Univerza v LjubljaniFAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Oddelek za fiziko

seminar 2008/09

LANDAUOVO DUSENJE

Blaz Mikuzmentor: Dr. Milan Cercek

Ljubljana, 22.10.2008

Povzetek

V seminarju sem se ukvarjal s plazmo, v kateri ni trkov med delci plazme. Ce takoplazmo postavimo v elektricno polje, lahko po njej potujeta dve vrsti valovanj, za kateri seizkaze, da sta kljub vsemu duseni. Sam se se osredotocil na visokofrekvencno elektronskoplazemsko valovanje, ki je eno od teh dveh moznih valovanj. Zanimalo me je dusenje tegavalovanja, ki ga je leta 1946 napovedal sovjetski fizik Lev Davidovic Landau, medtem koni nihce pricakoval tega efekta.

Landauovo dusenje 1

Kazalo

1 Uvod 21.1 Plazma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fizika plazme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Valovi v plazmi 32.1 Plazemska nihanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Elektronsko plazemsko valovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Ionski zvocni valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Vlasova enacba 7

4 Landauovo dusenje 8

5 Fizikalna razlaga 13

6 Eksperimentalna potrditev 15

7 Zakljucek 18

Landauovo dusenje 2

1 Uvod

1.1 Plazma

Plazma je zmes nabitih delcev, ki kazejo kolektivne pojave [1]. Ti delci so lahko prostielektroni, pozitivni ali negativni ioni ali vrzeli. Ceprav so delci plazme nabiti, je celotnaplazma navzven nevtralna, saj je prav toliko delcev s pozitivnim kot z negativnim nabo-jem - pravimo da je plazma kvazinevtralna [2]. V mojem seminarju je plazma ioniziranplin, v katerem je znaten delez molekul plina izgubil vsaj en elektron.

Prvi je tako imenovano “zareco snov” opisal anglez Sir William Crookes leta 1879,ko je opazoval razelektritev plina v svoji napravi. Plazma je svoje ime dobila sele leta1928, ko je Irvinga Langmuira navdusila njena “podobnost” s krvno plazmo. Tako staleta 1929 izraz “plazma” prvic uporabila Tonks in Langmuir v svoji studiji oscilacij velektricnih razelektritvah [3]. Takrat so tudi ze vedeli, da je to stanje snovi, ko nabitidelci kazejo neko kolektivno obnasanje. To obnasanje plazme je posledica dolgega dosegaCoulombove sile v plazmi.

V fiziki in kemiji se je pojem plazma uveljavil kot cetrto agregatno stanje snovi. Vemonamrec, da ce trdni snovi dodamo dovolj toplote, se v njej zgodi fazna sprememba inponavadi preide najprej v kapljevino. Ce dodamo se vec toplote, bo kapljevina presla vnovo fazo - plin. Ce dodajamo se vec toplote se bo nekaj atomov plina ioniziralo. Pritemperaturi nad 100 000 K obstaja vecina snovi v ioniziranem stanju, to je cetrtem agre-gatnem stanju. Seveda obstaja plazma tudi pri temperaturah, ki so nizje od 100 000 K,ce je le prisoten mehanizem za ionizacijo takega plina in gostota dovolj nizka, da nirekombinacija prehitra.

Kjub temu da obstaja 99,9 procentov snovi v nasem vesolju v obliki plazme, je naZemlji plazme zelo zelo malo. To je posledica razmeroma nizke temperature in velikegostote snovi na Zemlji in v atmosferi, ki ne omogoca da bi plazma naravno obstajala. Vvsakdanjem zivljenju srecamo plazmo le v dolocenih pojavih kot so blisk strele, plamenpri ognju, polarni sij,... Plazma obstaja tudi v visjih plasteh atmosfere (ionosferi), kjerzelo razredceno atmosfero ionizira soncna svetloba (fotoionizacija). Se dlje od Zemlje je vskorajsnjem vakuumu plazma ujeta v magnetnem polju Zemlje. Tudi zvezdna notranjostje plazma in zvezda sama nenehno oddaja tok plazme v daljno vesolje (soncni veter), ters tem zapolnjuje medzvezdni prostor s plazmo.

1.2 Fizika plazme

Fizika plazme je dozivela ponoven zagon leta 1952 v Zdruzenih drzavah s prvim posku-som izdelave termonuklearnega fuzijskega reaktorja, znanega pod tajnim imenom ProjektSherwood [3]. Priblizno v istem casu so se podobnega programa lotile tudi Anglija, Fran-cija in Sovjetska zveza, kasneje pa tudi druge drzave. Razvoj kontroliranega fuzijskegareaktorja se je izkazal za enega najtezjih problemov prakticnih aplikacij fizike plazme.Vendar to ni edino podrocje, kjer fizika plazme igra svojo vlogo. Veliko vlogo je odigralatudi v astrofiziki, atomski fiziki, kemiji, molekularni fiziki, fiziki atmosfere,...

Ena izmed osrednjih raziskav fizike plazme je preucevanje ioniziranih plinov z nizkogostoto. Gostota mora biti dovolj nizka, da je Coulombova sila med delci, ki je dolgega

Landauovo dusenje 3

dosega, vecja od drugih meddelcnih interakcij. Coulombska sila med dvema infinitezimal-nima obmocjema v plazmi namrec pada s kvadratom razdalje kot 1

r2, medtem ko volumen

okoli infinitezimalnega obmocja narasca s kubom razdalje kot r3. Zato posamezna ob-mocja v plazmi cutijo medsebojni vpliv tudi na velikih razdaljah. Posledica tega, dana gibanje plazme ne vplivajo le lokalne razmere ampak tudi stanje plazme v oddaljenihobmocjih, je kolektivno vedenje plazme. Ce elektromagnetno polje zaradi dolgega dosegaprevlada nad povprecnimi lokalnimi silami pri trkih, lahko trke zanemarimo.

