde bµ ∈ lim←−Iµ Bi så (lim←−Iµ ψi)(bµ) = cµ og så bµ|Iν = bν når ν < µ.

Vi kan nemlig så denere b ved b|i = bµ|i når i ∈ Iµ. Da bµ|Iν = bν når ν ≤ µ bliver b|iuafhængigt af valget af µ. For i ≤ j vil fij(b|j) = fij(bµ|j) = bµ|i = b|i når i, j ∈ Iµ, såb ∈ lim←−Bi. Og (lim←−ψj(b))|i = ((lim←−Iµ ψj)(bµ))|i = cµ|i = c|i når i ∈ Iµ så (lim←−ψi)(b) = c.

Da |I2| < |I| giver induktionsantagelsen os at lim←−I2 ψi er surjektiv og dermed et b2.

Antag at vi for ν < µ allerede har konstrueret bν , og lad os konstruere bµ.Hvis µ er en grænseordinal, vil Iµ =

⋃ν<µ Iν . Denér bµ|i = bν |i når i ∈ Iν for et ν < µ.

Da vi for ν < µ har at bν opfylder antagelserne, kan det på tilsvarende vis som ovenforeftervises at bµ|i er uafhængigt af valget af ν samt at bµ ligger i lim←−Iµ Bi og opfylder det

ønskede.Hvis µ ikke er en grænseordinal, kan vi skrive µ = ν + 1 for et ν. Og så skal vi blot

løfte cµ til et bµ med bµ|Iν = bν . Thi for κ < µ vil κ ≤ ν så bµ|Iκ = bν |Iκ = bκ. Betragtderfor diagrammet

0 // lim←−Iν+1Ai

lim←−Iν+1ϕi

//

lim←−Iν+1Bi

lim←−Iν+1ψi

//

lim←−Iν+1Ci

// 0

0 // lim←−Iν Ailim←−Iν

ϕi

//

lim←−Iν Bilim←−Iν

ψi

// lim←−Iν Ci // 0,

0

7

som per konstruktion kommuterer. Ihukom at (Ai)i∈Iν og (Ai)i∈Iν+1 ifølge lemma 2.7 ersvagt asque. Rækkerne er derfor exakte ifølge induktionsantagelsen da |Iν+1| < |I| og|Iν | < |I|, og søjlen er exakt ifgl. lemma 2.6. Ved en lille diagramjagt vil vi nu løfte cν+1

til et bν+1 som opfylder at bν+1|Iν = bν :

aν+1 //

_

b′′ν+1 // 0

b′ν+1 //

_

cν+1_

b′ν

// cν

bν%

22eeeeeeeeeeeeee

aν // b′ν − bν

// 0

Løft først cν+1 til et b′ν+1, og sæt b′ν = b′ν+1|Iν . Da vil såvel bν som b′ν afbildes over icν så vi kan nde et aν ∈ lim←−Iν Ai som afbildes over i b′ν − bν . Da (Ai)i∈Iν+1 er svagt

asque, kan vi løfte aν til aν+1 ∈ lim←−Iν+1Ai. Sæt bν+1 = lim←−Iν+1

ϕi(aν+1) og dernæst

bν+1 = b′ν+1 − b′′ν+1.

Korollar 2.12 Givet en kortexakt følge af projektive I-systemer

0 // (Ai) // (Bi) // (Ci) // 0

hvor (Ai) og (Bi) er svagt asque, vil også (Ci) være svagt asque.

Bevis. Lad U ⊆ I være en åben opadltrerende delmængde, og lad os vise at lim←−I Ci →lim←−U Ci er surjektiv. Betragt nu følgende oplagt kommuterende diagram

0 // lim←−I Ai // lim←−I Bi //

lim←−I Ci //

0

0 // lim←−U Ai // lim←−U Bi //

lim←−U Ci // 0

0

hvor rækkerne er exakte ifølge sætning 2.11 fordi (Ai)i∈I og (Ai)i∈U er svagt asque oghvor søjlen er exakt fordi (Bi) er svagt asque. Det ønskede følger nu.

Sætning 2.13 Hvis det projektive I-system (Ai) er svagt asque, er lim←−(k)Ai = 0 for

alle k ≥ 1.

Bevis. Indlejr (Ai) i et injektivt projektivt I-system (Bi) og betragt den kortexakte følge

0 // (Ai) // (Bi) // (Ci) // 0

8

hvor (Ci) selvfølgelig er kokernen. Da vi har deneret lim←−(k) ud fra injektive resolutioner,

vil lim←−(k)Bi = 0 for alle k ≥ 1. Den langexakte følge giver derfor

0 // lim←−Ai // lim←−Bi // lim←−Ci // lim←−(1)Ai // 0,

og sammenholder vi dette med sætning 2.11 ser vi at lim←−(1)Ai = 0.

Lad k ≥ 2 og antag at lim←−(k−1)Di = 0 for alle svagt asque projektive I-systemer

(Di). Den langexakte følge giver også at

0 // lim←−(k−1)Ci // lim←−

(k)Ai // 0

da lim←−(k−1)Bi = 0 og lim←−

(k)Bi = 0. Da (Bi) ifgl. korollar 2.9 er asque, giver foregåendekorollar os at (Ci) er svagt asque, og induktionsantagelsen giver derfor at

lim←−(k)Ai ∼= lim←−

(k−1)Ci = 0.

Vi kan nu vise at lim←−(k) kan beregnes ud fra svagt asque resolutioner.

Sætning 2.14 Givet et projektivt I-system (Ai) og en svagt asque resolution

0 // (Ai)(ϕ−1

i )// (F 0

i )(ϕ0

i )// (F 1

i )(ϕ1

i )// (F 2

i )(ϕ2

i )// · · ·

af (Ai), har vi for alle n ≥ 0 at

lim←−(n)(Ai) ∼= Hn(lim←−F

∗i )

hvor (F ∗i ) betegner komplekset

0 // (F 0i )

(ϕ0i )// (F 1

i )(ϕ1

i )// (F 2

i )(ϕ2

i )// · · · .

Bevis. Bemærk først at

lim←−Ai == lim←− kerϕ0i = ker lim←−ϕ

0i∼= H0(lim←−F

∗i ).

Tilfældet n ≥ 1 kræver lidt mere arbejde. Vi starter med at zigzagopdele vores exaktefølge i kortexakte følger

0!!C

CCC 0 0

$$JJJJJ 0 0

(A−1i )

==zzzz

AAA

A(An−1

i )

;;xxxxx

!!DDD

D(An+1

i )

==||||

0 // (Ai)

(ψ−1i ) >>~~~~ (ϕ−1

i )// (F 0

i )

(ψ0i )

>>>>

(ϕ0i )// · · · // (Fn−1

i )

(ψn−1i ) ;;wwww (ϕn−1

i )// (Fni )

(ψni )

????

(ϕni )// (Fn+1

i )

(ψn+1i ) ;;wwww (ϕn+1

i )// · · ·

0

DD(A0

i )

<<<<

(Ani )

##GGG

GG

==zzzz

0 0

==||||0

9

hvor (Ani ) = ker(ϕn+1i ) og (ψni ) er korestriktionen af (ϕni ). For hvert n ≥ 0 vil

lim←−Ani / im(lim←−ψ

ni ) = ker(lim←−ϕ

n+1i )/ im(lim←−ϕ

ni ) = Hn+1(lim←−F

∗i ),

så da lim←− er venstreexakt opnår vi en exakt følge

0 // lim←−An−1i

// lim←−Fni

lim←−ψni // lim←−A

ni

// Hn+1(lim←−F∗i ) // 0 .

Da (Fni ) er svagt asque giver sætning 2.13 at lim←−(1) Fni = 0, så den langexakte følge til

lim←− induceret af den kortexakte følge

0 // (An−1i ) // (Fni )

(ψni )// (Ani ) // 0

giver en exakt følge

0 // lim←−An−1i

// lim←−Fni

lim←−ψni // lim←−A

ni

// lim←−(1)An−1

i// 0 .

Heraf kan vi slutte atHn+1(lim←−F

∗i ) ∼= lim←−

(1)An−1i

for alle n ≥ 0.Samtidig får vi ved at betragte en bid k ≥ 1 længere henne i den samme langexakte

følge at

0 // lim←−(k)Ani

// lim←−(k+1)An−1

i// 0

eftersom lim←−(k) Fni = 0 og lim←−

(k+1) Fni = 0 ifølge sætning 2.13. Ved succesiv anvendelse

af identiteten lim←−(k)Ani

∼= lim←−(k+1)An−1

i opnår vi at

lim←−(1)An−1

i∼= lim←−

(n+1)An−1−ni

∼= lim←−(n+1)Ai.

Det følger nu atHn+1(lim←−F

∗i ) ∼= lim←−

(n+1)Ai

for alle n ≥ 0.

Inden vi går videre til afsnittet om hvornår lim←−(k) forsvinder, konstruerer vi et konkret

kompleks at beregne lim←−(k) ud fra; det vil vi få brug for i afsnit 4.

Lemma 2.15 Givet et projektivt I-system (Ai, fij) kan vi konstruere en asque resolution

0 // (Ai, fij)(δ−1

i )// (Π0

i , p0ij)

(δ0i )// · · ·

(δ1i )// (Πn

i , pnij)

(δni )// (Πn+1

i , pn+1ij )

(δn+1i )// · · ·

af (Ai) med asque systemer givet ved

Πni =

∏i0≤···≤in≤i

Ai0 , pnij(x) = x|(i0,...,in)|i0≤···≤in≤i.

10

og dierentialer givet ved δ−1i (a)|i0 = fi0i(a) og

δni (x)|(i0,...,in+1) = fi0i1(x|(i1,...,in+1)) +n+1∑ν=1

(−1)νx|(i0,...,iν ,...,in+1).

Bevis. At (Πni , p

nij) er et projektivt I-system, er let at indse. Og for en åben delmængde

J ⊆ I kan et element (xj) ∈ lim←−J Πnj løftes til (xi) ∈ lim←−I Πn

i givet ved

xi|(i0,...,in) =

xin |(i0,...,in) når in ∈ J0 ellers

når i0 ≤ · · · ≤ in ≤ i. Thi at (xi) ligger i lim←−Πni eftervises let, og fordi J er åben har vi

for j ∈ J at in ∈ J når in ≤ j og deraf følger at xj = xj . Så (Πni , p

nij) er asque.

At δni pnij = pn+1

ij δnj når i ≤ j synes oplagt, så (δni ) : (Πni ) → (Πn+1

i ) er en mor. Fori ≤ j har vi for a ∈ Aj og i0 ≤ i at

(δ−1i fij(a))|i0 = fi0ifij(a) = fi0j(a) = δ−1

j (a)|i0 = (p0ijδ−1j (a))|i0

dvs. δ−1i fij = p0

ijδ−1j , så også (δ−1

i ) : (Ai)→ (Π0i ) er en mor.

