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学出版社

职教技术出版中心

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高等教育“十一五”规划教材

高职高专公共课教材系列

实用线性代数

徐秀娟　主　编

何亚丽　张　帅　副主编

佟玉霞　李丽红　梁彦冰　刘琳琳　崔玉环　参　编

北　京

内　容　简　介

本书共分６章，其内容包括矩阵与行列式、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、矩阵的相似对角化、二次型以及数学软件（Mathematica）在线性代数中的应用等。本书以矩阵为主线将线性代数中的主要内容穿插起来，层次清晰，特别注重可读性与实用性。

本书的编写力求引进概念自然浅显，定理证明简明易懂，例题选取典型适当，应用实例背景广泛，使难点分散，便于教学，充分体现具体 —抽象 —具体的辩证思维过程。每节配有理解、反思与探究题，每章后均有两个层次的适量习题和阶段测试题一套，书末附有答案。

本书可作为高职高专院校各专业线性代数课程的教材，也可供科技工作者或其他在职人员的自学用书。

　图书在版编目（（（（CIP））））数据

　实用线性代数／徐秀娟主编． —北京：科学出版社，２０１０畅２（高等教育 “十一五” 规划教材 ·高职高专公共课教材系列）

　 ISBN ９７８唱７唱０３唱０２６８００唱６

　 Ⅰ畅 ①实 … 　 Ⅱ畅 ① 徐 … 　 Ⅲ畅 ① 线性代数高等学校：技术学校教材　Ⅳ畅 ① ０１５１畅２

　中国版本图书馆 CIP数据核字（２０１０）第０２４９２０号

策划：赖文华责任编辑：王　彦　隽青龙／责任校对：柏连海责任印制：吕春珉／封面设计：耕者设计工作室

出版北京东黄城根北街１６号

邮政编码：１００７１７

h t tp ：／／ w w w ．sciencep ．com中国科学院印刷厂印刷

科学出版社发行　各地新华书店经销

倡

２０１０年２月第一版

２０１０年２月第一次印刷

印数：１ — ３０００

　　

开本：７８７ × １０９２　１／１６

印张：１２１／４

字数：２７１０００

定价： 20畅00元（如有印装质量问题，我社负责调换枙路通枛）

销售部电话０１０唱６２１３６１３１　编辑部电话０１０唱６２１３８９７８唱８２０８

版权所有，侵权必究举报电话：０１０唱６４０３０２２９；０１０唱６４０３４３１５；１３５０１１５１３０３

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编　委　会

主　任　刘保相

副主任　金殿川

编　委　刘春凤　万星火　肖继先　张春英

　　　　徐秀娟　魏明军　阎红灿　李丽红

前　　言

为更好地适应我国高等教育改革发展的现实需要，提高基础数学教育教学水平，结合高职高专院校线性代数课程教学的基本要求和长期教学实践经验，以 “遵循体系完整、简约实用” 为原则，以 “因需施教、科学供给、优质服务、全面提高” 为目的，编写出这本符合时代特征、让师生易于接受、拿起来就能用的比较生动的线性代数教材。

本书力求在概念与理论、方法与技巧、实践与应用三方面做出较为合理的安排，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的原则，对基本概念，尽可能以简明、自然、浅显的实例导入一般概念；在讲清基本理论的基础上，对理论推导部分做了适当的简约处理，把重点放在对实际问题的分析和基本方法的掌握上，在强化线性代数知识应用的基础上并不影响其整体的科学性、系统性和严密性。

本书以矩阵为主线将线性代数中的主要内容穿插起来，充分体现矩阵在线性代数中的核心地位；关于行列式，采用简便的递归法来定义 n阶行列式，这比用逆序法定义更容易掌握；关于向量空间，以几何空间中的向量为切入点，抽象出 n维向量的概念及其运算，利用线性方程组解的有关结论与矩阵方法讨论向量组的线性相关性，使抽象概念具体化。

为培养学生的发散性思维，例题的求解尽量给出多种解法，力求反映不同的思考方式及其联系，目的是激发学生潜能，开发学生的学习能力。

为扩展知识的横向与纵向的联系，提高学生学习线性代数的兴趣，通过增添具有广泛实际背景的典型例题，引导学生尝试用线性代数知识分析和解决简单的实际问题，但跳过这些例题也无损于教学内容的连贯性。

适量引入用 Mathematica 软件求解线性代数中的相关问题，既不占用过多的学时，又能使学生加深对本课程的理解，同时学会借助现代信息技术，利用数学知识解决实际问题的方法，开拓学生视野，增强学习线性代数的兴趣。

思考和演算一定数量的习题是学好线性代数的必由之路。本书每节后的思考题，针对本节内容有感而出，既有知识性的题目，又有富于启发性、开放性的探究性题目，以便学生学完每节后做更深入的思考。每章后都以两种形式给出习题，并附有阶段测试题，其中习题（A），确保学生完成，意在保证学生熟练掌握基本知识和基本方法；习题（B），激励学生完成，意在提升学生的学习能力。阶段测试题意在检测学生的阶段学习情况，书末附有习题答案。

建议本教材的教学时数为３２～３６课时，带倡的内容可选讲。由于编者水平有限，书中疏漏和不妥之处，恳请同行、读者指正。

编者

２０１０年１月

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目　　录

第 1章　矩阵与行列式１…………………………………………………………………………………

　　１畅１　矩阵及其运算１…………………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅１　矩阵的概念１………………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅２　几种特殊的矩阵３…………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅３　矩阵的线性运算４…………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅４　矩阵的乘法６………………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅５　方阵的乘幂９………………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅６　矩阵的转置１０………………………………………………………………………………

　　　　１畅１畅７　矩阵在实际问题中的应用１２………………………………………………………………

　　１畅２　 n阶行列式１３……………………………………………………………………………………

　　　　１畅２畅１　二阶与三阶行列式１３………………………………………………………………………

　　　　１畅２畅２　 n阶行列式的定义１５………………………………………………………………………

　　　　１畅２畅３　几种特殊的行列式及其值１６………………………………………………………………

　　　　１畅２畅４　 n阶行列式的性质１７………………………………………………………………………

　　　　１畅２畅５　 n阶行列式的计算１９………………………………………………………………………

　　１畅３　可逆矩阵２３………………………………………………………………………………………

　　　　１畅３畅１　可逆矩阵的概念２３…………………………………………………………………………

　　　　１畅３畅２　可逆矩阵的性质２３…………………………………………………………………………

　　　　１畅３畅３　矩阵可逆的充要条件２６……………………………………………………………………

　　　　１畅３畅４　逆矩阵的应用 ———克拉默法则的证明２８…………………………………………………

　　１畅４　分块矩阵３１………………………………………………………………………………………

　　　　１畅４畅１　分块矩阵的概念３１…………………………………………………………………………

　　　　１畅４畅２　分块矩阵的运算３２…………………………………………………………………………

　　　　１畅４畅３　分块对角矩阵３５……………………………………………………………………………

　　习题一（A）练习　理解３８…………………………………………………………………………

　　习题一（B）思考　提高３９…………………………………………………………………………

　　第１章阶段测试题４２…………………………………………………………………………………

第 2章　矩阵的初等变换与线性方程组４４…………………………………………………………

　　２畅１　矩阵的初等变换和等价标准形４４…………………………………………………………

　　　　２畅１畅１　矩阵的初等变换４４…………………………………………………………………………

　　　　２畅１畅２　矩阵的等价标准形４６………………………………………………………………………

　　２畅２　初等矩阵５０………………………………………………………………………………………

　　　　２畅２畅１　初等矩阵的概念５０…………………………………………………………………………

　　　　２畅２畅２　初等变换与初等矩阵的关系５１……………………………………………………………

　　　　２畅２畅３　求逆矩阵的初等变换法５４…………………………………………………………………

　　２畅３　矩阵的秩５６………………………………………………………………………………………

　　　　２畅３畅１　矩阵秩的概念５７……………………………………………………………………………

　　　　２畅３畅２　矩阵秩的计算５７……………………………………………………………………………

　　２畅４　线性方程组的求解６０…………………………………………………………………………

　　　　２畅４畅１　线性方程组的基本概念６０…………………………………………………………………

　　　　２畅４畅２　线性方程组解的判别６１……………………………………………………………………

　　习题二（A）练习　理解６８…………………………………………………………………………

　　习题二（B）思考　提高６９…………………………………………………………………………

　　第２章阶段测试题７１…………………………………………………………………………………

第 3章　向量组的线性相关性７４………………………………………………………………………

　　３畅１　 n维向量及其线性运算７４……………………………………………………………………

　　　　３畅１畅１　 n维向量的概念７４…………………………………………………………………………

　　　　３畅１畅２　 n维向量的线性运算及应用７５……………………………………………………………

　　　　３畅１畅３　 n维向量空间及其子空间７７………………………………………………………………

　　３畅２　向量组的线性相关性７８………………………………………………………………………

　　　　３畅２畅１　向量组及其线性组合７８……………………………………………………………………

　　　　３畅２畅２　向量组线性相关与线性无关的概念８０……………………………………………………

　　　　３畅２畅３　向量组线性相关性的判定８２………………………………………………………………

　　３畅３　向量组的秩８６…………………………………………………………………………………

　　　　３畅３畅１　向量组的最大无关组与秩８６………………………………………………………………

　　　　３畅３畅２　向量组的秩与矩阵的秩８７…………………………………………………………………

　　　　３畅３畅３　向量空间的基与维数８８……………………………………………………………………

　　３畅４　线性方程组解的结构８９………………………………………………………………………

　　　　３畅４畅１　齐次线性方程组解的结构８９………………………………………………………………

　　　　３畅４畅２　非齐次线性方程组解的结构９３……………………………………………………………

　　习题三（A）练习　理解９６…………………………………………………………………………

　　习题三（B）思考　提高９７…………………………………………………………………………

　　第３章阶段测试题９９…………………………………………………………………………………

第 4章　矩阵的相似对角化１０１…………………………………………………………………………

　　４畅１　向量的内积１０１…………………………………………………………………………………

　　　　４畅１畅１　向量的内积１０１……………………………………………………………………………

　　　　４畅１畅２　正交向量组与规范正交基１０２……………………………………………………………

　　　　４畅１畅３　正交矩阵与正交变换１０５…………………………………………………………………

　　４畅２　方阵的特征值与特征向量１０６………………………………………………………………

　　　　４畅２畅１　特征值与特征向量的概念１０６……………………………………………………………

　　　　４畅２畅２　特征值与特征向量的性质１１１……………………………………………………………

　　４畅３　矩阵可对角化的条件１１２……………………………………………………………………

　　　　４畅３畅１　相似矩阵的概念与性质１１２………………………………………………………………

　　　　４畅３畅２　矩阵可对角化的条件１１４…………………………………………………………………

　　　　４畅３畅３　矩阵的特征值与特征向量应用举例１１６…………………………………………………

　　４畅４　实对称矩阵的对角化１１８……………………………………………………………………

　　　　４畅４畅１　实对称矩阵的特征值与特征向量１１８……………………………………………………

　　　　４畅４畅２　实对称矩阵的对角化１１９…………………………………………………………………

　 · iv · 　　　　　　　　　　　　　　　　实用线性代数

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　　　　４畅４畅３　实对称矩阵相似对角化的应用举例１２２…………………………………………………