2 Valovi v plazmi

Poglejmo si, kaksna nihanja in valovanja se lahko ustvarijo v plazmi, kjer ni trkov inmagnetnih polj. To pomeni, da mora plazma biti dovolj redka, da lahko zanemarimotrke med delci plazme in je posledicno interakcija med delci le elektromagnetna. Takaplazma ima dva nacina nihanja. Pri visokih frekvencah imamo elektronsko plazemskovalovanje, ko elektroni zelo hitro oscilirajo okrog tezkih mirujocih ionov. Pri nizkihfrekvencah pa imamo ionske zvocne valove, ko ioni in elektroni nihajo v fazi in s tempovzrocajo longitudionalno gostotno motnjo.

2.1 Plazemska nihanja

V kolikor z zunanjo motnjo zmotimo plazemsko kvazinevtralnost ali pa jo zmotijo lastnefluktuacije notranjega lokalnega polja, se elektroni pospesijo tako, da bi obnovili nevtral-nost plazme. Vendar zaradi svoje lastne vztrajnosti, se ne morejo zaustaviti v trenutku,ko so v ravnovesni legi, pac pa jo preletijo. S tem se vzpostavi novo neravnovesno stanje,katerega polje kaze v nasprotni smeri kot prej. Pride do elektronskih plazemskih nihanj.Ta nihanja so tako hitra, da masivni ioni nimajo casa reagirati na hitro spreminjanjepolja in jih lahko obravnavamo kot mirujoce ione. Izracunajmo frekvenco teh nihanj -plazemsko frekvenco.1

Imamo torej mesanico ionov in elektronov v elektricnem polju ~E. To je zunanje poljeali pa notranje lokalno polje, ki je posledica fluktuacij zaradi gibanja nabitih delcev. Vtem modelu predpostavimo, da so ioni negibni, zato nas ne zanimajo. Tudi magnetnihpolj ni in odmislimo se termicno gibanje elektronov. Potrebovali bomo enacbo gibanjaza elektrone v elektricnem polju, kontinuitetno enacbo in Poissonovo enacbo

mne

(∂~ve∂t

+ (~ve · ~∇)~ve

)= −ene ~E (1)

∂ne∂t

+ ~∇ · (ne~ve) = 0 (2)

ε0~∇ · ~E = e(ni − ne) (3)

Te enacbe se poenostavijo, ce jih“lineariziramo”. S tem mislim, da je amplituda nihajocihkolicin majhna in lahko faktorje, ki vsebujejo visje potence amplitude preprosto zanema-rimo. Vse odvisne spremenljivke najprej locimo na dva dela: ravnovesni del oznacimo z

1Izpeljava je povzeta po [2]

Landauovo dusenje 4

indeksom 0 in perturbacijski del oznacimo z indeksom 1:

ne = n0 + n1 ~ve = ~v0 + ~v1~E = ~E0 + ~E1

Ravnovesne kolicine se nanasajo na stanje, ko ni v plazmi nobenih nihanj. Termicnefluktuacije smo za zdaj odmislili in jih bomo upostevali kasneje (glej poglavje 2.2). Kersmo predpostavili, da je plazma navzven nevtralna mora v ravnovesnem stanju veljati:

~∇n0 = ~v0 = ~E0 = 0

∂n0

∂t=∂ ~v0

∂t=∂ ~E0

∂t= 0

Enacba (1) tako postane

m

(∂~v1

∂t+���

���:0(~v1 · ~∇)~v1

)= −eE1 (4)

Clen (~v1 · ~∇)~v1 je kvadraticen v amplitudi in smo ga zanemarili v postopku linearizacije.Podobno se poenostavi tudi enacba (2):

∂n1

∂t+ ~∇ · (n0~v1 +��

�*0n1~v1) = 0

∂n1

∂t+ n0

~∇ · ~v1 + ~v1 ·���>

0~∇n0 = 0 (5)

Pri Poissonovi enacbi (3) upostevamo, da je v ravnovesju ni0 = ne0 in da iz privzetka ofiksnih ionih sledi se ni1 = 0. Tako imamo

ε0~∇ · ~E1 = −en1 (6)

Privzemimo se, da se elektroni gibljejo v smeri x in pricakujemo tudi, da se bodo nihajocekolicine sinusno spreminjale:

~v1 = v1ei(kx−ωt)x

n1 = n1ei(kx−ωt) (7)

~E = Eei(kx−ωt)x

Ker lahko casovni odvod ∂∂t

nadomestimo z −iω in gradient ~∇ z ikx, postanejo enacbe(4), (5) in (6) enake

−imωv1 = −eE1 (8)

−iωn1 = −n0ikv1 (9)

ikε0E1 = −en1 (10)

Iz zadnjih dveh enacb izrazim n1 in E1 in vstavim v enacbo (8)

−imωv1 = −e −eikε0

−n0ikv1

−iω= −in0e

2

ε0ωv1

Landauovo dusenje 5

Ce imamo nihanje, ni v1 nikoli enak nic in mora potemtakem biti

ω2 =n0e

2

mε0

Dobili smo plazemsko frekvenco

ωp =√

n0e2

mε0(11)

Kot vidimo, je plazemska frekvenca odvisna samo od gostote plazme n0. Ker je masaelektrona m zelo majhna, je plazemska frekvenca tipicno zelo velika (npr. za n = 1018m−3

je ωp = 56GHz). Sevanje pri ωp lezi v mikrovalovnem obmocju.Opazimo tudi, da ωp ni odvisna od valovnega vektorja k in je potemtakem grupna

hitrost dωdk

enaka nic. To pomeni, da se motnja ne more siriti.

