lena alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans … · lena alfredsson kajsa bråting patrik...

Lena Alfredsson

Kajsa Bråting

Patrik Erixon

Hans Heikne

Kurs 1bc Vux lärobok

Natur & Kultur

5000Matematik

Kurs 1bc Vux.indb 1 2013-07-11 15:07

NATUR & KULTUR

Box 27 323, 102 54 StockholmKundtjänst: Tel 08-453 85 00, [email protected]: Tel 08-453 86 00, [email protected]

Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 StockholmTel 08-657 95 00, [email protected]

Projektledare: Irene BondeTextredaktör: Mats KarlssonBildredaktör: Erica HögsbornGrafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa LundbomLayout och sättning: Mats Karlsson/Devella HB

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

© 2013 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anita Ristamäki och Natur & Kultur, Stockholm

Tryckt i Slovakien 2013Första utgåvans första tryckning

ISBN 978-91-27-43505-6

Kurs 1bc Vux.indb 2 2013-07-11 15:07

FÖRORD 3

Välkommen till Matematik 5000Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättning-ar att utveckla de förmågor och nå de kunskaps-mål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

Denna bok, Kurs 1bc Vux lärobok, riktar sig till elever som studerar på komvux och liknande utbildningar.

Kapitel 1, 2, 3, 4, 5 och 6 motsvarar kurs 1b. Kapitel 1, 2, 3, 4.1, 4.2, 5, 6 och 7 motsvarar kurs 1c.

Hur är boken upplagd?• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel

som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken.

Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fem olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och Modellera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och samhällsvetenskapsprogrammet samt till vuxenutbildningen. I Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard-karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Uppgifter av den senare typen finns även samlade i speciella avsnitt som heter Problemlösning.

Varje kapitel avslutas med:• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-

tion: Sant eller falskt?

• En kort Sammanfattning av kapitlet.

• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskaps- kontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grund- läggande kunskaper. Till dessa diagnoser finns fullständiga lösningar i svarsdelen.

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Efter dessa repetitionsuppgifter finns sex diagnoser. De har ett liknande innehåll som diagnoserna i varje kapitelslut.

• Två olika varianter av Blandade övningar av-slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen till denna bok, Kurs 1bc Vux Lärobok, finns ledtrådar och lösningar till ett större antal av uppgifterna jämfört med Kurs 1b Grön lärobok.

Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övnings-uppgifter samt en provbank.

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elev-er till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor.

Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Kurs 1bc Vux.indb 3 2013-07-11 15:07

4 INNEHÅLL

Innehåll1. Aritmetik – Om tal 6 Inledande aktivitet: Lägga tal 7

1.1 Positiva tal 8 Naturliga tal 8 Räkneordning 11 Primtal och delbarhet 14 Tal i decimalform 17 Aktivitet: Undersök – Tiondelar och hundradelar 19 Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar 20

1.2 Negativa tal 22 När används negativa tal? 22 Addition och subtraktion med negativa tal 24 Multiplikation och division med negativa tal 26 Tema: Tidszoner 28 Tema: Vinst eller förlust? 30

1.3 Tal i bråkform 32 Hur stor andel? 32 Aktivitet: Undersök – Jämföra bråktal 34 Förlängning och förkortning 35 Addition och subtraktion av bråk 37 Multiplikation och division av bråk 40

1.4 Tal i potensform 44 Vad menas med 35? 44 Några potenslagar 46 Grundpotensform 48 Enhetsbyten 50 Prefix 52 Talsystem med olika baser 54 Historik: Två historiska talsystem 57

1.5 Problemlösning 58 Avrundning och värdesiffror 58 Överslagsräkning 60 Tema: Läkemedel 62 Aktivitet: Diskutera – Det är inte bara svaret som räknas 64 Tillämpningar 65 En problemlösningsstrategi 67

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 69 Sammanfattning 1 70 Kan du det här? 1 72 Diagnos 1 73 Blandade övningar kapitel 1 74

2. Procent 78 Inledande aktivitet: Pärlorna 79

2.1 Andelen, delen och det hela 80 Beräkning av andelen i procentform 80 Beräkningar då vi vet procentsatsen 83 Tema: Försäljningspris, pålägg och marginal 86 Historik: Varifrån kommer procenttecknet? 89 Procent utan räknare 90 Promille och ppm 91 Tema: Alkohol och promille 94

2.2 Procentuella förändringar och jämförelser 96 Förändringsfaktor 96 Flera procentuella förändringar 99 Förändringar och jämförelser 102 Problemlösning 105 Tema: Moms 106 Procentenheter 108 Tema: Är skolan jämställd? 109

2.3 Lån, ränta och amortering 110 Ränta 110 Amortering 112 Avgifter 114 Index 116

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 120 Sammanfattning 2 121 Kan du det här? 2 122 Diagnos 2 123 Blandade övningar kapitel 2 124 Blandade övningar kapitel 1–2 126

3. Algebra 130 Inledande aktivitet: Beräkna värdet 131

3.1 Uttryck och ekvationer 132 Uttryck 132 Aktivitet: Diskutera – Vilka uttryck är lika? 135 Aktivitet: Undersök – Hur många stickor är det i asken? 136 Vad menas med en ekvation? 137 Att lösa ekvationer 140 Ekvationer med flera x-termer 143 Aktivitet : Undersök – Ekvationsbilder 144

3.2 Potensekvationer 148 Kvadrater och kvadratrötter 148 Ekvationen xn = a 150

3.3 Formler och mönster 152 Beräkningar med formler 152 Ställa upp och tolka formler och uttryck 155 Tema: Hastighet – sträcka – tid 158 Lösa ut ur formler 160 Aktivitet: Undersök – Bakom varje formel finns ett mönster 162

3.4 Olikheter och problemlösning 163 Olikheter 163 Problemlösning 166

3.5 Undersök och bevisa 169 Uttryck och ekvationer med parenteser 169 Faktorisera 171 Ta bort parenteser 172 Beskriva, troliggöra och bevisa 174


Kurs 1bc Vux.indb 4 2013-07-11 15:07

INNEHÅLL 5

4. Geometri 188 Inledande aktivitet: Omkrets och area 189

4.1 Grundläggande geometri 190 Omkrets och area 190 Areaenheter 194 Omkrets och area av en cirkel 196 Historik: Talet π – Historiska fakta 198 Aktivitet: Laborera – Bygg en låda 199 Volymenheter 200 Volym 202 Aktivitet: Laborera – Slösar du med vatten? 207 Begränsningsarea av rätblock, cylinder och klot 208

4.2 Geometri och algebra 210 Aktivitet: Undersök – Trianglar och månghörningar 210 Vinklar och vinkelsumma 211 Geometri och bevis 215 Implikation och ekvivalens 218 Pythagoras sats 220 Aktivitet: Modellera – Hur många och hur länge? 224

4.3 Likformighet och symmetrier 225 (kurs 1b) Likformighet och skala 225 Tema : Det gyllene snittet 228 Mönster och symmetrier 230


5. Sannolikhetslära och statistik 246 Inledande aktivitet: Kasta kapsyler 247

5.1 Enkla slumpförsök 248 Inledning 248 Den klassiska sannolikhetsmodellen 249 Experimentella sannolikheter 252

5.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 254 Försök med två föremål 254 Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 256 Träddiagram 257 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 261 Beroende händelser 262 Komplementhändelse 264 Tema: Kombinatorik 266

5.3 Statistik 267 Vad handlar statistik om? 267 Tolka tabeller och diagram 268 Medelvärde och median 273 Rita diagram med kalkylprogram 276 Vilseledande statistik 278 Tema: Hästar i Sverige 280 Tema: Spel om pengar i Sverige 281 Tema: Länder och befolkning 284 Tema: Risker i trafiken 286


6. Grafer och funktioner 298 Inledande aktivitet: Finn regeln 299

6.1 Grafer och proportionalitet 300 Koordinatsystem 300 Formel, värdetabell och graf 302 Aktivitet: Laborera – Väg –tid–diagram 306 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp 307 Proportionalitet 310 Grafritande räknare 313

6.2 Funktioner 316 Funktionsbegreppet 316 Aktivitet: Upptäck – Räta linjer 320 Linjära funktioner 321 Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 325 Aktivitet: Upptäck – Exponentialfunktionen y = C · a x 328 Exponentialfunktioner 329 Potensfunktioner 332 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 334 Olika matematiska modeller 337


7. Komplettering till kurs 1c 349

7.1 Aritmetik och algebra 350 Avrundning och gällande siffror 350 Tema: Makrokosmos och mikrokosmos 352 Algebraiska uttryck 354 Ekvationer 355 Potensekvationer 356 Formler och mönster 357

7.2 Trigonometri 358 Inledning 358 Räkna med tangens 360 Sinus och cosinus 364 Blandade uppgifter 367

7.3 Vektorer 369 Definitioner och räkneoperatorer 369 Komposanter, koordinater och vektorlängd 372 Tema: Krafter och hastigheter 375

7.4 Geometri 378 Några bevis med vinklar 378 Problemlösning 380

Blandade övningar kapitel 7 382

Repetitionsuppgifter 384

Extra diagnoser med svar 393

Svar, ledtrådar och lösningar 402

Register 458

Kurs 1bc Vux.indb 5 2013-07-11 15:07

1 ARITMETIK − OM TAL

Centralt innehåll

� Metoder för beräkningar med tal skrivna i olika former.

� Primtal, delbarhet och olika talbaser.

� Strategier för problemlösning.

� Matematiska begrepp och metoder i situationer kopplade till samhälls-vetenskap, ekonomi, vardags- och samhällsliv.

Kurs 1bc Vux.indb 6 2013-07-11 15:07

15343274

77711275

4789

4789

4758

49

8947

8947

5849

55

4823

9867

8567

2388

7674

489

4789

4758

49

15343274

77711275

4789

4789

4758

49

8947

8947

5849

55

4823

9867

8567

2388

7674

4

LÄGGA TALArbeta tillsammans två och två.

Skaffa fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på lapparna.

1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får

a) ett så stort tal som möjligt

b) ett så litet tal som möjligt

c) ett tal så nära 5 000 som möjligt

d) ett tal så nära 6 000 som möjligt

e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.

2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så

a) liten som möjligt

b) stor som möjligt

c) nära 60 som möjligt.

3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så




4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så




5 Skaffa nio papperslappar med siffrorna 1 till 9. Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång.

+ = − = ∙ =

Inledande aktivitet

2 715

Kurs 1bc Vux.indb 7 2013-07-11 15:07

8 1.1 POSITIVA TAL

1.1 Positiva tal

Naturliga tal Exempel

Sveriges befolkning var 9 393 648 personer den 1 augusti 2010.

När vi ska skriva och läsa stora tal är det praktiskt att börja bakifrån och skriva siffrorna tillsammans tre och tre.

9 393 648

nio miljoner trehundranittiotre tusen sexhundrafyrtioåtta

I talet ovan har 3:an längst till vänster värdet 300 000. Vilket värde har den andra 3:an?

positionssystem Ett talsystem där siffrans värde bestäms av siffrans plats i talet kallas ett positionssystem.

9 miljoner = 9 000 000 9 miljarder = 9 000 000 000

9,4 miljoner = 9 400 000 9,4 miljarder = 9 400 000 000

miljon och miljard

Kurs 1bc Vux.indb 8 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 9

1101 Antalet kvinnor i Sverige den 30 juni 2010 var 4 706 622. a) Skriv talet 4 706 622 med bokstäver. b) Vilket värde har de två 6:orna i talet 4 706 622?

a) Fyra miljoner sjuhundrasex tusen sexhundratjugotvå. b) Den vänstra 6:an visar att det är 6 tusental. Värdet är 6 000. Den högra 6:an visar att det är 6 hundratal. Värdet är 600.

1102 Ge två olika exempel på a) en addition av tre tal där summan är 1 200. b) en multiplikation av två tal där produkten är 1 200. a) T ex 900 + 100 + 200 = 1 200 och 400 + 400 + 400 = 1 200 b) T ex 30 · 40 = 1 200 och 2 · 600 = 1 200

Det finns många olika typer av tal, t ex heltal, decimaltal och tal i bråkform. När vi som barn började räkna använde vi talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, … naturliga tal De kallas naturliga tal och består av de positiva heltalen och talet noll.

Vi repeterar de fyra räknesätten och några matematiska begrepp.

Fyra räknesätt

Addition Subtraktion

5 + 13 = 18 18 – 5 = 13

Multiplikation Division

5 · 80 = 400 = 80

termer

summa

termer

differens

faktorer

produkt

400

5

täljare

nämnare kvot

Kurs 1bc Vux.indb 9 2013-07-11 15:07

10 1.1 POSITIVA TAL

1112 Ge två olika exempel på en

a) addition av tre tal där summan är 40 000

b) multiplikation av två tal där produkten är 40 000.

1113 Angela har glömt sin portkod. Men hon kommer ihåg att första siffran är en 1:a och att siffrorna 3, 5 och 7 också finns med i den fyrsiffriga koden.

Vilka är de möjliga koderna?

1114 År 2008 gick det 460 000 barn i förskolan i Sverige. Den totala kostnaden per barn var ca 100 000 kr per år.

Ungefär hur stor var den totala kostnaden för förskolan i Sverige år 2008? Svara i miljarder.

1115 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då

a) 17 ∙ 40 b) 16 ∙ 41 c) 40 ∙ 15

1116 Ett naturligt tal som slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9, är ett udda tal. Leon påstår att det finns 12 udda tresiffriga heltal där hundratals siffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran.

Är det sant?

Lös följande uppgifter utan räknare.

1103 Skriv med siffror

a) tjugofem tusen

b) tjugofem tusen tre hundra

c) två miljoner

d) två miljoner femhundra tusen

e) tre miljarder

1104 Vilka tal saknas?

a) 378 = 300 + + 8

b) 1 026 = 600 + + 26

c) 55 804 = 48 000 + + 804

1105 Beräkna

a) 3 000 kr – 500 kr

b) 30 000 kr – 5 000 kr

c) 30 000 kr – 500 kr

d) 3 000 kr – 50 kr

1106 Beräkna

a) 4 ∙ 8 c) 400 ∙ 80 b) 400 ∙ 8 d) 2 ∙ 4 ∙ 8

1107 I vilket räknesätt beräknar man en differens?

1108 Skriv med bokstäver

a) 86 400 (antal sekunder på ett dygn)

b) 720 000 (antal fritidsbåtar i Sverige)

c) 36 000 000 000 (kostnaden i kr för den svenska gymnasieskolan 2008)

1109 Vilket värde har siffran 3 i talet

a) 237 c) 375 000

b) 13 066 d) 83 000 000?

1110 Vid multiplikation spelar ordningen ingen roll, t ex 4 ∙ 7 = 7 ∙ 4.

Gäller det alla räknesätt?

1111 Steve skulle skriva 3 850 kr, men skrev fel. Siffrorna 3 och 5 bytte plats med varandra.

Hur mycket större blev beloppet?

Kurs 1bc Vux.indb 10 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 11

Räkneordning När vi ska beräkna en summa spelar det ingen roll i vilken ordning vi adderar termerna. 31 + 86 = 86 + 31. Denna räknelag kan skrivas: a + b = b + a

När vi ska beräkna en produkt spelar det ingen roll i vilken ordning vi multiplicerar faktorerna. 31 ∙ 86 = 86 ∙ 31. Denna räknelag kan skrivas: a ∙ b = b ∙ a eller ab = ba.

Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar när flera räknesätt är inblandade?

Exempel På ett gym kostar det 700 kr per år att vara medlem. Ett träningspass kostar 85 kr.

Kostnaden (kr) att bli medlem och gå på 10 träningspass kan skrivas som 700 + 10 ∙ 85. Här måste vi beräkna multiplikation före addition.

700 + 10 ∙ 85 = 700 + 850 = 1550 Skulle vi beräkna additionen först, får vi ett annat resultat!

Räkneordning

Vid beräkningar med flera räknesätt:

1. Först parenteser

2. Därefter upphöjt till (potenser)

3. Sedan multiplikation och division

4. Sist addition och subtraktion.

Kurs 1bc Vux.indb 11 2013-07-11 15:07

12 1.1 POSITIVA TAL

1117 Beräkna utan räknare a) 12 – 7 + 3 b) (4 + 5) · 7 c) 4 + 5 · 7

a) Vi kan räkna på olika sätt. Alternativ 1: 12 – 7 + 3 = 5 + 3 = 8 Alternativ 2: 12 – 7 + 3 = 15 – 7 = 8

b) Parentesen först: (4 + 5) · 7 = 9 · 7 = 63

c) Multiplikationen först: 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39

1118 Beräkna med räknare

a) 87122

415775

−

+ b) 619

8 208·

När vi använder räknare till dessa beräkningar måste vi sätta ut parenteser.

a) 87122

415775

−

+= (775 + 415) / (122 – 87) = 34

b)

6198 208

· = 8 208 / (19 ∙ 6) = 72

1119 Beräkna utan räknare

a) 8 – 5 + 1 c) 6 + 3 · 2

b) 3 · 8 – 6 d) 30 – 10 · 2


a) 150 – 30 + 10 c) 40 + 30 · 2

b) 10 · 8 – 5 d) 800 – 300 · 2


a) 2 + 5 · 8 c) 2

1416 +

b) (5 + 2) · 4 d)

35

1220

+

+

1122 Beräkna utan räknare. Kontrollera sedan dina svar med räknare.

a) 25 + 25 · 6 c) 30/5 – 2

b) (25 + 25) · 6 d) 30 /(5 – 2)

1123 Entrépriserna till Kolmårdens djurpark år 2010 var 150 kr för barn och 250 kr för vuxna.

Beräkna utan räknare kostnaden för en grupp på

a) 10 barn och 4 vuxna

b) 4 barn och 10 vuxna.

1124 Malin har handlat några av de frukter som bilden visar.

Vad har hon köpt om hon ska betala

a) 2 · 5 + 3 c) 4 + 7 · 3 + 5

b) 2 · (5 + 3) d) 9 · 4 + 7 · (3 + 5)

3 kr/st 4 kr /st 5 kr/st 3 kr/st 4 kr/st 5 kr/st

Kurs 1bc Vux.indb 12 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 13

1125 Lenny använder sin räknare till beräkningen

12

69

+

+ .

Han trycker 9 + 6 / 2 + 1.

a) Vilket resultat visar räknaren?

b) Vilket fel gör Lenny?

c) Vilket är rätt svar?

1126 Beräkna

a)

6537

1 326

+ c)

149327

4 272

−

b)

13

6987 + d)

3323

76 659

·

1127 Jasmine köper 4 godispåsar till sina 3 barn. Varje påse innehåller 18 godisbitar.

Hur många bitar får varje barn om de delar lika?

A: 4 · 318

C: 4 · 18 · 3

B: 4 · 183

D: 4 + 3 · 18

1128 I en hiphop-förening kostar det 250 kr att vara medlem. För medlemmar är priset per konsert 150 kr. Hassan är medlem i föreningen och går på fem konserter. Genomsnittskostnaden per konsert kan

beräknas med 5

1505250 ·+

Beräkna genomsnittskostnaden

a) utan räknare

b) med räknare.


a)

20

607 · b)

30

4060 ·

1130 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare. a) 7 · 5 + 3 · 5 c)

3

736 ·+

b) 13 – 3 · 2 + 2 d)

13

7265

+

·+·

1131 Vilket tal ska stå i rutan? a) 5 + 5 ∙ = 20 c) 4 ∙ 8 – 2 ∙ = 20

b) ∙ 8 + 2 = 50 d) 30 + 5 ∙ = 70

1132 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare.

a) 50 · 6 + 4 · 50 – 10

b) 450 – 50 · 6 + 2 · 15

c)

5

74040 ·+

d)

425205

800525200

·+·

·+·

1133

På en lunchrestaurang kostar Dagens rätt 79 kr. Om man köper ett rabatthäfte får man 10 lunchkuponger för 700 kr.

Lovisa skriver (10 ∙ 79 – 700) / 10.

Vad är det som Lovisa vill beräkna?

Kurs 1bc Vux.indb 13 2013-07-11 15:07

14 1.1 POSITIVA TAL

Primtal och delbarhet Exempel En lärare ska dela upp 17 elever i grupper. Hur hon än gör är det omöjligt att dela upp eleverna så att de blir lika många i varje grupp. Talet 17 går bara att dela med 1 och 17.

primtal Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig självt kallas primtal.

De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11 och 13. Talet 1 räknas inte som primtal.

sammansatta tal Alla heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal.

primtalsfaktorer Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer, dvs faktorer som är primtal. Talet 30 är ett sammansatt tal. 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5

Redan Euklides, som var en grekisk matematiker på 300-talet f Kr, visade att listan på primtal aldrig tar slut. Det finns alltså hur stora primtal som helst!

Primtal används idag inom datasäkerhet för att kryptera känsliga data. Krypteringen sker med ett mycket stort tal som är en produkt av två 100-siffriga primtal.

Även med dagens datorer är det tidsmässigt omöjligt att identifiera det 200-siffriga talet och knäcka koden!

Primtalsfaktorer (=primfaktorer)

När du gör bankaffärer över nätet används primtal för att kryptera informationen.

Kurs 1bc Vux.indb 14 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 15

1134 a) Dela upp talet 42 i primfaktorer. b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)?

a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd. De kan se olika ut, men resultatet blir detsamma.

Vi avläser primfaktorerna 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

b) 42 är delbart med 2, 3 och 7 och produkter av dessa tal. 2 ∙ 3 = 6 2 ∙ 7 = 14 3 ∙ 7 = 21

Svar: 42 är delbart med 2, 3, 6, 7, 14 och 21.

42

2 21

3 7

42

6 7

2 3

42 = 2 · 21

delbarhet Ett sammansatt tal är alltid delbart med primfaktorerna och deras produkter. Talet 18 kan delas upp i primfaktorerna 2 ∙ 3 ∙ 3

Produkter av dessa tal är 2 ∙ 3 = 6 3 ∙ 3 = 9

18 är alltså delbart med 2, 3 , 6 och 9 (förutom 1 och 18).

Detta innebär också att kvoterna 18/2, 18/3, 18/6 och 18/9 är heltal.

