libro matematicas i utp

PresentacionEl grupo de profesores del Departamento de Matematicas de la UniversidadTecnologica de Pereira que durante anos han venido orientando el primer cursode matematicas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida enla educacion superior en los programas de: Ingenieras, Tecnologas, QuimicaIndustrial, Administracion del medio Ambiente, y Licenciatura en Matematicasy Fsica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboracion de estematerial con el objetivo de facilitar la comprension y desarrollo de todos los temasque se exponen en el.

Aqu encontraran gran cantidad de talleres con sus respuestas sistematicamentepresentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenidode la asignatura; permitiendo que el alumno avance hacia la consecucion de lashabilidades y competencias necesarias que le daran la solidez matematica paraafrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas basesmatematicas.

Es de recalcar que los talleres aqu planteados requieren fundamentalmente tansolo de los elementos teoricos que el docente entregara en cada clase, siendo estoventajoso dado que le evita al alumno el gasto asociado a la compra de un textogua.

Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en granmedida a los topicos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con solturapara poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemaspropuestos en este material que hemos denominado Talleres de Matematicas I

Profesores Matematicas I

Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I

1 Preliminares1.1 El sistema de los numeros reales1.2 El orden y la recta numerica1.3 Valor absoluto1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros1.5 Exponentes racionales1.6 Expresiones algebraicas1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita1.9 Secciones conicas

1.1. El sistema de los numeros reales

Empezaremos con algunos de los conjuntos basicos de numeros con los que yaesta familiarizado:

Los numeros naturales N = {1, 2, 3, 4, ...}

Los numeros enteros Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los numeros racionales Q ={p

q| p, q Z, q 6= 0

}El numero asociado con la recta numerica se llama coordenada del punto.Los numeros enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

1. Elige un punto cualquiera de la recta. Asgnele el valor 0.

2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asgnele el valor 1.

La distancia entre ambos puntos sera la unidad de medida de longitud. Si marcasesa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lomismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y as sucesivamente representas todos losnumeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....

1


Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los numeros negativos-1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina numeros enteros

Figura 1: Numeros enteros

Los numeros racionales se asocian con puntos sobre la recta numerica. Pararepresentar el numero 2,5 que es un numero comprendido entre 2 y 3, dividimos elsegmento entre los numeros 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partescontando a la derecha desde el 2.

Despues de asociar cada numero racional con un punto de la recta numerica,nos encontramos que todava faltan puntos por asociar. Estos numeros que nocorresponden a ningun numero racional se llaman numeros irracionales I.

Los decimales finitos como por ejemplo14

= 0.25 y los decimales periodicos como13

= 0.33333 representan numeros racionales.Es un hecho que los decimales que no son finitos ni periodicos no son numerosracionales. En otras palabras, un decimal de este tipo no se puede representar comoel cociente de dos enteros.

Este conjunto de decimales que no son finitos ni periodicos recibe el nombre denumeros irracionales I. Por ejemplo, pi,

2 son numeros irracionales.

Lo importante para nosotros es reconocer que los numeros irracionales tambienrepresentan puntos sobre la recta numerica. Si tomamos todos los numeros racionalesjunto con todos los numeros irracionales (tanto positivos como negativos), obtenemostodos los puntos de la recta numerica. Este conjunto se llama el conjunto de losnumeros reales y, por lo general, se designa con la letra R.Los numeros reales R corresponden a un punto sobre la recta numerica. La siguientefigura ilustra la relacion que existe entre los conjuntos antes expuestos

2


Figura 2: Numeros Reales

1.1.1 Propiedades de los numeros reales

Terminologa Caso generalLa adicion es conmutativa a+ b = b+ aLa adicion es asociativa a+ (b+ c) = (a+ b) + c0 es el neutro aditivo a+ 0 = aa es el inverso aditivo a+ (a) = 0La multiplicacion es ab = baLa multiplicacion es a(bc) = (ab)c1 es el neutro multiplicativo a1 = a

Si a 6= 0, 1a

es el inverso a(

1a

)= 1

La multiplicacion es a(b+ c) = ab+ acdistributiva en la adicion (a+ b)c = ac+ bc

1.1.2 Propiedades de la igualdad

A continuacion se enuncian las propiedades basicas de la igualdad

Si a = b y c es cualquier numero real, entonces1. a+ c = b+ c2. ac = bc

3


1.1.3 Productos en los que interviene el cero

1. a0 = 0 para todo numero real a2. Si ab = 0, entonces a = 0, o bien b = 0

1.1.4 Propiedad de los numeros negativos

Propiedad Ejemplo(a) = a (3) = 3(a)b = (ab) = a(b) (2)3 = (2 3) = 2(3)(a)(b) = ab (2)(3) = 2 3(1)a = a (1)3 = 3

1.1.5 Notacion para los numeros recprocos

El recproco1a

de un numero a distinto de cero, se representa con frecuencia,

con a1, como se ve en la siguiente tabla

Definicion Ejemplo

Si a 6= 0, entonces a1 = 1a

21 = 12

(

34

)1=

1(34

) = 43

1.1.6 Sustracion y division

Las operaciones sustracion (), y de division (), se definen como sigue:

Definicion Ejemploa b = a+ (b) 3 7 = 3 + (7)

a b = a(

1b

). = ab1; b 6= 0 3 7 = 3

(17

)= 3 71

1.1.7 Propiedades de los cocientes

Las siguientes propiedades de los cocientes son validas, siempre que losdenominadores sean numeros reales distintos de cero.

4


Propiedad Ejemplo

1.a

b=c

dsi ad = bc

25

=615

porque 2 15 = 5 6

2.ad

bd=a

b

2 35 3 =

25

3.a

b =ab

= ab

25 =

25

= 25

4.a

b+c

b=a+ cb

25

+95

=2 + 9

5=

115

5.a

b+c

d=ad+ bcbd

25

+43

=(2 3) + (5 4)

(5 3) =2615

6.a

b cd

=ac

bd

25 7

3=

2 75 3 =

1415

7.a

b cd

=a

b dc

=ad

bc

25 7

3=

25 3

7=

635

Nota: Si a es un numero distinto de cero, entonces:a

0esta indefinido, mientras que

0a

= 0 y00

es indeterminado.

Taller 1

1. Evalue las expresiones numericas

a. 3 + (6) (+4) (8) b. (6)(2)(3) c. 2 3,552d. 4 + 7,29 e. 2[3 (2 5)] f. 2 (3)2g. 6 [4 (5 8)2] h. 9 3 [6 2(9 4)2] i. 3

4 2

3+

12

2. Escriba cada expresion como una fraccion simple reducida a su mnimaexpresion

a.3 +

35

5 18

b.4 2

325 6

c.

23 1

218

+25

d.

35 1

2710 2

5


3. Reemplace el simbolo con = o bien con 6= para que el enumerado secumpla con todos los numeros reales a, b, c, d; siempre que las expresionesesten definidas

a.ab+ ac

a b+ ac b. ab+ ac

a b+ c

c.b+ ca

ba

+c

ad.a+ cb+ d

ab

+c

d

e.a bb a 1 f. (a+ b) a+ b

6


1.2 El orden y la recta numerica

Sean a y b numeros reales:

Si a b es positivo, a es mayor que b. Se nota a > b (> Mayor que)Si a b es negativo, a es menor que b. Se nota a < b (< Menor que)Si a b es cero, a es igual a b. Se nota a = b (= Igual a)

a > b si y solo si a b R+a < b si y solo si a b Ra = b si y solo si a b = 0

El conjunto de los numeros reales es un Campo ordenado.

Teorema 1. Axioma de tricotoma Para todo a y b reales, una y solo una de lasproposiciones siguientes es valida:

a > b, a = b o a < b

1. El smbolo significa menor o igual que: 5 6, 6 6.2. El smbolo significa mayor o igual que: 6 5, 6 63. La doble desigualdad a < x < b, es una combinacion de dos desigualdades:a < x, y x < b que deben satisfacerse simultaneamente: 2 < x < 5: xesta entre 2 y 5.

En el campo de los reales:

1. Si a, b, c son numeros reales tales que a > b y b > c, entonces a > c. PropiedadTransitiva.

2. Si a, b son reales y a > b entonces a+ c > b+ c, para todo c que pertenezca alos reales.

3. Si a, b son reales y a > b entonces ac > bc, para todo c que pertenece a R+

4. Si a, b son reales y a > b entonces ac < bc, para todo c que pertenece a R

5. Si a, b pertenecen a R y si ab > 0 entonces (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0)

6. Para todo real a, a2 0

7


7. Si a > b siendo a y b positivos entonces a2 > b2

8. Si a > 0,1a> 0

9. Si a > b y c > d, a+ c > b+ d

10. Si a, b, c y d son positivos y a > b,1b>

1a

Ejemplo Determine la veracidad o no de los siguientes enunciados:a) 6 > 2 (V) e) 18 > 24 (F) i) 15 < 12 (V)

b) 4 < 12 (V) f)127 1 (V)

c) 4.50 < 2.26 (V) g) 2 = 2 (F) k) 9 > 11 (V)

d) pi < 2e (F) h) 35< 0.35 (F) l) 1

16> 2 (V)

Ejemplo Reemplace el smbolo 2 con o =

7 2 2847 4 2 28 1

28 2 2828 = 28

Taller 2

1. Reemplace el smbolo 2 con o =

a.132 8

23b. 45

102 9

2c. 12

72 13

8

d.325

2322

2. En cada caso ordene de menor a mayor y represente en una recta numerica:

a. 38,

511 ,

57,23 b.

32,79,68,

45 c.

13,52,13,47,53

3. Por que no tiene sentido escribir:

a) 2 < x < 4b) 2 > x > 5

8


1.2.1 La notacion de intervalos

Otra manera de expresar conjuntos de numeros descritos por desigualdades esutilizando la notacion de intervalos. Esta notacion es una manera convenientey compacta de representar intervalos en la recta numerica. Empezaremos conintervalos acotados, es decir, intervalos que tienen dos extremos.

Utilizaremos parentesis para indicar que un extremo no esta incluido, y corchetespara indicar que se incluye el extremo.

Intervalos acotados{x|a x b} [a, b]{x|a < x < b} (a, b){x|a x < b} [a, b){x|a < x b} (a, b]

Intervalos no acotados{x|x a} [a,){x|x > a} (a,){x|x a} (, a]{x|x < a} (, a)

Los smbolos y no representan numeros; son simplemente smbolos quenos recuerdan que el intervalo continua por siempre, o aumenta (o disminuye) sinfin. Por lo tanto, siempre escribimos un parentesis junto al smbolo .

Recordemos que siempre que utilizamos la notacion de intervalos, estamostrabajando dentro del marco del sistema de los numeros reales. La lnea gruesa dela grafica senala que se incluyen todos los puntos de la lnea.

Ejemplo

1. Graficar las siguientes desigualdades en la recta numerica y expresar elconjunto utilizando la notacion de intervalos.

a) {x|x > 3}b) {s|s 4}c) {t| 2 < t 6}

9


Figura 3: Conjunto solucion

Taller 3

1. Exprese el enunciado en forma de desigualdad:

a. x es negativo.b. y es no negativo.c. q es menor que o igual a pi.d. d esta entre 2 y 4.e. t no es menor que 5.f. El inverso aditivo de z no es mayor que 3.g. El cociente de p y q es, cuando mucho 7.h. El recproco de w es, cuando menos 9.