For i0 ≤ i1 ≤ i og a ∈ Ai0 vil

(δ0i δ−1i (a))|(i0,i1) = fi0i1(fi1i(a))− fi0i(a) = 0

11

dvs. δ0i δ−1i = 0 for alle i. Og for n ≥ 1 har vi for i0 ≤ · · · ≤ in+1 ≤ i og x ∈ Πn−1

i at

(δni δn−1i (x))|(i0,...,in+1) = fi0i1(δ

n−1i (x)|(i1,...,in+1)) +

n+1∑ν=1

(−1)νδn−1i (x)|(i0,...,iν ,...,in+1)

= fi0i1fi1i2(x|(i2,...,in+1)) +n+1∑µ=2

(−1)µ−1fi0i1(x|(i0,i2,...,iµ,...,in+1))

+ (−1)(fi0i2(x|(i2,...,in+1)) +

n+1∑µ=2

(−1)µ−1x|(i0,i2,...,iµ,...,in+1)))

+n+1∑ν=2

(−1)ν(fi0i1(x|(i1,...,iν ,...,in+1)) +

ν−1∑µ=1

(−1)µx|(i0,...,iµ,...,iν ,...,in+1)

+n+1∑

µ=ν+1

(−1)µ−1x|(i0,...,iν ,...,iµ,...,in+1)

)

=n+1∑µ=2

(−1)µx|(i0,i2,...,iµ,...,in+1) +n+1∑ν=2

(−1)ν+1x|(i0,i2,...,iν ,...,in+1)

+n+1∑ν=2

( ν−1∑µ=2

(−1)µ+νx|(i0,...,iµ,...,iν ,...,in+1)

+n+1∑

µ=ν+1

(−1)µ+ν−1x|(i0,...,iν ,...,iµ,...,in+1)

)= 0,

dvs. δni δn−1i = 0. Så vi har altså konstrueret et kompleks.

For at vise exakthed betragter vi for n ≥ 1 R-homomoren εni : Πni → Πn−1

i givet ved

εni (x)|(i0,...,in−1) = (−1)nx|(i0,...,in−1,i)

samt R-homomoren ε0i : Π0i → Ai givet ved ε

0i (x) = x|i. Vi ser at

ε0i (δ−1i (a)) = δ−1

i (a)|i = fii(a) = a

for alle a ∈ Ai, samt at vi for i0 ≤ · · · ≤ in ≤ i og x ∈ Πni har at

εn+1i δni (x)|(i0,...,in) = (−1)n+1δni (x)|(i0,...,in,i)

= (−1)n+1fi0i1(x|(i1,...,in,i))

+n∑ν=1

(−1)ν+n+1x|(i0...,iν ,...,in,i) + (−1)2(n+1)x|(i0,...,in)

12

og at

δn−1i εni (x)|(i0,...,in) = fi0ii(ε

ni (x)|(i1,...,in)) +

n∑ν=1

(−1)νεni (x)|(i0,...,iν ,...,in)

= (−1)nfi0i1(x|(i1,...,in,i)) +n∑ν=1

(−1)ν+nx|(i0...,iν ,...,in,i)

og altså at vi for n ≥ 0 har εn+1i δni + δn−1

i εni = 1Πni, samt at ε0i δ

−1i = 1Ai . At (εni ) ikke

nødvendigvis er en mor, har ingen betydning da vi blot bruger εni og εn+1i til at eftervise

exakthed i Πni for hvert enkelt i ∈ I. Dvs. for hvert i ∈ I har vi at komplekset af R-

moduler splitter og specielt er exakt, og dermed vil komplekset af projektive I-systemervære exakt. Dvs. vi har vitterligt konstrueret en asque resolution af (Ai).

Sætning 2.16 Givet et projektivt I-system (Ai, fij) har vi for alle n ≥ 0 at

lim←−(n)Ai ∼= Hn(Π(Ai))

hvor Π(Ai) betegner komplekset

0 //∏i0Ai0

δ0(Ai) // · · · δn−1(Ai) //

∏i0≤···≤in Ai0

δn(Ai) //∏i0≤···≤in+1

Ai0δn+1(Ai) // · · ·

hvis dierentialer δn(Ai) er deneret som

δn(Ai)(x)|(i0,...,in+1) = fi0i1(x|(i1,...,in+1)) +n+1∑ν=1

(−1)νx|(i0,...,iν ,...,in+1).

Bevis. Lad (Π∗i ) betegne den i lemma 2.15 introducerede asque resolution af (Ai). Ifølgesætning 2.14 vil

lim←−(n)Ai ∼= Hn(lim←−(Π∗i )),

og vi ønsker derfor at vise at komplekserne Π(Ai) og lim←−Π∗i er isomorfe.Denér for hvert n ∈ N

ϕn :∏

i0≤···≤in

Ai0 → lim←−Πni

x 7→ (x|(i0,...,in)|i0≤···≤in≤i)i∈I .

At afbildningen ϕn er en veldeneret, injektiv R-homomor ses let. Givet et element(xi) ∈ lim←−Πn

i denerer vi x ∈∏i0≤···≤in Ai0 ved

x|(i0,...,in) = xin |(i0,...,in),

og da vi for alle i ∈ I og i0 ≤ · · · ≤ in ≤ i har

(ϕn(x)|i)|(i0,...,in) = x|(i0,...,in) = xin |(i0,...,in) = pnini(xi)|(i0,...,in) = xi|(i0,...,in)

13

vil ϕn(x) = (xi), dvs. ϕn er surjektiv og således en isomor.Da vi har for x ∈

∏i0≤···≤in Ai0 let kan tjekke at

lim←− δni ϕn(x) = (δni (x|(i0,...,in)|i0≤···≤in≤i))i∈I

= (δn(Ai)(x)|(i0,...,in+1)|i0≤···≤in+1≤i)i∈I= ϕn+1δ

n(Ai)(x)

vil lim←− δni ϕn = ϕn+1δ

n(Ai), dvs. de to komplekser lim←−Π∗i og Π(Ai) er isomorfe,

0 // lim−→Π0i

lim−→ δ0i // · · · // lim−→Πni

lim−→ δni // lim−→Πn+1

i// · · ·

0 //∏i0Ai0

δ0(Ai)//

ϕ0 ∼=

OO

· · · //∏i0≤···≤in Ai0

δn(Ai)//

ϕn ∼=

OO

∏i0≤···≤in+1

Ai0 //

ϕn+1 ∼=

OO

· · · ,

og det ønskede følger.

3. Forsvinding af lim←−(k)

I dette afsnit ser vi at hvis indeksmængden I er af kardinalitet højst ℵk, vil lim←−(n)

I= 0

for alle n ≥ k + 2. Vi starter med tilfældet k = 0, og får til dette brug for et lemma:

Lemma 3.1 Et projektivt N-system (Am, fmn) er asque netop når fm,m+1 er surjektivfor alle m.

Bevis. Bemærk at de åbne ikke-trivielle delmængder af N netop er delmængderne afformen n | n ≤ N for et N ∈ N.Hvis (An) er asque, er lim←−An → lim←−n≤mAn surjektiv for alle m. Givet a ∈ Am vil

(fnm(a))n≤m ∈ lim←−n≤mAn kunne løftes til (an) ∈ lim←−An. Da fm,m+1(am+1) = am = a,

har vi at fm,m+1 er surjektiv.Omvendt har vi hvis hver fm,m+1 er surjektiv, at et (an) ∈ lim←−n≤N An kan løftes til

lim←−An ved rekursivt for m ≥ N at denere am+1 ved at vælge am+1 ∈ f−1m,m+1(am).

Bemærkning 3.2 Hvis J ⊆ I er en opadltrerende delmængde der er konal i I, har vien naturlig isomor lim←−J Ai

∼= lim←−I Ai for alle projektive I-systemer (Ai). Det følger så

af denitionen af lim←−(k) at lim←−

(k)

JAi ∼= lim←−

(k)

IAi for alle k.

Såfremt I er tællelig og ikke har noget maksimum, kan vi ved at betragte en en bijektionf : N→ I rekursivt denere en konal delmængde bn | n ∈ N af I ved at sætte b1 = f(1)og vælge bn så bn ≥ f(n) og bn > bn−1. Så hvis I er tællelig og ikke indeholder en endeligkonal delmængde, kan vi tillade os at antage at I = N.

Sætning 3.3 Såfremt I er tællelig, vil der for alle projektive I-systemer (Ai) gælde at

lim←−(n)Ai = 0

når n ≥ 2.

14

Bevis. Hvis I indeholder en endelig konal delmængde, vil lim←−I være exakt og det ønskedefølger. Ellers kan vi pga. bemærkning 3.2 antage at I = N. Så lad et projektivt N-system(Am) være givet.Vi starter med ved sætning 2.8 at indlejre (Am) i et asque projektivt I-system

(Bm, gnm) og betragter den kortexakte følge

0 // (Am) // (Bm, gmn) // (Cm, hmn) // 0 ,

hvor (Cm, hmn betegner kokernen.Ifølge lemma 3.1 er hver gm,m+1 surjektiv, så vi har et kommuterende diagram med

exakte rækker og søjlerBm+1

//

gm,m+1

Cm+1//

hm,m+1

0

Bm //

Cm // 0

0

hvoraf ses at hm,m+1 er surjektiv. Ergo giver lemma 3.1 at også (Cm) er asque. Vi harsåledes at gøre med en asque resolution af (Am), så ved at anvende sætning 2.14 pådenne, får vi ved at tage kohomologi af komplekset

0 // lim←−Bm // lim←−Cm // 0 // 0 // 0 // · · ·

at lim←−(n)Am = 0 for n ≥ 2.

Vi kan nu vise det generelle tilfælde k ≥ 0. Bemærk at resultatet synes en kendeunyttigt hvis man ikke har kontinuumshypotesen blandt sine antagelser.

Sætning 3.4 Såfremt kardinaliteten af I er højst ℵk, vil der for alle projektive I-systemer(Ai) gælde at

lim←−(n)Ai = 0

når n ≥ k + 2.

