lagrange 的摂動論における修正モデルと圧力の効 …...lagrange...

Lagrange 的摂動論における修正モデルと圧力の効果

立川崇之 (早大理工）[email protected]

シンポジウム　「次世代天文学　−大型観測装置とサイエンス−」 (Dec. 25-27, 2004, 東大本郷キャンパス)

講演要旨宇宙の大規模構造形成に際し，Lagrange 的記述による摂動論が準非線形段階でもよい近似を与える事が知られている．オリジナルは Zel'dovich によって 1970 年に発表された Zel'dovich 近似であるが，このモデルでは物質を圧力の働かないダスト流体として扱っており，密度が発散すると以後の時間発展を追う事が出来なくなる．そのため，密度発散を回避する事を目的として Adhesion 近似や Truncated

Zel'dovich 近似が提案されたが，これらの修正モデルにおける修正の物理的意味が明らかにされなかった．我々は Buchert and Dominguez (1998) らが考察した，等方的速度分散が有効的な圧力，あるいは粘性を与えるという議論，さらにその後 Adler and Buchert (1999)

によって示された圧力入り流体の Lagrange 的記述をもとに，摂動解を導出した．本シンポジウムでは圧力入り流体の Lagrange 的記述による発展方程式を解き，過去の修正モデルとの対応を議論する．また，圧力入りの Lagrange 的近似で，線形摂動がどの程度有効であるかを，数値解との比較から議論する．

本発表は主に以下の論文に基づく．

T. Tatekawa, Phys. Rev. D70, 064010 (2004). T. Tatekawa, astro-ph/0412025 (short review) T. Tatekawa, submitted to Phys. Rev. D.

宇宙論的流体の基礎方程式

∂δ

∂t+

1

a∇x · {v(1 + δ)} = 0 ,

∂v

∂t+

1

a(v ·∇x)v +

a

av =

1

ag −

1

aρ∇xP ,

∇x × g = 0 , ∇x · g = −4πGρbaδ

x = q + s(q, t) v = as

ρ = ρbJ−1

J ≡ det(∂xi/∂qj) = det(δij + ∂si/∂qj)

共動座標系での基礎方程式は以下の通りである．

我々はここで Lagrange 的摂動 s を導入する.

Lagrange 摂動を用いると，質量密度が厳密に記述できる．x: 共動 Euler 座標, q: Lagrange 座標.

δ ≡

ρ − ρb

ρb

Lagrange 的摂動の発展方程式

∇x ×

(s + 2

a

a

s

)= 0

∇x ·

(s + 2

a

as −

1

a2

dP

dρJ−1

∇xJ

)= −4πGρb(J−1

− 1)

s = ∇qS + ST , ∇q · S

T= 0

Euler 方程式の divergence と rotation を取ると，Lagrange 的摂動の発展方程式が得られる．

ここで，Lagrange 的摂動を longitudinal mode と transverse mode に分ける．

transverse mode は一次の摂動解で成長解を持たないので，我々は今回の発表では無視する事にする．

E-dS 宇宙モデルでのダスト流体の Lagrange 的摂動論

S(1)(q, t) = t2/3S+(q) + t−1S−

(q)

S(3),ii =

5

9

(S

(1),ij S

(2),ji − S

(1),ii S

(2),jj

)−

1

3det

(S

(1),ij

)S

(2),ii =

3

14

(S

(1),ij S

(1),ji − S

(1),ii S

(1),jj

)

簡単のため，我々は E-dS 宇宙モデルの摂動解を考える．ダスト流体については，三次まで解が知られている．(Bouchet et al. 1995)

Adhesion 近似∂u

∂a+ (u ·∇x)u = 0 , u ≡

∂x

∂a

Zel’dovich 近似の拡張のため，人工的な粘性を方程式の右辺に加える．　(Gurbatov et al. 1989).