　　习题四（A）练习　理解１２４………………………………………………………………………

　　习题四（B）思考　提高１２５………………………………………………………………………

　　第４章阶段测试题１２７………………………………………………………………………………

第 5章　二次型１２９…………………………………………………………………………………………

　　５畅１　二次型及其标准形１２９………………………………………………………………………

　　　　５畅１畅１　二次型的概念１２９…………………………………………………………………………

　　　　５畅１畅２　二次型的标准形１３１………………………………………………………………………

　　５畅２　化二次型为标准形１３３………………………………………………………………………

　　　　５畅２畅１　用正交变换法化二次型为标准形１３３……………………………………………………

　　　　５畅２畅２　用配方法化二次型成标准形１３９…………………………………………………………

　　　　５畅２畅３　用矩阵的初等变换法化二次型为标准形１４１……………………………………………

　　５畅３　正定二次型１４３…………………………………………………………………………………

　　　　５畅３畅１　正定二次型的概念１４３……………………………………………………………………

　　　　５畅３畅２　正定二次型的判定１４４……………………………………………………………………

　　习题五（A）练习　理解１４８………………………………………………………………………

　　习题五（B）思考　提高１４９………………………………………………………………………

　　第５章阶段测试题１４９………………………………………………………………………………倡第 6章　 Mathematica在线性代数中的应用１５２…………………………………………………

　　６畅１　矩阵及其运算１５２………………………………………………………………………………

　　　　６畅１畅１　矩阵的输入与输出１５２……………………………………………………………………

　　　　６畅１畅２　特殊矩阵的形成１５３………………………………………………………………………

　　　　６畅１畅３　矩阵的运算１５４……………………………………………………………………………

　　６畅２　矩阵的简化１５５…………………………………………………………………………………

　　６畅３　方程组的求解问题１５７………………………………………………………………………

　　　　６畅３畅１　基本语句１５７………………………………………………………………………………

　　　　６畅３畅２　齐次线性方程组的求解１５８………………………………………………………………

　　　　６畅３畅３　非齐次线性方程组的求解１５８……………………………………………………………

　　６畅４　矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题１５９………………………………

　　６畅５　专题实验１６０……………………………………………………………………………………

　　　　６畅５畅１　工资问题１６０………………………………………………………………………………

　　　　６畅５畅２　动物繁殖问题１６２…………………………………………………………………………

　　　　６畅５畅３　网络流问题１６４……………………………………………………………………………

　　　　６畅５畅４　生产总值问题１６７…………………………………………………………………………

　　　　６畅５畅５　化学方程式的配平问题１６８………………………………………………………………

　　　　６畅５畅６　基因问题１６９………………………………………………………………………………

习题参考答案１７１……………………………………………………………………………………………

主要参考文献１８３……………………………………………………………………………………………

目　　录　　　　　　　　　　　　　　　　　 · v · 　

第 1章　矩阵与行列式

线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一，矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数；同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。

本章从实际问题出发，引入矩阵、行列式的概念，介绍有关矩阵、行列式的基本性质及其常用的计算方法，并涉及了它们的一些简单应用。

１畅１　矩阵及其运算

矩阵是线性代数的主要研究对象之一。作为一种非常重要的数学工具，矩阵在数学以至自然科学、工程技术、经济管理、日常生活等诸多领域有广泛的应用。

1畅1畅1 　矩阵的概念

许多实际问题的解决，都可以归结为处理一些数，不仅要描述它们，还要研究它们之间的关系。

【例 1畅1】　图１畅１所示为某航空公司在４个城市之间的航行运行图，其中 A 、B 、C 、D表示４个城市，从城市 A到 B有有向线段就表示从城市 A到 B 有航班，否则就没有航班。

图１畅１

若从城市 A到 B 有航班，用数字１表示，从城市 A到 B 没有航班，用数字０表示，则图１畅１也可用下面的矩形数表来表示：

　 A 　 B 　 C 　 DABCD

　

０１０１１０１０１１０１００１０

　

　　【例 1畅2】　某港口在１月份发往３个地区的两种货物的数量如表１畅１所示。

表 1畅1　　　　货物

地区　　　　甲乙

北京

天津

上海

２００

１５０

７０

１４０

１８０

４０

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在表１畅１中，我们主要关心的对象是其中的数据，若将它们按原来的次序排列成矩形

数表，并加上括号以表示这些数据是一个整体，则有：２００１４０１５０１８０７０４０

。

如果上述两种货物的单位价格、单位重量、单位体积如表１畅２所示。

表 1畅2　　　　　单位

货物　　　　　价格／百元重量／千克体积／立方米

甲

乙

２

３畅５

０畅９

０畅５

０畅３　

０畅２５

同样由表１畅２中的数据也可得到矩形数表：２０畅９０畅３３畅５０畅５０畅２５

。

【例 1畅3】　中学代数中学过的二元一次方程组a１１ x１＋ a１２ x２＝ b１a２１ x１＋ a２２ x２＝ b２

（１畅１）

其解的情况仅与方程组中未知量 x１，x２前面的系数 aij （ i ＝１，２；j ＝１，２）以及常数项 b１，b２有关，若把方程组中未知量前面的系数及常数项按它们在方程组中的位置不变排成一个矩形数表

a１１ a１２ b１a２１ a２２ b２

则正是这个数表中的数决定了方程组（１畅１）的解。即如果给定了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么除了未知数的符号外，这个方程组就确定了，因此研究线性方程组（１畅１），也就只需研究上述的数表。

从例１畅１～例１畅３可以看出，这些来自不同背景的实际问题都可用一个类似数表的形式表示，数表的行数和列数可以相同，也可以不同。将这些数表一般化，便有如下定义

定义 1畅1 　由 m × n个数 a i j （ i ＝１，２， … ，m ； j ＝１，２， … ， n）排成的 m行 n列（横称行，纵称列，并括以圆括号或方括号）的矩形数表

a１１ a１２ … a１ na２１ a２２ … a２ n 筹 am１ am２ … amn

称为 m × n矩阵，其中 ai j （ i ＝１，２， … ，m ； j ＝１，２， … ， n）称为这个矩阵的第 i行第 j 列元素，也称为该矩阵的（ i ， j）元。

通常用单个大写字母如 A ， B ，C ， … ，等表示矩阵，有时为强调矩阵的行数与列数，上述 m × n矩阵 A也记为 Am × n或 A ＝（ai j ）mn 。

根据上述定义便知，例１畅１中图１畅１的数据就组成了一个４ × ４矩阵

·２· 实用线性代数

０１０１１０１０１１０１００１０

例１畅２中的表１畅１的数据就组成了一个３ × ２矩阵 A ＝２００１４０１５０１８０７０４０

，而表１畅２的数

据组成了一个２ × ３矩阵 B ＝２０畅９０畅３３畅５０畅５０畅２５

例１畅３中确定二元线性方程组（１畅１）的数表是一个２ × ３矩阵a１１ a１２ b１a２１ a２２ b２

，通常

称之为方程组（１畅１）的增广矩阵；而由方程组中未知量的系数构成的矩阵a１１ a１２a２１ a２２

，称

为方程组（１畅１）的系数矩阵。元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特

别声明外，都指实矩阵。若两个矩阵的行数相同、列数也相同，则称它们是同型矩阵。定义 1畅2 　设矩阵 A ＝（ ai j ）m × n和 B ＝（ bi j ）m × n是同型矩阵，若它们的元素对应相

等，即ai j ＝ bij 　　　（ i ＝１，２， … ， m ； j ＝１，２， … ， n）

则称矩阵 A与 B相等，记作 A ＝ B 。

1畅1畅2 　几种特殊的矩阵

对于 m × n阶矩阵 A ＝（ai j ）m × n ，若

（１） m ＝１，即只有一行的矩阵称为行矩阵，也称行向量。记作 A ＝ a１ a２ … an 。

（２） n ＝１，即只有一列的矩阵称为列矩阵，也称列向量。记作 A ＝

a１a２am

。

（３）元素 ai j （ i ＝１，２， … ， m ； j ＝１，２， … ， n）都是零的矩阵称为零矩阵，记作 Om × n 。

（４） m ＝ n ，即行数与列数相等的矩阵称为 n阶方阵，或 n阶矩阵，记作 An 。特别地，一阶方阵等同于构成它的元素。对于 n阶方阵 A ，从左上角元素到右下角元素的那根联线称为矩阵的主对角线，其中

元素 aii （ i ＝１，２，… ，n）称为矩阵 A的主对角线元素，从右上角元素到左下角元素的那根联线称为矩阵 A的副对角线。

（５）对于 n阶方阵 A ，若非零元素只出现在主对角线及其上（或右）方，则称 A为上

·３·第１章　矩阵与行列式

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三角形矩阵，记作 U ＝

a１１ a１２ … a１ n０ a２２ … a２ n 筹００ … ann

。例如，１２４０５４００６

是一个３阶上三角形

矩阵。（６）对于 n阶方阵 A ，若非零元素只出现在主对角线及其下（或左）方，则称 A为下

三角形矩阵，记作 L ＝

a１１０ … ０

a２１ a２２ … ０

筹 an１ an２ … ann

。例如，

２０００３１００６５８０７９０３

是一个４阶下三角形

矩阵。（７）一个既是上三角形又是下三角形（即非零元素只可能在主对角线上出现）的矩

阵，称为对角形矩阵，记作 Λ ＝

a１１０ … ０

０ a２２ … ０

筹００ … ann

。例如，１０００５０００２

是一个３阶对角

形矩阵。显然，由对角线上的元素就足以确定对角形矩阵本身，故上述对角形矩阵也可记作

Λ ＝ diag（a１１， a２２， … ， ann ）（８）主对角线上的元素都等于某个数 k的对角形矩阵称为纯量矩阵或数量矩阵，特

别地，称 k ＝１时的纯量矩阵为单位矩阵，记作 E或 I 。

例如，矩阵

３００００３００００３００００３

是一个４阶数量矩阵，而１０００１０００１

就是３阶单位矩阵。

有关矩阵的运算包括矩阵的加法、数与矩阵相乘、矩阵的乘法、矩阵的转置等。正是有了这些运算，矩阵之间也就有了一些最基本的关系，从而使矩阵能与其他学科的实际问题密切相关，成为方便简捷的表达手段。

1畅1畅3 　矩阵的线性运算

矩阵的加法、数乘运算统称为矩阵的线性运算。定义 1畅3 　给定两个 m × n矩阵：

A ＝


　 B ＝

b１１ b１２ … b１ nb２１ b２２ … b２ n 筹 bm１ bm２ … bmn

把矩阵 A与 B的和，记作 A ＋ B ，规定为

·４· 实用线性代数

A ＋ B ＝

a１１＋ b１１ a１２＋ b１２ … a１ n ＋ b１ na２１＋ b２１ a２２＋ b２２ … a２ n ＋ b２ n

筹 am１＋ bm１ am２＋ bm２ … amn ＋ bmn

注意，只有同型矩阵方可相加，而且相加后得到的新矩阵与原矩阵同型，其每个元素是原来两矩阵对应元素之和。

定义 1畅4 　数 λ和矩阵 A ＝


的乘积，简称数乘，记作 λA ，规

定为

λA ＝

λa１１ λa１２ … λa１ nλa２１ λa２２ … λa２ n 筹

λam１ λam２ … λamn注意，数乘矩阵，需把这个数乘该矩阵的每一个元素，数乘得到的新矩阵是与原矩

阵同型的矩阵。特别地，当 λ ＝－１时，把（－１）A称为 A的负矩阵，记作－ A 。规定了矩阵的加法以及数与矩阵乘法，便有如下矩阵的减法。矩阵 A ＝（ai j ）m × n与 B ＝（bi j ）m × n的差，记作 A － B ，规定为