2. Grafique cada conjunto sobre la recta numerica real:

a.{x|x < 4} b.{x|x > 5} c.{x| 3 < x 2}d.{x| 8 < x < 2} e.{x| 2 x < 4}

3. Grafique el conjunto sobre la recta numerica y expreselo mediante la notacionde intervalos.

a.{x|x < 4} b.{x|x 1} c.{x|x 5}

d. {x| 3 < x} e. {x| 8 x < 5} f. {x|0 < x 6}

g. {x| 2 x} h.{x| 3 < x < 4} i.{x| 9 < x 2}

j. {x|0 x 6}

10


1.3 Valor absoluto

De manera geometrica, el valor absoluto de un numero es su distancia al cero sobrela recta numerica.

El valor absoluto de x se simboliza por |x|. Por tanto:

| 3| = 3 ya que 3 esta 3 unidades de distancia del cero en la rectanumerica.

Ademas,

|3| = 3 ya que 3 esta a 3 unidades del cero en la recta numerica.

Figura 4: Interpretacion grafica

De manera algebraca, definimos el valor absoluto de la siguiente manera:

|x| ={x si x 0x si x < 0

Definicion Sean a,b las coordenadas de dos puntos A y B respectivamente en unarecta coordenada l. La distancia entre A y B, notada d(A,B) = |AB| = |B A|.

11


1.3.1 Algunas propiedades del valor absoluto

1.|x| 0 2.|x| x

3.| x| = |x| 4.|x|2 = x2

5.|x| = |y|, x = y o x = y o x = y 6.|xy| = |x||y|

7.xy = |x||y| , y 6= 0 8. |x y| = |y x|

9.|x+ y| |x|+ |y| 10.|x| |y| |x y|

Ejemplo Escriba cada expresion sin los smbolos de valor absolutoa) |pi 3| b) |3 pi| c) |x4 + 1|d) |x 2| e) |x+ 1|

Solucion

1. Como pi ' 3,14, entonces pi 3 es positivo, por tanto |pi 3| = pi 3

2. |3 pi| es negativo, por tanto |3 pi| = (3 pi) = 3 + pi = pi 3

3. x4 es no negativo y x4 + 1 tambien es positivo, por tanto |x4 + 1| = x4 + 1

4. |x 2| = x 2 cuando x 2 0, x 2, |x 2| = (x 2) = x+ 2 cuandox 2 < 0, x < 2 por tanto

|x 2| ={x 2 cuando x 22 x cuandox < 2

Taller 4

1. Determine el valor de cada expresion, si x = 3, y = 2a.|x+ y| b.|x|+ |y|c. |x y| d.|x| |y|

2. Escriba cada expresion sin los smbolos de valor absolutoa. |3 5| b. |x 5| c. |2 1| d. |x+ 4|e. |12| f.|x2 + 1| g. |pi 3, 14| h. |x4 + 3|

12


3. Determine la distancia sobre la recta numerica entre cada par de puntos conlas coordenadas dadas.a. 2 y 5 b. -3 y 8 c. 5 y 9 d. -8 y 4

4. La distancia entre x y a se define como |xa|. En cada caso grafique el conjuntosolucion sobre la recta numerica y expreselo mediante notacion de intervalos.a. |x 2| < 1 b. |x 2| < 3 c. |x| < 4 d. |x 4| < 3e. |x 2| 1 f. |x| 3 g. |x 3| > 5 h. |x 4| 3i. |x+ 2| < 1 j. |x+ 2| 1

5. Calcule |x y| |x| |y| si x = 1 y y = 2

13


1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros

El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar numeros en una formamas corta. Por ejemplo: el producto 2 2 2 2 2 se expresa de la forma 25 y selee dos a la cinco.ELa expresionE2 2 2 2 2 esta en la forma expandida y la expresion 25 es unaexpresion exponencial.EEl valor 32 es la quinta potencia de 2.

Definicion La expresion xn significa que x aparece multiplicada n veces. x se conocecomo la base y n como el exponente. Se llama potencia al valor que se obtiene almultiplicar la base n veces. Esto es, xn = x x x x

n veces

multiplicado por si

mismo n veces.Ejemplo

a) La notacion exponencial de (3)(3)(3)(3) es (3)4.b) La notacion exponencial de b b b es b3.

Definicion Para toda base x, x1 = x. Esto es, cualquier numero elevado a la unoes el mismo numero.

Ejemplo 31 = 3 (17)1 = 17 (259)1 = 259

Definicion Cualquier numero diferente de cero, elevado a la cero es igual auno. Esto es, para toda base x x 6= 0 x0 = 1.

Ejemplo 30 = 1 (5)0 = 1 (58)0 = 1

Definicion Cualquier numero diferente de cero y n un numero entero, tenemos

xn =1xn

Ejemplo 23 =123

=18

1.4.1 Propiedades

1. Si n y m son enteros positivos y x un real: xnxm = xn+m

2. Si n y m son enteros positivos y x un real: (xn)m = xnm

14


3. Si n es entero positivo y x, y reales: (xy)n = xnyn

4. Si n y m son enteros positivos, n > m y x un real, x 6= 0 :xn

xm= xnm

Ejemplo

a) 32 35 = 32+5 = 38

b) (a+ 2b)3(a+ 2b)7 = (a+ 2b)3+7 = (a+ 2b)10

c) ((12 +13)2)4 = ((56)

2)4 = (56)8 = (65)

8

d)(2a2b)3(3ab)2

a4

=23a6b3(3)2a( 2)b2

a4

=23(3)2a6a2b3b2

a4= 23(3)2a6+(2)(4)b3+(2)= 23(3)2a8b5

=a8

23(3)2b5=

a8

72b5

Taller 5 Elimnense les exponentes negativos y simplifiquese:

1. (a5)4

2.23

32

3. (aras)t

4. (x2m x3n)4

5. (3)3

6.(2x5)(3x4)

(x2)3

15


7. (2xy2)5 x7

8y3

8. (2xn)n

9. (a1 + b1) (a+ b)1

10.(2x3y2)(3x2y3)

11.(

4a0b3

a4b

)212.

a1 + b1

(a+ b)1

13.x2 y2x2 y2

14. ((x2y3)2)3

16


1.5 Exponentes racionales

Definicion Si n es un entero positivo y a un numero para el cual a1/n esta definido,entonces la expresion n

a denomina raiz n-esima de a, donde el numero a se llama

cantidad subradical y a n el ndice del radical.

La raz principal de un numero positivo es la raz positiva La raz principal de un numero negativo es la raz negativa, si n es impar Se nota y = a1/n = naNota: Si n = 2 (ndice del radical) entonces se omite al escribir la expresion.Ejemplo

251/2 = 2

25 =

25 = 5 25 es el radicando y 2 es el ndice; 52 = 25

Defincion Si a es un numero real y m, n dos enteros para la cual: na es

un numero real, entonces am/n = nam

Ejemplo

a) 22/3 = 3

22 = 3

4

b) a(2/3) = 1a23

= 13a2

, a 6= 0

Taller 6 Reduzcanse a su forma mas simple:

1. 251/2

2. x1/4 x1/5

3. (2x1/6y5/6)6

4. (210)3/5

5. x1/4x1/5

6. (x+ y1)2

7. (x1/4)1/5

8. 37/231/2

9. (a1/2 + b1/2)2

17


10. (125x4y3 27x2y6)1/3

11. (x1/3 + y1/3)(x2/3 x1/3y1/3 + y2/3)

1.5.1 Reglas de los radicales

Para cualquier entero positivo n y numeros reales a y b donde b 6= 0, y si todas lasraces son numeros reales:

Definicion Regla del producto de radicales

na b = na n

b

Ejemplo

a)

9 3 = 93 = 33

b) 3

2 3

4 = 3

2 4 = 38 = 2

Definicion Regla de la division de radicales

n

a

b=

na

nb

Ejemplo

a) 4

1681 =

416481

b)483

=

483 =

16 = 4

1.5.2 Simplificacion de radicales

Un radical esta en su forma mas simple si:

1. El radicando no tiene factores con una raz enesima perfecta.

2. No hay fracciones dentro del signo del radical.

3. No existen radicales en el denominador.

18


Nota: La regla del producto se usa para hallar las races perfectas de los factoresdel radicando.

La regla de la division de radicales se usa cuando las fracciones estan dentro delsigno del radical.

Taller 7 Reduzcanse a su forma mas simple:

1.

50

2. 4

32

3. 381

4. 3

6 3

18

5. 532a10b4

6.7527

7.a2b2 + b2c2

8. 3x

a2

x43

x3

2a4

9. na2nb3n

10. 5

4

3

(32)2

11.x+ 6 + 9x

12. 10

32a5

1.5.3 Numero imaginario

Definicion Un numero imaginario se define como:

i =1 y i2 = 1

Definicion Para todo numero real positivo a, tenemos que:

a = 1a = ia

19


Ejemplo Simplificar:

a)36 = 136 = i36 = 6i

b)17 = 117 = i17 = 17i

1.5.4 Operaciones con radicales

Suma y Resta: En la suma y la resta utilizamos los siguientes pasos:

1. Simplificar todos los radicales que no esten expresados en su forma mas simple.

2. Sumar y restar terminos que contienen los mismos radicales (es decir, que sonsemejantes) usando la propiedad distributiba.

Multiplicacion: En la multiplicacion de radicales hacemos los siguientes pasos:

1. Multiplicar los coeficientes de los radicales.

2. Multiplicar los radicales y buscar la raz enesima del producto.

3. Simplificar si es necesario.

Ejemplo Realizar las operaciones y expresar la respuesta en su forma mas simple

a)

5x 10x 4 +

3x 24 x

=5x 10x 4 +

2 3xx 4

=5x 10 + (3x+ 2)

x 4=

2x 8x 4

=2(x 4)x 4 = 2

20


b)

4x(x+ 1)(x2 2)3 +

1(x2 2)2

=4x(x+ 1)(x2 2)3 +

1(x2 2)2

=4x(x+ 1) + (x2 2)

(x2 2)3

=3x2 4x 2

(x2 2)3

Taller 8 Evaluar:

1. 3

16 354 + 32502.

12 +

75183.

3ab2 3

18a3b

4. (2

3 + 3

2)(3

3 22)5. 6

75 215Division: Antes de dividir expresiones con radicales tenemos que definir lo que esel conjugado.

DefinicionLas expresiones (a +

b) y (

a b), donde a y b representan

cualquier termino algebraico positivo se llaman conjugados. Cada expresion es elconjugado de la otra expresion. De manera que: (

a+b)(ab) = a b

Definicion El proceso para eliminar radicales que estan en el denominador sellama racionalizar el denominador.

