Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat.

n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla.

n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita.

n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen!

Miten opit

parhaiten?

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti

YLIOPPILASTUTKINTO-LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOEPITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1

23.3.2012

Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.

KEVÄT PITKÄ

1. Ratkaise yhtälöt

a) 2 6 0− − =x x

b) 3 7 0

6 2 9−

− − =x x

c) 2 0.

2− =

xx

2. a) Laske lausekkeen 215 6

4 3 −

arvo.

b) Laske lausekkeen 6 (3!) 6⋅ − arvo.

c) Sievennä lauseke ln ln 2.2+

x

d) Sievennä lauseke 2 2sin cos ( 2 ).π+ +x x

e) Laske integraali

1

0( 1) .+∫ x dx

f) Laske funktion 2( ) 4= xf x e derivaatta kohdassa 0.=x

3. Näytä, että pisteet (2,1),=A (4,0)=B ja (5,7)=C ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä.

4. Määritä kaikki vektorit ,= + +a xi yj zk joiden pituus on 22 ja joiden kohtisuora projektio

xy-tasolle on vektori 2 3 .+i j

5. Määritä funktion ln( ) = xf x

x suurin arvo, kun 0.>x

6. Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen. a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin? b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo.

,

,

2

7. Olkoon 0.>t Paraabeli 2= + +y ax bx c kulkee pisteen 10,

t

kautta ja sivuaa x-akselia pis-

teessä ( ,0).t

a) Määritä kertoimet a, b ja c parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala ei riipu paramet- rin t arvosta.

8. Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan

influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio

0,85000( ) ,

1 4999 −=+ tf t

e

jossa aika 0≥t lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. a) Luennot peruutetaan, jos yli 50 % opiskelijoista on sairaana. Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu? b) Näytä, että ( )f t on kasvava funktio, kun 0.>t

c) Laske lim ( ).→∞t

f t

9. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan

niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan sini-

seksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta- ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

10. Ratkaise yhtälöt

a) 3tan 3 02+ =

x

b) 22sin 3cos 3 0.+ − =x x

10.

7. Olkoon 0.>t Paraabeli 2= + +y ax bx c kulkee pisteen 10,

t

kautta ja sivuaa x-akselia pis-

teessä ( ,0).t

a) Määritä kertoimet a, b ja c parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala ei riipu paramet- rin t arvosta.

8. Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan

influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio

0,85000( ) ,

1 4999 −=+ tf t

e

jossa aika 0≥t lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. a) Luennot peruutetaan, jos yli 50 % opiskelijoista on sairaana. Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu? b) Näytä, että ( )f t on kasvava funktio, kun 0.>t

c) Laske lim ( ).→∞t

f t

9. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan

niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan sini-

seksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta- ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

10. Ratkaise yhtälöt

a) 3tan 3 02+ =

x

b) 22sin 3cos 3 0.+ − =x x

7. Olkoon 0.>t Paraabeli 2= + +y ax bx c kulkee pisteen 10,

t

kautta ja sivuaa x-akselia pis-

teessä ( ,0).t

a) Määritä kertoimet a, b ja c parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala ei riipu paramet- rin t arvosta.

8. Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan

influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio

0,85000( ) ,

1 4999 −=+ tf t

e

jossa aika 0≥t lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. a) Luennot peruutetaan, jos yli 50 % opiskelijoista on sairaana. Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu? b) Näytä, että ( )f t on kasvava funktio, kun 0.>t

c) Laske lim ( ).→∞t

f t

9. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan

niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan sini-

seksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta- ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

10. Ratkaise yhtälöt

a) 3tan 3 02+ =

x

b) 22sin 3cos 3 0.+ − =x x

7. Olkoon 0.>t Paraabeli 2= + +y ax bx c kulkee pisteen 10,

t

kautta ja sivuaa x-akselia pis-

teessä ( ,0).t

a) Määritä kertoimet a, b ja c parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala ei riipu paramet- rin t arvosta.

8. Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan

influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio

0,85000( ) ,

1 4999 −=+ tf t

e

jossa aika 0≥t lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. a) Luennot peruutetaan, jos yli 50 % opiskelijoista on sairaana. Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu? b) Näytä, että ( )f t on kasvava funktio, kun 0.>t

c) Laske lim ( ).→∞t

f t

9. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan

niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan sini-

seksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta- ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

10. Ratkaise yhtälöt

a) 3tan 3 02+ =

x

b) 22sin 3cos 3 0.+ − =x x

,

3

11.

13.

11. Tasasivuisen kolmion 1K sivun pituus on .a Sen sisään asetetaan ympyrä 1,Y joka sivuaa kol-

mion kylkiä. Tämän ympyrän 1Y sisään asetetaan tasasivuinen kolmio 2,K jonka kärjet ovat

ympyrällä 1.Y Jatkamalla näin saadaan oheisen kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä

1 2, ,Y Y Laske ympyröiden pinta-alojen summa.