A － B ＝ A ＋（－１）B ＝（ai j － bi j ）m× n

例如，若 A ＝１３５２

－１０，B ＝

１１３００－１

则３A ＝３９

１５６－３０

，－ B ＝－１－１－３００１

，A － B ＝０２２２

－１１，

矩阵的线性运算满足如下规律：设 k ，l为数，A ，B ，C为同型矩阵，则有：（１）加法结合律　（A ＋ B）＋ C ＝ A ＋（B ＋ C）（２）加法交换律　 A ＋ B ＝ B ＋ A（３）数乘结合律　 k（ lA）＝（ kl）A（４）数乘分配律　 k（A ＋ B）＝ kA ＋ kB

（ k ＋ l）A ＝ kA ＋ lA（５） A ＋（－ A）＝ O；A ＋ O ＝ A

【例 1畅4】　已知矩阵 A ＝１４０

－１０３，B ＝

２０１１３－１

求矩阵２A －３B 。

【解】　根据矩阵的线性运算法则，有

·５·第１章　矩阵与行列式

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２A －３B ＝２１４０

－１０３－３

２０１１３－１

＝２－６８－００－３

－２－３０－９６＋３＝

－４８－３－５－９９

【例 1畅5】　设矩阵 A ＝１－１３２

－２１， B ＝

１１３００－１

，且满足３A －２X ＝ B ，求矩阵 X 。

【解】　由已知３A －２X ＝ B ，得２X ＝３A － B ，从而有

X ＝１２（３A － B）

又因为

３A － B ＝３ × １－１３ × （－１）－１３ × ３－３３ × ２－０

３ × （－２）－０３ × １－（－１）＝

２－４６６

－６４所以

X ＝１２

２－４６６

－６４＝

１－２３３

－３２

1畅1畅4 　矩阵的乘法

矩阵乘法是一种有关矩阵的极其特别的运算，矩阵运算中所具有的特殊规律主要产生于矩阵的乘法运算。在给出矩阵乘法定义之前，我们先看一个实例。

在给出矩阵乘法定义之前，我们先看一个实例。【例 1畅6】　若某港口某月份发往３个地区的两种货物的数量如例１畅２中的表１畅１所

示，并且这两种货物的单位价格、单位重量、单位体积如表１畅２所示，求该港口分别发往三个地区的货物的总价格、总重量、总体积。

【解】　根据表１畅１和表１畅２可知，该港口发往北京地区的货物的总价格

＝发往北京地区的货物甲的数量 ×货物甲的单位价格　＋发往北京地区的货物乙的数量 × 货物乙的单位价格＝２００ × ２＋１４０ × ３畅５＝８９０；该港口发往北京地区的货物的总重量

＝发往北京地区的货物甲的数量 ×货物甲的单位重量　＋发往北京地区的货物乙的数量 × 货物乙的单位重量＝２００ × ０畅９＋１４０ × ０畅５＝２５０；该港口发往北京地区的货物的总体积

＝发往北京地区的货物甲的数量 ×货物甲的单位体积　＋发往北京地区的货物乙的数量 × 货物乙的单位体积

·６· 实用线性代数

＝２００ × ０畅３＋１４０ × ０畅２５＝９５，类似地，对发往其它两个地区的货物作相应运算，可得表１畅３。

表 1畅3地区总价格总重量总体积

北京８９０２５０９５

天津９３０２２５９０

上海２８０８３３１

把表１畅３中的数据写成３ × ３矩阵 C ，则有

C ＝８９０２５０９５９３０２２５９０２８０８３３１

矩阵 C的第 i 行，第 j 列元素 c ij （ i ＝１，２，３；j ＝１，２，３）恰好是表１畅１中的矩阵 A ＝２００１４０１５０１８０７０４０

的第 i行的每个元素与表１畅２中的矩阵 B ＝２０畅９０畅３３畅５０畅５０畅２５

的第 j列对

应元素乘积之和。一般地，有如下定义定义 1畅5 　设 A是一个 m × n矩阵， B是一个 n × l矩阵，即

A ＝


　　　 B ＝

b１１ b１２ … b１ lb２１ b２２ … b２ l 筹 bn１ bn２ … bnl

把矩阵 A和 B的乘积记作 C ＝ AB ，规定为

AB ＝

∑n

k ＝１a１ k bk１ ∑

n

k ＝１a１ k bk２ … ∑

n

k ＝１a１ k bkl

∑n

k ＝１a２ k bk１ ∑

n

k ＝１a２ k bk２ … ∑

n

k ＝１a２ k bkl

筹

∑n

k ＝１amk bk１ ∑

n

k ＝１amk bk２ … ∑

n

k ＝１amk bkl

即矩阵 A与 B乘积 C ＝（ cij ）是一个 m × l矩阵，它的第 i行第 j 列元素 c i j是 A的第 i行 n个元素与 B的第 j 列相应的 n个元素对应乘积之和，即

ci j ＝ ai１ b１ j ＋ ai２ b２ j ＋ … ＋ ain bnj ＝ ∑n

k ＝１aik bk j 　　（ i ＝１，２， … ， m ； j ＝１，２， … ， n）

注意，只有当前一个矩阵 A的列数等于后一个矩阵 B的行数时， A与 B 才可以相乘，并且乘积矩阵 AB的行数等于 A的行数，而列数等于 B的列数。

·７·第１章　矩阵与行列式

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【例 1畅7】　设矩阵 A ＝１０２４３１

， B ＝１３２１３０

，求 AB ， BA 。

【解】　因为 A是２ × ３矩阵， B是３ × ２矩阵，所以 A与 B 可乘， B与 A 也可乘，并且

AB ＝１０２４３１

１３２１３０

＝１ × １＋０ × ２＋２ × ３１ × ３＋０ × １＋２ × ０４ × １＋３ × ２＋１ × ３４ × ３＋３ × １＋１ × ０

＝７３１３１５

BA ＝１３２１３０

１０２４３１

＝１ × １＋３ × ４１ × ０＋３ × ３１ × ２＋３ × １２ × １＋１ × ４２ × ０＋１ × ３２ × ２＋１ × １３ × １＋０ × ４３ × ０＋０ × ３３ × ２＋０ × １

＝１３９５６３５３０６

由此例可知， AB ≠ BA ，即矩阵乘法不满足交换律。

【例 1畅8】　设矩阵 A ＝（４　－１　２），B ＝１０２

，求矩阵 AB ，BA 。

【解】　由矩阵乘法的定义，可得

AB ＝（４　－１　２）１０２

＝（４ × １＋（－１） × ０＋２ × ２）＝（８）

BA ＝１０２

（４　－１　２）＝１ × ４１ × （－１）１ × ２０ × ４０ × （－１）０ × ２２ × ４２ × （－１）２ × ２

＝４－１２０００８－２４

　　【例 1畅9】　设矩阵 A ＝１－１

－１１， B ＝

１２１２

，求矩阵 AB ， BA 。

【解】　由矩阵乘法的定义，得

AB ＝１－１

－１１１２１２

＝１ × １＋（－１） × １１ × ２＋（－１） × ２－１ × １＋１ × １－１ × ２＋１ × ２

＝００００

同理可得

BA ＝１２１２

１－１－１１

＝－１１－１１

此例说明当 AB ＝０时，并不能得出 A 、 B至少有一个为零矩阵。

【例 1畅10】　设矩阵 A ＝３１４６

， B ＝２１５６

，C ＝００１１

，求矩阵 AC ， BC 。

【解】　由矩阵乘法的定义，得

AC ＝３１４６

００１１

＝３ × ０＋１ × １３ × ０＋１ × １４ × ０＋６ × １４ × ０＋６ × １

＝１１６６

同理可得

·８· 实用线性代数

BC ＝２１５６

００１１

＝１１６６

由此例题可知，虽然有 AC ＝ BC，但是 A ≠ B ，即矩阵乘法不满足消去律。矩阵乘法运算有许多地方与通常数的乘法运算规律大相径庭，这是需要读者着重注意的地方。

【例 1畅11】　设矩阵 A ＝a１１ a１２ a１３ a１４a２１ a２２ a２３ a２４a３１ a３２ a３３ a３４

，E ＝１０００１０００１

，证明 EA ＝ A 。

【证】　由矩阵乘法的定义，可得

EA ＝１０００１０００１

a１１ a１２ a１３ a１４a２１ a２２ a２３ a２４a３１ a３２ a３３ a３４

＝１ × a１１＋０ × a２１＋０ × a３１１ × a１２＋０ × a２２＋０ × a３２０ × a１１＋１ × a２１＋０ × a３１０ × a１２＋１ × a２２＋０ × a３２０ × a１１＋０ × a２１＋１ × a３１０ × a１２＋０ × a２２＋１ × a３２１ × a１３＋０ × a２３＋０ × a３３１ × a１４＋０ × a２４＋０ × a３４０ × a１３＋１ × a２３＋０ × a３３０ × a１４＋１ × a２４＋０ × a３４０ × a１３＋０ × a２３＋１ × a３３０ × a１４＋０ × a２４＋１ × a３４

＝a１１ a１２ a１３ a１４a２１ a２２ a２３ a２４a３１ a３２ a３３ a３４

＝ A

由此例题可知，单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数１在数的乘法中的作用。此结论的一般情形为：设 A是 m × n矩阵，则有 EmA ＝ AEn ＝ A特别地，当 A为 n阶方阵时，有

EA ＝ AE ＝ A 　（其中 E为 n阶单位矩阵）矩阵乘法满足如下运算规律（假设其中的运算都是可行的）

（１）乘法结合律　（AB）C ＝ A（BC）k（AB）＝（ kA）B ＝ A（ kB）

（２）乘法分配律　 A（B ＋ C）＝ AB ＋ BC（B ＋ C）A ＝ BA ＋ CA

1畅1畅5 　方阵的乘幂

利用矩阵的乘法，可以定义一个方阵的乘幂。定义 1畅6 　设 A为 n阶方阵，则 A的 m次幂 Am 规定为

Am ＝ A · A … A · Am个

（m是正整数）

特别地，规定 A０＝ E ，由方阵乘幂的定义可以证明，方阵的乘幂满足如下运算规律：

·９·第１章　矩阵与行列式

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AmAk ＝ Am＋ k ，（Am） k ＝ Amk 　　（其中 m ， k为任意非负整数）

