43

Kazanımlarla Uyumlu

Çözümlü Örnekler

Öğrenmeyi Kolaylaştıran İpuçları

Tam Konu Anlatımı

Öğrenme Sırası Dikkate Alınarak Hazırlanmıştır

ONLİNE“eğitimde yayındenizi online”

ÖĞRETMEN ÜYELİĞİ SEÇİMİ İLE SİSTEME ÜYELİK FORMUNU DOLDURUNUZ.

SİSTEME GİRİŞ YAPARAK DİJİTAL İÇERİKLERİNİZİ İSTEDİĞİNİZ YEREİNDİREBİLİRSİNİZ.

İNTERNETE BAĞLI OLSUN VEYA OLMASIN DİLEDİĞİNİZ PLATFORMLARDA İÇERİKLERİMİZKULLANABİLİRSİNİZ.

İSTEDİĞİNİZSORULARLA KENDİ TESTİNİZİOLUŞTURABİLİRSİNİZ.

www.ydakillitahta.com

ÜCRETSİZ ÖĞRETMEN ÜYELİĞİ

KOLAY ERİŞİLEBİLİR DİJİTAL İÇERİK

ÖRNEK KİTAP TALEBİ

TYTAYT

MÜFREDATA UYGUN SORU HAVUZU

GEOMETRİ

Genel Yayın KoordinatörüAyça AKTAŞ DEMİRCAN

YazarHasan Zeki İŞÇİ

Dizgi YAYIN DENİZİ DİZGİ BİRİMİ

Basım Yeri

Copyright ©Bu kitabın her hakkı yayınevine aittir.

Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan yayınevinin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile

çoğaltılması, yayınlanması ve depolanması yasaktır.

11-0817-01-5000-BISBN: 978-605-197-141-4

İLETİŞİMHasan Zeki İŞÇİ hziisci@hotmail.comAyça AKTAŞ DEMİRCAN aycademircan@isler.com.tr

TELEFON 0(312) 395 13 36

İNTERNET @ydtekserisi tekyayinlari@gmail.com

@ydtekserisi

ÖN SÖZ

Sevgili Gençler,

Bu kitap geometri sorularının çözümü için kullanacağınız bilgileri toplu olarak sizlere sunmak için hazırlanmıştır. Sorularda verilen bilgilerin size yol göstermesi için, hangi bilginin ne amaca yönelik kullanılacağını bilmeniz gerekir.

Sorularda verilen hiçbir bilgi gereksiz değildir.

Sonuca ulaşmak için bütün verilerin kullanılması gerekir. Genellikle veriler soru çözüm aşamalarına göre sıralanır. Bu kitapta veriden bilgiye, bilgiden çö-züme ulaşma yöntemleri verilmiştir.

Ortaöğretim matematik dersi öğretim programları kapsamında geometri-de formüllerden uzaklaşma, formüllerden bilgisel amaçlı yararlanılarak gerçek hayat problemlerinin çözüm yöntemleri üzerinde durulmaktadır. Son yapılan değişikliklerle akıl yürütme ve karar vermeyi geliştirecek durumlar sorularda gözlenmektedir.

Zihinsel gücünüzün yanında yeterli düzeyde bilgi ve beceri kazanmanız dileklerimle...

Hasan Zeki İŞÇİ

Geometri, cisimlerin en, boy, uzunluk, derinlik, açı ve şekillerini irdeleyen bir disiplindir. Birçok disiplin ve bilimle bağlantılıdır. Geometrik şekiller dedi-ğimiz küre, elips, çember, daire, üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen, sekizgen,

kare, dikdörtgen, yamuk, paralel kenar, silindir, piramit, prizma gibi şekillerdir.

Geometrik şekiller daha çok matematik, trigonometri, mühendislik ve fizik alanlarında yoğunlukla kullanılır. Bu da günlük hayatta sıkça karşılaştı-ğımız anlamına gelir. Yapılan köprüler, yollar, çevre düzenlemeleri, binalar,

yerleşim yerleri, havaalanları, metrolar, diğer tren yolları, araçlar, gereçler ve daha birçok şey geometrik şekillerin yardımıyla yapılmaktadır.

Bir köprü inşasında köprünün hangi maddeden yapılacağına karar verildikten sonra şekline karar verilir. Geometrik şekillerin sağladığı imkanlarla köprü şekillenir. Çelik halatların, beton direklerin şekli, mesafesi, açısı, ağırlık

merkezleri geometrik olarak hesaplanır.

Yapılan bir binanın, iç ve dış bütün şekilleri, konumu, kat sayısı, çatısı, temeli, direkleri, duvarları, odaların yerleri, sayısı, ortak kullanım alanları her

yönüyle geometrinin ilgi alanıdır. Yapılan inşaların ayakta durması geometrik kuralları gereğince olur. Açılar, şekiller, mesafeler, uzunluklar, derinlikler, en

ve boy hesaplamaları, alan ve çevre hesaplamaları sürekli geometriyi ilgilen-diren unsurlardır.

Ayrıca şunu da belirtmek gerekir ki basketbol oyuncuları, geometri hocalarıyla çalışır. Topun nasıl savunulacağı, duruş şekli, atış şekli, açısı,

mesafe hesaplama, bireysel alan kontrolü, adım atma prensibi de geometriyi ilgilendirir.

GEOMETRİNİN ÖNEMİ

5

ÇALIŞMA PLANI NASIL YAPILMALI

Ça

lışma Planı Yaparken Bu Soruları Dikkate Alınız!

Hangi ders hangi gün?

Tekrar ne zaman?

Sınavlar ne zaman?

Ödev ne zaman?

Aksayan çalışmaları ne zaman nerede ve nasıl çalışmalı?Ders dışı hangi etkinlikler yapılmalı?

Etkinlikler ne zaman yapılmalı?

NASILNEREDE

NE ZAMAN

Herşey ne kadar karışık görünsede!

» » » Amacınız olmalı (kazanmak)

» » » Deneyim kazanmalısınız(soru çözmek)

» » » İlişkilendirebilmelisiniz (konular arası bütünlük)

» » » Sınamalısınız (sınav deneyimleri)

» » » Kendinize güvenmelisiniz.

NOT ALMAK BAKARAK YAZMAK DEMEK DEĞİLDİR.Not almak; kendi cümlelerini kurmak, şifrelemek, hatırlamak için materyal hazırlamak demektir.

6

ETKİN ÇALIŞMA YÖNTEMİDersler gün boyu peşinizi bırakmadı. Okul bitti ama evde derse devam çünkü hedefleriniz ve hayalleriniz var. Bunu asla unutmamalısınız.

