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FUNDAMENTOS DE INSTRUMENTACIÓN Luis Enrique Avendaño M. Sc. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

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FUNDAMENTOS DE INSTRUMENTACIÓN

Luis Enrique Avendaño M. Sc.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

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Contenido

I Sensórica 1

1 Medidas en sistemas físicos 31.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Naturaleza de los Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Datos Estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Datos transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Datos dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Datos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Información analógica e información digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Sensores primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Aspectos Generales de los Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Estructura de un transductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Transductores en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Transductores de lazo cerrado o servotransductores . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Características estáticas de un sistema de medida 192.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Características Sistemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Modelo generalizado de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Identificación de características estáticas. Calibración . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Patrones de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Medidas experimentales y evaluación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Precisión de los sistemas de medida en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.1 Error en la medida de un sistema con elementos ideales . . . . . . . . . . 372.6.2 Técnicas de reducción de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Características dinámicas de los sistemas de medida 473.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Función de transferencia para elementos típicos del sistema . . . . . . . . . . . . 47

iii

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iv CONTENIDO

3.2.1 Elementos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2 Elementos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Identificación de la dinámica de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Respuesta a un escalón de los elementos de primero y de segundo orden . 543.3.2 Respuesta sinusoidal de elementos de primero y segundo orden . . . . . . 58

3.4 Errores dinámicos en sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Técnicas de compensación dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6 Determinación experimental de los parámetros de un sistema de medida . . . . . 703.7 Efectos de la carga en sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7.1 Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7.2 Circuito equivalente Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7.3 Ejemplo del cálculo de un circuito equivalente Thévenin . . . . . . . . . . 803.7.4 Circuito equivalente Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.7.5 Carga Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7.6 Efectos de la carga bajo condiciones dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.8 Señales y ruido en los sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.8.1 Efectos del ruido y la interferencia en los circuitos de medida . . . . . . . 893.8.2 Fuentes de ruido y mecanismos de acople . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Análisis Estadístico de Datos Experimentales 934.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.1 Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.2 Medidas de Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.1 Función Densidad de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.2 Función de Distribución Acumulativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.3 Función de Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.4 Función de distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.5 Función de Distribución Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.6 Propiedades de la distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.7 La función de distribución Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.8 Propiedades de la función gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3.9 Función de distribución t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4 Estimación de Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4.1 Estimación del Intervalo de la Media de la Población . . . . . . . . . . . . 1144.4.2 Estimación del Intervalo de la Varianza de la Población . . . . . . . . . . 1154.4.3 Criterio para el rechazo de datos dudosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5 Correlación de los Datos Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.6 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

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CONTENIDO v

4.6.1 Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.6.2 Ajuste a una función potencia y = AxM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.6.3 Ajuste aproximado a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.6.4 Ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.6.5 Software para Análisis Estadístico de Datos Experimentales . . . . . . . . 131

5 Incertidumbre Experimental 1335.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2 Propagación de las Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2.1 Consideraciones de sesgo y precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6 Sensores de parámetro variable 1436.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2 Transductores potenciométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2.1 Potenciómetro de función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.2 Potenciómetros logarítmicos y antilogarítmicos . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.3 Potenciómetros trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.2.4 Potenciómetros Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2.5 El potenciómetro como elemento del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.6 Potenciómetros Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3 Transductores termorresistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.3.1 Circuitos de medida con sondas de resistencia metálica . . . . . . . . . . . 1616.3.2 Detectores de temperatura resistivos (RTD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3.3 Termistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.3.4 Curvas características de las resistencias NTC . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.3.5 Aplicaciones de las resistencias NTC a la termometría . . . . . . . . . . . 1736.3.6 Otras aplicaciones de las resistencias NTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.3.7 Resistencias de coeficiente PTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.4 Transductores fotorresistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.1 La célula fotorresistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.2 El fotodiodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.5 Transductores extensométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.6 Elementos Capacitivos e Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.6.1 Elementos Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.6.2 Elementos Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.7 Elementos con transformador, Electrodinámicos, Servos y Resonantes . . . . . . 1946.7.1 Elementos con transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.8 Transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) . . . . . . . . . . . . . . . 1946.8.1 Transformadores variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.9 Transductores electroquímicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

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vi CONTENIDO

7 Sensores generadores de señal 2037.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.2 Termopares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.2.1 Efectos termoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.2.2 Compensación de la unión de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.3 Sensores piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.3.1 Captadores Piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.3.2 Materiales piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.3.3 Base Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.3.4 Circuito Equivalente de un cristal piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . 2147.3.5 Respuesta estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.3.6 Respuesta dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.3.7 Problemas específicos relacionados con las medidas . . . . . . . . . . . . . 2187.3.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8 Medida de presión y humedad 2218.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.2 Medida de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.3 Dispositivos de medida de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8.3.1 Manómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.3.2 Tubo Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.3.3 Probador de peso muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.3.4 Transductores de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.3.5 Medida del Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.4 Medida de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

II Adecuación de la Señal 235

9 El amplificador operacional 2379.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10 Confiabilidad 23910.1 Confiabilidad de sitemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.1.1 Principios fundamentales de sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . 239

A Cálculo de funciones polinómicas para termocuplas 243

B Definiciones de las Unidades Básicas del SI y del Radian y del Steradian1 249B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2491Los nombres consignados a continuación se especifican en la lengua original

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CONTENIDO vii

B.2 Meter (17th CGPM, 1983) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249B.3 Kilogram (3d CGPM, 1901) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249B.4 Second (13th CGPM, 1967) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249B.5 Ampere (9th CGPM, 1948) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.6 Kelvin (13th CGPM, 1967) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.7 Mole (14th CGPM, 1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.8 Candela (16th CGPM, 1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.9 Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.10 Steradian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

C Prefijos del Sistema Internacional 253

D Enlace de unidades básicas del SI a constantes atómicas y fundamentales 255D.1 La Escala de Temperatura Internacional de 1990 (ITS-90) . . . . . . . . . . . . . 255

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viii CONTENIDO

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Lista de Figuras

1.1 Control automático de un proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Señal con evolución muy lenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Respuesta transitoria de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Respuesta senoidal en un sistema eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Respuesta de un ECG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Proceso con datos seudoaleatorios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Transductor en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Circuito equivalente para un transductor incluyendo señal de interferencia. . . . . 141.9 Transductor en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Definición de no linealidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Respuesta en mV de una termocupla tipo T (Cu/CuNi). . . . . . . . . . . . . . 222.3 Efectos de las entradas modificadora e interferente (a)Modificadora (b) Interferente. 232.4 Potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Juego en engranajes. Ejemplo de histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Ejemplo de resolución y de potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Bandas de error y función de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Función densidad de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10 Modelo general de un elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11 Calibración de un elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.12 (a) Histéresis significativa (b) Histéresis no significativa. . . . . . . . . . . . . . . 352.13 Comparación del histograma con una función densidad de probabilidad gaussiana. 372.14 Error en la medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.15 Sistema simple de medida de la temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.16 Compensación de un elemento no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.17 Compensación para entradas interferentes.(a) Usando entradas ambientales op-

uestas (b) Usando un sistema diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.18 Transductor de fuerza en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ix

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x LISTA DE FIGURAS

2.19 Estimación computacional del valor medido utilizando la ecuación del modeloinverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Sensor de temperatura en un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Modelo de un elemento para cálculo de la dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Modelo masa—resorte—amortiguador para un sensor elástico de fuerza. . . . . . . 513.4 Circuito serie RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5 Respuesta a un escalón de un sistema de primer orden: Rojo, τ = 2, negro, τ = 1,

azul, τ = 0.5, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Determinación de τ para un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . 563.7 Respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden: rojo, ζ < 1, negro, ζ = 1,

azul, ζ > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.8 Respuesta ante una excitación senoidal de un sistema de primer orden. . . . . . 593.9 Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden: rojo,

ζ = 0.1, azul, ζ = 0.3, negro, ζ = 0.7,verde, ζ = 1.0, púrpura ζ = 2. . . . . . . . 603.10 Sistema de medida con dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.11 Sistema de medida de temperatura con dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.12 Respuesta de un sistema con dinámica lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.13 Cálculo de errores dinámicos con una señal de entrada periódica. . . . . . . . . . 663.14 Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden. . . . . 683.15 Compensación dinámica en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.16 Esquema y diagrama de bloques de un acelerómetro en lazo cerrado. . . . . . . . 703.17 Respuesta normalizada a un escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.18 Pueba de la función escalón para un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . 723.19 Prueba de respuesta frecuencial de un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . 733.20 Pruebas de escalón e impulso para sistemas de segundo orden. . . . . . . . . . . . 743.21 Prueba de la función escalón para sistemas de segundo orden. . . . . . . . . . . . 753.22 Prueba de respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden. . . . . . . . . 763.23 Circuito equivalente de Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.24 Circuito equivalente de un amplificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.25 Equivalente Thévenin para un sistema de medición de temperatura. . . . . . . . 793.26 Carga a.c. de un tacogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1 Función distribución de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2 Función de distribución acumulativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 Función de distribución normal para el caso donde μ = 2, σ = 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0.1044.4 Función de distribución normal estándar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5 Gráfico de la función gamma para diferentes valores de los parámetros r y α. . . 1094.6 Función densidad de probabilidad usando la distribuci ón t Student. . . . . . . . 111

Page 11: libro de instrumentación UTP

LISTA DE FIGURAS xi

4.7 Distribución f(χ2) ≡ f(z) para algunos valores de ν. [ν = 1 (línea continua),ν = 2 (trazos), ν = 3 (puntos), ν = 5 (puntos y trazos)]. . . . . . . . . . . . . . . 116

4.8 Intervalo de confianza para la distribución chi—cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . 1174.9 Valores gráficos de los pares temperatura—tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.10 Las distancias verticales entre los puntos (xk, yk) y la línea definida con mínimos

cuadrados y = Ax+B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.11 Línea y = Ax+B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.12 Aproximación de un conjunto de datos a una línea recta. . . . . . . . . . . . . . . 1264.13 Puntos de datos transformados (Xk, Yk). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.14 Ajuste exponencial a y = 1. 6.e0.391202x obtenido por el método de linealización

de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.15 Ajuste a una parábola usando mínimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1 Error por radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.1 Transductor potenciométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2 Potenciómetro angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3 Respuesta de una función logarítmica: línea continua A = 1, línea de trazos

A = 10, línea punteada A = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.4 Respuesta de una función exponencial: línea continua A = 1, línea de trazos

A = 10, línea punteada A = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.5 Potenciómetro trigonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.6 Red con potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.7 Potenciómetro cargado con kR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.8 Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la

rotación del eje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.9 Potenciómetro cargado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.10 Curvas de carga de potenciómetros usados para formar funciones no lineales. . . 1536.11 Red con potenciómetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.12 Digrama de bloques funcionales del AD5262. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.13 Diagrama de bloques de la estructura interna de un potenciómetro digital . . . . 1576.14 Circuito RDAC equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.15 Circuito de amplificación para una termorresistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.16 Respuesta para T > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.17 Respuesta para T < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.18 Detectores de temperatura resistivos: (a) alambre de platino (b) película delgada. 1656.19 Circuitos en puente Wheatstone para RTD : (a)Dos hilos (b) tres hilos . . . . . . 1666.20 Circuitos para RTD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.21 Variación de la temperatura de un termistor con respecto a su resistencia. . . . 1706.22 Circuito con termistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Page 12: libro de instrumentación UTP

xii LISTA DE FIGURAS

6.23 Respuesta de un termistor con B = 4000 y RoR1= 1 (Línea continua), 10 (Línea

punteada) y 0.1 (Línea de trazos), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.24 Circuito con NTC en puente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.25 Circuito con NTC como regulador de tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.26 Medida de caudal usando NTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.27 Respuesta normalizada de una PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.28 Respuesta corriente—tensión de un PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.29 Familia de curvas para diferentes valores de temperatura ambiente. . . . . . . . 1796.30 Circuito con un dispositivo PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.31 Histéresis en la respuesta de una PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.32 Respuesta noramlizada de una fotorresistencia para algunos valores de α. . . . . 1826.33 Circuito simple con fotorresistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.34 Respuesta de una fotorresistencia en una red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.35 Respuesta de un fotodiodo a la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.36 Circuito con fotodiodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.37 Relación resistencia—deformación para galgas tipo p (línea continua) y tipo n

(línea de trazos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.38 Algunas configuraciones de galgas extensiométricas de semiconductor (fabricadas

por BLH electronics). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.39 Orientación de galgas extensiométricas en rosetas comunes: (a) rectangular (b)

equiangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.40 Roseta de galgas extesiométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.41 Esquema básico del LVDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.1 Termopar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.2 Termopar con unión de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.3 Respuesta tensión vs temperatura para algunas termocuplas. . . . . . . . . . . . 2097.4 Efecto piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.5 Circuito eléctrico equivalente a un sensor piezoeléctrico. . . . . . . . . . . . . . . 2147.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.1 Manómetro de tubo en U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.2 Manómetro de tipo recipiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.3 Manómetro inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.4 Barómetro de mercurio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.5 Tubo Bourdon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.6 Probador de peso muerto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.7 Transductor de presión con galga extensiométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.8 Transductor de presión con LVDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.9 Transductor de presión capacitivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Page 13: libro de instrumentación UTP

LISTA DE FIGURAS xiii

8.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2308.11 Transductor de presión piezoeléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.12 Sensor de vacío McLeod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

D.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Page 14: libro de instrumentación UTP

xiv LISTA DE FIGURAS

Page 15: libro de instrumentación UTP

Lista de Tablas

1.1 Principios de Transducción Física y Química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Sensores analógicos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Sensores indirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Escala simplificada de rastreabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Escala de rastreabilidad (Adaptada de Scarr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Puntos fijos definidos en el ITS—90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Efecto de la presión sobre algunos puntos definidos fijos. . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Resultados de 60 mediciones de la temperatura en un ducto . . . . . . . . . . . . 954.2 Medidas de la temperatura arregladas en intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Valores críticos de la distribución t Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4 Valores de los coeficientes de Thompson. Según: ANSI/ASME—86 . . . . . . . . 1184.5 Valores mínimos del coeficiente de correlación para un nivel de significancia a. . 1324.6 Obtención de los coeficientes para un parábola de mínimos cuadrados . . . . . . 132

6.1 Tabla de verdad del control de la lógica de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2 Valores característicos en el potenciómetro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3 Valores característicos en el potenciómetro digital en modo inverso . . . . . . . . 1606.4 Comparación de las resistencias NTC y otros sensores . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5 Características de las galgas extensiométricas metálicas y semiconductoras . . . 193

B.1 Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolos . . . . . . . . . . . . . 252

xv

Page 16: libro de instrumentación UTP

xvi LISTA DE TABLAS

Page 17: libro de instrumentación UTP

Prólogo

La aplicación del computador a la ciencia y la tecnología ha permitido desarrollar herramien-tas de software y hardware las cuales han permitido conocer directamente el comportamientode sistemas físicos. Como un siguiente paso en la teoría del conocimiento de los sistemas, laexperimentación ha llegado a ser el medio más adecuado para el estudio de su comportamiento.En ingeniería, se requieren experimentos diseñados cuidadosamente para concebir y verificar losconceptos teóricos, desarrollar nuevos métodos y productos, construir nuevos sistemas con, cadavez, mayor complejidad y evaluar el comportamiento y optimización de los sistemas existentes.

El diseño de un sistema experimental o de medición es una actividad inherentemente inter-disciplinaria. Por ejemplo, el sistema de control e instrumentación de una planta procesadora,requiere el concurso de ingenieros químicos, mecánicos, eléctricos y de sistemas. Similarmente,la especificación de la instrumentación para medir los terremotos y la respuesta dinámica delas estructuras (edificios, puentes, carreteras, etc.), involucra los conocimientos de ingenierosciviles, geólogos, ingenieros electrónicos, de sistemas. Basados en estos hechos, los tópicos pre-sentados en este texto se han seleccionado para que sean de utilidad en el diseño de proyectosexperimentales interdisciplinarios, en el área de medición e instrumentación de la medida.

La primera parte del libro tiene que ver con los elementos captadores de señal (elementosprimarios o sensores), mientras que la segunda parte se dedicará al estudio y aplicación de lossistemas de adecuación de la señal para ser transferida a un sistema de cómputo donde seráprocesada o simplemente visualizada.

Una parte esencial en el texto es la parte experimental; se han desarrollado diferentes prác-ticas de laboratorio las cuales utilizan los dispositivos estudiados en clase para ser montados enel laboratorio y observar y analizar su comportamiento. También se ha pensado en el aspectode la simulación de experimentos utilizando herramientas de software en tiempo real, como

LabViewR°y Matlab

R°2. Para ello se ha dispuesto el Laboratorio de Instrumentación de laUTP, donde se pueden realizar dichas prácticas.

2LabViewR°y Matlab

R°son marcas registradas de National Instruments y Mathworks, respectivamente.

xvii

Page 18: libro de instrumentación UTP

xviii PRÓLOGO

Page 19: libro de instrumentación UTP

Parte I

Sensórica

1

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Page 21: libro de instrumentación UTP

Capítulo 1

Medidas en sistemas físicos

1.1 Introducción

La instrumentación trata de las técnicas, los recursos, y métodos relacionados con la concep-ción de dispositivos para mejorar o aumentar la eficacia de los mecanismos de percepción ycomunicación del hombre [23].

La instrumentación comprende dos campos principales: instrumentación de medida e instru-mentación de control. En general, en el diseño de los sistemas de medida la atención se centra enel tratamiento de las señales o magnitudes de entrada, mientras que en los sistemas de control seda especial importancia al tratamiento de las señales de salida. En el primer caso son de interéslos captadores o sensores y los transductores, mientras que en el segundo los dispositivos másrelevantes son los accionadores o actuadores.

En la Figura 1.1 se representa un diagrama esquemático de un posible sistema de controlautomático de un proceso.

Un análisis de dicho diagrama muestra que las magnitudes físicas captadas se convierten enseñales eléctricas por los grupos captadores C1, C2, · · · , Cn y C1, C2 · · · , Cm, conectados a losamplificadores correspondientes que proporcionan señales de salida de un nivel adecuado para sutratamiento por diversos equipos adicionales. Las señales en este esquema propuesto se agrupanen dos bloques:

1. Señales S1, S2, . . . , Sn que se transmiten individualmente (número pequeño o instrumentaciónasociada es de bajo costo).

2. Señales S1, S2, . . . , Sm para cuyo tratamiento se requieren equipos muy costosos o espe-ciales, o cuyo número es muy elevado (como por ejemplo, la medida de temperatura enmuchos puntos mediante un termómetro digital de alta precisión; la medida del tiempo conun reloj atómico en las centrales eléctricas para conocer el instante de salida y duraciónde un fallo en una subestación o planta remota)

3

Page 22: libro de instrumentación UTP

4 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Acondicionamiento

UNIDADDE

CÁLCULO

SEPA

RA

CIÓ

NA

GR

UPA

MIE

NTO

Y T

RA

NSM

ISIÓ

N

Directo

Aparatode

Medida

Controlador Doble

RegistroIndirecto

SIST

EMA

FÍS

ICO

S

S

S

S

S

S

1

2

n

1

2

m

´

´

´

1C

C2

Cn

C1

C2

Cm

´

´

´

MEM

Amplificadores

Figura 1.1: Control automático de un proceso.

En el diagrama, los bloques “Acondicionamiento” y “Amplificadores” se refieren a los el-ementos o dispositivos destinados a normalizar las señales de modo que todas ellas puedanpresentarse en un determinado formato compatible con el sistema de transmisión. Dichos el-ementos pueden incluir filtros, atenuadores, convertidores A/C, etc. Es frecuente que en unmismo sistema se tengan señales norma-lizadas en forma analógica (mismo campo de variación)y señales normalizadas en forma digital (mismo número de bits).

En el esquema de la Fig. 1.1 se indica también la posibilidad de “Registro directo” dediversas magnitudes antes de su transmisión conjunta a una unidad de cálculo.

El bloque “Agrupamiento y Transmisión” tiene asignada la función de reunir los canalesasociados con las diferentes señales para obtener un único canal de salida (caso de transmisiónsecuencial o en serie), a un grupo de canales en un número general inferior al de señales (caso detransmisión digital en paralelo). Se accede así al medio de transmisión propiamente dicho, quepuede constituir una línea o grupo de líneas, un equipo de transmisión—recepción de RF, unaguía de ondas, un enlace por fibra óptica, etc. La naturaleza del medio dependerá de diversosfactores, entre los cuales están la distancia, el costo de la instalación, el nivel de interferencias,ancho de banda necesario, número de canales, etc.

Los datos transmitidos ingresarían, siempre de acuerdo con el ejemplo de la Fig. 1.1, enuna unidad de cálculo, que podría ser un computador analógico o digital, o simplemente unconjunto de circuitos para tratar los datos según criterios preestablecidos. En general, la unidadde cálculo generará un flujo de información de retorno hacia el sistema, donde podrían incluirse:

• Datos para registro o evaluación.

Page 23: libro de instrumentación UTP

1.2. NATURALEZA DE LOS DATOS 5

• Datos o señales de accionamiento y control.

En el bloque “Separación”, se individualizan estas señales en el flujo de datos de retorno,obteniéndose un grupo de canales de salida para registro o medida y otro grupo de canales deaccionamiento.

Los accionadores son dispositivos que realizan la función inversa de los captadores, es de-cir, transforman señales eléctricas en magnitudes físicas de acción directa sobre la instalación,aparato, máquina, etc., a controlar y en muchos casos constituyen verdaderos servosistemas (elec-tromecánicos, electrohidráulicos, etc.) que, aparte de su función meramente conversora han desatisfacer adicionalemente ciertos reque-rimientos relacionados con la estabilización automáticade la magniud de salida o bien con la estabilidad de su propio funcionamiento.

1.2 Naturaleza de los Datos

El conocimiento de la naturaleza de los datos que se esperan de un sistema es de la mayorimportancia para la selección del equipo de captación y medida y para definir los métodosde ensayo y control a aplicar, hasta el punto de que pueden producirse grandes errores si lasespecificaciones de los instrumentos o equipos de medida no se adaptan correctamente a laspeculiaridades de los datos que se van a tratar.

Puede establecerse una primera base de clasificación atendiendo al modo de variación enfunción del tiempo, siendo así posible establecer diferentes categorías de datos que implicanprocedimientos parti-culares de tratamiento y muchas veces también criterios específicos deprecisión. Es por ello que tiene importancia hacer un análisis riguroso de la información a tratar,según su naturaleza, toda vez que de su correcta identificación puede depender el procedimientoa seguir en su tratamiento, e incluso el costo de un deteminado sistema.

En los párrafos siguientes se considerarán agunos tipos de datos.

1.2.1 Datos Estáticos

Se caracterizan por una evolución lenta sin fluctuaciones bruscas ni discontinuidades. Un ejemplotípico podría ser la temperatura de un determinado punto en un sistema de gran inercia térmica.

Los datos de esta naturaleza están asociados normalmente con magnitudes de especial impor-tancia, realizándose a partir de ellos con frecuencia, cálculos y análisis relacionados directamentecon la evaluación del funcionamiento del sistema y su rendimiento.

Debido a la naturaleza de los datos estáticos no suele ser necesario tratar individualmentecada uno de los puntos que originan señales de un mismo tipo, siendo posible utilizar técnicasde muestreo con un solo equipo de medida compartido, lo cual simplifica y hace más económicala instrumentación requerida. Es frecuente, en este aspecto encontrar, por ejemplo, un sólotermómetro central para la medida de todas las temperaturas, un único voltímetro de precisión

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6 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

5037.52512.50

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

Figura 1.2: Señal con evolución muy lenta.

para la medida de todas las tensiones, etc. El muestreo suele hacerse conmutando electrónica-mente las señales representativas de las variables en un único sistema de medida y registro; lamayoría de los casos digital, para lo cual se dispone de componentes y subsistemas adecuados.

En general, los datos estáticos son exigidos con gran precisión ya que suelen ser utilizados parala evaluación del sistema o proceso. Frecuentemente, el límite de esta precisión está impuestomás por el dispositivo captador primario que por el equipo de medida.

1.2.2 Datos transitorios

Por lo general, representan la respuesta de un sistema a un cambio brusco en las variables deentrada, siendo más importante su análisis para determinar el comportamiento dinámico delmismo.

Más que la precisión de las medidas, interesa la exactitud de la correlación temporal delas diversas magnitudes, toda vez que las señales transitorias se producen simultáneamente endiferentes puntos del sistema como resultado de una perturbación determinada (frecuentementeprovocada para analizar la respuesta).

1.2.3 Datos dinámicos

Son de naturaleza periódica y se presentan en el funcionamiento estable y continuo de los sis-temas. El registro de datos dinámicos es de especial interés en el análisis de la respuesta enrégimen permanente a excitación senoidal, en el estudio de vibraciones, etc.

La mayoría de las medidas efectuadas sobre datos periódicos en sistemas reales están rela-cionadas con fenómenos oscilatorios en régimen estacionario con un contenido en armónicos queincluye frecuencias comprendidas entre varios Hz y algunas decenas de kHz, a excepción de lasmagnitudes eléctricas para las cuales no puede fijarse ningún límite concreto.

Page 25: libro de instrumentación UTP

1.2. NATURALEZA DE LOS DATOS 7

T i e m p o ( s )

Am

plitu

d

R e s p u e s t a a l e s c a l ó n

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4 U ( 1 )

Y(1

)

Figura 1.3: Respuesta transitoria de un sistema.

Estos datos pueden presentarse como reacción del sistema a excitaciones senoidales aplicadaspara estudiar su respuesta en amplitud y fase, o bien se originan en diversos puntos del mismo,como ma-nifestación de su propio funcionamiento periódico (por ejemplo, dispositivos giratoriosen máquinas, elementos mecánicos con movimiento alternativo, etc.).

En muchos casos, interesa más el análisis espectral que el registro instantáneo de las señales.

1.2.4 Datos aleatorios

La característica más distintiva de este tipo de datos es que sus parámetros fundamentales estánsujetos a fluctaciones imprevisibles y su análisis ha de efectuarse, en general, de acuerdo concriterios estadísticos y de probabilidad. Se pueden distinguir tres categorías de datos aleatorios:

• Datos que interesa registrar y analizar relacionados con magnitudes aparentemente aleato-rias (por ejemplo, un electroencefalograma (EEG), un electrocardiograma (ECG), ciertosdatos meteorológicos, etc.).

• Datos aleatorios indeseables que aparecen mezclados con las señales de interés (ruidos,interferencias, etc.).

• Datos aleatorios de salida de un sistema ante una entrada asimismo aleatoria, aplicadapara fines de caracterización de su respuesta (técnica de gran interés para el estudio desistemas complejos o no lineales) (ver Fig. 1.6).

Page 26: libro de instrumentación UTP

8 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

5037.52512.50

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

Figura 1.4: Respuesta senoidal en un sistema eléctrico.

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0- 5 0 0

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

4 0 0 0

4 5 0 0

Figura 1.5: Respuesta de un ECG.

1.3 Información analógica e información digital

Ha sido siempre un tema controvertido la conveniencia de utilizar instrumentación analógica odigital para el tratamiento de las señales derivadas de los sistemas físicos. Como es sabido lainformación analógica está asociada a funciones de variación continua y por lo general uniformeque pueden tomar, en principo, cualquier valor instantáneo. En contraste, la información digitalse presenta ligada a señales que solo presentan ciertos niveles discretos a los que se asignanvalores numéricos de acuerdo con convenios preestablecidos.

En lo que respecta a las funciones analógicas, puede decirse que en general siguen fiel einstantáneamente a la magnitudes que representan, siendo así evidente que prácticamente todaslas variables de interés para el ingeniero o el científico tienen una forma original analógica.

Lo expuesto anteriormente justifica que el primer tratamiento de las señales sea casi siempreanalógico si se tiene en cuenta que frecuentemente su nivel, a la salida de los captadores, es

Page 27: libro de instrumentación UTP

1.3. INFORMACIÓN ANALÓGICA E INFORMACIÓN DIGITAL 9

Figura 1.6: Proceso con datos seudoaleatorios.

muy bajo y puede incluir información no deseada (necesidad de amplificación, eliminación deruidos e interferencias, filtrada, etc.). No obstante cuando el nivel de las señales es alto y estánsuficientemente depuradas y acondicionadas, se prefiere el tratamiento digital, incluso aunqueen muchos casos dicho tratamiento sea únicamente un proceso intermedio para una presentaciónfinal analógica, justificándose este hecho por una serie de razones muy claras, en las que puededestacarse las siguientes:

• Las señales analógicas transmitidas a través de cualquier medio son interferidas en mayoro menor grado por señales extrañas, además de distorsionarse, en cuyo caso es muy difícil,si no imposible, recuperar la información original. Las señales digitales pueden, por elcontrario, regenerarse mediante técnicas de conformado, detección y corrección de error,etc.

• La precisión de las medidas o registros, en el caso del tratamiento analógico, dependeesencialmente de la propia precisión o calidad de los equipos o componentes. Por el con-trario, si se hace uso de técnicas digitales, la exactitud depende únicamente del grado decuantificación establecido para la codificación de la información, es decir, del número debits.

• Se dispone actualmente de una gran variedad de circuitos digitales tanto convencionalescomo programables, de bajo costo, lo que desplaza las tendencias de diseño hacia eltratamiento digital.

De acuerdo con estas consideraciones, podría afirmarse que un sistema de captación ytratamiento de datos concebido con criterios modernos incluirá en general, aunque no exclu-sivamente:

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10 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

• Un conjunto de sensores, en su mayor parte analógicos, seguidos por las correspondientesunidades de amplificación (analógicas) y dispositivos de acondicionamiento necesarios encada caso.

• Uno o varios convertidores de analógico a digital (A/D).

• Un sistema de tratamiento digital convencional o programable (microprocesadores, micro-controladores, procesadores de señales digitales (DSP)), usualmente asociado con subsis-temas de archivo de datos.

• Un sistema de presentación de datos en forma analógica (lo que requiere una segundaconversión), pseudoanalógica (gráficos mediante impresora, instrumentación virtual, dis-positivos indicadores de barras, etc.) o numérica.

• Posiblemente varios canales de tratamiento totalmente analógico con presentación de datosen tiempo real.

1.4 Sensores primarios

Las magnitudes físicas tratadas con sistemas electrónicos se deben convertir en señales eléctricas,como primer paso en el proceso de captación. Los transductores son los dispositivos encargadosde llevar a cabo esta tranformación. Los transductores incluyen siempre un componente ocomponentes sensibles que reaccionan frente a la magnitud a medir o detectar proporcionandouna primera señal eléctrica representativa de aquella, que usualmente precisa de algún tipo detratamiento analógico (amplificación, adaptación de impedancias, etc.). Estas células sensiblesson los denominados sensores o captadores.

Los sensores aprovechan frecuentemente las propiedades de ciertos materiales que se con-vierten en generadores de señal en presencia de determinadas excitaciones (termopares, cristalespiezoeléctricos, etc.). En otros casos, se recurre a utilizar elementos de circuito pasivos (re-sistencias, condensadores, etc.) cuyos valores varían en función de la magnitud a convertiry, en definitiva, los circuitos que forman parte generan señales eléctricas equivalentes a dichamagnitud.

1.4.1 Aspectos Generales de los Sensores

El término transductor a menudo se utiliza en forma intercambiable con el término sensor.La Sociedad de Instrumentación Americana (Instrument Society of America (ISA)), define unsensor como sinónimo de transductor. Esta definición aparece publicada como Standard S37.1en 1969 (ISA,1969). Esta norma, Electrical Transducer Nomenclature and Terminology, defineun transductor (sensor) como un dispositivo que proporciona una salida útil en respuesta auna excitación específica. (“a device which provides a usable output in response to a specifiedmeasurand”). Una magnitud medible (measurand) se define como una cantidad física, propiedad

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1.5. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR 11

o condición medible (“a physical quantity, property or condition which is measured”). Unarespuesta (output) se define como una cantidad eléctrica (“electrical quantity”). Esta definiciónes específica a un transductor eléctrico. Sin embargo, en un sentido amplio, un transductorpuede tener una respuesta que puede definirse como una cantidad física, propiedad o condición.Se puede dar la siguiente

Definición 1 Un transductor es un dispositivo o sistema que produce una señal eléctrica la cuales función de una magnitud de entrada utilizando componentes sensibles que se comportan comoelementos variables o como generadores de señal.

Los sensores, por supuesto, no están limitados a la medición de cantidades físicas. tambiénson utilizados para medir propiedades químicas y biológicas. Similarmente, el rango de respues-tas útiles no tienen que estar restringidas a cantidades eléctricas. Se han clasificado los sensoresen grupos donde la excitación (señal de entrada) y la respuesta del sensor (salida) puede ser unade las siguientes:

• Mecánica —v. gr., longitud, área, volumen, flujo de masa, fuerza, torque, presión, velocidad,ace-leración, posición, longitud de onda acústica, intensidad acústica.

• Térmica.—v. gr., temperatura, calor, entropía, flujo de calor.

• Eléctrica —v. gr., tensión, corriente, carga, resistencia, inductancia, capacitancia, constantedieléctrica, polarización, campo eléctrico, frecuencia, momento dipolar.

• Magnética —v. gr., intensidad de campo, densidad de flujo, momento magnético, perme-abilidad.

• Radiante —v. gr., intensidad, longitud de onda, polarización, fase, reflectancia, transmi-tancia, índice de refracción.

• Química —v. gr., composición, concentración, oxidación/reducción, tasa de reacción, pH.

Un sensor utiliza un principio de transducción físico o químico para convertir un tipo de señalde entrada a un tipo de señal de salida. Un sensor puede emplear uno o más de los principiosindicados arriba para producir una señal de salida práctica. Las aplicaciones en electrónicaindustrial generalmente requieren la salida eléctrica de un sensor. La Tabla 1.1 muestra ejemplosde los principios de transducción físicos y químicos que se pueden utilizar en los sensores.

1.5 Estructura de un transductor

Los transductores se presentan en general en dos configuraciones fundamentales:

• Transductores en lazo abierto

• Transductores en lazo cerrado

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12 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Tabla 1.1: Principios de Transducción Física y QuímicaSal

EntMecánica Térmica Eléctrica Magnética Radiante Química

(Fluido) Efectos de Piezoelectri- Efectos mag- Sistemas foto-Efectos fricción (ca- cidad. Piezo- netomecá- elásticos (bi-

Mecá- mecánicos y lorímetro resistividad nicos (efectos refringencianica acústicos de fricción). Efectos R,L,C piezomagné- inducida de

(diafragma, Efectos de Efectos tico, magne- esfuerzo). In-balanza de enfriamiento. acústicos toelástico, terferómetrosgravedad, Fluómetros dieléctricos anillo de Efecto Sagnacecosonda) térmicos Rowland) Efecto DopplerExpansión Efectos termo- Temperatura Efecto termo- Activa-térmica eléctricos (ter- de Curie óptico ción de(cinta bime- morresistencia, (en cristales reacción

Térmica tálica, termó- emisión termo- líquidos) disocia—metros de gas iónica, super- Emisión cióny de líquido conductividad). radiante térmicaen capilar de Efecto Seebeck.vidrio) Efecto Piroelectricidadradiométrico Ruido térmico

(Johnson)Efectos electro- Calenta- Colectores de Ley de Biot— Efectos elec- Electró—cinéticos, elec- miento Carga Savart troópticos lisis

Eléctrica trostrictivos y Joule Probeta de Medidores (Efecto Kerr) Electro—electromecá- (Resistivo) Langmuir y registra- Efecto migraciónnicos (piezo- Efecto Electrets dores electro- Pockelselectricidad, Peltier magnéticos Electrolu-electrómetros, miniscencialey de Ampère)Efectos mag- Efecto ter- Efectos termo- Almacena- Efectos mag-netomecá- momagné- magnéticos miento mag- netoópticos

Magné- nicos (mag- tico (efecto (Ettingshausen— nético- Efecto (efectotica netostric— Righi-Leduc) Nernst). Efectos Barnett Faraday)

ción, mag- Efecto galva- galvanomagné- Efecto Einstein- Efectosnetómetro). nomagnético ticos (efecto de Haas Cotton—Efectos Joule (Ettings- Hall, magneto- Efecto de Haas- Moutony Guillemin hausen) resistencia) van Alphen y KerrPresión de Termopila Efectos fotoeléc- Efecto Curie Efecto foto— Foto—radiación. de tricos (fotovoltai- Metro de refractivo síntesis

Radiante Molino de bolómetro co, fotoconducti- radiación Biestabi— diso—luz de vo, fotogalvánico lidad ciaciónCrooke y fotodieléctrico) ópticaHigrómetro Calorímetro Potenciometría Resonancia Espectros-Celda de Celda de Conductimetría nuclear copíaelectro- conducti- Amperometría magnética (emisión y

Química deposición vidad Polarografía absorción)Efecto foto- térmica Ionización de fla Quimilumi-acústico ma. Efecto Volta niscencia

Efecto de camposensible a gases

Page 31: libro de instrumentación UTP

1.5. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR 13

1.5.1 Transductores en lazo abierto

En la Fig. 1.7 se representa un esquema general de un transductor en configuración de lazoabierto.

La señal de entrada se aplica a una sonda o diipositivo que está directamente en contactocon el fenómeno a cuantificar. En muchos casos la sonda efectúa una primera conversión demagnitud para su mejor adaptación al sistema de medida. Por ejemplo, para medir la velocidadde un fluido puede utilizarse como sonda un tubo de Pitot, que transforma la velocidad endiferencia de presiones; para medir una aceleración se utiliza como sonda una masa de inerciaque transforma la aceleración en fuerza.

Sonda ElementosIntermedios

Sensor Preamp.νν

Figura 1.7: Transductor en lazo abierto.

A continuación de la sonda, pueden estar dispuestos determinados elementos intermedioscuya misión es adaptar la salida de la sonda al sensor o captador primario, el dispositivo querealmete efectúa la conversión a señal eléctrica. Son ejemplos de elementos intermedios los pis-tones y resortes antagonistas, que se utilizan en ciertos transductores de presión para acoplar unconducto de entrada de precisión (sonda) a un sensor pasivo, los sistemas de palancas empleadosen ciertos transductores de desplazamiento para amplificar mecánicamente el movimiento de unpalpador (sonda), etc.

De lo anterior se deduce que depende exclusivamente de la sonda y de los elementos inter-medios el que un mismo sensor primario se utilice para medir magnitudes diferentes.

La señal de salida del sensor (directa en el caso de los sensores generadores, o proporcionadapor un circuito en el caso de los sensores de parámetro variable), puede ser amplificada en unpreamplificador incorporado al transductor, como se indica en la Fig. 1.7.

La inclusión de un preamplificador en el transductor es una práctica muy recomendable,por cuanto permite transmitir la señal de salida hasta los equipos de tratamiento con mejoresprestaciones globales en lo que se refiere a captación de interferencias, especialmente si dichatransmisión se realiza a larga distancia.

Las ventajas de la preamplificación se comprenden analizando la Fig. 1.8, que representaesquemáticamente un sistema formado por un transductor de impedancia de salida ZL y tensiónde salida v0 conectado a un equipo de tratamiento de señal de impedancia de entrada Zs, al quellega una tensión vs. Se supone que existe una fuente de interferencia de tensión vn acoplada alas líneas de conexión a través de una impedancia Zn (generalmente capacitiva). En este modelo,la verdadera señal de entrada al sistema de tratamiento de señal resulta falseada, deduciéndose

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14 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Lvo

+

-

Equipo detratamientoTransductor

ZZs

Zn

+

-

Vn+

-Vs

Figura 1.8: Circuito equivalente para un transductor incluyendo señal de interferencia.

del circuito de la Fig. 1.8 la siguiente expresión:

v0 =ZLZn · vs + ZLZs · vnZsZL + ZnZL + ZsZn

(1.5.1)

que demuestra que en la señal v0 de entrada al equipo de tratamiento existe una componentedebida a la señal vs de salida del transductor y otra debida a la interferencia, cuyo valor es:

vno =ZsZL

ZsZL + ZnZL + ZsZn· vn (1.5.2)

que corresponde al segundo sumando de la ecuación (1.5.1).El error relativo debido a interferencia será:

εi =vnov0

=ZsZL

ZsZL + ZnZL + ZsZn· vnv0

(1.5.3)

De esta ecuación se extraen dos conclusiones importantes

• El error relativo de interferencia disminuye en la misma proporción en que aumenta laseñal de salida del transductor.

• El error relativo de interferencia disminuye al bajar la impedancia de salida del transductor,siendo nulo cuando lo es dicha impedancia.

De acuerdo a esta última conclusión, se puede mejorar el sistema utilizando en el transductorpreamplificadores con la mayor preamplificación posible y con la impedancia de salida más bajaposible.

La primera de las condiciones tiene limitaciones prácticas (la saturación de las etapas am-plificadoras). La segunda, por el contrario, se consigue fácilmente utilizando amplificadoresoperacionales, los cuales tienen impedancias de salida en lazo cerrado prácticamente nulas en

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1.5. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR 15

los circuitos usuales. Esta última condición es muy importante puesto que permite anular vir-tualmente el error de interferencia cuando la fuente de interferencia está acoplada de acuerdocon el modelo propuesto (caso, por ejemplo, del acoplamiento capacitivo responsable de muchasde las interferencias captadas por los sistemas de amplificación de señales débiles).

1.5.2 Transductores de lazo cerrado o servotransductores

Una disposición que se utiliza en ciertos transductores de alta precisión, corresponde a la configu-ración en lazo cerrado de los denominados servotransductores, cuyo esquema básico se representaen la Fig. 1.9.

Sonda

ν ν

Sensor de Amplificadorcaptación Intermedio

Elementolectura

Sensor de

Σ+_β

Figura 1.9: Transductor en lazo cerrado.

Como puede verse en dicha figura, el sistema incluye dos sensores primarios, que aparecencon las denominaciones de sensor de captación y sensor de lectura. La magnitud vi de entradase aplica al sensor de captación a través de la sonda, cuya magnitud de salida es Ksvi (dondeKs es la función de transferencia de la sonda), y de un sistema de acoplamiento diferencial.

La salida del sensor de captación es amplificada y aplicada a un elemento intermedio, fre-cuentemente de naturaleza mecánica, de función de transferencia β. La magnitud de salida delelemento intermedio se resta de la salida de la sonda en el mencionado sistema de acoplamientodiferencial y aparece además como señal de salida del servotransductor después de ser convertidaen señal eléctrica en el sensor de lectura.

Dentro de cada bloque se indica su función de transferencia. La señal de salida del sistemaluego de hacer los cálculos correspondientes será:

v0 =βAKsKcKl

1 + βAKcvi (1.5.4)

que, para grandes valores de la amplificación A, toma la forma aproximada

v0 ∼= Ks Kl vi (1.5.5)

Por lo tanto, la señal de salida del sensor de lectura es proporcional a la magnitud de entrada.Como puede observarse, en el caso de alta amplificación, el lazo de realimentación tiende a anularla diferencia entre la salida de la sonda y el elemento intermedio.

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16 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Tabla 1.2: Sensores analógicos directosPotenciométricosTermorresistivosFotorresistivos

De resistencia variable PiezorresistivosExtensométricosElectroquímicosDe adsorciónGeometría variable

De parámetro variable De capacidad variableDieléctrico variable

De inductancia variableDe transformador variable

FotoemisivosFotoeléctricos

FotocontroladosPiezoeléctricosFotovoltaicosTermoeléctricos

Generadores de señal MagnetoeléctricosElectrocinéticosElectroquímicosDe geometría variable

Mixtos De efecto HallBioeléctricos

Page 35: libro de instrumentación UTP

1.6. CLASIFICACIÓN 17

La gran precisión de los servotransductores queda justificada teniendo en cuenta el desarrolloanterior, por cuanto:

• La medida no resulta afectada por las imperfecciones del sensor de captación, del amplifi-cador y del elemento intermedio.

• La precisión de la señal de salida sólo depende de la sonda (dispositivo también presente enlos transductores de lazo abierto) y del sensor de lectura, el cual funciona en condicionesmuy favorables al recibir como entrada una magnitud ya amplificada.

Las ventajas más importantes de estos dispositivos son las siguientes:

• Salida de alto nivel

• Gran precisión

• Corrección continua de las medidas

• Alta resolución

Entre sus desventajas, están las siguientes:

• Costo elevado

• Poca robustez

• Dificultades en la respuesta dinámica.

1.6 Clasificación

Considerando la naturaleza de la señal eléctrica generada y el modo de obtenerla y atendiendoa los principios físicos en los cuales de basan, se propone la clasificación [23] que se muestra enla Tablas 1.2 y 1.3. En el desarrollo del texto se seguirá este esquema, con especial atención alos sensores más utilizados.

Se denominan sensores análogos directos a los captadores primarios cuya señal de salidaanalógica representan directamente, sin ningún tipo de proceso de interpretación adicional, lamagnitud de entrada.

Dentro de la categaría de sensores analógicos directos se distinguen los siguientes tipos:

• Sensores de parámetro variable: Son componentes de circuito pasivo cuyo valor varíaen función de la magnitud de entrada. Para su funcionamiento es imprescindible queformen parte de circuitos concretos los cuales requieren alimentación externa.

Page 36: libro de instrumentación UTP

18 CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Tabla 1.3: Sensores indirectosGravimétricos

De elemento vibranteModuladores de frecuencia Tensométricos

De condensadorDe reactancia variable

De inductanciaElectromagnéticos

Generadores de frecuencia FotoeléctricosDe efecto HallCodificadores angulares

Digitales Codificadores linealesFotoelásticos

• Sensores generadores de señal: Son dispositivos que generan señales representativas delas magnitudes a medir en forma autónoma, sin requerir de ninguna fuente de alimentación.

• Sensores Mixtos: Son dispositivos que, de algún modo, tienen la doble naturaleza degeneradores (comportamiento activo) y de componentes pasivos (forman parte necesaria-mente de circuitos con fuentes de alimentación asociadas)

Los sensores indirectos son captadores en donde el valor instantáneo de la señal de sal-ida no representa directamente la magnitud de entrada, siendo necesaria una interpretación odecodificación posterior para obtener la información relativa a la magnitud a medir.

Se exponen los sensores de este grupo que proporcionan señales periódicas, cuya frecuenciafundamental contiene la información sobre la magnitud de entrada. También se exponen algunostipos de sensores digitales.

Es de observar que muchos de los sensores indirectos utilizan realmente células sensibles lascuales pertenecen al grupo de los sensores analógicos directos, variando únicamente su modo defuncionamiento y los circuitos de los cuales forman parte.

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Capítulo 2

Características estáticas de unsistema de medida

2.1 Introducción

Este capítulo tiene que ver con características estáticas o de estado estacionario; éstas sonlas relaciones que pueden ocurrir entre la salida θ y la entrada u de un elemento cuando ues o bien un valor constante, o valor que cambia muy lentamente. El comportamiento delsistema de medida está condicionado por el sensor empleado. Se plantean dos conceptos básicosrelativos al concepto de la medida: exactitud y precisión. La exactitud está relacionada con lascaracterísticas fundamentales de la estructura de la materia y está acotada por el principio deincertidumbre. La precisión tiene que ver esencialmente con el sistema empleado para realizarla medición. Toda medida lleva asociado inevitablemente un error. El error del sistema esuna medida de la diferencia entre el valor del punto de consigna (set point) de la variablecontrolada y el valor real de la variable que entrega la dinámica del sistema. De acuerdo con lainstrumentación utilizada, puede estimarse la magnitud del error, adoptándose las precaucionesnecesarias para reducir su valor a límites aceptables de acuerdo con la precisión requerida. Ladeterminación del error supone el conocimiento del valor exacto, considerándose en la prácticacomo valores exactos los derivados de los patrones de medida disponibles. En muchos casos; sinembargo, se toman como “patrones” las curvas de calibración suministradas por los fabricantesde los equipos de medida cuando no es necesaria una precisión extrema.

2.2 Características Sistemáticas

Las caraterísticas sistemáticas son aquellas que pueden ser cuantificadas exactamente por mediosgráficos o matemáticos. Estas son distintas de las características estáticas las cuales no puedenser cuantificadas exactamente.

19

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20 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

1. Rango El rango de entrada de un elemento está especificado por los valores máximos ymínimos de u, es decir, umin a umax. El rango de salida de un elemento está especificadopor los valores máximos y mínimos de θ, es decir, θmin a θmax. Así, un transductor depresión puede tener un rango de entrada de 0 a 104 Pa y un rango de salida de 4 a 20 mA;una termocupla puede tener un rango de entrada de 100 a 250C y un rango de salida de4 a 10 mV .

2. Alcance Es la máxima variación de entrada o salida, por ejemplo, el alcance de entrada esumax−umin, y el alcance de salida es θmax−θmin. Así, en los ejemplos del párrafo anterior,el transductor de presión tiene un alcance en la entrada de 104Pa y un alcance de salidade 16mA; la termocupla tiene un alcance de entrada de 150C y un alcance de salida de6mV .

3. Línea recta ideal. Se dice que un elemento es ideal si los valores respectivos de u y de θcorresponden a una línea recta. La línea recta ideal conecta el punto mínimo A(umin, θmin)al punto máximo B(umax, θmax) y por lo tanto tiene la ecuación:

θ − θmin =

∙θmax − θminumax − umin

¸(u− umin) (2.2.1)

o sea,θideal = ku+ a Ecuación de una línea recta ideal (2.2.2)

donde

k = pendiente de la recta ideal =θmax − θminumax − umin

(2.2.3)

ya = intercepto de la recta = θmin − kumin (2.2.4)

Así, la línea recta para el transductor de presión anterior es

θ = 1.6× 10−3u+ 4.0

4. No linealidad En muchos casos la relación de la línea recta definida en las ecuaciones(2.2.2) y (2.2.3) no se cumple y se dice que el elemento es no lineal. La no linealidadpuede ser definida (Fig. 2.1) en términos de una función N(u) la cual es la diferencia entreel comportamiento real y el ideal de la línea recta.Es decir,

N(u) = θ(u)− (ku+ a)

oθ(u) = ku+ a+N(u) (2.2.5)

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2.2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS 21

θ

u

N

+

_

θ

θ

θ

θ

Figura 2.1: Definición de no linealidad.

La no linealidad es frecuentemente cuantificada en términos de la máxima no linealidadN expresada como un porcentaje de la deflexión a plena escala (f.s.d en inglés), es decir,como un porcentaje del alcance. Así

Máxima no linealidad como porcentaje de la f.s.d. =N

θmax − θmin× 100% (2.2.6)

En muchos casos θ(u) y por lo tanto N(u) se pueden expresar como polinomios de u, esdecir,

θ(u) = a0 + a1u+ a2u2 + · · ·+ amu

m =mXi=0

aiui (2.2.7)

Un ejemplo es la variación de temperatura como consecuencia de la variación de la ten-sión termoeléctrica en la unión de dos metales distintos. Para una termocupla tipo T(cobre-constantan), los primeros cuatro términos en el polinomio que relacionan la tensiónE(T )μV y la temperatura T de la unión en C son:

E(T ) = 38.74T+3.319×10−2T 2+2.071×10−4T 3−2.195×10−6T 4+O(T ) hasta T 8 (2.2.8)

donde O(T ) significa términos de orden superior. Para el rango desde 0 hasta 400C,puesto que E = 0mV a T = 0C y E = 20.869mV a T = 400C (ver Fig. 2.2), laecuación de la línea recta ideal es:

Eideal = 52.17T (2.2.9)

y la función de corrección no lineal es:

N(T ) = E(T )−Eideal = −13.43T+3.319×10−2T 2+2.071×10−4T 3−2.195×10−6T 4+O(T )(2.2.10)

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22 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Figura 2.2: Respuesta en mV de una termocupla tipo T (Cu/CuNi).

En algunos casos expresiones diferentes de las polinomiales son más apropiadas; por ejem-plo, la resistencia R(T ) Ω de un termistor a T C está dada por:

R(T ) = 0.04 exp

µ3300

T + 273

5. Sensibilidad. Esta es la rata de cambio de θ con respecto a u, es decir,

du= K +

dN

du(2.2.11)

Así, para un elemento idealdθ

du= K (2.2.12)

es decir, para el transductor de presión anterior, dθ/du = 1.6 × 10−3mA/Pa. Para latermocupla cobre-constantan la sensibilidad dE/dT a T C está dada por:

dE

dT= 38.74 + 6.638× 10−2T + 6.213× 10−4T 2 − 8.780× 10−6T 3 +O(T ) (2.2.13)

la cual tiene un valor aproximado de 50μV C−1 a 200C.

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2.2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS 23

6. Efectos ambientales En general, la salida θ depende no solamente de la señal de entrada usino de entradas ambientales tales como la temperatura ambiente, la presión atmosférica,la humedad relativa, la fuente de alimentación, etc. Así, si la ecuación (2.2.5) representaadecuadamente el comportamiento del elemento bajo condiciones ambientales ‘estándar’,es decir, 25C temperatura ambiente, presión atmosférica 1000 milibars, 80% de humedadrelativa, fuente de alimentación de 10V ; entonces la ecuación debe ser modificada paratomar en cuenta las desviaciones en las condiciones ambientales ‘estándar’. Hay dos tiposprincipales de entradas ambientales:

Pendiente =

Pendiente =

Sesgo de Cero =

Sesgo de Cero =

θθ

u u

Figura 2.3: Efectos de las entradas modificadora e interferente (a)Modificadora (b) Interferente.

(a) Una entrada modificadora la cual hace que la sensibilidad lineal del elemento cam-bie. Así, si uM es la desviación en una entrada ambiental modificadora del valor‘estándar’ (uM es cero en condiciones estándar), entonces esta produce un cambio enla sensibilidad lineal desde k hasta k + kMuM (Fig. 2.3(a)).

Δ

Figura 2.4: Potenciómetro.

(b) Una entrada interferente la cual hace que cambie la intercepción o sesgo de cerodel elemento. Así, si uI es la desviación en una entrada ambiental interferente para

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24 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

el valor ‘estándar’ (uI es cero en condiciones estándar); entonces esto produce uncambio en la intercepción por cero de a a a + kIuI (Fig. 2.3(b)). Los coeficienteskM , kI son referidos como constantes de acoplamiento ambiental o sensibilidades. Porlo tanto, se debe ahora corregir la ecuación (2.2.5), reemplazando ku con (k+kMuM)uy reemplazando a con a+ kIuI para obtener:

θ = ku+ a+N(u) + kMuMu+ kIuI (2.2.14)

Un ejemplo de una entrada modificadora es la variación ∆Vs en el voltaje de ali-mentación Vs del sensor de desplazamiento potenciométrico mostrado en la Fig. 2.4.Un ejemplo de una entrada interferente está dado por las variaciones en la temper-atura de unión de referencia T2 de una termocupla.

7. Histéresis. Para un valor dado de u, la salida θ es diferente dependiendo de si u estáaumentando o está disminuyendo. La histéresis es la diferencia entre estos dos valores deθ (Fig. 2.5), es decir,

H(u) = θ(u)u↓ − θ(u)u↑ (2.2.15)

La histéresis se cuantifica usualmente en términos de la histéresis máxima H, expresada

u u

H

θ

θ

θ

Figura 2.5: Histéresis.

como un porcentaje de la f.s.d., es decir, el alcance. Así,

Hmax fsd% =H

θmax − θmin× 100% (2.2.16)

Un simple sistema de engranajes (Fig. 2.6 ) para convertir movimiento lineal en rotatorioproporciona un buen ejemplo de histéresis. Debido al ‘juego’ en los dientes de los engrana-jes, la rotación θ, para un valor dado de x, es diferente dependiendo de la dirección delmovimiento lineal.

Page 43: libro de instrumentación UTP

2.2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS 25

x x

θ θ

Figura 2.6: Juego en engranajes. Ejemplo de histéresis.

