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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREProf. Pier Paolo RossiUniversità degli Studi di Catania

Instabilità locale

2

Instabilità localeIntroduzione

3

Instabilità localeIntroduzione

Le parti interessate sono quelle compresse della sezione trasversale dell’elemento

4

comportamento elastico

5

Carico critico elasticoTensioni normali

La deformata della lastra soggetta ad instabilità è espressa tramite la doppia serie di Fourier :

6

mn

m 1 n 1

m nx yw x ,y A sin sina b

dove :w spostamento fuori pianom, n numero di semionde sinusoidali

nelle direzioni longitudinali e trasversali Amn coefficienti incogniti rappresentanti spostamenti generalizzati

a

bx

Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione xcostante sui due lati opposti


La tensione critica della lastra è :

7

22 2

cr 2

nm +m

D b at b a b

a

bx

Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione xcostante sui due lati opposti

dove :

t spessore della lastraD rigidezza flessionale della lastra

3

212 1Et


8

2

cr 2212 1E

kb t

a

bx

Il valore minimo del carico critico della lastra si ha per n=1, ovvero quando trasversalmente si ha una sola semionda sinusoidale :

dove :

21

mm

b ak

a b

Carico critico elasticoEsempio di lastra appoggiata sui bordi

9

Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1

1° carico critico 2° carico critico 3° carico critico

cr,1=723.12 cr,2=1130.05 cr,3=2009.74

(m=1) (m=2) (m=3)

1 m

1 m 1 m 1 m

(spessore= 1cm) (spessore= 1cm) (spessore= 1cm)

(E=200000 Mpa) (E=200000 Mpa) (E=200000 Mpa)

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

12 3 4 5

k

a/b

Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi

10

Ⱶ Il valore piu` basso del carico critico si ottiene per un rapporto d`aspetto pari ad un numero intero.

21

mm

b ak

a b

a

bxm =

σ,min 4k

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

12 3 4 5

k

a/b


11

Ⱶ La dimensione delle semionde è comparabile con la dimensione trasversale della sezione

a

bxm =


12

k=k,min

a=b

bx

a=2b

bx

b

a=3b

x

k=k,min

k=k,min

Ⱶ Le lastre, pur se caratterizzate da un rapporto d’aspetto pari ad un diverso numero intero, hanno lo stesso carico critico


13

k=k,min

a=b

bx

a=2b

bx

b

a=3b

x

k=k,min

k=k,min

Ⱶ In lastre con rapporto d’aspetto pari ad un numero intero, l’uso di irrigidimenti trasversali con spaziatura equale alla larghezza della lastra non muta il valore del carico critico

irrigidimenti trasversali

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

12 3 4 5

k

a/b


14

Ⱶ L’uso di irrigidimenti trasversali è efficace solo se la loro spaziatura è minore della larghezza della lastra

a

bxm =

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

k

a/b

Carico critico elasticoLastra appoggiata su 3 bordi

15

Ⱶ La modifica dei vincoli cambia la dipendenza del fattore di stabilità dal rapporto d’aspetto della lastra

a

bx

σ,min 0 425k .

Carico critico elasticoTensioni tangenziali

16

cr ek

dove

2

e 2212 1Eb t

La tensione tangenziale critica della lastra è :

a

bSia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da tensioni tangenziali costanti sui lati

Carico critico elasticoValutazione con metodi numerici

Con l’eccezione dei pochi casi per cui esiste una soluzione analitica, il carico di instabilità locale delle lastre è usualmente valutato mediante metodi numerici.

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Il metodo più utilizzato è quello di Rayleigh‐Ritz, basato sulle variazioni dell’energia di deformazione elastica della lastra Up e del lavoro interno Wint.

Lo stato critico corrisponde all’equilibrio indifferente e dunque alla relazione :

2 22 2 2 2 2

p 2 2 2 20 0

2 1 d d2

a bD w w w w wU x y

x y x y x y

p int 0U Wdove :

2 22 2

p x y2 20 0

2 d d2

a bt w w w wW x y

x y x y

Carico critico elasticoIl fattore di stabilità

Il fattore di stabilita` dipende da :

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Ⱶ Condizioni di vincolo

Ⱶ Tipo di tensioni (normali o tangenziali)

Ⱶ Condizioni di carico (compressione uniforme, flessione o presso flessione)

Carico critico elasticoIl fattore di stabilità secondo Eurocodice

L’Eurocodice 3 (parte 1‐5) fornisce i fattori di stabilità per alcune distribuzioni di tensioni normali e tangenziali su pannelli rettangolari interni o esterni, irrigiditi o non irrigiditi.