Ytterligare några delbarhetsregler:

1 Vilka tal är delbara med 2? Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590.

2 Vilka tal är delbara med 3?

Delbarhetsregler Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med 3, t ex 201 och 642.

3 Vilka tal är delbara med 5? Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015.

642 har siffersumman 6 + 4 + 2 = 12

42 = 6 · 7

Kurs 1bc Vux.indb 15 2013-07-11 15:07

16 1.1 POSITIVA TAL

1135 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?

a) 9 b) 11 c) 21 d) 23

1136 Vilka av talen 165, 168 och 170 är

a) delbara med 2 b) delbara med 5?

1137 Rasmus skriver 60 = 2 ∙ 5 ∙ 6. Har Rasmus delat upp talet 60 i primfaktorer? Motivera. 1138 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas.

b) Dela upp talet 54 i primtalsfaktorer.

1139 Vilka primtal finns mellan 10 och 30?

1140 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas i rutorna.

b) Dela upp talet 24 i primfaktorer.

c) Vilka postiva tal är 24 delbart med (förutom 1 och 24)?

1141 a) Vilken siffersumma har talet 231?

b) Är 231 delbart med 3?

c) Vilken siffersumma har talet 521?

d) Är 521 delbart med 3?

1142 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal?

a) 63 b) 19 c) 592 d) 327

Förklara hur du tänker.

1143 Vilka av talen 135, 235, 448, 640 och 2010 är delbara

a) med 3 b) med 5 c) med 15?

1144 a) Rita av faktorträdet och skriv tal i rutorna.

b) Dela upp talet 48 i primfaktorer.

c) Vilka positiva tal är 48 delbart med?

1145 Varför måste ett tal som är delbart med 10 också vara delbart med både 2 och 5?

1146 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?

1147 Summan av tre på varandra följande heltal är alltid delbar med 3.

a) Visa med ett eget exempel att detta är sant.

b) Förklara varför detta är sant.

1148 Inför en temadag på en skola ska eleverna delas upp i grupper. Om eleverna delas upp i par, så blir det en elev över. Likadant blir det om antalet elever i grupperna är 3, 5 eller 7. Antalet elever på skolan är mindre än 500.

Vilket är antalet?

2

24

6

54

48

Kurs 1bc Vux.indb 16 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 17

Tal i decimalform

Exempel 1 Vid VM i friidrott 2009 vann Usain Bolt löpning 100 m på den nya världsrekordtiden 9,58 sekunder.

Decimalerna i talet 9,58 kan uttryckas på olika sätt: eller

5 tiondelar 8 hundradelar 58 hundradelar

Talet 9,58 kan visas på två olika tallinjer.

Exempel 2 Vi jämför talet 9,58 med talet 9,6. Vilket är störst?

9,6 kan skrivas som 9,60 eftersom 6 tiondelar = 60 hundradelar. 9,6 är större än 9,58.

9 , 5 8

9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0

9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00

9 , 5 8

Hundradelar Tiondelar

Kurs 1bc Vux.indb 17 2013-07-11 15:07

18 1.1 POSITIVA TAL

1151 Skriv som ett tal i decimalform

a) 2 tiondelar

b) 4 hundradelar

c) 24 hundradelar

d) 4 tiondelar och 5 hundradelar.

1152 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först.

a) 7,1 7,08 7,15 7,2 7,18

b) 2,01 2,005 2,105 2,11 2,015

c) 0,9 0,87 0,902 0,099 0,805

1153 Vilket tal pekar pilen på?


a) 0,3 + 0,25 c) 0,65 + 0,2

b) 0,3 – 0,25 d) 0,65 – 0,2

1155 Skriv med ord

a) 0,009 b) 0,072

1156 Skriv som ett tal i decimalform

a) 5 tusendelar c) 175 tusendelar.

b) 75 tusendelar

1157 Vilket tal pekar pilarna A och B på?

1158 Anna sprang 100 m på 14,76 sekunder.

a) Belinda sprang två tiondelar snabbare. Vilken var Belindas tid?

b) Carlos sprang sju hundradelar långsam-mare än Anna. Vilken var Carlos tid?

c) Dolores sprang 35 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Dolores tid?

d) Eric sprang 82 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Erics tid?

1159 Vilket samband finns mellan begreppen tiondel och hundradel?

1160 Kostnaden för sjukvården i ett landsting beräknades ett år till 6,3 miljarder kr. De verkliga kostnaderna blev 500 miljoner kr större.

Hur stora blev de verkliga kostnaderna?

1161 Vilket tal ligger mitt emellan

a) 0,4 och 1,4

b) 0,02 och 0,03

c) 0,02 och 0,2 ?

1162 Beräkna utan räknare differensen mellan

a) en tiondel och en hundradel

b) en hundradel och en tusendel

c) tre hundradelar och fjorton tusendelar.

21

21

a) b)

c) d)

1149 Skriv som ett tal i decimalform a) 7 hundradelar b) 45 tusendelar

a) 7 hundradelar = 0,07 b) 45 tusendelar = 0,045

1150 Beräkna utan räknare a) 2,1 + 4,65 a) 2,1 + 4,65 = 2,10 + 4,65 = 6,75 b) 0,4 – 0,38 b) 0,4 – 0,38 = 0,40 – 0,38 = 0,02

0,1 0,2

A B

Kurs 1bc Vux.indb 18 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 19

Tiondelar och hundradelarMateriel: Räknare

1 Du har fyra tal: 24 50 3,8 0,42

Undersök med hjälp av miniräknare:

a) Dividera talen med 10. Skriv upp divisionen och svaret.

b) Multiplicera talen med 0,1. Skriv upp multiplikationen och svaret.

c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 10 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 0,1?

d) Skriv en regel som visar hur decimalkom-mat flyttas då ett tal multipliceras med 0,1 eller divideras med 10.

e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter:

4510

0,1 ∙ 750 2,5 ∙ 0,1

0,510

0,3 ∙ 0,1 0,8510

Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren.

2 Välj två heltal och två decimaltal. Undersök med hjälp av räknare:

a) Multiplicera talen med 100. Skriv upp multiplikationen och svaret.

b) Dividera talen med 0,01. Skriv upp divisionen och svaret.

c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 0,01 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 100?

d) Skriv en regel som visar hur decimalkom-mat flyttas då ett tal multipliceras med 100 eller divideras med 0,01.

e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter:

20,01

100 ∙ 7,5 0,35 ∙ 100

3,80,01

0,008 ∙ 100 0,0450,01

Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren.

UNDERSÖKAktivitet

Kurs 1bc Vux.indb 19 2013-07-11 15:07

20 1.1 POSITIVA TAL

Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar

Exempel 1 Hur kan vi inse att 510

= 0,5?

5 äpplen ska delas lika av 10 personer.

Varje person får då ett halvt äpple. En halv = 0,5. likadelning Detta sätt att tänka om division kalls likadelning.

Exempel 2 Hur kan vi inse att 60,1

= 60 ?

Vi tar hjälp av följande exempel:

Du vill dela ett snöre som är 6 m i lika långa delar.

Om du gör delarna 2 m långa,

får du 62

= 3 stycken delar

Om du gör delarna 0,5 m långa,

får du 60,5

= 12 stycken delar

Om du gör delarna 0,1 m långa

får du 60,1

= 60 stycken delar

Vi kan tänka hur många nämnare ”får plats” i täljaren eller hur många nämnare ”innehåller” täljaren. innehållsdivision Detta sätt att tänka om division kallas innehållsdivision.

Exempel 3 Hur kan vi inse att 0,1 · 5 = 0,5 ?

0,1 ∙ 5 = 5 ∙ 0,1 = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,5

en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel = fem tiondelar

Faktorerna kan byta plats: a · b = b · a

6 m

2 m2 m 2 m

0,5 m

0,1 m

Kurs 1bc Vux.indb 20 2013-07-11 15:07

1.1 POSITIVA TAL 21


1165 Beräkna

a) 10 ∙ 12,5 c) 0,1 ∙ 15,3

b) 10 ∙ 43,28 d) 0,1 ∙ 9

1166 Beräkna

a) 25,410

b) 32,50

0,1 c) 2

0,1

1167 Beräkna

a) 100 ∙ 50,25 c) 0,01 ∙ 600

b) 100 ∙ 4,2 d) 0,01 ∙ 26

1168 Beräkna

a) 95100

b) 32,500,01

c) 280,01

1169 En bunt med 100 papper är 12 mm tjock. Vilken tjocklek har ett papper?

1170 Priset på ett 10-pack med batterier är 58,90 kr. Vilket pris per styck motsvarar det?

1171 Vilket tal ska stå i rutan?

a) 75 ∙ = 7,5 c) ∙ 5 = 0,05

b) 3 = 0,03 d) 5,3

= 53

1172 Du har ett snöre som är 120 m långt. Du delar snöret i lika långa delar. Hur många delar får du om varje del är

a) 10 m c) 0,5 m

b) 2 m d) 0,1 m?

1173 Vilket tal ska stå i rutan?

a) 200,1

= 20 ∙ c) 100 ∙ 7 = 7

b) 4,5 ∙ 0,1 = 4,5

d) 0,25 ∙ = 0,250,01

1174 1 centiliter = 0,01 liter. Hur många 10-centilitersglas kan du fylla om du har 25 liter saft?

1175 Vid frukosten läser Erika innehålls- deklarationen på mjölkförpackningen.

Beräkna mängden

a) protein i 1 g mjölk

b) socker i 10 g mjölk

c) natrium i 1 000 g mjölk.

1163 Beräkna

a) 100 · 25,2 b) 0,1 · 3,5 c) 0,01 · 64

a) 100 · 25,2 = 2520 b) 0,1 · 3,5 = 0,35 c) 0,01 · 64 = 0,64

1164 Beräkna

a) 30,1

b) 8,1

0,01 c)

8,1100

a) 30,1

= 30 b) 8,1

0,01= 810 c)

8,1100

= 0,081

Kurs 1bc Vux.indb 21 2013-07-11 15:07

1.2 Negativa tal

När används negativa tal?

När temperaturen är under noll grader använder vi negativa tal för att tala om hur många grader det är.

Negativa tal används även för att ange t ex behållningen på ett konto, utgifter, ekonomiska resultat och tidsskillnad mellan olika länder.

tallinje Här nedan ser du några tal markerade på en tallinje.

Vi jämför de markerade talens storlek på följande sätt:

olikhetstecknen Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det mindre talet.

När du ska räkna med negativa tal kan du ta hjälp av en termometerskala.

Negativa tal

–2 3

Positiva tal

0 –1 –5 –3 –4 1 2 5

4

Nollpunkten kallas origo.

På tallinjen Med ord Med symboler

2 ligger till höger om –3 2 är större än –3 2 > –3

–5 ligger till vänster om –3 –5 är mindre än –3 –5 < –3

minskar 7°

0 1 2 3 4 5 6 7–6 –5 –4 –3 –2 –10 1 2 3 4 5 6 7

ökar 7°

–6 –5 –4 –3 –2 –1

Temperaturen är −5° och ökar 7 °. −5 + 7 = 2

Temperaturen är 4° och minskar 7 °. 4 − 7 = −3


a) 2 – 5 b) –2 + 5 c) – 2 – 5 + 1

a) 2 – 5 = – 3 b) –2 + 5 = 3 c) –2 – 5 + 1 = –7 + 1 = –6

22 1.2 NEGATIVA TAL

1.2 Negativa tal

När används negativa tal?

Kurs 1bc Vux.indb 22 2013-07-11 15:07

1.2 NEGATIVA TAL 23

1210

Idealresultat på en golfbana är 72 slag. Resultatet 74 slag anges då som +2. Ange följande resultat på detta sätt.

a) Henrik 69 slag c) Anna 71 slag

b) Sophie 75 slag d) Darren 70 slag

1211 Temperaturen sjönk från 3 ºC till –2 ºC på en timme.

Vilken blir temperaturen, om den sjunker med lika många grader nästa timme?

1212 En dag varierade utomhustemperaturen mellan –2,5 ºC och +4,1 ºC.

Hur stor var temperaturskillnaden den dagen?

1213 Vilka belopp ska stå i de tomma vita rutorna?

1214 Vilket tal ligger mitt emellan

a) 3 och 7 d) –8 och –2

b) –2 och 6 e) –5 och 0

c) –3 och 5 f) –25 och –3?

Insättning Uttag Behållning

2 000

3 800 –1 800

2 500

–800

Lös följande uppgifter utan räknare.Kontrollera svaren med räknare.

1202 Temperaturen är –2º. Vad blir den om den

a) ökar med 5º b) minskar med 4º?

1203 9 – 5 = 4 Vad blir 5 – 9?

1204 Beräkna

a) 3 – 5 d) –8 + 2

b) –3 – 5 e) 2 – 8

c) –3 + 5 f) –8 – 2

1205 När Lotta var på vintersemester i fjällen noterade hon temperaturen några gånger under ett dygn.

kl 07.00 –6º kl 18.00 –3º kl 12.00 +2º kl 22.00 –10º

Med hur många grader

a) steg temperaturen under förmiddagen

b) sjönk temperaturen under eftermiddagen

c) sjönk temperaturen under kvällen?

1206 Vad betyder –1 500 kr på ett bankkonto?

1207 Agnes saldo på bankkontot är –450 kr.

Hur mycket pengar har hon på sitt konto om hon

a) sätter in 500 kr c) tar ut 200 kr

b) sätter in 200 kr d) sätter in 350 kr?

1208 Beräkna

a) 7 – 5 + 1 c) –1 – 3 + 1

b) –2 + 5 – 1 d) 1 – 7 + 2

1209 Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen.

a) 5 –2 c) –2 –1

b) –2 5 d) 0 –7

Kurs 1bc Vux.indb 23 2013-07-11 15:07

24 1.2 NEGATIVA TAL

Addition och subtraktion med negativa tal Exempel 1 Vad blir 3 000 + (−400)?

Karl har två bankkonton med kredit. På det ena kontot har han 3 000 kr och på det andra en skuld på 400 kr. Om man slår ihop, dvs adderar, de två kontona blir summan:

3 000 kr + (−400 kr) = 2 600 kr

Vi ser att detta kan beräknas med subtraktionen

3 000 kr − 400 kr = 2 600 kr

Sammanfattning

Två olika tecken efter varandra kan ersättas med ett minustecken.

3 000 + (−400) = 3 000 − 400 = 2 600

Exempel 2 Vad blir 300 − (−50) ?

Vi tar hjälp av följande bild.

a) Hur högt över huset flyger luftballongen?

300 m − 100 m = 200 m

b) Hur högt över dykaren flyger luftballongen?

På samma sätt som ovan får vi

300 m − (−50) m = ?

Av figuren ser vi att detta kan beräknas med additionen

300 m + 50 m = 350 m

Sammanfattning

Två lika tecken efter varandra kan ersättas med ett plustecken.

300 − (−50) = 300 + 50 = 350

På de flesta räknare finns det två olika knappar för minustecken. (−) för negativa tal och – för subtraktion.

300

100

– 50 0

m

Kurs 1bc Vux.indb 24 2013-07-11 15:07

1.2 NEGATIVA TAL 25

Bilden visar läget av en luftballong, en dykare och en u-båt.

1216 a) Vilket avstånd svarar mot

200 − (−50)?

b) Vad blir 200 − (−50)?

1217 a) Vilket avstånd svarar mot

200 − (−200)?

b) Vad blir 200 − (−200)?

1218 Två konton slås ihop. Bestäm summan.

a) + 2 700 kr och – 700 kr

b) – 900 kr och – 400 kr

Lös uppgifterna 1219−1222 utan räknare.

1219 a) 5 + (−2) c) −5 + (−7)

b) 9 + (−5) d) −6 + (−2)

1220 a) 8 − (−2) c) −7 − (−9)

b) 1 − (−1) d) −9 − (−5)

1221 a) 25 + (−15) c) 25 − (−15)

b) −25 + (−15) d) −25 − (−15)

1222 a) − 12 − 5 d) − 16 − (−10)

b) 24 + (− 7) e) − 23 + 5

c) − 9 + 19 f) − 14 + (− 7)

1223 Ge exempel på två tal som gör att beräk- ningen stämmer. Du kan tänka på

två konton.

a) positivt tal

+ negativt tal

= 2 000

b) positivt tal

+ negativt tal

= −2 000

c) negativt tal

+ negativt tal

= −2 000

1224 Beräkna temperaturändringen, dvs sluttemperatur minus starttemperatur.

Starttemperatur Sluttemperatur

a) +17 °C +23 °C

b) +9 °C −3 °C

c) −11 °C +4 °C

d) −4 °C −13 °C

1225 Kan två negativa tal ha

a) summan 20? Förklara.

b) differensen − 20? Förklara.

1226 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?

a) 21 + = 5 c) − 42 + = 37

b) 12 − = 30 d) − 15 − = 24

1215 Beräkna a) 5 + (−2) c) 5 − (−2) b) −5 + (−2) d) −5 −(−2)

a) 5 + (−2) = 5 − 2 = 3

b) −5 + (−2) = −5 − 2 = −7

c) 5 − (−2) = 5 + 2 = 7

d) −5 − (−2) = −5 + 2 = −3

Tecknen + (–) ersätts med –

Tecknen – (–) ersätts med +

200

– 50 0

m

–200

Kurs 1bc Vux.indb 25 2013-07-11 15:07

26 1.2 NEGATIVA TAL

Multiplikation och division med negativa tal Våra vanliga räkneregler gäller även för negativa tal.

multiplikation 3 · (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12

(–4) · 3 = 3 · (–4) = –12

(–4) · (–3) = 12

division

3

–12 = –4 eftersom 3 · (–4) = –12

–3

12 = –4 eftersom (–3) · (–4) = 12

–3

–12 = 4 eftersom (–3) · 4 = –12

Vid multiplikation och division med negativa tal gäller:

1227 Beräkna a) 8 ∙ (– 6) b) (– 5) ∙ (– 7) c) (– 72) /8 d) (– 56) /(– 8)

a) 8 ∙ (– 6) = – 48 c) (– 72) /8 = – 9

b) (– 5) ∙ (– 7) = 35 d) (– 56) /(– 8) = 7

1228 Beräkna a) 14 + (– 2) ∙ 3 b) 25 – (– 5) ∙ (– 2)

Vi räknar multiplikationen först.

a) 14 + (– 2) ∙ 3 = 14 + (– 6) = 14 – 6 = 8

b) 25 – (– 5) ∙ (– 2) = 25 – 10 = 15

Olika teckenger minus.

Sammanfattning

2 · (–5) = –10

(–2) · 5 = –10 (–2) · (–5) = 10

(–10) / 2 = –5 (–10) / (–2) = 5

10 / (–2) = –5

Lika teckenger plus.

Multiplikation är upprepad addition 3 · a = a + a + a

Faktorerna kan byta plats a · b = b · a

Se uppgift 1237.

Division kan omformas till multiplikation.

ba = c kan skrivas bc = a

Kurs 1bc Vux.indb 26 2013-07-11 15:07

1.2 NEGATIVA TAL 27


a) 7 ∙ (– 9) c) (– 6) ∙ (– 2)

b) (– 4) ∙ 8 d) (– 12) ∙ 0

1230 a) (– 14) / 2 c) (– 81) / (– 9)

b) 36 / (– 4) d) –3 /1


a) (– 7) ∙ = 21 c) (– 4) ∙ = – 24

b) ∙ (– 5) = – 40 d) 2 ∙ (– 2) ∙ = 8


a) – 16 = – 8 c) – 6

= 6

b) 45 = – 5 d) – 4

= – 8


a) 3 ∙ (– 4) + 2 c) 5 + (– 2) ∙ (– 3)

b) 10 + (– 5) ∙ 6 d) – 8 + 3 ∙ (– 4)

1234 a) (– 6) · (– 2)4

b) – 242 · (– 6)

1235 a) (– 2) ∙ (– 3) ∙ (– 4)

b) (– 3) ∙ 7 + (– 4) ∙ (– 5)

1236 Beräkna och ordna därefter resultaten i storleksordning med det minsta först.

(– 5) ∙ 3 – 28– 4

9 ∙ (– 2) (– 3) ∙ (– 2) 32– 2

1237 Läs uppifrån och ned. Studera mönstret i multiplikationerna.

3 ∙ (–3) = –9 2 ∙ (–3) = –6 1 ∙ (–3) = –3 0 ∙ (–3) = 0 (–1) ∙ (–3) = ?

a) Hur ändras den första faktorn?

b) Hur ändras produkten?

c) Vad bör (–1) ∙ (–3) bli om mönstret fortsätter?

d) Vad är (–4) ∙ (–3)?

1238 Daniel läser i en bok att beräkningen 1,8 ∙ (– 10) + 32 omvandlar temperaturen – 10 grader Celsius (°C) till grader Fahren-

heit (°F).

Vilken temperatur i grader Fahrenheit

a) motsvarar –10 °C

b) motsvarar –20 °C om man räknar på samma sätt som för – 10 °C?

1239 När det blåser storm och termometern

visar – 4 °C ger beräkningen 3 · (– 4)

2 – 15

den temperatur vi upplever.

a) Vilken temperatur ger beräkningen?

b) Beräkna på samma sätt den temperatur vi upplever i en storm om termometern visar – 20 °C.

1240 Du har talen

3, – 2, 0, 1, – 1, – 4, 2

Vilka två tal ger den

a) största produkten

b) minsta produkten?


a) 40– 4

+ = 30

b) 4 + (– 3) ∙ = 25

c) 50 + (– 2) ∙ = – 10

d) 8 ∙ – 35 = – 75

Kurs 1bc Vux.indb 27 2013-07-11 15:07

28 1.2 NEGATIVA TAL

Tema

Tidszoner Jorden är indelad i 24 tidszoner med normalt 1 timmes tidsskillnad. Nollzonen går genom samhället Greenwich strax utanför London. Greenwich Mean Time (GMT) är världens standardtid.

Tidsskillnaden i timmar mellan några olika platser och London

Los Angeles – 8 London 0 Moskva +3 Chicago – 6 Stockholm +1 Tokyo +9 New York – 5 Athen +2 Melbourne +10

Så här tolkas tabellen:

När klockan är 18 i London, är den i Chicago 18 – 6 = 12.

