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MIDAS IT Lateral Torsional Buckling

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Lateral torsional buckling

1. 좌굴의 유형

가느다란 부재에 압축력이 작용할 경우 재료의 직접적인 압축보다 굽휨 또는 비틀림에 의한 파괴

가 일어난다. 이와 같은 유형의 파괴를 좌굴이라고 한다. 좌굴은 구조물의 주요한 파괴원인 중의

하나이므로 설계시 좌굴 가능성을 항상 고려해야 한다 [1]. 부재에 좌굴이 발생하는 하중을 임계

하중 (critical load, buckling load) 이라고 하는데, 비교적 간단한 형태의 구조물에 대해서는 이에

대한 이론식이 알려져 있다.

좌굴은 그림 1.1(a)와 같이 휨에 의해 발생하는 좌굴을 Euler 좌굴 (Axial-flexural buckling) 이

라고 한다. 비틀림과 수평 방향의 이동에 의한 좌굴도 있는데, 이는 Lateral-torsional buckling과

Axial-torsional buckling으로 나누어 진다. Lateral torsional buckling은 그림 1.1(b)와 같이 전

단 방향의 하중에 대하여 부재가 횡방향으로 변형하는 좌굴을 나타내며, Axial-torsional

buckling은 그림 1.1(c)와 같이 축방향의 하중에 대하여 부재가 비틀리며 변형하는 좌굴을 나타

낸다. 휨모멘트에 의한 효과만을 고려하는 Euler 좌굴에 비해 횡좌굴은 전단력과 모멘트, 그리고

비틀림에 의한 효과까지 함께 고려한다.

일반적으로 두께가 얇은 부재에 축력이나 전단력, 휨모멘트 또는 이들이 조합하여 작용할 때에는

부재의 기하학적 형상과 경계조건에 따라 위의 세 가지 유형의 좌굴이 독립적으로 또는 조합되어

발생할 수 있다. 어떠한 경우의 좌굴이든 부재는 가장 낮은 임계하중에서 좌굴이 발생하여 파괴

되므로 좌굴해석에서는 부재의 1차 좌굴 모드와 이때의 좌굴하중을 구하는 것이 중요하다.

(a) axial-flexural buckling (Euler buckling) (b) lateral-torsional buckling

(c) axial-torsional buckling

그림 1.1 Type of buckling


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2. Axial torsional buckling

본 장에서는 Axial-flexural buckling (Euler buckling)과 Axial-torsional buckling이 함께 발생

하는 구조물을 예제로 하여 이들의 특성을 살펴보았다.

2.1 해석 모델 개요

그림 2.1(a) 와 같이 얇은 사각형 단면을 가진 양단 단순 지지된 기둥의 선단에 부재축 방향으로

압축력이 작용하고 있는 경우의 좌굴하중을 구하였다. 구조물은 그림 2.1(b) 및 그림 2.1(c)와 같

이 Beam 요소와 Plate 요소의 두 가지 종류로 모델링 하였다. Beam 요소로 모델링 하는 경우는

축방향으로 48등분 하였으며, Plate 요소로 모델링 하는 경우는 수평방향으로 48등분, 수직방향

으로 6등분하였다. 각각의 경우에 대해 해석결과를 이론해와 비교하였다.

Case 1 : Beam element (total 48 elements : divided by horizontally 48)

Case 2 : Plate element (total 288 elements : divided by horizontally 48 and vertically 6)

(a) Model shape (top View)

(b) Case 1: Beam element model

(c) Case 2: Plate element model

그림 2.1 Structural geometry and boundary conditions


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2.2 해석 모델 물성치

Analysis Type

Axial-torsional buckling

Unit System

N, mm

Dimension

Length 240mm

Element

Beam element

Plate element (thick type without drilling dof)

Material

Young’s modulus of elasticity E = 71,240N/mm2

Poission’s ratio ν = 0.31

Section Property

Beam element : solid rectangular 0.6×30mm

Plate element : thickness 0.6mm, width 5mm, height 5mm

Boundary Condition

Left end is pinned and right end is roller

Load

P = 1.0 N

2.3 해석 결과

Beam 요소 모델과 Plate 요소 모델에 대하여 MIDAS에서 해석한 결과는 그림 2.2와 같다. 좌굴

모드는 11차까지 구하였다. 좌굴 모드 형상은 그림 2.3과 같다. 1차부터 10차까지는 Euler

buckling 이 발생하였으며, 11차에서 Axial-torsional buckling 이 발생하였다.

(a) Beam element model (b) Plate element model

그림 2.2 Analysis result (Buckling load)


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Mode 1 (Beam element model) Mode 1 (Plate element model)







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Mode 11 (Beam element model) Mode 11(Plate element model)

그림 2.3 Buckling mode

구조물 형태가 단일 축방향이므로 Beam 요소 모델인 경우에는 axial-torsional buckling 의 좌굴

형상을 확인할 수 없기 때문에 이 경우에 대해서는 Plate 요소로 모델링한 것에서 확인한다.