Eve gidince once dinlenmelisiniz

Kendinize bir ders çalışma saati belirlemeli ve sürekli bunu düşünmelisiniz. Çünkü zihin neyi tekrar ederse kendini o yönde yönlendirir.

Tekrarı asla bırakmamalısınız . Özellikle yeni bilgiyi günlük tekrar etmeli-siniz Tekrar etmek başarının anahtarıdır. Bilginin pekiştirilmesini ve uzun sureli hazfızaya atılmasını sağlar

Bilgiyi mutlaka ilişkilendirerek öğrenmelisiniz. Bu bilginin kalıcı olmasını sağlar.

Not alma hızınızı kendinize göre belirlemelisiniz.Yavaş not alma beynin konsantre olmasını zorlaştırır. Yazma hızı ile beynin çalışma hızı arasında boşluk meydana gelir. Zihin başka alanlara kayar ve konsantrasyon sorunu başlar.

Ezberden kaçınmalısınız. Öğrenilen bilginin tam olarak kullanılması için beyin tarafından analizinin yapılması gerekir. Ezberci sistem bunu engeller

Ders çalışırken mutlaka ara vermelisiniz. Ara vermek odaklanma gücünüzü artıracaktır.

Sosyal hayattaki olumsuz etkenlere dikkat etmelisiniz mümkün olduğunca ortadan kaldırmalısınız.

Dikkatinizi uyanık tutmalısınız.

Bilgi Duygu ve davranış+ Deneyim + = ÖĞRENME

• Eksik konu bırakma.• Tekrar et.• Kavramları yorumla.• Konuları şekil ve grafikle destekle.• Günlük yaşamla dersleri ilişkilendir.• Okuma alışkanlığı kazan.• Kendine güven.

BAŞARMAK BU KADAR KOLAY

ÜNİTE 1

1. BÖLÜM: Geometrik Kavramlar - Sayı Doğrusu ..................................... 11

2. BÖLÜM: Doğruda Açılar ........................................................................ 19

3. BÖLÜM: Üçgende Açılar ....................................................................... 27

4. BÖLÜM: Üçgenlerin Eşliği ..................................................................... 37

5. BÖLÜM: Üçgenlerde Benzerlik .............................................................. 41

6. BÖLÜM: İkizkenar Üçgen ...................................................................... 48

7. BÖLÜM: Eşkenar Üçgen ....................................................................... 54

8. BÖLÜM: Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ............................................. 59

9. BÖLÜM: Üçgende Orta Taban .............................................................. 65

10. BÖLÜM: Açıortaylar ............................................................................. 67

11. BÖLÜM: Kenarortaylar ........................................................................ 74

12. BÖLÜM: Dik Üçgen ............................................................................. 77

13. BÖLÜM: Açılarına Göre Dik Üçgenler ................................................. 84

14. BÖLÜM: Üçgende Alan ....................................................................... 90

ÜNİTE 215. BÖLÜM: Çokgenler ........................................................................... 111

16. BÖLÜM: Dörtgenler ........................................................................... 117

17. BÖLÜM: Yamuk ................................................................................. 120

18. BÖLÜM: Deltoid ................................................................................. 125

İÇİNDEKİLER

19. BÖLÜM: Paralelkenar ........................................................................ 126

20. BÖLÜM: Eşkenar Dörtgen ................................................................. 131

21. BÖLÜM: Dikdörtgen .......................................................................... 133

22. BÖLÜM: Kare .................................................................................... 135

ÜNİTE 323. BÖLÜM: Çemberde Açı ..................................................................... 141

24. BÖLÜM: Çemberde Uzunluk ............................................................. 150

25. BÖLÜM: Çemberin Çevresi – Dairesel Alan ...................................... 158

ÜNİTE 426. BÖLÜM: Noktanın ve Doğrunun Analitik İncelenmesi ...................... 169

ÜNİTE 527. BÖLÜM: Uzay Geometrisi ve Katı Cisimler ....................................... 185

ÜNİTE 628. BÖLÜM: Yansıma, Öteleme, ve Dönme Dönüşümleri....................... 203

29. BÖLÜM: Çemberin Analitik İncelenmesi ........................................... 216

İÇİNDEKİLER

ÜNİTE 1

1. BÖLÜM: Geometrik Kavramlar - Sayı Doğrusu

2. BÖLÜM: Doğruda Açılar

3. BÖLÜM: Üçgende Açılar

4. BÖLÜM: Üçgenlerin Eşliği

5. BÖLÜM: Üçgenlerde Benzerlik

6. BÖLÜM: İkizkenar Üçgen

7. BÖLÜM: Eşkenar Üçgen

8. BÖLÜM: Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları

9. BÖLÜM: Üçgende Orta Taban

10. BÖLÜM: Açıortaylar

11. BÖLÜM: Kenarortaylar

12. BÖLÜM: Dik Üçgen

13. BÖLÜM: Açılarına Göre Dik Üçgenler

14. BÖLÜM: Üçgende Alan

KAZANIMLAR

• Paraleldoğrulardaaçıileilgiliişlemleryapar.

• Üçgendeaçıözellikleriileilgiliişlemleryapar.

• İkiüçgenineşolmasıiçingerekliolanasgarikoşullarıdeğerlendirir.

• İkiüçgeninbenzerolmasıiçingerekliasgarikoşullarıdeğerlendirir.

• Üçgeninbirkenarınaparalelvediğerkenarlarıkesecekşekildeçizilendoğru-nunayırdığıdoğruparçalarıarasındakiilişkiyikurar.

• Üçgenlerinbenzerliğiileilgiliproblemlerçözer.

• İkizkenar,eşkenarüçgenikavrar.

• Üçgeninkenaruzunluklarıilebukenarlarınkarşılarındakiaçılarınölçüleriniiliş-kilendirir.

• Uzunluklarıverilenüçdoğruparçasınınhangidurumlardaüçgenoluşturduğunudeğerlendirir.

• Üçgeniniçvedışaçıortaylarınınözelliklerinieldeeder.

• Üçgeninkenarortaylarınınözelliklerinieldeeder.

• Üçgeninkenarortadikmelerininbirnoktadakesiştiğinigösterir.

• Üçgeninçeşidinegöreyüksekliklerinkesimnoktasınınkonumunubelirler.

• Diküçgendepisagorteoreminieldeederekproblemçözer.

• Öklidteoreminieldeederekproblemçözer.

• Diküçgendedaraçılarıntrigonometrikoranlarınıhesaplar.

• Üçgeninalanıileilgiliproblemlerçözer.