Ejemplo Racionalizar

a)4

2 +

5=

4(25)(2 +

5)(25) =

4(25)(4 5) =

4(25)1

= 4(25)

b)

11 +

2

112 =(

11 +

2)(

11 +

2)(

112)(11 +2) =(

11 +

2)(

11 +

2)9

21


Taller 9

1. El factor racionalizante de 15a es

a) 5a

b) 5a2

c) 5a4

2. La expresion12x5y7

3

xy

es igual a:

a)xy

b) 6x2y3

c) 3xy

d) 12x2y5

3. El factor racionalizante dea+ b

3a2 + b2

es:

a) 3a+ b

b) 3a b

c) 3a4 + b4

d) 3a4 + b4 + 2a2b2

4. El factor racionalizante de1

1 3x es:

a) 1 + 3x2

b) 1 + x+ x2

c) 1 + 3x+ 3x2

d) 1 3x+ 3x2

22


1.6 Expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es una expresion que se obtiene sumando, restando,multiplicando, dividiendo y calculando races de constantes y/o variables. Porejemplo:

a. 3x1/3 + 9, b.

2x+ 57x3 + 1

, c. 5x3 +3xyx

+ 4,

d. 2x5 + x3 + 1

Todas son expresiones algebraicas donde x, y son variables. Si numeros especficosse sustituyen por las variables en una expresion algebraica, el numero real queresulta se llama valor de la expresion para estos numeros. Por ejemplo, el valor de2xy + 3xy 1 , cuando x = 2 y y = 3 es:

2(2)(3) + 3(2)3 1 =

12 62

= 9Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, se supone que los dominios se escogende tal manera que las variables no representan numeros que dejen sin sentido laexpresion. Entonces se supone que los denominadores no se anulan, siempre existenraces, etc.

1.6.1 Expresiones algebraicas - Polinomios

Definicion Un polinomio en la variable x es una expresion algebraica formadasolamente por la suma de terminos de la forma axn , donde a es cualquier numeroy n es un numero entero no negativo.

Ejemplo

a) 3x 2b) x4 + 5

c) 2n2 5n+ 3d) 5y3 + 4y2 3y + 1e) 23

Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios:

a)1x

+ 2x b)x 3x2 + 4

c) 2x2 +x 5

Nota Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresion algebraicaes un polinomio.

23


1.6.2 Componentes de un polinomio

1. Termino: Un termino es una parte de una expresion algebriaca. Los terminosse separan entre s por los signos de suma (+) o resta (-).

2. Coeficiente: El coeficiente numerico de un termino de un polinomio es el factornumerico del mismo.

3. Termino constante: Es el coeficiente numerico que no contiene variable.

Ejemplo El polinomio 5x2 + 3x 8a) Tiene tres terminos

b) Los coeficientes numericos son 5, 3 y -8

c) -8 es el termino constante

1.6.3 Clasificacion de los polinomios

Los polinomios se clasifican de acuerdo al numero de terminos. Un polinomio quetiene un solo termino se llama monomio. Si el polinomio tiene dos terminos se llamaun binomio y si tiene tres terminos se llama trinomio. Los polinomios formadospor mas de tres terminos no reciben ningun nombre en especial, simplemente sonpolinomios con la cantidad de terminos que contiene.Ejemplo

Monomio Binomio Trinomio3x 7x 4 n2 + 3n+ 225 3a+ 5b 3x4 x3 + 5x29x2y3 n2 4n 4xy + pxy2 11xy4

El polinomio 8x3 + 5x2 3x+ 7 es un polinomio de cuatro terminos.

1.6.4 Grado de un polinomio

Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio esta determinado por eltermino que contiene el mayor exponente.Ejemplo

Polinomio Grado9y4 5y3 + 3y2 + 7y 2 cuatro

2n2 3n+ 1 dos3x3y5 + 5x2y4 7xy2 + 6 ocho

24


1.6.5 Terminos Semejantes

Dos terminos son semejantes cuando ambos son numericos o cuando tienen lasmismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales.

Ejemplo

a) 6 semejante 6

b) 9x2 semejante 3x2

c) 11x no semejante 11x2

1.6.6 Operaciones entre polinomios

1. Suma. Encuentrese la suma de los polinomios x3 + 2x2 5x+ 7 y 4x3 5x2 + 3

(x3 + 2x2 5x+ 7) + (4x3 5x2 + 3) = x3 + 4x3 + 2x2 5x2 5x+ 3 + 7= (1 + 4)x3 + (2 5)x2 (5)x+ (3 + 7)= 5x3 3x2 5x+ 10

2. Diferencia. Encuentrese la diferencia de los polinomios x3 + 2x2 5x + 7 y4x3 5x2 + 3

(x3 + 2x2 5x+ 7) (4x3 5x2 + 3) = x3 + 2x2 5x+ 7 4x3 + 5x2 3= x3 4x3 + 2x2 + 5x2 5x+ 7 3= (1 4)x3 + (2 + 5)x2 5x+ (7 3)= 3x3 + 7x2 5x+ 4

3. Producto. Encuentrese el producto de 2x3 + 3x 1 y x2 x+ 4

(2x3 + 3x 1)(x2 x+ 4) = (2x3 + 3x 1)x2 + (2x3 + 3x 1)(x)+ (2x3 + 3x 1)4= 2x5 + 3x3 x2 2x4 3x2 + x+ 8x3 + 12x 4= 2x5 2x4 + (3 + 8)x3 + (1 3)x2 + (1 + 12)x 4= 2x5 2x4 + 11x3 4x2 + 13x 4

25


4. Cociente. Antes de proceder a dividir dos polinomios se deben escribir ambosen orden descendente de exponente y luego realizar un proceso muy parecido a ladivision de numeros en aritmetica.

Ejemplo x3 x+ 3x2 3 entre x 1

Proceso:

1. Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor asx3 + 3x2 x 3 (dividendo) y x 1 (divisor)

2. El termino de mas grado del dividendo se divide entre el termino de mas gradodel divisor. x

3

x = x2. Luego se multiplica x2por el divisor y el resultado se resta

al dividendo

3. Este proceso se continua hasta lograr que el residuo sea un polinomio de gradoinferior al del divisor o una constante.

x3 x+ 3x2 3 |x 1x3 + x2 x2 + 4x+ 30 + 4x2 x 34x2 + 4x

0 + 3x 33x+ 3

0

Taller 10 Completar

1. (x+ 2)(x+ 3) =

2. (x 2)(x+ 3) =3. (2x+ 3)(3x 5) =

4.x3 y3x y =

5.x4 y4x y =

6.x4 y4x+ y

=

26


1.6.7 Factorizacion

Factorizar un polinomio es volverlo a escribirlo como un producto de polinomios.Ejemplo

a) y5 + y4 = y4(y + 1)

b) 25 x2 = (5 + x)(5 x)

1.6.8 Algunos casos de factorizacion

1. Factor comun Consiste en la aplicacion de la propiedad distributiva.Ejemplo

a) 3x3y 5x2y2 + 7xy = xy(3x2 5xy + 7)b) x2 xy x+ y = (x2 xy) + (x+ y) = x(x y) (x y) = (x y)(x 1)

2. Factorizacion de trinomios Trinomio de la forma x2+bx+c: En este trinomiob y c son enteros y se busca factorizarlo as: se buscan, si existen, dos numerosenteros que sumados algebraicamente den como resultado b y multiplicados c.

Ejemplo

x2 + 5x+ 6 = (x+ 3)(x+ 2)

x2 5x 24 = (x 8)(x+ 3)3. Trinomio de la forma ax2 + bx + c: En este caso b y c son enteros y sefactoriza de la siguiente forma: Se multiplica y se divide el trinomio por a quedando(ax)2 + b(ax) + ac

a, una vez as se procede como el caso anterior, simplificando

cuando sea posible.Ejemplo

a) 3x2 + 7x 6 = (3x)2 + 7(3x) 18

3=

(3x+ 9)(3x 2)3

= (x+ 3)(3x 2)

b) 6x2 5x 6 = (6x)2 5(6x) 36

6=

(6x 9)(6x+ 46

=3(2x 3)(3x+ 2)2

6= 6x2 5x 6 = (2x 3)(3x 2)

Taller 11 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. 6x2 7x 3

27


2. 4x4y 10x3y2 + 6x2y3

3. a(x2 y) + 2b(x2 y)4. xy + xz

5. 6ax+ 2ya6. 2x2 9x 57. 3y2 + 7y 68. x2 + x+ 1

1.6.9 Productos notables

Ciertos productos ocurren tan frecuentemente en algebra, que merecen un lugarespecial (produntos notables). Hacemos una lista de estos, en donde las letrasrepresentan numeros reales.

1. (x+ y)(x y) = x2 y2

2. (ax+ b)(cx+ d) = acx2 + (ad+ bc)x+ bd

3. (x y)2 = x2 2xy + y2

4. (x y)3 = x3 3x2y + 3xy2 y3

5. (x+ y)(x2 xy + y2) = x3 + y3

6. (x y)(x2 + xy + y2) = x3 y3

1.6.10 Factorizacion utilizando los productos notables

Taller 12 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. 49 a2

2. a2 (x y)2

3. 27 b3

4. a3 + 216

5. x2 + x 20

28


6. 6x2 7x 3

7. 3x3 3x2 6x

8. (x 3)2 (x 3)

9. x4 16

10. x2 8x+ 16

11. x2 + 2xy + y2

12. 8x3 1

13. x3 3x2 25x+ 75

14. x2 + 4x+ 4 y2

15. (x2 + 4)2

1.6.11 Expresiones algebraicas - Expresiones racionales

Conocemos lo que es un numero racional, un numero que se expresa de la forma:

a

bdonde a y b son enteros con b 6= 0

Definicion Una expresion racional es una expresion algebraica de la forma:

P

Qdonde P y Q son polinomios y Q 6= 0

Ejemplo

a)5x

b) 3x+ 1

c)1

x2 4De acuerdo con lo anterior, el denominador de una expresion racional no puede sercero, entonces:

29


5x

No esta definida para x = 0

3x+ 1

No esta definida para x = 11

x2 4 No esta definida para x 2

El numerador puede ser cero ya que la expresion:

0b

para b 6= 0 es cero

1.6.12 Simplificacion de expresiones racionales

Para simplificar una expresion racional seguimos los siguientes pasos:

1. Factorizar completamente el numerador y el denominador.

2. Dividir el numerador y el denominador por los factores comunes en ambos.Estose hace cancelando los factores comunes en el numerador y el denominador.

Ejemplo Simplifquese3x2 5x 2

x2 4Solucion :

3x2 5x 2x2 4 =

(3x+ 1)(x 2)(x 2)(x+ 2) =

3x+ 1x+ 2

En el ejemplo anterior, dividimos numerador y denominador por x 2. Debeenfatizarse que esta simplificacion es valida y las expresiones son iguales, solo bajola hipotesis de que x 2 6= 0, esto es x 6= 2. Sin embargo 2 no esta en el dominio dex ya que nos lleva, cuando se sustituye en la expresion original, a un denominadorigual a cero.

Taller 13 Enmarcar con un crculo la respuesta correcta a cada problema.