2.2 Elektronsko plazemsko valovanje

V prejsnjem poglavju smo ugotovili, da se plazemske oscilacije ne sirijo. Predpostavilismo namrec, da se elektroni gibajo samo pod vplivom elektricnega polja. To polje soustvarjali ioni, ki pa so mirovali. Vidimo torej, da smo z danimi predpostavkami ustvarilimodel neodvisnih oscilatorjev in je potemtakem za pricakovat, da se motnja v takemsistemu ne more sirit.

Nas prejsnji model bomo sedaj malce dopolnili. V enacbah gibanja bomo upostevali setermicno gibanje elektronov. To pomeni, da se bodo elektroni lahko pretakali v sosednjeplasti plazme in s tem prenasali informacije o tem, kaj se dogaja v nihajocih podrocjihplazme. S tem bomo dobili elektronske plazemske valove.

Termicno gibanje elektronov bomo upostevali z dodatkom clena −~∇pe enacbi gibanja(1). Ta clen opisuje silo, katero povzroca termicni tlak elektronov. Poglejmo si najprej,kako se to silo zapise. Ze prej smo izbrali smer osi x v smeri valovanja, da smo problemlahko resevali enodimenzionalno. Torej moramo tudi ~∇pe zapisati enodimenzionalno

~∇pe = 3KTe~∇ne = 3KTe~∇(n0 + n1) = 3KTe∂n1

∂xx

Linearizirana enacba gibanja (1) se z dodatkom termicnega gibanja elektronov glasi

mn0∂v1

∂t= −en0E1 − 3KTe

∂n1

∂x

Tu smo ze zanemarili kvadraticne clene n1∂v1∂t

, n1E1 in (~v1 · ~∇)~v1. Z upostevanjem enacb(7) dobimo

−imωn0v1 = −en0E1 − 3KTeikn1 (12)

E1 in n1 spet izrazimo iz enacb (9) in (10) in vstavimo v enacbo (12), ter dobimo

imωn0v1 =

(en0−eikε0

+ 3KTeik

)n0ik

iωv1

ω2v1 =

(n0e

2

ε0m+

3KTem

k2

)v1 (13)

Landauovo dusenje 6

ω2 = ω2p + 3

2k2v2

th

kjer je ωp plazemska frekvenca in v2th = 2KTe

m.2 Frekvenca je odvisna od valovnega vektorja

k in grupna hitrost je potemtakem enaka

vg =dω

dk=

3

2

k

ωv2th =

3

2

v2th

vφ

kjer smo z vφ oznacili fazno hitrost.

2.3 Ionski zvocni valovi

Poglejmo si najprej obicajna zvocna valovanja v nevtralnem plinu. To so v bistvu tlacnivalovi, ki se sirijo s trki med molekulami. Hitrost zvoka v nevtralnem plinu je

vz =

√γp0

ρ0

=

√γKT

M

V plazmi z malo nevtralnimi delci in redkimi trki nimamo takih zvocnih valov, vendarpa imamo podobne valove. Ioni lahko medsebojno brez trkov prenasajo vibracije zaradisvojega naboja, to se pravi preko elektricnega polja. To so ionski zvocni valovi, kiso na prvi pogled podobni elektronskim plazemskim valovom. Ker so ioni masivnejsi odelektronov, imajo ionski zvocni valovi nizje frekvence nihanja od elektronskih plazemskihvalov.

Podobno kot smo izpeljali hitrost elektronskih plazemskih valov, lahko izpeljemo tudihitrost ionskega zvocnega valovanja. Sam se s tem ne bom ukvarjal, ker to ni prvotennamen tega seminarja.3 Kot zanimivost naj zapisem le koncen rezultat za hitrost ionskegazvocnega valovanja

vz =ω

k=

√KTe + γiKTi

M(14)

kjer je Te temperatura elektronov, Ti temperatura ionov, M masa ionov in γi razmerjespecificnih toplot Cp/Cv za ione. Zanimivo je tudi to, da sta pri ionskem zvocnemvalovanju fazna in grupna hitrost enaki, saj je disperzijska zveza linearna, sorazmernostnikoeficient med ω in k pa je ravno hitrost ionskega zvocnega valovanja vz. Hitrost vz jetesno povezana s temperaturo delcev (glej enacbo (14)) in ionski zvocni valovi obstajajo lev prisotnosti termicnih gibanj delcev plazme. Disperzijska zveza je linerna v limiti majhneDebyjeve dolzine za sencenje polj v plazmi. To lahko upravicimo s hitrimi elektroni, kiposkrbijo za ucinkovito sencenje polj in posledicno majhno Debyjevo dolzino.

2vth bomo imenovali “termicna hitrost”, ker je za Maxwellovo porazdelitev istega velikostnega razredakot

√v2 ali pa |v|

3Izpeljavo si lahko ogledas v [2, str.95]

Landauovo dusenje 7

3 Vlasova enacba

Plazma je sistem sestavljen iz mnogih delcev, ki med seboj interagirajo. Dinamiko takegasistema lahko opisemo na vec nacinov. Tekocinska teorija opise plazmo na najbolj enos-taven nacin in je za vecino opazenih pojavov dovolj natancna. Zaradi enostavnosti se vtej teoriji privzame, da je hitrostna porazdelitev delcev povsod Maxwellova in jo opisemole z enim parametrom - temperaturo. To lahko marsikje drzi, vendar v visokotemper-aturni plazmi, kjer so trki lahko zelo redki, to velikokrat ne velja. V taki plazmi lahkozelo dolgo vzdrzujemo termicno neravnovesno stanje. S tem so povezani tudi pojavi, kijih ta teorija ne zna pojasniti. Izkaze se, da je tak pojav tudi Landauovo dusenje. Zatobomo morali ubrati drugacno pot.