Bevis. Beviset forløber ved induktion efter k. Induktionsstarten k = 0 er klaret i sæt-ning 3.3. Så antag at det ønskede gælder for k − 1 og at |I| ≤ ℵk.Lad (Ai) være et projektivt I-system, og lad

0 // (Ai)(ϕ−1

i )// (F 0

i )(ϕ0

i )// (F 1

i )(ϕ1

i )// (F 2

i )(ϕ2

i )// · · ·

være en svagt asque resolution af (Ai). En sådan resolution ndes ifølge sætning 2.8.Sæt (Ani ) = ker(ϕn+1

i ) og lad (ψni ) betegne korestriktionen af (ϕni ) til (Ani ). Da vi ifølgesætning 2.14 har at

lim←−(n+1)Ai ∼= Hn+1(lim←−F

∗i ) = ker lim←−ϕ

n+1i / im lim←−ϕ

ni = lim←−A

ni / im lim←−ψ

ni

15

skal vi således vise at lim←−ψ(n)i er surjektiv, for alle n ≥ k + 1.

Igen opdeler vi I i I =⋃µ Iµ ved lemma 2.10. Bemærk at hver Iµ er af kardinalitet

højst ℵk−1, så induktionsantagelsen giver os at lim←−n

IµAi = 0 for alle n ≥ k+ 1. Eftersom

(F ∗i )i∈Iµ ifgl. lemma 2.7 er en svagt asque resolution af (Ai)i∈Iµ , har vi således da

lim←−(n)

IµAi ∼= Hn(lim←−Iµ F

∗i ) = lim←−Iµ A

n−1i / im lim←−Iµ ψ

n−1i

at lim←−Iµ ψn−1i er surjektiv for alle n ≥ k + 1.

Lad os nu udnytte dette til at sammenstykke at lim←−ψni er surjektiv for n ≥ k+1. Løftet

sammenstykkes rekursivt som i beviset for sætning 2.11. Så lad a ∈ lim←−Ani være givet og

sæt aµ = a|Iµ . Lad µ være fast og antag at vi for ν < µ har konstrueret fν ∈ lim←−Iν Fni så

(lim←−Iν ψni )(fν) = aν og så fν |Iλ = fλ når λ ≤ ν.

Hvis µ er en grænseordinal, vil Iµ =⋃ν<µ Iν . Som i beviset for sætning 2.11 kan vi

blot denere aµ ved at vælge aµ|i = aν |i når i ∈ Iν .Hvis µ ikke er en grænseordinal, er µ = ν + 1 for et ν. Og så skal vi blot løfte aµ til et

fµ ∈ lim←−Iµ Fni så fµ|Iν = fν . Betragt derfor følgende kommuterende diagram:

lim←−Iµ Fn−1i

lim←−Iµψn−1

i

**VVVVVVVVVV

0 // lim←−Iµ An−1i

//

))RRRRRRRRR

lim←−Iµ Fni

lim←−Iµψn

i//

lim←−Iµ Ani //

0

lim←−Iν Fn−1i

lim←−Iνψn−1

i

++VVVVVVVVVV 0

0 // lim←−Iν An−1i

//

**UUUUUUUUUlim←−Iν F

ni

lim←−Iνψn

i//

lim←−Iν Ani // 0

0 0

0

De lodrette følger er exakte ifgl. lemma 2.7 og lemma 2.6 da (Fni ) og (Fn−1i ) er svagt

asque. De øvrige følger er som allerede vist exakte per induktionsantagelsen. Vi ndernu det begærede fµ ved en lille diagramjagt:

xµ_

))SSSSSSSSS

a′µ //

_

f ′′µ //

_

0

f ′µ_

// aµ_

f ′ν

**VVVVVVVVVVVV

xν ))SSSSSSSSS fν

// aν

a′ν // fν − f ′ν

// 0

16

Vi starter med at udnytte surjektiviteten af lim←−Iµ ψni til at løfte aµ til et f ′µ ∈ lim←−Iµ F

ni ,

og vi sætter så f ′ν = f ′µ|Iν . Siden fν og f ′ν begge afbildes over i aν , kan vi nde et

a′ν ∈ lim←−Iν An−1i som afbildes over i fν − f ′ν . Brug nu surjektiviteten af lim←−Iν ψ

n−1i til

at løfte a′ν til et xν ∈ lim←−Iν Fn−1i som igen løftes til et xµ ∈ lim←−Iµ F

n−1i . Afbild dette

xµ over i a′µ ∈ lim←−Iµ An−1i og videre over i f ′′µ ∈ lim←−Iµ F

ni . Sæt fµ = f ′µ + f ′′µ . Da vil

lim←−Iµ ψni (fµ) = aµ og fµ|Iν = f ′ν + (fν − f ′ν) = fν .

Bemærkning 3.5 Det er vist i [Jen72, 6.2] at der til ethvert k ≥ 0 ndes et projektivtI-system (Ai) med |I| = ℵk og lim←−

(k+1)Ai 6= 0. Resultatet i sætning 3.4 kan således ikkeskærpes.

4. Flade moduler og andet nyttigt

Dette afsnit omhandler en del nyttigt som vi vil få brug for i det næste afsnit, heriblandtat enhver ad modul kan fås som induktiv limes af endeligt frembragte frie modulersamt en spektralfølge der spiller på dualiteten mellem projektiv og induktiv limes. I detfølgende betegner ℵ et uendeligt kardinaltal.

Om moduler af visse typer og af visse præsentationer

En R-modul A siges at være endeligt frembragt eller af endelig type (hhv. af type højst ℵ)såfremt der ndes en surjektiv afbildning F → A hvor F er en fri R-modul med endeligbasis (hhv. med basis af kardinalitet ℵ). Hvis A er af endelig type (hhv. af type højst ℵ)og ydermere også kernen for afbildningen F → A er af endelig type (hhv. af type højstℵ), siges A at være af endelig præsentation (hhv. af præsentation højst ℵ).Fra [Bou61] har vi følgende lemma som vil vise sig nyttigt gentagne gange.

Lemma 4.1 Hvis C er af endelig præsentation (hhv. af præsentation højst ℵ), B afendelig type (hhv. af type højst ℵ), og følgen af R-moduler

0 // Aα // B

β // C // 0

exakt, vil også A være af endelig type (hhv. af type højst ℵ).

Bevis. Da C er af endelig præsentation (hhv. af præsentation højst ℵ), ndes en exaktfølge

F1ϕ1 // F0

ϕ0 // C // 0

med frie moduler F1 og F0 af endelig type (hhv. af type højst ℵ).Vi starter med at konstruere homomorer ψ1 og ψ0 så diagrammet

F1ϕ1 //

ψ1

F0ϕ0 //

ψ0

C //

1C

0

0 // Aα // B

β // C // 0

17

kommuterer.Da modulen F0 er fri er den specielt projektiv, så surjektivitet af HomR(F0, β) giver

os ψ0 ∈ HomR(F0, B) så ϕ0 = βψ0.Da ϕ0ϕ1 = 0 vil βψ0ϕ1 = 0, dvs. ψ0(ϕ1(F1)) ⊆ kerβ så vi kan betragte korestriktionen

(ψ0ϕ1)|kerβ : F1 → kerβ. Da kerβ er lig med imα og da α er injektiv, kan vi såledesentydigt denere ψ1 : F1 → A ved ψ0ϕ1 = αψ1.Homomorerne α og β inducerer homomorer cokerψ1 → cokerψ0 hhv. cokerψ0 →

coker 1C , og slangelemmaet giver en homomor ker 1C → cokerψ1 således at følgen

0 = ker 1C // cokerψ1// cokerψ0

// coker 1C = 0

er exakt. Dvs. A/ imψ1 = cokerψ1∼= cokerψ0 = B/ imψ0.

Da F1 er af endelig type (hhv. af type højst ℵ) er også imψ1 = ψ1(F1) af endelig type(hhv. af type højst ℵ) eftersom billedet af frembringerne frembringer billedet. Tilsvarendehar vi da B er af endelig type (hhv. af type højst ℵ) at også B/ imψ0 og dermed A/ imψ1

er af endelig type (hhv. af type højst ℵ).Lader vi nu ai | i ∈ I være en frembringende delmængde for imψ1, og aj + imψ1 |

j ∈ J en frembringende delmængde for A/ imψ1, hvor I og J er endelige (hhv. afkardinalitet højst ℵ), vil ai | i ∈ I ∪ J frembringe A, og det ønskede følger således daI ∪ J er endelig (hhv. af kardinalitet højst ℵ).

Følgende lemma er fra [Jen66] og skal først bruges i et senere afsnit. Af lemmaet følgerat hvis alle venstreidealer i en ring R er af type højst ℵ, vil alle R-moduler af type højstℵ automatisk være af præsentation højst ℵ.

Lemma 4.2 Hvis ringen R opfylder at alle venstreidealer er af type højst ℵ, så vil enundermodul af en R-modul af type højst ℵ også have type højst ℵ.

Bevis. Vi viser først at hvis B er en endeligt frembragt modul, vil enhver undermodul Aaf B være af type højst ℵ; og dette viser vi ved fuldstændig induktion efter antallet affrembringere for B.Hvis B er frembragt af ét element, er B isomorf med R/a for et venstreideal a, nemlig

kernen a for afbildningen r 7→ rb når B = Rb. Ifølge Noethers isomorsætning er samtligeundermoduler i R/a af formen a1/a hvor a1 er et venstreideal i R som indeholder a. Daet sådant venstreideal a1 er af type højst ℵ, er også a1/a og dermed A af type højst ℵ.Antag nu at B = Rb1 + · · · + Rbn for et n > 1. Da vil modulen A ∩ Rb1 være

undermodul i Rb1 og derfor være af type højst ℵ ifølge induktionsantagelsen. IfølgeNoethers isomorsætning er A/(A ∩ Rb1) isomorf med (A + Rb1)/Rb1, og da modulenB/Rb1 er frembragt af de n−1 elementer b2 +Rb1, . . . , bn+Rb1, vil undermodulen (A+Rb1)/Rb1 være af type højst ℵ ifølge induktionsantagelsen. Da således både A/(A∩Rb1)og A∩Rb1 er af type højst ℵ, er også A selv af type højst ℵ, jf. evt. beviset for lemma 4.1.Lad nu B være en vilkårlig modul af type højst ℵ, lad A være en undermodul af B,

og vi vil nu indse at A er af type højst ℵ. Betragt en frembringende mængde bi | i ∈ Ifor B hvor kardinaliteten af I er højst ℵ, og betragt for hver endelig delmængde J ⊆ Iundermodulen

AJ = A ∩ spanRbj | j ∈ J.

18

Da AJ er en undermodul i den endeligt frembragte modul spanRbj | j ∈ J, vil AJ væreaf type højst ℵ. For hvert AJ betragter vi en mængde ai | i ∈ IJ af frembringere for AJsom opfylder at IJ er af kardinalitet højst ℵ. Da B = spanRbi | i ∈ I må A =

⋃J⊆I AJ ,

og altså må

S =ai

∣∣∣∣ i ∈ ⋃J⊆I

IJ

frembringe A. Og eftersom I er af kardinalitet højst ℵ, vil mængden af endelige delmæng-der af I også være af kardinalitet højst ℵ; så da hver IJ er af kardinalitet højst ℵ, vil Ssom ønsket være af kardinalitet højst ℵ.