1. Al reducir la fraccionx2 + xyx2 y2 a su mnima expresion se obtiene:

a.x

x+ yb.

x

yc.

x

x y d.1

1 + ye. Ninguna de las anteriores

2. Al reducir la fraccionx2 + 3x 10

4x x3 a su mnima expresion se obtiene:

a.x+ 5

x(x+ 2)b. x+ 5

x(2 x) c.3x 10

3xd. x+ 5

x(x+ 2)

30


e. Ninguna de las anteriores

3.x2 16y2x+ 4y

=

a. x+ 4y b. x 4y c. x y d. x+ y e Ninguna de las anteriores.4. Completar con una expresion adecuada.

a)15x2 + 10x

5=

b)5x3y2 xy2 + 3xy

xy =

c)x3 3x2 + 3x 1

x 1 =

d)x3 2x2 17x+ 6

x2 + 5x 2 =

Ejemplo Simplifquese2 x 3x26x2 x 2

Solucion :2 x 3x26x2 x 2 =

(1 + x)(2 3x)(2x+ 1)(3x 2) =

(1 + x)2x+ 1

Donde hemos usado el hecho de que (2 3x) = (3x 2). Esto explica el signomenos en la respuesta final.Ejemplo Realcense y simplifquense las operaciones indicadas:

a)x2 6x+ 9x2 1

2x 2x 3

b)x+ 22x 3

x2 42x2 3x

Solucion:

a)x2 6x+ 9x2 1

2x 2x 3 =

(x 3)2 2(x 1)(x 1)(x+ 1)(x 3) =

2(x 3)x+ 1

b)x+ 22x 3

x2 42x2 3x =

x+ 22x 3

2x2 3xx2 4 =

(x+ 2)x(2x 3)(2x 3)(x+ 2)(x 2)

=x

x 2

31


Ejemplo Simplifquese2x+ 5

x2 + 6x+ 9+

x

x2 9 +1

x 3Solucion: Las formas factorizadas de los denominadores son: (x+3)2, (x+3)(x3)y (x 3). Entonces el m.c.d es (x+ 3)2(x 3). Luego:

2x+ 5x2 + 6x+ 9

+x

x2 9 +1

x 3 =2x+ 5

(x+ 3)2 (x 3)

(x 3) +x

(x+ 3)(x 3) (x+ 3)(x+ 3)

+1

x 3 (x+ 3)2

(x+ 3)2

=(2x2 x 15) + (x2 + 3x) + (x2 + 6x+ 9)

(x+ 3)2(x 3)=

4x2 + 8x 6(x+ 3)2(x 3)

=2(2x2 + 4x 3)(x+ 3)2(x 3)

A veces es necesario simplificar cocientes en los que el numerador y denominadorno son polinomios, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo Simplificar:1 2

x+ 11x x

1 2x+ 1

1x x

=

(x+ 1) 2x+ 11 x2x

=x 1x+ 1

x1 x2

=(x 1)x

(x+ 1)(1 x)(1 + x)=

x(x+ 1)2

Taller 14 Simplificar:

1.p4 + 3p3 8p 24p3 2p2 9p+ 18

32


2.a2 1

a

a+1a

+ 1

33


1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable

Una ecuacion es una igualdad de dos expresiones matematicas. Una ecuacion deprimer grado en una variable es una ecuacion en la que aparece una variable elevadaal exponente uno. A estas ecuaciones tambien se le conocen como ecuaciones linealesen una variable.

La variable puede aparecer por mas de una ocasion, por ejemplo, en la ecuacion5n 3 = 3n+ 1 es una ecuacion de primer grado en una variable. Se puede observarque la variable n aparece dos veces pero ambas elevadas al exponente uno.

Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x + 1 = 16;2(x+ 1) 3 = x+ 5

Resolver una ecuacion de primer grado en una variable consiste en hallar elvalor de la variable que hace cierta la igualdad. A este valor se le conoce como lasolucion o la raz de la ecuacion. Por ejemplo, es 2 unaE solucion de la ecuacion5n 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuacion observamosque es cierta la igualdad:

5(2) 3 = 3(2) + 1 luego 10 3 = 6 + 1 7 = 7 Se cumpleLo que hacemos para resolver una ecuacion de primer grado en una variable esdespejar para la variable, es decir, dejarla a un lado de la ecuacion y escribirlas constantes (los numeros) al otro lado de la ecuacion usando las propiedadescorrespondientes:

1. Si a = b, entonces a+ c = b+ c y a c = b c.

2. Si a = b y c 6= 0, entonces: ac = bc y ab

=b

c

Ejemplo

a)x+ 53x 2 = 5 x+ 5 = 5(3x 2)

x+ 5 = 15x 10 5 + 10 = 15x x x = 1514

b)3

x 1 + 5 =4 xx 1

34


3x 1(x 1) + 5(x 1) =

4 xx 1(x 1)

3 + 5(x 1) = 4 x5x 2 = 4 x6x = 6x = 1

Taller 15

1. Resolver para x:

a.3x+ 5

12 4 x

6 x 2

3= 0

b.3x+ 2x 1

65

= 0

c. 3x 3 2x7

= 2 +7 x

5

d.1x

+3

x+ 1=

23(x2 + x)

e. 5 +2

3 14x=

458

f.xx1 1xx1 + 1

=xx+1 1xx+1 + 1

1.7.1 Solucion a problemas

Para una buena formacion en Matematicas, a cualquier nivel, es necesaria lasolucion a problemas.

Con este proceso puede confrontarse lo aprendido y sembrar bases que seranla fuente de trabajos posteriores.

Taller 16 Resolver utilizando ecuaciones en una variable:

1. Una tienda de descuento de computadores realiza una promocion de fin deano de dos tipos de computadores. Se obtienen 41800 dolares por la venta de58 computadoras. Si uno de los tipos se vendio a 600 dolares y el otro a 850dolares. Cuantos computadores se cada tipo se vendieron?

2. Carlos puede procesar 200 hojas de un trabajo en una hora y Pedro puedeprocesar 150 hojas del mismo trabajo en una hora. Cuanto tardaran enprocesar 900 hojas juntos, si Carlos comienza 12 hora despues de Pedro?

35


3. Un camion transporta una carga de 50 cajas; algunas de estas cajas son cajasde 20 kg y el resto son cajas de 25 kg. Si el peso total de de todas las cajas esde 1175 kg; Cuantas cajas hay de cada tipo?

4. La tubera A puede llenar una piscina con agua en 3 das y la tubera B puedellenar la misma piscina en 2 das. Si se utilizaran ambas tuberas, En cuantotiempo se llenara la piscina?

5. Cuando se abre la llave de una banera (y el desague) esta tapado, la banerase llena en 10 minutos; cuando el desague se destapa (y se cierra la llave), labanera llena, se vaca en 15 minutos. Cuanto tarda en llenarse la banera si seabre la llave y el desague se destapa?.

1.7.2 Inecuaciones lineales

Anteriormente has usado los smbolos (mayor que), (menor que), (mayor oigual que) y (menor o igual que) para describir como es la relacion entre unnumero y otro. Por ejemplo: 4 > 1 para senalar que 4 es mayor que -1, 2 < 3para senalar que -2 es menor que 3 y 3 < 1 para senalar que -3 es menor que -1.Estos ejemplos se conocen como desigualdades.

Definicion Una inecuacion lineal es una expresion matematica que describe como serelacionan entre s dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3+5x 18; 2(x+3) < 9.La solucion de una inecuacion lineal se puede representar haciendo uso de intervalosen la recta numerica, la cual contiene infinito numeros reales.

Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:1. Para todo numero real a, b y c, si a < b entonces: a+ c < b+ c y a c < b c2. Para todo numero real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces:

ac < bc ya

c bc ya

c>b

c

Taller 17 Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar la solucion enla recta numerica:

36


1. x+ 5 < 3

2. 3x+ 2(x 4) > 4x3. 5x 7 2x+ 84. 3x+ 8 5x

5.17

(x+ 5) >15

(x+ 1)

6. 5x+ 2 < 4 x7. 7(x 3) 4(1 + 2x)

8.x

3 1 x

5 1

5

37


1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita

En el apendice anterior trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuacioneslineales son ecuaciones polinomicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuacionespolinomicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadraticas.

Definicion Una ecuacion cuadratica es una ecuacion de la forma:ax2 + bx+ c = 0 donde a, b, y , c son numeros reales y a es un numero diferente decero.Ejemplo

a) x2 9 = 0b) x2 x 12 = 0c) 2x2 3x 4 = 0

La condicion de que a es un numero diferente de cero en la definicion aseguraque exista el termino x2 en la ecuacion. Existen varios metodos para resolver lasecuaciones cuadraticas. El metodo apropiado para resolver una ecuacion cuadraticadepende del tipo de ecuacion cuadratica que se va a resolver. En este apendiceestudiaremos los siguientes metodos: factorizacion, completando el cuadrado y laformula cuadratica.

1. Factorizacion Para utilizar este metodo la ecuacion cuadratica debe estarigualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuacion que no es cero como unproducto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para lavariable.

2. Completando el cuadrado Completar el cuadrado conlleva hallar el tercertermino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Estoes, trinomios de la forma: x2 + bx+?

Regla para hallar el ultimo termino de x2 + bx+?: El ultimo termino de untrinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficientedel termino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primerosterminos son x2 + bx es :

x2 + bx+ (b

2)2

Al completar el cuadrado queremos una ecuacion equivalente que tenga un trinomiocuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuacion equivalente el numero que

38


completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacion.

3. Formula cuadratica La solucion de una ecuacion ax2 + bx+ c con a diferentede cero esta dada por la formula cuadratica:

x =bb2 4ac

2a

Donde el numero b2 4ac se denomina el discriminante y si:b2 4ac > 0, las races son reales y diferentes.b2 4ac = 0, las races son reales e iguales. (raz doble)b2 4ac < 0, las races son complejas.

Taller 18 Resolver para x,

1. x2 7x+ 10 = 02. x2 + 3xy 10y2 = 03. x2 + 6x+ 5 = 0

4. x2 + 2ax+ a2 b2 = 05. x2 + 12x+ 11 = 0

6. x2 + x 6 = 07. 4x2 12x+ 9 = 08. 2x2 + 6x+ 7 = 0

39


1.9 Secciones conicas

1.9.1 Distancia entre dos puntos

En el sistema coordenado - bidimensional rectangular:

Figura 5: Sistema coordenado

Taller 19

1. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5,7) son vertices de un triangulorectangulo. Determinar su area.

2. Determinar la ecuacion algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y)equidista de los puntos (3, 5), (7,9)

1.9.2 Coordenadas del punto medio

Las coordenadas del punto medio del segmento cuyos puntos extremos son : (x1, y1)y (x2, y2)

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y22

Taller 20

1. Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectanguloequidista de los vertices. Sug: Tomar el triangulo con vertices en(0, 0), (a, 0), (0, b)

2. Uno de los puntos extremos de un segmento es (7, 8) y su punto medio es(4, 3). Hallar el otro extremo.

40


3. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5,7) son vertices de un triangulorectangulo. Determinar su area. Verificar que el punto medio de la hipotenusaequidista de los vertices.

4. Mostrar que los puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6) y (9, 2) son vertices de unparalelogramo.

5. Mostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y (4,2) son vertices de uncuadrado.

6. Mostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son vertices de un rombo.

7. Los vertices de un triangulo son A(1, 3), B(3, 5) y C(7,1). Si D es elpunto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, verificarque la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.