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2.4 이론 해

단순 지지된 기둥에 축하중이 작용할 때의 Axial-flexural 좌굴 하중 (Euler 좌굴 하중)은 다음

식으로 주어진다 (Gere [1]).

2 2

2z

crn EIP

Lπ

=

여기서,

n : buckling mode (1, 2, … )

L : Length of the element

E = Young’s modulus of elasticity

zI = moment of inertia about local z-axis

재료와 단면 물성치를 위 식에 대입하여 좌굴하중을 구하면 다음과 같다.

2

2

71,240 0.54 6.592240crP Nπ × ×

= =

단순 지지된 기둥에 축하중이 작용할 때의 Axial-torsional 좌굴 하중은 다음 식으로 주어진다

(Timoshenko and Gere [2]).

2(1 )xx xx

cry z y z

GI A I A EPI I I I ν

= = ×+ + +


G = shear modulus of elasticity

ν = poisson’s ratio

yI = moment of inertia about local y-axis


xxI = torsional moment of inertia


2.132784 18 71, 2402(1 ) 1,350 0.54 2(1 0.31)

772.920 N

xxcr

y z

I A EPI I ν

×= × = ×

+ + + +

=


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2.5 결과 비교

1차부터 10차까지는 Axial-flexural buckling(Euler buckling) 이 발생하였으며, 11차에서 Axial-

torsional buckling 이 발생하였다. Beam 요소로 모델링 한 경우와 Plate 요소로 모델링한 경우

모두 이론해와 유사한 결과를 도출하였다.

Mode Buckling type Theoretical

Solution

(N)

Beam model Plate model

Critical

load (N)

Error

(%)

Critical

laod (N)

Error

(%)

1 Euler buckling 6.592 6.592 0.000 6.606 0.212

2 Euler buckling 26.367 26.365 0.008 26.581 0.812

3 Euler buckling 59.325 59.316 0.015 60.331 1.696

4 Euler buckling 105.467 105.440 0.026 108.358 2.741

5 Euler buckling 164.791 164.728 0.038 171.145 3.856

6 Euler buckling 237.300 237.171 0.054 249.123 4.982

7 Euler buckling 322.991 322.758 0.072 342.693 6.100

8 Euler buckling 421.866 421.480 0.091 452.259 7.204

9 Euler buckling 533.924 533.326 0.112 578.261 8.304

10 Euler buckling 659.166 658.288 0.133 721.193 9.410

11 Axial-torsional 772.920 772.920 0.000 778.084 0.668


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3. Lateral-torsional buckling

본 장에서는 Lateral-torsional buckling을 실제 예제를 통하여 살펴보았다.


그림 3.1과 같이 얇은 사각형 단면을 가진 캔틸레버 보의 선단에 부재축과 수직방향으로 집중 하

중이 작용하고 있다. 이 때의 좌굴하중을 구한다. 구조물은 Beam 요소와 Plate 요소의 두 가지

종류로 모델링 하였으며, 각각 축방향으로 10, 20, 40 등분하였다. 각각의 경우에 대해 해석결과

를 이론해와 비교하였다.

Case 1 : Both beam and plate elements (10 elements : horizontally evenly divided by 10)



그림 3.1 Structural geometry and boundary conditions


Analysis Type

Lateral torsional buckling

Unit System

lbf, in

Dimension

Length 20 in

Element


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Beam element and plate element (thick type without drilling dof)

Material

Young’s modulus of elasticity E = 108 lb/in2

Poission’s ratio ν = 2/3

Section Property

Beam element : solid rectangular 0.05×1 in

Plate element : thickness 0.05in, width 1.0 in

Boundary Condition

Left end is fixed and right end is free

Load

P = 1.0 lbf

3.3 해석 결과

좌굴 모드는 4차까지 구하였다. 1차부터 4차까지 모두 lateral-torsional buckling 이 발생하였다.

Beam 요소 모델과 Plate 요소 모델에 대한 해석 결과는 다음과 같다.


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Case 1 : Both beam and plate elements (10 elements)

Beam element model

1st mode Buckling load

Top view

Isometric view

Plate element model


Top view

Isometric view


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Beam element model


Top view

Isometric view

Plate element model


Top view

Isometric view


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Beam element model


Top view

Isometric view

Plate element model


Top view

Isometric view


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3.4 이론 해

얇은 사각형 단면을 가진 캔틸레버 보의 선단에 부재축과 수직방향으로 집중 하중이 작용하고 있

을 때의 좌굴하중은 다음식으로 구해진다. (Timoshenko and Gere [2]).