När klockan är 18 i London är den i Moskva 18 + 3 = 21.

Plats Chicago – 6 London 0 Moskva +3 6 timmar efter London 3 timmar före London

Tid kl 12.00 kl 18.00 kl 21.00

Moskva är 9 timmar före Chicago, eftersom skillnaden mellan 3 och –6 är 9.

Kurs 1bc Vux.indb 28 2013-07-11 15:07

1.2 NEGATIVA TAL 29

1 Hur många timmar före Stockholm är

a) Moskva b) Tokyo?

2 Hur många timmar efter Stockholm är

a) New York b) Los Angeles?

3 Hur många timmar före Los Angeles är

a) New York b) Moskva?

4 Hur många timmar efter Tokyo är

a) Athen b) Chicago?

5 Vad är klockan på följande platser, om den är 10.00 i London?

a) Stockholm c) Moskva

b) New York d) Chicago

6 Vad är klockan på följande platser, om den är 16.00 i Stockholm?

a) Athen c) London

b) Tokyo d) Los Angeles

7 Finalen i US Open i tennis avgörs i New York. Den sänds direkt i TV via satellit.

Matchen börjar kl 19.00 lokal tid.

När kan den ses i

a) London c) Melbourne

b) Stockholm d) Los Angeles?

8 Ett flygplan startar kl 10.30 från Kastrup i Danmark (Stockholms tidszon) och flyger direkt till Seattle (Los Angeles tidszon). Flygtiden är 9 h.

När är planet framme lokal tid i Seattle?

9 Ett flygplan startar kl 15.05 från Arlanda utanför Stockholm och flyger direkt till Tokyo. Flygtiden är 10 h 15 min.

När är planet framme lokal tid i Tokyo?

10 Du flyger från Los Angeles till Melbourne. Flygtiden är 16 h. Du startar den 10 januari kl 09.00.

När är du framme?

Kurs 1bc Vux.indb 29 2013-07-11 15:07

30 1.2 NEGATIVA TAL

Tema

Vinst eller förlust? Exempel 1 Jenny och Mia har ett litet företag som designar, tillverkar och säljer kläder. Förra året köpte de varor för 150 000 kr och sålde dem för 385 000 kr. Företagets kostnader för löner, lokaler, reklam m m var sammanlagt 165 000 kr.

Företagets intäkter och kostnader var:

Intäkter Kostnader Försäljning: 385 000 kr Inköp av varor: 150 000 kr Försäljningskostnader: 165 000 kr

315 000 kr

Resultatet = 385 000 kr – 315 000 kr = 70 000 kr.

Resultat

Exempel 2 Ett företag köpte ett år nya maskiner till sin tillverkning. Maskinerna kostade 100 000 kr. Under året köpte man varor för 43 000 kr. Försäljningskostnaderna (löner, marknadsföring mm) var 60 000 kr. Under året sålde man varor för 150 000 kr.

Det kan verka som om verksamheten gick med förlust under året. Man hade utgifter på sammanlagt 203 000 kr men fick bara in 150 000 kr. I det här fallet måste man dock tänka på att de inköpta maskinerna kan användas under flera år.

Om vi antar att maskinerna kan användas i 5 år och att de minskar i värde

lika mycket varje år blir värdeminskningen

20 0005

100 000= kr per år.

Siffrorna för året blir då så här:

Intäkter Kostnader Försäljning: 150 000 kr Värdeminskning: 20 000 kr Inköp av varor: 43 000 kr Försäljningskostnader: 60 000 kr

123 000 kr

Resultatet = 150 000 kr – 123 000 kr = 27 000 kr Verksamheten har alltså under året gett en vinst på 27 000 kr!

Resultat = Intäkter – Kostnader Positivt värde på resultatet innebär vinst. Negativt värde på resultatet innebär förlust.

Kurs 1bc Vux.indb 30 2013-07-11 15:07

1.2 NEGATIVA TAL 31

Resultat räknas utan moms. I detta avsnitt är alla priser givna utan moms.

1 Företaget AlfaStar redovisar följande:

Intäkter 210 000 kr

Kostnader Inköp av varor 169 000 kr Hyra 28 000 kr Övriga kostnader 17 000 kr

Beräkna företagets resultat.

2 Under en sommarvecka säljer Petter jordgubbar vid en badstrand. Hans kostnader är följande:

Inköp av 300 liter jordgubbar 3 600 kr Frakt 500 kr Reklam 400 kr

Beräkna resultatet om han säljer

a) alla jordgubbarna för 20 kr/l b) 200 liter för 29 kr/l och resten för 19 kr/l.

3 Ett företag köper en maskin för 180 000 kr.

a) Den används i 5 år, därefter skrotas den. Vad är maskinen värd efter 2 år om värde- minskningen är lika stor varje år?

b) Vad är maskinen värd efter 2 år om dess värde varje år minskar med en tredjedel av föregående års värde?

4 Företaget Tryck-till-tusen ska köpa in t-shirts och trycka text på tröjorna.

Första årets budget såg ut så här:

Intäkter Starta-eget-bidrag 78 000 kr Försäljningsintäkter Modell A 98 kr/st Modell B 149 kr/st

Kostnader Inköp av material 236 000 kr Hyra av lokaler och utrustning 95 000 kr Reklam 45 000 kr

a) Beräkna resultatet om man säljer 2 300 st tröjor av modell A och 1 400 st tröjor av modell B under året.

b) Hur mycket skulle var och en av de två del- ägarna få om de delar lika på överskottet?

5 En hotellkedja köpte in 3 200 souvenirdockor för 35 kr/st. Övriga försäljningskostnader uppgick till 48 000 kr. Anta att man lyckas sälja alla dockorna.

a) Hur stor blir vinsten om försäljningspriset är 69 kr/st?

b) Vid vilket försäljningspris blir resultatet en förlust?

6 Helena har ett familjebageri. Förra året köpte hon maskiner för 640 000 kr med en beräknad livs-längd på 8 år. Bageriets kostnader under året för inköp, löner mm fördelade sig på följande sätt:

Råvaror 1 275 000 kr Löner 540 000 kr Lokaler 120 000 kr Reklam 40 000 kr

Bageriet sålde för 2 340 000 kr under året.

a) Vad är kostnaden för värdeminskning av maskinerna om den är lika stor varje år?

b) Beräkna bageriets totala kostnader under året.

c) Vad blev bageriets årsresultat?

Kurs 1bc Vux.indb 31 2013-07-11 15:07

32 1.3 TAL I BRÅKFORM

1.3 Tal i bråkform

Hur stor andel? Exempel Elna delar sin pizza i fjärdedelar och äter tre av delarna. Hur stor andel av pizzan äter hon?

43

41

41

=+41

+

Hon äter tre fjärdedelar av pizzan.

Tre fjärdedelar är ett tal som i bråkform kan skrivas

43 eller 3/4.

Talet under bråkstrecket talar om vilka delar vi har (fjärdedelar). Talet ovanför bråkstrecket talar om hur många delar vi har (3 stycken).

Omvandla tal i bråkform till decimalform kan vi enkelt göra med räknare. Tabellen visar några viktiga omvandlingar du bör kunna utantill!

1301 Hur stor andel av figuren är färgad?

Vi måste först dela området i lika stora delar. 3 trianglar av 8 är färgade. 3

8 av figuren är färgad.

Täljare

Nämnare

Bråkform Decimalform

En halv

21

0,5

En tredjedel

31

0,333...

En fjärdedel

41

0,25

En femtedel

51

0,2

Kurs 1bc Vux.indb 32 2013-07-11 15:08

1.3 TAL I BRÅKFORM 33

1302 Skriv talen i bråkform.

a) en åttondel

b) sju åttondelar

c) tre femtedelar

d) en tiondel

1303 Skriv ett bråk som anger hur stor andel av respektive figur som är färgad.

a) c)

b) d)

1304 Willy ska åka till Stockholm.

När han har åkt

54 av sträckan tar han paus.

Hur stor del av resan har han kvar?

1305 Bestäm utan räknare vilket bråk är störst, 1/5 eller 1/6? Förklara hur du tänker.

1306 Skriv i decimalform. Kontrollera med räknare.

a)

101 b)

52 c)

32

1307 I en butik arbetar fem män och sju kvinnor.

a) Hur stor är andelen män?

b) Hur stor är andelen kvinnor? 1308 Malin och Leila har delat en pizza i två lika stora delar. Malin har ätit 3/8 av sin del och Leila 3/5 av sin del.

Vem har ätit mest? Förklara hur du tänker.

1309 Jennys farmor har sytt ett lapptäcke. Hon påstår att 2/9 av lapptäcket är grönt.

a) Förklara varför hon har fel.

b) Hur stor andel av täcket är grönt?

c) Hur stor andel av täcket är blått?

1310 a) Vad är hälften av

62 ?

b) Ge exempel på ett bråktal som är

dubbelt så stort som

62

1311

Det kinesiska Tangram-pusslet består av en kvadrat som delats i sju delar. Hur stor andel av pusslet utgör

a) A e) F b) A + B f) D c) G g) E + F d) E h) E + F + C + D?

1312 Skriv ett tal i bråkform

a) som kan skrivas 0,025

b) som är hälften så stort som 0,1

c) som ligger mellan 0,10 och 0,11.

A

B C

D

E

FG

Kurs 1bc Vux.indb 33 2013-07-11 15:08


Aktivitet

Jämföra bråktal

1 En chokladkaka med 24 rutor kan delas i lika stora delar på många olika sätt. Rita sex bilder av kakan och

dela kakan i två delar dela kakan i tre delar dela kakan i fyra delar

dela kakan i sex delar dela kakan i åtta delar dela kakan i tolv delar

2 Skugga eller färglägg en av dina bilder. Skriv bråktalet bredvid den skuggade delen.

a)

32

av kakan c)

62

av kakan

b)

43 av kakan d)

86 av kakan

3 Två av bråktalen i uppgift 2 beskriver lika mycket choklad. Vilka?

4 Studera dina bilder och skriv flera olika bråktal

som är lika stora som

21 .

5 Vilka tal är större än

21 ? Förklara hur du tänker.

1411

127

85

52

105

2813

148

6 Vilket tal är störst?

a) 63

64eller b)

61

81eller c)

42

32eller

7 Använd bilderna i uppgift 1. Vad ska det stå i rutorna?

a) 31

24= c)

65

24= e)

1210

24=

b) 32

24= d)

87

24=

8 Använd resultatet i uppgift 7 för att avgöra vilket bråk som är störst.

a) 32

65eller b)

87

1210eller

9 Vilket bråk är störst? Visa en beräkning eller förklara hur du tänker.

a) 53

21eller c)

43

97eller

b) 52

31eller d)

87

98eller

UNDERSÖK

Kurs 1bc Vux.indb 34 2013-07-11 15:08


Förlängning och förkortning

Exempel 1 Det är viktigt att förstå att flera olika bråk kan beskriva samma sak. Vi kan därför förlänga eller förkorta ett bråk utan att ändra dess värde.

Vi förlänger med 2. Vi förkortar med 2.

förlänga/ förkorta

13

1 23 2

2 6

= =·

·

2 6

2 26 2

1 3

= =//

Täljare och nämnare Täljare och nämnare multipliceras med 2. divideras med 2.

enklaste form Ett bråk som inte kan förkortas mer är skrivet i enklaste form.

förhållande Bråktal används både för att ange en andel och för att beskriva ett förhållande mellan två tal.

Exempel 2 I en skolklass med 30 elever finns 12 pojkar och 18 flickor. Förhållandet mellan antalet pojkar och flickor skrivs i enklaste form.

antalet flickor 18 18/6 3antalet pojkar 12 12/6 2

= = =

Förhållandet

32 skrivs ofta som 2 : 3.

Med andra ord kan man säga att ”det går två pojkar på tre flickor”.

1313 Bestäm utan räknare vilket bråk som är störst,

65 eller

86 ?

Vi förlänger till samma nämnare (24) för att kunna jämföra talen.

6 6 · 4 245 5 · 4 20

= = och

8 8 · 3 246 6 · 3 18

= =

Svar:

2420 är mer än

2418 , alltså är

65 större än

86 .

Man säger: ”två till tre”.

31

62

7 Använd bilderna i uppgift 1. Vad ska det stå i rutorna?

a) 31

24= c)

65

24= e)

1210

24=

b) 32

24= d)

87

24=

8 Använd resultatet i uppgift 7 för att avgöra vilket bråk som är störst.

a) 32

65eller b)

87

1210eller

9 Vilket bråk är störst? Visa en beräkning eller förklara hur du tänker.

a) 53

21eller c)

43

97eller

b) 52

31eller d)

87

98eller

Kurs 1bc Vux.indb 35 2013-07-11 15:08


1314 Förhållandet mellan den långa och den korta sidan är olika för olika flaggor. En svensk flagga som är 70 cm bred skall vara 112 cm lång.

Beräkna på enklaste sätt förhållandet mellan 70 och 112.

Förhållandet =

112 112 / 2 56/ 7 8 70 70/ 2 35/ 7 5

= = =

Svar: Förhållandet är 5 : 8.

1315 Hur stor andel av figuren är

a) färgad

b) ofärgad?

Svara i enklaste form.

1316 Förläng bråken så att nämnaren blir 18.

a) 49

b) 56

c) 23

1317 Miriam arbetade 4 kvällar kl 18–22 under en vecka.

Hur stor del av full tid, 40 h, arbetade hon? Svara i enklaste bråkform.

1318 När man förkortar ett bråk så minskar bråkets värde, säger Tim.

Är det sant? Motivera ditt svar.

1319 Bestäm utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare.

a) Vilket bråk är störst 35

eller 57

?

b) Vilka av följande tal är lika med 25

?

2050

1225

615

49

820

1320 Hur stor andel av en timme är

a) 10 minuter c) 3 minuter

b) 45 minuter d) 5 minuter?

1321 Ange ett bråk som har samma värde som 2 /7 men en nämnare som är

a) 21 b) 56

1322 En TV kan ha olika förhållanden mellan bredd och höjd på bilden. 4:3 var tidigare ett standardformat och 16:9 kallas för widescreen. Ayla mäter bredden på sin TV till 56 cm och höjden till 42 cm.

Är Aylas TV standard eller widescreen?

1323 48 g koppar, 12 g zink och 20 g nickel smälts samman till nysilver.

Bestäm i enklaste form

a) andelen koppar

b) förhållandet mellan mängden zink och mängden koppar.

1324 Två tal förhåller sig som 3 : 4. Vilka är talen om deras summa är 28?

1325 Bråket x

36 har ett värde som ligger mellan

13

och 12

. Vilka tal kan x vara?

1326 Dela upp täljare och nämnare i

primfaktorer och förklara varför 3566

inte går att förkorta.

Kurs 1bc Vux.indb 36 2013-07-11 15:08


Addition och subtraktion av bråk Exempel 1 Hur mycket blir 5

6 + 2

6 ?

Två bråk med samma nämnare kan adderas direkt.

56

+ 26

= 76

Bråk större än 1 kan skrivas antingen i bråkform eller i blandad form.

76

= 1 16

Exempel 2 Två bråk med olika nämnare kan inte adderas direkt.

Om du får 14

av en chokladkaka och 13

av en annan likadan kaka,

hur stor del av en hel kaka har du fått?

olika nämnare

Kakorna är delade på olika sätt.

14

+ 13

När bråken har olika nämnare måste man först skriva om, förlänga, bråken till samma nämnare. Båda bråken skrivs med nämnaren 12.

gemensam nämnare Detta kallas att använda en gemensam nämnare till bråken.

1 · 34 · 3

+ 1 · 43 · 4

= 312

+ 412

= 712

förlänger med 3 förlänger med 4

Tips Genom att multiplicera nämnarna med varandra i två bråktal får du alltid en gemensam nämnare.

Blandad form, uttalas en hel och en sjättedel.

Bråkform

+ =

+

+ =

Kurs 1bc Vux.indb 37 2013-07-11 15:08


1327 Beräkna och svara i enklaste form

127 –

123

127 –

123 =

124 =

12 /44 /4 =

31

1328

Skriv

a) 94

i blandad form b) 3 12

i bråkform.

a) 94

= 44

+ 44

+ 14

= 2 14

3 12

= 22

+ 22

+ 22

+ 12

= 72

1329 Beräkna och svara i enklaste form.

a) 12

+ 16

b) 23

– 14

a) 12

+ 16

= 1 · 32 · 3

+ 16

= b) 23

– 14

= 2 · 43 · 4

– 1 · 34 · 3

=

= 36

+ 16

= 46

= 23

= 812

– 312

= 512

1330 På en idrottsdag kunde eleverna välja fotboll, volleyboll eller bad. 1/4 valde fotboll och 3/5 valde volleyboll. Hur stor andel av eleverna valde a) en bollsport b) bad?

a) Fotboll eller volleyboll: 14

+ 35

= 1 · 54 · 5

+ 3 · 45 · 4

= 520

+ 1220

= 1720

b) Bad: 1 − 1720

= 2020

− 1720

= 320

Svar: a) 17/20 valde en bollsport. b) 3/20 valde bad.

Förläng till samma nämnare.Förläng till nämnaren 6.

Förkorta med 2.

Kurs 1bc Vux.indb 38 2013-07-11 15:08




a) 27

+ 7

= 57

b) 59

+ 9

= 1

1332 a) Bilden visar 2 23

Skriv talet i bråkform.

b) Bilden visar 92

Skriv talet blandad form.

1333 Skriv i blandad form

a) 72

b) 74

c)

310

1334 Skriv i bråkform

a) 2 12

b) 2 13

c) 1 45


a) 25

+ 15

b) 59

– 29

c) 312

+ 112

1336 Beräkna 12

+ 15

Förläng först till nämnaren 10.

1337 Förläng till gemensam nämnare och beräkna

a) 12

+ 34

b) 23

– 14

1338 Beräkna

a) 26

+ 34

b) 310

– 16

c) 615

+ 45

1339 Skriv den beräkning som visas med bilden och gör beräkningen

a)

b)

1340 Anna, Bo och Per delade på en lotterivinst.

Anna fick 58

och Bo fick 14

av vinsten. Hur stor andel fick Per?

1341 Skriv talen i bråkform och beräkna

a) 1 12

+ 1 14

b) 2 13

− 1 23

1342 Ge exempel på två olika bråk som har summan

a) 56

b) 23

1343 Visa att 38

är större än 13

1344 Vilket tal är a?

a) 85

– 1 = a5

b) 3 + 79

= a9

1345 För flera tusen år sedan räknade man i Egypten nästan bara med bråk där täljaren är 1. Sådana bråk kallas stambråk.

a) 27

kan skrivas som summan av två olika

stambråk. Det ena är 14

.

Vilket är det andra?

b) ”Sju tolftedelar” kan skrivas som summan

av två olika stambråk. Det ena är 13

.

Vilket är det andra?

+

+

+

+

Kurs 1bc Vux.indb 39 2013-07-11 15:08


Multiplikation och division av bråk

Exempel 1 Hur beräknas 3 ·

41 ?

3 ·

41

kan beräknas

41 +

41 +

41

=

43

+ + =

Vi får samma resultat med 3 ·

41

=

43 · 1

=

43

Exempel 2 Hur beräknas

72 av 2 800 kr?

71 av 2 800 kr =

7

2 800 kr = 400 kr

72 av 2 800 kr = 2 ∙ 400 kr = 800 kr

Vi får samma resultat med

72 ∙ 2 800 kr =

7

2 · 2 800 kr = 800 kr

Exempel 3 Hur beräknas 23

av 34

?

Av figuren ser du att 23

av 34

= 24

= 12

Vi får samma resultat med: 23

∙ 34

= 2 · 33 · 4

= 24

= 12

Multiplikation av bråk

Det är bara täljaren som ska multipliceras med 3!

Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljarna för sig och

nämnarna för sig. ba

d c

b · da · c· =

Då ett bråk multipliceras med ett heltal multipliceras endast täljaren

med talet.

ac

bc

a · b· =

3/4

23

av 34

3/4

Kurs 1bc Vux.indb 40 2013-07-11 15:08


Lös uppgifterna 1348 – 1353 utan räknare.

1348 Beräkna

a) 4 ·

51

b) 2 ·

92

c) 20 ·

310

1349 Till en barnteater kom 60 personer. 3/4 av dem var barn. Hur många vuxna fanns det i publiken?

1350 Vilket är mest

32 av 60 kr eller

53 av 50 kr?

1351 a) Hur många timmar är 2 /3 dygn?

b) Hur många sekunder är 3/4 minut?

1352 Beräkna

a) 23

· 25

b) 3 · 27

c) 35

· 14


a) 914

· 718

b) 415

· 524

c) 3 · 121

1354 I kylskåpet ligger 3/4 av en pizza. Lotta äter 1/3 av biten.

Rita en bild och beräkna hur stor andel av en hel pizza hon har ätit.

1346 Beräkna

a) 4 ·

92

b)

43 av 6 000 kr

a) 4 ·

92

=

94 · 2 =

98

b) 43 · 6 000 kr =

4

3 · 6 000 kr = 4 500 kr

1347 Beräkna

a) 23

av 45

b) 57

· 215

a) 23

∙ 45

= 2 · 43 · 5

= 815

b) 57

· 2

15 = 5 · 27 · 15

= 1 · 27 · 3

= 2

21 3

1355 En back läsk innehåller 20 flaskor och varje flaska innehåller 1/3 liter.

Hur många liter innehåller flaskorna tillsammans? Svara både i blandad form och i bråkform.

1356 14 karat guld innehåller 14/24 guld. Hur många gram rent guld inne- håller två st 14 karats ringar som tillsammans väger 12 g?

1357 Amir, Liz och Niklas arbetade tillsammans med en hemsida. Amir gjorde 2/3 av arbetet, Liz 1/4 av arbetet och Niklas resten. De arbetade i fem dagar och fick 12 000 kr för hela arbetet.

Hur ska de fördela pengarna?

1358 Produkten av två tal är 1. Bestäm den andra faktorn om den ena faktorn är

a) 14

b) 2 c) 35

d) 6

Ibland kan man förkorta innan talen multipliceras.