8. Hallar las coordenadas del punto situado a tres cuartas partes del punto a(6,2) a (2, 6)

9. Determinar los puntos del eje Y que esten a una distancia de 6 del punto(5, 3)

10. Determinar el punto que tenga coordenadas de la forma (2a, a), que este enel tercer cuadrante y a la distancia 5 de (2, 4)

1.9.3 Recta

Inclinacion: Es el angulo menor a 180 medido en sentido contra-reloj, fomadopor una recta y el eje positivo de las X.

Pendiente: Es la razon (cociente) del ascenso o descenso y el avance deuna recta que no es paralela al eje Y .

41


Figura 6: Pendiente

Pendiente: mElevacion por unidad de

avance.

m =elevacion

avance=y2 y1x2 x1

Figura 7: Tipos Pendiente

Rectas paralelas y perpendiculares:

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y son perpendicularessi el producto de sus pendientes es 1

Ecuaciones de la rectaPunto pendiente Pasa por un punto fijo (x1, y1) y tiene una pendiente dada m:

y y1 = m(x x1)

42


Pendiente intercepto Intercepta al eje y en b, y tiene una pendiente dada m:

y = mx+ b

Interceptos La que intercepta al eje y en b intercepta al eje x en a

x

a+y

b= 1

Forma general: Ax + By + C = 0, con A;B;C constantes reales cualesquiera, peroA y B no pueden ser cero simultaneamente y de la cual:

Si C = 0, la recta pasa por el origen.

Si B = 0, la recta es vertical, si B 6= 0 la recta tiene pendiente AB

y corta al

eje y enCB

.

Si A = 0, la recta es horizontal.

Taller 21

1. Resolver graficamente los sistemas:

a.

{x y

2= 2

2x 3y2 = 7

b.{

3x+ 2y = 36x+ 4y = 24

c.{

3x+ 2y = 36x+ 4y = 6

2. Determine la ecuacion de la recta que pasa por (2, 1) y (6, 5)3. Determine la ecuacion de la recta cuyas intersecciones con los ejes X,Y son 2

y 7

4. Cual es la ecuacion del sistema de rectas que pasa por (1, 3) ?5. Cual es la ecuacion del sistema de rectas paralelas a 2x 3y + 6 = 0?6. Cual es la ecuacion del sistema de rectas perpendicular a

3x 2y = 5?7. Hallar la ecuacion de la mediatriz del segmento A(3, 2), B(1, 6)

43


8. Hallar el valor de k, para que kx + (k 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta4x+ 3y + 7 = 0

9. Hallar el valor de k, para que k2x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a larecta 3x 2y 11 = 0

10. Muestre que las rectas 5x y 6 = 0, x+ 5y 22 = 0,5x y 32 = 0, x+ 5y + 4 = 0, forman un cuadrado.

11. Dados los cuatro puntos A(2,4), B(10, 0), C(6, 3) y D(4, 2). Demuestre pormedio de pendientes que los cuatro puntos A,B,C y D son los vertices de untrapecio y calcule el area de este trapecio.

1.9.4 Circunferencia

El conjunto de puntos en el plano tales que su distancia a un punto fijoC(h, k), centro, es siempre una constante r, radio, se denomina circunferencia.

Su ecuacion:(x h)2 + (y k)2 = r2x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0

Con centro en el origen:x2 + y2 = r2

Taller 22

1. Dibujar el conjunto de puntos en el plano que satisfacen:

a) 3x2 + 3y2 + 6x 8y = 48b) x2 + y2 + 2x 4y = 5c) x2 + y2 + 2x 4y = 7d) x2 + y2 2x 4y + 1 = 0e) x2 + y2 2x 8y = 13f ) x2 + y2 2x 8y = 13g) 9x2 + 9y2 18x 54y + 54 = 0

2. Determinar la ecuacion de la circunferencia en la cual el segmento de recta quedeterminan los puntos (3,4) y (4, 3) es un diametro.

44


3. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en (5, 3) y es tangente aleje Y

4. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por (2,1), (0, 2) y (1, 1)

5. Hallar la ecuacion de la familia de circunferencias que tienen radio 5 y suscentros pertenecen a la recta x = 2. Determinar los miembros de estafamilia que deben pasar por el punto (2,5)

6. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en (0,2) y es tangente a5x 12y + 2 = 0

7. Una cuerda de la circunferencia x2+y2 = 25 esta sobre la recta x2y+5 = 0.Cual es la longitud de la cuerda?

8. La ecuacion de una circunferencia es (x 4)2 + (y 3)2 = 20. Hallar laecuacion de la recta tangente a ella en el punto (6, 7)

9. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en x 3y 11 = 0 y pasapor (1, 1) y (2, 3)

10. i) Hallar la distancia del punto (5, 7) a la recta x + 3y 6 = 0. Ilustregraficamente.

ii) obtenga la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (5, 7) y quees tangente a la recta x + 3y 6 = 0. Ilustre graficamente la recta y lacircunferencia.

1.9.5 La parabola

Una parabola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijoes igual a su distancia a una recta fija.

45


Ecuaciones de la parabola

1. Ecuacion de la parabola con vertice en el orgen, eje focal en el eje x, foco (p, 0)es y2 = 4px

2. Ecuacion de la parabola con vertice en el orgen, eje focal en el eje y, foco (0, p)es x2 = 4py

Taller 23

1. Grafique y determine las coordenadas del vertice, del foco, las ecuaciones delas directriz y del eje de las parabolas:

a) y2 = 12x

b) x2 = 12y

46


c) y2 + 8x = 0

d) x2 + 2y = 0

2. Determinar la ecuacion de la parabola con foco en (3, 0) y directriz x+ 3 = 0.:

Parabolas trasladadas

1. Vertice en (h, k), eje focal paralelo al eje x:

2. Vertice en (h, k), eje focal paralelo al eje y:

Taller 24

1. Graficar y determinar las coordenadas del vertice, de las siguientes parabolas:

a) 4y2 48x 20y = 71

47


b) 4x2 + 48y + 12x = 15

c) x2 4x 3y + 7 = 0d) y2 6y 2x+ 1 = 0e) x2 4x 4y = 0f ) x2 4x+ 2y = 1

2. Se debe contruir un reflector parabolico con una fuente de luz en su foco, que

esta a94

cm del vertice. Si el reflector debe tener 10 cm. de profundidad, Cualdebe ser el ancho de su boca?

3. Los extremos del cable de un puente de suspension estan a 1000 mt de distanciay a 100 mt sobre el piso de la va horizontal, mientras que el centro del cableesta en el piso. Encontrar la altura del cable sobre el piso a una distancia de300 mt de la base de la torre de amarre.

4. Cual es la mayor area rectangular que puede encerrarse con 400 mt de cerca?

5. Un canalon para captar agua de lluvia ha de tener lados iguales y un fondo yes fabricado con hojas de aluminio de 12 pulgadas de ancho, doblando los lados90 hacia arriba. Que altura del canal proporciona el mayor flujo de agua?

1.9.6. La elipse

Conjunto de puntos en un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntosfijos llamados focos, tambien en el plano, es igual a una constante, mayor que ladistancia entre sus focos.

La suma de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distancia entrelos focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la elipse.

a > c > 0, a2 c2 > 0, a2 c2 = b2

1. La ecuacion de la elipse con centro en el orgen, focos (c, 0) es x2

a2+y2

b2= 1

2. La elipse con centro en el orgen, focos (0,c) es y2

a2+x2

b2= 1

Taller 25

1. Grafique y determine las coordenadas del centro, vertices y focos de las elipses:

48


a) 9x2 + 4y2 = 36

b) 4x2 + 9y2 = 36

c) 16x2 + 25y2 = 400

d) x2 + 3y2 = 6

e) x2 + 9y2 + 2x 18y + 1 = 0f ) 9x2 18x+ 4y2 16y = 11g) 4x2 + 9y2 16x 18y = 11

1.9.7 La hiperbola

Conjunto de puntos en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de susdistancias a dos puntos fijos llamados focos, tambien en el plano, es igual a unaconstante positiva menor que la distancia entre los focos.

La diferencia de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distanciaentre los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la hiperbola

0 < a < c, c2 a2 > 0, c2 a2 = b2

1. La ecuacion de la hiperbola con centro en el orgen, focos en (c, 0) es x2

a2y

2

b2=

1

2. La ecuacion de la hiperbola con centro en el orgen, focos (0,c) es y2

a2x

2

b2= 1

Taller 26

1. Graficar y determinar las coordenadas del centro, vertice y focos de lashiperbolas:

a) 9x2 4y2 = 36b) 4x2 9y2 = 36c) 9y2 4x2 = 36d) 4y2 9x2 = 36e) x2 4y2 2x+ 16y 31 = 0f ) y2 + 2y 4x2 + 8x = 7

49


Taller 27

1. Grafique sobre la recta numerica el conjunto solucion de la desigualdad |x1| 2. Exprese tambien la solucion mediante notacion de intervalos.

2. A) Haciendo todo el procedimiento, elimine ena b

a2 b2 los exponentesnegativos y simplifique hasta su mnima expresion.

B) Haciendo todo el procedimiento, verifique que43x1/3 4

3x2/3 =

43

(x 1x2/3

)3. Utilizando el resultado notable a3 b3 = (a b)(a2 +ab+ b2) obtenga el factor

racionalizante de1

(1 3x)4. Factorice y simplifique:

i)(3x2 7x+ 2)(x2 x 2)

ii)(x3 8)

(x2 x 2)5. Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (6, 5) y que es perpendicular

a al recta x 2y 6 = 0. Ilustre graficamente.6. Haciendo todo el procedimiento (completar cuadrados y expresar en forma

canonica la ecuacion dada), grafique cada una de las siguientes ecuaciones:

i) y2 6y 2x+ 1 = 0ii) x2 + 9y2 + 2x 18y + 1 = 0

Taller 28

1. Grafique sobre la recta numerica el conjunto solucion de la desigualdad |x3| 2. Exprese tambien la solucion mediante notacion de intervalos.

2. Haciendo todo el procedimiento, elimine enx1 y1x2 y2 los exponentes

negativos y simplifique hasta su mnima expresion.

3. Utilizando la suma de cubos a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2) obtenga el factorracionalizante de

11 + 3x

.

50


4. Haciendo todo el procedimiento, determine si la expresion

x+ 6 +

9x

es igual

o no a la expresionx(x+ 3)x

. Aqu suponemos que x es mayor que cero.

5. Sea l una recta cuya ecuacion es x 2y 5 = 0.a) Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (6, 3) y que es

perpendicular a l.

b) Obtenga la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (6, 3)que es tangente a la recta l cuya ecuacion es x 2y 5 = 0. Ilustregraficamente las rectas y la circunferencia.

51


2 Coordenas y graficas2.1 Taller A

2.1 Taller A

1. Obtenga una ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 3) y que es paralelaa la recta cuya ecuacion es x+ 2y 2 = 0. Dibuje las rectas.

2. Obtenga una ecuacion de la recta que pasa por el punto (5, 4) y que esperpendicular a la recta cuya ecuacion es 2x y + 4 = 0. Dibuje las rectas.

3. Tres vertices consecutivos de un paralelogramo son (4, 1), (2, 3) y (8, 9).Determine las coordenadas del cuarto vertice.

