lagrange interpolacion
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Interpolacion de lagrangeTRANSCRIPT
Interpolación: Es la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos, y pretende construir una función que
los ajuste.
Como los polinomios de Taylor ya no son adecuados para la interpolación, tenemos que encontrar un polinomio de primer grado que pase por los puntos (x₀,y₀) y (x₁,y₁) con x₀≠x₁ que se aproxime a la función.Para lo cual ƒ(x₀)=y₀ & ƒ (x₁)=y₁.Considerando el polinomio lineal:
+
Considerando que x=x₀)= 1 + 0 = =ƒ()
Y con x=x₁)= 1 + 0 = =ƒ()
De la manera que construimos P es el método de interpolación usado en tablas trigonométricas o logarítmicas.
En el caso general, para cada k= 0,1,…,n, construimos un cociente
Ln,k (x) con la propiedad de que Ln,k (xi)=0 cuando i = k y Ln,k (xk)=1,
Para satisfacer Ln,k (xi)=0 para cada i = k necesitamos que el numerados de Ln,k (x) contenga el termino:
(x-x0)(x-x1)(x-xk-1)(x-xk+1) (x-xn).
Para satisfacer Ln,k (xk)=1, el denominador de Lk (x) debe coincidir con el teorema anterior cuando se evalue en x=xk
Es decir:
Este polinomio, los denominamos n-èsimo polinomio interpolante de
Lagrange y lo define el siguiente teorema.
Ln,k (x)= =n
i=0i≠k
Si , ,. . ., , son n+1 números distintos y si ƒ es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un único polinomio P de
grado a lo mas n, con la propiedad que:
ƒ()=P() para cada k= 0,1,…,n
Donde P(x) esta dado por:
P(x)=ƒ(x0)Ln,k (x) + . . . + ƒ(xn)Ln,n (x)=
Donde:
Ln,k (x)= =
Para cada k= 0,1,…,n
n
n
i=0i≠k
k=0
Siguiendo el desarrollo…
Para la función ƒ()=
Tenemos los números o “nodos”:
Debemos determinar L0 (x), L1 (x), L2 (x) y L3 (x):
Ln,k (x)=
Valor2
2.5
4
4
i=0i≠k
L0 (x)= L1 (x)=
L1 (x)=
ƒ(xk) Ln,k (x)
ƒ(x0)= 0.5
ƒ(x1)= 0.4
ƒ(x2)= 0.25
Evaluando en la función ƒ()=
Recordando que P(x) esta dado por:
P(x)=
P(x)= 0.5 ()+ 0.4 ()+ 0.25 ()
2
k=0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.5
0.333333333333333
0.25
f(x)=1/x P(x)= 0.05x² + 0.425x + 1.15
INTERVALO DE INTERPOLACION
Residuo o cota de error:Si x₀, x₁, . . ., x son números distintos al intervalo [a,b] y que ƒ ϵ [a,b], entonces
para cada x en [a,b] existe un número con
Donde P(x) es el polinomio de Lagrange o interpolante.
El error se calcula con