Zaradi velikega stevila delcev, ki jih imamo v sistemu, nam pride na misel statisticnafizika. Ta nacin opisa se imenuje kineticna teorija. Bistveno je, da si zamislimo fazniprostor prostorskih koordinat in hitrosti, v katerem vpeljemo hitrostno porazdelitvenofunkcijo ρ(~r,~v, t). Ta funkcija nam pove, da je stevilo delcev v tocki ~r ob casu t skomponento hitrosti med ~v in ~v+d~v enako ρ(~r,~v, t)d~v. Gostotno porazdelitveno funkcijon = n(~r, t) dobimo z integracijo hitrostne porazdelitvene funkcije ρ(~r,~v, t) po celemhitrostnem delu faznega prostora:

n(~r, t) =

∫ ∞−∞

ρ(~r,~v, t)d~v (15)

Sedaj se spomnimo Liouvilleovega izreka, ki nam pove, da se velikost volumenskegaelementa faznega prostora s casom ne spreminja [4, str. 110]. Iz tega sledi, da se tudiporazdelitvena funkcija s casom ne spreminja. To trdi seveda tudi Liouvilleova enacba:

dρ

dt=∂ρ

∂t+∂~r

∂t

∂ρ

∂~r+∂~v

∂t

∂ρ

∂~v= 0

V nasem primeru so koordinate delcev in njihove hitrosti odvisne le od casa, zato je∂~r∂t

= ~v in ∂~v∂t

= d~vdt

. Ce oznacimo se ~∇ = ∂∂~r

in ~∇~v = ∂∂~v

, lahko zapisemo zgornjo enacbokot

∂ρ

∂t+ ~v · ~∇ρ+

d~v

dt· ~∇~vρ = 0

To velja, ce so vsi delci enaki. Ce pa imamo vec vrst delcev, velja dana enacba za

posamezno vrsto delcev (oznacimo jo z indeksom i). Zapisemo lahko tudi d~vdt

=~Fimi

, kjer

je ~Fi sila, ki deluje na i-te delce. Ce hocemo upostevat se spremembe porazdelitvenefunkcije zaradi trkov med delci, dodamo na desni strani se en clen tega odvoda (podobnonaredimo, ce bi hoteli upostevat nastanek novih delcev npr. ionizacija ali pa izginotjedelcev npr. anihilacija). Ob upostevanju vsega tega se enacbo prepise v

∂ρi∂t

+ ~v · ~∇ρi +~Fimi

· ~∇~vρi =

(∂ρi∂t

)trk

To je Boltzmannova enacba.

Landauovo dusenje 8

V dovolj vroci plazmi lahko zanemarimo trke in je desni clen zgornje enacbe enaknic. Privzemimo se, da je sila ~Fi, ki deluje na delce le elektromagnetna. Tako dobimoVlasovo enacbo

∂ρi∂t

+ ~v · ~∇ρi + eimi

( ~E + ~v × ~B) · ~∇~vρi = 0 (16)

Ta enacba je zaradi svoje relativne preprostosti najbolj obicajna enacba v kineticni teoriji.

4 Landauovo dusenje

Z uporabo Vlasove enacbe bomo izpeljali disperzijsko funkcijo ω(k) za elektronsko plazem-sko valovanje. To smo sicer ze izpeljali v poglavju (2.2) v tekocinskem priblizku, sedajpa bomo to izpeljali s pomocjo kineticne teorije. Izkazalo se bo, da bomo dobili rahlodrugacen rezultat. Resitev ne bo realna, pac pa kompleksna. Imaginarni del komplek-snega stevila bo zelo majhen, kar prica o tem, da je elektronsko plazemsko valovanjesibko duseno.

Elektronsko plazemsko valovanje je visokofrekvencno valovanje, kar pomeni, da nasmasivni pozitivni ioni ne bodo zanimali, saj se ne morejo odzivat na tako hitre spre-membe. Privzamemo lahko, da so masivni ioni fiksni in enakomerno porazdeljeni poprostoru. Elektrone pa bomo opisali z hitrostno porazdelitveno funkcijo

ρ(~r,~v, t) = ρ0(~v) + ρ1(~r,~v, t)

Upostevali smo, da v nictem redu, ko ni nobene motnje in je ~B0 = ~E0 = 0, opiseelektrone v plazmi hitrostna porazdelitven funkcija ρo(~v), ki je po celem koordinatnemdelu faznega prostora enaka in se s casom ne spreminja. S prvim redom ρ1(~r,~v, t) pasmo upostevali perturbacijo v ρ(~r,~v, t). Zapisimo sedaj linearizirano Vlasovo enacbo zaelektrone v prvem redu

∂ρ1

∂t+ ~v · ~∇ρ1 −

e

m~E1 · ~∇~vρ0 = 0 (17)

Koordinatni sistem si lahko postavimo tako, da bo nasa motnja delovala v smeri x, to sepravi ~E = (Ex, 0, 0). Pricakujemo torej, da so resitve enacbe (17) ravni valovi v smeri x

ρ1 ∝ ei(kx−ωt) (18)

in se enacba (17) zapise kot

−iωρ1 + ikvxρ1 =e

mEx∂ρ0

∂vx

ρ1 =ieExm

∂ρ0/∂vxω − kvx

(19)

Dodatno informacijo nam da Poissonova enacba

ε0~∇ · ~E = e(ni − ne)

Landauovo dusenje 9

Sedaj upostevamo, da v ravnovesju ni elektricnega polja ( ~E0 = 0) in je stevilo elektronovenako stevilu pozitivnih ionov ne0 = ni0. Iz privzetka o fiksnih ionih sledi tudi ni1 = 0in Poissonovo enacbo se enkrat zapisem kot

ε0~∇ · ~E1 = −ene1

Pricakujem, da se bo tudi elektricno polje sinusno spreminjalo kot ~E1 = Exei(kx−ωt)x,

saj imamo valovanje v snovi. Stevilsko gostoto elektronov n1, ki jih ustvari motnja,lahko zapisem kot integral hitrostne porazdelitvene funkcije po hitrostnem delu faznegaprostora in Poissonova enacba postane

ikε0Ex = −e∫ ∞−∞

ρ1(~r,~v, t)d~v

V to enacbo vstavim ρ1 iz enacbe (19) in delim z ikε0Ex ter dobim

1 = − e2

kmε0

∫ ∞−∞

∂ρ0/∂vxω − kvx

d3v (20)