4. Dados los puntos A = (2, 1), B = (6,1) y C = (4, 5)

a) Pruebe por medio de pendientes que los tres puntos A, B y C son losvertices de un triangulo rectangulo y calcule el area del triangulo.

b) Verifique que el punto A pertenece a la recta l que es perpendicular alsegmento BC en su punto medio.

5. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier triangulorectangulo equidista de los tres vertices.

Sugerencia: Puede suponer que el triangulo rectangulo tiene vertices en (0, 0),(a, 0) y (0, b) con a > 0 y b > 0

6. Dados los cuatro puntos A = (2,4), B = (8,1), C = (6, 4) y D = (4, 3).Demuestre por medio de pendientes que los cuatro puntos A, B, C y D sonlos vertices de un trapecio y calcule el area de este trapecio.

7. Sea l1 la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0, 4)

a) Halle la ecuacion de la recta l2 que pasa por el punto (5, 4) y que esperpendicular a la recta l1. Ilustre graficamente.

b) Halle la interseccion de las rectas l1 y l2 halladas anteriormente.

52


c) Halle la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (5, 4) y quees tangente a la recta l1 dada anteriormente. Ilustre graficamente.

8. Sea l una recta cuya ecuacion es x 2y 4 = 0a) Obtenga la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (3, 7)

y que es tangente a la recta l dada. Ilustre graficamente la recta y lacircunferencia.

b) Determine los cortes con los ejes coordenados, si es que existen, de lacircunferencia obtenida en el literal a).

9. Encuentre los valores de la constante k tal que la recta:3y kx = 6 sea tangente a la circunferencia x2 2x + y2 = 3. Ilustregraficamente.

10. Halle la ecuacion de la circunferencia que tiene el centro sobre la recta y = x+1,y que pasa por los puntos (1,4) y (5,2). Ilustre graficamente.

11. La recta y = mx + b corta a la parabola y = x2 2x + 4 en el punto (3,7).Encuentre los valores de m y b tal que la recta y = mx + b corte a la graficade y = x2 2x+ 4 unicamente en el punto (3,7).

12. La recta y = mx+ b pasa por el punto (5,0) y corta a la grafica de y = 9x2.Encuentre los valores de m y b de tal manera que esa recta corte a la graficade y = 9 x2 en un unico punto, y ademas halle dicho punto.

13. Dada la relacion y2 6y 2x = 5

a) Halle los cortes de la relacion dada con los ejes coordenados.

b) Trace la grafica de la relacion dada, y determine cual es el dominio y elrango de esta relacion.

c) Represente graficamente la solucion del siguiente sistema de desigualdadesen dos variables{y2 6y < 2x 52x+ 1 y

14. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a25 pies del suelo, describe una curva parabolica, de modo que el vertice de laparabola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el flujo

53


de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la rectavertical que pasa por el extremo del tubo. Que tan alejado de esta recta llegael agua al piso?

15. Trace la grafica de 9x2 54x + 4y2 8y = 49. Determine el dominio y elrango de esta relacion.

16. Dada la relacion x2 + y2 2x 8y = 13

a) Trace su grafica e indique su dominio y su rango.

b) Despeje a y en terminos de x, y represente graficamente cada una de lasrelaciones obtenidas, indicando sus respectivos dominios y rangos.

17. En cada uno de los siguientes ejercicios trace la grafica de la relacion dada eindique su dominio y su rango.

a) x2 6x 2y + 11 = 0b) y2 4y 2x+ 6 = 0c) y x 1 = 2d) y +

x 1 = 2

e) y = 48 x2 + 2x

f ) y = 4 +

8 x2 + 2x

g) y = 2

2x x2 + 32

h) y = 1 +3

6x x2 52

54


3 Funciones3.1 Taller A3.2 Taller B - Funciones exponenciales y logaritmicas

3.1 Taller A

1. Trace la grafica de cada una de las siguientes relaciones y determine cuales deellas son funciones y cuales no. si la relacion dada es funcion, expresela en laforma y = f(x), e indique su dominio y su rango.

a) x2 6x 2y + 11 = 0b) y2 4y 2x+ 6 = 0c) x2 + y2 2x 8y = 13d) y x 1 = 2e) y +

x 1 = 2

f ) y 2x x2 = 0g) y = 48 x2 + 2xh) y = 4 +

8 x2 + 2x

i) y = 2

2x x2 + 32

j ) y = 1 +3

6x x2 52

k) y 4/32x x2 + 8 = 2l) y + 4/3

2x x2 + 8 = 2

m) y x2 2x 15

2= 2

n) y 2x2 2x+ 2 + 1 = 0

2. Para cada una de las siguientes funciones:

a) Determine el dominio de f y halle los puntos de interseccion de la graficade f con los ejes coordenados, si existen estos cortes.

b) Trace su grafica.

i) f(x) = 2

ii) f(x) = 2x 1iii) f(x) = x2 6x+ 5iv) f(x) = x2 4x+ 5v) f(x) = 3 +

x 1

vi) f(x) = 2x 1vii) f(x) = 14x x2 + 5

viii) f(x) = 4 +

8 x2 + 2xix) f(x) =

2x+ 1 + 3

x) f(x) =

4 2x

55


3. Sea f la funcion que tiene como regla de correspondencia:f(x) = x2 2x 3

A)

a) Trace la grafica de f .

b) Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, f(1))y (4, f(4)).

c) Encuentref(x+ h) f(x)

hy simplifique.

B) Sea f la funcion que tiene como regla de correspondencia:f(x) = 2

x 1 2

a)Trace la grafica de f

b)Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, f(1)) y(5, f(5))

c)Encuentref(x+ h) f(x)

hy simplifique

4. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentraa 25 pies del suelo, describe una curva parabolica, de modo que el vertice dela parabola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo elflujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de larecta vertical que pasa por el extremo del tubo. Exprese la distancia desde larecta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en sutrayectoria curva, en funcion de b pies debajo del tubo.

5. Uno de los cables de un puente colgante pende en forma de parabola cuandola carga esta uniformemente distribuida de manera horizontal. La distanciaentre las dos torres es de 160m, los puntos de del cable estan a 24m arribade la carretera, y el punto ma bajo del cable esta a 8m sobre dicha carretera.Determine la distancia vertical de la carretera al cable de un punto que seencuentra a b m de la base de una torre. Exprese esta distancia vertical y,en funcion de b. Indique el dominio admisible para b

56


6. Un arco parabolico tiene una altura de 25m y un ancho de 40men la base. Si el vertice de la parabola esta en la parte superiordel arco, a que altura sobre la base tiene un ancho de b m?

7. El techo de un vestbulo de 8m de ancho tiene la forma de una semielipsede 9m de altura en el centro y 6m de altura de las paredes laterales.Determinar la altura del techo a b m de cualquier pared. Exprese la alturay del techo, en funcion de b. Indique el dominio admisible para b

57


8. Un telescopio refractante tiene un espejo parabolico para el cual la distanciadel vertice al foco es de 30 pies, Si el diametro de la parte superior delespejo es de b pulgadas, exprese la profundidad h del espejo en funcion de b

9. Un deposito hemisferico de radio R esta lleno de agua. Si empieza a gotearagua del fondo, exprese el radio r de la superficie del agua en funcion de laprofundidad h del casquete esferico, tal como se ilustra

10. Una antena de satelite de TV consta de un plato parabolico con el receptorcolocado en su foco.El plato parabolico puede describirse girando un trozo de parabola con respectode su eje de simetra (tal como se ilustra) con b x b donde x se mide enpies.

a) Exprese la profundidad que tiene el plato en funcion de b

b) Donde debe colocarse el receptor con respecto de la parte inferior (vertice)del plato?

58


11. El arco de un tunel recto en una carretera de doble sentido es semielptcocon eje mayor horizontal. La base del arco abarca los 50 pies de ancho de lacarretera y la parte mas alta del arco mide 16 pies en forma vertical sobre lalnea central de la carretera.

a) Exprese la altura y del tunel en funcion de la distancia x pies desde lalnea central de la carretera (ilustrar graficamente)

b) Puede un camion de 15 pies de altura y 11 pies de ancho, pasar por estetunel, manteniendose a la derecha de la lnea central?

12. Algunos cometas siguen una orbita hiperbolica, con el sol en uno de sus focos(y nunca volvemos a verlos de nuevo). Se puede mostrar que el vertice de unarama de una hiperbola es el punto sobre ella mas cercano al foco asociado aesa rama. Dado este hecho y el que la trayectoria del cometa queda descritapor la hiperbola 4x23y212 = 0, con el sol en uno de los focos (los numerosestan dados en terminos de U.A, donde 1U.A equivale a 149,6 millones dekilometros, distancia medida de la tierra al sol)

a) Determine cual es la distancia mas corta del cometa al sol

b) Exprese la distancia del cometa al sol en funcion de x (ver figura)

59


13. Dibuje la grafica de la funcion a trozos dada y determine su dominio y surango.

f(x) =

x+ 5, si 6 x < 3,

3 x2 2x, si 3 x 1,1 si 1 < x < 2,2x2 12x+ 17, si 2 < x 5.

14. Dibuje la grafica de la funcion a trozos dada y determine su dominio y su rango

f(x) =

12 (x+ 7), si x < 5

1, si 5 x < 4

3 3x2 4x

2si 4 x 0

x+ 2, si 0 < x < 1

26x x2 5, si 1 x < 5x 5 + 2, si 5 x

15. En la figura se da la grafica de una funcion f . Formada por una semirectahorizontal, una semielipse, un segmento de recta, y un trozo de parabola.Defina f(x) a trozos sobre el intervalo cerrado [2, 3].

60


16. En la figura se da la grafica de una funcion f . Defina f(x) a trozos sobre todoel eje real.

17. En la figura se da la grafica de una funcion f formada por una semirecta,tres segmentos de recta, un cuarto de circunferencia y un trozo de parabola.Defina f(x) a trozos sobre todo el eje real

18. En la figura se da la grafica de una funcion f formada por una semirecta,una semielipse, un segmento de recta, una semicircunferencia y un trozo de

61


parabola con el vertice en el punto (5, 2). Defina f(x) a trozos sobre todo eleje real

19. Al dividir el polinomio P (x) = x3 3kx + 1 entre x 2, el residuo es 15.Determine el valor de k.

20. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3 2kx + 3sea divisible por x 1

21. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3+k2x2kx+21sea divisible por x+ 3

22. Para cada una de las siguientes funciones polinomiales:

a) Factorice la expresion polinomial:anx

n + an1xn1 + + a1x + a0 como producto de factores lineales ofactores cuadraticos irreducibles.

b) Bosqueje la grafica de la funcion polinomial dada, indicando los cortescon los ejes coordenados, cuando estos existen.

i) f(x) = x3 4x2 + 5x 2ii) f(x) = x4 + 2x3 5x2 4x+ 6

iii) f(x) = 2x3 x2 8x+ 4iv) f(x) = x4 5x2 10x 6v) f(x) = 2x5 13x4 + 20x3 + 18x2 54x+ 27vi) f(x) = x3 2xvii) f(x) = x3 2x+ 1

62


viii) f(x) = x5 + 2x4 2x3 4x2 + x+ 2ix) f(x) = 2x5 x4 x3 2x2 + x+ 1

23. Para cada una de las siguientes funciones racionales

a) Factorice el denominador y el numerador. Simplifique.

b) Determine el dominio y los ceros reales de la funcion dada.

i) f(x) =2x 3

x3 3x 2

ii) f(x) =x2 + 2x 3x3 3x+ 2

iii) f(x) =x+ 2

x3 3x+ 2

iv) f(x) =3x 1

x3 3x2 + 4x 2v) f(x) =

x2 3x+ 2x4 x3 5x2 + 3x+ 6

vi) f(x) =x3 2x2 x+ 2x2 3x+ 2

24. Dada la funcion racional f(x) =x3 6x2 + 5x+ 12

x 4 factorice el numerador ydetermine el dominio y los ceros de la funcion dada. Ademas, trace la graficade f .