1

Kurs 1bc Vux.indb 41 2013-07-11 15:08


Exempel 4 Hur många läskburkar krävs för att fylla en

2-litersflaska, om en burk innehåller 13

liter?

1 liter 1 liter

13

13

13

13

13

13

Av figuren ovan ser du att svaret är 6 burkar.

Detta resultat kan vi också få med hjälp av en innehållsdivision:

2

13

=

21

13

=

2 · 31 · 1

1 · 33 · 1

=

16

1 = 6

Vi förlänger så att nämnaren blir 1.

Vi ser att divisionen

13

2 ger samma resultat som multiplikationen 2 ·

13

inverterat tal Man säger att ba

är det inverterade talet till ab

.

Täljare och nämnare har bytt plats.

T ex är 31

det inverterade talet till 13

.

Att dividera med ett bråk ger samma resultat som att multiplicera med bråkets inverterade tal.

1359 Beräkna

a) 45

/ 12

b) 2 / 23

c) 67

/ 3

a) 45

/ 12

= 45

· 21

= 4 · 25 · 1

= 85

b) 2 / 23

= 21

· 32

= 2 · 31 · 2

= 3

c) 67

/ 3 = 67

/ 31

= 67

· 13

= 6 · 17 · 3

= 27

1

2

Division av bråk

dcb a

b ca d= ·

Kurs 1bc Vux.indb 42 2013-07-11 15:08



a) 43

/ 12

c) 56

/ 3

b) 2 / 34

d) 815

/ 425

1361 Bestäm det bråk som är hälften av

a) 47

b) 34

c) 16

d) 7

1362 Till en kaka använde Anna 3/4 hg smör. Hon delar kakan i lika stora bitar. Hur mycket smör innehåller en bit

om hon delat kakan i

a) 3 delar b) 5 delar?

1363 Farmor har gjort 5 liter vinbärssaft som ska hällas på flaskor. Hur många flaskor behövs om de rymmer

a) 2 /3 liter b) 3/4 liter?

1364 I ett samhälle insjuknade 3/10 av befolk-ningen i influensa. 5/6 av de insjuknade blev sängliggande längre än en vecka. Hur stor andel av befolkningen motsvarade det?

1365 En flaska innehåller 23

liter koncentrerad

saft. När den blandas ut ska man ta 1 del saft och 4 delar vatten. Hur mycket färdig-blandad saft ger saftflaskan?

1366 I Sverige finns många fritidsbåtar. I 1/5 av båtarna finns möjlighet att över-

natta. 3/5 av dessa båtar är motorbåtar och resten är segelbåtar.

Hur stor andel av fritidsbåtarna är

a) en motorbåt med övernattnings-möjlighet

b) en segelbåt med övernattnings-möjlighet?

1367 Vilket tal ska 2 /3 multipliceras med för att ge talet 3/2?

1368 Du och dina fem kompisar ska dela på en jättepizza.

Anna får 1/6 av hela pizzan. Benjamin får 1/5 av det som är kvar. Cecilia får 1/4 av det som sedan är kvar. Dan får 1/3 av resten och Erik 1/2 av åter stoden.

Vad blir kvar till dig?

1369 Bara 1/5 av de anställda på ett företag tar bilen till jobbet. Av dem som inte kör bil, cyklar eller går hälften. Resten åker med kollektivtrafiken.

Petra påstår att det är dubbelt så många som åker kollektivt jämfört med de som åker bil.

Är det sant? Motivera ditt svar.

Kurs 1bc Vux.indb 43 2013-07-11 15:08

44 1.4 TAL I POTENSFORM

1.4 Tal i potensform

Vad menas med 35? Exempel 1 Summan av flera lika tal kan skrivas på ett kort sätt:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 ∙ 3

Även för en multiplikation har vi ett kort skrivsätt:

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35

potens 35 kallas en potens och läses ”3 upphöjt till 5”.

bas – exponent 3 kallas bas och 5 kallas exponent.

tiopotenser Tal skrivna i potensform med basen 10 kallas tiopotenser.

Exempel 2

313 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 1 594 323

Ordet potens betyder kraftfull och vi ser att beräkningar med potenser är "kraftfulla" − vi får ofta stora tal som resultat.

1401 a) Skriv 103 i faktorform. b) Skriv x ∙ x ∙ x ∙ x i potensform.

a) 103 = 10 ∙ 10 ∙ 10 b) x ∙ x ∙ x ∙ x = x4

1402 Beräkna 4 + 2 · 52 utan räknare.

4 + 2 · 52 = 4 + 2 · 25 = 4 + 50 = 54

Potensform Faktorform Värde

102 10 · 10 100

25 2 · 2 · 2 · 2 · 2 32

x3 x · x · x

Antalet möjliga rader på Stryktipset är 313.

Varje match ger tre alternativ (1, X eller 2).

Potenser på din räknare

Vanliga tangenter för ”upphöjt till” är ∧ eller xy .

Potenser beräknas först. Se sidan 11.

Kurs 1bc Vux.indb 44 2013-07-11 15:08

1.4 TAL I POTENSFORM 45

1403 Skriv i potensform

a) 4 ∙ 4 ∙ 4 b) 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 c) x ∙ x

1404 Skriv i faktorform

a) 62 b) 36 c) a5


a) 102 + 102 c) 102 + 103 + 104

b) 103 + 102 d) 105 – 103


a) 24 + 1 b) 102 + 23 c) 62 − 5

1407 Beräkna utan räknare. Kontrollera svaret med räknare.

a) 2 ∙ 42 b) 4 ∙ 52 + 15

1408 Skriv i potensform med basen 10.

a) ett tusen b) en miljon c) en miljard

1409 a) Skriv 23 ∙ 24 i faktorform och sedan som en potens.

b) Skriv 32 ∙ 36 i faktorform och sedan som en potens.

c) Vad ska det stå i rutan 53 ∙ 56 = 5

d) Skriv med ord en regel för multiplikation av tal i potensform med samma bas.

1410 Skriv i potensform med basen 2

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64

1411 a) Utgå från 37

33. Skriv talen i faktorform

och förkorta. Skriv sedan svaret som en potens.

b) Utgå från 27

24. Skriv talen i faktorform

och förkorta. Skriv sedan svaret som en potens.

c) Vad ska det stå i rutan 45

42 = 4

d) Skriv med ord en regel för division av tal i potensform med samma bas.

1412 Skriv som en potens

a) 28

23 c) 107

103

b) 33 ∙ 33 d) 10 ∙ 102 ∙ 105

1413 Egon är en egenföretagare. Han drömmer om att antalet personer i företaget ska fördubblas varje år. Om 20 år skulle jag nog minst ha 100 000 anställda, tänker han.

Stämmer detta? Motivera.

1414 Skriv i potensform med basen 2 det tal som är

a) dubbelt så stort som 28

b) hälften så stort som 28.


a) (– 5)2 b) (– 3)3 c) (– 2)4

1416 Vilket tal är x?

a) 53 ∙ 5x = 510 c) 2x ∙ 4 = 215

b) 210

2x = 27 d) 82

2x = 4

Kurs 1bc Vux.indb 45 2013-07-11 15:08


Några potenslagar Vi visar hur tal i potensform kan tolkas och förenklas med hjälp av våra vanliga räkneregler.

Tolkning och förenkling Sammanfattning

1 34 ∙ 32 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 36 34 ∙ 32 = 34+2 = 36

2 25

23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2

2 · 2 · 2 = 2 ∙ 2 = 22 25

23 = 25−3 = 22

3 (42)3 = 42 ∙ 42 ∙ 42 = 46 (42)

3 = 42 ∙ 3 = 46

4 (2r)3 = 2r ∙ 2r ∙ 2r = 8r3 (2r)3 = 23r3 = 8r3

a x ∙ a y = a x + y (a x)

y = a xy

a x

a y = a x − y (a ∙ b)x = a x ∙ b x

exponenten noll Vad menas med 30 ?

32 – 2 = 30 enligt potenslagen för division.

32 =32

1 eftersom täljare och nämnare är lika stora.

Vi bör alltså definiera 30 som 1.

negativ exponent Vad menas med 3–2 ?

32 – 4 = 3– 2 enligt potenslagen för division.

32 =34

3 3

3 33 3 3 3132

⋅⋅ ⋅ ⋅

1⋅

==

Vi bör alltså definiera 3–2 som 132

Definition a −x = 1a x

och a 0 = 1 a ≠ 0 a får inte vara 0.

4 faktorer 2 faktorer

Potenslagar

1 1 1

1 1 1

Kurs 1bc Vux.indb 46 2013-07-11 15:08


1427 Beräkna utan räknare. Kontrollera svaret med räknare.

a) 2 ∙ 3 ∙ 105 ∙ 10–2 c) 5 ∙ 10–4 ∙ 3 ∙ 102

b) 12 · 106 · 10

4

3 d) 36 · 109 · 10

2

4

-

-

1428 Är den sant att (103)3 är detsamma som

en miljon?

1429 Freja påstår att 42 + 42 + 42 kan skrivas 46.

a) Förklara varför det är fel.

b) Hur kan 42 + 42 + 42 skrivas kortare?

1430 Vilket tal är x?

a) 102

105 = 10x c) 102

10x = 107

b) 10x

10–5 = 10–7 d) 10–2

10–5 = 10x

1431 Bestäm utan räknare. Vilket tal är störst 2–3 eller 3–2? Motivera.

1432 a) Skriv om 6200 med exponenten 100.

b) Skriv om 2500 med exponenten 100.

c) Vilket tal är störst, 6200 eller 2500 ?

1419 Skriv 10–2 som ett tal

a) i bråkform b) i decimalform.


a) i bråkform b) i decimalform.

1421 Förenkla

a) 108 · 1010 c) (52)3

b) 35

33 d) 104

106

1422 Skriv 0,01 som ett tal

a) i bråkform

b) i potensform med basen 10.


a) 52 + 51 + 50

b) 72 ∙ 70

1424 Förenkla

a) 43 · 42 · 4 b) 34/3 c) 2/25

1425 Skriv i potensform med basen 10

a) en tusendel

b) en miljondel.

1426 Förenkla

a) (4 · a)2 b) (10x)3 c) (2x2)3

1417 Förenkla med potenslagarna a) 33 · 35 b) 36

32 c) (23)

4

a) 33 · 35 = 33+5 = 38 b) 36

32 = 36–2 =34 c) (23)

4 = 23 · 4 = 212


a) i bråkform b) i decimalform

a) 10–3 = 1103 = 1

1000 b) 10–3 = 1

1000 = 0,001

Kurs 1bc Vux.indb 47 2013-07-11 15:08


Grundpotensform Exempel Jordens massa är 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.

En elektron har massan 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg.

Tal med många nollor är besvärliga att skriva och svåra att läsa, men med tiopotenser kan vi hantera både stora och små tal på ett bekvämt sätt.

1 500 = 1,5 · 1 000 = 1,5 · 10 · 10 · 10 = 1,5 · 103

0,015 = 1,5 · 0,01 = 1,5 · 10–2

Jordens massa är 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5,98 ∙ 1024 kg

Elektronens massa är 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg = 9,11 ∙ 10−31 kg

Grundpotensform

Tal i grundpotensform skrivs in och presenteras olika på olika räknare. Ta reda på hur din räknare fungerar.

1433 Skriv utan potenser a) 5,41 ∙ 106 b) 2 ∙ 10−4

a) 5,41 ∙ 106 = 5 410 000 b) 2 ∙ 10−4 = 0,000 2

1434 Skriv i grundpotensform a) 6 000 000 000 b) 0,000 042

a) 6 000 000 000 = 6 ∙ 109 b) 0,000 042 = 4,2 ∙ 10−5

1435 Beräkna med räknare 3,8 ∙ 1018 ∙ 1,1 ∙ 10−3

3,8 ∙ 1018 ∙ 1,1 ∙ 10−3 = 4,18 ∙ 1015

Stora och små tal skrivs ofta på formen a · 10n.a är ett tal i decimalform, som är större än eller lika med 1 och mindre än 10. 1 < a < 10Detta sätt att skriva tal kallas grundpotensform.

24 steg

31 steg

6 steg 4 steg

Kurs 1bc Vux.indb 48 2013-07-11 15:08


1436 Skriv utan potenser

a) 4,5 ∙106 c) 2 ∙106

b) 5,3 ∙103 d) 7,04∙108

1437 Skriv i grundpotensform

a) 2 000 000 c) 60 000

b) 2 300 000 d) 61 200


a) 450 ∙ 8 ∙ 107

b) 7,5 ∙ 106 ∙ 4,8 ∙ 107

1439 Avståndet mellan jorden och solen är 1,5 ∙ 10

11 m. Till stjärnan Sirius är det 540 000 gånger så långt.

Beräkna avståndet till Sirius.

1440 Skriv utan potenser

a) 3,8 ∙ 10-4 c) 9,02 ∙ 10-3

b) 5,9 ∙ 10-6 d) 8 ∙ 10-4


a) Jordens folkmängd: 6 900 000 000.

b) Röda blodkroppars diameter: 0,007 mm.


a) 17 miljoner c) 3 tusendelar

b) 132 miljarder d) 92 tusendelar

1443 En elektron väger 9,1 · 10 –31 kg. En proton väger 1 900 gånger mer.

Vad väger en proton?

1444 Hushållen i Sverige kastar varje år 4,7 · 109 kg avfall.

Hur mycket blir det per person om antalet invånare är 9,4 miljoner?

1445 Avståndet från jorden till månen är 3,84 · 108 m.

Avståndet från jorden till solen är 1,5 · 1011 m.

Hur många gånger längre är det till solen än till månen?

1446 En vuxen människa har ca 2,5 ∙ 1013 röda blodkroppar. Varje blodkropp är ca 7 ∙ 10–3 mm lång. Anta att blodkropparna kunde läggas i rad.

Hur lång skulle raden bli i kilometer?

Kurs 1bc Vux.indb 49 2013-07-11 15:08


Enhetsbyten En längd kan beskrivas med ett mätetal och en enhet.

Om vi byter enhet ändras även mätetalet. Exempel:

Längden 1,65 m = 165 cm

I tabellen nedan ser du några vanliga enheter för längd, volym och vikt.

Mätetalet ska: divideras − när vi går från mindre enhet till en större. multipliceras − när vi går från en större enhet till en mindre.

Ytterligare några enheter. Tid: 1 år = 365 dygn Längd: 1 mil = 10 km 1 dygn = 24 h 1 h = 60 min Massa: 1 ton = 1 000 kg 1 min = 60 s

1447 a) Skriv 3 dm med enheten mm. b) Skriv 14,5 g med enheten kg. c) Skriv 15 min med enheten timmar.

a) 3 dm = 3 · 100 mm = 300 mm

b) 14,5 g =

1 00014,5 kg = 0,0145 kg

c) 15 min =

6015 h = 0,25 h

Mätetal Enhet

∙ 10

Mätetalet ska divideras med 10.

Mätetalet ska multipliceras med 10.

Volyml

(liter)dl

(deciliter)cl

(centiliter)ml

(milliliter)

Massakg

(kilogram)hg

(hektogram)g

(gram)mg

(milligram)

Längdkm

(kilometer)m

(meter)dm

(decimeter)cm

(centimeter)mm

(millimeter)

∙ 10∙ 10∙ 10∙ 10∙ 10

/10 /10 /10 /10 /10 /10

Kurs 1bc Vux.indb 50 2013-07-11 15:08


Vilket tal ska stå i rutan?

1448 a) 3 m = cm c) 5 km = m

b) 2 cm = mm d) 7 dm = mm

1449 a) 3 kg = g c) 5 g = mg

b) 4 hg = g d) 7 kg = hg

1450 a) 3 år = mån c) 5 h = min b) 2 dygn = h d) 7 min = s

1451 a) 40 cm = dm c) 5,5 dm = cm

b) 3 hg = kg d) 7,3 km = m

1452 a) 2,5 dl = ml c) 17 ml = cl

b) 0,8 l = ml d) 4,5 dl = ml

1453 a) 2,5 min = s c) 0,4 h = min

b) 15 min = h d) 12 min = h

1454 Skriv som gram (g)

a) 3,5 hg b) 0,8 kg c) 75 mg

1455 Ken har gjort 4,8 liter milkshake.

Hur många glas kan han fylla med milkshake om ett glas rymmer

a) 2 dl

b) 1,6 dl

c) 12 cl?

1456 Vilka volymer är lika stora?

500 ml 5 cl 0,5 dl

5 dl ½ liter 50 ml

1457 Skriv längderna i storleksordning, med den minsta först.

430 mm 17 cm 0,25 m

3,9 cm 1,5 dm 0,1 m

1458 Tove är ledare på ett fotbollsläger och ska koka 6 kg pasta till spelarna.

Hur många paket behöver hon om ett paket innehåller

a) 500 g b) 750 g?

1459 Skriv vikterna i storleksordning, med den minsta först.

2 500 mg 20 g 0,15 hg 0,01 kg

1460 2,5 liter parfym ska hällas på flaskor som rymmer 50 ml.

Hur många flaskor går åt?

1461 En bil som släpper ut 120 g koldioxid (CO2) per kilometer (eller mindre) klassas som en miljöbil.

Hur stort blir utsläppet i kg om man kör 1 500 mil med en sådan bil?

1462 Sten skall sätta kakelplattor på en vägg. En platta är 20 cm bred och 10 cm hög.

Hur många plattor behöver han till en vägg som är 3,2 m bred och 2,5 m hög?

1463 Hur länge räcker 0,5 liter medicin om man tar 25 ml fyra gånger per dygn?

Kurs 1bc Vux.indb 51 2013-07-11 15:08


Prefix Exempel 1 Storleken på datafiler och datorminnen mäts i byte, som förkortas B. En minnesenhet innehåller 4,25 GB. GB står här för gigabyte.

Bokstaven G (giga) står för tiopotensen 109 (en miljard).

prefix Giga är ett prefix. Prefix betyder fäst framför.

Exempel 2 Du har redan arbetat med prefix, t ex kilo och milli.

2 kilometer = 2 km = 2 ∙ 103 m= 2 000 m

5 kilogram = 5 kg = 5 ∙ 103 g = 5 000 g

8 millimeter = 8 mm = 8 ∙ 10–3 m = 0,008 m

1464 Skriv utan prefix a) 2 GW b) 3 400 kJ c) 7,5 µg

a) 2 GW = 2 ∙ 109 W = 2 000 000 000 W

b) 3 400 kJ = 3 400 ∙ 1 000 J = 3 400 000 J

c) 7,5 µg = 7,5 ∙ 10–6 g = 0,000 007 5 g

1465 Skriv a) 4 200 kB som MB b) 0,023 s som millisekunder (ms)

a) 4 200 kB = 4 200 ∙ 1 000 B = 4 200 000 B = 4,2 ∙ 106 B = 4,2 MB

b) 0,023 s = 23 ∙ 10–3 s = 23 ms

Tal

Namn och tiopotens

PrefixBeteckning och namn

Exempel

En biljon = 1 000 000 000 000 = 1012 T tera 1 TW = 1 terawatt

En miljard = 1 000 000 000 = 109 G giga 1 GB = 1 gigabyte

En miljon = 1 000 000 = 106 M mega 1 MJ = 1 megajoule

Ett tusen = 1 000 = 103 k kilo 1 km = 1 kilometer

Ett hundra = 100 = 102 h hekto 1 hg = 1 hektogram

En tiondel = 0,1 = 10–1 d deci 1 dl = 1 deciliter

En hundradel = 0,01 = 10–2 c centi 1 cm = 1 centimeter

En tusendel = 0,001 = 10–3 m milli 1 mg = 1 milligram

En miljondel = 0,000 001 = 10–6 µ mikro 1 µm = 1 mikrometer

En miljarddel = 0,000 000 001 = 10–9 n nano 1 nm = 1 nanometer

Kurs 1bc Vux.indb 52 2013-07-11 15:08


1466 Ett vindkraftverk kan ge effekten 1,5 MW. MW står här för megawatt.

Hur många watt är 1,5 MW?

1467 Skriv utan prefix

a) 2 kg c) 3 MB

b) 5 kW d) 35 MW


a) 8 cm c) 6 mg

b) 5 cl d) 2 ml


a) 33 kg c) 25 GB

b) 6,2 kg d) 7,2 MW

1470 Hur många MW är

a) 8 000 000 W c) 380 000 000 W

b) 1 500 000 W d) 600 000 W?

1471 Skriv talen utan prefix

a) Effekten hos bilens motor är 75 kW.

b) Det är 200 mg kalcium i ett glas mjölk.

c) Solfångaren ger 2,5 GWh per år.

d) Väteatomens diameter är 0,1 nm.

1472 Skriv talen utan prefix och i grundpotens-form.

a) Energiförbrukningen var 25 000 kWh.

b) En portion innehåller 45 µg vitamin A. . c) Gult ljus har våglängden 600 nm.

1473 Maskrosens pollenkorn är 2,8 · 10–5 m i diameter. Hur stor är diametern uttryckt i

a) mm b) μm?

1474 En typ av vindkraftverk kan ge 3 GWh per år. Ett kärnkraftverk kan ge 5 TWh per år.

Hur många vindkraftverk av denna typ motsvarar ett kärnkraftverk?

Kurs 1bc Vux.indb 53 2013-07-11 15:08


Talsystem med olika baser Vårt talsystem kommer ursprungligen från Indien. Det har använts i västerlandet i ungefär 1 000 år. Talsystemet har basen 10.

Det babyloniska talsystemet hade 60 som bas och mayafolkets talsystem hade 20 som bas.

Låt oss se vad det innebär att räkna med olika baser.

Exempel 1 Antag att vi ska räkna kulorna

Vi börjar med basen tio. Då ordnas kulorna i grupper med tio i vardera.

2 tiogrupper + 3 ental = 23tio Vi väljer nu basen fem. Då ordnas kulorna i grupper med fem i vardera.

4 femgrupper + 3 ental = 43fem Basen skrivs ut med bokstäver som exemplen visar. 43fem utläses ”fyra tre med basen fem”.

Exempel 2 I basen 10 finns tio siffror (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9). I ett talsystem med basen 5 finns bara fem siffror (0, 1, 2, 3 och 4) och om basen är 7 finns sju siffror.