Følgende lemma er ligesom sætning 4.5 taget fra [Laz69].

Lemma 4.3 Givet en R-homomor α : A→ B fra en R-modul A af endelig præsentationtil en ad R-modul B, ndes en endeligt frembragt fri R-modul F og R-homomorerα1 : A→ F og α2 : F → B så homomoren α går gennem F :

Fα2

@@@

@@@@

Aα //

α1

??~~~~~~~B

Bevis. Da A er af endelig præsentation, ndes endeligt frembragte frie moduler F0 og F1

og homomorer ϕ0 og ϕ1 så følgen

F1ϕ1 // F0

ϕ0 // A // 0

er exakt. Fordi vi altid kan nde en fri højremodul F2 som afbilder surjektivt på kernenaf HomR(ϕ1, R), kan vi nu betragte den exakte følge

F2ψ // HomR(F0, R)

HomR(ϕ1,R) // HomR(F1, R)

af højremoduler. Eftersom modulen B er ad, får vi ved anvendelse af funktoren −⊗RBen ny exakt følge

F2 ⊗R Bψ⊗RB // HomR(F0, R)⊗R B

HomR(ϕ1,R)⊗RB // HomR(F1, R)⊗R B

af abelske grupper.Da modulerne F0 og F1 er endeligt frembragte og frie, har vi, jf. [Mac67, 4.2], naturlige

isomorerHomR(Fi, R)⊗R B ∼= HomR(Fi, B), i = 0, 1,

dvs. vi står med følgende exakte følge

F2 ⊗R Bψ // HomR(F0, B)

HomR(ϕ1,B) // HomR(F1, B)

19

hvor ψ er deneret ved at diagrammet

HomR(F0, R)⊗R B∼=

))SSSSSSSSSSSSSS

F2 ⊗R B

ψ⊗RB66mmmmmmmmmmmmm ψ // HomR(F0, B)

skal kommutere.Vi vil nu gøre en del krumspring for at fabrikere modulen F og homomorerne α1 og

α2.Da ϕ0ϕ1 = 0 vil αϕ0ϕ1 = 0, dvs. αϕ0 ligger i kernen af HomR(ϕ1, B) og må derfor

ligge i billedet af ψ. Lad derfor x ∈ F2 ⊗R B være givet så αϕ0 = ψ(x).Da højremodulen F2 er fri, kan vi nde en endeligt frembragt fri undermodul F3 ⊆ F2

så x ∈ F3 ⊗R B. Thi vi kan skrive x som en endelig sum x =∑fk ⊗R bk, og lader vi

(fi) betegne en basis for F2 kan vi skrive hvert fk som en endelig sum fk =∑

i∈Ik fkrk,

så sætter vi F3 =⊕

i∈S

k IkfkR vil F3 være en endeligt frembragt fri undermodul som

opfylder at x ∈ F3 ⊗R B.Eftersom HomR(−, R) er additiv, kan vi ved at sætte F = HomR(F3, R) få en endeligt

frembragt fri venstremodul.Betragt nu afbildningen ψ|F3 : F3 → HomR(F0, R). Da modulen F0 er endeligt frem-

bragt og fri, har vi, jf. [Mac67, 4.1], en naturlig isomor HomR(HomR(F0, R), R) ∼= F0,så ved at betragte HomR(ψ|F3 , R) : HomR(HomR(F0, R), R) → HomR(F3, R) kan vi fåen afbildning ψ0 : F0 → F . Da HomR(ϕ1, R)ψ = 0 er specielt HomR(ϕ1, R)ψ|F3 = 0 ogderfor HomR(ψ|F3 , R) HomR(HomR(ϕ1), R), R) = 0, dvs. ψ0ϕ1 = 0 og dermed imϕ1 ⊆kerψ0. Da kerϕ0 = imϕ1 har vi altså at kerϕ0 ⊆ kerψ0, så eftersom A er isomorf medF0/ kerϕ0 kan vi ud fra ψ0 : F0 → F denere α1 : A→ F entydigt ved α1ϕ0 = ψ0.Vi mangler nu at konstruere α2 : F → B. Da F er en endeligt frembragt fri venstremo-

dul, vil HomR(F,R)⊗R B som abelsk gruppe være naturligt isomorf med HomR(F,B),og da HomR(F,R) er naturligt isomorf med F3, har vi således en naturlig isomor mellemF3 ⊗R B og HomR(F,B). Så vores x ∈ F3 ⊗R B svarer til en homomor α2 : F → B. Daψ(x) = αϕ0 har vi, jf.

HomR(F,R)⊗R B∼= //

HomR(ψ0,R)⊗RB

HomR(F,B)

HomR(ψ0,B)

F3 ⊗R Bψ|(F3⊗RB)

''PPPPPPPPPPPP(ψ|F3

)⊗RB

vvlllllllllllll

∼=hhRRRRRRRRRRRRR

HomR(F0, R)⊗R B∼= // HomR(F0, B),

at HomR(ψ0, B)(α2) = αϕ0, så α2ψ0 = αϕ0, og da ϕ0 er surjektiv følger det så af

20

diagrammet

F0ψ0 //

ϕ0

F

α2

A

α1

>> α // B

at α = α2α1.

Flade moduler som induktiv limes af endeligt frembragte frie moduler

Vi skal nu til at lege med induktiv limes, og lægger derfor ud med en kort introduktiontil induktive systemer og limites af sådanne.Som altid er I en opadltrerende partielt ordnet mængde. Et induktivt I-system er en

familie (Ai, fij) af R-moduler Ai for hvert i ∈ I og R-homomorer fij : Aj → Ai for allei, j ∈ I med i ≥ j, hvor vi kræver at fik = fijfjk når i ≥ j ≥ k samt at fii = 1Ai foralle i ∈ I. Den induktive limes lim−→I

(Ai, fij) = (A,αi) af et sådant system er givet vedR-modulen

A =

(ai) ∈∏i∈I

Ai

∣∣∣∣ fij(aj) = ai f.v.t.

/(ai) ∈

∏i∈I

Ai

∣∣∣∣ ai = 0 f.v.t.

og for hvert i ∈ I R-homomoren αi : Ai → A givet ved αi(a) = (aj) hvor

aj =

fji(a) hvis j ≥ i0 ellers.

Bemærk at vi her, og fremover, tager notationen let ved i stedet for at betragte elementeri lim−→Ai betragter repræsentanter for elementerne.Det eftervises nemt at der for alle i ≤ j gælder at αjfji = αi, og at der til hvert a ∈ A

ndes et i ∈ I så a ∈ imαi. Ligesom det let eftervises at (A,αi) har den universelleegenskab at hvis B er en R-modul med R-homomorer ψi : Ai → B som opfylder ψjfji =ψi når i ≤ j, så ndes en R-homomor ψ : A→ B så ψαi = ψi for alle i ∈ I.Kategorien af induktive I-systemer deneres dualt til kategorien af projektive I-sy-

stemer dualt med hensyn til ordningen på I og en mor (ϕi) : (Ai, fij)→ (Bi, gij) ersåledes R-homomorer ϕi : Ai → Bi som opfylder ϕifij = gijϕj når i ≥ j. Det kan tjekkesat en R-homomor lim−→ϕi : lim−→Ai → lim−→Bi kan deneres ved lim−→ϕi((ai)) = (ϕi(ai)), ogdet er velkendt at dette gør lim−→ til en exakt funktor, jf. evt. [Wei94, 2.6.15].Følgende lemma skal først bruges i næste afsnit.

Lemma 4.4 Hvis limiten A = lim−→Ai af et induktivt I-system (Ai, fij) er af præsentationhøjst ℵ og hvert Ai er af type højst ℵ, ndes en opadltrerende delmængde I ′ ⊆ I så

A ∼= lim−→I′Ai

og hvor I ′ er af kardinalitet højst ℵ.

21

Bevis. Vi vil altså gerne kreere en opadltrerende delmængde I ′ ⊆ I som har kardinalitethøjst ℵ og hvor systemet (Ai)i∈I′ har samme limes som (Ai)i∈I . Lader vi ϕi : Ai → Abetegne de kanoniske afbildninger, kan vi betragte den surjektive afbildning

ϕ =⊕i∈I

ϕi :⊕i∈I

Ai → A.

For hvert x ∈⊕

i∈I Ai og hvert j ∈ I lader vi ϕ(x)|j betegne∑

i≤j fji(x|i), altså det jteled i den ved denitionen af vores ϕi angivne repræsentant.Vi vil nu rekursivt kreere opadltrerende delmængder In ⊆ I som er af kardinalitet

højst ℵ og som opfylder at vi for alle i ∈ In og alle x ∈ kerϕ ∩ Ai kan nde et j ∈ In+1

så j ≥ i og fji(x) = 0.Da vi har en frembringende delmængde S ⊆ A af kardinalitet højst ℵ kan vi ved

at til hvert a ∈ S vælge et i ∈ I så a ∈ imϕi konstruere en delmængde I0 ⊆ I afindeksmængden så restriktionen

ϕ0 =⊕i∈I0

ϕi :⊕i∈I0

Ai → A

er surjektiv og så |I0| ≤ ℵ. Da vi i beviset for lemma 2.10 har angivet en fremgangsmådetil for en uendelig delmængde J ⊆ I at konstruere en delmængde J ⊆ I så J ⊆ J , så|J | = |J |, og så J er opadltrerende, kan vi antage at I0 er opadltrerende.Antag at In er konstrueret og vi vil konstruere In+1. Så lad ϕn betegne restriktionen af

ϕ til⊕

i∈In Ai. Da A er af præsentation højst ℵ og⊕

i∈In Ai af type højst ℵ, vil nemligkerϕn ifølge lemma 4.1 være af type højst ℵ, så vi kan nde en frembringende delmængdeM for kerϕn som har kardinalitet højst ℵ. Til hvert m ∈M har vi da ϕ(m) = 0 såledeset trin jm ∈ I så ϕ(m)|j = 0 når j ≥ jm. Sætter vi

D =jm1 , . . . , jmn

∣∣ n ∈ N,mν ∈M,

vil |D| ≤ ℵ fordi |M | ≤ ℵ. For hvert i ∈ I kan vi, fordi I er opadltrerende og et elementJ ∈ D er en endelig delmængde af I, lave fi : D → I så fi(J) ≥ i og fi(J) ≥ j for allej ∈ J . Da |D| ≤ ℵ vil |fi(D)| ≤ ℵ, så da |In| ≤ ℵ vil også

In+1 = In ∪⋃i∈In

fi(D)

være af kardinalitet højst ℵ. Som i beviset for lemma 2.10 laves In+1 ⊇ In+1 som eropadltrerende og af kardinalitet højst ℵ. Lad os lige sikre os at vores nyskabte In+1

opfylder det ønskede. Så lad i ∈ In og x ∈ kerϕ∩Ai ⊆ kerϕn. DaM frembringer kerϕn,har vi x = r1m1 + · · · rnmn for nogle m1, . . . ,mn ∈M , og sætter vi J = jm1 , . . . , jmnvil J ∈ D. Sæt nu j = fi(J) ∈ In+1. Da vil j ≥ i og

fji(x) = ϕ(x)|j = r1ϕ(m1)|j + · · ·+ rnϕ(mn)|j = 0

da j ≥ jmν .