GEOMETRİK KAVRAMLAR SAYI DOĞRUSU

BÖLÜM

1Geometride kullanılan bazı kavramlar geometrik ölçü aletleri ile ölçülemediğinden tanımsız kabul edilirler. Ölçülebilen her büyüklük tanımlanabilir. Geometride kulla-nacağımız bazı kavramları inceleyelim.

Nokta:Boyutsuzdur. Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve sadece yer belirten geometrik terimdir. •A şeklinde gösterilip “A noktası” diye okunur. Büyük harflerle gösterilir. Düzlemde P(x, y) şeklindedir.

Doğru:Aynı doğrultuda ve iki uçtan sınırsız noktalar kümesidir. Sınırsız bir büyüklüktür. Ölçülemez.

A B“AB doğrusu”

“d doğrusu”d

Şeklinde gösterilip, okunur.

Doğrusallık:Aynı doğru üzerindeki noktalar için kullanılan bir terimdir.

d

A B C D

d doğrusu üzerindeki tüm noktalar doğrusaldır. A, B, C, D ∈ d dir.

Doğru Parçası:İki nokta arasındaki en yakın uzaklığı oluşturan noktalar kümesidir.

A B [AB] şeklinde gösterilir.

A B

k

Uzunluğu ölçülebilirdir. Uzunluğu |AB| = k birim şeklinde ifade edilir.

11

12

Işın:Başlangıç noktası belli, bitim noktası belli olmayan aynı doğrultudaki noktalar kümesidir.

A B [AB ışını

Yarı Doğru:[AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde edilen noktalar kümesine AB yarı doğrusu denir.

A B

]AB yarı doğrusu

Düzlem:İki boyutludur. Eni, boyu, kalınlığı yoktur.

E Paralelkenarsal bölge şeklinde gösterilir. E düzlemi diye okunur.

Düzlemsellik:

Aynıdüzleminelemanıolangeometrikterimveşekilleriçinkullanılır.

D• A

• B

• C A, B, C noktaları D düzleminin elemanıdırlar ve A, B, C noktaları düzlemseldir.

Dd

md ve m doğruları D düzleminin elemanıdırlar.

Uzay:Üç boyutludur. Hacimli cisimlerin bulundukları boşluğa denir.

13

Doğru İle İlgili Aksiyomlar:1. Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.

dA B

2. Herhangi üçü doğrusal olmayan n tane noktadan en çok –

Cn n n2 2

1=c ^m h

tane doğru geçer.

3. Düzlemde farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır.

Ad

md ∩ m = {A}

4. Bir düzlemde birbirine paralel olmayan n tane farklı doğrunun en çok Cn2c m

tane kesişme noktası vardır.

5. Bir doğruya dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya paralel olan bir tek doğru vardır.

k

mA

k // m

6. Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine de paraleldir.

d1

m

d2 d

1 // d

2 ve m // d

1 ise m // d

2 olur.

7. Paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser.

d1

d2

B

A

m

d1 // d

2 ve d

1 ∩ m = {A} ise d

2 ∩ m = {B} dir.

14

8. n tane farklı doğru bir düzlemi:

en az (n + 1) tane bölgeye

en çok n n

21

1+

+^ h tane bölgeye ayırır.

9. Düzlemde bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. Bu doğrulara doğru demeti denir.

d1 ∩ d

2 ∩ d

3 ∩ d

4 ... = {A}

d1

A

d2

d3

d4

Üçü doğrusal beş farklı noktadan kaç doğru geçer?

›› ÖRNEK

A B C

E

D

A, B ve C noktaları doğrusal olsun.

Şekildeki gibi A, B, C, D ve E noktalarından sekiz doğru geçer.

Veya;

Formül yardımıyla,

beş nokta doğrusal olmasaydı C52c m olurdu. Üçü doğrusal olduğu için üçü

arasında C32c m doğru olacaktı. Ama doğrusal üç noktadan sadece bir doğru

geçecektir.

O hâlde,

–C C52

32

1 8+ =c cm m doğru geçer.

›› ÇÖZÜM

15

Düzlemle İlgili Aksiyomlar:

1. Doğrusal olmayan farklı üç noktadan bir tek düzlem geçer. Düzlem bu üç nok-tayı da içine alır.

D

K

M

LK, L, M ∈ D dir.

2.

D

d

KBir doğru ve dışındaki bir noktadan bir tek düzlem geçer. Düzlem bu doğru ve noktayı içine alır.

3. Paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

D

d1

d2

4. Kesişen iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

D

A d1

d2

Önerme, Aksiyom, Postulat, Teorem:

Önerme:Doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir.

Aksiyom:Doğruluğu ispatsız herkes tarafından kabul edilen önermelere aksiyom denir.

Postulat:Doğruluğu mantıksal olarak kabul edilen ancak ispatlanamayan önermelere pos-tulat denir.

Teorem:Doğruluğu veya yanlışlığı ispatlanabilen önermelere teorem denir.

16

Doğru Parçaları ile Desenler Oluşturmak:

Doğru parçaları ile desenler oluşturulurken aşağıdaki adımlar izlenir.

I. Seçilen eksenlerde aynı sayıda noktalar alınır.

II. Alınan noktalar sembollerle isimlendirilir.

III. Seçilen eksen uzunlukları eşit ya da farklı uzunlukta olabilir.

IV. Eksenlerde alınan birimlerin oranı desenlerin altına yazılır.

V. Aynı sembollere ait noktalar birleştirilir.

VI. Oluşan desenlerde boyama işlemi yapılabilir.

Saat Problemleri:

Bu tip sorularda akreple yelkovan arasındaki küçük veya büyük açı bulunur.

Akreple yelkovan arası açı α Ş α = |Saat . 30 - Dakika . 211 | dir.

Saat 2.22 de akreple yelkovan arası küçük açı kaç derecedir?

›› ÖRNEK

· · · · °Saat Dakika a30 211 2 30 22 2

11 60 121 61– – –& &a a= = = =

›› ÇÖZÜM

Koordinat Doğrusu:

Gerçek sayıların, bir doğru üzerindeki noktalar ile bire bir eşleşmesi ile oluşturulan sayı doğrusuna koordinat doğrusu denir.

A

–2 –1 0 1 2

dB C D E

Sıfır (0) sayısına karşılık gelen noktaya başlangıç noktası veya orijin denir. Başlan-gıç noktasından sağa doğru pozitif sola doğru negatif yön olarak alınır. Herhangi bir noktaya karşılık gelen gerçek sayıya bu noktanın koordinatı adı verilir.

A(-2), B(-1), C(0), D(1), E(2)

d doğrusu üzerindeki noktaların koordinatlarıdır.