I tabellen nedanvisas hur några olika antal skrivs med basen 5 och 7.

Basen 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Antal • •• ••• •••• ••••• •••••• ••••••• •••••••• ••••••••• •••••••••• •••••••••••

Basen 5 1fem 2fem 3fem 4fem 10fem 11fem 12fem 13fem 14fem 20fem 21fem

Antal• •• ••• •••• ••••• •••••

••••••••

••••••••

•••••••••

••••••••••

•••••••••••

Basen 7 1sju 2sju 3sju 4sju 5sju 6sju 10sju 11sju 12sju 13sju 14sju

Antal • •• ••• •••• ••••• •••••• ••••••• ••••••••

•••••••••

••••••••••

•••••••••••

Kurs 1bc Vux.indb 54 2013-07-11 15:08


Exempel 3 Hur tolkar man tal skrivna med olika baser?

I ett tal med basen tio anger positionerna (från höger till vänster) ental, tiotal, hundratal, tusental osv.

3246tio = (3 · 1 000 + 2 · 100 + 4 · 10 + 6 · 1)tio

3246tio = (3 · 103 + 2 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100)tio

I ett tal med basen fem anger positionerna (från höger till vänster) ental, femtal, tjugofemtal, hundratjugofemtal osv.

3243fem = (3 · 125 + 2 · 25 + 4 · 5 + 3 · 1)tio = 448tio

3243fem = (3 · 53 + 2 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50)tio = 448tio

binära tal Ett talsystem med två som bas kallas binärt. I tvåsystemet behövs bara siffrorna 0 och 1. Datorer översätter alla tal till binär form. Där kan 0 motsvaras av ”ström av” och 1 av ”ström på”.

I det binära systemet räknar vi med ental, tvåtal, fyrtal, åttatal, sextontal osv.

Bilden visar 27tio i det binära systemet. 1 ∙ 16 1 ∙ 8 0 ∙ 4 1 ∙ 2 1 ∙ 1

27tio = (1 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1)tio = 11011 två

27tio = (1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20)tio = 11011 två

1475 Skriv med basen 10 a) 54sju b) 1201tre

a) 54sju = 5 sjutal och 4 ental = (5 ∙ 7 + 4 ∙ 1)tio = 39tio

b) 1201tre = (1 ∙ 33 + 2 ∙ 32 + 0 ∙ 31 + 1 ∙ 30)tio = (27 + 18 + 1)tio = 46tio

Kurs 1bc Vux.indb 55 2013-07-11 15:08


1476 Skriv antalet kulor med basen a) åtta b) två a) 19tio = (2 ∙ 8 + 3 ∙ 1)tio = 23åtta

b) 19tio = (16 + 2 + 1)tio = (1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1)tio = 10011två

1477 ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲

Skriv antalet trianglar med basen

a) tio c) tolv

b) åtta d) sex

1478 ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹ ✹

Skriv antalet solar med basen

a) tio c) sex

b) sexton d) sju

1479 Talet 11tre innebär 1 tretal och 1 ental alltså talet 4 med basen 10.

Skriv med basen tio

a) 11fyra b) 11fem c) 11åtta

1480 Skriv med basen 10

a) 41fem c) 101två

b) 22tre d) 101fem

1481 Vilka siffror får du använda när du arbetar med

a) basen fem b) basen två?

1482 Skriv antalet hjärtan med basen tre.

a) ♥ ♥ ♥ ♥ b) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ c) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥

1483 Skriv antalet blommor med basen två.

a) ❀ ❀ ❀

b) ❀ ❀ ❀ ❀

c) ❀ ❀ ❀ ❀ ❀

d) ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀

1484 a) Skriv 241fem med basen tio.

b) Skriv 26tio med basen fem.

c) Skriv 50tio med basen sex.

d) Skriv 50tio med basen två.

1485 Basen sexton används ibland i dator- sammanhang. Talen 10, 11, 12, 13, 14 och 15 representeras då av ”siffrorna” A, B, C, D, E och F.

a) Skriv 25sexton med basen tio.

b) Skriv 2Bsexton med basen tio.

c) Skriv 17tio med basen sexton.

d) Skriv 31tio med basen sexton.

1486 Vilken är basen b? Pröva dig fram.

a) 73tio = 201b b) 330tio = 406b

1487 Talet 1201tre kan i utvecklad form med potenser skrivas (1 ∙ 33 + 2 ∙ 32 + 0 ∙ 31 + 1 ∙ 30)tio

Skriv på liknande sätt

a) 2202tre c) 351åtta

b) 214fem d) 1567tolv

Kurs 1bc Vux.indb 56 2013-07-11 15:08


Det egyptiska talsystemet

För ca 5 000 år sedan användes i Egypten ett talsystem med talet 10 som bas.

Symbol Beskrivning Tal

I Streck 1

∩ Åsnehov 10

9 Hårlock 100

Lotusblomma 1 000

Detta talsystem var inget positionssystem. Det spelade alltså ingen roll i vilken ordning symbolerna stod.

Vårt tal 327 kunde skrivas som 999∩∩IIIIIII eller som IIIIIII∩∩999 eller som IIIIIII999∩∩.

Mayafolkets talsystem

Mayafolket i Mellanamerika använde för ca 2 000 år sedan ett positionssystem med basen 20.

De räknade i ental (200), tjugotal (201) , fyrahundratal (202) osv.

Tal mindre än 20 skrevs med hjälp av punkter och streck. Talet noll hade en särskild symbol.

Tal större än 20 skrevs genom att symbolerna placerades i grupper ovanpå varandra. Symbo-lerna i den nedersta gruppen visade ental, sym-bolerna i nästa grupp stod för tjugotal osv.

•• → 12 fyrahundratal 12 · 400 = 4 800

••• → 3 tjugotal 3 · 20 = 60

• → 6 ental 6 · 1 = 6

4 866

Historik

Två historiska talsystem

1 Vilket tal i vårt talsystem svarar mot

a) de egyptiska symbolerna ∩II

b) Mayafolkets symboler •• ?

2 Skriv talet 26 med

a) de egyptiska symbolerna

b) med Mayasymbolerna.


a) de egyptiska symbolerna 9∩∩I

b) Mayasymbolerna ••

?

4 Skriv talet 108 med

a) de egyptiska symbolerna

b) Mayasymbolerna.


a) de egyptiska symbolerna 99∩∩IIIII

b) Mayafolkets symboler ••• ?

••

•

6 Skriv talet 1 950 med

a) de egyptiska symbolerna.

b) Mayasymbolerna.

• •• ••• ••••0 1 2 3 4 5 6 7

• ••

••• ••••

8 9 10 11 12 13 14 15

•

•• ••• ••••

•• ••• ••••

16 17 18 19

•

Kurs 1bc Vux.indb 57 2013-07-11 15:09

58 1.5 PROBLEMLÖSNING

1.5 Problemlösning

Avrundning och värdesiffror Exempel

Jenny köper en förpackning med 12 batterier för 34,90 kr. Vad kostar ett batteri?

Räknaren ger 34,9012 kr = 2,908333333… kr

Vi kan inte svara med 9 decimaler! Talet måste avrundas, t ex till hundradelar.

34,9012 kr ≈ 2,91 kr

avrundning Att avrunda är att ersätta ett tal med ett närmevärde. närmevärde Närmevärdet 2,91 kr har tre värdesiffror (gällande siffror).

En avrundning av priset till 2,9 kr ger ett närmevärde med två värdesiffror. En avrundning av priset till 3 kr ger ett närmevärde med en värdesiffra.

Följande avrundningsregler används:

Om siffran efter avrundningssiffran är • 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran 6,32 ≈ 6,3

• 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran ett steg. 6,35 ≈ 6,4

Tecknet ≈ betyder ”ungefär lika med”.

Avrundningssiffra

Avrundningsregler

Kurs 1bc Vux.indb 58 2013-07-11 15:09

1.5 PROBLEMLÖSNING 59

1501 Avrunda 6,175 till a) heltal b) en decimal c) hundradelar

Som hjälp drar vi ett streck efter avrundningssiffran a) 6,175 ≈ 6 b) 6,175 ≈ 6,2 c) 6,175 ≈ 6,18

1502 Ett heltal har inga decimaler. Avrunda till heltal

a) 9,8 b) 21,4 c) 10,39 d) 401,72

1503

1,8

1,87

1,9

a) Ligger 1,87 närmast 1,8 eller 1,9?

b) Avrunda 1,87 till en decimal.

1504 De tre främsta i en löptävling hade tiderna

Benjamin 51,47 s

Markus 51,73 s

Giorgio 51,85 s.

Avrunda tiderna till en decimal.

1505 Avrunda publiksiffrorna till tusental.

a) 36 376 b) 41 936 c) 19 563 d) 30 512

1506 Sverige är 157,2 mil långt. Avrunda till

a) heltal b) tiotal c) hundratal.

1507 Avståndet till månen är ungefär 384 400 km. Avrunda avståndet till

a) tusentals km b) hundratusentals km.

1508 Ge några exempel på tal som avrundas till

a) 8 b) 3,7 c) 2,50.

1509 Vilken eller vilka siffror kan du ersätta med om avrundningen till hundratal är korrekt?

a) 4 5 1 ≈ 4 600 b) 3 9 9 ≈ 3 900

1510 Avrunda 0,899 till

a) heltal b) tiondelar c) hundradelar.

1511 Den 1 januari 2009 var folkmängden i Stockholms län 1 891 263 och samtidigt i Gotlands län 55 704.

a) Avrunda folkmängderna till tiotusental.

b) Skriv folkmängderna i miljoner avrundat till två decimaler.

1512 Avrunda 3 989 till a) tiotal b) tusental c) hundratal.

1513 Hur långt kan det vara mellan Alvestad och Högstad?

Kurs 1bc Vux.indb 59 2013-07-11 15:09


Överslagsräkning Om du saknar en räknare eller behöver kontrollera om ett svar är rimligt

är det bra att kunna överslagsräkning.

Exempel Jenny köper en förpackning med 12 batterier för 34,90 kr. Vad kostar ett batteri?

Vi gör en överslagsberäkning. Då ersätter vi talen med enklare tal så att beräkningarna kan göras utan räknare. Vi får ett ungefärligt svar.

1234,90

kr ≈

1236

= 3 kr eller

1234,90

kr ≈

1035

= 3,5 kr

Överslagsberäkning

1514 Gör en överslagsberäkning a) 875 + 545 b) 2,8 · 3 178 c)

4,719,4

a) Vi avrundar till hundratal 875 + 545 ≈ 900 + 500 = 1 400

b) 2,8 · 3 178 ≈ 3 · 3 000 = 9 000

c) Vi avrundar så att vi kan räkna i huvudet

4,7

19,4 ≈

520 = 4

1515 Erik ska åka utomlands och köper 215 euro. En euro kostar 9,74 kr. Vad får han betala? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska vi svara?

a) 215 ∙ 9,74 kr ≈ 200 ∙ 10 kr = 2 000 kr

b) 215 ∙ 9,74 kr = 2 094,1 kr

c) Här är det lämpligt att svara med heltal. Vi avrundar 2 094,1 ≈ 2 094

Svar: Erik får betala 2 094 kr.

Ersätt de givna talen med så enkla tal att

– beräkningarna blir enkla att utföra i huvudet

– resultatet blir ungefär detsamma.

Kurs 1bc Vux.indb 60 2013-07-11 15:09


Gör en överslagsberäkning

1516 a) 735 + 561 c) 937 – 341

b) 2 138 + 3 784 d) 5 827 – 1 709

1517 a) 5,3 ∙ 4,1 c) 2,8 ∙ 63

b) 8,7 ∙ 5,4 d) 18 ∙ 9,4

1518 a) 15 / 7,1 c) 22,9 / 6,1

b) 28,1 / 4,2 d) 107 / 5,3

1519 På en flygning får man betala för övervikt om bagaget väger över 25 kg. Petras tre väskor väger 11,7 kg, 5,4 kg och 9,2 kg.

Får hon betala för övervikt?

1520 Joel har ett extrajobb med timlön. Han får 1 638 kr för 21 timmars arbete. Vilken är

Joels timlön?

a) Gör en överslagsräkning.

b) Vad visar räknaren?

1521 Räcker 200 kr till att köpa en julskinka som väger 3,85 kg och kostar 49,50 kr/kg?

1522 Pocketböcker säljs på rea för 39 kr/st. Hur många kan Julius köpa för 250 kr?

1523 Vilka beräkningar är orimliga?

A: 0,7 ∙ 7,5 = 52,5

B: 740 ∙ 1,2 = 888

C: 1 600 ∙ 0,48 = 768

D: 58 000 ∙ 0,12 = 696

1524 Vilket är det bästa alternativet till 0,84 ∙ 22,5?

A: 1,6 B: 16 C: 1,8 D: 18

1525 Vilket är det bästa alternativet till 0,64 ∙ 0,37?

A: 1,8 B: 0,024 C: 0,18 D: 0,24

1526 Andrea köper träningskläder för 479 kr, 1 320 kr och 287 kr. Hon får tillbaka 214 kr på 2 500 kr.

Är det rimligt? Gör ett överslag.

1527 Jon betalar 4 475 kr i månadshyra för sin lägenhet. Han påstår att hyran är drygt 60 000 kr i hyra per år.

Är det korrekt?

1528 Fia springer 7–8 km cirka 4 gånger per vecka.

Ungefär hur långt springer hon på ett år?

1529 Fabio läser i en tidning att ett hårstrå växer cirka 0,5 mm på ett dygn. Han räknar ut att det motsvarar ungefär 1 m på fem år.

Har han räknat rätt?

1530

Gör ett överslag och ange antalet invånare per km2 i

a) Nederländerna b) Sverige.

Antal invånare Yta (km2)

Nederländerna 16 570 613 41 526

Sverige 9 393 648 449 964

Kurs 1bc Vux.indb 61 2013-07-11 15:09


Tema

Läkemedel I ett läkemedel finns alltid ett verksamt ämne (substans). Samma läkemedel finns ofta i olika styrkor.

Styrkan anges vanligen i mg/tablett eller i mg/ml om medicinen är i flytande form.

För vissa läkemedel, t ex insulin, anges styrkan i E/ml. E är ett mått på biologisk aktivitet. Styrkan står angiven på läkemedelsförpackningen.

Läkemedel med samma verksamma substans kan ha olika namn.

De smärtstillande läkemedlen Panodil, Pamol och Alvedon innehåller alla den verksamma substansen paracetamol.

När man beräknar mängden läkemedel en patient ska få är det viktigt att man räknar helt rätt. En för hög dos kan vara skadlig och en för låg ger dålig effekt.

Du får börja med att träna på omvandling mellan enheter man ofta använder inom vården.

1 Skriv i milligram

a) 2 g c) 0,007 g

b) 0,325 g d) 0,04 g

2 Skriv i milliliter

a) 3,5 l c) 0,075 l

b) 0,625 l d) 0,2 l

3 Skriv i liter

a) 250 ml c) 28 ml

b) 7 ml d) 8,4 ml

4 Skriv i mg

a) 400 µg c) 50 µg

b) 200 µg d) 1 000 µg

Kurs 1bc Vux.indb 62 2013-07-11 15:09


5 En nyopererad patient drack en dag 70 ml juice, 100 ml vatten och 160 ml te.

Hur många deciliter vätska är det?

6 Tore har hjärtsvikt och får inte dricka mer än 1,5 liter per dygn. Under en dag drack han 4 dl vatten, 250 ml juice, 3 koppar kaffe (1 kopp = 1,5 dl) och 33 cl läsk.

Har han druckit mer än han borde? Motivera ditt svar.

7 Birgitta har ordinerats Kåvepenin mot öron- inflammation. Doseringen är 2 tabletter 3 gånger dagligen i 10 dagar.

Hur många tabletter behöver patienten för hela behandlingen?

8 En flaska innehåller 0,5 liter hostmedicin.

Hur länge räcker flaskan åt en patient som ordinerats 15 ml tre gånger dagligen?

9 Pedro har fått ett recept på Acetylcystein, 50 tabletter. Ordinationen är: 1 tablett 1–3 ggr dagl. Slemlösande

Hur länge kan förpackningen räcka?

10 Zuha har astma och tar Pulmicort inhalations- pulver 2 doser morgon och kväll. Styrkan är 200 μg/dos.

a) Hur länge räcker en inhalator med 200 doser?

b) Hon får en ny inhalator där styrkan är 400 μg/dos. Hur ska hon ta den för att få samma mängd medicin?

11 Lisa har diabetes och tar insulinet Novomix som har styrkan 100 E/ml. Hon tar 32 E på morgonen och 26 E på kvällen.

Insulin säljs ofta i färdiga injektionspennor, som innehåller 3 ml.

a) Hur länge varar en injektionspenna för Lisa?

b) Hur många pennor måste hon ta med sig om hon ska vara borta en månad?

c) Lisa kontrollerar sitt blodsocker och behöver öka morgondosen till 38 E.

Hur många milliliter behöver hon då per dag?

12 Teo är 4 månader och väger 5 kg. Han har hög feber och hans mamma ger honom två Panodil på vardera 500 mg. Hon kommer på att det nog var dumt och läser på *FASS.se:

a) Riskerar Teo att bli förgiftad?

b) Hur många mg Panodil ska Teos mamma som mest ge Teo på ett dygn?

13 Johanna har epilepsi. Hon är 11 år, väger 33 kg och tar medicinen Tegretol.

Den vanliga underhållsdosen för barn är 15 mg/kg kroppsvikt och dygn.

Hur många tabletter Tegretol 100 mg ska Johanna ta per dygn?

Toxisk (giftig) dos: 175 mg/kg .Lämplig dos: 60 mg var 4–6 timme, högst 4 gånger per dygn.

* På hemsidan FASS.se finns information om alla läkemedel i Sverige. Man kan bland annat läsa om styrka, dosering, användningsområde och biverkningar.

Kurs 1bc Vux.indb 63 2013-07-11 15:09


DISKUTERAAktivitet

Det är inte bara svaret som räknas!

Albin, Billy och Christoffer använde olika metoder för att lösa följande uppgift:

Mia körde 25 mil med jämn hastighet på 3,5 timmar. Hur långt kom hon på 40 minuter?

•DiskuterahurAlbin,BillyochChristofferhartänkt. •Detfinnsendelfelochbristerilösningarna.Vilka?Förklara.

Albins lösning:

Billys lösning:

Christoffers lösning:

Kurs 1bc Vux.indb 64 2013-07-11 15:09


Tillämpningar 1531 Tre kilo äpplen kostar 54 kr.

a) Hur mycket kostar 1,2 kg ?

b) Hur mycket äpplen får man för 80 kr?

a) 3 kg kostar 54 kr

1 kg kostar

354

kr = 18 kr (Jämförpris 18 kr/kg)

1,2 kg kostar 1,2 ∙ 18 kr = 21,6 kr

b) Metod 1 Metod 2 För 18 kr får man 1 kg För 80 kr får man

För 1 kr får man

181 ≈ 0,056 kg

18 kr/kg80 kr ≈ 4,4 kg

För 80 kr får man 80∙0,056 kg ≈ 4,4 kg

Lös uppgifterna 1532–1538 utan räknare.

1532 Priset på meloner är 12 kr/kg.

Hur mycket kostar en melon som väger

a) 2 kg c) 0,5 kg

b) 3 kg d) 1,5 kg?

1533 Mia cyklar med hastigheten 20 km/h.

Hur långt hinner hon på

a) 1 timme c) ½ timme

b) 2 timmar d) en kvart?

1534 En vattenpump pumpar upp 20 liter vatten per minut.

Hur mycket vatten pumpas upp på en timme?

1535 Vilken förare håller högst medelhastighet?

Albin som kör 400 km på 4 timmar.

Bea som kör 270 km på 3 timmar.

Cedrik som kör 55 km på ½ timme.

Motivera ditt svar.

1536 Hur mycket mjöl och hur mycket socker krävs för att baka

a) 32 kakor

b) 8 kakor

c) 24 kakor?

1537 När Louise växlar pengar får hon 100 dollar för 800 kr.

Hur mycket kostar

a) 10 dollar

b) 5 dollar

c) 7 dollar?

1538 Fias stegräknare visar att hon tar 700 steg på tio minuter när hon promenerar.

a) Hur många steg tar hon på tre minuter?

b) Hur många minuter tar 2 800 steg?

Kakor 16 st 2½ dl vetemjöl 3 msk socker 100 g smör Fyllning: …..

Kurs 1bc Vux.indb 65 2013-07-11 15:09


1543 Jenine och Rashid köper in 85 skoltröjor för 129 kr/styck. De sålde 67 tröjor för 180 kr/styck. På de återstående tröjorna sänkte de priset till 119 kr.

Hur mycket tjänade de totalt på affären?

1544 Ett mått på en skidbackes lutning är för- hållandet (kvoten) mellan backens höjd och åksträckan.

Vilken backe har störst lutning?

1545 På Emils lastbil får man lasta högst 1,2 ton.

Hur många järnrör kan Emil lasta om varje rör väger 13,7 kg?

1546 Marcus läser en bok som innehåller 420 sidor. Efter 1,5 h har han läst 50 sidor.

Hur lång tid tar det att läsa hela boken?

1547 En bit ost som väger 0,765 kg kostar 67,32 kr.

Hur mycket kostar en skiva som väger 15 g?

1548 Andy betalar 39 kr för 20 st 33 cl-flaskor läsk i en back.

Vilket pris per liter motsvarar det?

1549 En tom medicinburk väger 132 g. En fylld innehåller 100 tabletter och väger 207 g.

a) Marion påstår att en tablett väger 75 mg. Är det sant?

b) Simon påstår att en burk som väger 180 g innehåller 56 tabletter. Är detta sant?

1550 På Internet finns en klocka som visar i vilken takt jordens befolkning växer.

Klockan 09.50 den 15 november 2010 visade den 6 855 689 927 och klockan 09.55 visade den 6 855 690 589.

Bestäm ur dessa data tillväxthastigheten för jordens folkmängd i miljoner per år.

Lös uppgifterna 1539–1550 med räknare.