25. Para cada una de las siguientes funciones irracionales

a) Factorice el denominador

b) Determine el dominio de f y halle los puntos de interseccion de la graficade f con los ejes coordenados, si existen estos cortes.

i) f(x) =x+ 2 x

x3 + x2 5x+ 3ii) f(x) =

2x 1 xx3 7x+ 6

iii) f(x) =

2x 1 xx3 4x2 + x+ 6

iv) f(x) =

2x 1x2 x 2

26. Halle el dominio y los ceros reales de cada una de las siguientes funcionesirracionales:

a) f(x) =x 1 + 2

b) f(x) =

4 2x

c) f(x) =x2 x 2

d) f(x) =x+ 3x 4

e) f(x) =1

x13x+1 1

63


f ) f(x) =x3 3x+ 2

2x2 + 5x 3 g) f(x) =x3 2x2 + 1

x 2

27. Halle el dominio y trace la grafica de f(x) =x2 2x 3 + 2

28. Trace la grafica de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =2x 1

b) f(x) =x2 2x 3

c) f(x) =[[

3x 1]]d) f(x) = x+

[[2x 1]]

e) f(x) = x+[[1

2x+ 1

]]

f ) f(x) =[[

2x 1]]x+ 1g) f(x) =

|x|[[x]]

h) f(x) =

x[[12x+ 1

]]29. Escriba cada una de las siguientes funciones como una funcion a trozos y dibuje

su grafica.

a) f(x) =2x 3 x+ 4

b) f(x) =x+ 2+ 2x 1+ 2x

c) f(x) =x+ 2+ x 1 x+ 4

d) f(x) =x2 2x 3+ 1

30.

Sea f una funcion cuyodominio es el intervalo cerrado[2, 4] y su grafica es la que seilustra. Trace la grafica de |f |

31. Sea f una funcion cuya grafica se ilustra. Trace la grafica de |f |.

64


32. Dibuje la grafica de la funcion dada y determine su dominio y su rango.

f(x) =

|x+ 3|, si 5 x < 0,[[

3x 1]], si 0 x < 1,x2 6x+ 7, si 1 x 4.


f(x) =

0, si x < 1,2x2 + 1, si 1 < x 0,3x+ 1, si 0 < x < 2.


f(x) =

|x+ 5|, si x 4,

16 x2, si 4 < x 4,x 6, si 4 < x.


f(x) =

|x+ 10|, si x < 5,25 x2, si 5 x 0,

5, si 0 < x 12 ,[[2x+ 1

]], si 12 < x < 2,

6 x, si 2 x.

65



f(x) =

1, si x < 4,x+ 3, si 4 x < 0,(x 2)2 1, si 0 x < 3,[[x 3]], si 3 x < 6,|x 8|, si 6 x < 10,2, si 10 x.

37. En cada uno de los siguientes ejercicios

A. Hallar (f g)(x) y su dominio para cada par de funciones.i) f(x) =

1 x2, g(x) = x

ii) f(x) =x2 + 2x2

, g(x) =x2 x 2

iii) f(x) =1x2

, g(x) =x2 + x 6x 2

B.

a) Halle f g y su respectivo dominio.b) Halle g f y su respectivo dominio.i) f(x) = x2 + 1, g(x) =

x

ii) f(x) =x, g(x) =

x+ 3x 1

iii) f(x) =x 1, g(x) = 2x+ 3

x 2iv) f(x) = x2, g(x) =

x2 x 2

v) f(x) =x2

x2 1, g(x) =x 1

vi) f(x) =1x 1, g(x) =

2x 1x+ 3

vii) f(x) =1x2

, g(x) =x 1

viii) f(x) =x

x 2, g(x) =x+ 3x 1

C. Sea f(x) =

1 x, si x 0,x

x+ 1, si 0 < x < 2,

x2 2x 2, si 2 x

66


y g(x) =x 2x 1.

Hallar (f g)(x) y su respectivo dominio38. Sea f(x) = x2 2x 1. Encuentre dos funciones g tales que:

(f g)(x) = x2 3x.39. Sean f(x) = x2 + 1, g(x) =

x y h(x) = 1 x.

a) Encuentre [(f g) h](x) y [f (g h)](x).b) Que se puede decir de (f g) h y f (g h) ?.


a) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio.b) Halle la formula de correspondencia de f1.c) Dibuje en un mismo plano las graficas de f y de f1.d) Verifique que (f1 f)(x) = x, y que (f f1)(x) = x.i) f(x) =

x 2

ii) f(x) =x 2 + 3

iii) f(x) =

2x 2 + 3iv) f(x) = x3 + 1


a) Verifique que f es uno a uno sobre el dominio indicado.b) Halle la formula de correspondencia de f1

c) Dibuje en un mismo plano las graficas de f y de f1

d) Verifique que (f1 f)(x) = x, y que (f f1)(x) = xi) f(x) = x2 2x 3, con x 1ii) f(x) =

4 x2 + 1, con 0 x 2

iii) f(x) =

4x x2 3, con 1 x 2iv) f(x) =

4x x2 3, con 2 x 3


a) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio.b) Halle la formula de correspondencia de f1.c) Verifique que (f1 f)(x) = x, y que (f f1)(x) = x

67


i) f(x) =1

x 1ii) f(x) =

9x+ 13x 2

iii) f(x) =x+ 52x+ 1

Los ejercicios que siguen tienen como objetivo manejar los siguientes aspectospara trazar las graficas de determinados tipos de funciones:

I. Desplazamiento vertical de la grafica de y = f(x)

a) y = f(x) + c, donde c > 0. La grafica de f se desplaza verticalmentehacia arriba una distancia c

b) y = f(x) c, donde c > 0. La grafica de f se desplaza verticalmentehacia abajo una distancia c

II. Desplazamiento horizontal de la grafica de y = f(x)

a) y = f(x+c), donde c > 0. La grafica de f se desplaza horizontalmentehacia la izquierda una distancia c

b) y = f(xc), donde c > 0. La grafica de f se desplaza horizontalmentehacia la derecha una distancia c

III. Ampliacion o compresion vertical de la grafica de y = f(x)

a) y = cf(x), donde c > 1. La grafica de f se amplia verticalmente enun factor c

b) y = cf(x), donde 0 < c < 1. La grafica de f se reduce verticalmenteen un factor c

IV. Ampliacion o reduccion horizontal de la grafica de y = f(x)

a) y = f(cx), donde c > 1. La grafica de f esta comprimida

horizontalmente en un factor1c

b) y = f(cx), donde 0 < c < 1. La grafica de f esta expandida

horizontalmente en un factor1c

V. Principio de graficacion para y = f(x)Para obtener la grafica de y = f(x), se refleja la grafica de y = f(x)con respecto del eje x.

VI. Principio de graficacion para y = f(x)Para obtener la grafica de y = f(x), se refleja la grafica de y = f(x)con respecto del eje y.

68


43.

Utilice la grafica que se ilustrade y = f(x) para obtener cadauna de las graficas solicitadas.

a) i) y = f(x) + 1ii) y = f(x) 2iii) y = f(x 2)iv) y = f(x+ 1)v) y = 2f(x)

vi) y = 13f(x)vii) y = f(2x)

viii) y = f(12x)ix) y = f(x)x) y = f(x)

b) i) y = f(x 3) + 1ii) y = f(x 1)

44. Utilice la grafica que se ilustra de y = f(x) para obtener cada una de lasgraficas solicitadas.

a) Utilice la grafica de f(x) =

2x x2 + 3 para obtener la grafica de cadauna de las siguientes funciones:

i) y = f(x) + 1ii) y = f(x) 2iii) y = f(x 1)iv) y = f(x+ 2)v) y = 3f(x)

vi) y = 12f(x)vii) y = f(2x)

viii) y = f(12x)ix) y = f(x)x) y = f(x)

b) Sea f(x) =

2x x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calculeg(x) dado, trace la grafica de la funcion g y compare la grafica de estafuncion con la grafica obtenida en el literal a) de este ejercicio.

i) g(x) = f(x 1), a) iii)ii) g(x) = f(x+ 2), a) iv)iii) g(x) = f(2x), a) vii)iv) g(x) = f(12x), a) viii)

69


v) g(x) = f(x), a) x)

c) Sea f(x) =

2x x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calculeg(x) dado y trace la grafica de esta funcion.

i) g(x) = f(2x 1)ii) g(x) = f(2x+ 3)iii) g(x) = f(12x+ 1) + 2

45.

Utilice la grafica que se ilustrade y = f(x) para obtenerla grafica de cada una de lasfunciones solicitadas.

a) y = f(x) + 1

b) y = f(x) 2c) y = f(x 1)d) y = f(x+ 2)

e) y = 2f(x)

f ) y = 12f(x)

g) y = f(2x)

h) y = f(12x)

i) y = f(x)j ) y = f(x)k) y = f(x+ 2) + 1

l) y = |f(x)|+ 1

46. Utilice la grafica que se ilustra de y = f(x) para obtener la grafica de cadauna de las funciones dadas.

70


a) y = f(x) + 2

b) y = f(x) 1c) y = f(x 2)d) y = f(x+ 1)

e) y = 2f(x)

f ) y = 12f(x)

g) y = f(2x)

h) y = f(12x)

i) y = f(x)j ) y = f(x)k) y = f(x 2)l) y = |f(x)|+ 2

47.

a) Si la grafica dada corresponde a y = f(x 1) + 1, trace la grafica dey = f(x)

b) Si la grafica dada corresponde a y = f(x + 1) 1, trace la grafica dey = f(x)

c) Si la grafica dada corresponde a y = f(x), trace la grafica de y = f(x)

71


3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logartmicas

1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones

a) f(x) =1

ex22x3 1b) f(x) = ln(x+ 1)c) f(x) = ln(x2 + x 2)d) f(x) = ln

(2x 1x+ 2

)e) f(x) = ln

(1

1 + lnx

)

f ) f(x) =1

(lnx)2 1

g) f(x) =1

(x 2) lnx

h) f(x) = ln( |x 1|

2x 1)

i) f(x) = ln(|3x 1| 2x)

