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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 2

Lección 1: Interpretar la división de una fracción por un número entero

— Modelos visuales Trabajo en clase Ejercicio inicial Dibuja un modelo de la fracción. Describe lo que la fracción significa.

Ejemplo 1

Maria tiene 3

4 de libra de surtido de frutas secas. Necesita compartirlo en cantidades iguales entre sus 6

amigos. ¿Cuánto recibirá cada amigo? ¿Qué es lo que esta pregunta nos pide hacer? ¿Cómo se puede mostrar esta pregunta?

Lección 1:

Interpretar la división de una fracción por un número entero — Modelos visuales S.1

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1


Ejemplo 2

Miremos un ejemplo un poco diferente. Imagina que tienes 25 de una taza de glaseado para distribuir en

partes iguales entre tres postres. ¿Cómo escribirías esto como una pregunta de división? Podemos empezar dibujando un modelo de dos quintos.

¿Cómo podemos mostrar que estamos dividiendo dos quintos en tres partes iguales? ¿Qué representa esta parte? Ejercicios 1 a 5 Por cada una de las siguientes preguntas, reescribe el problema como una pregunta de multiplicación. Luego, muestra la respuesta. 1. 1

2 ÷ 6 =

Lección 1:



2

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 2 2. 1

3 ÷ 3 =

3. 1

5 ÷ 4 =

4. 3

5 ÷ 4 =

5. 2

3 ÷ 4 =

Lección 1:



3

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 2 Conjunto de problemas Reescribe cada problema como una pregunta de multiplicación. Muestra tu respuesta. 1. 2

5 ÷ 5 =

2. 3

4 ÷ 2 =

Lección 1:



4


Lección 2: Interpretar la división de un número entero por una fracción

— Modelos visuales Trabajo en clase

Ejemplo 1 Pregunta N.°_______ Escríbela como una pregunta de división. _________________________________ Escríbela como una pregunta de multiplicación. _________________________________ Haz un borrador de un modelo para representar la pregunta:

Lección 2:

Interpretar la división de un número entero por una fracción — Modelos visuales S.5


5

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 2 6 2 A medida que pasas por cada modelo, asegúrate de responder las siguientes preguntas:

Preguntas originales

Escribe la pregunta de división que se respondió en cada

modelo.

¿Qué pregunta de multiplicación podría responder también el

modelo?

Escribe la pregunta dada a cada grupo como

pregunta de multiplicación.

1. ¿Cuántos 1

2 de milla

hay en 12 millas?

2. ¿Cuántos cuartos de

hora hay en 5 horas?

3. ¿Cuántos 1

3 de taza

hay en 9 tazas?

4. ¿Cuántos 1

8 de pizza

hay en 4 pizzas?

5. ¿Cuántos quintos hay

en 7 enteros?

Lección 2:



6


Ejemplo 2 Molly utiliza 9 tazas de harina para hornear pan. Si esto representa 3

4 de la cantidad total de harina con la

que comenzó, ¿cuál era la cantidad original de harina?

a. Crea un modelo para representar lo que pide la pregunta. b. Explica cómo determinarías la respuesta utilizando el modelo. Ejercicios 1 a 5 1. Una empresa de construcción está colocando carteles en 4 millas del camino. Si la empresa coloca un

cartel cada 18 de milla, ¿cuántos carteles necesitará?

Lección 2:



7


2. George compró 12 pizzas para una fiesta de cumpleaños. Si cada persona se come 38 de pizza, ¿a

cuántas personas puede alimentar George con 12 pizzas? 3. La familia López se hizo cargo de 6 millas de camino en el Canal Erie. Si cada miembro de la familia

puede limpiar 34 de milla, ¿cuántos miembros se necesitan para limpiar la sección que les corresponde?

Lección 2:



8

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 2 6 2 4. Margo está congelando 8 tazas de fresas. Si esto representa 2

3 del total de fresas que se recogieron,

¿cuántas tazas de fresas recogió Margo? 5. Regina está cortando madera. Hasta ahora cortó 10 troncos. Si los 10 troncos representan 5

8 de todos los

troncos que se necesitan cortar, ¿cuántos troncos se necesitan cortar en total?

Lección 2:



9

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 2 6 2 Conjunto de problemas Reescribe cada problema como una pregunta de multiplicación. Muestra tu respuesta. 1. Nicole utilizó 6 pies de cinta. Esto representa 3

8 de la cantidad total de cinta con la que comenzó.

¿Cuánta cinta tenía Nicole al principio? 2. ¿Cuántos cuartos de hora hay en 5 horas?

Lección 2:



10


Lección 3: Interpretar y calcular la división de una fracción por una

fracción — Más modelos Trabajo en clase Ejercicio inicial Dibuja un modelo para representar 12 ÷ 3. ¿Cómo podríamos reescribir esta pregunta?

Ejemplo 1 89

÷ 29

Dibuja un modelo para mostrar el problema de división.

Lección 3:

Interpretar y calcular la división de una fracción por una fracción – Más modelos S.11


11


Ejemplo 2 9

12÷

312

Asegúrate de dibujar un modelo para justificar tu respuesta.

Ejemplo 3 79

÷ 39

Asegúrate de crear un modelo para justificar tu respuesta.

Lección 3:



12

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 2 Ejercicios 1 a 6 Para los siguientes ejercicios, reescribe el problema de división. Luego, asegúrate de dibujar un modelo para justificar tu respuesta. 1. ¿Cuántos cuartos hay en tres cuartos?