1539 Mikaela köper bananer som kostar 19,20 kr/kg. Hur mycket kostar bananerna om hon köper

a) 2 kg b) 2,5 kg c) 2,65 kg d) 0,65 kg?

1540 Harris blandar 2 delar saft med 7 delar vatten i ett glas. I ett annat glas blandar han 1 del saft och 4 delar vatten.

I vilket glas smakar saften starkast? Motivera ditt svar.

1541 En butik säljer lösviktsgodis för 6,95 kr/hg. Vad blir priset för en påse godis som väger

a) 4,2 hg c) 850 g

b) 2 kg d) 80 g?

1542 Vad kostar ett års rökning för en person som röker ett halvt paket cigaretter om dagen om ett paket cigaretter kostar

a) 39 kr b) 49 kr c) 59 kr?

Namn Höjd Åksträcka

Bergbacken 165 m 670 m

Storbacken 354 m 1,53 km

Kurs 1bc Vux.indb 66 2013-07-11 15:09


En problemlösningsstrategi För att kunna använda dina matematikkunskaper i nya situationer är det viktigt att träna problemlösning.

Hur gör man när man löser ett matematiskt problem?

1 Förstå Vad ska lösas eller räknas ut? Var finner jag de tal som krävs? Kan svaret uppskattas?

2 Planera Rita en figur och skriv upp de tal du vet. Vilka beräkningar kan du göra?

Exempel En lastbil med 3 kubikmeter (m3) sand väger 11 ton. Med 6 kubikmeter sand väger den 17 ton.

Hur många ton väger lastbilen utan sand?

1 Vi ska beräkna lastbilens vikt. Svaret måste vara mindre än 11 ton.

2

Vi beräknar först vad en kubikmeter sand väger. Sedan beräknar vi lastbilens vikt.

3 Skillnaden i vikt = 17 ton – 11 ton = 6 ton Skillnaden i sand = 6 m3 – 3 m3 = 3 m3

1 kubikmeter sand väger

36 ton = 2 ton

Lastbilen väger 11 ton – 3 · 2 ton = 5 ton

4 Svaret kontrolleras: Lastbil med 6 kubikmeter sand: 5 ton + 6 · 2 ton = 17 ton. Det stämmer!

3 Genomföra Gör beräkningarna och få fram ett resultat. Avrunda svaret och välj lämplig enhet. Presentera en lösning som är lätt att följa.

4 Värdera Är svaret rimligt? Finns det andra sätt att lösa problemet?

Kurs 1bc Vux.indb 67 2013-07-11 15:09


1551 Per läser ett kapitel i en bok. Det börjar på sidan 15 och slutar på sidan 38.

Hur många sidor var det i detta kapitel?

1552 Det tar 20 minuter att svetsa samman två rör.

Hur lång tid tar det att svetsa samman fem rör?

1553 Antag att du har vunnit en stor summa pengar och vill ge bort en miljon kronor. Du beslutar att dela ut en 100-kronorssedel varje minut, 8 timmar per dag.

Hur många dagar räcker miljonen?

1554 En ask med 6 golfbollar väger 280 g. Samma ask med 4 golfbollar i väger 190 g.

Vad väger asken?

1555 En äppleodlare har gjort 2 600 liter cider som ska hällas på flaskor som rymmer 2/3 liter.

Hur många flaskor behövs?

1556 En pizzeria har följande erbjudande:

Sebastian ska beställa 17 pizzor till en fest. En pizza kostar 59 kr.

Vad kostar de 17 pizzorna per styck?

1557 I ett företag arbetar en grupp på 30 personer med ett projekt. Beräknad tid för projektet är 60 dagar. När gruppen arbetat i 10 dagar beslutar företagets ledning att projektet ska bli klart 20 dagar tidigare än vad som först bestämdes.

Med hur många personer måste då projektgruppen utökas?

1558 I en friidrottsförening var dubbelt så många pojkar som flickor medlemmar. En fjärdedel av pojkarna och hälften av flickorna var löpare.

Hur stor andel av medlemmarna var löpare?

1559 I en frågesport startar alla deltagarna på 0 poäng. Rätt svar på en fråga ger +2 poäng och fel svar ger –3 poäng.

Vilka resultat är möjliga efter fem frågor?

1560 Talet 138 215 030 är en produkt av tre primtal. Vilka?

Köp fem pizzor betala för fyra!

Kurs 1bc Vux.indb 68 2013-07-11 15:09

Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret. Arbeta utan räknare.

1 10 miljoner kan skrivas 0,1 miljarder.

2 Summan av 2 och 1,5 är större än produkten av 2 och 1,5.

3 Talet 108 är dubbelt så stort som 104.

4 Om ett tal i bråkform förkortas blir bråkets värde mindre.

5 Talet 5 ∙ 10-2 kan skrivas 0,05.

6 Om 3,449 avrundas till tiondelar blir resultatet 3,4.

7 0,25 h är lika mycket som 25 min.

8 Differensen mellan två negativa tal är alltid ett negativt tal.

9 5 ∙ 106 m kan skrivas 500 mil.

10 En multiplikation med 0,01 ger samma resultat som en division med 100.

11 Hälften av 34

är 38

.

12 Summan av två primtal blir alltid ett primtal.

13 100två är större än 10fem.

14 Om basen och exponenten i ett tal i potensform byter plats blir talet alltid större.

15 1 miljon µg är detsamma som 1 g.

Sant eller falskt?

DISKUTERAAktivitet

1 ARITMETIK – OM TAL 69

Kurs 1bc Vux.indb 69 2013-07-11 15:09

70 1 ARITMETIK – OM TAL

Sammanfattning 1

Positiva tal

En siffras placering avgör dess värde. I talet 72 600 har siffran 7 värdet 70 000 och siffran 2 värdet 2 000.

1 miljon = 1 000 000 1 miljard = 1 000 000 000

Räknesätt

Addition14 + 3 = 17 term + term = summa

Subtraktion17 – 3 = 14 term – term = differens

Multiplikation6 · 3 = 18 faktor · faktor = produkt

Division18/3 = 6 täljare/nämnare = kvot

Räkneordning

I uttryck med flera räknesätt beräknar man

1 först parenteser2 sedan potenser3 därefter multiplikationer och divisioner4 sist additioner och subtraktioner

40 – 4(5 – 2)2 = 40 – 4 ∙ 32 = 40 – 4 ∙ 9 = 40 – 36 = 4

Tal i decimalform

0,3 = 3 tiondelar 0,06 = 6 hundradelar0,002 = 2 tusendelar

0,17 kan utläsas 17 hundradelar eller 1 tiondel och 7 hundradelar.

Primtal

Alla positiva heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal.

Primtal är bara delbara med 1 och sig själv.Sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer.

41 är ett primtal

42 är ett sammansatt tal 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7


Multiplikation och division med 100 och 0,01

3,2 ∙ 100 = 320 3,2 ∙ 0,01 = 0,032

1003,2 = 0,032

0,013,2 = 320

Negativa tal

Jämförelser

Med ord Med olikhetstecken

2 är större än –3 2 > –3

–9 är mindre än –7 –9 < –7

Beräkningar2 – 5 + 1 = – 3 + 1 = –2

Addition och subtraktion12 + (–3) = 12 – 3 = 912 – (–3) = 12 + 3 = 15

Multiplikation och divisionLika tecken ger positivt resultat.(–12) ∙ (–3) = 36

Olika tecken ger negativt resultat.

12 ∙ (–3) = –36 12–3 = –4

(–12) ∙ 3 = –36

3–12 = –4

Tal i bråkform

Förkortning (med 7) Förlängning (med 7)

21 49

21 749 7

3 7

= =//

5 9

5 79 7

35 63

= =··

Med förhållandet mellan två tal menas kvoten av talen. Förhållandet mellan 150 och 200 är

150200

34

= Förhållandet 3/4 skrivs ofta 3:4.

Addition och subtraktionBråken förlängs så de får samma nämnare.12

+ 13

= 1 · 32 · 3

+ 1 · 23 · 2

= 36

+ 26

= 56

Kurs 1bc Vux.indb 70 2013-07-11 15:09

Multiplikation

3 ∙ 27

= 3 · 27

= 67

38

∙ 27

= 3 · 28 · 7

= 3 · 14 · 7

= 328

DivisionAtt dividera med ett bråk ger samma resultat som att multiplicera med bråkets inverterade tal.

34

89 = 34

∙ 98

= 3 · 94 · 8

= 2732

Potenser

25 kallas en potens med basen 2 och exponenten 5.

25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

(–2)3 = (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) = –8

Potenslagar Definitioner

54 ∙ 52 = 54+2 = 56

54

52 = 54–2 = 52 5 –2 = 1 52

(53)7 = 53 ∙ 7 = 521 50 = 1

(5 r)2 = 52 ∙ r2 = 25r2

Grundpotensform

Talet skrivs på formen a ∙ 10n.a är ett tal i decimalform, mindre än 10 och större än eller lika med 1. 1 ≤ a < 107 500 000 = 7,5 ∙ 106

0,000 023 = 2,3 ∙ 10–5

Några prefix

T tera 1012 c centi 10–2

G giga 109 m milli 10–3

M mega 106 μ mikro 10–6

k kilo 103 n nano 10–9

h hekto 102 p piko 10–12

d deci 10–1 f femto 10–15

T ex 4 GB = 4 ∙ 109 B 5 μm = 5 ∙ 10–6 m


Talsystem med olika baser

304fem = (3 ∙ 52 + 0 ∙ 51 + 4 ∙ 50)tio = = (3 ∙ 25 + 0 ∙ 5 + 4 ∙ 1)tio = 79tio 10010två = (1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20)tio= = (1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1)tio = = 18tio

Problemlösning

Många matematiska problem kan lösas medföljande strategi:1 Förstå problemet. (Vad ska beräknas?)

2 Gör upp en plan. (Hur, och i vilken ordning, ska beräkningarna ske?)

3 Genomför planen. (Utför och redovisa beräkningarna. Ska svaret avrundas?)

4 Värdera resultatet. (Är svaret rimligt? Finns det även andra lösningar?)

Avrundning

Om första siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran.

Om första siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran. 374,3 ≈ 374 (avrundat till heltal)63,148 ≈ 63,15 (avrundat till hundradelar)

Överslagsräkning

Vid överslagsräkning byter man ut de givna talen mot närliggande tal som gör att beräkningarna blir lättare att göra i huvudet.

12 235 + 16 291 ≈ 12 000 + 16 000 = 28 000

2385,9

≈ 2406

= 40

1

4

Kurs 1bc Vux.indb 71 2013-07-11 15:09

MomentBegrepp som du ska kunna använda och beskriva

Du ska ha strategier för att kunna

Positiva tal Summa och di�erensProdukt och kvotTäljare och nämnarePrimtal och sammansatt tal”Delbart med” och si�ersumma

• skriva stora heltal och tal i decimalform med siffror och bokstäver• göra beräkningar med flera räknesätt• multiplicera och dividera tal med tex 100 och 0,01 utan räknare• dela upp ett sammansatt tal i primtalsfaktorer• bestämma vilka tal ett positivt heltal (inte alltför stort) är delbart med.

Negativa tal Negativa tal • jämföra negativa tal• använda räkneregler för negativa tal.

Tal i bråkform AndelBråkformFörlänga och förkortaEnklaste formBlandad formFörhållandeGemensam nämnareInverterat tal

• skriva och jämföra tal i bråkform• skriva tal i bråkform på olika sätt• ställa upp ett förhållande• beräkna summan, differensen, produkten och kvoten av tal i bråkform.

Tal i potensform Potensform, bas och exponentTiopotensGrundpotensformEnhetPrefixOlika talbaser

• tolka och beräkna värdet av ett tal i potensform• använda potenslagarna• skriva och tolka tal i grundpotensform• omvandla mellan olika enheter• skriva och tolka tal skrivna i talsystem med andra baser än tio.

Problemlösning NärmevärdeAvrundningÖverslagsräkning

• avrunda tal och göra överslags- beräkningar• lösa matematiska problem• utifrån en realistisk situation använda en matematisk modell.

Kan du det här? 1


Kurs 1bc Vux.indb 72 2013-07-11 15:09

Positiva tal

1 Danmarks befolkning är 5,5 miljoner.

Skriv detta tal med siffror.


a) 2 ∙ 32 – 8 + 2 b) 18/(3 + 6) – 1


a) 2 9757 · 25

b)87 · 26 + 16

88 – 7 · 3

4 a) Vad menas med en faktor?

b) Visa med några exempel vad det är för skillnad på ett primtal och ett sammansatt tal.

5 Vid en tävling i löpning hade Erik tiden 48,16 sekunder.

a) Peter var två tiondelar snabbare än Erik. Vilken tid hade Peter?

b) Jimmy var åtta hundradelar långsammare än Erik. Vilken tid hade Jimmy?

Negativa tal

6 På kvällen var temperaturen 4,3ºC. Det blev en kall natt. På morgonen var temperaturen –8,2 ºC.

Med hur många grader sjönk temperaturen under natten?


a) 8 – 5 + 1 c) 5 ∙ (–0,01)

b) –5 + (–7) d)

–8–0,1

Tal i bråkform

8 Ett rektangulärt rum har bredden 300 cm och längden 480 cm.

Skriv i enklaste form förhållandet mellan bredden och längden.

9 För vilka räknesätt krävs gemensam nämnare vid räkning med bråk?


a) 35

+ 115

b) 7/23

Tal i potensform

11 Ge exempel på två faktorer som ger produkten 1010.


a) 75 000 c) 12 miljoner

b) 0,0265 d) 12 tusendelar.

13 Skriv med hjälp av ett prefix.

a) Effekten är 3 ∙ 106 W

b) Tiden är 0,005 s

14 Skriv sjutio med basen tre.

Problemlösning

15 Ebba har ordinerats 400 mg av ett läkemedel tre gånger per dygn.

Hur länge räcker 30 tabletter med styrkan 200 mg/tablett?

16 4,0 hg godis kostar 27,60 kr.

a) Hur mycket kostar 2,5 hg godis?

b) Hur många kg godis får man för 60 kr?

17 Hampus har fyra olika sorters serietidningar i en väska. Hälften av dem är Kalle Anka, en fjärdedel är Katten Gustaf, en åttondel är Fantomen och resten är Spindelmannen. Han har fyra Spindelmannen.

Hur många tidningar har han totalt i väskan?

Diagnos 1


Om du behöver repetera delar av kapitlet så finns repetitionsuppgifter på sidan 384. Efter repetionsuppgifterna finns en extra diagnos till kapitlet på sidan 393.

Kurs 1bc Vux.indb 73 2013-07-11 15:09

Del I:

Utan räknare

1 Vilket tal pekar pilen på?

40 4241

2 Temperaturen är –5°. Vad blir den om den

a) ökar med 3° b) minskar med 4°?

3 Skriv med siffror

a) 29 tusendelar b) 0,53 miljarder

4 Ge exempel på två tal i bråkform som ger

a) summan 98

b) produkten 98

5 Beräkna

a) 23 + 12 b) 32 ∙ 32 c) 2 ∙ 52

6 Ann sover 8 timmar per dygn. Hur stor andel av dygnet är det? Svara i enklaste bråkform.

7 En flaska medicin innehåller 13

liter.

Hur många liter finns det i en förpackning med 12 flaskor?

8 Vilket värde har x?

a) 480 000 = 4,8 ∙ 10x

b) 0,007 = 7 ∙ 10x

9 Vårt talsystem är ett positionssystem.

Vad innebär det?

Blandade övningar kapitel 1

10 Hur många minuter är 0,75 timmar?

11 Ange ett tal mellan

a) 0,09 och 0,1 b) 10–3 och 10–2

12 Andreas har 4 km till skolan. Hur många minuter tar det för honom att cykla till skolan om han håller en medelfart på 16 km/h? (NP)

13 Julia påstår att 3 ∙ a = a + a + a för alla värden på a. Visa med ett exempel att hon har rätt om a är ett

a) positivt tal

b) negativt tal

c) tal i bråkform.

14 Vilka av bråken ligger mellan 12

och 1?

25

34

94

52100

1940

Förklara hur du tänker.

15 Skriv negativa tal i rutorna.

a) + = – 5 b) – = – 5

16 Undersök mönstret och ange det tal som är utelämnat. (NP)

3 5 9 15 33

17 Vilket är sambandet mellan ett tal skrivet i faktorform och i potensform?

Använd orden bas och exponent i din förklaring.


Kurs 1bc Vux.indb 74 2013-07-11 15:09


23 Vad är hälften av

a) 0,1 b) 26

c) 34

?

24 Ett flygplan startade kl 8.20 från New York lokal tid. Flygresan till Los Angeles beräknas ta 5 h 30 min.

När landar planet i Los Angeles lokal tid? Tidsskillnaden i timmar mellan orterna framgår av tabellen:

London 0 New York –6 Los Angeles –8

25 Hur stor del av figuren är färgad?

(NP)26 a) I Sverige bor ca 2 miljoner barn och ca 8 miljoner vuxna. Förklara med hjälp av siffrorna hur man anger en andel och hur man anger ett förhållande.

b) I Sydafrika är förhållandet mellan antalet barn och vuxna ungefär 2:3.

Hur stor andel är barn?

27 Visa att skillnaden mellan 35

h och 7

12 h är 1 minut.

28 Om du dividerar ett tal med 200 blir resultatet 0,75.

Vad blir resultatet om du istället multiplicerar talet med 200?

29 Bara 1/5 av eleverna på musikgymnasiet cyklar till skolan. Av dem som inte cyklar, går 3/8. Resten åker buss.

Hur stor andel av eleverna åker buss?

18 På morgonen var temperaturen – 5º C utom-hus och + 18º C inomhus . På kvällen hade temperaturen utomhus minskat 3º C och inomhus ökat 3º C.

Hur stor var då differensen mellan inomhus- och utomhustemperatur?

19 a) Dela upp talet 66 i primtalsfaktorer.

b) Vilka positiva tal är 66 delbart med (förutom 1 och 66)?

20 Skriv antalet med basen 5.

21 Vilket värde har x om likheten ska gälla?

a) 10 = 1010

3

x b) 1010 5

x

= 10–2

22 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.

10–2 0,02 1200

101 2,5 ∙ 10–3


Kurs 1bc Vux.indb 75 2013-07-11 15:09

36 I USA är tum (inch) ett vanligt längdmått. 1 tum = 1″ = 2,54 cm. Jeansen på bilden har midjevidden (Waist) 34″ och benlängden (Length) 32″. Erik mäter sin midjevidd till 86 cm och benlängd till 80 cm.

Vilken storlek på jeans ska han välja, om han köper ett par tvättade jeans, som inte krymper?

37 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor:

•Månadsavgift65kr

•Öppningsavgift69örepersamtal

•Samtalenkostar69öreperminut

a) Hur mycket fick Bob betala en månad då han hade ringt 96 samtal på sammanlagt 4 h 25 min?

b) En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267,86 kr.

Beräkna den totala samtalstiden.

38 Tabellen visar antalet anställda och antalet barn i förskolan i Sverige.

a) Jämför personaltätheten (antal barn per anställd) år 1990 och år 2008.

b) Hur många anställda skulle det ha varit år 2008 om personaltätheten varit densamma som år 1990?

År Antal anställda Antal barn

1990 60 000 267 000

2008 82 000 433 000


Del II: Med räknare

30 Beräkna

a) 1 5 0 ,

5,43 – 1,65 b) 19,47

46,8 – 11,4

31 Simon mäter sin puls och räknade till 96 pulsslag på 1,5 minuter. Ungefär hur många

slag slår Simons puls på

a) 1 min c) 1 dygn

b) 1 timme d) 1 år?

32

Anna och Maria gick tillsammans på spinning i april. Maria köpte ett månadskort. Anna köpte ett 5-kort och betalade därefter engångspris. Under månaden hann de gå på spinning 8 gånger.

Vem av dem betalade minst och hur mycket mindre betalade hon? (NP)

33 Päivi får 1 360 kr för 16 timmars arbete.

a) Hur mycket får hon för 20 timmars arbete?

b) Hur många timmar måste hon arbeta för att få 5 000 kr?

34 a) Ange det tal som ligger mitt emellan 100 000 och 1 000 000.

b) Ange ett tal som är större än 2,5 ∙ 10–3 men mindre än 2,5 ∙ 10–2. (NP)

35 Hur gör du för att jämföra storleken på två tal i bråkform med olika nämnare

a) med räknare b) utan räknare?

Spinning

Engångspris 40 kr

5-kort 175 kr

Månadskort 300 kr

Kurs 1bc Vux.indb 76 2013-07-11 15:09

39 Vilket tal i vårt talsystem motsvarar 101010två

i det binära talsystemet?

40 I en tidning läser Markus:

Hjälp Markus att omvandla

a) 100 euro till dollar.

b) 100 dollar till yen.

41 Du kommer sist till ett pizzaparty som just ska börja. Vid bord A sitter 9 personer med 4 pizzor och vid bord B sitter 7 personer med 3 pizzor.

Vid vilket bord ska du vara med och dela pizzorna om du vill ha så stor bit som möjligt?

42 Louise och Robin är på semester. Efter två dagar har Louise kvar 3/4 av sin reskassa och Robin har 3/5 kvar av sin. De har då lika mycket pengar kvar.

Vem hade störst reskassa från början? Förklara.

43 Amina joggade i ett motionsspår med hastigheten 3 m/s. Hon tog en paus efter 2,7 km. När hon joggat i ytterligare 5 minuter hade hon en tredjedel kvar av den totala sträckan runt motionspåret.

Hur långt var motionsspåret?

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

• vilka matematiska kunskaper du har visat

•hurväldu har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser

•hurvälduharredovisatdittarbeteoch genomfört dina beräkningar.

44 En lördag delade Maja och Malcolm ut reklam- broschyrer i ett bostadsområde. Mellan kl 8 och 14 delade Maja ut 1 100 broschyrer. Malcolm delade ut 900 broschyrer mellan kl 10 och 14.

Hur bör de fördela pengarna de fick för sitt arbete för att det ska bli rättvist?

45 Sandra har köpt en begagnad bil för 78 000 kr. Hon räknar med att köra ca 900 mil per år med bilen. I en tidning hittar hon två olika matematiska modeller för hur bilens framtida värde kan beräknas.