22

Vi har således en kæde I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ · · · af opadltrerende delmængder af kardinalitethøjst ℵ. Sæt nu I ′ =

⋃n In og bemærk at I ′ er af kardinalitet højst ℵ samt opadltrerende.

Lad (A′, ψi) betegne den induktive limes af systemet (Ai)i∈I′ , og sæt

ψ =⊕i∈I′

ψi :⊕i∈I′

Ai → A′.

Lad desuden ϕ′ betegne restriktionen af ϕ til⊕

i∈I′ Ai.Da I0 ⊆ I ′ vil ϕ′ være surjektiv, og ψ er surjektiv per konstruktion, så vi skal blot vise

at kerϕ′ = kerψ for at kunne slutte at A og A′ er isomorfe.At kerψ ⊆ kerϕ′ følger umiddelbart af at I ′ ⊆ I. Lad nemlig x = (xi) ∈ kerψ være

givet, og lad k1 ∈ I ′ så ψ(x)|j = 0 for alle j ∈ I ′ som opfylder j ≥ k1. Da vi kun harxi 6= 0 for endeligt mange i, og da I ′ er opadltrerende, kan vi nde et k2 ∈ I ′ så xi = 0når i 6≤ k2. Snup et k ∈ I ′ så k ≥ k1 og k ≥ k2. For alle j ∈ I med j ≥ k har vi således at

ϕ′(x)|j =∑i≤j

fji(xi) =∑i≤k

fji(xi) =∑i≤k

fjkfki(xi) = fjk(ψ(x)|k) = 0,

ergo ϕ′(x) = 0.For at vise at kerϕ′ ⊆ kerψ skal vi have vores konstruktion af I ′ i spil. Lad x = (xi) ∈

kerϕ′, og lad k1 ∈ I være givet så ϕ′(x)|j = 0 for alle j ∈ I som opfylder at j ≥ k1. Snupk2 ∈ I ′ så xi = 0 når i 6≤ k2, og snup k3 ∈ I så k3 ≥ k1 og k3 ≥ k2. For j ∈ I med j ≥ k3

vil

ϕ

(∑i≤k2

fk2i(xi))∣∣∣∣

j

= fjk2

(∑i≤k2

fk2i(xi))

=∑i≤k2

fji(xi) = ϕ′(x)|j = 0,

dvs.∑

i≤k2 fk2i(xi) ∈ kerϕ ∩Ak2 . Vi kan således nde et k ∈ I ′ så k ≥ k2 og

fkk2

(∑i≤k2

fk2i(xi))

= 0.

Vi opnår derved for alle j ∈ I ′ med j ≥ k at

ψ(x)|j =∑i≤j

fji(xi) =∑i≤k2

fjkfkk2fk2i(xi) = fjkfkk2

(∑i≤k2

fk2i(xi))

= 0,

dvs. x ∈ kerψ som ønsket.

Følgende sætning er fra [Laz69]. Bemærk at det af beviset fremgår at enhver R-modulkan fås som induktiv limes af endeligt præsenterede moduler.

Sætning 4.5 Enhver ad R-modul kan fås som induktiv limes af endeligt frembragte frieR-moduler

Bevis. Lad A være en ad modul, og betragt R(A×N). Vi lader δi betegne basiselementetfor den fri modul R(A×N) givet ved δi(j) = δij . Vi har da en kortexakt følge

0 // ker ρ // R(A×N)ρ // A // 0

23

hvor ρ på basiselementer er givet ved ρ(δ(a,n)) = a. Siden A er isomorf med R(A×N)/ ker ρ,er idéen at tilnærme R(A×N)/ ker ρ med moduler af formen RI/C.Betragt derfor mængden I af par (I, C) hvor I ⊆ A× N er en endelig delmængde og

hvor C ⊆ RI ∩ ker ρ er en endeligt frembragt undermodul. Vi lægger en partiel ordningpå I ved at denere at (I1, C1) ≤ (I2, C2) såfremt I1 ⊆ I2 og C1 ⊆ C2. Ordningen eropadltrerende da tydeligvis (I1, C1), (I2, C2) ≤ (I1 ∪ I2, C1 +C2). For hvert i = (I, C) ∈I sætter vi Ai = RI/C, og for i, j ∈ I med i = (I1, C1) ≤ (I2, C2) = j denerer viαji : Ai → Aj ved αji(x + C1) = x + C2. Bemærk at αijαjk = αik når i ≥ j ≥ k. Vihar således et induktivt I -system (Ai, αij) af endeligt frembragte moduler, og vi starterud med at vise at dette system har A som limes; bagefter vil vi vise at delsystemet afendeligt frembragte frie moduler er konalt.Lad (B, βi) betegne den induktive limes af (Ai, αij).For i = (I, C) ∈ I kan vi da C ⊆ ker ρ denere ϕi : Ai → A ved ϕi(x + C) = ρ(x).

Når i = (I1, C1) ≤ (I2, C2) = j vil ϕjαji = ϕi eftersom ϕjαji(x + C1) = ϕj(x + C2) =ρ(x) = ϕi(x+C1). Den universelle egenskab af induktiv limes giver nu eksistensen af enhomomor ϕ : B → A så ϕβi = ϕi for alle i ∈ I .Vi ser først at ϕ er surjektiv. Thi for a ∈ A vil ρ(δ(a,1)) = a, så denerer vi i =

((a, 1), 0) ∈ I vil a = ρ(δ(a,1)) = ϕi(δ(a,1) + 0) = ϕ(βi(δ(a,1) + 0)).Lad nu b ∈ kerϕ og lad os indse at b = 0. Da b ∈ B = lim−→Ai ndes i = (I, C) ∈ I

og a ∈ Ai så b = βi(a). Da Ai = RI/C kan vi nde y ∈ RI så a = y + C. Vi har nu atρ(y) = ϕi(a) = ϕ(b) = 0, dvs. y ∈ ker ρ så vi kan denere j = (I, C + Ry) ∈ I . Nu vilαji(a) = y + (C +Ry) = 0 så b = βi(a) = βj(αji(a)) = 0.Da således ϕ er bijektiv, vil A ∼= lim−→Ai. Lad nu If betegne de (I, C) ∈ I for hvilke

RI/C er fri. Hvis vi kan vise at delmængden If er konal i I , vil vi have vist detønskede.Så lad i = (I, C) ∈ I være givet, og lad os konstruere (J,D) ∈ If så (I, C) ≤ (J,D).

Da vi har en exakt følge

0 // C // RI // Ai // 0

hvor I er endelig og C er endeligt frembragt, er Ai af endelig præsentation. Da A er adkan vi derfor anvende lemma 4.3 på ϕi : Ai → A, og får en endeligt frembragt fri modulF og homomorer ϕ1 og ϕ2 så diagrammet

Fϕ2

???

????

?

Aiϕi //

ϕ1

>>~~~~~~~A

kommuterer.Da I er endelig, kan vi denere m = maxn ∈ N | ∃a ∈ A : (a, n) ∈ I. Lad (f1, . . . , fn)

være en basis for F , og sæt X = (ϕ2(fν),m + ν) | ν = 1, . . . , n ⊆ A× N. Bemærk atX og I er disjunkte, og sæt J = X ∪ I som da bliver en endelig delmængde af A× N.Vi kan nu denere en surjektiv homomor ψ : RJ → F ved ψ(δj) = ϕ1(δj + C) når

j ∈ I og ψ(δj) = fν når j = (ϕ2(fν),m + ν) for et ν ∈ 1, . . . , n. Da F er af endelig

24

præsentation og RJ endeligt frembragt, giver lemma 4.1 at modulenD = kerψ er endeligtfrembragt. Og per konstruktion vil ρ = ϕ2ψ, thi for j ∈ I vil

ρ(δj) = ϕi(δj + C) = ϕ2ϕ1(δj + C) = ϕ2ψ(δj)

og for ν = 1, . . . , n vil

ρ(δ(ϕ2(fν),m+ν)) = ϕ2(fν) = ϕ2ψ(δ(ϕ2(fν),m+ν)),

så D = kerψ ⊆ ker ρ. Vi har altså at (J,D) ∈ I , så da RJ/D ∼= F er fri må (J,D) ∈ If .Per konstruktion vil I ⊆ J , og da vi for y ∈ RI har deneret ψ(y) = ϕ1(y + C) vil

C ⊆ kerψ = D, så (I, C) ≤ (J,D) som ønsket.

Bemærkning 4.6 Af beviset for sætning 4.5 fremgår det at hvis en modul B opfylderat enhver homomor A → B fra en modul A af endelig præsentation vil gå gennem enendeligt frembragt fri modul F som i lemma 4.3, så kan B fås som en induktiv limesaf endeligt frembragte frie moduler. Da en induktiv limes af ade moduler selv er ad thi lim−→ kommuterer med TorR1 (C,−) for alle højremoduler C jf. [Wei94, 2.6.17] vilmodulen B således være ad. Vi ser altså at lemma 4.3 kan skærpes: En modul er ad hvisog kun hvis alle homomorer fra moduler af endelig præsentation går gennem endeligtfrembragte frie moduler.

Spektralfølge til beregning af ExtnR(lim−→Ai, B)

En kontravariant funktor sender et induktivt system i et projektivt system, og for en fastmodul B vil funktoren ExtqR(−, B) således sende et induktivt system (Ai, fij) over i etprojektivt system (ExtqR(Ai, B),ExtqR(fij , B)). I det følgende vil vi se at vi kan beregne

ExtnR(lim−→Ai, B) ud fra lim←−(p) ExtqR(Ai, B).

Da vi skal udnytte dualiteten mellem induktiv og projektiv limes, får vi brug for enudgave af sætning 2.16 for induktiv limes.