Dibuja un modelo para justificar tu respuesta. ¿En qué se parecen el ejemplo 2 y el ejercicio 1? ¿Cómo se relacionan los divisores y los dividendos? ¿A qué conclusiones puedes llegar con estas observaciones?

Lección 3:



13


2. 45

÷ 25

3. 9

4÷ 3

4

4. 7

8÷ 2

8

Lección 3:



14


5. 1310

÷ 210

6. 11

9÷ 3

9

Lección 3:



15


Resumen de la lección Al dividir una fracción por una fracción con el mismo denominador podemos utilizar la regla general 𝑎𝑎

𝑐𝑐÷ 𝑏𝑏

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏

Conjunto de problemas Para los siguientes ejercicios, reescribe el problema de división con palabras. Luego, asegúrate de dibujar un modelo para justificar tu respuesta. 1. 15

4÷ 3

4

2. 8

5÷ 3

5

Lección 3:



16


Lección 4: Interpretar y calcular la división de una fracción por una

fracción — Más modelos Trabajo en clase Ejercicio inicial Escribe al menos tres fracciones equivalentes para cada una de las siguientes fracciones. Asegúrate de mostrar cómo se relacionan las dos fracciones.

a. 23

b. 10

12

Ejemplo 1 Molly compró 11

8 de taza de fresas. Si come 2

8 de taza por porción, ¿cuántas porciones tiene Molly?

Utiliza un modelo para demostrar tu respuesta.

Lección 4:



17


Ejemplo 2 Ahora imagina que Xavier, el amigo de Molly, compró 11

8 de taza de fresas. Si él come 3

4 de taza de fresas

por porción, ¿cuántas porciones tendrá? Utiliza un modelo para demostrar tu respuesta.

Ejemplo 3 Encuentra el cociente: 3

4÷ 2

3. Utiliza un modelo para mostrar tu respuesta.

Lección 4:



18

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 4 6 2 Ejercicios 1 a 5 Debes incluir un modelo en tu solución. 1. 6

2÷ 3

4

2. 2

3÷ 2

5

3. 7

8÷ 1

2

Lección 4:



19


4. 35

÷ 14

5. 54

÷ 13

Lección 4:



20

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 4 6 2 Conjunto de problemas Dibuja un modelo para justificar tu respuesta a las preguntas de división. 1. 8

9÷ 4

9

2. 9

10÷ 4

10

3. 3

5÷ 1

3

4. 3

4÷ 1

5

Lección 4:



21


Lección 5: Crear enunciados de división Trabajo en clase

Ejercicios iniciales

Barra de fracciones: 89

÷ 29

Línea numérica: Xavier, el amigo de Molly, compró 11

8 de taza de fresas. Si come 3

4 de taza de fresas por porción, ¿cuántas

porciones tendrá?

Modelo de área: 35

÷ 14

Lección 5:

Crear enunciados de división S.22


22


Ejemplo 1 12

÷ 18

Paso 1: Decídete por una interpretación. Paso 2: Dibuja un modelo. Paso 3: Encuentra la respuesta. Paso 4: Elige una unidad. Paso 5: Crea una situación.

Lección 5:



23

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 5 6 2 Ejercicio 1

Utilizando el mismo dividendo y el mismo divisor, trabaja con un compañero para crear su propio problema. Pueden utilizar la misma unidad, pero su situación debe ser única. Si lo prefieren, podrían probar con otra unidad como onzas, yardas o millas.

Ejemplo 2 34

÷ 12

Paso 1: Decídete por una interpretación. Paso 2: Dibuja un diagrama.

Lección 5:



24

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 5 6 2 Paso 3: Encuentra la respuesta. Paso 4: Elige una unidad. Paso 5: Crea una situación. Ejercicio 2

Utilizando el mismo dividendo y el mismo divisor, trabaja con un compañero para crear su propio problema. Pueden utilizar la misma unidad, pero su situación debe ser única. Si lo prefieren, podrían probar con otra unidad como tazas, yardas o millas.

Lección 5:



25


Resumen de la lección El método de crear divisiones comprende cinco pasos:

Paso 1: Decídete por una interpretación (de medida o partitiva). Hoy utilizamos una división de medida.

Paso 2: Dibuja un modelo.

Paso 3: Encuentra la respuesta.

Paso 4: Elige una unidad.

Paso 5: Crea una situación. Esto significa escribir un problema que sea interesante, realista y breve. Esto puede tomar varios intentos antes de que encuentres un problema que vaya bien con el dividendo y el divisor dados.

Conjunto de problemas Utiliza cada uno de los cinco pasos del proceso que aprendiste. Marca cada paso. 1. Escribe un problema de división de medida para 6 ÷ 3

4.

2. Escribe un problema de división de medida para 5

12 ÷ 1

6.

Lección 5:



26


Lección 6: Más enunciados de división Trabajo en clase

Ejemplo 1 Divide 50 ÷ 2

3

Paso 1: Decídete por una interpretación. Paso 2: Dibuja un modelo. Paso 3: Encuentra la respuesta. Paso 4: Elige una unidad. Paso 5: Crea una situación.