Sedaj bomo namesto hitrostne porazdelitvene funkcije ρ0 pisali raje verjetnostno po-razdelitveno funkcijo f0, ki je normalizirana. Zveza med obema je enostavna ρ0(~r,~v, t) =n0(~r, t)f0(~r,~v, t). To upostevam v enacbi (20) in dobim

1 = −ω2p

k

∫ ∞−∞

dvz

∫ ∞−∞

dvy

∫ ∞−∞

∂f0(vx, vy, vz)/∂vxω − kvx

dvx (21)

kjer je ωp =√

n0e2

mε0plazemska frekvenca. Sedaj se bomo nekoliko omejili na take ver-

jetnostne porazdelitvene funkcije f0, katere se da faktorizirat. Ce se funkcijo f0 ne dafaktorizirat, zgornjega integrala ne moremo poenostavit tako, kot to lahko naredimo zaMaxwellovo porazdelitev. Za Maxwellovo verjetnostno porazdelitev

fm(vi) =

√m

2πKTexp

(− mv2

i

2KT

)i = x, y, z (22)

lahko funkcijo fm(vx, vy, vz) zapisemo kot produkt treh Maxwellovih porazdelitev po trehrazlicnih spremenljivkah (vx, vy in vz) in lahko tri integrale resimo neodvisno enega oddrugega. Prva dva integrala po vy in vz nam dasta vrednost ena, saj sta verjetnostnifunkciji fm(vy) in fm(vz) normalizirani. Ostane nam samo se integral po podprostoru vx:

1 =ω2p

k2

∫ ∞−∞

∂f0/∂vxvx − (ω/k)

dvx (23)

Funkcija f0 je tu za razliko od prej enodimenzionalna verjetnostna porazdelitev, saj smoze opravili integracijo po vy in vz. Dani integral je malce trsji oreh. Problem nam pred-stavlja pol v imenovalcu ulomka integranda, saj moramo integrirati preko singularnostiv tocki ω

k. Problem resimo z naslednjim razmislekom: Ce je motnja, ki jo sprozimo v

plazmi sinusna, potem je valovni vektor k realno stevilo. Prav tako je realna tudi hitrost

Landauovo dusenje 10

vx po kateri integriramo. Vendar, ker se v plazmi nedvomno zgodi tudi kaksen trk medelektroni, je elektronsko plazemsko valovanje rahlo duseno in potemtakem ω ne morebiti realno stevilo, pac pa kompleksno. Zato tudi imenovalec integranda v enacbi (23) ninikoli nic! Landau je bil prvi, ki je pravilno resil dano enacbo. Ugotovil je, da tocka sin-gularnosti ω

kne lezi na poti integracije, vendar vseeno pomembno prispeva k disperzijski

relaciji za plazemske valove. Resimo sedaj zgornji integral s pomocjo kompleksne analizein teorema o residuih.Naj bo ω kompleksno stevilo, kar pomeni da se perturbacija v snovi ojacuje ali dusi.Zamislimo si kompleksno ravnino neodvisne kompleksne spremenljivke vx in zakljucenointegracijsko pot v tej ravnini tako, da gre del poti po realni osi (glej sliko(1)). Integrirali

Slika 1: Slika prikazuje integracijski poti v kompleksni ravnini za (a) nestabilen val zIm(ω) > 0 in (b) dusen val z Im(ω) < 0 [2].

bomo funkcijo, ki nastopa kot integrand integrala (23). Dana funkcija je analiticna pov-sod razen v tocki ω

k, kjer ima pol prve stopnje. Izrek o residuih pravi, da je integral anal-

iticne funkcije vdolz integracijske poti, ki obkroza izolirano singularno tocko v nasprotnismeri urinemu kazalcu, enak residuumu objete singularne tocke, pomnozenemu z 2πi:∫

C1

Gdvx +

∫C2

Gdvx = 2πiRes(ωk

)kjer jeG integrand, C1 je pot vzdolz realne osi, C2 je polkroznica v neskoncnosti inRes(ω

k)

je residuum v tocki ωk. Sedaj bi se radi znebili integrala po poti C2. Za Maxwellovo

porazdelitev vsebuje ta integral faktor

e− v2xv2th

ki postane zelo velik za vx → ±i∞ in danega integrala ne moremo zanemarit. V splosnemje dani integral resljiv le numericno, za Maxwellovo porazdelitev pa obstajajo tudi tabeli-rane vrednosti. Po tej poti danemu integralu ne bomo kos.Lotimo se problema malce drugace. Landau je ugotovil, da je pravilna integracijskapot tista, ko gre krivulja C1 pod singularno tocko ω

k(obe mozni poti na sliki (1)). Ce

privzamemo, da je fazna hitrost vφ = ωk

precej vecja od termicne hitrosti vth in dusenjerazmeroma majhno, lezi pol ω

kzelo blizu realne vx osi. V tem primeru zgleda pravilna

integracijska pot tako kot kaze slika (2). Integracijsko pot razdelim na tri dele:

Landauovo dusenje 11

Slika 2: Integracijska pot v kompleksni ravnini v primeru, ko je Im(ω) majhen [2].