∂u

∂a+ (u ·∇x)u = ν∇

2

xu

u(x, t) =∑α

(x − qα

a

)jα exp

(−

Iα

2ν

)/

∑α

jα exp

(−

Iα

2ν

),

Iα ≡ I(x, a;qα) = S0(qα) +(x − qα)2

2a= min.

jα ≡

[det

(δij +

∂2S0

∂qi∂qj

)]−1/2

∣∣∣∣∣q=qα

S0 = S(q, t0)

E-dS 宇宙モデルでのダスト流体の運動方程式は以下の様に書き直される．

νが小さいとき, 解は次の形で与えられる (Kofman et al. 1992):

qα は作用を最小にする Lagrange 座標である．

圧力入りの流体の場合

S(K, a) ∝ a−1/4 J±5/(8−6γ)

(√2C2

C1

|K|

|4 − 3γ|a(4−3γ)/2

), γ != 4/3

S(K, a) ∝ a−1/4±√

25/16−C2|K|2/2C1 ,γ = 4/3

C1 ≡ 4πGρb(a0) a 30 /3, C2 ≡ κγρb(a0)

γ−1 a 3(γ−1)0

P = κργ

Jν

我々はポリトロープの状態方程式を仮定． E-dS 宇宙モデルでは，線形解は Bessel 関数　　を用いて記述できる． (Morita and Tatekawa 2001)

その後，我々は

一般の一様等方宇宙モデルでの線形摂動解 (Tatekawa et al. 2002),二次の摂動解 (Morita and Tatekawa 2001, Tatekawa et al. 2002),

を導出したが，簡単のためadhesion 近似との比較では，摂動解は１次の物のみを用いる．

Adhesion 近似との比較

ダスト流体のLagrange 的摂動論

フルオーダーの計算

背景時空: E-dS 宇宙モデル密度分布：面対称（１次元），球対称時間発展

一次近似 (ZA) （面対称では厳密解を与える）二次近似(PZA)，三次近似(PPZA)Adhesion 近似 (AA)

圧力入りの Lagrange 的摂動論一次近似（ポリトロープ指数 γ=1, 4/3, 5/3）

非線形偏微分方程式をフルオーダーで解く．　陽的解法 (FTCS)

Lagrange 的記述の比較：球対称モデル

δ(r) = ε(3 − r2)e−r2/2

−∇2

(εe

−r2/2

)= −

1

r2

∂

∂r

(r2

∂

∂r

(εe

−r2/2

))= ε(3 − r

2)e−r2/2

∫∞

0

4πr2δ(r)dr = 0

S(1)= −εe−r2/2 , S(2)

= −

3

7ε2e−r2

, S(3)= −

46

189ε3e−3r2/2 .

ε = ±1

60

1 2 3 4 5

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

r

初期密度分布： Mexican-hat type とする

ダスト流体の場合，Lagrange 的摂動のスカラー関数は以下のようになる．

初期ゆらぎは以下のように与えた (at a=0.05):

このモデルは以下のような特徴を持つ．

球対称モデル：ダスト流体の比較

0.01

0.1

1

10

100

1000

104

105

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spherical-symmetric model

ZAPZAPPZADust-exactAA

δ

Scale Factor a

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4


ZAPZAPPZADust-exactAA

δ

Scale Factor a

ここでは，中心の密度ゆらぎの発展を比較．

密度ゆらぎが正の場合：もし近似の次数を上げると，発散が早まる．Adhesion 近似(AA) では密度が発散しない．

密度ゆらぎが負の場合：後に，偶数次の近似 (PZA) では，解の振る舞いが逆向きになってしまう．

球対称モデル：圧力入りの場合の比較

0.01

0.1

1

10

100

1000

104

105

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4


AAγ=1, KJ=50 linearγ=1, KJ=50 full

δ

Scale Factor a

0.01

0.1

1

10

100

1000

104

105

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4


AAγ=4/3, KJ=1.5 linearγ=4/3, KJ=1.5 full

δ

Scale Factor a

0.01

0.1

1

10

100

1000

104

105

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4



δ

Scale Factor a

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4


AAγ=1, KJ=50 linearγ=1, KJ=50 full

δ

Scale Factor a

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4



δ

Scale Factor a

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4



δScale Factor a

1. 圧力のモデルでは振動のため， AA を完全には再現できない．2. 線形近似は，準非線形段階まで割と良さそう．3. もしフルオーダーの計算を行っても，圧力では密度発散を防げなかった．

