language: persian (farsi) translated by: amir reza arabformula of unity olympiad 2017- 2018. round 2...

Formula of Unity Olympiad

2017- 2018. Round 2

Language: Persian (Farsi)

Translated by: Amir Reza Arab

9316 ماه بهمن 02: مرحله ی دومتاریخ برگزاری

پنجم ابتدایی تا یازدهم متوسطه تحصیلی: پایه های

ی تحصیلی در هر پایه مساله تعداد مسائل: پنج

ساعت 4مدت پاسخ گویی:

امتیاز دارد. 7هر مساله

Email: [email protected]

Website: WWW.MathSymbol.ir

mailto:[email protected]

پنجم ابتدایی پایه ی -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

عدد دو رقمی دیگر بخش پذیر باشد؟ 5دو رقمی می تواند بر آیا یک عدد -1متر یا کم تر از لبه ی 11برکه ای به شکل مربع است. پس از اولین روز برفی، یخ تمام قسمت هایی از برکه را که -2

متر یا کم تر و به 01متر یا کم تر از لبه، پس از سومین روز، 21آن فاصله دارند، پوشاند. پس از دومین روز برفی، . پس از چند روز، تمامی برکه یخ زده درصد کاهش یافت 11 همین ترتیب. می دانیم پس از اولین روز، سطح آب

می شود؟11چند روش برای بریدن مربعی -0 به تعدادی مستطیل وجود دارد به طوری که مجموع محیط هایشان برابر 11

شود؟ تمامی برش ها بایستی در راستای خطوط شبکه ای باشند. دو روش که با دوران یا پشت و رو کردن 013 می توانند بر هم منطبق شوند، متفاوت در نظر گرفته می شوند.

11مستطیلی -4 1به چند نوار مستطیلی 12 1و 6 می تواند ترین تعداد این نوارها چند د. کم بریده ش 7 باشد؟

عدد آب نبات در چند کیسه قرار داده می شوند به طوری که هیچ دو کیسه ای شامل تعداد برابری آب نبات 21 -5نیستند و هیچ کیسه ای خالی نیست. هم چنین بعضی از این کیسه ها ممکن است شامل کیسه های دیگر باشند.

ی داخلی می شوند. هم چنین هیچ ها در این حالت، آب نبات های کیسه ی خارجی شامل آب نبات های کیسه. بیش ترین تعداد ممکن کیسه ها کیسه ای نمی تواند شامل کیسه ای باشد که درون آن کیسه ی دیگری قرار دارد

چند تاست؟


Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

م ابتداییپایه ی شش -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

100جدولی خانه های در هر یک از -1 یا از تمامی معلوم شد که هر عدد نوشته شد. عدد صحیح مثبتی 100 خانه هایشان هر گاه . )دو عدد همسایه هستندیا از تمامی همسایه هایش کوچک تر استبزرگ تر همسایه هایش

.این جدول را بیابیدبرای جمع اعداد کوچک ترین مقدار ممکن .(مشترک باشندضلعی در قه، آن به شکل زیر تغییر داده می شود: هر دقید. وشمی تخته ی سفیدی نوشته بر عدد صحیح مثبتی -2

شامل دو رقم مساوی باشد، یکی از آن ها پاک می شود.اگر عدد - برابرش است، عوض می شود. که سه آن عدد با عددی باشند، تمامی رقم ها مختلف اگر -

75به در دو دقیقه می توانیم ، 75عدد با شروع از برای مثال، 151 75یا 51 151 ماریا برسیم. 15 دهید با یک مثال، نشان عدد تمام کرد. را با همان تغییرات، کارش پس از چند دقیقه از این دو رقمی نوشت. عددی

طور می تواند انجام شود؟که این چه

متر یا کم تر از لبه ی 10برکه ای به شکل مربع است. پس از اولین روز برفی، یخ تمام قسمت هایی از برکه را که -3متر یا کم تر و به 30متر یا کم تر از لبه، پس از سومین روز، 20آن فاصله دارند، پوشاند. پس از دومین روز برفی،