Lección 6:

Más enunciados de división S.27


27

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 2 Ejercicio 1

Utilizando el mismo dividendo y el mismo divisor, trabaja con un compañero para crear su propio problema. Pueden utilizar la misma unidad (dólares), pero su situación debe ser única. Si lo prefieren, podrían probar con otra unidad como millas.

Ejemplo 2 Divide 45 ÷ 3

8

Paso 1: Decídete por una interpretación. Paso 2: Dibuja un modelo.

Lección 6:



28

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 2 Paso 3: Encuentra la respuesta. Paso 4: Elige una unidad. Paso 5: Crea una situación. Ejercicio 2

Utilizando el mismo dividendo y el mismo divisor, trabaja con un compañero para crear su propio problema. Prueben con una unidad diferente. Recuerden que gastar dinero da un problema de "antes y después". Si utilizan dólares, están buscando una situación en la que 3

8 de alguna cantidad mayor de

dólares es $45.

Lección 6:



29

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 2 Conjunto de problemas

1. Escribe un problema de división partitiva para 45 ÷ 35.

2. Escribe un problema de división partitiva para 100 ÷ 2

5.

Lección 6:



30


Lección 7: La relación entre modelos de fracción visuales y ecuaciones Trabajo en clase

Ejemplo 1 34

÷ 25

Sombrea 2 de las 5 secciones (2

5).

Marca la parte conocida (3

4).

A continuación toma notas sobre los enunciados matemáticos necesarios para resolver el problema.

Lección 7:

La relación entre modelos de fracción visuales y ecuaciones S.31


31


Ejemplo 2 14

÷ 23

Muestra las cuentas a continuación.

Ejemplo 3 23

÷ 34

Muestra las cuentas a continuación.

Lección 7:



32


Resumen de la lección Conectar modelos de división de fracciones con la multiplicación por medio del uso de recíprocos ayuda a comprender la regla de "invertir y multiplicar".

Conjunto de problemas 1. Dibuja un modelo que muestre 2

5÷ 1

3. Además, encuentra la respuesta.

2. Dibuja un modelo que muestre 3

4÷ 1

2. Además, encuentra la respuesta.

Lección 7:



33


Lección 8: Dividir fracciones y números mixtos Trabajo en clase

Ejemplo 1: Introducción al cálculo del cociente de un número mixto y de una fracción A Carli le queda pintar 4 1

2 paredes para que todas las habitaciones de su casa tengan el mismo color de

pintura. Sin embargo, ella utilizó casi toda su pintura y solo le queda 56 de galón.

a. ¿Cuánta pintura puede utilizar en cada pared para tener suficiente pintura para las paredes restantes? b. Calcula el cociente.

25

÷ 347

Lección 8:

Dividir fracciones y números mixtos S.34


34

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 2 Ejercicio

Muestra tu trabajo para el juego de memoria en los siguientes recuadros. A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

Lección 8:



35

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 2 Conjunto de problemas Calcula cada cociente. 1. 2

5÷ 3 1

10

2. 4 1

3÷ 4

7

3. 3 1

6÷ 9

10

4. 5

8÷ 2 7

12

Lección 8:



36


Lección 9: Sumas y restas de decimales Trabajo en clase

Ejemplo 1

253

10+ 376

77100

Ejemplo 2

42615− 275

12

Ejercicios 1 a 5

Calcula cada suma o resta.

1. Samantha y sus amigas están haciendo un recorrido en automóvil que tiene 245 750

millas de largo. Ya

han conducido 128 53100

. ¿Cuánta distancia más tienen que conducir?

Lección 9:

Sumas y restas de decimales S.37


37


2. Ben necesita cambiar dos lados de su cerco. Un lado mide 367 9100

metros de largo y el otro mide 329 310

metros de largo. ¿Qué cantidad de cerco necesita comprar Ben?

3. Mike quiere pintar su nueva oficina con dos colores diferentes. Si necesita 4 4

5 galones de pintura roja y

3 110

galones de pintura marrón, ¿cuánta pintura necesita en total? 4. Después de completar algo de trabajo, Arianna notó que todavía tenía 78 21

100 imágenes para pintar. Si

completó otras 34 2325

imágenes, ¿cuántas imágenes tiene que pintar todavía Arianna? Utiliza una calculadora para convertir las fracciones en decimales antes de calcular la suma o la resta. 5. Rahzel quiere determinar cuánta gasolina utilizan él y su esposa en un mes. Según sus cálculos, él utilizó

78 13 galones de gasolina el mes pasado. La esposa de Rahzel utilizó 41 3

8 galones de gasolina el mes

pasado. ¿Cuánta gasolina utilizaron en total Rahzel y su esposa el mes pasado? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

Lección 9:



38

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 9 6 2 Conjunto de problemas 1. Encuentra cada suma o resta.

a. 381 110− 214 43

100

b. 32 3

4− 12 1

2

c. 517 37

50+ 312 3

100

d. 632 16

25+ 32 3

10

e. 421 3

50− 212 9

10

2. Utiliza una calculadora para encontrar cada suma o resta. Redondea tu respuesta a la centésima más

cercana.

a. 422 37− 367 5

9

b. 23 15

+ 45 78

Lección 9:



39


Lección 10: La propiedad distributiva y los productos de decimales Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Calcula el producto. a. 200 x 32,6 b. 500 x 22,12

Ejemplo 1: Introducción a productos parciales

Utiliza productos parciales y la propiedad distributiva para calcular el producto. 200 × 32,6

Ejemplo 2: Introducción a productos parciales

Utiliza productos parciales y la propiedad distributiva para calcular el área del patio rectangular que se muestra a continuación.