【例 1畅12】　已知矩阵 A ＝１０１０２０１０１

，求 A２－２A 。

【解 1】　由矩阵乘法的定义，可得

A２－２A ＝１０１０２０１０１

１０１０２０１０１

－２１０１０２０１０１

＝２０２０４０２０２

－２０２０４０２０２

＝０００００００００

【解 2】　因为 A －２E ＝１０１０２０１０１

－２１０００１０００１

＝－１０１０００１０－１

所以 A２－２A ＝（A －２E）A

＝－１０１０００１０－１

１０１０２０１０１

＝０００００００００

【例 1畅13】　设矩阵 A ＝

１－１－１－１－１１－１－１－１－１１－１－１－１－１１

，求矩阵 A１００。

【解】　由 A２＝

１－１－１－１－１１－１－１－１－１１－１－１－１－１１

１－１－１－１－１１－１－１－１－１１－１－１－１－１１

＝

４００００４００００４００００４

＝４E

以及矩阵乘幂的运算规律，得A１００＝（A２）５０＝（４E）５０＝４５０ E

1畅1畅6 　矩阵的转置

定义 1畅7 　将 m × n矩阵 A的各行变成同序数的列得到的 n × m矩阵，称为 A的转置矩阵，记为 AT （或 A′），即

·０１· 实用线性代数

若 m × n矩阵 A ＝


，则有

AT ＝

a１１ a２１ … am１a１２ a２２ … am２筹 a１ n a２ n … amn

显然，矩阵 AT 的（ i ， j）元就是矩阵 A的（ j ， i）元。

例如，A ＝１２２４５８

，AT ＝１４２５２８

；B ＝（１８　６），BT ＝１８６

。

称满足 A ＝ AT 的矩阵为对称矩阵。这是应用中经常遇到的一类特殊矩阵，其等价说法是，若对所有 i 、 j有 a i j ＝ aj i ，则称 A为对称矩阵。

称满足 A＝－ AT 的矩阵为反对称矩阵。其等价说法是，若对所有 i 、 j ，有 aij ＝－ aji ，则称 A为反对称矩阵。

不难得知，对称矩阵与反对称矩阵都是方阵，并且对称矩阵的元素特点是以主对角线为对称轴对应元素相等；反对称矩阵其元素特点是以主对角线为对称轴对应元素互为相反数，而且反对称矩阵的主对角线元素必为零。

例如，矩阵 A ＝１０２０３－４２－４６

是一个３阶对称矩阵；而矩阵 B ＝０１－２

－１０－４２４０

是

一个３阶反对称矩阵。矩阵的转置运算满足下述运算规律：（１）（AT ）T ＝ A（２）（A ± B）T ＝ AT ± BT

（３）（ kA）T ＝ kAT 　（ k为数）（４）（AB）T ＝ BT AT

【例 1畅14】　已知矩阵 A ＝３０－１１２　０

， B ＝１０－２５７９２－１３

，求（AB）T 。

【解 1】　因为 AB ＝３０－１１２０

１０－２５７９２－１３

＝１１－９１１１４１６

所以

（AB）T ＝１１１１１４

－９１６

·１１·第１章　矩阵与行列式

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【解 2】　（AB）T ＝ BT AT

＝１５２０７－１

－２９３

３１０２

－１０＝

１１１１１４

－９１６

1畅1畅7 　矩阵在实际问题中的应用

【例 1畅15】　中学代数中学过的三元一次方程组a１１ x１＋ a１２ x２＋ a１３ x３＝ b１a２１ x１＋ a２２ x２＋ a２３ x３＝ b２a３１ x１＋ a３２ x２＋ a３３ x３＝ b３

（１畅２）

若记

A ＝

a１１ a１２ a１３a２１ a２２ a２３a３１ a３２ a３３

， x ＝

x１x２x３

， b ＝

b１b２b３

则由矩阵乘法可知，方程组（１畅２）又可写成如下矩阵乘积形式Ax ＝ b

　　【例 1畅16】　某建筑公司向３个施工地配送甲、乙、丙、丁４种建筑材料的数量以及这４种建材每件的单价和重量分别由表１畅４、表１畅５给出。

表 1畅4建材／件

施工地甲乙丙丁

A ２００１８０１２０１６０

B １５０１４０１００１３０

C ８０７０３０６０

表 1畅5

建材

单位价格

／万元

单位重量

／吨

甲５０畅３

乙２０畅１

丙３０畅２

丁６０畅４

现在要求给出一张指明该建筑公司发往３个施工地的建材总价与总重量的明细表。【解】　借助矩阵记号，由题目中的表可得矩阵

M ＝２００１８０１２０１６０１５０１４０１００１３０８０７０３０６０

， P ＝

５０畅３２０畅１３０畅２６０畅４

而所要的明细表可归结为矩阵 MP ，即

MP ＝２００１８０１２０１６０１５０１４０１００１３０８０７０３０６０

５０畅３２０畅１３０畅２６０畅４

＝２６８０１６６２１１０１３１９９０６１

【例 1畅17】　某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调３０％

·２１· 实用线性代数

的人员参加培训，而参加培训的职工中有６０％的人结业回岗，假设现有在岗职工８００人，参加培训人员是２００人，试问两年以后在岗与脱产培训职工各有多少人（假设职工人数不变）？

【解】　用 x０、 y０表示目前在岗与脱产职工人数， xi 、 yi 分别表示 i 年后在岗与脱产职工人数，则按题意有

x i ＝０畅７ xi－１＋０畅６ yi－１

yi ＝０畅３ x i－１＋０畅４ yi－１

用矩阵表示，有x iyi

＝０畅７０畅６０畅３０畅４

x i－１

y i－１因此

x２y２

＝０畅７０畅６０畅３０畅４

x１y１

＝０畅７０畅６０畅３０畅４

２ x０y０

＝０畅６７０畅６６０畅３３０畅３４

８００２００

＝６６８３３２

所以两年后在岗职工６６８人，培训人员３３２人。从上述几例不难看出，无论是日常生活、经济活动，还是科学理论研究都与矩阵及

其基本运算有着密切的联系，真可谓矩阵无处不在。

　　思考题

１畅在特殊形式的矩阵中，单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、三角矩阵之间的从属关系如何？

２畅两个同阶方阵 A ， B ，在什么条件下，满足下面运算等式？

（A ＋ B）２＝ A２＋２AB ＋ B２

３畅任意一个方阵是否总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和？

１畅２　 n阶行列式

行列式起源于求解线性方程组，它是研究线性代数的基础工具之一，同时它也是刻画

n阶方阵的某种特征的一个重要概念，它在自然科学的许多领域都有着广泛的应用．

1畅2畅1 　二阶与三阶行列式

在初等数学中，二阶行列式是在求解二元线性方程组时提出的。设有二元线性方

程组

a１１ x１＋ a１２ x２＝ b１a２１ x１＋ a２２ x２＝ b２

（１畅３）

利用矩阵乘法，它可以写成矩阵方程 Ax ＝ b ，其中 A ＝a１１ a１２a２１ a２２

为其系数矩阵，x ＝

·３１·第１章　矩阵与行列式

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x１x２为未知数构成的列向量，b ＝

b１b２为常数项构成的列向量。

利用消元法，分别用 a２２和 a１２乘方程组（１畅３）的两个方程的两端，再相减得

（a１１ a２２－ a２１ a１２） x１＝ b１ a２２－ b２ a１２分别用 a２１和 a１１乘方程组（１畅３）的两个方程的两端，再相减得

（a１１ a２２－ a２１ a１２） x２＝ b２ a１１－ b１ a２１

如果定义二阶矩阵 A ＝a１１ a１２a２１ a２２

所确定的二阶行列式为

A ＝a１１ a１２a２１ a２２

＝ a１１ a２２－ a１２ a２１

那么当线性方程组（１畅３）的系数矩阵的二阶行列式 A ＝a１１ a１２a２１ a２２

＝ a１１ a２２－ a１２ a２１ ≠ ０

时，可求得方程组的唯一解

x１＝

b１ a１２b２ a２２a１１ a１２a１２ a２２

＝ A１

A ，x２＝

a１１ b１a２１ b２a１１ a１２a１２ a２２

＝ A２

A

其中 A１＝b１ a１２b２ a２２

，A２＝a１１ b１a２１ b２

，分别是常数列向量 b来替代系数矩阵 A的第１列

和第２列后所得到的矩阵。

类似地，在三元线性方程组

a１１ x１＋ a１２ x２＋ a１３ x３＝ b１a２１ x１＋ a２２ x２＋ a２３ x３＝ b２a３１ x１＋ a３２ x２＋ a３３ x３＝ b３

的求解中可引出三阶行列式，其定义如下

a１１ a１２ a１３a２１ a２２ a２３a３１ a３２ a３３

＝ a１１ a２２ a３３＋ a１２ a２３ a３１＋ a１３ a２１ a３２－ a１１ a２３ a３２－ a１２ a２１ a３３－ a１３ a２２ a３１

二阶、三阶行列式也可用下述对角线法则记忆：

其中主对角线以及平行于主对角线上元素的乘积冠以正号，副对角线以及平行于副对角线上元素的乘积冠以负号。

·４１· 实用线性代数

由于三阶行列式还可以写成如下形式

a１１ a１２ a１３a２１ a２２ a２３a３１ a３２ a３３

＝ a１１（－１）１＋１a２２ a２３a３２ a３３

＋ a１２（－１）１＋２a２１ a２３a３１ a３３

＋ a１３（－１）１＋３a２１ a２２a３１ a３２

上述等式的右端的三项是左端三阶行列式中第一行的三元素 a１ j （ j ＝１，２，３）分别乘以一个二阶行列式，而所乘的二阶行列式是划去该元素所在的行与列后，由其余的元素组成，并且每一项的前面都乘以（－１）１＋ j ，１和 j恰好是元素 a１ j 的行标和列标。容易验证这一情形对于二阶行列式也适用，即

a１１ a１２a２１ a２２

＝ a１１（－１）１＋１ a２２＋ a１２（－１）１＋２ a２１

按照这一规律可以用三阶行列式定义四阶行列式，依此类推即可给出 n阶方阵的 n 阶行列式的定义。

1畅2畅2 　 n阶行列式的定义

定义 1畅8 　设 A是 n阶方阵，从 A中删去元素 a ij所在的第 i 行，第 j 列后所得到的（n －１）阶方阵的行列式称为 A中元素 a i j的余子式，记作 Mi j ，称 Aij ＝（－１） i＋ jM i j 为元素

ai j的代数余子式。

例如３阶矩阵 A ＝

a１１ a１２ a１３a２１ a２２ a２３a３１ a３２ a３３

中元素 a２３的余子式为：M２３＝a１１ a１２a３１ a３２

，而它的

代数余子式为 A２３＝（－１）２＋３a１１ a１２a３１ a３２

＝－a１１ a１２a３１ a３２

定义 1畅9 　 n阶方阵 A＝

a１１ a１２ … a１na２１ a２２ … a２n 筹 an１ an２ … ann

的行列式 A 是按如下规则确定的一个数：

当 n ＝１时，一阶方阵 A ＝（a１１）的行列式定义为数 a１１，即 A ＝ a１１，一般地，对 n ＝２，３，… ，用以下递归公式定义 n阶行列式

A ＝ a１１ A１１＋ a１２ A１２＋ … ＋ a１ nA１ n ＝ ∑n

j ＝１a１ jA１ j

公式 A ＝ ∑n

j ＝１a１ jA１ j 也称为行列式 A 按第一行的展开式。

根据二阶、三阶行列式的计算公式，可以一般地指出：n阶行列式是 n ！个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式既不同行又不同列的 n个元素之乘积。