. پس از چند روز، تمامی برکه یخ زده درصد کاهش یافت 37 همین ترتیب. می دانیم پس از اولین روز، سطح آب می شود؟

11مستطیلی -4 1به چند نوار مستطیلی 12 1و 6 می تواند چند د. کم ترین تعداد این نوارها بریده ش 5 باشد؟

کیسه قرار داده می شوند به طوری که هیچ دو کیسه ای شامل تعداد برابری آب نبات 100در عدد آب نبات 2011 -7نیستند و هیچ کیسه ای خالی نیست. هم چنین بعضی از این کیسه ها ممکن است شامل کیسه های دیگر باشند.

نید ثابت کی داخلی می شوند. هادر این حالت، آب نبات های کیسه ی خارجی شامل آب نبات های کیسه دیگری قرار دارد. شامل کیسه ای است که درون آن کیسه ی که کیسه ای وجود دارد



WWW.MathSymbol.ir

م متوسطهپایه ی هفت -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

10چند روش برای بریدن مربعی -1 به تعدادی مستطیل وجود دارد به طوری که مجموع محیط هایشان برابر 10 شود؟ تمامی برش ها بایستی در راستای خطوط شبکه ای باشند. دو روش که با دوران یا پشت و رو کردن 893

می توانند بر هم منطبق شوند، متفاوت در نظر گرفته می شوند. 9بن بر نواری کاغذی الکس و -2 مربعی خالی می نویسد. رقمی را در هر بازیکن در هر حرکت، بازی می کنند. 1

، مربع کامل رقمی حاصل 9عدد الکس بازیکن اول است. الکس می برد هرگاه . حرکت می کنند آن ها یکی در میاناین عدد، یک یا )مجاز است که کدام یک از بازیکنان راهبرد برنده شدن دارد؟بن می برد. باشد، در غیر این صورت

صفر پیشرو داشته باشد.(تعداد بیش تری ردیف های جدول هاست. این اطالعات در با سازماندهی ی مسطحه اش کردن دانش هندسه در حال منظم ورونیکا -8

ستون شامل هر سطر و هر محل تالقی خاصیت های آن هاست. و ستون ها مربوط به مربوط به شکل ها جدول هر در یکی از معلوم می شود که است. 0آن شکل در آن خاصیت صدق کند و در غیر این صورت است هرگاه 1

4جدول های ستون اول در این جدول، می دانیم صفر است.شامل دقیقا یک ستون ردیف و هر اش، هر 4 . "مساوی هستندبرخی از اضالع "و ستون دوم مربوط به خاصیت "این شکل زاویه ی تند دارد"خاصیت مربوط به

از چنین جدولی مثالی و دو چهار ضلعی هستند. شامل دو مثلث جدول که ردیف های این هم چنین می دانیم بیابید.

کیسه قرار داده می شوند به طوری که هیچ دو کیسه ای شامل تعداد برابری آب نبات 100عدد آب نبات در 2013 -4نیستند و هیچ کیسه ای خالی نیست. هم چنین بعضی از این کیسه ها ممکن است شامل کیسه های دیگر باشند.

داخلی می شوند. ثابت کنید ی هادر این حالت، آب نبات های کیسه ی خارجی شامل آب نبات های کیسه کیسه ای وجود دارد که شامل کیسه ای است که درون آن کیسه ی دیگری قرار دارد.

10 خانه های جدولیدر هر یک از -5 صدق در خاصیت زیر هر عددی که سپس مثبتی نوشته شد. عدد صحیح 10 )دو عدد بزرگ تر است هایش از تمامی همسایهکوچک تر یا همسایه هایشآن که از تمامی : کرد، رنگ شد

کل جدول دو عدد در معلوم شد که فقط مشترک باشند(.هرگاه خانه هایشان در ضلعی نامیده می شوند "همسایه" دو عدد را بیابید. جمع این کوچک ترین مقدار ممکن برای رنگ نشدند.