2 2

4.013 4.0132(1 )

z xxcr z xx

I IP EI GI EL L ν

= =+

여기서,

L = length of the cantilever beam







5 58

2 2

4.013 4.013 (1.041667 10 ) (4.035417 10 )102(1 ) 20 2(1 2 / 3)

11.266 lbf

z xxcr

I IP EL ν

− −× × ×= = × ×

+ +

=

3.5 결과 비교

Unit : lbf

Case Critical load for 1st buckling

Theoretical

solution

MIDAS

Beam element (error) Plate element (error)

1

11.266

11.293 (0.24%) 11.815 (4.87%)

2 11.272 (0.05%) 11.808 (4.81%)

3 11.267 (0.01%) 11.809 (4.82%)

Beam 요소로 모델링 한 경우와 Plate 요소로 모델링한 경우 모두 이론해와 유사한 결과를 도출

하였다.


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4. 아치교 예제

본 장에서는 아치교에 대한 횡좌굴의 영향을 살펴보았다. 횡좌굴을 고려하지 않은 경우와 고려한

경우에 대하여 좌굴 모드와 좌굴 하중의 차이를 살펴보았다.


아치교 예제의 형상은 그림 4.1과 같다. 양단에서 단순지지 되어 있으며, 하중은 고정하중과 보도

하중, 그리고 차량 하중으로 구성되어 있다. 아치교를 이루는 거더가 얇고 긴 부재로 되어 있어

횡좌굴이 발생할 가능성이 크다.

(a) 고정하중

(b) 보도하중

(c) 차량 하중

그림 4.1 해석 모델 및 하중


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4.2 해석 결과

횡좌굴을 고려한 경우와 고려하지 않은 경우에 대한 좌굴 하중은 그림 4.2와 같다. 예상 할 수

있는 바와 같이 횡좌굴을 고려한 경우가 그렇지 않은 경웅보다 좌굴 하중이 적게 나오고 있다.

(a) 횡좌굴을 고려하지 않은 경우 (b) 횡좌굴을 고려한 경우

그림 4.2 횡좌굴을 고려한 경우와 고려하지 않은 경우의 좌굴 하중 비교

횡좌굴을 고려하지 않은 경우에는 아치부에서만 좌굴이 발생하고 있다. 반면, 횡좌굴을 고려한 경

우에는 1차부터 11차까지의 좌굴모드가 아치교의 상판 거더에서 발생하고 있으며, 12차 모드에

가서야 아치부에서 좌굴이 발생하고 있다. 이로부터 횡좌굴의 중요성을 확인할 수 있다.

횡좌굴을 고려한 경우의 1차 좌굴 모드는 그림 4.3과 같다.

그림 4.3 횡좌굴을 고려한 경우의 1차 좌굴 모드


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그림 4.4는 횡좌굴을 고려한 경우의 12차 모드가 횡좌굴을 고려하지 않은 경우의 1차 모드와 유

사한 좌굴 하중과 좌굴 형상을 가지고 있음을 보여준다.

(a) 횡좌굴을 고려하지 않은 경우의 1차 좌굴 모드

(a) 횡좌굴을 고려한 경우의 12차 좌굴 모드

그림 4.4 횡좌굴을 고려한 경우와 고려하지 않은 경우의 좌굴 모드 비교


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그림 4.5는 횡좌굴을 고려한 경우의 13차 모드가 횡좌굴을 고려하지 않은 경우의 2차 모드와 유

사한 좌굴 하중과 좌굴 형상을 가지고 있음을 보여준다.

(a) 횡좌굴을 고려하지 않은 경우의 1차 좌굴 모드

(a) 횡좌굴을 고려한 경우의 12차 좌굴 모드

그림 4.5 횡좌굴을 고려한 경우와 고려하지 않은 경우의 좌굴 모드 비교


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5. 주의 사항

얇은 판 형태의 구조물에 모멘트 하중이 작용하는 경우 하중의 작용 방법에 따라 좌굴 해석 결과

가 다르게 나온다. 본 장에서는 이와 관련하여 Lateral-torsional buckling에서 MIDAS가 채용하

고 있는 알고리즘의 특징과 이에 따른 주의사항을 기술하였다.


그림 5.1에서 보는 바와 같이 Beam 요소 및 Plate 요소로 모델링된 캔틸레버 구조물에 대하여

모멘트 하중의 작용방법에 따른 좌굴해석 결과를 비교하였다. Beam 요소로 모델링하는 경우에는

끝단에 Point moment를 가하였고, Plate 요소로 모델링하는 경우에는 Quasitangential moment와

Semitangential moment를 가하였다.