8. Resolución. Algunos elementos se caracterizan por el incremento de la salida en una serie depasos discretos o saltos en respuesta a un incremento continuo en la entrada. La resoluciónse define como el cambio más grande en u que puede ocurrir sin el cambio correspondienteen θ. Así, en la Fig. 2.7 la resolución se define en términos del valor ∆uR del paso másancho; la resolución expresada como un porcentaje del f.s.d. es por lo tanto

Res% =∆uR

umax − umin× 100% (2.2.17)

Un ejemplo común es un potenciómetro de alambre devanado, en respuesta a un continuo

x

R

θθ

θ

Figura 2.7: Ejemplo de resolución y de potenciómetro.

incremento en x la resistencia R se incrementa en una serie de pasos; el tamaño de cadapaso será igual a la resistencia de una vuelta. Así, la resolución de un potenciómetro de100 vueltas es de 1%. Otro ejemplo es un convertidor análogo a digital; aquí la señaldigital de salida responde en pasos discretos a una tensión de entrada que se incrementa

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26 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

continuamente; la resolución es el cambio en el voltaje requerido para causar que el códigode salida cambie con el bit menos significativo.

l

hh

2 h

p ( )

2 h1

θ

θ

θ

θ

θ

θθ

Figura 2.8: Bandas de error y función de probabilidad.

9. Uso y envejecimiento.Estas causas pueden afectar las características de un elemento, esdecir, k y a de modo que cambien lenta pero sistemáticamente a través de su vida. Unejemplo es la rigidez de un resorte k(t) la cual decrementa lentamente con el tiempo debidoal uso, es decir,

k(t) = k0 − bt (2.2.18)

donde k0 es la rigidez inicial y b es una constante. Otro ejemplo corresponde a las con-stantes a1, a2, etc. de una termocupla que mide la temperatura de los gases generados enun horno de fragmentación, las cuales cambian sistemáticamente con el tiempo debido acambios químicos en los metales de la termocupla.

10. Bandas de error. Los efectos de las no linealidades, la histéresis y la resolución en muchossensores modernos son tan pequeños que es difícil y no vale la pena cuantificar exactamentecada efecto individual. En estos casos el fabricante define el comportamiento del elementoen términos de bandas de error (ver Fig. 2.8). Aquí el fabricante establece que paracualquier valor de u, la salida θ estará entre ±h del valor θideal de la línea recta ideal.Aquí un enunciado exacto o sistemático del comportamiento se reemplaza por un enunciadoestadístico en términos de una función densidad de probabilidad p(θ). En general, unafunción densidad de probabilidad p(x) se define de modo que la integral

R x2x1

p(x)dx es laprobabilidad Px1,x2 de que x caiga entre x1 y x2. En este caso la función densidad deprobabilidad es rectangular (Fig. 2.9), es decir,

p(θ) =

⎧⎨⎩12h θideal − h ≤ θ ≤ θideal + h0 θ > θideal + h0 θideal − h > θ

(2.2.19)

Page 45: libro de instrumentación UTP

2.3. MODELO GENERALIZADO DE UN ELEMENTO 27

p (x)

x

Densidadde probabilidad

1 2

Figura 2.9: Función densidad de probabilidad.

Se puede observar que el área del rectángulo es igual a la unidad: esta es la probabilidadde que θ caiga entre θideal − h y θideal + h.

2.3 Modelo generalizado de un elemento

Si los efectos de histéresis y resolución no están presentes en un elemento pero los efectos am-bientales y no lineales sí, entonces la salida θ de estado estacionario del elemento estará dadapor

θ = ku+ a+N(u) + kMuMu+ kIuI (2.3.1)

La Fig. 2.10 muestra esta ecuación en forma de diagrama de bloques para representar las

θ

Modificador

Estático Dinámico

Entrada

Interferente

θ 0

Salida

Figura 2.10: Modelo general de un elemento.

características estáticas de un elemento. Para efectos de completar el diagrama también se

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28 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Instrumento PatrónPatrón

Instrumento

Elemento o sistema

a ser calibrado

InstrumentoPatrón Patrón

Instrumento

θ

Figura 2.11: Calibración de un elemento.

muestra la función de transferencia G(s) la cual representa las características dinámicas delmismo.

2.4 Identificación de características estáticas. Calibración

2.4.1 Patrones de medida

Las características estáticas de un elemento se pueden encontrar experimentalmente midiendolos valores correpondientes de la entrada u, la salida θ y las entradas ambientales uM , uI ,cuando u es, o bien un valor constante, o una variable que evoluciona lentamente. Este tipode experimento se denomina calibración. Las medidas de las variables u, θ, uM uI deben serprecisas si se desea tener resultados significativos. Los instrumentos y técnicas utilizadas paracuantificar estas variables se conocen como patrones de calibración (Fig. 2.11 ).

La precisión en la medida de una variable es el acercamiento al valor verdadero de la misma.Se cuantifica en términos del error de la medida, es decir, la diferencia entre el valor medido yel valor verdadero. Así, la precisión de una galga de presión relativa a un patrón de laboratorioes la lectura más cercana al valor verdadero de la presión. Esto conduce al problema básico decómo establecer el verdadero valor de una variable, lo cual conduce a la siguiente

Definición 2 Se define el valor verdadero de una variable como el valor medido obtenido conun patrón primario.

Así, la precisión de la galga de presión anterior se cuantifica por la diferencia entre la lecturade la galga, para una presión dada, y la lectura dada por el patrón de presión definido comotal. Sin embargo, el fabricante de la galga de presión puede no tener acceso al patrón primariopara medir la precisión de sus productos. Él puede medir la precisión de sus galgas relativasa un patrón intermedio portátil o patrón de transferencia, es decir, un probador de presión de

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2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN 29

Tabla 2.1: Escala simplificada de rastreabilidad

Patrón Primario v.,gr., patrón de presión del NPL↑

Patrón de transferencia v.,gr., probador de peso muerto↑ ↑

Incremento Patrón de laboratorio v.,gr., galga de presión normalizadade ↑

precisión Elemento a ser calibrado v.,gr., transductor de presión

peso muerto. La precisión del patrón de transferencia debe encontrarse por calibración respectodel patrón de presión primario. Esto conduce al concepto de escala de rastreabilidad la cual semuestra en forma simplificada en la gráfica siguiente.

El elemento se calibra usando los patrones del laboratorio, los cuales deben ser calibrados a símismos por los patrones de transferencia, y estos a su vez deben ser calibrados usando el patrónprimario. Cada elemento de la escala debe ser más preciso que el anterior en forma significativa.

Luego de haber introducido los conceptos de patrón y rastreabilidad se puede ahora discutircon más detalle, distintos tipos de patrones. El sistema internacional de medida (SI) incluyesiete unidades básicas y dos suplementarias que son compiladas y definidas en el Apéndice B.Las unidades de todas las cantidades físicas pueden ser derivadas de estas unidades básicasy suplementarias. En el Reino Unido el Laboratorio Nacional de Física (National PhysicalLaboratory N.P.L.) es el responsable de la realización física de todas las unidades básicas ymuchas de las unidades derivadas correspondientes. El N.P.L. es por lo tanto el guardián de lospatrones primarios en ese país. Hay patrones secundarios guardados en el Servicio de CalibraciónBritánico (B.C.S.). Éstos han sido calibrados con los patrones del N.P.L. y están disponiblespara calibrar los patrones de transferencia.

En el N.P.L., el metro se definió usando la longitud de onda de la radiación de un láser dehelio-neón estabilizado con yodo. La reproducibilidad de este patrón es de 3 partes en 1011 y lalongitud de onda de la radiación ha sido relacionada precisamente con la definición del metro entérminos de la velocidad de la luz. El patrón primario se usa para calibrar interferómetros deláser secundarios los cuales a su vez se usan para calibrar cintas, galgas y barras de precisión.Una escala simplificada de rastreabilidad para longitud se muestra en la Tabla 2.2.

El prototipo internacinal del kilogramo está hecho en platinio-iridio y está guardado en laAgencia Internacional de Pesos y Medidas (B.I.P.M.) en París. El peso de una masa m es la

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30 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Tabla 2.2: Escala de rastreabilidad (Adaptada de Scarr)

Responsabilidad Longitud Precisión

Radiación laser He—NeBIMP y NPL de longitud de onda 3 en 1011

de 633 nm↓

NPL Longitud de onda de fuentes 1 en 107

laser secundarias↓

Calibración interferométricaNPL o BCS o Industria laser de calidad de referencia 1 en 106

para patrón de longitud↓

BCS o Industria Calibración comparativa de calidad 1 en 105

operativa para patrón de longitud↓

BCS o Industria Calibración de galgas 1 en 104

y de equipos de medida↓

Medida de la pieza de trabajo

BIPM: International Bureau of Weights and MeasuresNPL: National Physical LaboratoryBCS: British Calibration Service

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2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN 31

Tabla 2.3: Puntos fijos definidos en el ITS—90.Tempe ratura

Número T90/K t90/C Sustancia Estado Wr(T90)

1 3 a 5—270.15 a—268.15

He V

2 13.8033 —259.3467 e—H2 T 0.00119007

3 ~17 ~—256.15e—H2(ó He)

Vó G

4 ~20.3 ~—252.85e—H2(ó He)

Vó G

5 24.5561 —248.5939 Ne T 0.008449746 54.6584 —218.7916 O2 T 0.091718047 83.8058 —189.3442 Ar T 0.215859758 234.3156 —38.8344 Hg T 0.844142119 273.16 0.01 H2O T 1.0000000010 302.9146 29.7646 Ga M 1.1181388911 429.7485 156.5985 In F 1.6098018512 505.078 231.928 Sn F 1.8927976813 629.677 419.527 Zn F 2.5689173014 933.473 660.323 Al F 3.3760086015 1234.93 961.78 Ag F 4.2864205316 1337.33 1064.18 Au F17 1357.77 1084.62 Cu F

fuerza mg que experimenta bajo la aceleración de la gravedad g. Así, si el valor local de lagravedad se conoce de manera precisa, entonces un patrón de fuerza se puede derivar de lospatrones de masa. En el N.P.L., v. gr, las máquinas de peso muerto que cubren un rango defuerza de 450N hasta 30MN se usan para calibrar celdas de carga con galgas extensométricasy otros transductores de peso.

El amperio ha sido tradicionalmente la unidad básica eléctrica y ha sido efectuado en elN.P.L. usando la balanza de corriente Ayrton—Jones; aquí, la fuerza entre dos espiras que llevancorriente se equilibra con un peso conocido. La precisión de este método está limitada por losgrandes pesos muertos de las bobinas y los moldes y de las muchas medidas necesarias. Por estarazón se han escogido como unidades básicas eléctricas el faradio y el voltio (o vatio); las otrasunidades tales como el amperio, el ohmio, el henrio y el julio se derivan de estas dos unidadesbasicas con unidades de tiempo o de frecuencia, usando la ley de Ohm donde sea necesario.El faradio fue realizado usando un capacitor calculable basado en el teorema de Thompson—

Page 50: libro de instrumentación UTP

32 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Lampard. Usando puentes a.c., los patrones de capacitancia y frecuencia se pueden usar paracalibrar resistores estándar. El patrón primario del voltio se basa sobre el efecto Josephson enla superconductividad; éste se usa para calibrar patrones secundarios de voltaje, usualmente lasbaterías saturadas de cadmio de Weston. El amperio también puede ser llevado a cabo usandouna balanza de corriente modificada. Como antes, la fuerza debida a una corriente I se equilibracon un peso conocidomg, pero también se hace una medición separada para el voltaje e inducidoen la espira cuando ésta se mueve a una velocidad u. Igualando las fuerzas mecánica y eléctricase obtiene la ecuación

eI = mgu (2.4.1)

Se pueden hacer medidas precisas de m, u y e usando patrones secundarios que puedan serrastreados de nuevo con los patrones primarios del kilogramo, el metro, el segundo y el voltio.

Idealmente se debe definir la temperatura usando la escala termodinámica, es decir la relación

PV = Rθ (2.4.2)

entre la presión P y la temperatura θ de un volumen fijo V de un gas ideal. Debido a la limitadareproducibilidad de los termómetros reales de gas, se proyectó la Escala Práctica Internacionalde Temperatura (I.T.P.S.). Esta se muestra en la Tabla 2.3 y consiste de

a Puntos fijos altamente reproducibles correspondientes a los puntos de fusión y ebullición opuntos triples de sustancias puras bajo condiciones específicas;

b Instrumentos patrones con una salida conocida versus una relación de temperatura obtenidapor calibración de los puntos fijos.

Los instrumentos se interpolan entre los puntos fijos. En la Tabla 2.4 se muestran los efectosde la variación de presión sobre los valores definidos de la temperatura.

Los números asignados a los puntos fijos son tales que hay exactamente 100K entre el puntode congelamiento (273.15K) y el punto de ebullición (373.15K) del agua. Esto significa que uncambio de 1K es igual al cambio de 1C en la antigua escala Celsius. La relación exacta entrelas dos escalas es

θK = T C + 273.15

Los instrumentos de interpolación mencionados en la tabla se usan para calibrar los intru-mentos patrones secundarios; v. gr., un termómetro por interpolación de resistencia de platinopuede ser usado para calibrar un segundo termómetro de resistencia de platino.

Los patrones disponibles para las cantidades basicas, es decir, longitud, masa, tiempo, corri-ente y temperatura, permiten que se realizen patrones para cantidades derivadas. Esto se ilustraen los métodos para calibrar medidores de flujo de líquidos. El promedio de flujo real a travésdel metro se encuentra pesando la cantidad de agua recolectada en un tiempo dado, así que laprecisión con que se mide el flujo depende de la precisión de los patrones de peso y tiempo. Demanera similar los patrones de presión se pueden derivar de los de fuerza y área (longitud).

Page 51: libro de instrumentación UTP

2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN 33

Tabla 2.4: Efecto de la presión sobre algunos puntos definidos fijos.

Substancia

Valor de asignaciónde temperaturaen equilibrioT90/K

Temperaturacon presión, p

dT/dp

10−8K·P−1a

Variación conprofundidad,lambda

dT/dλ10−3K·m−1

e-Hidrógeno (T) 13.8033 34 0.25Neón (T) 24.5561 16 1.9Oxígeno (T) 54.3584 12 1.5Argón (T) 83.8058 25 3.3

Mercurio (T) 234.3156 5.4 7.1Agua (T) 273.16 —7.5 —0.73Galio 302.9146 —2.0 —1.2Indio 429.7485 4.9 3.3

Estaño 505.078 3.3 2.2Zinc 692.677 4.3 2.7Aluminio 933.473 7.0 1.6Plata 1234.93 6.0 5.4

Oro 1337.33 6.1 10.0Cobre 1357.77 3.3 2.6

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34 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

2.5 Medidas experimentales y evaluación de resultados

El experimento de calibración se divide en tres partes principales.

1. θ vs u con uM = uI = 0. Idealmente esta prueba podrá ser tomada bajo condicionesambientales ‘estándar’ tal que uM = uI = 0, si esto no es posible todas las entradasambientales deberán medirse. u debe incrementarse lentamente desde umin hasta umax ylos valores correspondientes de u y θ deberán ser registrados a intervalos del 10% del alcance(es decir, 11 lecturas), dejando tiempo suficiente para que la salida se estabilice antes detomar una nueva lectura. Se tomarán otros 11 pares de lecturas cuando se decrementelentamente u desde umax hasta umin. El proceso completo deberá repetirse dos veces más(arriba y abajo) hasta obtener dos conjuntos de datos: un conjunto arriba (ui, θi)I↑ yun conjunto abajo (uj , θj)I↓, i, j = 1, 2, . . . , n (n = 33).

Hay paquetes de regresión disponibles para la mayoría de las computadoras, los cualesajustan a un polinomio, es decir, θ(u) =

Pmq=0 aqu

q para un conjunto de n datos depuntos. Esos paquetes usan un criterio de ‘mínimos cuadrados’. Si di es la desviacióndel valor polinomial θ(ui) para los valores θi, entonces di = θ(ui) − θi. El programaencuentra un conjunto de coeficientes a0, a1, a2, etc., tales que la suma de los cuadradosde las desviaciones es decir

Pni=1 d

2i es mínima. Esto involucra la solución de un conjunto

de ecuaciones lineales [15].

Para detectar cualquier forma de histéresis, se deberán realizar regresiones separadas sobrelos dos conjuntos de datos (ui, θi)I↑, (uj , θj)I↓, y obtener dos polinomios

θ(u)I↑ =mXq=0

a↑quq y θ(u)I↓ =

mXq=0

a↓quq (2.5.1)

Si la histéresis es significativa, entonces la separación de las dos curvas será mayor quela dispersión de los puntos de datos alrededor de cada curva individual (Fig. 2.12(a)) Lahistéresis H(u) está entonces dada por la ecuación (2.2.15), es decir,

H(u) = θ(u)u↓ − θ(u)u↑ (2.5.2)

Si, por otra parte, la dispersión de los puntos alrededor de cada curva es más grande que laseparación de las curvas (Fig. 2.12(b)), entonces H no es significativo y los dos conjuntosde datos se pueden entonces combinar y así obtener un solo polinomio θ(u). La pendientek y el cruce por cero a de la línea recta ideal unen los puntos mínimo y máximo (umin, θmin)y (umax, θmax) y pueden hallarse de la ecuación (2.2.3). La función no lineal N(u) puedeentonces encontrarse usando (2.2.5):

N(u) = θ(u)− (ku+ a) (2.5.3)

Page 53: libro de instrumentación UTP

2.5. MEDIDAS EXPERIMENTALES Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS 35

( a )

θ

Abajo

Arriba

( b )

θ

Figura 2.12: (a) Histéresis significativa (b) Histéresis no significativa.

Los sensores de temperatura son frecuentemente calibrados usando puntos fijos apropiadosen lugar de un instrumento patrón. Por ejemplo, una termocupla puede ser calibradaentre 0 y 500C midiendo la fem en el hielo, el vapor y el punto zinc. Si la relación fem—temperatura se representa por la ecuación cúbica E = a1T + a2T

2 + a3T3, entonces los

coeficientes a1, a2, a3, se pueden encontrar resolviendo tres ecuaciones simultaneas.

2. θ vs uM , uI con u = cte. Primero se necesita encontrar cuales entradas ambientales soninterferentes, es decir, afectan el cruce por cero a. La entrada u se mantiene constanteen u = umin y una entrada ambiental se cambia por una cantidad conocida, el resto semantiene en valores estándar. Si hay un cambio resultante ∆θ en θ, entonces la entrada uIestá interfiriendo y el valor de los coeficientes correspondientes kI estarán dados por kI =∆θ/∆uI . Si no hay cambio en θ, entonces la entrada no es interferente. El proceso se repitehasta que todas las entradas interferentes sean identificadas y los valores correspondientesde kI sean encontrados.

Se necesita ahora identificar las entradas modificadoras, es decir, las que afectan la sen-sibilidad del elemento. La entrada u se mantiene constante en el valor medio del rango12(umin+umax) y cada entrada ambiental se varía a su vez por una cantidad conocida. Si uncambio en la entrada produce un cambio∆θ en θ y no es una entrada interferente, entoncesesta debe ser una entrada modificadora uM y el valor del coeficiente correspondiente kM

Page 54: libro de instrumentación UTP

36 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

estará dado por:

kM =1

u

∆θ

∆uM=

2

(umin + umax)

∆θ

∆uM(2.5.4)

Supóngase que un cambio en la entrada produce un cambio ∆θ en θ y ésta ya ha sidoidentificada como una entrada interferente con un valor conocido kI . Entonces se debecalcular un valor no cero de kM antes de que se pueda asegurar que la entrada es tambiénmodificadora. Puesto que

∆θ = kI∆uI,M + kM∆uI,M(umin+umax)

2entonces

kM =2

(umin + umax)

∙∆θ

∆uI,M− kI

¸(2.5.5)

3. Prueba de repetibilidad. Esta prueba podrá ser llevada a cabo en el ambiente de trabajonormal del elemento, es decir, en la planta, o en un cuarto de control, donde las entradasambientales uM , uI están sujetas a variaciones aleatorias experimentadas usualmente. Laseñal de entrada u deberá mantenerse constante en un valor medio del rango y la salida θmedida sobre un período extendido, idealmente varios dias, obteniéndose un conjunto devalores θk, k = 1, 2, . . . ,N . El valor medio del conjunto se puede encontrar usando

θ =1

N

NXk=1

θk (2.5.6)

y la desviación estándar se encuentra usando (ver Capítulo 4)

σ0 =

vuut 1

N

NX(

k=1

θk − θ)2 (2.5.7)

Se deberá realizar un histograma de los valores de θk, con el fin de estimar la funcióndensidad de probabilidad p(θ) y compararla con la forma de la función gaussiana (Capítulo4).

2.6 Precisión de los sistemas de medida en estado estacionario

La precisión es una propiedad del sistema de medida completo, más que de un simple elemento.La precisión se cuantifica utilizando el error de medición ε, es decir:

ε = valor medido − valor verdadero (2.6.1)

ε = salida del sistema − entrada del sistema (2.6.2)

En esta sección se utilizará el modelo estático de un elemento simple, para calcular la sal-ida y además el error de medida para un sistema completo de varios elementos. Se concluyeexaminando métodos de reducción del error del sistema.

Page 55: libro de instrumentación UTP

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 37

θ Voltios

40

20

00.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03

Figura 2.13: Comparación del histograma con una función densidad de probabilidad gaussiana.

2.6.1 Error en la medida de un sistema con elementos ideales

Considérese el sistema mostrado en la Fig. 2.14 consistente de n elementos en serie. Supóngaseque cada elemento es ideal, es decir, perfectamente lineal y no sujeto a entradas ambientales. Sitambién se asume que el sesgo o cruce por cero es cero, es decir, a = 0, entonces

θi = kiui (2.6.3)

ecuación entrada—salida para un elemento ideal con sesgo cero, para i = 1, . . . , n, donde ki es lasensibilidad lineal o pendiente (ecuación (2.2.3)). De allí se observa que θ2 = k2u2 = k2k1u, θ3 =

1 2 3

1 2 3

1θ = 1 2 θ = 32 θ 3 θ θ = θ

Valorverdadero medido

Valor

Figura 2.14: Error en la medida.

k3u3 = k3k2k1u, y para el sistema completo

θ = θn = k1k2k3 · · · ki · · · knu (2.6.4)

Si el sistema de medida es completo, entonces ε = θ − u, dando

ε = (k1k2k3 · · · kn − 1)u (2.6.5)

Page 56: libro de instrumentación UTP

38 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Así, sik1k2k3 · · · kn = 1 (2.6.6)

se tiene ε = 0 y el sistema es perfectamente preciso. El sistema de medida de temperaturamostrado en la Fig. 2.15 parece satisfacer la condición anterior. El indicador puede ser unvoltímetro de bobina móvil con una escala marcada en grados Celsius, de modo que un cambioen la entrada de 1V produzca un cambio en la deflexión de 25C. Este sistema tiene k1k2k3 =40 × 10−6 × 103 × 25 = 1 y así parece perfectamente preciso. Este sistema; sin embargo, noes perfectamente preciso pues ninguno de los tres elementos presentes es ideal. La termocuplaes no lineal, de manera que la temperatura cambia la sensibilidad, la cual ya no es de 40μVC−1. También los cambios en la temperatura de la union de referencia hace que también cambiela fem en la termocupla. La tensión de salida del amplificador también está afectada por los

Termocupla Amplificador Indicador

401 V/ºCμ 10002 V/ V 25 ºC / Vvoltios

V μV

f. e. m.Temperaturaverdadera

Temperaturamedida

3

Figura 2.15: Sistema simple de medida de la temperatura.

cambios en la temperatura ambiente. La sensibilidad k3 del indicador depende de la rigidez delresorte restaurador en el ensamble del indicador (caso bobina móvil). Éste es afectado por latemperatura ambiente y por el uso, haciendo que k3 se desvíe del valor nominal de 25 CV −1.

Por lo tanto, la condición k1k2k3 = 1 no puede ser siempre satisfecha y el sistema tendráerror. En general el error de cualquier sistema de medida depende de las características no idealesde cada elemento del sistema, es decir, la no linealidad, los efectos ambientales y estadísticos,etc. Así, con el fin de cuantificar este error de forma tan precisa como sea posible se necesitausar el modelo general para un elemento simple como se desarrolló previamente.

2.6.2 Técnicas de reducción de error

El error de un sistema de medida depende de las características no ideales de cada elemento delsistema. Usando las técnicas de calibración, se puede identificar cuales elementos en el sistematienen el comportamiento no ideal más dominante. Se puede entonces, proyectar estrategias decompensación para estos elementos, las cuales producirán reducciones significativas en el errortotal del sistema. Esta sección bosqueja métodos de compensación para efectos no lineales yambientales.

Uno de los métodos más comunes de corregir un elemento no lineal es introducir un elementode compensación no lineal en el sistema. Este método se ilustra en la Fig. 2.16. Dado unelemento no lineal, descrito por U(u), se necesita un elemento de compensación C(U), tal que

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2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 39

Elemento no linealno compensado

Compensación del elemento no lineal

Temperatura Resistencia Voltaje

Termistor Puente de deflexiónθ θ Ω V

θ Ω

12

2298 348 θ 12 2

1.0

V V

θ

1.0

0348298

Total

Figura 2.16: Compensación de un elemento no lineal.

las características totales C[U(u)] de los elementos, estén tan cerca de la recta ideal como seaposible. El método se ilustra en la Fig. 2.16 con el uso de un puente de deflexión para compensarlas características no lineales del termistor.

El método más evidente para reducir los efectos de las entradas ambientales es el ais-lamiento, es decir, aislar el transductor de los cambios ambientales tal que efectivamenteuM = uI = 0.

Ejemplos de esto son la localización de la unión de referencia de una termocupla en un recintode temperatura controlada y el uso de un resorte de elevación para aislar un transductor de lasvibraciones de la estructura a la cual esta está conectado.

Otro método es el de la sensibilidad ambiental cero, donde el elemento es completamenteinsensible a entradas ambientales, es decir, kM = ku = 0. Un ejemplo de esto es el uso de unaaleación metálica con coeficientes de expansión por temperatura cero y la resistencia como unelemento de galga extensométrica. Tal material ideal es difícil de encontrar y en la práctica,la resistencia de una galga extensométrica metálica es afectada ligeramente por cambios en latemperatura ambiente.

Un método más exitoso de corrección para entradas ambientales es el de entradas ambien-tales opuestas. Supóngase que un elemento es afectado por una entrada ambiental; entoncesun segundo elemento, sujeto a la misma entrada ambiental, se introduce deliberadamente en

Page 58: libro de instrumentación UTP

40 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

+++

_

++

++

+_

E le m e n to s in c o m p e n sa r E le m e n to d ec o m p e n sa c ió n

s i

Figura 2.17: Compensación para entradas interferentes.(a) Usando entradas ambientales opues-tas (b) Usando un sistema diferencial.

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2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 41

Fuerza Elemento

Fuerza de Fbbalanceo

sensorAmplificador deganancia alta

Tensión

Elemento deretroalimentación

de salidade entrada+

+ +

_

Figura 2.18: Transductor de fuerza en lazo cerrado.

el sistema tal que los dos efectos tiendan a cancelarse. Este método se ilustra para entradasinterferentes en la Fig. 2.17 y puede ser fácilmente extendido para entradas modificadoras.

Un ejemplo es la compensación para variaciones en la temperatura T2 de la unión de referenciade una termocupla. Para una termocupla de cobre-constantan, se tiene kIuI igual a −38.74T2μVde modo que se requiere un elemento de compensación con una salida igual a +38.74T2μV .

Un ejemplo de un sistema diferencial (Fig. 2.17(b)) es el uso de dos galgas extensométricaspareadas en las ramas adyacentes de un puente, para proporcionar compensación por cambiosen la temperatura ambiente. Un galga mide una fuerza de tensión +f y la otra, una fuerza decompresión igual −f . El puente sustrae efectivamente las dos resistencias de modo que el efectotensor sea el doble y los efectos ambientales se cancelen totalmente.

Un método importante de compensación es el uso de realimentación negativa de altaganancia para entradas modificadoras y no linealidades. La Fig. 2.18 ilustra la técnica par untransductor de fuerza. El voltaje de salida de un elemento sensor de fuerza, sujeto a una entradamodificadora, se amplifica con un amplificador de alta ganancia. La salida del amplificador serealimenta a un elemento (v. gr., una bobina y un iman permanente) el cual proporciona unafuerza de balanceo opuesta a la fuerza de entrada.

Page 60: libro de instrumentación UTP

42 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Ignorando los efectos de la entrada modificadora por el momento, se tiene:

∆F = Fi− Fb

VO = kkA∆F (2.6.7)

Fb = kFVO

es decirVOkkA

= Fi − kFVO

de lo cual se obtiene

VO =kkA

1 + kFkkA(2.6.8)

Ecuación para la fuerza del transductor con realimentación negativa. Si la ganacia del amplifi-cador kA se hace grande, tal que sea satisfecha la condición

kFkkA À 1 (2.6.9)

entoncesVO ≈

1

kFFi (2.6.10)

Esto quiere decir que la salida del sistema depende solamente de la ganancia kF del elementode realimentación y es independiente de las ganancias k y kA de la trayectoria directa. Estosignifica que, suponiendo que se cumple la condición anterior, los cambios en k y kA debidosa entradas modificadoras y/o efectos no lineales, tienen efectos despreciables sobre VO. Estopuede confirmarse repitiendo el análisis anterior reemplazado k con k + kMuM , de lo cual seobtiene

VO =(k + kMuM)kA

1 + kF (k + kMuM)kAFIN (2.6.11)

la cual otra vez se reduce a

VOUT ≈FINkF

si kF (k + kMuM)kA À 1 (2.6.12)

Ahora, por supuesto, se debe asegurar que la ganacia kF del elemento de realimentación notenga cambios debidos a efectos no lineales o ambientales. Puesto que el amplificador entregamás de la potencia requerida, el elemento de realimentación puede diseñarse para baja capacidadde manejo de potencia, dando mayor linealidad y menor suceptibilidad a entradas ambientales.Dos dispositivos comunmente utilizados (transmisores de corriente), los cuales emplean esteprincipio se discutirán más adelante .

La rápida disminución de costo en los circuitos digitales integrados en los años recientes hasignificado que los microcomputadores estén siendo ahora muy usados como elementos proce-sadores de señal en sistemas de medida. Esto significa que ahora se pueda utilizar la técnica

Page 61: libro de instrumentación UTP

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 43

de estimación por computador del valor medido. Para este método se requiere un buenmodelo de los elementos del sistema. Anteriormente se vió que la salida de estado estacionarioθ de un elemento está dada en general por una ecuación de la forma:

θ = ku+ a+N(U) + kMuMu+ kuuI (efecamb)

Esta es la ecuación directa; aquí θ es la variable dependiente la cual está expresada en términosde las variables independientes u, uM , uI . Anteriormente se vió cómo la ecuación directa puedederivarse de un conjunto de datos obtenidos en un experimento de calibración.

Las características de estado estacionario de un elemento también se pueden representar poruna ecuación alternativa. Esta es la denominada ecuación inversa; aquí la señal de entradau es la variable dependiente y la salida θ y las entradas ambientales uI , uM son las variablesindependientes. La forma general de esta ecuación es

u = k θ + N (θ) + a+ k0MuMθ + k0Iu (2.6.13)

donde los valores de k0,N 0(), a0 etc., son completamente diferentes de los de la ecuación directa.Por ejemplo, las ecuaciones directa e inversa para una termocupla cobre—constantan (tipo T ),con unión de referencia a 0C son:

DirectaE = 3.845× 10−2T + 4.682× 10−5T 2 − 3.789× 10−8T 3 + 1.652× 10−11T 4mV

InversaT = 22.55E − 0.5973E2 + 2.064× 10−2E3 − 3.205× 10−4E4 C

donde E es la f.e.m de la termocupla y T la temperatura de la unión medida entre 0 y 400C.Ambas ecuaciones fueron derivadas usando un polinomio de mínimos cuadrados ajustado a losdatos de la norma BS 4937 [4]; para la ecuación directa, E es la variable dependiente y T lavariable independiente, mientras que para la ecuación inversa T es la variable dependiente yE la variable independiente. La ecuación directa es la más útil para estimación del error,mientras que la ecuación inversa es la más útil para reducción del error.

El uso de la ecuación inversa en estimación por computador del valor medido, se implementamejor en varias etapas. Con referencia a la Fig. 2.19, éstas son:

1. Tratar el sistema no compensado como un solo elemento. Usando el procedimiento decalibración explicado antes (o cualquier otro método de generación de datos) los parámetrosk0, a0, etc., en el modelo de ecuación inversa

u = k0u+N 0(u) + a0 + k0MuMu+ k0IuI

se pueden encontrar, representando el comportamiento total del sistema sin compensaciónEste procedimiento facilitará la identificación de las entradas ambientales uM , uI , (puedeser más de una de cada tipo).

Page 62: libro de instrumentación UTP

44 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

2. El sistema de compensación se puede conectar al estimador. Este consiste, en primer lu-gar, de un computador el cual almacena los parámetros modelados k0, a0, N 0(·) etc. Si loserrores debidos a las entradas ambientales se consideran significativos, entonces tambiénson necesarios los sensores ambientales para proporcionar al computador los valores esti-mados u0M , u0I de estas entradas. La salida U de un sistema sin compensación también sealmacena en el computador.

3. El computador entonces calcula un valor estimado inicial u0 de u, usando la ecuacióninversa

u0 = k0U +N 0(U) + a0 + k0MuMU + k0uuI

4. La presentación de los datos del elemento muestra entonces el valor medido θ el cualpodrá estar cerca de u0. En aplicaciones que no requieran alta precisión se puede terminarel proceso en esta etapa.

5. Si se requiere alta precisión, entonces puede ser posible, para perfeccionar el estimadorcalibrar el sistema completo. Los valores de la salida del sistema θ se miden para unrango de entradas estándar conocido, u y los correspondientes valores del error del sistemaε = θ − u calculado. Estos valores de error pueden ser debidos principalmente a efectosaleatorios pero pueden también contener una pequeña componente sistemática la cualpuede ser corregida.

6. Ahora se puede hacer un intento para ajustar el conjunto de datos (θi, εi), i = 1, 2, . . . , n,a una línea recta por mínimos cuadrados de la forma

ε = kθ + b (2.6.14)

donde b es cualquier error residual cero y k epecifica cualquier escala de error residual.

7. El coeficiente de correlación

r =

Pni=1 θiεiqPn

i=1 θ2i ×

Pni=1 ε

2i

(2.6.15)

entre ε y θ ahora podrá ser evaluado. Si la magnitud de r es mayor que 0.5, entonces hayuna correlación razonable entre los datos de ε y θ; esto significa que el error sistemáticode la ecuación

ε = θ − u (2.6.16)

está presente y se puede proceder al paso ocho para corregirlo. Si la magnitud de r esmenor de 0.5 entonces no hay correlación entre los datos de ε y θ, esto significa que loserrores ε son aleatorios y no se puede hacer corrección.

Page 63: libro de instrumentación UTP

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 45

8. Si es necesario, se puede usar la ecuación (2.6.14) para calcular un valor medido mejorado

θ0 = θ − ε = θ − (kθ + b)

El sistema de medida de desplazamiento de la Fig. 2.19 muestra este método. El sistema sincompensación consiste de un sensor de desplazamiento inductivo, un oscilador y un disparadorSchmitt. El sensor tiene una relación no lineal entre la inductancia L y el desplazamiento x, eloscilador tiene una relación no lineal entre la frecuencia f y la inductancia L. Esto significa quela ecuación inversa del modelo, relaciona el desplazamiemto x y la frecuencia f de la señal desalida del disparador Schmitt, y tiene la forma no lineal mostrada. El estimador consiste de uncontador de pulsos de 16 bits y un computador. El computador lee el estado del contador alprincipio y al final de un intervalo de tiempo fijo y así mide la frecuencia f de la señal de pulsos.El computador entonces calcula x de la ecuación inversa del modelo usando los coeficientes delmodelo almacenados en la memoria.

Page 64: libro de instrumentación UTP

46 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Medidas de entradadel medio ambiente

Valormedido

de datosPresentación

Estimado

ComputadorEstimador

Sistema sin compensaciónValorreal

Sistema sin compensación

No lineal No lineal

Sensorinductivo Oscilador

Desplazamientoverdadero Disparador

SchmittContadorde pulsos16 - bit

ComputadorDesplazamiento

medido

Estimador

θ

pulso/smm

0 a 65,535

Ecuación -264.1 + 0.3882 - 2.113 x 10 inversa del modelo +5.272 x 10 - 4.928 x 10 - 12

- 4

- 8

2

4

Figura 2.19: Estimación computacional del valor medido utilizando la ecuación del modeloinverso.

Page 65: libro de instrumentación UTP

Capítulo 3

Características dinámicas de lossistemas de medida

3.1 Introducción

Si la señal de entrada u de un elemento cambia de un valor a otro en forma súbita, entonces laseñal de salida θ no cambiará instantáneamente a su nuevo valor. Por ejemplo, si la temperaturade entrada de una termocupla cambia súbitamente de 25C a 100C, algún tiempo tardará encambiar el voltaje de salida de 1mV a 4mV . El modo en el cual un elemento responde a uncambio repentino se llama su característica dinámica, que es mejor comprendida usandouna función de transferencia G(s). La primera sección de este capítulo examina la dinámicade elementos típicos y deriva su respectiva función de transferencia. La siguiente secciónexamina cómo las señales estándar de prueba pueden ser usadas para identificar G(s) paraun elemento. Si la señal de entrada para un sistema de medida de varios elementos cambiarápidamente, entonces la forma de onda de la señal de salida del sistema es generalmente diferentede la de la señal de entrada. Se explicará más adelante cómo este error dinámico puedeser encontrado y finalmente se analizarán algunos métodos de compensación dinámica quepueden ser usados para minimizar errores.

3.2 Función de transferencia para elementos típicos del sistema

3.2.1 Elementos de primer orden

Un buen ejemplo para un elemento de primer orden puede ser un sensor de temperaura con unaseñal eléctrica de salida, v. gr., una termocupla o un termistor. El elemento desnudo (sin funda)se pone en un fluido (Fig. 3.1). Inicialmente en t = 0− (justo antes de t = 0), la temperaturadel sensor es igual a la temperatura del fluido, es decir, T (0−) = TF (0

−). Si la temperatura

47

Page 66: libro de instrumentación UTP

48 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Salidaθ

Figura 3.1: Sensor de temperatura en un fluido.

del fluido es repentinamente subida en t = 0, el sensor no está más en estado estacionario y sucomportamiento dinámico se describe por la ecuación de balance de calor:

Tasa de calor entrante−tasa de calor saliente = tasa de cambio del contenido decalor del sensor

Asumiendo que TF > T , entonces la tasa de calor saliente será cero, y la tasa del calorde entrada W será proporcional a la diferencia de temperatura (TF − T ). De conceptos detransferencia de calor se tiene:

W = UA(TF − T ) vatios (3.2.1)

donde U [W m−2 C−1] es el coeficiente de transferencia de calor global entre el fluido y elsensor, y A [m2] es el área efectiva de transferencia de calor. El incremento del contenido decalor del sensor es mC[T − T (0−)] [J ], donde m [kg] es la masa del sensor y C [Jkg−1 C−1] esel calor específico del material del sensor. Así, asumiendo que m y C son constantes:

tasa de incremento del contenido de calor en el sensor = mCd

dt[T − T (0−)] (3.2.2)

Definiendo ∆T = T − T (0−) y ∆TF = TF − TF (0−) como las desviaciones de las temperat-

uras de las condiciones iniciales en reposo, la ecuación diferencial que describe los cambios detemperatura del sensor es

UA(∆TF −∆T ) = mCd∆T

dt

es decir,mC

UA

d∆T

dt+∆T = ∆TF (3.2.3)

Esta es una ecuación diferencial lineal en la cual d∆T/dt y ∆T se multiplican por co-eficientes constantes; la ecuación es de primer orden porque d∆T/dt es el mayor derivador

Page 67: libro de instrumentación UTP

3.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA ELEMENTOS TÍPICOS DEL SISTEMA 49

presente. La cantidad mC/UA tiene dimensiones de tiempo:∙kg × J × kg−1 × C−1

W ×m−2 × C−1 ×m2=

J

W= s

¸y se le refiere como la constante de tiempo τ para el sistema. La ecuación diferencial es ahora

τd∆T

dt+∆T = ∆TF (3.2.4)

Aunque la ecuación diferencial anterior es una descripción adecuada de la dinámica delsensor, no es la representación más útil. La función de transferencia basada en la transformadade Laplace de la ecuación diferencial da un marco de trabajo más conveniente para estudiar ladinámica de un sistema de varios elementos. La transformada de Laplace f(s) de una funciónque varía en el tiempo esta definida por

f(s) =

Z ∞

0e−stf(t)dt (3.2.5)

donde s es una variable compleja de la forma s = σ+jω y j =√−1. En los textos de matemáticas

(v. gr., Kreyszig [16]) se encuentran tablas de transformada de Laplace para funciones estándarcomunes f(t). Con el fin de encontrar la función de transferencia para el sensor se debe encontrarla transformada de Laplace de la ecuación (3.2.4), obteniéndose

τ [s∆T −∆T (0−)] +∆T (s) = ∆TF (s) (3.2.6)

donde ∆T (0−) es la desviación de la temperatura en condiciones iniciales previas a t = 0. Pordefinición ∆T (0−) = 0, dando

τs∆T (s) +∆T (s) = ∆TF (s)

es decir,(τs+ 1)∆T (s) = ∆TF (s) (3.2.7)

De aquí se obtiene la función de transferencia para un elemento de primer orden como

G(s) =∆T (s)

∆TF (s)=

1

1 + τs(3.2.8)

La función de transferencia anterior sólo relaciona cambios en la temperatura del sensorrespecto de los cambios en la temperatura del fluido. La relación global entre los cambios en laseñal de salida del sensor θ y la temperatura del fluido es

∆θ(s)

∆TF (s)=∆θ

∆T

∆T (s)

∆TF (s)(3.2.9)

Page 68: libro de instrumentación UTP

50 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

donde ∆θ∆T es la sensibilidad en estado estacionario del sensor de temperatura. Para un

elemento ideal ∆θ∆T sería igual a la pendiente k de la línea recta ideal. Para elementos no

lineales, sujetos a pequeñas fluctuaciones de temperatura, se puede tomar ∆θ∆T = dθ

dT , como elelemento derivativo que será evaluado en la temperatura de reposo T (0−) alrededor de la cuallas fluctuaciones se presentan.

Ejemplo 1 Para una termocupla de cobre—constantan, encontrar la función de transferencia querelacione la fem inducida por cambios de temperatura alrededor de 100 C, con una constantede tiempo de 10 s.

Sol. Para pequeñas fluctuaciones de temperatura alrededor 100 C, ∆E∆T se encuentra eval-

uando dEdT a 100

C, usando la ecuación (2.2.13), con lo cual se obtiene

∆E

∆T= 46 μV C−1

Así, si la constante de tiempo de la termocupla es τ = 10 s, la relación dinámica global entrelos cambios en la fem y la temperatura del fluido es

∆E(s)

∆T (s)= 46

1

1 + 10s(3.2.10)

Δ Δθ

Figura 3.2: Modelo de un elemento para cálculo de la dinámica.

En el caso general de un elemento con características estáticas dadas por la ecuación (2.2.14),y las características dinámicas definidas por G(s), el efecto de cambios pequeños y rápidos en∆u se evalúan usando la Fig. 3.2, en la cual la sensibilidad en reposo (∂θ/∂u)u0 = k+ kMuM +(dN/du)u0 , y u0 es el valor en reposo de u alrededor del cual toman lugar las fluctuaciones.

3.2.2 Elementos de segundo orden

El sensor elástico mostrado en la Fig. 3.3 que convierte una fuerza de entrada F en un desplaza-miento de salida x, es un buen ejemplo de un elemento de segundo orden. El diagrama es un

Page 69: libro de instrumentación UTP

3.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA ELEMENTOS TÍPICOS DEL SISTEMA 51

Masa Resorte k

Amortiguador ν

kx

v x

Figura 3.3: Modelo masa—resorte—amortiguador para un sensor elástico de fuerza.

modelo conceptual de el elemento que incorpora una masa [m kg] una constante del resorte k[Nm−1], y un regulador de constante ν [Nsm−1].

El sistema está inicialmente en reposo en t = 0− así que la velocidad inicial x(0−) = 0 y laaceleración inicial x(0−) = 0. La fuerza inicial de entrada F (0−) es balanceada por la fuerzaelástica en el desplazamiento inicial x (0−), es decir

F¡0−¢= kx(0−) (3.2.11)

Si la fuerza de entrada es repentinamente incrementada a t = 0, entonces el elemento no seencuentra en estado de reposo y su comportamiento dinámico se describe por la segunda ley deNewton, es decir

fuerza resultante = masa×aceleración (3.2.12)

es decirF − kx− νx = mx (3.2.13)

ymx+ kx+ νx = F

Definiendo a ∆F y a ∆x como las desviaciones en F y en x de las condiciones de reposo delestado inicial,

∆F = F − F (0−), ∆x = x− x(0−)

∆x = x, ∆x = x (3.2.14)

La ecuación diferencial ahora se convierte en

m∆x+ ν∆x+ kx¡0−¢+ k∆x = F (0−) +∆F

Page 70: libro de instrumentación UTP

52 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

la cual, usando la ecuación (3.2.11), se reduce a

m∆x+ ν∆x+ k∆x = ∆F

es decir,m

k

d2∆x

dt2+

ν

k

d∆x

dt+∆x =

1

k∆F (3.2.15)

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden en la cual ∆x y sus derivadasse multiplican por coeficientes constantes y la máxima derivada presente es d2∆x/dt2. Si sedefine

Frecuencia natural ωn =

rk

mrad/s

ycoeficiente de amortiguación ζ =

ν

2√k ·m

(3.2.16)

entonces m/k = 1/ω2n, ν/k = 2ζ/ωn y la ecuación (3.2.15) se puede expresar en su formaestándar:

1

ω2n

d2∆x

dt2+2ζ

ωn

d∆x

dt+∆x =

1

k∆F (3.2.17)

Con el fin de encontrar la función de transferencia para el elemento, se requiere de la trans-formada de Laplace de la ecuación (3.2.17). Usando una tabla de transformadas se tiene que

1

ω2n[s2∆x(s)− s∆x(0−)−∆x(0−)] + 2ζ

ωn[s∆x(s)−∆x(0−)] +∆x(s) = 1

k∆F (s) (3.2.18)

Debido a que ∆x(0−) = x(0−) = 0 y ∆x(0−) = 0 por definición, la ecuación (3.2.18) sereduce a £

s2 + 2ζωns+ ω2n¤∆x(s) =

ω2nk∆F (s) (3.2.19)

Así∆x(s)

∆F (s)=1

kG(s)

donde 1/k = sensibilidad en estado estacionario K, y

G(s) =ω2n

s2 + 2ζωns+ ω2n(3.2.20)

La Fig 3.4 muestra un elemento eléctrico análogo, un circuito de la serie L-C-R. Las ecua-cioens correspondientes a esta red están dadas a continuación:

V = iR+q

C+ L

di

dt

Page 71: libro de instrumentación UTP

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO 53

i>

+

-

V L

C

R

Figura 3.4: Circuito serie RLC.

donde

i =dq

dt

así

Ld2q

dt2+R

dq

dt+1

Cq = V (3.2.21)

od2q

dt2+

R

L

dq

dt+

1

LCq =

1

LV (3.2.22)

Comparando la ecuación (3.2.13) con la ecuación (3.2.22) se ve que q es análogo a x, V esanálogo a F , y, L, R y 1/C son análogos a m, λ y k respectivamente. El circuito eléctricotambién está descrito por la función de transferencia de segundo orden anterior, con

ωn =1√LC

(3.2.23)

y

ζ =R

2

rC

L(3.2.24)

3.3 Identificación de la dinámica de un elemento

Con el fin de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento, se deberán usar señalesde excitación normalizadas. Las dos señales de excitación más comunes son el escalón y la ondaseno. En esta sección se examina la respuesta de los elementos de primer y segundo orden antedichas señales.

Page 72: libro de instrumentación UTP

54 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

3.3.1 Respuesta a un escalón de los elementos de primero y de segundo orden

La transformada de Laplace para un escalón de altura unitaria u(t) es

Lu(t) = 1

s(3.3.1)

Así, si un elemento de primer orden con G(s) = K/(1 + τs) está sujeto a una señal de entradaen escalón, la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento será

fo(s) = G(s)fi(s) =K

s(1 + τs)(3.3.2)

Expresando la ecuación (3.3.2) en fracciones parciales, se tiene

fo(s) = K1

(1 + τs)s= K

∙A

(1 + τs)+

B

s

¸Igualando los coeficientes de las constantes se obtiene B = 1, e igualando los coeficientes de

s se llega a 0 = A+Bτ, es decir, A = −τ .Así

fo(s) = K

∙1

s− τ

(1 + τs)

¸= K

"1

s− 1

(s+ 1τ )

#(3.3.3)

Realizando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3.3.3) se llega a

fo(t) = K

∙u(t)− exp

µ−tτ

¶¸y puesto que u(t) = 1 para t > 0

fo(t) = K

∙1− exp

µ−tτ

¶¸(3.3.4)

La cual es la respuesta de un elemento de primer orden a un escalón unitario. La forma dela respuesta se muestra en la Fig 3.5, para K = 1.

Ejemplo 2 Considérese el sensor de temperatura de la primera sección de este capítulo. Estu-diar la respuesta temporal del sistema ante un escalón unitario, asumiendo estados inicial de 25C y final de 100 C.

Sol. Inicialmente la temperatura del sensor es igual a la del fluido, es decir,

T (0−) = TF (0−) = 25C

Page 73: libro de instrumentación UTP

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO 55

7.552.50

fo(t)fo(t)

Figura 3.5: Respuesta a un escalón de un sistema de primer orden: Rojo, τ = 2, negro, τ = 1,azul, τ = 0.5,

Si TF es repentinamente elevada a 100C, entonces esto representa un cambio de un escalón∆TF de altura 75C. El cambio correspondiente en el sensor de temperatura está dado por∆T = 75(1− e−t/τ ) y la temperatura real T del sensor en el tiempo t estará dada por

T (t) = 25 + 75(1− e−t/τ ) (3.3.5)

Así, en el tiempo t = τ , T = 25 + 75 × 0.63 = 72.3C. Midiendo el tiempo tomado por Tpara subir a 72.3C se puede encontrar la constante τ del elemento como se observa en la Fig.3.6.

Si un segundo elemento con una función de transferencia

G(s) =ω2n

s2 + 2ζωns+ ω2n

está sujeto a una señal de entrada de un escalón, entonces la transformada de Laplace de laseñal de salida del elemento es

fo(s) =1

s

ω2ns2 + 2ζωns+ ω2n

(3.3.6)

Expresando la ecuación (3.3.6) en fracciones parciales se tiene

fo(s) =As+B³

1ω2ns2 + 2ζ

ωns+ 1

´ + C

s

Page 74: libro de instrumentación UTP

56 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

53.752.51.250

100

75

50

25

0

x

y

x

y

Figura 3.6: Determinación de τ para un sistema de primer orden.

donde, después de hacer cálculos, A = −1/ω2n, B = −2ζ/ωn y C = 1. Aplicando los valoresanteriores, la ecuación queda

fo(s) =1

s− (s+ 2ζωn)

s2 + 2ζωns+ ω2n(3.3.7)

=1

s− (s+ 2ζωn)

(s+ ζωn)2 + ω2n(1− ζ2)

=1

s− (s+ ζωn)

(s+ ζωn)2 + ω2n(1− ζ2)− ζωn

(s+ ζωn)2 + ω2n(1− ζ2)

Hay tres casos a considerar dependiendo si ζ es mayor que 1, igual a 1, o menor que 1.

Caso 1 Si ζ = 1 —Sistema con amortiguación crítica, entonces

fo(s) =1

s− 1

s+ ωn− ωn(s+ ωn)2

(3.3.8)

Realizando la transformada inversa de Laplace, se tiene

fo(t) = 1− e−ωnt(1 + ωnt) (3.3.9)

La cual representa la respuesta de un elemento de segundo orden a un escalón unitario conamortiguación crítica ζ = 1.

Page 75: libro de instrumentación UTP

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO 57

Caso 2 Si ζ < 1 —Sistema subamortiguado, entonces

fo(t) = 1− e−ζωnt

⎡⎣cosωnq(1− ζ2)t+ζq

(1− ζ2)sinωn

q(1− ζ2)t

⎤⎦ (3.3.10)

La cual representa la respuesta de un elemento de segundo orden a un escalón con subamor-tiguación.

Caso 3 Si ζ > 1 —Sistema sobreamortiguado, entonces

fo(t) = 1− e−ζωnt

⎡⎣coshωnq(ζ2 − 1)t+ ζq(ζ2 − 1)

sinhωn

q(ζ2 − 1)t

⎤⎦ (3.3.11)

La cual representa la respuesta a un escalón por un elemento de segundo orden con so-breamortiguación.

1512.5107.552.50

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.7: Respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden: rojo, ζ < 1, negro, ζ = 1,azul, ζ > 1.

La forma de las respuestas normalizadas se muestran en la Fig. 3.7.

Page 76: libro de instrumentación UTP

58 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Ejemplo 3 Considérese la respuesta a un escalón de un sensor de fuerza con una rigidez dek = 103Nm−1, masa m = 0.1kg y constante de amortiguación ν = 10Nsm−1.

Sol. La sensibilidad en estado de reposo es

S = 1/k = 10−3mN−1

la frecuencia naturalωn =

pk/m = 102 rads−1

y la constante de amortiguaciónζ =

ν

2

√k ·m = 0.5

Inicialmente en t = 0−, una fuerza en reposo F (0−) = 10N causa un desplazamiento en reposode (1/103) × 10 metros, es decir, 10mm. Supóngase que en t = 0 la fuerza se incrementarepentinamente de 10 a 12 N, es decir, hay un cambio en escalón ∆F de 2 N . El cambio ∆x(t)en el desplazamiento se encuentra usando

∆x(t) = S∆Fu(t)fo(t) (3.3.12)

es decir,

∆x(t) =1

103× 2× [1− e−50t(cos 86.6t+ 0.58 sin 86.6t)] [m]

= 2× [1− e−50t(cos 86.6t+ 0.58 sin 86.6t)] [mm] (3.3.13)

Eventualmente, cuando t es grande ∆x tiende a 2 mm, es decir, x se establece a un nuevovalor en estado estacionario de 12 mm.

3.3.2 Respuesta sinusoidal de elementos de primero y segundo orden

La transformada de Laplace de una onda senoidal está dada por f(s) = ω/(s2 + ω2). Así si unaonda seno de amplitud u es la entrada a un elemento de primer orden, entonces la transformadade Laplace de la señal de salida es

fo(s) =1

1 + τs

s2 + ω2(3.3.14)

Expresando la ecuación (3.3.14) en fracciones parciales se obtiene

fo(s) =ωτ2u

1 + τ2ω21

1 + τs+

u

1 + τ2ω2−ωτs+ ω

s2 + ω2

=ωτ2u

1 + τ2ω21

1 + τs+

u√1 + τ2ω2

ω cosφ+ s sinφ

s2 + ω2

Page 77: libro de instrumentación UTP

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO 59

donde

cosφ =1√

1 + τ2ω2, sinφ =

−ωτ√1 + τ2ω2

(3.3.15)

Realizando la transformada inversa, se tiene

fo(t) =ωτ2u

1 + ω2τ2e−t/τ +

u√1 + ω2τ2

sin(ωt+ φ) (3.3.16)

2520151050

0.2

0.15

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

x

y

x

y

Figura 3.8: Respuesta ante una excitación senoidal de un sistema de primer orden.