Sætning 4.7 Givet et induktivt I-system (Ai, fij) vil

Hk(Σ(Ai)) ∼=

lim−→Ai når k = 0

0 når k 6= 0

hvor Σ(Ai) betegner komplekset

0⊕

i0Ai0oo · · ·∂1(Ai)oo

⊕i0≤···≤in−1

Ai0∂n−1(Ai)oo

⊕i0≤···≤in Ai0

∂n(Ai)oo · · ·∂n+1(Ai)oo

hvis dierentialer ∂n(Ai) for i0 ≤ · · · ≤ in er givet ved

∂n(Ai)ι(i0,...,in) = ι(i1,...,in)fi1i0 +n∑ν=1

(−1)νι(i0,...,iν ,...,in)

hvor ι(i0,...,in) betegner den kanoniske indlejring Ai0 →⊕

i0≤···≤in Ai0 .

25

Bevis. Da beviset hovedsageligt er dualt til beviset for lemma 2.15 og sætning 2.16,opridser vi her blot strategien. For god ordens skyld er et detaljeret bevis dog givet iappendiks A på side 33.Vi konstruerer først en exakt følge

0 (Ai)oo (Σi,0)(∂i,0)oo · · ·

(∂i,1)oo (Σi,n−1)(∂i,n−1)oo (Σi,n)

(∂i,n)oo · · ·(∂i,n+1)oo

af induktive I-systemer. Det gør vi ved at denere induktive I-systemer (Σi,n, qij,n) afR-moduler Σi,n ved

Σi,n =⊕

i0≤···≤in≤iAi0

og for i ≥ j R-homomorer qij,n : Σj,n → Σi,n ved

qij,n(x)|(i0,...,in) =

x|(i0,...,in) når in ≤ j0 ellers.

Denér nu for n ≥ 1 morer (∂i,n) : (Σi,n)→ (Σi,n−1) ved

∂i,nιi(i0,...,in) = ιi(i1,...,in)fi1i0 +

n∑ν=1

(−1)νιi(i0,...,iν ,...,in)

hvor ιi(i0,...,in) betegner den kanoniske indlejring Ai0 → Σi,n, og udvid ved linearitet.

Denér desuden moren (∂i,0) : (Σi,0)→ (Ai) ved ∂i,0(x) =∑

i0≤i fii0(x|i0).At følgen er exakt, kan vises ved udregninger helt duale til udregningerne i beviset for

lemma 2.15.Da induktiv limes er en exakt funktor, har vi nu en exakt følge

0 lim−→Aioo lim−→Σi,0

lim−→ ∂i,0oo · · ·oo lim−→Σi,n−1oo lim−→Σi,n

lim−→ ∂i,noo · · ·oo ,

og som i beviset for sætning 2.16 kan det vises at vi har en isomor mellem komplekserneΣ(Ai) og lim−→Σi,∗

lim−→Σi,0 lim−→Σi,1

lim−→ ∂i,1oo · · ·oo lim−→Σi,noo lim−→Σi,n+1

lim−→ ∂i,n+1oo · · ·oo

⊕i0Ai0

ϕ0 ∼=

OO

⊕i0≤i1 Ai0

∂1(Ai)oo

ϕ1 ∼=

OO

· · ·oo⊕

i0≤···≤in Ai0oo

ϕn ∼=

OO

⊕i0≤···≤in+1

Ai0∂n+1(Ai)oo

ϕn+1 ∼=

OO

· · ·oo

hvoraf det ønskede følger: for k 6= 0 vil Hk(Σ(Ai)) ∼= Hk(lim−→Σi,∗) = 0, og

H0(Σ(Ai)) =⊕i0

Ai0

/im (∂1(Ai)) ∼= lim−→Σi,0

/im(lim−→ ∂i,1

)∼= lim−→Ai.

26

Som annonceret skal vi nu til kort at beskæftige os med spektralfølger. Spektralfølgerer opstået inden for algebraisk topologi som et meget eektivt værktøj til beregning afhomologi. Det er dog også et meget teknisk værktøj, så det ville hurtigt blive alt foromfattende hvis vi der skulle gives en introduktion her.I stedet henvises der blot til [Wei94], [McC01] eller evt. [Mac67] for en introduktion.

Afsnittene [McC01, 2.4] og [Wei94, 5.6] omhandler de to spektralfølger vi nu skal have ispil, nemlig dem man klassisk associerer til et bikompleks for at beregne (ko)homologi afdets totalkompleks.

Sætning 4.8 Givet et induktivt I-system (Ai, fij) og en R-modul B ndes en spektral-følge (Ep,qr ) med

Ep,q2∼= lim←−

(p) ExtqR(Ai, B)

og som konvergerer mod Extp+qR (lim−→Ai, B).

Bevis. Lad der være givet en injektiv resolution

0 // B // Q0 ∂0// Q1 ∂1

// . . .

af B, og lad Q∗ betegne det her til svarende kompleks. Lad desuden Σ(Ai) benævne det isætning 4.7 omtalte kompleks. Herudfra danner vi et bikompleks HomR(Σ(Ai), Q∗) hvisdierentialer er givet ved

HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , ∂q

: HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , Qq

→ HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , Qq+1

(−1)p+1 HomR(∂p+1(Ai), Qq) : HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , Qq

→ HomR

⊕i0≤···≤ip+1

Ai0 , Qq

hvor fortegnet (−1)p+1 sikrer at dierentialerne antikommuterer. Vi danner nu det totalekompleks T ∗ givet ved

Tn =⊕p+q=n

HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , Qq

og hvis dierentialer blot er givet ud fra summen af bikompleksets dierentialer, jf. fx[Wei94, 1.2.6].Da bikomplekset er begrænset til første kvadrant, ndes ifølge [McC01, 2.15] to spek-

tralfølger (E′p,qr ) og (E′′p,qr ) med

E′p,q2∼= Hp(Hq(HomR(Σ(Ai), Q∗)))

E′′p,q2∼= Hq(Hp(HomR(Σ(Ai), Q∗)))

og som konvergerer mod kohomologien Hp+q(T ∗) af det totale kompleks T ∗.

27

Da hver modul Qq er injektiv, er funktoren HomR(−, Qq) exakt og vi har derfor ennaturlig isomor

Hp(HomR(Σ(Ai), Qq)) ∼= HomR(Hp(Σ(Ai)), Qq).

Så da vi ifølge sætning 4.7 har at H0(Σ(Ai)) ∼= lim−→Ai og at Hp(Σ(Ai)) = 0 når p 6= 0, vil

E′′p,q2∼= Hq(HomR(Hp(Σ(Ai)), Q∗)) ∼=

ExtqR(lim−→Ai, B) når p = 0

0 når p > 0

eftersom Q∗ er en injektiv resolution af B. Vi har altså at spektralfølgen (E′′p,qr ) kollapseri E′′p,q2 eftersom der ikke er plads til dierentialer, og vi kan dermed slutte at Hn(T ∗) ∼=E′′0,n2

∼= ExtnR(lim−→Ai, B).

Vi skal nu blot vise at E′p,q2∼= lim←−

(p) ExtqR(Ai, B) for at slutte det ønskede. Vi bemærkerførst at

Hq

HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , Q∗

∼= ∏i0≤···≤ip

ExtqR(Ai0 , B),

fordi Q∗ er en injektiv resolution af B, og fordi vi har en naturlig isomor

HomR

⊕i0≤···≤ip

Ai0 , B

∼= ∏i0≤···≤ip

HomR(Ai0 , B)

givet ved ϕ 7→ (ϕι(i0,...,ip)). Som tidligere bemærket afbildes det induktive system (Ai, fij)ved ExtqR(−, B) over i et projektivt system (ExtqR(Ai, B),ExtqR(fij , B)), så vi skal nu havesætning 2.16 i spil.Vi bemærker først at førnævnte naturlige isomor identicerer HomR(∂p+1(Ai), B)

med δp(HomR(Ai, B)), thi for vilkårlig homomor ϕ ∈ HomR(⊕

i0≤···≤ip Ai0 , B) har vi

at(HomR(∂p+1(Ai), B)(ϕ)ι(i0,...,ip+1)

)= δp(HomR(Ai, B))

((ϕι(i0,...,ip))

)eftersom der for

alle i0 ≤ · · · ≤ ip+1 og alle x ∈ Ai0 gælder

HomR(∂p+1(Ai), B)(ϕ)ι(i0,...,ip+1)(x)

= ϕ

(ι(i1,...,ip+1)(fi1i0(x)) +

p+1∑ν=1

(−1)νι(i0...,iν ,...,ip+1)(x)

)

=

(HomR(fi1i0 , B)(ϕι(i1,...,ip+1)) +

p+1∑ν=1

(−1)νϕι(i0,...,iν ,...,ip+1)

)(x).

Og da vi har funktorialitet i B, vil generelt afbildningen ExtqR(∂p+1(Ai), B) identice-res med afbildningen δp(ExtqR(Ai, B)). Dvs. ExtqR(−, B) afbilder komplekset Σ(Ai) overi et kompleks isomorft med det i sætning 2.16 nævnte kompleks Π(ExtqR(Ai, B)). Afsætning 2.16 følger det derfor at

E′p,q2∼= Hp

(Π(ExtqR(Ai, B))

) ∼= lim←−(p) ExtqR(Ai, B).

28

Bemærkning 4.9 Som bemærket giver beviset for sætning 4.5 at enhver R-modul A kanskrives A = lim−→Ai hvor hver Ai er af endelig præsentation. Og med små justeringer vilbeviset for sætning 4.8 give at vi for alle n ≥ 0 og alle R-moduler B har en isomor

PextnR(A,B) ∼= lim←−(n) HomR(Ai, B),

et resultat som [Jen72] citeres for. Det er derfor passende at ofre lidt plads på at redegørefor dets bevis. Denitionerne i det følgende er taget fra [JL89, appendiks A].En kortexakt følge

0 // X // Y // Z // 0

kaldes rent exakt hvis vi for alle højremoduler M har at følgen

0 //M ⊗R X //M ⊗R Y //M ⊗R Z // 0

er exakt, og en exakt følge kaldes så rent exakt hvis dens zigzagdele er rent exakte.Specielt er splitexakte følger rent exakte. Så siden M ⊗R − kommuterer med lim−→ ser viat en induktiv limes af splitexakte følger vil være rent exakt, og specielt at resolutionen

0 // lim−→Ai // Σ(Ai)

fra sætning 4.7 er rent exakt jf. appendiks A.En modul P kaldes rent projektiv hvis HomR(P,−) er exakt for alle rent exakte følger.