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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni non irrigiditi

20

=2/1 1<≤0 0<≤‐1 ‐1<≤‐3

k 8.2/(1.05+) 7.81 ‐ 6.29 5.98(1‐)2

k

b

1

2>0

1

2a

tratto da: Eurocodice 3-1-5 (Tab. 4.1)

Tensioni normali

4.07.81

23.9

Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli esterni non irrigiditi

21

=2/1 1 0 ‐1<≥‐3

k 0.43 0.57 0.57‐0.21 2

1

2>0

1

2

1

2<0

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

=2/1 1 1>≥0 0>≥‐1

k 0.43 0.578/(0.34+) 0.57‐0.21 2

tratto da: Eurocodice 3-1-5 (Tab. 4.2)

Tensioni normali

Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni non irrigiditi

Tensioni tangenziali

22

a

b

=a/b ≥1 <1

k 5.34 + 4.0/² 4.0 + 5.34/²

k

tratto da: Eurocodice 3-1-5 (annesso A.3)

9.34

Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni irrigiditi

Tensioni normali

23

b

1

2=1≥ 0.5 1

1

2

≤

> a ≥ 0.5 b

2

,p 2

2 1 11 1

k

,p

4 11 1

k

sl pI I sl pA A

dove :

Ap = b t

Asl somma delle aree degli irrigidimentiIsl momento d’inerzia dell’intero piatto irrigidito

Ip momento d’inerzia del piatto 3

212 1bt

tratto da: Eurocodice 3-1-5 (annesso A.1)

Carico critico elasticoLastre irrigidite

L’instabilità di lastre irrigidite può essere valutata con il metodo numerico di Rayleigh‐Ritz aggiungendo i contributi degli irrigidimenti all’energia di deformazione elastica e al lavoro interno :

24

2 22 2nx nx

sxi sxist 2

i 1 i 10 0y=yi y=yi

d d2 2

a aEI w GJ wU x x

x x y

2nx

sxisx xi

i 1 0 y=yi

d2

aA wW x

x

dove :

Asx area trasversale dell’irrigidimentoIsx momento d’inerzia dell’irrigidimentoJsx costante torsionale dell’irrigidimento

Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita

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b=2.0 m

1=10 MPa 1

22=5 MPa a =3.0 m

spessore lastra e irrigidimenti = 10 mmaltezza irrigidimenti = 150 mm

cr,1=38.193

(E=200000 MPa)

Valutazione numerica del moltiplicatore critico


26

x=10 MPa x x x x x

1° carico critico 2° carico critico 3° carico critico

cr,1=38.193 cr,2=38.427 cr,3=40.781

2 m

3 m 3 m 3 m


27

Valutazione della tensione critica secondo Eurocodice 3

p 200 1 200 cm²A

3 3

4p 2 2

200 118 31 cm

12 1 12 1 0 3b s

I ..

Lastra

Irrigidimento sl 15 1 15 cm²A

sl 3 15 45 cm²A

sl p 45 200 0 225A A .

4sl 3211 44 cmI .

sl p 3211 44 18 31 175 39I I . . .

Momento d’inerzia del pannello non irrigidito

Momento d’inerzia del pannello irrigidito


28

Valutazione della tensione critica secondo Eurocodice 3

4300 200 1 5 3 64a b . .

2 1 5 10 0 5.

2 2

,p 2 2

2 1 1 2 1 1 5 175 39 189 47

1 1 1 5 0 5 1 0 225 1. .

k .. . .

22

e 22

1189800 4 75MPa20012 1

E .b t

cr,p σ,p e 89 47 4 75 424 98MPak . . .

Carico critico elasticoCondizioni di carico combinate

Lo stato critico per un carico combinato x,Ed, z,Ed, Ed è raggiunto quando le tensioni raggiungono i seguenti valori :

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cr,x cr x,Ed

dove : cr moltiplicatore dei carichi corrispondenti al carico critico

cr,z cr z,Ed cr cr Ed

In alternativa, il moltiplicatore critico può essere valutato come :

2

x z x z x z2 2 2

cr cr,x cr,z cr,x cr,z cr,x cr,z cr,

1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 2 2

cr,x cr,x x,Eddove : cr,z cr,z z,Ed cr, cr Ed

x rapporto di tensione normale in direzione longitudinale

z rapporto di tensione normale in direzione trasversale

Carico critico elasticoAssemblaggi di lastre

L’instabilità di insiemi di lastre può essere valutata assumendo che le lastre siano incernierate lungo i bordi comuni (ovvero siano semplicemente appoggiate lungo i bordi connessi e libere lungo i bordi non connessi)

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FINE

31

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