En un experimento de prueba con onda seno, se espera hasta que el término transitorio hayadecaído a cero y entonces se toma la medida de la señal senoidal de estado estacionario:

fo(t) =u√

1 + τ2ω2sin(ωt+ φ) (3.3.17)

De las ecuaciones anteriores se puede ver que cuando ωτ = 1, es decir ω = 1/τ , la razón deamplitud = 1/

√2 y la diferencia de fase φ = −45. Estos resultados permiten que el valor de τ

sea encontrado mediante frecuencias experimentales (ver Fig. 3.8).Los resultados de arriba pueden ser generalizados para un elemento con una sensibi-lidad de

estado estacionario K (o ∂θ/∂u) y función de transferencia G(s), sujeta a una señal de entradasinusoidal u = u sinωt. En el estado estacionario se pueden hacer cuatro suposiciones acerca dela señal de salida:

1. θ es también una onda seno;

2. la frecuencia de θ es también ω

3. la amplitud de θ es θ = K |G(jω)| u;

Page 78: libro de instrumentación UTP

60 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

4. la diferencia de fase entre θ y u es φ = argG(jω).

Usando las anteriores reglas, rápidamente se pueden encontrar las relaciones de magnitud yde fase para un elemento de segundo orden con

G(s) =ω2n

s2 + 2ζωns+ ω2n

De aquí se tiene

G(jω) =ω2n

(jω)2 + 2ζωn(jω) + ω2n

tal que

Magnitud : |G(jω)| = 1s∙³1− ω2

ω2n

´2+ 4ζ2 ω

2

ω2n

¸Diferencia de fase : − tan−1

∙2ζω/ωn1− ω2/ω2n

¸(3.3.18)

2.7181.64910.60650.36790.22310.1353

4.482

2.718

1.649

1

0.6065

0.3679

0.2231

0.1353

x

y

x

y

Figura 3.9: Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden: rojo,ζ = 0.1, azul, ζ = 0.3, negro, ζ = 0.7,verde, ζ = 1.0, púrpura ζ = 2.

Estas características son mostradas gráficamente en la Fig. 3.9; la razón de amplitud y lafase son críticamente dependientes del valor de ζ.

Page 79: libro de instrumentación UTP

3.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA 61

Nótese que para ζ < 0.7, |G(jω)| tiene un valor máximo el cual es más grande que la unidad.Este valor máximo está dado por

|G(jω)|MAX =1

2ζp1− ζ2

y ocurre en la frecuencia de resonancia

ωR = ωn

q1− 2ζ2

³ζ < 1/

√2´

Se pueden encontrar ωR, ζ y ωn midiendo |G(jω)|MAX . Una alternativa para graficar |G(jω)|versus ω es un gráfico del número de decibeles N dB vs ω, donde

N = 20 log10 |G(jω)| (3.3.19)

Así, si |G(jω)| = 1, N = 0 dB; si |G(jω)| = 10, N = +20 dB; y si |G(jω)| = 0.1, N = −20 dB.

3.4 Errores dinámicos en sistemas de medida

La Fig. 3.10 muestra un sistema de medida completo el cual consiste de n elementos. Cadaelemento i tiene un estado estable ideal y características dinámicas lineales y puede por lotanto, ser representado por una constante de sensibilidad de estado estable Ki y una función detransferencia Gi(s).

Entrada: señal real

Δ θ11θ

1

Δ Δ 1

1

1

Δ Δ

i

θΔ

22

θΔΔ θ 2 2

2

i

Δ θ

Salida , es decir,señal medida

Figura 3.10: Sistema de medida con dinámica.

Se comienza por asumir que la sensibilidad de estado estacionario k1, k2, . . . , ki, . . . kn parael sistema completo es igual a 1, es decir, el sistema no tiene error de estado estacionario. Lafunción de transferencia G(s) es el producto de las funciones de transferencia de los elementosindividuales, es decir

∆θ(s)

∆u(s)= G(s) = G1(s)G2(s) · · ·Gi(s) · · ·Gn(s) (3.4.1)

Page 80: libro de instrumentación UTP

62 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

En principio se puede usar la ecuación (3.4.1) para encontrar la señal de salida del sistema ∆θ(t)co-rrespondiente a variaciones en el tiempo de la señal de entrada ∆u(t). Primero se encuentrala transformada de Laplace ∆u(s) de ∆u(t); entonces, aplicando la transformada de Laplace, laseñal de salida será

∆θ(s) = G(s)∆u(s) (3.4.2)

Expresando ∆θ(s) en fracciones parciales, y usando tablas estándar de las transformadas deLaplace, se puede encontrar la señal correspondiente en el tiempo ∆θ(t). Expresando estomatemáticamente:

∆θ(t) = L−1[G(s)∆u(s)] (3.4.3)

donde L−1 denota la transformada inversa de Laplace. El error dinámico ε(t) del sistema demedida es la diferencia entre la señal medida y la señal verdadera, es decir, la diferencia entre∆θ(t) y ∆u(t)

ε(t) = ∆θ(t)−∆u(t) (3.4.4)

Usando (3.4.3) se tieneε(t) = L−1[G(s)∆u(s)]−∆u(t) (3.4.5)

El sistema simple de medida de temperatura de la Fig. 3.11, provee un buen ejemplo para

40 x 10 f. e. m.

Termocupla

1 + 10

Δ- 6Δ

Temperatura real

Δ25 10

Registrador

-5 2voltios

Amplificador

1 + 10 s- 4 2.5x 10 s -2+ 10 s + 1

Temperatura medida

Δ3

Figura 3.11: Sistema de medida de temperatura con dinámica.

identificar los errores dinámicos. La termocupla tiene una constante de tiempo de 10 s, elamplificador una constante de tiempo de 10−4 s y el contador es un elemento de segundo ordencon ωn = 200rad/s y ζ = 1.0. La sensibilidad completa de estado estacionario del sistema es launidad.

Se puede ahora calcular el error dinámico del sistema para una entrada escalón de +20C,es decir, ∆TT (t) = 20u(t) y ∆TT (s) = 20× 1/s. Así, la transformada de Laplace de la señal desalida es

∆TM(s) = 201

s

1

1 + 10s

1

1 + 10−4s

1¡1 + 1

200s¢2

= 20

∙1

s− A

s+ 0.1− B

s+ 10−4− Cs+D

(s+ 200)2

¸(3.4.6)

Page 81: libro de instrumentación UTP

3.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA 63

De aquí se obtiene

∆TM(t) = 20hu(t)−Ae−0.1t +Be−10

4t −Ee−200t(1 + 200t)i

y el error dinámico

ε(t) = ∆TM(t)−∆TT (t)= −20

hAe−0.1t +Be−10

4t +Ee−200t(1 + 200t)i

(3.4.7)

donde el signo negativo indica una lectura muy baja. El término Be−104t decae a cero después

de 5 × 10−4s, y el término Ee−200t(1 + 200t) decae a cero después de unos 25ms. El términoAe−0.1t, el cual corresponde a la constante de tiempo 10s de la termocupla, toma cerca de 50spara decaer a cero y tiene el máximo efecto sobre el error dinámico.

ω

Entrada

θ θ Salida

ω ϕ

Figura 3.12: Respuesta de un sistema con dinámica lineal.

Se pueden usar las reglas desarrolladas antes para encontrar el error dinámico de un sistemacon una función de transferencia G(s) sujeta a una entrada sinusoidal ∆u(t) = u sinωt. De laFig. 3.12 se tiene

∆θ(t) = |G(jω)| u sen(ωt+ φ)

dandoε(t) = u [|G(jω)| sen(ωt+ φ)− senωt] (3.4.8)

donde φ = argG(jω). Supóngase que el anterior sistema de medida de temperatura está mi-diendo una variación sinusoidal de temperatura de amplitud TT = 20C y período T = 6s, esdecir de frecuencia angular ω = 2π/T ≈ 1.0 rad s−1. La respuesta frecuencial G(jω) es

G(jω) =1

(1 + 10jω)(1 + 10−4jω)(1 + 10−2jω + 2.5× 10−5(jω)2) (3.4.9)

tal que en ω = 1

|G(jω)|ω=1 =1p

(1 + 100)(1 + 10−8)[(1− 2.5× 10−5)2 + 10−4]≈ 0.10 (3.4.10)

Page 82: libro de instrumentación UTP

64 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

yarg |G(jω)|ω=1 ≈ 0− tan−1(10)− tan−1(10−4)− tan−1(10−2) ≈ −85

Se puede observar, para las anteriores ecuaciones, que los valores de |G(jω)| y arg |G(jω)| enω = 1 están determinados principalmente por la constante de tiempo de 10s. Las característicasdinámicas de los otros elementos solamente estarán afectando el funcionamiento del sistema afrecuencias altas. Ya que TT (t) = 20 sen t y TM(t) = 0.1× 20sen(t− 85

), el error es

ε(t) = 20(0.1sen(t− 85)− sen t)

Nótese que en el caso de una entrada sinusoidal, la salida también registrará una onda seno, esdecir, la forma de onda de la señal es invariante aun cuando haya una reducción en amplitudy un cambio de fase.

En la práctica la señal de entrada para un sistema de medida es más probable que seaperiódica en lugar de una simple onda seno. Una señal periódica es aquella que se repite enintervalos iguales de tiempo T , es decir, f(T ) = f(t + T ) = f(t + 2T ), etc., donde T es elperíodo. Un ejemplo de una señal periódica medida es la variación de la temperatura interna deuna máquina diesel; otro es la vibración de la cubierta de un compresor centrífugo [4]. Además,para el cálculo de los errores dinámicos para señales periódicas, se necesita usar análisis deFourier. Cualquier señal periódica f(t) con período T , puede ser representada como una seriede ondas seno o coseno; éstas tienen frecuencias las cuales son armónicas de la frecuenciafundamental ω1 = 2π/T rad s−1, es decir,

f(t) = a0 +∞Xn=1

an cosnω1t+∞Xn=1

bnsennω1t (3.4.11)

donde

an =2

T

Z +T/2

−T/2f(t) cosnω1tdt

bn =2

T

Z +T/2

−T/2f(t)sennω1tdt (3.4.12)

ao =1

T

Z +T/2

−T/2f(t)dt

Si f(t) = ∆u(t), donde ∆u(t) es la variación de la señal de entrada medida u(t), para el estadoestacionario o valor d.c. de u0, entonces a0 = 0. Si también se asume que f(t) es impar, es decirf(t) = −f(−t), entonces an = 0 para todo n, es decir, hay solamente términos seno presentesen la serie. La señal de entrada del sistema está dada por

∆u(t) =∞Xn=1

unsen nω1t (3.4.13)

Page 83: libro de instrumentación UTP

3.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA 65

donde un = bn es la amplitud del n—ésimo armónico a la frecuencia nω1. Con el fin de encontrar∆θ(t), primero supóngase que solamente el n—ésimo armónico unsen nω1t es la entrada parael sistema. De la Fig. 3.12, la correspondiente señal de salida es un |G(jnω1)| sen(nω1t + φn)donde φn = argG(jnω1). Ahora se requiere usar el principio de superposición, el cual es unapropiedad básica de los sistemas lineales (es decir, sistemas descritos por ecuaciones diferencialeslineales). Esto puede establecerse como sigue:

Si una entrada u1(t) produce una salida θ1(t) y una entrada u2(t) produce una salida θ2(t),entonces una entrada u1(t) + u2(t) producirá una salida θ1(t)+ θ2(t), siempre que el sistemasea lineal. Esto significa que la señal total de entrada es la suma de muchas formas de onda(ecuación 3.4.13), entonces la señal total de salida es la suma de las respuestas a cada onda seno,es decir

∆θ(t) =∞Xn=1

un |G(jnω1)| sen (nω1t+ φn) (3.4.14)

El error dinámico del sistema con señal de entrada periódica es

∆ε(t) =∞Xn=1

un [|G(jnω1)| sen (nω1t+ φn)− sen nω1t] (3.4.15)

Ejemplo 4 Supóngase que la entrada al sistema de medida de temperatura es una onda cuadradade amplitud 20

C y período T = 6s (es decir, ω1 = 2π/T ≈ 1rads−1).

La serie de Fourier para la señal de entrada es

∆TT (t) =80

π[sen t+

1

3sen 3t+

1

5sen 5t+

1

7sen 7t+ · · · ] (3.4.16)

La Fig. 3.13 muestra las relaciones amplitud—frecuencia y fase—frecuencia para una temper-atura de entrada; éstas definen el espectro de frecuencia de la señal. El espectro consiste deun número de líneas a frecuencias ω1, 3ω1, 5ω1, etc., de longitud decreciente para representarlas pequeñas amplitudes de los armónicos superiores. En casos prácticos se puede terminar otruncar la serie en un armónico donde la amplitud es despreciable, en este caso se escogió n = 7.Además para encontrar la señal de salida, es decir, la forma de onda registrada, se necesitaevaluar la magnitud y el argumento de G(jω) en ω = 1, 3, 5, 7 rads−1.

De nuevo el valor anterior está determinado principalmente por la constante de tiempo delorden de 10s; la frecuencia alta de la señal ω = 7 aún está bajo la frecuencia natural del contadorωn = 200. La señal de salida del sistema es

∆TM(t) =80

π[0.100sen(t− 85) + 0.011sen(3t− 90) (3.4.17)

+0.004sen(5t− 92) + 0.002sen(7t− 93)] (3.4.18)

Nótese que en la señal de salida, las amplitudes del 3, 5y 7

armónico han sido relativamente

reducidas a la amplitud de la frecuencia fundamental. El contador de forma de onda tiene por lo

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66 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Amplitud80π 25.5

0 1 3 5 7 ω -1

Espectro de frecuencia dela temperatura de entrada

0 ω

0.1

0.01-80º

-90º

-100º

1 3 5 7

+20

-20

0 3 6

Forma de la onda de tiempode la temperatura de entrada

ωRelación deamplitud

Diferenciade fase

ωarg

Características de la respuestade la frecuencia en lossistemas de medida

Δ

Δ

+2

-2 0 3 6

2.6

0 -80º

-90º

-100ºForma de la onda de tiempode la temperatura de salida(registrada)

Espectro de frecuencia dela temperatura de salida (registrada)

ω

ω

Faseϕ º

Figura 3.13: Cálculo de errores dinámicos con una señal de entrada periódica.

tanto una forma diferente de la señal de entrada así como también ha sido reducida en amplitudy cambiada en fase.

Las ideas anteriores pueden ser extendidas para calcular el error dinámico para señales deentrada aleatorias. Las señales aleatorias puede ser representadas por espectros continuos defrecuencia.

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3.5. TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DINÁMICA 67

3.5 Técnicas de compensación dinámica

De la ecuación (3.4.15) se nota que además para tener E(t) = 0 para una señal periódica, sedeben obedecer las siguientes condiciones:

|G(jω1)| = |G(j2ω1)| = · · · = |G(jnω1)| = · · · = |G(jmω1)| = 1 (3.5.1)

argG(jω1) = argG(j2ω1) = · · · = argG(jnω1) = · · · argG(jmω1) = 0

donde m es el orden del armónico superior más significativo. Para una señal aleatoria con unespectro de frecuencia continuo que contiene frecuencias entre 0 y ωMAX , se requiere:

|G(jω1)| = 1 y argG(jω1) = 0 para 0 < ω 6 ωMAX (3.5.2)

Las condiciones anteriores representan un ideal teórico el cual será díficil de realizar en la prác-tica. En un criterio más práctico se limita la variación en |G(jω)| a un pequeño porcentaje delas frecuencias presentes de la señal. Por ejemplo, la condición:

0.98 < |G(jω)| < 1.02 para 0 < ω 6 ωMAX (3.5.3)

asegura que el error dinámico está limitado a ≈ ±2 por ciento para una señal que contengafrecuencias mayores a

ωMAX

2πHz.

Otro criterio comunmente usado es el del ancho de banda. El ancho de banda de unelemento o sistema es el rango de frecuencias para las cuales |G(jω)| es mayor que 1/

√2. Puesto

que, sin embargo, hay un 30 % de reducción en |G(jω)| en ωB,el ancho de banda no es un criterioparticularmente usado para sistemas completos de medida.

El ancho de banda se usa comunmente en la determinación de la respuesta en frecuencia delos amplificadores; una reducción en |G(jω)| desde 1 hasta 1/

√2 es equivalente a un cambio

en decibeles de N = 20 log(1/√2) = −3.0dB. Un elemento de primer orden tiene un ancho de

banda entre 0 y1

τrad s−1.

Si en un sistema no se pueden encontrar los límites especificados del error dinámico ε(t); esdecir, la función de transferencia del sistema G(s) no satisface una condición tal como (3.5.3),entonces el primer paso es identificar cuales elementos en el sistema dominan el comportamientodinámico. En el sistema de medida de temperatura de la sección anterior, el error dinámico sedebe casi totalmente a la constante de tiempo 10s de la termocupla.

Teniendo identificados los elementos dominantes del sistema, el método más obvio de mejo-ramiento de la respuesta dinámica es el de diseño intrínseco. En el caso del sensor de tem-peratura de primer orden con τ = mC/UA, τ puede hacerse mínimo, minimizando la razónmasa/área m/A —por ejemplo, usando un termistor en la forma de lámina delgada.

En el caso de de un sensor de fuerza de segundo orden con ωn =pk/m, ωn puede hacerse

máxima maximizando k/m, es decir, usando alta rigidez k y baja masa m. Sin embargo, al

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68 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Figura 3.14: Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden.

incrementar k, se reduce la sensibilidad de estado estacionario K = 1/k. De la respuesta alescalón en los sistemas de segundo orden y la gráfica de la respuesta en frecuencia se ve que elvalor óptimo de la razón de amortiguación ζ está alrededor de 0.7. Este valor asegura un tiempode establecimiento mínimo para la respuesta al escalón y |G(jω)| se acerca a la unidad para larespuesta en frecuencia (respuesta plana en la banda pasante) [20].

Otro método posible es el de compensación dinámica de lazo abierto (Fig. 3.15). Dadoun elemento sin compensación o sistema Gu(s), se introduce un elemento de compensación Gc(s)en el sistema, tal que la función de transferencia total G(s) = Gu(s)Gc(s) satisfaga la condiciónrequerida (por ejemplo la ecuación (3.5.3)). Así, si se emplea un circuito de adelanto—atrazocon una termocupla 3.15, la constante de tiempo total se reduce a τ2 de modo que |G(jω)| seacerque a la unidad sobre un rango más ancho de frecuencias. El principal problema con estemétodo es que τ puede cambiar con el coeficiente de transferencia de calor U , reduciendo así laefectividad de la compensación.

Otro método consiste en incorporar el elemento a ser compensado en un sistema de lazocerrado con retroalimentación negativa de alta ganancia. Un ejemplo es el acelerómetrode lazo cerrado mostrado en forma de esquemática y diagrama de bloques en la Fig. 3.16.

La aceleración aplicada a produce una fuerza de inercia ma en la masa sísmica m. Ésta seequilibra con la fuerza que el imán permanente ejerce sobre la corriente de realimentación de labobina. Cualquier desbalance de fuerzas se detecta por el elemento elástico de fuerza con lo cualse produce un desplazamiento el cual se detecta con el sensor de desplazamiento potenciométrico.La tensión de salida del potenciómetro se amplifica produciendo una corriente de salida la cual

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3.5. TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DINÁMICA 69

Elementono compensado de compensación

Elemento

Termocupla Circuito

1 1 + τ 1 + τ

1 + τ12 τ1 + 2

1

de adelanto y atraso

Figura 3.15: Compensación dinámica en lazo abierto.

se transfiere a la bobina de realimentación a través de un resistor normalizado para generar latensión de salida.

Analizando el diagrama de bloques se encuentra que la función de transferencia total delsistema es

∆V (s)

∆a(s)=

mR

KF.

1

kKAKDKF

1ωan

s2 + 2ζωn

kKAKDKF

s+³1 + k

KAKDKF

´ (3.5.4)

Si KA se hace suficientemente grande para que KAKDKF/k À 1, entonces la función de trans-ferencia del sistema puede ser expresada en la forma

∆V (s)

∆a(s)=

Ksω2ns

s2 + 2ζsωnss+ ω2ns

donde la sensibilidad de estado estacionario del sistema es

Ks =mR

KF

la frecuencia natural del sistema

ωns = ωn

rKAKDKF

k

y la razón de amortiguamiento del sistema

ζs = ζ

rk

KAKDKF

Se ve que la frecuencia natural del sistema ωns es ahora mucho mayor que la del elemento elásticode fuerza. La razón de amortiguamiento del sistema ζs es mucho menor que ζ, pero haciendo ζgrande puede obtenerse.un valor de ζs ≈ 0.7. Además la sensibilidad de estado estacionario delsistema depende solamente de m,KF y R la cual puede ser constante en un alto grado.

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70 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Imán

Bobina

MasaSísmica

FuerzaElectro -magnética

Sensor defuerza elástica

Cápsulaν

InerciaFuerza de Fuerza no

balanceada

desplazamientoSensor de

potenciométrico

Resistornormalizado

Bobinae imán

Figura 3.16: Esquema y diagrama de bloques de un acelerómetro en lazo cerrado.

3.6 Determinación experimental de los parámetros de un sis-tema de medida

Aunque el análisis teórico de los instrumentos es vital para revelar las relaciones básicas involu-cradas en la operación de un dispositivo, rara vez es suficientemente preciso para proporcionarvalores numéricos útiles a parámetros críticos tales como sensibilidad, constante de tiempo, fre-cuencia natural, etc. Ya se ha discutido la calibración estática; aquí se tratarán los métodospara determinar experimentalmente las características dinámicas [11].

Para instrumentos de orden cero, la respuesta es instantánea de modo que no existen carac-terísticas dinámicas. El único parámetro a ser determinado es la sensibilidad estática K, la cualse encuentra por calibración estática.

Para instrumentos de primer orden, la sensibilidad estática K también se encuentra porcalibración estática. Hay solamente un parámetro correspondiente a la respuesta dinámica, laconstante de tiempo τ y ésta puede encontrarse por varios métodos. Un método común es aplicaruna entrada escalón y medir τ como el tiempo requerido para llegar al 63.2% del valor final.Este método está influido por imprecisiones en la determinación del punto t = 0 y tampoco dauna prueba de si realmente el instrumento es de primer orden. Existe un método mejorado el

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3.6. DETERMINACIÓN EXPERIMENTALDE LOS PARÁMETROS DEUN SISTEMADEMEDIDA71

107.552.50

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 3.17: Respuesta normalizada a un escalón.

cual usa los datos de prueba de una función escalón redibujados en forma semilogarítmica a finde obtener un mejor estimativo de τ y chequear en conformidad una respuesta verdadera deprimer orden. Este método se plantea como sigue. De la ecuación (3.3.4) se puede escribir

θ

K= 1− e−

tτ (3.6.1)

la cual se encuentra graficada en la Fig. 3.17. De aquí se obtiene

1− θ

K= e−

tτ (3.6.2)

Ahora se define

ξ , lnµ1− θ

K

¶= − t

τ(3.6.3)

y entoncesdξ

dt= −1

τ(3.6.4)

Así, si se grafica ξ vs t, se obtiene una linea recta cuya pendiente numéricamente es −1/τ . LaFig.(3.18) ilustra el procedimiento. Este da un valor más preciso de τ puesto se que usa la mejorlínea a través de todos los puntos de datos en lugar de sólo dos puntos, como en el método del63.2%. Más aún, si los puntos de datos caen cerca de la línea recta, esto asegura que el instru-mento se comporta como del tipo de primer orden. Si los datos se desvían considerablemente dela línea recta se entendería que el instrumento no es de primer orden y un valor de τ obtenidopor el método del 63.2% sería muy engañoso.

Una verificación (o refutación) aún más fuerte de las características dinámicas de primerorden es disponible de la prueba de respuesta frecuencial, aunque a considerable costo de tiempo

Page 90: libro de instrumentación UTP

72 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

107.552.500

-2.5

-5

-7.5

-10

x

y

x

y

Figura 3.18: Pueba de la función escalón para un sistema de primer orden.

y dinero si el sistema no es completamente eléctrico, puesto que los generadores sinusoidalesno eléctricos no son ni comunes ni baratos. Si se dispone del equipo, el sistema es sujeto aentradas sinusoidales sobre un amplio rango de frecuencias y tanto la entrada como la salida sonregistradas. La razón de amplitud y ángulo de fase se grafican sobre escalas logarítmicas. Si elsistema es verdaderamente de primer orden, la razón de amplitud siguen las típicas asíntotaspara bajas y altas frecuencias (pendiente cero y −20 dB/decada) y el ángulo de fase tiendeasintóticamente a −90. Si estas características están presentes, el valor numérico de τ seencuentra determinando ω en el punto de quiebre y usando τ = 1/ωb (ver Fig. 3.19). Lasdesviaciones de las anteriores, características de amplitud y fase indican un comportamientodiferente al de un primer orden.

Para sistemas de segundo orden, K se encuentra por calibración estática y ζ y ωn se puedenobtener de diferentes maneras a través de pruebas sobre funciones en escalón o respuesta frecuen-cial. La Fig. 3.20(a) muestra un respuesta típica a un escalón para un sistema subamortiguadode segundo orden Los valores de ζ y ωn se pueden encontrar de las relaciones

ζ =

vuuut 1∙π

ln(a/A)

¸2+ 1

(3.6.5)

ωn =2π

Tp1− ζ2

(3.6.6)

Cuando un sistema está ligeramente amortiguado, cualquier entrada transitoria rápida produciráuna respuesta similar a la de la Fig. 3.20(b). Entonces ζ se puede aproximar a

ζ ≈ ln(x1/xn)2πn

(3.6.7)

Page 91: libro de instrumentación UTP

3.6. DETERMINACIÓN EXPERIMENTALDE LOS PARÁMETROS DEUN SISTEMADEMEDIDA73

0

φ

-45º

-90º

ωlog ω

b = 1τ

-20 dB / década

Figura 3.19: Prueba de respuesta frecuencial de un sistema de primer orden.

Esta aproximación supone quep1− ζ2 ≈ 1.0, la cual es muy precisa cuando ζ < 0.1, y de nuevo

ωn.puede encontrarse de la ecuación (3.6.6). Si al aplicar la ecuación (3.6.6), se presentan muchosciclos de oscilación en el registro, es más preciso determinar el período T como el promedio detantos ciclos distintos como sean posibles, en lugar de uno solo. Si un sistema es estrictamentelineal y de segundo orden, el valor de n en la ecuación (3.6.7) carece de importancia: el mismovalor de ζ se encontrará para cualquier número de ciclos. Así, si ζ se calcula para n = 1, 2, 4 y6 y se obtienen diferentes valores numéricos de ζ, se entiende que el sistema no está siguiendoel modelo matemático postulado.

Para sistemas sobreamortiguados (ζ > 1.0) no existen oscilaciones y la determinación de ζ yωn se torna más difícil. Usualmente es más fácil expresar la respuesta del sistema en términosde dos constantes de tiempo τ1 y τ2, en vez de ζ y ωn. De la ecuación (3.3.11) se puede escribir

f0(t) = 1−τ2

τ2 − τ1e−t/τ2 +

τ1τ2 − τ1

e−t/τ1 (3.6.8)

donde

τ1 , 1³ζ −

pζ2 − 1

´ωn

(3.6.9)

τ2 , 1³ζ +

pζ2 − 1

´ωn

(3.6.10)

Page 92: libro de instrumentación UTP

74 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

100908070605040302010

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Tiempo

θ

Tiempo

θ

1

0

ciclos

( a )

( b )

Figura 3.20: Pruebas de escalón e impulso para sistemas de segundo orden.

Para encontrar τ1 y τ2 de la curva de respuesta a una función escalón se puede proceder comosigue [2]:

1. Definir el porcentaje de respuesta incompleta Rpi como

Rpi ,µ1− θ

K

¶100

2. Dibujar Rpi en escala logarítmica contra una escala lineal del tiempo t. Si el sistema esde segundo orden, esta curva se aproximará a una línea recta para valores grandes de t.Prolongar esta línea hasta cero, y anotar el valor P1 donde la línea intercepta la escala Rpi.Ahora, τ1 es el tiempo en el cual la asíntota de la línea recta tiene el valor de 0.368P1.

3. Ahora se dibuja sobre la misma gráfica una nueva curva, la cual es la diferencia entre laasíntota en línea recta y Rpi. Si esta nueva curva no es una línea recta, el sistema noes de segundo orden. Si es una línea recta, el tiempo en el cual esta línea tiene el valor0.368(P1 − 100) es numéricamente igual a τ2.

Page 93: libro de instrumentación UTP

3.6. DETERMINACIÓN EXPERIMENTALDE LOS PARÁMETROS DEUN SISTEMADEMEDIDA75

θ

150 P1

100

8070

605040

20

105

00 1 2 3 4 5 6 7

0.368 3

0.368 [ - 100]1

2

τ τ12

Figura 3.21: Prueba de la función escalón para sistemas de segundo orden.

La Fig. 3.21 ilustra este procedimiento. Una vez que τ1 y τ2 se han encontrado, los valoresde ζ y ωn se pueden determinar de las ecuaciones (3.6.9) y (3.6.10). Para encontrar ζ y ωn oτ1 y τ2 también se pueden usar los métodos de respuesta en frecuencia. La Fig. 3.22 muestrala aplicación de estas técnicas. Los métodos mostrados usan solamente la curva de relación deamplitud. En este caso se aplica la siguiente relación para encontrar ζ

Ap

A0=

1

2ζp1− ζ2

(3.6.11)

donde Ap es el valor máximo de la magnitud para la respuesta frecuencial (valor de la respuestadel sistema subamortiguado) y A0 es el valor de la magnitud para frecuencia cero (o frecuenciamínima si es en escala logarítmica). Si se dispone de las curvas fase—ángulo, éstas constituyenuna valiosa forma de chequeo del modelo propuesto.

Para sistemas de medida de forma arbitraria (en contraposición a los tipos de primer ysegundo orden), usualmente se desea la descripción del comportamiento dinámico en términosde la respuesta en frecuencia. Esta información puede ser obtenida haciendo pruebas con señalessinusoidales, de pulsos, o aleatorias, siguiendo los métodos generales usados experimentalmente

Page 94: libro de instrumentación UTP

76 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Figura 3.22: Prueba de respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden.

para determinar los modelos matemáticos de sistemas físicos. Cuando el sistema físico a serestudiado es un sistema de medida, la señal de salida θo es en si misma generalmente útil y nose requiere la señal de salida de un sensor separado. Sin embargo, usualmente se requiere medirla señal de entrada ui con un sensor separado, el cual sirve como el patrón de calibración y cuyaprecisón se conoce, y es alrededor de 10 veces mejor que la del sistema a ser calibrado. Si sepuede obtener de esta manera la relación (θo/ui)(iω) para el sistema de medida, ésta define elrango de frecuencias bajo las cuales no se requieren correcciones y se proveen los datos necesariospara hacer correcciones dinámicas (usando los métodos de transformación) si se desea usar elinstrumento en su rango de respuesta en frecuencia no plana.

3.7 Efectos de la carga en sistemas de medida

En la discusión de sistemas de medida, no se ha considerado hasta ahora los efectos producidospor la “carga”. Un importante efecto es la carga interna del elemento por medio de la cualun elemento dado en un sistema puede modificar las características de los elementos anteriores(por ejemplo, por drenaje de corriente). A su vez las características de este elemento puedenser modificadas por el siguiente elemento en el sistema. Un segundo efecto más fundamental, esel del proceso de carga, donde la introducción del elemento sensible en el proceso o sistema aser medido hace que cambie el valor de la variable medida. Así, la introducción de un sensor detemperatura dentro de un recipiente para líquido puede ocasionar que la temperatura descienda,v. gr., 0.2

C. En esta sección se discuten las dos formas de carga, primero examinando los

Page 95: libro de instrumentación UTP

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 77

principios de la carga eléctrica y luego extendiendo estos principios a los efectos de la carga engeneral.

3.7.1 Carga eléctrica

Se ha representado hasta ahora los sistemas de medida como bloques conectados por líneassimples donde la transferencia de información y energía está en términos de una sola variable.Así, en el sistema de medida de temperatura Fig. 2.15 la transferencia de información entrelos elementos está en términos únicamente del voltaje. Por lo tanto, no se puede identificarla corriente drenada en el amplificador generada por la termocupla, ni la corriente drenada enel indicador generada por el amplificador. Con el fin de describir el comportamiento tanto delvoltaje como de la corriente en la conexión de dos elementos se necesita representar cada elementopor un circuito equivalente caracterizado por dos terminales. La conexión está representadaentonces por dos líneas.

3.7.2 Circuito equivalente Thévenin

El teorema Thévenin establece que cualquier red que consista de impedancias lineales y fuentesde tensión puede reemplazarse por un circuito equivalente que consiste de una fuente de tensiónVTh y una impedancia en serie ZTh (Fig. 3.23). La fuente VTh es igual a la tensión de circuito

Red linealL

i>

°

°

LVLTh

Th

+

_

Z

Z

+

-

V

Z

Figura 3.23: Circuito equivalente de Thévenin.

abierto de la red a través de los términales de salida, y ZTh es la impedancia mirando haciaatras en estos terminales, con todas las fuentes de tensión reducidas a cero y reemplazadas porsus impedancias internas. Así, conectar una carga ZL a través de los términales de salida de lared es equivalente a conectar ZL a través del circuito Thévenin. La corriente i en ZL está dadapor

i =VTh

ZTh + ZL(3.7.1)

Page 96: libro de instrumentación UTP

78 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

y la tensión VL en la carga es

VL = iZL =1

1 + ZThZL

VTh (3.7.2)

De la ecuación (3.7.2) se ve que si ZL À ZTh, entonces VL → VTh; es decir, que con el finde obtener la máxima transferencia de tensión desde la red hasta la carga, la impedanciade carga debe ser mucho mayor que la impedancia Thévenin de la red. Con el fin de obtenerla máxima transferencia de potencia desde la red hacia la carga, la impedancia de cargadeberá ser igual a la impedancia de la red; es decir, ZL = ZTh.

Ahora se puede discutir el circuito equivalente Thévenin para el sistema de medida de tem-peratura de la Fig. 2.15. La termocupla puede estar representada por ZTh = 20Ω (resistiva) yETh = 40T μV , donde T es la medida de la temperatura en la unión, si se ignoran los efectos dela no linealidad y temperatura de la unión de referencia. El amplificador actúa como una cargapara la termocupla y como una fuente de voltaje para el indicador. La Fig. 3.24 muestra uncircuito equivalente general para un amplificador con dos pares de terminales. Usando los datos

>vi iv

iN

-

+Zi

+

-

A

Zo

Figura 3.24: Circuito equivalente de un amplificador.

típicos de un amplificador, se tiene una impedancia de entrada ZI = RI = 2×106Ω, la gananciade voltaje de circuito abierto A = 103, la impedancia de salida ZO = RO = 75Ω. El indicadores una carga resistiva de 104Ω. El circuito equivalente completo para el sistema se muestra enla Fig. 3.25, y usando la ecuación (3.7.2) se tiene

VI = 40× 106T2× 106

2× 106 + 20 y Vn = 1000VI104

75 + 104(3.7.3)

Si la escala del indicador muestra que un cambio de 1V en VL produce un cambio en la deflexiónde 25

C, entonces la temperatura medida seráTM = 25VL. Ésto da

TM =

µ2× 106

2× 106 + 20

¶µ104

104 + 75

¶T = 0.9925T (3.7.4)

es decir, se ha introducido un factor ZL/ZTh+ZL en cada interconexión de dos elementos paraadmitir la carga. El error por carga εL = −0.0075T ; es además el error de estado estacionariodebido a las imperfecciones de los elementos.

Page 97: libro de instrumentación UTP

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 79

>vi i

v

-

+μ>

T

Temperatura verdadera

Termocupla Amplificador Indicador

Temperaturamedida

T =25VM L+

-

40T V

20

10k2M+

-1000

75

Figura 3.25: Equivalente Thévenin para un sistema de medición de temperatura.

El error por carga en el ejemplo anterior es pequeño, pero si no se toma cuidado, éste puedeser muy grande.

Supóngase ahora, que un electrodo de vidrio para medir pH, con sensibilidad 59 mV por pH,es decir, ETh = 59pHmV y ZTh = RTh = 109Ω, está conectado directamente a un indicadorcon ZL = RL = 10

4Ω y una escala de sensibilidad 159pH/mV. La medida de pH es

pHM = 59pH

µ104

104 + 109

¶1

59≈ 10−5pH (3.7.5)

es decir, aquí estará efectivamente un indicador cero para cualquier valor no cero. Así el probelmaes resuelto conectando el eléctrodo a un indicador por medio de amplificador buffer. Esté estácaracterizado por ZIN grande, ZOUT pequeño y una ganancia unitaria A = 1. Por ejemplo,un amplificador operacional con una etapa de entrada con FET conectado con un seguidor devoltaje, tendrá una ZIN = 1012Ω, ZOUT = 10Ω. El indicador del valor pH para el sistemamodificado (Fig:(zz)) es

pHM =1012

1012 + 109× 104

104 + 10pH

y el error por carga es ahora −0.002pH, es cual es negativo.Un ejemplo del efecto de la carga ac, se muestra en la Fig. 3.26, la cual representa el circuito

equivalente de un tacogenerador con reluctancia variable conectado a un registrador. El voltajeThévenin VTh para el tacogenerador es tipo ac con una amplitud Vp y una frecuencia angular ω,ambos proporcionales a la velocidad mecánica angular ωr. En este ejemplo, Vp = (5.0×10−3)ωrVy ω = 6ωr rad s−1. La impedancia Thévenin ZTh para el tacogenerador es una inductancia yuna resistencia en serie (un imán rodeado por una bobina), es decir, ZTh = RTh + jωLTh. Así,si ωr = 103 rad s−1; Vp = 5V, ω = 6× 103 rad s−1 y ZTh = 1.5 + j6.0kΩ, tal que la amplituddel voltaje registrado es

VL = VpRL

|ZTh +RL|= 5

10p[(11.5)2 + (6.0)2]

= 3.85V (3.7.6)

Si la escala de sensibilidad del registrador alcanza el valor de 1/(5 × 10−3)rad s−1, la veloci-dad angular registrada es 770rad s−1. Este error puede eliminarse bien sea incrementando la

Page 98: libro de instrumentación UTP

80 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Tacogenerador dereluctancia variable

th

th

th ωV sen t

L VL

Registrador

p

R

10k+

-

V

L

1HR

1.5k

Figura 3.26: Carga a.c. de un tacogenerador.

impedancia del registrador o cambiando su sensibilidad para evitar los efectos de la carga. Unamejor alternativa es reemplazar el registrador por un contador que mida la frecuencia en lugarde la amplitud de la señal del tacogenerador.

3.7.3 Ejemplo del cálculo de un circuito equivalente Thévenin

La Fig.(zz) muestra un digrama esquemático de un sensor potenciométrico para medida dedesplazamientos d. La resistencia del potenciómetro varia linealmente con el desplazamiento.Así si x = d/dT es el desplazamiento fraccional, la resistencia correspondiente es Rpx, dondeRpΩ es la resistencia total del potenciómetro. El voltaje Thévenin ETh es el voltaje de circuitoabierto a través de los terminales de salida AB. La relación entre ETh y la fuente de voltaje Vses igual a la relación de la resistencia fraccional Rpx; que es

ETh

Vs=

Rpx

Rp, dando ETh = Vsx (3.7.7)

La impedancia Thévenin ZTh se encuentra escogiendo una fuente de voltaje Vs = 0, reem-plazando la fuente por sus impedancia interna (se asume cero), y calculando la impedancia vistadesde los terminales AB como se muestra en la Fig.(zz). Asi

1

RTh=

1

Rpx+

1

Rp(1− x)

dandoRTh = Rpx(1− x) (3.7.8)

Así el efecto de conectar una carga resistiva RL (el registrador o el indicador) a través de losterminales AB es equivalente a conectar RL a través del circuito Thévenin.El voltaje de carga

Page 99: libro de instrumentación UTP

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 81

es

VL = EThRL

RTh +RL= Vsx

RL

Rpx(1− x) +RL

es decir

VL = Vsx1

(Rp/RL)x(1− x) + 1(3.7.9)

La relación entre VL y x es no lineal, el valor de la linealidad depende de la relación Rp/RL

(Fig.zz). Así el efecto de la carga en un sensor potenciométrico lineal es introducir un error nolineal en el sistema dando

N(x) = ETh − VL = Vsx

½1− 1

(Rp/RL)x(1− x) + 1

¾es decir

N(x) = Vs

½x2(1− x)(Rp/RL)

1 + (Rp/RL)x(1− x)

¾(3.7.10)

el cual se reduce a N(x) ≈ Vs(Rp/RL)(x2 − x3) si Rp/RL ¿ 1 (situación normal). N(x) tiene

un valor máximo de N = 427Vs(Rp/RL) cuando x = 2

3 , corresponde a dN/dx = 0 y un valornegativo d2N/dx2. Expresando N como un porcentaje de la escala full de deflexión o giro Vsvoltios da:

N =400

27

Rp

RL% ≈ 15Rp

RL% (3.7.11)

Los requerimiento de no linelidad de la sensibilidad y la máxima potencia son usados paraespecificar los valores de Rpy Vs para una aplicación dada. Supóngase que un potenciómetro derango 10cm está conectado a un registrador de 10Ω. Si la máxima no linealidad no debe excederel 2%, entonces se requiere 15Rp/RL 6 2, es decir Rp 6 20

15 × 103Ω; así un potenciómetro de1KΩ podrá ser adecuado. Como la sensibilidad es dVL/dx ≈ Vs, la sensibilidad mas grande queVs

3.7.4 Circuito equivalente Norton

EL teorema Norton establece que cualquier red que contenga impedancias lineales y fuentes devoltaje puede ser reemplazado por un circuito equivalente consistente de una fuente de corrienteiN en paralelo con una impedancia ZN (Fig.zz). ZN es la impedancia vista desde los terminalesde salida con todas las fuentes de voltaje reducidas a cero y reemplazadas por su impedanciainterna, y iN es la corriente que fluye cuando los terminales están corto circuitados. Conectandouna carga ZL a través de los terminales de la red es equivalente a conectar ZL a través del circuitoNorton. El voltaje VL a través de la carga está dado por VL = INZ, donde 1/Z = 1/ZN +1/ZL,dando

VL = iNZN · ZL

ZN + ZL(3.7.12)

Page 100: libro de instrumentación UTP

82 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

De (3.7.12) se nota que si ZL ¿ ZN , entonces VL → iNZL; es decir, que además para desarrollarla máxima corriente a través de la carga, la impedacnia de carga deberá ser más pequeña que laimpedancia Norton para la red.

Un ejemplo común de una fuente de corriente es un transmisor de presión diferencial elec-trónico que entrega una señal de corriente a la salida, en un rango de 4 a 20mA, proporcional ala presión diferencial de entrada, de rangos típicos de 0 a 2 × 104 Pa. La (Fig.zz) muestra uncircuito equivalente típico para el transmisor conectado a un registrador por medio de un cable.Usando (3.7.12), a través de la carga total RC +RR del registrador y el cable es

VL = iNRN (Rc +RR)

RN +RC +RR(3.7.13)

y la relación VR/VL = RR/(Rc +RR) dondo el voltaje del registrador

VR = iNRRRN

RN +RC +RR(3.7.14)

Usando los datos dados, se tiene que VR = 0.9995iNRR tal que el voltage del registrador diverjadel rango deseado de 1 a 5V solamente el 0.05 por ciento.

Un segundo ejemplo de un generador de corriente está dado por un cristal piezoeléctricoactuando como un sensor de fuerza. Si una fuerza F es aplicada a cualquier cristal, entonces losátomos del cristal experimentan un pequeño desplazamiento x proporcional F . Para un materialpiezoeléctrico el cristal adquiere una carga q proporcional a x es decir, q = Kx. El cristal puedepor lo tanto ser visto como una fuente de corriente Norton de magnitud iN = dq/dt = K(dx/dt),donde dx/dt es la velocidad de las deformaciones atómicas. Este efecto se discute mejor en lasección 8.7. donde se ve que el cristal actúa como capacitor CN en paralelo con la fuentede corriente iN . La figura 5.11 muestra el circuito equivalente y los valores típicos de loscomponentes para un cristal conectado por medio de un cable capacitivo CC a un grabador queactúa como una carga resistiva RL. El voltaje VL através de la carga está dado por iNZ, dondeZ es la impedancia de CC , CN y RL en paralelo. Puesto que

1

Z= CNs+CCs+

1

RL

Z =RL

1 +RL(CN + CC)s

donde s denota el operador de Laplace. La función de transferencia que relaciona los cambiosdinámicos de la corriente de la fuente y el voltaje de la grabadora es así

∆VL(s)

∆ıN(s)=

RL

1 +RL(CN +CC)s(3.7.15)

Así, el efecto de la carga eléctrica en este ejemplo es para introducir una función de trans-ferencia en un sistema de medición de fuerza; esto afectará la exactitud dinámica.

Page 101: libro de instrumentación UTP

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 83

3.7.5 Carga Generalizada

Se ha visto en la sección previa como los efectos de la carga eléctrica pueden ser descritosusando un par de variables, el voltaje y la corriente. El voltaje es un ejemplo de una variablea través de o esfuerzo y, corriente es un ejemplo de variable de traspaso o flujo x. Unavariable de esfuerzo conduce a una de flujo a través de una impedancia. Otros ejemplos depares esfuerzo-flujo son fuerza-velocidad, torque-velocidad angular, diferencia de presión-flujode volumen, diferencia de temperatura-flujo de calor. Cada par y − x tiene la propiedad deque el producto yx representa potencia en vatios (excepto por las variables de temperatura, quetienen dimensiones de vatios×temperatura). La tabla 5.1. (adaptada de [2]) enlista los pares deesfuerzo-flujo de diferentes formas de energía y cada par define las cantidades relacionadas deimpendancia, rigidez, flexibilidad e inertancia. Así se ve que los conceptos de impedancia estánaplicados a mecánica, fluídica y sistemas térmicos también como electricos. Para un sistemamecánico la masa es análoga a la inductancia eléctrica, la constante de amortigüamiento esanáloga a la resitencia eléctrica, y 1/rigidez es análogo a la capacitancia eléctrica. Para unsistema térmico la resistencia térmica es análoga a la resistencia eléctrica, la capacitancia térmicaes análoga a la capacitancia eléctrica. Esto significa, que pueden generalizarse los circuitoseléctricos equivalentes de Thévenin y de Norton a sistemas no eléctricos. Se pueden entoncesestudiar ejemplos de como un elemento sensor primario puede ‘cargar’ el proceso o el sistema aser medido.

La Fig.(zz) muestra un sistema mecánico o ‘proceso’ representado por una masa, un resortey un amortiguador. La fuerza F aplicada a el proceso está siendo medida por un sensor defuerza, que consiste de un elemento elástico en unión con un sensor de desplazamiento poten-ciómetrico. El sensor elástico de fuerza puede también representarse por una masa, un resortey un amortigüador. Bajo condiciones de estado estacionario cuando la velocidad sea x = 0 y laacaleración sea x = 0, se tienen las siguientes ecuaciones de balance de fuerzas:

proceso F = kpx+ Fs

sensor Fs = ksx (3.7.16)

mostrando que la relación entre la fuerza medida Fs y la fuerza verdadera F es

Fs =Ks

ks + kpF =

1

1 + kp/ksF (3.7.17)

Además se ve que para minimizar el error de carga en el estado estacionario el sensor de rigidezks podrá ser mucho más grande que la rigidez procesada kp.

Bajo condiciones de inestabilidad cuando x no sea cero, la segunda ley de Newton da lassiguientes ecuaciones diferenciales:

proceso F − kpx− λpx− Fs = mpx

sensor rFs − ksx− λsx = msx (3.7.18)

Page 102: libro de instrumentación UTP

84 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

es decir

mpdx

dt+ λpx+ kp

Zxdt = F − Fs

msdx

dt+ λsx+ ks

Zxdt = Fs (3.7.19)

Utilizando las analogias dadas al principio, el sensor puede representarse por Fs conduciendo xa través del circuito mecánico L,C,R ,ms, 1/ks, λs; y el proceso puede representarse por F −Fsconduciendo x a través del circuito mecánico L,C,R ,mp, 1/kp, λp. Si ∆x, ∆F y ∆Fs se derivande las condiciones estacionarias iniciales, entonces la transformada de Laplace de las ecuaciones(3.7.19) son: µ

mps+ λp +kps

¶___∆x = ∆F −∆Fs (3.7.20)µ

mss+ λs +kss

¶___∆x = ∆Fs

Usando la tabla () se puede definir la función de transferencia de la impedancia mecánica porZM(s) = ∆F /

___∆x (s), tal que

impedancia del proceso ZMP (s) = mps+ λp +kps

(3.7.21)

impedancia del sensor (s) = mss+ λs +kss

(3.7.22)

De (3.7.20) y (3.7.22) la relación entre los cambios dinámicos entre la fuerza medida y la real es

∆ Fs(s) =ZMS

ZMS + ZMP∆F (s) (3.7.23)

Además para minimizar los efectos de la carga dinámica, la impedancia del sensor ZMS puede sermucho más grande que la impedacnia del proceso ZMP . La Fig.() muestra el circuito equivalentepara el sistema: proceso , sensor de fuerza y el registrador. Se ve que el circuito equivalentecompleto para el sensor de fuerza es una red de cuatro terminales o de dos puertos. Estoes similar al circuito equivalente para un amplificador electronico (Fig.zz) excepto que aquí elpuerto de entrada involucra transferencia de energía mecánica.

La Fig.(zz) muestra un cuerpo caliente, es decir, un ‘proceso’ térmico cuya temperatura Tpestá siendo medida por un sensor termocupla. Bajo condiciones de inestabilidad, las considera-ciones de razón de flujo de calor son dadas por las siguientes ecuaciones diferenciales:

proceso MpCpdTpdt

= Wp −Ws, Wp = UpAp(TF − Tp)

sensor MsCsdTsdt

= Ws, Ws = UsAs(Tp − Ts) (3.7.24)

Page 103: libro de instrumentación UTP

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 85

dondeM masaC calor específicoU coeficiente de transferencia de calorA área de transferencia de calorLas cantidades MpCp,MsCs tiene las dimensiones de calor/temperatura y son análogas a

la capacitancia eléctrica. Las cantidades UpAp, UsAs tiene las dimensiones de razón de flujode calor/temperatura y son análogas a 1/(resistencia eléctrica). El circuito equivalente parael proceso y la termocupla está mostrado en la Fig. (zz). Se ve que la relación entre TF y Tpdepende de un divisor de potencia 1/UpAp,MpCp y la relación entre Tp y Ts dependen del divisorde potencia 1/(UsAs),MsCs. De nuevo la termocupla puede representarse por una red de dospuertos con un puerto de entrada térmico y un puerto de salida eléctrico.

En conclusión se nota que la representación de los elementos de un sistema de medida porredes de dos puertos permite que los efectos de la carga del proceso y entre los elementossea cuantificados.

3.7.6 Efectos de la carga bajo condiciones dinámicas

El tratamiento de los efectos de la carga por medio de la impedancia, la admitancia, etc.,se ha discutido en las sección () para condiciones estáticas. Todos esos resultados pueden serinmediatamente transferidos para el caso de la operación dinámica generalizando las definicionesen términos de las funciones de transferencia Las ecuaciones básicas que se refieren a valor sinalteración qi1u y al valor real medido qi1m en la entrada del dispositivo es

ui1m =1

Zgo/Zgi + 1ui1u (3.7.25)

ui1m =1

Ygo/Ygi + 1ui1u (3.7.26)

ui1m =1

Sgo/Sgi + 1ui1u (3.7.27)

ui1m =1

Cgo/Cgi + 1qi1u (3.7.28)

Las cantidades Z, Y, S y C fueron previamente consideradas por ser la razón de pequeños cambiosen dos variables sistemas de afines bajo condiciones establecidas. Para generalizar esos conceptos,ahora se definen las cantidades Z, Y, S, y C como funciones de transferencia relacionando lasmismas dos variables bajo las mismas condiciones excepto que ahora se considera la operacióndinámica. Es decir, se debe obtener (teóricamente o experimentalmente) Z(s), Y (s), S(s), yC(s) si se desea usar el método operacional de función de transferencia y Z(iω), Y (iω), S(iω),y C(iω) si se desea usar el método de respuesta en frecuencia.

Si esas cantidades deben ser encontradas experimentalmente usualmente la forma de re-spuesta en frecuencia es en su mayor parte usada. Esto significa, entonces que en la búsqueda,

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86 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

se supone, Z(iω),una de las dos variables involucradas en la definición de Z juega el papel deuna entrada cantidad la cual se varia sinusoidalmente en diferentes frecuencias. Esto causa uncambiosinusoidal en la otra variable (salida), y asi se puede hablar de una razón de amplitud yángulo de fase entre esas dos cantidades, haciendo ahora Z(iω) un número complejo que variacon la frecuencia. (Si el sistema es un poco no lineal, la aproximación efectiva Z llega a seruna función también de amplitud de entrada). En la ecuación (3.7.25) por ejemplo, Zgo y Zgi

podrán ahora ser números complejos; si esas son conocidas, se puede calcular la amplitud y fasede qi1m si la amplitud, fase, y frecuencia de una sinusoidal qi1m son dadas. La cantidad qi1mentonces podrá ser la entrada actual (qi ) pára el dispositivo de medida, y se puede calcular qosi la función de transferencia (qo/qi)(iω) se conocen. Es decir

Qo(iω) =1

Zgo(iω)/Zgi(iω) + 1

∙θoui(iω)

¸Qi1u(iω) (3.7.29)

Así se puede definir una función de transferencia cargada (θo/ui1u)(iω) como

(θo)

ui1u(iω) , 1

Zgo(iω)/Zgi(iω) + 1

θoui(iω) (3.7.30)

donde θo , salida real del dispositivo de medida que no tiene carga en sus salidasui , valor de la variable medida que puede existir si el dispositivo de medida no produce

cargabilidad sobre el medio medido.Las ecuaciones (3.7.26), (3.7.27) y (3.7.28) pueden ser modificadas en forma similar. Tam-

bién, si las ecuaciones diferenciales que relacionan θo(t) se necesitan, se puede escribir

(θo)

ui1u(s) =

1

Zgos)/Zgi(s) + 1

θoui(s) (3.7.31)

y entonces se obtine la ecuación diferencial en la forma usual por medio del “producto cruz”

[Zgo(s) + Zgi(s)]nXi=0

aisiθo = [Zgi(s)]

mXj=0

bjsjui1u (3.7.32)

Un ejemplo de los métodos anteriores puede ser útil. Considérese un dispositivo para medir lavelocidad translacional, como se muestra en la Fig.(). La función de transferencia sin carga querelaciona el desplazamiento de salida x0 y la velocidad (medida) de entrada vi es obtenida comosigue:

Bi(xi − x0)−Kisxo = Mixo (3.7.33)xovi(s) =

Ki

s2/ω2ni + 2ζis/ωni + 1(3.7.34)

Page 105: libro de instrumentación UTP

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 87

donde

Ki , sensibilidad estática del instrumento ,Bi

Kism/(m/s) (3.7.35)

ζi , relación de amortiguación del instrumento ,Bi

2√KisMi

(3.7.36)

ωni , frecuencia natural del instrumento sin amotiguación ,r

Kis

Mirad/s (3.7.37)

Se ve que el instrumento es de segundo orden y asi se medirá vi exactamente para frecuenciassuficientemente bajas realtivas a ωin. Supóngase ahora conectar el instrumento a un sistema devibración cuya velocidad deseamos medir, como en la Fig.(). La presencia del instrumento demedida distorcionará la velocidad que se trata de medir. El caracter de esta distorsión puede sercalculado aplicando la ecuación (3.7.26), puesto que la cantidad medida es velocidad (un flujovariable), y asi la admitancia es la cantidad apropiada para usar. Se determina la admitanciade entrada Ygi(s) = (v/f)(s) de la Fig.() como sigue:

f − kisx0 =Mixo (3.7.38)

Tambiénf = Bi(v − xo) (3.7.39)

y, eliminado xo, se obtiene

Ygi(D) =v

f(s) =

(1/Bi)¡s2/ω2ni + 2ζis/ωni + 1

¢s2/ω2ni + 1

(3.7.40)

La Fig.() también muestra las frecuencias características de esta admitancia de entrada. Laadmitancia de salida Ygo(s) = (v/f)(s) del sistema de medida es obtenida de la Fig.():

f −Bx−Ksx = Mx (3.7.41)

Ygo(s) =v

f(s) =

(1/Ks) s

s2/ω2n + 2ζs/ωn + 1(3.7.42)

La frecuencia característica de esta admitancia de salida se muestra en la Fig.(). Se puede ahoraescribir

xovi1u

(s) =1

Ygo(s)/Ygi(s) + 1

xovi(s)

xovi1u

(s) =1

ω2n (1/Ks) s

s2 + 2ζωns+ ω2n

Bi

¡s2 + ω2ni

¢s2 + 2ζiωnis+ ω2ni| z

efecto de la carga

+ 1

Kiω2ni

s2 + 2ζiωnis+ ω2ni(3.7.43)

Page 106: libro de instrumentación UTP

88 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

donde xo , salida real del dispositivo de medidavi1u , velocidad que puede existir si el dispositivo de medida no produce cargabilidad.