何故ゆらぎが振動するのか？Jeans 不安定性のため．線形近似の摂動解の leading term を調べてみる．

D+ ∼ t−1/3 sin(A|K|t1/3), D− ∼ t−1/3 cos(A|K|t1/3)

D+ ∼ t2/3 sin(A|K|t−1/3), D− ∼ t2/3 cos(A|K|t−1/3)

D±∼ t−1/6±A′i

∼ t−1/6 cos(A′ log t), t−1/6 sin(A′ log t), A′∈ C

γ = 1 :

γ =4

3:

γ =5

3:

従って，十分に時間が経つと

γ = 1 :

γ =4

3:

γ =5

3:

ゆらぎは小刻みに振動して減衰する．

ゆらぎは振動するが，成長するかどうかはスケールに依存．

ゆらぎはゆっくり振動し，ダスト解と同程度に成長する．

圧力入りモデルでの三次の摂動解我々は E-dS 宇宙モデルのもとで，γ=4/3 の場合の三次の摂動解を導出した．

(Tatekawa, Ref.[17])

ここでは面対称モデルでのスペクトルの発展を示す．

初期の密度スペクトル

10-7

10-6

10-5

0.0001

0.001

0.01

1 10 100

Power spectrum (n=1, a=8000)

1st order2nd order3rd order

P(k)

k

10-7

10-6

10-5

0.0001

0.001

0.01

1 10 100

Power spectrum (n=0, a=3000)


P(k)

k

10-6

10-5

0.0001

0.001

0.01

0.1

1 10 100

Power spectrum (n=-1, a=1000)


P(k)

k

密度が発散する直前で，高次の効果が明らかになる．面対称モデルでは，高次の効果は圧力でしか現れない．しかし一般には，高次の効果は重力でも現れるため，非線形段階で高次の摂動は重要．

P (k) = Akkn, (n = 1, 0,−1)

A1 ∼ 10−12, A0 ∼ 10

−10, A−1 ∼ 10

−8

まとめ(1) Adhesion 近似 (AA) の粘性項の起源を，『圧力』で説明できるか？AA: 密度発散を回避可能圧力入りモデル：長時間の発展では，たとえフルオーダーで考えても，密度発散が起きる．我々は粘性項の起源を圧力の効果で十分に説明する事は出来なかった．圧力項の起源の議論には、さらなる効果の検証が必要．

(2) 圧力入りモデルで線形近似はどれくらい有効か？面対称，球対称モデルでの我々の解析では，準非線形段階（δ～1）程度までは，振るオーダーの解析との比較から，線形近似が割と良さそうである．(3) 圧力入りモデルの三次近似我々は圧力入りモデルで三次の摂動解を導出した．面対称モデルの解析で，我々は密度発散が起きる直前に三次の効果が現れる事を確かめた．しかし一般の3次元モデルでは，より速い段階で三次の効果が重要になると思われる．

今後の課題（応用）

最近，様々なダークマター，ダークエネルギーのモデルが提唱されている．もしダークマターの特別な相互作用が有効的に圧力で記述されたら，圧力入りモデルの線形解は密度ゆらぎの発展の解析に応用できると期待される．

圧力入りモデルと将来の観測のと比較 (high-z galaxy redshift survey)例えば K. A. O. S.(Kiro-Aperture Optical Spectrograph) http://www.noao.edu/kaos/→ 我々はダークマターモデルに制限を与えられるのではないか．