22,12 ft

500 ft

Lección 10:

La propiedad distributiva y los productos de decimales S.40


40


Ejercicios

Utiliza los siguientes recuadros para mostrar tu trabajo para cada estación. Asegúrate de colocar la solución para cada estación en el recuadro correcto.

Estación uno:

Estación dos:

Estación tres:

Estación cuatro:

Estación cinco:

Lección 10:



41


Conjunto de problemas

Calcula el producto utilizando productos parciales.

1. 400 × 45.2 2. 14.9 × 100 3. 200 × 38.4 4. 900 × 20.7 5. 76.2 × 200

Lección 10:



42


Lección 11: Multiplicación de fracciones y los productos de decimales Trabajo en clase Desafío de exploración

No solo resolverás cada problema, sino que tu grupo también necesitará demostrarle a la clase que el separador decimal del producto se encuentra en el lugar correcto. Como grupo, se esperará que presenten su prueba informal a la clase.

1. Calcula el producto: 34.62 × 12.8. 2. Xavier gana $11.50 por hora trabajando en un supermercado cercano. La semana pasada, Xavier trabajó

durante 13.5 horas. ¿Cuánto dinero ganó Xavier la semana pasada? Recuerda redondear al centavo más cercano.

Debate Realiza anotaciones del debate en el siguiente recuadro.

Lección 11:

Multiplicación de fracciones y los productos de decimales S.43


43


Ejercicios 1 a 4

1. Calcula el producto: 324.56 × 54.82.

2. Kevin gasta $11.25 en almuerzo cada semana durante el año escolar. Si hay 35.5 semanas durante el año escolar, ¿cuánto gasta Kevin en almuerzo durante todo el año escolar? Recuerda redondear al centavo más cercano.

3. El automóvil de Gunnar recorre 22.4 millas por galón, y su tanque de gasolina puede contener 17.82 galones. ¿Cuántas millas puede recorrer Gunnar si utiliza toda la gasolina del tanque?

4. El director de East High School quiere comprar una nueva cubierta para el pozo de arena usado en la competencia de salto de longitud. Midió el pozo de arena y descubrió que la longitud es de 29.2 pies y que el ancho es de 9.8 pies. ¿Cuál será el área de la nueva cubierta?

Lección 11:



44



Resuelve cada problema. Recuerda redondear al centavo más cercano cuando sea necesario.

1. Calcula el producto: 45.67 × 32.58. 2. Deprina compra una taza grande de café por $4.70 de camino al trabajo todos los días. Si hay 24 días

laborales en el mes, ¿cuánto gasta Deprina en café en todo el mes? 3. Krego gana $2,456.75 por mes. También gana $4.75 adicionales cada vez que vende una nueva

membresía de gimnasio. El mes pasado, Krego vendió 32 membresías nuevas de gimnasio. ¿Cuánto dinero ganó Krego el mes pasado?

4. Kendra acaba de comprar una nueva casa y necesita comprar césped nuevo para su patio trasero. Si las

dimensiones de su patio son 24.6 pies por 14.8 pies, ¿cuál es el área del patio?

Lección 11:



45


Lección 12: Estimar dígitos de un cociente Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Muestra un ejemplo de cómo resolverías 5,911 ÷ 23. Puedes utilizar cualquier método o modelo para mostrar tu trabajo. Solo asegúrate de que puedas explicar cómo llegaste a tu solución.

Ejemplo 1 También podemos utilizar estimaciones antes de dividir para ayudarnos a resolver problemas de división. En esta lección, utilizaremos la estimación para ayudarnos a dividir dos números usando el algoritmo de división. Estima el cociente de 8,085 ÷ 33. Luego, divide. Crea un modelo para mostrar la división de 8,085 por 33.

Lección 12:

Estimar dígitos de un cociente S.46


46


Ejemplo 2 Utiliza la estimación y el algoritmo estándar para dividir: 1,512 ÷ 27.

Ejercicios 1 a 4

1. 1,008 ÷ 48

a. Estima el cociente.

b. Utiliza el algoritmo para dividir. Dibuja un modelo para mostrar cómo los pasos se relacionan con los pasos que se utilizan en el algoritmo.

c. Comprueba tu trabajo.

Lección 12:



47


2. 2,508 ÷ 33


b. Utiliza el algoritmo para dividir. Dibuja un modelo para mostrar cómo los pasos se relacionan con los pasos que se utilizan en el algoritmo.


3. 2,156 ÷ 28


b. Utiliza el algoritmo para dividir.


Lección 12:



48


4. 4,732 ÷ 52


b. Utiliza el algoritmo para dividir.


Lección 12:



49


Conjunto de problemas Completa los siguientes pasos para cada problema:

a. Estima el cociente. b. Utiliza el algoritmo de división para resolver. c. Muestra un modelo que justifique tu trabajo con el algoritmo de división. d. Comprueba tu trabajo.

1. 3,312 ÷ 48 2. 3,125 ÷ 25 3. 1,344 ÷ 14

Lección 12:



50


Lección 13: Dividir números con dígitos múltiples utilizando el

algoritmo

Trabajo en clase

Ejemplo 1

a. Crea un modelo para dividir: 1,755 ÷ 27.

b. Utiliza el algoritmo de división para mostrar 1,755 ÷ 27.