(a) Beam element model

(Point moment)

(b) Plate element model

(Quasitangential moment)

(c) Plate element model

(Semitangential moment)

그림 5.1 Representation of the external bending moment


Analysis Type

Lateral-torsional buckling

Unit System

lbf, in

Dimension

Length 20 in

Element

Beam element

Plate element (thick type without drilling dof)

Material

Young’s modulus of elasticity E = 108 lb/in2

Poission’s ratio ν = 2/3

Section Property

Beam element : solid rectangular 0.05×1 in

Plate element (single coupling force) : thickness 0.05in, width 1.0 in, height 1.0 in


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Plate element (double coupling force) : thickness 0.05in, width 0.5 in, height 0.5 in

Boundary Condition

Left end is fixed and right end is free

Load

M = 1.0 lbf∙in

P = 1.0 lbf (Quasitangential moment, Moment arm : 1 in)

P = 0.5 lbf (Semitangential moment, Moment arm : 1 in)

5.3 해석 결과

Beam 요소 모델과 Plate 요소 모델에 대하여 MIDAS에서 해석한 결과는 그림 5.2와 같다. 좌굴

모드는 10차까지 구하였다.

(a) Beam element model (b) Plate element model

(Quasitangential moment)

(c) Plate element model

(Semitangential moment)

그림 5.2 Critical load for the external bending moment

5.4 이론 해

얇은 사각형 단면을 가진 캔틸레버 보의 선단에 그림 5.1(a)와 같은 절점 모멘트가 작용하고 있

을 때의 좌굴하중은 다음과 같다. (Timoshenko and Gere [2]).

2(1 )z xx

cr z xxI IEM EI GI

L Lπ π

ν= =

+

여기서,

L = length of the cantilever beam





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재료와 단면 물성치를 위 식에 대입하여 임계 좌굴하중을 구하면 다음과 같다.

5 58 (1.041667 10 ) (4.035417 10 )10

2(1 ) 20 2(1 2 / 3)

176.396 lbf in

z xxcr

I IM ELπ π

ν

− −× × ×= = × ×

+ +

= ⋅

5.5 결과 비교

Unit : lbf·in

Mode Theoretical

solution

(Point moment)

Beam element

model

(Point moment)

Plate element model

Quasitangential

moment

Semitangential

moment

1 176.396 176.576 90.334 187.623

2 176.576 272.256 188.094

3 534.047 457.972 567.759

4 534.047 650.121 569.799

5 904.542 851.507 962.798

6 904.542 1065.150 967.869

모멘트 하중에 대한 좌굴하중을 구하는 경우에 있어, 모멘트 하중이 재하하는 곳에 비틀림 변위

가 발생할 때에는 절점 모멘트를 사용하는 것과 coupling force에 의한 모멘트를 사용하는 것이

결과가 다르므로 주의해야 한다.

Lateral-torsional buckling 효과를 고려하는 알고리즘은 크게 두 가지가 있다. 하나는 절점의 회

전을 small rotation으로 고려하는 방법이고 다른 하나는 large rotation으로 고려하는 방법이다

(Saleeb et al. [3]). MIDAS에서는 위의 두 방법 중에서 절점의 회전을 large rotation 으로 고려

하는 방법을 사용한다. Large rotation 방법은 굴절 부위에서 비틀림과 휨을 일관성 있게 고려하

고 있다. 이로 인해 최근의 우수한 상용 구조해석 프로그램에서는 이 방법을 채용하고 있다.

(MSC Nastran에서도 사용하고 있음). Large rotation 방법에 있어 절점 모멘트와 등가를 이루는

coupling force는 그림 5.1(b)와 같은 Quasitangential moment가 아닌 그림 5.1(c)와 같은

Semitangential moment임에 주의해야 한다.

예제 모델의 결과를 비교하면 예제 모델의 5.1(a)와 5.1(c)는 동일한 결과를 도출하고 있다 (오차


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가 발생하지만 이는 하중의 부과 지점과 요소의 차이에 의한 결과임). 그러나, 5.1(b)는 5.1(a) 및

5.1(c)와 동일하지 않은 결과를 도출한다 (좌굴하중의 1/2 밖에 나오지 않음). 이는 좌굴하중을

구함에 있어 그림 5.1(b)의 하중이 그림 5.1(a) 및 그림 5.1(c)의 하중과 다르게 작용하고 있다는

것을 의미한다.

6. Reference

1. James M. Gere, Mechanics of Materials, 5th Edition, 2001, Thomson

2. Timoshenko, S.P., and Gere, J.M., (1961). Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New

York.

3. Saleeb, A.F, Chang T.Y.P, Gendy A.S., (1992). “Effective modeling of spatial buckling of

beam assemblages, accounting for warping constraints and rotation-dependency of

moments,” Int. J. Num. Meth. Eng., Vol. 33, 469–502.

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