·５１·第１章　矩阵与行列式

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注意：四阶及其以上的行列式没有对角线法则。

【例 1畅18】　计算三阶行列式 A ＝１２－４

－２２１－３４－２

。

【解 1】　按对角线法则，有

A ＝１ × ２ × （－２）＋２ × １ × （－３）＋（－４） × （－２） × ４　－（－４） × ２ × （－３）－１ × １ × ４－２ × （－２） × （－２）＝－１４

【解 2】　将行列式按第１行展开，有

A ＝１２－４

－２２１－３４－２

＝１ × （－１）１＋１２１４－２

＋２ × （－１）１＋２－２１－３－２

＋（－４） × （－１）１＋３－２２－３４

＝（－４－４）－２（４＋３）－４（－８＋６）＝－１４

1畅2畅3 　几种特殊的行列式及其值

１畅主对角形行列式

A ＝

a１１０ … ０

０ a２２ … ０

筹００ … ann

＝ a１１ a２２ … ann

【证】　由 n阶行列式的定义，得

A ＝

a１１０ … ０

０ a２２ … ０

筹００ … ann

＝（－１）１＋１ a１１

a２２０ … ０

０ a３３ … ０

筹００ … ann

＝ a１１（－１）１＋１ a２２a３３ … ０

筹０ … ann

·６１· 实用线性代数

＝ …＝ a１１ a２２ … ann （主对角线上 n个元素的乘积）

２畅下三角形行列式

A ＝

a１１０ … ０

a２１ a２２ … ０


＝ a１１ a２２ … ann

　　【证】　由 n阶行列式的定义

A ＝

a１１０ … ０

a２１ a２２ … ０


＝ a１１（－１）１＋１

a２２０ … ０

a３２ a３３ … ０

筹 an２ an３ … ann

＝ a１１ a２２（－１）１＋１

a３３０ … ０

a４３ a４４ … ０

筹 an３ an４ … ann

＝ …＝ a１１ a２２ … ann

３畅副对角形行列式

A ＝

０ … ０ a１ n０ … a２（ n－１）０

筹００an１ … ００

＝（－１）n（n－１）

２ a１ na２（ n－１） … an１

1畅2畅4 　 n阶行列式的性质

利用 n阶行列式的定义，可将 n阶行列式表示为第一行各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，这个过程依次进行下去，直到求出行列式的值。但是当行列式的阶数较高时，计算量是非常大的，为简化行列式的计算，我们将讨论行列式的性质。由于这些性质的证明几乎无例外地都可通过对行列式的阶数 n用数学归纳法来完成，故不再一一写出其证明过程。

·７１·第１章　矩阵与行列式

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１畅转置行列式

把一个 n阶行列式 A ＝

a１１ a１２ … a１ na２１ a２２ … a２ n 筹 an１ an２ … ann

的行依次变为相应的列，得到一个新

的行列式，恰好是方阵 A 的转置矩阵 AT 的行列式，记作（ A ）T ＝Δ

AT ＝

a１１ a２１ … an１a１２ a２２ … an２筹 a１ n a２ n … ann

称行列式（ A ）T 或 AT 为行列式 A 的转置行列式。一般地，有

定义 1畅10 　把一个 n阶行列式 D ＝


的行依次变为相应的列，得

到一个新的行列式，记作 DT ＝

a１１ a２１ … an１a１２ a２２ … an２筹 a１ n a２ n … ann

，称行列式 DT 为行列式 D的转置行

列式。

例如　若 D ＝－１２３４０５２－３１

，则 DT ＝－１４２２０－３３５１

２畅行列式的性质

性质 1畅1 　行列式与它的转置行列式相等，即（ A ）T ＝ A 。性质１畅１表明，行列式中的行与列具有相同的地位，有关行成立的性质对列也成立，

反之亦然。性质 1畅2 　 A的行列式等于它的任意一行元素与其代数余子式的乘积之和，即

A ＝ ai１ Ai１＋ ai２ Ai２＋ … ＋ ainA in ＝ ∑n

j ＝１aij A i j 　（ i ＝１，２， … ， n）

容易验证： A ＝a１１ a１２a２１ a２２

＝ a１１ A１１＋ a１２ A１２＝ a２１ A２１＋ a２２ A２２

·８１· 实用线性代数

性质 1畅3 　互换行列式的两行，行列式的值改变符号。容易验证：

a１１ a１２a２１ a２２

＝－a２１ a２２a１１ a１２

特别地，若行列式的某两行元素完全相同，则此行列式等于零。

性质 1畅4 　行列式的某一行中所有元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k乘以此行列式。

容易验证：a１１ a１２ka２１ ka２２

＝ ka１１ a１２a２１ a２２

特别地，若行列式中有一行的所有元素全为零，则此行列式的值为零。推论 1畅1 　如果行列式中有两行对应元素成比例，则此行列式为零。性质 1畅5 　若行列式某一行的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列

式的和。这两个行列式的这一行的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行的元素与原行列式相同。

例如，a１１ a１２

a２１＋ a′２１ a２２＋ a′２２＝a１１ a１２a２１ a２２

＋a１１ a１２a′２１ a′２２

性质 1畅6 　把行列式的某一行的各元素乘以同一数后加到另一行对应元素上去，行列式的值不变。

例如，a１１＋ ka２１ a１２＋ ka２２a２１ a２２

＝a１１ a１２a２１ a２２

性质 1畅7 　行列式某一行的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

ai１ Aj１＋ ai２ Aj２＋ … ＋ ainA jn ＝０　（ i ≠ j）性质 1畅8（行列式乘法定理）　方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积。即若 A ，B

都是 n阶方阵，则有 AB ＝ A B 。

1畅2畅5 　 n阶行列式的计算

在行列式的计算中，通常用 ri 吃 r j （ ci 吃 cj ）表示第 i行（列）与第 j 行（列）交换；用

ri × k（ ci × k）表示用数 k乘以第 i行（列）元素；用 ri ＋ kr j （ ci ＋ kcj ）表示第 j行（列）的 k倍加到第 i行（列）的对应元素上去。

【例 1畅19】　计算行列式 D ＝３１３０１１２１０２２４１９９

。

·９１·第１章　矩阵与行列式

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【解】　因为可将原行列式变形为 D ＝３１３００＋１１２１００＋２２４２００－１

，所以利用性质１畅５得

D ＝３１３００１２１００２４２００

＋３１１１２２２４－１

＝０＋３１１１２２２４－１

＝－１２２３１１２４－１

r２－３ r１r３－２ r１

－１２２０－５－５００－５

＝－２５

　　【例 1畅20】　计算行列式 A ＝

－１１１１１－１１１１１－１１１１１－１

。

【解 1】　利用性质化行列式为下三角形，得

A ＝

c２＋ c

１c３＋ c

１

c４＋ c

１

－１０００

１０２２１２０２１２２０

＝c２吃 c

４

－

－１０００

１２２０１２０２１０２２

＝c３＋（－１） c

２

－

－１０００１２００１２－２２

１０２２

＝c４＋ c

３

－

－１０００１２００１２－２０

１０２４

＝－１６

【解 2】　这个行列式的特点是各行（或列）元素之和相等，把第二、三、四行都加到第一行，得

A

r １＋ r２r１＋ r３r１＋ r４

２２２２１－１１１

１１－１１１１１－１

＝２

１１１１１－１１１

１１－１１１１１－１

c２＋（－１） c１c３＋（－１） c１c４＋（－１） c１

２

１０００１－２００１０－２０１００－２

＝－１６

【解 3】　利用行列式性质，将行列式的某一行化成仅有一个非零元素，再对该行列式按行展开，即

·０２· 实用线性代数

A

c２＋ c１c３＋ c１c４＋ c１

－１０００１０２２１２０２１２２０

按第１行展开－１ × （－１）１＋１

０２２

２０２２２０

c３＋（－１） c２－

０２０

２０２２２－２

按第１行展开－２ × （－１）１＋２２２

２－２＝２ × （－４－４）＝－１６

【例 1畅21】　计算三阶范德蒙德（Vandermonde）行列式 D ＝

１１１x１ x２ x３x２１ x２２ x２３

【解】　先将 D的第２行乘以（－ x１）加到第３行，再将第１行乘以（－ x１）加到第２行，得

D ＝

１１１x１ x２ x３０ x２２－ x１ x２ x２３－ x１ x３

＝

１１１０ x２－ x１ x３－ x１０ x２２－ x１ x２ x２３－ x１ x３

把上述行列式按第１列展开，得

D ＝

１１１０ x２－ x１ x３－ x１０ x２２－ x１ x２ x２３－ x１ x３

＝x２－ x１ x３－ x１x２２－ x１ x２ x２３－ x１ x３

＝（ x２－ x１）（ x３－ x１）１１x２ x３

＝（ x２－ x１）（ x３－ x１）（ x３－ x２）＝ ∏３ ≥ i ＞ j ≥ １

（ x i － x j ）

一般地，利用数学归纳法可得 n阶范德蒙德（Vandermonde）行列式

Dn ＝

１１ … １x１ x２ … xnx２１ x２２ … x２n 筹

xn－１１ xn－１２ … xn－１n

＝ ∏n ≥ i ＞ j ≥ １

（ xi － x j ）

【例 1畅22】　计算行列式 D ＝

１１１１２３４５

２２３２４２５２

２３３３４３５３

。

【解】　因为此行列式是一个范德蒙行列式，所以D ＝（３－２）（４－２）（５－２）（４－３）（５－３）（５－４）＝１２

·１２·第１章　矩阵与行列式

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【例 1畅23】　计算行列式 Dn ＝

x －１００ … ０００ x －１０ … ００筹００００ … x －１an an －１ an －２ an －３ … a２ a１＋ x

。

【解 1】　将原行列式按第 n行展开，得

Dn ＝ an × （－１）n＋１

－１００ … ００x －１０ … ００

筹０００ … x －１

＋ an－１ × （－１）n＋２

x ００ … ０００－１０ … ００筹０００ … x －１

＋ …

＋（a１＋ x） × （－１）n＋ n

x －１０ … ０００ x －１ … ００筹０００ … ０ x

＝ an ＋ an－１ x ＋ an－２ x２＋ … ＋ a２ xn－２＋（a１＋ x） xn－１

＝ an ＋ an－１ x ＋ an－２ x２＋ … ＋ a２ xn－２＋ a１ xn－１＋ xn

【解 2】　将已知行列式按第１列展开得

Dn ＝ xDn－１＋（－１）n＋１ an

－１０ … ００x －１ … ００筹００ … x －１

＝ xDn－１＋ an

由此递推，得

Dn ＝ xDn－１＋ an ＝ an ＋ x（an－１＋ xDn－２）＝ an ＋ xan－１＋ x２ Dn－２

＝ …

＝ an ＋ an－１ x ＋ an－２ x２＋ … ＋ a２ xn－２＋ D１ xn－１

＝ an ＋ an－１ x ＋ an－２ x２＋ … ＋ a２ xn－２＋ a１＋ x x n－１

＝ an ＋ an－１ x ＋ an－２ x２＋ … ＋ a２ xn－２＋ a１ xn－１＋ xn

　　思考题

１畅矩阵与行列式有什么区别和联系？

·２２· 实用线性代数

２畅数乘行列式与数乘矩阵有何不同？３畅任意奇数阶反对称数字行列式的值是否一定为零？

１畅３　可逆矩阵

在实数的运算中，对任意非零数 a ，均存在唯一的实数 b ，使得 ab ＝ ba ＝１，这里

b ＝１a ＝ a－１，受此启发读者自然会想到在矩阵的运算中，是否也有类似的结论呢？即对

于 n阶方阵 A ，是否存在着某个 n阶方阵 B ，使得 AB ＝ BA ＝ E ，其中的 n阶单位矩阵 E类似于数中的１，这就引出了可逆矩阵的概念。

1畅3畅1 　可逆矩阵的概念

定义 1畅11 　设 A是 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B ，使得

AB ＝ BA ＝ E则称方阵 A是可逆的，并称矩阵 B为 A的逆矩阵，简称 A的逆。

显然定义中矩阵 A与 B的地位是相同的，故也可说矩阵 B可逆，而 A是 B的逆矩阵。如果矩阵 A是可逆的，那么 A的逆矩阵由 A唯一确定。

事实上，设 B和 C都是 A的逆矩阵，则有

BA ＝ AB ＝ E 　　 CA ＝ AC ＝ E那么，由上式以及矩阵乘法结合律，得

B ＝ BE ＝ B（AC）＝（BA）C ＝ EC ＝ C由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，故可将可逆矩阵 A的逆矩阵记作 A －１，即有