Ejemplo 2 Encuentra el cociente de 205,276 ÷ 38.

Lección 13:

Dividir números con dígitos múltiples utilizando el algoritmo S.51


51


Ejemplo 3 Encuentra el cociente de 17,216,673 ÷ 23.

Ejercicios 1 a 6

Para cada pregunta, necesitas hacer lo siguiente:

a. Resuelve la pregunta. A continuación de cada línea, explica tu trabajo utilizando el valor posicional.

b. Evalúa la razonabilidad de tu respuesta.

1. 891,156 ÷ 12

2. 484,692 ÷ 78

Lección 13:



52


3. 281,886 ÷ 33

4. 2,295,517 ÷ 37

5. 952,448 ÷ 112

6. 1,823,535 ÷ 245

Lección 13:



53



1. 459,054 ÷ 54 2. 820,386 ÷ 102 3. 1,183,578 ÷ 227

Lección 13:



54


Lección 14: El algoritmo de división - Convertir la división de decimales

en división de números enteros utilizando fracciones

Trabajo en clase

Ejemplo 1 Divide: 31,218 ÷ 132.

Ejemplo 2 Divide: 974,835 ÷ 12.45.

Lección 14:

El algoritmo de división — Convertir la división de decimales en división de números enteros utilizando fracciones S.55


55


Ejemplo 3 Un avión recorre 3625.26 millas en 6.9 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria del avión?

Ejercicios 1 a 7

Estima primero el cociente. Utiliza la estimación para justificar la razonabilidad de tu respuesta.

1. Daryl gastó $4.68 por cada libra de surtido de frutas secas. Gastó un total de $14.04. ¿Cuántas libras de surtido de frutas secas compró?

2. Kareem compró varios paquetes de goma de mascar para colocar en canastas de regalo por $1.26 cada uno. Gastó un total de $8.82. ¿Cuántos paquetes de goma de mascar compró?

Lección 14:



56


3. Jerod está preparando velas con cera de abeja. Tiene 132.72 onzas de cera de abeja. Si cada vela utiliza 8.4 onzas de cera de abeja, ¿cuántas velas puede hacer? ¿Sobrará cera?

4. Hay 20.5 tazas de mezcla en el recipiente. Si cada cupcake utiliza 0.4 tazas de mezcla, ¿cuántos cupcakes se pueden hacer?

5. En los ejercicios 3 y 4, ¿cómo se interpretaron los restos o las partes adicionales?

Lección 14:



57


6. 159.12 ÷ 6.8

7. 167.67 ÷ 8.1

Lección 14:



58



1. Asian compró 3.5 libras de su mezcla favorita de frutas secas para utilizar en un surtido de frutas secas. El costo total fue de $16.87. ¿Cuánto costó la fruta por libra?

2. Divide: 994.14 ÷ 18.9.

Lección 14:



59


Lección 15: El algoritmo de división - Convertir la división de decimales

en división de números enteros utilizando cálculos mentales

Trabajo en clase

Ejercicios iniciales

Comienza encontrando el cociente de 1,728 y 32.

¿Qué ocurriría si multiplicáramos el divisor por 10? 1,728 ÷ 320

¿Qué ocurriría si multiplicáramos el dividendo por 10? 17,280 ÷ 32

Lección 15:

El algoritmo de división — Convertir la división de decimales en división de números enteros utilizando cálculos mentales S.60


60


¿Qué ocurriría si multiplicáramos el divisor y el dividendo por 10? 17,280 ÷ 320

¿Qué ocurriría si multiplicáramos el divisor y el dividendo por 100? 172,800 ÷ 3,200

¿Qué ocurriría si multiplicáramos el divisor y el dividendo por 1,000, por 10,000 o por 100,000? ¿Qué piensas que ocurrirá?

¿Cómo podemos utilizar esto para ayudarnos a dividir cuando hay decimales en el divisor? Por ejemplo, ¿cómo podemos utilizar esto para ayudarnos a dividir 172.8 y 3.2?

Lección 15:



61


Ejemplo 1 Utilizando nuestros hallazgos del debate, dividamos 537.1 por 8.2.

¿Cómo podemos reescribir este problema utilizando lo que aprendimos en la Lección 14?

¿Cómo podríamos utilizar el método abreviado de nuestro debate para cambiar los números originales a 5,371 y 82?

Ejemplo 2 Ahora dividamos 742.66 por 14.2.

¿Cómo podemos reescribir este problema de división de manera que el divisor sea un número entero, pero que el cociente permanezca igual?

Ejercicios

Los estudiantes participarán en un juego llamado "Pasa la hoja". Trabajarán en grupos de no más de cuatro integrantes. Habrá una hoja diferente para cada jugador. Cuando el juego comience, cada estudiante resolverá el primer problema en su hoja y pasará la hoja en el sentido de las agujas del reloj al segundo estudiante, quien utilizará la multiplicación para comprobar el trabajo que haya realizado el estudiante anterior. Luego, se pasará la hoja otra vez en el sentido de las agujas del reloj al tercer estudiante, quien resolverá el segundo problema. La hoja se pasará al cuarto estudiante, quien comprobará el segundo problema. Este proceso continuará hasta que se completen todas las preguntas de cada hoja o hasta que el tiempo se acabe.