2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

i) ex = 1

ii) e3x1 = 1

iii) e2x1 = 4

iv)(1

2

)x1= 1

v) 3x2+x2 = 1

vi) xex2 = 0

vii)lnxx

= 0

viii)1 lnxx2

= 0

ix) (x+ 2) lnx = 0

x) (lnx)2 + 2 lnx = 0

xi)1 + lnx

x= 0

xii) lnx+ 1 = 0

xiii) 1 (lnx)2 = 0xiv) 2x lnx+ x = 0

xv) ln(2x+ 1x 2

)= 0

xvi) log1/2(3x 1) = 0

xvii) ln(2x 1) + ln(x 1) = 0xviii) 2x = 4

xix) 2x =14

xx) log1/2(1x

)= 2

xxi) e2x 3ex + 2 = 0xxii) (x+ 2) ln(2x 1) = 0

xxiii)(1

3

)x1= 9

xxiv)(1

3

)x1=

13

xxv) (x+ 2)x = 1

xxvi) e1x3 = e9

xxvii) 2x3+x2 = 1

xxviii)(1

3

)x+2=(1

3

)2x1xxix) log1/2(3 2x) log1/2(x+ 1) = 0

xxx) ln(x2 x 1

2x 3)

+ ln(2x 3) = 0xxxi) log2(x+ 3) = 1

72


xxxii) ln( |x+ 1|

2x 1)

= 0

xxxiii)ex + ex

2= 1

xxxiv) log9 x =32

xxxv) log4 x2 = 1xxxvi) log1/3 x log1/3(x+ 1) = 2xxxvii) log2 x log2(x+ 1) = 3 log2 4xxxviii log2 (2x 1) log2 (x+ 1) = 1xxxix 3(x

23x1) = 27

xl log1/2 (x 2) + log1/2 (x 4) =3

xli [[log2 (x) 1]] = 3xlii 7(x

3+4) = (74x)x(7x)

xliii log2 (2x 1) + log2 (x+ 1) = 1xliv e2x + ex 2 = 0xlv log2 (x) + log2 (x+ 3) = 2

xlvi[[(

12

)x 1]]

= 0

xlvii log2 (x) + log2 (x+ 2) = 3

xlviii log(1/2) (8 x)log(1/2) (2 x) =log(1/2)(3)

xlix 23 log2 (x) log2 [(4)x2(2x)] +log3 9 = 0

3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

i) ln(x+ 2 x+ 1) = 0

ii) 32x2x1 =

13

iii) 42x = 4x + 2

iv)ex 3ex

2= 1

v) lnx =

lnx

vi) ln(x 4) = ln(

3x 10x

)vii) (x 1)x = 1viii) ln(1 + e2x) = 1ix) lnx2 = (lnx)2

x) ln(|3x 1| 2x) = 0xi) 3x = 213x

xii) ex+2x = 1

xiii) ln(x2 x 1

x+ 2

)= 0

xiv)

3ex 2 = ex

xv) x(1 2 lnx) = 0xvi) ln(x2 x 1) = 0

xvii) ln(x2 x 1

x 3)

+ ln(x 3) = 0

4. En cada uno de los siguientes ejercicios use logaritmo natural para despejar ax en funcion de y:

a) y =e2x 1

b) y =e2x + 1

c) y =ex ex

2

d) y =ex + ex

2

73


e) y =ex exex + ex

f ) y =ex + ex

ex exg) y =

42x 4x 2

5. a) y = ln (x+x2 + 1)

b) y =12

ln(

1 + x1 x

) c) y = 42x 4x 2

6. Resolver cada una de las siguientes desigualdades:

i) ex > 1ii) e3x1 > 2

iii)(1

2

)x1> 1

iv) 3(x2+x2) > 1

v) ln(x 1) < 0vi) ln(2x 1) < 0vii) ln

(2x+ 13 x

)< 0

viii) lnx+ 1 > 0

ix) lnx+ 1 < 0

x)1 + lnx

x> 0

xi)lnxx2

< 0

xii)1 lnxx2

> 0

xiii)1 lnxx2

< 0

xiv) x(2 lnx+ 1) > 0

xv) x(2 lnx+ 1) < 0

xvi) (lnx)2 < 1

xvii) ln(x+ 1x 2

)< 0

xviii) log1/2(3x 1) > 0xix) ln(2x 1) + ln(x+ 1) > 0

xx)14 2x < 4

xxi) log1/2(1x

)< 2

xxii)13 1xxiv) e1x3 < e9

xxv)(1

3

)x+2>(1

3

)3x1xxvi) log1/2(3 2x) > log1/2(x+ 1)

xxvii)ln(3x 1)x 2 0

xxviii)2 lnx 3

x3> 0

xxix) (lnx)(lnx+ 2) > 0xxx ln (2x 1) + ln (x 1) < 0xxxi (1/2)x

2x2 > 1xxxii log2 (x 1) < 1

xxxiii(

13

)(x22x4)> 3

xxxiv ln (2x+ 1) < ln (x+ 2)xxxv log2 (x 1) + log2 (x 3) 3xxxvi 3(x

32x2x) 19

xxxvii 4(x+2) >(

12

)x174


7. Haciendo todo el procedimiento, en cada uno de los siguientes ejercicios:

a) Verifique que log3

(3

9x

)=

1 4x2

, para todo x real

b) Verifique que log2

(14x

)= 2x, para todo x real

c) Verifique que(

12

)(3 log2 (x))=

1x3

, para todo x > 0

d) Verifique que log2

(4x2+1

16

)= 2x2 + 1 4, para todo x real

e) Verifique que log7

(7(x

3+4)

(74x)x(7x)

)= x3 4x2 x+ 4, para todo x real

8. Sea f(x) = ln(x 1).

a) Determine una funcion g tal que (f g)(x) = xb) Calcule (g f)(x)

9. Sea f(x) = ex.

a) Determine una funcion g tal que (f g)(x) = xb) Calcule (g f)(x)

10. Crecimiento bacteriano:Se pueden utilizar funciones exponenciales para representar el crecimiento dealguna poblacion

a) Supongase que se observa experimentalmente que el numero de bacteriasen un cultivo se duplica cada da. Si al comienzo hay 1000 bacterias y sise supone que el crecimiento es exponencial, Cual sera la formula parapredecir la cantidad f(x) de bacterias presentes en cualquier momento t?

b) El numero de bacterias en determinado cultivo aumento de 600 a 1800, delas 7:00 a.m. a las 9:00 a.m. si se supone que el crecimiento es exponencial,Cual sera la formula para predecir la cantidad f(x), de bacterias t horasdespues de las 7:00 a.m.?

75


11. Desintegracion radiactiva:Algunas cantidades fsicas decrecen en forma exponencial. En estos casos,si a es la base de la funcion exponencial, entonces 0 < a < 1. Uno de losejemplos mas comunes del decrecimiento exponencial es la desintegracion deuna sustancia radiactiva.

La semivida (o vida mediana) de un isotopo radiactivo es el tiempo quetarda en desintegrarse la mitad de la cantidad original en una muestra dada.La semivida es la caracterstica principal que se usa para diferenciar unasustancia radiactiva de otra.

El isotopo del polonio, Po, tiene una semivida aproximada de 140 das, esdecir, dada cualquier cantidad, la mitad de ellas se desintegrara en 140 das.

Otras sustancias radiactivas tienen semividas mucho mas largas. En especial,un subproducto de los reactores nucleares es el isotopo radiactivo del plutonio,Pu, cuya semivida aproximada es de 24000 anos. Este es el motivo por elcual el destino de los desechos radiactivos es un gran problema de la sociedadmoderna.

a) Si hay al principio 20 mg de Po, Cual sera la formula para predecir lacantidad que queda despues de cierto tiempo t?

76


4 Funciones como modelosmatematicos

4.1 Taller A

4.1. Taller A

1.

Un granjero tiene 80 metros de telade alambre para cercar un corralrectangular tal como se ilustra en lafigura.

a) Exprese el area A, del corral en funcion de x. Ademas trace la grafica deA indicando los valores admisibles de x para este problema.

b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como area 300 m2?

c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el area del corral sea mayor oigual a 300 m2.

d) Encuentre los valores de x, para los cuales, el area del corral sea menor oigual a 256 m2 y mayor que 175 m2.

e) Cuales son las dimensiones del corral de area maxima?

2.Sea V1 el volumen de un cubo dearista x centmetros y sea V2 elvolumen de un paraleleppedo rectorectangular de altura x centmetros,y cuya base es un rectangulo de area3 cm2.

a) Exprese V = V1 V2 en funcion de x. Ademas, trace la grafica de V .b) Encuentre los valores de x para los cuales V = 2

77


c) Encuentre los valores de x para los cuales V 183.

Suponga que una partcula se lanzaverticalmente hacia arriba y quesu posicion en pies despues det segundos, con respecto al piso,esta dada por s(t) = 16t2+320t+80.

a) Para que valores de t estara la partcula a mas de 656 pies sobre el piso?

b) Cual es la altura maxima, sobre el piso, que alcanza la partcula?

4.Se tienen 14 metros de tela dealambre para cercar un corralrectangular que se ajuste a unaesquina de 2 4 metros como semuestra en la figura (toda la esquinadebe ser aprovechada y no necesitacerca).

a) Entre que valores debe estar x para poder construir el corral con lascondiciones indicadas?

b) Entre que valores debe estar x para que el area del corral rectangularsea mayor o igual a 16m2 ?

c) Cuales son las dimensiones de x, y para que el area del corral seamaxima?

78


5.

Se desea construir un tanque sintapa de altura y metros y de basecuadrada de lado x metros, de talmanera que el area lateral y ladel fondo suman un area de 9m2 Entre que valores debe estar xpara obtener un tanque con una

capacidad mayor o igual a52m3

Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la funcion en terminos de lavariable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (estoes, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Ademas sila funcion hallada es una funcion polinomial o una funcion racional, bosquejesu grafica.

6.Se tienen 80 metros de malla dealambre para cercar tres corralesrectangulares, tal como se ilustra enla figura. Exprese el area total de lostres corrales en terminos de x.

7.Se tienen 60 metros de malla dealambre para construir un corralrectangular que se ajuste a unaesquina de 10 20 metros, como seilustra en la figura (toda la esquinadebe ser aprovechada y no necesitamalla de alambre). Exprese el areadel corral en terminos de x.

8.

Exprese el area de la regionsombreada en terminos de x.

79


9.

Un canalon metalico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadasy un fondo horizontal de 2 pulgadas tambien, con lados tornando angulosiguales con la prolongacion del fondo 0 < < 90, ver figura.

a) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos de x.

b) Exprese el area de la seccion transversal del canalon en terminos de h.

10.Una central electrica esta ubicadaen la orilla de un ro rectilneo de0.5 kilometros de ancho. En la orillaopuesta esta situada una fabrica, 3kilometros ro abajo del punto Aque esta directamente en frente dela central electrica. Si tender uncable desde la central electrica hastala fabrica cuesta 500 dollares porkilometro bajo el agua y 400 dolarespor kilometro a lo largo de la riberadel ro. Exprese el costo total enterminos unicamente de x, en dondex es la distancia en kilometros dela fabrica a un punto cualquiera Pentre el punto A y la fabrica.

11.

Sea ABP un triangulo inscrito en unsemicrculo de radio R. Exprese elarea del triangulo ABP en terminosde x, en donde x es la medida dellado BP del triangulo ABP .

80

Departamento de Matematicas - UTP - Tal

libro matematicas i utp

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