AA－１＝ A－１ A ＝ E称不存在逆矩阵的方阵为不可逆矩阵。不可逆矩阵也称为奇异矩阵，而可逆矩阵也称为

非奇异矩阵。

1畅3畅2 　可逆矩阵的性质

关于可逆矩阵，有以下几个简单性质。

（１）可逆矩阵 A的逆矩阵 A －１也是可逆的，并且有

（A－１）－１＝ A这由式子 AA－１＝ A－１ A ＝ E可以直接推出。

（２）两个可逆矩阵 A和 B的乘积 AB也是可逆的，并且有

（AB）－１＝ B－１ A－１

这是因为

（AB） · （B－１ A－１）＝（B－１ A－１） · （AB）＝ E这个性质可推广到任意有限个可逆矩阵的乘积，即 m个可逆矩阵 A１， A２， … ， Am

·３２·第１章　矩阵与行列式

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的乘积 A１ A２ … Am 也可逆，并且有

（A１ A２ … Am）－１＝ A－１m A－１

m－１ … A－１１

特别地，如果 A是一个 n阶可逆矩阵，则对任意正整数 k ， Ak 也可逆，且有（Ak）－１＝（A－１）k ＝ A－ k

这样当 A可逆， λ ， μ为整数时，有Aλ · Aμ ＝ Aλ＋ μ 　　　（Aλ）μ ＝ Aλμ

（３）可逆矩阵 A的转置矩阵 AT 也可逆，并且有（AT ）－１＝（A－１）T

这是因为求等式 AA－１＝ A－１ A ＝ E中三个相等矩阵的转置，得（A－１）T · AT ＝（AT ） · （A－１）T ＝ ET ＝ E

（４）非零常数 λ与可逆矩阵 A的乘积 λA也可逆，并且有

（λA）－１＝１λA

－１

这是因为

１λ A

－１ · （λA）＝（λA） · １λ A

－１＝ E

【例 1畅24】　因为 E · E ＝ E ，所以 n阶单位矩阵 E是可逆矩阵，并且其逆矩阵就是

它自身，即 E－１＝ E 。【例 1畅25】　因为对任何 n阶方阵 B ，均有

B · O ＝ O· B ＝ O所以 n阶零矩阵 O是不可逆矩阵。

【例 1畅26】　对于对角线元素全不为零的 n阶对角阵 Λ ＝

a１０ … ０

０ a２ … ０

筹００ … an

，因为

依据矩阵的乘法易知

a１０ … ０

０ a２ … ０

筹００ … an

１a１０ … ０

０１a２ … ０

筹

００ … １an

＝

１０ … ００１ … ０

筹００ … １

＝ E

·４２· 实用线性代数

１a１０ … ０

０１a２ … ０

筹

００ … １an

a１０ … ０

０ a２ … ０

筹００ … an

＝

１０ … ００１ … ０筹００ … １

＝ E

所以对角线元素全不为零的 n阶对角阵 Λ ＝

a１０ … ０

０ a２ … ０

筹００ … an

可逆，并且其逆矩阵仍为

对角阵

Λ－１＝

１a１０ … ０

０１a２ … ０

筹

００ … １an

除了上述几例特殊情形外，下面讨论具备什么样条件的矩阵才可逆？如果 A是可逆矩阵，又如何去求 A的逆矩阵？为此先引入伴随矩阵的概念。

定义 1畅12 　设 n阶矩阵 A ＝


，Ai j是行列式 A 中元素 a i j的代数

余子式，将这 n２个数 Ai j （ i ， j ＝１，２， … ， n）排成一个 n阶方阵，记作 A倡如下：

A倡＝

A１１ A２１ … An１A１２ A２２ … An２筹 A１ n A ２ n … Ann

称矩阵 A倡为 A的伴随矩阵。

由矩阵乘法不难得知

A · A倡＝


·

A１１ A２１ … An１A１２ A２２ … An２筹 A１ n A ２ n … Ann

·５２·第１章　矩阵与行列式

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＝

A ０ … ００ A … ０筹００ … A

＝ A E

同理可得

A倡 A ＝ A E从而

AA 倡＝ A倡 A ＝ A E

1畅3畅3 　矩阵可逆的充要条件

定理 1畅1 　 n阶矩阵 A ＝

a１１ a１２ … a１ na２１ a２２ … a２ n 筹

an１ an２ … ann

可逆的充分必要条件是 A ≠ ０，且当

A可逆时，有

A－１＝１A A

倡

其中， A倡为 A的伴随矩阵。

【证】　必要性，因为 A可逆，所以 A－１存在，并且满足

AA－１＝ E两边取行列式得

A · A－１＝ A · A－１＝ E ＝１故 A ≠ ０。

充分性，由于AA 倡＝ A倡 A ＝ A E

而 A ≠ ０，所以

A １A A

倡＝１A A

倡 A ＝ E

根据可逆矩阵的定义可知， A是可逆矩阵，并且有

A－１＝１A A

倡

定理１畅１不仅给出了判断矩阵可逆的充要条件，而且给出了一个求逆矩阵的方法。由此定理还可得下述推论。

推论 1畅2 　若 A 、B都是 n阶矩阵，且 AB ＝ E ，则 BA ＝ E ，即 A 、B都可逆，且 A 、B互为逆矩阵。

【例 1畅27】　设矩阵 A ＝１４２３

，判断 A是否可逆，若可逆，求出 A的逆畅

·６２· 实用线性代数

【解】　因为 A ＝１４２３

＝－５ ≠ ０，所以矩阵 A可逆，

又 A倡＝３－４

－２１，所以　 A－１＝－１

５３－４

－２１

一般地，设 A ＝a bc d

，则当 ad － bc ≠ ０时，A可逆，且 A－１＝１ad － bc

d － b－ c a

【例 1畅28】　已知矩阵

A ＝１０００２０

００３

， B ＝２１５３

，C ＝０１２０

３３

求矩阵 X ，使 AXB ＝ C 。【解】　由例１畅２６可知 A－１

存在，且

A－１＝

１００

０１２０

００１３

而

B－１＝１B

B１１ B２１

B１２ B２２

＝１６－５

３－１－５２

＝３－１

－５２

分别利用 A－１左乘、 B－１

右乘等式 AXB ＝ C两端，得 X ＝ A－１ CB－１，即

X ＝

１００

０１２０

００１３

×０１２０

３３

×３－１

－５２＝

－５２３－１

－２１

【例 1畅29】　设矩阵 A满足 A２－２A －４E ＝ O，试证：矩阵 A和 A ＋ E均可逆，并求出

它们的逆。

【证】　由 A２－２A －４E ＝ O，得A · （A －２E）＝４E

即

A · １４（A －２E）＝ E

由推论１畅２可知， A可逆，且

A－１＝１４（A －２E）

又由 A２－２A －４E ＝ O ，可得

·７２·第１章　矩阵与行列式

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A２－ E －２A －２E ＝ E即

（A ＋ E）（A －３E）＝ E由推论１畅２可知， A ＋ E可逆，且（A ＋ E）－１＝（A －３E）。

1畅3畅4 　逆矩阵的应用 ——— 克拉默法则的证明

克拉默法则不仅是利用行列式求解方程个数与未知量个数相同的线性方程组的很好

用的方法，而且还有重大的理论价值，所以下面以定理的形式给出这一法则及其证明。

定理 1畅2（克拉默法则）　设有 n个未知量 x１， x２， … ， xn ， n个方程的线性方程组a１１ x１＋ a１２ x２＋ … ＋ a１ n x n ＝ b１a２１ x１＋ a２２ x２＋ … ＋ a２ n x n ＝ b２　　　　　　　 an１ x１＋ an２ x２＋ … ＋ ann x n ＝ bn

（１畅４）

若其系数矩阵的行列式 A ≠ ０，则方程组（１畅４）有唯一解

x１＝ A１

A ， x２＝ A２

A ， … ， xn ＝ AnA

其中 n阶矩阵 A j （ j ＝１，２， … ， n）是把系数矩阵 A的第 j 列用常数向量 b ＝

b１b２

bn

代替后

所得的矩阵。

【证】　把方程组（１畅４）写成矩阵形式为

Ax ＝ b （１畅５）

其中， x ＝

x１x２xn

， b ＝

b１b２bn

。

因 A ≠ ０，故 A－１存在，令 x０＝ A－１ b ，有

Ax０＝ A（A－１ b）＝（AA－１）b ＝ b这说明 x０＝ A－１ b为方程（１畅４）的解。

又设 x１是方程组（１畅４）的另一解，则 x１满足方程式（１畅５），用 A－１左乘式 Ax１＝ b的

两端，得 x１＝ A－１ b ，从而有：x１＝ x０由 A－１

的唯一性，可知式（１畅５）也即方程组（１畅４）有唯一解。

另外，由 A－１＝１A A

倡和 x０＝ A－１ b ，得

·８２· 实用线性代数

x０＝ A－１

b１b２

bn

＝１A

A１１ A２１ … An１A１２ A２２ … An２筹

A１ n A２ n … Ann

b１b２

bn

＝１A

b１ A１１＋ b２ A２１＋ … ＋ bn A n１b１ A１２＋ b２ A２２＋ … ＋ bn A n２　　　　　　　 b１ A１ n ＋ b２ A２ n ＋ … ＋ bn A nn

（１畅６）

又由行列式的展开性质可得：

Aj ＝

a１１ … a１ j －１ b１ a１ j ＋１ … a１ n 筹筹 aj －１１ … aj －１ j －１ bj －１ aj －１ j ＋１ … aj －１ naj１ … aj j －１ bj a j j ＋１ … ajnaj ＋１１ … aj ＋１ j －１ bj ＋１ aj ＋１ j ＋１ … aj ＋１ n 筹筹 an１ … anj －１ bn anj ＋１ … ann

＝ b１ A１ j ＋ b２ A２ j ＋ … ＋ bn A nj 　　（ j ＝１，２， … ， n）将之与式（１畅６）的第 j个分量比较，即得

x j ＝ AjA 　　（ j ＝１，２， … ， n）

该定理的逆否定理如下。

定理 1畅3 　若线性方程组（１畅４）无解或有无穷多个解，则它的系数行列式必为零。

【例 1畅30】　求解线性方程组

x１＋ x２＋２ x３＝１

２ x１－ x２＋２ x３＝－４

４ x１＋ x２＋４ x３＝－２

。

【解 1】　利用克拉默法则，因为方程组的系数行列式 D ＝１１２２－１２

４１４

＝６，又

D１＝１１２

－４－１２－２１４

＝－６， D２＝１１２２－４２４－２４

＝１２， D３＝１１１２－１－４４１－２

＝０

所以 x１＝－１， x２＝２， x３＝０即为所求。【解 2】　先将方程组写成矩阵形式为

Ax ＝ b其中

·９２·第１章　矩阵与行列式

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A ＝１１２

２－１２４１４

， x ＝x１x２x３

， b ＝１

－４－２

由于 A ＝

１１２

２－１２４１４

＝６ ≠ ０，所以 A可逆，且

A－１＝

－１－１３

２３

０－２３

１３

１１２－１

２此时所求方程组的解为

x１x２x３

＝ A－１ b ＝

－１－１３

２３

０－２３

１３

１１２－１

２

１

－４－２

＝

－１

２０

即 x１＝－１， x２＝２， x３＝０。

线性方程组（１畅４）右端的常数项 b１， b２， … ， bn 不全为零时，线性方程组（１畅４）称为非齐次线性方程组，当 b１， b２， … ， bn 全为零时，线性方程组称为齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组

a１１ x１＋ a１２ x２＋ … ＋ a１ n x n ＝０

a２１ x１＋ a２２ x２＋ … ＋ a２ n x n ＝０

　　　　　　 an１ x１＋ an２ x２＋ … ＋ ann x n ＝０

（１畅７）

显然 x１＝ x２＝ … ＝ xn ＝０一定是它的解，称其为该齐次方程组（１畅７）的零解。如果一组不全为零的数是齐次线性方程组（１畅７）的解，则称之为齐次线性方程组（１畅７）的非零解。齐