17

İki Nokta Arası Uzaklık:

Bir a gerçek sayısının, koordinat doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına a sayısının mutlak değeri denir ve |a| ile gösterilir.

a, b ∈ R olmak üzere,

i. |a| ≥ 0

ii. a ≥ 0 ⇒ |a| = a a ≤ 0 ⇒ |a| = –a

iii. |a – b| = |b – a|

Koordinatları A(a) ve B(b) olan iki nokta arasındaki uzaklık, d(A, B) olarak ifade edilip d(A, B) = |b – a| şeklinde hesaplanır.

Eş Doğru Parçaları:

Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. Eş doğru parça-larının uzunlukları eşittir.

Zeynepöğretmenöğrencilerinesayıdoğrusunukavratmak içinheröğren-

cininbirersayıdoğrusuçizipgetirmesini söylüyor.Sayıdoğrularını kontroledenZeynepöğretmenYusuf'unsayıdoğrusundaki(x–1)ve6sayılarının,Furkan'ınsayıdoğrusundaki8ve(x+7)sayılarıylaçakıştığınıgörüyor.

Buna göre x kaçtır?

›› ÖRNEK

Çakışmaolduğunagöre,busayılarbirbiriyleorantılıolmalıdır.( )x

x81

76–

= + olmalı (x – 1)(x+7) = 48 ¡ x = 5 bulunur.

›› ÇÖZÜM

18

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası:

A(a) B(b) C(c)

[AC] nın orta noktasının koordinatı; b 2a c= + şeklinde bulunur.

Bir Doğru Parçasını Herhangi Bir Oranda Bölen Bir C Noktasının Koordinatı:

A(a), B(b) ve C(c) olmak üzere

[AB] nı |BC ||AC |

= k olacak şekilde;

İçten bölen C noktasının koordinatı: c 1 ka kb= ++

Dıştan bölen C noktasının koordinatı: c 1 ka kb

––=

şeklinde bulunur.

A(1) C(m) B(7)x

Yukarıdaki x koordinat doğrusu üzerinde verilen A, B ve C noktaları için

| C ||AC |B = 2 olacak biçimde alınan bir C noktasının koordinatı kaçtır?

›› ÖRNEK

|AC| = m – 1

|BC| = 7 – m

| || |BCAC = 2 ⇒ 7 m

m 1–– = 2 ⇒ m – 1 = 14 – 2m

3m = 15 ⇒ m = 5

›› ÇÖZÜM

19

BÖLÜM

2 DOĞRUDA AÇILAR

Doğ

ruda

Açı

lar

Açı:

M C

LB

K

A Başlangıç noktaları ortak iki ışının geometrik

yerine açı denir.

[BA » [BC = ABC% = CBA%

• B noktasına açının köşesi• [BA ve [BC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsü• K noktası açının dış bölgesinde• L noktası açının iç bölgesinde• M noktası açının üzerinde bir noktadır.• Açının ölçüsü m(AB∑C) ile gösterilir.

Yönlü Açı:

B C

AA

B C CB∑A nın yönü pozitif AB∑C nın yönü negatif

Bir açının kollarından birisi başlangıç diğeri bitim kenarı olarak düşünülürse, saatin dönme yönünün tersi pozitif, dönme yönü ise negatif yön olarak kabul edilir.

Komşu Açılar:

BC

D

AKöşeleri ve birer kenarları ortak, iç bölgeleri ortak

olmayan iki açıya komşu açı denir.

AB∑D ile DB∑C komşu açılardır.

20

Birim Çember:Düzlemde sabit bir noktadan 1 br uzaklıktaki noktaların geometrik yerine birim

çember denir.

aO

1 br1 br

B

A a = 1 radyan

r = 1 br

AB 1br=%

Çember üzerindeki 1 br uzunluğundaki yayı gören açıya 1 radyan denir. Açı-

nın birim çemberi kestiği noktalar arasındaki yay uzunluğuna da açının radyan

cinsinden ölçüsü adı verilir.Birim çemberin çevre uzunluğunu 360 eş parçaya

ayıran her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1° biçi-

minde gösterilir.

Aynı açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R ise 180°D R= r dir.

540° kaç radyandır?

›› ÖRNEK

180°D R= r den

180°540° R R 3= =&r r

›› ÇÖZÜM

21

Doğ

ruda

Açı

lar

AÇI ÇEŞİTLERİ

Dar Açı:

Ölçüsü 0° ile 90° arasındaki açılara dar açılar denir.

m ABC x=^ h%

0° < x < 90°

Dik Açı:

A

CB

Ölçüsü 90° olan açıya denir.

[BA ^ [BC şeklinde yazılır.

°m ABC 90=^ h%

Geniş Açı:

A

x

CB

Ölçüsü 90° ile 180° arasındaki açılara geniş açı denir.

m ABC x=^ h%

90° < x < 180°

Doğru Açı:

A O B

180°

Zıt iki ışının oluşturduğu açıya doğru açı denir.

°m AOB 180=^ h%

Tam Açı:

AO

360° Bir [OA nın O noktası etrafında pozitif yönde 360° döndürülüp tekrar kendi üstüne çakıştırılması ile elde edilen açıya tam açı denir. Ölçüsü 360° dir.

22

Tümler Açılar:

A

D

C

B

xy

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir. Bu

açılardan her birine diğerinin tümleyeni denir.

x in tümleyeni y, y nin tümleyeni x dir.

x in tümleyeni (90 – x) dir.

Bütünler Açılar:

A D

C

B

xy

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar de-

nir. Bu açılardan her birine diğerinin bütünleyeni denir.

x in bütünleyeni y veya x in bütünleyeni (180° – x) dir.

m A x3 33– °=^ hV açısı dar açı olduğuna göre x in alabileceği en küçük ve

en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

›› ÖRNEK

– °m A x3 33=^ hW dar açı ise , 0° < 3x – 33 < 90°

33 < 3x < 123 , 11 < x < 41

x in en küçük tam sayı değeri = 12°

x in en büyük tam sayı değeri = 40°

Değerler toplamı = 12° + 40° = 52°

›› ÇÖZÜM

Tümleyeni kendisinden küçük olan açının en küçük tam sayı değeri kaç derecedir?

›› ÖRNEK

Açı: x olsun, tümleyeni 90° – x olur.

90° – x < x

90° < 2x

45° < x olur. x = 46°

›› ÇÖZÜM

23

Doğ

ruda

Açı

lar

Ters Açı

Cz

Oyx

tD

A

B

İki doğrunun kesişmesiyle oluşan karşılıklı açılara ters

açılar denir. Ters açıların ölçüleri eşittir. x ile y, z ile t

ters açılardır. x = y ve z = t dir.