Lección 15:



62



1. 118.4 ÷ 6.4 2. 314.944 ÷ 3.7 3. 1,840.5072 ÷ 23.56

Lección 15:



63


Lección 16: Números pares e impares Trabajo en clase Ejercicio inicial ¿Qué es un número par? Enumera algunos ejemplos de números pares. ¿Qué es un número impar? Enumera algunos ejemplos de números impares. ¿Qué ocurre cuando sumamos dos números pares? ¿Siempre obtendremos un número par?

Lección 16:

Números pares e impares S.64


64


Ejercicios 1 a 3

1. ¿Por qué la suma de dos números pares es par? a. Piensa en el problema 12 + 14. Dibuja puntos para representar cada número.

b. Encierra en círculos pares de puntos para determinar si alguno de los puntos queda afuera.

c. ¿Será esto verdadero cada vez que se sumen dos números pares? ¿Por qué sí o por qué no?

2. ¿Por qué la suma de dos números impares es par? a. Piensa en el problema 11 + 15. Dibuja puntos para representar cada número.


c. ¿Será esto verdadero cada vez que se sumen dos números impares? ¿Por qué sí o por qué no?

Lección 16:



65


3. ¿Por qué la suma de un número par y un número impar es impar?

a. Piensa en el problema 14 + 11. Dibuja puntos para representar cada número.


c. ¿Será esto verdadero cada vez que se sumen un número par y un número impar? ¿Por qué sí o por qué no?

d. ¿Qué ocurriría si el primer sumando fuera impar y el segundo fuera par? ¿La suma aún sería impar? ¿Por qué sí o por qué no? Por ejemplo, si tuviéramos 11 + 14, ¿la suma sería impar?

Resumamos:

Lección 16:



66

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 16 6 2 Desafío de exploración/Ejercicios 4 a 6 4. El producto de dos números pares es par. 5. El producto de dos números impares es impar. 6. El producto de un número par y un número impar es par.

Lección 16:



67


Resumen de la lección Suma: La suma de dos números pares es par. La suma de dos números impares es impar. La suma de un número par y un número impar es impar.

Multiplicación: El producto de dos números pares es par. El producto de dos números impares es impar. El producto de un número par y un número impar es par.

Conjunto de problemas Sin resolver, indica si cada suma o producto es par o impar. Explica tu razonamiento.

1. 346 + 721 2. 4,690 × 141 3. 1,462,891 × 745,629 4. 425,922 + 32,481,064 5. 32+45+67 + 91+34+56

Lección 16:



68


Lección 17: Pruebas de divisibilidad por 3 y por 9

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

A continuación hay una lista de 10 números. Coloca cada número en el(los) círculo(s) que sea(n) factor(es) del número. Colocarás algunos números en más de un círculo. Por ejemplo, si 32 estuviera en la lista, lo colocarías en los círculos con 2, 4 y 8 porque todos son factores de 32.

24; 36; 80; 115; 214; 360; 975; 4,678; 29,785; 414,940

Lección 17:

Pruebas de divisibilidad por 3 y por 9 S.69


69

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 17 6 2 Debate Regla de divisibilidad por 2:

Regla de divisibilidad por 4:




Los números decimales con partes fraccionarias no cumplen con las pruebas de divisibilidad.



Ejemplo 1 Este ejemplo te mostrará cómo aplicar las dos nuevas reglas de divisibilidad que acabamos de analizar. ¿378 es divisible por 3 o por 9? ¿Por qué sí o por qué no?

a. ¿Cuáles son los tres dígitos del número 378? b. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos? c. ¿18 es divisible por 9? d. ¿El número entero 378 es divisible por 9? ¿Por qué sí o por qué no?

Lección 17:



70


e. ¿El número 378 es divisible por 3? ¿Por qué sí o por qué no?

Ejemplo 2 ¿3,822 es divisible por 3 o por 9? ¿Por qué sí o por qué no? Ejercicios 1 a 5 Encierra TODOS los números que sean factores del número dado. Completa cualquier trabajo necesario en el espacio proporcionado.

1. ¿2,838 es divisible por

3?

9?

4?

Explica tu razonamiento para las elecciones que hiciste.

Lección 17:



71

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 17 6 2 2. ¿34,515 es divisible por

3?

9?

5?


3. ¿10,534 341 es divisible por

3?

9?

2?


Lección 17:



72

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 17 6 2 4. ¿4,320 es divisible por

3?

9?

10?

Explica tu razonamiento para las elecciones que hiciste. 5. ¿6,240 es divisible por

3?

9?

8?


Lección 17:



73


Resumen de la lección Para determinar si un número es divisible por 3 o por 9:

Calcula la suma de los dígitos. Si la suma de los dígitos es divisible por 3, el número entero es divisible por 3. Si la suma de los dígitos es divisible por 9, el número entero es divisible por 9.

Nota: Si un número es divisible por 9, también es divisible por 3.

Conjunto de problemas 1. ¿32,643 es divisible tanto por 3 como por 9? ¿Por qué sí o por qué no? 2. Encierra en círculos todos los factores de 424,380 de la siguiente lista.

2 3 4 5 8 9 10 3. Encierra en círculos todos los factores de 322,875 de la siguiente lista.