WWW.MathSymbol.ir

م متوسطهتپایه ی هش -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

متر یا کم تر از 11است. پس از اولین روز برفی، یخ تمام قسمت هایی از برکه را که ای به شکل مستطیلبرکه -1متر یا کم تر 01متر یا کم تر از لبه، پس از سومین روز، 01لبه ی آن فاصله دارند، پوشاند. پس از دومین روز برفی،

سطح اولیهدرصد 6 11 ز دومین روزو پس ا درصد 0 01و به همین ترتیب. می دانیم پس از اولین روز، سطح آب . پس از چند روز، تمامی برکه یخ زده می شود؟کاهش یافت

ورونیکا در حال منظم کردن دانش هندسه ی مسطحه اش با سازماندهی این اطالعات در جدول هاست. ردیف های -0هر جدول مربوط به شکل ها و ستون ها مربوط به خاصیت های آن هاست. محل تالقی هر سطر و هر ستون شامل

وم می شود که در یکی از است. معل 1است هرگاه آن شکل در آن خاصیت صدق کند و در غیر این صورت 14جدول های اش، هر ردیف و هر ستون شامل دقیقا یک صفر است. می دانیم در این جدول، ستون اول 4

. "برخی از اضالع مساوی هستند"و ستون دوم مربوط به خاصیت "این شکل زاویه ی تند دارد"مربوط به خاصیت هم چنین می دانیم که ردیف های این جدول شامل دو مثلث و دو چهار ضلعی هستند. مثالی از چنین جدولی

بیابید. و PA=PF است که یا نقطه P هستند. BCو ABاضالع به ترتیب وسط های Fو Eنقاط ، ABCDدر لوزی -0

PE=PC . ثابت کنیدP خط برBD می گیرد. قرار 11در هر یک از خانه های جدولی -4 عدد صحیح مثبتی نوشته شد. سپس هر عددی که در خاصیت زیر صدق 11

کرد، رنگ شد: آن که از تمامی همسایه هایش کوچک تر یا از تمامی همسایه هایش بزرگ تر است)دو عدد نامیده می شوند هرگاه خانه هایشان در ضلعی مشترک باشند(. معلوم شد که فقط دو عدد در کل جدول "همسایه"

رنگ نشدند. کوچک ترین مقدار ممکن برای جمع این دو عدد را بیابید. 11الکس و بن بر نواری کاغذی -5 بازی می کنند. در هر حرکت، هر بازیکن رقمی را در مربعی خالی می نویسد. 1

( انجام می دهد.11می خواهد)کم تر از حرکتی کهالکس هر تعداد ،اولمی کنند. نحرکت آن ها یکی در میانا ام الکس کات باقی مانده را انجام می دهد. حرالکس تمامی تا حرکتی را انجام دهد، سرانجام سپس او از بن می خواهد

رقمی حاصل، مربع کامل باشد، در غیر این صورت بن می برد. کدام یک از بازیکنان راهبرد 11می برد هرگاه عدد برنده شدن دارد؟)مجاز است که این عدد، یک یا تعداد بیش تری صفر پیشرو داشته باشد.(



WWW.MathSymbol.ir

م متوسطهپایه ی نه -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

هیچ سه که حاصل ضرب را بیابید به طوری {12 2 1}مجموعه ی از Aزیر مجموعه ی تعداد اعضای حداکثر -1 آن مکعب کامل نباشد. عضو

و PA=PF است که یا نقطه P هستند. BCو ABاضالع به ترتیب وسط های Fو Eنقاط ، ABCDدر لوزی -2PE=PC . ثابت کنیدP خط برBD می گیرد. قرار

عبارتمقدار مثبت کم ترین -3

(

) (

)

غیر صفرند.حقیقی اعداد zو x ،yکه را بیابید این هشت ضلعی ثابت کنید گویاست. هر ضلع عددی تمامی زوایا مساوی اند و طول در یک هشت ضلعی محدب، -4

مرکز تقارن دارد. 10در هر یک از خانه های جدولی -5 عدد صحیح مثبتی نوشته شد. سپس هر عددی که در خاصیت زیر صدق 10