Alle endeligt præsenterede moduler er rent projektive, og for enhver modul X ndes enrent exakt følge

0 // K // P // X // 0

med P rent projektiv, så vi kan tale om rent projektive resolutioner altså resolutioner

· · · // Pn // · · · // P0// X // 0

hvor hver Pν er rent projektiv og hvor følgen er rent exakt. Tilsvarende kaldes en modulQ for rent injektiv hvis HomR(−, Q) er exakt for alle rent exakte følger, og det kan visesat der også er nok rent injektive.Man kan således denere bifunktorerne Pext∗R(−,−) ved relativ homologisk algebra,

dvs. denere Pext∗R(A,B) som de aedte til HomR(A,−) via rent injektive resolutioneraf B eller som de aedte til HomR(−, B) via rent projektive resolutioner af A.Hvis vi i beviset for sætning 4.8 i stedet betragter en rent injektiv resolution Q∗ af B,

ser vi, da som bemærket 0→ lim←−Ai → Σ(Ai) er rent exakt, at Hp(HomR(Σ(Ai), Qq)) ∼=HomR(Hp(Σ(Ai)), Qq) og dermed at Hn(T ∗) ∼= PextnR(A,B).Og da hver Ai er endeligt præsenteret og dermed rent projektiv, har vi for q > 0

at E′p,q2∼= lim←−

(p) PextqR(Ai, B) = 0, og altså at spektralfølgen kollapser og den ønskedeisomor fremkommer.

29

5. Resultater for homologiske dimensioner

Afslutningsvis bruger vi det i det foregående viste til at frembringe nogle resultater omprojektiv dimension af ade moduler og global og svag dimension af visse ringe.For en R-modul A betegner pdRA den projektive dimension af A, altså den minimale

længde af en projektiv resolution af A. Dvs. pdRA er det mindste ikkenegative heltal nfor hvilket der ndes en exakt følge

0 // Pn // Pn−1// · · · // P1

// P0// A // 0

med projektive R-moduler Pn, . . . , P0, og hvis der ikke ndes en sådan endelig projektivresolution af A sætter vi pdRA =∞. Jo lavere en projektiv dimension, jo mere projek-tiv og dermed på sin vis ukompliceret en modul. Tilsvarende betegner fdRA den adedimension af A, altså den minimale længde af en ad resolution af A.

Sætning 5.1 Enhver ad R-modul A af præsentation højst ℵk vil have projektiv dimen-sion pdRA ≤ k + 1.

Bevis. Ifølge sætning 4.5 kan A fås som den induktive limes af et induktivt I-system(Fi, fij) af endeligt frembragte frie moduler Fi. Og ifølge lemma 4.4 kan vi tillade os atantage at indeksmængden I er af kardinalitet højst ℵk.Lad B være en vilkårlig R-modul og lad os forsøge at slutte at Extk+2

R (A,B) = 0. Detvil da følge, jf. evt. [Wei94, 4.1.6], at pdRA ≤ k + 1.Ifølge sætning 4.8 ndes en spektralfølge (Ep,qr ) med

Ep,q2∼= lim←−

(p) ExtqR(Fi, B)

og som konvergerer mod Extp+qR (A,B). Da hver modul Fi er fri, vil ExtqR(Fi, B) = 0 nårq > 0, så Ep,q2 = 0 når q > 0. Dvs. spektralfølgen kollapser i Ep,q2 da der ikke er plads

til dierentialer, og vi kan direkte aæse ExtnR(A,B) ∼= En,02∼= lim←−

(n) HomR(Fi, B).Da indeksmængden I er af kardinalitet højst ℵk, har vi således ifølge sætning 3.4 atExtnR(A,B) = 0 når n ≥ k + 2, som ønsket.

Vi lader l. gdR betegne den venstre globale dimension af ringen R, dvs. l. gdR =suppdRA | A venstre-R-modul, og tilsvarende betegner r. gdR den højre globale di-mension: r. gdR = suppdRA | A højre-R-modul. De globale dimensioner er såledesudtryk for hvor komplicerede ringens venstre- hhv. højremoduler er, og dierensen mel-lem de to kan tages som et udtryk for hvor meget ringens multiplikation fra venstreafviger fra dens multiplikation fra højre og altså hvor ikkekommutativ ringen er.Endelig betegner wdR den svage dimension wdR = supfdRA | A venstre-R-modul

af ringen R. Den svage dimension kaldes også Tor-dimensionen da den er inmum overde ikkenegative heltal n for hvilke TorRn+1(A,B) = 0 for alle højre-R-moduler A og allevenstre-R-moduler B, jf. evt. [Wei94, 4.1.3]. Da wdR = wdRop, taler vi ikke om envenstre og en højre svag dimension.

30

Det følger umiddelbart af denitionerne at den svage dimension er domineret af denvenstre globale dimension: wdR ≤ l. gdR for en vilkårlig ring R. Det er velkendt, jf.evt. [Wei94, 4.1.5], at hvis ringen R er venstrenoethersk vil den svage dimension og denvenstre globale dimension stemme overens. Vi ser nu at der helt generelt gælder følgende:

Sætning 5.2 Hvis ringen R opfylder at alle venstreidealer er af type højst ℵk, så vil denvenstre globale dimension af R være begrænset af den svage dimension af R på følgendevis:

l. gdR ≤ wdR+ k + 1

Bevis. Hvis wdR =∞ er det ønskede klart, så antag at wdR = d <∞. Erindr, jf. evt.[Wei94, 4.1.2], at

l. gdR = suppdRR/a | a ⊆ R venstreideal,

så lad a være et venstreideal i R og lad os vise at pdRR/a ≤ d+ k + 1.Da a er af type højst ℵk, kan vi lave en fri modul F1 med højst ℵk frembringere og en

kortexakt følge

0 // A1// F1

// a // 0

hvor også A1 ifølge lemma 4.2 er af type højst ℵk. Lemma 4.2 giver ydermere at A1 eraf præsentation højst ℵk, og ved at gentage tricket i alt d − 1 gange og på zigzagvis atsammensætte med den kortexakte følge

0 // a // R // R/a // 0 ,

opnår vi en exakt følge

0 B

BBB 0 0

>>>>

09

999 0

Ad−1

##FFFF

::vvvvvA2

;;;;

a

555

5

CC0

0 // A //

??~~~~Fd−1

//

""FFFF

. . . // F2//

;;;

; F1//

CCR //

===

= R/a //

AA0

0

DDAd−2

!!DDD

D A1

AA

====

R/a

==

""EEE

E

0 0

@@0 0

??0

hvor modulen A er af præsentation højst ℵk og hvor modulerne Fd−1, . . . , F1 er frie. Vihar derfor for en vilkårlig højremodul B og alle i at TorRk (B,Fi) = 0 når k ≥ 1. Såved at anvende den langexakte følge til funktoren B ⊗R − på hver af de skrå kortexaktefølger, får vi at TorR1 (B,A) ∼= TorR2 (B,Ad−2) ∼= · · · ∼= TorRd−1(B,A1) ∼= TorRd (B, a) ∼=TorRd+1(B,R/a). Siden wdR = d, må TorRd+1(B,R/a) = 0, og dermed må TorR1 (B,A) = 0for alle højremoduler B, dvs. modulen A er ad.Eftersom A er af præsentation højst ℵk giver sætning 5.1 os at pdRA ≤ k + 1, så vi

har en projektiv resolution

0 // Pk+1// Pk // . . . // P0

// A // 0

31

af A, og ved på zigzagvis at sammensætte denne med førkonstruerede exakte følge, opnårvi en exakt følge

0 // Pk+1// . . . // P0

// Fd−1// . . . // F1

// R // R/a // 0

som tydeligvis er en projektiv resolution af R/a af længde d+k+1. Så vi får som ønsketat pdRR/a ≤ d+ k + 1.

Som tidligere nævnt stemmer den venstre og den højre globale dimension af en ringoverens såfremt ringen er både højre- og venstrenoethersk. Vi ser nu at der helt genereltgælder følgende:

Korollar 5.3 Hvis ringen R opfylder at alle såvel venstre- som højreidealer er af typehøjst ℵk, så gælder om den venstre globale dimension og den højre globale dimension afR at

| l. gdR− r. gdR| ≤ k + 1.

Bevis. Da wdR ≤ l. gdR og wdR ≤ r. gdR, vil både l. gdR og r. gdR være uendeligehvis den svage dimension wdR er uendelig.Ifølge sætning 5.2 er l. gdR ≤ wdR+ k + 1, og ifølge samme sætning anvendt på Rop

er r. gdR = l. gdRop ≤ wdRop + k+ 1 = wdR+ k+ 1. Så hvis wdR er endelig, vil ogsål. gdR og r. gdR være endelige og begge ligge mellem wdR og wdR+ k + 1, hvoraf detønskede følger.

Bemærkning 5.4 Det er vist i [Jat69] at der for hvert k ≥ 0 ndes en ring R som eraf kardinalitet ℵk hvoraf følger at ringens venstre- og højreidealer er af type højst ℵk og som opfylder l. gdR = 1 og r. gdR = k + 2 og altså | l. gdR − r. gdR| = k + 1.Dvs. resultatet i korollar 5.3 kan ikke skærpes, og dermed kan heller ikke resultaterne isætning 5.2 og sætning 5.1 skærpes.

32

A. Appendiks

Der bringes her et detaljeret bevis for sætning 4.7, til sammenligning med beviset forlemma 2.15 og sætning 2.16.

Sætning 4.7 Givet et induktivt I-system (Ai, fij) vil

Hk(Σ(Ai)) ∼=

lim−→Ai når k = 0

0 når k 6= 0

hvor Σ(Ai) betegner komplekset

0⊕

i0Ai0oo · · ·∂1(Ai)oo

⊕i0≤···≤in−1

Ai0∂n−1(Ai)oo

⊕i0≤···≤in Ai0

∂n(Ai)oo · · ·∂n+1(Ai)oo

hvis dierentialer ∂n(Ai) for i0 ≤ · · · ≤ in er givet ved

∂n(Ai)ι(i0,...,in) = ι(i1,...,in)fi1i0 +n∑ν=1

(−1)νι(i0,...,iν ,...,in)

hvor ι(i0,...,in) betegner den kanoniske indlejring Ai0 →⊕

i0≤···≤in Ai0 .

Bevis. Vi vil gerne konstruere en exakt følge

0 (Ai)oo (Σi,0)(∂i,0)oo · · ·

(∂i,1)oo (Σi,n−1)(∂i,n−1)oo (Σi,n)

(∂i,n)oo · · ·(∂i,n+1)oo

af induktive I-systemer. Vi denerer derfor modulerne Σi,n som den direkte sum

Σi,n =⊕

i0≤···≤in≤iAi0

og for i ≥ j homomorer qij,n : Σj,n → Σi,n ved

qij,n(x)|(i0,...,in) =

x|(i0,...,in) når in ≤ j0 ellers.