• prvi del poti sega od −∞ do ε okolice singularne tocke: (−∞, ωk− ε]

• drugi del poti obide singularno tocko po spodnji strani v polkrogu s majhnimpolmerom ε

• tretji del poti sega od ε okolice singularne tocke do ∞: [ωk

+ ε,∞)

Prvi in zadnji del poti zapisimo skupaj:∫ ωk−ε

−∞

∂f0/∂vxvx − (ω/k)

dvx +

∫ ∞ωk

+ε

∂f0/∂vxvx − (ω/k)

dvx ≈ P∫ ∞−∞

∂f0/∂vxvx − (ω/k)

dvx (24)

P pomeni Cauchyjevo glavno vrednost. Zanemarili smo prispevek k integralu v okolicisingularne tocke. Ta prispevek je majhen, ker smo privzeli vφ � vth in sta f0 in ∂f0/∂vxpri vφ = ω

kzelo majhna (glej sliko (3)). Ce upostevamo se drugi del poti, ki v polkrogu

Slika 3: Normalizirana Maxwellova porazdelitev za vφ � vth [2].

Landauovo dusenje 12

obide singularno tocko, dobimo se polovicen del od 2πi pomnozen s residuumom v sin-gularni tocki.4 Integral (23) zapisemo po novem kot

1 =ω2p

k2

(P∫ ∞−∞

∂f0/∂vxvx − (ω/k)

dvx + iπ∂f0

∂vx

∣∣∣∣vx=

ωk

)(25)

Za izracun integrala si pomagam z integracijo po delih:∫ ∞−∞

∂f0

∂vx

dvxvx − vφ

=f0

vx − vφ

∣∣∣∞−∞−∫ ∞−∞

−f0dvx(vx − vφ)2

=

∫ ∞−∞

f0dvx(vx − vφ)2

Dobili smo povprecje od (vx − vφ)−2 po dani porazdelitvi. Razvijmo dani izraz po Tay-lorju:

(vx − vφ)−2 = v−2φ

(1− vx

vφ

)−2

= v−2φ

(1 +

2vxvφ

+3v2

x

v2φ

+4v3

x

v3φ

+ . . .)

(26)

Pri racunanju povprecja danega izraza vsi lihi cleni zgornje vrste izginejo. Integral lihefunkcije na simetricnem intervalu je namrec enak nic. Realni del disperzijske relacije (25)je

1 =ω2p

k2(vx − vφ)−2 ≈

ω2p

k2v2φ

(1 +

3v2x

v2φ

)(27)

Izracunati moramo se v2x. V primeru, ko so vx Maxwellovo porazdeljeni, je v2

x enostavnejeizracunat iz ekviparticijskega izreka:

1

2mv2

x =1

2KTe

kjer smo upostevali, da imamo za vx le eno prostostno stopnjo. Ko to upostevam inzvezo vφ = ω

k, dobim disperzijsko relacijo

1 =ω2p

k2

k2

ω2(1 + 3

k2

ω2

KTem

)

ω2 = ω2p +

ω2p

ω2

3KTem

k2

Dobili smo kvadratno enacbo za ω2, ki je ne bomo resevali. Ce je namrec termicnipopravek (drugi clen) majhen, lahko nadomestimo ω2 z ω2

p in dobim

ω2 = ω2p +

3KTem

k2 = ω2p +

3

2k2v2

th v2th =

2KTem

(28)

4Ta korak v Landauovi izpeljavi ni matematicno neoporecen. Po kaksni poti bomo integrirali okrogsingularne tocke je odvisno od limite integrala (23), ko gre imaginaren del od ω proti nic. Izkaze se, daje vec moznih rezultatov. Moj rezultat je povzet po knjigi [2], novejso diskusijo in alternativo Landauovirazlagi o integraciji okrog pola pa si bralec lahko pogleda v clanku iz leta 1995 [5].

Landauovo dusenje 13

ki je identicno enaka resitvi, ki smo jo dobili s tekocinsko teorijo (glej enacbo (13)).Ugotovili smo, da se realni del disperzijske zveze ujema z rezultatom, ki nam ga datekocinska teorija. Poglejmo si sedaj se imaginarni del. Pri tem racunu bo dovoljnatancno, ce zapisemo realni del le z vodilnim clenom, to se pravi ω2 ≈ ω2

p. Torejlahko zapisem celo disperzijsko enacbo (25) kot

1 =ω2p

ω2+ iπ

ω2p

k2

∂f0

∂vx

∣∣∣vx=vφ

ω2(

1− iπω2p

k2

[∂f0

∂vx

]vx=vφ

)= ω2

p

Iz te formule izrazimo ω2, ga korenimo in ker je odvod v imaginarnem clenu zelo majhen,ga lahko se razvijemo po Taylorju ter dobimo

ω = ωp

(1 + iπ

2

ω2p

k2

[∂f0∂vx

]vx=vφ

)(29)

Ce je f0 enodimenzionalna Maxwellova porazdelitev imamo

∂f0

∂vx=

1√πv2

th

−2vxv2th

exp(− v

2x

v2th

)= − 2vx√

πv3th

exp(− v

2x

v2th

)V ta odvod vstavimo vx = vφ in upostevam priblizek vφ ≈ ωp

k. Ker je eksponentni clen

dominantnejsi, je potrebno v eksponentu upostevati se termicni popravek, to se praviω2 = ω2

p + 32k2v2

th. Dusenje je potem podano z

Im( ωωp

)= −√πe−

32

( vφvth

)3

exp(−v2φ

v2th

)(30)

Ker je imaginaren del disperzijske relacije negativen, imamo v plazmi dusenje - Lan-dauovo dusenje. To dusenje je sicer zelo majhno, vendar obstaja. Se toliko bolj smopreseneceni, ko se spomnimo, da smo na zacetku predpostavili, da v plazmi ni nobenihtrkov med delci. Kako so lahko potem valovi v plazmi, kjer ni trkov, duseni?

5 Fizikalna razlaga

Landau je po teoreticni poti odkril, da so valovi v plazmi duseni, ceprav ni disipacije en-ergije s trki. Kasneje so to ugotovitev potrdili tudi eksperimentalno in Landauovo dusenjeje postalo eden najvecjih uspehov matematicne fizike. Zanimivo je predvsem zato, kerpravzaprav nihce ni pricakoval tega efekta, potem pa je Landau po cisto matematicnipoti in temeljito analizo kompleksnega integriranja prisel do nepricakovanega rezultata.Sedaj se poraja vprasanje, kako bi si Landauovo dusenje fizikalno predstavljali.