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

b

d

xy

z t

ac

d1

d1 // d2

d2

• Yöndeş açılar • İç ters açılar Ölçüleri eşit Ölçüleri eşittir. a ile x, a = x d ile y , d = y b ile y, b = y c ile x , c = x c ile z , c = z d ile t, d = t• Dış ters açılar • Karşı durumlu açılar Ölçüleri eşittir. Ölçüleri toplamı 180° dir. a ile z , a = z d ile x, d + x = 180° b ile t , b = t c ile y , c + y = 180°

Doğruda açılarla ilgili sorular çözülürken doğruların yön değiştirdikleri nokta-

lardan şekildeki diğer paralel doğrulara paraleller çizilerek çözüm yapılır.

B

D

C

120°

E

85°A

x

[BA // [DE

m ABC

m CDE

85

120

=

=

c

c

^^ h

h%

%

Yandaki verilere göre, m BCD x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

24

KL // [BA çizelim.Karşı durumlu açılardan;

°m DCL m EDC 180+ =^ ^h h% %

120° + m DCL^ h% = 180° ⇒ °m DCL 60=^ h% ve iç ters açılardan,

° °m ABC m BCL x85 60&= = +^ ^h h% %

⇒ x = 25°

›› ÇÖZÜM

Şekilde,

[EF // [BA

m DEF

m CBA

140

160

=

=

c

c

^^

hh

%

%

olduğuna göre, m CDE m BCD x= =^ ^h h% % kaç

derecedir?

›› ÖRNEK

[DT // [EF ve [CK // [BA çizelim.

Karşı durumlu açılardan,

m TDE 180° – 140° 40°

m BCK 180° – 160° 20°

m TDC m DCK 180°

= =

= =

+ =

^^^ ^

h

hh

h

%

%

% %

x + 40° + x + 20° = 180° ⇒ x = 60°

›› ÇÖZÜM

DOĞRUDA AÇILARLA İLGİLİ BAZI PRATİK KURALLARa.

a

b

A

B

cC

d1

d2

d1

// d2 ise

b = a + c dir. B köşesinden d

1 ve d

2 ye paralel çizerek

görmeye çalışın.

25

Doğ

ruda

Açı

lar

b. a

b

A

B

c

C

d1

d2

d1

// d2 ise

a + b + c = 360° B köşesinden d

1 ve d

2 ye paralel çizerek gör-

meye çalışın.

c. d

1 // d

2 ise

a + c + e = b + d B, C, D noktalarından d

1 ve d

2 ye paraleller

çizerek görmeye çalışın.

d. A

B

E

D

C

d1a1

a2

a3

a4

and2

d1 // d

2 ise

a1 + a

2 + a

3 + a

4 + ... + a

n = (n – 1) · 180°

160°

F

x

x

x

x

A

B

E TK

D

C

d1

d2

Şekilde,

d1 // d

2

°m DET 160=^ h%

Yukarıdaki verilere göre, x ile gösterilen eş

açı ölçüleri kaç derecedir?

›› ÖRNEK

d özelliğinden,

x + x + x + x + 160° = (5 – 1) · 180°

4x + 160° = 4 · 180°

4x = 560° ⇒ x = 140°

›› ÇÖZÜM

26

Kenarları Paralel Açılar

Birinin kenarları diğerinin kenarlarına karşılıklı olarak paralel olan açılara kenarları

paralel açılar denir.

x

A D

B C

E Fx

[BA // [ED

[EF // [BC den

m ABC m DEF x= =^ ^h h% % olur.

[BA // [EF

[ED // [BC den

m ABC m DEF x= =^ ^h h% % olur.

[BA // [EF

[ED // [BC den

x + y = 180° olur.

Kenarları Dik AçılarKarşılıklı ikişer kenarı da dik olan açılara kenarları dik açılar denir.

[BA ^ [DA ve

[BC ^ [DC den

m ABC m ADC=^ ^h h% % = x olur.

[BA ^ [DA ve

[BC ^ [DC den

x + y = 180° olur.

27

BÖLÜM

3 ÜÇGENDE AÇILAR

Üçg

ende

Açı

lar

ÜÇGENBir düzlemde doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşi-mine üçgen denir.

[AB] » [BC] ∪ [CA] = ABC&

H. Üçgenin iç bölgesinde,

Z. Üçgen üzerinde,

İ. Üçgenin dış bölgesinde birer noktadır.

a. Üçgende Ana Elemanlar

A

B a

b

Cz

c

y

x

θ

β

α

Üçgenin kenar ve açılarına ana (temel) eleman-lar; yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına da yar-dımcı elemanlar denir.

|AB| = c m BAC

m ABC

m ACB

x

y

z

=

=

=

^^^

hhh

%

%

%

|BC| = a

|AC| = b

• A, B, C noktalarına üçgenin köşeleri• [AB], [BC], [AC] na üçgenin kenarları• a, b, c ye üçgenin kenar uzunlukları• x, y, z ye üçgenin iç açı ölçüleri• α, b, q ya üçgenin dış açı ölçüleri• (a + b + c) ye üçgenin çevre uzunluğu denir.

b. Ana Elemanlarına Göre Üçgen Çeşitleri

Kenarlarına göre,

A

B

Çeşitkenar Üçgen İkizkenar Üçgen Eşkenar Üçgen

|AB| ≠ |BC| ≠ |AC| |AB| = |AC| = b |AB| = |AC| = |BC| = a

Ca

c b

a

b b

a

a a

A

B C

A

B C

28

Açılarına göre,

o

c. Üçgende Yardımcı Elemanlar

1. Yükseklik (h): Bir üçgende bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzan-tısına çizilen en kısa doğru parçasına yükseklik denir. Yükseklikler veya uzantıları

bir noktada kesişir.

Dar açılı üçgenlerde yüksekliklerin kesim noktası (T) üçgenin iç bölgesinde, dik açılı üçgenlerde (B) üçgenin üzerinde, geniş açılı üçgenlerde (T) üçgenin dış böl-gesindedir.

2. Kenarortay (V) : Bir üçgende bir köşeden karşı kenarların orta noktalarını birleş-tiren doğru parçalarına kenarortay denir. İki kenarortayın geçtiği noktadan üçüncü kenarortay da geçer. Kenarortayların kesim noktasına ağırlık merkezi denir.

29

Üçg

ende

Açı

lar

3. Açıortay (n): Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşe-

nin açıortayı denir. İki açıortayın geçtiği noktadan üçüncü açıortay da geçer.