La Fig.() muestra que en este ejemplo el efecto de la carga es más severo para frecuenciascercanas a la frecuencia natural del sistema de medida, pero cercano a cero para frecuenciasmuy bajas o muy altas. Puesto que los efectos de la carga pueden ser expresados en términosde frecuencia, ellos pueden ser manejados para toda clase de entradas usando apropiadamenteseries de Fourier, transformada, o densidsad espectral de la media cuadrada.

Figura 3.27:

3.8 Señales y ruido en los sistemas de medida

Representación estática de las señales aleatorias

a. La Fig.(zz) muestra un registro de una señal aleatoria obtenido durante una observaciónperiódica To. Puesto que la señal es aleatoria no se puede escribir por medio de unaecuación algebraica continua y(t) para la señal de voltaje y en el tiempo t. Se puede, sinembargo, escribir por medio de los valores y1 a yN de N muestras tomadas en intervalosiguales ∆T durante To. La primera muestra y1 es tomada en t = ∆T , la segunda y2 estomada en t = 2∆T , la i—ésima yi es tomada en t = i∆T , donde i = 1, . . . , N .Los intervalosde muestreo∆T = To/N deben satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist. Ahora sepuede usar ese muestreo para para calcular las cantidades estáticas de la sección observada

Page 107: libro de instrumentación UTP

3.8. SEÑALES Y RUIDO EN LOS SISTEMAS DE MEDIDA 89

de la señal. Esas cantidades estáticas observadas proporcionan una estimación buena delcomportamiento futuro de la señal, una vez la observación periódica es completada, contal que:

a. To sea suficientemente extenso, es decir N es suficientemente grande.

b. la señal sea estacionaria, es decir, las cantidades estáticas de los términos grandes nocambian con el tiempo.

3.8.1 Efectos del ruido y la interferencia en los circuitos de medida

En la sección ?? se vió que la interconexión de dos elementos de medida, tales como unatermocupla y un amplificador o transmisor de presión diferencial y una grabadora, pueden serrepresentados por un circuito equivalente, en el cual, ambos, una fuente de voltaje Thévenin ouna fuente de corriente Norton se conecta a una carga. En una instalación industrial, la fuente yla carga por lo general se encuentran a 100m de distancia y los ruidos o voltajes de interferenciapueden presentarse.

La figura ??? muestra un sistema de transmisión de voltaje sujeto a una serie de modos deinterferencias; aquí un ruido o interferencia de voltaje VSM es una serie con medida de señal devoltaje ETh. La corriente i a través de la carga es

i =ETh + VSM

ZTh +Rc + ZL

y el voltaje correspondiente a través de la carga

VL =ZL

ZTh +Rc + ZL(ETh + VSM ) (3.8.1)

Normalmente se hace ZL À Rc + ZTh para obtener la máxima transferencia de voltaje para lacarga; bajo estas condiciones la ecuación (3.8.1) llega a ser

VL = ETh + VSM (3.8.2)

Esto significa que en un sistema de transmisión de voltaje todo el VSM está a través de la carga,esto afecta el siguiente elemento en el sistema y posiblemente resulte un error en el sistema demedida. Se define la relación de señal a ruido o señal a interferencia S/N decibeles por

S

N= 20 log10

µETh

VSM

¶= 10 log!0

µWs

WN

¶dB (3.8.3)

donde ETh y VSM los valores rms de los voltajes, Ws y WN son las correspondientes potenciasde la señal total y del ruido. Así si ETh = 1 V, VSM = 0.1 V , S/N = +20 dB.

La Fig.() muestra un sistema de transmisión de corriente sujeto a las mismas series de modode interferecnia de voltaje VSM . La fuente de corriente Norton iN se divide en dos partes, una

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90 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

parte a través de la impedancia de la fuente ZN , la otra parte a través de ZL. Usando la regladel divisor de corriente, la corriente a través de la carga debido a la fuente es

i =ZN

ZN +Rc + ZL

Además aqui hay una interferencia de corriente

iSM =VSM

ZN +Rc + ZL

a través de la carga debido a la interferencia de voltaje. El voltaje total a través de la carga espor lo tanto

VL = iZL + iSMZL (3.8.4)

= iNZL ·ZN

ZN +Rc + ZL+ VSM · ZL

ZN +Rc + ZL(3.8.5)

Normalmente se hace Rc + ZL ¿ ZN para obtenr la máxima transferencia de corriente para lacarga; bajo estas condiciones la ecuación (3.8.5) llega a ser

VL ≈ iNZL +ZL

ZNVSM (3.8.6)

Puesto que ZL/ZN ≈ 1, esto significa que con un sistema de transmisión de corriente solamenteuna pequeña fracción de VSM está a través de la carga. Así un sistema de transmisión decorriente tiene una mayor inmunidad inherente a las series de modos de interferencia que unsistema de transmisión de voltaje. En una termocupla el sistema de medida de temperatura,por esta razón, puede ser mejor convertir los milivoltios de la fem de la temocupla en una señalde corriente precedente a la transmisión, más bien que transmitir la fem directamente.

La Fig.(c) muestra un sistema de transmisión de voltaje sujeto a modo común de inter-ferencia en el cual los potenciales de ambos lados de la señal del circuito son creados por VCMrelativo al plano común a tierra. Si como, ZL À Rc + ZTh, la corriente i → 0 para que elpotencial caíga a iRc/2 etc. puede ser despreciado. Bajo estas condiciones:

Potencial en B = VCM

Potencial en A = VCM +ETh

y VL = VB − VA = ETh.Esto significa que el voltaje a través de la carga no está afectado por VCM ; Allí hay, sin

embargo, la posibilidad de conversión de un voltaje en modo común a modo serie.

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3.8. SEÑALES Y RUIDO EN LOS SISTEMAS DE MEDIDA 91

3.8.2 Fuentes de ruido y mecanismos de acople

Fuentes de ruido interno

El movimiento aleatorio inducido por la temperatura de los electrones y otros transportadoresde carga en resistores y semiconductores da un aumento a un correspondiente voltaje aleatoriollamado termal o ruido de Johnson. Este tiene una densidad de potencia espectral que esuniforme a lo largo de un rango infinito de frecuencias (ruido blanco) pero proporcional a latemperatura absoluta θK de el conductor, es decir:

φ = 4Rkθ watts/Hz (3.8.7)

donde R ohmios es la resistencia de el conductor y k es la constante de Boltzmann= 1.4 ×10−23JK−1. De la ecuación ???? el ruido de potencia termal total entre las frecuencias f1 y f2Hz es

W =

Z f2

f1

4Rkθ df = 4Rkθ(f2 − f1) vatios (3.8.8)

y de eq??? el voltaje rms correspondiente es

VRMS =√W =

p4Rkθ(f2 − f1) (3.8.9)

Así, si R = 106Ω, f2−f1 = 106Hz y θ = 300K, VRMS = 130μV y es por lo tanto comparablecon las señales de bajo nivel como la salida de puente de galga de esfuerzo. Un tipo similar deruido es llamado ruido de disparo; este ocurre en transistores y se debe a las fluctuacionesaleatorias de la media en los cuales los transportadores difunden a través de una unión. Este esde nuevo caracterizado por una densidad de potencia espectral a través de un amplio rango defrecuencias.

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92 CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

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Capítulo 4

Análisis Estadístico de DatosExperimentales

4.1 Introducción

Prácticamente en todos los procesos de medición se observan características aleatorias. Aún si elmismo sistema de medición se utiliza para medir repetidamente un parámetro fijo, los resultadosno tendrán el mismo valor. Esta aleatoriedad puede ser causada por variables no controladas (ono controlables) que afectan la medida, o en la carencia de precisión en el proceso de medición.En algunos casos la aleatoriedad de los datos es tan dominante que es difícil distinguir los datosde los valores indeseables. Esto es común en experimentos en las ciencias sociales y a vecesen ingeniería. En tales casos, la estadística puede ofrecer herramientas que permiten separarvalores indeseables de los datos recogidos

4.2 Conceptos Generales

En ingeniería, la tendencia general de datos es usualmente evidente; sin embargo, a menudose requieren las herramientas estadísticas para identificar y generalizar las características delos datos de prueba o determinar los límites en la incertidumbre de los mismos. Los tiposde errores en las mediciones se discutieron antes y generalmente se dividen en dos categorías:de sesgo y de precisión (o sistemáticos y aleatorios, respectivamente). Los errores de sesgo sonconsistentes, los errores por repetición pueden a menudo minimizarse por calibración del sistemade medición. Son los errores de precisón los que mejor se pueden tratar utilizando métodosde análisis estadístico. Los conceptos estadísticos son útiles no solo para la interpretación delos datos experimentales sino también para planeamiento de los experimentos, particularmenteaquellos con un gran número de variables independientes o parámetros.

Para aplicar análisis estadístico a datos experimentales se pueden plantear varios pasos:

93

Page 112: libro de instrumentación UTP

94 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

• Los datos se caracterizan por la determinación de los parámetros que especifican la ten-dencia central y la dispersión de los mismos.

• En el siguiente paso se selecciona la función de distribución teórica que sea más adecuadapara explicar el comportamiento de los datos.

• Se puede entonces utilizar la función teórica elegida para predecir algunas propiedades delos datos.

4.2.1 Medidas de Tendencia Central

El parámetro más común usado para describir la tendencia central es la media, la cual se definepor:

x.=

x1 + x2 + · · ·+ xnn

=nXi=1

xin

(4.2.1)

donde los xi son los valores de los datos de la muestra y n es el número de mediciones. Parauna población con un número finito de elementos, N, con valores xi, la media se denota con elsímbolo μ y está dada por:

μ.=

x1 + x2 + · · ·+ xnN

=NXi=1

xiN

(4.2.2)

Los otros dos parámetros que describen la tendencia central son la mediana y la moda. Silas mediciones se ordenan en orden creciente o decreciente la mediana es el valor del centrodel conjunto. Si el conjunto tiene un número par de elementos, la mediana es el promediode los dos valores centrales. La moda es el valor de la variable que corresponde al valor picode la probabilidad de ocurrencia del evento. En un espacio muestral discreto, la moda puedeidentificarse fácilmente como el valor de más frecuente ocurrencia. En un espacio muestralcontinuo, la moda se toma como el punto medio del intervalo de datos con la frecuencia másalta. Para algunas distribuciones (v. gr., distribución uniforme), puede no existir la moda,mientras que para otras distribuciones (v. gr., distribución bimodal) puede haber más de unafrecuencia pico y más de una moda. Para una que tenga más de una moda, las frecuenciasde ocurrencia de cada moda no requieren ser las mismas. Aunque es común para la media,la mediana y la moda tener valores muy cercanos, en algunas hojas de datos pueden aparecervalores significativamente diferentes.

4.2.2 Medidas de Dispersión

Dispersión es la separación o variabilidad de los datos. Las siguientes cantidades son las másutilizadas para representar la magnitud de la dispersión de variables aleatorias alrededor de suvalor medio:

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4.2. CONCEPTOS GENERALES 95

Tabla 4.1: Resultados de 60 mediciones de la temperatura en un ducto

Número de Temperaruralecturas [C]

1 10891 10922 10944 10958 10989 110012 11044 11055 11075 11084 11103 11122 1113

• La desviación de cada medida se define como

di.= xi − x (4.2.3)

• La desviación media se define como

d.=

nXi=1

|di|n

(4.2.4)

• La desviación estándar de la población, para una población con un número finito de ele-mentos, se define como

σ.=

vuut NXi=1

(xi − x)2

N(4.2.5)

La desviación estándar muestral, se define como

S.=

vuut nXi=1

(xi − x)2

n− 1 (4.2.6)

La desviación estándar muestral se usa cuando los datos de una muestra se utilizan paraestimar la desviación estándar de la población.

Page 114: libro de instrumentación UTP

96 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.2: Medidas de la temperatura arregladas en intervalos.

Intervalo Número de[C] medidas

1085 ≤ T < 1090 11090 ≤ T < 1095 31095 ≤ T < 1100 121100 ≤ T < 1105 211105 ≤ T < 1110 141110 ≤ T < 1115 71115 ≤ T < 1120 2

La varianza se define como

varianza =

½σ2 para la poblaciónS2 para una muestra

(4.2.7)

Ejemplo 5 En la Tabla 4.1 se dan los resultados de las mediciones de la temperatura tomadasen un ducto de gas recalentado. Encontrar los valores correspondientes a los parámetros media,mediana, desviación estándar, varianza y moda.

Sol. En la Tabla 4.2 se muestran los datos arreglados para intervalos de temperatura.Para las mediciones de temperatura de la Tabla 4.1 los resultados sonMedia x = 1103CMediana xm = 1104CDesviación estándar S = 5.79CVarianza S2 = 33.49C2

Moda m = 1104C

4.3 Probabilidad

La probabilidad es un valor numérico que expresa la posibilidad de ocurrencia de un eventorelativo a todas las posibilidades en un espacio muestral. La probabilidad de ocurrencia de unevento A se define como el número de ocurrencias exitosas (m) dividido por el número total deresultados (n) en un espacio muestral, evaluada para nÀ 1. Entonces

Probabilidad de un evento A =m

n(4.3.1)

El evento puede ser representado por una variable aleatoria continua x, en cuyo caso laprobabilidad será representada por P (x). Para una variable aleatoria discreta xi, la probabilidadse representa por P (xi).

Las siguientes son algunas propiedades asociadas con la probabilidad:

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4.3. PROBABILIDAD 97

1. La probabilidad siempre es un número positivo con un valor máximo de 1, =⇒ 0 ≤ P (x)ó P (xi) ≤ 1.

2. Si un evento A tiene certeza de ocurrir, P (A) = 1.

3. Si un evento A tiene certeza de no ocurrir, P (A) = 0.

4. Si el evento A es el complemento del evento A, entonces

P (A) = 1− P (A) (4.3.2)

5. Si los eventoa A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia de Ao B es

P (A YB) = P (A) + P (B) (4.3.3)

6. Si los eventos A yB son independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran simultánea-mente es

P (A ∩B) = P (A) · P (B) (4.3.4)

7. La probabilidad de la ocurrencia de A o B o ambos es

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB)

8. La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de x es 1

nXi=1

P (xi) = 1 (4.3.5)

9. La media de la población para una variable aleatoria discreta, llamada también el valoresperado (esperanza) de x,E(x), está dada por:

μ =nXi=1

xiP (xi) = E(x) (4.3.6)

10. La varianza de la población está dada por

σ2 =nXi=1

(xi − μ)2P (xi) (4.3.7)

Page 116: libro de instrumentación UTP

98 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

4.3.1 Función Densidad de Probabilidad

Para una variable aleatoria continua, una función f(x), llamada función densidad de probabil-idad, se define tal que la probabilidad de la ocurrencia de la variable aleatoria en un intervaloentre xi y xi + dx está dado por

f(xi)dx = P (xi ≤ x ≤ xi + dx) (4.3.8)

Para evaluar la probabilidad de que x ocurrirá en un intervalo finito desde x = a hasta x = b,se puede integrar la ecuación (4.3.8) para obtener

P (a ≤ x ≤ b) =

Z b

af(x)dx (4.3.9)

Para una variable aleatoria continua, la probabilidad de que x tenga un valor simple único,es cero. Si los límites de intregración se extienden desde −∞ hasta +∞, se puede asegurar quela medición está en el rango y la probabilidad será P (−∞ ≤ x ≤ ∞) = 1.

La definición de f(x) permite ahora establecer la media de una población con función den-sidad de probabilidad f(x):

E(x) = μ =

Z ∞

−∞xf(x)dx (4.3.10)

Este también es el valor esperado (esperanza), E(x) de la variable aleatoria, el cual a vecesse denomina primer momento. La varianza de la población está dada por

σ2 =

Z ∞

−∞(x− μ)2f(x)dx (4.3.11)

La cual también se conoce como segundo momento.

Ejemplo 6 La vida de un cierto tipo de rodamiento puede caracterizarse por una función dedistribución de probabilidad de

f(x) =

½0 x < 10h200x3

x > 10h

f(x) se muestra en la Fig. 4.1.

(a) Calcular la esperanza de vida de los rodamientos.

(b) Si se toma un rodamiento de la línea de producción, ¿cuál es la probabilidad que su vida(x) sea menor que 20h, mayor que 20h y, finalmente, 20h?

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4.3. PROBABILIDAD 99

37.52512.50

0.2

0.1

0

hh

Figura 4.1: Función distribución de probabilidad.

Sol. (a) Usando la ecuación (4.3.10),

E(x) = μ =

Z ∞

10xf(x)dx =

Z ∞

10x200

x3dx = −200

x

¯∞10

= 20h

Las probabilidades requeridas están dadas por

P (x < 20) =

Z 20

−∞f(x)dx =

Z 10

−∞0dx+

Z 20

10

200

x3dx = 0.75

P (x > 20) = 1− P (x ≤ 20) = 0.25P (x = 20) = 0

4.3.2 Función de Distribución Acumulativa

La función de distribución acumulativa es otro método para presentar datos para la distribuciónde una variable aleatoria. Esta se utiliza para determinar la probabilidad que una variablealeatoria tenga un valor menor que o igual que un valor específico. La función distribuciónacumulativa para una variable aleatoria continua (rv) se define como

F (rv ≤ x) = F (x) =

Z ∞

−∞f(x)dx = P (rv ≤ x) (4.3.12)

Para una variable aleatoria discreta, ésta se define como

F (rv ≤ xi) =iX

j=1

P (xi) (4.3.13)

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100 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Las siguientes relaciones resultan de la definición de la función distribución acumulativa:

P (a < x ≤ b) = F (b)− F (a) (4.3.14)

P (x > a) = 1− F (a)

El uso de la función acumulativa se demuestra en el siguiente

Ejemplo 7 Encontrar la probabilidad que el tiempo de vida de uno de los rodamientos del ejem-plo anterior sea menor que (a) 15 horas y (b) 20 horas, usando la función de distribución acu-mulativa.

Sol. (a) Usando la ecuación (4.3.12) se obtiene para la función de distribución acumulativa(la respuesta gráfica se puede ver en la Fig. 4.2)

F (x) =

Z x

−∞f(x)dx =

Z x

−∞0dx = 0 para x ≤ 10

= 0 +

Z x

10

200

x3dx = 1− 100

x2para x > 10

5037.52512.50

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 4.2: Función de distribución acumulativa.

4.3.3 Función de Distribución Binomial

La distribución binomial está definida para variables aleatorias discretas que pueden tener so-lamente dos resultados posibles éxito o falla. Esta distribución tiene aplicación en control decalidad de la producción, cuando la calidad de un producto es o aceptable o inaceptable. Lassiguientes condiciones deberán ser satisfechas para que la distribución binomial pueda ser apli-cable a un cierto experimento:

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4.3. PROBABILIDAD 101

1. Cada ensayo en el experimento puede tener solamente dos posibles resultados, éxito o falla.

2. La probabilidad de éxito permanece constante a través del experimento. Esta probabilidadse denota por p y usualmente se conoce o se estima para una población dada.

3. El experimento consiste de n ensayos independientes.

La distribución binomial proporciona la probabilidad P de encontrar exactamente r éxitosen un total de n ensayos y se expresa como

P (r) =n!

r!(n− r)!pr(1− p)n−r =

µnr

¶pr(1− p)n−r (4.3.15)

El número éxitos esperado en n pruebas para una distribución binomial es

μ = np (4.3.16)

La desviación estándar de una distribución binomial es

σ =pnp(1− p) (4.3.17)

Ejemplo 8 Un fabricante de una cierta marca de computadores afirma que sus computadoresson con-fiables y que solamente el 10% de las máquinas requiere reparación durante el período degarantía. Determinar la probabilidad de que en una producción de 20 computadores, 5 requierenreparación en el período de garantía.

Sol: Se puede aplicar distribución binomial debido al resultado de aprobado/fallado delproceso. se definirá éxito como no requiere reparación en el tiempo de garantía, en este caso,de acuerdo a las pruebas del fabricante, p = 0.9. Otras suposiciones para la aplicación de estadistribución son que todos los ensayos son independientes y que las probabilidades de éxitoy fallo son las mismas para todos los computadores. El problema consiste en determinar laprobabilidad P de tener 15 éxitos r de todas las 20 máquinas n.

P =

µ2015

¶0.915(1− 0.9)5 = 0.032

La conclusión aquí es que hay una pequeña posibilidad (3.2%) de que haya exactamente 5computadores para reparación de los 20 dados.

Ejemplo 9 Un fabricante de bombillas ha descubierto que para una producción dada, el 10%de las bombillas es defectuoso. Si se compran 4 de estas bombillas, ¿cuál es la probabilidad deencontrar que las cuatro, tres, dos, una y ninguna de las bombillas sea defectuosa?

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102 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Sol. De nuevo se puede usar la distribución binomial. El número de ensayos es 4 y si sedefine éxito como falla de bombilla p = 0.1. La probabilidad de tener cuatro, tres, dos, uno ycero bombillas defectuosas se puede calcular usando la ecuación (4.3.15). Entonces

P (r = 4) =

µ44

¶0.14(1− 0.1)4−4 = 0.0001 = 0.01%

P (r = 3) =

µ43

¶0.13(1− 0.1)4−3 = 0.0036 = 0.36%

P (r = 2) =

µ42

¶0.12(1− 0.1)4−2 = 0.0486 = 4.86%

P (r = 1) =

µ41

¶0.11(1− 0.1)4−1 = 0.2916 = 29.16%

P (r = 0) =

µ40

¶0.10(1− 0.1)4−0 = 0.6561 = 65.61%

La probabilidad total de todos los cinco resultados posibles es

P = P (r = 4) + P (r = 3) + P (r = 2) + P (r = 1) + P (r = 0) ∼= 1

4.3.4 Función de distribución de Poisson

Definición 3 Sea x una variable aleatoria que toma los valores posibles 0, 1, . . . , n. Si

P (x = k) =e−ααk

k!, k = 0, 1, . . . , n (4.3.18)

se dice que x tiene una distribución de Poisson con parámetro α > 0.

Teorema 1 Si x tiene una distribución de Poisson con parámetro α, entonces E(x) = α yS(x) = α

Prueba.

E(x) =∞Xk=0

e−ααk

k!=

∞Xk=1

e−ααk

(k − 1)!

haciendo λ = k − 1, se encuentra

E(x) =∞Xλ=0

e−ααλ+1

λ!= α

∞Xk=1

e−ααλ

λ!= α

De igual manera,

E(x2) =∞Xk=0

k2e−ααk

k!=

∞Xk=1

ke−ααk

(k − 1)!

Page 121: libro de instrumentación UTP

4.3. PROBABILIDAD 103

Procediendo como antes

E(x2) =∞Xλ=0

(λ+ 1)e−ααλ+1

λ!= α

∞Xλ=0

λe−ααλ

λ!+ α

∞Xλ=0

e−ααλ

λ!= α2 + α

Puesto que la primera suma representa E(x) mientras que la segunda suma es igual a uno.Luego

S(x) = E(x2)− (E(x))2 = α2 + α− α2 = α

Nótese esta propiedad de la variable aleatoria de Poisson: su esperanza es igual a su varianza.

Existen tablas disponibles para la distribución de Poisson [19].

4.3.5 Función de Distribución Gaussiana

La función de distribución normal (Gaussiana) es una función simple de distribución, la cual esútil para un número grande de problemas comunes que involucran variables aleatorias continuas.La distribución normal se ha utilizado para describir la dispersión de los datos en las medicionesen las cuales la variación en el valor medido se deben totalmente a factores aleatorios, y laocurrencia de desviaciones tanto positivas como negativas son igualmente probables. La funcióndensidad de probabilidad normal está dada por

f(x) =1

σ√2πexp

µ−(x− μ)2

2σ2

¶(4.3.19)

En esta ecuación x es la variable aleatoria. La función tiene dos parámetros, la dsviaciónestándar de la población, σ, y la media de la población, μ. Un gráfico de f(x) vs x para valoresdiferentes de σ (0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0) y un valor fijo de μ (2) se muestra en la Fig. 4.3. Comose ve en la figura, la distribución es simétrica alrededor del valor medio, y la menor de lasdesviaciones estándar es el valor de pico más alto de en la función.

4.3.6 Propiedades de la distribución normal

1. Sea f(x) una función densidad de probabilidad. Evidentemente, f(x) ≥ 0. Se debeverificar que

R +∞−∞ f(x)dx = 1.

Demostración. Haciendou =

x− μ

σ

se puede escribir

I =1√2π

Z +∞

−∞exp

µ−u

2

2

¶du (4.3.20)

Page 122: libro de instrumentación UTP

104 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

53.752.51.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

Figura 4.3: Función de distribución normal para el caso donde μ = 2, σ = 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0.

Para calcular esta integral, primero se toma el cuadrado de I, es decir,

I2 =1√2π

Z +∞

−∞exp

µ−u

2

2

¶du

1√2π

Z +∞

−∞exp

µ−v

2

2

¶dv

=1

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞exp

µ−u

2 + v2

2

¶dudv (4.3.21)

Introduciendo coordenadas polares:

u = r cos θ, v = r sen θ (4.3.22)

se tendrá como elemento de área:dudv = rdrdθ (4.3.23)

Cuando u y v varían entre −∞ y +∞, r variará entre 0 y +∞ y θ lo hará entre 0 y 2π. Luego

I2 =1

Z 2π

0

Z +∞

0r exp

µ−r

2

2

¶rdrdθ

=1

Z 2π

0−e− r2

2

¯∞0

=1

Z 2π

0dθ = 1

Por lo tanto I = 1, lo cual se quería demostrar.

2. Considérese la forma del gráfico de f(x). Éste tiene la forma de campana indicada en laFig. 4.3. Puesto que f(x) depende sólo de x mediante la expresión (x − μ)2, es evidente

Page 123: libro de instrumentación UTP

4.3. PROBABILIDAD 105

que el gráfico de f(x) será simétrico respecto a μ. El parámetro σ puede interpretarsegeométricamente. Obsérvese que para x = μ, el gráfico de f(x) es cóncavo hacia abajo.Cuando x −→ ±∞, f(x) −→ 0, asintóticamente. Puesto que f(x) ≥ 0 para todo x, estosignifica que para grandes valores de x (positivos o negativos), el gráfico de f(x) serácóncavo hacia arriba, teniendo los puntos de inflexión en x = μ± σ. Esto es, σ unidadesa la derecha y a la izquierda de μ el gráfico de f(x) cambia de concavidad. Así, si σ esrelativamente grande, el gráfico de f(x), tiende a ser ‹‹achatado››, mientras que si σ espequeño el gráfico de f(x) tiende a ser ‹‹aguzado›› (ver Fig. 4.3).

3. De acuerdo a la definición de función densidad de probabilidad en la ecuación (4.3.9), parauna población dada, la probabilidad de tener un valor simple de x entre un límite inferiorx1 y un límite superior x2 es

P (x1 ≤ x ≤ x2) =

Z x2

x1

f(x)dx =1

σ√2π

Z x2

x1

exp

µ−(x− μ)2

2σ2

¶dx (4.3.24)

Puesto que f(x) está en la forma de una función de error, la integral anterior no puedeser evaluada analíticamente, por lo que la integración debe hacerse numéricamente. Parasimplificar el proceso de integración numérica, se modifica el integrando con un cambio devariable de modo que la integral evaluada numéricamente es general y útil para todos losproblemas. Una variable adimensional z se define como

z =x− μ

σ(4.3.25)

Ahora es posible definir la función

f(z) =1√2π

e−z2

2 (4.3.26)

la cual se denomina función de densidad normal estándar. Ella representa la función dedensidad de probabilidad normal para una variable aleatoria z con media μ = 0 y σ = 1.Esta función normalizada se muestra en la Fig. 4.4. Tomando la diferencial de la ecuación(4.3.25), dx = σdz. la ecuación (4.3.24) entonces se transformará a

P (x1 ≤ x ≤ x2) =

Z z2

z1

f(z)dz =1√2π

Z z2

z1

exp

µ−z

2

2

¶dz (4.3.27)

La probabilidad de que x esté entre x1 y x2 es la misma de que la variable transformadaz esté entre z1 y z2

P (x1 ≤ x ≤ x2) = P (z1 ≤ z ≤ z2) = P (x1 − μ

σ≤ x− μ

σ≤ x2 − μ

σ) (4.3.28)

La probabilidad P (z1 ≤ z ≤ z2) tiene un valor igual al área demarcada como (z1 y z2)en la Fig. 4.4. La curva mostrada en la figura es simétrica con respecto al eje vertical en

Page 124: libro de instrumentación UTP

106 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

z = 0, lo cual indica que con esta distribución, las probabilidades de desviaciones positivasy negativas desde z = 0 son iguales. Matemáticamente se tiene

P (−z1 ≤ z ≤ 0) = P (0 ≤ z ≤ z1) =P (−z1 ≤ z ≤ z2)

2(4.3.29)

Como se mencionó, la integral en la ecuación (4.3.24) tiene dos parámetros (μ y σ) y

2.51.250-1.25-2.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

z1 z z2

Figura 4.4: Función de distribución normal estándar.

deberá ser integrado numéricamente para cada aplicación. El término α es igual a la sumade las áreas de las colas de la derecha y de la izquierda en la Fig. 4.4. Estos conceptospueden ser reestablecidos como

P [−zα/2 ≤ z ≤ zα/2] = 1− α (4.3.30)

Sustituyendo para z, se obtiene

P

∙−zα/2 ≤

x− μ

σ/√n≤ zα/2

¸= P

∙x− zα/2

σ√n≤ μ ≤ x+ zα/2

σ√n

¸= 1− α (4.3.31)

puede también plantearse que

μ = x± zα/2σ√n

(4.3.32)

con un nivel de confianza de 1− α.

4. Considérese

E(x) =1√2πσ

Z +∞

−∞x exp

µ−(x− μ)2

2

¶dx

Page 125: libro de instrumentación UTP

4.3. PROBABILIDAD 107

Haciendo, como antes, z = x−μσ , se obtiene

E(x) =1√2π

Z +∞

−∞(σz + μ) exp

µ−z

2

2

¶dz

=1√2π

σ

Z +∞

−∞z exp

µ−z

2

2

¶dz +

1√2π

μ

Z +∞

−∞exp

µ−z

2

2

¶dz (4.3.33)

La primera de las integrales anteriores es igual a cero puesto que el integrando,

g1(z) =1√2π

σ

Z +∞

−∞z exp

µ−z

2

2

¶dz (4.3.34)

tiene la propiedad de que g1(z) = −g1(−z), y, por lo tanto, g1(z) es una función impar.La segunda integral

g2(z) =1√2π

Z +∞

−∞exp

µ−z

2

2

¶dz (4.3.35)

representa el área total bajo la función densidad de probabilidad total y, por lo tanto, es(ver el primer ítem) igual a la unidad. Luego

E(x) = μ (4.3.36)

5. Considérese

E(x2) =1√2πσ

Z +∞

−∞x2 exp

µ−(x− μ)2

2

¶dx

Haciendo nuevamente z = x−μσ , se obtiene

E(x2) =1√2π

Z +∞

−∞(σz + μ)2 exp

µ−z

2

2

¶dz

=1√2π

Z +∞

−∞σ2z2e

−z22 dz +

2μσ√2π

Z +∞

−∞ze

−z22 dz +

+μ2√2π

Z +∞

−∞e−z22 dz (4.3.37)

-La segunda integral nuevamente es igual a cero por el argumento usado anteriormente.La última integral (sin el factor μ2) es igual a la unidad. Para calcular la primera integralgo(z) =

σ2√2π

R +∞−∞ z2e−z

2/2dz, se integra por partes, obteniéndose

go(z) =σ2√2π

Z +∞

−∞z2e−z

2/2dz = − σ2√2π

ze−z2/2¯+∞−∞

+σ2√2π

Z +∞

−∞e−z

2/2dz = 0 + σ2

LuegoE(x2) = σ2 + μ2

Page 126: libro de instrumentación UTP

108 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

y por lo tantoS(x) = E(x2)− (E(x))2 = σ2

Así se encuentra que los dos parámetros μ y σ2 que caracterizan la distribución normalson la esperanza y la varianza de x, respectivamente. En otros términos, si se sabe quex está distribuido normalmente, sólo se sabe que su distribución de probabilidades es decierto tipo. Si además, se conoce E(x) y S(x), la distribución de x está completamenteespecificada.

4.3.7 La función de distribución Gamma

Antes de definir la función de distribución gamma, se debe realizar antes la siguiente

Definición 4 La función gamma denotada por Γ se define como

Γ(p) =

Z ∞

0xp−1e−xdx, para p > 0 (4.3.38)

Si se integra por partes (haciendo u = xp−1 y dv = e−xdx), se obtiene:

Γ(p) = −e−xxp−1¯∞0+

Z ∞

0(p− 1)xp−2e−xdx

= 0 + (p− 1)Z ∞

0xp−2e−xdx

= (p− 1)Γ(p− 1) (4.3.39)

Se ve que la función gamma sigue una relación recursiva. Suponiendo que p es un entero positivo,haciendo p = n y aplicando la ec (4.3.39) repetidamente se obtiene:

Γ(n) = (n− 1)Γ(n− 1)= (n− 1)(n− 2)Γ(n− 2)= (n− 1)(n− 2) · · ·Γ(1)

Sin embargo, Γ(1) =R∞0 e−xdx = 1, por lo tanto se obtiene

Γ(n) = (n− 1)! (4.3.40)

Si n es un entero positivo.

Ejercicio 1 Verificar que

Γ(12) =

Z ∞

0x−1/2e−xdx =

√π (4.3.41)

Page 127: libro de instrumentación UTP

4.3. PROBABILIDAD 109

Sol. Haciendo cambio de variable x = u2

2 y sustituyendo en (4.3.41) se obtiene

x−12 =

µu2

2

¶− 12

=√2u−1 dx = udu

Γ(12) =

Z ∞

0x−1/2e−xdx =

Z ∞

0

√2u−1e−

u2

2 udu =√2

Z ∞

0e−

u2

2 du (4.3.42)

De las propiedades de la distribución normal se puede ver queZ ∞

0e−

u2

2 du =

2I =

2(4.3.43)

Sustituyendo (4.3.43) en (4.3.42) se llega al resultado de la ecuación (4.3.41).Con la ayuda de la función gamma se puede presentar ahora la distribución gamma de

probabilidades.

Definición 5 Sea x una variable aleatoria continua que toma siempre valores no negativos. Sedice que x tiene una distribución de probabilidades gamma si su función densidad de probabilidadestá dada por

f(x) =α

Γ(r)(αx)r−1e−αx, para x > 0 (4.3.44)

= 0, para otro valor (4.3.45)

Esta distribución depende de dos parámetros, r > 0 y α > 0. La Fig. 4.5 muestra el gráficode la ecuación (4.3.44) para diversos valores de r con α = 1 (color negro) y α = 1

2 (color azul).

107.552.50

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 4.5: Gráfico de la función gamma para diferentes valores de los parámetros r y α.

Page 128: libro de instrumentación UTP

110 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

4.3.8 Propiedades de la función gamma

• Si r = 1, la ecuación (4.3.44) se transforma en f(x) = αe−αx, la cual se denomina distribu-ción exponencial la cual aparece como un caso especial de la distribución gamma.

• En la mayoría de las aplicaciones a probabilidades, el parámetro r será un entero positivo.En este caso, existe una relación entre la función de distribución acumulativa de la funcióngamma y la distribución conocida como de Poisson, la cual se expondrá en seguida.

Considerando la integral

I =

Z ∞

a

yre−y

r!dy

en donde r es un entero positivo y a > 0. Luego, r!I =R∞a yre−ydy. Integrando por partes

haciendo u = yr y dv = e−ydy, se obtiene

r!I = e−aar + r

Z ∞

ayr−1e−ydy

La integral en esta expresión es exactamente de la misma forma que la integral original con lasustitución de r por r − 1. Así, al continuar integrando por partes, se obtiene

r!I = e−a£ar + rar−1 + r(r − 1)ar−2 + · · ·+ r!

¤Por tanto

I = e−a∙ar

r!+

ar−1

(r − 1)! + · · ·+a2

21+ a+ 1

¸I = e−a

rXki=0

ak

k!=

rXi=0

P (y = k)

en donde y tiene una distribución de Poisson con parámetro α.

4.3.9 Función de distribución t

La forma funcional de la distribución t está dada por [18]

f(t, ν) =Γ(ν+12 )

√νπΓ(ν2 )

³1 + t2

ν

´ ν+12

(4.3.46)

donde Γ(x) es la función matemática conocida como función gamma. La Fig. 5.2.16 muestra ladistribución t Student para diferentes valores de los grados de libertad ν. Como en la distribuciónnormal, éstas son curvas simétricas. Cuando el número de muestras se incrementa, la distribución

Page 129: libro de instrumentación UTP

4.3. PROBABILIDAD 111

2.51.250-1.25-2.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

x

y

x

y

Figura 4.6: Función densidad de probabilidad usando la distribuci ón t Student.

t tiende a la distribución normal. La distribución t puede ser utilizada para estimar el intervalode confianza del valor medio de una muestra con cierto nivel de confianza para tamaños pequeñosde la muestra (menores que 30). La probabilidad de que t caiga entre −tα/2 y tα/2 es entonces1− α. Esto puede establecerse como

P [−tα/2 ≤ t ≤ tα/2] = 1− α (4.3.47)

Sustituyendo para t, se obtiene

P

∙−tα/2 ≤

x− μ

S/√n≤ tα/2

¸= P

∙x− tα/2

S√n≤ μ ≤ x+ tα/2

S√n

¸= 1− α (4.3.48)

puede también plantearse que

μ = x± tα/2S√n

(4.3.49)

con un nivel de confianza de 1− α.

puesto que tablas completas de la distribución t podrían resultar voluminosas, es prácticacomún especificar solamente los valores críticos de t que son funciones de ν y α. Estos son losvalores que se requieren para las ecuaciones (4.3.48) y (4.3.49). La Tabla 4.3 presenta estosvalores críticos de t

Ejemplo 10 Un fabricante de circuitos integrados (CI) desea estimar el tiempo de falla mediade un CI con un 95% de confianza. Se han probado seis sistemas y se han obtenido los siguientesdatos (tiempo de operación en horas): 1250, 1320, 1542, 1464, 1275, 1383. Estimar la media y el95% de intervalo de confianza sobre la media.

Page 130: libro de instrumentación UTP

112 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.3: Valores críticos de la distribución t Studentα/2

ν 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0051 3.078 6.314 12.706 31.823 63.6582 1.886 2.920 4.303 6.964 9.9253 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25010 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05413 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131. 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.528 2.84521 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.319 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.316 1.708 2.060 2.485 2.78726 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.311 1.699 2.045 2.462 2.75630 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750∞ 1.283 1.645 1.960 2.326 2.576

Page 131: libro de instrumentación UTP

4.3. PROBABILIDAD 113

Sol. Puesto que el número de muestras es n < 30, se puede utilizar la distribución t paraestimar el intervalo de confianza. Primero se calcula la media y la desviación estándar de losdatos

x =1

6× (1250 + 1320 + 1542 + 1464 + 1275 + 1383) = 1372.3 h

S =1

5

"5X

i=1

(xi − x)

#1/2= 114 h

El 95% de confianza corresponde a α = 0.05. De la Tabla 4.3, para ν = n − 1 = 5 y α/2 =0.025, tα/2 = 2.571. Usando la ecuación (4.3.49) y un intervalo de confianza de 95%, el tiempomedio de falla será

μ = x± tα/2S√n= 1372± 2.571× 114√

6= 1372± 120 h

Se debe notar que si se incrementa el nivel de confianza, el intervalo estimado también seincrementará y viceversa.

Ejemplo 11 En el ejemplo anterior, reducir el intervalo de confianza de 95% a ±50 h. Deter-minar cuantos CI adicionales deberán ser ensayados en este caso.

Sol. puesto que no se conoce el número de muestras no se puede seleccionar la curva dedistribución t apropiada. De aquí que el proceso de solución se debe realizar por ensayo y error.Para obtener el primer estimativo del número de muestras n, se asume que n > 30, de modoque se pueda utilizar la distribución normal Entonces se puede aplicar la ecuación (4.3.32) y elintervalo de confianza será

μ = x± zα/2σ√n= μ = x± 50

de modo que

zα/2σ√n= 50 y n =

³zα/2

σ

50

´2Para un nivel de confianza de 95%, α/2 = 0.025. Usando la distribuciónnormal estándar, seencuentra que z0.025 = 1.96. Usando S = 114 (del ejemplo anterior) como un estimativo para σ,se obtiene un primer estimativo de n:

n =

µ1.96× 114

50

¶2= 20

Puesto que n < 30, se puede utilizar la distribución t en lugar de la distribución normal. Sepuede usar n = 20 para el siguiente ensayo. Para ν = n− 1 = 19 y α/2 = 0.025, de la Tabla 4.3se obtiene t = 2.093. Este valor de t se puede utilizar con la ecuación (4.3.49) para estimar unnuevo valor de n:

μ = x± tα/2S√n= x± 50

Page 132: libro de instrumentación UTP

114 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

tα/2S√n= 50

n = tα/2

µS

50

¶2= 2.093

µ114

50

¶2= 23

Se puede usar este número como un valor de ensayo y recalcular n, pero resultará siendo elmismo. Nótese que con pruebas adicionales, el valor promedio de la muestra, x, también puedecambiar.

4.4 Estimación de Parámetros

4.4.1 Estimación del Intervalo de la Media de la Población

Se desea hacer un estimativo de la media de la población la cual toma la forma

μ = x± δ ó x− δ ≤ μ ≤ x+ δ (4.4.1)

donde δ es la incertidumbre y x es la media muestral. El intervalo x − δ hasta x + δ sedenomina intervalo de confianza de la media. Sin embargo, el intervalo de confianza depende deun concepto llamado el nivel de confianza, algunas veces llamado grado de confianza. El nivel deconfianza es la probabilidad de que la media de la población caerá entre el intervalo especificado:

Nivel de confianza = P (x− δ ≤ μ ≤ x+ δ) (4.4.2)

El nivel de confianza está normalmente expresado en términos de una variable α llamada nivelde significancia:

Nivel de confianza = 1− α (4.4.3)

α es entonces, la probabilidad de que la media caerá fuera del intervalo de confianza.El teorema del límite central hace posible realizar un estimativo del intervalo de confianza

con un adecuado nivel de confianza. Considérese una población de la variable aleatoria x con unvalor medio μ y una desviación estándar σ. De esta población se podría tomar varias muestrasdiferentes cada una de tamaño n. Cada una de estas muestras podría tener un valor medioxi, pero no se podría esperar que cada una de estas medias tenga el mismo valor. En efecto,los xi son valores de una variable aleatoria. El teorema del límite central establece que si nes suficientemente grande, los xi tienden a una distribución normal y la desviación estándar deestas medias estará dada por

σx =σ√n

(4.4.4)

La población no necesita estar distribuida normalmente para que las medias estén distribuidasnormalmente. La desviación estándar de la media también se denomina error estándar de lamedia. Para que se pueda aplicar el teorema del límite central, el tamaño n de la muestra,

Page 133: libro de instrumentación UTP

4.4. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 115

debe ser grande. En la mayoría de los casos, el valor de n debe ser superior a 30, para que seaconsiderado grande.

Del teorema de límite central se pueden establecer las siguientes conclusiones:

• Si la población original es normal, la distribución para los xi será normal.

• Si la población original es no normal y n es grande (n > 30), la distribución para los xiserá normal

• Si la población original es no normal y si n < 30, los xi seguirán una distribución normalsólo en forma aproximada.

Si el tamaño de la muestra es grande, se puede usar directamente el teorema del límite centralpara hacer un estimado del intervalo de confianza. Puesto que x está distribuido normalmente,se puede usar el valor z ecuación (4.3.25):

z =x− μ

σx(4.4.5)

y usar la función de distribución normal estándar para estimar el intervalo de confianza sobrez. σ es la desviación estándar de la población la cual, en general, no se conoce. Sin embargo,para un tamaño grande de muestras, la desviación estándar de muestras, S, puede usarse comouna aproximación de σ.

4.4.2 Estimación del Intervalo de la Varianza de la Población

En muchas situaciones la variabilidad de la variable aleatoria es tan importante como su valormedio. La mejor estimación de la varianza de la población, σ2, es la varianza muestral, S2.Como para la media de la población, es también necesario establecer un intervalo de confianzapara la varianza estimada. Para poblaciones distribuidas normalmente, se usa la función χ2

para el propósito de establecer un intervalo de confianza. Considérese una variable aleatoria xcon valor medio de población μ y desviación estándar σ. Si se asume que x = μ, la ecuacióm(4.2.5) se puede escribir como

S2 =1

n− 1

nXi=1

(xi − μ)2 (4.4.6)

la función χ2 se define como

χ2 =1

σ2

nXi=1

(xi − μ)2 (4.4.7)

Combinando las ecuaciones (4.4.6) y (4.4.7), se obtiene

χ2 = (n− 1)S2

σ2(4.4.8)

Page 134: libro de instrumentación UTP

116 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

La función densidad de probabilidad par auna población distribuida normalmente está dadapor

f(χ2) =(χ2)(ν−2)/2e−χ

2/2

2ν/2Γ(ν/2)para χ2 > 0 (4.4.9)

donde v es el número de grados de libertad y Γ es una función que se puede obtener de tablasnormalizadas. En la Fig. 4.7 se muestran algunas gráficas con variación del parámetro ν.

107.552.50

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 4.7: Distribución f(χ2) ≡ f(z) para algunos valores de ν. [ν = 1 (línea continua), ν = 2(trazos), ν = 3 (puntos), ν = 5 (puntos y trazos)].

Como con otras funciones de densidad de probabilidad, la probabilidad que la variable χ2

caiga entre cualquier par de valores es igual al área bajo la curva entre esos valores (como seilustra en la Fig. 4.8).En forma de ecuación, esto es

P (χ2ν,1−α/2 ≤ χ2 ≤ χ2ν,α/2) = 1− α (4.4.10)

α es el nivel de significancia como se definió antes y es igual a (1−nivel de confianza). Susti-tuyendo para χ2 en la ecuación (4.4.8), se obtiene

P

∙χ2ν,1−α/2 ≤ (n− 1)

S2

σ2≤ χ2ν,α/2

¸= 1− α (4.4.11)

Puesto que χ2 es siempre positivo, esta ecuación puede arreglarse de modo que se pueda dar unintervalo de confianza sobre la varianza de la población

(n− 1)S2χ2ν,α/2

≤ σ2 ≤ (n− 1)S2

χ2ν,1−α/2(4.4.12)

Page 135: libro de instrumentación UTP

4.4. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 117

107.552.50

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

x

y

x

y

Figura 4.8: Intervalo de confianza para la distribución chi—cuadrado.

En la ecuación (4.4.11), α es el área total de los extremos mostrados en la Fig. 4.8, de modoque cada extremo (cola) tiene un área de α/2.

4.4.3 Criterio para el rechazo de datos dudosos

En algunos experimentos sucede que uno o más valores medidos aparecen por fuera de líneacon el resto de datos. Si se puede detectar alguna falla clara en la medición de aquellos valoresespecíficos, éstos se pueden descartar. Pero a veces es difícil detectar estos datos erroneos.Existe un número de métodos estadísticos para el rechazo de estos valores. Las bases de estosmétodos es eliminar los valores que tienen baja probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, losvalores de los datos que se desvían de la media por más de dos o por más de tres en la desviaciónestándar deberán ser rechazados. Se ha encontrado que el criterio de rechazo denominadosigma—dos y sigma—tres debe modificarse para tener en cuenta el tamaño de la muestra. Másaún, dependiendo del tipo de criterio de rechazo que se emplee, podrían eliminarse datos buenose incluírse datos malos.

El método recomendado en el documento de ANSI/ASME, 86 [1] es la técnica de Thompsonτ modificada. En este método, si se tienen n medidas con una media x y una desviación estándarS, se pueden arreglar los datos en orden ascendente x1, x2, . . . , xn. Los valores extremos (el másalto y el más bajo) son candidatos a rechazo. Para estos puntos descartables, la desviación, δ,se calcula como

δi = |xi − x| (4.4.13)

y se selecciona el valor más grande. El siguiente paso es encontrar un valor de τ de la Tabla 4.4.

Page 136: libro de instrumentación UTP

118 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.4: Valores de los coeficientes de Thompson. Según: ANSI/ASME—86

n τ n τ n τ n τ3 1.150 13 1.840 23 1.896 33 1.9164 1.393 14 1.849 24 1.899 34 1.9175 1.572 15 1.858 25 1.902 35 1.9196 1.656 16 1.865 26 1.904 36 1.9207 1.711 17 1.871 27 1.906 37 1.9218 1.749 18 1.876 28 1.908 38 1.9229 1.777 19 1.881 29 1.910 39 1.92310 1.798 20 1.885 30 1.911 40 1.92411 1.815 21 1.889 31 1.913 41 1.92512 1.829 22 1.893 32 1.914 42 1.926

El valor más grande de δi se debe comparar con el producto de τ y la desviación estádar, S. Si

δ > τS (4.4.14)

los valores de los datos se pueden rechazar. De acuerdo a este método, sólo el valor de undato deberá ser eliminado. Se deberá recalcular la media y la desviación estándar de lo datosrestantes y repetirse el proceso. Se deberá repetir el proceso hasta que ningún dato deba sereliminado.

Ejemplo 12 Se tomaron nueve medidas de tensión en un circuito eléctrico obteniéndose lossiguientes datos: 12.02, 12.05, 11.96, 11.99, 12.10, 12.03, 12.00, 11.95, 12.16 V. Determine sialgún dato tomado debe ser rechazado.

Sol. Para los nueve valores anteriores, V = 12.03V y S = 0.07.Utilizando la prueba de-Thompson se obtiene:

δ1 =¯Vmax − V

¯= |12.16− 12.03| = 0.13

δ2 =¯Vmın − V

¯= |11.95− 12.03| = 0.08

Usando la Tabla 4.4 para n = 9, τ = 1.777. Entonces τS = 1.777 × 0.07 = 0.124. Puesto queδ1 = 0.13 > τS = 0.124, deberá ser rechazado. Ahora deberá recalcularse S y V , lo cual da 0.05y 12.02, respectivamente. Para n = 8, τ = 1.749, τS = 0.09 y ninguno de los datos restantesdeberá rechazarse.

4.5 Correlación de los Datos Experimentales

La dispersión debida a errores aleatorios es una característica común de virtualmente todas lasmediciones. Sin embargo, en algunos casos la dispersión puede ser tan grande que es difícil

Page 137: libro de instrumentación UTP

4.5. CORRELACIÓN DE LOS DATOS EXPERIMENTALES 119

detectar una tendencia. Considérese un experimento en el cual una variable independiente xvaría sistemáticamente y entonces se mide la variable dependiente y. Se desea determinar si elvalor de y depende del valor de x. Para determinar si hay dependencia entre los datos y unacierta variable, se define un parámetro estadístico llamado coeficiente de correlación el cualse puede utilizar para determinar si una tendencia aparente es verdadera o es puramente unaconsecuencia del azar.

El coeficiente de correlación, rxy, es un número cuya magnitud puede usarse para determinarsi en efecto existe una relación funcional entre dos variables medidas x y y. Si se tienen dosvariables x y y y el experimento conduce a n pares de datos [(xi, yi), i = 1, n], se define elcoeficiente de correlación lineal como

rxy =

nPi=1(xi − x)(yi − y)∙

nPi=1(xi − x)2

nPi=1(yi − y)2

¸1/2 (4.5.1)

donde x y y son los valores medios de x y de y obtenidos experimentalmente y están dados por

x =1

n

nXi=1

xi y =1

n

nXi=1

yi (4.5.2)

El valor resultante de rxy caerá en el rango de −1 a +1 Un valor de +1 podría indicar unarelación lineal perfecta entre las variables con una pendiente positiva (es decir, un incrementoen x resulta en un incremento en y). Un valor de −1 indica una relación lineal perfecta conpendiente negativa (un incremento en x produce un decremento en y). Un valor de cero indicaque no hay correlación lineal entre las variables. Aún si no hay correlación, es poco probableque rxy sea exactamente cero. Para un tamaño dado de muestras, se puede utilizar la teoríaestadística para determinar si un rxy calculado tiene significado o es consecuencia del azar.

Para problemas prácticos, se puede simplificar este proceso en la forma de una tabla simple.Los valores críticos de r, definidos como rt se han calculado [34] y se muestran en la Tabla 4.5.rt es función del número de muestras y del nivel de significancia, α.

Los valores de r en esta tabla son los valores límites que podrían esperarse por puro azar.Por cada valor rt en la tabla hay solamente una probabilidad α de que un valor experimental derxy sea mayor por puro azar. Inversamente, si el vaor experimental excede el valor en la tabla, sepuede esperar que ese valor experimental muestre una correlación real con el nivel de confianza1 − α. Para propósitos prácticos, se toma a menudo el nivel de confianza como 95%, el cualcorresponde a un valor de α de 0.05. Para un conjunto de datos dado, se obtiene rt de la tabla yse compara con el valor calculado de los datos rxy. Si |rxy| > rt, se puede suponer que y dependede x en una manera no aleatoria y puede esperarse que una relación lineal ofrecerá algunaaproximación a la verdadera relación funcional. Un valor de |rxy| < rt implica que no se tendráconfianza en que exista una relación funcional lineal No es necesario que la relación funcional

Page 138: libro de instrumentación UTP

120 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

sea realmente lineal para que se pueda calcular un coeficiente de correlación significativo. Porejemplo, una relación funcional parabólica que muestre una pequeña dispersión en los datospuede mostrar un alto valor en el coeficiente de correlación. Por otra parte, algunas relacionesfuncionales, mientras sean más fuertes (v.gr., funciones circulares multivaloradas) resultaraánen un valor muy bajo de rxy.

Se deben tener otras precauciones cuando se usan coeficientes de correlación:

• Un simple valor de los datos mal tomado, puede ocasionar un efecto fuerte en los valoresde rxy.

• También es un error concluir que un valor significativo del coeficiente de correlación im-plica que un cambio en una variable causa un cambio en la otra. La casualidad deberádeterminarse desde otro ángulo del problema

Ejemplo 13 Se sabe que los tiempos por vuelta en una carrera de automóviles dependen de latemperatura ambiente. Se tomaron en la misma pista, en diferentes carreras, para el mismocarro y con el mismo piloto, los siguientes datos:

Temperatura ambiente (C) 4.4 8.3 12.8 16.7 18.9 31.1Tiempo por vuelta (s) 65.3 66.5 67.3 67.8 67 66.6

¿Existe una relación lineal entre estas dos variables?

Sol. Primero, se grafican los datos como en la Fig. 4.9. Mirando la gráfica, podría pensarseque hay una ligera correlación entre la temperatura ambiente y el tiempo de giro. Se calcularáel coeficiente de correlación para determinar si esta correlación es real o es debida al azar.