Iz izpeljave prejsnjega poglavja ugotovimo, da je za Landauovo dusenje odgovorenIm(ω), ki izhaja iz pola pri vx = vφ. To se pravi, da je dusenje povezano s tistimidelci v porazdelitveni funkciji, ki imajo hitrost priblizno enako fazni hitrosti vφ. Ti delci

Landauovo dusenje 14

Slika 4: Landauovo dusenje si lahko predstavljamo z deskarjem na valovih [2].

potujejo skupaj z valom in ne“vidijo”valovanja elektricnega polja. Prav zato lahko precejefektivno izmenjujejo energijo z valom. Za boljse razumevanje si lahko predstavljamodeskarja na valovih, ki lovi val (slika (4)). Ce deskar miruje, se z valovi dviga ter spusca,ko valovi potujejo mimo njega in v povprecju ne pridobi nic energije od valov. Podobnotudi zelo hiter coln ne more izmenjati energije z valovi. Ce pa ima deskar skoraj istohitrost kot valovi, jih lahko ulovi in potuje skupaj z njimi. To je pravzaprav tudi namendeskanja na valovih, saj deskar na ta nacin pridobi energijo od valov. Ker valovi oddajodel svoje energije deskarju, jo sami izgubijo in so potemtakem duseni. Ce pa je deskarmalce hitrejsi od valov, bo rahlo porival val pred seboj in oddal del energije valu, ta pa sebo pospesil. V plazmi imamo elektrone, ki so hitrejsi in pocasnejsi od valov. Vendar imaMaxwellova porazdelitev zaradi svoje oblike pri poljubnem vφ vec pocasnejsih elektronovkot pa hitrejsih (slika(5)). Potemtakem je vec takih delcev, ki valovom jemljejo energijokot pa tistih delcev, ki valovom dajejo energijo. Delci, ki imajo isto hitrost kot valovi,so ujeti na val, porazdelitvena funkcija pa se v okolici fazne hitrosti rahlo splosci. Taspremebma je v bistvu perturbacija porazdelitvene funkcije ρ1. Kot se vidi na sliki(5) vsebuje nova “zmotena” porazdelitev enako stevilo delcev, le da imajo ti delci vecjoskupno energijo na racun dusenih valov. Podobno velja tudi, da ce ima porazdelitvena

Slika 5: Zaradi Landauovega dusenja se Maxwellova porazdelitev rahlo “zvije” v okolicifazne hitrosti vx = vφ [2].

funkcija v neki okolici fazne hitrosti vφ vec hitrih delcev kot pocasnejsih (glej sliko (6)),

Landauovo dusenje 15

se val ojaca namesto dusi. To je razvidno tudi iz enacbe (29), ki pravi, da je Im(ω)pozitiven, ce je odvod ∂f0/∂vx pozitiven. V takem obmocju, valovi v povprecju jemljejoenergijo delcem in postanejo nestabilni.

Predstava Landauovega dusenja z deskarjem, ki lovi valove, je privlacna in dobropredstavljiva, vendar ne razlozi v celoti tega pojava. Obstajata namrec dve vrsti Lan-dauovega dusenja, to sta linearno in nelinearno Landauovo dusenje. Deskar na valovihenostavno prikaze linerno Landauovo dusenje. Zgodi pa se lahko tudi, da se delec ulovi vpotencialno jamo vala in vseeno izmenjuje energijo z valom. Pravimo, da se delec ulovi vpast. To opisuje nelinearno Landauovo dusenje, ki je znacilno za velike amplitude valov.Ujeti delec se v potencialni jami odbija sem ter tja, dusenje pa ni monotonicno, pac paamplituda med dusenjem fluktuira. Mi smo celotno izpeljavo naredili v prvem redu, tose pravi za majhne amplitude in nismo zajeli nelinearnega Landauovega dusenja.

Slika 6: Ce ima porazdelitvena funkcija pri vφ pozitiven naklon, se val ne dusi, pac paojacuje in pride do nestabilnosti [2].

6 Eksperimentalna potrditev

Ce se ozremo na fizikalne clanke v uglednih revijah, ki so bili objavljeni po Landauovemodkritju dusenja elektronskih plazemskih valov, ugotovimo, da ni bilo posebnega zani-manja za njegovo odkritje. Njegovo delo je namrec bilo v 10 do 15 letih le nekajkratcitirano. Kljub temu so prav v teh letih nekateri drugi teoreticni fiziki pomemno prispe-vali svoj del k njegovi teoriji. Manjkali pa so eksperimentalni projekti, ki bi raziskovalivroco plazmo, v kateri ni trkov. Landauovo dusenje je takrat obstajalo le v teoriji, znjegovim raziskovanjem pa so se ukvarjali le teoretiki, ki so si hoteli pravilno interpreti-rati singularnosti, ki se pojavljajo v nekaterih verzijah teorije in analizirat perturbacijerazlicnih porazdelitvenih funkcij.