4. Orta Dikme: Üçgenin kenarlarının orta noktalarından çizilen dik doğrulara orta

dikme denir. İki orta dikmenin geçtiği noktadan üçüncü orta dikme de geçer.

B

A

T

C··

ABC bir üçgen

[AT] ve [CT açıortaylar

Yandaki verilere göre, T noktası için ne söylenebilir?

›› ÖRNEK

30

T noktası; [BA, [AC] ve [BC ye açıortaylar-

dan dolayı eşit uzaklıkta olduğundan T nok-

tası ABC& nin dış teğet çemberinin merkezi

olur.

›› ÇÖZÜM

ABC bir üçgen

[AT] ve [CT]

açıortaylar

Yandaki verilere göre, T noktası için ne söylenebilir?

›› ÖRNEK

[AT] ve [CT] açıortaylardan dolayı T nokta-

sının [AC], [AB] ve [BC] ye uzaklıkları eşittir.

T noktası ABC& nin iç teğet çemberinin mer-

kezi olur.

›› ÇÖZÜM

B E

A

T

C

FD · ·

·

ABC bir üçgen T noktası kenar orta dikme-

lerin kesim noktasıdır.

Yandaki verilere göre, T noktası için ne söylenebilir?

›› ÖRNEK

31

Üçg

ende

Açı

lar

T

Yükseklik taban ilişkisinden

|AT| = |CT| = |BT| = R olur.

ABC& de T noktası ABC& nin çevrel çemberi-

nin merkezi olur.

›› ÇÖZÜM

ÜÇGENDE AÇI VE ÖZELLİKLERİ

a. Üçgenin İç Açılarının Ölçüleri Toplamı 180° dir. ab

b c

cd

A

B C

d // [BC] çizilirse ters açılardan a + b + c = 180° olur.

ABC dik üçgen

[AD] ve [CE]

açıortaylar

Yukarıdaki verilere göre, m ADE x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

Yandaki şekilde

ABC& de, 2a + 2b + 90° = 180° a + b = 45°

A CD& de, a + b + 180° – x = 180° olduğundanx = a + b olur.x = a + b = 45°

›› ÇÖZÜM

32

b. Üçgende Bir Dış Açının Ölçüsü

Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

D

b°c°

EA

B Cc°b°

[AE // [BC] çizelim.

Yöndeş açılardan

m DAE m B b= =^ ^h hW%

iç ters açılardan

°m EAC m ACB c= =^ ^h h% %

ABC& de, ° °m DAC b c= +^ h% olur.

c. Bir Üçgende Dış Açılar

A

B

z

yC

x

Ölçüleri toplamı 360° dir.

ABC& nin dış açı ölçüleri x, y, z olsun.

Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç

açının toplamına eşittir.

x m B

y m A m B

z m A m C

m C=

=

=

+

+

+

^ ^^ ^^ ^

h hh hh h

W XW WW X

+

x + y + z = 2. m A m B m C+ +^ ^ ^h h h6 @W W X x + y + z = 2.180° = 360° olur.

d. İkizkenar Üçgende AçıA

B

b b

CTaban

Taban açı ölçüleri birbirine eşittir.

m m ACBABC b= =_ _i i% %

33

Üçg

ende

Açı

lar

ABC bir üçgen

[BD] açıortay

|CE| = |CD|

°m ECB 42=^ h%

Yukarıdaki verilere göre, m BAC x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

A

B42°

x+ax+a

C

DE

aa

xABD& de

dış açıdan

m BDC x a= +^ h%

|CE| = |CD| den

m CED m EDC x a= = +^ ^h h% %

BEC& de, dış açıdan

x + a = a + 42° ⇒ x = 42°

›› ÇÖZÜM

Açıortay–Kenar Ortay Açıortay–Yükseklik Yükseklik – Kenarortay

Şartlarını sağlayan her üçgen en az ikizkenar üçgendir. Tabana çizilen açıor-

tay, kenarortay ve yükseklik doğruları simetri ekseni olurlar.

34

ABC bir üçgen

m BAD m DAC=^ ^h h% %

|AB| = |AC|

|BD| = |CE|

°m DEC 65=^ h%

Yandaki verilere göre, m BDE x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

[CD] çizilirse

ABC& de [AD] simetri ekseni olur.

[AD] üzerindeki her nokta B ve C noktalarına

eşit uzaklıktadır.

|BD| = |DC|

DEC& de, ° ° °m DCE 65 65 180+ + =^ h%

°m DCE 50=^ h%

BDC& de, °m DBC m DCB 50= =^ ^h h% %

BDE& de, 50° + x = 65°

x = 15°

›› ÇÖZÜM

e. Eşkenar Üçgende Açı

Eşkenar üçgende iç açı ölçüleri birbirine eşit olup 60° dir. Yükseklik, açıortay,

kenarortay eşit olup aynı doğru parçasıdır.

35

Üçg

ende

Açı

lar

f. Üçgende Açı ve Açıortay ile İlgili Pratik Kurallar

ABC& de

[AD] dış açıotay

|BE] iç açıortay

[AD] ^ [DE] , °m ACB 60=^ h%

Yandaki verilere göre, m BED x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

ABC& de, ° °m K m C2 2

60 30= = =^ ^h hW X

DEK& de, x = 90° + 30° = 120°

›› ÇÖZÜM

36

g. Dik Üçgende Kenarortay ve Açı

dir.

B CE28°

x

A

D

ABC dik üçgen

|AD| = |CD| = |EB|

°m DEC 28=^ h%

Yandaki verilere göre, m BAC x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

B CE28° 56°

28°

56°

A

x

D

[BD] çizilirse |AD| = |BD| = |DC| olur. EBD& de

°m DEC m EDB 28= =^ ^h h% %

° ° °m DBC 28 28 56= + =^ h%

DBC& de,

°m DBC m DCB 56= =^ ^h h% %

ABC& de, x + 56° + 90° = 180° ⇒ x = 34° dir.

›› ÇÖZÜM

37

BÖLÜM

4 ÜÇGENLERİN EŞLİĞİ

Üçg

enle

rin E

şliğ

i

Tanım: İki üçgen arasında yapılan bire bir eşleme de üçgenlerin karşılıklı açıları ve

karşılıklı kenarları birbirine eşitse bu üçgenlere eş üçgenler denir.

A C ve DEFB& & arasında bire bir eşleme yapıldığında,

m A m D=^ ^h hW X , |AB| = |DE|

m mB E=^ ^h hW W , |AC| = |DF|

m mC F=^ ^h hX W , |BC| = |EF|

eşitlikleri varsa üçgenler eştir.