همسایه هایش کوچک تر یا از تمامی همسایه هایش بزرگ تر است)دو عدد کرد، رنگ شد: آن که از تمامی نامیده می شوند هرگاه خانه هایشان در ضلعی مشترک باشند(. معلوم شد که فقط دو عدد در کل جدول "همسایه"

بید. . کوچک ترین مقدار ممکن برای جمع این دو عدد را بیاگوشه واقع نمی شودو هیچ یک از آن ها در رنگ نشدند



WWW.MathSymbol.ir

م متوسطهده پایه ی -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

عدد آب نبات در چند کیسه قرار داده می شوند به طوری که هیچ دو کیسه ای شامل تعداد برابری آب نبات 02 -1نیستند و هیچ کیسه ای خالی نیست. هم چنین بعضی از این کیسه ها ممکن است شامل کیسه های دیگر باشند.

داخلی می شوند. هم چنین هیچ ی هادر این حالت، آب نبات های کیسه ی خارجی شامل آب نبات های کیسه کیسه ای نمی تواند شامل کیسه ای باشد که درون آن کیسه ی دیگری قرار دارد. بیش ترین تعداد ممکن کیسه ها

چند تاست؟ کم ترین مقدار مثبت عبارت -0

(

) (

)

اعداد حقیقی غیر صفرند. zو x ،yرا بیابید که هشت ضلعی محدب، تمامی زوایا مساوی اند و طول هر ضلع عددی گویاست. ثابت کنید این هشت ضلعی در یک -3

مرکز تقارن دارد.12الکس و بن بر نواری کاغذی -4 خالی می نویسد. بازی می کنند. در هر حرکت، هر بازیکن رقمی را در مربعی 1

( انجام می دهد. 12حرکت نمی کنند. اول، الکس هر تعداد حرکتی که می خواهد)کم تر از اما آن ها یکی در میانسپس او از بن می خواهد تا حرکتی را انجام دهد، سرانجام الکس تمامی حرکات باقی مانده را انجام می دهد. الکس

برد. کدام یک از بازیکنان راهبرد رقمی حاصل، مربع کامل باشد، در غیر این صورت بن می 12می برد هرگاه عدد برنده شدن دارد؟)مجاز است که این عدد، یک یا تعداد بیش تری صفر پیشرو داشته باشد.(

5- ABC نقطه ی . و هستند 102کوچک تر از که در آن تمامی زوایا مثلثی استT را درون

102 ∠ ∠ ∠به طوری که در نظر بگیرید

خط و Eدر را ACضلع BTاگر خط . CT ضلعAB را درF خطوط که . ثابت کنیدکند قطعEF وBC دارای نقطه ی مشترکM هستند و

.



WWW.MathSymbol.ir

م متوسطهدهیاز پایه ی -1028/1027 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

11مستطیلی -1 1به چند نوار مستطیلی 11 1و 6 می تواندترین تعداد این نوارها چند د. کم بریده ش 7 باشد؟

کم ترین مقدار مثبت عبارت -1

(

) (

)

اعداد حقیقی غیر صفرند. zو x ،yرا بیابید که و تمامی پاره خط ها هم طول باشند پاره خط به طوری که 5بسته متشکل از خط شکسته ی فضایی آیا می توان -3

؟، ارائه کردباشندبر یکدیگر عمود ،هر دو پاره خط متصل

4- ABC نقطه ی . و هستند 111کوچک تر از که در آن تمامی زوایا مثلثی استT را درون

111 ∠ ∠ ∠به طوری که در نظر بگیرید

خط و Eدر را ACضلع BTاگر خط . CT ضلعAB را درF خطوط که . ثابت کنیدکند قطعEF وBC دارای نقطه ی مشترکM هستند و

. وجود دارد به طوری که آن ها تشکیل دنباله ای حسابی مثبت از اعداد صحیح چند سه تایی -5

کامل باشند؟همگی مربع 1 و 1 ، 1 ( و دهند)



WWW.MathSymbol.ir

language: persian (farsi) translated by: amir reza arabformula of unity olympiad 2017- 2018. round 2...

Documents