Se puede determinar este coeficiente utilizando la ecuación (4.5.1). Para ello se hacen loscálculos como se muestra en la tabla siguiente:

x y x− x (x− x)2 y − y (y − y)2 (x− x)(y − y)

65.3 4.4 −1.45 2.10 −10.967 120.28 15. 9066.5 8.3 −0.25 0.06 −7.067 49.94 1. 7767.3 12.8 0.55 0.30 −2.567 6.59 −1. 4167.8 16.7 1.05 1.10 1.333 1.78 1. 4067.0 18.9 0.25 0.06 3.533 12.48 0.8866.6 31.1 −0.15 0.02 15.733 247.53 -2. 36P= 400.5

P= 92.2

P= 3.66

P= 438.6

P= 16. 18

x = 66.75 y = 15.367

Ahora se puede calcular el coeficiente de correlación utilizando la ecuación (4.5.1):

Page 139: libro de instrumentación UTP

4.6. AJUSTE DE CURVAS 121

Figura 4.9: Valores gráficos de los pares temperatura—tiempo.

rxy =

nPi=1(xi − x)(yi − y)∙

nPi=1(xi − x)2

nPi=1(yi − y)2

¸1/2 = 16. 18

[3.66 ∗ 438.6]1/2= 0.403 83

Para un nivel de confianza de 95%, α = 1 − 0.95 = 0.05. Para los seis pares de datos, dela Tabla 4.5, se obtieneun valor de rt = 0.811. Puesto que rxy < rt, se puede concluir que laaparente tendencia en los datos es probablemente causada por pura casualidad.

4.6 Ajuste de Curvas

La aplicación de técnicas numéricas en la ciencia y la ingeniería involucra con mucha frecuenciael ajuste a curvas de los datos experimentales. A continuación se estudiarán algunos métodospara ajustar datos experimentales a una curva dada siguiendo un proceso sistemático.

4.6.1 Regresión lineal

A menudo se presenta el caso en el cual un experimento produce un conjunto de puntos apartir de datos tomados a pares (x1, y1), . . . , (xn, yn), donde las abscisas xk son distintas.El problema es determinar una fórmula y = f(x) que relacione estas variables. Usualmente,

Page 140: libro de instrumentación UTP

122 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

se escoge una clase de fórmulas posibles y entonces se deben determinar los coeficientes. Haymuchas posibilidades diferentes que pueden utilizarse para un cierto tipo de función. Hay amenudo, un modelo matemático subyacente, basado en la situación física, que determinará laforma de la función. En esta sección se enfatizará la clase de funciones lineales de la forma:

y = f(x) = Ax+B (4.6.1)

Si se conocen todos los valores numéricos xk, yk con varios digitos significativos de pre-cisión, entonces la interpolación polinomial se puede usar exitosamente; de otra forma no. ¿Cómoencontrar la mejor aproximación lineal de la forma de la ecuación (4.6.1) que se ajuste cercana-mente a estos puntos? Para responder a esta pregunta, se requiere discutir los errores (tambiénllamados desviaciones o residuos), es decir:

ek = f(xk)− yk para 1 ≤ k ≤ n (4.6.2)

Hay varias normas que pueden ser usadas con los residuos en la ecuación (4.6.2) para medircuan cerca de la curva y = f(x) están los datos.

Máximo error E∞(f) = max1≤k≤n

|f(xk)− yk| (4.6.3)

Error promedio E1(f) =1

n

nXk=1

|f(xk)− yk| (4.6.4)

Error RMS E2(f) =

Ã1

n

nXk=1

|f(xk)− yk|2! 1

2

(4.6.5)

Error estádar de la estimación Eyx =

vuuut nPk=1

y2k −BnP

k=1

yk −AnP

k=1

xkyk

n− 2 (4.6.6)

Criterio para un mejor ajuste

Sea (xk, yk)nk=1 un conjunto de n puntos, donde las abscisas xk son distintas. La línea demínimos cuadrados y = f(x) = Ax + B es la línea que minimiza el error de la raíz cuadráticamedia E2(f).

La cantidad E2(f) será un mínimo si y solamente si la cantidad n(E2(f))2 =

Pnk=1(Ax +

B − yk)2 es mínima. El siguiente resultado explica este proceso

Page 141: libro de instrumentación UTP

4.6. AJUSTE DE CURVAS 123

Teorema 2 (Ajuste de una línea recta utilizando mínimos cuadrados) Supóngase que(xk, yk)nk=1 son n puntos, donde las abscisa xk, nk=1 son distintos. Los coeficientes de la líneade mínimos cuadrados y = Ax+B son las solución del siguiente sistema lineal conocido comola ecuación normal.

53.752.51.250

4

3

2

1

0

x

y

x

y

Figura 4.10: Las distancias verticales entre los puntos (xk, yk) y la línea definida con mínimoscuadrados y = Ax+B.

⎡⎢⎢⎣nP

k=1

x2knP

k=1

xk

nPk=1

xk n

⎤⎥⎥⎦∙ AB

¸=

⎡⎢⎢⎣nP

k=1

xkyk

nPk=1

yk

⎤⎥⎥⎦ (4.6.7)

Prueba. Geométricamente, se comienza con la línea y = Ax + B La distancia vertical dkdesde el punto (xk, yk) hasta el punto (xk, Axk +B) sobre la línea es dk = |Axk +B − yk| (verFig. 4.10) Se debe minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales dk :

E(A,B) =nX

k=1

(Axk +B − yk)2 =

nXk=1

d2k (4.6.8)

El valor mínimo de E(A,B) se determina haciendo las derivadas parciales ∂E/∂A y ∂E/∂Biguales a cero y resolviendo estas ecuaciones para A y B. Nótese que xk y yk son constantesen la ecuación (4.6.8) y que A y B son las variables. Fijando B, y derivando E(A,B) conrespecto a A, se obtiene

∂E(A,B)

∂A=

nXk=1

2(Axk +B − yk)(xk) = 2nX

k=1

(Ax2k +Bxk − xkyk) (4.6.9)

Page 142: libro de instrumentación UTP

124 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Ahora, fijando A y derivando E(A,B) con respecto a B, se obtiene

∂E(A,B)

∂B=

nXk=1

2(Axk +B − yk) = 2nX

k=1

(Axk +B − yk) (4.6.10)

Haciendo las derivadas parciales iguales a cero en (4.6.9) y (4.6.10), y usando la propiedadde distribución de la suma se llega a:

0 =nX

k=1

(Ax2k +Bxk − xkyk) = AnX

k=1

x2k +BnX

k=1

xk −nX

k=1

xkyk (4.6.11)

0 =nX

k=1

(Axk +B − yk) = AnX

k=1

xk + nB −nX

k=1

yk (4.6.12)

Estas ecuaciones escritas en forma de matriz conducen al resultado (4.6.7).

Problema 1 (Ajuste de una línea recta usando mínimos cuadrados) Construir la mejorlínea recta que se ajuste a los datos dados por los n puntos (x1, y1), . . . , (xn, yn).

Sol. El siguiente programa en MatlabR°resuelve el problema. Nótese que también aparecen

los valores de los puntos dados. En la gráfica de la Fig. 4.11 se muestra la mejor recta factiblepara este problema.

X=[-1,0,1,2,3,4,5,6]’;Y=[10,9,7,5,4,3,0,-1]’;D=length(X)*sum(X’*X)-sum(X)*sum(X);A=1/D*(length(X)*sum(X’*Y)-sum(X)*sum(Y));B=1/D*(sum(X’*X)*sum(Y)-sum(X)*sum(X’*Y));fprintf(’A= %12.3f\n’,A)fprintf(’B= %12.3f\n’,B)x=-2:0.01:10;y=A*x+B;plot(x,y)hold onplot(X,Y,’r*’)hold offgrid onxlabel(’x’),ylabel(’y’)title(’Ajuste de una recta usando mínimos cuadrados’ )La mejor recta resultante será

y = −1.607x+ 8.643

Page 143: libro de instrumentación UTP

4.6. AJUSTE DE CURVAS 125

- 2 0 2 4 6 8 1 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

x

y

A ju s t e d e u n a re c t a u s a n d o m ín im o s c u a d ra d o s

Figura 4.11: Línea y = Ax+B

el error estándar de la función estimada es

Eyx =1√n− 2

vuut nXk=1

y2k −BnX

k=1

yk −AnX

k=1

xkyk =

r281− 8.643 ∗ 37 + 1.607 ∗ 25

8− 2 = 0.480 28

Esto representa la desviación de los datos y alrededor de los datos predichos por la mejorlínea de ajuste. La mejor línea de ajuste, junto con los datos se encuentra graficada en la Fig.4.11. La regresión lineal de dos variables es una característica estándar en la mayoría de losprogramas de hoja de cálculo en los computadores, requiriendo solamente la entrada de doscolumnas de números.

Ejemplo 14 La siguiente tabla representa la salida (V ) de un transformador diferencial variablelineal (LVDT) para cinco datos de entrada. Determinar la mejor recta que se ajuste a estos datosy hacer la gráfica correspondiente.

L [cm] 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50v[v] 0.05 0.52 1.03 1.50 2.00 2.56

Sol. Para resolver el problema, aplicamos los datos en el programa del Problema 1, obetién-dose:

A = 0.9977

B = 0.0295

Page 144: libro de instrumentación UTP

126 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

La mejor línea recta resultante será

y = 0.9977x+ 0.0295

donde y es la tensión y x el desplazamiento. El error estándar de la estimación para estos datosse obtiene como antes, aplicando la ecuación (4.6.6):

Eyx =1√n− 2

vuut nXk=1

y2k −BnX

k=1

yk −AnX

k=1

xkyk =

µ14.137− 0.0295 ∗ 7.66− 0.9977 ∗ 13.94

6− 2

¶1/2= 0.0278

Esto representa la desviación de los datos de y alrededor de los datos predichos por la mejorlínea recta. Esta recta, junto con los datos se grafica en la Fig. 4.12.

Figura 4.12: Aproximación de un conjunto de datos a una línea recta.

4.6.2 Ajuste a una función potencia y = AxM

Algunas situaciones involucran f(x) = AxM , donde M es una constante conocida. En este casohay solamente un parámetro A es determinado.

Teorema 3 Ajuste a una función potencia. Supóngase que (xk, yk)nk=1 son n puntos,donde las abscisas son distintas. El coeficiente A de la curva de potencia con aproximación pormínimos cuadrados y = AxM está dada por

Page 145: libro de instrumentación UTP

4.6. AJUSTE DE CURVAS 127

A =

nPk=1

xMk yk

nPk=1

x2Mk

(4.6.13)

Usando la técnica de mínimos cuadrados, se obtiene un mínimo de la función E(A) así:

E(A) =nX

k=1

(AxMk − yk)2 (4.6.14)

En este caso es suficiente resolver E(A) = 0. La derivada es

E(A) = 2nX

k=1

(AxMk − yk)(xMk ) = 2

nXk=1

(Ax2Mk − xMk yk) (4.6.15)

Entonces, el coeficiente A es la solución de la ecuación

0 = AnX

k=1

x2Mk −nX

k=1

xMk yk (4.6.16)

la cual se reduce a la fórmula en la ecuación (4.6.13).

4.6.3 Ajuste aproximado a una curva

Método de linealización de datos para y = CeAx

Supóngase que se tienen los puntos (x1, y1), . . . , (x1, y1) y se desea ajustar a una curva exponen-cial de la forma

y = CeAx (4.6.17)

El primer paso es tomar el logaritmo en ambos lados:

ln(y) = Ax+ ln(C) (4.6.18)

Entonces se introduce el cambio de variables:

Y = ln(y), X (x) y B = ln(C) (4.6.19)

Esto resulta en una relación entre la nueva variable X y Y :

Y = AX +B (4.6.20)

Page 146: libro de instrumentación UTP

128 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Los puntos originales (xk, yk) en el plano xy se transforman en los puntos (Xk, Yk) = (xk, ln(yk))en el plano XY. Este proceso es llamado linealización de datos.Entonces el método de mínimoscuadrados de la ecuación (4.6.20) ajusta la línea a los puntos (Xk, Yk). Las ecuaciones nor-malizadas para encontrar A y B son:⎡⎢⎢⎣

nPk=1

X2k

nPk=1

Xk

nPk=1

Xk n

⎤⎥⎥⎦∙ AB

¸=

⎡⎢⎢⎣nP

k=1

XkYk

nPk=1

Yk

⎤⎥⎥⎦ (4.6.21)

El parámetro C se calcula de la ecuación (4.6.17), una vez hallados los valores de A y B:

C = eB (4.6.22)

Ejemplo 15 Use el método de linealización de datos y encuentre el ajuste exponencial y = CeAx

para los puntos dados por (0,1.5), (1,2.5), (2,3.5), (3,5) y (4,7.5).

Sol. Aplicando la transformación (4.6.19) se obtiene:

(Xk, Yk) = (0, ln(1.5)), (1, ln(2.5)), (2, ln(3.5)), (3, ln(5.0)), (4, ln(7.5))= (0, 0.40547), (1, 0.91629), (2, 1.25276), (3, 1.60944), (4, 2.01490)(4.6.23)

La ecuación de la recta Y = AX +B ajustada por mínimos cuadrados para los puntos (4.6.23)está dada después de cálculos (ver Problema 1) por

Y = 0.391202X + 0.457367 (4.6.24)

y la gráfica correspondiente se muestra en la Fig. 4.13.El valor de C se determina de la ecuación (4.6.22), es decir, C = e0.457367 = 1. 6. De aquí se

obtiene el ajuste exponencial dado por:

y = 1. 6e0.391202x (4.6.25)

cuya gráfica se muestra en la Fig. 4.14.

4.6.4 Ajuste polinomial

Cuando el métodoprecedente se adapta para usar las funciones fj(x) = xj−1y el índice de losrangos de sumación desde j = 1 hasta j = m + 1, la función f(x) será un polinomio de gradom :

f(x) = c1 + c2x+ c3x2 + · · ·+ cm+1x

m (4.6.26)

Ahora se mostrará como encontrar, v. gr., la parábola con mínimos cuadrados, y la extensióna un polinomio de grado más alto.

Page 147: libro de instrumentación UTP

4.6. AJUSTE DE CURVAS 129

53.752.51.250

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

Figura 4.13: Puntos de datos transformados (Xk, Yk).

Teorema 4 (Parábola con mínimos cuadrados) Supóngase que (xk, yk)nk=1 son n puntos,donde las abscisas son distintas. Los coeficientes de la parábola por mínimos cuadrados

y = f(x) = Ax2 +Bx+ C (4.6.27)

son los valores solución de A,B y C del sistema lineal

ÃnX

k=1

x4k

!A+

ÃnX

k=1

x3k

!B +

ÃnX

k=1

x2k

!C =

nXk=1

ykx2kÃ

nXk=1

x3k

!A+

ÃnX

k=1

x2k

!B +

ÃnX

k=1

xk

!C =

nXk=1

ykxk (4.6.28)ÃnX

k=1

x2k

!A+

ÃnX

k=1

xk

!B + nC =

nXk=1

yk

Prueba. Los coeficientes A,B y C minimizarán la cantidad

0 = E(A,B,C) =nX

k=1

¡Ax2k +Bxk + C − yk

¢2(4.6.29)

Page 148: libro de instrumentación UTP

130 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

53.752.51.250

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

Figura 4.14: Ajuste exponencial a y = 1. 6.e0.391202x obtenido por el método de linealización delos datos

Las derivadas parciales relativas a A,B y C deben ser cero. Esto resulta en

0 =∂E

∂A= 2

nXk=1

¡Ax2k +Bxk + C − yk

¢(x2k)

0 =∂E

∂B= 2

nXk=1

¡Ax2k +Bxk + C − yk

¢(xk) (4.6.30)

0 =∂E

∂C= 2

nXk=1

¡Ax2k +Bxk + C − yk

¢Usando la propiedad distributiva de la adición y llevándola a forma de matriz se obtiene:⎡⎣ Pn

k=1 x4k

Pnk=1 x

3k

Pnk=1 x

2kPn

k=1 x3k

Pnk=1 x

2k

Pnk=1 xkPn

k=1 x2k

Pnk=1 xk n

⎤⎦⎡⎣ ABC

⎤⎦ =⎡⎣ Pn

k=1 ykx2kPn

k=1 ykxkPnk=1 yk

⎤⎦ (4.6.31)

que es la misma expresión dada por la ecuación (4.6.30)

Ejemplo 16 Encontrar la parábola con mínimos cuadrados para los cuatro puntos (−3, 3), (0, 1), (2, 1)y (4, 3).

Sol. Los datos y operaciones de suma requeridas, se muestran en la Tabla 4.6El sistema lineal quedará: ⎡⎣ 353 45 29

45 29 329 3 4

⎤⎦⎡⎣ ABC

⎤⎦ =⎡⎣ 7958

⎤⎦

Page 149: libro de instrumentación UTP

4.6. AJUSTE DE CURVAS 131

La solución de este sistema lineal es A = 585/3278, B = −631/3278, C = 1394/1639 y laparábola deseada es

y = 0.17846x2 − 0.1925x+ 0.85052

3.752.51.250-1.25-2.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x x

Figura 4.15: Ajuste a una parábola usando mínimos cuadrados.

La respuesta gráfica se puede ver en la Fig. 4.15.

4.6.5 Software para Análisis Estadístico de Datos Experimentales

El análisis estadístico y la presentación de los datos ha llegado a ser una característica nece-saria de muchos proyectos de ingeniería y administración. La mayoría de las hojas de cálculoelectrónico contienen funciones estadísticas y algunos programas contienen altas capacidades es-

tadísticas (v. gr., MatlabR°, SWP

R°, Stella

R°, Excel

R°, etc.). Los mejores programas contienen

no solamente cálculos par determinar la media y la dispersión estándar, ordenamiento de datose histogramas, sino también cálculos de coeficientes de regresión lineal y no lineal, coeficientes

de correlación y tablas de funciones de distribución (t, χ2, etc) (SimscriptR°).

Page 150: libro de instrumentación UTP

132 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.5: Valores mínimos del coeficiente de correlación para un nivel de significancia a.

αn 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

3 0.951 0.988 0.997 1.000 1.0004 0.800 0.900 0.950 0.980 0.9905 0.687 0.805 0.878 0.934 0.9596 0.608 0.729 0.811 0.882 0.9177 0.551 0.669 0.754 0.833 0.8758 0.507 0.621 0.707 0.789 0.8349 0.472 0.582 0.666 0.750 0.79810 0.443 0.549 0.632 0.715 0.76511 0.419 0.521 0.602 0.685 0.73512 0.398 0.497 0.576 0.658 0.70813 0.380 0.476 0.553 0.634 0.68414 0.365 0.458 0.532 0.612 0.66115 0.351 0.441 0.514 0.592 0.64116 0.338 0.426 0.497 0.574 0.62317 0.327 0.412 0.482 0.558 0.60618 0.317 0.400 0.468 0.543 0.59019 0.308 0.389 0.456 0.529 0.57520 0.299 0.378 0.444 0.516 0.56125 0.265 0.337 0.396 0.462 0.50530 0.241 0.306 0.361 0.423 0.46335 0.222 0.283 0.334 0.392 0.43040 0.207 0.264 0.312 0.367 0.40345 0.195 0.248 0.294 0.346 0.38050 0.184 0.235 0.279 0.328 0.361100 0.129 0.166 0.197 0.233 0.257200 0.091 0.116 0.138 0.163 0.180

Tabla 4.6: Obtención de los coeficientes para un parábola de mínimos cuadrados

xk yk x2k x3k x4k xkyk x2kyk−3 3 9 −27 81 −9 270 1 0 0 0 0 02 1 4 8 16 2 44 3 16 64 256 12 48P

= 3P= 8

P= 29

P= 45

P= 353

P= 5

P= 79

Page 151: libro de instrumentación UTP

Capítulo 5

Incertidumbre Experimental

5.1 Introducción

El análisis de la incertidumbre es parte vital de cualquier programa experimental o diseño desistemas de medida. En este capítulo, se proporcionarán métodos para combinar las incertidum-bres de las fuentes de manera que se pueda estimar la incertidumbre de los resultados finalesde un experimento. Cualquier resultado experimental involucrará algún nivel de incertidumbreque puede ser originada por diferentes causas tales como la carencia de precisión del equipo demedida, variación aleatoria de los elementos de medición (parámetros físicos) y aproximacionesen los datos recolectados. Todas estas incertidumbres pueden eventualmente afectar el resultadofinal de la medición, llevando al sistema a una incertidumbre global. A este resultado se le de-nomina propagación de la incertidumbre y es un aspecto importante de cualquier experimentoen ingeniería. El análisis de incertidumbre se efectúa en varias etapas del proceso:

• Etapa de diseño. Para seleccionar las técnicas de medición y los dispositivos requeridos.

• Después de completar la toma de datos. Para demostrar o verificar la validez de losresultados.

• Mientras se realizan o se validan los experimentos. Para identificar las acciones correctivas

Los aspectos básicos se presentan en este capítulo. Para detalles adicionales se puede con-sultar la Norma ANSI/ASME(1986) [1].

5.2 Propagación de las Incertidumbres

Sea R, una función resultante de n variables independientes medidas x1, x2, . . . , xn dada por

R = f(x1, x2, . . . , xn) (5.2.1)

133

Page 152: libro de instrumentación UTP

134 CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

Las xi son las cantidades medidas (salidas de instrumento o componentes). Se puede rela-cionar un pequeño cambio en R, δ con pequeños cambios en los xi, δxi a través de la expresióndiferencial

δR =∂R

∂x1δx1 +

∂R

∂x2δx2 + · · ·+

∂R

∂xnδxn =

nXi=1

∂R

∂xiδxi (5.2.2)

Esta ecuación es exacta si los δ son infinitesimales: de otra forma, es una aproximación. SiR es un resultado calculado basado en los xi medidos, se pueden reemplazar los valores de losδxi por las incertidumbres en las variables, denotadas por wxi y δR se puede reemplazar por laincertidumbre en el resultado denotada por wR.

Cada uno de los términos de la ecuación (5.2.2) puede ser positivo o negativo y, puesto quese designarán los w como un rango más/menos para la mayoría de los errores probables, laecuación (5.2.2) no producirá un valor verdadero para wR. Podría ser posible, en principio, quelos términos positivos y negativos llegaran a cancelarse obteniéndose eventualmente un valor decero para wR. Por lo tanto, se utiliza estimar el valor de la incertidumbre de R haciendo positivostodos los términos del miembro de la derecha de la ecuación (5.2.2). En forma matemática,quedará:

wR =nXi=1

¯∂R

∂xiwxi

¯(5.2.3)

No es muy probable que todos los términos en la ecuación (5.2.2) sean simultáneamentepositivos o que los errores en los x individuales estén en el extremo del intervalo de incertidumbre.Consecuentemente, la ecuación (5.2.3) producirá un estimativo muy alto para wR. Un mejorestimativo para la incertidumbre está dado por

wR =

vuut nXi=1

µ∂R

∂xiwxi

¶2(5.2.4)

Las bases conceptuales para la ecuación (5.2.4) se discuten, v.gr., en Coleman y Steel [9].A veces se conoce como raiz cuadrada de la suma de los cuadrados (rcs). Cuando se usa laecuación (5.2.4), el nivel de confianza en la incertidumbre del resultado R, será la misma que losniveles de confianza de las incertidumbres en los x. Como conclusión, es conveniente que todaslas incertidumbres utilizadas en la ecuación (5.2.4) sean evaluadas al mismo nivel de confianza.

Hay una restricción significativa para el uso de la ecuación (5.2.4). Cada una de las variables,como se dijo al principio, deben ser independientes entre si. Esto es, un error en una variableno deberá estar correlacionado con el error en otra. Si las variables no son independientes, laformulación es ligeramente diferente y se discute en [1] y en [9].

Cuando en el problema se conoce una cierta precisión total necesaria y se desea saber quéprecisiones se requieren en los componentes, puede emplearse un método aproximativo. Para

Page 153: libro de instrumentación UTP

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES 135

ello es posible apreciar que este problema es matemáticamente indeterminado, ya que existe unnúmero infinito de combinación de estimativos para las incertidumbres individuales que puedandar por resultado la misma incertidumbre total. Los medios para eliminar esta dificultad seencuentran en el método de efectos iguales. En esta teoría se supone simplemente que cadafuente de error contribuirá con una cantidad de error igual. Matemáticamente, si

wR =

vuut nXi=1

µ∂R

∂xiwxi

¶2entonces, si cada término contribuye con el mismo error se tendrá:

wR =

sµn∂R

∂xwx

¶2(5.2.5)

y de aquí se obtiene despejando wx :

wx =wR√n¡∂R∂x

¢ (5.2.6)

De esta expresión, se puede obtener el error admisible, wx para cada medida que deba realizarse.

Ejemplo 17 Para calcular el consumo de potencia en un circuito resistivo, se han medido latensión y la corriente en el mismo encontrándose para la tensión V = 120± 2 V y para la cor-riente I = 10± 0.2 A.Calcular el errormáximo posible y el mejor estimativo de la incertidumbreen el cálculo de la potencia. Suponer el mismo nivel de confianza para V e I.

Sol. Escribiendo la ecuación de potencia P = V I y calculando las derivadas parcialesrespecto a V e I se obtiene

∂P

∂V= I = 10A

∂R

∂I= V = 120V

Entonces

wPmax =

¯∂P

∂VwV

¯+

¯∂P

∂IwI

¯= 10× 2 + 120× 0.2 = 44W

wP =

sµ∂P

∂VwV

¶2+

µ∂P

∂IwI

¶2=p(10× 2)2 + (120× 0.2)2 = 31.24W

El máximo error en 44W es del 3.67% de la potencia (P = V I = 120×10 = 1200W ) mientrasque valor estimativo de la incertidumbre es a 31.24W es 2.60%.

Si la resultante R es dependiente solo del producto de las variables medidas, es decir,

Page 154: libro de instrumentación UTP

136 CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

R = Cxλ11 xλ22 · · ·xλnn (5.2.7)

Se puede demostrar que la ecuación (5.2.4) toma una forma más simple:

wR

R=

vuut nXi=1

µwi

xiλi

¶2(5.2.8)

Esta fórmula es más fácil de usar puesto que el error fraccional en el resultado R, estárelacionado directamente con los errores fraccionales en las medidas individuales. Cada uno delos exponentes λ1, λ2, · · · , λn puede ser positivo o negativo.

Una característica importante de las ecuaciones (5.2.4) y (5.2.8) es que, puesto que lostérminos individuales son elevados al cuadrado antes de sumarse, los términos de valor mayortienden a ser dominantes. La ecuación (5.2.4) también se puede utilizar en la fase de diseño deun esperimento para determinar la precisión requerida de los instrumentos y otros componentes.

Ejemplo 18 Considérese un experimento para medir, por medio de un dinamómetro, el prome-dio de potencia transmitida por un eje giratorio. La fórmula para la potencia en caballos defuerza puede escribirse como:

Php =2πνLF

550t(5.2.9)

donde ν $ revoluciones del eje durante el tiempo t, L $ longitud del brazo del par motor,[pies], F $ fuerza en el extremo del brazo del par, [lbf], t $ tiempo que dura el experimento,[s].Si para una observación específica los datos son:

ν = 1202± 1.0 revF = 10.12± 0.04 lbfL = 15.63± 0.05t = 60.00± 0.50 s

Sol. Transformando la ecuación (5.2.9) en función de unidades de pulgada, se tiene

Php =2π

12× 550νLF

t= κ

νLF

t(5.2.10)

donde κ = 9.520 0× 10−4. Calculando las diferentes derivadas parciales, se obtiene:∂Php∂ν

= κLF

t= 9.52× 10−4 × 15.63× 10.12

60= 2.509 7× 10−3

∂Php∂L

= κνF

t= 9.52× 10−4 × 1202× 10.12

60= 0.19301

∂Php∂F

= κνL

t= 9.52× 10−4 × 1202× 15.63

60= 0.29809

∂Php∂t

= −κνLFt2

= 9.52× 10−4 × 1202× 15.63× 10.12602

= 5.0278× 10−2

Page 155: libro de instrumentación UTP

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES 137

El error absoluto máximo será:

whpmax=

¯∂Php∂ν

¯+

¯∂Php∂L

wL

¯+

¯∂Php∂F

wF

¯+

¯∂Php∂t

wt

¯whpmax

= 2.5097× 10−3 × 1.0 + 0.19301× 0.05 + 0.29809× 0.04 + 5.0278× 10−2 × 0.5whpmax

= 4.9223× 10−2 hp

La potencia total está dada por:

Php = κνLF

t= 9.52× 10−4 × 1202× 15.63× 10.12

60= 3.0167 hp

El resultado puede, entonces, expresarse como

Php = 3.017± 0.049 hpóPhp = 3.017± 1.6% hp

La ecuación (5.2.4) puede usarse para estimar el límite de la incertidumbre en la medida

whp =

sµ∂Php∂ν

¶2+

µ∂Php∂L

wL

¶2+

µ∂Php∂F

wF

¶2+

µ∂Php∂t

wt

¶2whp =

p(2.5097× 10−3 × 1.0)2 + (0.19301× 0.05)2 + (0.29809× 0.04)2 + (5.0278× 10−2 × 0.5)2

whp = 2.9556× 10−2

Se puede observar que whp < whpmaxSe puede afirmar que el error es quizá tan grande como

0.049hp, pero probablemente no mayor que 0.029 hp.Supóngase que en el ejemplo anterior se desea medir la potencia con una precisión del

0.5%.¿Qué precisiones se requieren en las medidas individuales?Sol. Utilizando la ecuación (5.2.6), se obtiene para cada parámetro:

wν =wR√n¡∂R∂ν

¢ = 3.0167× 0.005√4× 2.5097× 10−3

= 3.005rev (5.2.11)

wL =wR√n¡∂R∂L

¢ = 3.0167× 0.005√4× 0.19301

= 3.9074× 10−2pulg (5.2.12)

wF =wR√n¡∂R∂F

¢ = 3.0167× 0.005√4× 0.29809

= 0.0253lbf (5.2.13)

wt =wR√n¡∂R∂t

¢ = 3.0167× 0.005√4× 5.0278× 10−2

= 0.15s (5.2.14)

Si se encuentra que el mejor instrumento y técnica disponibles para medir, v. gr., la fuerza, F,son buenos sólo hasta 0.04 lbf en lugar de 0.025 lbf que pide la ecuación (5.2.13), esto significa

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138 CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

necesariamente que Php no medirse al 0.5%. Sin embargo, ello no quiere decir que una o másde las otras cantidades (ν, L o t), deban medirse con mayor precisión que la requerida en lasecuaciones (5.2.11), (5.2.12) y (5.2.14), respectivamente. Haciendo una o más de estas medidascon mayor precisión, puede contrarrestarse el error excesivo en la medida de F.

5.2.1 Consideraciones de sesgo y precisión

En las primeras fases del diseño de un experimento, no es práctico separar los efectos del sesgoy los errores de precisión. Se puede usar la ecuación (5.2.4) con estas incertidumbres de lasvariables medidas para estimar la incertidumbre resultante. En un análisis más detallado, esdeseable mantener separado el análisis de la incertidumbre en el sesgo (sistemática) con laincertidumbre en la precisión (aleatoria). Estas incertidumbres conocidas como límite de sesgoy límite de precisión, respectivamente, se denotan por los símbolos B y P. El error de precisiónes aleatorio en medidas individuales y su estimación depende del tamaño de la muestra. El errorde sesgo no varía durante lecturas repetidas y es independiente del tamaño de la muestra.

El error de precisión usualmente se determina por mediciones repetidas de la variable deinterés (o mediciones repetidas en pruebas de calibración). Los datos medidos se usan para cal-cular la desviación estándar muestral de las mediciones, la cual se denomina índice de precisión,Sx en análisis de incertidumbre.

Sx =

"1

n− 1

nXi=1

(xi − x)2

# 12

(5.2.15)

Entonces se puede determinar el límite de precisión, Pxi, para una medida simple xi puedeentonces estimarse utilizando el método t Student :

Pxi = tSx (5.2.16)

donde t es la función de nivel de confianza (v.gr., 95%) y los grados de libertad. El uso dela distribución t en la ec (5.2.16) es diferente de la discusión de la distribución t dada en ladesigualdad (4.4.14). En ese caso la distribución t se aplica solamente al intervalo de confianzasobre la media de un conjunto de medidas. En ANSI/ASME 86 [1]; sin embargo, la distribuciónt se aplica al cálculo del intervalo de confianza de una medida individual cuando la desviaciónestándar se basa en una muestra pequeña. Si se desea predecir la incertidumbre de la media, x,de las medidas (xi), se sigue la formulación dada antes. Puesto que la desvición estándar de lamedia se relaciona con la desviación estándar de las mediciones por

Sx =Sx√n

(5.2.17)

la incertidumbre de la media estará dada por

Px = tSx (5.2.18)

Page 157: libro de instrumentación UTP

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES 139

El intervalo de incertidumbre en la precisión está dado por

∆Px = ±tSx√n

(5.2.19)

El límite de sesgo, B, permanece constante si se repite la prueba bajo las mismas condiciones.Los errores de sesgo incluyen aquellos errores que son conocidos pero no se han eliminado pormedio de calibración y otros errores fijos que pueden ser estimados pero no eliminados del procesode medida.

Para combinar las incertidumbres de precisión y sesgo, se usa la expresión

w =pP 2 +B2 (5.2.20)

El nivel de confianza en la incertidumbre, w, que el nivel de confianza en P.En ANSI/ASME 86se recomienda que para análisis de incertidumbre se use un nivel de confianza del 95%.

Existen muchas situaciones en las cuales resulta un error grande de sesgo debido a la insta-lación de los dispositivos de medida. Un ejemplo es la medición de la temperatura de un gascaliente cuando se retiene el gas en un contenedor frío. La transferencia de calor por radiaciónentre las paredes del contenedor y el dispositivo de medida resultará en valor medido inferiora la verdadera temperatura del gas. Errores dinámicos y espaciales también pueden introducirgrandes errores de sesgo. En muchos casos es posible reducir el error de sesgo corrigiendo analíti-camente los datos. Este proceso de corrección puede reducir significativamente este tipo de error,pero como el proceso de corrección es en sí mismo incierto, el proceso no puede reducir el errorde sesgo a cero.

Ejemplo 19 Para estimar el valor calórico de un campo de gas natural se tomaron diez muestrasy valor calórico de cada muestra se midió con un calorímetro. Los valores medidos en kJ/kg son

48530, 48980, 50210, 49860, 48560, 49540, 49270, 48850, 49320, 48680

Asumiendo que el calorímetro no introduce error de precisión, calcular el límte de precisión (a)de cada medida (b) el límite de precisión de la media de las medidas. Usar un nivel de confianzadel 95%.

Sol. Tomando xi como el valor calórico, la media será

x =1

n

Xxi = 49180 kJ/kg

La desviación estándar de las muestras es:

Sz =

∙P(xi − x)2

n− 1

¸ 12

= 566.3 kJ/kg

Page 158: libro de instrumentación UTP

140 CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

Usando distribución t de Student para un nivel de confianza de 95% y grados de libertad de10− 1 = 9, el valor de t se encuentra como

t = 2.26

(a) El límite de precisión de cada muestra será

Pi = tSx = 2.26× 566.3 = 1280 kJ/kg

(b) Puesto que Sx = Sx/√n, el límite de precisión del valor medio será

Px =tSx√n=2.26× 566.3√

10= 404.7kJ/kg

Ejercicio 2 La especificación dada por el fabricante para el calorímetro en el ejemplo anterior,establece que el calorímetro tiene una precisión de 1.5% del rango total de 0 a 100000 kJ/kg.Calcular el estimativo de la incertidumbre total (a) del valor medio de las medidas del ejemplo,(b) una medida del valor calórico dado como 49500 kJ/kg, el cual fue medido posteriormente alas medidas dadas en el ejemplo.

Sol. Los datos disponibles son:Valor medio x = 49180 kJ/kgLímite de precisión de la media Px = 404.7 kJ/kgLímite de precisión del valor individual Pi = 1280 kJ/kgError de sesgo B = 0.015× 105 = 1500 kJ/kgSe ha supuesto que la ‹‹exactitud› › está definida sólo con el error de sesgo(a) El límite de precisión de la media es 404.7 kJ/kg. De acuerdo a la ec (5.2.20), la

incertidumbre total de la medida con un nivel de confianza de 95% será

w =pP 2 +B2 =

p404.72 + 15002 = 1553. 6 kJ/kg

el cual es 3.1% del valor medio.(b) El límite de precisión de una medida individual es 1280kJ/kg. Consecuentemente, la

incertidumbre de una medida de este estilo con 95% de nivel de confianza será

wi = (P2i +B2)1/2 = (12802 + 15002)1/2 = 1971. 9 kJ/kg

el cual es el 4% del valor medido.

Ejemplo 20 Como se muestra en la Fig. ??, un sensor para medir temperatura se usa paramedir la temperatura, Tg, de un gas caliente en un ducto. La lectura del sensor Ts, es de 773K y la temperatura de la pared, Tw, es de 723K. Se espera que el sensor tenga una lectura másbaja que la verdadera temperatura del gas debido a que el sensor se enfría por radiación hacia

Page 159: libro de instrumentación UTP

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES 141

Figura 5.1: Error por radiación.

la pared más fría del ducto. Se puede utilizar la siguiente fórmula para corregir el error de lamedida debido a la radiación:

∆Tc = Tg − Ts =∈hσ(T 4s − T 4w) (5.2.21)

σ es la constante de Stefan—Boltzmann, la cual tiene un valor de 5.669×10−8 W/m2—K, h es elcoeficiente de transferencia de calor entre el gas y el sensor de temperatura y ∈ es la emisividadde la superficie del sensor de temperatura. La temperatura debe estar en K. El valor de ∈ es0.9 +

½+0.1−0.2 y el valor de h es 50± 10 W/m2—K. Se puede despreciar la incertidumbre en la

medida de la temperatura. Determinar (a) La corrección de la temperatura y (b) la incertidumbreen la corrección.

Sol. (a) Sustituyendo en la ecuación (5.2.21) se obtiene

∆Tc = Tg − Ts =∈hσ(T 4s − T 4w) =

5.669× 10−8 × 0.950

(7734 − 7234) = 85. 506 K

(b) Se puede utilizar la ecuación (5.2.8) para estimar las incertidumbres. Se debe notar queel intervalo de la incertidumbre positiva es diferente al de la negativa, debido a que la emisividadtiene incertidumbre asimétrica.

w+∆T =

"µw+∈∈

¶2+³wh

h

´2#1/2=

"µ0.1

0.9

¶2+

µ10

50

¶2#1/2= 0.228 79

w+∆T = 0.228 79× 86 = 19. 676 K

Page 160: libro de instrumentación UTP

142 CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

w−∆T =

"µw−∈∈

¶2+³wh

h

´2#1/2=

"µ0.2

0.9

¶2+

µ10

50

¶2#1/2= 0.298 97

w−∆T = 0.298 97× 86 = 25.711 K

El mejor estimativo de la temperatura será

Tg = 773 + 86 = 859 +

½+19.7−25.7

Así se ha reducido el error de sesgo de 86 a un intervalo de½+19.7−25.7 . Es este intervalo el que

deberá aplicarse en un análisis completo de la incertidumbre. El error de sesgo máximo se hareducido a menos de un tercio de su valor original.

Page 161: libro de instrumentación UTP

Capítulo 6

Sensores de parámetro variable

6.1 Introducción

Los transductores de parámetro variable constituyen un importante grupo de captadores deseñal, pu-diendo afirmarse que cubren la mayor parte de las aplicaciones industriales. Se car-acterizan por su robustez y simplicidad constructiva porque producen una salida que está rela-cionada con la variación de un determinado parámetro eléctrico pasivo (resistencia, capacitancia,inductancia, acoplamiento magnético, etc.) originada por una variación proporcional de la mag-nitud física que se quiere medir.

6.2 Transductores potenciométricos

Un potenciómetro consiste esencialmente en un resistencia fija sobre la cual desliza un cursoraccionado por rotación, por deslizamiento lineal, o por ambos efectos combinados. Se trata pues,de elementos de tres terminales (ver Fig. 6.1) de los cuales dos corresponden a los extremos dela resistencia y el tercero está conectado al cursor.

-

|

|

A

B-

+ix oRf(x) v

+

-

v R

Figura 6.1: Transductor potenciométrico.

143

Page 162: libro de instrumentación UTP

144 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

En la Fig. 6.1 están indicados los siguientes parámetrosR: Resistencia total.x: Desplazamiento del cursor a partir de un extremo de referencia.Rf(x): Resistencia comprendida entre el extremo de referencia y el cursor, siendo 0 ≤

f(x) ≤ 1Supóngase que se aplica una tensión vi entre los terminales A y B con la polaridad indicada.

En este caso, la tensión v0 de salida entre el cursor y el extremo de referencia B será:

v0 = Rf(x)viR= vif(x)

expresión que indica que la tensión de salida está relacionada con la tensión de entrada medianteuna función que depende únicamente de las características constructivas del potenciómetro ydel desplazamiento del cursor.

v

S

O

Cursor

v

Figura 6.2: Potenciómetro angular.

Atendiendo a la naturaleza del desplazamiento x, se tienen los siguientes tipos de transduc-tores potenciométricos:

• Potenciómetros de desplazamiento lineal: El cursor desliza longitudinalmente sobre unelemento resistivo rectilíneo (ver Fig. 6.1).

• Potenciómetros angulares: El cursor desliza sobre un elemento resistivo en forma de sectorcircular, girando alrededor de un punto central (la variable x corresponde al ángulo girado)(ver Fig. 6.2).

• Potenciómetros multivuelta o helicoidales: En este caso el elemento de resistencia tieneforma de hélice de varios pasos (normalmente 10 ó 20) y el cursor desliza sobre el mismo,

Page 163: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 145

girando alrededor de un eje central y desplazándose al simultáneamente paralelo al mismo(la variable x corresponde al ángulo θ de giro que puede ser, por supuesto, superior a360).

• En otro tipo de disposición constructiva, el elemento resistivo es rectilíneo y el cursor estáaccionado por un tornillo sin fin cuyo eje es paralelo a dicho elemento.

Atendiendo, por otra parte, a la naturaleza de la función f(x), se pueden obtener diferentestipos de potenciómetros. A continuación se muestran algunos prototipos funcionales.

6.2.1 Potenciómetro de función lineal

La función f(x) es del tipof(x) = Kx (6.2.1)

y como para x = xmax (cursor lo más alejado posible del extremo de referencia) se cumple que

f(xmax) = 1 = Kxmax

se tienef(x) =

x

xmax=⇒ v0 =

x

xmaxvi (6.2.2)

6.2.2 Potenciómetros logarítmicos y antilogarítmicos

Para los potenciómetros logarítmicos la función f(x) es del tipo

f(x) =M log

µA

x

xmax+B

¶(6.2.3)

y con las condiciones de contorno f(0) = 0, f(xmax) = 1, se deduce

0 = M logB =⇒ B = 1

1 = M log(A+ 1) =⇒M =1

log(A+ 1)

o sea

f(x) =log³A x

xmax+ 1´

log(A+ 1)(6.2.4)

y la tensión de salida será

v0 = f(x)vi =1

log(A+ 1)log

µA

x

xmax+ 1

¶vi (6.2.5)

Page 164: libro de instrumentación UTP

146 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

10.750.50.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 6.3: Respuesta de una función logarítmica: línea continua A = 1, línea de trazos A = 10,línea punteada A = 100.

De lo anterior se deduce que existen infinitas funciones posibles haciendo variar el parámetro A.Para A = 0 se tiene el caso particular del potenciómetro lineal. Por otra parte, es de observar queel carácter de la función logarítmica es absolutamente general ya que no se ha hecho referenciaa la base de la misma. En la Fig. 6.3 se observa la respuesta normalizada para algunos valoresde A.

Los potenciómetros antilogarítmicos corresponden a una función f(x) inversa de la corre-spondiente a los logarítmicos y, mediante razonamiento similar, se llega a la forma analítica:

f(x) =1

A(A+ 1)

xxmax − 1 (6.2.6)

o sea

v0 =(A+ 1)

xxmax − 1A

vi (6.2.7)

Al igual que en el caso anterior, para A = 0 se obtiene f(x) = xxmax

, es decir, el potenciómetrolineal. La respuesta normalizada para algunos valores de A, aparecen graficados en la Fig. 6.4.

6.2.3 Potenciómetros trigonométricos

Normalmente son giratorios (x = θ =ángulo de giro) y la tensión de salida es proporcional al senoo al coseno del desplazamiento angular del cursor (únicas funciones trigonométricas acotadas).La disposición constructiva difiere sustancialmente de la representada en la Fig. 6.1 ya que,dada la naturaleza de las funciones seno y coseno (que toman valores positivos y negativos), esnecesaria una fuente de alimentación de doble polaridad. En la Fig. 6.5 se ilustran las conexionesasociadas a un potenciómetro senoidal—cosenoidal con dos cursores a 90.

Page 165: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 147

10.750.50.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 6.4: Respuesta de una función exponencial: línea continua A = 1, línea de trazos A = 10,línea punteada A = 100.

Por supuesto, la resistencia estará diseñada de modo que su variación con el ángulo θ respondaa la función trigonométrica. Realmente, se trata de cuatro potenciómetros ya que se tiene unelemento resistivo por cada cuadrante. Considerando, por ejemplo, el cursor que forma unángulo θ con la horizontal, puede escribirse:

v0 =R(θ)

R(π2 )vi = visenθ

o seaR(θ) = R(

π

2)senθ

en el primer cuadrante. El potenciómetro completo estará constituido por resistencias simétricascon la misma ley de variación, dispuestas en los cuatro cuadrantes.

6.2.4 Potenciómetros Funcionales

En estos potenciómetros la función F (x) es general, y en muchos casos empírica, adaptada alcaso particular en estudio.

Entre ello, son de particular interés los llamados potenciómetros programables o potenciómet-ros gene-radores de funciones, que permiten la síntesis de cualquier función F (x) medianteaproximación por tramos rectilíneos. Se caracterizan por tener una serie de tomas intermediasaccesibles en terminales exteriores a los que se aplican tensiones continuas preajustadas segúnlos valores de la función y que pueden obtenerse, por ejemplo, mediante potenciómetros con-vencionales. De acuerdo con este principio, la tensión v de salida en el cursor móvil tomará losmencionados valores preajustados al pasar dicho cursor por cada una de las tomas intermedias,variando linealmente entre cada dos tomas adyacentes.

Page 166: libro de instrumentación UTP

148 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.5: Potenciómetro trigonométrico.

Tomando como variable independiente x el desplazamiento del cursor, puede así construirsela función F (x) que pasa por una serie de puntos discretos cuyas coordenadas corresponden alos valores de x asociados a las tomas y a los valores de tensión preajustados en dichas tomas.

6.2.5 El potenciómetro como elemento del circuito

Hasta ahora se ha considerado el transductor potenciométrico como elemento aislado generadorde una señal representativa de la magnitud a medir, sin tener en cuenta los efectos que produce suinclusión en el circuito de medida. Antes de seguir adelante, se considera necesario hacer algunasreflexiones relacionadas con el comportamiento eléctrico del potenciómetro y, puesto que ya sedeterminado la amplitud de la señal producida en su salida (en ausencia de carga exterior), seprocederá a deducir sus impedancias de entra y salida, con lo cual quedará totalmente definidocomo componente.

Para ello, y con referencia a la Fig. ??, suponiendo conectada una impedancia ZL de cargaentre los bornes de salida, se tendrá como impedancia de entrada:

Zi = R [1− f(x)] +ZLRf(x)

ZL +Rf(x)

y operando la expresión anterior:

Zi =ZL +Rf(x) [1− f(x)]

ZL +Rf(x)R (6.2.8)

Page 167: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 149

Figura 6.6: Red con potenciómetro.

En cuanto a la impedancia de salida, y según el teorema de Thévenin, equivaldrá a la combinaciónen paralelo de Rf(x) y R [1− f(x)], o sea:

Zo =R2f(x) [1− f(x)]

R= Rf(x) [1− f(x)] (6.2.9)

Derivando esta última expresión e igualando a cero, se obtiene

dZi

df(x)= R [1− 2f(x)] = 0

f(x) =1

2(6.2.10)

de donde se deduce que la impedancia de salida es máxima cuando las resistencias entre el cursory los extremos son iguales.

Ejemplo 21 Un potenciómetro lineal de resistencia R está cargado por una resistencia de valorkR. Sea α la proporción del recorrido total del contacto deslizante (6.7). Encontrar la la expre-sión de la salida del potenciómetro versus α.

Solución: La salida se mide a través de la resistencia αR en paralelo con kR. Se computa larazón k de la salida respecto a la entrada. Tratando la Fig. como un divisor de voltaje.

H =E0Ei=

αR(kR)αR+kR

αR(kR)αR+kR + (1− α)R

Simplificando esta expresión,

H =αkR2

αkR2 + (1− α)R2(α+ k)=

αk

αk + α+ k − α2 − αk

=αk

−α2 + α+ k

Se verifica esta expresión para una carga muy liviana, k .= ∞. La expresión correcta para el

potenciómetro sin carga es k .= α.

Page 168: libro de instrumentación UTP

150 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

vokR

+

-

vi

αR

Figura 6.7: Potenciómetro cargado con kR.

Ejemplo 22 Determinar el error de no linealidad que se produce en un potenciómetro linealpor causa de la carga.

Solución: Restando la salida real con carga de la salida teórica sin carga:

Error(ε) = α− αk

−α2 + α+ k

Simplificando la expresión del error:

ε =−α3 + α2 + αk − αk

−α2 + α+ k=

α2(1− α)

α− α2 + k

10.750.50.250

0.125

0.1

0.075

0.05

0.025

0

x

y

x

y

Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje.En aplicaciones de gran precisión, el potenciómetro se carga muy ligeramente, o sea, k > 10.Para esta condición

ε ∼= α2(1− α)

k(6.2.11)

Page 169: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 151

10.750.50.25

0.15

0.125

0.1

0.075

0.05

0.025

0

x

y

Figura 6.8: Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotacióndel eje.

Ejercicio 3 Usando (6.2.11), encontrar el punto donde el error de no linealidad es máximo.

Solución: Se encuentra εmax por diferenciación respecto de α. Como ε = α2−α3k ,

dα=1

k(2α− 3α2) = 0, o α(2− 3α) = 0

Resolviendo para α,

α1 = 0, α2 =2

3

Evidentemente, la curva de error tiene pendiente cero en el origen y un valor máximo en α = 2/3,aproximadamente.

Ejercicio 4 Usando (6.2.11), encontrar el valor del máximo error debido a la carga. Dibujar εversus α.

Solución: Se sustituye α = 2/3 en (6.2.11):

ε =α2(1− α)

k=(23)

2(1− 23)

k=1

k× 49× 13=

4

27k

Si k = 10ε =

4

270∼= 1.5%

Una buena regla para recordar es

εmax =15

k%

En la Fig.6.8 se ha dibujado la curva del error. El resultado es universal si se grafica kε en vezde ε.

Para desarrollar características no lineales, los potenciómetros pueden ser cargados de variasmaneras. Para desarrollar no linealidades sustanciales se requiere una gran carga a la salida.

Page 170: libro de instrumentación UTP

152 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Ejercicio 5 Analizar las no linealidades que pueden desarrollarse cargando ya sea la parte su-perior o la parte inferior del potenciómetro de la Fig. (6.9).

(1- Rα)

vok R1

k R2

+

-

vi

αR

Figura 6.9: Potenciómetro cargado.

Solución: la ecuación de salida básica para las cargas de la Fig.(hacer Fig.) se desarrollafácilmente tratando la red como un divisor de voltaje. Se tiene,

H =

k1R(αR)k1R+αR

k1R(αR)k1R+αR

+ (k2R)(1−α)Rk2R+(1−α)R

Simplificando la expresión de H:

H =k1α(k2 + 1− α)

k1α(k2 + 1− α) + k2(1− α)(k1 + α)

o

H =k1α(k2 + 1− α)

−α2(k1 + k2) + α(k1 + k2) + k1k2

Para encontrar las funciones de varga separadas, se hace k2 =∞:

H1 =k1k2α

−α2k2 + αk2 + k1k2=

k1α

−α2 + α+ k1

A continuación se hace k1 =∞:

H2 =k1α(k2 + 1− α)

−α2k1 + αk1 + k1k2=

α(k2 + 1− α)

−α2 + α+ k2

Page 171: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 153

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

x

y

Figura 6.10: Curvas de carga de potenciómetros usados para formar funciones no lineales.

La Fig. 6.10 muestra el gráfico de k1 y k2 versus el ángulo del eje para varios valores de k1y k2. las curvas universales del diagrama permiten una investigación simple de las posibilidadesde modelación no lineal de curvas.

Ejemplo 23 Tomando como referencia la Fig. (6.11), demostrar que el voltaje del punto nulocorresponde a la suma de los voltajes de entrada.

V+

-

Rn

R2

R1

v1 v2

vn

0

RL

I2I1In

V+

-

Figura 6.11: Red con potenciómetros.

Solución: Si los potenciómetros de entrada se han dispuesto en V1, V2, V3, . . . , Vn, los voltajes

Page 172: libro de instrumentación UTP

154 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

en el punto cero son:

V0 = V1 − I1R1 = V2 − I2R2 = V3 − I3R3) = Vn − InRn

Las corrientes individuales pueden calcularse fácilmente:

I1 =V1 − V0R1

= (V1 − V0)G1

I2 =V2 − V0R2

= (V2 − V0)G2

I3 =V3 − V0R3

= (V3 − V0)G3

In =Vn − V0Rn

= (Vn − V0)Gn

donde

G1, G2, G3, . . . , Gn =1

R1,1

R2,1

R3, · · · , 1

Rn

Como la suma de las corrientes que entran al nodo deben ser igual a la corriente que circuladesde el punto 0 a tierra,

(V1 − V0)G1 + (V2 − V0)G2 + (V3 − V0)G3 + · · ·+ (Vn − V0)Gn = V0G0

Reordando,

V1G1 + V2G2 + V3G3 + · · ·+ VnGn = V0(G1 +G2 +G3 + · · ·+Gn)

DisponiendoG1 +G2 +G3 + · · ·+Gn = GT

la conductancia total a tierra desde el punto 0; entonces

V0 = V1G1GT

+ V2G2GT

+ V3G3GT

+ · · ·+ VnGn

GT(6.2.12)

El voltaje V0 del nodo es la suma de los voltajes individuales aplicados, cada uno multiplicadopor un factor de escalmiento apropiado tal como se requiere.

Ejemplo 24 Dos potenciómetros de 1000 ohms se excitan en la forma que se muestra en laFig. (). Calcular la corriente por el contacto deslizante del potenciómetro cuando P1 se disponeen +7 V y el otro se dispone para producir un mínimo valor de 0 en el punto cero. ¿Provocaesta corriente una imprecisión en la posición? ¿Qué efecto tiene la impedancia de entrada R0del amplificador en los resultados?

Page 173: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 155

Solución: Usando (6.2.12)

V0 = V1G1GT

+ V2G2GT

, GT = G1 +G2 +G0

Sustituyendo valores numéricos,

G1 =1

R1= 10−4Ω, G2 =

1

R2= 10−4Ω, G0 =

1

R0= 10−5Ω

GT = (2× 10−4) + 10−5 = 21× 10−5Ω

V0 = V110−4

21× 10−5 + V210−4

21× 10−5 =10

21(V1 + V2) V

Para anular el voltaje de error con V1 = +7, V2 debe disponerse en −7 v.En el caso general, el drenaje de corriente puede introducir errores en la carga, que a su

vez pueden ser evaluados. Sin embargo, en el caso actual, las cargas en ambos potenciómetrosson idénticas. Por lo tanto, para condiciones de equilibrio, las salidas de voltaje de ambospotenciómetros, al ser efectadas en forma igual por la carga, no conducen a imprecisiones en laposición del eje.

La impedancia de entrada del amplificador afecta el factor de escalamiento de la salida másno la posición del punto nulo.

Ejercicio 6 Los potenciómetros del problema anterior desarrollan su salida total para un ángulode rotación de 320. Si se gira el potenciómetro P2 en un grado de su posición de equilibrio nulo,¿qué voltaje de error aparece en el punto cero?

Solución: Tal como antes

V1 = +7, V2 = −7 +∆V

donde ∆V es el voltaje de salida de P2 para un desplazamiento de un grado de la posición nula.Hay 20 V a través de los 320 del potenciómetro. Por lo tanto, un grado es equivalente a

20

320=

1

116V = ∆V

El incremento de voltaje en el punto de suma P0 es

V0 =10

21

µ+7− 7 + 1

16

¶=

µ10

21

¶1

16∼= 30mV

El gradiente del sistema es de 30 mV/grado.