2 3 4 5 8 9 10 4. Escribe un número de 3 dígitos que sea divisible tanto por 3 como por 4. Explica cómo sabes que este

número es divisible por 3 y por 4. 5. Escribe un número de 4 dígitos que sea divisible tanto por 5 como por 9. Explica cómo sabes que este

número es divisible por 5 y por 9.

Lección 17:



74


Lección 18: Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Trabajo en clase

Comienzo

El máximo común divisor de dos números enteros 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏, que se escribe MCD (𝑎𝑎,), es el mayor número entero que es factor tanto de 𝑎𝑎 como de 𝑏𝑏.

El mínimo común múltiplo de dos números 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 que no sean cero, que se escribe MCM (𝑎𝑎,), es el menor número entero (mayor que cero) que es múltiplo tanto 𝑎𝑎 como de 𝑏𝑏.

Ejemplo 1: Máximo común divisor Encuentra el máximo común divisor de 12 y de 18.

Enumerar estos pares de factores en orden puede ayudarte a no perder ninguno. Comienza con una vez ese número.

Encierra en círculos todos los factores que aparezcan en ambas listas. Coloca un triángulo alrededor del mayor de estos factores comunes.

MCD (12, 18) 12

18

Lección 18:

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor S.75


75


Ejemplo 2: Mínimo común múltiplo

Encuentra el mínimo común múltiplo de 12 y de 18.

MCM (12, 18)

Escribe los primeros 10 múltiplos de 12. Escribe los primeros 10 múltiplos de 18. Encierra en círculos los múltiplos que aparezcan en ambas listas. Coloca un rectángulo alrededor del menor de estos múltiplos comunes. Ejercicios

Estación 1: Factores y MCD

Elijan uno de los problemas que todavía no se haya resuelto. Resuélvanlo en su página de estudiante. Luego, utilicen su marcador para copiar su trabajo claramente en el afiche. Usen también su marcador para tachar su elección de manera que el siguiente grupo resuelva un problema diferente.

MCD (30, 50) MCD (30, 45) MCD (45, 60) MCD (42, 70) MCD (96, 144)

Lección 18:



76

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 2 A continuación, elijan uno de los problemas que todavía no se haya resuelto. a. Hay 18 niñas y 24 niños que quieren participar en un desafío de preguntas y respuestas. Si cada equipo

debe tener la misma cantidad de niños y de niñas, ¿cuál es la mayor cantidad de equipos que pueden participar? ¿Cuántos niños y niñas habrá en cada equipo?

b. Los miembros del club de esquí están preparando kits de bienvenida idénticos para los nuevos

esquiadores. Tienen 60 paquetes de calentadores de manos y 48 paquetes de calentadores de pies. ¿Cuál es la mayor cantidad de kits que pueden preparar utilizando todos los paquetes de calentadores de manos y de pies? ¿Cuántos paquetes de calentadores de manos y de pies habrá en cada kit de bienvenida?

c. Hay 435 diputados y 100 senadores que trabajan en el Congreso de los Estados Unidos. ¿Cuántos grupos

idénticos, con la misma cantidad de diputados y de senadores, se podrían formar en todo el Congreso si queremos que los grupos sean lo más grande posible? ¿Cuántos diputados y senadores hay en cada grupo?

d. ¿El MCD de un par de números es igual a uno de los números alguna vez? Expliquen con un ejemplo. e. ¿El MCD de un par de números es mayor que ambos números alguna vez? Expliquen con un ejemplo.

Lección 18:



77

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 2 Estación 2: Múltiplos y MCM Elijan uno de los problemas que todavía no se haya resuelto. Resuélvanlo en su página de estudiante. Luego, utilicen su marcador para copiar su trabajo claramente en el afiche. Usen también su marcador para tachar su elección de manera que el siguiente grupo resuelva un problema diferente.

MCM (9, 12) MCM (8, 18) MCM (4, 30) MCM (12, 30) MCM (20, 50) A continuación, elijan uno de los problemas que todavía no se haya resuelto. Resuélvanlo en su página de estudiante. Luego, utilicen su marcador para copiar su trabajo claramente en el afiche. Usen también su marcador para tachar su elección de manera que el siguiente grupo resuelva un problema diferente. a. Los hot dogs vienen envasados en un paquete de 10 unidades. Los panecillos de hot dog vienen

envasados en un paquete de 8 unidades. Si queremos un hot dog para cada panecillo para un picnic, sin que sobre nada, ¿cuál es la menor cantidad de cada uno que necesitamos comprar? ¿Cuántos paquetes de cada artículo tendríamos que comprar?

b. A partir de las 6:00 a. m., un autobús realiza una parada en la esquina de mi calle cada 15 minutos.

También, a partir de las 6:00 a. m., un taxi pasa cada 12 minutos. ¿A qué hora habrá un autobús y un taxi en la esquina al mismo tiempo la próxima vez?

c. Hay dos engranajes en una máquina alineados por una marca dibujada desde el centro de un engranaje

hasta el centro del otro. Si el primer engranaje tiene 24 dientes y el segundo tiene 40 dientes, ¿cuántas revoluciones del primer engranaje se necesitan hasta que las marcas se alineen de nuevo?