次线性方程组（１畅７）一定有解，但不一定有非零解。将克拉默法则应用于齐次线性方程组（１畅７），可得如下定理。定理 1畅4 　若齐次线性方程组（１畅７）的系数行列式 A ≠ ０，则齐次线性方程组（１畅７）

只有零解，即没有非零解。其逆否定理如下。定理 1畅5 　若齐次线性方程组（１畅７）有非零解，则它的系数行列式必为零。

【例 1畅31】　确定 k的值，使齐次线性方程组

·０３· 实用线性代数

x１＋２ x２－ x３＝０

２ x１＋（３＋ k） x２－３ x３＝０

（ k －１） x１＋４ x２－３ x３＝０有非零解。

【解】　若该齐次方程组有非零解，则其系数行列式为零，即１２－１２３＋ k －３k －１４－３

＝０

而

１２－１－１－３＋ k ０k －３１－ k ０

＝（－１）（ k －１）－（ k －３）２＝（ k －２）（ k －５）

故可解得 k ＝２或 k ＝５。不难验证，当 k ＝２或 k ＝５时，该方程组有非零解。

　　思考题

１畅可逆矩阵的伴随矩阵是否一定可逆？２畅可逆矩阵有哪些重要性质？３畅克拉默法则能解哪一类线性方程组？

１畅４　分块矩阵

在理论研究与一些实际问题的解决中，经常会遇到阶数很高或结构较特殊的矩阵，为便于分析和计算，在本节中，将向读者介绍一种进行矩阵运算时常用的技巧 ———矩阵的分块法。这种技巧就是根据矩阵的特点和实际问题的需要，用“化整为零”的手法，使大矩阵的运算化成许多小矩阵的运算。

1畅4畅1 　分块矩阵的概念

一般地，将矩阵 A在行的方向用水平线分成 s块，在列的方向上用铅垂线分成 t块，于是矩阵 A被分成 s × t个小矩阵，每个小矩阵称为 A的子块，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵，将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。分块矩阵与前面定义的一般矩阵的区别是其元素不再是数而是矩阵。由于不同的需要，同一个矩阵可以用不同的分块方法，构成不同的分块矩阵。下面举例说明这种方法。

【例 1畅32】　设矩阵 A ＝

a１１ a１２ a１３ a１４ a１５a２１ a２２ a２３ a２４ a２５a３１ a３２ a３３ a３４ a３５a４１ a４２ a４３ a４４ a４５

，以下几种分块方法构成不同的

·１３·第１章　矩阵与行列式

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分块矩阵。

（１） A ＝


＝A１１ A１２ A１３

A２１ A２２ A２３

其中子块

A１１＝

a１１a２１a３１

， A１２＝

a１２ a１３a２２ a２３a３２ a３３

， A１３＝

a１４ a１５a２４ a２５a３４ a３５

A２１＝（a４１）， A２２＝（a４２　 a４３）， A２３＝（a４４　 a４５）

（２） A ＝


＝ A１　 A２　 A３　 A４　 A５

其中子块 Aj ＝ a１ j 　 a２ j 　 a３ j 　 a４ j T 　（ j ＝１，２，３，４，５）。

（３） A ＝


＝

A１A２A３A４

其中子块 A i ＝（ai１　 ai２　 ai３　 ai４　 ai５）　（ i ＝１，２，３，４）。类似地，还有其他分法。根据研究问题的实际背景或需要，对矩阵进行分块，可以

使矩阵的结构变得更清晰，便于矩阵的运算。矩阵分块法中比较常用的是将一个矩阵按行或按列分块。显然按行分块得分块列矩阵，按列分块得分块行矩阵。

1畅4畅2 　分块矩阵的运算

引入分块矩阵的意义在于将行数、列数较高的矩阵的运算化为若干个子矩阵的运

算，这样可使许多问题化繁为简，对有些问题还可达到事半功倍的效果。对分块矩阵作和、差、积、转置、求逆等运算，其运算规则与普通矩阵的运算规则相类似。首先要有适当的分块，然后在运算时分两步，先将各子块当作一个数来计算，然后再将子块作为矩阵来进行运算。

１畅分块矩阵的加法

设 A和 B都是 m × n矩阵，且采用相同的分块方法，得到分块矩阵

·２３· 实用线性代数

Amn ＝

A１１ A１２ … A１ tA２１ A２２ … A２ t 筹

A s２ A s２ … A st

　　　 Bmn ＝

B１１ B１２ … B１ t

B２１ B２２ … B２ t

筹

Bs２ Bs２ … Bst式中子块 A i j 、 Bi j （ i ＝１，２， … ， s ； j ＝１，２， … ， t）也是同型矩阵，则规定 A与 B的和也是 s × t分块矩阵，且有

A ＋ B ＝

A１１＋ B１１ A１２＋ B１２ … A１ t ＋ B１ t

A２１＋ B２１ A２２＋ B２２ … A２ t ＋ B２ t

筹 A s２＋ Bs１ A s２＋ Bs２ … A st ＋ Bst

式中， Ai j ＋ Bi j应继续按普通矩阵加法求和。

２畅数与分块矩阵乘法

数 k乘分块矩阵 A ，只需用数 k乘 A的每一个子块。设

Amn ＝

A１１ A１２ … A１ tA２１ A２２ … A２ t 筹 A s２ A s２ … A s t

k为常数，则规定

kA ＝

k A１１ k A１２ … k A１ tk A２１ k A２２ … k A２ t 筹 k A s２ k A s２ … k A s t

而数乘子块则按普通矩阵的数乘运算进行。

３畅分块矩阵的乘法

设 A ＝（ai j ）是一个 m × n矩阵； B ＝（ bi j ）是一个 n × k矩阵。把 A和 B如下分块，使

A的列的分法与 B的行的分法一致，即

Am× n ＝

A１１ A１２ … A１ sA２１ A２２ … A２ s 筹 A r１ A r２ … A r s

m１

m２

mr

n１　 n２　 … 　 ns 　

·３３·第１章　矩阵与行列式

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Bn× k ＝

B１１ B１２ … B１ t

B２１ B２２ … B２ t

筹

Bs１ Bs２ … Bs t

n１n２

ns

k１　 k２　 … 　 kt 　

其中，矩阵右面的数 m１，m２， … ，mr 和 n１， n２， … ， ns 分别表示它们左边小矩阵的行数，而矩阵上面的数 n１， n２， … ， ns 和 k１， k２， … ， kt 分别表示它们下面的小矩阵的列数，因

而有

m１＋ m２＋ … ＋ mr ＝ mn１＋ n２＋ … ＋ ns ＝ nk１＋ k２＋ … ＋ kt ＝ k

则规定

AB ＝

C１１ C１２ … C１ tC２１ C２２ … C２ t 筹 Cr１ Cr２ … Cr t

k１　　 k２　　　 ktm１

m２

mr

其中，Ci j ＝ ∑s

k ＝１A ik B k j （ i ＝１，２， … ， r ； j ＝１，２， … ， t），子块 A i１， A i２， … ， A is （ i ＝１，

２， … ， r）的列数应分别等于 B１ j ， B２ j ， … ， Bsj （ j ＝１，２， … ， t）的行数，此处 A ik B kj应按普通矩阵乘法规则求积。

在进行矩阵的分块乘法时，必须注意：（１）分块矩阵将子块视为一般元素的乘法可行性，即左矩阵的列组数等于右矩阵的

行组数。（２）子块与子块乘法的可行性，即左矩阵的每一列组所含列数等于右矩阵的相应的

行组所含行数。

４畅分块矩阵的转置

设分块矩阵 A ＝

A１１ A１２ … A１ sA２１ A２２ … A２ s 筹 A r１ A r２ … A rs

，则规定 AT ＝

AT１１ AT２１ … ATr１AT１２ AT２２ … ATr２筹

AT１ s A T２ s … ATrs

就是分块

矩阵 A的转置，不仅要把分块矩阵 A的每一“行”变为同序号的“列” ，还要把 A的每一个子块 A ij取转置。

·４３· 实用线性代数

【例 1畅33】　设 A ＝

１０００００１０００００１０００００２１０００３－１

， B ＝

１０３２－１２０１１０４１

－１－１２０１０１０

，求 AB 。

【解】　依矩阵 A的特点，可把 A分块为

A ＝

１０００００１０００００１０００００２１０００３－１

＝E OO A ２２

A这样分块后， B的分块方法就不能随意进行， B的行的分法必须和 A的列的分法相一致，由于 A的列分成了两部分，第一部分３列，第二部分２列，所以 B的行也必须分成两部分，而且第一部分３行，第二部分２行，至于列的分法可任意，不妨设 B分块为

B ＝

１０３２－１２０１

１０４１－１－１２０１０１０

＝B１１ B１２

B２１ B２２

所以

AB ＝E OO A ２２

B１１ B１２

B２１ B２２

＝B１１ B１２A２２ B２１ A２２ B２２

因为

A２２ B２１＝－１－２－４－３

　　　　 A２２ B２２＝５０５０

所以

AB ＝

１０３２

－１２０１１０４１

－１－２５０－４－３５０

1畅4畅3 　分块对角矩阵

定义 1畅13 　设 n阶方阵 A的分块矩阵中，凡不在对角线上的子块都是零矩阵，而在主对角线上的子块都是方阵，则称 A为分块对角矩阵，也称为准对角方阵，记作

diag（ A１ … A r）

·５３·第１章　矩阵与行列式

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即

A ＝ diag（ A１，… ，A r）＝

A１０

A２筹

０ A r式中，各子块 A i（ i ＝１，２， … ， r）为 ni 阶方阵，且 n１＋ n２＋ … ＋ nr ＝ n 。

当分块对角矩阵对角线上各子块都是一阶方阵时，它就成了对角矩阵。因此也可以说分块对角矩阵是对角矩阵的推广。分块对角矩阵有与对角矩阵类似的运算性质。

性质 1畅9 　设 A ＝ diag（ A１，… ，A r）＝

A１０

A２筹

０ A r

，则有

A ＝ A１ A２ … A r

性质 1畅10 　设 A ＝ diag（ A１，… ，Ar ）＝

A１０

A２筹

０ Ar

，且 Ai ≠ ０（ i ＝１，２， … ，

r），则有

A－１＝

A－１１

A－１２

筹

A－１r

性质 1畅11 　设矩阵 A ＝

A１A２

筹A r

　 B ＝

B１

B２筹Br

其中 A i ， Bi（ i ＝１，２， … ， r）为同阶子方阵，则

AB ＝

A１ B１A２ B２

筹A r B r

【例 1畅34】　设矩阵 A ＝

３００００－２００００３２００１１

，求 A 及 A －１。

·６３· 实用线性代数

【解 1】　将矩阵 A分块成分块对角矩阵如下：

A ＝

３０００

０－２００００３２００１１

＝

A１ O OO A ２ OO O A ３

则

A１＝３， A２＝－２， A３＝１且

A－１１＝１

３， A－１２＝－１

２， A－１３＝

１－２－１３

由性质１畅９、１畅１０得A ＝３ × （－２） × １＝－６

A－１＝

１３　０００

０－１２００

０　０１－２０　０－１３

【解 2】　将矩阵 A分块成分块对角矩阵如下：

A ＝

３００００－２００

００３２００１１

＝A１ OO A ２

则

A１＝－６， A２＝１且

A－１１＝

１３　０

０－１２

， A－１２＝

　１－２－１　３

由性质１畅９、１畅１０得A ＝（－６） × １＝－６

A－１＝

１３　０００

０－１２００

０　０１－２０　０－１３

·７３·第１章　矩阵与行列式

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　　思考题

１畅利用分块矩阵进行矩阵乘法时，有哪些常见的分块方法？

２畅分块对角形矩阵有哪些特殊性质？

３畅分块矩阵 A ＝C BO D

可逆的充分必要条件是 C ， D都可逆，对吗？

习题一（A）练习　理解

１畅填空题。

（１）若行列式a ８２ a ＝０，（a为实数），则 a ＝。

（２）设行列式 D中，元素 a３２的余子式 M３２＝１，则其代数余子式 A３２。（３）设矩阵 A ，B ，C满足 Am × ５ · Bn × ４＝ C３ × k ，则 m ＝；n ＝。