Page 174: libro de instrumentación UTP

156 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

6.2.6 Potenciómetros Digitales

Un tipo de potenciómetros programables son los potenciómetros digitales (PD) los cuales constande un dispositivo resistivo variable (VR) de 2n posiciones (si n = 8, entonces se tendrán 256posiciones). Estos dispositivos realizan la misma función de ajuste electrónico que los de tipomecánico. Los PD se fabrican de uno o más canales, cada uno de los cuales está constituido porvarias etapas:

• Un resistor fijo con toma central (cursor). El valor del resistor se determina por un códigodigital cargado en un registro de desplazamiento.

• Un latch (cerrojo) del VR, donde se programa el valor de la resistencia entre el cursor ycada uno de los terminales fijos del resistor, la cual varía linealmente de acuerdo al códigodigital transferido.

• Un registro de desplazamiento serie—paralelo, el cual se carga desde una interface serie yactualiza el latch del VR.

En la Fig. 6.12 se muestra el diagrama en bloques de un potenciómetro digital comercial, elcual consta de dos canales con un registro serie de 9 bits cada uno. Cada bit es transferido alregistro en el flanco positivo del CLK.

Figura 6.12: Digrama de bloques funcionales del AD5262.

Interface digital

El AD5260/AD5262 contiene una interface de control de entrada serial de tres hilos. Las tresentradas son el reloj (CLK ), El selector de circuito (CS) y la entrada de datos serie (SDI ). La

Page 175: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 157

Figura 6.13: Diagrama de bloques de la estructura interna de un potenciómetro digital

entrada de CLK sensible al flanco positivo, requiere transiciones limpias para evitar transferenciaincorrecta de datos al registro de entrada serie. La lógica trabaja bien. La Fig. 6.13 muestra eldiagrama de bloques con más detalle de la circuitería interna del dispositivo. Cuando CS estábajo, el reloj carga el dato en el registro serie en cada flanco positivo del reloj (ver Tabla 6.1).El terminal de salida de datos serie (SDO) contiene un FET de canal n de drenador abierto.Esta salida requiere un resistor de pull—up (v. gr.: Rp = 2kΩ) con el fin de transferir los datosal pin SDI del siguiente circuito.

Programación del resistor variable

La resistencia nominal del registro RDAC entre los terminales A y B está disponible, para elpotenciómetro de la Fig. 6.12 con valores de 20 kΩ, 50 kΩ y 200 kΩ. La resistencia nominal(RAB) del VR, para este caso particular, tiene 256 puntos de contacto, accesibles por el cursor,más el terminal de contacto B. Los datos de ocho bits en el latch RDAC se decodifican paraseleccionar una de las 256 posiciones.

Supóngase que se va a utilizar un arreglo de 20 kΩ. El primer valor de la conexión del cursorcon respecto al terminal B será de 00H . Puesto que, de acuerdo al fabricante, hay una resistenciade contacto de 60 Ω con el cursor, tal conexión conduce a un mínimo de resistencia de 60 Ω entrelos terminalesW y B. La segunda conexión es el primer punto intermedio (tap) que correspondea 138 Ω, es decir,

RWB =RAB

256+RW = 78Ω+ 60Ω = 138Ω

Page 176: libro de instrumentación UTP

158 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Tabla 6.1: Tabla de verdad del control de la lógica de entrada.

CLK CS PR SHDN Register ActivityL L H H No SR effect, enables SDO pinP L H H Shift One bit in from the SDI pin. The eighth

previously entered bit is shifted out of the SDO pin.X P H H Load SR data into RDAC latch based on A0 decode

A0 = 0, RDAC #1, A0 = 1, RDAC #2X H H H No OperationX X L H Sets all RDAC latches to midscale, wiper centered,

& SDO latch cleared.X H P H Latches all RDAC latches to 80H.X H H L Open circuits all resistor A—terminals,

connects W to B, turns off SDO output transistor.NOTE: P = positive edge, X = don’t care, SR = shift register

Tabla 6.2: Valores característicos en el potenciómetro digitalD [decimal] RWB [Ω] Estado de salida256 19982 Escala plena128 10060 Escala media1 138 1 LSB0 60 Escala cero

para el dato 01H . La conexión es el siguiente tap que representa 216Ω (78 × 2 + 60) para eldato 02H y así sucesivamente. Cada incremento en el valor del dato (1LSB) mueve el cursorhacia arriba en una escalera de resistencias hasta que el último punto se alcanza en 19982Ω(RAB − 1LSB + RW ). El cursor no conecta directamente al terminal B. En la Fig. 6.14 sepuede observar un diagrama simplificado del circuito RDAC equivalente.

La ecuación general que determina la resistencia de salida programada digitalmente entrelos terminales W y B es:

RWB(D) =D

256RAB +RW (6.2.13)

donde D es el equivalente decimal del código binario que se carga en el registro RDAC de 8bits, y RAB es la resistencia nominal total. Por ejemplo, para RAB = 20 kΩ, VB = 0 V y elcircuito del terminal A está abierto, se obtienen los valores de la resistencia de salida RWB paralos correspondientes valores de los códigos del latch RDAC, los cuales se muestran en la Tabla6.2. Los resultados serían los mismos si fuera el terminal A el que se conectara con W .

En la condición de escala cero la resistencia es muy baja, por lo cual se debe tener cuidado

Page 177: libro de instrumentación UTP

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 159

Figura 6.14: Circuito RDAC equivalente.

con el flujo de corriente entre los terminales W y B manteniéndolo en un límite de 5 mA. Si nose hace esto podría destruirse el conmutador interno.

De igual modo que el potenciómetro mecánico, la resistencia del RDAC entre el cursor Wy el terminal A también produce una resistencia controlada digitalmente RWA. Cuando seusan estos terminales, el terminal B deberá estar abierto o conectado al cursor. Este modo deoperación hace que el valor de la resistencia RWA empiece al valor máximo de la resistenciay decremente en la medida que el valor de los datos cargados en el latch se incrementen. Laecuación general para esta operación es

RWA(D) =256−D

256RAB +RW (6.2.14)

En la Tabla 6.3 se pueden observar algunos valores característicos para este modo de operación.La distribución típica de la resistencia nominal RAB de canal a canal está ajustada en ±1%.

Programación del potenciómetro como divisor de tensión

El potenciómetro digital genera fácilmente tensiones de salida de W a B y de W a A de modoque sean proporcionales a la tensión de entrada de A a B. Ignorando temporalmente el efectode la resistencia de contacto, por ejemplo, si se conecta el terminal A a +5 V y el terminal B a

Page 178: libro de instrumentación UTP

160 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Tabla 6.3: Valores característicos en el potenciómetro digital en modo inversoD [decimal] RWB [Ω] Estado de salida256 60 Escala plena128 10060 Escala media1 19982 1 LSB0 20060 Escala cero

tierra se produce una tensión de salida deW a B empezando en cero voltios hasta 1 LSB menorque +5 V . La ecuación general que define la tensión de salida W a tierra para cualquier tensiónde entrada dada entre los terminales AB es

VW (D) =D

256VA +

256−D

256VB (6.2.15)

La operación del potenciómetro digital en el modo de divisor resulta en una operación másprecisa con respecto a la temperatura. A diferencia del modo de reóstato, la tensión de salida esdependiente de la relación de los resistores internos RWA y RWB y no de sus valores absolutos.

6.3 Transductores termorresistivos

En general, la resistencia óhmica de un material conductor o semiconductor depende en mayoro menor grado de la temperatura, de modo que existirá una relación

R = f(T ) (6.3.1)

siendo R la resistencia del elemento sensible y T su temperatura y estando determinada lafunción f por la naturaleza del material.

Se define como coeficiente de temperatura α el cociente entre la variación diferencial relativade resistencia dR/R y la variación correspondiente de temperatura dT

α =dRR

dT=1

R

dR

dT(6.3.2)

Para los conductores usuales la ley de variación es lineal, del tipo

R = R0(1 + κT ) (6.3.3)

manteniéndose el coefieciente κ sensiblemente constante en una amplia gama de temperaturas(4.2× 10−3 C−1 para el Cu, 6.6× 10−3 C−1 para el Ni y 3 9× 10−3 C−1 para el Pt).

Es de destacar que la precisión de estos parámetros es tan alta que los termómetros de re-sistencia metálica se utilizan frecuentemente como patrones para medidas térmicas (por ejemplo,el termómetro de resistencia de platino se emplea como patrón internacional entre −190C y

Page 179: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 161

660C), pero también es necesario observar que su aplicación industrial presenta algunos in-convenientes relacionados con problemas de contaminación del elemento metálico, defectos deaislamiento, poca robustez, etc.

En aplicaciones de termometría el elemento sensible forma parte, en general, de un puentede Wheatstone con el objeto el obtener señales de amplitud relativamente grandes sin amplifi-cación. Aunque existen muy diversos tipos de sondas termométricas de resistencia metálica, secitarán dos muy utilizados industrialmente: El captador de bulbo, que incluye una vaina metálicaprotectora que contiene el hilo de resistencia y un material de sellado a través del cual salenlos conductores terminales, utilizándose normalmente para medida de temperatura de líquidos ygases. Por otra parte, el captador de superficie, consiste en una malla muy fina de hilo metálico(por ejemplo, níquel) embebida en una placa de material aislante que se aplica a la superficiecuya temperatura ha de medirse.

Otra aplicación clásica de los transductores de resistencia metálica variable, es el llamadoanemómetro de hilo caliente. El captador tiene en uno de sus extremos un hilo conductor muydelgado (diámetro del orden de 0.005 mm) a través del cual se hace pasar una corriente eléctricade caldeo. Si dicha corriente se mantiene constante, la tensión que aparece entre extremos de lasonda será proporcional a la resistencia de la misma, la cual dependerá a su vez de la temperatura,que estará determinada por las condiciones de refrigeración impuestas por la corriente del fluidocuya velocidad desea conocerse. La relación de velocidad—tensión de salida viene dada por lacurva de calibración que acompaña al transductor.

6.3.1 Circuitos de medida con sondas de resistencia metálica

Aunque son muy diversos los circuitos utilizados con sondas de resistencia metálica, se exponea continuación, a modo de ejemplo, un esquema basado en la alimentación a corriente constantede la termorresistencia, procedimiento que permite obtener directamente una tensión aproxi-madamente proporcional a la temperatura (con el error de linealidad inherente a la propia leyde variación de la resistencia).

En la Fig. 6.15, el amplificador operacional U1 está conectado como fuente de corriente einyecta en la sonda una corriente i = vi/R1 (siempre que R À Rs), sirviendo el potenciómetroP1 para ajustar el valor de dicha corriente. El amplificador U2 está conectado como sumador ysu tensión vo de salida es:

vo = Kf (iRs − vp) = Kf

µRs

R1vi − vp

¶(6.3.4)

y sustituyendo, en primera aproximación, Rs = Ro(1 + κθ), donde R0 es la resistencia de lasonda para θ = 0, se tiene:

vo = Kf

∙R0(1 + κT )

R1vi − vp

¸(6.3.5)

Page 180: libro de instrumentación UTP

162 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.15: Circuito de amplificación para una termorresistencia.

Para T = 0, el potenciómetro P2 deberá ajustarse de modo que se cumpla vo = 0, para locual, según la ecuación (6.3.5),

vp =R0R1

vi (6.3.6)

obteniéndose entonces:

vo =R0R1

κKfTvi (6.3.7)

La resistencia variable conectada como realimentación del amplificador U2 servirá, obvia-mente, para el ajuste de fondo de escala dado que la tensión de salida es proporcional a Kf , deacuerdo con la ecuación (6.3.7).

La sensibilidad absoluta del circuito es:

¯Svoθ

¯=

∂vo∂θ

=Ro

R1κ Kf vi (6.3.8)

mientras que la sensibilidad relativa con respecto a todos los parámetros involucrados estarádada por

Svoλ =

∂vo∂λ

λ

vo= Svo

T = Svoκ = Svo

Kf= Svo

Ro= −Svo

R1= 1 (6.3.9)

Page 181: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 163

6.3.2 Detectores de temperatura resistivos (RTD)

Una característica de los metales es que su resistencia eléctrica es función de la temperatura delmetal. Así, un alambre de metálico de longitud l, combinado con un dispositivo de mediciónde resistencia es un sistema de medida de temperatura. Los sensores de temperatura basadosen el efecto de la resistencia de un metal se conocen como detectores de temperatura resistivos(RTD). Los RTD se usan para medir directamente la temperatura, tienden a ser muy estables.Por otra parte, las sondas RTD son en general fisicamente más grandes que las termocuplas,resultando en un resolución espacial más pobre y una respuesta transitoria más lenta. Lossensores RTD más comunes se construyen de platino, aunque se pueden utilizar otros metalesincluyendo níquel y aleaciones de níquel. Para el platino la relación resistencia temperatura estádada por la ecuación Callendar—Van Dusen:

RT = Ro1 + α[T − δ(0.01T − 1)(0.01T )− β(0.01T − 1)(0.01T )3] (6.3.10)

donde α, β y δ son constantes, dependientes de la pureza del platino la cual se determina porcalibración. La constante dominante es α, la cual tiene un valor de 0.003921/C para la denom-inada curva de calibración ‹‹americana››, o 0.003851/C para la curva de calibración ‹‹euro-pea››. Para la curva de calibración americana, δ = 1.49 y β = 0 para T > 0. y β = 0.11 paraT < 0.Fácilmente se puede adquirir los sensores correspondientes a cada curva. En las Figs. 6.16y 6.17 se muestra la respuesta de R vs T para valores positivos y negativos de la temperatura,respectivamente.

5003752501250

300

250

200

150

100

50

0

x

y

x

y

Figura 6.16: Respuesta para T > 0.

Hay un gran número de configuraciones de elementos sensores RTD. La Fig. 6.18 muestraun sensor de hilo de platino devanado y un sensor de película delgada. En el sensor de hilodevanado, el platino se enrolla en un bobina y el ensamble completo se monta en una cubiertade cerámica o de vidrio. El encapsulado previene daño o contaminación. En el diseño de película

Page 182: libro de instrumentación UTP

164 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

0-25-50-75-100

150

125

100

75

50

25

0

x

y

x

y

Figura 6.17: Respuesta para T < 0.

delgada, el platino se monta en un sustrato de cerámica y entonces es encapsulado con cerámicao vidrio. El diseño de película delgada es una tecnología más nueva y está ganando favor debidoa su más bajo costo. Es importante en el diseño de las sondas RTD minimizar el esfuerzo sobreel platino debido a la expasión térmica, puesto que el esfuerzo también causa cambios en laresistencia.

Como en el caso de las galgas extensométricas, el puente de Wheatstone es un circuitoapropiado para medir el cambio de resistencia en los RTD. La Fig.6.19 muestra un puente deWheatstone que podría utilizarse para medir la resistencia de un RTD.

Hay que tener en cuenta la resistencia propia del alambre de conexión puesto que va a estarsometido al cambio de temperatura igual que la sonda. Si la temperatura cambia, tambiéncambiará la resistencia del hilo. Si Vo se mide en la forma como está indicado, las resistenciasen el hilo estarán en la misma rama del puente donde está el RTD y el cambio en la resistenciadel hilo simplemente se sumará al cambio de resistencia del RTD. El circuito del la Fig. 6.19 (a)será adecuado si la resistencia de los alambres terminales es baja y no se requiere gran precisión.Despreciando las resistencias de los alambres terminales y asumiendo que R1 = R4, el análisisdel circuito conduce la siguiente expresión para la resistencia del RTD:

RRTD = R2Vcc − 2VoVcc + 2Vo

(6.3.11)

Se debe notar que el cambio en la resistencia de los RTD es muy grande comparada con lasgalgas extensométricas (como se verá más adelante), y la posible linealización para las galgasno es factible para los circuitos RTD. Como consecuencia, la ecuación (6.3.11) muestra unarelación no lineal entre la tensión medida y la resistencia del RTD.

Un circuito alternativo llamada el puente RTD de tres hilos se muestra en la Fig. 6.19 (b)donde un hilo adicional C, se ha agregado. Con este circuito, Rha (la resistencia del hilo A)

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6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 165

Alambres terminales

Cápsula de cerámica

Alambre de platino

Película de platino

Sustrato

1 cm

(a) (b)

Figura 6.18: Detectores de temperatura resistivos: (a) alambre de platino (b) película delgada.

estará en la misma rama del puente como R2 y Rhb (la resistencia del hilo B), estará en lamisma rama que el RTD Si los hilos de los terminales son del mismo material, tienen el mismodiámetro y longitud y siguen la misma trayectoria, los cambios en la resistencia de los terminalestendrán un efecto muy pequeño sobre Vo. No hay corriente a través de Rhc, de modo que estaresistencia no afecta al circuito. Para este circuito, incluyendo las resistencia de los terminales(con R1 = R4), la resistencia del RTD estará dada por

RRTD = R2Vcc − 2VoVcc + 2Vo

−Rterm4Vo

Vcc + 2Vo(6.3.12)

donde Rterm corresponde a la resistencia de los terminales. El segundo término en esta ecuan-ción usualmente es pequeño, pero para obtener los mejores resultados, se deberá determinar elvalor inicial de la resistencia de los terminales. El hecho de que Rterm (se supone que todoslos terminales tienen la misma resistencia) tenga efecto en la medida, es una consecuencia dela operación del puente en el modo desbalanceado. Es posible operar el puente en un modobalanceado en el cual el resistor R2 se ajusta tal que Vo sea cero. En este caso, RRTD = R2 ylas resistencias de los terminales no afectarán el resultado. Desafortunadamente, es difícil usarsistemas de adquisición de datos con el modo balanceado. Para medidas de alta precisión, sinembargo, es preferible el modo balanceado.

La Fig.6.20 presenta dos circuitos más utilizados para determinar la resistencia de un RTD.En la Fig. 6.20 (a), la caída de tensión a través del RTD es sensada con dos terminales que noconducen corriente y por lo tanto no tienen caída de tensión. Para este circuito la resistencia es

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166 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.19: Circuitos en puente Wheatstone para RTD : (a)Dos hilos (b) tres hilos

una función lineal de la tensión medida y está dada por

RRTD = VoI (6.3.13)

En este circuito Vo es proporcional a la resistencia del RTD en lugar que al cambio de resistenciacomo en el caso con los circuitos de puente Wheatstone. La Fig. 6.20 (b) utiliza cuatro terminalesportadores de corriente siguiendo la misma trayectoria del RTD. Dos de los terminales más elRTD están en la misma rama A—D y los otros dos terminales más R3 estarán el rama D—C.Como con el puente de tres hilos, los cambios en las resistencias de los terminales compensan ytienen un efecto despreciable sobre Vo. La fórmula para evaluar la resistencia del RTD es

RRTD = R3Vcc − 2VoVcc + 2Vo

−Rterm8Vo

Vcc + 2Vo(6.3.14)

Como el puente de tres hilos, para mediciones precisas, se deberán conocer las resistenciasnominales de los terminales cuando se trabaja en el modo desbalanceado.

Puesto que existe un flujo de corriente a través del RTD cuando está situado en un circuito demedición, hay una disipación de potencia y por lo tanto el RTD tiene autocalentamiento. Este noes normalmente un problema cuando se mide temperaturas en líquidos pero puede producir errorcuando se mide temperatura en gases. Se puede estimar este efecto de autocalentamiento, usando

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6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 167

Figura 6.20: Circuitos para RTD.

dos tensiones de alimentación diferentes mientras se mide una temperatura estática. Cualquierdiferencia en la resistencia indica un problema potencial de autocalentamiento. El problemade autocalentamiento se puede minimizar usando fuentes de alimentación de bajo voltaje; sinembargo, se reducirá la salida del circuito sensor. Como se mencionó, las sondas RTD tienenpotencialmente muy alta precisión (±0.001C) pero con las técnicas actuales utilizadas en inge-niería, no se requiere que el sensor tenga alto grado de precisión. Esto dependerá esencialmentedel sistema de adecuación y adquisición de los datos. Por otra parte, las incertidumbres en losresistores del puente y los dispositivos de medida de voltaje tendrán un precisión limitada.

Ejemplo 25 Una sonda RTD tiene una resistencia de 100Ω a 0C. Las constantes de la ecuaciónCallendar—Van Dusen son α = 0.00392, δ = 1.49 y β = 0 para T > 0. ¿Cuál será la resistenciaa (i) 300C? (ii) Se desea medir la temperatura a −50C, ¿Cuál será el valor de la resistenciaen este caso?

Sol. (i) Sustituyendo en la ecuación (6.3.10) se obtiene

RT = Ro1 + α[T − δ(0.01T − 1)(0.01T )− β(0.01T − 1)(0.01T )3]= 100(1 + 0.00392(300− 1.49(0.01× 300− 1)(0.01× 300))) = 214.10Ω

(ii) Para este caso T < 0 y se debe utilizar el factor β = 0.11. Reemplazando en la mismaecuación se llega a

RT = Ro1 + α[T − δ(0.01T − 1)(0.01T )− β(0.01T − 1)(0.01T )3]= 79.944Ω

Ejemplo 26 Se dispone de una RTD de platino de 100Ω que tiene un coeficiente de disipacióntérmica ϑ = 6mW/K en aire y ϑ = 100mW/K en agua. Si se desea que el error por autocalen-tamiento sea inferior a 0.1C, ¿cuánta corriente puede circular por la resistencia según esté alaire o inmersa en agua?

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168 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Sol. Si la potencia disipada es Pd, el calentamiento experimentado será

∆T =Pdϑ=

I2R

ϑ(6.3.15)

y, por lo tanto, la corriente máxima permitida será

I =

r∆Tϑ

R(6.3.16)

Con la sonda en el aire,

I =

r(0.1)× (0.006)

100= 2.4495 mA

Con la sonda inmersa en agua

I =

r(0.1)× (0.1)

100= 10 mA

Obsérvese que la inmersión en el agua permite mayor flujo de corriente.

6.3.3 Termistores

Como con el RTD, el termistor es un dispositivo que tiene una resistencia dependiente de latemperatura. Sin embargo, el termistor, un dispositivo semiconductor muestra un mayor cambioen la resistencia con respecto a la temperatura que el RTD. El cambio en la resistencia conla temperatura en el termistor es muy grande, del orden del 4% por grado centígrado. Esposible construir termistores con una característica de resistencia vs temperatura con pendientepositiva o negativa. Sin embargo, los dispositivos termistores más comunes tienen una pendientenegativa NTC ; lo que significa, que un incremento en la temperatura produce un decrementoen la resistencia, lo opuesto de los RTD. Están constituidos por mezclas sinterizadas de polvosde óxidos metálicos (de hierro, titanio, níquel, cobalto, cromo, etc) y semiconductores, en formade discos, barras, placas y otras configuraciones. Los termistores son altamente no lineales,mostrando una relación logarítmica entre la resistencia (en kΩ) y la temperatura:

1

T= a+ b lnR+ c(lnR)2 + d(lnR)3 (6.3.17)

Para identificar los parámetros a, b, c y d, basta medir R a cuatro temperaturas distintas yresolver el sistema de ecuaciones como se indica en la ecuación (6.3.18).⎡⎢⎢⎣

1 lnR1 (lnR1)2 (lnR1)

3

1 lnR2 (lnR2)2 (lnR2)

3

1 lnR3 (lnR3)2 (lnR3)

3

1 lnR4 (lnR4)2 (lnR4)

3

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

abcd

⎤⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎣

T−11T−12T−13T−14

⎤⎥⎥⎦ (6.3.18)

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6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 169

A partir de a, b, c y d el valor de T con una resistencia medida R viene dada por

T = (a+ b lnR+ c(lnR)2 + d(lnR)3)−1 − 273.15 0C

Ejemplo 27 Los siguientes son datos de resistencia y temperatura, en kΩ y Kelvin respectiva-mente, para el caso de un termistor con encapsulado de acero de 10 kΩ dados por el fabricante:

T1 = 253.15 R1 = 78.91T2 = 293.15 R2 = 12.26T3 = 343.15 R3 = 1.99T4 = 393.15 R4 = 0.4818

Sol: El siguiente programa realizado en MatlabR°, permite calcular los coeficientes a, b, c y

d, así como realizar la gráfica de T vs R la cual se puede apreciar en la Fig. 6.21.

T1=253.15; R1=78.91;T2=293.15; R2=12.26;T3=343.15; R3=1.990;T4=393.15; R4=0.4818;y=[1/T1;1/T2;1/T3;1/T4];A=[1,(log(R1)),(log(R1))^2,(log(R1))^3;1,(log(R2)),(log(R2))^2,(log(R2))^3;1,(log(R3)),(log(R3))^2,(log(R3))^3;1,(log(R4)),(log(R4))^2,(log(R4))^3];x=A^(-1)*y;R=1.0:0.1:100.0;T=(x(1)+x(2)*log(R)+x(3)*(log(R)).^2+x(4)*(log(R)).^3).^(-1)-273.15plot(R,T)

Para el caso dado se obtienen los siguientes valores de los coeficientes:

a = 2.700× 10−3 b = 2.6138× 10−4c = 3.416× 10−6 d = 1.2714× 10−7

Siendo dispositivos semiconductores, los termistores están restringidos a temperaturas relati-vamente bajas. Muchos están restringidos a temperaturas por debajo de 100C y generalmenteno hay disponibles para medir temperaturas por encima de 300C. Los sensores de termistorespueden llegar a ser muy precisos, del orden de ±0.1C, pero la mayoría no lo son tanto.

Otra forma de expresar la relación de la resistencia de coeficiente de temperatura negativocon la temperatura absoluta es de la forma:

R = R0 eB³1T− 1T0

´(6.3.19)

donde R es la resistencia a la temperatura absoluta T . El parámetro B es la denominadatemperatura característica del material, y tiene valores entre 2000 K y 5000 K, pero varía con

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170 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.21: Variación de la temperatura de un termistor con respecto a su resistencia.

la temperatura, aumentando al aumentar ésta. Para el modelo Thermowid de Siemens, porejemplo,

B(TC) = B[1 + γ(TC − 100)] (6.3.20)

donde TC es la temperatura en grados centígrados, γ = 2.5 × 10−4/K para TC > 100C yγ = 5 × 10−4/K para TC < 100C.B también varía de una a otra unidad para un mismomaterial salvo en el caso de modelos intercambiables.

Se puede definir un coeficiente de temperatura tomando logaritmos neperianos y diferen-ciando,

dR

R= − B

T 2dT

es decir,

α =1

R

dR

dT= − B

T 2(6.3.21)

coeficiente siempre negativo y muy dependiente de la temperatura, el cual representa la sensi-bilidad relativa del sistema. A 25C y con B = 4000K, resulta α = −4.5%/K, que es más dediez veces superior a la de la Pt100. El valor de B se puede encontrar midiendo la resistenciadel termistor a dos temperaturas conocidas T1 y T2. Si la resistencia respectiva es R1 y R2, setendrá

B =ln R1

R21T1− 1

T2

(6.3.22)

Page 189: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 171

Ejercicio 7 Se han tomado medidas con un termistor obteniéndose datos así: T1 = 50C,R1 =50kΩ. Se decrementa la temperatura a 25C con lo cual la resistencia se incrementa en un 50%.Encontrar el valor de B del termistor. ¿Cuál será el valor de R0?

Solución. Aplicando la ecuación (6.3.22) se obtiene

B =ln R1

R21T1− 1

T2

=ln 50×103

50×103×1.51

273.15+50 −1

273.15+25

= 1562. 6

y el valor de la resistencia Ro se obtiene despejándola de la ecuación (6.3.19):

R0 = R1e−B

³1T− 1T0

´= 50× 103 × e−1562.6(

1273.15+50

− 1273.15) = 121.17 kΩ

Para algunas aplicaciones de los termistores, interesan no tanto sus características resistencia—temperatura como la relación entre la tensión en bornes del termistor y la corriente a su través.En régimen transitorio se tendrá

W = V I = I2RT = δ(T − Ta) + cpdT

dt(6.3.23)

50×103 = 50 000donde δ (mW/K) es la constante de disipación térmica del termistor, cp (mJ/K)es su capacidad calorífica y Ta es la temperatura ambiente. En régimen estacionario dT/dt = 0y queda

I2RT = δ(T − Ta) (6.3.24)

V I =V 2

RT= δ(T − Ta) (6.3.25)

La tensión máxima en bornes del termistor en función de la temperatura puede obtenerse apartir de la ecuación (6.3.25) y de

V = RI = IAeBT2 (6.3.26)

resulta,

V 2 = δ(T − Ta)A exp

µB

T

¶(6.3.27)

para tensión máxima se cumplirá dV 2/dT = 0, que lleva a

1 = (T − Ta)B

T 2(6.3.28)

cuyas soluciones son

T =B

2

Ã1±

r1− 4Ta

B

!(6.3.29)

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172 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Tabla 6.4: Comparación de las resistencias NTC y otros sensoresCaptador Margen Sensibilidad Precisión Estabilidad

Termistor (absoluta) −260C a +300C 10 KΩ/C ±0.01C 0.03 C/anoResistencia metálica −200C a +1000C 0.2Ω/C ±0.01C 0.01a 0.003 C/anoTermopar −260C a +2800C 40− 50μV/C ±0.1C 0.1 a 0.03 C/ano

y la temperatura correspondiente al máximo resulta ser la obtenida tomando el signo menos.Obsérvese que esta temperatura depende del material (B) [28]. En la zona de autocalentamientoel termistor es sensible a cualquier efecto que altere el ritmo de disipación del calor. Esto permiteaplicarlo a las medidas de caudal, nivel, conductividad calorífica (vacío, composición, etc.). Si lavelocidad de extracción de calor es fija, el termistor es sensible a la potencia eléctrica de entraday entonces se puede aplicar al control de nivel de tensión o de potencia.

Recientemente han aparecido las resistencias de coeficiente de temperatura positivo o PTC,elementos semiconductores construidos por cristales de titanato de bario. Estas resistenciastienen la propiedad de modificar su estructura cristalina a una cierta temperatura que varíasegún la naturaleza y concentración de determinadas impurezas incorporadas al material base(por ejemplo, estroncio). A este cambio de estructura cristalina, que es reversible, correspondeuna variación enorme de la resistividad alrededor de una temperatura crítica de transición com-prendida entre −50C y +140C (márgenes usuales). La resitencia puede variar en un factor delorden de 104 y el coeficiente de temperatura (en este caso positivo) puede ser hasta 100 vecessuperior al de una resistencia NTC.

A continuación se analizará las características y aplicaciones de ambos tipos de resistenciassensibles a la temperatura. Es de destacar que, al contrario de las termocuplas que responden adiferencias de temperatura, las resistencias NTC o PTC son sensibles a la temperatura absoluta.Por otra parte, una de sus cualidades más sobresalientes es que presentan grandes variacionesde resistencia al variar la temperatura, por lo cual los dispositivos termométricos que utilizantermistores se caracterizan siempre por su alta sensibilidad. Se trata, además de componentesmuy robustos, fiables y económicos. Los únicos inconvenientes son su lentitud de respuesta,las grandes tolerancias de fabricación, la necesidad de un envejecimiento artificial para podergarantizar una estabilidad razonable y el campo de medida limitado.

En el cuadro siguiente se resumen algunos datos comparativos de las resistencias NTC conotros componentes sensibles a la temperatura.

6.3.4 Curvas características de las resistencias NTC

Como se sabe, el valor de la resistencia de estos componentes viene dado por la expresión

R = Ro eB( 1

T− 1T0) (6.3.30)

Page 191: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 173

La temperatura T0 suele ser de 198K (25C), y el coeficiente B puede ser del orden de4000K.

En la Fig. ?? se representa esta función para varios termistores comerciales (siendo elparámetro de las curvas el coeficiente B).

500450400350300250200

54.6

7.389

1

0.1353

0.01832

x

y

Respuesta de termistores comerciales para algunos valores de B.

Muchas veces, en el diseño de circuitos, interesa la curva característica tensión-corriente, paracuya justificación es necesario tener en cuenta no solo la temperatura ambiente, sino tambiénlos efectos de autocalentamiento.

6.3.5 Aplicaciones de las resistencias NTC a la termometría

Las resistencias NTC se aplican ampliamente en circuitos temométricos. Como se verá a contin-uación, pese a la no linealidad de su resistencia en función de la temperatura, puede optimizarseel diseño obteniéndose sistemas de medida muy sensibles con errores por falta de linealidadaceptables.

En la Fig. 6.22 se representa un circuito típico muy simple para medida de temperatura endonde el termistor se hace funcionar en el primer tramo de su característica.

La tensión de salida del divisor es

Vo = VCCR1

R1 +R(T )

Sustituyendo R(T ) por su función se obtiene

Vo =1

1 + R0R1eB³1T− 1To

´ VCC (6.3.31)

cuya representación gráfica normalizada se ilustra en la Fig. 6.23.

Page 192: libro de instrumentación UTP

174 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

+

-

NTC R(T)

VoR1

+Vcc

Figura 6.22: Circuito con termistor.

La curva presenta un punto de inflexión para una determinada temperatura TL que corre-sponderá a la máxima linealidad. La temperatura TL se calcula haciendo

d2Vodt2

= 0

obteniéndose

R1 =B − 2TLB + 2TL

R0 eB( 1

TL− 1T0)

(6.3.32)

La expresión (6.3.32) permite así calcular la resistencia R1 óptima en función de las carac-terísticas del termistor y de la temperatura TL central del campo de medida.

En cuanto a la elección de VCC , habrá que llegar a un compromiso entre precisión (valores deVCC pequeños para evitar el autocalentamiento) y sensibilidad (valores de VCC grandes). Paraello se admite un incremento ∆T máximo sobre la temperatura ambiente Ta a medir, incrementoque estará asociado con el error por autocalentamiento. De acuerdo con esto, se tiene:

∆T = T − Ta

siendo la potencia máxima disipada en la NTC (correspondiente a R = R1):

Wmax =V 2CC4R1

=∆T

de donde

VCC =

rR1∆T

Rθ(6.3.33)

La sensibilidad absoluta del sistema para T = TL es

S =dvsdT

¯T=TL

=VCCB

µB2

4T 2L− 1¶

(6.3.34)

Page 193: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 175

500375250125

1

0.75

0.5

0.25

x

y

x

y

Figura 6.23: Respuesta de un termistor con B = 4000 y RoR1= 1 (Línea continua), 10 (Línea

punteada) y 0.1 (Línea de trazos), respectivamente.

El único inconveniente de este circuito es que, para el origen de la escala termométrica quese adopte, la tensión de salida no es nula. Para evitar esto, se utiliza la configuración en puente(ver 6.24), en donde la tensión de salida será

BA

- +

NTC R(T)

R1

R2

Vo

R1

+Vcc

Figura 6.24: Circuito con NTC en puente.

vo = VBA = VCC

µR1

R(T ) +R1− R1

R1 +R2

que solo se diferencia en una constante de la tensión dada por (6.3.31).

Page 194: libro de instrumentación UTP

176 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

6.3.6 Otras aplicaciones de las resistencias NTC

En la Fig. 6.4 se ilustra muy esquemáticamente una aplicación de una resistencia NTC, donde eltermistor funciona en la zona regenerativa. En este caso el termistor actúa como un estabilizadorde temperatura. Nótese que se tiene la respuesta dada por la ecuación (6.3.31).

Figura 6.25: Circuito con NTC como regulador de tensión.

Respuesta de tensión de un NTC.

La Fig.6.26 representa un circuito de aplicación a la medida del caudal de fluidos. En estecaso uno de los termistores (sonda de referencia) está en contacto con el fluido en reposo y elotro (sonda de medida) está situado en el interior del ducto a través del cual circula el fluidocuyo caudal quiere medirse. El fluido en movimiento afecta a la resistencia térmica de la sondade medida desequilibrando el puente y obteniéndose una medida indirecta del caudal.

Page 195: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 177

Figura 6.26: Medida de caudal usando NTC.

6.3.7 Resistencias de coeficiente PTC

Las resistencias de coeficiente de temperatura positivo o PTC, tienen la propiedad de experi-mentar un cambio drástico en su valor cuando se alcanza una temperatura crítica característicadel material. Por debajo de dicha temperatura la resistencia es baja (del orden de 100Ω) y porencima, la resistencia es muy alta (del oreden de 10MΩ). Dado que no existe una ecuación queexprese rigurosamente este comportamiento y puesto que el cambio se produce en el estrechointervalo de temperaturas, la curva queda idealizada como se ilustra en la Fig. 6.27, dondese representa cualitativamente la curva resistencia—temperatura de estos dispositivos.Tomandocomo base esta simplificación, es fácil deducir la forma de la característica tensión—corriente. Enefecto, si v e i son, respectivamente, la tensión aplicada y la corriente se tiene, al igual que enlas resistencias NTC:

T − Ta = Rθvi = Rθv2

R(T )(6.3.35)

Para remperatura ambiente (Ta) constante y tensiones muy bajas, T será menor que Tc y elvalor de la resistencia será R1 por lo cual la curva v − i será una recta tal que

v

i= Rmin

(primer tramo de la característica estática, Fig. 6.28).

Page 196: libro de instrumentación UTP

178 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.27: Respuesta normalizada de una PTC.

Figura 6.28: Respuesta corriente—tensión de un PTC.

La temperatura crítica se alcanza cuando la tensión toma un valor V1 tal que:

Tc − Ta = RθV 21Rmin

∴ V1 =

sRmin(Tc − Ta)

Rθ(6.3.36)

Si se sigue aumentando v se produce el tránsito hacia el valor R2 a temperatura constante Tc,luego la potencia disipada será así mismo constante, de acuerdo con (6.3.35), es decir:

Tc − Ta = Rθvi (6.3.37)

Page 197: libro de instrumentación UTP

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 179

función que corresponde gráficamente a una hipérbola equilatera en el diagrama v− i (segundotramo). Finalmente cuando R(T ) toma el valor Rmax la tensión aplicada es tal que:

Tc − Ta = RθV 22Rmax

∴ V2 =

sRmax(Tc − Ta)

Rθ(6.3.38)

Para tensiones superiores a V2 la relación v/i se mantiene nuevamente constante e igual a Rmaxy la característica vuelve a ser una recta de ecuación v = iRmax (tercer tramo). Es de observarque los tramos primero y tercero no dependen de la temperatura ambiente, por lo cual, unafamilia de curvas para diferentes valores de Ta tendría el aspecto que se muestra en la Fig. 6.29.

Figura 6.29: Familia de curvas para diferentes valores de temperatura ambiente.

Las resistencias PTC se aplican fundamentalmente en la detección de umbral de temper-atura (protecciones térmicas, detectores de incendio, etc.) siendo muy simples, por lo general,los circuitos correspondientes. Puesto que Rmax À Rmin las resistencias PTC se comportanprácticamente como un interruptor que se abre y se cierra en la proximidades de Tc. Además,y como una ventaja adicional, en dichos circuitos este efecto se produce por histéresis, lo cualevita la ambigüedad en el tránsito.

Con el objeto de poner de manifiesto lo anterior, considérese el circuito de la Fig. ?? querepresenta el montaje más simple de detector de temperatura.

Del mismo modo que en el caso de las resistencias NTC, la expresión v = V − iR defineuna recta de carga cuya intersección con la curva característica corresponde a una determinadatemperatura ambiente y constituye el punto de funcionamiento.

En la Fig. 6.31 se representa v en función de T evidenciándose el efecto de histéresis.Para que el funcionamiento tenga lugar es preciso que la pendiente de la recta de carga sea

menos negativa que la de la zona hiprbólica, lo cual se cumple, si

Rl ≥ Rmin (6.3.39)

Page 198: libro de instrumentación UTP

180 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.30: Circuito con un dispositivo PTC.

Figura 6.31: Histéresis en la respuesta de una PTC.

6.4 Transductores fotorresistivos

Los más importantes dentro de este grupo son, sin duda, la célula fotorresistiva (fotorresistencia)y el fotodiodo.

6.4.1 La célula fotorresistiva

La célula fotoresistiva o LDR es esencialmente una resistencia cuyo valor varía con la intensidadde la radiación luminosa incidente y consiste en una capa delgada de selenio, germanio, sulfurode plomo, sulfuro de cadmio, antimonio, indio y algunos otros metales o compuestos metáicos,dispuesta sobre un substrato cerámico o plástico. La capa fotorresistiva suele tener forma ondu-lada y está protegida por una lámina transparente que constituye una de las caras de la cápsulaque contien la célula. La resistencia de elemento disminuye a medida que aumenta la intensidad

Page 199: libro de instrumentación UTP

6.4. TRANSDUCTORES FOTORRESISTIVOS 181

de la radiación según la ley de variación que depende del material utilizado.Con el objeto de ilustrar el principio físico en que se basan las resistencias LDR, la Fig.

representa un bloque de un material semiconductor fotosensible provisto de dos electrodos ex-teriores entre los que está aplicada la tensión v, y sobre el cual incide radiación luminosa deintensidad L y longitud de onda λ.

El número de electrones liberados por unidad de tiempo por efecto fotoeléctrico puede ex-presarse en la forma

N = ηLAd (6.4.1)

donde η es un parámetro que depende de λ, A es el ancho de la zona expuesta y d su longitud.Si τ es la vida media de los electrones libres y v la velocidad media a la que se desplazan por

acción del campo eléctrico asociado con el potencial v, el número efectivo de ellos que contribuiráa la corriente en el circuito exterior, será:

Nef = η L A dvτ

d(6.4.2)

ya que el producto vτ es la longitud recorrida durante su vida media.Por otra parte, si E = v/d es el campo eléctrico, se cumple:

v = μeE = μev

d(6.4.3)

donde μe es la movilidad de los electrones, luego

Nef = η LA μev

dτ (6.4.4)

La corriente eléctrica se obtendrá multiplicando Nef por la carga q del electrón:

i = qNef = η L A μev

dτ q (6.4.5)

y la resistencia medida entre los electrodos puede obtenerse de la expresión anterior

R =v

i=

d

η A μe q τ

1

L(6.4.6)

la vida media τ por otra parte, está ligada con la intensidad luminosa L mediante uan expresióndel tipo

τ = τ−β0 L (6.4.7)

De este modo, la resistencia R será de la forma

R = KI−α

donde

K =d

A q μ η τ0

Page 200: libro de instrumentación UTP

182 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.32: Respuesta noramlizada de una fotorresistencia para algunos valores de α.

El exponente α puede variar, según el tipo de célula, entre 0.7 y 1.5.En la Fig. 6.32 se ilustra cualitativamente la función R(L) pudiendo observarse que se

producen grandes variaciones de resistencia, dado el orden α, sobre todo para bajos niveles deiluminación. Ls fotorresistencias son, pues, captadores muy sensibles al igual que los termistores.

En cuanto a la curva característica tensión—corriente no tiene ninguna particularidad dadoque, para L constante, será una recta que pasa por el origen.

El principal inconveniente de las resistencias fotosensibles es su fuerte dependencia de latemperatura para baja iluminación. Para combatir este efecto suelen conectarse resistenciasnormales en paralelo obteniéndose curvas de resistencia global en función de la intensidad deiluminación más estables a expensas de sacrificar la sensibilidad.

Otro inconveniente importante es su lentitud de respuesta ante variación brusca de intensidadluminosa, con constantes de tiempo del orden de segundos. Este hecho limita las aplicacionesde las fotorresistencias a frecuencias muy bajas .

Las células LDR se utilizan como captadores primarios para fotometría, si bien pueden formarparte de transductores más complejos en donde se detecta, por ejemplo, la interrupción de unhaz luminoso, un cambio de transparencia, etc.

En la Fig. 6.33 se representa un circuito muy simple para medidas fotométricas. La tensiónde salida es la proporcionada por el divisor de tensión formado por R(L) y R1, es decir:

vo =R1

R1 +R(L)V =

R1R1 +KL−a

V =1

1 + KR1L−1

V (6.4.8)

cuya representación gráfica se ilustra en la Fig. 6.34Se observa, como ocurría con los termistores NTC, la posible existencia de un punto de

inflexión, que se determina haciendo:d2vodL2

= 0 (6.4.9)

Page 201: libro de instrumentación UTP

6.4. TRANSDUCTORES FOTORRESISTIVOS 183

Figura 6.33: Circuito simple con fotorresistencia.

Figura 6.34: Respuesta de una fotorresistencia en una red.

con lo cual se obtieneR1 = K

α− 1α+ 1

L−ac (6.4.10)

donde Lc es la abscisa de dicho punto de inflexión. Este valor Lc deberá corresponder al centrodel margen de medida, para máxima linealidad, o sea

Lc =Lmin + Lmax

2(6.4.11)

siendo Lmin y Lmax las intensidades de iluminación en los extremos de dicho margen.La ecuación que proporciona R1 demuestra que para que exista punto de inflexión, α tiene

que ser mayor que 1. Es decir, la condición

α > 1 (6.4.12)

Page 202: libro de instrumentación UTP

184 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

podría ser el criterio de elección de la célula para que fuese válido el procedimiento de diseñoque se está proponiendo.

Puesto que, además,KL−ac = R(Lc) (6.4.13)

la expresión de R1 puede escribirse también en la forma

R1 =α− 1α+ 1

R(Lc) (6.4.14)

No hay criterios claros para elegir un determinado tipo de célula en fotometría, a excepciónde que α sea mayor que la unidad. Los fabricantes suelen recomendar células de alta resistenciapara fuertes iluminaciones y de baja resistencia para iluminaciones débiles.

En cuanto a la tensión de alimentación V , puede elegirse, como en el caso de las resistenciasNTC, admitiendo un incremento ∆T de temperatura sobre la ambiente, pudiendo aplicarse lamisma fórmula

V ≤ 2r

R1∆T

La sensibilidad absoluta del circuito que se está estudiando, en el centro de la escala demedida, es:

S =dvsdL

¯L=Lc

=V

LC

α2 − 14α

(6.4.15)

6.4.2 El fotodiodo

Puede también considerarse dentro del grupo de captadores fotorresistivos al fotodiodo. En losfotodiodos se aprovecha el aumento de la conductividad inversa de unión PN por absorciónde radiación luminosa. Dicho aumento se debe a la generación de pares electrón—hueco alincidir los fotones sobre el material semiconductor, creándose así una corriente inversa de fugasdependientes de la intensidad de la radiación.

En la Fig. 6.35 se representa una familia de curvas características de un fotodiodo. ParaL = 0 se tiene la curva típica de un diodo semiconductor. Para intensidades luminosas crecientes(L1, L2, etc) las curvas toman la forma ilustrada en la figura presentando un desplazamiento de-scendente. Los tramos del primer y cuarto cuadrante corresponden al funcionamiento comogenerador fotovoltaico. Los tramos horizontales del tercer cuadrante corresponden, por el con-trario, al funcionamiento como fotorresistencias pasivas, aplicación más usual, dado que losvalores de la corriente inversa son sensiblemente proporcionales a las intensidades luminosas(fotometría).

En la Fig. 6.36 se representa un dispositivo fotométrico basado en estos dos modos defuncionamiento. Admitiendo que la corriente inversa del fotodiodo es proporcional a la intensidadluminosa L, es decir, i = KdL, donde Kd es una constante particular para cada fotodiodo, latensión de salida será:

vo = iR1 = R1KdL (6.4.16)

Page 203: libro de instrumentación UTP

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 185

10.50-0.5-1-1.5-2

1.25

0

-1.25

-2.5

ii

Figura 6.35: Respuesta de un fotodiodo a la excitación.

o

+

-

i__>

D

v

+V

R1

Figura 6.36: Circuito con fotodiodo.

con una sensibilidad absoluta de

S =dvsdL

= R1Kd (6.4.17)

Los fotodiodos son más estables con la temperatura que las células LDR y, por supuesto, mu-cho más lineales y de respuesta mucho más rápida. Su único inconveniente es que las corrientesque manejan son muy pequeñas (del orden de microamperios). Se utilizan en fotometría, detec-ción de impulsos luminosos, lectura óptica de cintas perforadas, lectura de caracteres, medidade transparencia, etc.

6.5 Transductores extensométricos

Constituyen un importante grupo de captadores de amplia aplicación en la medida de deforma-ciones de estructuras sólidas sometidas a esfuerzos. Su principio de funcionamiento se basa en

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186 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

la variación de resistencia de un hilo conductor por efecto de un alargamiento.Cuando se aplica una fuerza a una estructura, los componentes de la estructura cambian

ligeramente en sus dimensiones y se dice que está sometida a un esfuerzo. Los dispositivos quemiden estos pequeños cambios en las dimensiones se denominan galgas extensométricas.

La galga extensométrica es un dispositivo muy común utilizado en la medición de esfuerzosen las estructuras y también como un elemento sensor en una amplia variedad de transductores,incluyendo aquellos usados para medir fuerza, aceleración y presión. Las galgas extensiómetricasy los acondicionadores de señal asociados son sencillos, baratos y muy confiables.

Considérese un hilo metálico de longitud l sección A, y resistividad ρ, su resistencia eléctricaR es

R = ρl

A

Si se le somete a un esfuerzo en dirección longitudinal, cada una de las tres magnitudes queintervienen en el valor de R experimenta un cambio y, por lo tanto, R también cambia de laforma

dR

R=

ρ+

dl

l− dA

A(6.5.1)

El cambio de la longitud que resulta de aplicar una fuerza F a una pieza unidimensional,siempre y cuando no se entre en la zona de fluencia (Fig), viene dado por la ley de Hooke,

σ =F

A= E = E

dl

l

donde E es una constante del material, denominada módulo de Young, σ es la tensión mecánicay es la deformación unitaria. es adimensional, pero para mayor claridad se suele dar en‹‹microdeformaciones› › (1 microdeformación = 1μ = 10−6m/m). El término dl/l se definecomo esfuerzo axial, ∈a .

∈a=dl

l

Si se considera ahora una pieza que además de la longitud l tenga una dimensión transversalt, resulta que como consecuencia de aplicar un esfuerzo longitudinal no solo cambia l sino quetambién lo hace t. El cambio en la dimensión transversal respecto a la longitudinal dependede la relación entre los esfuerzos transversal y longitudinal, los cuales están dados por la ley dePoisson:

t = −ν ∈a (6.5.2)

donde ν es el denominado coeficiente de Poisson. El signo menos indica que cuando la longitudse incrementa, la sección decrece.Su valor está entre 0 y 0.5, siendo, por ejemplo, de 0.17 parala fundición maleable, de 0.303 para el acero y de 0.33 para el aluminio y el cobre. Obsérveseque para que se conservara constante el volumen debería ser ν = 0.5.

Page 205: libro de instrumentación UTP

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 187

Para el hilo conductor considerado anteriormente, si se supone una sección cilíndrica dediámetro D, se tendrá

A = πD2

4

dA

A= 2

dD

D= −2ν dl

l(6.5.3)

Debe notarse que esta relación es válida independientemente de la forma geométrica de la seccióntransversal del hilo conductor.

La variación que experimenta la resistividad como resultado de un esfuerzo mecánico seconoce como efecto piezorresistivo. Estos cambios se deben a la variación de la amplitud de lasoscilaciones de los nudos de la red cristalina del metal. Si éste se tensa, la amplitud aumenta,mientras que si se comprime, la amplitud disminuye. Si la amplitud de las oscilaciones delos nudos aumenta, la velocidad de los electrones disminuye, y ρ aumenta. Si dicha amplituddisminuye ρ también disminuye. Para el caso de los metales, resulta que los cambios porcentualesde resistividad y de volumen son proporcionales

ρ= C

dV

V

donde C es la denominada constante de Bridgman, cuyo valor es de 1.13 a 1.15 para las aleacionesempleadas comúnmente en galgas, y de 4.4 para el platino.

Aplicando (6.5.3), el cambio de volumen se puede expresar como

V =πlD2

4

dV

V=

dl

l+ 2

dD

D=

dl

l(1− 2ν)

y, por lo tanto, si el material es isótropo y no se rebasa su límite elástico, (6.5.1) se transformafinalmente en

dR

R=∈a [1 + 2ν + C(1− 2ν)] (6.5.4)

En este punto, es útil definir el factor de galga axial (Función de sensibilidad relativa), Sa :

Sa =dR/R

a(6.5.5)

Combinando las ecuaciones (6.5.4) y (6.5.5), se obtiene

Sa = 1 + 2ν + C(1− 2ν) (6.5.6)

El valor de Sa es del orden de 2 para la mayoría de los metales, salvo para el platino en cuyocaso es del orden de 6.

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188 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Así pues, para pequeñas variaciones la resistencia del hilo metálico deformado puede ponersede la forma

R = R0(1 + x)

donde R0 es la resistencia en reposo y x = Sa . El cambio de resistencia no excede el 2%.En el caso de un semiconductor, al someterlo a esfuerzo predomina el efecto piezorresistivo.

Las expresiones de la relación resistencia-deformación son para un caso concreto [7]:

• para un material tipo p:dR

R0= 119.5 + 4 2

• para un material tipo ndR

R0= −110 + 10 2

donde R0 es la resistencia en reposo a 25C, y se supone una alimentación a corrienteconstante.

En la Fig. 6.37 se observa la respuesta resistencia vs deformación para los dos tipos desemiconductores.Puesto que se pueden fabricar galgas semiconductoras con alta resistencia, se

Figura 6.37: Relación resistencia—deformación para galgas tipo p (línea continua) y tipo n (líneade trazos).

pueden obtener dispositivos de salida muy alta (5 V o más), característica que no se puede daren las galgas metálicas, en las cuales hay una alta limitación de corriente. La ecuación básicapara un puente sobre un voladizo es:

vo = aSavi (6.5.7)

Con esta ecuación, es posible obtener el valor de salida de los puentes activos completos que uti-lizan galgas semiconductoras. Debe notarse que la tensión de salida no depende de la resistencia

Page 207: libro de instrumentación UTP

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 189

Figura 6.38: Algunas configuraciones de galgas extensiométricas de semiconductor (fabricadaspor BLH electronics).

de la galga. El factor de galga para galgas de alta resistencia también es considerablementegrande y el factor de alinealidad es algo más bajo.

Ejemplo 28 Si un puente activo completo de 2000 Ω se monta sobre un voladizo con un buendisipador térmico. Encontrar la excitación posible y la tensión de salida correspondiente. Sesupone potencia máxima disipada de 250 mW, esfuerzo de más y menos 1500μm/m con unfactor de galga S de 148.

Sol.vi = 2

√PR = 2

p250× 10−3 × 2× 103 = 44. 721 ≈ 45

Sustituyendo este valor para la tensión de entrada en la ecuación (6.5.7) se obtiene

vo = 1500× 10−6 × 148× 44. 721 = 9. 928 1 ∼= 10V.

Para el caso de un puente alimentado con 10 V, se tendrá un salida de alredeor de 2V (2.22V ).En la Fig. (6.38) se muestran las configuraciones de algunas galgas semiconductoras comerciales.

Se ofrecen galgas extensométricas semiconductoras con vidrio fenólico encapsuladas y noencapsuladas. Debido a las altas propiedades de instalación requeridas para voltajes altos, serecomienda usar las de tipo encapsulado.

Se puede observar que existe una relación entre el cambio de resistencia de un materialy la deformación que experimente éste. Si se conoce la relación entre esta deformación y elesfuerzo que la provoca ??, a partir de la medida de los cambios de resistencia se podrán

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190 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

conocer los esfuerzos y, en su caso, las magnitudes que provocan dichos esfuerzos en un sensorapropiado. Un resistor dispuesto de forma que sea sensible a la deformación constituye unagalga extensométrica.

Cabe considerar algunas limitaciones en la aplicación de este principio de medida [28]:

• El esfuerzo aplicado no debe llevar a la galga fuera del margen elástico de deformaciones.Éste no excede del 4% de la longitud de la galga y va desde unas 3000μ para las semicon-ductoras a unas 40000 μ para las metálicas.

• La medida de un esfuerzo sólo será correcta si es transmitido totalmente a la galga. Ello selogra pegando ésta cuidadosamente mediante un adhesivo elástico que sea suficientementeestable con el tiempo y la temperatura. A la vez, la galga debe estar aislada eléctricamentedel objeto donde se mide, y protegida del ambiente.