At vi for hvert n ≥ 0 får et induktivt system (Σi,n, qij,n) ses let. Denerer vi nu for n ≥ 1homomorer ∂i,n : Σi,n → Σi,n−1 ved

∂i,nιi(i0,...,in) = ιi(i1,...,in)fi1i0 +

n∑ν=1

(−1)νιi(i0,...,iν ,...,in)

hvor ιi(i0,...,in) betegner den kanoniske indlejring Ai0 → Σi,n, eftervises det let at ∂i,nqij,n =qij,n−1∂i,n når i ≥ j og dermed at (∂i,n) : (Σi,n) → (Σi,n−1) er en mor for alle n ≥ 1.Denér desuden homomorer ∂i,0 : Σi,0 → Ai ved ∂i,0(x) =

∑i0≤i fii0(x|i0). Da vi for

i ≥ j og x ∈ Ai0 hvor i0 ≤ j har at

∂i,0qij,n(ιi0(x)) = fii0(x) = fijfji0(x) = fij∂j,0(ιi0(x))

33

vil også (∂i,0) : (Σi,0)→ (Ai) være en mor. For n ≥ 1 og i0 ≤ · · · ≤ in+1 ≤ i vil

∂i,n∂i,n+1ιi(i0,...,in+1) = ∂i,n

(ιi(i1,...,in+1)fi1i0 +

n+1∑ν=1

(−1)νιi(i0,...,iν ,...,in+1)

)

= ιi(i2,...,in+1)fi2i1fi1i0 +n+1∑µ=2

(−1)µ−1ιi(i0,i2,...,iµ,...,in+1)

fi1i0

+ (−1)(ιi(i2,...,in+1)fi2i0 +

n+1∑µ=2

(−1)µ−1ιi(i0,i2,...,iµ,...,in+1)

))

+n+1∑ν=2

(−1)ν(ιi(i1,...,iν ,...,in+1)

fi1i0 +ν−1∑µ=1

(−1)µιi(i0,...,iµ,...,iν ,...,in+1)

+n+1∑

µ=ν+1

(−1)µ−1ιi(i0,...,iν ,...,iµ,...,in+1)

)

=n+1∑µ=2

(−1)µιi(i0,i2,...,iµ,...,in+1)

+n+1∑ν=2

(−1)ν+1ιi(i0,i2,...,iν ,...,in+1)

+n+1∑ν=2

( ν−1∑µ=2

(−1)µ+νιi(i0,...,iµ,...,iν ,...,in+1)

+n+1∑

µ=ν+1

(−1)µ+ν−1ιi(i0,...,iν ,...,iµ,...,in+1)

)= 0

så ∂i,n∂i,n+1 = 0 for n ≥ 1, og for x ∈ Ai0 med i0 ≤ i1 ≤ i vil

∂i,0∂i,1(ι(i0,i1)(x)) = fii1(fi1i0(x)) + fii0(−x) = 0,

så vi har vitterligt konstrueret et kompleks.Vi vil nu eftervise at komplekset er acyklisk. Denér derfor for hvert n ≥ 0 og hvert

i ∈ I en R-homomor εi,n : Σi,n → Σi,n+1 ved

εi,nι(i0,...,in) = (−1)n+1ι(i0,...,in,i)

for i0 ≤ · · · ≤ in ≤ i og udvid ved linearitet. Indfør desuden εi,−1 : Ai → Σi,0 somsynonym εi,−1 = ιii for den tidligere introducerede kanoniske indlejring ιii. At ∂i,0εi,−1 =1Ai ses direkte. I tilfældet n = 0 har vi for i0 ≤ i at

(εi,−1∂i,0 + ∂i,1εi,0)ιii0 = ιiifii0 − ∂i,1ιi(i0,i) = ιiifii0 − (ιiifii0 − ιii0) = ιii0

34

og for n ≥ 1 ser vi for i0 ≤ · · · ≤ in ≤ i at

εi,n−1∂i,nιi(i0,...,in) = εi,n−1

(ιi(i1,...,in,i)fi1i0 +

n∑ν=1

(−1)νι(i0,...,iν ,...,in)

)

= (−1)nιi(i1,...,in,i)fi1i0 +n∑ν=1

(−1)n+νιi(i0,...,iν ,...,in,i)

samtidig med at

∂i,n+1εi,nιi(i0,...,in) = ∂i,n+1((−1)n+1ιi(i0,...,in,i))

= (−1)n+1ιi(i1,...,in,i)fi1i0 +n∑ν=1

(−1)n+ν+1ιi(i0,...,iν ,...,in,i)

+ (−1)2(n+1)ιi(i0,...,in)

dvs. vi har for n ≥ 0 at εi,n−1∂i,n + ∂i,n+1εi,n = 1Σi,n . Så for hvert i ∈ I vil kompleksetaf R-moduler splitte, og vi kan derfor konkludere at komplekset af induktive I-systemerer exakt.Da induktiv limes er en exakt funktor, har vi nu en exakt følge

0 lim−→Aioo lim−→Σi,0

lim−→ ∂i,0oo · · ·oo lim−→Σi,n−1oo lim−→Σi,n

lim−→ ∂i,noo · · ·oo .

Denér for hvert n ≥ 0 en homomor

ϕn :⊕

i0≤···≤in

Ai0 → lim−→Σi,n

x 7→ (x|(i0,...,in)|i0≤···≤in≤i)i∈I ,

og lad som tidligere ϕn(x)|i betegne x|(i0,...,in)|i0≤···≤in≤i.Lad os først sikre os at ϕn vitterligt afbilder ind i lim−→Σi,n. Da x|(i0,...,in) = 0 for alle

andre end endeligt mange (i0, . . . , in), opnår vi dels at ϕn(x)|i ligger i⊕

i0≤···≤in≤iAi0 .Og dels, fordi I er opadltrerende, et k ∈ I så x|(i0,...,in) = 0 når in 6≤ k; dermed har vi foralle i, j ∈ I med k ≤ j ≤ i at qij,n(ϕn(x)|j) = ϕn(x)|i. Vi slutter at ϕn(x) ligger i lim−→Σi,n.Homomoren ϕn er således veldeneret, og det ses let at den desuden er injektiv: thi hvisx 6= y ndes i0 ≤ · · · ≤ in så x|(i0,...,in) 6= y|(i0,...,in) og vi har dermed at ϕn(x)|i 6= ϕn(y)|ifor alle i ≥ in og dermed at ϕn(x) 6= ϕn(y).For at vise surjektivet af ϕn lader vi en repræsentant (xi) for et element i lim−→Σi,n være

givet, og søger at konstruere et x ∈⊕

i0≤···≤in Ai0 så ϕn(x)|i = xi fra et vist trin. Vi harsom bekendt et k ∈ I så qij(xj) = xi når i ≥ j ≥ k, og denerer vi nu

x|(i0,...,in) =

xk|(i0,...,in) når in ≤ k0 ellers

opnår vi dels at x ∈⊕

i0≤···≤in Ai0 da det kun er for endeligt mange (i0, . . . , in) vi harxk|(i0,...,in) 6= 0, og dels at ϕn(x)|i = xi når i ≥ k. Vi slutter at ϕn er en isomor.

35

For n ≥ 0 ser vi at lim−→ ∂i,n+1ϕn+1 = ϕn∂n+1(Ai), thi for i0 ≤ · · · ≤ in+1 har vi for allej ≥ in+1 at

lim−→ ∂i,n+1ϕn+1ι(i0,...,in+1)(x)|j = ∂j,n+1ιj(i0,...,in+1)(x)

= ιj(i1,...,in+1)fi1i0(x) +n+1∑ν=1

(−1)νιj(i0,...,iν ,...,in+1)

(x)

= ϕn∂n+1(Ai)ι(i0,...,in+1)(x)|j

for x ∈ Ai0 . Så vi opnår en isomor mellem komplekserne Σ(Ai) og lim−→Σi,∗

lim−→Σi,0 lim−→Σi,1

lim−→ ∂i,1oo · · ·oo lim−→Σi,noo lim−→Σi,n+1

lim−→ ∂i,n+1oo · · ·oo

⊕i0Ai0

ϕ0 ∼=

OO

⊕i0≤i1 Ai0

∂1(Ai)oo

ϕ1 ∼=

OO

· · ·oo⊕

i0≤···≤in Ai0oo

ϕn ∼=

OO

⊕i0≤···≤in+1

Ai0∂n+1(Ai)oo

ϕn+1 ∼=

OO

· · ·oo

hvoraf det ønskede følger: for k 6= 0 vil Hk(Σ(Ai)) ∼= Hk(lim−→Σi,∗) = 0, og

H0(Σ(Ai)) =⊕i0

Ai0

/im (∂1(Ai)) ∼= lim−→Σi,0

/im(lim−→ ∂i,1

)∼= lim−→Ai.

36

Litteratur

[Bou61] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Fascicule XXVII. Algèbre commutati-ve. Chapitre 1: Modules plats. Chapitre 2: Localisation, Actualités Scientiqueset Industrielles, No. 1290, Herman, Paris, 1961. MR MR0217051 (36 #146)

[Jat69] Arun Vinayak Jategaonkar, A counter-example in ring theory and homologicalalgebra, J. Algebra 12 (1969), 418440. MR MR0240131 (39 #1485)

[Jen66] Chr. U. Jensen, On homological dimensions of rings with countably generatedideals, Math. Scand. 18 (1966), 97105. MR MR0207796 (34 #7611)

[Jen72] C. U. Jensen, Les foncteurs dérivés de lim←− et leurs applications en théorie desmodules, Springer-Verlag, Berlin, 1972, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 254.MR MR0407091 (53 #10874)

[JL89] Christian U. Jensen and Helmut Lenzing, Model-theoretic algebra with par-ticular emphasis on elds, rings, modules, Algebra, Logic and Applications,vol. 2, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1989. MR MR1057608(91m:03038)

[Laz69] Daniel Lazard, Autour de la platitude, Bull. Soc. Math. France 97 (1969), 81128. MR MR0254100 (40 #7310)

[Mac67] Saunders MacLane, Homology, rst ed., Springer-Verlag, Berlin, 1967, DieGrundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114. MR MR0349792(50 #2285)

[McC01] John McCleary, A user's guide to spectral sequences, second ed., CambridgeStudies in Advanced Mathematics, vol. 58, Cambridge University Press, Cam-bridge, 2001. MR MR1793722 (2002c:55027)

[Wei94] Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studiesin Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, Cambridge,1994. MR MR1269324 (95f:18001)

37