12. Tuotteen hinta- ja muut tiedot voidaan tallentaa viivakoodiin (UPC = Universal Product Code).

Numeerisessa muodossa viivakoodi on lukujono 1 2 12( , , , ),d d d jossa kukin { }0,1,2, ,9 .∈ id

Viimeinen luku 12d on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta

5 71 3 9 11 2 4 6 8 10 123( ) 0 (mod 10).+ + + + + + + + + + + ≡d d d d d d d d d d d d

a) Tuotteen viivakoodi on 12(1,4,2,6,8,2,5,9,0,3,2, ).d Mikä on tarkistusmerkki 12 ?d

b) Näytä, että viivakoodi (1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3) on virheellinen.

c) Määritä b-kohdan oikea koodi, kun tiedetään, että virhe on kolmannessa merkissä.

<http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>. Luettu 29.3.2011.

13. Funktioiden ( ) 1= −f x x ja ( ) 3cos=g x x kuvaajilla on kolme leikkauspistettä. Laske niiden

koordinaateille kaksidesimaaliset likiarvot valitsemallasi numeerisella menetelmällä.

12.

Esimerkki viivakoodista<http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>. Luettu 29.3.2011.

,

,

,

?

11. Tasasivuisen kolmion 1K sivun pituus on .a Sen sisään asetetaan ympyrä 1,Y joka sivuaa kol-

mion kylkiä. Tämän ympyrän 1Y sisään asetetaan tasasivuinen kolmio 2,K jonka kärjet ovat

ympyrällä 1.Y Jatkamalla näin saadaan oheisen kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä

1 2, ,Y Y Laske ympyröiden pinta-alojen summa.

12. Tuotteen hinta- ja muut tiedot voidaan tallentaa viivakoodiin (UPC = Universal Product Code).

Numeerisessa muodossa viivakoodi on lukujono 1 2 12( , , , ),d d d jossa kukin { }0,1,2, ,9 .∈ id

Viimeinen luku 12d on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta

5 71 3 9 11 2 4 6 8 10 123( ) 0 (mod 10).+ + + + + + + + + + + ≡d d d d d d d d d d d d

a) Tuotteen viivakoodi on 12(1,4,2,6,8,2,5,9,0,3,2, ).d Mikä on tarkistusmerkki 12 ?d

b) Näytä, että viivakoodi (1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3) on virheellinen.

c) Määritä b-kohdan oikea koodi, kun tiedetään, että virhe on kolmannessa merkissä.

<http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>. Luettu 29.3.2011.

13. Funktioiden ( ) 1= −f x x ja ( ) 3cos=g x x kuvaajilla on kolme leikkauspistettä. Laske niiden

koordinaateille kaksidesimaaliset likiarvot valitsemallasi numeerisella menetelmällä.

4

14. Hyperbolinen kosini cosh x ja hyperbolinen sini sinh x määritellään kaavoilla

( )1cosh2

−= +x xx e e ja ( )1sinh ,2

−= −x xx e e

kun .∈x R

a) Näytä, että 2 2(cosh ) (sinh ) 1− =x x kaikilla .∈x R (2 p.)

b) Näytä, että (sinh ) cosh .=d x xdx

(2 p.)

c) Näytä, että funktiolla sinh x on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lau- suttuna. (3 p.) d) Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko? (2 p.)

15. a) Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 1 mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipis- teiden vaakasuora etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna. (3 p.)

b) Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 2 mukaisesti. Määritä keskimmäisen ym- pyrän säde 3r kahden reunimmaisen ympyrän säteiden avulla lausuttuna. (3 p.)

c) Todista René Descartesin (1596−1650) keksimä b-kohdan ympyröihin liittyvä kaava

2 2 2 21 2 3 1 2 3( ) 2( ),+ + = + +k k k k k k

jossa 1 , 1,2,3.= =ii

k ir

(3 p.)

*14.

*15.

r2r1

Kuva 2Kuva 2

d

r2r1

Kuva 1Kuva 1

,

,

www.mafyvalmennus.fi

Pitkä matematiikka, kevät 2012Mallivastaukset, 23.3.2012

Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri TeemuKekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opet-tanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fy-siikkaa. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkea-koulussa ja sen jälkeen lukiossa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFY-valmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mal-livastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta.MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan val-mennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat

• TKK-pääsykoekurssit

• arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit

• yo-kokeisiin valmentavat kurssit

• yksityisopetus

Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat anta-vat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneillaihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltävoi odottaa.Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Ko-pion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuiltawww.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kiel-letty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia op-pimateriaalina lukiokursseilla.MAFY-valmennuksen yhteystiedot:internet: www.mafyvalmennus.fis-posti: info@mafyvalmennus.fipuhelin: (09) 3540 1373

TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri

www.mafyvalmennus.fi

1. a)

x2 − x− 6 = 0

x =1±

√(−1)2 − 4 · 1 · (−6)

2 · 1

x = 1±√

252

x = 1± 52

x = 1 + 52 tai x = 1− 5

2x = 3 tai x = −2

b)x

6 −x− 3

2 − 79 = 0 ‖ · 18

3��18 x

�61

−9��18(x− 3)

�21

−2��18 ·7�91

= 0

3x− 9(x− 3)− 14 = 03x− 9x + 27 = 14

−6x = 14− 27−6x = −13 ‖ : (−6)

x = 136

x = 216

c)x

2 −2x

= 0 ‖ · x, määrittelyehto: x 6= 0

x2

2 − 2 = 0

x2

2 = 2 ‖ · 2

x2 = 4x = ±

√4

x = ±2

TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri 1