• Se debe estar en un estado plano de deformaciones, es decir, que no haya esfuerzos en ladirección perpendicular a la superficie de la galga. Para que la resistencia eléctrica de éstasea apreciable se disponen varios tramos longitudinales y en el diseño se procura que lostramos transversales tengan mayor sección, pues así se reduce la sensibilidad transversal aun valor de sólo el 1% o el 2% de la logitudinal.

• La temperatura es una fuente de interferencias por varias razones. Afecta a la resistividaddel material, a sus dimensiones y a las dimensiones del soporte. Como resultado de todoello, una vez la galga está dispuesta en la superficie de medida, si hay un cambio detemperatura, antes de aplicar algún esfuerzo se tendrá ya un cambio de resistencia. Engalgas metálicas este cambio puede ser de hasta 50μ /C.

• Un factor que puede provocar el calentamiento de la galga es la propia potencia que disipecuando, al medir su resistencia, se haga circular por ella una corriente eléctrica. En lasgalgas metálicas la corriente máxima es de unos 25 mA si el soporte es buen conductor(cobre, acero, aluminio) y de 5 mA si es mal conductor (plástico, madera). La potenciapermitida aumenta con el área de la galga y va desde 0.77 W/cm2 a 0.15 W/cm2, segúnel soporte. En las galgas semiconductoras, la potencia máxima disipable es de unos 250mW .

• Las fuerzas termoelectromotrices presentes en la unión de dos metales distintos, ya quepueden dar una tensión de salida superpuesta a la de interés si se alimenta la galga concorriente continua. Su presencia se reconoce si cambia la salida al variar la polaridad de laalimentación. Deben corregirse bien mediante el método de insensibilidad intrínseca, porselección de materiales, bien mediante filtrado, a base de alimentar las galgas con corrientealterna.

Idealmente, las galgas deberían ser puntuales para poder medir los esfuerzos en un puntoconcreto. En la práctica sus dimensiones son apreciables, y se supone que el punto de medida

Page 209: libro de instrumentación UTP

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 191

es el centro geométrico de la galga. Si se van a medir vibraciones, la longitud de onda de éstasdebe ser mucho mayor que la longitud de la galga. Si por ejemplo, ésta es de 5 mm y se mideen acero, donde la velocidad del sonido es de unos 5900 m/s, la máxima frecuencia medible esdel orden de 100kHz.

Si se mide en una superficie no uniforme, como el hormigón, puede interesar, en cambio,realizar un promedio de deformaciones para no caer en error debido a una singularidad en lasuperficie.

En muchas situaciones, la superficie de una estructura se comprime o tensiona simultane-manete en más de una dirección, llevando a una condición llamada esfuerzo biaxial, si unaestructura se carga en una dirección existe un esfuerzo transversal (como lo predice la ecuación(6.5.2)). Este efecto está incluido cuando los fabricantes determinan los factores de galga. En elesfuerzo biaxial, sin embargo, hay una expansión transversal que resulta del esfuerzo transverso.Esta expansión transversal afectará la salida de galga extensométrica y puede describirse conun factor de galga transversal, St. Similar a la ecuación (6.5.5) la cual define el factor de galgaaxial, St se define por

St =dR/R

t(6.5.8)

Los fabricantes miden un factor, Kt, llamado la sensibilidad transversal, la cual se suminstra alusuario. Ésta es definida como

Kt =StSa

(6.5.9)

Los valores deKt son normalmente muy pequeños, siendo posible valores menores que 0.01. Parauna galga sencilla Budynas [8] proporciona la siguiente fórmula para el error en un esfuerzo axialdebido a un esfuerzo transversal aplicado:

ˆa − a

a=

Kt

1− νKt

µν +

t

a

¶donde a es el esfuerzo axial verdadero y ˆa es el esfuerzo que la medida podría predecir si sedespreciara el esfuerzo transversal. Para Kt = 0.01, ν = 0.3 y t/ a = 2, el error en el esfuerzoaxial es 2.3%.

Aunque la galga es ligeramente sensible a los esfuerzos transversales, para propósitos prácti-cos, una simple galga extensométrica puede medir el esfuerzo únicamente en una dirección. Paradefinir el estado del esfuerzo sobre una superficie, es necesario especificar dos esfuerzos linealesortogonales x y y y un tercer esfuerzo llamado cizalladura (esfuerzo cortante), γxy, el cambioentre dos líneas originalmente ortogonales cuando un sólido se somete a un esfuerzo. Estosesfuerzos se pueden determinar por tres galgas situadas adecuadamente en un arreglo llamadoroseta extensométrica. La Fíg. 6.39 muestra los dos arreglos más comunes de estas tres galgas:La roseta rectangular, y la roseta equiangular. En la roseta rectangular, las galgas se colocan aángulos de 0, 45 y 90. En la roseta equiangular, están arregladas a 0, 60 y 120. cada unade estas galgas mide el esfuerzo lineal en la dirección del eje de la misma.

Page 210: libro de instrumentación UTP

192 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

SG3SG2

SG1

45ºSG3 SG2

SG1

60º

120º

y y

xx

(a) (b)

Figura 6.39: Orientación de galgas extensiométricas en rosetas comunes: (a) rectangular (b)equiangular.

De acuerdo a Popov [29], si se puede describir el campo del esfuerzo en un plano sobre unsólido por los valores x, y y γxy, el esfuerzo lineal en una dirección θ al eje x se puede representarpor

θ = x cos2 θ + ysen2θ + γxysenθ cos θ (6.5.10)

Esta ecuación puede aplicarse a cada una de las galgas extensométricas en una roseta, resultandoen tres ecuaciones simultaneas:

θ1 = x cos2 θ1 + ysen2θ1 + γxysenθ1 cos θ1

θ2 = x cos2 θ2 + ysen2θ2 + γxysenθ2 cos θ2 (6.5.11)

θ3 = x cos2 θ3 + ysen2θ3 + γxysenθ3 cos θ3

La roseta proporciona medidas de θ1 , θ2 y θ3 , de aquí se obtienen valores para x, y y γxy.Para la roseta rectangular, la solución es:

x = 0

y = 90 (6.5.12)

γxy = 2 45 − ( 0 + 90)

Para la roseta equiangular, la solución es:

x = 0

y =2 60 − 2 120 − 0)

3(6.5.13)

γxy =2√3( 60 − 120)

Page 211: libro de instrumentación UTP

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 193

Tabla 6.5: Características de las galgas extensiométricas metálicas y semiconductorasParámetro Metálicas Semiconductoras

Margen de medida, μ 0.1 a 40000 0.001 a 3000Factor de sensibilidad 1.8 a 2.35 50 a 200Resistencia, Ω 120, 350, 600, . . .5000 1000 a 5000Tolerancia en la resistencia, % 0.1 a 0.2 1 a 2Tamaño, mm 0.4 a 150 1 a 5

En muchos libros de mecánica de materiales se proporcionan métodos para evaluar los esfuerzosmáximos normal y cortante de estos valores de deformación. No es fácil construir los rosetasextensométricas, éstas se pueden obtener de los fabricantes con la forma definida, un ejemplo semuestra en la Fig.6.40.

Figura 6.40: Roseta de galgas extesiométricas.

Tipos y aplicaciones

Los materiales para la fabricación de galgas extensométricas son diversos conductores metálicos,como las aleaciones constantan, advance, karma, y también semiconductores como el silicio yel germanio. Las aleaciones metálicas escogidas tienen la ventaja de un bajo coeficiente detemperatura porque en ellas se compensa parcialmente la disminución de la movilidad de loselectrones al aumentar la temperatura con el aumento de su concentración [28]. Las galgaspueden tener o no soporte propio, eligiéndose en su caso en función de la temperatura a la quese va a medir. Para aplicaciones de sensores táctiles en robots, se emplean también elastómerosconductores. Para la medida de grandes deformaciones en estructuras biológicas se empleangalgas elásticas que consisten en un tubo elástico lleno de mercurio u otro líquido conductor[26].

Las galgas metálicas con soporte pueden ser de hilo bobinado o plegado con soporte de papel,o impresas en fotograbado. En este caso se dispone de una gran variedad de configuraciones,adaptadas a diversos tipos de esfuerzos. Hay modelos para diafragma, para medir torsiones,para determinar esfuerzos máximos y mínimos y sus direcciones (rosetas múltiples), etc.

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194 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

En la Tabla 6.5 se presentan algunas de las características habituales de las galgas metálicas ysemiconductoras [28]. El factor de sensibilidad se determina por muestreo, pues una vez utilizadala galga es irrecuperable. Se da entonces el valor probable de S y la tolerancia. Los métodos deensayo y la especificación de características para las galgas metálicas está normalizado [27].

Las galgas extensométricas se pueden aplicar a la medida de cualquier variable que puedaconvertirse, con el sensor apropiado, en una fuerza capaz de provocar deformaciones del ordende 10μm incluso inferiores.

Una aplicación singular del efecto piezorresistivo es la medida de presiones muy elevadas(1.4GPa a 40GPa) mediante las denominadas galgas de manganina. La manganina es unaaleación (84% Cu, 12% Mn, 4% Ni) que tiene un coeficiente de temperatura muy bajo. Si sesomete un hilo de manganina a una presión en todas direcciones, se presenta un coeficientede resistencia de entre 0.021 y 0.028 μΩ/Ω/kPa, de modo que el cambio de resistencia dainformación sobre la presión a que está sometido.

6.6 Elementos Capacitivos e Inductivos

6.6.1 Elementos Capacitivos

6.6.2 Elementos Inductivos

6.7 Elementos con transformador, Electrodinámicos, Servos yResonantes

6.7.1 Elementos con transformador

Transformadores de núcleo sencillo

6.8 Transformador diferencial de variación lineal (LVDT)

El transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) se basa en la variación de la inductanciamutua entre un primario y cada uno de los dos secundarios al desplazarse a lo largo de su interiorun núcleo de material ferromagnético, arrastrado por un vástago no ferromagnético, unido a lapieza cuyo movimiento se desea medir.

Al alimentar el primario con una tensión alterna, en la posición central las tensiones inducidasen cada secundario son iguales y, al apartarse de dicha posición el núcleo, una de las dos tensionescrece y la otra se reduce en la misma magnitud. Normalmente los dos devanados se conectanen oposición—serie, como lo indica la Fig. 6.41.

El modelo matemático correspondiente se deduce del análisis de la Fig(6.41). Si la resistenciatotal en el primario se designa por R1 = Rg +Rb1 y la del secundario por R2 = Rb2 +R0b2 +Rc,

Page 213: libro de instrumentación UTP

6.8. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) 195

1M

^|

2

1

>

>

___

___

i

i

bR'

2

2

1 c

b

b

2Mx

3M.

.

.

1L1

L3

L2

+

-

v

R

R

RRg

Figura 6.41: Esquema básico del LVDT.

se tiene el siguientes sistema de ecuaciones:∙v10

¸=

∙R1 + sL1 −(M1 −M2)s

−(M1 −M2)s R2 + sL2 + sL02 − sM3

¸ ∙i1i2

¸(6.8.1)

A partir de esta expresión, se obtiene

i2 =M1−M2

L1(L2+L02−2M3)−(M2−M1)2sv1

s2 +R2L1+R1(L2+L02−2M3)

L1(L2+L02−2M3)−(M2−M1)2s+ R1R2

L1(L2+L02−2M3)−(M2−M1)2

(6.8.2)La tensión de salida es, pues,

v0 =−(M2−M1)Rc

L1(L2+L02−2M3)−(M2−M1)2sv1

s2 +R2L1+R1(L2+L02−2M3)

L1(L2+L02−2M3)−(M2−M1)2s+ R1R2

L1(L2+L02−2M3)−(M2−M1)2

(6.8.3)En la posición central, M2 = M1, y según (6.8.3), v0 = 0, tal como se había anticipado.En las otras posiciones del núcleo, L1, L2, L02,M3 y M2 −M1 varían aproximadamente de laforma siguiente: M3 presenta variaciones lentas alrededor de x0; M2 −M1 tiene una variaciónmuy rápida y lineal, alrededor de x0; L2 + L02 se mantiene prácticamente constante y L1 tienevariaciones lentas alrededor de x0.

Para analizar cual es finalmente la relación entre la tensión de salida y la posición del vástago,conviene considerar primero el efecto de la resistencia de carga Rc. Si el secundario está en vacío,la expresión final de la tensión de salida se reduce a

v0 =s(M1 −M2)v1

sL1 +R1(6.8.4)

La corriente en el primario viene dada en estas condiciones por

i1 ≈v1

sL1 +R1(6.8.5)

Page 214: libro de instrumentación UTP

196 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

de forma que i1 es prácticamente constante, independientemente de la posición del vástago.Combinando (6.8.4) y (6.8.5) se llega a

v0 = (M2 −M1)si1 (6.8.6)

que indica que v0 es proporcional aM2−M1 y, por lo tanto, al desplazamiento del vástago, y queestá desfasasa 90 respecto a la corriente del primario. De la expresión (6.8.4) se deduce, además,que v0/v1 tiene respuesta de paso alto respecto a la frecuencia de la tensión de alimentación.Cuando f1 = R1/L1, la sensibilidad es del 70% (−3dB) de la que se tiene a partir de frecuenciasunas diez veces mayores.

Si el secundario no está en vacío, pero se acepta que L2+L02−2M3 es prácticamente constantecon la posición del vástago y se designa por 2L2, y que 2L2L1 À (M2 −M1)

2, la expresión dela tensión de salida pasa a ser

v0 =(M1−M2)Rc

2L1L2

sv1

s2 + R2L1+2R1L22L1L2

s+ R1R22L1L2

(6.8.7)

Resulta, pues que la sensibilidad aumenta al hacerlo la resistencia de carga. También aumentainicialmente al hacerlo f1, pero a partir de una determinada frecuencia decrece. En la Fig () se

presenta esta evolución para un determinado modelo.9ω2+(1−ω2)2 ,

j9ω2+(1−ω2)2 , tan

−1h(1−ω2)ω3ω2

i

107.552.50

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

107.552.50

0.25

0.125

0

-0.125

-0.25

x

y

x

y

Page 215: libro de instrumentación UTP

6.8. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) 197

107.552.50

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x

y

x

y

De () se deduce también que hay un desfase entre la tensión del primario y la del secundario,que depende de f1. Este desfase es nulo a la frecuencia

fn =1

µR1R22L1L2

¶12

(6.8.8)

que es la misma frecuencia a partir de la cual la sensibilidad decrece. Si se excita el primariocon f1 = fn, la salida es entonces independiente de f1, y viene dada por

v0 =(M1 −M2)Rc

R2L1 + 2L2R1v1 (6.8.9)

Así pues, a una frecuencia dada la tensión de salida es proporcional a la diferencia de acoplamientomutuo entre el primario y cada uno de los secundarios. Si éste es proporcional a la posición delvástago, también lo será la tensión de salida. Obsérvese que en este caso, aunque el disposi-tivo responde al desplazamiento con un cambio de impedancia mutua, la salida es propiamenteuna tensión alterna modulada en amplitud, no un cambio de impedancia como sucedía con lossensores diferenciales.

Al comportamiento ideal descrito en los párrafos anteriores, cabe señalarle algunas limita-ciones. La primera es que en los dispositivos reales, en la posición central la tensión de salida nopasa por cero, sino por un mínimo. Ello se debe a la presencia de capacidades parásitas entreprimario y secundarios que apenas cambian con la posición del vástago y también a la falta desimetría en los bobinados y circuitos magnéticos. Normalmente es inferior al 1% de la tensión afondo de escala.

Otra limitación es la presencia de armónicos en la salida, más visible en el nulo. Aparece,sobre todo, el tercer armónico de la alimentación, debido a saturaciones de los materiales mag-néticos. Esta interferencia se puede eliminar bastante bien a base de un filtro de pasa bajas enla salida.

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198 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

La temperatura es otra posible fuente de interferencias, pues varía la resistencia eléctrica delprimario. Si la temperatura aumenta, lo hace también la resistencia, con lo que se reduce lacorriente en el primario, y con ella la tensión de salida, si se alimenta a tensión constante. Si lafrecuencia de alimentación es alta, entonces predomina la impedancia de L1 frente a la de R1 yel efecto es menor. Las derivas térmicas pueden expresarse de la forma

VT = V25[1 + α(T − 25) + β(T − 25)2] (6.8.10)

donde T es la temperatura expresado en grados Celsius, α es una constante que depende de lafrecuencia, y β es otra constante.

Para reducir las interferencias térmicas, se ha propuesto un LVDT autocompensado queutiliza dos pares de secundarios en vez de un solo par []. Las tensiones de un par se restan de laforma habitual (v01− v02), pero las tensiones del otro par, que son respectivamente iguales a lasdel primer par, se suman (v01+v02). La relación (v01−v02)/(v01+v02) es entonces proporcionalal desplazamiento del núcleo, pero en cambio es relativamente insensible a las variaciones en lacorriente y frecuencia de excitación, y a los cambios de temperatura ambiente y de los devanados.

Las ventajas del LVDT son múltiples y justifican por que es un sensor tan frecuente. Enprimer lugar, su resolución teórica es infinta y en la práctica superior al 0.1%. Tienen tambiénun rozamiento muy bajo entre núcleo y devanados, por lo que imponen poca carga mecánica,sobre todo si se los compara con los potenciómetros. La fuerza magnética que se ejerce sobre elnúcleo es proporcional al cuadrado de la corriente en el primario; es cero en la posición centraly aumenta linealmente con el desplazamiento. Es mayor que en un sensor capacitivo, pero latensión de salida es mayor aquí. El bajo rozamiento les da vida casi ilimitada y alta fiabilidad.Su tiempo medio antes de fallar puede ser de hasta 2× 106h.

Otra ventaja es que ofrecen aislamiento eléctrico entre el circuito del primario y el del se-cundario, con lo que pueden tener referencias o puestas a tierra distintas. Esto es una ventajaante la posible presencia de bucles de masa (). Ofrecen también aislamiento entre el sensor(vástago) y el circuito eléctrico, ya que están acoplados magnéticamente. Esto tiene interés almedir en atmósferas peligrosas, por cuanto queda limitada la energía que se puede disipar dentrodel recinto de medida.

Tienen, además, alta repetibilidad (del cero sobre todo) por su simetría; sensibilidad unidi-reccional, alta linealidad (hasta el 0.05%); alta sensibilidad, si bien depende de la frecuencia dealimentación, y respuesta dinámica elevada.

En la construcción del LVDT, el primario se devana a lo largo del centro del núcleo ylos secundarios se disponen simétricos respecto al centro. Los tres devanados se recubren conuna sustancia impermeable para que puedan funcionar con una humedad ambiental elevada.Para solucionar el problema de que el margen lineal es de solamente el 30% de la longitudtotal del transformador, se emplean disposiciones especiales que permiten obtener una relaciónmargen/longitud de 0.8.

El núcleo es una aleación de hierro y níquel, y está laminado longitudinalmente para reducirlas corrientes de Foucault. El vástago que lo arrastra no debe ser magnético. Todo el conjunto

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6.8. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) 199

puede apantallarse magnéticamente para hacerlo inmune a campos externos.Los alcances de medida pueden ir desde ±100μm a ±25cm, las tensiones de excitación acep-

tadas, de 1 a 24 Vrms, con frecuencias de 50 Hz a 20 kHz. Las sensibilidades disponibles van deunos 0.1 V/cm a 40 mV/ μm por cada voltio de alimentación. La resolución puede ser de hasta0.1 μm.

Hay modelos que incorporan la electrónica de modo que aceptan una alimentación de tensióncontinua. Ellos tienen ya el oscilador, amplificador y demodulador, y dan una tensión continuaa la salida. Se habla entonces de transformadores diferenciales de ‹ ‹continua›› (DCLVDT).

Hay también versiones para desplazamientos angulares (RVDT) con un margen lineal de±20 y sensibilidad del orden de 10 mV/grado pero en general, sus prestaciones son inferioresa las de los modelos lineales. En el cuadro () se recogen las principales características de unLVDT comercial.

En [] se propone un nuevo tipo de LVDT que es plano en vez de cilíndrico y carece de núcleoen sus devanados. Su aplicación es la detección de posición en motores lineales de continua.

El circuito equivalente para el LVDT es un generador de tensión alterna con frecuencia iguala la de excitación del primario, modulada en amplitud por el desplazamiento del vástago, y conuna impedancia de salida constante e inferior, en general, a 5 kΩ.

El desfase entre la tensión aplicada aplicada al primario y las tensiones en el secundario es,con el secundario en vacío [ecuación (6.8.4)]

φ = 90 − tan−1 ωL1R1

(6.8.11)

Si el secundario no está en vacío, es entonces [6.8.7]

φ = 90 − tan−1 ω(R1L1 + 2R1L2)R1R2 − 2L1L2ω2

(6.8.12)

Si no se puede trabajar a la frecuencia de desfase nulo, se puede ajustar el desfase mediantealguno de los circuitos de la Fig ().

Las aplicaciones más inmediatas de los LVDT son las medidas de desplazamiento y posición.En particular, es muy frecuente como detector de cero en servosistemas de posición en avionesy submarinos. Si se pone un muelle entre el chasis y el extremo lejano del vástago, se puedeemplear como palpador en máquinas—herramienta, pues entonces el muelle garantiza el contactocontinuado con el perfil que se desea seguir.

Aquí también, mediante el empleo de los sensores primarios adecuados, se pueden medirotras magnitudes que pueden provocar finalmente desplazamiento del núcleo. En la Fig() semuestra como se puede aplicar un LVDT a las medidas de aceleración e inclinómetros medianteun sistema inercial (a) y a la medida de presiones mediente un tubo de Bourdon (b), que fue suprimer aplicación, o mediante un diafragma, fuelle o cápsula.

Se pueden aplicar a los instrumentos basados en un flotador, siempre y cuando los devanadossean herméticos. El flotador arrastra el vástago, o es él mismo el núcleo, y su movimiento

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200 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

es detectado en forma de diferencia de tensión en los dos secundarios. Los rotámetros y losdetectores de nivel se prestan fácilmente a este uso. Las células de carga y los medidores de par,donde se produce un desplazamiento muy pequeño, pueden emplear también un LVDT comosensor.

6.8.1 Transformadores variables

Si en un transformador uno o varios de los devanados pueden desplazarse, lineal o angularmente,respecto a los demás, variando el acoplamiento entre primario y secundarios, es decir, la induc-tancia mutua entre ellos, también variará la tensión inducida en los devanados si uno o variosse excitan con una tensión alterna. En la Fig() se representa esquemáticamente la situaciónpara el caso de un solo primario y un solo secundario. la inductancia mutua entre primario ysecundario es

M12 = N2dφ2di1

(6.8.13)

donde N2 es el número de vueltas del secuindario e i1 es la corriente en el primario. El flujoabarcado por el secundario φ2 es

φ2 = B · S = BS cosα = μHS cosα = μN1i1l

S cosα (6.8.14)

donde S es la sección del secundario, N1 el número de vueltas del primario, l su longitud, μ lapermeabilidad magnética del núcleo y α la inclinación relativa entre el primario y el secundario.Así pues,

M12 = N2N1μ

lS cosα =M cosα (6.8.15)

Si se considera el secundario en vacío y se aplica al primario una tensión sinusoidal de frecuenciaω, en el secundario se obtendrá

v2 =M12di1dt

(6.8.16)

v2 = jωi1M12 = ωiM(cosα)(cosωt) = k cosα cosωt (6.8.17)

Es decir, la tensión de salida tiene la misma frecuencia que la de entrada, pero su amplituddepende de la inclinación relativa entre los devanados, si bien no de una forma proporcional.

Este principio de medida se presta bien a las aplicaciones donde hay que determinar unaposición o desplazamiento angular.

Por su pequeño momento de inercia, los transformadores variables imponen, en general,menos carga mecánica al eje de giro que los codificadores digitales, que requieren discos grandespara tener alta resolución. Por su construcción, aguantan mayores temperaturas y más humedad,choques y vibraciones que los codificadores y ciertos potenciómetros, por lo que son particular-mente considerados en las aplicaciones militares y aeroespaciales.

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6.9. TRANSDUCTORES ELECTROQUÍMICOS 201

Según se verá, los transformadores variables pueden transmitir la información analógicahasta 2 km de distancia, con cable adecuado, y allí hacer la conversión a digital. En cambio, loscodificadores digitales sufren mucha interferencia si se transmite directamente su señal de salida,en particular en aquellas aplicaciones donde hay campos electromagnéticos intensos, como puedeser el posicionamiento de antenas (radar). Otra ventaja es que hay desplazamiento eléctrico entrela excitación de entrada y la salida, y ello reduce, por ejemplo, las interferencias conducidas.En el cuadro () se recogen los valores de la excitación máxima aproximada propia de distintossistemas de medida de posiciones angulares.

Las ventajas de los transforamdores variables han llevado al desarrollo de diversas configu-raciones físicas, cuya comercialización con una marca determinada ha tenido en algunos casostanto éxito que todos los dispositivos similares se conocen con el mismo nombre comercial.

Una de las disposiciones físicas más simple es el denominado potenciómetro de inducción(Fig()). Consiste en dos devanados planos concéntricos, uno fijo, estator, y otro móvil, rotor,que puede girar respecto al primero, cada uno con su propio núcleo ferromagnético. Si uno delos dos se alimenta con una tensión sinusoidal, la tensión inducida en el otro, en circuito abierto,viene dada por (6.8.17)

6.9 Transductores electroquímicos

Estos transductores tienen escasa aplicación industrial y se basan en la detección del nivel deun electrolito por la variación que se produce en la resistencia entre dos electrodos sumergidos.Pueden utilizarse directamente en la medida de nivel de líquidos con propiedades electroquímicas,y en la medida de pequeñas presiones (proporcionales a la altura del electrolito en el receptáculodel transductor, que se uniría mediante un conducto adecuado provisto de diafragma o pistón alpunto de medida). El inconveniente más importate de este transductor es la alteración progresivaque se va produciendo en el electrolito por efecto de los fenómenos de electrólisis que tienen lugar.

• Captadores de variación de nivel de mercurio. En los que una columna de mercurio dealtura variable cortocircuita diferentes tomas intermedias de una cadena de resistencias.Su aplicación inmediata es la medida de presiones.

• Captadores de discos de carbón. Constituidos por una pila de discos de grafito (aproxi-mandamente 10 mm de diámetro y 2 mm de espesor) cuya resistencia global disminuye alcrecer la presión aplicada debido a la variación de resistencia entre las superficies super-puestas de las caras. Estos dispositivos son poco precisos pero muy robustos, obteniéndoserelaciones entre resistencias extremas de 10 : 1.

Sensores de reactancia variable

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202 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

En este tipo de sensores se aprovecha la variación de la reactancia de algún dispositivoinductivo o capacitivo o una combinación de ambos. La respuesta suele ser no lineal, por locual, se requieren circuitos de compensación de tipo diferencial. También presentan limitacionesa la máxima frecuencia de variación admisible de la variable medida, pues debe ser inferior ala frecuencia de excitación empleada. Algunos de estos sensores son generadores intrínsecos deseñal.

Sensores capacitivosUn capacitor consiste en dos conductores separados por un dieléctrico (sólido, líquido o

gaseoso), o el vacío. Funcionan por el principio de que la capacitancia de un condensador esfunción de la distancia entre las placas y del área de las mismas:

donde es el coeficiente dieléctrico de las sustancia entre las placas ( para el aire), esla permitividad del vacío 8.85 × 10−12 C2/N − m2, A es el área de la placa superpuesta yd es la distancia entre las placas. Si A tiene unidades de m2 y d está en metros, C tendráunidades de faradios. Como se muestra en la Fig. , hay dos modos de usar un transductorcapacitivo para medidas de desplazamiento. En la Fig. (a) una placa se mueve de modoque la distancia, d, entre las placas varía. Alternativamente, [Fig. (b)],una de las placas sepuede mover paralela a la otra, de modo que el área enfrentada varía. En el primer caso, lacapacitancia es aproximadamente una función lineal del desplazamiento. Puesto que la salida delsensor capacitvo no es un voltaje, se requiere acondicionamiento de la señal. Se puede utilizarun puente Wheatstone de corriente alterna para este propósito.

En general los sensores capacitivos son no lineales. su linealidad depende del parámetro quevaría y de si se mide la impedancia o la admitancia del condensador. En un condensador plano,por ejemplo, con

Sensores InductivosSensores Electromagnéticos

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Capítulo 7

Sensores generadores de señal

7.1 Introducción

Se denominan sensores generadores aquellos que generan una señal eléctrica a partir de la mag-nitud que miden sin necesidad de alimentación eléctrica. Ofrecen una alternativa para medirmuchas de las magnitudes ordinarias, sobre todo temperatura, fuerza y magnitudes afines. Pero,además, dado que se basan en efectos reversibles, están relacionados con diversos tipos de ac-cionadores o aplicaciones inversas en general. Es decir, se pueden emplear para la generación deacciones no eléctricas a partir de señales eléctricas.

Igualmente serán analizados los sensores fotovoltaicos y algunos de magnitudes químicas(relacionadas con la composición) para las que hasta el momento se han visto pocas posibilidadesde medida.

Algunos de los efectos que se describen aquí pueden producirse inadvertidamente en loscircuitos, y ser así fuente de interfencias Es el caso de las fuerzas termoelectromotrices, de lasvibraciones en cables con determinados dieléctricos o de los potenciales galvánicos en soldaduraso contactos. La descripción de los fenómenos asociados, con vistas a la transducción, permitetambién su análisis cuando se trate de reducir interferencias.

7.2 Termopares

7.2.1 Efectos termoeléctricos

Los sensores termoeléctricos se basan en dos efectos que, a diferencia del efecto Joule, sonreversibles. se trata del efecto Peltier y del efecto Thompson.

Históricamente fue primero Thomas J. Seebeck quien descubrió, en 1822, que en un circuitode dos metales distintos homogéneos, A y B, con dos uniones a diferente temperatura, apareceuna corriente eléctrica Fig. 7.1. Es decir, hay una conversión de energía térmica a eléctrica,o bien, si se abre el circuito, hay una fuerza termo—electromotriz (f.t.e.m) que depende de los

203

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204 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

DVM

Alambre de metal A

Alambre de metal B

Alambre de cobre

Terminal DVM

Unión sensora

Figura 7.1: Termopar.

metales y de la diferencia de temperatura entre las dos uniones. Al conjunto de estos dos metalesdistintos con una unión firme en un punto a una zona se denomina termopar.

La relación entre la f.t.e.m., VAB, y la diferencia de temperatura entre las uniones, T , defineel coeficiente Seebeck, SAB,

SAB =dVABdT

= SA − SB (7.2.1)

donde SA y SB son, respectivamente, la potencia termoeléctrica absoluta de A y B. En general,SAB no es constante sino que depende de T , y suele crecer al aumentar T . Es importante anotarque mientras la corriente que circula por el circuito depende de la resistencia de los conductores,en cambio la f.t.e.m. no depende ni de la resistividad, ni de la sección, ni de la distribucióno gradiente de temperatura. Depende solo de la diferencia de temperatura de las uniones yde la naturaleza de los metales. Esta fuerza electromotriz se debe al efecto Peltier y al efectoThompson.

El efecto Peltier descubierto por Jean C.A. Peltier en 1834, consiste en el calentamiento oenfriamiento de una unión entre dos metales distintos al pasar corriente por ella. Al invertir elsentido de la corriente, se invierte también el sentido del flujo de calor. Es decir, si una uniónantes se calentaba (cedía calor), al cambiar el sentido de la corriente se enfría (absorbe calor),y si primero se enfría ahora se calienta. Este efecto es reversible e independiente del contacto,es decir, de la forma y dimensiones de los conductores. Depende sólo de su composición y dela temperatura de la unión. Esta dependencia resulta ser además lineal y viene descrita por elcoeficiente de Peltier, πAB, que por tener dimensiones de tensión se llama a veces “tensión dePeltier”. Se define como el calor generado en la unión AB por unidad de corriente que circulade B hacia A

dQp = ±πABIdt (7.2.2)

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7.2. TERMOPARES 205

Para una union a temperatura absoluta T , se demuestra que

πAB = T (SB − SA) = −πBA (7.2.3)

El hecho de que el calor intercambiado por unidad de superficie de la unión sea proporcionala la corriente y no a su cuadrado, marca la diferencia respecto al efecto Joule. En éste, elcalentamiento depende del cuadrado de la corriente, y no cambia al hacerlo su dirección.

El efecto Peltier es también independiente del origen de la corriente, que puede ser, pues,incluso de origen termoeléctrico. En este caso las uniones alcanzan una temperatura diferente ala ambiental, y por ello puede ser una fuente de errores.

El efecto Thompson, descubierto por William Thompson (Lord Kelvin) en 1847-54, consisteen la absorción o liberación del calor por parte de un conductor homogéneo con temperaturano homogénea por el que circule una corriente. El calor liberado es proporcional a la corriente—no a su cuadrado— y, por ello, cambia el signo al hacerlo el sentido de la corriente. En otraspalabras, se absorbe calor si la corriente y el calor fluyen en direcciones opuestas, y se liberacalor si fluyen en la misma dirección.

El flujo neto de calor por unidad de volumen, Q, en un conductor de resistividad r, con ungradiente longitudinal de temperatura, dTdx , por el que circula una densidad de corriente J , será,

Q = −JσdTdx

(7.2.4)

donde σ es el denominado coeficiente de Thompson.Con referencia al circuito de la Fig. 7.1, se observa que si la corriente que circula es sufi-

cientemente pequeña para poder despreciar el efecto Joule, se pueden considerar exclusivamentelos efectos termoeléctricos reversibles. En este caso, la energía termoelectromotriz producida,dVABdT ·∆T , debe coincidir con la energía térmica neta transformada. Para el caso de un termoparcon una temperatura T +∆T en un unión y T en la otra, el calor absorbido en la unión calientees πAB(T+∆T ), mientras que el calor liberado en la unión fría es −πABT. Por efecto Thompson,se libera en A un calor −σA(∆T ), mientras que en B se absorbe un calor σB(∆T ). El balanceenergético es así

dVABdT

∆T = πAB(T +∆T )− πAB(T ) + (σB − σA)∆T (7.2.5)

Dividiendo ambos términos por ∆T y pasando al límite cuando ∆T tiende a 0, resulta

dVABdT

=dπABdT

+ (σB − σA)∆T (7.2.6)

esta expresión indica que el efecto Seebeck es, de hecho, el resultado de los efectos Peltier yThompson, y expresa el teorema fundamental de la termoelectricidad.

Las expresiones (7.2.1) y (7.2.6) permiten pensar en la aplicación de los termopares a lamedida de temperaturas. Si en un circuito se mantiene una unión a temperatura constante

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206 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

(unión de referencia), la f.t.e.m. será función de la temperatura a la que esté sometida la otraunión, que se denomina unión de medida. Los valores correspondientes a la tensión obtenida condeterminados termopares, en función de la temperatura de esta unión cuando la otra se mantienea 0C, están tabulados. El circuito equivalente es una fuente de tensión con una resistencia desalida distinta en cada rama (la de cada metal). Para cobre y constantan, por ejemplo, puedenser 300Ω y 10Ω.

Ahora bien, la aplicación de los termopares a la medida está sujeta a una serie de limitacionesque conviene conocer para su uso correcto.

• La temperatura máxima que alcance el termopar debe ser inferior a su temperatura defusión. Por lo tanto, hay que elegir un modelo adecuado a los valores de temperatura amedir.

• El medio donde se va a medir no debe atacar a ninguno de los metales de la unión.

• La corriente que circule por el circuito de temopares debe ser mínima. De no ser así, dadoel carácter reversible de los efectos Peltier y Thomson, la temperatura de los conductores,y en particular la de las uniones, sería distinta a la del entorno, debido al flujo de calordesde y hacia el circuito. Según la intensidad de la corriente, incluso el efecto Joule podríaser apreciable. Todo esto llevaría a que la unión de medida alcanzara una temparaturadistinta a la que se desea medir y la unión de referencia una temperatura diferente a lasupuesta, con los consiguientes errores.

• Los conductores deben ser homogéneos, por lo que conviene extremar las precauciones paraque no sufran tensiones mecánicas (por ejemplo, al instalarlos), ni térmicas (por ejemplo,debidas al envejecimiento si hay gradientes de temperatura importantes a lo largo de sutendido).

• Se debe mantener una de las dos uniones a una temperatura de referencia fija si se deseamedir la de la otra unión, pues todo cambio en dicha unión de referencia será una fuente deerror. Repercute en ello que la tensión de salida es muy pequeña, por cuanto la sensibilidadtípica es de 6 a 75μV/C. Si además la temperatura de referencia no es muy próxima ala de la medida, resultará que la señal ofrecida tendrá un nivel alto constante en el quelos cambios de temperatura de interés puede que provoquen sólo pequeñas variaciones detensión.

• Si se desea una precisión elevada, la no linealidad de la relación entre f.t.e.m. y temperaturapuede ser importante. Una fórmula aproximada y con validez general es

VAB ≈ C1(T1 + T2) + C2(T21 − T 22 ) (7.2.7)

donde T1 y T2 son las temperaturas absolutas respectivas de cada unión, y C1 y C2 sonconstantes que dependen de los materiales A y B. La realización de termopares útiles

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7.2. TERMOPARES 207

viene limitada, precisamente, por el interés de que C2 sea muy pequeña, y esto restringemucho las posibilidades de elección. Para el termopar de cobre/constantan, por ejemplo,se tiene

EAB ≈ 62.1(T1 + T2) + 0.045(T21 − T 22 )μV (7.2.8)

Esta no linealidad puede que requiera una corrección que se realiza en el circuito de acondi-cionamiento de señal. Considerando todos los factores, es díficil tener un error menor que0.5C. La tolerancia de unas a otras unidades del mismo modelo, puede ser de variosgrados Celsius.

A pesar de estas limitaciones, los termopares tiene muchas ventajas y son, con mucha difer-encia, los sensores más frecuentes para la medida de temperaturas. Por una parte, tienen unalcance de medida grande, no sólo en su conjunto, que va desde −270C hasta 3000C, sino encada modelo particular. Por otra parte, su estabilidad a largo plazo es aceptable y su fiabili-dad elevada. Además, para temperaturas bajas tiene mayor exactitud que las RTD, y por supequeño tamaño permiten tener velocidades de respuesta rápidas, del orden de milisegundos.Poseen también robustez, simplicidad y flexibilidad de utilización, y se dispone de modelos debajo precio que son suficientes en muchas aplicaciones. Dado que no necesitan excitación, notienen los problemas de autocalentamiento que presentan las RTD, en particular al medir latemperatura de gases.

7.2.2 Compensación de la unión de referencia

La simplicidad general de los termopares ha conducido a su amplio uso como sensores paramedida de la temperatura. Hay, sin embargo, un número de complicaciones en su uso:

1. La medida de tensión se debe hacer sin flujo de corriente.

2. Las conexiones a dispositivos de medida de tensión resultan en uniones adicionales.

3. La tensión depende de la composición de los metales usados en los hilos.

Para que un termopar pueda ser usado como medidor de temperatura, no debe haber flujo decorriente a través de los hilos y la unión. Esto es porque el flujo de corriente no solo resultará enpérdidas resistivas sino que también afectará las tensiones termoeléctricas. Reunir este requisitoactualmemte no es un problema puesto que se dispone de voltímetros electrónicos y de sistemasde adquisición de datos con muy alta impedancia de entrada.

La segunda complicación tiene que ver con el hecho de que realmente hay tres uniones enla Fig. 7.1. Además de la unión sensora, hay dos uniones donde el termopar se conecta conel DVM. La lectura de la tensión así, es función de tres temperaturas (la unión sensora y lasuniones a los terminales del DVM), dos de las cuales son de ningún interés. La solución a esteproblema se muestra en la Fig. 7.2(a).

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208 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

DVM DVM

Alambre de metal A

Alambre de metal A

Unión sensora

Alambre de metal B

Cobre

Alambre de metal B

Metal B

Unión de referencia

Uniones de referencia

Metal A

Unión sensora

(a) (b)

Figura 7.2: Termopar con unión de referencia.

Se usan dos termocuplas, la segunda se denomina unión de referencia. La unión de referenciase mantiene a una temperatura conocida fija. La temperatura de una mezcla de hielo y agua puraa 1 atm. (0C). Se dispone actualmente de dispositivos electrónicos que simulan eléctricamentela unión de referencia fría sin la necesidad de disponer realmente de la mezcla hielo—agua. Aúnhay dos uniones en los terminales del DVM, pero cada una de estas uniones está construidacon los mismos materiales y si los dos materiales pueden mantenerse a la misma temperatura,las tensiones en los terminales se cancelarán. Se pueden mantener los dos terminales a lamisma temperatura colocándolos en un mismo recinto aislado térmicamente conenctados conun conductor térmico pero en una estructura aislada eléctricamente. Con la temperatura de launión de referencia conocida, la tensión medida es función únicamente de los materiales con loscuales está construido el termopar y la unión sensora de temperatura. El circuito de la Fig.7.2(b) es eléctricamente equivalente a la Fig. 7.2(a) y producirá la misma tensión en el DVM.

Finalmente, la tensión generada depende fuertemente de la composición de los hilos utilizadospara formar el termopar. Este problema ha sido resuelto restringiendo los materiales utilizadospara construir los termopares. Cuando se fabrican los alambres para los termopares de acuerdoa las normas establecidas por el National Institute of Standards and Technology (antiguamenteconocido como National Bureau of Standards NBS), se pueden usar las curvas de calibraciónnormalizadas para determinar la temperatura con base a las tensiones medidas. Puesto que latensión de salida es en general función no lineal de la temperatura, se requieren tablas, gráficoso funciones polinomiales para interpretar los datos de la tensión leída. La Fig. 7.3 muestra lascurvas de calibración tomadas de las funciones polinomiales dadas por Creus [10] para varios

termopares. El programa desarrollado en MatlabR°está listado en el Apéndice A.

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7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 209

Figura 7.3: Respuesta tensión vs temperatura para algunas termocuplas.

7.3 Sensores piezoeléctricos

What is Piezoelectricity?An overview & HistoryIn the 1880s, Pierre and Jacque Curie discovered that some crystalline materials, when

compressed, produce a voltage proportional to the applied pressure and that when an electricfield is applied across the material, there is a corresponding change of shape.

This characteristic is called piezoelectricity or pressure electricity (Piezo is the Greek wordfor pressure).

Piezoelectric ceramics respond rapidly to changes in input voltage, and power supply noiseis the only limiting factor in the positional resolution. Although high voltages are used toproduce the piezoelectric effect, power consumption is low, and energy consumption is minimalin maintaining a fixed position with a fixed load.

Although piezoelectricity is found in several types of natural materials, most modern devicesuse polycrystalline ceramics such as lead zirconate titanate (PZT).

A material is said to possess piezoelectric properties if an electrical charge is produced whena mechanical stress in applied. This is commonly referred to as the “generator effect”. Theconverse also holds true; an applied electric field will produce a mechanical stress in the material.This is commonly referred to as the “motor effect”.

Some naturally occurring crystalline materials possessing these properties are quartz andtourmaline. Some artificially produced piezoelectric crystals are Rochelle salt, ammonium dihy-drogen phosphate (ADP) and lithium sulphate (LH).

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210 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Another class of materials possessing these properties is polarized piezoelectric ceramic.They are typically referred to as ferroelectric materials. In contrast to the naturally occurringpiezoelectric crystals, ferroelectric ceramics are of “polycrystalline” structure. the most com-monly produced piezoelectric ceramics are: lead zirconate titanate (PZT), barium titanate, leadtitanate and lead metaniobate.

Production of all of the piezoelectric ceramic materials involve detailed processing. Materialproperties may be altered by modifying the chemical composition and manufacturing processes.The provides the designer a means of tailoring the materials properties to the application.

Many processes are involved in the production of piezoelectric ceramics. The first ceramicprocess consists of mixing the raw materials. The powders are then heated which reacts theconstituent materials into a compound. This process is commonly referred to as

“calcining”. The calcined powders are then ground into very fine particles. The productionof ceramic shapes requires that a binder be added. The binder holds the parts together prior tofiring.

Ceramic parts may be formed to many shapes including; bars, plates, discs, rings, cylindersand hemispears. The formed parts are then bisque fired at low temperatures in order to drive offthe binders and provide some mechanical strength. The second firing, or “high firing” completesthe chemical bounding of the constituent material dimensions. Electrodes are applied to thedesired surfaces. a final firing bonds the electrode material to the ceramic surfaces.

Activation of the piezoelectric ceramic properties on a macroscope level occurs in the “polling”process. The electroded part is heated in a dielectric oil bath. A high electric field is appliedacross the electrodes resulting in an aligning of the dipoles within the material. The materialis now fully activated. From the moment the activated ceramic material is removed from thepoling apparatus, the material properties undergo changes. The process of change is referred toas “aging”. Aging of the ceramic occurs very rapidly in the first few hours. After a few daysthe changes in the material properties are very small and decrease logarithmically. The agingprocess can be attributed to the relaxation of the dipoles in the material.

Piezoelectric ceramic materials possess electrical, mechanical and electromechanical proper-ties resulting from the chemical formulation and the manufacturing processing. Typical electricalparameters are the dielectric constant “K”, and the dissipation. High dielectric constants aredesirable for they result in low impedance. Low dissipations are desirable for they result in lowelectrical losses. Typical electromechanical parameters are the electromechanical coupling, “k”,and piezoelectric “g” and “d” constants. Higher electromechanical couplings result in a moreefficient transfer of electrical energy to mechanical energy. Typical mechanical parameters arethe density and elastic constants, “S” from which the resonant properties may be determined.Many of these properties are dependent upon the axis of measurement. The axis being definedrelative to the poled axis.

Depolarization of the piezoelectric ceramic can result if it is exposed to excessive heat,electrical drive or mechanical stress or any combination thereof. The temperature at whichpiezoelectric ceramic will be totally depoled is known as the “curie point”.

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7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 211

Piezoelectric ceramics also possess “pyroelectric” properties. A change in ceramic tempera-ture will result in a change in mechanical dimensions. The mechanical change produces stresswithin the ceramic and corresponding electrical charge on the electrode surfaces. Very highpotentials can be created, caution should be exercised when handling piezoelectric ceramic.

7.3.1 Captadores Piezoeléctricos

La piezoelectricidad consiste en la aparición de desequilibrios de carga eléctrica en determinadaszonas de láminas talladas según ciertos ejes, en respuesta a una deformación de la red cristalinaprovocada, por ejemplo, por la aplicación de una fuerza. El fenómeno es reversible de modo que,si se crea una distribución asimétrica de cargas, se produce una deformación correspondiente en elcristal. Es así lógico que estos materiales se utilicen tanto en sensores primarios de deformación,como en accionadores mecánicos (por ejemplo, generadores de ultrasonidos, posicionadores deelementos mecánicos, etc).

7.3.2 Materiales piezoeléctricos

Entre los materiales naturales que manifiestan el fenómeno descrito están los cristales de cuarzoy turmalina, y entre los materiales sintéticos que se comportan del mismo modo pueden citarse lasal de Rochelle y el titanato de bario, además de ciertos compuestos de tipo cerámico utilizadosactualmente.

El titanato de bario, concretamente, pertenece al grupo de los denominados materialesferroeléctricos, de los cuales el más representativo podría ser el zirconato de plomo. Deben sunombre a la analogía entre los dominios eléctricos, concepto que se utiliza en la interpretaciónteórica de sus propiedades, y los “dominios magnéticos” a los que se hace referencia en la teoríadel ferromagnetismo. Durante el proceso de fabricación, se “polarizan” calentándolos por encimadel punto Curie y se dejan enfriar lentamente en presencia de un fuerte campo eléctrico (obsérvesela analogía con el proceso de fabricación de los imanes y la dualidad campo magnético—campoeléctrico).

Los dispositivos que utilizan materiales ferroeléctricos se caracterizan por su gran robustez ycapacidad para soportar grandes esfuerzos. Se emplean además frecuentemente como actuadoresy, en especial, en sistemas de generación de ultrasonidos.

Recientemente se están utilizando también los polímeros ferroeléctricos entre los cualesdestaca el fluoruro de polivinilideno, material de alta sensibilidad piezoeléctrica y piroeléctricaque sive de base para algunos sensores modernos experimentales de diversas magnitudes mecáni-cas, eléctricas y ópticas. Actualmente se estudia su aplicabilidad a la detección tactil en robotsy en prótesis de miembros.

En aplicaciones como sensores, destacan los cristales de cuarzo tallados según deter-minadas direcciones preferentes en forma de láminas sobre cuyas caras opuestas se depositanelectrodos metálicos (generalmente de oro o de plata). Dependiendo de la dirección del corte,

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212 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Figura 7.4: Efecto piezoeléctrico

se consiguen láminas sensibles a deformaciones por compresión, esfuerzo cortante o flexión (verFig.7.4)

7.3.3 Base Teórica

Las relaciones mecanoeléctricas para un material piezoeléctrico vienen dadas por las siguientesecuaciones (unidimensionales):

δ = δ(T,E) → δ = s · T + d ·ED = D(T,E) → D = ε ·E + d · T

dondeδ Deformación unitariaT EsfuerzoE Campo eléctricoD Desplazamientoε Constante dieléctricas Inversa del módulo de Youngd Constante piezoeléctrica (C/N)En estos materiales, tanto la deformación mecánica como el vector desplazamiento eléctrico

se deben a una cambinación del esfuerzo y campo eléctrico aplicado al material. Un índice de laconversión viene dado por el coeficiente de acoplamiento electromecánico (K), definido como laraíz cuadrada de la relación entre la energía disponible y la almacenada (para frecuencias muypor debajo de la frecuencia de resonancia del elemento). Puede demostrarse que

K =d2

ε · s

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7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 213

La generalización de las ecuaciones anteriores a tres dimensiones, proporciona las siguientesrelaciones:

[δi] = [δi,j ][Tj ] + [di,k][Ek] j, n = 1, 2, . . . 6

[Di] = [εl,m][Em] + [dl,n][Tn] i, k, l,m = 1, 2, 3

donde se cumple que

di,j = dj,i

εl,m = 0 ∀l 6= m

(indicando los subíndices 1, 2 y3 esfuerzos de tracción/compresión y los subíndices 4, 5 y 6,esfuerzos de cizalladura) Fig.

Con el fin de comprender el comportamiento en circuito de los sensores piezoeléctricos,es interesante abordar teóricamente un modelo simple unidimensional al que responden conbastante aproximación los cristales tallados prismáticamente cuando funcionan en régimen decompresión—tracción que, por otra parte, es el usual en muchos de los transductores basados eneste tipo de sensores Fig

En la Fig. se representa esquemáticamente un cristal piezoeléctrico en forma de láminacon electrodos metálicos depositados sobre las caras opuestas. En la misma figura se ilustra elequilibrio dinámico del cristal sometido a una fuerza F de compresión, de modo que se produceuna disminución z en su espesor. Los terminales del cristal aparecen cortocircuitados, es decirno existe diferencia de potencial entre ellos y no se tiene en cuenta, por lo tanto, la fuerza debidaa la reversibilidad del efecto piezoeléctrico.

La deformación genera una carga Q cuyo valor es aproximadamente proporcional al acor-tamiento unitario del espesor del cristal, para deformaciones muy pequeñas, o sea:

Q = Kz

e(7.3.1)

donde K es una constante que depende del material y de la dirección de la talla y e es el espesordel cristal antes de la deformación.

Si, en el caso más gnenral, se supone que z está variando con el tiempo a una velocidaddz/dt y una aceleración d2z/dt2, considerando el sentido positivo de z indicado en la Fig., Seobtien derivando la expresión (7.3.1):

i =dQ

dt=

K

e

dz

dt(7.3.2)

donde se ha considerado que el espesor e permanece constante. Existe pues una corriente dedesplazamiento interno de cargas proporcional a la velocidad de deformación, que circularía porel conductor de cortocircuito entre terminales.

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214 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Por otra parte, como se indica en la Fig., intervienen en el caso más genral, además dela fuerza F aplicada, otras solicitaciones que definen el equilibrio dinámico del sistema y quepueden expresarse del modo siguiente en función de z y sus derivadas

md2zdt2

Fuerza de inercia a la masa m equivalente del cristalr dzdt Fuerza asociada a las resistencias pasivas (del tipo de rozamiento viscoso, propor-

cional a la velocidad)l

Cmz Fuerza de reacción elástica, proporcional a la deformación, donde Cm, es la llamada

capacidad mecánica, inversa de la elastancia mecánica del cristal para el modo de deformaciónconsiderado.

El equilibrio dinámico se expresará indicando balance de fuerzas que actúa sobre el sistema:

F = md2z

dt2+ r

dz

dt+

l

Cmz (7.3.3)

y teniendo en cuenta (7.3.2) resulta

F =me

K

di

dt+

re

Ki+

e

K

l

Cm

Zidt (7.3.4)

7.3.4 Circuito Equivalente de un cristal piezoeléctrico

Considérece ahora el esquema de la Fig. (7.5) que representa un circuito L,R,C en serie ali-mentado por un generador de tensión v(t).

Fδ Fδ

CLR+

-Co

CLR+

-

Figura 7.5: Circuito eléctrico equivalente a un sensor piezoeléctrico.

De acuerdo con la teoría de circuitos, la relación entre v(t) e i(t) estará dada por la ecuación

v(t) = Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

C

Zi(t)dt (7.3.5)

Dado que los términos funcionales de los segundos miembros de las ecuaciones (7.3.4) y (7.3.5)son idénticos, puede establecerse una equivalencia entre ambas expresando la proporcionalidad

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7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 215

entre las funciones de los primeros miembros y entre los coeficientes correspondientes del segundo,o sea

u(t)

F=

LK

me=

RK

re=

CmK

Ce= δ (7.3.6)

donde δ sería el factor de proporcionalidad.De la ecuación anterior, se deducen las expresiones

u(t) = δF ∴ L =eδ

Km ∴ R =

Kr ∴ C =

K

eδCm

Resulta así que puede establecerse una analogía entre el cristal en su equilibrio dinámico y uncircuito resonante serie con amortiguamiento, en donde son válidas las siguientes relaciones:

• La tensión de alimentación es proporcional a la fuerza.

• La resistencia es proporcional al coeficiente representativo del efecto del amortiguamientomecánico del sistema.

• La inductancia es proporcional a la masa equivalente del cristal.

• La capacidad eléctrica es proporcional a la capacidad mecánica.

Estas conclusiones son de gran utilidad para el estudio de circuitos con cristales piezoeléctri-cos, toda vez que el cristal puede ser sustituido por un circuito L,R,C equivalente alimentado porun generador de tensión proporcional a la fuerza aplicada, como se muestra en la Fig.(izquieda).

Si se abre el corto circuito entre los terminales físicos del cristal, quedará intercalado en elbuque el condensador C0 correspondiente a la disposición de los dos electrodos separados por elpropio cristal (dieléctrico) y, en este caso, la corriente i(t) no podría ser medida fisicamenteyaque estaía formada por el desplazamiento interno de cargas que se almacenarían, en definitiva,en dicho condensador. El circuito equivalente completo es el representado en la derecha de laFig. (), donde los pintos a y b corresponden a los terminales físicos del sensor

A modo de ejemplo, se indican a continuación los parámetros eléctricos d un cristal de cuarzode frecuencia de resonancia igual a 10MHz (corte AT).

En aplicaciones como sensor, donde el funcionamiento tiene lugar a frecuencias muy inferioresa la de resonancia mecánica del cristal (obviamente coincidente con la resonancia eléctrica de sucircuito equivalente), tanto las velocidades como las aceleraciones tienen valores tan bajos que esposible despreciar los términos asociados a estas magnitudes, con lo cual el circuito equivalentese reduce al ilustrado en el lado izquierdo de la Fig.().

En el lado derecho de dicha figura se muestra una configuración aun más simplificada queresulta de la anterior aplicando el teorema de Thevenin entre los terminales a y b, en donde elgenerador corresponde al original afectado del coeficiente δ = C/(C +C0) del divisor de tensióncapacitivo y la impedancia interna está formada por los dos condensadores en paralelo.