Modell A: Värdet minskar med 12 kr per mil.

Modell B: Värdet går för varje år ner till 4/5 av värdet

året innan.

Undersök, med hjälp av de två modellerna, hur bilens värde minskar under en tioårs-period. Kommentera dina resultat.


Land Valuta Kurs

Europa Euro 9,085 kr

Japan Yen 0,0601 kr

USA Dollar 7,057 kr

Kurs 1bc Vux.indb 77 2013-07-11 15:09

402 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR

1103 a) 25 000 d) 2 500 000

b) 25 300 e) 3 000 000 000

c) 2 000 000

1104 a) 70 c) 7 000

b) 400

1105 a) 2 500 kr

b) 25 000 kr

c) 29 500 kr

d) 2 950 kr

1106 a) 32

b) 3 200 Ledtråd: 400 · 8 = 8 · 400 = = 8 · 4 · 100 = 32 · 100

c) 32 000

d) 64

1107 Subtraktion

1108 a) Åttiosex tusen fyrahundra

b) Sjuhundratjugo tusen

c) Trettiosex miljarder

1109 a) 30 c) 300 000

b) 3 000 d) 3 000 000

1110 Nej! Det gäller addition och multiplikation, men inte subtraktion och division.

1111 1 980 kr

1112 a) T ex 10 000 + 10 000 + + 20 000 = 40 000 eller 5 000 + 10 000 + 25 000 = = 40 000

b) T ex 40 ∙ 1 000 = 40 000 eller 2 ∙ 20 000 = 40 000

1113 1357 1537 1735 1375 1573 1753

1114 46 miljarder

1115 a) 680 Lösning: 17 ∙ 40 = 16 ∙ 40 + 40 = =640 + 40 = 680

b) 656

c) 600

1116 Nej Motivering: Det finns 20 tal. Det finns 4 tal som slutar på en 1:a och 4 tal som slutar på en 3:a osv.

1119 a) 4 Lösning: 8 – 5 + 1 = 3 + 1 = 4

b) 18 Lösning: 3 · 8 – 6 = 24 – 6 = 18

c) 12 Lösning: 6 + 3 · 2 = 6 + 6 = 12

d) 10 Lösning: 30 – 10 · 2 = 30 – 20 = 10

1120 a) 130 c) 100

b) 75 d) 200

1121 a) 42 c) 15

b) 28 d) 4

1122 a) 175 c) 4

b) 300 d) 10

1123 a) 2 500 kr b) 3 100 kr

1124 a) 2 päron och 1 äpple

b) 2 päron och 2 äpplen

c) 1 banan, 7 äpplen och 1 päron

d) 9 bananer, 7 äpplen och 7 päron

1125 a) 13

b) Han glömmer att sätta en parentes runt täljaren och runt nämnaren.

c) 5

1126 a) 13 c) 24

b) 12 d) 101 Ledtråd: Sätt en parentes runt täljaren eller nämnaren när de innehåller en beräkning.

1127 B 4 ∙ 183

= 24

1128 a) 200 kr b) 200 kr

1129 a) 21 b) 80

1130 a) 50 c) 9

b) 9 d) 11

1131 a) 3 c) 6

b) 6 d) 8

1132 a) 490 c) 64

b) 180 d) 45

1133 Hon vill veta hur mycket man sparar per lunch på att köpa rabatthäfte.

1135 11 och 23 är primtal. 9 och 21 är sammansatta tal. Lösning: 9 och 21 kan skrivas som en produkt av två tal (3 · 3 = 9 och 3 · 7 = 21) och är därför sammansatta tal. 11 och 23 kan inte skrivas som en produkt av två tal.

1136 a) 168 och 170 Motivering: Alla jämna heltal är delbara med 2.

b) 165 och 170 Motivering: Alla heltal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5.

1137 Nej Motivering: 6 är ej ett primtal. Det kan skrivas 6 = 3 ∙ 2

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGARSvaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.

1

Kurs 1bc Vux.indb 402 2013-07-11 15:23

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 403

1138 a)

b) 54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

1139 11, 13, 17, 19, 23, 29

1140 a)

b) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

c) 2, 3, 4, 6, 8 och 12 Ledtråd: Kombinera två eller flera av primfaktorerna för att få så många olika produkter som möjligt. Talet 24 är delbart med varje produkt.

1141 a) 6

b) Ja Ledtråd: Om siffersumman är delbar med 3, så är talet delbart med 3.

c) 8

d) Nej

1142 a) 63 är ett sammansatt tal eftersom siffersumman är delbar med 3.

b) 19 är ett primtal.

c) 592 är ett sammansatt tal eftersom det är ett jämnt tal. d) 327 är ett sammansatt tal eftersom siffersumman är delbar med 3.

1143 a) 135 och 2 010

b) 135, 235, 640 och 2 010

c) 135 och 2 010 Ledtråd: Tal som är delbara med 3 och med 5 är också delbara med 15.

1144 a)

b) 48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

c) 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

1145 Förklaring: Eftersom 10 = 2 ∙ 5 så måste ett tal som är delbart med 10 ha både 2 och 5 som primfaktorer.

1146 97

1147 a) T ex 16 + 17 + 18 = 51 Talet 51 är delbart med 3.

b) Förklaring: Summan av de tre talen är alltid 3 gånger så stort som talet i mitten och är därför delbart med 3.

1148 211 elever Ledtråd: Vilket är det minsta tal som är delbart med 2, 3, 5 och 7?

1151 a) 0,2 c) 0,24

b) 0,04 d) 0,45

1152 a) 7,08 7,1 7,15 7,18 7,2 Ledtråd: Lägg till nollor så att alla tal får lika många decimaler. T ex 7,1 skrivs 7,10. b) 2,005 2,01 2,015 2,105 2,11

c) 0,099 0,805 0,87 0,9 0,902

1153 a) 1,5 c) 1,4

b) 1,75 d) 1,7

1154 a) 0,55 c) 0,85

b) 0,05 d) 0,45

1155 a) Nio tusendelar

b) Sjuttiotvå tusendelar eller sju hundradelar och två tusendelar

1156 a) 0,005 b) 0,075 c) 0,175

1157 A = 0,04 och B = 0,16 Ledtråd: På denna tallinje är det 0,02 mellan två närliggande streck.

1158 a) 14,56 s c) 14,41 s

b) 14,83 s d) 13,94 s

1159 10 hundradelar är lika mycket som 1 tiondel

1160 6,8 miljarder Ledtråd: 500 miljoner = 0,5 miljarder

1161 a) 0,9 b) 0,025 c) 0,11

1162 a) 0,09 b) 0,009 c) 0,016

1165 a) 125

b) 432,8

c) 1,53 Ledtråd: Multiplikation med 0,1 ger samma resultat som division med 10.

d) 0,9

1166 a) 2,54

b) 325,0 Ledtråd: Division med 0,1 ger samma resultat som multiplikation med 10. c) 20

1167 a) 5025 c) 6

b) 420 d) 0,26

1168 a) 0,95 c) 2800

b) 3 250

1169 0,12 mm

1170 5,89 kr

1171 a) 0,1 c) 0,01

b) 100 d) 0,1

1172 a) 12 st c) 240 st

b) 60 st d) 1200 st

1173 a) 10 c) 0,01

b) 10 d) 100

1174 250 glas Ledtråd: 10 centiliter = 0,1 liter

1175 a) 0,034 g b) 0,5 g c) 0,4 g

1202 a) 3º b) –6º

1203 –4

54

6

2 3 3 3

9

2

24

12

2

2

6

3

48

12 4

22322

Kurs 1bc Vux.indb 403 2013-07-11 15:23


1204 a) –2 c) 2 e) –6

b) –8 d) –6 f) –10

1205 a) 8º Lösning med resonemang: Från –6 °C till +2 °C är en ökning med först 6 grader och sedan 2 grader. Total ökning: 6 + 2 = 8.

Lösning med beräkning: 2 – ( –6 ) = 2 + 6 = 8

b) 5º

c) 7º

1206 En skuld på 1500 kr.

1207 a) 50 kr c) –650 kr

b) –250 kr d) –100 kr

1208 a) 3 b) 2 c) –3 d) –4

1209 a) 5 > −2

b) −2 < 5

c) −2 < −1

d) 0 > −7

1210 a) –3 b) +3 c) –1 d) –2

1211 –7 ºC

1212 6,6 ºC

1213 På tredje raden: 700 På fjärde raden: 1 500

1214 a) 5 c) 1 e) –2,5

b) 2 d) –5 f) –14

1216 a) Mellan luftballong och dykare.

b) 250 m

1217 a) Mellan luftballong och u-båt.

b) 400 m

1218 a) 2 000 kr b) –1 300 kr

1219 a) 3

b) 4

c) –12 Ledtråd: Ersätt + (–) med ett minustecken –5 + (–7) = –5 – 7

d) –8

1220 a) 10 c) 2

b) 2 d) –4

1221 a) 10 c) 40

b) –40 d) –10

1222 a) –17 d) –6

b) 17 e) –18

c) 10 f) –21

1223 T ex

a) 3 000 + – 1 000

b) 1 000 + – 3 000

c) – 500 + – 1 500

1224 a) + 6 °C c) + 15 °C

b) –12 °C d) –9 °C

1225 a) Nej. Förklaring: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t ex –10 + (–10) = –20

b) Ja. Förklaring: T ex –30 – (–10) = –20

1226 a) –16 c) +79

b) –18 d) –39

1229 a) –63 c) 12

b) –32 d) 0

1230 a) –7 c) 9

b) –9 d) –3

1231 a) –3 c) 6

b) 8 d) –2

1232 a) 2 c) –36

b) –9 d) 32

1233 a) –10

b) –20 Lösning: Beräkna multiplikationen först. 10 + (–5) · 6 = 10 – 30 = –20

c) 11

d) –20

1234 a) 3 b) 2

1235 a) –24 b) –1

1236 –18 –16 –15 6 7

1237 a) Den minskar med 1 för varje rad vi går nedåt.

b) Den ökar med 3 för varje rad.

c) 3

d) 12

1238 a) 14 ºF

b) –4 ºF Lösning: 1,8 ∙ (–20) + 32 = = –36 + 32 = –4

1239 a) –21 ºC b) –45 ºC

1240 a) –2 och –4 b) 3 och –4

1241 a) 40 c) 30

b) –7 d) –5

Tema: Tidzoner

1 a) 2 b) 8

2 a) 6 b) 9

3 a) 3 b) 11

4 a) 7 b) 15

5 a) 11.00 c) 13.00

b) 05.00 d) 04.00

6 a) 17.00 c) 15.00

b) 24.00 d) 07.00

7 a) 24.00 c) 10.00

b) 01.00 d) 16.00

8 10.30 Ledtråd: Då planet landar är klockan 19.30 i Stockholm.

9 09.20

10 Den 11 januari kl.19.00

Kurs 1bc Vux.indb 404 2013-07-11 15:23


Tema: Vinst eller förlust?

1 Förlust på 4 000 kr

2 a) Vinst på 1 500 kr

b) Vinst på 3 200 kr

3 a) 108 000 kr

b) 80 000 kr


b) 68 000 kr


b) Under 50 kr/docka

6 a) 80 000 kr

b) 2 055 000 kr

c) Vinst på 285 000 kr

1302 a) 18

c) 35

b) 78

d) 110

1303 a) 19

b) 916

c) 39

= 13

Ledtråd: Dela först området i lika stora delar.

d) 58

1304 15

1305 15

är störst.

Förklaring: Mindre antal delar ger större bitar.

1306 a) 0,1 c) 0,67 (0,66…)

b) 0,4

c) 0,67 (0,66…)

1307 a) 512 b) 7

12

1308 Leila har ätit mest. Förklaring: Båda har ätit 3 delar, men Leilas delar är större. Femtedelar är större än åttondelar.

1309 a) Alla lappar är inte lika stora.

b) 620 = 3

10

c) 1420 = 7

10

1310 a) 16

b) T ex 46

eller 23

1311 a) 14

d) 116

g) 316

b) 12

e) 18

h) 38

c) 18

f) 18

1312 a) T ex 251 000 (= 1

40)

b) T ex 5100 (= 1

20)

c) T ex 1051 000

Ledtråd: Skriv 0,105 i bråkform.

1315 a) 14

b) 34

1316 a) 818

b) 1518 c) 12

18

1317 25

Lösning: Miriam arbetar 4 · 4 h = 16 h

Hon arbetar = 1640 = 16/8

40/8 = 25

1318 Nej. Motivering: Täljaren och nämnaren har minskat men bråkets värde är detsamma.

1319 a) 57

är störst

Ledtråd: Förläng båda bråken till nämnaren 35.

b) 2050

615

820

1320 a) 1060 = 1

6 c) 3

60 = 120

b) 4560 = 3

4 c) 5

60 = 112

1321 a) 621

b) 1656

1322 Standard Motivering: 56 /42 kan t ex förkortas först med 2 och sedan med 7.

5642 = 28

21 = 43

1323 a) 35

Ledtråd: Beräkna delen

det hela

b) 14

Ledtråd: Skriv förhållandet

1248

i enklaste form.

1324 Talen är 12 och 16. Ledtråd: Summan består av 7 lika stora delar. Talen är 3 respektive 4 av dessa delar.

1325 13, 14, 15, 16, 17 Ledtråd:

13 = 12

36 och 12 = 1836

1326 5 · 72 ∙ 3 ∙ 11

Förklaring:

3566

kan ej förkortas eftersom

täljaren och nämnaren ej har någon gemensam primfaktor.

1331 a) 3 b) 4

1332 a) 83

b) 4 12

1333 a) 3 12

b) 1 34

Lösning:

74 = 44 + 34 =

= 1 + 34 som skrivs 1 34

c) 3 13

Kurs 1bc Vux.indb 405 2013-07-11 15:23


1334 a) 52

b) 73 c) 95

1335 a) 35

b) 39 =13 c) 4

12 = 13

1336 710

1337 a) 54

b) 512

1338 a) 1312 = 1 1

12

Ledtråd: Förläng båda bråken till nämnaren 12. Svara i bråkform eller i blandad form.

b) 215

Ledtråd: Svara i enklaste form.

c) 65 = 1 1

5

1339 a) 14

+ 18

= 28

+ 18

= 38

b) 112

+ 34

= 32

+ 34

= 64

+ 34

= 94

1340 18

1341 a) 114

= 2 34

b) 23

1342 a) T ex 26

+ 36

= 56

b) T ex 16

+ 36

= 46

= 23

1343 38

= 3 · 38 · 3

= 924

13

= 1 · 83 · 8

= 824

924

är större än 824

1344 a) a = 3 b) a =34

1345 a) 1/28 Ledtråd: Beräkna differensen av 2/7 och 1/4.

b) 1/4

1348 a) 45

b) 49 c) 2003

1349 15

1350 23

av 60 kr är mest.

1351 a) 16 timmar b) 45 sekunder

1352 a) 415

b) 67

c) 320

1353 a) 14

Lösning:

914 · 7

18 = 9 · 714 · 18 = 1 · 1

2 · 2 = 14

b) 118

c) 17

1354 Hon har ätit 14

av hela pizzan.

1355 6 23 liter = 203 liter

1356 7 g

1357 Amir får 8 000 kr Liz får 3 000 kr Niklas får 1 000 kr

1358 a) 4 b) 12

c) 53

d) 16

1360 a) 83

b) 83

c) 518

d) 103

Lösning:

815 4

25 = 815 ∙ 25

4 = 815 ∙ 25

4 =

= 2 ∙ 53 ∙ 1 = 10

3

1361 a) 27

Ledtråd: Hälften av 4 sjundedelar är 2 sjundedelar.

b) 38

Ledtråd: Förläng bråket med 2 och halvera täljaren.

c) 112

d) 72

1362 a) 14

hg

b) 320

hg

Ledtråd:

3/45

hg

1363 a) 8 flaskor Ledtråd:

52/3

b) 7 flaskor

1364 14

1365 103

liter = 3 13

liter

Ledtråd: 1 del saft + 4 delar vatten ger 5 delar färdig saft.

1366 a) 325

b) 225

1367 94

1368 16

1369 Ja, det är sant. Motivering:

25

är dubbelt så mycket som 15

1

2

1

2

2

3

5

1

1/5 tar bilen 4/5 kör inte bil

2/5 cyklareller går

2/5 (resten) åkerkollektivt

Kurs 1bc Vux.indb 406 2013-07-11 15:23


1403 a) 43 b) 74 c) x2

1404 a) 6 ∙ 6

b) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

c) a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

1405 a) 200 c) 11 100

b) 1 100 d) 99 000

1406 a) 17 Lösning: 24 + 1 = 2 · 2 · 2 · 2 + 1 = = 16 + 1 = 17

b) 108

c) 31

1407 a) 32 b) 115

1408 a) 103 b) 106 c) 109

1409 a) 23 ∙ 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 27

b) 32 ∙ 36 = = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 38

c) 9

d) När tal i potensform (med samma bas) multipliceras kan exponenterna adderas direkt.

1410 a) 23 b) 24 c) 25 d) 26

1411 a) 37

33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 33 · 3 · 3

=

3 · 3 · 3 · 3 = 34

b) 27

24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 22 · 2 · 2 · 2

=

= 2 · 2 · 2 = 23

c) 3

d) När tal i potensform (med samma bas) divideras kan exponenterna subtraheras direkt.

1412 a) 25 b) 36 c) 104 d) 108

1413 Ja, det stämmer. Motivering: 220 = 1 048 576 . Han skulle ha över 1 miljon anställda.

1414 a) 29 b) 27

1415 a) 25 b) −27 c) 16

1416 a) x = 7

b) x = 3

c) x = 13 Ledtråd: Skriv alla tal med samma bas.

d) x = 4

1419 a) 1102 = 1

100

b) 0,01

1420 a) 1104 = 1

10 000

b) 0,000 1

1421 a) 1018

Lösning: 108 · 1010 = 108 + 10 = 1018

b) 32 Lösning:

35

33 = 35 – 3 = 32

c) 56

Lösning: (52)3 = 52 · 3 = 56

d) 10−2

Lösning:

104

106 = 104 – 6 = 10–2

1422 a) 1100

b) 10–2

1423 a) 31 b) 49

1424 a) 46 b) 33 c) 2–4

1425 a) 10–3 b) 10–6

1426 a) 42a2 = 16a2

b) 103x3 = 1 000x3

c) 23x6 = 8x6

1427 a) 6 ∙ 103 = 6 000

b) 2 ∙ 10 = 20

c) 15 ∙ 10 –2 = 0,15

d) 4 ∙ 102 = 400

1428 Nej. Motivering: (103)3 = 109 = 1 000 000 000 = = 1 miljard

1429 a) Freja adderar exponenterna som vid multiplikation av tal i potensform. Det finns ingen potenslag för addition.

b) 3 · 42

1430 a) x = –3 c) x = –5

b) x = –12 d) x = 3

1431 2–3 är störst Motivering:

2–3 = 123 = 1

8 och 3–2 = 1

32 = 19

1432 a) 6200 = (62 )100=36100

b) 2500 = (25 )100= 32100

c) 6200

1436 a) 4 500 000 c) 2 000 000

b) 5 300 d) 704 000 000

1437 a) 2 ∙ 106

b) 2 300 000 = 2,3 ∙ 106

Ledtråd: 6 steg c) 6 ∙ 104

d) 61 200 = 6,12 ∙ 104

Ledtråd: 4 steg

1438 a) 3,6 ∙ 1010 b) 3,6 ∙ 1014

1439 8,1 ∙ 1016 m

1440 a) 0,000 38 c) 0,009 02

b) 0,000 005 9 d) 0,000 8

1441 a) 6,9 ∙ 109 b) 7 ∙ 10–3 mm

1442 a) 1,7 · 107 c) 3 · 10–3

b) 1,32 · 1011 d) 9,2 · 10–2

1443 1,7 · 10–27 kg

1444 500 kg

1445 Ca 400 ggr längre (390,625)

1446 175 000 km Ledtråd: Raden blir 1,75 ∙ 1011 mm

1448 a) 300 cm c) 5 000 m

b) 20 mm d) 700 mm

1449 a) 3 000 g c) 5 000 mg

b) 400 g d) 70 hg

Kurs 1bc Vux.indb 407 2013-07-11 15:23


1450 a) 36 mån c) 300 min

b) 48 h d) 420 s

1451 a) 4 dm c) 55 cm

b) 0,3 kg d) 7 300 m

1452 a) 250 ml c) 1,7 cl

b) 800 ml d) 450 ml

1453 a) 150 s c) 24 min

b) 0,25 h d) 0,2 h

1454 a) 350 g c) 0,075 g

b) 800 g

1455 a) 24 glas Lösning: 4,8 liter = 48 dl

48 dl2 dl/glas

= 24 glas

b) 30 glas

c) 40 glas 1456 500 ml = 5 dl = ½ liter 50 ml = 5 cl = 0,5 dl

1457 3,9 cm 0,1 m 1,5 dm 17 cm 0,25 m 430 mm

1458 a) 12 b) 8

1459 2 500 mg 0,01 kg 0,15 hg 20 g Ledtråd: Omvandla vikterna till gram.