ABC DEF,& & şeklinde gösterilir.

Eş üçgenlerin karşılıklı tüm yardımcı elemanları eşittir.

ÜÇGENLERDE EŞLİK TEOREMLERİ

a. Kenar - Açı - Kenar (KAK) Eşlik Teoremi

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşleme de, karşılıklı iki kenar ve bunların arasın-

daki açılar eşitse, üçgenler eştir. ABC DEF,& & olur.

38

ABC ve DEC birer

eşkenar üçgenlerdir.

|BE| = 2 cm

|BD| = 5 cm

Yandaki verilere göre, |AC| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

ABC& eşkenardan |AC| = |BC| = x

DEC& eşkenardan |CD| = |CE|

m ACB m DCE=^ ^h h% % den m ACD m BCE=^ ^h h% %

olur.

ACD ve BCE& & de,

(K.A.K) dan, ACD BCE,& & olur.

|AD| = |BE| = 2 cm ve |AB| = x = 5 + 2 = 7 cm

›› ÇÖZÜM

b. Açı – Kenar – Açı (AKA) Eşlik Teoremi:

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, üçgenlerin ikişer açısı ve bu açıların

ortak kenarları eşitse üçgenler eştir.

ABC DEF,& & olur.

39

Üçg

enle

rin E

şliğ

i

x

Şekilde,

[AB] ⊥ [BC]

[AE] ⊥ [BD]

[BD] ⊥ [CD]

|AB| = |BC|

|CD| = 4 cm

Yandaki verilere göre, |BE| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

x

ABE ve CBD& & de açılardan

i. m BAE m CBD=^ ^h h% % (Açı)

ii. |AB| = |BC| (Kenar)

iii. m ABE m BCD=^ ^h h% % (Açı) den

ABE BCD,& & olur.

|BE| = |CD|

x = 4 cm dir.

›› ÇÖZÜM

c. Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K) Eşlik Teoremi

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı bütün kenarlar eşit ise

üçgenler eştir. ABC DEF,& & olur.

40

B C

A

D105°

E

x

BAC dik üçgen

|AB| = |AC|

|AE| = |BD|

|AD| = |EC|

°m ADB 105=^ h%

Yukarıdaki verilere göre, m DAE x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

B C

A

D105°

E

x b

b

a

a

ABD ve AEC& & de,

i. |AD| = |CE| (Kenar)ii. |BD| = |AE| (Kenar)iii. |AB| = |AC| (Kenar)

olduğundan ABD CAE,& & (KKK) olur.

m m ACE aBAD = =^ ^h h% %

m ABD m CAE b= =^ ^h h% % den

ABD& de, a + b + 105° = 180° ⇒ a + b = 75°

a + x + b = 90° ⇒ 75° + x = 90° ⇒ x = 15°

›› ÇÖZÜM

41

Üçg

enle

rde

Benz

erlik

Tanım: İki geometrik şekil (üçgen) arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı

açılar eş ve eş açılar karşısındaki kenarlar orantılı ise bu iki geometrik şekil (üçgen)

benzerdir denir.

A

B a

cb

ef

C

D

E d F

ABC DEF+& & ise

,m Am mm m

m DB EC F

den da

eb

fc k=

=

== = =

^ ^^ ^^ ^

h hh hh h

_

`

a

bb

bb

W XW WX W

k:İkiüçgenarasındakibenzerlikora-nıdır.

k = 1 ise üçgenler eştir.

A

D

B C

ABC ve ABD& &

üçgenleri veriliyor.

m ACB m ABD=^ ^h h% %

Yandaki verilere göre, ABC ve ABD& & için benzerlik nasıl ifade edilir?

›› ÖRNEK

A

D

B C

AB veD ABC& & de,

m BAC^ h% ortak olduğundan, m ADB m ABC=^ ^h h% %

olur.

Eş açıları aynı sırada yazarsak

ABC ADB+& & olur.

›› ÇÖZÜM

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

BÖLÜM

5

42

k (Benzerlik oranı) nın tespiti:A

c

a

b

B C

D

f

d

e

E F

ABC DEF+& & ise,

.

m A m D

m B m E

m C m F dir

=

=

=

^ ^^ ^^ ^

h hh hh h

W XW WX W

Benzer iki üçgende karşılıklı tüm uzunluklar oranı benzerlik oranını verir.

Yani; ÇÇ

k da

hh

VV

nn

evre DEFevre ABC

rr

RR

da

da

DA

21

21= = = = = = =^

^hh

gibi oranlar k yi verir. Bu oranlar diğer kenarlar içinde yazılabilir. Benzer iki üçgen-de karşılıklı tüm uzunlukları oranının karesi benzer üçgenlerin alanları oranını verir.

A DEFA ABC k2=^^ h

h&

& dir.

BENZERLİK TEOREMLERİa. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremleri:Karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarların arasındaki açıların ölçüleri eşit ise üçgenler benzerdir.

A

B C

D

E F

m AAC

m D ve DEAB

DF= =^ ^h hW X ise ABC DEF+& & dir.

D 5

10 x6

A B20

CŞekilde[DC] // [AB]|DC| = 5 cm|DA| = 6 cm|AC| = 10 cm|AB| = 20 cmYandaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

43

D 5

10 x6

A B20

C [DC] // [AB] ise DCAm m CAB=^ ^h h% % olur.

ADC& de, ACDC

105

21= =

CAB& de, ABAC

2010

21= =

Açıların ölçüleri eşit ve kolları oranı aynı

olduğu için DCA CAB+& & olur.

Benzerlik oranı yazılırsa CADC

ABCA

CBDA

den= = = x105 6= ⇒ x = 12 cm dir.

›› ÇÖZÜM

b. Açı – Açı Benzerlik Teoremiİki açısının ölçüsü eşit olan iki üçgen benzerdir.

A

B C

D

E F

( ) ( ) €› .

m A m D

m B m E ise m C m F olaca ndan ABC DEF olur+

=

= =

``

``

jj j

jWW

XW X W & &

Benzerlik oranı için eşit açıların karşılarındaki kenarların uzunlukları oranı yazılır.

k = .A A

olurDEB

EFBC

DFC

= =

A

BE

45

D C

x 3

Şekilde,m AED m ABC=^ ^h h% %

|CE| = 3 cm|CA| = 4 cm|DA| = 5 cmYandaki verilere göre, |BD| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

44

A

BE

45

D C

x3

ABC ve ADE& & de,

m ABC

m m

m AED

ADE ACB=

=^ ^

^ ^

h h

h h

% %

% %

olduğundan, ABC AED+& & olur.

k = AB

AA x

AE EDBC

DC

75

54

&= = + =

5x + 25 = 28 ⇒ x = 53 cm dır.