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216 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Puede decirse que el cristal piezoeléctrico, dentro de las aproximaciones indicadas, equivalea un generador de tensión proporcional a la fuerza aplicada en serie con un condensador quecorresponde aproximadamente al definido físicamente por la geometría del sensor (es decir, elcondensador C0), siempre referido al modelo de la Fig().

El estudio de la respuesta de los cristales piezoeléctricos a solicitaciones estáticas proporcionainteresantes relaciones entre los parámetros que se están manejando y otros dependientes de laspropiedades elásticas del material y de su geometría.

7.3.5 Respuesta estática

Si se supone sometido el cristal a una fuerza constante y el sistema está en reposo, la cargaalmacenada en las placas será

Q = Kz

e= K

1

E

F

S(7.3.7)

donde E es el módulo de Young, F la fuerza aplicada y S la superficie sobre la que actúa (la delos electrodos de acuerdo con el modelo de la Fig()). Por otra parte, de acuerdo a la definicónde Cm, se tiene, en condiciones estáticas (la única fuerza que se opone a F es la reacción elásticadel cristal)

F =1

Cmz (7.3.8)

deduciendose de estas dos ecuaciones la relación

λ

Cm= E

S

e(7.3.9)

Mediante diferentes operaciones, se obtienen además estas otras expresiones que proporcionanlos valores de ω.R y L en función de los parámetros físicos del cristal entre los que se cuenta lacapacidad C.

La tensión de salida del sensor piezoeléctrico para excitación estática es, según la Fig.()

δ =K

CES∴ R =

e

CESr ∴ L =

e

CESm ∴ us = δ

C

C + C0F (7.3.10)

en donde, sustituyendo el valor de δ según (equ), se tiene

us =K

ES

1

C + C0F ∼=

K

ESC0F (7.3.11)

expresión en la que puede sustituirse C0 por el valor correspondiente al condensador plano desuperficie S, espesor e y constante dieléctrica ε, obteniéndose:

us ∼=K

e

S2(7.3.12)

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7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 217

Puede observarse que esta sensibilidad es función de las características físicas del cristal (E, e,K)y de su configuración geométrica (e/S2), siendo fuertemente dependiente de la superficie delascaras que sirven de soporte a los elctrodos. Obviamente, la sensibilidad referida a presión(F/S) tendría una expresión idéntica a la anterior pero en el denominador aparecería S sinelevar al cuadrado.

7.3.6 Respuesta dinámica

Suponiendo aplicada una fuerza variable senoidalmete, es decir de la forma F (t) = Fmsenωt latensión de salida del sensor en régimen permanente se deduce del circuito equivalente, siendo sumódulo:

|us| =CδFm

C0p((1− LCω2)2 +R2C2ω2)

(7.3.13)

Esta misma expresión puede ponerse en función de los parámetros mecánicos del cristal uti-lizando las equivalencias ya conocidas, con lo que resulta

|us| =CmKFm

eC0p((1− LCmω2)2 + r2C2mω

2)(7.3.14)

En la Fig.() se representa el módulo de laa tensión de salida en función de ω observándose quepara frecuencias bajas la curva es muy horizontal, es decir la tensiónde salida depende un pocode la frecuencia. existe además un valor de ω para el que la función es máxima, que correspondea la resonancia mecánica del cristal, o bien a la resonancia eléctrica del circuito equivalente, yque puede calcularse igualendo a cero la derivada, obteniéndose:

ω0 = 2πf0 =

s1

mCm− r2

2m2(7.3.15)

donde ω0 y f0 son la pulsación y la frecuencia de resonancia, respectivamente.En las aplicaciones como sensor, un criterio a seguir es que las frecuencias contenidas en la

magnitud excitadora sean muy inferiores a la de resonancia del cristal, con objeto de operar enla parte plana de la curva.

En otro tipo de aplicaciones (osciladores, generadores de ultrasonidos, etc) el cristal se hacefuncionar precisamente a su frecuancia de resonancia. En estos casos, en que no existe unafuerza exterior aplicada, el cristal se considera como elemento del circuito pasivo y es intere-sante observar que presenta dos frecuencias de resonancia (que corresponde a las denominadasresonancia serie y resonancia paralelo). En efecto, la impedancia entre los puntos a y b delcircuito equivalente de la Fig.() es:

z =1 +RCp+ LCp2

1 +R CC0C+C0

p+ L CC0C+C0

p21

(C + C0)p(7.3.16)

Page 236: libro de instrumentación UTP

218 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

cuyo módulo, para funcionamiento en alterna (p = ωj), tiene un mínimo y un máximo corre-spondiente a las dos frecuencias de resonancia mencionadas.

Una primera aproximación válida consiste en despreciar el efecto amortiguador de la resisten-cia R (en efecto, los factores Q son usualmente de decenas de millares), con lo cual:

z(ω) ∼= 1

(C + C0)ωj

1− (ω/ωs)21− (ω/ωp)2

(7.3.17)

donde ωs (pulsación de resonancia serie) y ωp (pulsación de resonancia paralelo) son:

ωs ∼=1√LC∴ ωp ∼=

1qL CC0(C+C0)

(7.3.18)

Dado que, como se ha explicado anteiormente, C0 es mucho mayor que C, las pulsaciones ofrecuencias de resonancia serie y paralelo son casi iguales, es decir:

ωs ∼= ωp (7.3.19)

Los osciladores de cristal oscilan una frecuencia comprendida entre la de resonancia serie y la deresonacia paralelo, en los diseños más usuales, con un ligero desplazamiento hacia la resonanciaparalelo. No obstante, de acuerdo con (eq), la frecuencia de oscilación es prácticamente iguala ambas y a la de resonancia mecánica del cristal (). En ciertos casos, los cristales se hacenoscilar a múltiplos de la frecuencia fundamental (sobretonos) forzando determinados modos devibración en los que se producen ondas estacionarias. Dependiendo de las características delcristal, pueden excitarse modos de vibración a compresión, a cortadura, a flexión, etc.

En la Fig.() se ilustra cualitativamente el módulo de la impedancia dada por () en funciónde la pulsación ω.

Es de destacar que existen sensores basados en la variación de la frecuencia de oscilacióncon el incremento de la masa del cristal al fijarse sobre un recubrimiento sensible determinadassubstancias (microgavimetría selectiva), pero se trata en este caso de sensores indirectos.

7.3.7 Problemas específicos relacionados con las medidas

Los circuitos equivalentes de los cristales piezoeléctricos muestran dificultades de las medidasen muy baja frecuencia con este tipo de sensores (impedancia de salida infinita para frecuenciacero).

No obstante, pueden aplicarse vitualmente en cualquier rango de frecuencias utilizando losdenominados amplificadores de carga, que consisten esencialmente en integradores.

En la Fig.() se muestra en foram esquemática un sisterma que muestra un integradoranalógico conectado a un sensor piezoeléctrico, que aparece sustituido por su circuito equiv-alente. La tensión de salida de este circuito, viene dada por la siguiente expresión:

us =1

1+(p/ωs)2

1+(p/ωp)2Ra(c+ C0)p+ 1

C

C0δF (7.3.20)

Page 237: libro de instrumentación UTP

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 219

que, para magnitudes con un contenido armónico de muy baja frecuencia, puede aproximarsecomo

us = −C

CaδF = −Qc

Ca(7.3.21)

La tensión de salida es, pues, aproximadamente proporcional a la carga Qc alamcenada en elcondensador Ca.

Los amplificadores de carga permiten así medidas incluso en condiciones estáticas (de hecho,la expresión anterior es exacta en tales condiciones), entregando una salida proporcional a lafuerza aplicada. Su principal problema práctico es que tienden a saturarse a largo plazo porintegración de pequeños errores de deriva de continua, lo que obliga a utilizar amplificadoresoperacionales de altas prestaciones en lo que se refiere a deriva, tensiones de desviación (offset)y corrientes de polarización. Adicionalmente, suele ser necesario cortocircuitar periódicamenteel condensador de integración para eliminar errores acumulados. Por supuesto, puede utilizarsecualquier esquema de integrador además del ilustrado en la Fig.().

Otro problema que se presenta algunas veces cuando el cable de conexión de señal es largoexisten perturbaciones mecánicas ambientales (acústicas, vibratorias, etc), es que dicho cablepuede comportarse como un transductor microfónico, apareciendo ruido en la señal. Muchosfabricantes disponen de cable especial para evitar o mitigar este efecto. Adicionalmente, la ca-pacidad parásita asociada se suma al valor de C0, reduciéndose la amplitud de la señal disponiblepor efecto de divisor capacitivo con el condensador C. Es recomendable preamplificar la señalmuy cerca del sensor.

La instrumentación asociada a las medidas con transductores piezoeléctricos es usualmenteno diferencial con el crislta aislado a tierra, realizándose en este caso la conexión masa—pantalla—tierra en el extremo de la carga final de utilización (aparato de registro, osciloscopio, etc).

La Fig.() ilustra un esquema de apantallamiento recomendado cuando se utiliza un ampli-ficador de carga que tien conectada interiormente la masa al blindaje, pudiendo apreciarse quelas pantallas de los conduntores de entrada y salida del amplificador “puentean” el blindajede este último. Esta disposición es la más favorable para evitar interferencias producidas pordiferencias de potencial entre la tierra de señal (tierra remota) y la de los aparatos de registroo medida fianles (tierra local) ya que las correintes implicadas circulan principalmente por laspantallas y blindaje del amplificador y no por los conductores de señal. Se respetan al mismotiempo las reglas básicas de apantallamiento de la instrumentación no diferencial (continuidaddirecta entre pantallas y blindaje y conexión a masa de estos elementos).

7.3.8 Aplicaciones

Los sensores piezoeléctricos encuentran aplicación en multitud de transductores analógicos di-rectos (medidores de fuerza y presión, acelerómetros, micrófonos, etc) que se caracterizan, engeneral, por su fiabilidad, robustez y capacidad para trabajar en ambientes hostiles. Podríaafirmarse, no obstante, que las realizaciones de mayor difusión se refieren a medidas dinámicas,dados los problemas que presentan en muy baja frecuencia. Sin embargo, existen transductores

Page 238: libro de instrumentación UTP

220 CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

basados en cristales piezoeléctricos de gran precisión que son exitados por magnitudes estáticaso cuasiestáticas.En los transductores en que la magnitud excitadora puede cambiar de signo (porejemplo, un acelerómetro que puede medir aceleración y desaceleración) y este hecho implicauna inversión de la solicitación mecánica (por ejemplo, se pasa de compresión a tracción), seprefiere “polarizar” mecánicamente el cristal sometiéndolo a una deformación inicial a la que sesuperpone en un sentido u otro la debida a la magnitud a medir.

En la Fig.() se muestra esquemáticamente, por por ejemplo, la estructura de un acelerómetrotípico, donde puede observarse como el cristal está precomprimido por un resorte dispuesto entrela carcasa del transductor y la masa de inercia que actúa como sonda. La fuerza de precompresiónpuede ajustarse haciendo girar la tapa roscada sobre la que se apoya el resorte.

10.750.50.250

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Figura 7.6:

Page 239: libro de instrumentación UTP

Capítulo 8

Medida de presión y humedad

8.1 Introducción

En este capítulo se proporcionan las bases técnicas de los sistemas comunes usados para medirpresión y humedad. Se incluyen los dispositivos de medida más corrientes, aunque deberá notarseque en la práctica de ingeniería también se emplean otros dispositivos. En este capítulo tambiénse hace una introducción a la tecnología de fibra óptica en los sistemas de medida los cualesincluyen sensores para presión, temperatura y otras variables físicas.

8.2 Medida de presión

La presión se mide en tres formas diferentes: presión absoluta, presión atmosférica y presióndiferencial.

La presión absoluta se usa en termodinámica para determinar el estado de una sustancia, semide con relación al cero absoluto de presión.

La presión atmoférica es la presión ejercida por la atmósfera terrestre medida con un barómetro.A nivel del mar esta presión es cercana a 760mm Hg absolutos o 14.7 psia (libras por pulgadacuadrada absoluta) y estos valores definen la presión ejercida por la atmósfera estándar.

La presión diferencial es la diferencia de presión entre dos puntos de un sistema.El vacío es la diferencia de presiones entre la presión atmosférica existente y la presión

absoluta, es decir, es la presión medida por debajo de la atmosférica.Existen dispositivos para medir directamente la presión en cada forma. Aunque algunos

dispositivos miden directamente la presión absoluta, es común hacer dos medidas con dos dis-positivos —uno para determinar la presión absoluta ambiente y el otro para determinar la presiónatmosférica. La presión absoluta es entonces

pabs = pamb + patm (8.2.1)

221

Page 240: libro de instrumentación UTP

222 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

En el sistema inglés de unidades, las presiones absoluta, atmosférica y diferencial se dannormalmente en unidades de libras por pulgada cuadrada en la forma de psia, psig y psid,respectivamente. En el sistema de unidades SI, la presión se expresa en pascal, Pa (o kilopascal,kPa) agregando la palabra absoluta, atmosférica o diferencial. Un pascal es una presión de unnewton por metro cuadrado.

1Pa = 1N/m2 (8.2.2)

8.3 Dispositivos de medida de presión

Existen tres dispositivos tradicionales para medida de presión los cuales no tienen salida eléc-trica pero aún son muy utilizados por lo cual merecen ser mencionados. El manómetro y el tuboBourdon (desarrollado por E. Bourdon en 1849) son usados debido a que se puede leer directa-mente la presión. El tercer dispositivo, el sensor de peso muerto, es valioso para calibración deotros dispositivos de medida de presión. Ninguno es adecuado para medidas dinámicas.

8.3.1 Manómetros

El manómetro más simple es el tubo en U mostrado en la Fig. 8.1 Consiste de un tubo de vidrioo plástico en forma de U parcialmente lleno con un líquido. El dispositivo se emplea para medirpresión diferencial o atmosférica en líquidos o gases. Si el fluido a ser sensado es un líquido,entonces el fluido dentro del manómetro debe ser no miscible y más denso que dicho fluido.

Tubo transparente en U

Densidad

Δ h(R)

ρm

ρ s

Figura 8.1: Manómetro de tubo en U.

Los fluidos deberán también tener diferentes colores de modo que la interface (menisco) sea

Page 241: libro de instrumentación UTP

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 223

visible fácilmente. La diferencia de presión en el extremo del manómetro se puede calcular de

∆P = P1 − P2 = ∆hg(ρm − ρs) = Rg(ρm − ρs) (8.3.1)

donde ∆h = R es la diferencia de niveles de las dos interfaces, ρm es la densidad del líquido delmanómetro, ρs es la densidad del fluido sensado y g es la aceleración de la gravedad. Para losgases, ρs es muy pequeña con respecto a ρm y se puede despreciar, dando ∆P = Rgρm.

Aunque la presión tiene unidades de psi o Pa, es común expresarla como la altura de unacolumna de un fluido. Si una presión se divide entre ρg, el resultado tiene unidad de altura.Por ejemplo, en el sistema inglés de unidades, si se usa la densidad del agua, la presión puedeexpresarse como pies de agua o pulgadas de agua. La presión atmosférica usualmente se expresade esta manera —30 pulgadas o 760 mm Hg, por ejemplo. Cuando se expresa la presión comola altura de una columna de un fluido, también es necesario conocer la temperatura del fluidopuesto que ésta afecta la densidad. Por ejemplo, la densidad del agua varía 0.75% entre 10 y40C. Es común usar la densidad del agua a 4C, 1000kg/m3 o 62.43lbm/ft3. También es comúnespecificar la densidad del fluido usando el término gravedad específica, S, la cual es la razón dela densidad del fluido a la densidad del agua a una temperatura específica (usualmente 4C).

Los manómetros son normalmente precisos aún sin calibración. Los principales factores queafectan su precisión son la escala y la densidad del fluido del manómetro. Las escalas se puedenconstruir de forma precisa y mantener su precisión con el tiempo. Las densidades de los fluidostambién son conocidas y pueden ser fácilmente chequeadas. La expansión térmica afecta tantoa la escala como a la densidad del fluido, pero se pueden hacer correcciones analíticas paraeliminar los errores.

Los manómetros de U también tienen el inconveniente de que es necesario leer la localizaciónde las dos interfaces. Una variación común, el manómetro de tipo recipiente, se muestra en laFig. 8.2.

En esta configuración, el área de la sección transversal es muy grande comparada con el áreadel tubo transparente y cuando se aplica una presión, el cambio en la elevación de la superficiedel recipiente es muy pequeño comparado con el cambio de elevación en el tubo. Como resultado,sólo se requiere una lectura. Los dispositivos tienen un ajuste, de modo que la lectura es cerocuando no hay presión diferencial aplicada. Para aplicar los manómetros a medida de gases sepuede usar directamente la ecuación (8.3.1), ya que ρs ≈ 0. Para líquidos, la fórmula aplicablees más complicada puesto que el recipiente y la columna no están a la misma altura. Paraaplicaciones a líquidos, el usuario deberá seguir el análisis sobre manómetros dado, v. gr., enStreeter y Wylie [31].

Cuando se tienen presiones diferenciales muy bajas se puede usar el llamado manómetroinclinado (Fig. 8.3), el cual tiene mayor resolución con lo cual se incrementa la sensibilidad.Éste se puede utilizar para medir presiones tan bajas como 0.1 pulgadas de una columna deagua. El tubo inclinado hace que un pequeño cambio en la altura del fluido cause un grandesplazamiento en la dirección del tubo transparente.

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224 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

R

P 1

Recipiente

Tubo transparente

Figura 8.2: Manómetro de tipo recipiente.

Para los gases,

∆P = ∆hρg = Rsen θρg (8.3.2)

donde R es la lectura y θ es el ángulo entre el tubo del manómetro y la dirección horizontal. Seutiliza generalmente aceite con una densidad más baja que el agua. En la mayoría de los casos,se comprime la escala del manómetro de modo que las lecturas estén en las unidades de presiónapropiadas.

Otro instrumento de medida de presión es el barómetro el cual se emplea para medir lapresión atmosférica (Fig. 8.4).

Este dispositivo es esencialmente un manómetro tipo recipiente en el cual se evacúa una delas piernas de modo que la presión sobre ella sea el vapor de mercurio. Se debe hacer correcciónde la temperatura en la lectura de la presión en el barómetro ya que ésta afecta la presión delvapor del mercurio y la escala de medida.

Hay una cantidad de diferentes variaciones de manómetros diseñados para altas o bajaspresiones. Para altas presiones son preferibles dispositivos no manométricos tales como lostransductores de presión discutidos más adelante.

Una variedad de dispositivos conocidos como micromanómetros se usan para medir bajaspresiones. Para el vacío (presiones muy bajas), se usa un sensor manométrico llamado sensor deMcLeod, el cual se verá más adelante.

Ejemplo 29 Se aplica una diferencia de presión de gas de 125kPa a las piernas de un tubo enU. El manómetro contiene Hg con una gravedad específica de 13.6. Determinar la lectura delmanómetro.

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8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 225

P 1

R

θ

2P

Figura 8.3: Manómetro inclinado.

Sol. Usando la ecuación (8.3.1), ρs = 0, se obtiene

R =∆P

ρmg=

∆P

Sρaguag=

125000

13.6× 1000× 9.8 = 0.937 88 m

Ejemplo 30 Una presión está dada como 58 psi. ¿Cuál es la presión expresada como pulgadasde Hg y pies de agua?

Sol. Usando la ecuación (8.3.1), ρs = 0, se obtiene

∆h =∆P

ρHgg=58 lbf

pul2144 pul2

pies232.17 lbf ·pies

lbf ·s2

13.6× 62.43 lbmpies3 32.17

piess2

= 9. 836 9 pies Hg = 118. 04. pulg Hg

Similarmente, para pies de agua se tiene

∆h =∆P

ρH2O

g=58 lbf

pul2144 pul2

pies232.17 lbf ·pies

lbf ·s2

62.43 lbmpies3 32.17

piess2

= 133. 78 pies de H2O

Ejemplo 31 Se aplica una presión de gas a la cámara de un manómetro tipo recipiente. Lacolumna está abierta a la atmósfera y el fluido del manómetro tiene una gravedad específica de2.0. Si la lectura es de 47.5 cm, encontrar la presión aplicada.

Sol. Usando la ecuación (8.3.1), se obtiene

P1 − P2 = P1 − 0 = Rρmg = 0.475× 2.0× 9.8× 1000 = 9310.0 = 9.31kPa

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226 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

R

Tubo transparente

Vacío

Figura 8.4: Barómetro de mercurio.

Ejemplo 32 Se desea diseñar un manómetro inclinado para medir una presión de gas entre 0y 3 pulg. de una columna de agua con una resolución de 0.01pulg. El fluido del manómetro esagua y es posible leer la pendiente de la escala con una resolución de 0.05 pulg. ¿Cuál será elángulo θ, y cómo de largo deberá ser el tubo inclinado?

Sol. El ángulo puede determinarse del requisito de resolución; 0.01 pulg. de agua corre-sponde a 0.05 del tubo inclinado. Por lo tanto sen θ = 0.01/0.05, θ = 11.5. Puesto que laelevación total es de 3.0 pulg. en la longitud del tubo, sen θ = 3/L,=⇒ L = 15 pulg.

8.3.2 Tubo Bourdon

Un dispositivo de medida de presión muy común, el tubo Bourdon, se muestra en la Fig. 8.5. Esun dispositivo sencillo para obtener lecturas rápidas de presión en los fluidos. El principio básicode operación es que un tubo curvo y aplanado tratará de enderezarse cuando sea sometido auna presión interna. El terminal del tubo se conecta con un engranaje a un indicador rotatorio.Puede utilizarse para presiones hasta de 20000 psi o más, aunque no tiene alta precisión —soncomunes errores de hasta el 5%. Se pueden obtener dispositivos de mucha mejor respuesta conerrores de hasta del 0.5% a plena escala. Los tubos Bourdon son utilizados algunas veces comodispositivos de sensado de presión remotos. La deflexión del tubo es sensada con un LVDT o unpotenciómetro los cuales transmiten una señal eléctrica al lugar de adquisión de datos.

8.3.3 Probador de peso muerto

El probador de peso muerto, mostrado en la Fig. 8.6 es un dispositivo que se utiliza a menudopara calibrar otros dispositivos de medida de presión a presiones moderadas o altas. El dispos-itivo de medida de presión a ser calibrado, sensa la presión del aceite contenido en una cámara.

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8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 227

Tubo tipo Bourdon

Señal de presión

Sección A - A

Figura 8.5: Tubo Bourdon.

Un arreglo cilindro—pistón se conecta en la cima de la cámara donde se pueden colocar pesas.Un tornillo separado de un pistón puede ser utilizado para ajustar el volumen de la cámara demodo que el pistón con la pesa este situado en la mitad de su rango posible de movimiento.La presión del fluido es entonces el peso del pistón —el peso del arreglo dividido entre el áreadel pistón. El dispositivo es muy preciso puesto que el área del pistón y el valor de la pesa sepueden determinar con alta precisión.

Dispositivo a ensayar Pesas

Área de pistón,

Tornillo con rosca de desplazamiento

Manivela

Aceite

W

A

Figura 8.6: Probador de peso muerto.

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228 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

8.3.4 Transductores de presión

Un dispositivo muy común y relativamente barato para medir presión en un fluido es el transduc-tor de presión de diafragma con galga extensométrica, esquematizado en la Fig. 8.7. La presiónde prueba se aplica a un lado del diafragma, una presión de referencia al otro lado y la deflexióndel difragma se sensa con galgas extensométricas. En los diseños más comunes, la presión dereferencia es la atmosférica, de modo que el transductor mide dicha presión. En algunos casos ellado de referencia del transductor es evacuado y sellado de modo que el transductor mide presiónabsoluta. Finalmente, ambos lados del transductor se pueden conectar a diferentes presiones deprueba de modo que la medida es presión diferencial. Los transductores para cada una de estasaplicaciones tienen detalles de construcción ligeramente diferentes.

Diafragma

Señal de presión

Presión de referencia

Galga extensiométrica

Figura 8.7: Transductor de presión con galga extensiométrica.

Antiguamente, el diafragma era usualmente hecho de metal y se utilizaban galgas metálicas.Más recientemente, ha llegado a ser común construir el diafragma de un material semiconductor(silicio) con galgas extensométricas de semiconductor embebidas en el diafragma. Esta es unatécnica de construcción menos costosa y, puesto que las galgas extensométricas de semiconduc-tor tienen factores de galga más altos, se mejora la sensibilidad. El sicilio no es resistente a lacorrosión producida por algunos fluidos, por lo que se incluye además algún material resistentea la corrosión en el diafragma, con la región situada entre los dos diafragmas llena de un fluido.Normalmente, el acondicionador de señal en puente de Wheatstone se construye en el transduc-tor (todas las ramas del puente son galgas activas) y se conectan galgas extensométricas paracompensar la temperatura. La mayoría de los transductores de presión de galga extensométricaproducen una salida de corriente continua en el rango de los milivoltios, pero algunos incluyenamplificadores internos que tienen las salidas en el rango de 0 a 5 ó de 0 a 10 V. Las unidadesde salida de mayor tensión son menos susceptibles al ruido eléctrico ambiente.

La presión también se puede sensar con dispositivos LVDT. La Fig. 8.8 muestra un arreglocon una cámara flexible (cápsula) y un LVDT para sensar el desplazamiento. Este diseño es

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8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 229

Señal de presión

Cápsula

Núcleo del LVDT

LVDT

Presión de referencia

Figura 8.8: Transductor de presión con LVDT.

más costoso que los sensores que usan galgas extensométricas pero pueden ser más durablesen aplicaciones que requieren un tiempo de vida más largo. Muchos transductores de presiónde servicio pesado usados en la industria de control de procesos usan sensores LVDT. En lasindustrias de procesos, la salida de tensión usualmente se convertirá en corriente de 4 a 20 mApara la transmisión de la señal. Los sensores capacitivos a veces se usan como transductores depresión y son particularmente útiles para presiones muy bajas (tanto como 0.1 Pa), puesto quelos sensores capacitivos pueden detectar deflexiones extremadamente pequeñas. Un esquema deun transductor de presión capacitivo se muestra en la Fig.8.9.

Señal de presión

Placa móvil del capacitor

Presión de referencia

Diafragma

Placa fija del capacitor

Figura 8.9: Transductor de presión capacitivo.

Las medidas de presiones que varían muy rápidamente en el tiempo presentan muchos prob-lemas técnicos. El fluido y el diafragma (u otro elemento de desplazamiento) forman un sistema

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230 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

dinámico de segundo orden. Si el diafragma es muy flexible, la frecuencia natural será bajay la salida del transductor será engañosa para variaciones de presión a alta frecuencia. Lostransductores usados para medidas de presión a alta frecuencia, tales como los procesos decombustión en una máquina de combustión interna, normalmente usan un elemento de sensi-bilidad piezoeléctrica.

Figura 8.10:

Un esquema de de un transductor piezoeléctrico se muestra en la Fig.8.11 Estos transductoresgeneralmente usan elementos de sensibilidad piezoeléctrica de efecto transversal. Los materialespiezoeléctricos son muy rígidos y esos transductores en muchas aplicaciones tienen una frecuencianatural alta.Los transductores piezoeléctricos de presión pueden tener frecuencias naturales porencima de 150 kHz y son usables por encima de maás o menos 30 kHz.

La geometría de los transductores piezoeléctricos es diferente de los transductores discutidosanteriormente —el diafragma es del tipo flusf-mounted, y cuando el transductor es instaladoeste llega a hacer contacto directo con el fluido en la pipeta o cámara. La razón para esto esdoble. Si una cavidad fue incluída como en los otros transductores, esta puede significativamentealterar lo medido, debido a la presión. Además la frecuencia natural, puede ser reducida y lahabilidad para responder a los transitorios puede ser empeorada. Las lineas de sensibilidadafectan la frecuencia natural, haciendo determinante la dependencia de la frecuencia natural enla aplicación. Otros tipos de transductores de presión son también disponibles con elevación anivel, pero estos son frecuentemente para uso en fluidos sucios, en los cuales la cavidad puedellegar a ser tapada o difícil de limpiar

Page 249: libro de instrumentación UTP

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 231

Conector eléctrico

Diafragma

Elemento (s) piezoeléctrico (s)

Figura 8.11: Transductor de presión piezoeléctrico.

8.3.5 Medida del Vacío

La necesidad de medir presiones absolutas muy bajas (vacío) existe tanto en el laboratorio comoen la industria. El frio—seco de los alimentos se realiza en un ambiente vacio. Las presiones devacío absoluto se miden en unidades de torr. Esta unidad se define como 1/760 de la atmósferaestándar. Puesto que la atmósfera estándar es 760mm de mercurio, 1 torr es 1mmHg. Norton(1982) dio las siguientes definiciones para rangos de presiones de vacío:

Vacío bajo 760 a 25 torrVacío medio 25 a 10−3 torrVacío alto 10−3 a 10−6 torrVacío muy alto 10−6 a 10−9 torrVacio ultra-alto Inferior a 10−9 torrLos dispositivos de medida de presión descritos previamente pueden ser usados para medición

de vacios bajos y medios. Los manómetros, los calibradores bourdon, y calibradores similaresusan un fuelle instalasdo de un tubo bourdon y los transductores de diafragma capacitivos puedenmedir vacios hasta 10−3torr. Transductores especializados de diafragma capacitivo pueden medirvacios tan bajos como 10−5torr [Norton (1982)].A continuación, se discutiran tres dispositivosespecializados de medida de vacio: el calibrador de McLeod, calibradores de conductividadtérmica,. y calibradores de ionización. Ese es un calibrador mecánico usado para graduación, ylos otros dos proveen salidas electricas.

Calibrador McLeod

El principio de operación es para comprimir un volumen grande de gas a baja presión en unomás pequeño y después medir esa presión. Un bosquejo de una variación del calibrador McLeodse muestra en la Fig..8.12(a). La cámara grande con volumén V es llenada completamente con

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232 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

gas a presión baja. Luego, el émbolo es empujado hacia abajo hasta que el mercurio asciendaal nivel h2 en el tubo capilar 2 Fig..8.12(b). En el modelo de operación mostrado aqui, el nivelde h2 es el mismo como el tope del tubo capilar 1

Señal de vacío P vac

Tubo capilar 2

Tubo capilar 1

MercurioPunto A

Émbolo

Capilarde sección transversal,

h1

h2

a

(a) (b)

Figura 8.12: Sensor de vacío McLeod.

El gas originalmente contenido en el volumén V ha sido comprimido dentro del tubo capilar1.y tiene un volumén y una presión dados por

V 0 = a(h2 − h1) (8.3.3)

P 0 = Pvac + (h2 − h1) (8.3.4)

donde a es el área de la sección transversal de los tubos capilares.Puesto que se determinala presión en la torre, las unidades de h son mmHg. En el rango que el calibrador McLeod esausado, la presión de vacío, Pvac es normalmente negativa comparada con (h2 − h1).

La ley de gases ideales relaciona las condiciones antes y después de la compresión:

PvacV

T=

P 0V 0

T(8.3.5)

Si el sistema llega al equilibrio térmico después de compresión, las temperaturas inicialñ yfinal pueden ser las mismas. Combinando las ecuaciones (8.3.3) y (8.3.5), se obtiene

Pvac =(h2 − h1)a(h2 − h1)

V= k(h2 − h1)

2 (8.3.6)

Page 251: libro de instrumentación UTP

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 233

Esto es, la presión sensada es igual a la diferencia de las alturas al cuadrado multiplicadapor una constante k. La escala puede ser marcada para ser leída directamente en unidades detorr.

El calibrador McLeod es útil para medir vacios en un rango 103 a 10−6 torr. Deben se usadoscon gases secosque no se condensen mientra es comprimido en el tubo capilar El calibradorMcLeod tiene algunos inconvenientes para su uso y son usados principalmente para calibrarotros dispositivos de medida de vacío.

Calibradores de vacío de Conductividad Térmica

Estos equipos están basados en el hecho de que la conductividad térmica de los gases a bajaspresiones es función de la presión Aunque estos equipos no por lo normal sensan vacios tanbajos coma la galga McLeod, ellos proveen una salida eléctrica y son simples de usar. Un sensorde conductividad térmica llamado galga Pirani está representado en la Fig().

Figura 8.13:

Un filamento calentado está localizado en el centro de un canal conectado a la fuente devacio. La transferencia de calor del filamento a la pared está dado por

q = C(Tf − Tw)Pvac (8.3.7)

donde Tf es la temperatura del filamento, Tw es la temperatura del canal pared, la geometríadel canal y el área de la superficie del filamento. La presión del vacío debe ser lo suficientementemenor para que el gas fluya libremente, el cual debe ser grande comparado con las dimensionesdel canal.

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234 CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

Un método de usar la galga Pirani se muestra en la Fig(), en la cual está ubicada en unpuente Wheatstone. A medida que la presión desciende, la diferencia de temperatura entre elfilamento y la pared incrementará,aumentando la resistencia del filamento. La salida del puente,la cual es función de la resistencia del sensor es así una medidad de la presión del gas. Desdeque la transferencia de calor es también función de la temperatura del ambiente un canal selladode referencia está incluído en el puente para compensación. Hay muchos diseños de galgas deconductividad térmica que se pueden usar en presiones tan bajas como 10−3 torr.

Galgas de Ionización en vacío

Este sensor está basado en el principio de que a medida que los eléctrones energizados pasan através de un gas ellos ionizaran algunas de las moléculas del gas. El número de iones generadosdepende de la densidad del gas y en consecuencia de la presión. Una galga de ionización estámostrada esquemáticamente en la Fig(). El sensor físicamente se asemeja al tubo de vacío cono-cido como triodo aunque el modo de operación es distinto. El cátodo es un filamento calentadoy el circuito crea una corriente de electrones entre el cátodo y la malla. Los electrones ionizaranalgunas de las moléculas del gas creando iones positivos y más electrones. Los electrones seránatraídos a la malla pero los iones serán atraídos a la placa, la cual es mantenida a un voltajenegativo (a diferencia del triodo donde la placa es mantenida en un voltaje positivo). La corri-ente de iones y la corriente de la placa se miden separadamente. La presión puede ser obtenidade

Pvac =i+si−

donde i+ es la corriente de la placa (iones), i− es la corriente de la malla (electrones), y s esuna constante para el circuito dado. Las galgas de ionización no pueden ser usadas en presionesmayores a 10−3 torr debido a que el filamento se deterioraria. Sin embargo, ella puede medirpresiones tan bajas como 10−7 torr. Una variación de la galga descrita, la galga Bayard—Alpertpuede medir presiones tan bajas como 10−12 torr.

8.4 Medida de Temperatura

Para la medida de la temperatura se usan tradicionalmente..

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Parte II

Adecuación de la Señal

235

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Capítulo 9

El amplificador operacional

9.1 Introducción

Los amplificadores operacionales son dispositivos lineales de alta versatilidad y prestacionessu area de aplicaión es muy amplia: Una de las aplicaiones prácticas más interesantes es en lasolución de ecuaciones algebraicas y diferenciales, así como en la emulación de sistemas complejosen ingeniería tales como en el modelado de máquinas electricas y sistemas de control.En talescasos, el circuito puede analizarse escribiendo las ecuaciones del modelo matemático del sistemay simular el proceso con la ayuda de un simulador como Spice. De otra parte queda la opción demontar la red y observar su funcionamiento en tiempo real con la ayuda de la instrumentacióncorrespondiente.

En este artículo se estudiará el comportamiento de las redes con opam en sistemas lineales. En la primera parte se analizará la red planteando condiciones de equilibrio dinámico en lascorrientes de polarización de los nodos de entrada . En la segunda parte, se aplicarán los resul-tados obtenidos, para la solución práctica de ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferencialeslineales. Finalmente se plantea la solución de ecuaciones diferenciales lineales a través de ecua-ciones de estado. Esto conduce a un concepto ya planteado [?] concerniente al problema delfiltro; se plantean los conceptos necesarios que conducen al diseño e implementación de filtrosuniversales de segundo orden usando integradores y sumadores. Pra este caso se emplearán in-tegradores Miller no inversores. Éstos tienen como característica particular su configuración conrealimentación positiva (red pórtico), sin embargo ofrecen la gran ventaja de su alta impedanciade entrada y la opción de no requerir inversores adicionales para tomar la señal. Los resultadosson obtenidos de simulación en un sistema simple como es Circuit Maker [?] y de datos tomadosen el Laboratorio de Electrónica de la UTP.

237

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238 CAPÍTULO 9. EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

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Capítulo 10

Confiabilidad

En anteriores secciones se definió la precisión de un sistema de medida y se explicó cómo unerror de medida puede ser calculado, bajo condiciones de estabilidad estable y dinámica. Laconfiabilidad es otra característica importante de un sistema de medida; no es bueno tenerun sistema de medida exacto el cual está contantemente fallando y requiriendo reparación. Laprimera sección de este cápitulo tiene que ver con la confiabilidad de sistemas de medida; primeroexplicando los principios fundamentales de confiabilidad, entonces se discute la confiablidad desistemas prácticos, y finalmente se examinan formas de confiabilidad.

10.1 Confiabilidad de sitemas de medida

10.1.1 Principios fundamentales de sistemas de medida

Probabilidad Si un número aleatorio de pruebas independientes son hechas, entonces la probabilidad Pde que un evento particular ocurra está dada por la relación

P =número de ocurrencias del evento

número total de pruebas(10.1.1)

en el límite que el número total de pruebas tienda a infinito. Así la probabilidad de que unlanzamiento de moneda muestre caras tiendo al valor teórico de 1

2 bajo un núemro grande depruebas.

Confiabilidad R(t) La confiabilidad de un elemento de medida o sistema puede ser definadacomo: ‘la probabilidad que el elemento o sistema pueda operar a un nivel determinado defuncionamiento, para un periódo específico, sujeto a condiciones ambientales especificadas’. Enel cso de un sistema de medida ‘nivel determinado de funcionamiento’ puede significar unaprecisión de ±1.5 por ciento. Si el sistema está dando un error de medida fuera de esos límites,entonces se le considera como fallado, aunque normalmente siempre esta sea otra forma detrabajo La importancia de las condiciones ambientales sobre la canfiabilidad de sistemas de

239

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240 CAPÍTULO 10. CONFIABILIDAD

medida será discutida completamente más adelante. La confiabilidad varia con el tiempo, unsistema de medida que ha sido justamente chequeado y calibrado podrá tener una confiabilidadde 1 cuando inicialmente se coloque en servicio. Seis meses después, la confiabilidad puede sersolamente 0.5 como la probabilidad de que una falla aumentara.

No confiabilidad.F (t) Esta es la ‘probabilidad que el elemento o sistema falle durante laoperación a un nivel determinado de funcionamiento, para un período especificado, sujeto acondiciones ambientales especificas’. Puesto que el equipamento tiene ya sea fallo o no fallo lasuma de la confiabilidad y no confiabilidad debe ser la unidad, es decir

R(t) + F (t) = 1 (10.1.2)

La no confiablidid depende también del tiempo; un sistema que ha sido justamente chequeado ycalibrado podrá tener una no confiabilidad de cero, cuando inicialmete se coloque en servicio,aumentando, es decir, 0.5 después de seis meses.

Tiempo medio entre fallas (M:T:B:F) Las anteriores definiciones, mientras el uso sea extremo,sufren la desventaja de tener que especificar un período particular de operación del equipo. Unamedida más usual de funcionamiento la cual no involucra el período de operación es el tiempomedio entre fallas (M.T.B.F). M.T.B.F es aplicable a cualquier tipo de equipo el cual puedeser reparado por medio del reemplazo de una componente fallada o unidad, y es de esta maneraadecuado para describir elementos de medida o sistemas. Supóngase queN elementos idénticos osistemas están probados para un período total T . Cada falla es registrada, el equipo es reparado,se coloca fuera de servicio y el número total de fallas NF durante T se encuentra. El M.T.B.Fobservado es

M.T.B.F =NT

NF(10.1.3)

donde el intervalo de prueba T no incluye el tiempo total de reparación. Así si se graban 150faltas para 200 transductores diferenciales de presión por 1.5 años, el M.T.B.F. observado es de2.0 años.

Taza de falla λ.Es el promedio del número de fallas, por item de equipo, por unidad detiempo. La taza de falla de varios elementos y sistemas de medida es aproximadamente constantedurante la mayor parte de la vida útil. En este caso la taza de falla es el reciproco de M.T.B.F,es decir

λ =1

M.T.B.F(10.1.4)

y la taza de fallo observada es

λ =NF

NT(10.1.5)

Variación en la taza de fallo λ durante el tiempo de vida del equipo. La taza de falla, deun tipo de elemento o sistema dado, varia a través de la vida del equipo. Es posible identificartres fases distintas cada una con diferentes caracteristicas de falla: antes de la falla, durantela falla (vida normal de trabajo) y falla por desgaste. Estas son mostradas en la Fig. (zz),

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10.1. CONFIABILIDAD DE SITEMAS DE MEDIDA 241

la llamada curva de bañera. La región de fallo temprana, permanece posiblemente seis meses,es debido a componentes débiles y falta de conocimiento en la operación del sistema, la regiónmadura, permanece posiblemente 10 años, está caracterizada por una constante baja de tazade fallo, todos los componentes débiles han sido removidos y el sistema está siendo operadocorrectamente. La región de falla por desgaste está caracterizada por un incremento de la tazadefalla cuando las componentes tienden al fin de su vida útil.

Relación entre R(t), F (t) y λ, por la constante λ. Supóngase que n0 items idénticos de unequipo son escogidos en un tiempo de operación t = 0.

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242 CAPÍTULO 10. CONFIABILIDAD

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Apéndice A

Cálculo de funciones polinómicaspara termocuplas

Cálculo de funciones polinómicas FEM - temperatura (Norma IEC IPTS-68) de termocuplasIng Luis Enrique Avendaño M. Sc. UTP1. Termocupla tipo Rhold ongrid onxlabel(’Temperatura T oC’),ylabel(’Tensión V’)title(’Gráfica de las termocuplas tipo R, S, B, J, T, E y K’)for t=-50:630.74,A=[0 5.289139 1.39111e-2 -2.400524e-5 3.620141e-8 -4.464502e-11 3.849769e-14 -1.537264e-

17];T1=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7]’;E1=dot(A,T1);plot(t,E1)endhold onfor t=630.74:1064.43,B=[-2.641801e2 8.046868 2.989229e-3 -2.687606e-7];T2=1e-6*[1 t t.^2 t.^3]’;E2=dot(B,T2);plot(t,E2)endhold onfor t=1064.43:1665,C=[1.5540414e4 4.2357773e3 1.4693087e2 -5.2213890e1];ta=(t-1375)/300;

243

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244 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS

T3=1e-6*[1 ta ta.^2 ta.^3]’;E3=dot(C,T3);plot(t,E3)endhold onfor t=1665:1767.6,D=[2.0416695e4 6.6850914e2 -1.2301472e1 -2.7861521];ta1=(t-1715)/50;T4=1e-6*[1 ta1 ta1.^2 ta1.^3]’;E4=dot(D,T4);plot(t,E4)end2. Termocupla tipo S (Pt 10% Rd-Pt)hold onfor t=-50:630.74,As=[0 5.399578 1.251977e-2 -2.244822e-5 2.845216e-8 -2.244058e-11 8.505417e-15];T1s=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6]’;E1s=dot(As,T1s);plot(t,E1s)endhold onfor t=630.74:1064.43,Bs=[-2.982448e2 8.237553 1.645391e-3];T2s=1e-6*[1 t t.^2]’;E2s=dot(Bs,T2s);plot(t,E2s)endhold onfor t=1064.43:1665,Cs=[1.3943439e4 3.6398687e3 -5.0281206 -4.2450546e1];tas=(t-1365)/300;T3s=1e-6*[1 tas tas.^2 tas.^3]’;E3s=dot(Cs,T3s);plot(t,E3s)endhold onfor t=1665:1767.6,Ds=[1.8113083e4 5.6795375e2 -1.2112492e1 -2.8117589];ta1s=(t-1715)/50;T4s=1e-6*[1 ta1s ta1s.^2 ta1s.^3]’;

Page 263: libro de instrumentación UTP

245

E4s=dot(Ds,T4s);plot(t,E4s)end3. Termocupla tipo B (Pt 30% Rd-Pt-6% Rd)hold onfor t=0:1820,Ab=[0 2.4674601620e-1 5.9102111169e-3 -1.4307123430e-6 2.1509149750e-9 -3.1757800720e-

12 ...2.4010367459e-15 -9.0928148159e-19 1.3299505137e-22];T1b=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8]’;E1b=dot(Ab,T1b);plot(t,E1b)end4. Termocupla tipo J (Pt 30% Rd-Pt-6% Rd)hold onfor t=-210:760,Aj=[0 5.0372753027e1 3.0425491284e-2 -8.5669750464e-5 1.3348825735e-7 -1.7022405966e-10

...1.9416091001e-13 -9.6391844859e-17];T1j=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7]’;E1j=dot(Aj,T1j);plot(t,E1j)endhold onfor t=760:1200,Bj=[2.9721751778e+5 -1.5059632873e+3 3.2051064215 -3.2210174230e-3 1.5949968788e-6 ...-3.1239801752e-10];T2j=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5]’;E2j=dot(Bj,T2j);plot(t,E2j)end5. Termocupla tipo T (Cu/Cu Ni)hold onfor t=-270:0,At=[0 3.8740773840e1 4.4123932482e-2 1.1405238498e-4 1.9974406568e-5 9.0445401187e-7 ...2.2766018504e-8 3.6247409380e-10 3.8648924201e-12 2.8298678519e-14 1.4281383349e-16 ...4.8833254364e-19 1.0803474683e-21 1.3949291026e-24 7.9795893150e-28];T1t=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9 t.^10 t.^11 t.^12 t.^13 t.^14]’;E1t=dot(At,T1t);plot(t,E1t)

Page 264: libro de instrumentación UTP

246 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS

endhold onfor t=0:400,Bt=[0 3.8740773840e1 3.3190198092e-2 2.0714183645e-4 -2.1945834823e-6 1.1031900550e-8

...-3.0927581898e-11 4.5653337165e-14 -2.7616878040e-17];T2t=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8]’;E2t=dot(Bt,T2t);plot(t,E2t)end5. Termocupla tipo E (Ni Cr/Cu-Ni)hold onfor t=-270:0,Ae=[0 5.8695857799e1 5.1667517705e-2 -4.4652683347e-4 -1.7346270905e-5 -4.8719368427e-7

...-8.8896550447e-9 -1.0930767375e-10 -9.1784535039e-13 -5.2575158521e-15 -2.0169601996e-17

...-4.9502138782e-20 -7.0177980633e-23 -4.3671808488e-26];T1e=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9 t.^10 t.^11 t.^12 t.^13]’;E1e=dot(Ae,T1e);plot(t,E1e)endhold onfor t=0:100,Be=[0 5.8695857799e1 4.3110945462e-2 5.7220358202e-5 -5.4020668085e-7 1.5425922111e-9

...-2.4850089136e-12 2.3389721459e-15 -1.1946296815e-18 2.5561127497e-22];T2e=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9]’;E2e=dot(Be,T2e);plot(t,E2e)end5. Termocupla tipo K (NiCr/NiAl)hold onfor t=-270:0,Ak=[0 3.9475433139e1 2.7465251138e-2 -1.6565406716e-4 -1.5190912392e-6 -2.4581670924e-8

...-2.4757917816e-10 -1.5585276173e-12 -5.9729921255e-15 -1.2688801216e-17 -1.1382797374e-

20];T1k=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9 t.^10]’;E1k=dot(Ak,T1k);

Page 265: libro de instrumentación UTP

247

plot(t,E1k)endhold onfor t=0:1372,Bk=[-1.8533063273e1 3.8918344612e1 1.6645154356e-2 -7.8702374448e-5 2.2835785557e-7 ...-3.5700231258e-10 2.9932909136e-13 -1.2849848798e-16 2.2239974336e-20];T2k=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8]’;K=125e-6*[1 1 1 1 1 1 1 1 1];Tko=[exp(-0.5*((1-127)/65).^2) exp(-0.5*((t-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^2-127)/65).^2) ...exp(-0.5*((t.^3-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^4-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^5-127)/65).^2) ...exp(-0.5*((t.^6-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^7-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^8-127)/65).^2)];Tk=dot(K,Tko);E2k=dot(Bk,T2k);Ek=E2k+Tk;plot(t,Ek)end

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248 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS

Page 267: libro de instrumentación UTP

Apéndice B

Definiciones de las Unidades Básicasdel SI y del Radian y del Steradian1

B.1 Introduction

The following definitions of the SI base units are taken from Ref. [5]; the definitions of theSI supplementary units, the radian and steradian, which are now interpreted as SI derivedunits, are those generally accepted and are the same as those given in Ref. [6]. It should benoted that SI derived units are uniquely defined only in terms of SI base units; for example,1V = 1m2· kg· s−3· A−1.

B.2 Meter (17th CGPM, 1983)

The meter is the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299792 458 of a second.

B.3 Kilogram (3d CGPM, 1901)

The kilogram is the unit of mass; it is equal to the mass of the international prototype of thekilogram.

B.4 Second (13th CGPM, 1967)

The second is the duration of 9 192 631 770 periods of the radiation corresponding to the tran-sition between the two hyperfine levels of the ground state of the cesium-133 atom.

1Los nombres consignados a continuación se especifican en la lengua original

249

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250APÉNDICE B. DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SI Y DEL RADIANYDEL STER

B.5 Ampere (9th CGPM, 1948)

The ampere is that constant current which, if maintained in two straight parallel conductors ofinfinite length, of negligible circular cross section, and placed 1 meter apart in vacuum, wouldproduce between these conductors a force equal to 2× 10−7 newton per meter of length.

B.6 Kelvin (13th CGPM, 1967)

The kelvin, unit of thermodynamic temperature, is the fraction 1/273.16 of the thermodynamictemperature of the triple point of water.

B.7 Mole (14th CGPM, 1971)

1. The mole is the amount of substance of a system which contains as many elementaryentities as there are atoms in 0.012 kilogram of carbon 12.

2. When the mole is used, the elementary entities must be specified and may be atoms,molecules, ions, electrons, other particles, or specified groups of such particles.

In the definition of the mole, it is understood that unbound atoms of carbon 12, at rest andin their ground state, are referred to.

Note that this definition specifies at the same time the nature of the quantity whose unit isthe mole.

B.8 Candela (16th CGPM, 1979)

The candela is the luminous intensity, in a given direction, of a source that emits monochromaticradiation of frequency 540 × 1012 hertz and that has a radiant intensity in that direction of(1/683) watt per steradian.

B.9 Radian

The radian is the plane angle between two radii of a circle that cut off on the circumference anarc equal in length to the radius.

B.10 Steradian

The steradian is the solid angle that, having its vertex in the center of a sphere, cuts off an areaof the surface of the sphere equal to that of a square with sides of length equal to the radius ofthe sphere.

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B.10. STERADIAN 251

(a) The radian and steradian may be used with advantage in expressions for derived unitsto distinguish between quantities of different nature but the same dimension.

(b) In practice, the symbols rad and sr are used where appropriate, but the derived unit "1"is generally omitted.

(c) In photometry, the name steradian and the symbol sr are usually retained in expressionsfor units.

(d) This unit may be used in combination with SI prefixes, e.g. millidegree Celsius, mC.

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252APÉNDICE B. DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SI Y DEL RADIANYDEL STER

Tabla B.1: Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolosDerivedquantity

SI derived unit

Namein termsof otherSI units...

Expression in termsof SI base units

plane angle radian (a) rad m·m−1 = 1 (b)solid angle steradian (a) sr (c) m2·m−2 = 1 (b)frequency hertz Hz s−1

force newton N m·kg·s−2pressure,stress

pascal Pa N/m2 m−1·kg·s−2

energy, work,quantity of heat

joule J N·m m2·kg·s−2

power,radiant flux

watt W J/s m2·kg·s−3

electric charge,quantity ofelectricity

Coulomb C s·A

electric potentialdifference, electro-motive force

volt V W/A m2·kg·s−3·A−1

capacitance farad F C/V m−2·kg−1·s4·A2electric resistance ohm Ω V/A m2·kg·s−3·A−2electric conductance siemens S A/V m−2·kg−1·s3·A2magnetic flux weber Wb V·s m2· kg·s−2·A−1magnetic flux density tesla T Wb/m2 kg·s−2·A−1inductance henry H Wb/A m2· kg·s−2·A−2Celsius temperature degree Celsius (d) C Kluminous flux lumen lm cd·sr (c) m2·m−2·cd=cdilluminance lux lx lm/m2 m2·m−4·cd=m−2·cdactivity (referred toa radionuclide)

becquerel Bq s−1

absorbed dose, specificenergy (imparted), kerma

gray Gy J/kg m2·s−2

dose equivalent, ambientdose equivalent, direc-tional dose equivalent,personal dose equivalent,organ equivalent dose

sievert Sv J/kg m2·s−2

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Apéndice C

Prefijos del Sistema Internacional

El 11o congreso del CGPM (1960) adoptó una primera serie de prefijos y símbolos de los mismospara formar los nombres y símbolos de los múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI. Enlos últimos años las unidades se han extendido a las dadas en la tabla siguiente:

1024 yota Y1021 zeta Z1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h101 deca da10−1 deci d10−2 centi c10−3 mili m10−6 micro μ10−9 nano n10−12 pico p10−15 femto f10−18 ato a10−21 zepto z10−24 yocto y

253

Page 272: libro de instrumentación UTP

254 APÉNDICE C. PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Page 273: libro de instrumentación UTP

Apéndice D

Enlace de unidades básicas del SI aconstantes atómicas y fundamentales

The figure below represents some of the links between the base units of the SI and the funda-mental physical and atomic constants. It is intended to show that the base units of the SI arelinked to the real world through the unchanging and universal constants of physics.

In the figure,

• the surrounding boxes, lines and uncertainties represent the real world. The uncertaintiesnext to the base units are estimates of the standard uncertainties of their best practicalrealizations; those next to the fundamental constants represent the uncertainty of ourknowledge of these constants (from the 1998 CODATA adjustment).

• the grey, fuzzy links to the outside reflect the unknown long-term stability of the kilogramartefact and its consequent effects on the practical realization of the definitions of theampere, mole and candela.

The ampere’s definition, for example, involves the kilogram, but an alternative link is theJosephson-effect constant (KJ-90) and von Klitzing’s quantum-Hall resistance (RJ-90), both ofwhich were given fixed, conventional values in 1990.

D.1 La Escala de Temperatura Internacional de 1990 (ITS-90)

The International Temperature Scale of 1990 (ITS-90) came into effect on 1 Janurary 1990,replacing the IPTS-68 and the EPT-76.

The ITS-90 differs from the IPTS-68 in a number of important respects: - it uses the triplepoint of water (273.16 K), rather than the freezing point of water (273.15 K), as a defining point

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256APÉNDICE D. ENLACEDEUNIDADES BÁSICAS DEL SI A CONSTANTES ATÓMICAS Y FUNDA

Figura D.1:

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D.1. LA ESCALA DE TEMPERATURA INTERNACIONAL DE 1990 (ITS-90) 257

- it extends to lower temperatures: 0.65 K instead of 13.8 K- it is in closer agreement with thermodynamic temperatures- it has improved continuity and precision- it has a number of overlapping ranges and sub-ranges- in certain ranges it has alternative but substantially equivalent definitions- it includes the helium vapour pressure scales- it includes an interpolating gas thermometer as one of the defining instruments- the range of the platinum resistance thermometer as defining instrument has been extended

from 630 C up to the silver point, 962 C- the Pt/10 % Rh-Pt thermocouple is no longer a defining instrument of the scale- the range based upon the Planck radiation law begins at the silver point instead of at the

gold point, but options exist for using any one of the silver, gold or copper points as referencepoints for this part of the scale.

For further details please refer to the following BIPM publications:- Preston-Thomas H., The International Temperature Scale of 1990 (ITS-90), Metrologia,

1990, 27, 3-10; Metrologia, 1990, 27, 107-127- Techniques for approximating the International Temperature Scale of 1990- Supplementary information for the International Temperature Scale of 1990

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258APÉNDICE D. ENLACEDEUNIDADES BÁSICAS DEL SI A CONSTANTES ATÓMICAS Y FUNDA

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