1460 50 flaskor Ledtråd: 2,5 liter = 2 500 ml

1461 1 800 kg

1462 400 st

1463 5 dygn

1466 1,5 ∙ 106 W = 1,5 miljoner W = = 1 500 000 W

1467 a) 2 ∙ 103 g eller 2 000 g

b) 5 ∙ 103 W eller 5 000 W

c) 3 ∙ 106 B eller 3 000 000 B

d) 35 ∙ 106 W eller 35 000 000 W

1468 a) 8 ∙ 10–2 m eller 0,08 m

b) 5 ∙ 10–2 l eller 0,05 l

c) 6 ∙ 10–3 g eller 0,006 g

d) 2 ∙ 10–3 l eller 0,002 l

1469 a) 33 ∙ 103 g eller 33 000 g

b) 6,2 ∙ 103 g eller 6 200 g

c) 25 ∙ 109 B eller 25 000 000 000 B

d) 7,2 ∙ 106 W eller 7 200 000 W

1470 a) 8 MW c) 380 MW

b) 1,5 MW d) 0,6 MW

1471 a) 75 ∙ 103 W eller 75 000 W

b) 200 ∙ 10–3 g eller 0,2 g

c) 2,5 ∙ 109 Wh eller 2 500 000 000 Wh

d) 0,1 ∙ 10–9 m eller 0,000 000 000 1 m

1472 a) 2,5 ∙ 107 Wh c) 6,0 ∙ 10–7 m

b) 4,5 ∙ 10–5 g

1473 a) 2,8 ∙ 10–2 mm

b) 28µm

1474 ca 2 000 (1666,6…)

1477 a) 13tio c) 11tolv

b) 15åtta d) 21sex

Ledtråd: a) 1 tiotal och 3 ental b) 1 åttatal och 5 ental c) 1 tolvtal och 1 ental d) 2 sextal och 1 ental

1478 a) 21tio c) 33sex

b) 15sexton d) 30sju

1479 a) 5 Lösning: 11fyra betyder 1 fyrtal och 1 ental 11fyra = 1 · 4 + 1 · 1 = 5

b) 6

c) 9

1480 a) 21 Lösning: 4 femtal och 1 ental = = 4 ∙ 5 + 1 = 21

b) 8

c) 5

d) 26

1481 a) 0, 1, 2, 3, 4 b) 0 och 1

1482 a) 11tre b) 22tre c) 111tre

1483 a) 11två c) 101två

b) 100två d) 1010två

1484 a) 71tio c) 122sex

b) 101fem d) 110010två

1485 a) 37tio c) 11sexton

b) 43tio d) 1Fsexton

1486 a) sex b) nio

1487 a) (2 ∙ 33 + 2 ∙ 32 + 0 ∙ 31 + + 2 ∙ 30)tre

b) (2 ∙ 52 + 1 ∙ 51 + 4 ∙ 50)fem

c) (3 ∙ 82 + 5 ∙ 81 + 1 ∙ 80)åtta

d) (1 ∙ 123 + 5 ∙ 122 + 6 ∙ 121 + + 7 ∙ 120)tolv

Historik: Två historiska talsystem

1 a) 12 b) 7

2 a) ∩∩IIIIII b)

•••••••

• •••

3 a) 121 b) 150

4 a) 9 IIIIIIII b)

•••••••

• •••

5 a) 225 b) 1446

6 a) 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ∩∩∩∩∩

b) •••••••

• •••

1502 a) 10 b) 21 c) 10 d) 402

1503 a) 1,9 b) 1,9

1504 a) 51,5 s b) 51,7 s c) 51,9 s

1505 a) 36 376 ≈ 36 000 Ledtråd: 5 siffror i båda leden.

b) 42 000

c) 20 000

d) 31 000

1506 a) 157 mil

b) 160 mil

c) 200 mil

Kurs 1bc Vux.indb 408 2013-07-11 15:23


1507 a) 384 000 km

b) 400 000 km

1508 a) T ex 7,5 och 8,31

b) T ex 3,72 och 3,65

c) T ex 2,503 och 2,496

1509 a) 5, 6, 7, 8 eller 9

b) 0, 1, 2, 3 eller 4

1510 a) 1 b) 0,9 c) 0,90

1511 a) Stockholms län 1 890 000 Gotlands län 60 000

b) Stockholms län 1,89 miljoner Gotlands län 0,06 miljoner

1512 a) 3 990 b) 4 000 c) 4 000

1513 Mellan 0 och 3 km Ledtråd: Avståndet till Alvestad kan vara mellan 0,5 och 1,5 km. Vägen kan förgrenas omedelbart efter skylten.

1516 T ex: a) 1 300

b) 5 900 eller 6 000

c) 600

d) 4 100 eller 4 000

1517 T ex: a) 20 c) 180

b) 45 d) 200 eller 180

1518 T ex: a) 2 b) 7 c) 4 d) 20

1519 Ja Lösning: 11,7 + 5,4 + 9,2 ≈ ≈ 12 + 5 + 9 = 26

1520 a) 80 kr/timme

b) 78 kr/timme

1521 Ja

1522 6 st

1523 A och D Ledtråd: Avrunda talen och gör en överslagsberäkning för att avgöra om svaret är rimligt.

1524 D: 18

1525 D: 0,24

1526 Nej, hon ska ha ca 400 kr tillbaka.

1527 Nej, hyran är ca 54 000 kr.

1528 Ca 1 500 km

1529 Ja, nästan 1 m. Lösning: 5 ∙ 365 ∙ 0,5 mm ≈ ≈ 5 ∙ 400 ∙ 0,5 mm = = 1 000 mm = 1 m

1530 a) Ca 400 inv/km2 Lösning:

16 570 61341 526

≈

16 000 00040 000

= 400

b) Ca 20 inv/km2

Tema: Läkemedel

1 a) 2 000 mg c) 7 mg

b) 325 mg d) 40 mg

2 a) 3 500 ml c) 75 ml

b) 625 ml d) 200 ml

3 a) 0,25 l c) 0,028 l

b) 0,007 l d) 0,0084 l

4 a) 0,4 mg c) 0,05 mg

b) 0,2 mg d) 1 mg

5 3,3 dl

6 Nej. Motivering: Han drack 14,3 dl.

7 60 tabletter

8 11 dagar (11,1 …) Ledtråd: 0,5 liter = 500 ml

9 Mellan 16 och 50 dagar. Ledtråd: Minsta förbrukning är 1 tablett per dag. Högst förbrukning är 3 tabletter per dag.

10 a) 50 dagar

b) 1 dos morgon och kväll

11 a) 5 dagar (5,1 …) Ledtråd: En spruta innehåller 300 E och hon behöver 58 E per dag.

b) 6 pennor c) 0,64 ml Ledtråd c): Hon behöver 64 E per dag.

12 a) Ja. Motivering: Han har fått 1000 mg vilket motsvarar 200 mg/kg

b) 240 mg

13 5 tabletter

1532 a) 24 kr c) 6 kr

b) 36 kr d) 18 kr

1533 a) 20 km c) 10 km

b) 40 km d) 5 km

1534 1 200 liter

1535 Cedrik kör snabbast. Motivering: Cedrik 110 km/h, Albin 100 km/h Bea 90 km/h

1536 a) 5 dl mjöl och 6 msk socker

b) 1,25 dl mjöl och 1,5 msk socker

c) 3,75 dl mjöl och 4,5 msk socker

1537 a) 80 kr b) 40 kr c) 56 kr

1538 a) 210 steg Lösning: 10 min — 700 steg 1 min — 70 steg 3 min — 3 · 70 steg = = 210 steg b) 40 minuter Lösning:

2 800 steg70 steg/min

= 40 min

1539 a) 38,40 kr c) 50,88 kr

b) 48 kr d) 12,48 kr

1540 I glaset med 2 delar saft och 7 delar vatten. Motivering:

29

= 0,222... är större än 15

= 0,2

Kurs 1bc Vux.indb 409 2013-07-11 15:23


1541 a) 29,19 kr

b) 139 kr

c) 59,08 kr Lösning: 6,95 kr/hg · 8,5 hg ≈ 59 kr

d) 5,56 kr

1542 a) Ca 7 100 kr

b) Ca 8 900 kr

c) Ca 10 800 kr

1543 3 237 kr

1544 Bergbacken (lutningen 0,246)

1545 87 st Ledtråd: Här kan inte avrundnings- reglerna användas utan svaret ska avrundas nedåt.

1546 13 timmar (12,6)

1547 1,32 kr

1548 5,91 kr/lit Ledtråd: De 20 flaskorna motsvarar 6,6 liter.

1549 a) Nej, en tablett väger 750 mg.

b) Nej, den innehåller 64 tabletter.

1550 Ökning med ca 70 miljoner/år. Ledtråd: Befolkningen ökade med 662 personer på 5 minuter.

1551 24 sidor

1552 1 h och 20 min Ledtråd: Det krävs fyra svetsningar.

1553 Nästan 21 dagar (20,8)

1554 Asken väger 10 g.

1555 3 900 flaskor

1556 49 kr (48,5…)

1557 Gruppen ska utökas med 20 personer. Ledtråd: För projektet behövs totalt 1 800 persondagar. På 30 dagar ska den utökade gruppen klara 1 500 persondagar.

1558 13

1559 –15, –10, –5, 0, 5, 10

1560 2, 5, 13 821 503

Diagnos 1 A

1 5 500 000 Ledtråd: 5,5 miljoner är 5 miljoner femhundratusen.

2 a) 12 Lösning: 2 · 32 – 8 + 2 = 2 · 9 – 8 + 2 = = 18 – 8 + 2 = 10 + 2 = 12

b) 1 Lösning: 18/(3 + 6) – 1 = 18/9 – 1 = = 2 – 1 = 1

3 a) 17 Lösning: Sätt ut en parentes i nämnaren. 2975 ÷ ( 7 × 25)

b) 34 Lösning: Sätt ut parenteser i både täljaren och nämnaren. (87 × 26 + 16) ÷ (88 – 7 × 3)

4 a) En faktor är ett tal eller uttryck som ingår i en multiplikation.

b) Talet 7 är endast delbart med 1 och 7 och är därför ett primtal. Talet 8 är delbart med 1, 2, 4 och 8 och är därför ett sammansatt tal. 8 = 2 · 2 · 2

5 a) 47,96 s Lösning: 48,16 – 0,20 = 47, 96

b) 48,24 s Lösning: 48,16 + 0,08 = 48,24

6 12,5 ºC Lösning: 4,3 – (–8,2) = 4,3 + 8,2 = 12,5

7 a) 4 Lösning: 8 – 5 + 1 = 3 + 1 = 4

b) –12 Lösning: –5 + (–7) = –5 – 7 = –12

c) –0,05 Ledtråd: Multiplikation av ett positivt tal och ett negativt tal ger ett negativt resultat (produkt).

d) 80 Ledtråd: Börja med att förlänga med 10. Division av två negativa tal ger ett positivt resultat (kvot).

8 5 : 8 eller 58 Lösning

300480

= 3048

= 30/648/6

= 58

9 Addition och subtraktion

10 a) 23

Lösning:

35 + 1

15 = 3 · 35 · 3 + 1

15 =

= 915 + 1

15 = 1015 = 10/5

15/5 = 23

b) 76

11 T ex 103 · 107

Ledtråd: Summan av exponenterna ska vara 10.

12 a) 7,5 · 104

Ledtråd 75 000 = 7,5 · 104 (positiv

4 steg exponent)

b) 2,65 · 10–2

Ledtråd: 0,0265 = 2,65 · 10–2 (negativ

2 steg exponent)

c) 1,2 · 107

Lösning: 12 miljoner = 12 000 000 = = 1,2 · 107

d) 1,2 · 10–2

Lösning: 12 tusendelar = 12

1 000 = = 1,2 · 10–2

Kurs 1bc Vux.indb 410 2013-07-11 15:23


13 a) 3 MW Ledtråd: Tiopotensen 106 kan skrivas med prefixet M (mega).

b) 5 ms Ledtråd: 0,005 = 5 tusendelar Tusendelar (10–3) kan skrivas med prefixet m (milli).

14 21tre

Lösning: 7tio ska skrivas med basen 3: ••• ••• • 2 tregrupper + 1 ental skrivs 21tre

15 5 dygn Lösning: En tablett innehåller 200 mg Per gång: 2 tabletter Per dygn: 2 · 3 tabl = 6 tabl

Antal dygn: 306 = 5

16 a) 17,25 kr Lösning: Jämförpris:

27,60 kr4,0 hg

= 6,90 kr/hg

2,5 hg kostar: 2,5 · 6,90 kr = 17,25 kr

b) 8,7 hg Lösning:

60 kr6,90 kr/hg

= 8,695 ≈ 8,7 hg

17 32 tidningar Lösning: Andel Spindelmannen :

1 – 12 – 1

4 – 18 = 8

8 – 48 – 2

8 – 18 = 1

8

18 motsvarar 4 tidningar.

Antalet tidningar: 8 · 4 = 32.

Blandade övningar kapitel 1

1 40,3

2 a) –2º b) –9º

3 a) 0,029 b) 530 000 000

4 a) T ex 48 + 5

8 b) T ex 32 · 3

4

5 a) 9 b) 81 c) 50

6 13

7 4 liter Ledtråd: 3 flaskor innehåller tillsammans 1 liter.

8 a) x = 5 b) x = –3

9 En siffras värde beror på dess placering i talet. T ex i talet 372 har siffran 7 värdet 70.

10 45 min

11 a) T ex 0,092 Ledtråd: Ett tal mellan 0,090 och 0,100.

b) T ex 0,007 Ledtråd: Ett tal mellan 0,001 och 0,010.

12 15 min eller 0,25 h

13 a) T ex a = 5 ger 3 · 5 = 15 och 5 + 5 + 5 =15

b) T ex a = –4 ger 3 · (–4) = –12 och (–4) + (–4) + (–4) = –12

c) T ex a = 15 ger 3 · 1

5 = 35 och

15 + 1

5 + 15 = 3

5

14 34 och 52100

Förklaring: Täljaren är större än halva nämnaren. Täljaren är dessutom mindre än nämnaren.

15 T ex

a) –2 + (–3) = –5

b) –9 – (–4) = –5

16 23

17 Talet 53 är ett tal i potensform. Basen är 5 och exponenten är 3. Exponenten anger antalet faktorer som ska multipliceras då talet skrivs i faktorform. 53 = 5 · 5 · 5

18 29 °C

19 a) 2 · 3 · 11

b) 2, 3, 6, 11, 22 och 33 Ledtråd: Sammansatta tal är delbara med primtalsfaktorerna och produkter av dessa faktorer.

20 10fem Ledtråd: Endast siffrorna 0,1,2,3, och 4 används i basen fem.

21 a) x = 2 b) x = 3

22 2,5 ∙ 10–3 1200 10–2 0,02 101

Ledtråd: 1/200 är hälften av 1/100 dvs 0,005.

23 a) 0,05 b) 16

c) 38

24 kl 11.50 Los Angeles-tid Ledtråd: När planet landar är klockan i New York 13.50.

25 1016 = 5

8 Ledtråd: Hur många rutor är det som inte är färgade?

26 a) Andelen barn i Sverige =

= delendet hela ≈ 2

10 = 15

Förhållandet mellan antalet barn och antalet vuxna

≈ 28 = 1

4

Förhållandet är 1: 4.

b) 25

27 35 h = 36

60 h = 36 min och

712 h = 35

60 h = 35 min

28 Resultatet blir 30 000. Ledtråd: Talet är 150.

29 Hälften Ledtråd: De som åker buss är 5/8 av de som inte cyklar.

Kurs 1bc Vux.indb 411 2013-07-11 15:23


30 a) 2,52 b) 0,55

31 a) 64 slag

b) ca 3 800 slag (3 840)

c) ca 92 000 slag (92 160)

d) ca 34 000 000 slag

32 Anna betalade 5 kr mindre.

33 a) 1 700 kr b) 59 h (58,8)

34 a) 550 000 b) T ex 2 ∙ 10–2

35 a) Gör om talen till decimalform.

b) Skriver om bråken så de får samma nämnare och jämför sedan täljarna.

36 W34 L32

37 a) 314,09 kr

b) 210 min = 3 h 30 min

38 a) 1990 var det 4,5 barn per anställd. 2008 var det 5,3 barn per anställd.

b) Ca 97 000

39 42 Lösning: 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 =42

40 a) 129 dollar (128,73 …) Lösning: 100 euro = 100 ∙ 9,085 =

100 · 9,0857,057 dollar

b) 11 700 yen (11 742,09 …)

41 Du får en lite större bit vid bord A. Motivering: Bord A

4 pizzor10 personer = 0,4 pizzor/person

Bord B

3 pizzor8 personer = 0,375 pizzor/person

42 Robin hade störst reskassa från början. Förklaring:

Louis har 34 kvar.

Robin har 35 kvar.

43 5,4 km Ledtråd: Beräkna hur långt Amina joggar på 5 min.

44 De kan antingen dela pengarna efter hur lång tid de arbetat:

Maja 35

och Malcolm 25

eller

efter hur många broschyrer de

delat ut: Maja 1120

och Malcolm 920

45

År Modell A Modell B

0 78 000 78 000

1 67 200 62 400

2 56 400 49 900

3 45 600 39 900

4 34 800 31 900

5 24 000 25 600

6 13 200 20 400

7 2 400 16 400

8 13 100

9 10 500

10 8 400

Enligt modell B sjunker bilens värde snabbt de första åren och sedan allt mindre.

Enligt modell A sjunker bilens värde lika mycket varje år. Efter drygt 7 år är bilen inte värd någonting.

Efter 4–5 år ger båda modellerna samma värde.

2103 40 %

2104 a) 42 % c) 3 %

b) 30 % d) 30,5 %

2105 a) 0,65 c) 0,07

b) 0,70 d) 0,703

2106 a) 25 % c) 10 %

b) 12,5 % d) 5 % Ledtråd: Börja med att skriva talen i decimalform. Använd räknare om du behöver.

2107 a) 50 % d) 26 %

b) 33 % e) 30 %

c) 73 % f) 20 %

2108 a) 12 % b) 40 % c) 3,5 %

2109 5,1 %

2110 Figur A

a) 925 b) 0,36 c) 36 %

Figur B

a) 38 b) 0,375 c) 37,5 %

2111 a) 18 % (17,5)

b) 32 % (31,8) Ledtråd: Tänk på att både ”delen” och ”det hela” ökar.

2112 a) 47 % Ledtråd: ”Det hela” = 90 g + 100 g = = 190g

b) 53 %

2113 a) 80 %

b) 120 %

2114 Räddningsprocent:

Adde 1327 ≈ 0,48 = 48 %

Filip 1943 ≈ 0,44 = 44 %

2115 210 % Ledtråd: Alessandro arbetar 84 timmar/vecka.

2116 a) 10 % b) 3,5 %

2117 I Persboda. Motivering:

Persboda 975 = 0,12 = 12 %

Västerstad 1651 500 = 0,11 = 11 %

2118 a) Ca 17 %

b) 120 % Ledtråd: Beräkna 53 g av 44g.

2122 180 kr Lösning: 0,24 · 750 kr = 180 kr

2123 a) 6 944 kr

b) 14 756 kr

2

Kurs 1bc Vux.indb 412 2013-07-11 15:23

KÄLLFÖRTECKNING TILL BILDERSiffrorna anger sida och bildens placering på sidan

Foton:Alfredsson, Lena 34, 62, 79, 168, 201, 233, 242, 247Heikne, Hans 43:1, 59, 66, 76, 128, 150, 206, 244, 245:2, 260, 275, 283, 306 Karlsson, Anders 10, 170, 175, 199, 256, 283

IBL Bildbyrå AB, Stockholm Aerofoto 227 AGE photostock 235 Ardea 285 Bildbyrå IBL 23, 130, 131 Bilderbox 112, 274 Bilic/ Sucré Salè 51:1 Borell, Bartomeu 273 Brundin, Lars 251 Carrasco, J 277, 302 Carson, Gansi 19 Cristofori, Marco 315 Dareberg, Lars/ Sydsvenskan 340 Dovala, Joseph C. 319 DPA 336 Dressler, Hauke 376 Elmelid, Jan/ Naturfotograferna 98 Erich Lessing 89 Eriksson, Göte 43:2 Erwitt, Elliot/ Magnum Photos 141 Ewing, David 253, 258 Eyevine 84, 211, 149 FLI 246-247 Fotex 82 Fotototo 69 Gall, Pablo 225:2 Gamma 102, 338 Gansi, Carson 205 Good, Anders 80, 109, 115, 118 Gow, Jessica 44 Grambo, L 178

Hammarsten, Charles 8 Henriksson, Thomas 91 Heritage Images 355 Holl, Tommy 51:2 Hylthén, Andreas 13 Högardh-Ihr, Christina 310 IC 107, 309:2 Imagestate 85 Jennersten, Ola/ Naturfotograferna 218 Johaenteges, Karl 317 Johansson, Per 77 Jönsson, Staffan 249 Kristiansen, Ingemar D 61, 86 Koene, Tom 83 Korach, Mujo 48, 265, 267, 285, 332 Larsson, Helena/ Naturfotograferna 27 Lilja, Peter/ Naturfotograferna 99 Lilja, Torbjörn/ Naturfotograferna 356 Lindeberg, Torkel 271 Lindell, Bo 45 Linderheim, Alf 68 Library of Congress 28 Margolles, Jean Manuel 41 Market PhotosLtd 78-79 Martel, Olivier/ Hoaqui 132 Maslennikov, André 110:2, 113 Masterton, Iain 29 McPhoto/ PWI 11, 142 Moodboard 309:1 National, Motor Museum 225:1 Oldham, Tom 110:1 Paul 258, 260:1 Rex Features 88:2, 93, 119, 158, 159, 207, 298-299, 322 Ripol, Eduardo 241 Sandbring, Håkan 75, 224 Sass, Achim 152

Science Photo Library 49, 259, 285, 320, 333 Science Source 217 Shaw, Brooke 154 Shyshak, Roman 156 Teister, E 177 UPI/Eyevine 377 Violet, Roger 198 Wejrot, Anders/ Kamerapress 239 Wilhelm, Mats/ Naturfotograferna 111, 287 Xinhua/Eyevine 17, 307 Österberg, Cecilia 192

Link Image AB, Stockholm Hjälmrud, Berno 6-7, 259 Nordic Photos Bildbyrå AB, Stockholm Adamsson, Per-Erik 188-189

Scanpix Bildbyrå AB, Stockholm Laarsson, Christer 324 Lundmark, Gunnar 88:1 Masslenikov, André 368 Narayan, P 197 Pekkarinen, Ismo 101 Pleul, Patrick 22 Sörensen, Henrik 286 Wikberg, Thure 151 Wolfaym, Heiko 186 Yang, Liu/ Corbis 125

Vattenfall 53

Illustrationer:Johan Hesselstrand

Matematiska illustrationer:Anders KarlssonMats Karlsson

460 REGISTER

Kurs 1bc Vux.indb 460 2013-07-11 15:25

lena alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans … · lena alfredsson kajsa bråting patrik...

Documents