›› ÇÖZÜM

c. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi:İki üçgenin karşılıklı olarak bütün kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

A

B C

D

E F

AB A BCDE DF

CEF= = = k orantısı sağlanıyorsa

ABC DEF+& & olur.

A

x

D

B

30°

40°

E C

ABC ve BDEbirer üçgendir.|AB| = 2|DE||AC| = 2|BD||BE| = |CE|

m ABD

m ACB

30

40

c

c

=

=

^^

hh

%

%

Yukarıdaki verilere göre, m BAC x=^ h% kaç derecedir?

›› ÖRNEK

45

A

x

x

D

B

30°

40° 40°

E C

|AB| = 2|DE|

|AC| = 2|BD|

|BC| = 2|BE| den

DBE ACB+& & (KKK) olur.

°

m D m

m B m

A x

C 40

= =

= =

^ ^^ ^h hh h

X WW X

ABC de& ,

x + 40° + 40° + 30° = 180°

x = 70° olur.

›› ÇÖZÜM

d. Temel Orantı Teoremi:

Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarını kesen bir doğru, kestiği

kenarları orantılı olarak ayırır.

A

D E

B C

[DE] // [BC] ise

i. AAD

AA

B CE

=

ii. DBAB AC

EC= olur.

Buradan | || |

| || |

| || |

BCDE

ABAD

ACAE= = yazılabilir.

e. Thales Teoremi:

A D d1

d2

d3

B E

C F

mk

Birbirine paralel olan üç veya daha fazla doğru iki kesen üzerinde karşılıklı olarak orantılı doğru parçaları ayırırlar.

d1 // d

2 // d

3

k ve m kesen ise BCAB

EFDE

= olur.

46

B x D Cy

A

F4

3E

ABC bir üçgen

[BF| ∩ [AD] = {E}

|AF| = |CF|

|BE| = 3 cm , |EF| = 4 cm

Yandaki verilere göre, BD

yx

DC= oranı

kaçtır?

›› ÖRNEK

B x D CK

A

F4

3E

y2

y2

[FK] // [AD] çizelim. ADC& de,

AFDK KC

CF= , |AF| = |CF| den

|DK| = |KC| = y2 olur. BFK& de,

BEx yBD DK

EF 3

2

4&= =

x y yx3 8

83

&= = dır.

›› ÇÖZÜM

B C E M FK

A

D

43

ABC DEF+& & ,

[AK] ve [DM] kenarortay,

|AK| = 3 cm, |DM| = 4 cm

ABC& nin alanı 12 cm2 oldu-ğuna göre DEF& nin alanı kaç cm2 dir?

›› ÖRNEK

Benzerlik oranı : AK

kDM 43= = olur. Alanlar oranı: k2 = 4

31692

=c m

olduğundan, A DEFA ABC

A DEF169 12= =^

^ ^hh

h&

&

& , A(DE∆F) = 364 cm2 bulunur.

›› ÇÖZÜM

47

Üçg

enle

rde

Benz

erlik

A

B

A

3A

5A

7A

C

Bir üçgenin iki kenarı, kenarlar kendi içe-risinde eş parçalar olacak şekilde ve eşit sayıda doğru parçalarına bölünürse olu-şan üçgensel ve dörtgensel bölgelerin alan değerleri yandaki oranlarda oluşur.

A

B

2

2

4

D E

KF

C

ABC bir üçgen

[DE] // [FK] // [BC]

|AD| = |BF| = 2 cm

|DF| = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, A ABC

A DEKF`

a k

j

& oranı kaçtır?

›› ÖRNEK

A

D

2

2

2

2

T

F

E

S

K

B

A

3A

5A

7A

C

[TS] // [FK] yı

|DT| = |TF| olacak şekilde çizelim.

|AD| = |DT| = |TF| = |FB| olur.

A – 3A – 5A – 7A alan ilişkisinden

A ABCA DEKF

A A A AA A

3 5 73 5

168

21= + + +

+ = =^^ h

h&

bulunur.

›› ÇÖZÜM

48

İKİZKENAR ÜÇGEN

BÖLÜM

6a.

C

Taban açıları

Taban

İkizkenarlar

A

B

Tepe noktası İki kenarının uzunluğu eşit olan üçgene

ikizkenar üçgen denir. |AB| = |AC| ve ta-ban açı ölçüleri eşittir.

m ABC m ACB=^ ^h h% %

b.

CB H

A

bb

a2

a2

Tabana ait yükseklik, açıortay ve kenarortay doğruları çakışıktır. Bu doğrulara göre üçgen si-metriktir.

İkizkenar üçgende açı, uzunluk, alan hesaplanırken tabana yükseklik çizilir.

Yükseklik tabanı ikiye böler. Özel üçgenler kullanılarak çözüm yapılır.

C FE x 1

A D4 6 B Şekilde AB // EF|CA| = |CB|, |DE| = |DF||BD| = 6 cm|AD| = 4 cm|CF| = 1 cm

Yandaki verilere göre,|EC| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

49

İkiz

kena

r Üçg

en

CK FE x 11

A D H1

5

4 5 B[CH] ⊥ [AB] ve [DK] ⊥ [EF] çizelim.

|AH| = |BH| = 26 4 5+ =

|DH| = 6 – 5 = 1 cm

|DH| = |KC| = 1 cm

|EK| = |KF| = 2 cmx = 2 + 1 = 3 cm olur.

›› ÇÖZÜM

B m D

b b

Cn

A

x İkizkenar üçgende, x2 = b2 – m · n dir.

B 1 D

3 3

C4

A

x

ABC bir üçgen

|AB| = |AC| = 3 cm

|DC| = 4 cm

|BD| = 1 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

ABC& de, x2 = 3 · 3 – 1.4 x 5= cm dir.

›› ÇÖZÜM

50

c. İkizkenar üçgende dış açıortay doğrusu tabana paraleldir. [AE // [BC]

B

D

E

C

A

B E F C

D

A

K

3

5

x

Şekilde,|AB| = |AC|[AE] ⊥ [BC][DF] ⊥ [BC]|DK| = 5 cm|KF| = 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x kaç cm dir?

›› ÖRNEK

B E F C

D

HA

K

3x

52

52

[AH] ⊥ [DF] çizelim. DAK& de,

|DH| = |HK| = 25 cm

ABC& de, |AE| = |HF|

x = 25 3+

x = 211 cm dir.

›› ÇÖZÜM