Lección 18:



78

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 2 d. ¿El MCM de un par de números es igual a uno de los números alguna vez? Expliquen con un ejemplo. e. ¿El MCM de un par de números es menor que ambos números alguna vez? Expliquen con un ejemplo. Estación 3: Utilizar factores primos para determinar el MCD


MCD (30, 50) MCD (30, 45)

MCD (45, 60) MCD (42, 70)

MCD (96, 144)

Factores de 50 Factores comunes Factores de 30

Factores de 45

Factores comunes

Factores de 45 Factores de 60 Factores comunes Factores de 42 Factores de 70 Factores comunes

Factores de 96 Factores de 144 Factores comunes

Factores de 30

Lección 18:



79

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 2 A continuación, elijan uno de los problemas que todavía no se haya resuelto. a. ¿Preferirías encontrar todos los factores de un número o encontrar todos los factores primos de un

número? ¿Por qué? b. Encuentra el MCD de tu par original de números. c. ¿El producto de tu MCM y tu MCD es menor, mayor o igual que el producto de tus números? d. El número favorito de Glenn es muy especial porque le recuerda al día del nacimiento de su hija Sarah.

Los factores de este número no se repiten, y todos los números primos son menores a 12. ¿Cuál es el número de Glenn? ¿Cuándo nació Sarah?

Estación 4: Aplicar factores a la propiedad distributiva


Encuentren el MCD de los dos números y vuelvan a escribir la suma utilizando la propiedad distributiva.

1. 12 + 18 = 2. 42 + 14 = 3. 36 + 27 = 4. 16 + 72 = 5. 44 + 33 =

Lección 18:



80

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 2 A continuación, agreguen otro ejemplo nuevo a uno de estos dos enunciados aplicando factores a la propiedad distributiva. Elijan cualquier número para 𝑛𝑛, 𝑎𝑎, y 𝑏𝑏.

𝑛𝑛(𝑎𝑎) + 𝑛𝑛(𝑏𝑏) = 𝑛𝑛(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑛𝑛(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛(𝑏𝑏) = 𝑛𝑛(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)


Completen las estaciones restantes de la clase.

Lección 18:



81


Lección 19: El algoritmo de Euclides como aplicación del algoritmo de

división larga

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

El algoritmo de Euclides se utiliza para encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos números enteros.

1. Divide el mayor de los dos números por el más pequeño.

2. Si hay un resto, divide el divisor por dicho resto.

3. Continúa dividiendo el último divisor por el último resto hasta que el resto sea cero.

4. El divisor final es el MCD del par original de números.

383 ÷ 4 = 432 ÷ 12 = 403 ÷ 13 =

Ejemplo 1: Algoritmo de Euclides conceptualizado

100 unidades

20 unidades

60 unidades

20 unidades

Lección 19:

El algoritmo de Euclides como aplicación del algoritmo de división larga S.82


82


Ejemplo 2: Lección 18 Repaso del trabajo en clase a. Apliquemos el algoritmo de Euclides a algunos de los problemas de nuestra última lección.

i. ¿Cuál es el MCD de 30 y de 50? ii. Utilizando el algoritmo de Euclides, sigamos los pasos que se enumeran en el ejercicio inicial.

b. Aplica el algoritmo de Euclides para encontrar el MCD (30, 45).

Ejemplo 3: Números mayores MCD (96, 144) MCD (660, 840)

Lección 19:



83


Ejemplo 4: Problemas de área El máximo común divisor tiene muchos usos. Entre ellos, el MCD nos permite encontrar el tamaño máximo de los cuadrados que cubrirán un rectángulo. Al resolver problemas de este tipo, no podemos dejar espacios ni tener cuadrados superpuestos. Por supuesto que los cuadrados de mayor tamaño serán la cantidad mínima de cuadrados necesarios. Una mesa rectangular para computadora mide 30 pulgadas por 50 pulgadas. Necesitamos cubrirla con azulejos cuadrados. ¿Cuál es la longitud lateral del azulejo cuadrado más grande que podemos utilizar para cubrir completamente la mesa de manera que no haya superposiciones ni espacios?

a. Si utilizamos cuadrados que miden 10 por 10, ¿cuántos necesitaremos? b. Si se tratara de un trozo gigante de queso en una fábrica, ¿cambiaría el pensamiento o los cálculos

que acabamos de hacer? c. ¿Cuántos cuadrados de queso de 10 pulgadas × 10 pulgadas se podrían cortar del bloque gigante de

30 pulgadas × 50 pulgadas?

Lección 19:



84


Conjunto de problemas 1. Utiliza el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de los siguientes pares de

números: a. MCD (12, 78) b. MCD (18, 176)

2. Juanita y Samuel están planeando una fiesta de pizzas. Pidieron una pizza rectangular que midiera 21

pulgadas por 36 pulgadas. Le dijeron al preparador de pizzas que no la cortara porque querían cortarla ellos mismos.

a. Todas las porciones de pizza deben ser cuadradas y no deben quedar sobras. ¿Cuál es la longitud lateral de las porciones cuadradas más grandes en las que Juanita y Samuel pueden cortar la pizza?

b. ¿Cuántas porciones habrá de este tamaño? 3. Shelly y Mickelle están haciendo un acolchado. Tienen una tela que mide 48 pulgadas por 168 pulgadas.

a. Todos los retazos de tela deben ser cuadrados y no deben quedar restos. ¿Cuál es la longitud lateral de los retazos cuadrados más grandes en los que Shelly y Mickelle pueden cortar la tela?

b. ¿Cuántos retazos habrá de este tamaño?

Lección 19:



85

lección 1: interpretar la división de una fracción por un ......escribe al menos tres fracciones...

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