References

[1] Ya. B. Zel'dovich, Astron. Astrophys. 5, 84 (1970).[2] P. Coles and F. Lucchin, Cosmology: The Origin and Evolution of Cosmic Structure (John Wiley & Sons, Chichester, 1995).[3] S. N. Gurbatov, A. I. Saichev, and S. F. Shandarin, Mon. Not. R. Astron. Soc. 236, 385 (1989).[4] D. H. Weinberg and J. E. Gunn, Mon. Not. R. Astron. Soc. 247, 260 (1990).[5] A. Nusser and A. Dekel, Astrophys. J. 362, 14 (1990)[6] L. Kofman, D. Pogosyan, S. F. Shandarin, and A. L. Melott, Astrophys. J. 393, 437 (1992).[7] F. R. Bouchet, S. Colombi, E. Hivon, and R. Juszkiewicz Astron. Astrophys. 296, 575 (1995).[8] D. Munshi, V. Sahni, and A. A. Starobinsky, Astrophys. J. 436, 517 (1994).[9] V. Sahni and S. F. Shandarin, Mon. Not. R. Astron. Soc. 282, 641 (1996).[10] T. Buchert and A. Dominguez, Astron. Astrophys. 335, 395 (1998).[11] T. Buchert, A. Dominguez, and J. Perez-Mercader, Astron. Astrophys. 349, 343 (1999).[12] S. Adler and T. Buchert, Astron. Astrophys. 343, 317 (1999).[13] M. Morita and T. Tatekawa, Mon. Not. R. Astron. Soc. 328, 815 (2001).[14] T. Tatekawa, M. Suda, K. Maeda, M. Morita, and H. Anzai, Phys. Rev. D66, 064014 (2002).[15] T. Tatekawa, Phys. Rev. D70, 064010 (2004).[16] T. Tatekawa, astro-ph/0412025 (draft of short review for Research Signpost).[17] T. Tatekawa, submitted to Phys. Rev. D.[18] T. Tatekawa, Phys. Rev. D69, 084020 (2004)

Truncated Zel’dovich 近似と圧力入りモデルの対応(Ref[18])

Truncated Zel’dovich 近似 (TZA): 初期スペクトルにガウス型のソフトニングを導入．

時間発展は Zel’dovich 近似と同じ．　『非線形波数』は次のように定義．

E-dS 宇宙モデルの場合:圧力入りモデル: Jeans 波数

しかし.... TZA: k_{NL} は初期スペクトルに依存．圧力入りモデル: K_J は初期条件に依らない．

P0(k) → P0(k) exp(−k2/k2

NL)

D+(t)2∫ kNL

k0

P0(k)dk = 1.

P0(k) ∝ kn→ kNL ∼ a

−2/(1+n)

KJ ∼ a(3γ−4)/2

お知らせ　Lagrange 的摂動論に関するショートレビューを執筆しました．

　preprint no.: astro-ph/0412025

　もし興味がある方がいらっしゃいましたら，ご覧下さい．

　コメント，追加，参考文献のミスなどがありましたら，ご連絡下さい．

Lagrange 的摂動論における修正モデルと圧力の効果立川崇之（早大理工）：ポスター番号21

宇宙の大規模構造形成　Zel’dovich (1970) をはじめとした，ダスト流体の　Lagrange 的摂動論が準非線形段階までうまく使える．　その後，密度発散を防ぐ修正モデルが提案された．

　我々は圧力の働く流体のLagrange 的摂動論の解を導出．　Morita and Tatekawa (2001), Tatekawa et al. (2002)

　今回の発表　　1. 圧力で過去の修正モデルの説明が出来るか？　2. 圧力入りのモデルの線形近似はどこまで有効か？　3. 高次の摂動の効果はどれくらい現れるか？

　Lagrange 的摂動論に関するレビューの草稿　　astro-ph/0412025　意見募集中．

lagrange 的摂動論における修正モデル と圧力の効 …...lagrange...

Documents

lagrange 的摂動論における修正モデルと圧力の効 …...lagrange...