Prvo eksperimentalno potrditev Landauovega dusenja elektronskega plazemskega val-ovanja sta naredila J.H.Malmberg in C.B.Wharton leta 1964 [6]. Eksperiment shematskoprikazuje slika (7). Naprava je delovala tako, da je posebna naprava ionizirala vodik in gaspuscala v dolgo cev, v kateri je bilo magnetno polje velikosti nekaj stotin Tesla. Plazmaje imela tipicno precni presek 7 mm, dolzino 230 cm, gostoto 5 × 108 elektronov/cm3

in temperaturo priblizno 12 ± 3 eV, ki so jo izmerili z Langmuirjevimi sondami. Okrogplazme je bil vecinoma molekularni vodik pri tlaku 2.3× 10−8 bara. Debyjeva dolzina v

Landauovo dusenje 16

Slika 7: Shema eksperimenta, ki sta ga naredila J.H.Malmberg in C.B.Wharton [6].

plazmi je bila priblizno 1 mm, povprecna prosta pot elektronov za trke elektron-ion je bila1000 m in za trke med elektroni in nevtralnimi delci priblizno 40 m. Oba zadnja podatkasta dovolj velika, da lahko zanemarimo trke v plazmi. V prostor s plazmo sta bili vstavl-jeni dve volframovi sondi. Ena je bila povezana z generatorjem valovnih signalov, drugapa s sprejemnikom. Filtriranemu in ojacanemu signalu iz sprejemnika so nato dodalisignal iz oddajnika in interferimetricno prisli do rezultata (slika(8)). Oddajnik je lahko

Slika 8: Izhod interferometra je pokazal, da so elektronski plazemski valovi duseni [6].

deloval pri razlicnih frekvencah, sprejemna sonda pa se je lahko premika v longitudionalnismeri po cevi, da so lahko pomerili valove na razlicnih razdaljah od oddajne sonde. Ker jebila v eksperimentu ω realna in k kompleksen, ne moremo rezultata direktno primerjatiz enacbo (30). Potrebno je izracunati kvocient Im(k)/Re(k) za realne ω. Ta kvocientprav tako vsebuje faktor exp(−v2

φ/v2th), ki je sorazmeren z stevilom resonancnih elek-

tronov v Maxwellovi porazdelitvi. Potem je tudi logaritem od Im(k)/Re(k) sorazmerenz (vφ/vth)

2. Slika (9) prikazuje, kako se meritve ujemajo s teoreticno napovedjo.Leta 1966 sta podoben eksperiment naredila se H. Derfler in T. Simonen [7]. Slika

(10) prikazuje njune meritve Re(k) in Im(k) pri razlicnih frekvencah. Crtkana parabolaustreza enacbi (28), meritve pa odstopjo od nje zaradi visjih clenov v razvoju enacbe(26). Ce bi upostevali vec teh clenov, bi se meritve lepo ujemale s teoreticno napovedjo.

Landauovo dusenje 17

Slika 9: Malmberg-Whartonov eksperiment je potrdil Landauovo dusenje [6].

Slika 10: Disperzijska relacija za elektronske plazemske valove, ki sta jo izmerila H.Derfler in T. Simonen. [7]

Landauovo dusenje 18

7 Zakljucek

Veliko zanimanje za Landauovo dusenje je sledilo sele v poznih 50-tih in zgodnjih 60-tihletih prejsnjega stoletja, ceprav je Landau objavil svojo teoreticno napoved ze davnegaleta 1946. Takrat so namrec posamezne drzave zacele z velikimi raziskavami fuzije instrokovnjaki so se zaceli zavedati, da jim prav Landauovo dusenje utegne povzrocatinenavadne izgube v fuzijskih napravah, je odgovorno za tvorbo visokoenergijskih repovv porazdelitvenih funkcijah delcev, povzroca hitre relaksacije curkov nabitih delcev,...

Dandanes se priblizno vsak tretji clanek iz fizike plazme in njene uporabe sklicujena Landauovo dusenje, ceprav je prvoten Landauov clanek bolj poredko citiran (povzetopo [8]). To je verjetno tudi zato, ker je pojem Landauovega dusenja siroko sprejet,medtem ko Landauova razlaga tega pojava ni edina. Konceptualno to ni najbolj enos-taven fenomen in njegova interpretacija v razlicne namene je se danes izziv. V minulihdesetletjih je Landauovo dusenje dobilo analogijo v astrofiziki, saj je gravitacijska in-terakcija prav tako doljnosezna kot Coulombova interakcija. Vlasovo enacbo za plazmobrez trkov so tako uporabili pri analizi ravnovesja in stabilnosti zvezdnih sistemov, kotso zvezdne kopice in galaksije (vec o tem si bralec lahko prebere v [9], [10], [11] in [12]).Pricakovali bi, da potem obstaja tudi v takih sistemih podoben pojav kot je Landauovodusenje. Razlika je v tem, da je gravitacijska sila vedno privlacna, kar bi bilo podobnointerakciji med elektroni in ioni v plazmi.

Landauovo dusenje je tudi danes, vec kot 60 let po odkritju, stalno delezno novihclankov o tem, kako bi se ga dalo bolje razumeti. Razvijajo se novi koncepti in verjetnotudi nove aplikacije omenjenega pojava.

Landauovo dusenje 19

Literatura

[1] G. Filipic: Uvodni pojmi iz fizike plazme ter nekaj zgledov iz magnetohidrodinamike,(seminar 2007/08)

[2] F. F. Chen: Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, Plenum Press,Los Angeles 1984

[3] N. A. Krall, Alvin W. Trivelpiece: Principles of Plasma Physics, McGraw-Hill,Maryland 1973

[4] I. Kuscer, S. Zumer: Toplota, DMFA, Ljubljana 1987

[5] V. N. Soshnikov: A New Look at the Landau’s Theory of Spreading and Dampingof Waves in Collisionless Plasmas, (1995)

[6] J.H.Malmberg, C.B.Wharton, Phys. Rev. Lett., 13, 184, (1964)

[7] H.Derfler, T.C.Simonen, Phys. Rev. Lett., 17, 172, (1966)

[8] D. D. Ryutov, Plasma Phys. Control. Fusion, 41 (1999)

[9] S.Gayer, C.F.Kennel, Phys. Rev., 19, 1070, (1979)

[10] S.Habib, H.E.Kandrup, P.F.Yip, The Astrophysical Journal, 309, 176, (1986)

[11] H.E.Kandrup, The Astrophysical Journal, 500, 120, (1998)

[12] E.Griv, M.Gedalin, D.Eichler, C.Yuan, Phys. Rev. Lett., 84, 4280, (2000)