（４）设矩阵 A ＝４０００２０００３

，则逆矩阵 A－１＝。

（５）若 A 、B都是３阶方阵，且 A ＝２， B ＝３E ，则 ATB ＝。

（６）设矩阵 A ＝３５－１－２

，则 A的伴随矩阵 A 倡。

２畅计算。

（１）１２５４－５９６

＋３５２８７４８

　　（２）３　２１－３５

－６４０３７

＋２１００１０

３畅计算。

（１） a１　 a２　 a３a１a２a３

　　（２）xyzx 　 y 　 z

（３） x y z１０１０２４１４１

xyz

４畅设 A ＝００１０１０１００

， B ＝１２２３１－１

，C ＝３１０１２１

，求：

（１）２A ＋ BC 　　（２）CT BT 　　（３） A －４BC　　（４）（A －４BC）T

５畅设 A ＝１２１２２１２１１３４１

， B ＝４１２４３０３００３０３

。

（１）求２A ＋ B 。

·８３· 实用线性代数

（２）求３A ＋２B 。（３）若 X满足２A ＋ X ＝ B ，求 X 。（４）若 Y满足（２A － Y）＋２（B － Y）＝０，求 Y 。

６畅设矩阵 A ＝１３５２

－１０， B ＝

１１３００－１

，求３ A － B 。

７畅计算。

（１）２１

－３－２３－１

－４５　　（２）

４３２５

３－２４５１－３

（３）１０１２１－３

６２１０４０３－６４

８畅设矩阵 A ＝１２－２２－１ λ３１－１

，且方程组 Ax ＝ 0有非零解，求 λ的值。

９畅计算下列行列式的值。

（１） D ＝－１２２２－１２２２－１

　　（２） D ＝１１１２３７４９４９

　　（３） D ＝

３１１１１３１１１１３１１１１３

（４） D ＝

１－５２２－１７－３４２－９５７１－６４２

　（５） D ＝

１１０５０２２６３３０７０４０８

　（６） D ＝

３００２０３２００２３０２００３

１０畅已知矩阵 A ＝４５７

４２７５４３７２１３２７４４３６２１

，求行列式 AT 的值。

１１畅用公式 A－１＝１A A

倡求下列可逆矩阵的逆矩阵：

（１） A ＝a bc d

，其中 ad － bc ≠ ０　（２） B ＝０２－１１１２

－１－１－１　（３） C＝

１１１１２３１１２

习题一（B）思考　提高

１畅选择题

（１）k ２１２ k ０１－１１

＝０的充分条件是（　　）。

·９３·第１章　矩阵与行列式

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A畅 k ＝２　　　　 B ．k ＝０　　　　　 C ．k ＝－２或 k ＝３　　　 D ．k ＝－３

（２）设矩阵 A ＝１０λ １

，k为自然数，则 Ak ＝（　　）。

A畅１０λk １

B畅１０λ １

C ．１０λk １

D ．１０kλ １

（３）设kx ＋　　 z ＝０２ x ＋ ky ＋ z ＝０kx －２ y ＋ z ＝０

仅有零解．则下列答案中不正确的是（　　）。

A ．k ＝０ B ．k ＝－１ C ．k ＝２ D ．k ＝－２

（４）设线性方程组bx － ay 　　＝－２ad　－２ cy ＋３bz ＝ bc　　 cx ＋ az ＝０

，则（　　）。

A ．当 a ，b ，c取任意实数时，方程组均有解B ．当 a ＝０时，方程组无解C ．当 c ＝０时，方程组无解D ．当 b ＝０时，方程组无解

（５）若

a b c d０ a１１ a１２ a１３０ a２１ a２２ a２３０ a３１ a３２ a３３

＝１，则

０ a１１ a１２ a１３０ a２１ a２２ a２３０ a３１ a３２ a３３a b c d

＝，a１１ a２１ a３１a１２ a２２ a３２a１３ a２３ a３３

＝。

A ．１；１a 　　　　　B ．－１；１a 　　　 C ．－１；a 　　　　 D ．１；a

（６）设 A ，B均为 n阶矩阵，则下列结论正确的是（　　）。A ．AB ＝０骋 A ＝０，且 B ＝０． B畅 A ＝０骋 A ＝０C ． AB ＝０骋 A ＝０或 B ＝０ D ．A ＝ E 骋 A ＝１

（７）设 n维行向量 α ＝１２，０，… ，０，１２，矩阵 A ＝ E － αT α ，B ＝ E ＋ αT α 则 AB ＝

（　　）。

A ．０　　　　　 B ．－ E C ．E －１２ αT α D ．E ＋ αT α

（８）设 A ，B是 n阶矩阵，满足 AB ＝０，则必有（　　）A ． A ＝０或 B ＝０　 B ．A ＋ B ＝０　 C ． A ＝０或 B ＝０　 D ． A ＋ B ＝０

（９）设 A是 n阶对称矩阵，B是 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中是反对称矩阵的是（　　）。

A ． AB － BA B ．AB ＋ BA C ．（AB）２ D ．BAB

（１０）设a１ b１ c１a２ b２ c２a３ b３ c３

＝ D ，则a１－ b１ b１－ c１ c１－ a１a２－ b２ b２－ c２ c２－ a２a３－ b３ b３－ c３ c３－ a３

＝（　　）。

·０４· 实用线性代数

A ．０　　　　　　　　B ．D C ．－ D D ．２D

２畅问 λ ， μ取何值时，齐次线性方程组

λx１＋ x２＋ x３＝０

x１＋ μx２＋ x３＝０

x１＋２μx２＋ x３＝０

有非零解？

３畅设 A ＝

３４４－３

O

O２０２２

，求 A８。

４畅已知 M ＝

１０００３－１００１０－１００１－３１

，求 M２。

５畅证明下列等式：

（１）１１１２a a ＋ b ２ba２ ab b２

＝（b － a）３　　（２）

１＋ a １１１１１－ a １１１１１＋ b １１１１１－ b

＝ a２ b２

６畅已知

a b c d１０２４３１０６１１１１

＝８，求行列式

a ＋１２２２b １０２c ＋２３－１２d ＋４５５２

的值。

７畅计算下列 n阶行列式：

（１） Dn ＝

０１０ … ０００２ … ０筹０００ … n －１n ００ … ０

　　（２） Dn ＝

a ００ … １０ a ０ … ０００ a … ０筹１００ … a

８畅求下列线性方程组的解：

（１）x ＋２ y ＋２ z ＝３－ x －４ y ＋ z ＝７３ x ＋７ y ＋４ z ＝３

　　（２）

x１＋ x２＋ x３＋ x４＝５

x１＋２ x２－ x３＋４ x４＝－２

２ x１－３ x２－ x３－５ x４＝－２

３ x１＋ x２＋２ x３＋１１ x４＝０

９畅设方程组x ＋ y ＋ z ＝ a ＋ b ＋ cax ＋ by ＋ c z ＝ a２＋ b２＋ c２

bcx ＋ acy ＋ abz ＝３abc，试问 a ， b ， c满足什么条件时，方程组有唯

一解，并求出唯一解。

·１４·第１章　矩阵与行列式

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１０畅求下列矩阵的逆矩阵。

（１） X ＝０ AB ０

，其中 A ， B都是可逆矩阵

（２）B ＝

１３０００００－１２０００００００１０００００００１０００００００１０００００００２５０００００１３

第１章阶段测试题

１．填空题（每小题４分，共计２４分）。

（１）行列式 A ＝１１００４１２０２ x

中元素 x 的代数余子式值为。

（２）设 A是一个三阶方阵，且，则 A ＝５，则３A ＝。

（３） A ＝４２２

x１－ x２１０，B ＝

４２ x１＋ x２２１０

若 A ＝ B ，则 x１＝，

x２＝。（４）设矩阵 α ＝（２，５，５，９），β ＝（－１，－５，３，０），若 α ＋ γ ＝ β则 γ ＝。

（５）１２０１

３

＝。

（６）若 A是对称矩阵，则 AT － A ＝。２．选择题（每小题４分，共计２０分）。

（１）设 f（ x）＝２ x ＋１，A ＝１２３４

，则 f（A）＝（　　）

A畅３４６９

　　 B畅３５７９

　　 C畅２５７８

　　 D畅２４６８

＋１

（２）设方阵 A满足 A２＝ E ，则（　　）A畅 A ＝ E 　　　　　　　　　　　　 B畅若 A ≠ E则 A ＝－ EC畅若 A ≠ － E则 A ＝ E D畅有可能 A ≠ E且 A ≠ － E

（３）设 A是三阶方阵，且 A ＝０，则（　　）A畅 A中必有一行为零向量 B畅 A中必有两行相同C畅 A中必有两行对应元素成比例 D畅以上三选项都不正确

（４）已知齐次线性方程组λx ＋ y ＋ z ＝０λx ＋３ y － z ＝０　－ y ＋ λz ＝０

仅有零解，则（　）。

·２４· 实用线性代数

A畅 λ≠ ０且 λ≠ １ B畅 λ ＝０或 λ ＝１C畅 λ ＝０ D畅 λ ＝１

（５）A ，B是 n阶方阵，则下列公式正确的是（　　）。A畅（A ＋ B）－１＝ A－１＋ B－１ B畅（A２）－１＝（A－１）２

C畅（A ＋ B）（A － B）＝ A２－ B２ D畅（ kA）－１＝ kA －１

３．（１２分）设 A ＝１１１

－１１１１－１１

，B ＝１２１１３－１２１２

，计算（AB －２A） T 。

４．计算题（每题８分，共２４分）。

（１）１１１a b ca２ b２ c２

；（２）２－１３

（２　－１）１－１３－２

；（３）１２－３０１２００１

－１

５．（１０分）求方程组的解。x１－ x２－ x３＝２２ x１－ x２－３ x３＝０的解。x１＋２ x２－５ x３＝０

６．（１０分）如果 A ＝１２（B ＋ E），证明 A２＝ A的充要条件是 B２＝ E 。

·３４·第１章　矩阵与行列式

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